Šiame straipsnyje mes parodysime, kaip kampo ir skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai trigonometrijoje. Čia kalbėsime apie žymėjimą, pateiksime įrašų pavyzdžių, pateiksime grafines iliustracijas. Apibendrinant, mes lyginame sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus trigonometrijoje ir geometrijoje.

Puslapio naršymas.

Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimas

Stebėkime, kaip mokykliniame matematikos kurse formuojasi sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento sąvokos. Geometrijos pamokose pateikiamas stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimas. O vėliau tiriama trigonometrija, kuri reiškia sukimosi kampo ir skaičiaus sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą. Pateikiame visus šiuos apibrėžimus, pateikiame pavyzdžių ir pateikiame reikiamas pastabas.

Smailusis kampas stačiakampiame trikampyje

Iš geometrijos eigos žinomi stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai. Jie pateikiami kaip stačiojo trikampio kraštinių santykis. Pateikiame jų formuluotes.

Apibrėžimas.

Stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas yra priešingos kojos ir hipotenuzės santykis.

Apibrėžimas.

Stačiojo trikampio smailiojo kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.

Apibrėžimas.

Stačiojo trikampio smailiojo kampo liestinė yra priešingos kojos ir gretimos kojos santykis.

Apibrėžimas.

Stačiojo trikampio smailiojo kampo kotangentė yra gretimos kojos ir priešingos kojos santykis.

Čia taip pat įvedamas sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento žymėjimas - atitinkamai sin, cos, tg ir ctg.

Pavyzdžiui, jei ABC yra stačiakampis trikampis su stačiu kampu C, tai smailiojo kampo A sinusas yra lygus priešingos kojos BC santykiui su hipotenuze AB, tai yra sin∠A=BC/AB.

Šie apibrėžimai leidžia apskaičiuoti smailaus kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmes iš žinomų stačiojo trikampio kraštinių ilgių, taip pat iš žinomų sinuso, kosinuso verčių, liestinė, kotangentas ir vienos iš kraštinių ilgis, raskite kitų kraštinių ilgius. Pavyzdžiui, jei žinotume, kad stačiakampiame trikampyje kojos AC yra 3, o hipotenuzė AB yra 7, tai smailiojo kampo A kosinusą galėtume apskaičiuoti pagal apibrėžimą: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Sukimosi kampas

Trigonometrijoje jie pradeda žiūrėti į kampą plačiau – įveda sukimosi kampo sąvoką. Sukimosi kampas, skirtingai nuo smailaus kampo, neapsiriboja rėmeliais nuo 0 iki 90 laipsnių, sukimosi kampas laipsniais (ir radianais) gali būti išreikštas bet kokiu realiu skaičiumi nuo −∞ iki +∞.

Šioje šviesoje sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai nebėra smailusis kampas, o savavališko dydžio kampas – sukimosi kampas. Jie pateikiami per taško A 1 x ir y koordinates, į kuriuos, pasisukus kampu α aplink tašką O - stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos pradžia, patenka vadinamasis pradinis taškas A(1, 0). ir vieneto apskritimo centras.

Apibrėžimas.

Sukimosi kampo sinusasα yra taško A 1 ordinatė, tai yra sinα=y .

Apibrėžimas.

sukimosi kampo kosinusasα vadinama taško A 1 abscise, tai yra cosα=x .

Apibrėžimas.

Sukimosi kampo liestinėα yra taško A 1 ordinatės ir jo abscisių santykis, tai yra, tgα=y/x .

Apibrėžimas.

Sukimosi kampo kotangentasα – taško A 1 abscisių santykis su jo ordinatėmis, tai yra ctgα=x/y .

Sinusas ir kosinusas apibrėžiami bet kuriam kampui α , nes visada galime nustatyti taško abscisę ir ordinatę, kuri gaunama sukant pradinį tašką kampu α . O tangentas ir kotangentas nėra apibrėžti jokiam kampui. Tokiems kampams α, kuriuose pradinis taškas eina į tašką su nuline abscise (0, 1) arba (0, −1) , liestinė neapibrėžta, o tai vyksta kampuose 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Iš tiesų, esant tokiems sukimosi kampams, išraiška tgα=y/x neturi prasmės, nes joje yra dalijimas iš nulio. Kalbant apie kotangentą, jis neapibrėžiamas tokiems kampams α, kuriuose pradžios taškas eina į tašką, kurio ordinatė yra nulinė (1, 0) arba (−1, 0) , o tai yra 180° k , k kampų atveju. ∈Z (π k rad).

Taigi sinusas ir kosinusas yra apibrėžti bet kokiems sukimosi kampams, liestinė apibrėžiama visiems kampams, išskyrus 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), o kotangentas yra visiems kampams, išskyrus 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Mums jau žinomi žymėjimai atsiranda apibrėžimuose sin, cos, tg ir ctg, jie taip pat naudojami žymėti sukimosi kampo sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą (kartais galite rasti žymėjimą tan ir cot, atitinkantį liestinę ir kotangentas). Taigi 30 laipsnių sukimosi kampo sinusas gali būti parašytas kaip sin30°, įrašai tg(−24°17′) ir ctgα atitinka sukimosi kampo liestinę −24° 17 minučių ir sukimosi kampo α kotangentą. . Prisiminkite, kad rašant kampo radianinį matą, užrašas „rad“ dažnai praleidžiamas. Pavyzdžiui, trijų pi radų sukimosi kampo kosinusas paprastai žymimas cos3 π .

Apibendrinant šią pastraipą, verta paminėti, kad kalbant apie sukimosi kampo sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą, frazė „sukimosi kampas“ arba žodis „sukimas“ dažnai praleidžiama. Tai yra, vietoj frazės „sukimosi kampo sinusas alfa“ dažniausiai vartojamas posakis „alfa kampo sinusas“ arba dar trumpesnis – „alfa sinusas“. Tas pats pasakytina apie kosinusą, tangentą ir kotangentą.

Taip pat tarkime, kad stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai atitinka ką tik pateiktus sukimosi kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento apibrėžimus, kurių diapazonas yra nuo 0 iki 90. laipsnių. Mes tai pagrįsime.

Skaičiai

Apibrėžimas.

Skaičiaus sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas t yra skaičius, lygus sukimosi kampo sinusui, kosinusui, tangentui ir kotangentui atitinkamai t radianais.

Pavyzdžiui, 8 π kosinusas pagal apibrėžimą yra skaičius, lygus 8 π rad kampo kosinusui. O kampo kosinusas 8 π rad lygus vienetui, todėl skaičiaus 8 π kosinusas lygus 1.

Yra ir kitas skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo būdas. Jį sudaro tai, kad kiekvienam realiajam skaičiui t priskiriamas vienetinio apskritimo taškas, kurio centras yra stačiakampės koordinačių sistemos pradžioje, o sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas nustatomi per šio taško koordinates. Pakalbėkime apie tai išsamiau.

Parodykime, kaip nustatoma realiųjų skaičių ir apskritimo taškų atitiktis:

• skaičiui 0 priskiriamas pradžios taškas A(1, 0) ;
• teigiamas skaičius t yra susietas su vienetinio apskritimo tašku, į kurį pateksime, jei apeisime apskritimą nuo pradžios taško prieš laikrodžio rodyklę ir eisime t ilgio taku;
• neigiamas skaičius t yra susietas su vienetinio apskritimo tašku, į kurį pateksime, jei apeisime apskritimą nuo pradžios taško pagal laikrodžio rodyklę ir eisime taku, kurio ilgis |t| .

Dabar pereikime prie skaičiaus t sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Tarkime, kad skaičius t atitinka apskritimo tašką A 1 (x, y) (pavyzdžiui, skaičius &pi/2; atitinka tašką A 1 (0, 1) ).

Apibrėžimas.

Skaičiaus sinusas t yra vienetinio apskritimo taško, atitinkančio skaičių t, ordinatė, tai yra sint=y .

Apibrėžimas.

Skaičiaus kosinusas t vadinama vienetinio apskritimo taško, atitinkančio skaičių t, abscise, tai yra kaina=x .

Apibrėžimas.

Skaičiaus liestinė t yra vienetinio apskritimo taško, atitinkančio skaičių t, ordinatės ir abscisių santykis, tai yra tgt=y/x. Kitoje lygiavertėje formuluotėje skaičiaus t liestinė yra šio skaičiaus sinuso ir kosinuso santykis, ty tgt=sint/cost .

Apibrėžimas.

Skaičiaus kotangentas t yra abscisių santykis su vienetinio apskritimo taško, atitinkančio skaičių t, ordinatės, tai yra, ctgt=x/y. Kita formuluotė yra tokia: skaičiaus t liestinė yra skaičiaus t kosinuso ir skaičiaus t sinuso santykis: ctgt=kaina/sint .

Atkreipiame dėmesį, kad ką tik pateikti apibrėžimai atitinka šio poskyrio pradžioje pateiktą apibrėžimą. Iš tiesų, vienetinio apskritimo taškas, atitinkantis skaičių t, sutampa su tašku, gautu sukant pradinį tašką t radianų kampu.

Taip pat verta paaiškinti šį dalyką. Tarkime, kad turime sin3 įrašą. Kaip suprasti, ar kalbama apie skaičiaus 3 sinusą, ar apie 3 radianų sukimosi kampo sinusą? Paprastai tai aišku iš konteksto, kitu atveju tikriausiai nesvarbu.

Kampinio ir skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos

Pagal ankstesnėje pastraipoje pateiktus apibrėžimus kiekvienas sukimosi kampas α atitinka tiksliai apibrėžtą reikšmę sin α , taip pat reikšmę cos α . Be to, visi sukimosi kampai, išskyrus 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), atitinka reikšmes tgα ir, išskyrus 180° k , k∈Z (π k rad ) yra ctgα reikšmės. Todėl sinα, cosα, tgα ir ctgα yra kampo α funkcijos. Kitaip tariant, tai yra kampinio argumento funkcijos.

Panašiai galime kalbėti apie skaitinio argumento sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento funkcijas. Iš tiesų, kiekvienas tikrasis skaičius t atitinka tiksliai apibrėžtą sint reikšmę, taip pat kaštus. Be to, visi skaičiai, išskyrus π/2+π·k , k∈Z atitinka reikšmes tgt , o skaičiai π·k , k∈Z atitinka reikšmes ctgt .

Vadinamos funkcijos sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas pagrindinės trigonometrinės funkcijos.

Iš konteksto paprastai aišku, kad kalbame apie kampinio argumento arba skaitinio argumento trigonometrines funkcijas. Kitu atveju nepriklausomą kintamąjį galime laikyti ir kampo matu (kampo argumentu), ir skaitiniu argumentu.

Tačiau mokykloje daugiausia tiriamos skaitinės funkcijos, tai yra funkcijos, kurių argumentai ir atitinkamos funkcijų reikšmės yra skaičiai. Todėl, jei Mes kalbame Kalbant konkrečiai apie funkcijas, trigonometrines funkcijas tikslinga laikyti skaitinių argumentų funkcijomis.

Geometrijos ir trigonometrijos apibrėžimų jungtis

Jei atsižvelgsime į sukimosi kampą α nuo 0 iki 90 laipsnių, tada sukimosi kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento apibrėžimo trigonometrijos duomenys visiškai atitinka sinuso, kosinuso apibrėžimus. , stačiojo trikampio smailiojo kampo liestinė ir kotangentas, kurios pateiktos geometrijos kurse. Pagrįskime tai.

Stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje Oxy nubrėžkite vienetinį apskritimą. Atkreipkite dėmesį į pradžios tašką A(1, 0) . Pasukime jį kampu α nuo 0 iki 90 laipsnių, gausime tašką A 1 (x, y) . Numeskime statmeną A 1 H nuo taško A 1 į Ox ašį.

Nesunku pastebėti, kad stačiakampiame trikampyje kampas A 1 OH yra lygus sukimosi kampui α, o gretimos šio kampo kojos OH ilgis lygus taško A 1 abscisei, tai yra |OH |=x, kampui priešingos kojos A 1 H ilgis lygus taško A 1 ordinatėms, tai yra |A 1 H|=y , o hipotenuzės ilgis OA 1 lygus vienetui , nes tai yra vienetinio apskritimo spindulys. Tada pagal geometrijos apibrėžimą smailaus kampo α sinusas stačiakampiame trikampyje A 1 OH yra lygus priešingos kojos ir hipotenuzos santykiui, tai yra sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Ir pagal trigonometrijos apibrėžimą, sukimosi kampo α sinusas yra lygus taško A 1 ordinatei, tai yra sinα=y. Tai rodo, kad stačiojo trikampio smailiojo kampo sinuso apibrėžimas yra lygiavertis sukimosi kampo α sinuso apibrėžimui, kai α nuo 0 iki 90 laipsnių.

Panašiai galima parodyti, kad smailiojo kampo α kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai atitinka sukimosi kampo α kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus.

Bibliografija.

1. Geometrija. 7-9 klasės: studijos. bendrajam lavinimui institucijos / [L. S. Atanasjanas, V. F. Butuzovas, S. B. Kadomcevas ir kiti]. – 20-asis leidimas. M.: Išsilavinimas, 2010. - 384 p.: iliustr. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelovas A.V. Geometrija: Proc. 7-9 ląstelėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. V. Pogorelovas. - 2 leidimas - M.: Švietimas, 2001. - 224 p.: iliustr. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra ir elementariosios funkcijos: Vadovėlis vidurinės mokyklos 9 klasių mokiniams / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Redagavo fizinių ir matematikos mokslų daktaras O. N. Golovinas – 4 leidimas. Maskva: Švietimas, 1969 m.
4. Algebra: Proc. 9 ląstelėms. vid. mokykla / Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova; Red. S. A. Teljakovskis.- M.: Švietimas, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 ląstelių. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. N. Kolmogorovas, A. M. Abramovas, Yu. P. Dudnicynas ir kt.; Red. A. N. Kolmogorova.- 14 leid.- M.: Švietimas, 2004.- 384 p.: iliustr.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovičius A. G. Algebra ir analizės pradžia. 10 klasė. 14 val. 1 dalis: vadovėlis švietimo įstaigoms (profilio lygis) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenovas. - 4-asis leidimas, pridėti. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra ir matematinės analizės pradžia. 10 klasė: vadovėlis. bendrajam lavinimui institucijos: pagrindinės ir profilio. lygiai /[Yu. M. Kolyaginas, M. V. Tkačiova, N. E. Fedorova, M. I. Šabuninas]; red. A. B. Žižčenka. - 3 leidimas - I .: Švietimas, 2010. - 368 p.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bašmakovas M.I. Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 ląstelių. vid. mokykla - 3 leidimas - M.: Švietimas, 1993. - 351 p.: iliustr. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiesiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.

NAUDOTI 4? Nejaugi trykšti iš laimės?

Klausimas, kaip sakoma, įdomus... Galite, galite perduoti 4! Ir tuo pačiu nesprogkite... Pagrindinė sąlyga – reguliariai mankštintis. Čia yra pagrindinis pasiruošimas matematikos egzaminui. Su visomis Vieningo valstybinio egzamino paslaptimis ir paslaptimis, apie kurias vadovėliuose neskaitysi... Išstudijuokite šį skyrių, spręskite daugiau užduočių iš įvairių šaltinių – ir viskas susitvarkys! Daroma prielaida, kad pagrindinis skyrius "Užteks tau ir trims!" nesukelia jums problemų. Bet jei staiga... Sekite nuorodas, nepatingėkite!

Ir mes pradėsime nuo puikios ir baisios temos.

Trigonometrija

Dėmesio!
Yra papildomų
medžiaga specialiajame 555 skyriuje.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)

Ši tema mokiniams kelia daug problemų. Jis laikomas vienu iš sunkiausių. Kas yra sinusas ir kosinusas? Kas yra tangentas ir kotangentas? Kas yra skaičių ratas? Verta užduoti šiuos nekenksmingus klausimus, nes žmogus nublanksta ir bando pokalbį nukreipti į šalį... Bet veltui. Tai paprastos sąvokos. Ir ši tema nėra sunkesnė už kitas. Jums tereikia nuo pat pradžių aiškiai suprasti atsakymus į šiuos klausimus. Tai labai svarbu. Jei sugalvojote, jums patiks trigonometrija. Taigi,

Kas yra sinusas ir kosinusas? Kas yra tangentas ir kotangentas?

Pradėkime nuo seniausių laikų. Nesijaudink, visus 20 trigonometrijos šimtmečių įveiksime per 15 minučių.Ir patys nepastebimai pakartosime geometrijos gabalėlį nuo 8 klasės.

Nubrėžkite stačiakampį trikampį su kraštinėmis a, b, c ir kampas X. Štai vienas.

Leiskite jums priminti, kad tos pusės, kurios sudaro stačią kampą, vadinamos kojomis. a ir c- pačiūžos. Jų yra dvi. Kita pusė vadinama hipotenuze. Su- hipotenuzė.

Trikampis ir trikampis, pagalvok apie tai! Ką su juo daryti? Tačiau senovės žmonės žinojo, ką daryti! Pakartokime jų veiksmus. Išmatuojame šoną v. Paveiksle langeliai yra specialiai nupiešti, kaip tai atsitinka egzamino užduotyse. Šoninė v yra lygus keturioms ląstelėms. GERAI. Išmatuojame šoną a. Trys ląstelės.

Dabar padalinkime kraštinės ilgį a vienam šono ilgiui v. Arba, kaip sakoma, imkime santykį aĮ v. a/c= 3/4.

Arba galite bendrinti v ant a. Gauname 4/3. Gali v padalinti iš Su. hipotenuzė Su neskaičiuoti pagal ląsteles, bet jis lygus 5. Gauname a/c= 4/5. Trumpai tariant, galite padalinti kraštų ilgius vienas iš kito ir gauti keletą skaičių.

Tai kas? Kokia šios įdomios veiklos prasmė? Kol kas nė vieno. Kvailas darbas, tiesą sakant.)

O dabar padarykime tai. Padidinkime trikampį. Prailginkime šonus į ir iš, bet taip, kad trikampis liktų stačiakampis. Injekcija X, žinoma, nesikeičia. Norėdami jį pamatyti, užveskite pelės žymeklį ant nuotraukos arba palieskite ją (jei turite planšetinį kompiuterį). Vakarėliai a, b ir c pavirsti m, n, k, ir, žinoma, keisis šonų ilgiai.

Bet jų santykiai ne!

Požiūris a/c Tai buvo: a/c= 3/4, tapo m/n= 6/8 = 3/4. Taip pat ir kitų susijusių šalių santykiai nepasikeis . Galite savavališkai keisti stačiojo trikampio kraštinių ilgius, padidinti, sumažinti, nekeičiant kampo x – atitinkamų šalių santykiai nepasikeis . Galite pasitikrinti arba galite priimti senovės žmonių žodį.

Dabar tai labai svarbu! Stačiakampio trikampio kraštinių santykiai niekaip nepriklauso nuo kraštinių ilgių (tam pačiam kampui). Tai taip svarbu, kad šalių santykiai užsitarnavo ypatingus vardus. Jų vardai, taip sakant.) Susipažinkite.

Kas yra kampo x sinusas ? Tai yra priešingos kojos ir hipotenuzės santykis:

sinx = a/c

Koks yra kampo x kosinusas ? Tai yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:

Suosx= a/c

Kokia yra kampo x liestinė ? Tai yra priešingos kojos ir gretimos kojos santykis:

tgx=a/c

Kas yra kampo x kotangentas ? Tai yra gretimos kojos ir priešingos kojos santykis:

ctgx = in/a

Viskas labai paprasta. Sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas yra keletas skaičių. Be matmenų. Tik skaičiai. Kiekvienam kampeliui – savo.

Kodėl taip nuobodžiai kartojuosi? Tada kas yra reikia prisiminti. Ironiškai prisimink. Įsiminimas gali būti lengvesnis. Frazė „Pradėkime nuo toli ...“ yra pažįstama? Taigi pradėkite nuo toli.

Sinusas kampas yra santykis tolimas nuo kojos kampo iki hipotenuzės. Kosinusas yra artimiausios ir hipotenuzės santykis.

Tangentas kampas yra santykis tolimas nuo kateterio kampo iki artimiausio. Kotangentas- priešingai.

Jau lengviau, tiesa?

Na, o jei prisiminsite, kad liestinėje ir kotangente sėdi tik kojos, o sinusuose ir kosinusuose atsiranda hipotenuzė, tada viskas bus gana paprasta.

Visa ši šlovinga šeima – sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas taip pat vadinama trigonometrinės funkcijos.

O dabar klausimas svarstymui.

Kodėl mes sakome sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą kampas? Kalbame apie šalių santykius, kaip... Su kuo tai susiję injekcija?

Pažiūrėkime į antrą paveikslą. Lygiai toks pat kaip ir pirmasis.

Užveskite pelės žymeklį ant nuotraukos. Pakeičiau kampą X. padidino jį nuo x į x. Visi santykiai pasikeitė! Požiūris a/c buvo 3/4, ir atitinkamas santykis t/in tapo 6/4.

Ir visi kiti santykiai tapo kitokie!

Todėl kraštinių santykiai niekaip nepriklauso nuo jų ilgių (vienu kampu x), o smarkiai priklauso nuo šio kampo! Ir tik nuo jo. Todėl terminai sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas nurodo kampas. Kampas čia yra pagrindinis.

Reikia ironiškai suprasti, kad kampas yra neatsiejamai susijęs su jo trigonometrinėmis funkcijomis. Kiekvienas kampas turi savo sinusą ir kosinusą. Ir beveik kiekvienas turi savo tangentą ir kotangentą. Svarbu. Manoma, kad jei mums duotas kampas, tai jo sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas mes žinome ! Ir atvirkščiai. Pateikiame sinusą arba bet kurią kitą trigonometrinę funkciją, tada žinome kampą.

Yra specialios lentelės, kuriose kiekvienam kampui užrašomos jo trigonometrinės funkcijos. Bradyso lentelės vadinamos. Jie gaminami labai seniai. Kai dar nebuvo nei skaičiuotuvų, nei kompiuterių...

Žinoma, visų kampų trigonometrinės funkcijos negali būti įsimenamos. Jums tereikia juos pažinti iš kelių kampų, daugiau apie tai vėliau. Bet burtas Aš žinau kampą, todėl žinau jo trigonometrines funkcijas“ - visada veikia!

Taigi geometrijos gabalėlį kartojome nuo 8 klasės. Ar mums to reikia egzaminui? Būtinas. Čia yra tipiška problema iš egzamino. Kurių sprendimui pakanka 8 klasės. Pateiktas paveikslėlis:

Viskas. Daugiau duomenų nėra. Turime rasti kojos BC ilgį.

Ląstelės mažai padeda, trikampis kažkaip neteisingai išsidėstęs.... Tyčia, spėju... Iš informacijos yra hipotenuzės ilgis. 8 ląstelės. Kažkodėl duotas kampas.

Čia turime nedelsiant prisiminti apie trigonometriją. Yra kampas, todėl žinome visas jo trigonometrines funkcijas. Kurią funkciją iš keturių reikėtų panaudoti? Pažiūrėkime, ką žinome, ar ne? Žinome hipotenuzą, kampą, bet reikia rasti gretimasį šį kampinį katetą! Aišku, kosinusą reikia panaudoti! Štai mes pradedame. Mes tiesiog rašome pagal kosinuso apibrėžimą (santykį gretimas koja iki hipotenuzės):

cosC = BC/8

Kampas C yra 60 laipsnių, o jo kosinusas yra 1/2. Jūs turite tai žinoti be jokių lentelių! Tai yra:

1/2 = saulė/8

Elementari tiesinė lygtis. Nežinoma - saulė. Kas pamiršo, kaip išspręsti lygtis, pasivaikščiokite nuorodoje, likusieji spręskite:

saulė = 4

Kai senovės žmonės suprato, kad kiekvienas kampas turi savo trigonometrinių funkcijų rinkinį, jiems kilo pagrįstas klausimas. Ar sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas nėra kažkaip susiję vienas su kitu? Taigi, žinodami vieną kampo funkciją, galite rasti likusią? Neskaičiuojant paties kampo?

Taip jie buvo neramūs...)

Ryšys tarp vieno kampo trigonometrinių funkcijų.

Žinoma, to paties kampo sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas yra susiję. Bet koks ryšys tarp išraiškų matematikoje pateikiamas formulėmis. Trigonometrijoje yra daugybė formulių. Bet čia pažvelgsime į pačius paprasčiausius. Šios formulės vadinamos: pagrindinės trigonometrinės tapatybės. Jie yra čia:

Šios formulės turi žinoti geležį. Be jų trigonometrijoje apskritai nėra ką veikti. Iš šių pagrindinių tapatybių išplaukia dar trys pagalbinės tapatybės:

Iš karto perspėju, kad paskutinės trys formulės greitai iškrenta iš atminties. Dėl tam tikrų priežasčių.) Žinoma, šias formules galite išvesti iš pirmųjų trijų. Bet sunkią akimirką... Jūs suprantate.)

Atliekant standartines užduotis, pvz., toliau pateiktas, yra būdas apeiti šias pamirštamas formules. IR drastiškai sumažinti klaidų skaičių iš užmaršumo, taip pat ir skaičiavimuose. Ši praktika aprašyta 555 skirsnyje, pamokoje „Vieno kampo trigonometrinių funkcijų ryšys“.

Kokiose užduotyse ir kaip naudojamos pagrindinės trigonometrinės tapatybės? Populiariausia užduotis – surasti kokią nors kampo funkciją, jei duota kita. Egzamine tokia užduotis atliekama metai iš metų.) Pavyzdžiui:

Raskite sinx reikšmę, jei x yra smailusis kampas ir cosx=0,8.

Užduotis beveik elementari. Mes ieškome formulės, kurioje yra sinusas ir kosinusas. Štai tokia formulė:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Vietoj kosinuso čia pakeičiame žinomą reikšmę, būtent 0,8:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Na, mes, kaip įprasta, svarstome:

sin 2 x + 0,64 = 1

nuodėmė 2 x \u003d 1 - 0,64

Čia beveik viskas. Apskaičiavome sinuso kvadratą, belieka ištraukti kvadratinę šaknį ir atsakymas paruoštas! 0,36 šaknis yra 0,6.

Užduotis beveik elementari. Bet žodis „beveik“ čia ne veltui... Faktas yra tas, kad tinka ir atsakymas sinx = - 0,6... (-0,6) 2 taip pat bus 0,36.

Gauti du skirtingi atsakymai. Ir tau reikia vieno. Antrasis neteisingas. Kaip būti!? Taip, kaip įprasta.) Atidžiai perskaitykite užduotį. Kažkodėl rašoma... jei x yra smailusis kampas... O užduotyse kiekvienas žodis turi reikšmę, taip... Ši frazė yra papildoma informacija sprendimui.

Smailusis kampas yra mažesnis nei 90° kampas. Ir tokiais kampais visi trigonometrinės funkcijos – ir sinusas, ir kosinusas, ir liestinė su kotangentu – teigiamas. Tie. čia tiesiog atmetame neigiamą atsakymą. Mes turime teisę.

Tiesą sakant, aštuntokams tokių subtilybių nereikia. Jie veikia tik su stačiais trikampiais, kurių kampai gali būti tik aštrūs. Ir jie, laimingieji, nežino, kad yra neigiamų kampų ir 1000 ° kampų ... Ir visi šie košmariški kampai turi savo trigonometrines funkcijas su pliusu ir minusu ...

Bet gimnazistams neatsižvelgiant į ženklą – jokiu būdu. Daug žinių padaugina nuoskaudas, taip...) O teisingam sprendimui užduotyje turi būti papildomos informacijos (jei reikia). Pavyzdžiui, jis gali būti pateiktas taip:

Arba kitu būdu. Pamatysite toliau pateiktuose pavyzdžiuose.) Norėdami išspręsti tokius pavyzdžius, turite žinoti į kurį ketvirtį patenka nurodytas kampas x ir kokį ženklą šiame ketvirtyje turi norima trigonometrinė funkcija.

Šie trigonometrijos pagrindai yra aptariami pamokose, kas yra trigonometrinis apskritimas, kampų skaičiavimas šiame apskritime, radianinis kampo matas. Kartais reikia žinoti ir liestinių bei kotangentų kosinusų lentelę.

Taigi, atkreipkime dėmesį į svarbiausius dalykus:

Praktiniai patarimai:

1. Prisiminkite sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimus. Labai naudingas.

2. Aiškiai asimiliuojame: sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas yra tvirtai susiję su kampais. Mes žinome vieną dalyką, vadinasi, žinome dar ką nors.

3. Aiškiai asimiliuojame: vieno kampo sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas yra tarpusavyje sujungti pagrindinėmis trigonometrinėmis tapatybėmis. Mes žinome vieną funkciją, tai reiškia, kad galime (jei turime reikiamos papildomos informacijos) apskaičiuoti visas kitas.

O dabar nuspręskime, kaip įprasta. Pirma, užduotys 8 klasėje. Tačiau aukštųjų mokyklų studentai taip pat gali ...)

1. Apskaičiuokite tgA reikšmę, jei ctgA = 0,4.

2. β – kampas stačiakampiame trikampyje. Raskite tgβ reikšmę, jei sinβ = 12/13.

3. Nustatykite smailaus kampo x sinusą, jei tgx \u003d 4/3.

4. Raskite išraiškos reikšmę:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Raskite išraiškos reikšmę:

(1-cosx)(1+cosx), jei sinx = 0,3

Atsakymai (atskirti kabliataškiais, netvarkingi):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Įvyko? gerai! Aštuntokai jau gali sekti savo A raides.)

Ar ne viskas pavyko? 2 ir 3 užduotys kažkaip nelabai... Jokiu problemu! Yra viena graži tokių užduočių technika. Viskas sprendžiama praktiškai, visai be formulių! Ir todėl be klaidų. Ši technika aprašyta pamokoje: „Vieno kampo trigonometrinių funkcijų ryšys“ 555 skyriuje. Ten taip pat išardomos visos kitos užduotys.

Tai buvo tokios problemos kaip vieningas valstybinis egzaminas, bet sumažėjusioje versijoje. NAUDOJIMAS – šviesa). Ir dabar beveik tos pačios užduotys, bet visavertė forma. Žinių slegiamiems aukštųjų mokyklų studentams.)

6. Raskite tgβ reikšmę, jei sinβ = 12/13 ir

7. Nustatykite sinx, jei tgx = 4/3, o x priklauso intervalui (- 540°; - 450°).

8. Raskite išraiškos sinβ cosβ reikšmę, jei ctgβ = 1.

Atsakymai (netvarkingai):

0,8; 0,5; -2,4.

Čia 6 uždavinyje kampas pateiktas kažkaip nelabai vienareikšmiškai... Bet 8 uždavinyje jis visai nenustatytas! Tai tyčia). Papildoma informacija paimama ne tik iš užduoties, bet ir iš galvos.) Bet jei nuspręsite, viena teisinga užduotis garantuota!

O jei neapsisprendei? Hm... Na, čia padės 555 skyrius. Ten detaliai aprašyti visų šių užduočių sprendimai, sunku nesuprasti.

Šioje pamokoje pateikiama labai ribota trigonometrinių funkcijų samprata. 8 klasėje. Senjorams kyla klausimų...

Pavyzdžiui, jei kampas X(žr. antrą paveikslėlį šiame puslapyje) – padaryk tai kvaila!? Trikampis subyrės! O kaip būti? Nebus nei kojos, nei hipotenuzės... Sinuso nebėra...

Jei senovės žmonės nebūtų radę išeities iš šios situacijos, dabar neturėtume nei mobiliųjų telefonų, nei televizoriaus, nei elektros. Taip taip! Teorinis visų šių dalykų pagrindas be trigonometrinių funkcijų yra nulis be lazdelės. Tačiau senovės žmonės nenuvylė. Kaip jiems pavyko – kitoje pamokoje.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Manau, kad tu nusipelnei daugiau. Štai mano raktas į trigonometriją:

• Nubrėžkite kupolą, sieną ir lubas
• Trigonometrinės funkcijos yra ne kas kita, kaip šių trijų formų procentai.

Sinuso ir kosinuso metafora: kupolas

Užuot žiūrėję į pačius trikampius, įsivaizduokite, kaip jie veikia, surasdami kokį nors konkretų realų pavyzdį.

Įsivaizduokite, kad esate kupolo viduryje ir norite pakabinti kino projektoriaus ekraną. Rodote pirštu į kupolą tam tikru "x" kampu, ir nuo to taško turėtų būti pakabintas ekranas.

Kampas, į kurį nukreipiate, lemia:

• sinusas (x) = sin (x) = ekrano aukštis (tvirtinimo taškas nuo grindų iki kupolo)
• kosinusas (x) = cos (x) = atstumas nuo jūsų iki ekrano (pagal aukštą)
• hipotenuzė, atstumas nuo jūsų iki ekrano viršaus, visada vienodas, lygus kupolo spinduliui

Ar norite, kad ekranas būtų kuo didesnis? Pakabinkite jį tiesiai virš savęs.

Ar norite, kad ekranas kabėtų kuo toliau nuo jūsų? Pakabinkite tiesiai statmenai. Šioje padėtyje ekrano aukštis bus lygus nuliui ir kabės atgal, kiek pageidaujate.

Aukštis ir atstumas nuo ekrano yra atvirkščiai proporcingi: kuo arčiau ekranas kabo, tuo didesnis bus jo aukštis.

Sinusas ir kosinusas yra procentai

Deja, niekas mano studijų metais man nepaaiškino, kad trigonometrinės funkcijos sinusas ir kosinusas yra ne kas kita, kaip procentai. Jų reikšmės svyruoja nuo +100% iki 0 iki -100%, arba nuo teigiamo maksimumo iki nulio iki neigiamo maksimumo.

Tarkime, sumokėjau 14 rublių mokestį. Jūs nežinote, kiek tai yra. Bet jei pasakysi, kad sumokėjau 95% mokesčių, suprasi, kad mane tiesiog nulupa kaip lipnus.

Absoliutus aukštis nieko nereiškia. Bet jei sinuso reikšmė yra 0,95, tai suprantu, kad televizorius kabo beveik ant jūsų kupolo. Labai greitai jis pasieks maksimalų aukštį kupolo centre ir vėl pradės mažėti.

Kaip galime apskaičiuoti šį procentą? Labai paprasta: esamą ekrano aukštį padalinkite iš didžiausio galimo (kupolo spindulio, dar vadinamo hipotenuse).

Štai kodėl mums sakoma, kad „kosinusas = priešinga koja / hipotenuzė“. Visa tai tam, kad gautum procentą! Geriausias būdas apibrėžti sinusą yra „dabartinio aukščio procentas nuo didžiausio galimo“. (Sinusas tampa neigiamas, jei jūsų kampas yra "po žeme". Kosinusas tampa neigiamas, jei kampas nukreiptas į kupolo tašką už jūsų.)

Supaprastinkime skaičiavimus, darydami prielaidą, kad esame vienetinio apskritimo centre (spindulys = 1). Galime praleisti padalijimą ir tiesiog paimti sinusą, lygų aukščiui.

Kiekvienas apskritimas iš tikrųjų yra vienas, padidintas arba sumažintas iki norimo dydžio. Taigi nustatykite vieneto apskritimo ryšius ir pritaikykite rezultatus savo konkrečiam apskritimo dydžiui.

Eksperimentuokite: paimkite bet kurį kampą ir pažiūrėkite, kiek procentų aukščio ir pločio jis rodomas:

Sinuso vertės augimo grafikas nėra tik tiesė. Pirmieji 45 laipsniai apima 70% aukščio, o paskutiniai 10 laipsnių (nuo 80° iki 90°) – tik 2%.

Taip jums bus aišku: jei einate ratu, 0 ° kampu kylate beveik vertikaliai, tačiau artėjant prie kupolo viršaus aukštis keičiasi vis mažiau.

Tangentas ir sekantas. Siena

Vieną dieną kaimynas pastatė sieną tiesiai atgal į nugarąį tavo kupolą. Verkė jūsų vaizdas iš lango ir gera perpardavimo kaina!

Bet ar šioje situacijoje įmanoma kaip nors laimėti?

Žinoma taip. O jei pakabintume kino ekraną tiesiai ant kaimyno sienos? Nutaikote į kampą (x) ir gaunate:

• tan(x) = tan(x) = ekrano aukštis ant sienos
• atstumas nuo jūsų iki sienos: 1 (tai jūsų kupolo spindulys, siena niekur nuo jūsų nejuda, tiesa?)
• secant(x) = sec(x) = „kopėčių ilgis“ nuo jūsų, stovinčio kupolo centre, iki pakabinamo ekrano viršaus

Paaiškinkime keletą dalykų apie liestinę arba ekrano aukštį.

• jis prasideda nuo 0 ir gali būti be galo didelis. Galite ištempti ekraną vis aukščiau ir aukščiau ant sienos, kad gautumėte tik begalinę drobę mėgstamam filmui žiūrėti! (Už tokį didžiulį, žinoma, teks išleisti daug pinigų).
• tangentas yra tik padidinta sinuso versija! Ir nors sinuso augimas sulėtėja judant link kupolo viršaus, liestinė toliau auga!

Sekansu taip pat turi kuo pasigirti:

• sekantas prasideda nuo 1 (kopėčios yra ant grindų, toliau nuo jūsų link sienos) ir pradeda kilti iš ten
• Sekantas visada yra ilgesnis už liestinę. Nuožulnios kopėčios, su kuriomis pakabinate ekraną, turi būti ilgesnės už patį ekraną, tiesa? (Nerealiems dydžiams, kai ekranas laaabai ilgas ir kopėčias reikia statyti beveik vertikaliai, jų dydžiai beveik vienodi. Bet ir tada sekantas bus šiek tiek ilgesnis).

Atminkite, kad vertybės yra proc. Jei nuspręsite pakabinti ekraną 50 laipsnių kampu, tan(50)=1,19. Jūsų ekranas yra 19 % didesnis nei atstumas iki sienos (kupolo spindulys).

(Įveskite x=0 ir patikrinkite savo intuiciją – tan(0) = 0 ir sec(0) = 1.)

Kotangentas ir kosekantas. Lubos

Neįtikėtina, bet jūsų kaimynas dabar nusprendė pastatyti lubas virš jūsų kupolo. (Kas jam atsitiko? Matyt, nenori, kad tu žvilgteltum į jį, kai jis nuogas vaikšto po kiemą...)

Na, laikas statyti išėjimą į stogą ir pasikalbėti su kaimynu. Pasirenkate pasvirimo kampą ir pradėkite statyti:

• vertikalus atstumas tarp stogo išleidimo angos ir grindų visada yra 1 (kupolo spindulys)
• kotangentas (x) = cot (x) = atstumas tarp kupolo viršaus ir išėjimo taško
• kosekantas (x) = csc (x) = jūsų kelio iki stogo ilgis

Tangentas ir sekantas apibūdina sieną, o kotangentas ir kosekantas apibūdina grindis.

Šį kartą mūsų intuityvios išvados yra panašios į ankstesnes:

• Jei pasirinksite 0° kampą, jūsų išėjimas į stogą truks amžinai, nes jis niekada nepasieks lubų. Problema.
• Trumpiausius „laiptus“ į stogą gausite, jei pastatysite juos 90 laipsnių kampu grindų atžvilgiu. Kotangentas bus lygus 0 (visiškai nejudame išilgai stogo, išeiname griežtai statmenai), o kosekantas bus lygus 1 („kopėčių ilgis“ bus minimalus).

Vizualizuokite ryšius

Jei visi trys dėklai nubraižyti kupolo, sienos ir grindų derinyje, bus gauta:

Na, oho, tai toks pat trikampis, padidintas, kad pasiektų sieną ir lubas. Turime vertikalias puses (sinusą, liestinę), horizontalias puses (kosinusą, kotangentą) ir „hipotenusus“ (sekantą, kosekantą). (Pagal rodykles matote, kiek kiekvienas elementas pasiekia. Kosekantas yra bendras atstumas nuo jūsų iki stogo).

Šiek tiek magijos. Visi trikampiai turi tas pačias lygybes:

Iš Pitagoro teoremos (a 2 + b 2 = c 2) matome, kaip sujungtos kiekvieno trikampio kraštinės. Be to, visų trikampių aukščio ir pločio santykiai taip pat turi būti vienodi. (Tiesiog atsitraukite nuo didžiausio trikampio prie mažesnio. Taip, dydis pasikeitė, bet kraštinių proporcijos išliks tokios pat).

Žinodami, kuri kiekvieno trikampio pusė yra 1 (kupolo spindulys), galime nesunkiai apskaičiuoti, kad „sin/cos = tan/1“.

Visada stengiausi prisiminti šiuos faktus per paprastą vizualizaciją. Paveikslėlyje galite aiškiai matyti šias priklausomybes ir suprasti, iš kur jos kyla. Ši technika yra daug geresnė nei sausų formulių įsiminimas.

Nepamirškite kitų kampų

Š...

Pitagoro jungtys visada veikia, tačiau santykiniai dydžiai gali būti skirtingi.

(Turbūt pastebėjote, kad sinuso ir kosinuso santykis visada yra mažiausias, nes jie yra kupolo viduje.)

Apibendrinant: ką turime atsiminti?

Daugeliui iš mūsų sakyčiau, kad to pakaks:

• trigonometrija paaiškina matematinių objektų, tokių kaip apskritimai ir pasikartojantys intervalai, anatomiją
• kupolo/sienos/stogo analogija parodo ryšį tarp skirtingų trigonometrinių funkcijų
• trigonometrinių funkcijų rezultatas yra procentai, kuriuos taikome savo scenarijui.

Jums nereikia įsiminti tokių formulių kaip 1 2 + vaikiška lovelė 2 = csc 2 . Jie tinka tik kvailiems testams, kuriuose fakto žinojimas pateikiamas kaip jo supratimas. Skirkite minutę nupieškite puslankį kupolo, sienos ir stogo pavidalu, pasirašykite elementus ir visos formulės bus paprašytos jūsų popieriuje.

Taikymas: atvirkštinės funkcijos

Bet kuri trigonometrinė funkcija paima kampą kaip įvestį ir pateikia rezultatą procentais. sin(30) = 0,5. Tai reiškia, kad 30 laipsnių kampas užima 50% didžiausio aukščio.

Atvirkštinė trigonometrinė funkcija parašyta sin -1 arba arcsin („arksinas“). Jis taip pat dažnai rašomas įvairiomis programavimo kalbomis.

Jei mūsų aukštis yra 25% kupolo aukščio, koks yra mūsų kampas?

Mūsų proporcijų lentelėje galite rasti santykį, kai sekantas padalintas iš 1. Pavyzdžiui, sekantas iš 1 (hipotenuzė su horizontalia) bus lygus 1, padalijus iš kosinuso:

Tarkime, kad mūsų sekantas yra 3,5, t.y. 350% vieneto apskritimo spindulio. Kokį pasvirimo kampą į sieną atitinka ši vertė?

Priedas: keli pavyzdžiai

Pavyzdys: Raskite kampo x sinusą.

Nuobodus uždavinys. Sudėtinkite banalųjį „raskite sinusą“ į „Koks yra aukštis procentais nuo maksimumo (hipotenuzė)?“.

Pirma, atkreipkite dėmesį, kad trikampis yra pasuktas. Nėra nieko blogo. Trikampis taip pat turi aukštį, paveikslėlyje jis parodytas žaliai.

Kam lygi hipotenuzė? Iš Pitagoro teoremos žinome, kad:

3 2 + 4 2 = hipotenuzė 2 25 = hipotenuzė 2 5 = hipotenuzė

Gerai! Sinusas yra aukščio nuo ilgiausiosios trikampio kraštinės arba hipotenuzės procentas. Mūsų pavyzdyje sinusas yra 3/5 arba 0,60.

Žinoma, galime eiti keliais būdais. Dabar žinome, kad sinusas yra 0,60 ir galime tiesiog rasti arcsinusą:

Asin(0,6)=36,9

Ir čia yra kitas požiūris. Atkreipkite dėmesį, kad trikampis yra „akis į veidą su siena“, todėl vietoj sinuso galime naudoti tangentą. Aukštis yra 3, atstumas iki sienos yra 4, taigi liestinė yra ¾ arba 75%. Galime naudoti lanko tangentą, kad pereitume nuo procentų atgal į kampą:

Tan = 3/4 = 0,75 atanas (0,75) = 36,9 Pavyzdys: ar plauksite į krantą?

Jūs esate valtyje ir turite pakankamai degalų nuplaukti 2 km. Dabar esate 0,25 km nuo kranto. Kokiu maksimaliu kampu į krantą galima nuplaukti iki jo, kad užtektų kuro? Uždavinio sąlygos papildymas: turime tik lanko kosinusų reikšmių lentelę.

Ką mes turime? Pajūrio liniją galima pavaizduoti kaip „siena“ mūsų garsiajame trikampyje, o „laiptų ilgį“, pritvirtintą prie sienos, galima pavaizduoti kaip didžiausią įmanomą atstumą laivu iki kranto (2 km). Atsiranda sekantas.

Pirmiausia turite pereiti prie procentų. Turime 2 / 0,25 = 8, o tai reiškia, kad galime plaukti 8 kartus didesnį atstumą tiesiai iki kranto (arba iki sienos).

Kyla klausimas „Kas yra sekantas 8?“. Bet mes negalime į tai atsakyti, nes turime tik lanko kosinusus.

Naudojame anksčiau gautas priklausomybes, kad sekantą susietume su kosinusu: „sec/1 = 1/cos“

8 sekantas yra lygus ⅛ kosinusui. Kampas, kurio kosinusas yra ⅛, yra acos(1/8) = 82,8. Ir tai yra didžiausias kampas, kurį galime sau leisti valtyje su nurodytu degalų kiekiu.

Neblogai, tiesa? Be kupolo-sienos-lubų analogijos būčiau sutrikęs daugybėje formulių ir skaičiavimų. Problemos vizualizavimas labai supaprastina sprendimo paiešką, be to, įdomu pamatyti, kuri trigonometrinė funkcija ilgainiui padės.

Kiekvienai užduočiai pagalvokite taip: ar mane domina kupolas (sin/cos), siena (tan/sec) ar lubos (lovytė/csc)?

Ir trigonometrija taps daug malonesnė. Lengvi skaičiavimai jums!

Vidutinis lygis

Taisyklingas trikampis. Visas iliustruotas vadovas (2019 m.)

TAISYKLINGAS TRIKAMPIS. PIRMAS LYGIS.

Problemose stačias kampas visai nereikalingas - apatinis kairysis, todėl jūs turite išmokti atpažinti stačią trikampį šioje formoje,

ir tokiuose

ir tokiuose

Kuo geras stačiakampis trikampis? Na... visų pirma, jo vakarėliams yra ypatingi gražūs pavadinimai.

Dėmesio piešimui!

Prisiminkite ir nesupainiokite: kojos - dvi, o hipotenuzė - tik viena(vienintelis, unikalus ir ilgiausias)!

Na, mes aptarėme pavadinimus, dabar svarbiausias dalykas: Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema.

Ši teorema yra daugelio problemų, susijusių su stačiu trikampiu, sprendimas. Tai Pitagoras įrodė visiškai neatmenamais laikais, ir nuo tada tai atnešė daug naudos žinantiems. Ir geriausia, kad ji yra paprasta.

Taigi, Pitagoro teorema:

Ar prisimenate pokštą: „Pitagoro kelnės iš visų pusių lygios!

Nupieškime šias pitagoriškas kelnes ir pažiūrėkime į jas.

Ar tai tikrai atrodo kaip šortai? Na, iš kurių pusių ir kur jie yra lygūs? Kodėl ir iš kur kilo pokštas? Ir šis pokštas susijęs būtent su Pitagoro teorema, tiksliau su tuo, kaip pats Pitagoras suformulavo savo teoremą. Ir jis tai suformulavo taip:

"Suma kvadratų plotas, pastatytas ant kojų, yra lygus kvadratinis plotas pastatytas ant hipotenuzės.

Ar neskamba šiek tiek kitaip, ar ne? Taigi, kai Pitagoras nubrėžė savo teoremos teiginį, pasirodė toks vaizdas.

Šiame paveikslėlyje mažų kvadratų plotų suma yra lygi didelio kvadrato plotui. O kad vaikai geriau prisimintų, jog kojų kvadratų suma lygi hipotenuzės kvadratui, kažkas šmaikštus sugalvojo šį pokštą apie pitagoro kelnes.

Kodėl dabar formuluojame Pitagoro teoremą

Ar Pitagoras kentėjo ir kalbėjo apie aikštes?

Matote, senovėje nebuvo... algebros! Nebuvo jokių ženklų ir pan. Nebuvo jokių užrašų. Ar įsivaizduojate, kaip baisu buvo vargšams senovės mokiniams viską įsiminti žodžiais??! Ir galime džiaugtis, kad turime paprastą Pitagoro teoremos formuluotę. Pakartokime tai dar kartą, kad geriau prisimintume:

Dabar turėtų būti lengva:

Hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai.

Na, buvo aptarta svarbiausia teorema apie statųjį trikampį. Jei jus domina, kaip tai įrodoma, perskaitykite kitus teorijos lygius, o dabar eikime į tamsų mišką ... trigonometrijos! Prie baisių žodžių sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas.

Sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas stačiakampiame trikampyje.

Tiesą sakant, viskas nėra taip baisu. Žinoma, straipsnyje reikėtų pažvelgti į „tikrąjį“ sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimą. Bet tu tikrai nenori, ar ne? Galime pasidžiaugti: norėdami išspręsti stačiakampio trikampio problemas, galite tiesiog užpildyti šiuos paprastus dalykus:

Kodėl viskas apie kampą? Kur yra kampas? Norėdami tai suprasti, turite žinoti, kaip žodžiais rašomi teiginiai nuo 1 iki 4. Žiūrėk, suprask ir prisimink!

1.
Iš tikrųjų tai skamba taip:

O kaip kampas? Ar yra koja, kuri yra priešais kampą, tai yra, priešinga koja (kampui)? Žinoma, turi! Tai katetas!

Bet kaip dėl kampo? Pažiūrėk atidžiai. Kuri koja yra greta kampo? Žinoma, katė. Taigi, kampui, koja yra greta, ir

O dabar dėmesio! Pažiūrėkite, ką gavome:

Pažiūrėkite, koks jis puikus:

Dabar pereikime prie tangento ir kotangento.

Kaip dabar tai išreikšti žodžiais? Kokia yra koja kampo atžvilgiu? Žinoma, priešingai – „guli“ priešais kampą. O katetas? Šalia kampo. Taigi ką mes gavome?

Pažiūrėkite, kaip skaitiklis ir vardiklis sukeičiami?

O dabar vėl kampai ir pasikeitė:

Santrauka

Trumpai parašykime, ką sužinojome.

Pitagoro teorema:

Pagrindinė stačiojo trikampio teorema yra Pitagoro teorema.

Pitagoro teorema

Beje, ar gerai prisimeni, kas yra kojos ir hipotenuzė? Jei ne, pažiūrėkite į paveikslėlį – atnaujinkite žinias

Gali būti, kad jau daug kartų naudojote Pitagoro teoremą, bet ar kada susimąstėte, kodėl tokia teorema yra teisinga. Kaip tai įrodytumėte? Darykime kaip senovės graikai. Nubrėžkime kvadratą su kraštine.

Matote, kaip gudriai suskirstėme jos šonus į ilgio segmentus ir!

Dabar sujungkime pažymėtus taškus

Tačiau čia mes atkreipėme dėmesį į ką nors kita, bet jūs patys pažiūrėkite į paveikslėlį ir pagalvokite, kodėl.

Koks yra didesnio kvadrato plotas? Teisingai,. O kaip su mažesniu plotu? Be abejo,. Išlieka bendras keturių kampų plotas. Įsivaizduokite, kad paėmėme du iš jų ir atsirėmėme vienas į kitą su hipotenomis. Kas nutiko? Du stačiakampiai. Taigi „auginių“ plotas yra lygus.

Sudėkime viską dabar.

Transformuokime:

Taigi mes aplankėme Pitagorą – senoviniu būdu įrodėme jo teoremą.

Statusis trikampis ir trigonometrija

Stačiajam trikampiui galioja šie santykiai:

Smagiojo kampo sinusas lygus priešingos kojos ir hipotenuzės santykiui

Smagiojo kampo kosinusas lygus gretimos kojos ir hipotenuzės santykiui.

Smagiojo kampo liestinė lygi priešingos kojos ir gretimos kojos santykiui.

Smagiojo kampo kotangentas yra lygus gretimos kojos ir priešingos kojos santykiui.

Ir dar kartą visa tai lėkštės pavidalu:

Tai labai patogu!

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai

I. Ant dviejų kojų

II. Pagal koją ir hipotenuzę

III. Pagal hipotenuzę ir smailią kampą

IV. Išilgai kojos ir smailiojo kampo

a)

b)

Dėmesio! Čia labai svarbu, kad kojos būtų „atitinkančios“. Pavyzdžiui, jei viskas vyksta taip:

TUOMET TRIKAMPAI NELYGŪS, nepaisant to, kad jie turi vieną identišką smailią kampą.

Reikia abiejuose trikampiuose koja buvo greta, arba abiejuose - priešinga.

Ar pastebėjote, kaip stačiųjų trikampių lygybės ženklai skiriasi nuo įprastų trikampių lygybės ženklų? Pažvelkite į temą „ir atkreipkite dėmesį į tai, kad „paprastų“ trikampių lygybei reikia trijų jų elementų lygybės: dviejų kraštinių ir kampo tarp jų, dviejų kampų ir kraštinės tarp jų arba trijų kraštinių. Tačiau stačiakampių trikampių lygybei pakanka tik dviejų atitinkamų elementų. Tai puiku, tiesa?

Maždaug tokia pati situacija su stačiųjų trikampių panašumo ženklais.

Stačiųjų trikampių panašumo ženklai

I. Ūminis kampas

II. Ant dviejų kojų

III. Pagal koją ir hipotenuzę

Mediana stačiakampiame trikampyje

Kodėl taip yra?

Apsvarstykite visą stačiakampį, o ne stačiakampį trikampį.

Nubrėžkime įstrižainę ir apsvarstykime tašką – įstrižainių susikirtimo tašką. Ką žinote apie stačiakampio įstrižaines?

Ir kas iš to seka?

Taigi atsitiko taip

1. - mediana:

Prisiminkite šį faktą! Labai padeda!

Dar labiau stebina tai, kad tiesa yra ir atvirkščiai.

Ką gero galima gauti iš to, kad mediana, nubrėžta į hipotenuzę, yra lygi pusei hipotenuzės? Pažiūrėkime į paveikslėlį

Pažiūrėk atidžiai. Turime: , tai yra, atstumai nuo taško iki visų trijų trikampio viršūnių pasirodė lygūs. Tačiau trikampyje yra tik vienas taškas, atstumai, nuo kurių maždaug visos trys trikampio viršūnės yra lygūs, ir tai yra APRAŠYTO APYRAMO CENTRAS. Taigi, kas atsitiko?

Taigi pradėkime nuo šio „be to...“.

Pažiūrėkime į i.

Tačiau panašiuose trikampiuose visi kampai yra lygūs!

Tą patį galima pasakyti apie ir

Dabar nupieškime kartu:

Kokia nauda iš šio „trigubo“ panašumo.

Na, pavyzdžiui - dvi stačiojo trikampio aukščio formulės.

Rašome atitinkamų šalių santykius:

Norėdami rasti aukštį, išsprendžiame proporciją ir gauname pirmoji formulė "Aukštis stačiakampiame trikampyje":

Taigi, pritaikykime panašumą: .

Kas bus dabar?

Vėlgi išsprendžiame proporciją ir gauname antrą formulę:

Abi šias formules reikia labai gerai įsiminti ir tą, kurią patogiau taikyti. Užrašykime juos dar kartą.

Pitagoro teorema:

Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės kvadratas yra lygus kojų kvadratų sumai:.

Stačiųjų trikampių lygybės ženklai:

• ant dviejų kojų:
• išilgai kojos ir hipotenuzės: arba
• išilgai kojos ir gretimo smailiojo kampo: arba
• išilgai kojos ir priešingo smailaus kampo: arba
• pagal hipotenuzę ir smailią kampą: arba.

Stačiųjų trikampių panašumo ženklai:

• vienas aštrus kampas: arba
• iš dviejų kojų proporcingumo:
• nuo kojos ir hipotenuzės proporcingumo: arba.

Sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas stačiakampiame trikampyje

• Stačiakampio trikampio smailiojo kampo sinusas yra priešingos kojos ir hipotenuzės santykis:
• Stačiojo trikampio smailaus kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:
• Stačiojo trikampio smailaus kampo liestinė yra priešingos kojos ir gretimos kojos santykis:
• Stačiojo trikampio smailaus kampo kotangentas yra gretimos kojos ir priešingos kotangentas:.

Stačiojo trikampio aukštis: arba.

Stačiakampiame trikampyje iš stačiojo kampo viršūnės nubrėžta mediana lygi pusei hipotenuzės: .

Stačiojo trikampio plotas:

• per kateterius:

Trigonometrijos studijas pradedame nuo stačiojo trikampio. Apibrėžkime, kas yra sinusas ir kosinusas, taip pat smailiojo kampo liestinė ir kotangentas. Tai yra trigonometrijos pagrindai.

Prisiminkite tai stačiu kampu yra kampas, lygus 90 laipsnių. Kitaip tariant, pusė išskleisto kampo.

Aštrus kampas- mažiau nei 90 laipsnių.

Bukas kampas- didesnis nei 90 laipsnių. Kalbant apie tokį kampą, „bukas“ yra ne įžeidimas, o matematinis terminas :-)

Nubrėžkime statųjį trikampį. Statusis kampas paprastai žymimas . Atkreipkite dėmesį, kad priešais kampą esanti pusė pažymėta ta pačia raide, tik maža. Taigi, pažymėta pusė, esanti priešais kampą A.

Kampas žymimas atitinkama graikiška raide.

Hipotenuzė Statusis trikampis yra kraštinė, priešinga stačiajam kampui.

Kojos- pusės priešais aštrius kampus.

Priešais kampą esanti koja vadinama priešingas(kampo atžvilgiu). Kita koja, esanti vienoje kampo pusėje, vadinama gretimas.

Sinusas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje yra priešingos kojos ir hipotenuzės santykis:

Kosinusas smailus kampas stačiakampiame trikampyje - gretimos kojos ir hipotenuzės santykis:

Tangentas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje - priešingos kojos ir gretimos kojos santykis:

Kitas (ekvivalentiškas) apibrėžimas: smailiojo kampo liestinė yra kampo sinuso ir jo kosinuso santykis:

Kotangentas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje - gretimos kojos ir priešingos kojos santykis (arba lygiaverčiai kosinuso ir sinuso santykis):

Atkreipkite dėmesį į pagrindinius sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento santykius, kurie pateikiami toliau. Jie mums pravers sprendžiant problemas.

Įrodykime kai kuriuos iš jų.

Gerai, mes pateikėme apibrėžimus ir parašytas formules. Bet kam mums reikia sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento?

Mes tai žinome bet kurio trikampio kampų suma yra.

Mes žinome ryšį tarp vakarėliams taisyklingas trikampis. Tai Pitagoro teorema: .

Pasirodo, žinant du trikampio kampus, galima rasti trečiąjį. Žinodami dvi stačiojo trikampio kraštines, galite rasti trečiąją. Taigi, kampams - jų santykis, šonams - savas. Bet ką daryti, jei stačiame trikampyje žinomas vienas kampas (išskyrus stačią) ir viena kraštinė, bet reikia rasti kitas puses?

Su tuo susidūrė žmonės, kurdami vietovės ir žvaigždėto dangaus žemėlapius. Juk ne visada galima tiesiogiai išmatuoti visas trikampio kraštines.

Sinusas, kosinusas ir tangentas – dar vadinami kampo trigonometrinės funkcijos- nurodykite santykį tarp vakarėliams ir kampuose trikampis. Žinodami kampą, visas jo trigonometrines funkcijas galite rasti naudodami specialias lenteles. O žinodami trikampio ir vienos iš jo kraštinių kampų sinusus, kosinusus ir tangentus, galite rasti likusias dalis.

Taip pat sudarysime sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento verčių lentelę „geriems“ kampams nuo iki.

Atkreipkite dėmesį į du raudonus brūkšnelius lentelėje. Atitinkamoms kampų vertėms liestinė ir kotangentas neegzistuoja.

Išanalizuokime keletą trigonometrijos problemų iš FIPI užduočių banko.

1. Trikampyje kampas yra , . Rasti.

Problema išspręsta per keturias sekundes.

Tiek, kiek,.

2. Trikampyje kampas yra , , . Rasti.

Raskime pagal Pitagoro teoremą.

Problema išspręsta.

Dažnai problemose yra trikampių su kampais ir arba su kampais ir . Atmintinai įsiminkite pagrindinius jų santykius!

Jei trikampis su kampais ir kojelė priešinga kampui ties yra lygi pusė hipotenuzės.

Trikampis su kampais ir yra lygiašonis. Jame hipotenuzė yra kartų didesnė už koją.

Mes svarstėme stačiųjų trikampių sprendimo problemas - tai yra, kaip rasti nežinomas puses ar kampus. Bet tai dar ne viskas! Matematikos egzamino variantuose yra daug užduočių, kur atsiranda trikampio išorinio kampo sinusas, kosinusas, liestinė arba kotangentas. Daugiau apie tai kitame straipsnyje.