Dvikampio kampo samprata

Norėdami pristatyti dvikampio kampo sąvoką, pirmiausia prisiminkime vieną iš stereometrijos aksiomų.

Bet kurią plokštumą galima padalyti į dvi šioje plokštumoje esančios tiesės $a$ pusplokštumas. Šiuo atveju taškai, esantys toje pačioje pusplokštumoje, yra toje pačioje tiesės $a$ pusėje, o skirtingose ​​pusplokštumose esantys taškai yra priešingose ​​tiesės $a$ pusėse (1 pav. ).

1 paveikslas.

Šia aksioma remiasi dvikampio kampo konstravimo principas.

1 apibrėžimas

Figūra vadinama dvikampis kampas jei jis susideda iš tiesės ir dviejų šios tiesės pusplokštumų, nepriklausančių tai pačiai plokštumai.

Šiuo atveju vadinamos dvisienio kampo pusplokštumos veidai, o tiesi linija, skirianti pusplokštumas - dvikampis kraštas(1 pav.).

2 pav. Dvikampis kampas

Dvikampio kampo laipsnio matas

2 apibrėžimas

Mes pasirenkame savavališką tašką $A$ kraštinėje. Kampas tarp dviejų tiesių, esančių skirtingose ​​pusėse plokštumose, statmenai kraštinei ir susikertančių taške $A$ vadinamas tiesinis kampas dvikampis kampas(3 pav.).

3 pav

Akivaizdu, kad kiekvienas dvikampis turi begalinį linijinių kampų skaičių.

1 teorema

Visi vieno dvikampio kampo tiesiniai kampai yra lygūs vienas kitam.

Įrodymas.

Apsvarstykite du tiesinius kampus $AOB$ ir $A_1(OB)_1$ (4 pav.).

4 pav

Kadangi spinduliai $OA$ ir $(OA)_1$ yra toje pačioje pusplokštumoje $\alpha $ ir yra statmeni vienai tiesei, jie yra bendros krypties. Kadangi spinduliai $OB$ ir $(OB)_1$ yra toje pačioje pusplokštumoje $\beta $ ir yra statmeni vienai tiesei, jie yra bendros krypties. Vadinasi

\[\angle AOB=\angle A_1(OB)_1\]

Dėl linijinių kampų pasirinkimo savavališkumo. Visi vieno dvikampio kampo tiesiniai kampai yra lygūs vienas kitam.

Teorema įrodyta.

3 apibrėžimas

Dvikampio kampo laipsnio matas yra dvisienio kampo tiesinio kampo laipsnio matas.

Užduočių pavyzdžiai

1 pavyzdys

Duotos dvi nestačios plokštumos $\alpha $ ir $\beta $, kurios susikerta išilgai tiesės $m$. Taškas $A$ priklauso plokštumai $\beta $. $AB$ yra statmena tiesei $m$. $AC$ yra statmena plokštumai $\alpha $ (taškas $C$ priklauso $\alpha $). Įrodykite, kad kampas $ABC$ yra dvisienio kampo tiesinis kampas.

Įrodymas.

Nubraižykime piešinį pagal uždavinio būklę (5 pav.).

5 pav

Norėdami tai įrodyti, primename tokią teoremą

2 teorema: Tiesi linija, einanti per pasvirosios pagrindą, statmena jai, yra statmena jos projekcijai.

Kadangi $AC$ yra statmena $\alpha $ plokštumai, tai taškas $C$ yra taško $A$ projekcija į $\alpha $ plokštumą. Taigi $BC$ yra įstrižosios $AB$ projekcija. Pagal 2 teoremą $BC$ yra statmena dvikampio kampo briaunai.

Tada kampas $ABC$ atitinka visus dvikampio kampo tiesinio kampo apibrėžimo reikalavimus.

2 pavyzdys

Dvikampis kampas yra $30^\circ$. Viename iš paviršių yra taškas $A$, kuris yra $4$ cm atstumu nuo kito paviršiaus. Raskite atstumą nuo taško $A$ iki dvikampio kampo krašto.

Sprendimas.

Pažiūrėkime į 5 pav.

Darant prielaidą, turime $AC=4\ cm$.

Apibrėždami dvikampio kampo laipsnio matą, turime, kad kampas $ABC$ yra lygus $30^\circ$.

Trikampis $ABC$ yra stačiakampis. Pagal smailiojo kampo sinuso apibrėžimą

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Ši pamoka skirta savarankiškam temos „Dvikampis kampas“ studijoms. Šios pamokos metu mokiniai bus supažindinti su viena iš svarbiausių geometrinių formų – dvikampio kampo. Taip pat pamokoje turime išmokti nustatyti nagrinėjamos geometrinės figūros tiesinį kampą ir koks yra dvikampis figūros pagrinde.

Pakartokime, kas yra kampas plokštumoje ir kaip jis matuojamas.

Ryžiai. 1. Lėktuvas

Apsvarstykite plokštumą α (1 pav.). Iš taško O išeina dvi sijos OV ir OA.

Apibrėžimas. Figūra, kurią sudaro du spinduliai, sklindantys iš to paties taško, vadinama kampu.

Kampas matuojamas laipsniais ir radianais.

Prisiminkime, kas yra radianas.

Ryžiai. 2. Radianas

Jeigu turime centrinį kampą, kurio lanko ilgis lygus spinduliui, tai toks centrinis kampas vadinamas 1 radiano kampu. , ∠ AOB= 1 rad (2 pav.).

Radianų ir laipsnių santykis.

džiaugiuosi.

Supratome, laimingi. (). Tada

Apibrėžimas. dvikampis kampas vadinama tiesia linija suformuota figūra a ir dvi pusiau plokštumos su bendra riba a nepriklausantys tai pačiai plokštumai.

Ryžiai. 3. Pusinės plokštumos

Panagrinėkime dvi pusiau plokštumas α ir β (3 pav.). Jų bendra siena yra a. Ši figūra vadinama dvikampiu kampu.

Terminija

Pusplokštumos α ir β yra dvisienio kampo paviršiai.

Tiesiai a yra dvikampio kampo kraštas.

Ant bendro krašto a dvikampis kampas pasirinkite savavališką tašką O(4 pav.). Pusplokštumoje α nuo taško O atstatyti statmeną OAį tiesią liniją a. Iš to paties taško O antroje pusplokštumoje β statome statmeną OV prie šonkaulio a. Gavo kampą AOB, kuris vadinamas dvikampio kampo tiesiniu kampu.

Ryžiai. 4. Dvikampio kampo matavimas

Įrodykime visų tiesinių kampų lygybę tam tikram dvikampiui.

Turėkime dvikampį kampą (5 pav.). Pasirinkite tašką O ir taškas Apie 1 tiesioje linijoje a. Sukonstruokime tašką atitinkantį tiesinį kampą O, ty nubrėžiame du statmenus OA ir OV plokštumose α ir β atitinkamai iki krašto a. Mes gauname kampą AOB yra dvisienio kampo tiesinis kampas.

Ryžiai. 5. Įrodinėjimo iliustracija

Iš taško Apie 1 nubrėžkite du statmenis OA 1 ir OB 1 prie šonkaulio a plokštumose α ir β atitinkamai ir gauname antrą tiesinį kampą A 1 O 1 B 1.

Spinduliai O 1 A 1 ir OA bendros krypties, nes jie yra toje pačioje pusplokštumoje ir yra lygiagrečiai vienas kitam kaip du statmenai tai pačiai tiesei a.

Taip pat ir spinduliai Maždaug 1 iš 1 ir OV išlygintas, o tai reiškia ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 kaip kampai su bendros krypties kraštinėmis, o tai turėjo būti įrodyta.

Linijinio kampo plokštuma yra statmena dvikampio kampo kraštinei.

Įrodyk: a ⊥ AOW.

Ryžiai. 6. Įrodinėjimo iliustracija

Įrodymas:

OA ⊥ a pagal konstrukciją, OV ⊥ a pagal konstrukciją (6 pav.).

Mes suprantame, kad linija a statmena dviem susikertančioms tiesėms OA ir OV iš lėktuvo AOB, o tai reiškia tiesus a statmenai plokštumai OAB, kas turėjo būti įrodyta.

Dvikampis kampas matuojamas jo tiesiniu kampu. Tai reiškia, kad kiek radianų laipsnių yra tiesiniame kampe, tiek radianų laipsnių yra jo dvikampyje. Atsižvelgiant į tai, išskiriami šie dvikampių kampų tipai.

Aštri (6 pav.)

Dvikampis kampas yra smailusis, jeigu jo tiesinis kampas yra smailusis, t.y. .

Tiesi (7 pav.)

Dvikampis kampas yra teisingas, kai jo tiesinis kampas yra 90° – bukas (8 pav.)

Dvikampis kampas yra bukas, kai jo tiesinis kampas yra bukas, t.y. .

Ryžiai. 7. Status kampas

Ryžiai. 8. Bukas kampas

Tiesinių kampų konstravimo realiose figūrose pavyzdžiai

ABCD- tetraedras.

1. Sukurkite dvisienio kampo su briauna tiesinį kampą AB.

Ryžiai. 9. Problemos iliustracija

Pastatas:

Mes kalbame apie dvikampį kampą, kurį sudaro briauna AB ir veidai ABD ir ABC(9 pav.).

Nubrėžkime tiesią liniją DH statmenai plokštumai ABC, H yra statmens pagrindas. Nubrėžkime įstrižą DM statmenai linijai AB,M- pasvirusi bazė. Pagal trijų statmenų teoremą darome išvadą, kad įstrižainės projekcija NM taip pat statmenai linijai AB.

Tai yra, iš taško M atstatyti du statmenai į kraštą AB iš dviejų pusių ABD ir ABC. Gavome linijinį kampą DMN.

pastebėti, kad AB, dvikampio kampo briauna, statmena tiesinio kampo plokštumai, t.y. plokštumai DMN. Problema išspręsta.

komentuoti. Dvikampis kampas gali būti žymimas taip: DABC, kur

AB- kraštas ir taškai D ir NUO gulėti skirtingose ​​kampo pusėse.

2. Sukonstruoti dvisienio kampo su briauna tiesinį kampą AU.

Nubrėžkime statmeną DHį lėktuvą ABC ir įstrižai DN statmenai linijai AS. Pagal trijų statmenų teoremą gauname tai HN- įstriža projekcija DNį lėktuvą ABC, taip pat statmenai linijai AS.DNH- dvikampio kampo tiesinis kampas su briauna AU.

tetraedre DABC visos briaunos lygios. Taškas M- šonkaulio vidurys AU. Įrodykite, kad kampas DMV- tiesinis dvikampio kampo kampas TUD, t.y., dvikampis kampas su briauna AU. Vienas iš jo kraštų yra AUD, antras - DIA(10 pav.).

Ryžiai. 10. Problemos iliustracija

Sprendimas:

Trikampis ADC- lygiakraštis, DM yra mediana, taigi ir aukštis. Reiškia, DM ⊥ AS. Panašiai ir trikampis AATC- lygiakraštis, ATM yra mediana, taigi ir aukštis. Reiškia, VM ⊥ AS.

Taigi iš taško Mšonkauliai AU dvikampis atstatyti du statmenai DM ir VM iki šios briaunos dvisienio kampo paviršiuose.

Taigi ∠ DMAT yra dvisienio kampo tiesinis kampas, kurį reikėjo įrodyti.

Taigi, mes apibrėžėme dvisienį kampą, tiesinį dvikampio kampą.

Kitoje pamokoje svarstysime tiesių ir plokštumų statmenumą, tada sužinosime, kas yra dvikampis figūrų pagrinde.

Literatūros šaltiniai temomis "Diedrinis kampas", "Dviedis kampas geometrinių figūrų pagrindu"

1. Geometrija. 10-11 klasė: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 p .: iliustr.
2. Geometrija. 10 klasė: vadovėlis bendrojo lavinimo įstaigoms su giluminiu ir profiliniu matematikos mokymu / E. V. Potoskujevas, L. I. Zvalichas. - 6-asis leidimas, stereotipas. - M.: Bustard, 2008. - 233 p.: iliustr.

1. Yaklass.ru ().
2. e-science.ru ().
3. Webmath.expponenta.ru().
4. Tutoronline.ru ().

Namų darbas tema „Diedros kampas“, nustatant dvibriaunį kampą prie figūrų pagrindo

Geometrija. 10-11 klasė: vadovėlis ugdymo įstaigų mokiniams (pagrindinis ir profilio lygiai) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-asis leidimas, taisytas ir papildytas - M.: Mnemozina, 2008. - 288 p.: iliustr.

2 užduotys, 3 67 psl.

Koks yra dvikampio kampo tiesinis kampas? Kaip jį pastatyti?

ABCD- tetraedras. Sukurkite dvikampio kampo tiesinį kampą su briauna:

a) ATD b) DNUO.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - kubas Nubrėžkite dvikampio kampo tiesinį kampą A 1 ABC su šonkauliu AB. Nustatykite jo laipsnio matą.

PIRMAS SKYRIUS LINIJAS IR PLOKTUMAI

V. DIHADRINIAI KAMPAI, STATUS KAMPAS SU PLOKŠTUMA,
DVIEJŲ KRĖJIMO DEŠIŲ KAMPAS, DALYKADRINIAI KAMPAI

dvikampiai kampai

38. Apibrėžimai. Plokštumos dalis, esanti vienoje toje plokštumoje esančios tiesės pusėje, vadinama pusiau plokštuma. Iš vienos tiesės (AB) išeinančių dviejų pusplokštumų (P ir Q, 26 pav.) suformuota figūra vadinama dvikampis kampas. Tiesė AB vadinama kraštas, o pusplokštumos P ir Q - vakarėliams arba veidai dvikampis kampas.

Toks kampas dažniausiai žymimas dviem raidėmis, išdėstytomis jo briaunoje (dvikampis kampas AB). Bet jei viename krašte nėra dvikampio kampo, tada kiekvienas iš jų žymimas keturiomis raidėmis, iš kurių dvi vidurinės yra krašte, o dvi kraštutinės yra priekinėse pusėse (pavyzdžiui, dvikampis kampas SCDR) (pav. . 27).

Jei iš savavališko taško D briaunos AB (28 pav.) nubrėžtos kiekviename paviršiuje išilgai statmenos briaunoms, tai jų suformuotas kampas CDE vadinamas tiesinis kampas dvikampis kampas.

Tiesinio kampo reikšmė nepriklauso nuo jo viršūnės padėties briaunoje. Taigi tiesiniai kampai CDE ir C 1 D 1 E 1 yra lygūs, nes jų kraštinės yra atitinkamai lygiagrečios ir vienodai nukreiptos.

Linijinio kampo plokštuma yra statmena kraštinei, nes joje yra dvi jai statmenos linijos. Todėl norint gauti tiesinį kampą, pakanka duoto dvikampio kampo paviršius kirsti su briauninei statmena plokštuma ir atsižvelgti į gautą kampą šioje plokštumoje.

39. Dvikampių kampų lygybė ir nelygybė. Du dvikampiai kampai laikomi lygiais, jei juos galima sujungti, kai jie yra įdėta; kitu atveju vienas iš dvikampių kampų laikomas mažesniu ir sudarys kito kampo dalį.

Kaip ir planimetrijos kampai, taip ir dvikampiai kampai gali būti gretimas, vertikalus ir tt

Jei du gretimi dvikampiai kampai yra lygūs vienas kitam, tada kiekvienas iš jų vadinamas dešinysis dvikampis kampas.

Teoremos. 1) Vienodi dvikampiai kampai atitinka vienodus tiesinius kampus.

2) Didesnis dvikampis kampas atitinka didesnį tiesinį kampą.

Tegu PABQ, o P 1 A 1 B 1 Q 1 (29 pav.) yra du dvikampiai kampai. Įstatykite kampą A 1 B 1 į kampą AB taip, kad kraštas A 1 B 1 sutaptų su briauna AB, o paviršius P 1 sutaptų su paviršiumi P.

Tada, jei šie dvikampiai kampai yra lygūs, tada paviršius Q 1 sutaps su paviršiumi Q; jei kampas A 1 B 1 yra mažesnis už kampą AB, tada veidas Q 1 užims tam tikrą padėtį dvikampio kampo viduje, pavyzdžiui, Q 2 .

Pastebėję tai, paimame tam tikrą tašką B ant bendros briaunos ir per jį nubrėžiame plokštumą R, statmeną kraštinei. Iš šios plokštumos susikirtimo su dvikampių kampų paviršiais gaunami tiesiniai kampai. Akivaizdu, kad jei dvikampiai kampai sutampa, tada jie turės tą patį tiesinį kampą CBD; jei dvisienio kampai nesutampa, jei, pavyzdžiui, veidas Q 1 užima padėtį Q 2, tada didesnis dvikampis turės didesnį tiesinį kampą (būtent: / CBD> / C2BD).

40. Atvirkštinės teoremos. 1) Vienodi tiesiniai kampai atitinka vienodus dvikampius.

2) Didesnis tiesinis kampas atitinka didesnį dvikampį .

Šios teoremos lengvai įrodomos prieštaravimu.

41. Pasekmės. 1) Statusis dvikampis kampas atitinka tiesinį tiesinį kampą ir atvirkščiai.

Tegul (30 pav.) dvikampis kampas PABQ yra stačias. Tai reiškia, kad jis lygus gretimam kampui QABP 1 . Bet šiuo atveju tiesiniai kampai CDE ir CDE 1 taip pat yra lygūs; ir kadangi jie yra gretimi, kiekvienas iš jų turi būti tiesus. Ir atvirkščiai, jei gretimi tiesiniai kampai CDE ir CDE 1 yra lygūs, tai ir gretimi dvikampiai kampai yra lygūs, ty kiekvienas iš jų turi būti tiesus.

2) Visi dešinieji dvikampiai kampai yra lygūs, nes jie turi vienodus tiesinius kampus .

Panašiai nesunku įrodyti, kad:

3) Vertikalios dvikampės kampai yra lygūs.

4) Dvikampis kampai su atitinkamai lygiagrečiais ir vienodai (arba priešingai) nukreiptais paviršiais yra lygūs.

5) Jei dvisienio kampo vienetu paimsime tokį dvisienį kampą, kuris atitinka tiesinių kampų vienetą, tai galime sakyti, kad dvisienis kampas matuojamas jo tiesiniu kampu.