L'uso delle equazioni è molto diffuso nelle nostre vite. Sono usati in molti calcoli, costruzione di strutture e persino sport. Le equazioni sono state usate dall'uomo fin dall'antichità e da allora il loro uso è solo aumentato. Il discriminante consente di risolvere eventuali equazioni quadratiche utilizzando la formula generale, che ha la seguente forma:

La formula discriminante dipende dal grado del polinomio. La formula sopra è adatta per risolvere equazioni quadratiche della seguente forma:

Il discriminante ha le seguenti proprietà che devi conoscere:

* "D" è 0 quando il polinomio ha radici multiple (radici uguali);

* "D" è un polinomio simmetrico rispetto alle radici del polinomio e quindi è un polinomio nei suoi coefficienti; inoltre i coefficienti di questo polinomio sono interi, indipendentemente dall'estensione in cui si prendono le radici.

Supponiamo di avere un'equazione quadratica della seguente forma:

1 equazione

Secondo la formula abbiamo:

Poiché \, l'equazione ha 2 radici. Definiamoli:

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Questo argomento può sembrare complicato all'inizio a causa delle molte formule non così semplici. Non solo le equazioni quadratiche stesse hanno voci lunghe, ma anche le radici si trovano attraverso il discriminante. Ci sono tre nuove formule in totale. Non molto facile da ricordare. Ciò è possibile solo dopo la frequente soluzione di tali equazioni. Quindi tutte le formule verranno ricordate da sole.

Vista generale dell'equazione quadratica

Qui viene proposta la loro notazione esplicita, quando viene scritto prima il grado più grande, e poi - in ordine decrescente. Spesso ci sono situazioni in cui i termini si distinguono. Quindi è meglio riscrivere l'equazione in ordine decrescente del grado della variabile.

Introduciamo la notazione. Sono presentati nella tabella seguente.

Se accettiamo queste notazioni, tutte le equazioni quadratiche sono ridotte alla seguente notazione.

Inoltre, il coefficiente a ≠ 0. Si indichi questa formula con il numero uno.

Quando viene data l'equazione, non è chiaro quante radici ci saranno nella risposta. Perché una delle tre opzioni è sempre possibile:

• la soluzione avrà due radici;
• la risposta sarà un numero;
• L'equazione non ha alcuna radice.

E mentre la decisione non è portata a termine, è difficile capire quale delle opzioni cadrà in un caso particolare.

Tipi di record di equazioni quadratiche

Le attività possono avere voci diverse. Non sembreranno sempre la formula generale di un'equazione quadratica. A volte mancherà di alcuni termini. Ciò che è stato scritto sopra è l'equazione completa. Se rimuovi il secondo o il terzo termine, ottieni qualcos'altro. Questi record sono anche chiamati equazioni quadratiche, solo incomplete.

Inoltre, possono scomparire solo i termini per i quali i coefficienti "b" e "c". Il numero "a" non può essere uguale a zero in nessun caso. Perché in questo caso la formula si trasforma in un'equazione lineare. Le formule per la forma incompleta delle equazioni saranno le seguenti:

Quindi, ci sono solo due tipi, oltre a quelli completi, ci sono anche equazioni quadratiche incomplete. Sia la prima formula il numero due e la seconda il numero tre.

Il discriminante e la dipendenza del numero di radici dal suo valore

Questo numero deve essere noto per calcolare le radici dell'equazione. Può sempre essere calcolato, indipendentemente dalla formula dell'equazione quadratica. Per calcolare il discriminante, devi usare l'uguaglianza scritta sotto, che avrà il numero quattro.

Dopo aver sostituito i valori dei coefficienti in questa formula, puoi ottenere numeri con segni diversi. Se la risposta è sì, allora la risposta all'equazione sarà due radici diverse. Con un numero negativo, le radici dell'equazione quadratica saranno assenti. Se è uguale a zero, la risposta sarà uno.

Come si risolve un'equazione quadratica completa?

In effetti, la considerazione di questo problema è già iniziata. Perché prima devi trovare il discriminante. Dopo che è stato chiarito che ci sono radici dell'equazione quadratica e il loro numero è noto, è necessario utilizzare le formule per le variabili. Se ci sono due radici, è necessario applicare una tale formula.

Poiché contiene il segno "±", ci saranno due valori. L'espressione sotto il segno della radice quadrata è il discriminante. Pertanto, la formula può essere riscritta in un modo diverso.

Formula cinque. Dallo stesso record si può vedere che se il discriminante è zero, allora entrambe le radici assumeranno gli stessi valori.

Se la soluzione delle equazioni quadratiche non è stata ancora elaborata, è meglio annotare i valori di tutti i coefficienti prima di applicare le formule discriminanti e variabili. Più tardi questo momento non causerà difficoltà. Ma proprio all'inizio c'è confusione.

Come si risolve un'equazione quadratica incompleta?

Tutto è molto più semplice qui. Anche non c'è bisogno di formule aggiuntive. E non avrai bisogno di quelli che sono già stati scritti per il discriminante e l'ignoto.

Innanzitutto, considera l'equazione incompleta numero due. In questa uguaglianza, si suppone che tolga il valore sconosciuto dalla parentesi e risolva l'equazione lineare, che rimarrà tra parentesi. La risposta avrà due radici. Il primo è necessariamente uguale a zero, perché esiste un fattore costituito dalla variabile stessa. Il secondo si ottiene risolvendo un'equazione lineare.

L'equazione incompleta al numero tre viene risolta trasferendo il numero dal lato sinistro dell'equazione a quello destro. Quindi devi dividere per il coefficiente davanti all'incognita. Resta solo da estrarre la radice quadrata e non dimenticare di annotarla due volte con segni opposti.

Le seguenti sono alcune azioni che ti aiutano a imparare a risolvere tutti i tipi di uguaglianze che si trasformano in equazioni quadratiche. Aiuteranno lo studente a evitare errori dovuti alla disattenzione. Queste carenze sono la causa di voti scarsi quando si studia l'ampio argomento "Equazioni quadriche (grado 8)". Successivamente, queste azioni non dovranno essere costantemente eseguite. Perché ci sarà un'abitudine stabile.

• Per prima cosa devi scrivere l'equazione in forma standard. Cioè, prima il termine con il grado più grande della variabile, e poi - senza il grado e l'ultimo - solo un numero.

• Se viene visualizzato un meno prima del coefficiente "a", può complicare il lavoro per un principiante nello studio delle equazioni di secondo grado. È meglio liberarsene. A tal fine, tutte le uguaglianze devono essere moltiplicate per "-1". Ciò significa che tutti i termini cambieranno segno nel contrario.

• Allo stesso modo, si consiglia di eliminare le frazioni. Basta moltiplicare l'equazione per il fattore appropriato in modo che i denominatori si annullino.

Esempi

È necessario risolvere le seguenti equazioni quadratiche:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

La prima equazione: x 2 - 7x \u003d 0. È incompleta, quindi viene risolta come descritto per la formula numero due.

Dopo il bracketing, risulta: x (x - 7) \u003d 0.

La prima radice assume il valore: x 1 \u003d 0. La seconda verrà trovata dall'equazione lineare: x - 7 \u003d 0. È facile vedere che x 2 \u003d 7.

Seconda equazione: 5x2 + 30 = 0. Ancora incompleta. Solo che è risolto come descritto per la terza formula.

Dopo aver trasferito 30 sul lato destro dell'equazione: 5x 2 = 30. Ora devi dividere per 5. Risulta: x 2 = 6. Le risposte saranno numeri: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Terza equazione: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Qui e sotto, la soluzione delle equazioni quadratiche inizierà riscrivendole in una forma standard: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Ora è il momento di usare la seconda consiglio utile e moltiplicare tutto per meno uno. Risulta x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Secondo la quarta formula, è necessario calcolare il discriminante: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. È un numero positivo. Da quanto detto sopra, risulta che l'equazione ha due radici. Devono essere calcolati secondo la quinta formula. Secondo esso, risulta che x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Quindi x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

La quarta equazione x 2 + 8 + 3x \u003d 0 viene convertita in questo: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Il suo discriminante è uguale a questo valore: -23. Poiché questo numero è negativo, la risposta a questa attività sarà la seguente voce: "Non ci sono radici".

La quinta equazione 12x + x 2 + 36 = 0 va riscritta come segue: x 2 + 12x + 36 = 0. Dopo aver applicato la formula del discriminante si ottiene il numero zero. Ciò significa che avrà una radice, ovvero: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

La sesta equazione (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) richiede trasformazioni, che consistono nel fatto che devi portare termini simili, prima di aprire le parentesi. Al posto della prima ci sarà una tale espressione: x 2 + 2x + 1. Dopo l'uguaglianza, apparirà questa voce: x 2 + 3x + 2. Dopo aver contato termini simili, l'equazione assumerà la forma: x 2 -x \u003d 0. È diventato incompleto. Simile ad esso è già stato considerato un po' più alto. Le radici di questo saranno i numeri 0 e 1.

Equazioni quadratiche. Discriminante. Soluzione, esempi.

Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale nella Parte Speciale 555.
Per chi fortemente "non molto..."
E per chi "molto...")

Tipi di equazioni quadratiche

Che cos'è un'equazione quadratica? Che cosa sembra? In termini equazione quadrata la parola chiave è "quadrato". Significa che nell'equazione necessariamente ci deve essere una x al quadrato. Oltre a ciò, nell'equazione possono esserci (o non esserci!) Solo x (al primo grado) e solo un numero (membro gratuito). E non dovrebbero esserci x in grado maggiore di due.

In termini matematici, un'equazione quadratica è un'equazione della forma:

Qui a, b e c- alcuni numeri. b e c- assolutamente qualsiasi, ma un- tutt'altro che zero. Per esempio:

Qui un =1; b = 3; c = -4

Qui un =2; b = -0,5; c = 2,2

Qui un =-3; b = 6; c = -18

beh, ti sei fatto un'idea...

In queste equazioni quadratiche, a sinistra, c'è set completo membri. x al quadrato con il coefficiente un, x alla prima potenza con coefficiente b e membro libero di

Tali equazioni quadratiche sono chiamate completare.

Cosa succede se b= 0, cosa otterremo? abbiamo X scomparirà nel primo grado. Questo accade moltiplicando per zero.) Risulta, ad esempio:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Eccetera. E se entrambi i coefficienti b e c sono uguali a zero, allora è ancora più semplice:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Si chiamano tali equazioni, dove manca qualcosa equazioni quadratiche incomplete. Il che è abbastanza logico.) Si noti che x al quadrato è presente in tutte le equazioni.

A proposito perché un non può essere zero? E tu invece sostituisci un zero.) La X nel quadrato scomparirà! L'equazione diventerà lineare. Ed è fatto diversamente...

Questi sono tutti i principali tipi di equazioni quadratiche. Completo e incompleto.

Soluzione di equazioni quadratiche.

Soluzione di equazioni quadratiche complete.

Le equazioni quadratiche sono facili da risolvere. Secondo formule e regole semplici e chiare. Nella prima fase, è necessario portare l'equazione data nella forma standard, ad es. alla vista:

Se l'equazione ti è già stata data in questo modulo, non è necessario eseguire la prima fase.) L'importante è determinare correttamente tutti i coefficienti, un, b e c.

La formula per trovare le radici di un'equazione quadratica è simile alla seguente:

Viene chiamata l'espressione sotto il segno della radice discriminante. Ma di più su di lui di seguito. Come puoi vedere, per trovare x, utilizziamo solo a, b e c. Quelli. coefficienti dall'equazione quadratica. Sostituisci con cura i valori a, b e c in questa formula e contare. Sostituto con i tuoi segni! Ad esempio, nell'equazione:

un =1; b = 3; c= -4. Qui scriviamo:

Esempio quasi risolto:

Questa è la risposta.

Tutto è molto semplice. E tu cosa ne pensi, non puoi sbagliare? Ebbene sì, come...

Gli errori più comuni sono la confusione con i segni dei valori a, b e c. O meglio, non con i loro segni (dove confondersi?), ma con la sostituzione di valori negativi nella formula per il calcolo delle radici. Qui, viene salvata una registrazione dettagliata della formula con numeri specifici. Se ci sono problemi con i calcoli, allora fallo!

Supponiamo di dover risolvere il seguente esempio:

Qui un = -6; b = -5; c = -1

Diciamo che sai che raramente ricevi risposte la prima volta.

Bene, non essere pigro. Ci vorranno 30 secondi per scrivere una riga in più e il numero di errori cadrà bruscamente. Quindi scriviamo nel dettaglio, con tutte le parentesi e i segni:

Sembra incredibilmente difficile dipingere così accuratamente. Ma sembra solo. Provalo. Bene, o scegli. Qual è meglio, veloce o giusto? Inoltre, ti renderò felice. Dopo un po', non ci sarà più bisogno di dipingere tutto così accuratamente. Risulterà giusto. Soprattutto se applichi le tecniche pratiche, che sono descritte di seguito. Questo esempio malvagio con un sacco di svantaggi sarà risolto facilmente e senza errori!

Ma, spesso, le equazioni quadratiche hanno un aspetto leggermente diverso. Ad esempio, in questo modo:

Lo sapevi?) Sì! esso equazioni quadratiche incomplete.

Soluzione di equazioni quadratiche incomplete.

Possono anche essere risolti con la formula generale. Devi solo capire correttamente cosa è uguale qui a, b e c.

Realizzato? Nel primo esempio a = 1; b = -4; un c? Non esiste affatto! Ebbene sì, è vero. In matematica, questo significa questo c = 0 ! È tutto. Sostituisci zero nella formula invece di c, e tutto funzionerà per noi. Allo stesso modo con il secondo esempio. Solo zero che non abbiamo qui Insieme a, un b !

Ma le equazioni quadratiche incomplete possono essere risolte molto più facilmente. Senza formule. Considera la prima equazione incompleta. Cosa si può fare sul lato sinistro? Puoi togliere la X da parentesi! Tiriamolo fuori.

E che ne dici? E il fatto che il prodotto sia uguale a zero se, e solo se uno qualsiasi dei fattori è uguale a zero! Non credi? Bene, allora trova due numeri diversi da zero che, quando moltiplicati, daranno zero!
Non funziona? Qualche cosa...
Pertanto, possiamo tranquillamente scrivere: x 1 = 0, x 2 = 4.

Tutto quanto. Queste saranno le radici della nostra equazione. Entrambi si adattano. Sostituendo uno di essi nell'equazione originale, otteniamo l'identità corretta 0 = 0. Come puoi vedere, la soluzione è molto più semplice della formula generale. Noto, tra l'altro, quale X sarà la prima e quale la seconda: è assolutamente indifferente. Facile da scrivere in ordine x 1- quello che è meno x 2- ciò che è di più.

Anche la seconda equazione può essere facilmente risolta. Spostiamo 9 sul lato destro. Noi abbiamo:

Resta da estrarre la radice da 9, e il gioco è fatto. Ottenere:

anche due radici . x 1 = -3, x 2 = 3.

Ecco come vengono risolte tutte le equazioni quadratiche incomplete. O togliendo X tra parentesi o semplicemente trasferendo il numero a destra, quindi estraendo la radice.
È estremamente difficile confondere questi metodi. Semplicemente perché nel primo caso dovrai estrarre la radice da X, cosa in qualche modo incomprensibile, e nel secondo caso non c'è nulla da togliere tra parentesi...

Discriminante. Formula discriminante.

parola magica discriminante ! Un raro studente delle superiori non ha sentito questa parola! L'espressione “decidere attraverso il discriminante” è rassicurante e rassicurante. Perché non c'è bisogno di aspettare i trucchi del discriminante! È semplice e senza problemi da usare.) Ti ricordo la formula più generale per risolvere qualunque equazioni quadratiche:

L'espressione sotto il segno della radice è chiamata discriminante. Il discriminante è solitamente indicato dalla lettera D. Formula discriminante:

D = b 2 - 4ac

E cosa c'è di così speciale in questa espressione? Perché merita un nome speciale? Che cosa significato del discriminante? Dopotutto -b, o 2a in questa formula non nominano specificamente ... Lettere e lettere.

Il punto è questo. Quando si risolve un'equazione quadratica utilizzando questa formula, è possibile solo tre casi.

1. Il discriminante è positivo. Ciò significa che puoi estrarre la radice da esso. Se la radice sia estratta bene o male è un'altra domanda. È importante ciò che viene estratto in linea di principio. Quindi la tua equazione quadratica ha due radici. Due diverse soluzioni.

2. Il discriminante è zero. Allora hai una soluzione. Poiché l'aggiunta o la sottrazione di zero al numeratore non cambia nulla. A rigor di termini, questa non è una singola radice, ma due identici. Ma, in una versione semplificata, è consuetudine parlarne una soluzione.

3. Il discriminante è negativo. Un numero negativo non prende la radice quadrata. Allora ok. Ciò significa che non ci sono soluzioni.

Ad essere onesti, con una semplice soluzione di equazioni quadratiche, il concetto di discriminante non è realmente richiesto. Sostituiamo i valori dei coefficienti nella formula e consideriamo. Là tutto risulta da solo, e due radici, e una, e non una sola. Tuttavia, quando si risolvono compiti più complessi, senza conoscenza significato e formula discriminante non abbastanza. Soprattutto - nelle equazioni con parametri. Tali equazioni sono acrobazie aeree per il GIA e l'esame di stato unificato!)

Così, come risolvere equazioni quadratiche attraverso il discriminante che ricordavi. O appreso, il che non è male.) Sai come identificare correttamente a, b e c. Sai come con attenzione sostituirli nella formula radice e con attenzione contare il risultato. Hai capito che la parola chiave qui è - con attenzione?

Ora prendi nota delle tecniche pratiche che riducono drasticamente il numero di errori. Proprio quelli che sono dovuti alla disattenzione... Per cui poi è doloroso e offensivo...

Primo ricevimento . Non essere pigro prima di risolvere un'equazione quadratica per portarla a una forma standard. Cosa significa questo?
Supponiamo, dopo ogni trasformazione, di ottenere la seguente equazione:

Non affrettarti a scrivere la formula delle radici! Quasi sicuramente confonderai le probabilità a, b e c. Costruisci l'esempio correttamente. Prima x al quadrato, poi senza quadrato, quindi un membro libero. Come questo:

E ancora, non avere fretta! Il meno prima della x al quadrato può sconvolgerti molto. Dimenticarlo è facile... Sbarazzati del meno. Come? Sì, come insegnato nell'argomento precedente! Dobbiamo moltiplicare l'intera equazione per -1. Noi abbiamo:

E ora puoi tranquillamente annotare la formula per le radici, calcolare il discriminante e completare l'esempio. Decidi da solo. Dovresti finire con le radici 2 e -1.

Secondo ricevimento. Controlla le tue radici! Secondo il teorema di Vieta. Non preoccuparti, ti spiego tutto! Controllo ultima cosa l'equazione. Quelli. quello con cui abbiamo scritto la formula delle radici. Se (come in questo esempio) il coefficiente a = 1, controlla facilmente le radici. Basta moltiplicarli. Dovresti ottenere un periodo gratuito, ad es. nel nostro caso -2. Presta attenzione, non 2, ma -2! membro libero con il tuo segno . Se non ha funzionato, significa che hanno già incasinato da qualche parte. Cerca un errore.

Se ha funzionato, devi piegare le radici. Ultimo e ultimo controllo. Dovrebbe essere un rapporto b Insieme a di fronte cartello. Nel nostro caso -1+2 = +1. Un coefficiente b, che è prima di x, è uguale a -1. Allora, è tutto a posto!
È un peccato che sia così semplice solo per esempi in cui x al quadrato è puro, con un coefficiente a = 1. Ma almeno controlla queste equazioni! Ci saranno meno errori.

Accoglienza terza . Se la tua equazione ha coefficienti frazionari, elimina le frazioni! Moltiplica l'equazione per il denominatore comune come descritto nella lezione "Come risolvere le equazioni? Trasformazioni di identità". Quando lavori con frazioni, errori, per qualche motivo, sali ...

A proposito, ho promesso un esempio malvagio con un sacco di svantaggi da semplificare. Per favore! Eccolo.

Per non confonderci con i meno, moltiplichiamo l'equazione per -1. Noi abbiamo:

È tutto! Decidere è divertente!

Quindi ricapitoliamo l'argomento.

Consigli pratici:

1. Prima di risolvere, portiamo l'equazione quadratica nella forma standard, la costruiamo Giusto.

2. Se c'è un coefficiente negativo davanti alla x nel quadrato, lo eliminiamo moltiplicando l'intera equazione per -1.

3. Se i coefficienti sono frazionari, eliminiamo le frazioni moltiplicando l'intera equazione per il fattore corrispondente.

4. Se x al quadrato è puro, il suo coefficiente è uguale a uno, la soluzione può essere facilmente verificata dal teorema di Vieta. Fallo!

Ora puoi decidere.)

Risolvi equazioni:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3 x + 8 = 0

x 2 - 4 x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Risposte (in disordine):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - qualsiasi numero

x 1 = -3
x 2 = 3

nessuna soluzione

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Va tutto bene? Eccellente! Le equazioni quadratiche non sono il tuo mal di testa. I primi tre si sono rivelati, ma il resto no? Allora il problema non è nelle equazioni quadratiche. Il problema è nelle trasformazioni identiche di equazioni. Dai un'occhiata al link, è utile.

Non funziona del tutto? O non funziona per niente? Quindi ti aiuterà la Sezione 555. Lì, tutti questi esempi sono ordinati per ossa. Mostrando principale errori nella soluzione. Naturalmente, parla anche dell'applicazione di trasformazioni identiche nella risoluzione di varie equazioni. Aiuta molto!

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Solo. Secondo formule e regole semplici e chiare. Al primo stadio

è necessario riportare l'equazione data nella forma standard, cioè alla vista:

Se l'equazione ti è già stata fornita in questo modulo, non è necessario eseguire la prima fase. La cosa più importante è giusta

determinare tutti i coefficienti un, b e c.

Formula per trovare le radici di un'equazione quadratica.

Viene chiamata l'espressione sotto il segno della radice discriminante . Come puoi vedere, per trovare x, noi

uso solo a, b e c. Quelli. probabilità da equazione quadrata. Basta inserire con attenzione

i valori a, b e c in questa formula e contare. Sostituisci con i loro segni!

Per esempio, nell'equazione:

un =1; b = 3; c = -4.

Sostituisci i valori e scrivi:

Esempio quasi risolto:

Questa è la risposta.

Gli errori più comuni sono la confusione con i segni dei valori a, b e Insieme a. Piuttosto, con sostituzione

valori negativi nella formula per il calcolo delle radici. Qui la formula dettagliata salva

con numeri specifici. Se ci sono problemi con i calcoli, fallo!

Supponiamo di dover risolvere il seguente esempio:

Qui un = -6; b = -5; c = -1

Dipingiamo tutto nei minimi dettagli, con cura, senza tralasciare nulla con tutti i segni e le parentesi:

Spesso le equazioni quadratiche hanno un aspetto leggermente diverso. Ad esempio, in questo modo:

Ora prendi nota delle tecniche pratiche che riducono drasticamente il numero di errori.

Primo ricevimento. Non essere pigro prima risolvere un'equazione quadratica portalo in forma standard.

Cosa significa questo?

Supponiamo, dopo ogni trasformazione, di ottenere la seguente equazione:

Non affrettarti a scrivere la formula delle radici! Quasi sicuramente confonderai le probabilità a, b e c.

Costruisci l'esempio correttamente. Prima x al quadrato, poi senza quadrato, quindi un membro libero. Come questo:

Sbarazzati del meno. Come? Dobbiamo moltiplicare l'intera equazione per -1. Noi abbiamo:

E ora puoi tranquillamente annotare la formula per le radici, calcolare il discriminante e completare l'esempio.

Decidi da solo. Dovresti finire con le radici 2 e -1.

Secondo ricevimento. Controlla le tue radici! Di Il teorema di Vieta.

Per risolvere le equazioni quadratiche date, ad es. se il coefficiente

x2+bx+c=0,

poix 1 x 2 = c

x1 +x2 =-b

Per un'equazione quadratica completa in cui a≠1:

x 2 +bx+c=0,

dividere l'intera equazione per un:

→ →

dove x 1 e X 2 - radici dell'equazione.

Accoglienza terza. Se la tua equazione ha coefficienti frazionari, elimina le frazioni! Moltiplicare

equazione per un denominatore comune.

Conclusione. Consigli pratici:

1. Prima di risolvere, portiamo l'equazione quadratica nella forma standard, la costruiamo Giusto.

2. Se c'è un coefficiente negativo davanti alla x nel quadrato, lo eliminiamo moltiplicando tutto

equazioni per -1.

3. Se i coefficienti sono frazionari, eliminiamo le frazioni moltiplicando l'intera equazione per il corrispondente

fattore.

4. Se x al quadrato è puro, il suo coefficiente è uguale a uno, la soluzione può essere facilmente verificata

In continuazione dell'argomento "Risoluzione di equazioni", il materiale in questo articolo ti introdurrà alle equazioni quadratiche.

Consideriamo tutto in dettaglio: l'essenza e la notazione di un'equazione quadratica, impostare i termini di accompagnamento, analizzare lo schema per risolvere equazioni incomplete e complete, familiarizzare con la formula delle radici e il discriminante, stabilire connessioni tra radici e coefficienti e di Naturalmente daremo una soluzione visiva di esempi pratici.

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Equazione quadratica, suoi tipi

Definizione 1

Equazione quadrataè l'equazione scritta come a x 2 + b x + c = 0, dove X– variabile, a , b e c sono alcuni numeri, mentre un non è zero.

Spesso le equazioni di secondo grado sono anche dette equazioni di secondo grado, poiché in effetti un'equazione di secondo grado è un'equazione algebrica di secondo grado.

Facciamo un esempio per illustrare la definizione data: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, ecc. sono equazioni quadratiche.

Definizione 2

Numeri a, b e c sono i coefficienti dell'equazione quadratica a x 2 + b x + c = 0, mentre il coefficiente unè chiamato il primo, o senior, o coefficiente a x 2, b - il secondo coefficiente, o coefficiente a X, un c chiamato un membro libero.

Ad esempio, nell'equazione quadratica 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 il coefficiente più alto è 6 , il secondo coefficiente è − 2 , e il termine libero è uguale a − 11 . Prestiamo attenzione al fatto che quando i coefficienti b e/o c sono negativi, quindi viene utilizzata la forma abbreviata 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ma no 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Chiariamo anche questo aspetto: se i coefficienti un e/o b pari 1 o − 1 , allora potrebbero non prendere parte esplicita alla scrittura dell'equazione quadratica, che si spiega con le peculiarità della scrittura dei coefficienti numerici indicati. Ad esempio, nell'equazione quadratica y 2 - y + 7 = 0 il coefficiente senior è 1 e il secondo coefficiente è − 1 .

Equazioni quadratiche ridotte e non ridotte

In base al valore del primo coefficiente, le equazioni quadratiche sono divise in ridotte e non ridotte.

Definizione 3

Equazione quadratica ridottaè un'equazione quadratica in cui il coefficiente principale è 1 . Per altri valori del coefficiente principale, l'equazione quadratica non è ridotta.

Ecco alcuni esempi: si riducono le equazioni quadratiche x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0, in ciascuna delle quali il coefficiente direttivo è 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- equazione quadratica non ridotta, dove il primo coefficiente è diverso da 1 .

Qualsiasi equazione quadratica non ridotta può essere convertita in un'equazione ridotta dividendo entrambe le sue parti per il primo coefficiente (trasformazione equivalente). L'equazione trasformata avrà le stesse radici dell'equazione non ridotta data o non avrà nemmeno radici.

La considerazione di un esempio specifico ci consentirà di dimostrare chiaramente il passaggio da un'equazione quadratica non ridotta a una ridotta.

Esempio 1

Data l'equazione 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . È necessario convertire l'equazione originale nella forma ridotta.

Soluzione

Secondo lo schema sopra, dividiamo entrambe le parti dell'equazione originale per il coefficiente principale 6 . Quindi otteniamo: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, e questo è lo stesso di: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 e inoltre: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Da qui: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Si ottiene così un'equazione equivalente a quella data.

Risposta: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Equazioni quadratiche complete e incomplete

Passiamo alla definizione di equazione quadratica. In esso, lo abbiamo specificato a ≠ 0. Una condizione simile è necessaria per l'equazione a x 2 + b x + c = 0 era esattamente quadrato, dal momento che a = 0 si trasforma essenzialmente in un'equazione lineare b x + c = 0.

Nel caso in cui i coefficienti b e c sono uguali a zero (cosa possibile, sia singolarmente che congiuntamente), l'equazione quadratica è detta incompleta.

Definizione 4

Equazione quadratica incompletaè un'equazione quadratica a x 2 + b x + c \u003d 0, dove almeno uno dei coefficienti b e c(o entrambi) è zero.

Equazione quadratica completaè un'equazione quadratica in cui tutti i coefficienti numerici non sono uguali a zero.

Discutiamo perché ai tipi di equazioni di secondo grado vengono dati proprio questi nomi.

Per b = 0, l'equazione quadratica assume la forma a x 2 + 0 x + c = 0, che è lo stesso di a x 2 + c = 0. In c = 0 l'equazione quadratica è scritta come a x 2 + b x + 0 = 0, che è equivalente a x 2 + b x = 0. In b = 0 e c = 0 l'equazione assumerà la forma a x 2 = 0. Le equazioni che abbiamo ottenuto differiscono dall'equazione quadratica completa in quanto i loro lati di sinistra non contengono né un termine con la variabile x, né un termine libero, o entrambi contemporaneamente. In realtà, questo fatto ha dato il nome a questo tipo di equazioni: incomplete.

Ad esempio, x 2 + 3 x + 4 = 0 e − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sono equazioni quadratiche complete; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 sono equazioni quadratiche incomplete.

Risoluzione di equazioni quadratiche incomplete

La definizione data sopra permette di distinguere i seguenti tipi di equazioni quadratiche incomplete:

• a x 2 = 0, i coefficienti corrispondono a tale equazione b = 0 e c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 per b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 per c = 0 .

Si consideri successivamente la soluzione di ogni tipo di equazione quadratica incompleta.

Soluzione dell'equazione a x 2 \u003d 0

Come già accennato in precedenza, tale equazione corrisponde ai coefficienti b e c, uguale a zero. L'equazione a x 2 = 0 può essere convertito in un'equazione equivalente x2 = 0, che otteniamo dividendo entrambi i membri dell'equazione originale per il numero un, diverso da zero. Il fatto ovvio è che la radice dell'equazione x2 = 0è zero perché 0 2 = 0 . Questa equazione non ha altre radici, il che è spiegato dalle proprietà del grado: per qualsiasi numero p , diverso da zero, la disuguaglianza è vera p2 > 0, da cui segue che quando p ≠ 0 uguaglianza p2 = 0 non sarà mai raggiunto.

Definizione 5

Quindi, per l'equazione quadratica incompleta a x 2 = 0, c'è un'unica radice x=0.

Esempio 2

Ad esempio, risolviamo un'equazione quadratica incompleta − 3 x 2 = 0. È equivalente all'equazione x2 = 0, la sua unica radice è x=0, quindi l'equazione originale ha un'unica radice - zero.

La soluzione è così riassunta:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Soluzione dell'equazione a x 2 + c \u003d 0

Il prossimo in linea è la soluzione delle equazioni quadratiche incomplete, dove b \u003d 0, c ≠ 0, cioè equazioni della forma a x 2 + c = 0. Trasformiamo questa equazione trasferendo il termine da un lato all'altro dell'equazione, cambiando il segno al contrario e dividendo entrambi i membri dell'equazione per un numero diverso da zero:

• sopportare c a destra, che dà l'equazione un x 2 = - c;
• dividere entrambi i membri dell'equazione per un, otteniamo come risultato x = - c a .

Le nostre trasformazioni sono rispettivamente equivalenti, l'equazione risultante è anche equivalente a quella originale, e questo fatto permette di trarre una conclusione sulle radici dell'equazione. Da quali sono i valori un e c dipende dal valore dell'espressione - c a: può avere un segno meno (ad esempio, if a = 1 e c = 2, quindi - c a = - 2 1 = - 2) o un segno più (ad esempio, if a = -2 e c=6, quindi - c a = - 6 - 2 = 3); non è uguale a zero perché c ≠ 0. Soffermiamoci più in dettaglio sulle situazioni in cui - c a< 0 и - c a > 0 .

Nel caso in cui - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p uguaglianza p 2 = - c a non può essere vero.

Tutto è diverso quando - c a > 0: ricorda la radice quadrata e diventerà ovvio che la radice dell'equazione x 2 \u003d - c a sarà il numero - c a, poiché - c a 2 \u003d - c a. È facile comprendere che il numero - - c a - è anche la radice dell'equazione x 2 = - c a: infatti, - - c a 2 = - c a .

L'equazione non avrà altre radici. Possiamo dimostrarlo usando il metodo opposto. Per prima cosa, impostiamo la notazione delle radici trovate sopra come x 1 e − x 1. Assumiamo che anche l'equazione x 2 = - c a abbia una radice x2, che è diverso dalle radici x 1 e − x 1. Lo sappiamo sostituendo nell'equazione invece di X le sue radici, trasformiamo l'equazione in una giusta uguaglianza numerica.

Per x 1 e − x 1 scrivi: x 1 2 = - c a , e per x2- x 2 2 \u003d - c a. Sulla base delle proprietà delle uguaglianze numeriche, sottraiamo una vera uguaglianza da un altro termine per termine, che ci darà: x 1 2 - x 2 2 = 0. Utilizzare le proprietà delle operazioni sui numeri per riscrivere l'ultima uguaglianza come (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. È noto che il prodotto di due numeri è zero se e solo se almeno uno dei numeri è zero. Da quanto detto ne consegue che x1 - x2 = 0 e/o x1 + x2 = 0, che è lo stesso x2 = x1 e/o x 2 = - x 1. Sorse un'ovvia contraddizione, perché in un primo momento si era convenuto che la radice dell'equazione x2 si differenzia da x 1 e − x 1. Quindi, abbiamo dimostrato che l'equazione non ha altre radici che x = - c a e x = - - c a .

Riassumiamo tutti gli argomenti di cui sopra.

Definizione 6

Equazione quadratica incompleta a x 2 + c = 0è equivalente all'equazione x 2 = - c a , che:

• non avrà radici in - c a< 0 ;
• avrà due radici x = - c a e x = - - c a quando - c a > 0 .

Diamo esempi di risoluzione di equazioni a x 2 + c = 0.

Esempio 3

Data un'equazione quadratica 9 x 2 + 7 = 0 .È necessario trovare la sua soluzione.

Soluzione

Trasferiamo il termine libero sul lato destro dell'equazione, quindi l'equazione assumerà la forma 9 x 2 \u003d - 7.
Dividiamo entrambi i membri dell'equazione risultante per 9 , arriviamo a x 2 = - 7 9 . Sul lato destro vediamo un numero con il segno meno, che significa: l'equazione data non ha radici. Quindi l'equazione quadratica incompleta originale 9 x 2 + 7 = 0 non avrà radici.

Risposta: l'equazione 9 x 2 + 7 = 0 non ha radici.

Esempio 4

È necessario risolvere l'equazione -x2 + 36 = 0.

Soluzione

Spostiamo 36 a destra: − x 2 = − 36.
Dividiamo entrambe le parti in − 1 , noi abbiamo x2 = 36. Sul lato destro c'è un numero positivo, da cui possiamo dedurlo x = 36 o x = - 36 .
Estraiamo la radice e scriviamo il risultato finale: un'equazione quadratica incompleta -x2 + 36 = 0 ha due radici x=6 o x = -6.

Risposta: x=6 o x = -6.

Soluzione dell'equazione a x 2 +b x=0

Analizziamo il terzo tipo di equazioni quadratiche incomplete, quando c = 0. Per trovare una soluzione a un'equazione quadratica incompleta a x 2 + b x = 0, utilizziamo il metodo di fattorizzazione. Fattorizziamo il polinomio, che si trova sul lato sinistro dell'equazione, togliendo tra parentesi il fattore comune X. Questo passaggio consentirà di trasformare l'equazione quadratica incompleta originale nel suo equivalente x (a x + b) = 0. E questa equazione, a sua volta, è equivalente all'insieme delle equazioni x=0 e ax + b = 0. L'equazione ax + b = 0 lineare e la sua radice: x = - b un.

Definizione 7

Quindi, l'equazione quadratica incompleta a x 2 + b x = 0 avrà due radici x=0 e x = - b un.

Consolidiamo il materiale con un esempio.

Esempio 5

È necessario trovare la soluzione dell'equazione 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Soluzione

Tiriamo fuori X fuori dalle parentesi e ottieni l'equazione x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Questa equazione è equivalente alle equazioni x=0 e 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Ora dovresti risolvere l'equazione lineare risultante: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

In breve, scriviamo la soluzione dell'equazione come segue:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 o 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 o x = 3 3 7

Risposta: x = 0 , x = 3 3 7 .

Discriminante, formula delle radici di un'equazione quadratica

Per trovare una soluzione alle equazioni quadratiche, esiste una formula radice:

Definizione 8

x = - b ± D 2 a, dove D = b 2 − 4 un cè il cosiddetto discriminante di un'equazione quadratica.

Scrivere x \u003d - b ± D 2 a significa essenzialmente che x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Sarà utile capire come è stata ricavata la formula indicata e come applicarla.

Derivazione della formula delle radici di un'equazione quadratica

Supponiamo di trovarci di fronte al compito di risolvere un'equazione quadratica a x 2 + b x + c = 0. Eseguiamo una serie di trasformazioni equivalenti:

• dividi entrambi i membri dell'equazione per il numero un, diverso da zero, otteniamo l'equazione quadratica ridotta: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• seleziona il quadrato intero sul lato sinistro dell'equazione risultante:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Successivamente, l'equazione assumerà la forma: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• ora è possibile trasferire gli ultimi due termini a destra, cambiando il segno al contrario, dopodiché si ottiene: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• infine, trasformiamo l'espressione scritta a destra dell'ultima uguaglianza:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Quindi, siamo arrivati ​​all'equazione x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , che è equivalente all'equazione originale a x 2 + b x + c = 0.

Abbiamo discusso la soluzione di tali equazioni nei paragrafi precedenti (la soluzione di equazioni quadratiche incomplete). L'esperienza già acquisita permette di trarre una conclusione sulle radici dell'equazione x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• per b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• per b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, l'equazione ha la forma x + b 2 · a 2 = 0, quindi x + b 2 · a = 0.

Da qui, l'unica radice x = - b 2 · a è ovvia;

• per b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, quello corretto è: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 oppure x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , che è il come x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 o x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , cioè l'equazione ha due radici.

Si può concludere che la presenza o meno delle radici dell'equazione x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (e quindi l'equazione originaria) dipende dal segno dell'espressione b 2 - 4 a c 4 · un 2 scritto sul lato destro. E il segno di questa espressione è dato dal segno del numeratore, (il denominatore 4 un 2 sarà sempre positivo), cioè il segno dell'espressione b 2 − 4 un c. Questa espressione b 2 − 4 un c viene assegnato un nome: il discriminante di un'equazione quadratica e la lettera D è definita come designazione. Qui puoi annotare l'essenza del discriminante: in base al suo valore e segno, concludono se l'equazione quadratica avrà radici reali e, in tal caso, quante radici: una o due.

Torniamo all'equazione x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Riscriviamolo usando la notazione discriminante: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Ricapitoliamo le conclusioni:

Definizione 9

• a D< 0 l'equazione non ha vere radici;
• a D=0 l'equazione ha un'unica radice x = - b 2 · a ;
• a D > 0 l'equazione ha due radici: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 o x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Sulla base delle proprietà dei radicali, queste radici possono essere scritte come: x \u003d - b 2 a + D 2 a o - b 2 a - D 2 a. E quando apriamo i moduli e riduciamo le frazioni a un denominatore comune, otteniamo: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Quindi, il risultato del nostro ragionamento è stata la derivazione della formula per le radici dell'equazione quadratica:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , discriminante D calcolato dalla formula D = b 2 − 4 un c.

Queste formule consentono, quando il discriminante è maggiore di zero, di determinare entrambe le radici reali. Quando il discriminante è zero, l'applicazione di entrambe le formule darà la stessa radice dell'unica soluzione dell'equazione quadratica. Nel caso in cui il discriminante sia negativo, provando ad utilizzare la formula della radice quadratica, ci troveremo di fronte alla necessità di estrarre la radice quadrata di un numero negativo, che ci porterà oltre i numeri reali. Con un discriminante negativo, l'equazione quadratica non avrà radici reali, ma è possibile una coppia di radici coniugate complesse, determinate dalle stesse formule di radice che abbiamo ottenuto.

Algoritmo per la risoluzione di equazioni quadratiche mediante formule radice

È possibile risolvere un'equazione quadratica utilizzando immediatamente la formula della radice, ma in pratica questo viene fatto quando è necessario trovare radici complesse.

Nella maggior parte dei casi, la ricerca è solitamente intesa non per il complesso, ma per le radici reali di un'equazione quadratica. Quindi è ottimale, prima di utilizzare le formule per le radici dell'equazione quadratica, determinare prima il discriminante e assicurarsi che non sia negativo (altrimenti concluderemo che l'equazione non ha radici reali), quindi procedere al calcolo del valore delle radici.

Il ragionamento sopra consente di formulare un algoritmo per risolvere un'equazione quadratica.

Definizione 10

Per risolvere un'equazione quadratica a x 2 + b x + c = 0, necessario:

• secondo la formula D = b 2 − 4 un c trovare il valore del discriminante;
• a d< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• per D = 0 trova l'unica radice dell'equazione con la formula x = - b 2 · a ;
• per D > 0, determinare due radici reali dell'equazione quadratica con la formula x = - b ± D 2 · a.

Nota che quando il discriminante è zero, puoi usare la formula x = - b ± D 2 · a , darà lo stesso risultato della formula x = - b 2 · a .

Considera degli esempi.

Esempi di risoluzione di equazioni quadratiche

Presentiamo la soluzione di esempi per vari valori del discriminante.

Esempio 6

È necessario trovare le radici dell'equazione x 2 + 2 x - 6 = 0.

Soluzione

Scriviamo i coefficienti numerici dell'equazione quadratica: a \u003d 1, b \u003d 2 e c = - 6. Successivamente, agiamo secondo l'algoritmo, cioè Iniziamo a calcolare il discriminante, al quale sostituiamo i coefficienti a , b e c nella formula discriminante: D = b 2 − 4 un c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Quindi, abbiamo D > 0, il che significa che l'equazione originale avrà due radici reali.
Per trovarli, utilizziamo la formula radice x \u003d - b ± D 2 · a e, sostituendo i valori appropriati, otteniamo: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Semplifichiamo l'espressione risultante sottraendo il fattore dal segno della radice, seguito dalla riduzione della frazione:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 oppure x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 oppure x = - 1 - 7

Risposta: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Esempio 7

È necessario risolvere un'equazione quadratica − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Soluzione

Definiamo il discriminante: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Con questo valore del discriminante, l'equazione originale avrà una sola radice, determinata dalla formula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Risposta: x = 3, 5.

Esempio 8

È necessario risolvere l'equazione 5 anni 2 + 6 anni + 2 = 0

Soluzione

I coefficienti numerici di questa equazione saranno: a = 5 , b = 6 e c = 2 . Usiamo questi valori per trovare il discriminante: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Il discriminante calcolato è negativo, quindi l'equazione quadratica originale non ha radici reali.

Nel caso in cui il compito sia indicare radici complesse, applichiamo la formula della radice eseguendo operazioni con numeri complessi:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 io 10 o x \u003d - 6 - 2 io 10,

x = - 3 5 + 1 5 io o x = - 3 5 - 1 5 io .

Risposta: non ci sono vere radici; le radici complesse sono: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

Nel curriculum scolastico, come standard, non c'è obbligo di cercare radici complesse, quindi, se il discriminante viene definito negativo in fase di soluzione, si registra immediatamente la risposta che non ci sono vere radici.

Formula radice per coefficienti pari secondi

La formula della radice x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) permette di ottenere un'altra formula, più compatta, che permette di trovare soluzioni alle equazioni quadratiche con coefficiente pari in x (o con coefficiente della forma 2 a n, ad esempio 2 3 o 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Mostriamo come si ricava questa formula.

Supponiamo di trovarci di fronte al compito di trovare una soluzione all'equazione quadratica a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Agiamo secondo l'algoritmo: determiniamo il discriminante D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , quindi utilizziamo la formula della radice:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · circa .

Si indichi l'espressione n 2 − a c come D 1 (a volte è denotato D "). Quindi la formula per le radici dell'equazione quadratica considerata con il secondo coefficiente 2 n assumerà la forma:

x \u003d - n ± D 1 a, dove D 1 \u003d n 2 - a c.

È facile vedere che D = 4 · D 1 , o D 1 = D 4 . In altre parole, D 1 è un quarto del discriminante. Ovviamente, il segno di D 1 è lo stesso del segno di D, il che significa che il segno di D 1 può servire anche come indicatore della presenza o assenza delle radici di un'equazione quadratica.

Definizione 11

Pertanto, per trovare una soluzione a un'equazione quadratica con un secondo coefficiente di 2 n, è necessario:

• trova D 1 = n 2 − un c ;
• a D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• per D 1 = 0, determinare l'unica radice dell'equazione con la formula x = - n a ;
• per D 1 > 0, determinare due radici reali usando la formula x = - n ± D 1 a.

Esempio 9

È necessario risolvere l'equazione quadratica 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Soluzione

Il secondo coefficiente dell'equazione data può essere rappresentato come 2 · (− 3) . Quindi riscriviamo l'equazione quadratica data come 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , dove a = 5 , n = − 3 e c = − 32 .

Calcoliamo la quarta parte del discriminante: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Il valore risultante è positivo, il che significa che l'equazione ha due radici reali. Li definiamo con la formula corrispondente delle radici:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 oppure x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 oppure x = - 2

Sarebbe possibile eseguire calcoli utilizzando la solita formula per le radici di un'equazione quadratica, ma in questo caso la soluzione sarebbe più macchinosa.

Risposta: x = 3 1 5 oppure x = - 2 .

Semplificazione della forma delle equazioni quadratiche

A volte è possibile ottimizzare la forma dell'equazione originale, il che semplificherà il processo di calcolo delle radici.

Ad esempio, l'equazione quadratica 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 è chiaramente più conveniente per la risoluzione di 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Più spesso, la semplificazione della forma di un'equazione quadratica viene eseguita moltiplicando o dividendo le sue due parti per un certo numero. Ad esempio, sopra abbiamo mostrato una rappresentazione semplificata dell'equazione 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, ottenuta dividendo entrambe le sue parti per 100.

Tale trasformazione è possibile quando i coefficienti dell'equazione quadratica non sono numeri primi relativamente. Quindi, di solito, entrambe le parti dell'equazione sono divise per il massimo comun divisore dei valori assoluti dei suoi coefficienti.

Come esempio, utilizziamo l'equazione quadratica 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Definiamo il gcd dei valori assoluti dei suoi coefficienti: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Dividiamo entrambe le parti dell'equazione quadratica originale per 6 e otteniamo l'equazione quadratica equivalente 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Moltiplicando entrambi i membri dell'equazione quadratica, i coefficienti frazionari vengono solitamente eliminati. In questo caso, moltiplica per il minimo comune multiplo dei denominatori dei suoi coefficienti. Ad esempio, se ogni parte dell'equazione quadratica 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 viene moltiplicata per LCM (6, 3, 1) \u003d 6, verrà scritta in una forma più semplice x 2 + 4x - 18 = 0 .

Infine, notiamo che quasi sempre si elimina il meno al primo coefficiente dell'equazione quadratica, cambiando i segni di ogni termine dell'equazione, che si ottiene moltiplicando (o dividendo) entrambe le parti per − 1. Ad esempio, dall'equazione quadratica - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, puoi passare alla sua versione semplificata 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Relazione tra radici e coefficienti

La formula già nota per le radici delle equazioni quadratiche x = - b ± D 2 · a esprime le radici dell'equazione in termini di coefficienti numerici. Sulla base di questa formula, abbiamo l'opportunità di impostare altre dipendenze tra le radici e i coefficienti.

Le più famose e applicabili sono le formule del teorema di Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a e x 2 \u003d c a.

In particolare, per l'equazione quadratica data, la somma delle radici è il secondo coefficiente di segno opposto e il prodotto delle radici è uguale al termine libero. Ad esempio, con la forma dell'equazione quadratica 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, è possibile determinare immediatamente che la somma delle sue radici è 7 3 e il prodotto delle radici è 22 3.

Puoi anche trovare una serie di altre relazioni tra le radici e i coefficienti di un'equazione quadratica. Ad esempio, la somma dei quadrati delle radici di un'equazione quadratica può essere espressa in termini di coefficienti:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

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