Esistono molti modi per trovare l'area di un trapezio. Solitamente un tutor di matematica conosce diversi metodi per calcolarlo, vediamoli più nel dettaglio:
1) , dove AD e BC sono le basi e BH è l'altezza del trapezio. Dimostrazione: traccia la diagonale BD ed esprimi le aree dei triangoli ABD e CDB attraverso il semiprodotto delle loro basi e delle loro altezze:

, dove DP è l'altezza esterna in

Sommiamo queste uguaglianze termine per termine e tenendo conto che le altezze BH e DP sono uguali, otteniamo:

Mettiamolo fuori parentesi

Q.E.D.

Corollario alla formula per l'area di un trapezio:
Poiché la semisomma delle basi è uguale a MN, quindi la linea mediana del trapezio

2) Applicazione della formula generale per l'area di un quadrilatero.
L'area di un quadrilatero è pari alla metà del prodotto delle diagonali moltiplicato per il seno dell'angolo compreso tra loro
Per dimostrarlo è sufficiente dividere il trapezio in 4 triangoli, esprimere l'area di ciascuno in termini di “metà del prodotto delle diagonali per il seno dell'angolo compreso tra loro” (preso come angolo, sommare il risultato espressioni, toglile dalla parentesi e fattorizza questa parentesi utilizzando il metodo di raggruppamento per ottenere la sua uguaglianza con l'espressione Quindi

3) Metodo dello spostamento diagonale
Questo è il mio nome. Un tutor di matematica non incontrerà un titolo del genere nei libri di testo scolastici. Una descrizione della tecnica può essere trovata solo in libri di testo aggiuntivi come esempio di risoluzione di un problema. Vorrei sottolineare che la maggior parte dei fatti interessanti e utili sulla planimetria vengono rivelati agli studenti dai tutor di matematica nel processo di svolgimento del lavoro pratico. Questo è estremamente non ottimale, perché lo studente deve isolarli in teoremi separati e chiamarli “grandi nomi”. Uno di questi è lo “spostamento diagonale”. Di cosa si tratta? Tracciamo una linea parallela ad AC passante per il vertice B fino ad intersecare la base inferiore nel punto E. In questo caso il quadrilatero EBCA sarà un parallelogramma (per definizione) e quindi BC=EA ed EB=AC. La prima uguaglianza è importante per noi adesso. Abbiamo:

Nota che il triangolo BED, la cui area è uguale all'area del trapezio, ha molte altre proprietà notevoli:
1) La sua area è uguale all'area del trapezio
2) Il suo isoscele avviene contemporaneamente agli isoscele del trapezio stesso
3) Il suo angolo superiore al vertice B è uguale all'angolo tra le diagonali del trapezio (che viene utilizzato molto spesso nei problemi)
4) La sua mediana BK è uguale alla distanza QS tra i punti medi delle basi del trapezio. Recentemente ho riscontrato l'uso di questa proprietà durante la preparazione di uno studente di Meccanica e Matematica all'Università statale di Mosca utilizzando il libro di testo di Tkachuk, versione del 1973 (il problema è riportato in fondo alla pagina).

Tecniche speciali per un insegnante di matematica.

A volte propongo problemi utilizzando un modo molto complicato per trovare l'area di un trapezio. La classifico come una tecnica speciale perché in pratica il tutor le usa estremamente raramente. Se hai bisogno di prepararti per l’Esame di Stato Unificato di matematica solo nella Parte B, non sei obbligato a leggerli. Per gli altri ti dirò di più. Si scopre che l'area del trapezio è due volte l'area del triangolo con i vertici alle estremità di un lato e al centro dell'altro, cioè il triangolo ABS nella figura:
Dimostrazione: traccia le altezze SM e SN nei triangoli BCS e ADS ed esprimi la somma delle aree di questi triangoli:

Poiché il punto S è il punto medio di CD, allora (dimostralo tu stesso) Trova la somma delle aree dei triangoli:

Poiché questa somma era pari alla metà dell'area del trapezio, quindi la sua seconda metà. Eccetera.

Includerei nella raccolta di tecniche speciali del tutor la forma di calcolo dell'area di un trapezio isoscele lungo i suoi lati: dove p è il semiperimetro del trapezio. Non darò prove. Altrimenti, il tuo tutor di matematica rimarrà senza lavoro :). Vieni in classe!

Problemi sull'area di un trapezio:

Nota dell'insegnante di matematica: L'elenco seguente non è un accompagnamento metodologico all'argomento, è solo una piccola selezione di compiti interessanti basati sulle tecniche discusse sopra.

1) La base inferiore di un trapezio isoscele è 13 e quella superiore è 5. Trova l'area del trapezio se la sua diagonale è perpendicolare al lato.
2) Trova l'area di un trapezio se le sue basi sono 2 cm e 5 cm e i suoi lati sono 2 cm e 3 cm.
3) In un trapezio isoscele, la base maggiore è 11, il lato è 5 e la diagonale è Trova l'area del trapezio.
4) La diagonale di un trapezio isoscele è 5 e la linea mediana è 4. Trova l'area.
5) In un trapezio isoscele le basi sono 12 e 20 e le diagonali sono tra loro perpendicolari. Calcola l'area di un trapezio
6) La diagonale di un trapezio isoscele forma un angolo con la sua base inferiore. Trova l'area del trapezio se la sua altezza è 6 cm.
7) L'area del trapezio è 20 e uno dei suoi lati è 4 cm Trova la distanza dal centro del lato opposto.
8) La diagonale di un trapezio isoscele lo divide in triangoli con aree di 6 e 14. Trova l'altezza se il lato laterale è 4.
9) In un trapezio, le diagonali sono uguali a 3 e 5 e il segmento che collega i punti medi delle basi è uguale a 2. Trova l'area del trapezio (Mekhmat MSU, 1970).

Non ho scelto i problemi più difficili (non abbiate paura dell'ingegneria meccanica!) con l'aspettativa di poterli risolvere in modo indipendente. Decidi per la tua salute! Se hai bisogno di preparazione per l'esame di stato unificato di matematica, senza la partecipazione a questo processo della formula per l'area di un trapezio, potrebbero sorgere seri problemi anche con il problema B6 e ancor di più con C4. Non aprire l'argomento e in caso di difficoltà chiedere aiuto. Un tutor di matematica è sempre felice di aiutarti.

Kolpakov A.N.
Tutor di matematica a Mosca, preparazione all'Esame di Stato Unificato a Strogino.

La pratica dell'esame di stato unificato e dell'esame di stato dell'anno scorso mostra che i problemi di geometria causano difficoltà a molti scolari. Puoi affrontarli facilmente se memorizzi tutte le formule necessarie e ti eserciti a risolvere i problemi.

In questo articolo vedrai le formule per trovare l'area di un trapezio, nonché esempi di problemi con soluzioni. Potresti imbatterti negli stessi nei KIM durante gli esami di certificazione o alle Olimpiadi. Pertanto, trattali con attenzione.

Cosa devi sapere sul trapezio?

Per cominciare, ricordiamocelo trapezio si chiama quadrilatero in cui due lati opposti, detti anche basi, sono paralleli, e gli altri due no.

In un trapezio l'altezza (perpendicolare alla base) può anche essere abbassata. Viene tracciata la linea di mezzo: questa è una linea retta parallela alle basi e uguale alla metà della loro somma. Così come le diagonali che possono intersecarsi formando angoli acuti e ottusi. O, in alcuni casi, ad angolo retto. Inoltre, se il trapezio è isoscele, in esso è inscritto un cerchio. E descrivi un cerchio attorno ad esso.

Formule per l'area del trapezio

Per prima cosa, diamo un'occhiata alle formule standard per trovare l'area di un trapezio. Di seguito considereremo i modi per calcolare l'area degli isoscele e dei trapezi curvilinei.

Quindi, immagina di avere un trapezio con basi a e b, in cui l'altezza h è abbassata alla base maggiore. Calcolare l'area di una figura in questo caso è facile come sgusciare le pere. Devi solo dividere la somma delle lunghezze delle basi per due e moltiplicare il risultato per l'altezza: S = 1/2(a+b)*h.

Prendiamo un altro caso: supponiamo che in un trapezio, oltre all'altezza, ci sia una linea mediana m. Conosciamo la formula per trovare la lunghezza della linea mediana: m = 1/2(a + b). Pertanto, possiamo giustamente semplificare la formula per l'area di un trapezio nella seguente forma: S = m* h. In altre parole, per trovare l'area di un trapezio, devi moltiplicare la linea centrale per l'altezza.

Consideriamo un'altra opzione: il trapezio contiene le diagonali d 1 e d 2, che non si intersecano ad angolo retto α. Per calcolare l'area di un tale trapezio, è necessario dividere il prodotto delle diagonali per due e moltiplicare il risultato per il peccato dell'angolo tra di loro: S= 1/2d 1 d 2 *senα.

Consideriamo ora la formula per trovare l'area di un trapezio se non si sa altro che la lunghezza di tutti i suoi lati: a, b, c e d. Questa è una formula macchinosa e complessa, ma ti sarà utile ricordarla per ogni evenienza: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

A proposito, gli esempi sopra riportati valgono anche nel caso in cui sia necessaria la formula per l'area di un trapezio rettangolare. Questo è un trapezio, il cui lato confina con le basi ad angolo retto.

Trapezio isoscele

Un trapezio i cui lati sono uguali si dice isoscele. Considereremo diverse opzioni per la formula per l'area di un trapezio isoscele.

Prima opzione: nel caso in cui un cerchio di raggio r sia inscritto in un trapezio isoscele e il lato e la base maggiore formino un angolo acuto α. Un cerchio può essere inscritto in un trapezio purché la somma delle lunghezze delle sue basi sia uguale alla somma delle lunghezze dei lati.

L'area di un trapezio isoscele si calcola come segue: moltiplica il quadrato del raggio del cerchio inscritto per quattro e dividi il tutto per sinα: S = 4r 2 /senα. Un'altra formula dell'area è un caso speciale per l'opzione quando l'angolo tra la base grande e il lato è 30 0: S = 8r2.

Seconda opzione: questa volta prendiamo un trapezio isoscele, nel quale sono disegnate in aggiunta le diagonali d 1 e d 2, nonché l'altezza h. Se le diagonali di un trapezio sono tra loro perpendicolari, l'altezza è la metà della somma delle basi: h = 1/2(a + b). Sapendo questo, è facile trasformare la formula che ti è già familiare per l'area di un trapezio in questa forma: S = h2.

Formula per l'area di un trapezio curvo

Cominciamo scoprendo cos'è un trapezio curvo. Immagina un asse delle coordinate e un grafico di una funzione continua e non negativa f che non cambia segno all'interno di un dato segmento sull'asse x. Un trapezio curvilineo è formato dal grafico della funzione y = f(x) - in alto, l'asse x è in basso (segmento), e sui lati - linee rette tracciate tra i punti a e b e il grafico di la funzione.

È impossibile calcolare l'area di una figura così non standard utilizzando i metodi sopra indicati. Qui è necessario applicare l'analisi matematica e utilizzare l'integrale. Vale a dire: la formula di Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). In questa formula, F è l'antiderivativa della nostra funzione sul segmento selezionato. E l'area di un trapezio curvilineo corrisponde all'incremento della primitiva su un dato segmento.

Problemi di esempio

Per rendere tutte queste formule più facili da comprendere nella tua testa, ecco alcuni esempi di problemi per trovare l'area di un trapezio. Sarebbe meglio se prima provassi a risolvere i problemi da solo e solo allora confrontassi la risposta che riceverai con la soluzione già pronta.

Compito n. 1: Dato un trapezio. La sua base più grande è di 11 cm, quella più piccola è di 4 cm. Il trapezio ha le diagonali, una lunga 12 cm, la seconda 9 cm.

Soluzione: costruire un trapezio AMRS. Traccia una linea retta РХ passante per il vertice P in modo che sia parallela alla diagonale MC e intersechi la retta AC nel punto X. Otterrai un triangolo APХ.

Considereremo due figure ottenute come risultato di queste manipolazioni: triangolo APX e parallelogramma CMRX.

Grazie al parallelogramma apprendiamo che PX = MC = 12 cm e CX = MR = 4 cm. Da dove possiamo calcolare il lato AX del triangolo ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Possiamo anche dimostrare che il triangolo APX è rettangolo (per fare ciò applichiamo il teorema di Pitagora - AX 2 = AP 2 + PX 2). E calcola la sua area: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Successivamente dovrai dimostrare che i triangoli AMP e PCX hanno la stessa area. La base sarà l'uguaglianza delle parti MR e CX (già dimostrata sopra). E anche le altezze che abbassi su questi lati sono uguali all'altezza del trapezio AMRS.

Tutto ciò ti permetterà di dire che S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Compito n.2:È dato il trapezio KRMS. Sui suoi lati laterali ci sono i punti O ed E, mentre OE e KS sono paralleli. È anche noto che le aree dei trapezi ORME e OKSE sono nel rapporto 1:5. RM = a e KS = b. Devi trovare OE.

Soluzione: traccia una linea parallela a RK passante per il punto M, e designa il punto della sua intersezione con OE come T. A è il punto di intersezione di una linea tracciata attraverso il punto E parallela a RK con la base KS.

Introduciamo un'altra notazione: OE = x. E anche l'altezza h 1 per il triangolo TME e l'altezza h 2 per il triangolo AEC (puoi dimostrare indipendentemente la somiglianza di questi triangoli).

Supponiamo che b > a. Le aree dei trapezi ORME e OKSE sono nel rapporto 1:5, il che ci dà il diritto di creare la seguente equazione: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Trasformiamo e otteniamo: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Poiché i triangoli TME e AEC sono simili, abbiamo h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Combiniamo entrambe le voci e otteniamo: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Pertanto, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Conclusione

La geometria non è la scienza più semplice, ma puoi sicuramente affrontare le domande dell'esame. Basta mostrare un po' di perseveranza nella preparazione. E, naturalmente, ricorda tutte le formule necessarie.

Abbiamo provato a raccogliere tutte le formule per calcolare l'area di un trapezio in un unico posto in modo che tu possa usarle quando ti prepari per gli esami e ripassi il materiale.

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Istruzioni

Per rendere più comprensibili entrambi i metodi, possiamo fare un paio di esempi.

Esempio 1: la lunghezza della linea mediana del trapezio è 10 cm, la sua area è 100 cm². Per trovare l'altezza di questo trapezio, devi fare:

h = 100/10 = 10 cm

Risposta: l'altezza di questo trapezio è 10 cm

Esempio 2: l'area del trapezio è 100 cm², le lunghezze delle basi sono 8 cm e 12 cm Per trovare l'altezza di questo trapezio è necessario eseguire la seguente azione:

h = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 cm

Risposta: l'altezza di questo trapezio è 20 cm

Nota

Esistono diversi tipi di trapezi:
Un trapezio isoscele è un trapezio i cui lati sono uguali tra loro.
Un trapezio rettangolo è un trapezio con uno dei suoi angoli interni che misura 90 gradi.
Vale la pena notare che in un trapezio rettangolare l'altezza coincide con la lunghezza del lato ad angolo retto.
Puoi descrivere un cerchio attorno a un trapezio o inserirlo all'interno di una determinata figura. Una circonferenza può essere inscritta solo se la somma delle sue basi è uguale alla somma dei suoi lati opposti. Una circonferenza può essere descritta solo attorno ad un trapezio isoscele.

Consigli utili

Un parallelogramma è un caso speciale di trapezio, perché la definizione di trapezio non contraddice in alcun modo la definizione di parallelogramma. Un parallelogramma è un quadrilatero i cui lati opposti sono paralleli tra loro. Per un trapezio la definizione si riferisce solo a una coppia dei suoi lati. Pertanto ogni parallelogramma è anche un trapezio. L’affermazione inversa non è vera.

Fonti:

• come trovare l'area di una formula trapezio

Suggerimento 2: come trovare l'altezza di un trapezio se si conosce l'area

Un trapezio è un quadrilatero in cui due dei quattro lati sono paralleli tra loro. I lati paralleli sono le basi di quello dato, gli altri due sono i lati laterali di quello dato. trapezi. Trovare altezza trapezi, se noto piazza, sarà molto facile.

Istruzioni

Devi capire come calcolare piazza originale trapezi. Esistono diverse formule per questo, a seconda dei dati iniziali: S = ((a+b)*h)/2, dove a e b sono basi trapezi, e h è la sua altezza (Height trapezi- perpendicolare, ribassato da una base trapezi ad un altro);
S = m*h, dove m è la linea trapezi(La linea mediana è un segmento con basi trapezi e collega i punti medi dei suoi lati).

Per maggiore chiarezza si possono considerare problemi simili: Esempio 1: Dato un trapezio con piazza 68 cm², la cui linea mediana è 8 cm, devi trovare altezza dato trapezi. Per risolvere questo problema, è necessario utilizzare la formula precedentemente derivata:
h = 68/8 = 8,5 cm Risposta: altezza di questo trapeziè 8,5 cmEsempio 2: Sia y trapezi piazza equivale a 120 cm², la lunghezza delle basi di questo trapezi Rispettivamente 8 cm e 12 cm, devi trovare altezza Questo trapezi. Per fare ciò, è necessario applicare una delle formule derivate:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cm Risposta: data l'altezza trapezi pari a 12 cm

Video sull'argomento

Nota

Qualsiasi trapezio ha una serie di proprietà:

La linea mediana di un trapezio è pari alla metà della somma delle sue basi;

Il segmento che congiunge le diagonali di un trapezio è pari alla metà della differenza delle sue basi;

Se si traccia una linea retta attraverso i punti medi delle basi, allora intersecherà il punto di intersezione delle diagonali del trapezio;

Un cerchio può essere inscritto in un trapezio se la somma delle basi del trapezio è uguale alla somma dei suoi lati.

Utilizzare queste proprietà durante la risoluzione dei problemi.

Suggerimento 3: come trovare l'area di un trapezio se si conoscono le basi

Per definizione geometrica, un trapezio è un quadrilatero con una sola coppia di lati paralleli. Questi lati sono suoi motivi. Distanza tra motivi chiamato altezza trapezi. Trovare piazza trapezi possibile utilizzando formule geometriche.

Istruzioni

Misurare le basi e trapezi ABCD. Di solito vengono assegnati nei compiti. Consideriamo in questo esempio il problema della base AD (a) trapezi sarà pari a 10 cm, base BC (b) - 6 cm, altezza trapezi BK (h) - 8 cm. Usa la geometria per trovare l'area trapezi, se si conoscono le lunghezze delle sue basi e le altezze - S= 1/2 (a+b)*h, dove: - a - la dimensione della base AD trapezi ABCD, - b - il valore della base BC, - h - il valore dell'altezza BK.

Il trapezio dai molti lati... Può essere arbitrario, isoscele o rettangolare. E in ogni caso devi sapere come trovare l'area di un trapezio. Naturalmente, il modo più semplice è ricordare le formule di base. Ma a volte è più semplice usarne uno derivato tenendo conto di tutte le caratteristiche di una particolare figura geometrica.

Qualche parola sul trapezio e sui suoi elementi

Qualsiasi quadrilatero i cui due lati siano paralleli può essere chiamato trapezio. In generale non sono uguali e si chiamano basi. Quello più grande è quello inferiore e l'altro è quello superiore.

Gli altri due lati risultano laterali. In un trapezio arbitrario hanno lunghezze diverse. Se sono uguali la figura diventa isoscele.

Se all'improvviso l'angolo tra qualsiasi lato e la base risulta essere uguale a 90 gradi, il trapezio è rettangolare.

Tutte queste funzionalità possono aiutare a risolvere il problema di come trovare l'area di un trapezio.

Tra gli elementi della figura che possono risultare indispensabili nella risoluzione dei problemi possiamo evidenziare i seguenti:

• altezza, cioè un segmento perpendicolare ad entrambe le basi;
• la linea mediana, che ha alle sue estremità i punti medi dei lati laterali.

Quale formula si può usare per calcolare l'area se si conoscono base e altezza?

Questa espressione è data come elementare perché molto spesso si possono riconoscere queste quantità anche quando non sono date esplicitamente. Quindi, per capire come trovare l'area di un trapezio, dovrai sommare entrambe le basi e dividerle per due. Quindi moltiplicare il valore risultante per il valore dell'altezza.

Se indichiamo le basi come 1 e a 2 e l'altezza come n, la formula per l'area sarà simile a questa:

S = ((a 1 + a 2)/2)*n.

La formula che calcola l'area se vengono fornite l'altezza e la linea centrale

Se si osserva attentamente la formula precedente, è facile notare che contiene chiaramente il valore della linea mediana. Cioè la somma delle basi divisa per due. Lasciamo che la linea di mezzo sia designata dalla lettera l, quindi la formula per l'area diventa:

S = l*n.

Capacità di trovare l'area utilizzando le diagonali

Questo metodo aiuterà se l'angolo formato da loro è noto. Supponiamo che le diagonali siano designate dalle lettere d 1 e d 2 e che gli angoli tra loro siano α e β. Quindi la formula per trovare l'area di un trapezio verrà scritta come segue:

S = ((d 1 * d 2)/2) * sin α.

Puoi facilmente sostituire α con β in questa espressione. Il risultato non cambierà.

Come scoprire l'area se si conoscono tutti i lati della figura?

Ci sono anche situazioni in cui si conoscono esattamente i lati di questa figura. Questa formula è scomoda e difficile da ricordare. Ma probabilmente. Lascia che i lati abbiano la designazione: a 1 e a 2, la base a 1 è maggiore di a 2. Quindi la formula dell'area assumerà la seguente forma:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (in 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + in 1 2 - in 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ]2).

Metodi per calcolare l'area di un trapezio isoscele

Il primo è dovuto al fatto che in esso è possibile inscrivere un cerchio. E, conoscendo il suo raggio (è indicato con la lettera r), così come l'angolo alla base - γ, puoi utilizzare la seguente formula:

S = (4 * r 2) / sin γ.

L'ultima formula generale, che si basa sulla conoscenza di tutti i lati della figura, sarà notevolmente semplificata poiché i lati hanno lo stesso significato:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (in 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).

Metodi per calcolare l'area di un trapezio rettangolare

È chiaro che quanto sopra è adatto a qualsiasi figura. Ma a volte è utile conoscere una caratteristica di un simile trapezio. Sta nel fatto che la differenza tra i quadrati delle lunghezze delle diagonali è uguale alla differenza costituita dai quadrati delle basi.

Spesso si dimenticano le formule per il trapezio, mentre si ricordano le espressioni per le aree di un rettangolo e di un triangolo. Quindi puoi utilizzare un metodo semplice. Dividi il trapezio in due forme, se è rettangolare, o in tre. Uno sarà sicuramente un rettangolo e il secondo, o i restanti due, saranno triangoli. Dopo aver calcolato le aree di queste cifre, non resta che sommarle.

Questo è un modo abbastanza semplice per trovare l'area di un trapezio rettangolare.

Cosa succede se si conoscono le coordinate dei vertici del trapezio?

In questo caso, dovrai utilizzare un'espressione che ti consenta di determinare la distanza tra i punti. Può essere applicato tre volte: per individuare entrambe le basi e un'altezza. E poi applica semplicemente la prima formula, che è descritta un po' più in alto.

Per illustrare questo metodo si può fornire il seguente esempio. Dati i vertici con coordinate A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Devi scoprire l'area della figura.

Prima di trovare l'area del trapezio, devi calcolare le lunghezze delle basi dalle coordinate. Avrai bisogno della seguente formula:

lunghezza del segmento = √((differenza delle prime coordinate dei punti) 2 + (differenza delle seconde coordinate dei punti) 2 ).

La base superiore è designata AB, il che significa che la sua lunghezza sarà uguale a √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. Quella inferiore è CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

Ora devi disegnare l'altezza dall'alto alla base. Lascia che il suo inizio sia nel punto A. La fine del segmento sarà sulla base inferiore nel punto con le coordinate (5; 1), lascia che questo sia il punto H. La lunghezza del segmento AN sarà uguale a √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Non resta che sostituire i valori risultanti nella formula per l'area del trapezio:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Il problema è stato risolto senza unità di misura, perché non era specificata la scala della griglia di coordinate. Può essere un millimetro o un metro.

Problemi di esempio

N. 1. Condizione. L'angolo tra le diagonali di un trapezio qualunque è noto ed è pari a 30 gradi. La diagonale più piccola ha un valore di 3 dm e la seconda è 2 volte più grande. È necessario calcolare l'area del trapezio.

Soluzione. Per prima cosa devi scoprire la lunghezza della seconda diagonale, perché senza questa non sarà possibile calcolare la risposta. Non è difficile da calcolare, 3 * 2 = 6 (dm).

Ora devi utilizzare la formula appropriata per l'area:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Il problema è risolto.

Risposta: L'area del trapezio è 4,5 dm2.

N. 2. Condizione. Nel trapezio ABCD le basi sono i segmenti AD e BC. Il punto E è il centro del lato SD. Da essa si traccia una perpendicolare alla retta AB, la cui estremità è indicata dalla lettera H. È noto che le lunghezze AB ed EH sono rispettivamente pari a 5 e 4 cm. È necessario calcolare l'area di il trapezio.

Soluzione. Per prima cosa devi fare un disegno. Poiché il valore della perpendicolare è inferiore al lato verso cui è tracciata, il trapezio risulterà leggermente allungato verso l'alto. Quindi EH sarà all'interno della figura.

Per vedere chiaramente lo stato di avanzamento della risoluzione del problema, sarà necessario eseguire ulteriori costruzioni. Cioè, traccia una linea retta che sarà parallela al lato AB. I punti di intersezione di questa linea con AD sono P, e con la continuazione di BC sono X. La figura risultante VHRA è un parallelogramma. Inoltre la sua area è uguale a quella richiesta. Ciò è dovuto al fatto che i triangoli ottenuti durante la costruzione aggiuntiva sono uguali. Ciò consegue dall'uguaglianza del lato e di due angoli ad esso adiacenti, uno verticale, l'altro trasversale.

Puoi trovare l'area di un parallelogramma utilizzando una formula che contiene il prodotto del lato e l'altezza ribassata su di esso.

Pertanto, l'area del trapezio è 5 * 4 = 20 cm 2.

Risposta: S = 20 cm2.

N. 3. Condizione. Gli elementi di un trapezio isoscele hanno i seguenti valori: base inferiore - 14 cm, superiore - 4 cm, angolo acuto - 45º. Devi calcolarne l'area.

Soluzione. Sia designata la base minore BC. L'altezza ricavata dal punto B si chiamerà VH. Poiché l'angolo è 45º, il triangolo ABH sarà rettangolare e isoscele. Quindi AN=VN. Inoltre, AN è molto facile da trovare. È pari alla metà della differenza in basi. Cioè (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Le basi sono note, le altezze sono calcolate. Puoi usare la prima formula, discussa qui per un trapezio arbitrario.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).

Risposta: L'area richiesta è di 45 cm 2.

N. 4. Condizione. Esiste un trapezio arbitrario ABCD. I punti O ed E si prendono sui suoi lati laterali, in modo che OE sia parallelo alla base di AD. L'area del trapezio AOED è cinque volte più grande di quella dell'OVSE. Calcola il valore OE se le lunghezze delle basi sono note.

Soluzione. Dovrai tracciare due linee parallele AB: la prima passa per il punto C, la sua intersezione con OE è nel punto T; la seconda attraverso E e il punto di intersezione con AD sarà M.

Sia l'ignoto OE=x. L'altezza del trapezio più piccolo OVSE è n 1, quella più grande AOED è n 2.

Poiché le aree di questi due trapezi sono correlate da 1 a 5, possiamo scrivere la seguente uguaglianza:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n1 / n2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Le altezze e i lati dei triangoli sono proporzionali per costruzione. Pertanto possiamo scrivere un’altra uguaglianza:

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a ​​1 - x).

Nelle ultime due voci sul lato sinistro ci sono valori uguali, il che significa che possiamo scrivere che (x + a 1) / (5(x + a 2)) è uguale a (x - a 2) / (a ​​​​1-x).

Qui sono necessarie una serie di trasformazioni. Per prima cosa moltiplica trasversalmente. Appariranno delle parentesi per indicare la differenza dei quadrati, dopo aver applicato questa formula otterrai una breve equazione.

In esso è necessario aprire le parentesi e spostare tutti i termini con la "x" sconosciuta a sinistra, quindi estrarre la radice quadrata.

Risposta: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

In matematica si conoscono diversi tipi di quadrilateri: quadrato, rettangolo, rombo, parallelogramma. Tra questi c'è un trapezio, un tipo di quadrilatero convesso in cui due lati sono paralleli e gli altri due no. I lati paralleli opposti si chiamano basi, mentre gli altri due si chiamano lati laterali del trapezio. Il segmento che collega i punti medi dei lati si chiama linea mediana. Esistono diversi tipi di trapezi: isosceli, rettangolari, curvi. Per ogni tipo di trapezio esistono formule per trovare l'area.

Area del trapezio

Per trovare l'area di un trapezio, devi conoscere la lunghezza delle sue basi e l'altezza. L'altezza di un trapezio è un segmento perpendicolare alle basi. Sia a la base superiore, b la base inferiore e h l'altezza. Quindi puoi calcolare l'area S utilizzando la formula:

S = ½ * (a+b) * h

quelli. prendi la metà della somma delle basi moltiplicata per l'altezza.

Sarà anche possibile calcolare l'area del trapezio se si conoscono l'altezza e la linea centrale. Indichiamo la linea di mezzo - m. Poi

Risolviamo un problema più complicato: le lunghezze dei quattro lati del trapezio sono note: a, b, c, d. Quindi l'area verrà trovata utilizzando la formula:

Se si conoscono le lunghezze delle diagonali e l'angolo tra di esse, la ricerca nell'area viene effettuata come segue:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

dove d con indici 1 e 2 sono diagonali. In questa formula, nel calcolo viene indicato il seno dell'angolo.

Date le lunghezze note delle basi a e b e due angoli alla base inferiore, l'area si calcola come segue:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Area di un trapezio isoscele

Un trapezio isoscele è un caso speciale di trapezio. La sua differenza è che tale trapezio è un quadrilatero convesso con un asse di simmetria passante per i punti medi di due lati opposti. I suoi lati sono uguali.

Esistono diversi modi per trovare l'area di un trapezio isoscele.

• Attraverso le lunghezze di tre lati. In questo caso, le lunghezze dei lati coincideranno, quindi sono designate con un valore - c, e aeb - le lunghezze delle basi:

• Se si conoscono la lunghezza della base superiore, il lato e l'angolo alla base inferiore, l'area si calcola come segue:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

dove a è la base superiore, c è il lato.

• Se invece della base superiore si conosce la lunghezza di quella inferiore - b, l'area viene calcolata utilizzando la formula:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Se si conoscono due basi e l'angolo alla base inferiore, l'area si calcola attraverso la tangente dell'angolo:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

• L'area viene calcolata anche attraverso le diagonali e l'angolo tra loro. In questo caso, le diagonali hanno la stessa lunghezza, quindi denotiamo ciascuna con la lettera d senza pedici:

S = ½ * d2 * sin α

• Calcoliamo l'area del trapezio, conoscendo la lunghezza del lato, della linea centrale e dell'angolo alla base inferiore.

Sia c il lato laterale, m la linea mediana e a l'angolo, quindi:

S = m*c* sinα

A volte puoi inscrivere un cerchio in un trapezio equilatero, il cui raggio sarà r.

È noto che un cerchio può essere inscritto in qualsiasi trapezio se la somma delle lunghezze delle basi è uguale alla somma delle lunghezze dei suoi lati. Allora l'area si trova attraverso il raggio del cerchio inscritto e l'angolo alla base inferiore:

S = 4r2 / sinα

Lo stesso calcolo si effettua utilizzando il diametro D del cerchio inscritto (che tra l'altro coincide con l'altezza del trapezio):

Conoscendo la base e l'angolo, l'area di un trapezio isoscele si calcola come segue:

S = a * b / peccato α

(questa formula e le successive valgono solo per trapezi con cerchio inscritto).

Utilizzando le basi e il raggio del cerchio, l'area si trova come segue:

Se si conoscono solo le basi, l'area viene calcolata utilizzando la formula:

Attraverso le basi e la linea laterale, l'area del trapezio con il cerchio inscritto e attraverso le basi e la linea mediana - m si calcola come segue:

Area di un trapezio rettangolare

Un trapezio si dice rettangolo se uno dei suoi lati è perpendicolare alla base. In questo caso la lunghezza del lato coincide con l'altezza del trapezio.

Un trapezio rettangolare è formato da un quadrato e un triangolo. Dopo aver trovato l'area di ciascuna figura, somma i risultati e ottieni l'area totale della figura.

Inoltre, le formule generali per calcolare l'area di un trapezio sono adatte per calcolare l'area di un trapezio rettangolare.

• Se si conoscono le lunghezze delle basi e l'altezza (o il lato perpendicolare), l'area si calcola con la formula:

S = (a+b)*h/2

Il lato c può fungere da h (altezza). Quindi la formula è simile a questa:

S = (a+b)*c/2

• Un altro modo per calcolare l'area è moltiplicare la lunghezza della linea centrale per l'altezza:

oppure dalla lunghezza del lato perpendicolare laterale:

• Il prossimo modo per calcolare è attraverso la metà del prodotto delle diagonali per il seno dell'angolo compreso tra loro:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Se le diagonali sono perpendicolari la formula si semplifica in:

S = ½ * d1 * d2

• Un altro modo per calcolare è attraverso il semiperimetro (la somma delle lunghezze di due lati opposti) e il raggio del cerchio inscritto.

Questa formula è valida per le basi. Se prendiamo la lunghezza dei lati, uno di essi sarà uguale al doppio del raggio. La formula sarà simile a questa:

S = (2r + c) * r

• Se un cerchio è inscritto in un trapezio, l'area si calcola nello stesso modo:

dove m è la lunghezza della linea centrale.

Area di un trapezio curvo

Un trapezio curvilineo è una figura piana delimitata dal grafico di una funzione continua non negativa y = f(x), definita sul segmento, sull'asse delle ascisse e sulle rette x = a, x = b. In sostanza, due dei suoi lati sono paralleli tra loro (le basi), il terzo lato è perpendicolare alle basi e il quarto è una curva corrispondente al grafico della funzione.

L'area di un trapezio curvilineo si ricerca tramite l'integrale utilizzando la formula di Newton-Leibniz:

Ecco come vengono calcolate le aree dei vari tipi di trapezi. Ma, oltre alle proprietà dei lati, i trapezi hanno le stesse proprietà degli angoli. Come tutti i quadrilateri esistenti, la somma degli angoli interni di un trapezio è 360 gradi. E la somma degli angoli adiacenti al lato è 180 gradi.