Atsižvelgdami į daugianarių dauginimą, įsiminėme kelias formules, būtent: formules (a + b)², (a - b)², (a + b) (a - b), (a + b)³ ir už (a – b)³.

Jei paaiškėja, kad pateiktas daugianario sutampa su viena iš šių formulių, tada bus galima jį koeficientuoti. Pavyzdžiui, polinomas a² - 2ab + b², mes žinome, yra lygus (a - b)² [arba (a - b) (a - b), tai yra, mums pavyko išskaidyti a² - 2ab + b² į 2 faktoriai]; taip pat

Apsvarstykite antrąjį iš šių pavyzdžių. Matome, kad čia pateiktas polinomas atitinka formulę, gautą dviejų skaičių skirtumą padalijus kvadratu (pirmojo skaičiaus kvadratas, atėmus dviejų sandaugą iš pirmojo ir antrojo skaičiaus, pridėjus antrojo skaičiaus kvadratą): x 6 yra pirmojo skaičiaus kvadratas, taigi , pats pirmasis skaičius yra x 3, antrojo skaičiaus kvadratas yra paskutinis duoto daugianario narys, ty 1, todėl pats antrasis skaičius taip pat yra 1; dviejų sandauga iš pirmojo skaičiaus ir antrojo yra terminas -2x 3, nes 2x 3 \u003d 2 x 3 1. Todėl mūsų daugianario gautas skirtumas tarp skaičių x 3 ir 1 padalytas kvadratu, t.y. jis yra lygus į (x 3 - 12 . Apsvarstykite kitą 4 pavyzdį. Matome, kad šis daugianomas a 2 b 2 - 25 gali būti laikomas dviejų skaičių kvadratų skirtumu, ty pirmojo skaičiaus kvadratas yra a 2 b 2, todėl pats pirmasis skaičius yra ab, kvadratas antrasis skaičius yra 25, kodėl pats antrasis skaičius yra 5. Todėl mūsų daugianarį galima laikyti gautu dviejų skaičių sumą padauginus iš jų skirtumo, t.y.

(ab + 5) (ab - 5).

Kartais nutinka taip, kad tam tikrame daugianario terminai yra ne tokia tvarka, prie kurios, pavyzdžiui, esame įpratę.

9a 2 + b 2 + 6ab - mintyse galime pertvarkyti antrąjį ir trečiąjį narius, tada mums taps aišku, kad mūsų trinaris = (3a + b) 2.

... (protiškai pertvarkyti pirmą ir antrą terminus).

25a 6 + 1 - 10x 3 = (5x 3 - 1) 2 ir tt

Apsvarstykite kitą daugianarį

a 2 + 2ab + 4b 2 .

Matome, kad pirmasis jo narys yra skaičiaus a kvadratas, o trečiasis yra skaičiaus 2b kvadratas, tačiau antrasis narys nėra pirmojo skaičiaus ir antrojo sandauga, tokia sandauga būtų lygi 2 a 2b = 4ab. Todėl šiam daugianariui neįmanoma pritaikyti dviejų skaičių sumos kvadrato formulės. Jei kas nors parašė, kad 2 + 2ab + 4b 2 \u003d (a + 2b) 2, tai būtų neteisinga - prieš taikydami jam faktorizaciją pagal formules, turite atidžiai apsvarstyti visas daugianario sąlygas.

40. Abiejų metodų derinys. Kartais skaidant daugianario į veiksnius reikia derinti ir bendro koeficiento išėmimo iš skliaustų techniką, ir formulių taikymo techniką. Štai keletas pavyzdžių:

1. 2a 3 – 2ab 2 . Pirmiausia iš skliaustų išimame bendrą koeficientą 2a ir gauname 2a (a 2 - b 2). Koeficientas a 2 - b 2 savo ruožtu pagal formulę išskaidomas į faktorius (a + b) ir (a - b).

Kartais reikia pakartotinai taikyti išplėtimo formulėmis metodą:

1. a 4 – b 4 \u003d (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)

Matome, kad pirmasis koeficientas a 2 + b 2 netinka nė vienai iš žinomų formulių; be to, prisimindami ypatingus padalijimo atvejus (37 sk.), nustatysime, kad a 2 + b 2 (dviejų skaičių kvadratų suma) visai nefaktorizuoja. Antrasis iš gautų koeficientų a 2 - b 2 (skirtumas dviejų skaičių kvadratu) išskaidomas į koeficientus (a + b) ir (a - b). Taigi,

41. Specialių padalijimo atvejų taikymas. Remdamiesi 37 punktu, galime iš karto parašyti, kad pvz.

Lygties faktorinavimas – tai terminų arba išraiškų, kurias padauginus sukuriama pradinė lygtis, suradimo procesas. Faktoringas yra naudingas įgūdis sprendžiant pagrindines algebrines problemas ir tampa praktine būtinybe dirbant su kvadratinėmis lygtimis ir kitais daugianariais. Faktoringas naudojamas supaprastinti algebrines lygtis, kad jas būtų lengviau išspręsti. Faktoringas gali padėti atmesti tam tikrus galimus atsakymus greičiau, nei galite rankiniu būdu sprendžiant lygtį.

Žingsniai

Skaičių faktorizavimas ir pagrindinės algebrinės išraiškos

1. Skaičių faktorizavimas. Faktoringo samprata yra paprasta, tačiau praktikoje faktoringas gali būti sudėtingas (atsižvelgiant į sudėtingą lygtį). Taigi, pradėkime nuo faktoringo koncepcijos, kaip pavyzdį naudodami skaičius, tęskime nuo paprastų lygčių, o tada pereikime prie sudėtingų lygčių. Tam tikro skaičiaus veiksniai yra skaičiai, kuriuos padauginus gaunamas pradinis skaičius. Pavyzdžiui, skaičiaus 12 faktoriai yra skaičiai: 1, 12, 2, 6, 3, 4, nes 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Taip pat galite galvoti apie skaičiaus veiksnius kaip jo daliklius, ty skaičius, iš kurių šis skaičius dalijasi.
   • Raskite visus skaičiaus 60 veiksnius. Mes dažnai naudojame skaičių 60 (pvz., 60 minučių per valandą, 60 sekundžių per minutę ir pan.) ir šis skaičius turi gana daug faktorių.
     • 60 daugiklių: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ir 60.

2. Prisiminti: Taip pat galima apskaičiuoti išraiškos terminus, kuriuose yra koeficientas (skaičius) ir kintamasis. Norėdami tai padaryti, raskite koeficiento daugiklius ties kintamuoju. Žinodami, kaip koeficientuoti lygčių sąlygas, galite lengvai supaprastinti šią lygtį.

   • Pavyzdžiui, terminas 12x gali būti parašytas kaip 12 ir x sandauga. Taip pat galite parašyti 12x kaip 3 (4x), 2 (6x) ir tt, įtraukdami 12 į veiksnius, kurie jums labiausiai tinka.
     • Galite išdėstyti 12 kartų kelis kartus iš eilės. Kitaip tariant, neturėtumėte sustoti ties 3 (4x) arba 2 (6x); tęsti plėtrą: 3(2(2x)) arba 2(3(2x)) (akivaizdu, 3(4x)=3(2(2x)) ir tt)

3. Pritaikykite daugybos skirstomąją savybę algebrinėms lygtims koeficientuoti.Žinodami, kaip koeficientuoti išraiškos skaičius ir terminus (koeficientus su kintamaisiais), galite supaprastinti paprastas algebrines lygtis, suradę bendrą skaičiaus koeficientą ir išraiškos terminą. Paprastai, norint supaprastinti lygtį, reikia rasti didžiausią bendrą daliklį (gcd). Toks supaprastinimas galimas dėl daugybos skirstomosios savybės: bet kokiems skaičiams a, b, c yra teisinga lygybė a (b + c) = ab + ac.

   • Pavyzdys. Padalinkite lygtį 12x + 6. Pirmiausia suraskite 12x ir 6 gcd. 6 yra didžiausias skaičius, dalijantis ir 12x, ir 6, todėl šią lygtį galite padalyti į: 6(2x+1).
   • Šis procesas taip pat tinka lygtims, turinčioms neigiamus ir trupmeninius narius. Pavyzdžiui, x/2+4 galima išskaidyti į 1/2(x+8); pavyzdžiui, -7x+(-21) galima išskaidyti į -7(x+3).

   Kvadratinių lygčių faktorizavimas

   1. Įsitikinkite, kad lygtis yra kvadratinės formos (ax 2 + bx + c = 0). Kvadratinės lygtys yra: ax 2 + bx + c = 0, kur a, b, c yra skaitiniai koeficientai, kurie nėra 0. Jei jums duota lygtis su vienu kintamuoju (x) ir ši lygtis turi vieną ar daugiau antros eilės narių kintamasis , galite perkelti visus lygties narius į vieną lygties pusę ir prilyginti nuliui.

      • Pavyzdžiui, atsižvelgiant į lygtį: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. Ją galima konvertuoti į lygtį x 2 + 6x + 9 = 0, kuri yra kvadratinė lygtis.
      • Lygtys su didelių užsakymų kintamuoju x, pavyzdžiui, x 3 , x 4 ir kt. nėra kvadratinės lygtys. Tai yra kubinės lygtys, ketvirtos eilės lygtys ir pan. (tik jei tokių lygčių negalima supaprastinti iki kvadratinių lygčių su kintamuoju x iki 2 laipsnio).

   2. Kvadratinės lygtys, kur a \u003d 1, išskaidomos į (x + d) (x + e), kur d * e \u003d c ir d + e \u003d b. Jei jums pateikta kvadratinė lygtis yra tokia: x 2 + bx + c \u003d 0 (tai yra, koeficientas ties x 2 yra lygus 1), tada tokią lygtį galima (bet ne garantuotai) išskaidyti į aukščiau pateiktą faktoriai. Norėdami tai padaryti, turite rasti du skaičius, kuriuos padauginus gaunama „c“, o pridėjus – „b“. Suradę šiuos du skaičius (d ir e), pakeiskite juos tokia išraiška: (x+d)(x+e), kuri, atidarius skliaustus, veda į pradinę lygtį.

      • Pavyzdžiui, atsižvelgiant į kvadratinę lygtį x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 ir 3+2=5, todėl lygtį galite išplėsti į (x+3)(x+2).
      • Jei yra neigiamų terminų, atlikite šiuos nedidelius faktorizavimo proceso pakeitimus:
        • Jei kvadratinė lygtis yra x 2 -bx + c, tada ji suskaidoma į: (x-_) (x-_).
        • Jei kvadratinė lygtis yra x 2 -bx-c, tada ji suskaidoma į: (x + _) (x-_).
      • Pastaba: tarpai gali būti pakeisti trupmenomis arba po kablelio. Pavyzdžiui, lygtis x 2 + (21/2)x + 5 = 0 išskaidoma į (x + 10) (x + 1/2).

   3. Faktorizavimas bandymų ir klaidų būdu. Paprastas kvadratines lygtis galima apskaičiuoti tiesiog pakeičiant skaičius į galimus sprendimus, kol rasite teisingą sprendimą. Jei lygtis yra ax 2 +bx+c, kur a>1, galimi sprendiniai rašomi kaip (dx +/- _)(ex +/- _), kur d ir e yra skaitiniai koeficientai, kurie skiriasi nuo nulio, kuriuos padauginus gaunama a. d arba e (arba abu koeficientai) gali būti lygūs 1. Jei abu koeficientai lygūs 1, naudokite aukščiau aprašytą metodą.

      • Pavyzdžiui, atsižvelgiant į lygtį 3x 2 - 8x + 4. Čia 3 turi tik du koeficientus (3 ir 1), todėl galimi sprendiniai rašomi kaip (3x +/- _)(x +/- _). Tokiu atveju tarpus pakeitę -2, rasite teisingą atsakymą: -2*3x=-6x ir -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x ir -2*-2=4, tai yra, toks išplėtimas atidarant skliaustus prives prie pradinės lygties narių.

Dauginamas yra išraiška, susidedanti iš monomijų sumos. Pastarieji yra konstantos (skaičiaus) ir išraiškos šaknies (arba šaknų) sandauga iki laipsnio k. Šiuo atveju kalbama apie k laipsnio daugianarį. Polinomo išskaidymas apima išraiškos transformaciją, kurioje terminai pakeičiami veiksniais. Panagrinėkime pagrindinius tokio transformavimo būdus.

Polinomo išplėtimo, išskiriant bendrą koeficientą, metodas

Šis metodas pagrįstas paskirstymo įstatymo dėsniais. Taigi, mn + mk = m * (n + k).

• Pavyzdys: plėsti 7y 2 + 2uy ir 2m 3 – 12m 2 + 4lm.

7m 2 + 2uy = y* (7m + 2u),

2m 3 - 12m 2 + 4lm = 2m (m 2 - 6m + 2l).

Tačiau veiksnys, kuris būtinai yra kiekviename daugianalyje, ne visada gali būti rastas, todėl šis metodas nėra universalus.

Polinomo išplėtimo metodas, pagrįstas sutrumpintomis daugybos formulėmis

Sutrumpintos daugybos formulės galioja bet kokio laipsnio daugianariui. Apskritai transformacijos išraiška atrodo taip:

u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), kur k yra atstovas natūraliuosius skaičius.

Dažniausiai praktikoje naudojamos antros ir trečios eilės polinomų formulės:

u 2 – l 2 \u003d (u – l) (u + l),

u 3 - l 3 \u003d (u - l) (u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 = (u + l) (u 2 - ul + l 2).

• Pavyzdys: išplėsti 25p 2 - 144b 2 ir 64m 3 - 8l 3 .

25p 2 - 144b 2 \u003d (5p - 12b) (5p + 12b),

64 m 3 - 8 l 3 = (4 m) 3 - (2 l) 3 = (4 m - 2 l) ((4 m) 2 + 4 m * 2 l + (2 l) 2) = (4 m - 2 l) (16 m 2 + 8 ml + 4 l 2 ).

Polinomo skaidymo metodas – išraiškos terminų grupavimas

Šis metodas tam tikru būdu atkartoja bendro faktoriaus išvedimo techniką, tačiau turi tam tikrų skirtumų. Visų pirma, prieš išskiriant bendrą veiksnį, reikėtų sugrupuoti monomus. Grupavimas grindžiamas asociatyvinių ir komutuojamųjų dėsnių taisyklėmis.

Visi išraiškoje pateikti monomai yra suskirstyti į grupes, iš kurių kiekvienoje išimama bendra reikšmė, kad antrasis veiksnys būtų vienodas visose grupėse. Apskritai tokį skaidymo metodą galima pavaizduoti kaip išraišką:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).

• Pavyzdys: plėsti 14mn + 16ln - 49m - 56l.

14mn + 16ln - 49m - 56l = (14mn - 49m) + (16ln - 56l) = 7m * (2n - 7) + 8l * (2n - 7) = (7m + 8l)(2n - 7).

Polinomo skaidymo metodas – viso kvadrato formavimas

Šis metodas yra vienas efektyviausių daugianario skaidymo eigoje. Pradiniame etape būtina nustatyti monomius, kuriuos galima „sulenkti“ į skirtumo arba sumos kvadratą. Tam naudojamas vienas iš šių santykių:

(p - b) 2 \u003d p 2 - 2pb + b 2,

• Pavyzdys: išplėskite išraišką u 4 + 4u 2 – 1.

Tarp jo monomijų išskiriame terminus, kurie sudaro pilną kvadratą: u 4 + 4u 2 - 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 =

\u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 4 - 1 \u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 5.

Užbaikite transformaciją naudodami sutrumpinto daugybos taisykles: (u 2 + 2) 2 - 5 = (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

Tai. u 4 + 4u 2 - 1 = (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

Polinomų faktorizacija yra identiška transformacija, kurios rezultatas daugianario paverčiamas kelių faktorių sandauga – daugianariais arba vienanariais.

Yra keli polinomų faktorinavimo būdai.

1 metodas. Bendrojo koeficiento sudarymas skliausteliuose.

Ši transformacija pagrįsta daugybos skirstymo dėsniu: ac + bc = c(a + b). Transformacijos esmė – išskirti bendrą dviejų nagrinėjamų komponentų veiksnį ir jį „ištraukti“ iš skliaustų.

Išskaidykime daugianarį 28x 3 - 35x 4.

Sprendimas.

1. Randame bendrą daliklį elementams 28x3 ir 35x4. 28 ir 35 bus 7; x 3 ir x 4 – x 3. Kitaip tariant, mūsų bendras koeficientas yra 7x3.

2. Kiekvieną elementą pavaizduojame kaip veiksnių sandaugą, iš kurių vienas
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Bendrojo faktoriaus skliausteliuose
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

2 būdas. Sutrumpintų daugybos formulių naudojimas. Šio metodo „meistriškumas“ yra pastebėti išraiškoje vieną iš sutrumpinto daugybos formulių.

Padalinkime daugianarį x 6 – 1.

Sprendimas.

1. Šiai išraiškai galime pritaikyti kvadratų skirtumo formulę. Norėdami tai padaryti, pavaizduojame x 6 kaip (x 3) 2, o 1 - kaip 1 2, t.y. 1. Išraiška bus tokia:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. Gautai išraiškai galime pritaikyti kubelių sumos ir skirtumo formulę:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Taigi,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

3 metodas. Grupavimas. Grupavimo metodas susideda iš daugianario komponentų sujungimo taip, kad su jais būtų lengva atlikti operacijas (sudėti, atimti, atimti bendrą koeficientą).

Dauginamą koeficientą sudarome x 3 - 3x 2 + 5x - 15.

Sprendimas.

1. Sugrupuokite komponentus tokiu būdu: 1-asis su 2-uoju ir 3-asis su 4-uoju
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. Gautoje išraiškoje iš skliaustų išimame bendruosius veiksnius: x 2 pirmuoju atveju ir 5 antruoju.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Išimame bendrą koeficientą x - 3 ir gauname:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

Taigi,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x) 2 + 5).

Pataisykime medžiagą.

Dauginamą koeficientą a 2 - 7ab + 12b 2 .

Sprendimas.

1. Vienodį 7ab pavaizduojame kaip sumą 3ab + 4ab. Išraiška bus tokia:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Atidarykime skliaustus ir gaukime:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .

2. Sugrupuokite daugianario komponentus taip: 1-asis su 2-uoju ir 3-asis su 4-uoju. Mes gauname:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Išskirkime bendruosius veiksnius:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) \u003d a (a – 3b) – 4b (a – 3b).

4. Išimkime bendrą koeficientą (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) ∙ (a – 4b).

Taigi,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a - 3b) - 4b(a - 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

blog.site, visiškai arba iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Šioje pamokoje priminsime visus anksčiau tyrinėtus daugianario faktoringo metodus ir apsvarstysime jų taikymo pavyzdžius, be to, išnagrinėsime naują metodą – pilno kvadrato metodą ir išmoksime jį pritaikyti sprendžiant įvairias problemas.

Tema:Faktoringo polinomai

Pamoka:Polinomų faktorizavimas. Viso kvadrato pasirinkimo metodas. Metodų derinys

Prisiminkite pagrindinius daugianario faktoringo metodus, kurie buvo ištirti anksčiau:

Metodas, kai iš skliaustų išimamas bendras veiksnys, tai yra veiksnys, esantis visuose daugianario nariuose. Apsvarstykite pavyzdį:

Prisiminkite, kad monomialas yra laipsnių ir skaičių sandauga. Mūsų pavyzdyje abu nariai turi keletą bendrų identiškų elementų.

Taigi, išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

;

Prisiminkite, kad padauginę pateiktą daugiklį iš skliausto, galite patikrinti atvaizdavimo teisingumą.

grupavimo metodas. Ne visada įmanoma išskirti bendrą daugianario veiksnį. Tokiu atveju reikia suskirstyti jos narius į grupes taip, kad kiekvienoje grupėje būtų galima išskirti bendrą veiksnį ir pabandyti jį suskaidyti taip, kad išėmus veiksnius grupėse atsirastų bendras veiksnys. visa išraiška, o plėtra gali būti tęsiama. Apsvarstykite pavyzdį:

Pirmąjį terminą sugrupuokite atitinkamai su ketvirtuoju, antrąjį su penktuoju ir trečiąjį su šeštuoju:

Paimkime bendrus veiksnius grupėse:

Išraiška turi bendrą veiksnį. Išimkime:

Sutrumpintų daugybos formulių taikymas. Apsvarstykite pavyzdį:

;

Parašykime išraišką išsamiai:

Akivaizdu, kad prieš mus yra skirtumo kvadrato formulė, nes yra dviejų išraiškų kvadratų suma ir iš jos atimama jų dviguba sandauga. Vykdykime pagal formulę:

Šiandien mes išmoksime kitą būdą - pilno kvadrato pasirinkimo metodą. Jis pagrįstas sumos kvadrato ir skirtumo kvadrato formulėmis. Prisiminkite juos:

Sumos (skirtumo) kvadrato formulė;

Šių formulių ypatumas yra tas, kad jose yra dviejų išraiškų kvadratai ir jų dviguba sandauga. Apsvarstykite pavyzdį:

Parašykime išraišką:

Taigi pirmoji išraiška yra , o antroji .

Norint sudaryti sumos arba skirtumo kvadrato formulę, neužtenka dvigubos išraiškų sandaugos. Jį reikia pridėti ir atimti:

Sutraukime visą sumos kvadratą:

Pakeiskime gautą išraišką:

Taikome kvadratų skirtumo formulę, primename, kad dviejų išraiškų kvadratų skirtumas yra sandauga, o sumos pagal jų skirtumą:

Taigi, šis metodas visų pirma susideda iš to, kad būtina identifikuoti išraiškas a ir b, kurios yra kvadratinės, tai yra, nustatyti, kurios išraiškos yra kvadratinės šiame pavyzdyje. Po to reikia patikrinti, ar yra dvigubas sandaugas, o jei jo nėra, pridėkite ir atimkite, tai nepakeis pavyzdžio reikšmės, tačiau daugianomas gali būti apskaičiuotas naudojant kvadrato formules. kvadratų sumos arba skirtumo ir skirtumo, jei įmanoma.

Pereikime prie pavyzdžių sprendimo.

1 pavyzdys – koeficientas:

Raskite išraiškas, kurios yra kvadratinės:

Parašykime, koks turėtų būti jų dvigubas produktas:

Sudėkime ir atimkime dvigubą sandaugą:

Sutraukime visą sumos kvadratą ir pateikiame panašius:

Rašysime pagal kvadratų skirtumo formulę:

2 pavyzdys – išspręskite lygtį:

;

Kairėje lygties pusėje yra trinaris. Turite tai įvertinti. Mes naudojame skirtumo kvadrato formulę:

Turime pirmosios išraiškos kvadratą ir dvigubą sandaugą, antrosios išraiškos kvadrato trūksta, pridėkime ir atimkime:

Sutraukime visą kvadratą ir pateikiame panašius terminus:

Taikykime kvadratų skirtumo formulę:

Taigi turime lygtį

Žinome, kad sandauga lygi nuliui tik tada, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Remdamiesi tuo, parašysime lygtis:

Išspręskime pirmąją lygtį:

Išspręskime antrąją lygtį:

Atsakymas: arba

;

Elgiamės panašiai kaip ir ankstesniame pavyzdyje – pasirenkame skirtumo kvadratą.