NUO n nežinomas yra tokios formos sistema:

kur aij ir b i (i=1,…,m; b=1,…,n) yra keletas žinomų skaičių ir x 1,…,x n- nežinomi numeriai. Koeficientų žymėjime aij indeksas i nustato lygties skaičių, o antrasis j yra nežinomojo skaičius, kuriame yra šis koeficientas.

Homogeninė sistema - kai visi laisvieji sistemos nariai lygūs nuliui ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), situacija yra priešinga nevienalytė sistema.

Kvadratinė sistema - kai numeris m lygtys yra lygios skaičiui n nežinomas.

Sisteminis sprendimas- rinkinys n numeriai c 1 , c 2 , …, c n , toks, kad visų pakeitimas c i vietoj x iį sistemą visas savo lygtis paverčia tapatybėmis.

Sąnarių sistema - kai sistema turi bent vieną sprendimą, ir nesuderinama sistema kai sistema neturi sprendimų.

Tokio tipo jungtinė sistema (kaip nurodyta aukščiau, tebūnie (1)) gali turėti vieną ar daugiau sprendimų.

Sprendimai c 1 (1), c 2 (1), …, c n (1) ir c 1 (2), c 2 (2), …, c n (2)(1) tipo jungties sistema bus įvairių, kai netenkinama net 1 lygybė:

c 1 (1) = c 1 (2), c 2 (1) = c 2 (2), …, c n (1) = c n (2) .

(1) tipo jungtinė sistema tam tikras kai turi tik vieną sprendimą; kai sistema turi bent 2 skirtingus sprendimus, ji tampa nepakankamai apibrėžtas. Kai lygčių yra daugiau nei nežinomųjų, sistema yra iš naujo apibrėžta.

Nežinomųjų koeficientai užrašomi kaip matrica:

Tai vadinama sistemos matrica.

Skaičiai, esantys dešinėje lygčių pusėje, b 1 ,…, b m yra nemokami nariai.

Suvestinė n numeriai c 1,…,c n yra šios sistemos sprendimas, kai visos sistemos lygtys virsta lygybe jose pakeitus skaičius c 1,…,c n vietoj atitinkamų nežinomųjų x 1,…,x n.

Sprendžiant tiesinių lygčių sistemą, gali atsirasti 3 parinktys:

1. Sistema turi tik vieną sprendimą.

2. Sistema turi be galo daug sprendinių. Pavyzdžiui, . Šios sistemos sprendimas bus visos skaičių poros, kurios skiriasi ženklu.

3. Sistema neturi sprendimų. Pavyzdžiui, , jei sprendimas yra, tada x 1 + x 2 lygi 0 ir 1 tuo pačiu metu.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimo metodai.

Tiesioginiai metodai Pateikite algoritmą, pagal kurį randamas tikslus sprendimas SLAU(tiesinių algebrinių lygčių sistemos). Ir jei tikslumas būtų absoliutus, jie būtų jį radę. Tikras elektrinis kompiuteris, žinoma, veikia su klaida, todėl sprendimas bus apytikslis.

Paprastai tiesinė lygtis yra tokia:

Lygtis turi sprendimą: jei bent vienas iš nežinomųjų koeficientų skiriasi nuo nulio. Šiuo atveju bet koks -matmenų vektorius vadinamas lygties sprendiniu, jei, pakeitus jo koordinates, lygtis tampa tapatybe.

Bendrosios leistinos lygčių sistemos charakteristikos

20.1 pavyzdys

Apibūdinkite lygčių sistemą.

Sprendimas:

1. Ar yra nenuosekli lygtis?(Jei koeficientai, šiuo atveju lygtis turi formą: ir vadinama prieštaringas.)

• Jei sistemoje yra nenuosekli sistema, tokia sistema yra nenuosekli ir neturi sprendimo.

2. Raskite visus leidžiamus kintamuosius. (Nežinomasis vadinamasleidžiama lygčių sistemai, jei ji patenka į vieną iš sistemos lygčių, kurių koeficientas yra +1, o į likusias lygtis neįeina (t. y. įeina su nuliui lygiu koeficientu).

3. Ar leidžiama naudoti lygčių sistemą? (Lygčių sistema vadinama išspręsta, jei kiekvienoje sistemos lygtyje yra išspręstas nežinomasis, tarp kurių nėra sutampančių)

Leidžiami nežinomieji, paimti po vieną iš kiekvienos sistemos lygties, susidaro visas leidžiamų nežinomųjų rinkinys sistemos. (mūsų pavyzdyje tai yra )

Taip pat vadinami leidžiami nežinomieji, įtraukti į pilną rinkinį pagrindinis(), ir neįeina į rinkinį - Laisvas ().

Bendruoju atveju išspręsta lygčių sistema turi tokią formą:

Šiame etape svarbu suprasti, kas yra išspręsta nežinia(įskaičiuota į bazę ir nemokama).

Bendras dalinis pagrindinis sprendimas

Bendras sprendimas leistinos lygčių sistemos yra laisvųjų ir laisvųjų nežinomųjų leistinų nežinomųjų išraiškų rinkinys:

Privatus sprendimas vadinamas sprendiniu, gautu iš bendrosios konkrečių laisvųjų kintamųjų ir nežinomųjų verčių.

Bazinis sprendimas yra tam tikras sprendimas, gautas iš bendrojo laisvųjų kintamųjų nulinėmis reikšmėmis.

• Bazinis sprendimas (vektorius) vadinamas išsigimęs, jei jo nenulinių koordinačių skaičius yra mažesnis už leidžiamų nežinomųjų skaičių.
• Pagrindinis sprendimas vadinamas neišsigimęs, jei jo nenulinių koordinačių skaičius yra lygus į pilną aibę įtrauktos sistemos leidžiamų nežinomųjų skaičiui.

Teorema (1)

Leidžiama lygčių sistema visada yra suderinama(nes turi bent vieną sprendimą); Be to, jei sistemoje nėra laisvų nežinomųjų,(ty lygčių sistemoje į bazę įtraukiamos visos leidžiamos) tada jis apibrėžiamas(turi unikalų sprendimą); jei yra bent vienas laisvas kintamasis, tai sistema neapibrėžta(turi begalinį sprendinių skaičių).

1 pavyzdys. Raskite bendrą, pagrindinį ir bet kurį konkretų lygčių sistemos sprendimą:

Sprendimas:

1. Tikrinate, ar sistema leidžiama?

• Sistema leidžiama (nes kiekvienoje lygtyje yra leistinas nežinomasis)

2. Į aibę įtraukiame leidžiamus nežinomuosius – po vieną iš kiekvienos lygties.

3. Užrašome bendrą sprendimą, priklausomai nuo to, kokius leidžiamus nežinomus įtraukėme į rinkinį.

4. Privataus sprendimo paieška. Norėdami tai padaryti, laisvuosius kintamuosius, kurių neįtraukėme į rinkinį, prilyginame savavališkiems skaičiams.

Atsakymas: privatus sprendimas(vienas iš variantų)

5. Pagrindinio sprendimo paieška. Norėdami tai padaryti, laisvuosius kintamuosius, kurių neįtraukėme į rinkinį, prilyginame nuliui.

Elementariosios tiesinių lygčių transformacijos

Tiesinių lygčių sistemos elementariųjų transformacijų pagalba redukuojamos į lygiavertes leistinas sistemas.

Teorema (2)

Jei bet kuris sistemos lygtį padauginkite iš kokio nors ne nulio skaičiaus, o likusias lygtis palikite nepakeistas, tada . (tai yra, jei padauginsite kairę ir dešinę lygties puses iš to paties skaičiaus, gausite lygtį, lygiavertę duotajai)

Teorema (3)

Jeigu prie bet kurios sistemos lygties pridėkite kitą, o visas kitas lygtis palikite nepakeistas gauti sistemą, lygiavertę duotai. (ty jei pridėsite dvi lygtis (sudėkite jų kairę ir dešinę dalis), gausite lygtį, lygiavertę duomenims)

Išvada iš teoremų (2 ir 3)

Jeigu prie bet kurios lygties pridėkite kitą, padaugintą iš tam tikro skaičiaus, o visas kitas lygtis palikite nepakeistas, tada gauname duotąjai lygiavertę sistemą.

Sistemos koeficientų perskaičiavimo formulės

Jei turime lygčių sistemą ir norime ją paversti leistina lygčių sistema, Jordano-Gausso metodas mums padės tai padaryti.

Jordano transformacija su sprendžiamuoju elementu leidžia gauti išspręstą nežinomąjį lygčių sistemai lygtyje su skaičiumi . (2 pavyzdys).

Jordano transformaciją sudaro dviejų tipų elementarios transformacijos:

Tarkime, kad nežinomąjį žemesnėje lygtyje norime padaryti išspręstu nežinomu. Norėdami tai padaryti, turime padalyti iš taip, kad suma būtų .

2 pavyzdys Perskaičiuokite sistemos koeficientus

Dalijant lygtį su skaičiumi iš , jos koeficientai perskaičiuojami pagal formules:

Norėdami neįtraukti iš lygties su skaičiumi, turite padauginti lygtį iš skaičiaus ir pridėti prie šios lygties.

Teorema (4) Dėl sistemų lygčių skaičiaus mažinimo.

Jei lygčių sistemoje yra triviali lygtis, ją galima išbraukti iš sistemos ir gauta sistema, lygiavertė pradinei.

(5) teorema apie lygčių sistemos nesuderinamumą.

Jei lygčių sistemoje yra nenuosekli lygtis, ji yra nenuosekli.

Jordano-Gausso metodo algoritmas

Lygčių sistemų sprendimo Jordano-Gausso metodu algoritmas susideda iš kelių to paties tipo žingsnių, kurių kiekvienas atlieka veiksmus tokia tvarka:

1. Tikrina, ar sistema nenuosekli. Jei sistemoje yra nenuosekli lygtis, ji yra nenuosekli.
2. Patikrinama galimybė sumažinti lygčių skaičių. Jei sistemoje yra triviali lygtis, ji perbraukiama.
3. Jei lygčių sistema leidžiama, užrašykite bendrą sistemos sprendimą ir, jei reikia, konkrečius sprendinius.
4. Jei sistema neleidžiama, tai lygtyje, kurioje nėra leistino nežinomojo, pasirenkamas skiriantis elementas ir su šiuo elementu atliekama Jordano transformacija.
5. Tada grįžkite į 1 punktą.

3 pavyzdys Išspręskite lygčių sistemą Jordano-Gausso metodu.

Rasti: du bendrieji ir du atitinkami pagrindiniai sprendiniai

Sprendimas:

Skaičiavimai pateikti šioje lentelėje:

Veiksmai su lygtimis rodomi lentelės dešinėje. Rodyklės rodo, prie kurios lygties pridedama lygtis su skiriamuoju elementu, padauginta iš tinkamo koeficiento.

Pirmosiose trijose lentelės eilutėse yra nežinomųjų ir dešiniųjų pradinės sistemos dalių koeficientai. Pirmosios Jordano transformacijos, kurios skiriamoji geba lygi vienetui, rezultatai pateikti 4, 5, 6 eilutėse. Antrosios Jordano transformacijos, kurios skiriamoji geba lygi (-1), rezultatai pateikti 7, 8, 9 eilutėse. trečioji lygtis yra triviali, į ją negalima atsižvelgti.

Tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimas yra viena iš pagrindinių tiesinės algebros problemų. Ši problema turi didelę praktinę reikšmę sprendžiant mokslines ir technines problemas, be to, ji yra pagalbinė įgyvendinant daugelį skaičiavimo matematikos, matematinės fizikos algoritmų, apdorojant eksperimentinių tyrimų rezultatus.

Tiesinių algebrinių lygčių sistema vadinama lygčių sistema, kurios forma: (1)

kur – nežinomas; - nemokami nariai.

Lygčių sistemos sprendimas(1) pavadinkite bet kokį skaičių rinkinį, kuris, įtrauktas į sistemą (1) vietoj nežinomo paverčia visas sistemos lygtis į tikrąsias skaitines lygybes.

Lygčių sistema vadinama Bendras jei jis turi bent vieną sprendimą ir nesuderinamas jei jis neturi sprendimų.

Jungtinė lygčių sistema vadinama tam tikras jei jis turi vieną vienintelį sprendimą ir neapibrėžtas jei jis turi bent du skirtingus sprendimus.

Dvi lygčių sistemos vadinamos lygiavertis arba lygiavertis jei jie turi tą patį sprendimų rinkinį.

Sistema (1) vadinama vienalytis jei laisvosios sąlygos lygios nuliui:

Vienalytė sistema visada yra nuosekli – ji turi sprendimą (galbūt ne vienintelį).

Jei sistemoje (1) , tada mes turime sistemą n tiesines lygtis su n nežinoma: kur – nežinomas; yra nežinomųjų koeficientai, - nemokami nariai.

Tiesinė sistema gali turėti vieną sprendimą, be galo daug sprendinių arba nė vieno.

Apsvarstykite dviejų tiesinių lygčių su dviem nežinomaisiais sistemą

Jei tada sistema turi unikalų sprendimą;

jei tada sistema neturi sprendimų;

jei tada sistema turi begalinį sprendinių skaičių.

Pavyzdys. Sistema turi unikalų skaičių poros sprendimą

Sistema turi begalinį sprendimų skaičių. Pavyzdžiui, šios sistemos sprendiniai yra skaičių poros ir pan.

Sistema neturi sprendimų, nes dviejų skaičių skirtumas negali turėti dviejų skirtingų reikšmių.

Apibrėžimas. Antros eilės determinantas vadinama tokia išraiška:

Pažymėkite determinantą simboliu D.

Skaičiai a 11, …, a 22 vadinami determinantiniais elementais.

Elementų suformuota įstrižainė a 11 ; a 22 skambutis pagrindinis, elementų suformuota įstrižainė a 12 ; a 21 − pusėje.

Taigi antros eilės determinantas yra lygus skirtumui tarp pagrindinės ir antrinės įstrižainės elementų sandaugų.

Atkreipkite dėmesį, kad atsakymas yra skaičius.

Pavyzdys. Apskaičiuokime determinantus:

Apsvarstykite dviejų tiesinių lygčių sistemą su dviem nežinomaisiais: kur X 1, X 2 – nežinomas; a 11 , …, a 22 - nežinomųjų koeficientai, b 1 ,b 2 - nemokami nariai.

Jei dviejų lygčių sistema su dviem nežinomaisiais turi unikalų sprendimą, tada jį galima rasti naudojant antros eilės determinantus.

Apibrėžimas. Determinantas, sudarytas iš nežinomųjų koeficientų, vadinamas sistemos kvalifikatorius: D=.

Determinanto D stulpeliai yra atitinkamai koeficientai už X 1 ir val , X 2. Pristatykime du papildomi veiksniai, kurios gaunamos iš sistemos determinanto vieną iš stulpelių pakeitus laisvųjų narių stulpeliu: D 1 = D 2 = .

14 teorema(Cramer, atveju n = 2). Jei sistemos determinantas D skiriasi nuo nulio (D¹0), tada sistema turi unikalų sprendimą, kuris randamas pagal formules:

Šios formulės vadinamos Cramerio formulės.

Pavyzdys. Mes išsprendžiame sistemą pagal Cramerio taisyklę:

Sprendimas. Raskime skaičius

Atsakymas.

Apibrėžimas. Trečiosios eilės determinantas vadinama tokia išraiška:

Elementai a 11; a 22 ; a 33 - sudaro pagrindinę įstrižainę.

Skaičiai a 13; a 22 ; a 31 - suformuokite šoninę įstrižainę.

Įrašas su pliusu apima: pagrindinės įstrižainės elementų sandaugą, likusieji du terminai yra trikampių, kurių pagrindai lygiagrečiai pagrindinei įstrižai, viršūnėse esančių elementų sandauga. Terminai su minusu formuojasi taip pat antrinės įstrižainės atžvilgiu.

Pavyzdys. Apskaičiuokime determinantus:

Apsvarstykite trijų tiesinių lygčių sistemą su trimis nežinomaisiais: kur – nežinomas; yra nežinomųjų koeficientai, - nemokami nariai.

Unikalaus sprendimo atveju, naudojant 3 eilės determinantus, galima išspręsti 3 tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą.

Sistemos D determinantas turi tokią formą:

Pristatome tris papildomus determinantus:

15 teorema(Cramer, atveju n=3). Jei sistemos determinantas D yra ne nulis, tada sistema turi unikalų sprendimą, kuris randamas naudojant Cramerio formules:

Pavyzdys. Išspręskime sistemą naudodami Cramerio taisyklę.

Sprendimas. Raskime skaičius

Naudokime Cramerio formules ir raskime pradinės sistemos sprendimą:

Atsakymas.

Atkreipkite dėmesį, kad Cramerio teorema taikoma, kai lygčių skaičius yra lygus nežinomųjų skaičiui ir kai sistemos D determinantas skiriasi nuo nulio.

Jei sistemos determinantas lygus nuliui, tai tokiu atveju sistema gali arba neturėti sprendinių, arba turėti begalinį sprendinių skaičių. Šie atvejai nagrinėjami atskirai.

Atkreipiame dėmesį tik į vieną atvejį. Jeigu sistemos determinantas lygus nuliui (D=0), o bent vienas iš papildomų determinantų skiriasi nuo nulio, tai sistema sprendinių neturi, tai yra nenuosekli.

Kramerio teoremą galima apibendrinti sistemai n tiesines lygtis su n nežinoma: kur – nežinomas; yra nežinomųjų koeficientai, - nemokami nariai.

Jei tiesinių lygčių sistemos su nežinomaisiais determinantas, tai vienintelis sistemos sprendimas randamas naudojant Cramerio formules:

Papildomas determinantas gaunamas iš determinanto D, jei jame yra nežinomojo koeficientų stulpelis x i pakeisti laisvų narių stulpeliu.

Atkreipkite dėmesį, kad determinantai D, D 1 , … , D n turėti tvarką n.

Gauso metodas tiesinių lygčių sistemoms spręsti

Vienas iš labiausiai paplitusių tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimo būdų yra nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas. − Gauso metodas. Šis metodas yra pakeitimo metodo apibendrinimas ir susideda iš nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo, kol lieka viena lygtis su vienu nežinomu.

Metodas pagrįstas kai kuriomis tiesinių lygčių sistemos transformacijomis, kurių metu gaunama sistema, lygiavertė pradinei sistemai. Metodo algoritmas susideda iš dviejų etapų.

Pirmasis etapas vadinamas tiesia linija Gauso metodas. Jį sudaro nuoseklus nežinomųjų pašalinimas iš lygčių. Norėdami tai padaryti, pirmame žingsnyje pirmoji sistemos lygtis yra padalinta iš (kitaip sistemos lygtys permutuojamos). Gautos sumažintos lygties koeficientai žymimi, padauginami iš koeficiento ir atimami iš antrosios sistemos lygties, taip iš antrosios lygties neįtraukiant (koeficientas nulinis).

Likusios lygtys traktuojamos panašiai ir gaunama nauja sistema, kurios visose lygtyse, pradedant nuo antrosios, koeficientuose ties yra tik nuliai. Akivaizdu, kad sukurta nauja sistema bus lygiavertė pradinei sistemai.

Jei nauji koeficientai, esant , ne visi lygūs nuliui, mes galime juos pašalinti iš trečiosios ir vėlesnių lygčių tokiu pačiu būdu. Tęsiant šią operaciją dėl šių nežinomųjų, sistema įvedama į vadinamąją trikampę formą:

Čia simboliai ir žymi skaitinius koeficientus ir laisvuosius terminus, kurie pasikeitė dėl transformacijų.

Iš paskutinės sistemos lygties nustatomi , o paskui nuosekliai keičiant likusius nežinomuosius.

komentuoti. Kartais dėl transformacijų bet kurioje lygtyje visi koeficientai ir dešinioji pusė pavirsta į nulį, tai yra lygtis virsta tapatybe 0=0. Išskyrus tokią lygtį iš sistemos, lygčių skaičius sumažėja lyginant su nežinomųjų skaičiumi. Tokia sistema negali turėti unikalaus sprendimo.

Jei taikant Gauso metodą kuri nors lygtis virsta lygybe, kurios formos yra 0=1 (nežinomų koeficientai virsta 0, o dešinioji įgauna ne nulį), tai pradinė sistema neturi sprendimas, nes tokia lygybė yra neteisinga bet kokioms nežinomoms reikšmėms.

Apsvarstykite trijų tiesinių lygčių sistemą su trimis nežinomaisiais:

kur – nežinomas; yra nežinomųjų koeficientai, - nemokami nariai. , pakeičiant rastą

Sprendimas.Šiai sistemai pritaikę Gauso metodą, gauname

Iš kur Paskutinė lygybė yra klaidinga bet kurioms nežinomųjų vertybėms, todėl sistema neturi sprendimo.

Atsakymas. Sistema neturi sprendimų.

Atkreipkite dėmesį, kad anksčiau nagrinėtu Cramerio metodu galima spręsti tik tas sistemas, kuriose lygčių skaičius sutampa su nežinomųjų skaičiumi, o sistemos determinantas turi skirtis nuo nulio. Gauso metodas yra universalesnis ir tinka sistemoms su bet kokiu lygčių skaičiumi.

M tiesinių lygčių su n nežinomųjų sistema vadinama formos sistema

kur aij ir b i (i=1,…,m; b=1,…,n) yra kai kurie žinomi skaičiai ir x 1,…,x n- nežinomas. Koeficientų žymėjime aij pirmasis indeksas ižymi lygties skaičių, o antrasis j yra nežinomojo skaičius, kuriame yra šis koeficientas.

Nežinomųjų koeficientai bus parašyti matricos pavidalu , kurį vadinsime sistemos matrica.

Skaičiai dešiniosiose lygčių pusėse b 1 ,…, b m paskambino nemokami nariai.

Suvestinė n numeriai c 1,…,c n paskambino sprendimąšios sistemos, jei kiekviena sistemos lygtis į ją pakeitus skaičius tampa lygybe c 1,…,c n vietoj atitinkamų nežinomųjų x 1,…,x n.

Mūsų užduotis bus rasti sistemos sprendimus. Tokiu atveju gali susidaryti trys situacijos:

Vadinama tiesinių lygčių sistema, turinti bent vieną sprendinį Bendras. Priešingu atveju, t.y. jei sistema neturi sprendimų, tada ji vadinama nesuderinamas.

Apsvarstykite būdus, kaip rasti sistemos sprendimus.

TIŠINIŲ LYGČIŲ SISTEMŲ SPRENDIMO MATRIKSNIS METODAS

Matricos leidžia trumpai užrašyti tiesinių lygčių sistemą. Pateikiame 3 lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą:

Apsvarstykite sistemos matricą ir matricos stulpeliai nežinomų ir laisvų narių

Susiraskime prekę

tie. dėl sandaugos gauname šios sistemos lygčių kairiąsias puses. Tada, naudojant matricos lygybės apibrėžimą, šią sistemą galima parašyti kaip

arba trumpesnis A∙X = B.

Čia matricos A ir B yra žinomi, ir matrica X nežinomas. Ją reikia surasti, nes. jos elementai yra šios sistemos sprendimas. Ši lygtis vadinama matricos lygtis.

Tegul matricos determinantas skiriasi nuo nulio | A| ≠ 0. Tada matricos lygtis sprendžiama taip. Abi kairėje esančios lygties puses padauginkite iš matricos A-1, atvirkštinė matrica A: . Nes A -1 A = E ir E∙X = X, tada matricos lygties sprendinį gauname formoje X = A -1 B .

Atkreipkite dėmesį, kad kadangi atvirkštinę matricą galima rasti tik kvadratinėms matricoms, matricos metodas gali išspręsti tik tas sistemas, kuriose lygčių skaičius yra toks pat kaip ir nežinomųjų. Tačiau sistemos matricinis žymėjimas galimas ir tuo atveju, kai lygčių skaičius nėra lygus nežinomųjų skaičiui, tada matrica A nėra kvadratas ir todėl neįmanoma rasti sistemos sprendimo formoje X = A -1 B.

Pavyzdžiai. Išspręskite lygčių sistemas.

CRAMERIO TAISYKLĖ

Apsvarstykite 3 tiesinių lygčių sistemą su trimis nežinomaisiais:

Trečios eilės determinantas, atitinkantis sistemos matricą, t.y. sudarytas iš koeficientų prie nežinomųjų,

paskambino sistemos determinantas.

Dar tris determinantus sudarome taip: 1, 2 ir 3 determinanto D stulpelius paeiliui pakeičiame laisvųjų terminų stulpeliu.

Tada galime įrodyti tokį rezultatą.

Teorema (Cramerio taisyklė). Jei sistemos determinantas yra Δ ≠ 0, tai nagrinėjama sistema turi vieną ir tik vieną sprendinį, ir

Įrodymas. Taigi, apsvarstykite 3 lygčių sistemą su trimis nežinomaisiais. 1-ąją sistemos lygtį padauginkite iš algebrinio papildinio A 11 elementas a 11, 2 lygtis – įjungta A21 ir 3-as – įjungtas A 31:

Pridėkime šias lygtis:

Apsvarstykite kiekvieną skliaustą ir dešinę šios lygties pusę. Pagal teoremą apie determinanto išplėtimą pagal 1 stulpelio elementus

Panašiai galima parodyti, kad ir .

Galiausiai tai nesunku pastebėti

Taigi gauname lygybę: .

Vadinasi,.

Lygybės ir yra išvestos panašiai, iš kur seka teoremos tvirtinimas.

Taigi, pažymime, kad jei sistemos determinantas yra Δ ≠ 0, tai sistema turi unikalų sprendimą ir atvirkščiai. Jeigu sistemos determinantas lygus nuliui, tai sistema arba turi begalinę sprendinių aibę, arba sprendinių neturi, t.y. nesuderinamas.

Pavyzdžiai. Išspręskite lygčių sistemą

GAUSS METODAS

Anksčiau svarstytais metodais galima spręsti tik tas sistemas, kuriose lygčių skaičius sutampa su nežinomųjų skaičiumi, o sistemos determinantas turi skirtis nuo nulio. Gauso metodas yra universalesnis ir tinka sistemoms su bet kokiu lygčių skaičiumi. Jį sudaro nuoseklus nežinomųjų pašalinimas iš sistemos lygčių.

Dar kartą apsvarstykite trijų lygčių sistemą su trimis nežinomaisiais:

.

Pirmąją lygtį paliekame nepakeistą, o iš 2 ir 3 neįtraukiame terminų, kuriuose yra x 1. Norėdami tai padaryti, antrą lygtį padalijame iš a 21 ir padauginkite iš - a 11, tada pridėkite su 1 lygtimi. Panašiai mes padalijame trečiąją lygtį į a 31 ir padauginkite iš - a 11 ir pridėkite jį prie pirmojo. Dėl to pradinė sistema bus tokia:

Dabar iš paskutinės lygties pašaliname terminą, kuriame yra x2. Norėdami tai padaryti, padalykite trečiąją lygtį iš , padauginkite iš ir pridėkite prie antrosios. Tada turėsime lygčių sistemą:

Taigi iš paskutinės lygties tai lengva rasti x 3, tada iš 2-osios lygties x2 ir galiausiai nuo 1 d. x 1.

Naudojant Gauso metodą, prireikus lygtis galima sukeisti.

Dažnai, užuot parašę naują lygčių sistemą, jie apsiriboja išplėstinės sistemos matricos užrašymu:

ir tada, naudojant elementarias transformacijas, padarykite trikampę arba įstrižainę.

Į elementarios transformacijos matricos apima šias transformacijas:

1. eilučių ar stulpelių permutacija;
2. eilutę padauginus iš ne nulio skaičiaus;
3. pridedant prie vienos eilutės kitų eilučių.

Pavyzdžiai: Išspręskite lygčių sistemas Gauso metodu.

Taigi sistema turi begalinį sprendimų skaičių.

Užrašykite tiesinių algebrinių lygčių sistemą bendra forma

Kas yra SLAE sprendimas?

Lygčių sistemos sprendimas yra n skaičių aibė,

Kurį pakeičiant sistemoje, kiekviena lygtis tampa tapatybe.

Kokia sistema vadinama jungtine (nejungtine)?

Lygčių sistema vadinama nuoseklia, jei ji turi bent vieną sprendinį.

Sistema vadinama nenuoseklia, jei ji neturi sprendimų.

Kokia sistema vadinama apibrėžtąja (neapibrėžta)?

Jungtinė sistema vadinama apibrėžtąja, jei ji turi unikalų sprendimą.

Jungtinė sistema vadinama neapibrėžta, jei ji turi daugiau nei vieną sprendimą.

Matricinė lygčių sistemos rašymo forma

Vektorių sistemos rangas

Vektorių sistemos rangas yra didžiausias tiesiškai nepriklausomų vektorių skaičius.

Matricos rangas ir būdai jį rasti

Matricos rangas- aukščiausias iš šios matricos nepilnamečių eilučių, kurių determinantas skiriasi nuo nulio.

Pirmasis metodas - apvado metodas - yra toks:

Jeigu visi nepilnamečiai yra I eilės, t.y. matricos elementai lygūs nuliui, tada r=0 .

Jei bent vienas iš 1 eilės nepilnamečių nėra lygus nuliui, o visi 2 eilės nepilnamečiai lygūs nuliui, tai r=1.

Jei 2 eilės nepilnametis yra nulis, mes tiriame 3 eilės nepilnamečius. Tokiu būdu randamas k-osios eilės nepilnametis ir patikrinama, ar k+1-osios eilės nepilnamečiai nėra lygūs nuliui.

Jei visi k+1 eilės nepilnamečiai yra lygūs nuliui, tada matricos rangas yra lygus skaičiui k. Tokie k+1 eilės nepilnamečiai dažniausiai surandami „apvadinant“ k-osios eilės nepilnametį.

Antrasis matricos rango nustatymo metodas yra elementariųjų matricos transformacijų taikymas, kai ji pakeliama į įstrižainę. Tokios matricos rangas yra lygus nulinių įstrižainių elementų skaičiui.

Bendrasis nehomogeninės tiesinių lygčių sistemos sprendimas, jos savybės.

1 nuosavybė. Bet kurio tiesinių lygčių sistemos sprendinių ir bet kurio atitinkamos vienalytės sistemos sprendinių suma yra tiesinių lygčių sistemos sprendinys.

2 nuosavybė. Bet kurių dviejų nehomogeninės tiesinių lygčių sistemos sprendinių skirtumas yra atitinkamos vienalytės sistemos sprendinys.

Gauso metodas SLAE sprendimui

Pasekmė:

1) sudaroma išplėstinė lygčių sistemos matrica

2) elementariųjų transformacijų pagalba matrica redukuojama į žingsninę formą

3) nustatomas sistemos išplėstinės matricos rangas ir sistemos matricos rangas bei nustatomas sistemos suderinamumo ar nesuderinamumo paktas

4) esant suderinamumui, parašyta lygiavertė lygčių sistema

5) rastas sistemos sprendimas. Pagrindiniai kintamieji išreiškiami laisvaisiais

Kronecker-Capelli teorema

Kronecker – Capelli teorema- tiesinių algebrinių lygčių sistemos suderinamumo kriterijus:

Tiesinių algebrinių lygčių sistema yra nuosekli tada ir tik tada, kai jos pagrindinės matricos rangas yra lygus išplėstinės matricos rangui, o sistema turi unikalų sprendimą, jei rangas yra lygus nežinomųjų skaičiui ir begalinis sprendinių skaičius, jei rangas yra mažesnis už nežinomųjų skaičių.

Kad tiesinė sistema būtų nuosekli, būtina ir pakanka, kad šios sistemos išplėstinės matricos rangas būtų lygus jos pagrindinės matricos rangui.

Kada sistema neturi sprendimo, kada ji turi vieną sprendimą, ar ji turi daug sprendimų?

Jei sistemos lygčių skaičius yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui, o jos pagrindinės matricos determinantas nėra lygus nuliui, tai tokios lygčių sistemos turi unikalų sprendimą, o vienalytės sistemos atveju visi nežinomi kintamieji lygūs nuliui.

Tiesinių lygčių sistema, turinti bent vieną sprendinį, vadinama nuoseklia. Priešingu atveju, t.y. jei sistema neturi sprendimų, tada ji vadinama nenuoseklia.