Un confronto del primo grado con uno sconosciuto ha la forma:

f(X) 0 (mod m); f(X) = Oh + un. (1)

Risolvi il confronto significa trovare tutti i valori di x che lo soddisfano. Vengono chiamati due confronti che soddisfano gli stessi valori di x equivalente.

Se il confronto (1) soddisfa alcuni X = X 1, quindi (secondo 49) tutti i numeri confrontabili con X 1, modulo m: x x 1 (mod m). L'intera classe di numeri conta come una soluzione. Con questo accordo si può trarre la seguente conclusione.

66.S allineamento (1) avrà tante soluzioni quanti sono i residui del sistema completo che lo soddisfa.

Esempio. Confronto

6X– 4 0 (mod. 8)

tra i numeri 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7 del sistema completo dei residui modulo 8, due numeri soddisfano: X= 2 e X= 6. Pertanto, questo confronto ha due soluzioni:

X 2 (mod. 8), X 6 (mod. 8).

Il confronto del primo grado trasferendo il termine libero (con segno opposto) a destra si può ridurre alla forma

ascia b(mod m). (2)

Si consideri un confronto che soddisfi la condizione ( un, m) = 1.

Secondo 66 il nostro confronto ha tante soluzioni quanti sono i residui del sistema completo che lo soddisfa. Ma quando X percorre il sistema completo dei residui modulo t, poi Oh percorre il sistema completo delle detrazioni (su 60). Pertanto, per uno e un solo valore X, tratto dal sistema completo, Oh sarà paragonabile a b. Così,

67. Per (a, m) = 1 confronto ax b(mod m)ha una soluzione.

Lascia ora ( un, m) = d> 1. Allora, affinché il confronto (2) abbia soluzioni, è necessario (su 55) quello b diviso in d, altrimenti il ​​confronto (2) è impossibile per qualsiasi intero x . Supponendo quindi b multiplo d, mettiamo un = un 1 d, b = b 1 d, m = m 1 d. Quindi il confronto (2) sarà equivalente a questo (ridotto di d): un 1 X b 1 (mod m), in cui già ( un 1 , m 1) = 1, e quindi avrà una soluzione modulo m uno . Permettere X 1 è il più piccolo residuo non negativo di questa soluzione modulo m 1 , allora tutti i numeri sono x , la formazione di questa soluzione può essere trovata nel modulo

X X 1 (mod m 1). (3)

Modulo, i numeri (3) non formano una soluzione, ma più, esattamente tante soluzioni quanti sono i numeri (3) nella serie 0, 1, 2, ..., m 1 minimo residuo non negativo modulo m. Ma i seguenti numeri cadranno qui (3):

X 1 , X 1 + m 1 , X 1 + 2m 1 , ..., X 1 + (d – 1) m 1 ,

quelli. Totale d numeri (3); quindi il confronto (2) ha d soluzioni.

Otteniamo il teorema:

68. Sia (a, m) = d. ascia di confronto b ( mod m) impossibile se b non è divisibile per d. Quando b è un multiplo di d, il confronto ha d soluzioni..

69. Metodo per risolvere il confronto di primo grado, basato sulla teoria delle frazioni continue:

Espandendo in una frazione continua il rapporto m:a,

e considerando gli ultimi due convergenti:

secondo le proprietà delle frazioni continue (secondo 30 ) noi abbiamo

Quindi il confronto ha una soluzione

per la ricerca, che è sufficiente per calcolare P n- 1 secondo il metodo specificato in 30.

Esempio. Risolviamo il confronto

111X= 75 (mod. 321). (quattro)

Qui (111, 321) = 3 e 75 è un multiplo di 3. Pertanto, il confronto ha tre soluzioni.

Dividendo entrambe le parti del confronto e il modulo per 3, otteniamo il confronto

37X= 25 (mod. 107), (5)

che dobbiamo prima decidere. abbiamo

q
P 3

Quindi, in questo caso n = 4, P n - 1 = 26, b= 25, e abbiamo la soluzione del confronto (5) nella forma

X–26 ∙ 25 99 (mod. 107).

Pertanto, le soluzioni di confronto (4) sono presentate come segue:

X 99; 99 + 107; 99 + 2 ∙ 107 (mod 321),

Xº99; 206; 313 (mod. 321).

Calcolo dell'elemento inverso modulo a dato

70.Se numeri interi un e n coprime, allora c'è un numero un', soddisfacendo il confronto a ∙ a′ ≡ 1 (mod n). Numero un' chiamato inverso moltiplicativo di un modulo n e la notazione è usata per questo un- 1 (mod n).

Il calcolo dei reciproci modulo alcuni può essere eseguito mediante una soluzione di confronto di primo grado con un'incognita, in cui X numero accettato un'.

Per trovare una soluzione di confronto

ascia≡ 1(mod m),

dove ( sono)= 1,

si può usare l'algoritmo di Euclide (69) o il teorema di Fermat-Eulero, che afferma che se ( sono) = 1, quindi

un φ( m) ≡ 1(mod m).

X ≡ un φ( m)–1 (mod m).

Gruppi e loro proprietà

I gruppi sono una delle classi tassonomiche utilizzate nella classificazione di strutture matematiche con proprietà caratteristiche comuni. I gruppi hanno due componenti: molti (G) e operazioni() definito su questo set.

I concetti di insieme, elemento e appartenenza sono i concetti di base indefiniti della matematica moderna. Ogni insieme è definito dagli elementi in esso inclusi (che, a loro volta, possono essere anche insiemi). Quindi, diciamo che un insieme è definito o dato se per qualsiasi elemento possiamo dire se appartiene a questo insieme o meno.

Per due set A, B record B UN, B UN, B∩ UN, B UN, B \ UN, UN × B significa, rispettivamente, quello Bè un sottoinsieme dell'insieme UN(cioè qualsiasi elemento da Bè contenuto anche in UN, ad esempio, l'insieme dei numeri naturali è contenuto nell'insieme dei numeri reali; inoltre, sempre UN UN), Bè un sottoinsieme proprio dell'insieme UN(quelli. B UN e B ≠ UN), incrocio di molti B e UN(cioè tutti questi elementi che giacciono simultaneamente e dentro UN, e dentro B, ad esempio, l'intersezione di numeri interi e reali positivi è l'insieme dei numeri naturali), l'unione di insiemi B e UN(vale a dire un insieme costituito da elementi che giacciono in UN, sia in B), imposta la differenza B e UN(cioè l'insieme di elementi che si trovano in B, ma non mentire UN), il prodotto cartesiano degli insiemi UN e B(cioè, un insieme di coppie della forma ( un, b), dove un UN, b B). Attraverso | UN| la cardinalità dell'insieme è sempre indicata UN, cioè. numero di elementi nell'insieme UN.

Un'operazione è una regola secondo la quale due elementi qualsiasi di un insieme G(un e b) è associato al terzo elemento di G: a b.

Molti elementi G con un'operazione chiamata gruppo se sono soddisfatte le seguenti condizioni.

A n danno lo stesso resto.

Formulazioni equivalenti: a e b modulo comparabile n se la loro differenza un - bè divisibile per n , o se a può essere rappresentato come un = b + Kn , dove Kè un numero intero. Ad esempio: 32 e −10 sono congruenti modulo 7 perché

L'affermazione "a e b sono congruenti modulo n" è scritta come:

Proprietà di uguaglianza modulo

La relazione di confronto modulo ha le proprietà

Qualsiasi due numeri interi un e b sono confrontabili modulo 1.

In ordine per i numeri un e b erano comparabili modulo n, è necessario e sufficiente che la loro differenza sia divisibile per n.

Se i numeri e sono comparabili a coppie modulo n, quindi le loro somme e , oltre ai prodotti e sono anche comparabili modulo n.

Se numeri un e b modulo comparabile n, poi i loro diplomi un K e b K sono anche comparabili modulo n per qualsiasi naturale K.

Se numeri un e b modulo comparabile n, e n diviso per m, poi un e b modulo comparabile m.

In ordine per i numeri un e b erano comparabili modulo n, rappresentato come la sua canonica scomposizione in fattori primi p io

necessario e sufficiente per

La relazione di confronto è una relazione di equivalenza e possiede molte delle proprietà delle uguaglianze ordinarie. Ad esempio, possono essere sommati e moltiplicati: se

I confronti, tuttavia, non possono, in generale, essere divisi tra loro o per altri numeri. Esempio: , tuttavia, riducendo di 2, otteniamo un confronto errato: . Le regole di riduzione per i confronti sono le seguenti.

Inoltre, non è possibile eseguire operazioni sui confronti se i loro moduli non corrispondono.

Altre proprietà:

Definizioni correlate

Classi di detrazione

L'insieme di tutti i numeri paragonabili a un modulo n chiamato classe di detrazione un modulo n , ed è solitamente indicato da [ un] n o . Pertanto, il confronto è equivalente all'uguaglianza delle classi di residui [un] n = [b] n .

Perché confronto modulo nè una relazione di equivalenza sull'insieme degli interi, quindi le classi residue modulo n sono classi di equivalenza; il loro numero è n. L'insieme di tutte le classi di residui modulo n indicato da o .

Le operazioni di addizione e moltiplicazione su inducono le operazioni corrispondenti sull'insieme:

[un] n + [b] n = [un + b] n

Rispetto a queste operazioni, l'insieme è un anello finito, e se n campo semplice-finale.

Sistemi di detrazione

Il sistema dei residui consente di eseguire operazioni aritmetiche su un insieme finito di numeri senza oltrepassarlo. Sistema completo di detrazioni modulo n è qualsiasi insieme di n interi che sono incomparabili modulo n. Di solito, come sistema completo di residui modulo n, si prendono i più piccoli residui non negativi

0,1,...,n − 1

o residui assolutamente più piccoli costituiti da numeri

,

in caso di dispari n e numeri

in caso di pari n .

Decisione di confronto

Confronti di primo grado

Nella teoria dei numeri, nella crittografia e in altri campi della scienza, sorge spesso il problema di trovare soluzioni per un confronto del primo grado della forma:

La soluzione di tale confronto inizia con il calcolo del gcd (a, m)=d. In questo caso sono possibili 2 casi:

• Se una b non un multiplo d, allora il confronto non ha soluzioni.
• Se una b multiplo d, allora il confronto ha una soluzione unica modulo m / d, oppure, che è lo stesso, d soluzioni modulo m. In questo caso, a seguito della riduzione del confronto originario di d risultati del confronto:

dove un 1 = un / d , b 1 = b / d e m 1 = m / d sono numeri interi e un 1 e m 1 sono coprimi. Quindi il numero un 1 può essere invertito modulo m 1 , cioè trova un tale numero c che (in altre parole, ). Ora la soluzione si trova moltiplicando il confronto risultante per c:

Calcolo pratico del valore c può essere fatto in diversi modi: usando il teorema di Eulero, l'algoritmo di Euclide, la teoria delle frazioni continue (vedi algoritmo), ecc. In particolare, il teorema di Eulero permette di annotare il valore c come:

Esempio

Per confronto, abbiamo d= 2 , quindi modulo 22 il confronto ha due soluzioni. Sostituiamo 26 con 4, che è comparabile modulo 22, e poi cancelliamo tutti e 3 i numeri per 2:

Poiché 2 è coprime al modulo 11, possiamo annullare i lati sinistro e destro di 2. Di conseguenza, otteniamo una soluzione modulo 11: , che equivale a due soluzioni modulo 22: .

Confronti di secondo grado

Risolvere confronti di secondo grado si riduce a scoprire se un dato numero è un residuo quadratico (usando la legge quadratica di reciprocità) e quindi calcolare la radice quadrata modulo this.

Storia

Il teorema cinese del resto, noto da molti secoli, afferma (nel linguaggio matematico moderno) che l'anello residuo modulo il prodotto di più numeri coprimi è

Contenuto.

introduzione

§uno. Confronto modulo

§2. Proprietà di confronto

1. Proprietà di confronto indipendenti dal modulo
2. Proprietà di confronto specifiche del modulo

§3. Sistema di detrazione

1. Sistema completo di detrazioni
2. Il sistema ridotto delle detrazioni

§quattro. Teorema di Eulero e Fermat

1. funzione di Eulero
2. Teorema di Eulero e Fermat

capitolo 2 Teoria dei confronti con una variabile

§uno. Concetti di base relativi alla decisione dei confronti

1. Le radici dei confronti
2. Equivalenza dei confronti
3. Il teorema di Wilson

§2. Confronti di primo grado e loro soluzioni

1. Metodo di selezione
2. metodi di Eulero
3. Il metodo dell'algoritmo di Euclide
4. Metodo della frazione continua

§3. Sistemi di confronti del 1° grado con un'incognita

§quattro. Divisione dei confronti dei poteri superiori

§5. Radici e indici primitivi

1. Ordine della classe di detrazione
2. Radici primitive modulo prime
3. Indici modulo primo

capitolo 3 Applicazione della teoria dei confronti

§uno. Segni di divisibilità

§2. Verifica dei risultati di operazioni aritmetiche

§3. Conversione di una frazione ordinaria in una finita

frazione decimale

Conclusione

Letteratura

introduzione

Nella nostra vita abbiamo spesso a che fare con numeri interi e compiti ad essi correlati. In questa tesi considero la teoria del confronto degli interi.

Due interi la cui differenza è un multiplo di un dato numero naturale m sono detti modulo comparabile m.

La parola "modulo" deriva dal latino modulus, che in russo significa "misura", "valore".

L'affermazione "a è congruente a b modulo m" è solitamente scritta come ab (mod m) e si chiama confronto.

La definizione di confronto è stata formulata nel libro di K. Gauss "Ricerca aritmetica". Quest'opera, scritta in latino, iniziò ad essere stampata nel 1797, ma il libro fu pubblicato solo nel 1801 a causa del fatto che il processo di stampa in quel momento era estremamente laborioso e lungo. La prima sezione del libro di Gauss si intitola "Sul confronto dei numeri in generale".

I confronti sono molto convenienti da usare in quei casi in cui è sufficiente conoscere in qualsiasi ricerca numeri fino a multipli di un certo numero.

Ad esempio, se siamo interessati a quale cifra finisce il cubo di un intero a, allora ci basta conoscere a solo fino a multipli di 10 e possiamo usare confronti modulo 10.

Lo scopo di questo lavoro è considerare la teoria dei confronti e studiare i principali metodi per risolvere i confronti con incognite, nonché studiare l'applicazione della teoria dei confronti alla matematica scolastica.

La tesi si compone di tre capitoli, e ogni capitolo è diviso in paragrafi e paragrafi in paragrafi.

Il primo capitolo tratta questioni generali della teoria dei confronti. Qui consideriamo il concetto di confronto modulo, le proprietà dei confronti, il sistema completo e ridotto dei residui, la funzione di Eulero, il teorema di Eulero e di Fermat.

Il secondo capitolo è dedicato alla teoria dei confronti con l'ignoto. Delinea i concetti di base relativi alla soluzione dei confronti, considera metodi per risolvere confronti di primo grado (metodo di selezione, metodo di Eulero, metodo dell'algoritmo di Euclide, metodo delle frazioni continue, utilizzando indici), sistemi di confronto di primo grado con uno sconosciuto, confronti di gradi superiori, ecc.

Il terzo capitolo contiene alcune applicazioni della teoria dei numeri alla matematica scolastica. Si considerano i segni di divisibilità, la verifica dei risultati delle azioni, la conversione delle frazioni ordinarie in frazioni decimali sistematiche.

La presentazione del materiale teorico è accompagnata da un gran numero di esempi che rivelano l'essenza dei concetti e delle definizioni introdotti.

Capitolo 1. Questioni generali della teoria dei confronti

§uno. Confronto modulo

Sia z-anello di interi, m intero fisso e m z-insieme di tutti gli interi divisibili per m.

Definizione 1. Due interi aeb si dicono congruenti modulo m se m divide a-b.

Se i numeri aeb sono comparabili modulo m, scrivi a b (mod. m).

Condizione a b (mod m) significa che a-b è divisibile per m.

a b (mod m)↔(a-b) m

Definiamo che la relazione di comparabilità modulo m coincide con la relazione di comparabilità modulo (-m) (divisibilità per m equivale a divisibilità per –m). Pertanto, senza perdita di generalità, possiamo assumere che m>0.

Esempi.

Teorema. (segno di comparabilità dei numeri spirituali modulo m): due interi aeb sono comparabili modulo m se e solo se aeb hanno lo stesso resto quando divisi per m.

Prova.

Siano uguali i resti della divisione aeb per m, cioè a=mq₁+r,(1)

B=mq₂+r, (2)

Dove 0≤r≥m.

Sottraendo (2) da (1), otteniamo a-b= m(q₁- q₂), ovvero a-b m o a b (mod m).

Al contrario, sia a b (mod. m). Questo significa a-b m o a-b=mt, t z (3)

Dividi b per m; otteniamo b=mq+r in (3), avremo a=m(q+t)+r, cioè dividere a per m dà lo stesso resto che dividere b per m.

Esempi.

5=4 (-2)+3

23=4 5+3

24=3 8+0

10=3 3+1

Definizione 2. Due o più numeri che danno lo stesso resto quando divisi per m sono detti equidistanti o comparabili modulo m.

Esempi.

Abbiamo: 2m+1-(m+1)²= 2m+1 - m²-2m-1=- m², e (- m²) è divisibile per m => il nostro confronto è corretto.

1. Dimostra che i seguenti confronti sono falsi:

Se i numeri sono comparabili modulo m, allora hanno lo stesso gcd con esso.

Abbiamo: 4=2 2, 10=2 5, 25=5 5

gcd(4,10) = 2, gcd(25,10) = 5, quindi il nostro confronto è sbagliato.

§2. Proprietà di confronto

1. Proprietà di confronto indipendenti dal modulo.

Molte proprietà dei confronti sono simili a quelle delle uguaglianze.

a) riflessività: aa (mod m) (qualsiasi intero un è paragonabile a se stesso modulo m);

C) simmetria: se a b (mod m), quindi b a (mod m);

C) transitività: se a b (mod m) e b con (mod m), quindi a con (mod m).

Prova.

Per condizione m/(a-b) e m/ (c-d). Pertanto, m/(a-b)+(c-d), m/(a+c)-(b+d) => a+c b + d (mod m).

Esempi.

Trova il resto quando dividi alle 13.

Soluzione: -1 (mod 13) e 1 (mod 13), poi (-1)+1 0 (mod 13), ovvero il resto della divisione per 13 è 0.

a-c b-d (mod m).

Prova.

Per condizione m/(a-b) e m/(c-d). Pertanto, m/(a-b)-(c-d), m/(a-c)-(b-d) => (a-c) b-d (mod m).

1. (una conseguenza delle proprietà 1, 2, 3). È possibile aggiungere lo stesso numero intero a entrambe le parti del confronto.

Prova.

Lascia un b (mod m) e k è un numero intero qualsiasi. Per proprietà della riflessività

k=k (mod m), e secondo le proprietà 2 e 3 abbiamo a+k b + k (mod m).

a c d (mod m).

Prova.

A condizione, a-b є mz, c-d є mz. Quindi a c-b d = (a c - b c)+(b c- b d)=(a-b) c+b (c-d) є mz, cioè a c d (mod. m).

Conseguenza. Entrambe le parti del confronto possono essere elevate alla stessa potenza intera non negativa: se ab (mod m) e s è un numero intero non negativo, quindi a s b s (mod m).

Esempi.

Soluzione: ovviamente 13 1 (mod 3)

2-1 (mod. 3)

5 -1 (mod 3), quindi

- 1-1 0 (mod. 13)

Risposta: il resto desiderato è zero e A è divisibile per 3.

Soluzione:

Dimostriamo che 1+ 0(mod13) o 1+ 0(mod 13)

1+ =1+ 1+ =

Poiché 27 è 1 (mod 13), ne consegue che 1+ 1+1 3+1 9 (mod 13).

h.t.d.

3. Trova il resto quando dividi per il resto di un numero alle 24.

Abbiamo: 1 (mod 24), quindi

1 (mod. 24)

Aggiungendo 55 ad entrambe le parti del confronto, otteniamo:

(mod. 24).

Abbiamo: (mod 24), quindi

(mod 24) per qualsiasi k є N.

Di conseguenza (mod. 24). Perché (-8)16(mod 24), il resto desiderato è 16.

1. Entrambe le parti del confronto possono essere moltiplicate per lo stesso intero.

2.Proprietà dei confronti a seconda del modulo.

Prova.

Poiché a b (mod t), allora (a - b) t. E poiché t n , quindi per la transitività della relazione di divisibilità(a - b n) , cioè a b (mod n).

Esempio.

Trova il resto dopo aver diviso 196 per 7.

Soluzione:

Sapendo che 196= , possiamo scrivere 196(mod. 14). Usiamo la proprietà precedente, 14 7, otteniamo 196 (mod 7), ovvero 196 7.

1. Entrambe le parti del confronto e il modulo possono essere moltiplicati per lo stesso intero positivo.

Prova.

Sia a b (mod m ) e c è un numero intero positivo. Allora a-b = mt e ac-bc=mtc, oppure ac bc (mod mc).

Esempio.

Controlla se il valore di un'espressione è numero intero.

Soluzione:

Rappresentiamo le frazioni sotto forma di confronti: 4(mod. 3)

1 (mod. 9)

31 (mod. 27)

Aggiungiamo questi confronti termine per termine (proprietà 2), otteniamo 124(mod 27) Vediamo che 124 non è un intero divisibile per 27, da cui il valore dell'espressioneinoltre non è un numero intero.

1. Entrambe le parti del confronto possono essere divise per il loro fattore comune se è relativamente primo rispetto al modulo.

Prova.

Se ca cb (mod m), ovvero m/c(a-b) e numero Insieme a coprime a m, (c,m)=1, allora m divide a-b. Di conseguenza, a b (mod t ).

Esempio.

60 9 (mod 17), dopo aver diviso per 3 entrambe le parti del confronto otteniamo:

20 (mod. 17).

In generale, è impossibile dividere entrambe le parti del confronto per un numero che non è coprimi con il modulo, poiché dopo la divisione si possono ottenere numeri che in questo modulo non sono comparabili.

Esempio.

8 (mod 4) ma 2 (mod 4).

1. Entrambe le parti del confronto e il modulo possono essere divisi per il loro comune divisore.

Prova.

Se ka kb (mod km), allora k (a-b) è divisibile per km. Pertanto, a-b è divisibile per m, cioè a b (mod t ).

Prova.

Sia P (x) = c 0 x n + c 1 x n-1 + ... + c n-1 x+ c n . Con la condizione a b (mod t), allora

un k b k (mod m) per k = 0, 1, 2, …,n. Moltiplicando entrambe le parti di ciascuno dei confronti n + 1 risultanti per c n-k, otteniamo:

c n-k a k c n-k b k (mod m), dove k = 0, 1, 2, …,n.

Sommando gli ultimi confronti, otteniamo: P (a) P(b) (mod m). Se a (mod m) e c i d i (mod m), 0 ≤ i ≤ n, allora

(mod. m). Pertanto, in congruenza modulo m, singoli termini e fattori possono essere sostituiti da numeri congruenti modulo m.

Allo stesso tempo occorre prestare attenzione al fatto che gli esponenti incontrati nei confronti non possono essere sostituiti in questo modo: da

a n c(mod m) e n k(mod m) non implica che a k con (mod m).

La proprietà 11 ha una serie di importanti applicazioni. In particolare, può essere utilizzato per dare una fondatezza teorica dei segni di divisibilità. A titolo illustrativo, a titolo di esempio, daremo la derivazione del test di divisibilità per 3.

Esempio.

Qualsiasi numero naturale N può essere rappresentato come un numero sistematico: N = a 0 10 n + a 1 10 n-1 + ... + a n-1 10 + a n .

Si consideri il polinomio f (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + ... + a n-1 x+a n . Perché

10 1 (mod 3), quindi per proprietà 10 f (10) f(1) (mod. 3) o

N = a 0 10 n + a 1 10 n-1 + ... + a n-1 10 + a n a 1 + a 2 +…+ a n-1 + a n (mod 3), ovvero, affinché N sia divisibile per 3, è necessario e sufficiente che la somma delle cifre di questo numero sia divisibile per 3.

§3. Sistemi di detrazione

1. Sistema di fatturazione completo.

I numeri equidistanti, o, che è lo stesso, comparabili modulo m, formano una classe di numeri modulo m.

Ne consegue da questa definizione che lo stesso resto r corrisponde a tutti i numeri della classe, e otteniamo tutti i numeri della classe se forziamo q a scorrere tutti gli interi nella forma mq + r.

Di conseguenza, con m diversi valori di r, abbiamo m classi di numeri modulo m.

Qualsiasi numero di una classe è chiamato residuo modulo m rispetto a tutti i numeri della stessa classe. Il residuo ottenuto a q=0, uguale al resto r, è chiamato il più piccolo residuo non negativo.

Il residuo ρ, il più piccolo in valore assoluto, è detto residuo assolutamente più piccolo.

Ovviamente per r abbiamo ρ=r; quando r> abbiamo ρ=r-m; infine, se m è pari e r=, allora per ρ si può prendere uno qualsiasi dei due numeri e -m= - .

Scegliamo da ciascuna classe di residui modulo t di un numero. Ottenere m interi: x 1 ,…, x m . Viene chiamato l'insieme (x 1, ..., x t). sistema completo dei residui modulo m.

Poiché ogni classe contiene un insieme non numerabile di residui, è possibile comporre un insieme non numerabile di diversi sistemi completi di residui modulo m, ognuno dei quali contiene t detrazioni.

Esempio.

Comporre diversi sistemi completi di residui modulo t = 5. Abbiamo classi: 0, 1, 2, 3, 4.

0 = {... -10, -5,0, 5, 10,…}

1= {... -9, -4, 1, 6, 11,…}

Facciamo diversi sistemi completi di detrazioni, prendendo una detrazione da ogni classe:

0, 1, 2, 3, 4

5, 6, 2, 8, 9

10, -9, -8, -7, -6

5, -4, -3, -2, -1

eccetera.

Più usato:

1. Sistema completo di minimi residui non negativi: 0, 1, t -1 Nell'esempio sopra: 0, 1, 2, 3, 4. Un tale sistema di residui è semplice: è necessario annotare tutti i resti non negativi risultanti dalla divisione per m.
2. Sistema completo di residui meno positivi(la più piccola detrazione positiva è presa da ogni classe):

1, 2, …, m. Nel nostro esempio: 1, 2, 3, 4, 5.

1. Un sistema completo di assolutamente minimi residui.Nel caso di m dispari, i residui più piccoli assoluti appaiono fianco a fianco.

- ,…, -1, 0, 1,…, ,

e nel caso di un pari m, una delle due file

1, …, -1, 0, 1,…, ,

, …, -1, 0, 1, …, .

Nell'esempio fornito: -2, -1, 0, 1, 2.

Consideriamo ora le principali proprietà del sistema completo dei residui.

Teorema 1 . Qualsiasi insieme di m interi:

x l ,x 2 ,…,х m (1)

incomparabile a coppie modulo m, forma un sistema completo di residui modulo m.

Prova.

1. Ciascuno dei numeri nell'insieme (1) appartiene a una classe.
2. Qualsiasi due numeri x i e x j da (1) sono incomparabili tra loro, cioè appartengono a classi diverse.
3. In totale, ci sono m numeri in (1), cioè tante quante sono le classi modulo t.

x 1, x 2,…, x t è un sistema completo di residui modulo m.

Teorema 2. Sia (a, m) = 1, b - numero intero arbitrario; allora se x 1, x 2,…, x t -sistema completo dei residui modulo m, quindi l'insieme dei numeri ax 1 + b, ascia 2 + b,…, ascia m + b è anche un sistema completo di residui modulo m.

Prova.

Ritenere

Ascia 1 + b, ascia 2 + b, ..., ascia m + b (2)

1. Ciascuno dei numeri nell'insieme (2) appartiene a una classe.
2. Qualsiasi due numeri ax i + b e ax j + b da (2) sono incomparabili tra loro, cioè appartengono a classi diverse.

Infatti, se ci fossero due numeri in (2) tali che

ax io + b ax j + b (mod m), (i = j), allora otterremmo ax io ax j (mod m). Poiché (a, t) = 1, quindi la proprietà dei confronti può ridurre entrambe le parti del confronto di un . Otteniamo x i x j (mod m).

Per condizione, x i x j (mod m) per (i = j) , poiché x 1, x 2, ..., x m - sistema completo di detrazioni.

1. L'insieme di numeri (2) contiene t numeri, cioè tante quante sono le classi modulo m.

Quindi, ax 1 + b, ax 2 + b, ..., ax m + b è il sistema completo dei residui modulo m.

Esempio.

Sia m = 10, a = 3, b = 4.

Prendiamo un sistema completo di residui modulo 10, ad esempio: 0, 1, 2, ..., 9. Componiamo i numeri della forma ascia + b. Otteniamo: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31. L'insieme di numeri risultante è un sistema completo di residui modulo 10.

1. Il sistema di detrazioni dato.

Dimostriamo il seguente teorema.

Teorema 1.

Numeri della stessa classe residua modulo m hanno lo stesso massimo comun divisore con m: se a b (mod m), quindi (a, m) = (b, m).

Prova.

Sia a b (mod m). Allora a = b + mt, dove tz. Da questa uguaglianza segue che (a, m) = (b, m).

Sia infatti il ​​δ-comune divisore di a e m, allora aδ, mδ. Poiché a = b + mt, allora b=a-mt, quindi bδ. Pertanto, qualsiasi divisore comune di a e m è un divisore comune di m e b.

Viceversa, se m δ e b δ, allora a = b + mt è divisibile per δ, e quindi qualsiasi divisore comune di m e b è un divisore comune di a e m. Il teorema è stato dimostrato.

Definizione 1. Massimo comun divisore di un modulo t e qualsiasi numero a da questa classe di detrazioni per t chiamato massimo comun divisore t e questa classe di residui.

Definizione 2. Classe del residuo a modulo m si chiama coprima con modulo m se il massimo comun divisore a e t è uguale a 1 (cioè se m e qualsiasi numero da a sono coprimi).

Esempio.

Lascia t = 6. La classe di residui 2 è composta da numeri (..., -10, -4, 2, 8, 14, ...). Il massimo comun divisore di uno qualsiasi di questi numeri e del modulo 6 è 2. Quindi, (2, 6) = 2. Il massimo comun divisore di qualsiasi numero della classe 5 e del modulo 6 è 1. Quindi, la classe 5 è coprima del modulo 6 .

Scegliamo da ogni classe di residui coprimi con modulo m un numero. Otteniamo un sistema di detrazioni, che fa parte del sistema completo di detrazioni. La chiamanosistema ridotto dei residui modulo m.

Definizione 3. L'insieme dei residui modulo m, presi uno alla volta da ciascun coprima con t classe di residui modulo questo modulo è chiamato sistema di residui ridotti.

La definizione 3 implica un metodo per ottenere il sistema ridotto dei residui modulo t: è necessario scrivere del sistema completo di residui e rimuovere da esso tutti i residui che non sono coprimi con m. La restante serie di detrazioni è il sistema ridotto di detrazioni. Esistono ovviamente un numero infinito di sistemi ridotti di residui modulo m.

Se prendiamo come iniziale il sistema completo dei minimi non negativi o assolutamente minimi, allora nel modo indicato otteniamo il sistema rispettivamente ridotto dei minimi non negativi o assolutamente minimi modulo m.

Esempio.

Se t = 8, quindi 1, 3, 5, 7 - sistema ridotto di residui minimi non negativi, 1, 3, -3, -1- sistema ridotto di assolutamente minimi residui.

Teorema 2.

Permettere il numero di classi relativamente prime ad m è uguale a k.Quindi qualsiasi raccolta di k interi

a coppie incomparabile modulo m e relativamente primo a m, è un sistema ridotto di residui modulo m.

Prova

A) Ogni numero nell'insieme (1) appartiene a una classe.

1. Tutti i numeri da (1) sono modulo incomparabile a coppie t, cioè appartengono a classi diverse modulo m.
2. Ogni numero da (1) è coprimi con t, cioè tutti questi numeri appartengono a classi diverse coprimi con modulo m.
3. In totale, (1) ha K numeri, cioè tanti quanti ne dovrebbe contenere il sistema ridotto dei residui modulo m.

Pertanto, l'insieme dei numeri(1) - sistema ridotto dei residui modulo t.

§quattro. funzione di Eulero.

Teoremi di Eulero e Fermat.

1. funzione di Eulero.

Indichiamo con φ(t) il numero di classi di residui modulo m coprime con m, cioè il numero di elementi del sistema ridotto di residui modulo t. Funzione φ (t) è numerico. La chiamanofunzione di Eulero.

Scegliamo come rappresentanti delle classi residue modulo t numeri 1, ... , t - 1, t. Allora φ (t) è il numero di tali numeri con cui sono coprimi t. In altre parole, φ (t) - il numero di numeri positivi non superiori a m e relativamente primi a m.

Esempi.

1. Lascia t = 9. Il sistema completo dei residui modulo 9 è costituito dai numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Di questi, i numeri 1,2,4, 5, 7, 8 sono coprimi da 9. Quindi, poiché il numero di questi numeri è 6, allora φ (9) = 6.
2. Sia t = 12. Il sistema completo dei residui è costituito dai numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Di questi, i numeri 1, 5, 7, 11 sono coprimi da 12. Quindi,

φ(12) = 4.

A t = 1, il sistema completo dei residui è costituito da una classe 1. Il divisore naturale comune dei numeri 1 e 1 è 1, (1, 1) = 1. Su questa base poniamo φ(1) = 1.

Procediamo al calcolo della funzione di Eulero.

1) Se m = p è un numero primo, allora φ(p) = p-1.

Prova.

Residui 1, 2, ... , p-1 e solo loro sono coprimi con un numero primo R. Pertanto φ (p) = p - 1.

2) Se m = p k - potenza di un numero primo p, allora

φ(t) = (p - 1) . (uno)

Prova.

Sistema completo di residui modulo t = pk composto dai numeri 1,..., p k - 1, p k divisori naturali t sono gradi R. Quindi il numero unpuò avere un divisore comune con m diverso da 1, solo quandoundiviso perR.Ma tra i numeri 1, ... , pK -1 sulRdividendo solo i numerip, 2p, ... , p2 , ... Ra, il cui numero èRa: p = pk-1. Quindi, coprimi cont = pariposoRa- Rk-1= pkl(p-1)numeri. Quindi, è dimostrato che

φ (Ra) = pagk-1(r-1).

Teorema1.

La funzione di Eulero è moltiplicativa, cioè per i numeri coprimi m e n abbiamo φ (mn) = φ(m) φ (n).

Prova.

Il primo requisito nella definizione di una funzione moltiplicativa è soddisfatto in modo banale: la funzione di Eulero è definita per tutti i numeri naturali, e φ (1) = 1. Abbiamo solo bisogno di mostrarlo setipo dinumeri relativamente primi, quindi

φ (tp)= φ (t) φ (P).(2)

Disporre il sistema completo dei residui modulotpcomePXt -matrici

1 2 t

t+1 t+2 2t

………………………………

(P -1) t+1 (P -1) m +2 Ven

Perché iltePcoprime, quindi il numeroXreciprocamente semplice contpse e solo seXreciprocamente semplice conteXreciprocamente semplice conP. Ma il numerokm + treciprocamente semplice contse e solo setreciprocamente semplice cont.Pertanto, i numeri relativamente primi a m si trovano in quelle colonne per cuitpercorre il sistema ridotto dei residui modulot.Il numero di tali colonne è φ(t).Ogni colonna presenta il sistema completo dei residui moduloP.Da questi residui φ(P)coprimi conP.Quindi, il numero totale di numeri coprimi e conte con n, è uguale a φ(t)φ(n)

(φ (t)colonne, ognuna delle quali occupa φ(P)numeri). Questi numeri, e solo loro, sono coprimi coneccetera.Quindi, è dimostrato che

φ (tp)= φ (t) φ (P).

Esempi.

№1 . Dimostra le seguenti uguaglianze

φ(4n) =

Prova.

№2 . risolvere l'equazione

Soluzione:perché(m)=, poi= , questo è=600, =75, =3, quindi x-1=1, x=2,

y-1=2, y=3

Risposta: x=2, y=3

Possiamo calcolare il valore della funzione di Eulero(m), conoscendo la rappresentazione canonica del numero m:

m=.

A causa del moltiplicatore(m) abbiamo:

(m)=.

Ma secondo la formula (1) lo otteniamo

-1), e quindi

(3)

L'uguaglianza (3) può essere riscritta come:

Perché il=m, allora(4)

La formula (3) o, che è la stessa, (4) è quella desiderata.

Esempi.

№1 . Qual è l'importo

Soluzione:,

, =18 (1- ) (1- =18 , poi= 1+1+2+2+6+6=18.

№2 . Sulla base delle proprietà della funzione numerica di Eulero, dimostrare che nella sequenza dei numeri naturali esiste un insieme infinito di numeri primi.

Soluzione:Appiattendo il numero di primi di un insieme finito, supponiamo cheè il numero primo più grande e sia a=è il prodotto di tutti i numeri primi, basato su una delle proprietà della funzione numerica di Eulero

Poiché a≥, allora a è un numero composto, ma poiché la sua rappresentazione canonica contiene tutti i numeri primi, allora=1. Abbiamo:

=1 ,

il che è impossibile, e quindi è dimostrato che l'insieme dei numeri primi è infinito.

№3 .Risolvi l'equazione, dove x=e=2.

Soluzione:Usiamo la proprietà della funzione numerica di Eulero,

,

e per condizione=2.

Espresso da=2 , noi abbiamo, sostituiamo

:

(1+ -1=120, =11 =>

Allora x=, x=11 13=143.

Risposta:x= 143

2. Teorema di Eulero e Fermat.

Il teorema di Eulero gioca un ruolo importante nella teoria dei confronti.

Il teorema di Eulero.

Se un intero a è relativamente primo con m, allora

(1)

Prova.Permettere

(2)

è un sistema ridotto di residui modulo m.

Se unaunè un intero relativamente primo a m, allora

(3)

Definizione 1. Se due numeri 1) un e b quando si divide per p dare lo stesso resto r, allora tali numeri sono chiamati equidistanti o paragonabile in modulo p.

Dichiarazione 1. Permettere p qualche numero positivo. Poi qualsiasi numero un sempre e, inoltre, in un modo unico può essere rappresentato nella forma

Ma questi numeri possono essere ottenuti chiedendo r uguale a 0, 1, 2,..., p-1. Di conseguenza sp+r=a prende tutti i possibili valori interi.

Mostriamo che questa rappresentazione è unica. Facciamo finta che p può essere rappresentato in due modi a=sp+r e a=s 1 p+r uno . Quindi

(2)

Perché r 1 prende uno dei numeri 0,1, ..., p−1, quindi il valore assoluto r 1 −r meno p. Ma da (2) ne segue che r 1 −r multiplo p. Di conseguenza r 1 =r e S 1 =S.

Numero r chiamato meno numeri un modulo p(in altre parole, il numero r chiamato il resto della divisione di un numero un sul p).

Dichiarazione 2. Se due numeri un e b modulo comparabile p, poi a-b diviso per p.

Veramente. Se due numeri un e b modulo comparabile p, quindi quando diviso per p avere lo stesso resto p. Quindi

diviso per p, perché il lato destro dell'equazione (3) è diviso per p.

Dichiarazione 3. Se la differenza di due numeri è divisibile per p, allora questi numeri sono comparabili modulo p.

Prova. Indica con r e r 1 resto dalla divisione un e b sul p. Quindi

Esempi 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

Segue dal primo esempio che 25 diviso per 7 dà lo stesso resto di 39. Infatti, 25=3 7+4 (resto 4). 39=3 7+4 (resto 4). Quando si considera il secondo esempio, tenere presente che il resto deve essere un numero non negativo inferiore al modulo (cioè 4). Allora possiamo scrivere: −18=−5 4+2 (resto 2), 14=3 4+2 (resto 2). Pertanto, −18 quando diviso per 4 lascia un resto di 2 e 14 quando diviso per 4 lascia un resto di 2.

Proprietà dei moduli di confronto

Proprietà 1. Per chiunque un e p sempre

il confronto non è sempre necessario

dove λ è il massimo comun divisore dei numeri m e p.

Prova. Permettere λ massimo comun divisore dei numeri m e p. Quindi

Perché m(a-b) diviso per K, poi

Di conseguenza

e mè uno dei divisori del numero p, poi

dove h=pqs.

Si noti che possiamo consentire confronti in moduli negativi, ad es. confronto a≡b mod( p) significa in questo caso che la differenza a-b diviso per p. Tutte le proprietà dei confronti rimangono valide per i moduli negativi.

Considera un confronto del modulo X 2 ≡un(mod p a), dove pè un semplice numero dispari. Come mostrato nella Sezione 4 §4, la soluzione a questa congruenza può essere trovata risolvendo la congruenza X 2 ≡un(mod p). E il confronto X 2 ≡un(mod pα) avrà due soluzioni se unè un residuo quadratico modulo p.

Esempio:

Risolvi il confronto quadratico X 2 ≡86 (mod. 125).

125 = 5 3 , 5 è un numero primo. Verifichiamo se 86 è un quadrato modulo 5.

Il confronto originale ha 2 soluzioni.

Troviamo una soluzione di confronto X 2 ≡86 (mod. 5).

X 2 ≡1 (mod. 5).

Questo confronto potrebbe essere risolto nel modo indicato nel paragrafo precedente, ma utilizzeremo il fatto che la radice quadrata di 1 modulo è ±1, e il confronto ha esattamente due soluzioni. Quindi, la soluzione alla congruenza modulo 5 è

X≡±1(mod 5) o, altrimenti, X=±(1+5 t 1).

Sostituisci la soluzione risultante nel confronto modulo 5 2 =25:

X 2 ≡86 (mod. 25)

X 2 ≡11 (mod. 25)

(1+5t 1) 2 ≡11 (mod. 25)

1+10t 1 +25t 1 2 ≡11 (mod. 25)

10t 1 ≡10 (mod. 25)

2t 1 ≡2 (mod. 5)

t 1 ≡1(mod 5), o equivalentemente, t 1 =1+5t 2 .

Allora la soluzione della congruenza modulo 25 è X=±(1+5(1+5 t 2))=±(6+25 t 2). Sostituisci la soluzione risultante nel confronto modulo 5 3 =125:

X 2 ≡86 (mod. 125)

(6+25t 2) 2 ≡86 (mod. 125)

36+12 25 t 2 +625t 2 2 ≡86 (mod. 125)

12 25 t 2 ≡50 (mod. 125)

12t 2 ≡2 (mod. 5)

2t 2 ≡2 (mod. 5)

t 2 ≡1(mod 5), o t 2 =1+5t 3 .

Allora la soluzione al confronto modulo 125 è X=±(6+25(1+5 t 3))=±(31+125 t 3).

Risposta: X≡±31 (mod. 125).

Consideriamo ora un confronto del modulo X 2 ≡un(mod. 2a). Un simile confronto non ha sempre due soluzioni. Per un tale modulo, sono possibili i seguenti casi:

1) α=1. Quindi il confronto ha una soluzione solo quando un≡1(mod 2), e la soluzione è X≡1(mod 2) (una soluzione).

2) α=2. Il confronto ha soluzioni solo quando un≡1(mod 4), e la soluzione è X≡±1(mod 4) (due soluzioni).

3) α≥3. Il confronto ha soluzioni solo quando un≡1(mod 8), e ci saranno quattro soluzioni di questo tipo. Confronto X 2 ≡un(mod 2 α) per α≥3 si risolve allo stesso modo dei confronti della forma X 2 ≡un(mod pα), solo le soluzioni modulo 8 fungono da soluzione iniziale: X≡±1(mod 8) e X≡±3 (mod. 8). Vanno sostituiti modulo 16, poi modulo 32 e così via fino a modulo 2 α .

Esempio:

Risolvi il confronto X 2 ≡33 (mod. 64)

64=26. Verifichiamo se il confronto originale ha una soluzione. 33≡1(mod 8), quindi il confronto ha 4 soluzioni.

Modulo 8 queste soluzioni saranno: X≡±1(mod 8) e X≡±3(mod 8), che può essere rappresentato come X=±(1+4 t uno). Sostituisci questa espressione in confronto modulo 16

X 2 ≡33 (mod. 16)

(1+4t 1) 2 ≡1 (mod. 16)

1+8t 1 +16t 1 2 ≡1 (mod. 16)

8t 1 ≡0 (mod. 16)

t 1 ≡0 (mod. 2)

Quindi la soluzione prenderà la forma X=±(1+4 t 1)=±(1+4(0+2 t 2))=±(1+8 t 2). Sostituisci la soluzione risultante nella congruenza modulo 32:

X 2 ≡33 (mod. 32)

(1+8t 2) 2 ≡1(mod 32)

1+16t 2 +64t 2 2 ≡1 (mod. 32)

16t 2 ≡0 (mod. 32)

t 2 ≡0 (mod. 2)

Quindi la soluzione prenderà la forma X=±(1+8 t 2) =±(1+8(0+2t 3)) =±(1+16 t 3). Sostituisci la soluzione risultante nel confronto modulo 64:

X 2 ≡33 (mod. 64)

(1+16t 3) 2 ≡33 (mod. 64)

1+32t 3 +256t 3 2 ≡33 (mod. 64)

32t 3 ≡32 (mod. 64)

t 3 ≡1 (mod. 2)

Quindi la soluzione prenderà la forma X=±(1+16 t 3) =±(1+16(1+2t 4)) =±(17+32 t quattro). Quindi, modulo 64, il confronto originale ha quattro soluzioni: X≡±17 (mod 64) e X≡±49 (mod. 64).

Consideriamo ora un confronto generale: X 2 ≡un(mod m), (un,m)=1, - scomposizione canonica del modulo m. Secondo il Teorema del paragrafo 4 del §4, questo confronto è equivalente al sistema

Se ogni confronto di questo sistema è decidibile, allora l'intero sistema è decidibile. Trovata la soluzione di ogni confronto di questo sistema, otteniamo un sistema di confronti di primo grado, risolvendo il quale, utilizzando il teorema cinese del resto, otteniamo la soluzione del confronto originale. Inoltre, il numero di diverse soluzioni del confronto originale (se risolvibile) è 2 K, se α=1, 2 K+1 se α=2, 2 K+2 se α≥3.

Esempio:

Risolvi il confronto X 2 ≡4 (mod. 21).