Minimo teorico

Spesso ci sono casi in cui il calcolo di integrali definiti con metodi di analisi complessa è preferibile ai metodi
analisi materiale. Le ragioni possono essere molto diverse. I metodi TFCT possono, in alcuni casi, ridurre notevolmente i calcoli.
A volte la formula di Newton-Leibniz non può essere utilizzata, poiché l'integrale indefinito non è espresso in funzioni elementari.
I metodi di differenziazione e integrazione rispetto ad un parametro richiedono una giustificazione molto attenta della loro applicabilità, e talvolta del parametro
deve essere introdotto artificialmente.

Di solito, i metodi di analisi complessa calcolano integrali impropri - su un intervallo infinito o da quelli illimitati su un segmento
integrazione delle funzioni. L'idea generale è la seguente. Si forma un integrale di contorno. L'integrale su alcune sezioni del contorno dovrebbe
coincidono con l'integrale definito desiderato - almeno fino a un fattore costante. Integrali sul resto del contorno
dovrebbe essere calcolato. Quindi viene applicato il teorema del residuo principale, secondo il quale
,
dove sono i punti singolari della funzione situati all'interno del contorno di integrazione. Quindi, il contorno è integrale con uno
d'altra parte, risulta essere espresso attraverso l'integrale definito desiderato e, d'altra parte, è calcolato utilizzando i residui (che di solito è
non pone grossi problemi).

La difficoltà principale è la scelta del profilo di integrazione. È suggerito, in linea di principio, dall'integrando. Tuttavia, senza sufficiente
pratica, è difficile padroneggiare questo metodo e quindi verranno forniti molti esempi. I contorni più comunemente usati sono costituiti da
elementi su cui è conveniente integrare (linee rette, archi di cerchio).

integrazione nel piano complesso

Esempio 1 Integrali di Fresnel.
Calcoliamo gli integrali , .
È facile intuire che il primo passo è il passaggio alla forma esponenziale, che implica la considerazione dell'integrale.
È solo necessario scegliere un contorno di integrazione. È chiaro che il semiasse deve entrare nel contorno. Reale e
le parti immaginarie dell'integrale su questa parte del contorno sono gli integrali di Fresnel. Inoltre, l'integrale di contorno calcolato sulla struttura
l'integrando assomiglia all'integrale di Eulero-Poisson, il cui valore è noto. Ma per ottenere questo integrale, dobbiamo mettere
, poi . E tale rappresentazione di una variabile è l'integrazione lungo una retta passante per un punto
ad angolo rispetto all'asse reale.
Quindi, ci sono due elementi di contorno. Per chiudere il contorno, assumiamo che le due sezioni selezionate del contorno abbiano una lunghezza finita e chiudiamo
il contorno di un arco di cerchio di raggio. Successivamente lasceremo che questo raggio vada all'infinito. Il risultato è quello mostrato in Fig. 1 circuito.

(1)
All'interno del contorno di integrazione, l'integrando non ha punti singolari, quindi l'integrale sull'intero contorno è uguale a zero.

.
Al limite, questo integrale è uguale a zero.
Sulla trama, puoi scrivere , quindi
.
Sostituiamo i risultati ottenuti in (1) e passiamo al limite:

Separando la parte reale e quella immaginaria troviamo, tenendo conto del valore dell'integrale di Eulero-Poisson
,
.

Esempio 2 Scelta di un contorno di integrazione contenente all'interno un punto singolare dell'integrando.
Calcoliamo un integrale simile a quello considerato nel primo esempio: , dove .
Calcoleremo l'integrale. Sceglieremo un contorno simile a quello utilizzato nel primo esempio. Solo che ora non c'è scopo
ridurre il calcolo all'integrale di Eulero-Poisson. Qui lo notiamo durante la sostituzione l'integrando non cambierà.
Questa considerazione ci spinge a scegliere la retta obliqua del profilo di integrazione in modo che formi un angolo con l'asse reale.

Quando si scrive l'integrale di contorno
(2)
l'integrale su un arco di cerchio tende a zero nel limite. Sul sito puoi scrivere :
.
Quindi, dalla (2), passando al limite, troviamo
.
Qui si tiene conto che all'interno del profilo di integrazione l'integrando ha un polo semplice.

Da qui troviamo l'integrale desiderato:
.

Esempio 3 Chiudere il contorno di integrazione attraverso il semipiano superiore o inferiore?
Utilizzando il seguente integrale abbastanza semplice, dimostriamo un dettaglio caratteristico della scelta del contorno di integrazione. Calcolare
integrale.
Infatti l'integrale desiderato della funzione viene calcolato lungo l'asse reale, sul quale l'integrando ha n
caratteristiche. Resta solo da chiudere il ciclo di integrazione. Poiché la funzione sotto l'integrale ha solo due punti singolari finali, allora
puoi chiudere il contorno con un semicerchio, il cui raggio dovrebbe tendere all'infinito. E qui sorge la domanda sul come
deve essere scelto un semicerchio: nel semipiano superiore o inferiore (vedi Fig. 3 a, b). Per capirlo, scriviamo l'integrale sul semicerchio
in entrambi i casi:


un)
b)
Come puoi vedere, il comportamento dell'integrale nel limite è determinato dal fattore .
Nel caso di "a", e quindi il limite sarà finito alla condizione .
Nel caso di "b" - al contrario -, e quindi il limite sarà finito alla condizione .
Ciò suggerisce che il modo in cui il contorno è chiuso è determinato dal segno del parametro. Se è positivo, allora
il contorno si chiude attraverso il semipiano superiore, altrimenti - attraverso quello inferiore. Consideriamo questi casi separatamente.
un)
L'integrale di semicerchio al limite, come abbiamo visto, svanisce. All'interno del contorno (vedi Fig. 3a) c'è
punto speciale, quindi

b)
Allo stesso modo, troviamo l'utilizzo dell'integrazione sul contorno mostrato in Fig. 3b,

Nota. Può sembrare strano che l'integrale della funzione complessa si sia rivelato reale. Tuttavia, questo è facile da capire se nell'originale
separare la parte reale e quella immaginaria dell'integrale. Nella parte immaginaria, sotto l'integrale ci sarà una funzione dispari e l'integrale è calcolato in simmetrico
limiti. Quelli. la parte immaginaria svanisce, come è successo nel nostro calcolo.

Esempio 4 Bypassare i punti singolari dell'integrando durante la costruzione di un contorno di integrazione.
Negli esempi considerati, l'integrando o non aveva punti singolari o erano all'interno del contorno di integrazione. Tuttavia
può essere conveniente scegliere un contorno in modo tale che punti singolari della funzione cadano su di esso. Tali punti devono essere aggirati. Il bypass viene eseguito
lungo un cerchio di piccolo raggio, che in futuro si precipita semplicemente a zero. A titolo di esempio, calcoliamo l'integrale .
Può sembrare che l'integrando non abbia punti singolari finiti, poiché il punto è una singolarità rimovibile.
Ma per calcolare l'integrale, devi fare un integrale di contorno di un'altra funzione (per assicurarti che l'integrale svanisca
semicerchio di chiusura nel limite del raggio infinito): . Qui l'integrando ha una singolarità polare
al punto.

Pertanto, è necessario un altro ciclo di integrazione (vedi Fig. 4). Si differenzia dalla Fig. 3a solo per il fatto che il punto singolare gira a semicerchio,
il cui raggio dovrebbe tendere a zero in futuro.
. (3)
Notiamo subito che l'integrale su un semicerchio grande tende a zero nel limite del suo raggio infinitamente grande e all'interno del contorno
non ci sono punti singolari, quindi l'intero integrale del contorno è zero. Quindi, considera il primo e il terzo termine in (3):

.
Ora scriviamo l'integrale su un piccolo semicerchio, dato che su di esso. Prenderemo subito in considerazione anche la piccolezza del raggio del semicerchio:


I termini tendenti allo zero nel limite non vengono scritti.
Raccogliamo i termini in (3) - ad eccezione del termine relativo al semicerchio grande.

Come si può vedere, i termini che si volgono all'infinito si sono annullati a vicenda. Lasciando e , abbiamo
.
Nota. Ad esempio, l'integrale di Dirichlet si calcola esattamente allo stesso modo (ricordiamo che differisce da quello appena considerato per l'assenza di
quadrati al numeratore e al denominatore).

Esempi di calcolo di integrali definiti utilizzando il contorno
integrazione nel piano complesso (continua)

Esempio 5 L'integrando ha un numero infinito di punti singolari.
In molti casi, la scelta del contorno è complicata dal fatto che l'integrando ha un numero infinito di punti singolari. In questo caso può
si scopre che la somma dei residui sarà in realtà una serie, la cui convergenza dovrà ancora essere dimostrata se la sommiamo
non funziona (e la somma delle serie è generalmente un compito separato piuttosto complicato). Ad esempio, calcoliamo l'integrale.
È chiaro che parte del contorno è l'asse reale. Su di esso, la funzione non ha caratteristiche. Parliamo di come chiudere il ciclo. Non è necessario selezionare un semicerchio.
Il punto è che il coseno iperbolico ha una famiglia di zeri semplici . Pertanto, all'interno del contorno chiuso dal semicerchio
nel limite di un raggio infinitamente grande cadranno infiniti punti singolari. In quale altro modo puoi chiudere il ciclo? Notare che .
Ne consegue che si può tentare di includere un segmento parallelo all'asse reale nel profilo di integrazione. Il ciclo si chiuderà con due
segmenti verticali, che al limite sono infinitamente lontani dall'asse immaginario (vedi Fig. 5).


Sulle sezioni verticali del contorno . Il coseno iperbolico cresce esponenzialmente con la crescita dell'argomento (modulo), quindi
al limite gli integrali sulle sezioni verticali tendono a zero.

Quindi, entro il limite
.
D'altra parte, all'interno del contorno di integrazione ci sono due punti singolari dell'integrando. detrazioni in essi
,
.
Di conseguenza,
.

Esempio 6 L'integrando degli integrali definiti e di contorno sono diversi.
C'è un caso molto importante di calcolo di integrali definiti con il metodo dell'integrazione del profilo. Finora l'integrando
la funzione integrale di contorno o coincideva semplicemente con l'integrando di un integrale definito o vi passava separando
parte reale o immaginaria. Ma non tutto è sempre così semplice. Calcoliamo l'integrale.
In termini di scelta di un contorno, non ci sono particolari problemi. Sebbene la funzione sotto l'integrale abbia infiniti poli semplici, lo sappiamo già
dall'esperienza dell'esempio precedente, che è necessario un contorno rettangolare, poiché . L'unica differenza rispetto all'Esempio 5 è che
che il polo dell'integrando che deve essere bypassato cada sulla linea. Pertanto, scegliamo quello mostrato
in fig. 6 circuito.

Considera l'integrale di contorno. Non lo dipingeremo su ogni sezione del contorno, limitandoci all'orizzontale
trame. L'integrale lungo l'asse reale al limite tende a quello desiderato. Scriviamo gli integrali sulle restanti sezioni:
.
Nel limite, e i primi due integrali daranno , allora entreranno nell'integrale di contorno nella somma
con il desiderato, che differisce nel segno. Di conseguenza, l'integrale definito desiderato cadrà dall'integrale di contorno. Significa che
l'integrando è stato scelto in modo errato. Consideriamo un altro integrale: . Lascia lo stesso contorno.

Per cominciare, considera di nuovo gli integrali sulle sezioni orizzontali. L'integrale lungo l'asse reale diventa .
Questo integrale svanisce come integrale di una funzione dispari entro limiti simmetrici.

Nel limite svaniscono anche le prime due parentesi, sempre a formare integrali di funzioni dispari
entro limiti simmetrici. Ma l'ultima parentesi, fino a un fattore, darà l'integrale desiderato. Ha senso continuare il calcolo.
Analogamente all'esempio 5, gli integrali sulle sezioni verticali del profilo tendono a zero a . Resta da trovare l'integrale
a semicerchio dove . Come nell'esempio 4, calcoliamo l'integrale, tenendo conto della piccolezza di:
.
Quindi, abbiamo tutto per scrivere l'integrale di contorno nel limite:

D'altra parte, il polo dell'integrando risulta essere all'interno del contorno di integrazione

Consideriamo una curva liscia Γ nel piano complesso dato dalle equazioni parametriche

(la definizione di curva liscia è data all'inizio del §8). Come indicato nel § 8, queste equazioni possono essere scritte in forma compatta:

Quando si modifica il parametro t da un a /3 punto corrispondente z(t) si sposterà lungo la curva Γ Pertanto, le equazioni (15.1) e (15.2) non solo determinano i punti della curva Γ, ma stabiliscono anche la direzione di percorrenza di questa curva. Viene chiamata la curva à con una data direzione del suo bypass curva orientata.

Lascia in zona D C C funzione continua f(r) = = u(x, y) + iv(x. y), e lascia che la curva Γ si trovi dentro D. Introdurre il concetto di integrale [f(z)dz dalla funzione f(z) lungo la curva r, definiamo r

differenziale dz uguaglianza dz = dx + idy. L'integrando si trasforma nella forma

Quindi, l'integrale della funzione complessa f(z) lungo la curva Γ è naturale definire dall'uguaglianza

il cui lato destro contiene due integrali curvilinei reali del secondo tipo di funzioni reali e e e. Per calcolare questi integrali, invece di X e a funzioni sostitutive x(t) e t/(/), ma invece di dx e morire- differenziali di queste funzioni dx = x"(t) dt e dio = y"(t)dt. Allora gli integrali a destra della (15.3) si riducono a due integrali di funzioni di una variabile reale t

Siamo ora pronti a dare la seguente definizione.

Integrale lungo una curva G sulla funzione della variabile complessa f(z) il numero è chiamato J" f(z)dz e calcolato da

dove z(t) = x(t) + iy(t), un ^ t ^ ft, - equazione della curva Ã, a z"(t) = = x"(t) + io"(t).

Esempio 15.1. Calcola l'integrale di una funzione f(z) = (spacco lungo una circonferenza di raggio r con centro a, la cui direzione del bypass è antioraria.

Soluzione: Equazione di una circonferenza z - a= g volontà z - a = ge un, o

Quando cambia t. da 0 a 2tg punto z(t.) si muove in un cerchio r in senso antiorario. Quindi

Applicando l'uguaglianza (15.5) e la formula di De Moivre (2.10), otteniamo

Abbiamo ottenuto un risultato importante per ulteriore presentazione:

Si noti che il valore dell'integrale non dipende dal raggio G cerchi.

ESEMPIO 15.2. Calcola l'integrale di una funzione f(z) = 1 ma una curva liscia Γ con origine nel punto un e finisci in un punto b.

Soluzione Sia data la curva Γ dall'equazione z(t.) = x(t) + + iy(t), e ^ t^ /3, e un= -r(a), b = z((3). Usando la formula (15.5), oltre alla formula di Newton-Leibniz per il calcolo degli integrali di funzioni reali, otteniamo

Vediamo che l'integrale f 1 dz non dipende dal tipo di percorso G, connect-

tra i punti a e 6, e dipende solo dai punti finali.

Descriviamo brevemente un altro approccio alla definizione dell'integrale della funzione complessa f(z) lungo una curva, simile alla definizione di integrale di una funzione reale su un segmento.

Partizioniamo arbitrariamente la curva Γ in P traccia i punti zq = a, z 1, ..., z n-esimo z n = b, numerati nella direzione del movimento dal punto di inizio alla fine (Fig. 31). Denota z - zo ==Az> ... , Zlc - Zk-l = Az/c, zn -Zn- 1 = = Azn.(Numero Azk rappresentato da un vettore proveniente dal punto zi L_io dentro Zk-) In ogni sito (zk-i, Zk) scegliamo un punto arbitrario sulla curva (q- e facciamo la somma

Questo importo viene chiamato somma integrale. Indichiamo con L la lunghezza del più grande dei segmenti in cui è divisa la curva G. Si consideri una sequenza di partizioni per cui A -? 0 (mentre P-* oo).

П1> unità di somme integrali, calcolate a condizione che la lunghezza del più grande dei segmenti della partizione tenda a zero, è chiamata integrale della funzione/(G) lungo la curva G ed è indicato da G f(z)dz:

Si può dimostrare che questa definizione ci porta anche alla formula (15.3) ed è quindi equivalente alla definizione (15.5) data sopra.

Stabiliamo le principali proprietà dell'integrale / f(z)dz.

1°. Linearità. Per qualsiasi costante complessa aeb

Questa proprietà deriva dall'uguaglianza (15.5) e dalle corrispondenti proprietà dell'integrale su un segmento.

2°. Additività. Se la curva G diviso in segmenti Ti m G2, poi

Prova. Sia la curva Γ con estremità a, bè divisa per un punto c in due parti: una curva Гi con estremità a, Insieme a e la curva Gr con estremità con, b. Sia Г data dall'equazione z = z(t), un ^ t ^ in. e un= 2(a), b = z(ft), c = 2(7). Quindi saranno le equazioni delle curve Г1 e Гг z = z(t), dove un ^ t^7 per Ti e 7^ t^/? per Gg. Applicando la definizione (15.5) e le corrispondenti proprietà dell'integrale su un segmento, otteniamo

QED

La proprietà 2° consente di calcolare gli integrali non solo su curve lisce, ma anche liscio a tratti, cioè. curve che possono essere suddivise in un numero finito di sezioni lisce.

3°. Quando si cambia la direzione della curva, l'integrale cambia segno.

Dimostra l con t in circa. Lascia che la curva Ö termini un e bè data dall'equazione r = r(?), o ^ t ^ $. Una curva composta dagli stessi punti di Γ, ma diversa da Γ nella direzione della deviazione (orientamento), sarà indicata con Γ. Allora à - è dato dall'equazione z= 2i(J)> dove z(t)= 2(0 -I - in forma), Introduciamo infatti una nuova variabile r = a + - t. Quando cambia t da a a (d la variabile r cambia da (5 ad un. Di conseguenza, il punto r(m) percorrerà la curva r.

Si dimostra la proprietà 3°. (Si noti che questa proprietà segue direttamente dalla definizione dell'integrale (15.8): quando cambia l'orientamento della curva, tutti gli incrementi AZk cambia segno.)

4°. Il modulo dell'integrale f f(z)dz non supera il valore della curvatura G

integrale lineare del modulo della funzione lungo la lunghezza della curva s (integrale curvilineo di f(z) del primo tipo):

È facile vederlo z[(t) = r" r (t)(a + - t)J = -z "t (t), dt = -dr. Usando la definizione (15.5) e passando alla variabile r, otteniamo

Prova. Usiamo il fatto che per l'integrale su un segmento

(questa disuguaglianza segue immediatamente dalla definizione dell'integrale su un segmento come limite delle somme integrali). Da qui e da (15.5) abbiamo

1. Concetti e affermazioni di base

Teorema 5.1(condizione sufficiente per l'esistenza di un integrale di una funzione di una variabile complessa). Permettere lè una semplice curva liscia su , f(z)=tu(X;y)+i×v(X;y) è acceso continuo l. Allora esiste, e vale la seguente uguaglianza:

Teorema 5.2. Permettere lè una semplice curva liscia, data parametricamente: l:z(t)=X(t)+i×y(t), un£ t£ b, funzione f(z) è acceso continuo l. Allora l'uguaglianza è vera:

(dove ). (5.2)

Teorema 5.3. Se una f(z) analitico nel dominio D funzione, quindi - funzione analitica e F"(z)=f(z), dove l'integrale è preso su qualsiasi curva liscia a tratti che collega i punti z 0 e z.

- Formula di Newton-Leibniz.

2. Metodi per il calcolo dell'integrale

Primo modo. Calcolo di integrali di una funzione continua mediante riduzione a integrali curvilinei di funzioni di variabili reali (applicazione della formula (5.1)).

1. Trova Ri f=tu, Io sono f=v.

2. Annotare l'integrando f(z)dz sotto forma di opera ( tu+iv)(dx+idiota)=udx-vdy+io(udy+vdx).

3. Calcolare gli integrali curvilinei della forma secondo le regole per il calcolo degli integrali curvilinei del secondo tipo.

Esempio 5.1 . Calcolare lungo una parabola y=x 2 dal punto z 1 = 0 al punto z 2 =1+io.

■ Trovare la parte reale e quella immaginaria dell'integrando. Per fare ciò, sostituiamo nell'espressione for f(z) z=x+iy:

Perché y=x 2, quindi dia= 2X, . Ecco perchè

Il secondo modo. Calcolo di integrali da una funzione continua mediante riduzione ad integrale definito nel caso di una specifica parametrica del percorso di integrazione (usando la formula (5.2)).

1. Scrivi l'equazione parametrica della curva z=z(t) e determinare i limiti di integrazione: t=a corrisponde al punto di partenza del percorso di integrazione, t=b- finale.

2. Trova il differenziale di una funzione a valori complessi z(t): dz=z¢( t)dt.

3. Sostituto z(t) in un integrando, trasforma l'integrale nella forma: .

4. Calcolare l'integrale definito risultante.

Esempio 5.2 . Calcola dove DA- un arco di cerchio, .

■ Equazione parametrica di questa curva: , 0£ j£ p. Quindi . Noi abbiamo

Esempio 5.3 . Calcola dove DA- l'arco superiore del cerchio nella condizione: a), b).

■ L'impostazione dei valori delle funzioni nel ciclo di integrazione consente di selezionare rami a valore singolo dell'espressione , k= 0,1. Poiché per noi abbiamo, k= 0.1, quindi nel primo caso selezioniamo un ramo con k= 0, e nel secondo - con k= 1.

L'integrando sul contorno di integrazione è continuo. Equazione parametrica di questa curva: , 0£ j£ p. Quindi .

a) La succursale è determinata quando k= 0, cioè da otteniamo .

b) La succursale è determinata quando K=1, cioè da otteniamo .

La terza via. Calcolo di integrali di funzioni analitiche in domini semplicemente connessi (applicazione della formula (5.3)).

Trova un antiderivato F(z) utilizzando le proprietà di integrali, integrali tabulari e metodi noti dall'analisi reale. Applicare la formula di Newton-Leibniz: .

Esempio 5.4 . Calcolare , dove DA- dritto AB, z A=1-io,z B=2+io.

■ Poiché l'integrando - analitico sull'intero piano complesso, quindi applichiamo la formula di Newton-Leibniz

3. Teoremi di base del calcolo integrale

funzioni di una variabile complessa

Teorema 5.4 (Cauchy). Se una f(z G funzione, quindi dove l- qualsiasi anello chiuso giacente G.

Il teorema di Cauchy vale anche per un dominio connesso moltiplicato.

Teorema 5.5. Lascia che la funzione f(z) è analitico in un dominio semplicemente connesso D, l-un contorno arbitrario chiuso a tratti e liscio che giace D. Quindi per qualsiasi punto z 0 giacente all'interno del contorno l, vale la formula:

, (5.4)

dove l scorre in direzione positiva.

Viene chiamata la formula (5.4). formula di Cauchy integrale . Esprime i valori di una funzione analitica all'interno di un contorno in termini di valori sul contorno.

Teorema 5.6. Qualsiasi funzione f(z), analitica nel dominio D, ha derivati ​​di tutti gli ordini su questo dominio e per " z 0 Î D la formula corretta è:

, (5.5)

dove lè un contorno chiuso arbitrariamente liscio a tratti che giace interamente dentro D e contenente un punto z 0 .

4. Calcolo degli integrali in anello chiuso

dalle funzioni di una variabile complessa

Considera gli integrali della forma , dove la funzione j(z) è analitico in , e y(z) è un polinomio che non ha zeri su un contorno chiuso DA.

Regola. Quando si calcolano gli integrali della forma, a seconda della molteplicità di zeri del polinomio y(z) e la loro posizione rispetto al contorno DA Si possono distinguere 4 casi.

1. Nella zona D nessun polinomio zero y(z). Allora la funzione è analitica e per il teorema di Cauchy.

2. Nella zona D c'è uno zero semplice z=z 0 polinomio y(z). Quindi scriviamo la frazione come , dove f(z) è una funzione analitica in Applicazione della formula integrale di Cauchy (5.4), otteniamo

. (5.6)

3. Nella zona D trova un multiplo di zero z=z 0 polinomio y(z) (molteplicità n). Quindi scriviamo la frazione come , dove f(z) è una funzione analitica in Applicando la formula (5.5), otteniamo

4. Nella zona D ci sono due zeri del polinomio y(z) z=z 1 e z=z 2. Quindi rappresentiamo l'integrando come somma di due frazioni e l'integrale come somma di due integrali, ciascuno dei quali è calcolato secondo il punto 2 o il punto 3.

Esempio 5.5 . Calcola dove DA- cerchio.

■ Troviamo gli zeri del denominatore, i punti singolari dell'integrando . Questi sono punti. Successivamente, determiniamo la posizione dei punti rispetto al contorno di integrazione: nessuno dei punti è compreso nell'area delimitata da una circonferenza con centro in un punto e raggio 2 (vale a dire, abbiamo il primo caso). Questo può essere verificato disegnando o determinando la distanza da ciascuno dei punti al centro del cerchio e confrontandola con il raggio. Ad esempio, for , quindi non appartiene al cerchio.

Poi la funzione analitico nel cerchio e dal teorema di Cauchy .

Si noti che l'integrale dato è uguale a zero per qualsiasi altro contorno che limiti la regione che non include nessuno degli zeri del denominatore. ■

Esempio 5.6 . Calcola dove DA- cerchio.

■ Argomentando come nell'Esempio 5.5, troviamo che solo uno degli zeri del denominatore si trova nel cerchio (il secondo caso). Pertanto, scriviamo l'integrando nella forma , la funzione analitico in cerchio. Quindi con la formula (5.6)

.■

Esempio 5.7 . Calcolare , dove DA- cerchio.

1. Il concetto di integrale di una funzione di variabile complessa viene introdotto (come nella regione reale) come limite di una successione di somme integrali; la funzione è definita su una curva l , si presume che la curva sia liscia o liscia a tratti:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \lim_(\lambda\to0) \sum_(k=1)^(n)\bigl(f(\xi_k)\cdot \Delta z_k\bigr) ,\qquad\quad (2.43)

dove x_k è un punto selezionato sull'arco \Delta l_k della divisione della curva; \Delta z_k - incremento dell'argomento della funzione su questa parte della divisione, \lambda=\max_(k)|\Delta z_k|- passaggio diviso, |\Delta z_k| - la lunghezza della corda che collega le estremità dell'arco \Delta l_k ; la curva l è divisa arbitrariamente in n parti \Delta l_k,~ k=1,2,\lpunti,n. Sulla curva viene scelta una direzione, ad es. vengono specificati i punti di inizio e di fine. Nel caso di una curva chiusa \textstyle(\left(\int\limits_(l) f(z)dz= \oint\limits_(c)f(z)dz\right)) l'integrazione avviene nella direzione positiva, cioè in una direzione che lascia la regione terminale delimitata dal sentiero a sinistra.

La formula (2.43) definisce integrale curvilineo di una funzione di variabile complessa. Se individuiamo la parte reale e quella immaginaria della funzione f(z) , cioè scrivilo nel modulo

f(z)=u+i\,v,\qquad u=\nomeoperatore(Re)f(z),\quad v=\nomeoperatore(Im)f(z),\qquad u=u(x,y) ,\quad v=v(x,y),

allora la somma integrale può essere scritta sotto forma di due termini, che saranno le somme integrali di integrali curvilinei del secondo tipo di funzioni di due variabili reali. Se si assume che f(z) sia continua su l , allora u(x, y), ~ v(x, y) sarà anche continua su l , e quindi ci saranno limiti alle corrispondenti somme integrali. Pertanto, se la funzione f(z) è continua su l , allora esiste il limite di uguaglianza (2.43), cioè esiste un integrale curvilineo della funzione f(z) sulla curva l e la formula

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i \int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\, .

Utilizzando la definizione di integrale o formula (2.44) e le proprietà degli integrali curvilinei del secondo tipo, è facile verificare la validità delle seguenti proprietà di un integrale curvilineo di funzioni di una variabile complessa (proprietà note dall'analisi reale) .

\begin(allineato)&\bold(1.)~~ \int\limits_(l)\bigldz= c_1\int\limits_(l) f_1(z)\,dz+ c_2\int\limits_(l)f_2(z )\,dz\,.\\ &\bold(2.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz=- \int\limits_(BA)f(z)\,dz\, .\\ &\bold(3.)~~ \int\limits_(AB)f(z)\,dz= \int\limits_(AC)f(z)\,dz+ \int\limits_(CB)f( z)\,dz\,.\\ &\bold(4.)~~ \int\limits_(AB)|dz|= l_(AB).\\ &\bold(5.)~~ \left|\ int\limits_(l)f(z)\,dz \right|\leqslant \int\limits_(l)|f(z)|\,|dz|. \end(allineato)

in particolare, \textstyle(\left|\int\limits_(AB)f(z)\,dz\right|\leqslant M\cdot l_(AB)), se la funzione è limitata in valore assoluto sulla curva AB , cioè |f(z)|\leqslant M,~ z\in l. Questa proprietà è chiamata proprietà di stima del modulo dell'integrale.

\bold(6.)~~ \int\limits_(AB)dz= z_B-z_A\,.

La formula (2.44) può essere considerata sia come definizione di integrale curvilineo di una funzione di variabile complessa, sia come formula per il suo calcolo tramite integrali curvilinei del secondo tipo di funzioni di due variabili reali.

Per utilizzare e ricordare la formula di calcolo, notiamo che l'uguaglianza (2.44) corrisponde all'esecuzione formale sul lato sinistro sotto il segno integrale delle operazioni di estrazione della parte reale e immaginaria della funzione f(z) , moltiplicando per dz= dx+i\,dy e scrivendo il prodotto risultante in forma algebrica:

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(l)(u+iv)(dx+i\,dy)= \int\limits_(l)u\,dx-v\ ,dy+i(u\,dy+v\,dx)= \int\limits_(l)u\,dx-v\,dy+ i\int\limits_(l)u\,dy+v\,dx\ ,.

Esempio 2.79. Calcola integrali e \int\limits_(OA)z\,dz, dove la riga OA

a) un segmento di linea che collega i punti z_1=0 e z_2=1+i ,
b) linea tratteggiata OBA , dove O(0;0),~A(1;1),~B(1;0).

▼ Soluzione

1. Calcolare l'integrale \int\limiti_(OA)\overline(z)\,dz. Qui f(z)= \overline(z)= x-iy,~ dz=dx+i\,dy. Scriviamo l'integrale in termini di integrali curvilinei del secondo tipo:

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OA) (x-iy)(dx+i\,dy)= \int\limits_(OA) x\,dx+y \,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy-y\,dx\,

che corrisponde alla formula (2.44). Calcoliamo gli integrali:

a) il percorso di integrazione è quindi un segmento di retta \int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=1.

b) il percorso di integrazione è una linea spezzata, costituita da due segmenti OB= \(y=0,~ 0\leqslant x\leqslant1\) e BA= \(x=1,~ 0\leqslant y\leqslant1\). Pertanto, suddividendo l'integrale in due ed eseguendo i calcoli, otteniamo

\int\limits_(OA)\overline(z)\,dz= \int\limits_(OB)\overline(z)\,dz+ \int\limits_(BA)\overline(z)\,dz= \int\ limiti_(0)^(1)x\,dx+ \int\limiti_(0)^(1)y\,dy+ i\int\limits_(0)^(1) dy=1+i.

Integrale di funzione f(z)=\overline(z) dipende dalla scelta del percorso di integrazione che collega i punti O e A .

2. Calcolare l'integrale \textstyle(\int\limits_(OA)z\,dz) qui f(z)=z=x+iy . Scriviamo l'integrale in termini di integrali curvilinei del secondo tipo

\int\limits_(OA)z\,dz= \int\limits_(OA)x\,dx-y\,dy+ i\int\limits_(OA)x\,dy+y\,dx\,.

Gli integrandi degli integrali del secondo tipo ottenuti sono differenziali totali (si veda la condizione (2.30)), quindi è sufficiente considerare un caso di cammino di integrazione. Quindi, nel caso "a", dove l'equazione del segmento y=x,~0 \leqslant x \leqslant1, otteniamo la risposta

\int\limits_(OA)z\,dz=i \int\limits_(0)^(1)2x\,dx=i\,.

A causa dell'indipendenza dell'integrale dalla forma del percorso di integrazione, il compito in questo caso può essere formulato in una forma più generale: calcolare l'integrale

\int\limits_(l)z\,dz dal punto z_1=0 al punto z_2=1+i .

Nella prossima sottosezione, consideriamo più in dettaglio tali casi di integrazione.

2. Sia l'integrale di una funzione continua in qualche dominio indipendente dalla forma della curva che collega due punti di questo dominio. Fissiamo il punto di partenza, denotando z_0 . il punto finale è una variabile, indichiamola z . Quindi il valore dell'integrale dipenderà solo dal punto z, cioè definisce una funzione nell'area specificata.

Di seguito giustificheremo l'affermazione che nel caso di un dominio semplicemente connesso, l'integrale definisce una funzione a valore singolo in questo dominio. Introduciamo la notazione

\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi=F(z).

La funzione F(z) è un integrale con un limite superiore variabile.

Utilizzando la definizione di una derivata, ad es. considerando \lim_(\Delta z\to0)\frac(\Delta F)(\Delta z), è facile verificare che F(z) ha una derivata in qualsiasi punto del dominio di definizione, e quindi è analitica in esso. In questo caso, per la derivata otteniamo la formula

F"(z)=f(z).

La derivata di un integrale con limite superiore variabile è uguale al valore dell'integrando al limite superiore.

Dall'uguaglianza (2.46 deriva), in particolare, che l'integrando f(z) in (2.45) è una funzione analitica, poiché la derivata F"(z) della funzione analitica F(z) per la proprietà di tali funzioni ( vedi Proposizione 2.28) - funzione analitica.

3. La funzione F(z) per la quale vale l'uguaglianza (2.46) è chiamata antiderivata per la funzione f(z) in un dominio semplicemente connesso, e la raccolta di antiderivate \Phi(z)=F(z)+c , dove c=\text( const) , - un integrale indefinito della funzione f(z) .

Dai punti 2 e 3 otteniamo la seguente affermazione.

Dichiarazione 2.25

1. Integrale con limite superiore variabile \textstyle(\int\limits_(z_0)^(z) f(\xi)\,d\xi) da un'analitica di funzioni in un dominio semplicemente connesso c'è un'analitica di funzioni in questo dominio; questa funzione è antiderivata per l'integrando.

2. Qualsiasi funzione che sia analitica in un dominio semplicemente connesso contiene un'antiderivata (l'esistenza di un'antiderivata).

Si trovano le antiderivate di funzioni analitiche in domini semplicemente connessi, come nel caso dell'analisi reale: si utilizzano le proprietà degli integrali, la tabella degli integrali e le regole di integrazione.

Per esempio, \int e^z\,dz=e^z+c,~~ \int\cos z\,dz=\sin z+c..

Tra l'integrale curvilineo di una funzione analitica e la sua antiderivata in un dominio semplicemente connesso, esiste una formula simile alla formula di Newton-Leibniz dell'analisi reale:

\int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= \Bigl.(F(z))\Bigr|_(z_1)^(z_2)= F(z_2)-F(z_1).

4. Come nell'analisi reale, nel dominio complesso, oltre agli integrali contenenti un parametro entro i limiti dell'integrazione (la formula (2.45) fornisce l'esempio più semplice di tali integrali), si considerano integrali che dipendono dal parametro contenuto nell'integrando : \textstyle(\int\limits_(l)f(\xi,z)\,d\xi). Tra tali integrali, un posto importante nella teoria e nella pratica dell'integrazione e delle applicazioni complesse è occupato da un integrale della forma \textstyle(\int\limits_(l)\dfrac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi).

Supponendo che f(z) sia continua sulla retta l , otteniamo che per ogni punto z non appartenente a l , esiste l'integrale e determina, in ogni regione non contenente l , qualche funzione

\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi=F(z).

L'integrale (2.48) è detto integrale di tipo Cauchy; fattore \frac(1)(2\pi\,i) introdotto per comodità di utilizzo della funzione costruita.

Per questa funzione, così come per la funzione definita dall'uguaglianza (2.45), si dimostra che essa è analitica ovunque nel dominio di definizione. Inoltre, contrariamente all'integrale (2.45), qui non è richiesto che la funzione generatrice f(z) sia analitica, cioè, la formula (2.48) è usata per costruire una classe di funzioni analitiche sulla classe di funzioni continue di una variabile complessa. La derivata dell'integrale (2.48) è determinata dalla formula

F"(z)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^2)\,d\xi \,.

Per dimostrare la formula (2.49) e, di conseguenza, per asserire che un integrale di tipo Cauchy è analitico, basta, secondo la definizione di derivata, stabilire la validità della disuguaglianza

\left|\frac(\Delta F)(\Delta z)-F"(z)\right|<\varepsilon,\qquad |\Delta z|<\delta(\varepsilon)

per qualsiasi \varepsilon>0 e per qualsiasi z dal dominio della funzione F(z) .

Lo stesso metodo può essere utilizzato per dimostrare che esiste una derivata della funzione definita dall'uguaglianza (2.49), cioè F""(z) e la formula

F""(z)= \frac(1)(\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))((\xi-z)^3)\,d\xi \,.

La procedura può essere continuata e possiamo provare per induzione la formula per la derivata di qualsiasi ordine della funzione F(z)\colon

F^((n))(z)= \frac(n{2\pi\,i} \int\limits_{l} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

Analizzando le formule (2.48) e (2.49), è facile vedere che la derivata F(z) può essere ottenuta formalmente differenziando rispetto al parametro sotto il segno di integrale in (2.48):

F"(z)= \frac(d)(dz)\! \left(\frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\ xi-z)\,d\xi\right)= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(d)(dz)\!\left(\frac(f (\xi))(\xi-z)\right)\!d\xi= \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))( (\xi-z)^2)\,d\xi\,.

Applicando formalmente la regola di differenziazione di un integrale dipendente da un parametro n volte, otteniamo la formula (2.50).

Scriviamo i risultati ottenuti in questa sezione sotto forma di asserzione.

Affermazione 2.26. Integrante \frac(1)(2\pi\,i) \int\limits_(l) \frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi da una funzione f(z) , continua sulla curva l , si ha una funzione che è analitica in qualsiasi dominio D che non contenga l ; le derivate di questa funzione si ottengono differenziando rispetto al parametro sotto il segno di integrale.

Calcolo di integrali da funzioni di variabile complessa

Sopra, si ottengono le formule per il calcolo degli integrali delle funzioni di una variabile complessa: formule (2.44) e (2.47).

Se la curva l nella formula (2.44) è impostata parametricamente: z=z(t),~ \alpha\leqslant t\leqslant\beta oppure, che corrisponde alla forma effettiva: \begin(casi) x=x(t),\\ y=y(t),\end(casi)\!\!\alpha\leqslant t\leqslant\beta, quindi, utilizzando le regole per il calcolo degli integrali del secondo tipo nel caso di una specifica parametrica di una curva, possiamo trasformare la formula (2.44) nella forma

\int\limits_(l)f(z)\,dz= \int\limits_(\alpha)^(\beta)f\bigl(z(t)\bigr)z"(t)\,dt\,.

Il risultato ottenuto ei risultati ottenuti nella lezione precedente verranno scritti come una sequenza di azioni.

Metodi per il calcolo degli integrali \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz).

Primo modo. Calcolo degli integrali \textstyle(\int\limits_(l)f(z)\,dz) da una funzione continua per riduzione a integrali curvilinei di funzioni di variabili reali - l'applicazione della formula (2.44).

1. Trova \nomeoperatore(Ri)f(z)=u,~ \nomeoperatore(Im)f(z)=v.

2. Scrivi l'integrando f(z)dz come prodotto (u+iv)(dx+i\,dy) o, moltiplicando, u\,dx-v\,dy+i(u\,dy+v\,dx).

3. Calcolare gli integrali curvilinei della forma \textstyle(\int\limits_(l)P\,dx+Q\,dy), dove P=P(x,y),~ Q=Q(x,y) secondo le regole per il calcolo degli integrali curvilinei del secondo tipo.

Il secondo modo. Calcolo degli integrali \textstyle(\int\limits_(l) f(z)\,dz) da funzione continua riducendo ad integrale definito nel caso di una specificazione parametrica del cammino di integrazione - l'applicazione della formula (2.51).

1. Scrivere l'equazione parametrica della curva z=z(t) e determinare da essa i limiti di integrazione: t=\alpha corrisponde al punto iniziale del percorso di integrazione, t=\beta - al punto finale.

2. Trova il differenziale di una funzione a valori complessi z(t)\colon\, dz=z"(t)dt.
3. Sostituisci z(t) nell'integrando, trasforma l'integrale

\int\limits_(\alpha)^(\beta)f \bigl(z(t)\bigr)\cdot z"(t)\,dt= \int\limits_(\alpha)^(\beta)\varphi (t)\,dt\,.

4. Calcolare l'integrale definito dalla funzione a valori complessi di una variabile reale ottenuta nella Sezione 3.

Si noti che l'integrazione di una funzione a valori complessi di una variabile reale non differisce dall'integrazione di una funzione a valori reali; l'unica differenza è la presenza nel primo caso del fattore i , azioni con le quali, ovviamente, sono considerate come con una costante. Per esempio,

\int\limits_(-1)^(1)e^(2it)dt= \left.(\frac(e^(2it))(2i))\right|_(-1)^(1)= \ frac(1)(2i)(e^(2i)-e^(-2i))= \sin2\,.

La terza via. Calcolo di integrali di funzioni analitiche in domini semplicemente connessi - applicazione della formula (2.47).

1. Trovare l'antiderivativa F(z) utilizzando le proprietà di integrali, integrali tabulari e metodi noti dall'analisi reale.

2. Applicare la formula (2.47): \int\limits_(z_1)^(z_2)f(z)\,dz= F(z_2)-F(z_1).

Osservazioni 2.10

1. Nel caso di una regione a connessione multipla, vengono eseguiti dei tagli in modo da ottenere una funzione F(z) a valore singolo.

2. Quando si integrano rami a valore singolo di funzioni a più valori, un ramo si distingue impostando il valore della funzione in un punto della curva di integrazione. Se la curva è chiusa, il punto iniziale del percorso di integrazione è il punto in cui viene fornito il valore dell'integrando. Il valore dell'integrale può dipendere dalla scelta di questo punto.

▼ Esempi 2.80-2.86 calcolo di integrali di funzioni di una variabile complessa

Esempio 2.80. Calcolare \int\limits_(l)\nomeoperatore(Re)z\,dz, dove l è una linea che collega il punto z_1=0 con il punto z_2=1+i\colon

a) l - linea retta; b) l - linea tratteggiata OBA , dove O(0;0),~B(1;0),~A(1;1).

▼ Soluzione

a) Applichiamo il primo metodo - (formula (2.44)).

1.2. L'integrando ha la forma \nomeoperatore(Re)z\,dz= x(dx+i\,dy). Ecco perchè

\int\limits_(l)\nomeoperatore(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy\,.

3. Calcolare gli integrali per y=x,~ 0\leqslant x\leqslant1(l'equazione del segmento OA che collega i punti z_1 e z_2 ). Noi abbiamo

\int\limits_(l)\nomeoperatore(Re)z\,dz= \int\limits_(l)x\,dx+ i\int\limits_(l)x\,dy= \int\limits_(0)^( 1)x\,dx+ i\int\limits_(0)^(1)x\,dx= \frac(1+i)(2)\,.

b) Poiché il percorso di integrazione è costituito da due segmenti, scriviamo l'integrale come somma di due integrali:

\int\limits_(l)\nomeoperatore(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)\nomeoperatore(Re)z\,dz+ \int\limits_(BA)\nomeoperatore(Re)z\,dz

e ciascuno è calcolato come nel paragrafo precedente. Inoltre, per il segmento OB abbiamo

\begin(casi)y=0,\\ 0 \leqslant x \leqslant1,\end(casi) e per il segmento BA\colon \begin(casi)x=1,\\ 0 \leqslant y \leqslant1.\end(casi)

Facciamo calcoli:

\int\limits_(l)\nomeoperatore(Re)z\,dz= \int\limits_(OB)x\,dx+ i\,x\,dy+ \int\limits_(BA) x\,dx+i\, x\,dy= \int\limits_(0)^(1)x\,dx+ i \int\limits_(0)^(1)1\cdot dy= \frac(1)(2)+i.

Si noti che l'integrando in questo esempio non è una funzione analitica, quindi gli integrali su due curve diverse che collegano due punti dati possono avere valori diversi, come illustrato in questo esempio.

Esempio 2.81. Calcolare \int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz, dove l è il semicerchio superiore |z|=1 , bypassando la curva l in senso antiorario.

▼ Soluzione

La curva ha una semplice equazione parametrica z=e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\pi, quindi è conveniente utilizzare il secondo metodo (formula (2.51)). L'integrando qui è una funzione continua, non è analitica.

1.2. Per z=e^(it) troviamo \overline(z)=e^(-it),~ |z|=1,~ dz=i\,e^(it)dt.

3.4. Sostituisci nell'integrando. Calcoliamo l'integrale

\int\limits_(l)|z| \overline(z)\,dz= \int\limits_(0)^(\pi)1\cdot e^(-it)\cdot i\,e^(it)dt= \int\limits_(0)^ (\pi)i\,dt=i\,\pi.

Esempio 2.82. Calcola integrali di funzioni analitiche:

un) \int\limits_(0)^(i)\sin^2z\,dz; b) \int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2), il percorso di integrazione non passa per il punto i .

▼ Soluzione

a) Applicare la formula (2.47) (terza regola); troviamo l'antiderivata utilizzando metodi di integrazione dell'analisi reale:

\int\limits_()^()\sin^2z\,dz= \frac(1)(2) \int\limits_(0)^(i)(1-\cos2z)\,dz= \left.( \frac(1)(2) \left(z-\frac(1)(2)\sin2z\right))\right|_(0)^(i)= \frac(1)(2)\,i -\frac(1)(4)\sin2i= \frac(1)(2)\,i-i\,\frac(\nomeoperatore(sh)2)(4)= \frac(i)(4)(2- \nomeoperatore(sh)2).

b) L'integrando è analitico ovunque tranne che per il punto i . Dopo aver disegnato un piano tagliato lungo il raggio dal punto i a \infty , otteniamo una regione semplicemente connessa in cui la funzione è analitica e l'integrale può essere calcolato con la formula (2.47). Pertanto, per ogni curva che non passa per il punto i, l'integrale può essere calcolato usando la formula (2.47), mentre per due punti dati avrà lo stesso valore.

Sulla fig. 2.44 mostra due casi di tagli. La direzione di aggirare il confine delle regioni semplicemente connesse, dove l'integrando è analitico, è indicata dalle frecce. Calcoliamo l'integrale:

\int\limits_(-i)^(1)\frac(dz)((z-i)^2)= \left.(\frac(-1)(z-i))\right|_(-i)^(1 )= -\frac(1)(1-i)-\frac(1)(2i)=-\frac(1+i)(2)+\frac(i)(2)= -\frac(1) (2)\,.

Esempio 2.83. Calcola integrale \int\limits_(0)^(1+i)z\,dz.

▼ Soluzione

L'integrando è analitico ovunque in \mathbb(C) . Applichiamo il terzo metodo, formula (2.47):

\int\limits_(0)^(1+i)z\,dz= \left.(\frac(z^2)(2))\right|_(0)^(1+i)= \frac( 1)(2)(1+i)^2=i.

Questo risultato si ottiene nell'esempio 2.78 secondo il primo metodo.

Esempio 2.84. Calcola integrale \oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n), dove C è un cerchio |z-a|=R .

▼ Soluzione

Usiamo il secondo metodo.

1. Scriviamo l'equazione del cerchio in forma parametrica: z-a=R\,e^(it) , oppure z=a+R\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant2\pi.
2. Trovare il differenziale dz=R\,i\,e^(it)\,dt.
3. Sostituisci z=a+R\,e^(it) e dz nell'integrando:

\oint\limits_(C)\frac(dz)((z-a)^n)= \int\limits_(0)^(2\pi) \frac(R\,i\,e^(it))(R ^n e^(int))\,dt= \frac(i)(R^(n-1)) \int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt\ ,.

Calcoliamo l'integrale definito risultante. Per n\ne1 otteniamo

\int\limits_(0)^(2\pi) e^(it(1-n))dt= \frac(1)(i(1-n)) \Bigl.(e^(it(1-n) )))\Bigr|_(0)^(2\pi)= \frac(1)((n-1)i) \bigl(1-e^(2\pi\,i(n-1)) \più grande).

Perché e^(2\pi\,i(n-1))= e^(2k\pi\,i)=1, Ecco perchè \punto\limiti_(C)\frac(dz)((z-a)^n) =0 per n\ne1 . Per n=1 otteniamo \oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i\int\limits_(0)^(2\pi)dt=2\pi\,i\,..

Scriviamo il risultato sotto forma di formula:

\oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)((z-a)^n)=0,\quad n\ne1;\qquad \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz) (z-a)=2\pi\,i\,.

In particolare, \textstyle(\oint\limits_(|z|=R)\frac(dz)(z)=2\pi i). Si noti che se il cerchio C\colon |z-a|=R bypassa il punto k volte, l'argomento (parametro) cambia da 0 a 2\pi k (k>0 se il cerchio è in direzione positiva, cioè in senso antiorario, e K<0 - обход по часовой стрелке). Поэтому

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= i \int\limits_(0)^(2\pi k)dt= 2k\pi i,\qquad \oint\limits_(C) \frac( dz)(z)=2k\pi i.

Esempio 2.85. Calcola l'integrale di una funzione di una variabile complessa \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi):

a) il percorso di integrazione non passa per il punto z=0 e non lo bypassa, -\pi<\arg z \leqslant\pi ;

b) il percorso di integrazione non passa per il punto z=0 , ma lo percorre n volte attorno al cerchio in senso antiorario.

▼ Soluzione

a) Questo integrale - un integrale con un limite superiore variabile - definisce una funzione analitica a valore singolo in qualsiasi dominio semplicemente connesso (vedi 2.45)). Troviamo un'espressione analitica per questa funzione - antiderivata per f(z)=\frac(1)(z) . Separare la parte reale e quella immaginaria dell'integrale \int\limits_(l)\frac(dz)(z)(usando la formula (2.44)), è facile verificare che gli integrandi degli integrali del secondo tipo sono differenziali totali e, quindi, l'integrale \frac(d\xi)(\xi) non dipende dalla forma della curva che collega i punti z_1=1 e z . Scegliamo un percorso costituito da un segmento dell'asse Ox dal punto z_1=1 al punto z_2=r , dove r=|z| , e gli archi l del cerchio. collegando z_2 con z (Fig. 2.45, a).

Scriviamo l'integrale come somma: \int\limits_(1)^(z) \frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(1)^(r) \frac(dx)(x)+ \int\limits_(l) \frac(d\xi)(\xi). Per calcolare l'integrale su un arco circolare, utilizziamo la formula (2.51), mentre l'arco ha l'equazione \xi=r\,e^(it),~ 0\leqslant t\leqslant\arg z. Noi abbiamo \int\limits_(l)\frac(d\xi)(\xi)= \int\limits_(0)^(\arg z) \frac(ri\,e^(it))(r\,e^ (it))\,dt=i\arg z; di conseguenza

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln r+i\arg z,\,-\pi<\arg z \leqslant\pi

Il lato destro dell'uguaglianza definisce una funzione a valore singolo \ln z - il valore principale del logaritmo. Otteniamo la risposta nel modulo

\int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z\,.

Si noti che l'uguaglianza risultante può essere considerata come la definizione di una funzione a valore singolo \ln z in un dominio semplicemente connesso - un piano con un taglio lungo il semiasse reale negativo (-\infty;0] .

b) L'integrale può essere scritto come somma: \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)= \oint\limits_(c) \frac(dz)(z)+ \int\limits_(l)\frac(d \xi)(\xi), dove c è la circonferenza |z|=1 percorsa in senso antiorario n volte, e l è la curva che collega i punti z_1 e z e non racchiude il punto z=0 (Fig. 2.45,b).

Il primo termine è uguale a 2n\pi i (vedi esempio 2.84), il secondo - \ln(z) - formula (2.53). Otteniamo il risultato \int\limits_(1)^(z)\frac(d\xi)(\xi)=\ln z+2n\pi i.

Esempio 2.86. Calcola integrale \int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z)) lungo l'arco superiore del cerchio |z|=1 a condizione: a) \sqrt(1)=1 ; b) \sqrt(1)=-1 .

▼ Soluzione

L'impostazione dei valori della funzione \sqrt(z) nel punto del contorno di integrazione consente di selezionare rami a valore singolo dell'espressione \sqrt(z)= \sqrt(|z|)\exp\!\left(\frac(i)(2)\arg z+ik\pi\right)\!,~ k=0;1(vedi esempio 2.6). Il taglio può essere disegnato, ad esempio, lungo il semiasse negativo immaginario. Poiché per z=1 abbiamo \sqrt(1)=e^(ik\pi),~k=0;1, quindi nel primo caso viene selezionato un ramo con k=0, nel secondo - con k=1 . L'integrando sul contorno di integrazione è continuo. Per risolvere utilizziamo la formula (2.51), la curva è data dall'equazione z=e^(it),~0\leqslant t\leqslant\pi.

a) Il ramo è definito quando k=0 , cioè da z=e^(it) per l'integrando otteniamo \sqrt(z)=e^(\frac(i)(2)t). Calcoliamo l'integrale:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi) \frac(i\,e^(it))(e^(i\ ,\frac(t)(2) ))\,dt= i \int\limits_(0)^(\pi)e^(i\,\frac(t)(2))dt= \Bigl.(2 \,e^(i\,\frac(t)(2)))\Bigr|_(0)^(\pi)= 2\! \left(e^(i\,\frac(\pi)(2))-1\right)= 2(i-1).

b) Il ramo è determinato quando k=1, cioè da z=e^(it) per l'integrando abbiamo \sqrt(z)= e^(i \left(\frac(t)(2)+\pi\right))=-e^(i\,\frac(t)(2)). Calcoliamo l'integrale:

\int\limits_(l)\frac(dz)(\sqrt(z))= \int\limits_(0)^(\pi)\frac(i\,e^(it))(-e^(i \,\frac(t)(2)))\,dt= \ldots= 2(1-i).

In teoria e in pratica, nelle applicazioni del calcolo integrale delle funzioni di una variabile complessa, quando si studia il comportamento di funzioni in regioni delimitate o in prossimità di singoli punti, gli integrali sono considerati lungo curve chiuse - i confini delle regioni, in particolare, quartieri di punti. Considereremo gli integrali \oint\limits_(C)f(z)dz, dove f(z) è analitico in alcune regioni ad eccezione dei singoli punti, C è il confine della regione o il contorno interno in questa regione.

Teorema di Cauchy di base per un contorno semplice

Teorema 2.1 (Teorema di Cauchy per un contorno semplice). Se f(z) è analitica in un dominio semplicemente connesso, allora per ogni contorno C appartenente a questo dominio, l'uguaglianza

\oint\limits_(C)f(z)dz=0.

La dimostrazione del teorema è facile da ottenere, in base alla proprietà delle funzioni analitiche, secondo cui una funzione analitica ha derivate di qualsiasi ordine (vedi Proposizione 2.28). Questa proprietà garantisce la continuità delle derivate parziali di \nomeoperatore(Ri)f(z) e \nomeoperatore(Im)f(z), quindi, se utilizziamo la formula (2.44), allora è facile vedere che per ciascuno degli integrandi degli integrali curvilinei del secondo tipo sono soddisfatte le condizioni del differenziale totale, così come le condizioni di Cauchy-Riemann delle funzioni analitiche . E gli integrali su curve chiuse dei differenziali totali sono uguali a zero.

Si noti che tutte le proposizioni teoriche presentate di seguito sono in definitiva basate su questo importante teorema, inclusa la proprietà delle funzioni analitiche sopra menzionata. Affinché non vi siano dubbi sulla correttezza della presentazione, notiamo che il teorema può essere dimostrato senza riferimento all'esistenza delle sue derivate solo sulla base della definizione di una funzione analitica.

Corollari dal Teorema 2.1

1. Il teorema vale anche se C è il confine del dominio D , e la funzione f(z) è analitica nel dominio e sul confine, cioè in \overline(D) , poiché, secondo la definizione, l'analiticità in \overline(D) implica l'analiticità di una funzione in qualche area B contenente D~(B\sconvolto\overline(D)), mentre C sarà un contorno interno in B .

2. Integrali su varie curve che giacciono in una regione di analisi funzionale semplicemente connessa e che collegano due punti di questa regione sono uguali tra loro, cioè \int\limits_(l_1)f(z)dz= \int\limits_(l_2)f(z)dz, dove l_1 e l_2 sono curve arbitrarie che collegano i punti z_1 e z_2 (Fig. 2.46).

Per dimostrarlo basta considerare il contorno C , costituito dalla curva l_1 (dal punto z_1 al punto z_2 ) e dalla curva l_2 (dal punto z_2 al punto z_1 ). La proprietà può essere formulata come segue. L'integrale di una funzione analitica non dipende dalla forma della curva di integrazione che collega due punti della regione di analiticità della funzione e non esce da questa regione.

Ciò giustifica l'affermazione 2.25 data sopra sulle proprietà dell'integrale \int\limits_(z_0)^(z)f(\xi)d\xi e sull'esistenza di una funzione analitica antiderivativa.

Teorema di Cauchy per un contorno complesso

Teorema 2.2 (Teorema di Cauchy per un contorno complesso). Se la funzione f(z) è analitica in una regione a connessione multipla delimitata da un contorno complesso, e su questo contorno, l'integrale sul confine della regione della funzione è uguale a zero, cioè se C è un contorno complesso - il confine della regione, quindi la formula (2.54).

Contorno complesso C per (n+1) - l'area connessa è costituita da contorno esterno \Gamma e interno - C_i,~i=1,2,\lpunti,n; i contorni non si intersecano a coppie, il bypass del confine è positivo (in Fig. 2.47, n=3).

Per dimostrare il Teorema 2.2, è sufficiente tracciare dei tagli nel dominio (linea tratteggiata in Fig. 2.47) in modo da ottenere due domini semplicemente connessi e utilizzare il Teorema 2.1.

Conseguenze dal Teorema 2.2

1. Nelle condizioni del Teorema 2.2, l'integrale sul contorno esterno è uguale alla somma degli integrali su quelli interni; bypass su tutti i contorni in una direzione (in Fig. 2.48, n=2):

\oint\limits_(\Gamma)f(z)\,dz= \sum_(k=1)^(n) \oint\limits_(C_k)f(z)\,dz\,.

2. Se f(z) è analitica in una regione D semplicemente connessa e sul confine della regione, con la possibile eccezione del punto a di questa regione, allora gli integrali su varie curve chiuse che giacciono nella regione D e vincolate le regioni contenenti il ​​punto a sono uguali tra loro (Fig. 2.49):

\oint\limits_(C_k)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_m)f(z)\,dz\,.

La dimostrazione è ovvia, poiché ciascuno di tali contorni può essere considerato come il confine interno di un dominio doppiamente connesso il cui confine esterno è il confine del dominio D . Secondo la formula (2.55), per n=1 tale integrale è uguale all'integrale sul confine D .

Il confronto delle formulazioni del Teorema 2.2 e del Corollario 1 del Teorema 2.1 ci permette di fare una generalizzazione, che scriviamo nella forma della seguente asserzione.

Affermazione 2.27. Se f(z) è analitica in D , allora , dove C è il confine del dominio D (contorno semplice o complesso).

Formula integrale di Cauchy

Nel teorema successivo, a differenza dei due precedenti, si considera l'integrale di una funzione che, non essendo analitica nella regione delimitata dal profilo di integrazione, ha una forma particolare.

Teorema 2.3. Se la funzione f(z) è analitica nel dominio D e sul suo confine C , allora per ogni punto interno a del dominio (a\in D) l'uguaglianza

f(a)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz\,.

La regione D può essere semplicemente collegata o moltiplicata e il confine della regione può essere un contorno semplice o complesso.

La dimostrazione per il caso di un dominio semplicemente connesso si basa sul risultato del Teorema 2.1, e per un dominio multicollegato si riduce al caso di domini semplicemente connessi (come nella dimostrazione del Teorema 2.2) effettuando tagli che fanno non passare per il punto a .

Si noti che il punto a non appartiene al confine della regione e quindi l'integrando è continuo su C e l'integrale esiste.

Il teorema è di grande interesse applicato, vale a dire, la formula (2.57) risolve il cosiddetto problema del valore al contorno della teoria delle funzioni: i valori di una funzione sul confine del dominio vengono utilizzati per determinarne il valore in qualsiasi punto interno.

Osservazione 2.11. Nelle condizioni del teorema, l'integrale \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-a)\,d\xi definisce una funzione analitica in qualsiasi punto z che non appartiene al contorno C , e nei punti della regione finita D , delimitata dal contorno, è uguale a f(z) (secondo la formula (2.57)), e fuori \overline(D) è uguale a zero per ragioni dei teoremi di Cauchy. Questo integrale, chiamato integrale di Cauchy, è un caso speciale dell'integrale di tipo Cauchy (2.48). Qui il contorno è chiuso, in contrasto con quello arbitrario in (2.48), e la funzione f(z) è analitica, in contrasto con quella continua su l in (2.48). Per l'integrale di Cauchy, quindi, vale l'asserzione 2.26, formulata per l'integrale di tipo Cauchy, sull'esistenza delle derivate. Sulla base di ciò, si può formulare la seguente affermazione.

Dichiarazione 2.28

1. Una funzione analitica in qualsiasi punto dell'analiticità può essere scritta come integrale

f(z)= \frac(1)(2\pi i) \oint\limits_(C)\frac(f(\xi))(\xi-z)\,d\xi,\quad z\in D \,.

2. Una funzione analitica ha derivate di qualsiasi ordine per cui la formula

f^((n))(z)= \frac(n{2\pi i} \oint\limits_{C}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\,d\xi\,. !}

La formula (2.59) fornisce una rappresentazione integrale delle derivate di una funzione analitica.

Calcolo degli integrali su un anello chiuso

Considereremo integrali della forma \oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz, dove la funzione \varphi(z) è analitica in D e \psi(z) è un polinomio che non ha zeri sul contorno C . Per calcolare gli integrali si utilizzano i teoremi della lezione precedente ei loro corollari.

Regola 2.6. Quando si calcolano gli integrali della forma \oint\limits_(C)f(z)\,dz si possono distinguere quattro casi a seconda della natura (molteplicità) degli zeri del polinomio \psi(z) e della loro posizione rispetto al contorno C.

1. Non ci sono zeri del polinomio \psi(z) nella regione D. Quindi f(z)= \frac(\varphi(z))(\psi(z)) la funzione è analitica e, applicando il teorema principale di Cauchy, si ha il risultato \oint\limits_(C)f(z)\,dz=0.

2. Nella regione D c'è uno zero semplice z=a del polinomio \psi(z) . Quindi scriviamo la frazione come \frac(f(z))(z-a) , dove f(z) è una funzione analitica in \overline(D) . Applicando la formula integrale, otteniamo il risultato:

\oint\limits_(C)\frac(\varphi(z))(\psi(z))\,dz= \oint\limits_(C)\frac(f(z))(z-a)\,dz= 2 \pi i\cpunto f(a).

3. Nella regione D c'è uno zero multiplo z=a del polinomio \psi(z) (di molteplicità n ). Quindi scriviamo la frazione nella forma \frac(f(z))((z-a)^n), dove f(z) è una funzione analitica in \overline(D) . Applicando la formula (2.59), otteniamo il risultato

\oint\limits_(C)\frac(f(z))((z-a)^n)\,dz= \frac(2\pi i)((n-1)f^{(n-1)}(a). !}

4. Nella regione D ci sono due zeri del polinomio \psi(z)\due punti\,z_1=a e z_2=b . Quindi, usando il Corollario 1 del Teorema 2.2, scriviamo l'integrale nella forma

\oint\limits_(C)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_1)f(z)\,dz+ \oint\limits_(C_2) f(z)\,dz\,

dove C_1 e C_2 sono confini di intorni non intersecanti dei punti z_1 e z_2 . Per ciascuno degli integrali ottenuti si effettuano ulteriori calcoli secondo i paragrafi 2 e 3. Ovviamente si possono considerare anche i casi di un numero di zeri maggiore \psi(z)

Si consideri una regione doppiamente connessa, uno dei quali è il contorno C , l'altro è il cerchio |z-a|=R . Per il Corollario 2 del Teorema 2.2 (vedi (2.56)) abbiamo

\oint\limits_(C)\frac(dz)(z-a)= \oint\limits_(|z-a|=R)\frac(dz)(z-a)\,.

Tenendo conto del risultato della risoluzione dell'Esempio 2.84 (formula (2.52)), otteniamo la risposta \oint\limits_(C) \frac(dz)(z-a)=2\pi i.

Si noti che la soluzione può essere ottenuta applicando la formula integrale di Cauchy con f(z)=1 . In particolare, otteniamo \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2\pi i, poiché il contorno C gira una volta attorno al punto z=0. Se il contorno C gira intorno al punto z=0 k volte in direzione positiva (k>0) o negativa (k<0) , то \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)=2k\pi i.

Esempio 2.88. Calcolare \oint\limits_(l)\frac(dz)(z), dove l è una curva che collega i punti 1 e z , girando una volta attorno all'origine.

▼ Soluzione

L'integrando è continuo sulla curva - l'integrale esiste. Per il calcolo utilizziamo i risultati dell'esempio precedente e dell'esempio 2.85. Per fare ciò, considera un circuito chiuso, collegando, ad esempio, il punto A con il punto 1 (Fig. 2.50). Il percorso di integrazione dal punto 1 al punto z attraverso il punto A può ora essere rappresentato come costituito da due curve: un contorno chiuso C (curva BDEFAB ) e una curva l_0 che collega i punti 1 e z attraverso il punto A\due punti

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \oint\limits_(C)\frac(dz)(z)+ \oint\limits_(l_0) \frac(dz)(z)\,.

Utilizzando i risultati degli Esempi 2.85 e 2.87, otteniamo la risposta:

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2\pi i\,.

Senza modificare l'immagine geometrica, possiamo considerare il caso in cui la curva gira attorno all'origine n volte. Ottieni il risultato

\oint\limits_(l)\frac(dz)(z)= \int\limits_(1)^(z)\frac(1)(z)=\ln z+2n\pi i\,.

L'espressione risultante definisce una funzione multivalore \nomeoperatore(Ln)z= \int\limiti_(1)^(z)\frac(dz)(z), il percorso di integrazione non passa per l'origine. La scelta di un ramo di un'espressione multivalore è determinata impostando il valore della funzione a un certo punto.

Esempio 2.90. Calcolare nei seguenti casi di impostazione del contorno C\colon a) |z-2-i|=2 ; b) |z+2i|=1 .

▼ Soluzione

Troviamo gli zeri del denominatore - i punti singolari dell'integrando. Questi sono i punti z_1=0,~ z_(2,3)=\pm4i. Successivamente, è necessario determinare la posizione dei punti rispetto al contorno di integrazione. In entrambi i casi, nessuno dei punti è compreso nell'area delimitata dal contorno. Questo può essere verificato utilizzando il disegno. Entrambi i contorni sono cerchi, il centro del primo è z_0=2+i e il raggio è R=2 ; centro del secondo z_0=-2i e R=1 . È possibile determinare se un punto appartiene a un'area in modo diverso, ovvero determinarne la distanza dal centro del cerchio e confrontarla con il valore del raggio. Ad esempio, per il punto z_2=4i questa distanza è uguale a |4i-2-i|=|3i-2|=\sqrt(13), che è maggiore del raggio (\sqrt(13)>2) , quindi z_2=4i non appartiene al cerchio |z-2-i|<2 . В обоих случаях подынтегральная функция является, аналитической в соответствующих кругах. Следовательно, согласно теореме Коши (пункт 1 правил 2.6), интеграл равен нулю. Заметим, что заданный интеграл равен нулю и для любого другого контура, ограничивающего область, в которую не входят ни одна из особых точек - нулей знаменателя.

Esempio 2.91. Calcolare \oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz nei seguenti casi di impostazione del contorno C\colon a) |z|=2 ; b) |z+1+i|=2 .

▼ Soluzione

Argomentando come nell'esempio precedente, troviamo che in entrambi i casi solo uno dei punti singolari z_1=0 si trova all'interno dei cerchi. Pertanto, applicando la clausola 2 delle regole 2.6 (formula integrale di Cauchy), scriviamo l'integrando come frazione \frac(1)(z)\cdot \frac(\sin z)(z^2+16) I contorni di integrazione sono cerchi, come sopra, e nel caso "a" il centro è nel punto z_0=-4i,~ R =2 , nel caso di "b" - nel punto z_0=1-3i,~R=2 .n In entrambi i casi, un punto z_0=-4i cade all'interno dei cerchi corrispondenti. Applicando la clausola 2 delle regole 2.6, scriviamo l'integrando nella forma \frac(1)(z+4i)\frac(\sin z)(z(z-4i)), dove il numeratore f(z)=\frac(\sin z)(z(z-4i))è una funzione analitica nei domini in esame. Applicando la formula integrale, otteniamo la risposta:

\oint\limits_(C)\frac(\sin z)(z^3+16z)\,dz= \left.(2\pi i\cdot \frac(\sin z)(z(z-4i)) )\right|_(z=-4i)= 2\pi i\cdot \frac(-\sin4i)(-32)= \frac(\pi i\cdot i \nomeoperatore(sh)1)(16)= -\frac(\pi \nomeoperatore(sh)1)(16)\,.

Esempio 2.93. Calcola integrale \oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2)) nei seguenti casi di assegnazione del profilo: a) |z+i|=1 ; b) |z+2+i|=2 .

▼ Soluzione

Trova i punti singolari dell'integrando - zeri del denominatore z_1=i,~z_2=-2 . Determiniamo l'appartenenza dei punti alle aree corrispondenti. Nel caso "a" nel cerchio |z+i|<1 не входит ни одна точка. Следовательно, интеграл в этом случае равен нулю.

Nel caso "b" nel cerchio |z+2+i|<2 радиуса 2 с центром в точке z_0=-2-i входит одна точка: z=-2 . Записываем дробь в виде \frac(1)(z+2)\frac(e^z)((z-i)^2) a) Al cerchio |z-i|<2 попадает точка z=i . Записываем функцию \frac(1)((z-i)^2)\frac(e^z)(z+2) e applicare la clausola 3 delle regole 2.6 per m=2 e a=i . Calcoliamo l'integrale:

\oint\limits_(C)\frac(e^z\,dz)((z-i)^2(z+2))= \left.(2\pi i \left(\frac(e^z)(z+ 2)\destra)")\destra|_(z=i)= \sinistra.(2\pi i\cdot \frac(e^z(z+2)-e^z)((z+2)^ 2))\right|_(z=i)= \left.(2\pi i\cdot \frac(e^z(1+z))((z+2)^2))\right|_( z=i)= \frac(2\pi i(1+i))((2+i)^2)\,e^(i).

b) Al cerchio |z+2-i|<3 входят обе точки z_1=i,~z_2=-2 . Решаем в соответствии с п. 4 правил 2.6. Записываем интеграл в виде суммы двух интегралов:

\oint\limits_(C)f(z)\,dz= \oint\limits_(C_1)f(z)\,dz+ \oint\limits_(C_2) f(z)\,dz\,.