Paanalizuokime, kaip sukurti piramidės atkarpą, naudodamiesi konkrečiais pavyzdžiais. Kadangi piramidėje nėra lygiagrečių plokštumų, slenkančios plokštumos ir veido plokštumos susikirtimo linijos (pėdsakų) konstravimas dažniausiai apima tiesės brėžimą per du taškus, esančius šio veido plokštumoje.
Atliekant paprasčiausias užduotis, reikia sukonstruoti piramidės atkarpą plokštuma, einančia per duotus taškus, jau gulinčius viename paviršiuje.
Pavyzdys.
Konstruoti plokštumos sekciją (MNP)
Trikampis MNP – piramidės atkarpa
Taškai M ir N yra toje pačioje plokštumoje ABS, todėl per juos galime nubrėžti liniją. Šios linijos pėdsakas yra atkarpa MN. Jis matomas, todėl M ir N sujungiame ištisine linija.
Taškai M ir P yra toje pačioje ACS plokštumoje, todėl per juos nubrėžiame tiesią liniją. Pėdsakas yra segmentas MP. Mes jo nematome, todėl segmentą MP nubrėžiame brūkšniu. Panašiai sukonstruojame pėdsaką PN.
Trikampis MNP yra reikalinga sekcija.
Jei taškas, per kurį reikia nubrėžti atkarpą, yra ne ant briaunos, o ant veido, tada tai nebus pėdsako segmento pabaiga.
Pavyzdys. Sukurkite piramidės atkarpą plokštuma, einančia per taškus B, M ir N, kur taškai M ir N priklauso atitinkamai paviršiams ABS ir BCS.
Čia taškai B ir M yra tame pačiame ABS paviršiuje, todėl galime per juos nubrėžti liniją.
Panašiai nubrėžiame tiesią liniją per taškus B ir P. Gavome atitinkamai BK ir BL pėdsakus.
Taškai K ir L yra tame pačiame ACS paviršiuje, todėl per juos galime nubrėžti liniją. Jo pėdsakas yra segmentas KL.
Trikampis BKL yra reikalinga sekcija.
Tačiau ne visada įmanoma nubrėžti tiesią liniją per duomenis taško sąlygomis. Tokiu atveju reikia rasti tašką, esantį ant plokštumų, kuriose yra veidai, susikirtimo linijos.
Pavyzdys. Sukurkite piramidės atkarpą plokštuma, einančia per taškus M, N, P.
Taškai M ir N yra toje pačioje plokštumoje ABS, todėl per juos galima nubrėžti tiesią liniją. Gauname pėdsaką MN. Panašiai – NP. Abu pėdsakai matomi, todėl juos sujungiame ištisine linija.
Taškai M ir P yra skirtingose plokštumose. Todėl negalime jų tiesiogiai sujungti.
Tęsiame liniją NP.
Jis yra BCS veido plokštumoje. NP kertasi tik su toje pačioje plokštumoje esančiomis linijomis. Turime tris tokias linijas: BS, CS ir BC. Jau yra susikirtimo taškai su tiesėmis BS ir CS – tai tik N ir P. Taigi, mes ieškome NP sankirtos su tiese BC.
Sankirtos taškas (pavadinkime jį H) gaunamas tęsiant tieses NP ir BC iki sankirtos.
Šis taškas H priklauso ir plokštumai (BCS), nes yra tiesėje NP, ir plokštumai (ABC), nes yra tiesėje BC.
Taigi gavome dar vieną plokštumoje gulinčios sekantinės plokštumos tašką (ABC).
Per H ir tašką M, esantį toje pačioje plokštumoje, galime nubrėžti tiesę.
Gauname pėdsaką MT.
T – tiesių MH ir AC susikirtimo taškas.
Kadangi T priklauso tiesei AC, galime nubrėžti tiesę per ją ir tašką P, nes jie abu yra toje pačioje plokštumoje (ACS).
Keturkampis MNPT yra reikalinga piramidės atkarpa plokštumos, einančios per duotus taškus M,N,P.
Mes dirbome su linija NP, pratęsdami ją, kad surastume pjovimo plokštumos ir plokštumos susikirtimo tašką (ABC). Jei dirbame su tiesia linija MN, gauname tą patį rezultatą.
Ginčijame taip: tiesė MN yra plokštumoje (ABS), todėl ji gali susikirsti tik su toje pačioje plokštumoje esančiomis tiesėmis. Turime tris tokias linijas: AB, BS ir AS. Bet tiese AB ir BS jau yra susikirtimo taškai: M ir N.
Vadinasi, pratęsdami MN, ieškome jo susikirtimo su tiese AS taško. Pavadinkime šį tašką R.
Taškas R yra tiesėje AS, taigi jis taip pat yra plokštumoje (ACS), kuriai priklauso tiesė AS.
Kadangi taškas P yra plokštumoje (ACS), galime nubrėžti liniją per R ir P. Gauname PT pėdsaką.
Taškas T yra plokštumoje (ABC), todėl per jį ir tašką M galime nubrėžti liniją.
Taigi, mes gavome tą patį MNPT skerspjūvį.
Panagrinėkime kitą tokio pobūdžio pavyzdį.
Sukurkite piramidės atkarpą plokštuma, einančia per taškus M, N, P.
Nubrėžkite tiesę per taškus M ir N, esančius toje pačioje plokštumoje (BCS). Gauname pėdsaką MN (matomas).
Nubrėžkite tiesę per taškus N ir P, esančius toje pačioje plokštumoje (ACS). Gauname pėdsaką PN (nematomas).
Negalime nubrėžti tiesės per taškus M ir P.
1) Tiesė MN yra plokštumoje (BCS), kurioje yra dar trys tiesės: BC, SC ir SB. Jau yra susikirtimo taškai su tiesėmis SB ir SC: M ir N. Todėl ieškome MN susikirtimo taško su BC. Tęsdami šias eilutes, gauname tašką L.
Taškas L priklauso tiesei BC, o tai reiškia, kad jis yra plokštumoje (ABC). Todėl per L ir P, kurie taip pat yra plokštumoje (ABC), galime nubrėžti tiesią liniją. Jos pėdsakas yra PF.
F yra tiesėje AB, taigi ir plokštumoje (ABS). Todėl per F ir tašką M, kuris taip pat yra plokštumoje (ABS), nubrėžiame tiesią liniją. Jos takelis yra FM. Keturkampis MNPF yra reikalinga atkarpa.
2) Kitas būdas yra tęsti tiesiai PN. Jis yra plokštumoje (ACS) ir kerta tieses AC ir CS, esančias šioje plokštumoje taškuose P ir N.
Taigi, mes ieškome PN susikirtimo taško su trečiąja šios plokštumos tiese - su AS. Tęsiame AS ir PN, sankirtoje gauname tašką E. Kadangi taškas E yra tiese AS, kuri priklauso plokštumai (ABS), tai per E ir tašką M, kuris taip pat yra (ABS), galime nubrėžti liniją. Jos takelis yra FM. Taškai P ir F yra vandens plokštumoje (ABC), per juos nubrėžiame tiesią liniją ir gauname pėdsaką PF (nematomas).
Apibrėžimas. Šoninis veidas- tai trikampis, kurio vienas kampas yra piramidės viršuje, o priešinga jo pusė sutampa su pagrindo (daugiakampio) kraštine.
Apibrėžimas. Šoniniai šonkauliai yra bendrosios šoninių veidų pusės. Piramidė turi tiek briaunų, kiek daugiakampio kampų.
Apibrėžimas. piramidės aukštis yra statmenas, nuleistas iš viršaus į piramidės pagrindą.
Apibrėžimas. Apotema- tai piramidės šoninio paviršiaus statmuo, nuleistas nuo piramidės viršaus į pagrindo šoną.
Apibrėžimas. Įstrižainė pjūvis- tai piramidės atkarpa plokštuma, einanti per piramidės viršūnę ir pagrindo įstrižainę.
Apibrėžimas. Teisinga piramidė- Tai piramidė, kurios pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o aukštis nusileidžia į pagrindo centrą.
Piramidės tūris ir paviršiaus plotas
Formulė. piramidės tūris per pagrindo plotą ir aukštį:
piramidės savybės
Jei visos šoninės briaunos yra lygios, tai aplink piramidės pagrindą galima apibrėžti apskritimą, o pagrindo centras sutampa su apskritimo centru. Taip pat iš viršaus nuleistas statmuo eina per pagrindo (apskritimo) centrą.
Jei visi šoniniai šonkauliai yra vienodi, tada jie yra pasvirę į pagrindinę plokštumą tais pačiais kampais.
Šoniniai šonkauliai yra lygūs, kai sudaro vienodus kampus su pagrindo plokštuma arba jei aplink piramidės pagrindą galima apibūdinti apskritimą.
Jei šoniniai paviršiai yra pasvirę į pagrindo plokštumą vienu kampu, tai piramidės pagrinde gali būti įrašytas apskritimas, o piramidės viršūnė projektuojama į jos centrą.
Jei šoniniai paviršiai į pagrindo plokštumą pasvirę vienu kampu, tai šoninių paviršių apotemos yra lygios.
Taisyklingos piramidės savybės
1. Piramidės viršus yra vienodu atstumu nuo visų pagrindo kampų.
2. Visos šoninės briaunos lygios.
3. Visi šoniniai šonkauliai pasvirę į pagrindą tais pačiais kampais.
4. Visų šoninių paviršių apotemos yra lygios.
5. Visų šoninių paviršių plotai lygūs.
6. Visi paviršiai turi vienodus dvikampius (plokščius) kampus.
7. Aplink piramidę galima apibūdinti sferą. Aprašytos sferos centras bus statmenų, einančių per kraštų vidurį, susikirtimo taškas.
8. Į piramidę galima įrašyti sferą. Įbrėžtos sferos centras bus iš kampo tarp briaunos ir pagrindo kylančių bisektorių susikirtimo taškas.
9. Jei įbrėžto rutulio centras sutampa su apriboto rutulio centru, tai plokščiųjų kampų suma viršūnėje yra lygi π arba atvirkščiai, vienas kampas lygus π / n, kur n yra skaičius kampų piramidės pagrinde.
Piramidės ryšys su sfera
Aplink piramidę galima apibūdinti sferą, kai piramidės pagrinde yra daugiakampis, aplink kurį galima apibūdinti apskritimą (būtina ir pakankama sąlyga). Sferos centras bus plokštumų, einančių statmenai per piramidės šoninių kraštų vidurio taškus, susikirtimo taškas.
Sferą visada galima apibūdinti aplink bet kurią trikampę ar taisyklingą piramidę.
Į piramidę galima įrašyti sferą, jei piramidės vidinių dvikampių kampų bisektorinės plokštumos susikerta viename taške (būtina ir pakankama sąlyga). Šis taškas bus sferos centras.
Piramidės ryšys su kūgiu
Kūgis vadinamas įbrėžtu piramidėje, jei jų viršūnės sutampa, o kūgio pagrindas yra įbrėžtas piramidės pagrinde.
Į piramidę galima įrašyti kūgį, jei piramidės apotemos yra lygios.
Kūgis vadinamas apipjaustytu aplink piramidę, jei jų viršūnės sutampa, o kūgio pagrindas apibrėžiamas aplink piramidės pagrindą.
Aplink piramidę galima apibūdinti kūgį, jei visos piramidės šoninės briaunos yra lygios viena kitai.
Piramidės sujungimas su cilindru
Sakoma, kad piramidė yra įrašyta į cilindrą, jei piramidės viršūnė yra ant vieno cilindro pagrindo, o piramidės pagrindas yra įbrėžtas kitame cilindro pagrinde.
Cilindras gali būti apibrėžiamas aplink piramidę, jei aplink piramidės pagrindą gali būti apibrėžiamas apskritimas.
Tetraedras turi keturis paviršius ir keturias viršūnes bei šešias briaunas, kur bet kurios dvi briaunos neturi bendrų viršūnių, bet nesiliečia.
Kiekviena viršūnė susideda iš trijų formuojančių paviršių ir briaunų trikampis kampas.
Atkarpa, jungianti tetraedro viršūnę su priešingo paviršiaus centru, vadinama tetraedro mediana(GM).
Bimedian vadinamas atkarpa, jungiančia priešingų kraštinių, kurie nesiliečia, vidurio taškus (KL).
Visos tetraedro bimedianos ir medianos susikerta viename taške (S). Šiuo atveju bimedianai dalijami per pusę, o medianos santykiu 3:1, pradedant nuo viršaus.
Apibrėžimas. Ūmaus kampo piramidė yra piramidė, kurioje apotemas yra daugiau nei pusė pagrindo kraštinės ilgio.
Apibrėžimas. buka piramidė yra piramidė, kurioje apotemas yra mažesnis nei pusė pagrindo kraštinės ilgio.
Apibrėžimas. taisyklingas tetraedras Tetraedras, kurio keturi paviršiai yra lygiakraščiai trikampiai. Tai vienas iš penkių taisyklingų daugiakampių. Įprastame tetraedre visi dvikampiai kampai (tarp paviršių) ir trikampiai kampai (viršūnėje) yra lygūs.
Apibrėžimas. Stačiakampis tetraedras vadinamas tetraedras, kurio viršūnėje tarp trijų kraštinių yra stačiu kampu (kraštinės statmenos). Susidaro trys veidai stačiakampis trikampis kampas ir paviršiai yra stačiakampiai, o pagrindas yra savavališkas trikampis. Bet kurio veido apotemas yra lygus pusei pagrindo, ant kurio krenta apotemas, kraštinės.
Apibrėžimas. Izoedrinis tetraedras Tetraedras vadinamas, kurio šoniniai paviršiai yra lygūs vienas kitam, o pagrindas yra taisyklingas trikampis. Tokio tetraedro paviršiai yra lygiašoniai trikampiai.
Apibrėžimas. Ortocentrinis tetraedras vadinamas tetraedras, kuriame visi aukščiai (statmenys), nuleisti iš viršaus į priešingą paviršių, susikerta viename taške.
Apibrėžimas. žvaigždžių piramidė Vadinamas daugiakampis, kurio pagrindas yra žvaigždė.
Taisyklinga šešiakampė piramidė, kertama priekinės projektavimo plokštumos a ", parodyta 189 paveiksle. Kaip ir ankstesniuose pavyzdžiuose, pjūvio priekinė projekcija sutampa su priekiniu plokštumos pėdsaku. Pjūvio figūros horizontalioji ir profilinė projekcija yra pastatytas taškuose, kurie yra plokštumos a" susikirtimo su piramidės briaunomis taškai. Tikrasis pjūvio paveikslo vaizdas šiame pavyzdyje randamas pakeitus projekcijos plokštumas. 189 pav. Nupjautinės piramidės šoninio paviršiaus raida su pjūvio figūra ir pagrindine figūra parodyta 190 paveiksle. Pirma, sukonstruota nesutrumpinta piramidė, kurios visi paviršiai, turintys trikampio formą, yra tas pats. Plokštumoje pažymimas taškas S0 (piramidės viršus), iš jo, kaip iš pengra, nubrėžiamas apskritimo lankas, kurio spindulys R lygus tikrajam piramidės šoninės briaunos ilgiui. Tikrasis briaunos ilgis gali būti nustatytas pagal piramidės profilio projekciją, pvz., segmentus 6 L arba S B, nes šios briaunos yra lygiagrečios profilio plokštumai ir joje pavaizduotos realiu ilgiu. Vėliau išilgai apskritimo lanko iš bet kurio taško, pavyzdžiui, Afr, nutiesti šeši identiški segmentai, lygūs tikram šešiakampio – piramidės pagrindo – kraštinės ilgiui. Tikrasis piramidės pagrindo kraštinės ilgis gaunamas horizontalioje projekcijoje (segmentas A "B"). Taškai A^-E0 tiesiomis linijomis sujungti su viršūne SQ. Tada iš šių tiesių viršūnės S0 brėžiamas tikrasis briaunų atkarpų ilgis iki pjovimo plokštumos. Nupjautos piramidės profilio projekcijoje yra tik dviejų atkarpų ilgiai - S "" 5 "" ir S "2". Tikrieji likusių atkarpų ilgiai nustatomi sukant juos aplink ašį, statmeną horizontalei plokštuma ir einanti per viršūnę S. Gauti taškai / 0 , 30 ir kt. sujungiami tiesiomis linijomis, o pagrindo ir pjūvio figūros tvirtinamos trianguliacijos metodu. Išvystymo lenkimo linijos brėžiamos brūkšneliu- taškinė linija su dviem taškais. Nupjautinės piramidės izometrinės projekcijos konstravimas pradedamas konstruojant piramidės pagrindo izometrinę projekciją pagal matmenis, paimtus iš kompleksinio brėžinio horizontalios projekcijos. Tada plokštumoje pagrindo, bet 1-6" taškų koordinatėse statoma horizontali pjūvio projekcija (plonos linijos piramidės pagrinde, 191 pav.). Iš gauto šešiakampio viršūnės brėžiamos vertikalios linijos, ant kurių brėžiamos koordinatės, paimtos iš prizmės frontalinės arba profilinės projekcijos, pvz., atkarpos A, K2, Ku ir tt Gautus taškus sujungiame 1-6, gauname pjūvio figūrą. Sujungę taškus 1-6 su šešiakampio viršūnėmis, piramidės pagrindu, gauname nupjautinės piramidės izometrinę projekciją. Nematomi kraštai rodomi punktyrinėmis linijomis.
Piramidė yra daugiakampis, susidedantis iš plokščio daugiakampio – piramidės pagrindo, taško, kuris nėra pagrindo plokštumoje – piramidės viršūnės ir visų atkarpų, jungiančių piramidės viršūnę su piramidės taškais. pagrindas (18 pav.).
Atkarpos, jungiančios piramidės viršūnę su pagrindo viršūnėmis, vadinamos šoninėmis briaunomis.
Piramidės paviršius susideda iš pagrindo ir šoninių paviršių. Kiekvienas šoninis paviršius yra trikampis. Viena iš jos viršūnių yra piramidės viršūnė, o priešinga pusė – piramidės pagrindo pusė.
Piramidės aukštis vadinamas statmenu, nuleistas nuo piramidės viršaus iki pagrindo plokštumos.
Piramidė vadinama n-kampe, jei jos pagrindas yra n-kampis. Trikampė piramidė dar vadinama tetraedru.
18 paveiksle parodyta piramidė turi pagrindą - daugiakampį A1A2 ... An, piramidės viršūnę - S, šoninius kraštus - SA1, S A2, ..., S An, šoninius paviršius - SA1A2, SA2A3, .. ..
Toliau nagrinėsime tik piramides, kurių pagrindas yra išgaubtas daugiakampis. Tokios piramidės yra išgaubtos daugiakampės.
Piramidės ir jos plokščių pjūvių konstravimas
Pagal lygiagrečios projekcijos taisykles piramidės vaizdas konstruojamas taip. Pirma, pastatytas pamatas. Tai bus plokščias daugiakampis. Tada pažymima piramidės viršūnė, kuri šoniniais briaunomis sujungta su pagrindo viršūnėmis. 18 paveiksle parodytas penkiakampės piramidės vaizdas.
Piramidės pjūviai plokštumų, einančių per jos viršūnę, yra trikampiai (19 pav.). Visų pirma, įstrižainės yra trikampiai. Tai pjūviai plokštumų, einančių per du negretimus šoninius piramidės kraštus (20 pav.).
Piramidės pjūvis plokštumoje su duotu pėdsaku g pagrindo plokštumoje konstruojamas taip pat, kaip ir prizmės pjūvis.
Norint sukonstruoti piramidės atkarpą plokštuma, pakanka sukonstruoti jos šoninių paviršių susikirtimo vietas su pjovimo plokštuma.
Jei paviršiuje, kuris nėra lygiagretus pėdsakui g, žinomas koks nors pjūviui priklausantis taškas A, tai pirmiausia sukonstruojama pjovimo plokštumos pėdsako g sankirta su šio paviršiaus plokštuma - taškas D 21 paveiksle. D yra sujungtas su tašku A tiesia linija. Tada šios linijos segmentas, priklausantis veidui, yra šio veido susikirtimas su pjovimo plokštuma. Jei taškas A yra paviršiuje, lygiagrečiame pėdsakui g, tada sekanti plokštuma kerta šį paviršių išilgai atkarpos, lygiagrečios tiesei g. Eidami į gretimą šoninį paviršių, jie pastato jo sankirtą su pjovimo plokštuma ir tt Dėl to gaunama reikiama piramidės dalis.
Įvadas. . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. Daugiakampio samprata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Piramidė. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
piramidės savybės. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Nupjauta piramidė. . . . . . . . . ... . . . . . . . . ... . . . aštuoni
2.3. Piramidės ir jos plokščių pjūvių konstravimas. . . .devyni
3. Prizmė. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vienuolika
3.1. Prizmės vaizdas ir jos konstrukcija
skyriuose. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . trylika
4. Lygiagretainis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . penkiolika
4.1 Kai kurios gretasienio savybės. . . . . . . šešiolika
5. Eilerio daugiakampio teorema. . . . . . . . . . . . . . . aštuoniolika
6. Daugiakampių panašumas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7. Taisyklingas daugiabriaunis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.1. Daugiakampių suvestinė lentelė. . . . . . . . . . . 22
Išvada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Bibliografija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Įvadas
Blaise'as Pascalis kartą pasakė: „Matematikos dalykas yra toks rimtas, kad verta nepraleisti progos padaryti jį šiek tiek linksmesnį“. Iš šios pozicijos pabandykime atsižvelgti į stereometriją, kuri yra viena iš geometrijos dalių. Stereometrija tiria figūrų savybes erdvėje. Pavyzdžiui, skysti lašai nesvarumo būsenoje įgauna geometrinio kūno, vadinamo rutuliu, formą. Tokios pat formos turi mažą teniso kamuoliuką, o didesnius objektus – mūsų planetą ir daugybę kitų kosminių objektų. Skardinė yra cilindras.
Stereometrija aplink mus: kasdienybėje ir profesinėje veikloje. Žinoma, mes negalime „matyti“ mokslo, bet kasdien galime pamatyti jo tyrinėjamus trimačius kūnus. Argi neįdomu žiūrėti į save veidrodyje iš visų pusių? Tačiau žmogaus figūra taip pat yra trimatis objektas.
Norint išspręsti daugelį geometrinių uždavinių, susijusių su tetraedru ir gretasieniu, reikia mokėti jų pjūvius brėžti paveiksle skirtingomis plokštumomis. Pjovimo plokštuma vadinkime bet kurią plokštumą, kurios abiejose pusėse yra šios figūros taškai. Pjovimo plokštuma kerta figūros paviršius išilgai segmentų. Daugiakampis, kurio kraštinės yra šios atkarpos, vadinamas figūros atkarpa. Kadangi tetraedras turi keturis paviršius, jo atkarpomis gali būti tik trikampiai ir keturkampiai. Lygiagretainis turi šešis veidus. Jo sekcijos gali būti trikampiai, keturkampiai, penkiakampiai ir šešiakampiai.
1. Daugiakampio samprata
Daugiakampis- geometrinis erdvinis kūnas, iš visų pusių apribotas baigtiniu plokščių daugiakampių skaičiumi. Aspektai daugiakampiai vadinami daugiakampiais, jungiančiais daugiakampį (veideliai – ABCD, MEFN, ABEM, BEFC, CDNF, ADMN). šonkauliai daugiakampiai vadinami bendromis gretimų paviršių kraštinėmis (kraštinės - AB, BC, CD, AD, BE, CF, AM, DN, ME, EF, FN, MN). viršūnės daugiakampis vadinamas daugiakampių kampų viršūnėmis, kurias sudaro viename taške susiliejantys jo paviršiai . Įstrižainė Daugiakampis yra linijos atkarpa, jungianti dvi viršūnes, kurios nėra tame pačiame paviršiuje (BN). įstrižainė plokštuma daugiakampis vadinamas plokštuma, kertanti tris daugiakampio viršūnes, kurios nėra tame pačiame paviršiuje (plokštuma BEN).
Daugiakampis vadinamas išgaubtas , jei jis yra vienoje kiekvieno jo paviršiaus daugiakampio plokštumos pusėje. Išgaubto daugiakampio paviršiai gali būti tik išgaubti daugiakampiai (išgaubto daugiakampio pavyzdys yra kubas, 1 pav.).
Jei daugiakampio paviršiai susikerta patys, tada toks daugiakampis vadinamas neišgaubtas (2 pav.).
Daugiakampio pjūvis plokštuma yra šios plokštumos dalis, kurią riboja daugiakampio paviršiaus susikirtimo su šia plokštuma linija.
.
2. Piramidė
Piramidė vadinamas daugiakampis, kurio vienas paviršius yra savavališkas daugiakampis, o kiti paviršiai yra trikampiai, turintys bendrą viršūnę.
Piramidės pagrindas vadinamas daugiakampiu, gautu pjovimo plokštumoje (ABCDE). Piramidės šoniniai paviršiai vadinami trikampiais ASB, BSC, ... su bendra viršūne S, kuri vadinama piramidės viršūne. Piramidės šoniniai kraštai yra kraštai, išilgai kurių susikerta šoniniai paviršiai. Piramidės aukštis yra statmenas, nubrėžtas nuo piramidės viršūnių iki pagrindo plokštumos. Piramidės apotemas yra šoninio paviršiaus aukštis, nuleistas nuo piramidės viršaus.
Piramidė vadinama teisinga , jei jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršūnė projektuojama į šio daugiakampio centrą.
Įrodykime tai visos taisyklingosios piramidės šoninės briaunos yra lygios, o šoninės briaunos yra lygūs lygiašoniai trikampiai
Apsvarstykite taisyklingąją piramidę PA 1 A 2 …A n . Pirmiausia įrodome, kad visos šios piramidės šoninės briaunos yra lygios. Bet kuri šoninė briauna yra stačiojo trikampio, kurio viena kojelė yra piramidės aukštis PO, o kita - apskritimo, apibrėžiamo šalia pagrindo, spindulys (pavyzdžiui, šoninė briauna PA 1 yra stačiojo trikampio hipotenuzė). trikampis OPA 1, kuriame OP=h, OA 1 =R). Pagal Pitagoro teoremą bet kuri šoninė briauna lygi √(h 2 +R 2), taigi PA 1 =PA 2 =…= PA n .
Įrodėme, kad taisyklingosios piramidės PA 1 A 2 …A n šoninės briaunos yra lygios viena kitai, taigi šoninės briaunos yra lygiašoniai trikampiai. Šių trikampių pagrindai taip pat yra lygūs vienas kitam, nes A 1 A 2 …A n yra taisyklingas daugiakampis. Todėl pagal trečiąjį trikampių lygybės kriterijų, kurį reikėjo įrodyti, šoniniai paviršiai yra lygūs.
Piramidės pjūvis, kurio plokštuma lygiagreti pagrindo plokštumai, vadinama piramidės skerspjūvis .
piramidės savybės
Piramidės skerspjūvių savybės.
1. Jei kertate piramidę plokštuma, lygiagrečia pagrindui, tada:
· 
piramidės šoninės briaunos ir aukštis pagal šią plokštumą bus padalinti į proporcingus segmentus;
atkarpoje gausite daugiakampį, panašų į daugiakampį, esantį prie pagrindo;
Skerspjūvio ir pagrindo plotai bus susiję vienas su kitu kaip jų atstumų nuo piramidės viršūnės kvadratai:
S 1:S 2 =X 1 2: X 2 2
2. Jei dvi vienodo aukščio piramides susikerta plokštumos, lygiagrečios pagrindams, vienodu atstumu nuo viršaus, tai atkarpų plotai bus proporcingi pagrindų plotams.
Piramidės šoninio paviršiaus (arba tiesiog šoninio paviršiaus) plotas yra jos šoninių paviršių plotų suma.
Bendras paviršiaus plotas(arba tiesiog visas piramidės paviršius) yra jos šoninio paviršiaus ir pagrindo ploto suma.
Piramidės aukščio savybės
1. Jei piramidės šoninis paviršius yra statmenas pagrindo plokštumai, tai piramidės aukštis eina šio paviršiaus plokštuma.
2. Jei dvi gretimos piramidės šoninės briaunos yra lygios, tai piramidės aukščio pagrindas yra ant statmens, ištraukto per vidurį tos pagrindo pusės, iš kurios galų kyla šios šoninės briaunos.
3. Jei du gretimi piramidės šoniniai paviršiai yra vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai piramidės aukščio pagrindas guli ant kampo, sudaryto iš tų pagrindo kraštinių, per kurias eina šie šoniniai paviršiai.
4. Jei piramidės šoninė briauna sudaro lygius kampus su dviem pagrindo kraštinėmis, esančiomis prie jos, tai piramidės aukščio pagrindas guli ant kampo, kurį sudaro šios pagrindo kraštinės, bisektoriaus.
5. Jei piramidės šoninė briauna statmena su ja besikertančiai pagrindo pusei, tai piramidės aukščio pagrindas yra statmenoje atstatytoje (piramidės pagrindo plokštumoje) į šią pusę nuo jo susikirtimo su šia šonine briauna taškas.
PASTABA: jei piramidė turi bet kurias dvi iš šių požymių, tai galima vienareikšmiškai nurodyti tašką, kuris yra piramidės aukščio pagrindas.
Paveikslėlyje parodytas taisyklingos n-anglies piramidės SABCD... fragmentas, kur SH yra piramidės aukštis; SK yra apotemas. Įveskime tokį žymėjimą: kampas alfa ( ά
) – kampas tarp piramidės šoninės briaunos ir pagrindo plokštumos; beta (β) – kampas tarp šoninio paviršiaus ir pagrindo plokštumos; kampas y (γ) – kampas tarp gretimų šoninių briaunų; kampas phi (φ) – kampas tarp gretimų šoninių paviršių.
Jei vienas iš šių kampų yra žinomas taisyklingoje piramidėje, tada galima rasti kitus tris. Lentelėje pateikti šeši ryšiai:
Piramidės tūris randama pagal formulę:
V = 1/3S pagrindinė H,
kur Sbase yra bazinis plotas, H yra aukštis.
Šoninio paviršiaus plotas teisinga piramidė išreiškiama taip:
S pusė \u003d 1/2Ph,
kur P yra pagrindo perimetras, h yra šoninio paviršiaus aukštis
2.2. Nupjauta piramidė.
nupjauta piramidė Piramidės dalis vadinama, uždaryta tarp jos pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios pagrindui, pavyzdžiui, piramidė ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.
Nupjautos piramidės pagrindai vadinami lygiagrečiais paviršiais ABCD ir A 1 B 1 C 1 D 1 (ABCD – apatinis pagrindas, o A 1 B 1 C 1 D 1 – viršutinis pagrindas).
Aukštis nupjauta piramidė – tiesios linijos atkarpa, statmena pagrindams ir uždaryta tarp jų plokštumų.
Nupjauta piramidė teisinga , jei jo pagrindai yra taisyklingi daugiakampiai, o tiesė, jungianti pagrindų centrus, yra statmena pagrindų plokštumai.
Nupjautos piramidės apotemas yra jos šoninio paviršiaus aukštis.
Šoninis paviršius nupjauta piramidė yra jos šoninių paviršių plotų suma. Bendras nupjautinės piramidės paviršius lygus šoninio paviršiaus ir pagrindų plotų sumai.
Nupjauta piramidė gaunama iš piramidės, nupjaunant nuo jos viršutinę dalį plokštuma, lygiagrečia pagrindui. Nupjautinės piramidės pagrindai yra panašūs daugiakampiai, šoniniai paviršiai – trapecijos.
Apimtis Sutrumpinta piramidė randama pagal formulę:
V = 1/3 H(S+ √ SS1+S1),
kur S ir S1 yra pagrindų plotai, o H yra aukštis.
Šoninio paviršiaus plotas taisyklinga nupjauta piramidė išreiškiama taip:
P pusė \u003d 1/2 (P + P 1) h,
kur P ir P1 yra pagrindų perimetrai, h – šoninio paviršiaus aukštis (arba taisyklingos nupjautinės piramidės apotemas).
2.3. Piramidės ir jos plokščių pjūvių konstravimas
Pagal lygiagrečios projekcijos taisykles piramidės vaizdas konstruojamas taip. Pirma, pastatytas pamatas. Tai bus plokščias daugiakampis. Tada pažymima piramidės viršūnė, kuri šoniniais briaunomis sujungta su pagrindo viršūnėmis.
Piramidės pjūviai plokštumų, einančių per jos viršūnę, yra trikampiai (a pav.). Visų pirma, įstrižainės dalys taip pat yra trikampiai. Tai pjūviai plokštumų, einančių per du negretimus šoninius piramidės kraštus (b pav.).
Piramidės pjūvis plokštumoje su duotu pėdsaku g pagrindo plokštumoje konstruojamas taip pat, kaip ir prizmės pjūvis.
Norint sukonstruoti piramidės atkarpą plokštuma, pakanka sukonstruoti jos šoninių paviršių susikirtimo vietas su pjovimo plokštuma.
Jei žinomas koks nors pjūviui priklausantis taškas A paviršiuje, kuris nėra lygiagretus pėdsakui g, tada pirmiausia sukonstruojama sekantinės plokštumos pėdsako g sankirta su šio paviršiaus plokštuma - taškas D paveiksle ( in). Taškas D yra sujungtas su tašku A tiesia linija. Tada šios linijos segmentas, priklausantis veidui, yra šio veido susikirtimas su pjovimo plokštuma. Jei taškas A yra paviršiuje, lygiagrečiame pėdsakui g, tada sekanti plokštuma kerta šį paviršių išilgai atkarpos, lygiagrečios tiesei g. Eidami į gretimą šoninį paviršių, jie pastato jo sankirtą su pjovimo plokštuma ir tt Dėl to gaunama reikiama piramidės dalis.
