Visada ir visose savo veiklos srityse žmogus priimdavo sprendimus. Svarbi sprendimų priėmimo sritis yra susijusi su gamyba. Kuo didesnės gamybos apimtys, tuo sunkiau priimti sprendimą, todėl lengviau suklysti. Kyla natūralus klausimas: ar galima naudotis kompiuteriu, kad tokių klaidų būtų išvengta?

Atsakymą į šį klausimą pateikia mokslas, vadinamas kibernetika. Kibernetika (kilusi iš graikų kalbos „kybernetike“ – valdymo menas) – mokslas apie bendruosius informacijos gavimo, saugojimo, perdavimo ir apdorojimo dėsnius.

Svarbiausia kibernetikos šaka yra ekonominė kibernetika – mokslas, nagrinėjantis kibernetikos idėjų ir metodų taikymą ekonominėms sistemoms.

Ekonominėje kibernetikoje ekonomikoje vadybos procesams tirti naudojamas aibė metodų, įskaitant ekonominius ir matematinius metodus.

Šiuo metu kompiuterių naudojimas gamybos valdyme pasiekė platų mastą. Tačiau dažniausiai kompiuterių pagalba sprendžiamos vadinamosios rutininės užduotys, tai yra su įvairių duomenų apdorojimu susijusios užduotys, kurios iki kompiuterių naudojimo buvo sprendžiamos taip pat, tik rankiniu būdu. Kita problemų klasė, kurią galima išspręsti kompiuterių pagalba, yra sprendimų priėmimo problemos. Norint naudoti kompiuterį sprendimams priimti, būtina sudaryti matematinį modelį. Ar priimant sprendimus būtina naudotis kompiuteriu? Žmogaus galimybės yra gana įvairios. Jei juos sutvarkysi, žmogus taip sutvarkytas, kad jam neužtenka to, ką jis turi. Ir prasideda nesibaigiantis jo galimybių didinimo procesas. Norint pakelti daugiau, atsiranda vienas pirmųjų išradimų – svirtis, kad būtų lengviau perkelti krovinį – ratas. Šiuose įrankiuose kol kas naudojama tik paties žmogaus energija. Laikui bėgant pradedami naudoti išoriniai energijos šaltiniai: parakas, garai, elektra, atominė energija. Neįmanoma įvertinti, kiek iš išorės šaltinių sunaudojama energija viršija fizines žmogaus galimybes šiandien.

Kalbant apie žmogaus protinius gebėjimus, tai, kaip sakoma, visi yra nepatenkinti jo būkle, bet patenkinti protu. Ar įmanoma padaryti žmogų protingesnį už jį? Norint atsakyti į šį klausimą, reikėtų patikslinti, kad visą žmogaus intelektualinę veiklą galima skirstyti į formalizuojamą ir neformalizuojamą.

Formalizuojama – tai veikla, kuri atliekama pagal tam tikras taisykles. Pavyzdžiui, skaičiavimų atlikimą, paieškas kataloguose, grafikos darbus neabejotinai galima patikėti kompiuteriui. Ir kaip viską, ką gali padaryti kompiuteris, jis tai daro geriau, tai yra greičiau ir geriau nei žmogus.

Neformalizuojama yra tokia veikla, kuri atsiranda taikant kažkokias mums nežinomas taisykles. Mąstymas, samprotavimas, intuicija, sveikas protas – mes vis dar nežinome, kas tai yra, ir natūralu, kad viso to negalima patikėti kompiuteriui jau vien dėl to, kad tiesiog nežinome, ką patikėti, kokią užduotį kelti prieš kompiuterį.

Sprendimų priėmimas yra tam tikra protinė veikla.

Visuotinai pripažįstama, kad sprendimų priėmimas yra neformali veikla. Tačiau taip būna ne visada. Viena vertus, mes nežinome, kaip priimame sprendimą. O vienų žodžių paaiškinimas pasitelkus kitus kaip „sprendimą priimame sveiko proto pagalba“ nieko neduoda. Kita vertus, nemaža dalis sprendimų priėmimo užduočių gali būti įforminta. Viena iš sprendimų priėmimo problemų, kurias galima formalizuoti, yra optimalių sprendimų priėmimo problemos arba optimizavimo problemos. Optimizavimo uždavinys sprendžiamas matematinių modelių ir kompiuterinių technologijų pagalba.

Šiuolaikiniai kompiuteriai atitinka aukščiausius reikalavimus. Jie sugeba atlikti milijonus operacijų per sekundę, savo atmintyje gali turėti visą reikiamą informaciją, ekrano-klaviatūros derinys užtikrina dialogą tarp žmogaus ir kompiuterio. Tačiau nereikėtų painioti kompiuterių kūrimo sėkmės su pažanga jų taikymo srityje. Tiesą sakant, viskas, ką gali padaryti kompiuteris, tai pagal žmogaus duotą programą užtikrinti pirminių duomenų pavertimą rezultatu. Reikia aiškiai suprasti, kad kompiuteris nepriima ir negali priimti sprendimų. Sprendimą gali priimti tik asmuo-vadovas, turintis tam tam tikras teises. Tačiau kompetentingam vadovui kompiuteris yra puikus pagalbininkas, galintis sukurti ir pasiūlyti aibę įvairių sprendimų. Ir iš šio rinkinio žmogus išsirinks tą variantą, kuris, jo požiūriu, bus tinkamesnis. Žinoma, ne visas sprendimų priėmimo problemas galima išspręsti kompiuterio pagalba. Nepaisant to, net jei problemos sprendimas kompiuteryje nesibaigia visiška sėkme, jis vis tiek pasirodo esąs naudingas, nes padeda giliau suprasti šią problemą ir griežčiau formuluoti.

Tam, kad žmogus apsispręstų be kompiuterio, dažnai nieko nereikia. Pagalvojau ir nusprendžiau. Žmogus, geras ar blogas, išsprendžia visas jam iškilusias problemas. Tiesa, teisingumo garantijų šiuo atveju nėra. Kompiuteris nepriima jokių sprendimų, o tik padeda rasti sprendimus. Šis procesas susideda iš šių žingsnių:

1) Užduoties pasirinkimas.

Išspręsti problemą, ypač gana sudėtingą, yra gana sudėtinga, reikalaujanti daug laiko. O jei užduotis pasirinkta nesėkmingai, tai gali lemti laiko praradimą ir nusivylimą priimant sprendimus naudojant kompiuterius. Kokius pagrindinius reikalavimus turi atitikti užduotis?

A. Turi būti bent vienas sprendimas, nes jei sprendimų nėra, tai nėra iš ko rinktis.

B. Turime aiškiai žinoti, kokia prasme norimas sprendimas turi būti geriausias, nes jei nežinosime ko norime, kompiuteris nepadės išsirinkti geriausio sprendimo.

Užduoties pasirinkimas užbaigiamas jos esminiu formulavimu. Būtina aiškiai suformuluoti problemą įprasta kalba, išryškinti tyrimo tikslą, nurodyti apribojimus, iškelti pagrindinius klausimus, į kuriuos norime gauti atsakymus spręsdami problemą.

Čia reikėtų išryškinti reikšmingiausias ūkinio objekto savybes, svarbiausias priklausomybes, į kurias norime atsižvelgti kurdami modelį. Formuojamos kai kurios hipotezės tiriamojo objekto raidai, tiriamos nustatytos priklausomybės ir ryšiai. Pasirinkus užduotį ir prasmingai ją išsakius, tenka bendrauti su dalykinės srities specialistais (inžinieriais, technologais, dizaineriais ir kt.). Šie specialistai, kaip taisyklė, labai gerai išmano savo dalyką, tačiau ne visada supranta, ko reikia norint išspręsti kompiuterio problemą. Todėl prasmingas problemos formulavimas dažnai pasirodo esąs persotintas darbui kompiuteriu visiškai nereikalingos informacijos.

2) Modelio sudarymas

Ekonominis-matematinis modelis suprantamas kaip matematinis tiriamo ekonominio objekto ar proceso aprašymas, kuriame ekonominiai modeliai išreiškiami abstrakčia forma naudojant matematinius ryšius.

Pagrindiniai modelio sudarymo principai susideda iš šių dviejų sąvokų:

1. Formuluojant problemą reikia gana plačiai aprėpti imituojamą reiškinį. Priešingu atveju modelis neduos pasaulinio optimalumo ir neatspindės reikalo esmės. Kyla pavojus, kad vienos dalies optimizavimas gali nukentėti kitų sąskaita ir pakenkti visai organizacijai.

2. Modelis turi būti kuo paprastesnis. Modelis turi būti toks, kad jį būtų galima įvertinti, išbandyti ir suprasti, o modelio rezultatai turi būti aiškūs ir jo kūrėjui, ir sprendimus priimančiam asmeniui. Praktikoje šios sąvokos dažnai prieštarauja, visų pirma dėl to, kad duomenų rinkime ir įvedime, klaidų tikrinime ir rezultatų interpretavime dalyvauja žmogiškasis elementas, o tai riboja modelio, kurį galima tinkamai analizuoti, dydį. Modelio dydis naudojamas kaip ribojantis veiksnys, o jei norime padidinti aprėpties plotį, turime sumažinti detalumą ir atvirkščiai.

Pristatykime modelio hierarchijos koncepciją, kai pereinant į aukštesnius hierarchijos lygius aprėpties plotis didėja, o detalės mažėja. Aukštesniuose lygiuose savo ruožtu formuojami apribojimai ir tikslai žemesniems lygiams.

Kuriant modelį, planavimo horizontas paprastai didėja augant hierarchijai. Jei visos korporacijos ilgalaikio planavimo modelyje gali būti mažai kasdienių detalių, tai atskiro padalinio gamybos planavimo modelis daugiausia susideda iš tokių detalių.

Formuluojant užduotį reikia atsižvelgti į šiuos tris aspektus:

1) Tiriami veiksniai: tyrimo tikslai yra gana laisvai apibrėžti ir labai priklauso nuo to, kas įtraukta į modelį. Šiuo atžvilgiu inžinieriams lengviau, nes jų tiriami veiksniai dažniausiai yra standartiniai, o objektyvi funkcija išreiškiama maksimaliomis pajamomis, minimaliomis sąnaudomis arba, galbūt, minimaliu kai kurių išteklių suvartojimu. Tuo pačiu metu, pavyzdžiui, sociologai dažniausiai išsikelia sau „visuomeninio naudingumo“ ar panašiai tikslą ir atsiduria sunkioje padėtyje, kai įvairiems veiksmams turi priskirti tam tikrą „naudingumą“, išreiškiant jį matematine forma. .

2) Fizinės ribos: Erdvinius tyrimo aspektus reikia išsamiai apsvarstyti. Jei gamyba sutelkta daugiau nei viename taške, tai modelyje būtina atsižvelgti į atitinkamus paskirstymo procesus. Šie procesai gali apimti sandėliavimo, transportavimo ir įrangos planavimo užduotis.

3) Laikinosios ribos: Laikinieji tyrimo aspektai sukelia rimtą dilemą. Paprastai planavimo horizontas yra gerai žinomas, tačiau reikia pasirinkti: arba dinamiškai imituoti sistemą, kad būtų gauti laiko tvarkaraščiai, arba imituoti statinį veikimą tam tikru momentu. Jeigu modeliuojamas dinaminis (daugiapakopis) procesas, tai modelio matmenys didėja pagal nagrinėjamų laikotarpių (etapų) skaičių. Tokie modeliai paprastai yra konceptualiai paprasti, todėl pagrindinis sunkumas slypi greičiau gebėjime išspręsti problemą kompiuteryje per priimtiną laiką, o ne gebėjime interpretuoti didelį išvesties duomenų kiekį. c Dažnai pakanka sukurti sistemos modelį tam tikru laiko momentu, pavyzdžiui, fiksuotais metais, mėnesį, dieną, o tada skaičiavimus kartoti tam tikrais intervalais. Apskritai, išteklių prieinamumas dinaminiame modelyje dažnai yra apytikslis ir nulemtas veiksnių, nepriklausančių modeliui. Todėl būtina atidžiai išanalizuoti, ar tikrai būtina žinoti modelio charakteristikų kitimo priklausomybę nuo laiko, ar tą patį rezultatą galima gauti pakartojant statinius skaičiavimus daugeliui skirtingų fiksuotų momentų.

3) Algoritmo sudarymas.

Algoritmas yra baigtinis taisyklių rinkinys, leidžiantis grynai mechaniškai išspręsti bet kokią konkrečią problemą iš tam tikros panašių problemų klasės. Tai reiškia:

a. - pradiniai duomenys gali skirtis tam tikrose ribose: (algoritmo masyvumas)

b. - taisyklių taikymo pradiniams duomenims procesas (problemos sprendimo būdas) yra vienareikšmiškai apibrėžtas: (algoritmo determinizmas)

in. - kiekviename taisyklių taikymo proceso etape žinoma, ką laikyti šio proceso rezultatu: (algoritmo atlikimas)

Jei modelis aprašo ryšį tarp pradinių duomenų ir norimų reikšmių, tai algoritmas yra veiksmų seka, kurią reikia atlikti norint pereiti nuo pradinių duomenų prie norimų reikšmių.

Patogi algoritmo rašymo forma yra blokinė diagrama. Tai ne tik gana aiškiai apibūdina algoritmą, bet ir yra programos sudarymo pagrindas. Kiekviena matematinių modelių klasė turi savo sprendimo būdą, kuris realizuojamas algoritme. Todėl labai svarbu uždavinius klasifikuoti pagal matematinio modelio tipą. Taikant šį metodą, skirtingo turinio problemas galima išspręsti naudojant tą patį algoritmą. Sprendimų priėmimo problemų algoritmai, kaip taisyklė, yra tokie sudėtingi, kad jų praktiškai neįmanoma įgyvendinti nenaudojant kompiuterio.

4) Programavimas.

Algoritmas parašytas naudojant įprastus matematinius simbolius. Kad jį skaitytų kompiuteris, būtina parašyti programą. Programa – tai uždavinio sprendimo algoritmo aprašymas, pateiktas kompiuterine kalba. Algoritmus ir programas vienija „programinės įrangos“ sąvoka. Šiuo metu programinės įrangos kaina siekia apie pusantro kompiuterio kainos, o santykinė programinės įrangos kaina nuolat auga. Jau šiandien įsigijimo objektas yra būtent programinė įranga, o pats kompiuteris yra tik jam skirtas konteineris, pakuotė.

Ne kiekvienai užduočiai būtina sudaryti individualią programą. Iki šiol buvo sukurti galingi šiuolaikiniai programinės įrangos įrankiai – taikomosios programinės įrangos paketai (APP). PPP yra modelio, algoritmo ir programos derinys. Dažnai užduočiai galite pasirinkti paruoštą paketą, kuris puikiai veikia, išsprendžia daugybę problemų, tarp kurių galite rasti ir mūsų. Taikant šį metodą, daugelis užduočių bus išspręstos pakankamai greitai, nes jums nereikia programuoti. Jei PPP neįmanoma išspręsti problemos nekeičiant jos ar modelio, tai arba modelis turi būti pritaikytas prie PPP įvesties, arba PPP įvestis turi būti modifikuota taip, kad modelis būtų įtrauktas į jį. Šis procesas vadinamas adaptacija. Jei kompiuterio atmintyje yra tinkamas PPP, tai vartotojo užduotis yra įvesti reikiamus duomenis, kurių reikia ieškoti ir gauti norimą rezultatą.

5) Pradinių duomenų įvedimas.

Prieš įvedant pradinius duomenis į kompiuterį, jie, žinoma, turi būti surinkti. Be to, gamyboje turimi ne visi pradiniai duomenys, kaip dažnai bandoma daryti, o tik tie, kurie yra įtraukti į matematinį modelį. Vadinasi, pradinių duomenų rinkimas yra ne tik tikslingas, bet ir būtinas tik žinant matematinį modelį. Turėdami programą ir suvedę pradinius duomenis į kompiuterį gausime problemos sprendimą.

6) Gauto tirpalo analizė

Deja, gana dažnai matematinis modeliavimas painiojamas su vienkartiniu konkrečios problemos sprendimu su pradiniais, dažnai nepatikimais duomenimis. Norint sėkmingai valdyti sudėtingus objektus, būtina nuolat perdaryti modelį kompiuteryje, taisant pradinius duomenis, atsižvelgiant į pasikeitusią situaciją. Nedera skirti laiko ir pinigų matematiniam modeliui sudaryti, norint atlikti vieną vienintelį jo skaičiavimą. Ekonominis-matematinis modelis yra puiki priemonė gauti atsakymus į įvairius planavimo, projektavimo ir gamybos klausimus. EMM gali tapti patikimu asistentu priimant kasdienius sprendimus, kylančius operatyvaus gamybos valdymo metu.

NAUDOJANT STRAUKŲ SCHEMĘ

Modeliuojamos sistemos fizinę prigimtį galima pavaizduoti naudojant blokinę diagramą. Paprastas pavyzdys yra ankstesnė blokinė diagrama, nors ji nėra pakankamai išsami.

Išskirkime pagrindinius blokinės diagramos komponentus:

1) Tiesios linijos reiškia medžiagų srautus, pasižyminčius tam tikromis savybėmis. Tai nebūtinai turi būti kokios nors fizinės materijos srautai; lygiai taip pat gali būti pavaizduoti, pavyzdžiui, informacijos srautai, pinigai. Jei du medžiagų srautai pasižymi skirtingomis savybėmis ir modeliui šie skirtumai yra reikšmingi, tuomet turime juos pavaizduoti skirtingomis linijomis.

2) Stačiakampiai žymi gamyklos blokus ir įrangą arba, apskritai, posistemes, kurios turi konkrečią paskirtį. Keičiasi srautų charakteristikos, o blokai yra srautus vaizduojančių linijų rinkinių įėjimo ir išėjimo taškai.

3) Daroma prielaida, kad bendra tekėjimo kryptis yra iš kairės į dešinę. Taigi gamybos procesą aprašančioje struktūrinėje schemoje gaunamos žaliavos vaizduojamos įvedimo rodyklėmis kairėje schemos pusėje, o galutiniai srautai vaizduojami eilutėmis, kurios baigiasi dešinėje stulpeliuose, atitinkančiuose galutinius produktus. Tokie stulpeliai ypač praverčia, kai galutinis produktas gaunamas sujungus kelis srautus, kaip matysime savo pavyzdyje.

APRAŠYMO APRIBOJIMAI

Šie apribojimai apibūdina tiriamos sistemos funkcionavimą. Jie reprezentuoja specialią balanso lygčių grupę, susijusią su atskirų blokų savybėmis, tokiomis kaip masė, energija, sąnaudos.

Tai, kad LP modelyje pusiausvyros lygtys turi būti tiesinės, atmeta galimybę pavaizduoti tokias iš esmės netiesines priklausomybes, kaip sudėtingos cheminės reakcijos ir veikimo sąlygų pokyčiai, leidžiantys apibūdinti tiesiškai (bent jau apytiksliai). Balanso koeficientus galima įvesti kai kuriai pilnai blokinės diagramos daliai, pavyzdžiui, atskiram blokui; dažniausiai jie išrašomi kiekvienam technologiniam srautui, kuris blokinėje diagramoje pavaizduotas linija. Medžiagos kiekis, gautas galbūt iš daugiau nei vieno bloko, patenkančio į srautą, yra lygus šios medžiagos kiekiui, išeinančiam iš srauto (ir patenkančiam kaip pašaras, galbūt daugiau nei vienam blokui).

Statiniuose (vienos pakopos) modeliuose tokius ryšius galima pavaizduoti taip: - įvestis + išvestis = 0

Dinaminis (daugiapakopis) procesas apibūdinamas ryšiais:

Įėjimas + pasitraukimas + santaupos = 0, kur santaupos reiškia grynąjį augimą per nagrinėjamą laikotarpį.

Tegul K gijų įeina į kokį nors bloką, o Xk, k=1. . . K, kiekvienu siūlu į bloką perduotas žaliavos kiekis. Tegu taip pat iš kiekvieno bloko k-osios žaliavos vieneto pagaminamas kurio nors i-ojo produkto kiekis Aik. Tada bendras pagamintos prekės kiekis bus nustatytas pagal formulę: E Aik*Xk .

Tarkime, kad šis produktas pats patenka į tik vieno bloko įvestį, kurio suma lygi Xi . Tada balanso santykis (šio produkto srauto i eilutė yra tokia: - E Aik*Xk + 1. 0Xj = 0 (2. 2)

Kiekvienas srautas susideda iš gaminių, pagamintų iš blokelių ir žaliavų ir jungia skirtingus blokus. Tada, kai sudaromi balansai

Manoma, kad srauto santykiai yra tokie:

1. Kiekvienam srautui nustatoma balanso lygtis, atitinkanti i eilutę.

2. Kiekvienam bloko srauto įėjimui priskiriamas stulpelis, kurio koeficientas lygus +1. 0. Kiekvienas stulpelis atitinka kintamąjį Xj, kurio reikšmė nusako į bloką įtraukto srauto tūrį. Srautas gali patekti į daugiau nei vieną bloką, tada 2. 2. lygtyje bus keli +1 nariai. 0Xj, kurių kiekvienas parodys srauto tūrį atitinkamo bloko įėjime.

3. Stulpelyje (kurį atitinka, pavyzdžiui, kintamasis Xk), atitinkančiame bloko produkto srauto išėjimą, yra koeficientas, lygus -Aik. Atminkite, kad toje pačioje balanso lygtyje gali būti papildomų terminų, jei tie patys srautai (ty srautai su tomis pačiomis charakteristikomis) gaunami iš skirtingų blokų arba žaliavų šaltinių.

Dėl to gauname balanso lygtį VIA:

E Aik*Xk + 1. 0Xj = 0 , kuriame gali būti keli +1 formos nariai. 0Xj, jei sriegis yra daugiau nei viename bloke.

Taigi balanso lygties linija atitinka srautą, kuriam būdingas tam tikrų savybių rinkinys ir kuris gali turėti daugiau nei vieną įėjimo ir išėjimo tašką. Stulpelis, kurį atitinka kintamasis Xj, atitinka kiekvieną naują gijos įėjimo į bloką tašką.

Kita bendroji sąlyga, taikoma visų tipų apribojimams, yra ta, kad neigiami koeficientai rodo, kad produktą gamina sistema, o teigiami koeficientai rodo, kad ji yra suvartojama.

IŠTEKLIŲ IR GALUTINIO VARTOJIMO APRIBOJIMAS

Su šiais apribojimais padėtis gana aiški. Paprasčiausia forma išteklių apribojimai yra viršutiniai apribojimai kintamiesiems, atspindintiems išteklių suvartojimą, o galutinio produkto vartojimo apribojimai yra žemesni kintamųjų, atspindinčių produkto gamybą, apribojimai. Išteklių apribojimai yra tokie:

AI1X1 + . . . + AijXj + . . . +AinXn<= Bi,

čia Aij yra i-ojo išteklių suvartojimas Xj vienetui, j = 1 . . . n, o Bi yra bendras turimų išteklių kiekis.

Jei įvesime naują kintamąjį, pavyzdžiui, Xn+1, atspindintį bendrą suvartojimą, apribojimas bus tokia forma:

AI1X1 + . . . + AijXj + . . . + AinXn – Xn+1 = 0,

Apibrėžiant Aij kaip Xj vieneto i-osios sandaugos išvestį, j = 1 . . . n, o apversdami nelygybės ženklą, gauname panašius galutinio vartojimo apskaitymo santykius, kur Bi atstovaus bendrą i-ojo produkto suvartojimą. Atminkite, kad į gamyklos ir įrangos pajėgumo apribojimą galima atsižvelgti taip pat, kaip į išteklių apribojimą. Išlaidų priklausomybė nuo naudojamų išteklių kiekio (arba galutinio vartojimo) taip pat gali atsispindėti modelyje.

IŠORĖS SĄLYGOS

Dalis sistemos apribojimų gali būti laikomi išoriniais. Taigi produktų kokybės sąlygas nustato įstatymų leidybos institucijos. Panašiai, atsižvelgiant į aplinkosaugą, taikomi apribojimai kai kurioms produktų savybėms (pavyzdžiui, sieros kiekiui naftos kuruose) ir gamyklos bei įrangos veikimo režimui (pavyzdžiui, nuotekų kokybei), kurie gali būti išreikšti papildomomis sąnaudomis. .

Apsvarstykite situaciją, kai sumaišomi keli skirtingi srautai, kad susidarytų galutinis produktas. Jei kuri nors i-ojo mišinio komponento savybė apibūdinama koeficientu Pi, o Pb nustato apatinę leistiną nurodytos mišinio savybės ribą, tai apribojimą galima parašyti taip: P1X1 + . . . + PiXi => PbXb, kur kairėje pusėje sumuojami visi sumaišyti srautai, o Xb reiškia bendrą pagaminto mišinio kiekį. Produktų kokybės apribojimus geriausia nustatyti naudojant lenteles.

OBJEKTYVIOS FUNKCIJOS APIBRĖŽIMAS

Modelio tikslinę funkciją paprastai sudaro šie komponentai:

3) išteklių kaina.

4) Eksploatacijos išlaidos ir įrangos remonto išlaidos.

1) Pagaminto produkto savikaina.

Jeigu sistema modeliuojama pagal pelną, tai prekės vertė matuojama pinigais. Jei sistemos tikslas yra maksimaliai padidinti socialinį naudingumą, tai sistemos išvestis aprašoma naudingumo terminais, o to naudingumo apibrėžimo skirtumai gali lemti skirtingus atsakymus. Taigi, planuojant medicininę priežiūrą, vargu ar bus naudinga visuomenei, jei bus pasirinktas maksimalus aptarnaujamų pacientų skaičius per laiko vienetą.

Paprasčiausiu atveju tikslo funkcija gali būti suformuluota taip:

jei Xi žymėsime gaminio kiekį, o Ci – šio produkto vieneto savikainą, tai gausime tikslo funkcijos CiXi narį. Tačiau tikslo funkciją galima apibūdinti sudėtingiau. Pavyzdžiui, savikaina gali priklausyti nuo parduodamos prekės kiekio, ši priklausomybė parodyta grafike:

2) Investicijos į pastatus ir įrangą.

Jei svarstomas statinis modelis tam tikru laiko momentu, visos išlaidos turėtų būti priskirtos tam tikram laikotarpiui, pavyzdžiui, darbo dienai (ar metams). Vienkartinės investicijos išreiškiamos dienos (metinėmis) sąnaudomis. Tai daroma kapitalo investiciją padauginus iš nusidėvėjimo normos (Capital Recovery Ratio – CRF). Norint pereiti nuo metinių prie kasdienių išlaidų, CRF paprastai tiesiog dalijamas iš 365 arba, jei gamykla neveikia ištisus metus (pavyzdžiui, atliekama reguliari planinė priežiūra) iš darbo dienų skaičiaus per metus, kad būtų gautos išlaidos darbo diena. Šios išlaidos dažnai prisimenamos kaip konstantos ir pridedamos prie tikslo funkcijos vertės po to, kai gaunamas sprendimas.

3) išteklių kaina.

Išteklių savikainos nustatymo metodas sutampa su pagaminto produkto savikainos apibrėžimu (1 dalis): jei Xi yra sunaudoto resurso kiekis, o Ci yra šio resurso vieneto kaina, tada gausime tikslo funkcijos narys, lygus - CiXi. Čia vėl galime modelyje atsižvelgti į išteklių sąnaudų priklausomybę nuo jo kiekio, kaip, pavyzdžiui, grafike:

4) Eksploatacijos išlaidos ir įrangos remonto išlaidos.

Šios išlaidos dažniausiai priklauso nuo pastatų ir įrangos dydžio, todėl jas galima įtraukti į nusidėvėjusias kapitalo sąnaudas. Tai taip pat turėtų apimti: darbo sąnaudas, energijos sąnaudas gamybos poreikiams (garui, elektrai, vandeniui, suslėgtam orui ir kt.), kasybos nuomą, katalizatorių išlaidas ir kitus technologinius poreikius.

PAVYZDYS

Norime ištirti įvairias galimybes išplėsti esamus blokus ir sukurti naujus blokus, kad padidintume grynąsias pajamas. Mums reikia:

1) Įveskite kiekvieno bloko galios apribojimus į LP matricą.

2) Maksimaliai padidinkite pelną esant pastoviems pajėgumams.

3 atskirai nuo LP modelio ir atimkite juos iš pelno maržos.

4) Atlikite parametrų galios pakeitimą ir pakartokite veiksmus nuo 1 veiksmo.

Tikslinė funkcija bus išreikšta tūkstančiais dolerių / darbo dieną, taigi, jei Xi išreiškiamas MBSD vienetais, tada Ci kaina turi būti išreikšta doleriais / bareliu.

Tikslinę funkciją maksimaliai padidinsime, todėl kainas atitinkantys koeficientai bus teigiami, o kaštus – neigiami.

DIDELĖS MATRIKOS KONSTRUKCIJA

Apribojimai vaizduoja lygčių (nelygybių), kurių kiekviena yra susieta su apribojimų matricos eilute, sistemą, o LP apribojimų matricą patogiau pateikti kaip stulpelių seką. Tokiu atveju patogiau sujungti vieną įmonės bloką atitinkančius stulpelius į vieną grupę, naudojant duomenų įvedimo lentelę: duomenų lentelės sudaromos kiekvienam įmonės blokui ir kiekvienam specialių produkto apribojimų rinkiniui. Kadangi kiekvienai eilutei ir kiekvienam stulpeliui yra priskirtas pavadinimas, visa apribojimo matrica gali būti sudaryta išvardijant visų lentelių pavadinimus, tada pateikiant kiekvienos lentelės stulpelių pavadinimus ir išvardijant visus kiekvienos tokios lentelės elementus, kurie nėra nulis. stulpelyje.

Mūsų pavyzdyje pateiktos lygtys paaiškina, kaip sudaromos lentelės. Šių lygčių pagalba detaliai aprašomi tiekimo srautai, patenkantys į dujų prisotinimo įrenginį, ir iš jo išeinantys produktų srautai. Dvi stulpeliai LNB ir LNC atitinka žaliavų srautų BOLNP ir COLNP įvestis, tai rodo koeficientai +1. 0 šiuos srautus atitinkančiose balanso eilutėse, neigiami koeficientai produkto srauto balanso eilutėse reiškia šio produkto išeigą, tenkančią vienam į bloką patenkančios žaliavos vienetui. Galima sukurti lentelę, aprašančią visą dujų prisotinimo bloką, pridedant stulpelius, vaizduojančius įvestis į šį tiekimo srautų bloką 90BBG, 9BBG, HYDBBG.

Rengdami lenteles, apibūdinančias įmonės blokus, vadovausimės šiomis taisyklėmis:

1) Nustatykite j stulpelį kiekvienam žaliavos srautui, įtrauktam į bloką (tada Xj yra j-osios žaliavos kiekis). Kiekvienam tokiam stulpeliui atlikite 2–6 veiksmus.

3) Kiekvienam produktui, pagamintam bloke iš šio žaliavų srauto, atitinkamoje produkto srauto balanso eilutėje įrašykite koeficientą -Aij, kur Aij yra produkto i kiekis, gautas iš žaliavos j vieneto.

4) Jei yra bloko galios limitas, nustatomas pagal žaliavų kiekį, užrašykite koeficientą +1. 0 iki galios ribinės linijos. Šią eilutę atitinkanti apribojimo vektoriaus dedamoji yra lygi visos žaliavos pa ribinei vertei.

5) Kiekvienoje eilutėje, vaizduojančioje išteklių apribojimą, parašykite koeficientą +Aij, kur Aij yra resurso i suvartojimas žaliavos vienetui j (pavyzdžiui, energijos išteklių poreikis mūsų užduočiai atlikti).

6) Tikslinės funkcijos eilutėje kiekvienam žaliavos vienetui j priskirkite sąnaudų koeficientą Cj.

Panašias lenteles galime pagaminti ir galutiniams produktams, iš tiesų, galutinio produkto gamybos ar maišymo procesą galėtume pavaizduoti kaip atskirą vienetą, kuris apima kelis žaliavos srautus ir išeina tik vienas srautas (pats galutinis produktas). Be balanso koeficientų, čia gali atsirasti specialių apribojimų eilučių.

Sudarant lenteles, kuriose aprašomas srautų maišymas galutiniam produktui gauti, taisyklės bus tokios:

1) Nustatykite j stulpelį kiekvienam tiekimo srautui, patenkančiam į maišytuvą (Xj yra j-ojo tiekimo kiekis). Kiekvienam tokiam stulpeliui atlikite 2–6 veiksmus.

2) Užrašykite koeficientą, lygų +1. 0 į balanso eilutę, atitinkančią gaunamą žaliavų srautą.

3) Užrašykite atitinkamą koeficientą -1. 0 į galutinio produkto balanso eilutę (pvz., EVOLPROD).

4) Kiekvienam mažesniam tam tikros mišinio savybės apribojimui šį apribojimą atitinkančioje eilutėje parašykite -Pi koeficientą.

5) Eilutėje, atitinkančioje apribojimą iš viršaus tam tikrai mišinio savybei, įrašykite koeficientą +Pi.

6) Atlikę 2–5 veiksmus visiems tiekimo srautams j, nustatykite galutinio produkto (mišinio) stulpelį (pavyzdžiui, B, tada Xb yra galutinio produkto kiekis). Į šį stulpelį įveskite šiuos koeficientus:

a) Įrašykite +1 į šio galutinio produkto balanso eilutę (EVOLPROD). 0,

b) eilutėje, atitinkančioje apatinį tam tikros galutinio produkto savybės apribojimą, įrašykite koeficientą, lygų +Pb,

c) eilutėje, atitinkančioje viršutinę tam tikros galutinio produkto savybės ribą, parašykite koeficientą -Pb,

d) jei yra galutinio produkto vartojimo apribojimai, parašykite +1. 0 į atitinkamą eilutę, kuri atitinka šį apribojimą (arba laikykite jį tiesiog kintamojo Xb apribojimu),

e) į tikslo funkcijos eilutę įveskite galutinio produkto kaštų koeficientą Cb.

Ekonominių ir matematinių modelių klasifikacija

Svarbus žingsnis tiriant procesų objektų reiškinius yra jų klasifikacija, kuri veikia kaip pavaldžių objektų klasių sistema, naudojama kaip priemonė ryšiams tarp šių objektų klasių nustatyti. Klasifikacija grindžiama esminėmis objektų savybėmis. Kadangi ženklų gali būti daug, atliekamos klasifikacijos gali labai skirtis viena nuo kitos. Bet kokia klasifikacija turėtų būti skirta tikslams pasiekti. klasifikavimo tikslo parinkimas nulemia visuma tų požymių, pagal kuriuos bus klasifikuojami sisteminami objektai. Mūsų klasifikacijos tikslas – parodyti, kad optimizavimo problemos, visiškai skirtingos savo turiniu, gali būti sprendžiamos kompiuteryje, naudojant kelių tipų esamą programinę įrangą.

Gamyboje iškylančias optimizavimo problemas klasifikuosime pagal šiuos kriterijus: 1. Apimtis 2. Užduoties turinys 3. Matematinio modelio klasė 1. Gamybos palaikymas apima: 1. 1 organizavimą ir valdymą 1. 2 gaminio dizainą 1. 3 technologinį kūrimą. procesus

Visuose šiuose gamybos elementuose iškyla optimizavimo problemų. Tad labai platų pačių įvairiausių darbų spektrą galima laikyti resursų pavertimu rezultatais. Šiuo atžvilgiu pagrindiniai uždaviniai, kylantys valdymo eigoje, gali būti priskirti išteklių paskirstymo problemų klasei.

Projektavimo objekto įrenginys ir veiksmas. Prietaisas apibrėžiamas struktūra ir parametrais. Veiksmui būdingas veikimo procesas. Sprendžiant šiuos tris klausimus, iškyla šie uždaviniai: 1. 2. a Projektinio objekto parametrų optimizavimas. 1. 2. b Projektinio objekto struktūros optimizavimas. 1. 2. Veikimo optimizavime

Technologinį procesą lemia darbų, užtikrinančių žaliavų pavertimą gatavu gaminiu, seka. Tokia veiklų seka vadinama maršrutu. Kiekvienai į maršrutą įtrauktai operacijai būdingi apdorojimo režimai. Akivaizdu, kad optimalaus sprendimo reikalaujančių užduočių iškyla ir renkantis maršrutą, ir nustatant veiklos parametrus. 1. 3. a Produkto gamybos maršruto optimizavimas 1. 3. b Technologinio proceso parametrų optimizavimas.

Svarbi klasifikacijos ypatybė yra matematinio modelio klasė. Suskirstykime pagal matematinio modelio elementus: 1 Pradiniai duomenys 2 Paieškos kintamieji 3 Priklausomybės, apibūdinančios apribojimus ir tikslo funkciją

1. 1 Pradiniai duomenys, kurie pateikiami tam tikromis reikšmėmis, vadinami deterministiniais 1. 2 Pradiniai duomenys, priklausantys nuo atsitiktinių veiksnių, tokių kaip išteklių tiekimo savalaikiškumas, įrangos būklė ir kt. ir tt vadinami atsitiktiniais dydžiais.

2.1 Kintamieji gali būti nuolatiniai arba atskiri. Nuolatiniai dydžiai yra tie dydžiai, kurie tam tikrame intervale gali įgyti bet kokią reikšmę. Taigi iškasamos anglies masė arba pagaminto audinio tūris yra nuolatiniai dydžiai. 2. 2 Tik sveikųjų skaičių reikšmės vadinamos diskrečiomis. Pavyzdžiui, iš 1,45 pastatų negalite pagaminti 0,7 dyzelinių lokomotyvų ar perduoti pastato objekto.

3. 1 Priklausomybės tarp kintamųjų tiek tikslo funkcijoje, tiek apribojimuose gali būti tiesinės ir nelinijinės. Pirmojo laipsnio linijos ir nėra jų sandaugos. 3.2 Jei kintamieji nėra pirmojo laipsnio arba yra kintamųjų sandauga, tai priklausomybės yra netiesinės.

Skirtingų modelio elementų derinys lemia skirtingas optimizavimo problemų klases. Skirtingoms problemų klasėms reikalingi skirtingi sprendimo būdai, todėl

Dažniausios optimizavimo problemos, kylančios ekonomikoje, yra linijinio programavimo problemos. Toks jų paplitimas paaiškinamas tuo, kad: 1) Jų pagalba išsprendžiamos resursų paskirstymo problemos, iki kurių sumažinama labai daug labai skirtingų problemų 2) Sukurti patikimi jų sprendimo būdai, kurie diegiami pateiktose programinė įranga 3) Nemažai sudėtingesnių problemų redukuojama į linijinio programavimo problemas

Matematinis modeliavimas valdant ir planuojant

Vienas iš galingų įrankių, kurį turi už sudėtingų sistemų valdymą atsakingi žmonės, yra modeliavimas. Modelis yra tikro objekto, sistemos ar koncepcijos atvaizdas tam tikra forma, kuri skiriasi nuo jų tikrosios tikrosios egzistavimo formos. Paprastai modelis yra įrankis, padedantis paaiškinti, suprasti ar patobulinti tikslią to objekto kopiją, pagamintą kitokiu masteliu arba iš kitos medžiagos, arba parodyti kai kurias būdingas objekto savybes abstrakčia forma. , ypač matematinių išraiškų pavidalu. Matematinių modelių analizė suteikia vadovams ir kitiems vadovams efektyvų įrankį, kuriuo galima numatyti sistemų elgseną ir palyginti gautus rezultatus. Modeliavimas leidžia logiškai numatyti alternatyvių veiksmų pasekmes ir gana užtikrintai parodo, kuriam iš jų reikėtų teikti pirmenybę.

Prikh sprendimai ir intuicijos. Norint pasiekti tikslą, beveik visada yra keletas variantų, iš kurių reikia pasirinkti geriausią. Norint nustatyti geriausią variantą, naudojamas efektyvumo kriterijus arba tikslo funkcija.

ĮMONĖS VALDYMAS

Šiam tikslui pasiekti įmonei reikalingos medžiagos, įranga, energija, darbo jėga ir kiti ištekliai. Kiekviena įmonė turi tokius išteklius, tačiau bendri ištekliai yra riboti. Todėl iškyla svarbi užduotis: parinkti optimalų variantą, užtikrinantį tikslo pasiekimą su minimaliomis resursų sąnaudomis. Taigi efektyvus gamybos valdymas suponuoja tokį proceso organizavimą, kuriame ne tik pasiekiamas tikslas, bet ir gaunama kraštutinė (MIN, MAX) tam tikro efektyvumo kriterijaus reikšmė: K = F (X1, X2, . . . , Xn) => MIN (MAX ) Funkcija K yra matematinė veiksmo, kuriuo siekiama tikslo, rezultato išraiška, todėl ji vadinama tikslo funkcija.

Sudėtingos gamybos sistemos funkcionavimą visada lemia daugybė parametrų. Norint gauti optimalų sprendimą, vienus iš šių parametrų reikia pasukti maksimaliai, kitus – iki minimumo. Kyla klausimas: ar yra toks sprendimas, kuris geriausiai atitiktų visus reikalavimus iš karto? Galite drąsiai atsakyti – ne. Praktiškai sprendimas, kuris padidina bet kurį eksponentą, paprastai nepadaro kitų eksponentų nei didžiausių, nei minimalių. Todėl tokie posakiai kaip: gaminti aukščiausios kokybės produktus mažiausiomis sąnaudomis yra tik iškilminga frazė, kuri iš esmės yra neteisinga. Teisinga būtų sakyti: gauti aukščiausios kokybės produktą už tą pačią kainą arba sumažinti gamybos kaštus, nesumažinant jos kokybės, nors tokie posakiai skamba ne taip gražiai, bet aiškiai apibrėžia tikslus. Tikslo pasirinkimas ir jo pasiekimo kriterijaus, ty objektyvios funkcijos, suformulavimas yra pati sunkiausia problema matuojant ir lyginant nevienalyčius kintamuosius, kai kurie iš jų iš esmės yra nesuderinami vienas su kitu: pavyzdžiui, saugumas ir kaina, ar kokybė. ir paprastumas. Tačiau būtent tokios socialinės, etinės ir psichologinės sampratos dažnai veikia kaip motyvacijos veiksniai nustatant tikslą ir optimalumo kriterijų. Atliekant realias gamybos valdymo užduotis, reikia atsižvelgti į tai, kad vieni kriterijai yra svarbesni už kitus. Tokius kriterijus galima reitinguoti, ty nustatyti jų santykinę svarbą ir prioritetą. Tokiomis sąlygomis optimalus sprendimas yra tas, kuriame didžiausią prioritetą turintys kriterijai gauna didžiausias reikšmes. Šio metodo ribojamas atvejis yra pagrindinio kriterijaus pasirinkimo principas. Šiuo atveju pagrindinis yra laikomas vienas kriterijus, pavyzdžiui, plieno stiprumas, gaminio kalorijų kiekis ir kt. tt Pagal šį kriterijų optimizavimas atliekamas, likusioms iškeliama tik viena sąlyga, kad jos būtų ne mažesnės už kai kurias duotąsias reikšmes. Neįmanoma atlikti įprastų aritmetinių operacijų tarp reitinguotų parametrų, galima tik nustatyti jų reikšmių hierarchiją ir prioritetų skalę, o tai yra reikšmingas skirtumas nuo gamtos mokslų modeliavimo.

Kuriant sudėtingas technines sistemas, valdant didelio masto gamybą ar vadovaujant karinėms operacijoms, tai yra situacijose, kai nepraktinė patirtis leidžia išryškinti svarbiausius veiksnius, aprėpti situaciją kaip visumą ir pasirinkti geriausią būdą pasiekti tikslas. Patirtis taip pat padeda rasti panašių atvejų praeityje ir, jei įmanoma, išvengti klaidingų veiksmų. Patirtimi suprantama ne tik paties sprendimus priimančio asmens praktika, bet ir kažkieno patirtis, aprašyta knygose, apibendrinta instrukcijose, rekomendacijose ir kitoje orientacinėje medžiagoje. Natūralu, kad kai sprendimas jau išbandytas, tai yra žinoma, kuris sprendimas geriausiai tenkina užsibrėžtus tikslus, optimalaus valdymo problemos neegzistuoja. Tačiau iš tikrųjų visiškai identiškų situacijų beveik niekada nebūna, todėl sprendimai ir valdymas visada turi būti priimami nepilnos informacijos sąlygomis. Tokiais atvejais trūkstamą informaciją bandoma gauti naudojant spėliones, prielaidas, mokslinių tyrimų rezultatus ir ypač modelių studijas. Mokslu pagrįsta valdymo teorija iš esmės yra metodų rinkinys, skirtas papildyti trūkstamą informaciją apie tai, kaip valdymo objektas elgsis esant pasirinktam poveikiui.

Noras gauti kuo daugiau informacijos apie valdomus objektus ir procesus, įskaitant jų būsimo elgesio ypatybes, gali būti patenkintas ištyrus mus dominančias savybes modeliuose. Modelis suteikia galimybę pavaizduoti tikrą objektą, todėl lengva ir ekonomiška ištirti kai kurias jo savybes. Tik modelis leidžia ištirti ne visas savybes vienu metu, o tik tas, kurios šiuo požiūriu yra reikšmingiausios. Todėl modeliai leidžia susidaryti supaprastintą sistemos vaizdą ir gauti norimus rezultatus lengviau bei greičiau nei studijuojant pačią sistemą. Gamybos sistemos modelis pirmiausia kuriamas kontrolę vykdančio darbuotojo galvoje. Pagal šį modelį jis mintyse bando įsivaizduoti visas pačios sistemos ypatybes ir jos elgesio detales, numatyti visus sunkumus ir numatyti visas kritines situacijas, kurios gali kilti įvairiais veikimo režimais. Daro logiškas išvadas, atlieka brėžinius, planus ir skaičiavimus.

Šiuolaikinių techninių sistemų ir gamybos procesų sudėtingumas lemia tai, kad jų tyrimui reikia naudoti įvairių tipų modelius.

Paprasčiausi yra mastelio modeliai, kuriuose gerbiami matmenys dauginami iš pastovios vertės – modeliavimo skalės. Dideli objektai pateikiami sumažinta, o smulkūs – padidinta forma.

Analoginiuose modeliuose tiriami procesai tiriami ne tiesiogiai, o pagal analogiškus reiškinius, tai yra procesais, kurie turi skirtingą fizikinę prigimtį, bet apibūdinami tais pačiais matematiniais ryšiais. Tokiam modeliavimui naudojamos analogijos tarp mechaninių, terminių, hidraulinių, elektrinių ir kitų reiškinių. Pavyzdžiui, spyruoklės apkrovos svyravimai yra panašūs į srovės svyravimus elektros grandinėje, o švytuoklės judėjimas – į įtampos svyravimus generatoriaus išvestyje.

Labiausiai paplitęs tyrimo metodas yra matematinio modeliavimo naudojimas. Matematinis modelis apibūdina formalų ryšį tarp modeliuojamo objekto ar proceso įvesties parametrų verčių ir išvesties parametrų. Atliekant matematinį modeliavimą, abstrahuojama nuo specifinės fizinės objekto prigimties ir jame vykstančių procesų ir atsižvelgiama tik į įvesties verčių transformavimą į išvesties. Lengviau ir greičiau analizuoti matematinius modelius, nei eksperimentiškai nustatyti realaus objekto elgesį įvairiais darbo režimais. Be to, matematinio modelio analizė leidžia išryškinti reikšmingiausias šios sistemos savybes, į kurias reikėtų atkreipti ypatingą dėmesį priimant sprendimą. Papildomas privalumas yra tai, kad matematiniame modeliavime nesunku išbandyti tiriamą sistemą idealiomis sąlygomis arba, atvirkščiai, ekstremaliomis sąlygomis, kurios realiems objektams ar procesams yra brangios arba rizikingos.

Priklausomai nuo sistemos tipo ir konkrečių tikslų, kurie keliami analizės metu, galimi įvairūs sistemų aprašymo metodai, tai yra yra keletas skirtingų požiūrių į matematinį modeliavimą ir sistemų analizę. Kiekvienas požiūris remiasi tam tikromis idėjomis, tam tikra pagrindinių idėjų rinkiniu ir teorinėmis prielaidomis arba, kaip sakoma, tam tikra koncepcija.

1) Vienas iš galimų matematinio modeliavimo tikslų yra susijęs su siekiu suprasti sistemų savybes apskritai. Šiuo atveju būtina turėti modelį, kuris apimtų kuo platesnę objektų ir procesų klasę.

2) Kitas uždavinys – kruopštus, kiekybinis tam tikros klasės sistemų tyrimas. Šiuo atveju būtina pateikti išsamų matematinį dominančios klasės objektų aprašymą ir ne mažiau detalų juose vykstančių procesų matematinį aprašymą.

3) Galiausiai, trečiasis metodas, su kuriuo dažnai susiduriama, yra susijęs su noru naudoti tam tikrus specifinius matematinių modelių tipus analizei.

Pats sprendimų priėmimas peržengia matematinio modeliavimo ribas ir priklauso atsakingo asmens, kuriam suteikiama galutinė teisė su rekomendacijomis, kylančiomis iš matematinio skaičiavimo, kompetencijai, į daugelį kitų aspektų, į kuriuos nebuvo atsižvelgta atliekant šį skaičiavimą. .

Priklausomai nuo to, kokią informaciją turi sprendimus rengiantis vadovas ir jo darbuotojai, kinta ir sprendimų priėmimo sąlygos bei rekomendacijų rengimui naudojami matematiniai metodai.

Jei visi sistemoje veikiantys veiksniai yra žinomi, tai yra, nėra atsitiktinių efektų, tai bus sprendimų priėmimas užtikrintai.

Kai sprendimas gali lemti ne tam tikrą rezultatą, o vieną iš daugelio galimų pasekmių su skirtinga jų įgyvendinimo tikimybe, tuomet sprendimų priėmėjas rizikuoja negauti rezultato, kurio tikisi. Kadangi kiekvieno konkretaus įgyvendinimo rezultatas yra atsitiktinis ir todėl nėra tiksliai nuspėjamas iš anksto, metodas vadinamas rizikos sprendimų priėmimu.

Jei operacijos rezultatas priklauso ne tik nuo vadovo pasirinktos strategijos, bet ir nuo daugelio faktorių, kurie sprendimo priėmimo metu nėra žinomi, pavyzdžiui, konkurentų veiksmų, tokia užduotis vadinama sprendimo priėmimu. neapibrėžtumo sąlygomis.

Operacija – tai priemonių visuma, kurią vienija bendra idėja ir kuriomis siekiama tikslo. Operacija yra valdomas įvykis.

Bendru atveju operacijos tikslas išreiškiamas siekiu pasiekti maksimalią efektyvumo kriterijaus reikšmę. Esant neapibrėžtumui, tai nebėra griežtai matematinė problema, suteikianti unikalų sprendimą. Dabar jis turėtų būti suformuluotas taip:

Pagal pateiktus apribojimus B1. . . Вn rasti tokius valdiklius X1. . . Xm, kuris, atsižvelgiant į atsitiktines įtakas Q1. . . Qr, jei įmanoma, pateikite didžiausią naudingumo kriterijaus reikšmę K max(min). Dabar nėra tikrumo, kad sprendimas bus priimtas, o jei jis bus gautas, nėra garantijos, kad jis bus teisingas. Štai kodėl formuluojant problemą būtina padaryti išlygą „jei įmanoma“. Taigi, sprendžiant realiame gyvenime iškylančias problemas, matematinė teorija ir moksliškai pagrįsti metodai tikslaus sprendimo neduoda. To priežastis yra ta, kad kai nėra tikslių duomenų, tai yra, nėra visos informacijos, galima tik spėti ir spėlioti, bet negalima manyti, kad visos prognozės išsipildys. Ir vis dėlto sprendimas, priimtas matematiniais skaičiavimais, bus geresnis nei priimtas atsitiktinai. Užduotis yra užtikrinti, kad šiame sprendime būtų kuo daugiau pagrįstumo požymių, būtent šia prasme reikia suprasti apibrėžimą „kuo optimaliausias“. Matematinio modeliavimo sudėtingumas neapibrėžtumo sąlygomis priklauso nuo nežinomų veiksnių pobūdžio. Tuo remiantis, užduotys skirstomos į dvi klases.

1) Stochastinės problemos, kai nežinomi veiksniai yra atsitiktiniai dydžiai, kuriems žinomi tikimybių skirstinio dėsniai ir kitos statistinės charakteristikos.

2) Neaiškios užduotys, kai nežinomi veiksniai negali būti aprašyti statistiniais metodais.

Štai stochastinės problemos pavyzdys:

Nusprendėme suorganizuoti kavinę. Nežinome, kiek lankytojų į jį ateis per dieną. Taip pat nežinoma, kiek laiko bus aptarnaujamas kiekvienas lankytojas. Tačiau šių atsitiktinių dydžių charakteristikas galima gauti statistiškai. Efektyvumo rodiklis, priklausantis nuo atsitiktinių dydžių, taip pat bus atsitiktinis dydis.

Šiuo atveju efektyvumo rodikliu imame ne pačią atsitiktinę reikšmę, o jos vidutinę reikšmę ir pasirenkame sprendimą, kuriame ši vidutinė vertė virsta maksimalia arba minimumu.

Dvigubas vertinimas, ekonominis aiškinimas ir savybės

Panagrinėkime dvejopų sąmatų (optimalaus plano įverčių) ekonominę prasmę ekonominės ir matematinės geriausio išteklių (ypač gamybos įrenginių eksploatavimo laiko fondo) panaudojimo problemos pavyzdžiu, suformuluotu skirtingais optimalumo kriterijais. :

1. Maksimalus pelnas.

2. Minimalios išlaidos.

3. Maksimali išeiga tam tikru asortimento santykiu.

Panagrinėkime tiesioginių ir dvigubų problemų formulavimą iš eilės ir kiekvienu atveju panagrinėkime dvigubų įverčių ekonomines savybes.

1 USD Išteklių įvertinimai – ekonominis aiškinimas

Kanoninė forma leidžia ekonominiu būdu interpretuoti dviejų kintamųjų reikšmes. Optimumo taške dvigubi kintamieji (y) apibrėžiami kaip santykiniai tiesioginio tiesinio programavimo uždavinio papildomų kintamųjų įverčiai. a) Tarkime, kad papildomas kintamasis Xij, atitinkantis i-tąjį apribojimą, yra nebazinis optimaliame taške, o pats apribojimas turi tokią formą:

E Aij*Xj + Xs = Bi

Kadangi X už pagrindo ribų yra nulis, pradinis apribojimas

E Aij*Xj<= Bi можно рассматривать как равенство в точке оптимума, т. е. E Aij*Xj = Bi

Dabar pagal apibrėžimą santykinis šio nebazinio kintamojo įvertinimas yra suma, kuria tikslo funkcija gali padidėti, kai šis kintamasis padidinamas vienu. Kadangi sprendimas yra optimalus, tada santykinis įvertis yra teigiamas (ne neigiamas), todėl tikslo funkcija turėtų mažėti, jei papildomas kintamasis didėja, o didėti, jei papildomas kintamasis mažėja. Tarkime, kad, pavyzdžiui, apribojimo vektoriaus i-oji komponentė padidės vienu, taigi apribojimas įgaus formą

E Aij*Xj = Bi + 1

arba po permutacijos _

E Aij*Xj +(-1) = Bi

tai yra, papildomas kintamasis Xs turi turėti reikšmę, lygią -1, kad i-asis apribojimas liktų lygus ir santykinis balas suteiktų atitinkamą tikslo funkcijos prieaugį. Taigi i-ojo papildomo kintamojo santykinis įvertis suteikia tikslo funkcijos padidėjimo reikšmę, tenkančią apribojimo vektoriaus Bi elemento padidėjimo vienetui. Kadangi elementas Bi paprastai reiškia i-ojo ištekliaus tūrį, santykinis įvertis, lygus Yi, vadinamas resurso įverčiu (i-ojo ištekliaus vieneto įvertinimu), nes jis parodo santykinę papildomo resurso vieneto vertę. . Šie santykiniai įverčiai yra ribiniai įverčiai ta prasme, kad jie galioja tik tokiam išteklių pokyčių diapazonui Bi, kad dabartinė bazė išlieka optimali. c) Jei papildomas kintamasis yra pagrindinis kintamasis optimaliame taške, tada jo santykinis įvertis pagal apibrėžimą yra lygus nuliui. Tai taip pat prasminga, nes jei ištekliai nėra visiškai naudojami

E Aij*Xj< Bi то цена которую мы должны были бы заплатить за дополнительную единицу этого ресурса равна нулю. Это приводит к условию дополняющей нежесткости:

Optimaliame sprendime E Aij*Xj = Bi arba Yi = 0 (arba abu)

arba E Aij*Yi = Cj arba Xj = 0 (arba abu)

Atkreipkite dėmesį, kad Y kintamieji negalioja visose simplekso metodo iteracijose, kol pasiekiamas optimalus sprendimas.

RIBINĖS VERTYBĖS

Išteklių įvertinimai yra susiję su apribojimais, o ne su kintamaisiais.

Tačiau jie dažnai naudojami apskaičiuojant sąmatas arba išlaidas, susijusias su tiesioginių užduočių kintamaisiais. Apsvarstykite pavyzdį. Tegul koks nors kintamasis Xj uždavinyje, susijęs su kasdieniu naftos perdirbimu, atitinka žalios naftos, perkamos už 12,65 USD/barelį, kiekį (Cj = -12,65). iki 50 000 barelių per dieną.

Tai galima parašyti taip: Xj + Xs = 50

Kur Xs yra papildomas kintamasis. Tegul jo santykinė vertė yra lygi 1,04 dolerio už barelį optimaliame sprendime – ką tai reiškia? Žalios naftos išteklių sąmata yra 1,04 USD už barelį, tačiau tai nereiškia, kad už kiekvieną papildomą žalios naftos barelį turėjome mokėti tik 1,04 USD. Tai reiškia, kad turime būti pasiruošę sumokėti dar 1,04 USD už barelį už galimybę įsigyti papildomą šio aliejaus kiekį, su sąlyga, kad vėlesni pirkimai bus atliekami už 12,65 USD/bbl kainą: tai yra, tikslo funkcija padidės 1,04 dolerio. kiekviena papildoma statinė, kurią galime nusipirkti už Cj kainą, į kurią jau atsižvelgta atliekant tikslo funkciją. Tai reiškia, kad jie turėtų būti pasirengę pakelti kainą iki 12,65 USD + 1,04 = 13,69 USD už barelį už papildomą žalios naftos tiekimą.

Atkreipkite dėmesį, kad 13,69 USD už barelį yra pusiausvyros kaina, už kurią padidinsime savo tikslinę funkciją P, jei perkame pigiau nei ši: sumažinsime P, jei perkame už didesnę kainą: palikite P nepakeistą, jei perkame tiksliai už 13,69 USD. /barelis.

Jeigu apibrėžtume, kad RIBINĖ VERTĖ = PUSIAUSVYROS KAINA

TIKRINĖ KAINA, tada mūsų pavyzdyje RIBINĖ VERTĖ = 13,69 - 12,65 = 1,04 USD/barelis.

Ribinė kintamojo Xj vertė yra grynosios pajamos, kurias galima gauti už kiekvieną įsigytą Xj vienetą, viršijantį esamą

riba ir yra lygus resurso įvertinimui, tai yra dvigubam problemos sąlygos kintamajam, ribojančiam turimo resurso kiekį

Ribinis įvertis išlieka pastovus tik tam tikroje esamo optimalaus, atitinkančio ribas, kaimynystėje, viduje

kurios dabartinė bazė išlieka optimali tiek didėjant, tiek mažėjant išteklių kiekiui (pirkimų apimčiai). Santykinis vertinimas, atitinkantis nepagrindinį kintamąjį, lygų jo apatinei ribai, dažnai laikomas grynuoju to kintamojo poveikiu. Jei jie priima sprendimą (neoptimalų) padidinti nepagrindinį kintamąjį, lygų jo apatinei ribai, tada šis santykinis įvertinimas rodo P mažėjimą vienam kintamojo padidėjimo vienetui (iki tam tikrų ribų). Čia santykiniai įverčiai rodo poveikį (nuostolius) dėl nukrypimo nuo optimalaus sprendimo.

Kadangi vektoriaus Aj komponentai (kur j yra nebazinio kintamojo skaičius)

parodyti esamų pagrindinių kintamųjų verčių pokyčio dydį

tada jie dažnai vadinami (ribiniais) pakeitimo rodikliais, todėl Aij

Tai yra gamybos būdo i pakeitimo režimu norma

gamyba j.

STABILUMO DIAPAZONAI

Dažnai sakoma, kad postoptimali analizė yra svarbiausia linijinio programavimo dalis, ir nesunku suprasti, kodėl daroma tokia išvada. Dauguma LP problemos parametrų nėra tiksliai žinomi, o praktikoje paprastai imamos apytikslės reikšmės, kurios turėtų būti lygios šiems parametrams. Taigi mus domina tokie šių parametrų kitimo diapazonai, kuriuose optimalus sprendimas išlieka optimalus ta prasme, kad pagrindas nesikeičia. Išnagrinėkime tris parametrų klases:

tikslo funkcijos koeficientai Cj

apribojimo vektoriaus Bi komponentai

matricos Aij koeficientai

a) Nebazinis kintamasis

Nebazinio kintamojo tikslo funkcijos koeficiento keitimas turi įtakos tik to kintamojo santykiniam vertinimui. Tada tikslo funkcijos koeficientas pasikeis q

Cj = Cj + q, vadinasi, Dj = Dj - q

Pavyzdžiui, tegul matrica A apibrėžia gamybos procesą, o kintamasis Xj parodo kokio nors pagaminto produkto kiekį, kurį galima parduoti už Cj = 20 USD už vienetą. Optimaliame sprendime šis kintamasis yra ne pagrindinis (= 0) ir jo santykinis įvertinimas = 1,40 USD/vnt. Taigi, jei kaina pakils iki 21,40 USD už produkto vienetą, santykinis įvertinimas taps = 0 ir tolesnis kainų padidėjimas sukels neigiamą santykinį įvertinimą. Tai reiškia, kad dabartinis sprendimas nebėra optimalus. Šiuo atveju apsimoka gaminti prekę, pavaizduotą kintamuoju Xj. Todėl 21,40 USD/produkto vienetas yra Xj pusiausvyros kaina, esant bet kokiai žemesnei kainai, optimalus sprendimas būtų šio produkto iš viso negaminti ( Xj lieka nepagrindinis) ir už didesnę kainą naudinga Xj įvesti į pagrindą. Nepagrindinio kintamojo stabilumo diapazonas, kuriame Cj gali keistis taip, kad dabartinis sprendimas išliktų optimalus, pateikiamas išraiška _

Cj + q, kur -oo< q <= Dj

ir kur Dj yra santykinis kintamojo Xj įvertis, atitinkantis optimalų sprendimą. Atkreipkite dėmesį, kad bet kurio neigiamo q atveju santykinis šio kintamojo įvertinimas išliks teigiamas. Daugelis PPP LP taip pat pateikia informaciją apie kintamojo Xj diapazoną (nuo nulio iki tam tikros ribinės vertės), kuriame bazė nesikeičia. Jei q = Dj, tada santykinis įvertis = 0, o tai reiškia, kad Xj galima padidinti nekeičiant tikslo funkcijos reikšmės. Ribinė vertė, iki kurios galima padidinti Xj, nustatoma pagal formulę MIN (B/Aj)i Pavyzdžiui, tarkime, kad optimaliame sprendime pagrindinių kintamųjų vektorius, -1 -1, esamo apribojimo vektorius B=B * b ir vektorius Aj=B *aj pateikiami taip:

Xb = X1 B = 1,5 Aj = 0,3

Tada gauname MIN (Bi/Aij) = 1. 5/0. 3 = 5,0

Taigi galime daryti išvadą, kad už 21,40 dolerio už produkto vienetą ar didesnę kainą tampa pelninga gaminti produktą Xj, tai yra produktą, kurį atitinka kintamasis Xj; kiekvienam pagaminto produkto Xj vienetui kintamieji X5 X1 X6 atitinkamai sumažėja 0. 6 0. 3 -1. 2 vienetai. Jei pagaminsime 5,0 vienetų produkto Xj, kintamasis X1 taps nuliu, o tolesniam Xj padidinimui reikės pakeisti bazę. Atkreipkite dėmesį, kad visą informaciją gavome dar kartą neišsprendę problemos, norint tęsti analizę, tereikia atlikti pašalinimo operaciją, atitinkančią pagrindo pasikeitimą.

b) Bazinis kintamasis

Pagrindinio kintamojo tikslo funkcijos koeficiento pokytis turi įtakos nebazinių kintamųjų santykiniams įverčiams Apsvarstykite i-ojo pagrindinio kintamojo tikslo funkcijos koeficiento padidėjimą. Šiuo atveju tikslo funkcijos koeficiento vektorius keisis taip

Cb = Cb + q*Ei, kur Ei yra specialios formos vektorius, kurio i-oji dedamoji = 1, o likusioji lygi nuliui. pavyzdžiui

Santykinis j-ojo nebazinio kintamojo įvertis dabar bus lygus

Kad sprendimas išliktų optimalus, sąlyga

Dj => 0, ty Dj^ + q*Aij => 0, kur Dj^ yra santykinis įvertinimas, atitinkantis esamą optimalų sprendimą.

Pagrindiniam kintamajam stabilumo diapazonas, kuriame Ci gali keistis, paliekant optimalų dabartinį sprendimą, yra pateikiamas išraiška Ci + q, kur

MAX (Dj^/-Aij)<= q <= MIN {Dj^/-Aij}

i/Aij>0 i/Aij<0

Jei nėra koeficientų Aij< 0 то q < +oo и аналогично если нет Aij >0, tada q > -oo

Pavyzdžiui, leiskite optimalų sprendimą pateikti taip:

Padidinti P= 31,5 -3. 5X4-0. 1X3-0. 25x5

Jei kintamojo X2 tikslo funkcijos koeficientas tampa lygus C2 + q, tai nebazinių kintamųjų santykiniai įverčiai pasikeis taip:

D4 = 3,5 + q* (-0,5)

D3 = 0,1 + q* (-1,0)

D5 = 0,25 + q* (+1,0)

Atkreipkite dėmesį, kad kiekiai Aij turi priešingus ženklus, nei pateikti aukščiau.

q reikšmių diapazonas apskaičiuojamas pagal formulę:

(0. 25/-1. 0) <= q <= MIN (3. 5/0. 5 , 0. 1/1)

0. 25 <= q <= 0. 1

Jei q įgyja reikšmę, lygią vienai iš dviejų ribų, tai kai kurių nebazinio kintamojo santykinė vertė tampa lygi nuliui Ribinė vertė, iki kurios galima padidinti tokį kintamąjį, apskaičiuojama kaip ir ankstesniame pavyzdyje su nepagrindiniais kintamaisiais

Taigi mūsų pavyzdyje, kai q = 0,1, santykinė kintamojo X3 reikšmė lygi nuliui, taigi, jei kintamojo X2 tikslo funkcijos koeficientas padidės 0,1 ar daugiau, bus apsimoka gaminti X3 ir galėsime gaminti MIN (3,2/0,5, 5 ,6/0,5) = 6,4 X3 vieneto, kai X1 išnyksta ir reikia pakeisti pagrindą.

1. Tiek pagrindinių, tiek nepagrindinių kintamųjų tikslo funkcijos q koeficientų pokyčių diapazonas, kuriame esamas optimalus sprendimas išlieka optimalus. Nepagrindiniams kintamiesiems yra tik viršutinė q pokyčio diapazono riba; pagrindinių kintamųjų atveju paprastai yra ir apatinė, ir viršutinė riba.

Jei tikslo funkcijos koeficiento reikšmė yra už šio diapazono ribų, dabartinis optimalus sprendimas tampa neoptimalus, nes atsiras ne pagrindinis kintamasis su neigiamu santykiniu įverčiu.

2. Pakeitus pagrindinio kintamojo tikslo funkcijos koeficientą, pasikeičia tikslo funkcijos reikšmė.

3. Tikslinės funkcijos koeficientų keitimo efektą galima vertinti iš dviejų pozicijų: pardavimų požiūriu mus domina pusiausvyros kainos; Gamybos požiūriu mus domina tikslo funkcijos koeficientų kitimo diapazonas, kurio ribose esamas planas (atstovaujamas dabartiniu pagrindu) išlieka optimalus.

Apribojimų vektorių komponentų keitimas

Apsvarstykite Bi = Bi + q kaitos 1 poveikį<= i <= m Обычно принято рассматривать случай, когда компонента Bi является правой частью ограничения-неравенства в которое введена дополнительная переменная. Мы хотим определить такой диапазон изменения Bi в котором текущее решение остается оптимальным. В случае ограничения-равенства мы могли бы рассматривать соответствующую искусственную переменную как неотрицательную дополнительную (которая должна быть небазисной в допустимом решении)

a) Pagrindinis papildomas kintamasis

Jei papildomas i-ojo apribojimo kintamasis yra pagrindinis, tai šis apribojimas nėra aktyvus optimaliame taške. Analizė paprasta: papildomo bazinio kintamojo reikšmė suteikia pokyčių diapazoną, kuriame atitinkamas Bi komponentas mažėja (padidėja esant => tipo apribojimui).

Sprendimas išlieka įmanomas ir optimalus intervale Bi + q, kur

Xs<= q <= +oo для ограничений типа <=

Oi<= q <= Xs для ограничений типа =>

Čia Xs yra atitinkamo papildomo kintamojo reikšmė. Pavyzdžiui, apsvarstykite nelygybės apribojimą:

3X1 + 4X2 + 7X3<= 100

Įvesdami papildomą kintamąjį, jį priartiname prie lygybės

3X1 + 4X2 + 7X3 + X4 = 100

Jei optimaliame sprendime X4 = 26, tai likę kintamieji tenkina nelygybę:

3X1 + 4X2 + 7X3<= 74

taip pat bet kokia tos pačios rūšies nelygybė, kurios dešiniosios pusės reikšmė yra didesnė nei 74.

b) Nepagrindinis papildomas kintamasis

Jei papildomas kintamasis yra ne bakhiziškas ir lygus nuliui, tada pradinis nelygybės apribojimas yra aktyvus optimaliame taške. Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad kadangi šis apribojimas yra aktyvus, nėra galimybės pakeisti tokio apribojimo dešinės pusės vertės, ypač galimybės sumažinti Bi reikšmę (tokio tipo apribojimams<=). Оказывается что изменяя вектор В мы меняем также вектор Xb и так как существует диапазон изменений в котором Xb неотрицателен, то решение остается еще и оптимальным в том смысле, что базис не меняется. (Заметим что при этом изменяется значение как Xb так и Р).

Apsvarstykite apribojimą: Ak1X1+Ak2X2 +. . . +Xs = Bk, kur Xs yra papildomas kintamasis. Dabar tegul dešinioji pusė tampa lygi Bk + q, tada lygtį galima perrašyti taip: 1. 1) Ak1X1+Ak2X2 +. . . +(Xs-q) = Bk

Taigi (Xs - q) pakeičia Xs Todėl, jei optimaliame sprendime kintamasis Xs yra nebazinis ir lygus nuliui, tai gauname Xb = B - As*(-q), kur As yra galutinis lentelės stulpelis, atitinkantis Xs. Kadangi Xs turi likti neneigiamas, gauname ryšį: B - As*(-q) => 0, kuris nustato q diapazoną:

MAX (Bi / Ais)<= q <= MIN {Bi/-Ais}

i/Ais>0 i/Ais<0

Jei nėra Ais > 0, tada q > -oo,

o jei nėra Ais< 0 то q < +oo

Tipo apribojimams => q pakeičia ženklą, nes vietoj nelygybės E AijXj => Bi galime apsvarstyti

E AijXj<= -Bi

Todėl 1. 1 lygtyje vietoje + (Xs-q) turime rašyti - (Xs + q).

Dar kartą apsvarstykite pavyzdį:

Padidinti P= 31,5 -3. 5X4-0. 1X3-0. 25X

Esant sąlygoms X1 = 3. 2 -1. 0X4-0. 5X3-0. 60x5

X2 = 1,5 +0. 5x4 +1. 0X3 -1. 00X5

X6 = 5,6 -2. 0X4-0. 5X3-1. 00X5

Tegul X4 yra papildomas tam tikro apribojimo i (tipo<=). Если компонену Bi изменить на величину q, мы получим:

X1 = 3,2–1,0*(-q)

X2 = 1,5 + 0,5*(-q)

X6 = 5,6–2,0*(-q)

y. B = 1. 5 As = -0. 5

X1 => 0 ties 3. 2 - 1. 0*(-q) => 0, t.y. q => 3. 2/-1. 0,

X2 => 0, jei 1. 5 + 0. 5*(-q) => 0, tada yra q<= 1. 5/0. 5,

X6 => 0, kai 5,6 – 2,0*(-q) => 0, t.y. q => 5,6/-2. 0

Taigi q gali skirtis diapazone:

MAX (3,2/-1,0; 5,6/-2,0)<= q <= 1. 5/0. 5, то есть -2. 8 <= q <= 3. 0

DEGENERITY

1. Tiesioginės problemos išsigimimas

Degeneruotas tiesioginės problemos sprendimas pasižymi tuo, kad jo bazinė dedamoji lygi nuliui. Tiesioginės problemos išsigimimas dažnai gali pasireikšti per tarpinius (neoptimalius) išsigimusius pagrindinius sprendimus. Pavyzdžiui, tikslo funkcija nepagerės įvedus kintamąjį į pagrindą, kuriam atitinkama vektoriaus a Aq komponentė yra teigiama.

Galimas atvejis, kai tiesioginė LP problema turi išsigimęs tarpinis, bet neišsigimęs optimalus sprendimas. Jei optimalus pirminės problemos sprendimas yra išsigimęs, tai dviguba problema turi be galo daug optimalių sprendimų.

2. Dvigubos problemos išsigimimas

Susiduriame su dvigubos problemos išsigimimu, kai santykinis įvertis, atitinkantis nepagrindinį kintamąjį, yra lygus nuliui.

Tai reiškia, kad nebazinis kintamasis gali padidėti nekeičiant tikslo funkcijos vertės. Jei toks nulinis santykinis įvertis atitinka optimalų sprendimą, tai yra optimalių sprendinių rinkinys, nes P nesikeičia). Atkreipkite dėmesį, kad gavome išsigimusią dvigubos problemos sprendimą, atitinkantį tikslo funkcijos koeficiento stabilumo diapazono ribą, taip pat degeneruotą tiesioginės problemos sprendimą, atitinkantį apribojimo vektoriaus stabilumo diapazono ribą. komponentas.

Kaip vertingos informacijos, gautos atlikus optimalią analizę, šaltinio pavyzdį, apsvarstykite šią gamybos problemą. Rūdos perdirbimo įmonė gamina dviejų rūšių rafinuotus produktus, kurie parduodami plieno pramonei. Įmonės darbo schema yra tokia.

Apdorojamos dvi rūdos rūšys: A ir B. Į gamyklą per dieną galima tiekti iki 100 tūkst. tonų A tipo rūdos už 3,25 USD/t ir 30 tūkst. 3,40 USD/t Bendras pagrindinio perdirbimo proceso pajėgumas yra 100 tūkstančių tonų rūdos per dieną, o perdirbimo kaina yra 0,35 USD už toną.

Pagrindinis perdirbimo procesas leidžia iš kiekvienos tonos A tipo rūdos gauti 0,15 tonos 1 produkto ir 0,85 tonos 2 produkto, o iš kiekvienos tonos B tipo rūdos - 0,25 tonos 1 produkto ir 0,75 tonos 2 produkto.

1 produktas yra vertingesnis, o keitikliu vadinamas įrenginys iš kiekvienos 2 gaminio tonos gali gauti 0,5 tonos 1 produkto ir 0,5 tonos gaminio, kurį galima parduoti kaip 2 produktą, bet kurio konverteris negali perdirbti. Konverterio našumas – 50 tūkst. tonų žaliavų per dieną, konverterio perdirbimo kaina 0,25 USD/t žaliavos. Įgyvendinimo sąlygos yra tokios. Prekė 2 gali būti parduodama neribotais kiekiais už 3,8 USD/t, 1 prekė parduodama už 5,5 USD/t ir tokia kaina gali būti parduodama iki 45 tūkst. t/d. Esama sutartimi reikalaujama mažiau nei 40 kt per dieną 1 produkto. 1 produkto atsargos gali padidėti 4 kt per dieną ir šios atsargos vertinamos 5,20 USD už t. 1 produkto perteklių galima parduoti neribotais kiekiais su nuolaida 5,00 USD/t. Abu gaminius prireikus galima įsigyti papildomai: 1 prekės pirkimo kaina 5,75 USD/t; 2 produkto pirkimo kaina yra 4,0 USD/t.

Norėdami sukurti modelį, pateikiame šią kintamųjų žymėjimą:

X1 – A tipo perdirbtos rūdos kiekis

X2 – apdorotos B tipo rūdos kiekis

X3 - įsigytos prekės kiekis 1

X4 - įsigytos prekės kiekis 2

X5 – keitiklyje apdoroto 2 produkto kiekis

X6 - 1 prekės kiekis sandėlyje

X7 - 1 prekės kiekis, parduodamas sumažinta kaina

X8 yra papildomas kintamasis, ribojantis naudojamus B tipo rūdos išteklius (<=30)

X9 yra papildomas sąlygos kintamasis, kuris iš viršaus riboja 1 produkto kiekį, kurį galima parduoti už įprastą kainą (<=45)

X10 yra papildomas sąlygos kintamasis, kuris apriboja 1 produkto kiekį, kurį galima parduoti už įprastą kainą (<=40)

X11 - papildomas sąlygos kintamasis, kuris riboja 1 produkto atsargų kiekį iš viršaus (<=4)

X12 yra papildomas sąlygos kintamasis, kuris riboja pagrindinio apdorojimo proceso galią iš viršaus (<=100)

X13 - papildomas sąlygos kintamasis, kuris riboja keitiklio galią iš viršaus (<=50)

X14 - 2 produkto perteklius, kuris tiesiogiai parduodamas be keitiklio apdorojimo

Apribojimai

0,15X1 + 0,25X2 + X3 + 0,5X5 - X6 - X7 + X9 = 45 [1]

0,15X1 + 0,25X2 + X3 + 0,5X5 + X6 - X7 - X10 = 40 [2]

X2 + X8 = 30 [ 3 ]

X6 + X11 = 4 [ 4 ]

X1 + X2 + X12 = 100 [ 5 ]

X5 + X13 = 50 [ 6 ]

0,85X1 – 0,75X2 – X4 + X5 + X4 = 0 [7]

objektyvi funkcija

5,50*(0,15X1 + 0,25X2 + 0,5X5) + 3,80*(0,85X1 + 0,75X2 - 0,5X5)

0,35*(X1 + X2) – 3,25X1 – 3,40X2 – 0,25X5 – 0,1*(0,15X1 +

0,25X2) – 0,25X3 – 0,20X4 – 0,30X6 – 0,5X7 – MAX

0.825X1 + 1.375X2 + 2.750X5 + 3.230X1 + 2.85X2 - 1.9X5 - 0.35X1

0,35X2 – 3,25X1 – 3,40X2 – 0,25X5 – 0,015X1 – 0,025X2 – 0,25X3

0,20X4 – 0,30X6 – 0,5X7 –> MAKS

0,44 x 1 + 0,45 x 2 + 0,6 x 5 - 0,25 x 3 - 0,2 x 4 - 0,3 x 6 - 0,5 x 7 -> MAX

Išteklių įvertinimai

Pagrindinio perdirbimo proceso pajėgumo apribojimo įvertis yra 0,44 USD/t (santykinis įvertis, atitinkantis kintamąjį X12, yra 0,44). Šis įvertis galioja pagrindinio proceso galios kitimo diapazone, apibrėžtame išraiška 100 + q, kur MAX ( 3/-0. 15; 70/-1; 32/-0. 85 )<= q <= MIN { 2/0. 15 } отсюда -20 <= q <= 13. 33

Taigi einamąsias pajamas galima padidinti 0,44 USD už kiekvieną pagrindinio perdirbimo pajėgumo padidinimo toną, jei padidinsime šį pajėgumą tik iki 113,33 tūkst. tonų per dieną.

Keitiklio galios apribojimo įvertis yra 0,6 USD/t (santykinis įvertis, atitinkantis kintamąjį X13 yra 0,6) Šis įvertis galioja pokyčio diapazone 50 + q, kur MAX ( 3/-0,5; 50 /-1)<= q <= MIN { 2/0. 5 } отсюда -6 <= q <= 4

Taigi dabartinės pajamos gali būti padidintos 0,6 USD už kiekvieną keitiklio pajėgumo padidinimo toną, jei padidinsime šį pajėgumą tik iki 54 tūkst. tonų per dieną.

Ribinis įvertinimas

Rūdos B ribinė vertė yra 0,01 USD/t ir galioja intervale 30 + q, kur MAX ( 3/-0. 1; 30/-1 )<= q <= MIN { 2/0. 1; 70/1; 32/0. 1 } отсюда -30 <= q <= 20

Jei lq = -30, tai X2 = 0, tai yra, B tipo rūda nebus perkama. Jei q = 20, tai X2=50, tai yra, per dieną galite nusipirkti iki 50 tūkstančių tonų rūdos B.

Galime daryti išvadą, kad gausime 0,01 USD grynųjų pajamų už kiekvieną toną B tipo rūdos, įsigytos daugiau nei 30 tūkst. kuriam esant pasikeičia ribinis įvertis pasikeitus pagrindui. Panašiai prarasime 0,01 USD už kiekvieną trūkstamą toną B tipo rūdos, jei perkame mažiau nei 30 000 tonų per dieną. Galime samprotauti kitaip, būtent, galėtume derėtis dėl papildomų B tipo rūdos pirkimų, viršijančių 30 tonų per dieną (bet ne daugiau kaip 20 tūkst. tonų per dieną) už kainą iki

3,40 + 0,01 = 3,41 USD/t.

Tikslinės funkcijos koeficientų pokyčiai

1. (Nepagrindiniai kintamieji)

X4: santykinis balas = 0,2

Jei 2 produktą galima nusipirkti už 4,00 - 0,2 = . 80 USD/t ar mažiau, tuomet tai daryti apsimoka ir galime įsigyti neribotą kiekį šios prekės.

X6: santykinis balas = 0,3

Jei sandėlyje laikomos prekės 1 kaina išauga iki 5,20 + 0,30 = 5,50 USD/t ar daugiau, tuomet atsargą laikyti apsimoka, didinant iki MIN (3/1, 4/1) = 3 tūkst. t/ dieną (prieš pasikeitus pagrindui).

X7: santykinis balas = 0,5

Jei sumažinta 1 produkto kaina pakyla iki 5,00 USD + 0,5 = 5,50 USD/t ar daugiau, tokioje rinkoje parduoti apsimoka, o iki bazės pasikeitimo kasdien galima parduoti iki 3000 tonų.

X3: santykinis balas = 0,25

Jei prekę 1 galima nusipirkti už 5,75 - 0,25 = 5,50 USD/t arba mažiau, tai daryti yra pelninga, o iki 2000 tonų per dieną galima įsigyti iki bazinių pokyčių.

2. (Pagrindiniai kintamieji)

X2: tikslo funkcijos koeficientas = -3. 40

Tikslinės funkcijos koeficientas gali svyruoti diapazone C2 + q, kur 0. 01/-1<= q <= оо

Jei B tipo rūdos kaina tampa lygi 3,41 USD/t ar daugiau (C2 = -3,40 - 0,01), tuomet pravartu padidinti X8, t.y. sumažinti perkamą B tipo rūdos kiekį; X8 pokyčio diapazonas pateikiamas santykiais MAX (2/-0,1; 70/-1; 32/-0,1)<= X8 <= MIN {3/0. 1; 30/1}

Dažniausiai mus domina tik teigiamos ribos. Mūsų pavyzdyje X8 gali pasikeisti iki 30 kt/d, kol reikia pakeisti pagrindą (X2 grįžta į nulį). Ištyrus gautus rezultatus matyti, kad limitų skaičiavimas atliekamas panašiai kaip ir anksčiau atliktas ribinių įverčių skaičiavimas.

Tai suteikia galimybę apskaičiuoti ribinius kintamųjų, kurie nėra lygūs jų viršutinei ribinei vertei, įverčius (kaip matysime A(X1) tipo rūdos atveju).

X1: tikslo funkcijos koeficientas = - 3,25

Tikslinės funkcijos koeficientas gali svyruoti diapazone C1 + q, kur - 0. 44<= q <= 0. 01

Jei A tipo rūdos kaina sumažėja iki 3,24 USD/t ar net mažiau (C1 = -3,25 + 0,01), tada tampa pelninga padidinti X8 (t. y. pakeisti B tipo rūdą A tipo rūda) iki X8 = 30, o tai atitinka X1 = 100, X2 = 0. Taigi ribinis A tipo rūdos įvertinimas 50-70 tūkst. tonų per dieną diapazone yra 0,44 dol./t.

Atkreipkite dėmesį, kad ribinio įverčio šuolis, atitinkantis pagrindinį kintamąjį, įvyksta esant tokiai vertei, kurią šis kintamasis i įgauna optimaliame sprendime (mūsų pavyzdyje X1 = 70). Ribiniai įverčiai interpretuojami šiek tiek kitaip nei kainų pokyčiai, kurių reikia norint pakeisti veiklos planą. Jei A tipo rūdą galima įsigyti pigiau 0,01 USD/t, tai B tipo rūdos pakeitimas tokia rūda nepakeis tikslo funkcijos; jei A tipo rūdos kaina padidės 0,44 USD/t, tai jos supirkimo sumažėjimas ne daugiau kaip 20 tūkst. t/d., taip pat nepakeis tikslo funkcijos vertės.

Apribojimų vektorių komponentų pakeitimai

1. (Pagrindinis papildomas kintamasis)

Pokyčio dydį galima apskaičiuoti tiesiogiai:

X9 = 2 ir X10 = 3 rodo, kad 1 prekės kiekis, kurį galima parduoti už įprastą kainą, yra 43 (mažesnis už viršutinę ribą 2 ir daugiau nei apatinė riba 3).

X11 reikšmė rodo, kad 1 produkto viršutinė atsargų riba gali būti sumažinta 4.

2. (Nepagrindinis papildomas kintamasis)

Apribojimų vektoriaus komponentų kitimo diapazonai jau buvo aptarti aukščiau, aptariant išteklių įverčius, ribinius įverčius ir tikslo funkcijų vektorių koeficientų pokyčius. Tačiau mums gali tekti atskirai išnagrinėti turimų išteklių pasikeitimo poveikį, nepriklausomai nuo kainų pasikeitimo. Todėl trumpai apibendriname tik apribojimo vektoriaus komponentų pakeitimo rezultatus ir nurodome diapazonus, kuriuose esamas sprendimas išlieka optimalus.

X12: pagrindinio apdorojimo galią galima keisti MAX diapazone (3/-0,15; 70/-1; 32/-0,85)<= q <= MIN{2/0. 15} т. е. -20 <= q <= 13. 33

X8: B tipo rūdos ištekliai gali būti 30 + q, kur MAX yra (3/-0,1; 30/-1)<= q <= MIN {2/0. 1; 70/1; 32/0. 1} т. е. -30 <= q <= 20

X13: Keitiklio galią galima keisti diapazone 50 + q, kur MAX (3/-0. 5; 50/-1)<= q <= MIN {2/0. 5} т. е. -6 <= q <= 4

Optimalumas išsaugomas ta prasme, kad pagrindas nesikeičia, nors keičiasi kintamųjų ir tikslo funkcijos reikšmės, bet lieka galioti.

Užduotis seminarui

Įmonė gali perdirbti dviejų rūšių rūdą: A tipo rūdos gali būti tiekiama 50 tūkst. kaina 2,50 USD/t.

Abiejų tipų rūda praeina per pagrindinį perdirbimo įrenginį. Gamykloje yra dar trys agregatai, kurių eksploatavimo kaštai ir pajėgumų ribos pateiktos šioje lentelėje:

Vienetai Eksploatacinio pajėgumo ribos Sąnaudos ($/t) tūkst. tonų/dieną

Pagrindinis apdorojimo blokas 0. 20 100

Praturtinimas 0. 15 25

Šlifavimas 0. 10 40

Valymas 0. 15 40

Pardavimų duomenys:

Produkto pajamos ($/t) Sunaudojimas (MAX)

1 6. 00 Neribota

2 5,00 60 tūkst.t/para

3 4. 00 Neribota

Produktų išeiga (t/t žaliavos)

Pagrindinis apdorojimo procesas

Rūda A Rūda B proc1 proc2 gr1

proc1 0,15 0,12 tret1 0,15 0,20 0,18

proc2 0,10 0,10 tret2 0,35 0,38 0,40

proc3 0,20 0,15 tret3 0,50 0,42 0,42

proc4 0,23 0,25

proc5 0,32 0,33

Šlifavimas Valymas

proc4 proc5 proc3 gr2

gr1 0,15 0,10 gr2 0,20 0,20 ref2 0,55 0,70

Kiekvienas stulpelis atitinka gaunamų žaliavų srautą, todėl iš šių duomenų nesunku sudaryti srautų blokinę schemą.

Produkto kokybės charakteristika:

1 ir 3 produktai neturi kokybės apribojimų.

1 produktą sudaro tret1 ir ref1.

3 produktą sudaro tret3, ref2 ir gr4.

2 produktas: metalo oksido % => 55

2 produkto žaliavų mišiniai:

tret2 tret3 ref1 ref2 gr3 gr4

% metalų oksidų 65 60 53 50 45 40

Mes norime maksimaliai padidinti grynąsias pajamas per dieną!

MATEMATINIS MODELIS

x1 + x21 = 50 . . . . ruda1

x2 + x22 = 75 . . . . ruda2

x1 + x2 + x23 = 100 . . . . blokuoti osn

0,15x1 + 0,12x2 = x3 . . . . pr1

0,10 x 1 + 0,10 x 2 = x4 . . . . pr2

0,20 x 1 + 0,15 x 2 = x5 . . . . pr3

0,23 x 1 + 0,25 x 2 = x6 . . . . pr4

0,32 x 1 + 0,33 x 2 = x7 . . . . pr5

0,15 x 6 + 0,10 x 7 = x 9 . . . . gr1

0,20 x 6 + 0,20 x 7 = x10 . . . . gr2

0,25 x 6 + 0,35 x 7 = x11 . . . . gr3

0,40 x 6 + 0,35 x 7 = 12 . . . . gr4

0,15 x 3 + 0,20 x 4 + 0,18 x 9 = 13 . . . . tr1

0,35 x 3 + 0,38 x 4 + 0,40 x 9 = 14 . . . . tr2

0,50 x 3 + 0,42 x 4 + 0,42 x 9 = x15 . . . . tr3

0,45 x 5 + 0,30 x 10 = 16 . . . . ref1

0,55 x 5 + 0,70 x 10 = 17 . . . . ref2

0,5 x 13 + 0,5 x 16 = 18 . . . . Q1

0,3x15 + 0,3x17 + 0,4x12 = x19 . . . . Q3

65x14 + 60x15 + 53x16 + 50x17 + 45x11 + 40x12 = 55x20

PC PRIETAISAS

Asmeninis kompiuteris – tai stalinis kompiuteris, sutvarkytas taip, kad norint juo dirbti nebūtina būti kompiuterinių technologijų ir programavimo specialistu, užtenka turėti tik patį bendriausią kompiuterio idėją. . Plačiausiai naudojami kompiuteriai pasaulyje yra IBM – IBM PC.

Įprastą IBM PC sistemą sudaro sistemos blokas, kuriame yra pagrindinė kompiuterio elektronika ir diskai, klaviatūra, ekranas ir spausdintuvas. Sistemos bloko išmatavimai apie 15*40*50cm ir sveria apie 13 kg.

Sisteminio bloko viduje yra pagrindiniai komponentai, kurie atlieka kompiuterio funkcijas: maitinimo blokas, pagrindinė plokštė (centrinis procesorius) su atminties lustais ir lizdai papildomiems įrenginiams prijungti.

IBM PC sistemos bloką sudaro šie pagrindiniai komponentai:

1. Centrinis procesorius, kuris yra mikroschema, ir

įskaitant:

A) Valdymo įtaisas, interpretuojantis kompiuterio komandas ir inicijuojantis signalus, dėl kurių kompiuterio grandinės atlieka tam tikrus veiksmus;

B) Aritmetinis loginis vienetas, kuris atlieka visus skaičiavimus. Centrinis procesorius nustato kompiuterio greitį. IBM PC/AT modelyje naudojamas Intel-80286 mikroprocesorius ir Intel-80287 matematinis koprocesorius, kurie užtikrina pakankamai didelį našumą ir greitį.

2. Atminties blokas, naudojamas programoms, duomenims ir rezultatams saugoti. Šis blokas apima dviejų tipų atmintį:

A) laisvosios kreipties atmintis (RAM) – RAM, kurioje yra kompiuterio vykdomos programos ir programų naudojami duomenys. RAM talpa paprastai yra 640 KB (informacijos baitinis vienetas). RAM galima skaityti iš ir į ją įrašyti. Kai išjungsite, RAM atmintyje saugoma energija bus prarasta, jei ji anksčiau nebuvo išsaugota diske.

B) Tik skaitymo atmintis (ROM) – pagrindinė atmintis gali nuskaityti tik informaciją iš jos. Programos įrašomos į ROM, kai kompiuteris gaminamas ir lieka ten net išjungus maitinimą. ROM saugoma dalis DOS operacinės sistemos, kuri teikia kompiuterio testavimą, operacinės sistemos paleidimą ir pagrindines žemo lygio I/O paslaugas.

3. Valdikliai – elektros grandinės, valdančios įvairių į kompiuterį įtrauktų įrenginių (pavarų, monitorių ir kt.) darbą.

4. Įvesties-išvesties prievadai, per kuriuos procesorius bendrauja su išoriniais įrenginiais. Yra specializuoti prievadai, per kuriuos keičiamasi duomenimis su vidiniais kompiuterio įrenginiais, ir bendrosios paskirties prievadai, prie kurių galima prijungti įvairius papildomus išorinius įrenginius (spausdintuvą, pelę ir kt.).

Yra dviejų tipų bendrosios paskirties prievadai: lygiagretieji (žymimi LPT1, LPT2...) ir asinchroniniai nuoseklieji (žymimi COM1, COM2...). Lygiagretieji prievadai atlieka įvestį ir išvestį greičiau nei nuoseklieji prievadai, tačiau norint susisiekti, reikia daugiau laidų.

5. Diskelių įrenginiai – diskeliai, naudojami diskeliams skaityti ir rašyti. Labiausiai paplitę diskelių dydžiai yra 5,25 colio (133 mm) Šiuo metu dažniausiai naudojami diskeliai yra 360 KB ir 1,2 MB. 1,2 MB talpos diskelių skaitymui ir rašymui suprojektuoti specialūs diskų įrenginiai, kurie montuojami IBM PC / AT modelių kompiuteriuose. Šie diskai taip pat gali nuskaityti 360 KB diktetus. Dažnai naudojami 3,5 colio (89 mm) diskelių įrenginiai, kurių talpa yra 0,7 ir 1,4 MB.

Diskeliai yra tikslūs įrenginiai, todėl juos reikia tvarkyti labai atsargiai. Kad nebūtų pažeista diskeliuose įrašyta informacija, juos reikia laikyti atokiau nuo televizorių magnetinių laukų šaltinių, elektros variklio. e. Diskelių negalima lenkti arba liesti rankomis prie atvirų magnetinės dangos vietų. Dauguma diskelių yra apsaugoti nuo netyčinio juose esančios informacijos sugadinimo. Pavyzdžiui, 5,25 colio diskelių šoniniame krašte yra rašymo leidimo anga, leidžianti rašyti į diskelį, kai įdedate jį į diskų įrenginį. Norint apsaugoti tokį diskelį, pakanka uždaryti išpjovą nepermatomu lipduku. Tokiu atveju pakartotinis įrašymas turi būti suformatuotas specialiu būdu.

6. Kietasis diskas – kietasis diskas, skirtas nuolatiniam informacijos saugojimui, naudojamai dirbant kompiuteriu: operacinės sistemos programomis, dažnai naudojama programine įranga, dokumentų redaktoriais, vertėjais iš programavimo kalbų ir kt. tt Kietojo disko buvimas žymiai padidina darbo su kompiuteriu patogumą. Palyginti su diskeliais, prieigos prie informacijos standžiajame diske laikas yra daug trumpesnis. IBM PC/AT modeliuose kietasis diskas dažniausiai yra 40 MB.

IBM PC klaviatūra - išmatavimai 6 * 20 * 51 cm, įrenginys skirtas - - informacijai įvesti į kompiuterį. Plačiausiai naudojama klaviatūra turi 102 klavišus (kai kurie klavišai yra dubliuojami, kad būtų lengviau naudoti), kurie gali sugeneruoti visus 128 simbolius ASCII kodais (American Standard Code for Information Interchange), taip pat specialiuosius ir grafinius simbolius. Lotyniškų raidžių išdėstymas IBM PC klaviatūroje dažniausiai yra toks pat kaip angliškose rašomosiose mašinėlėse, o kirilicos raidžių – kaip rusiškose rašomosiose mašinėlėse.

Dešinėje klaviatūros pusėje yra skaičių klavišai, kai kurie iš jų taip pat naudojami žymeklio valdymui – (rodyklių klavišai, Home, End, Page Up, Page Down klavišai). Vartotojo patogumui kai kurie iš šių raktų yra dubliuojami.

Viršutinėje eilutėje yra 12 programuojamų funkcijų klavišų. Šių klavišų funkcijas užprogramuoja programinės įrangos kūrėjas. Paprastai jų veiksmai nurodomi ekrano apačioje.

Klaviatūra turi keletą specialių klavišų: Enter, Control, Altenate, Tab, Insert, Delete ir kt. Kai kuriuos iš šių klavišų galima paspausti vienu metu, norint atlikti specialias funkcijas. Pavyzdžiui, paspausdami klavišus CTRL, ALT ir DEL, galite perkrauti sistemą (vadinamasis „šiltas DOS perkrovimas“). Paspaudus bet kurį klavišą per pusę sekundės simbolis bus automatiškai kartojamas. Skirtingai nuo kitų kompiuterių klaviatūrų, IBM PC klaviatūroje yra elektroninės grandinės, kurios išplečia klavišų galimybes ir leidžia juos apibrėžti iš naujo.

Ekranas ir spausdintuvas – šie įrenginiai padaro kompiuterį išbaigta sistema.

Ekranai (monitoriai) būna spalvoti ir vienspalviai. Jie gali veikti vienu iš dviejų režimų: teksto arba grafikos. Teksto režimu monitoriaus ekranas sąlyginai suskirstytas į atskiras dalis – pažintis, dažniausiai į 25 eilutes po 80 simbolių.

Kiekvienoje pažintyje gali būti rodomas vienas iš simbolių. Grafikos režimas skirtas vaizdams, diagramoms ir pan. rodyti. tt Šiuo režimu taip pat galite rodyti tekstinę informaciją, o raidės ir skaičiai gali būti bet kokio dydžio. Grafikos režimu monitoriaus ekranas susideda iš taškų. Horizontalių ir vertikalių taškų skaičius šiame režime vadinamas monitoriaus raiška. Pavyzdžiui, 640*350 raiška reiškia, kad šiuo režimu monitorius rodo 640 taškų horizontaliai ir 350 vertikaliai. Plačiausiai naudojami IBM PC kompiuteriai gavo spalvotus monitorius EGA ir VGA. Teksto režimu jie veikia maždaug taip pat, tačiau grafiniame režime VGA suteikia didesnę raišką, tai yra, ekrane atvaizduoja daugiau taškų, o tai pagerina vaizdo kokybę ir sumažina akių nuovargį.

Spausdintuvas skirtas spausdinti informaciją ant popieriaus. Visi spausdintuvai gali išvesti tekstinę informaciją, o daugelis taip pat gali išvesti grafiką ir grafiką. Daugelis spausdintuvų yra suderinami su IBM asmeniniu kompiuteriu. IBM rekomenduoja ir parduoda EPSON grafinį taškinį spausdintuvą. Matricinių spausdintuvų veikimo principas yra toks: spausdintuvo spausdinimo galvutėje yra vertikali plonų metalinių strypų (adatų) eilė. Galvutė juda išilgai atspausdintos linijos, o adatos tinkamu metu trenkia popierių per rašalo juostelę. Taškinių spausdintuvų spausdinimo greitis, priklausomai nuo reikiamos spausdinimo kokybės, yra nuo 10 iki 60 sekundžių viename puslapyje.

Yra ir kitų tipų spausdintuvai: rašaliniai, spaudos, lazeriniai ir kt. ir tt, tačiau dažniausiai jie yra brangesni ir ne visada suderinami su esamomis programomis.

Prie IBM PC galima prijungti ir kitus įrenginius: Pelė – manipuliatorius informacijai įvesti į kompiuterį. Šis prietaisas gavo pavadinimą dėl savo išvaizdos: nedidelė paprastai pilkos spalvos dėžutė su dviem ar trimis rakteliais, kuri lengvai telpa delne. Kartu su laidu, skirtu prijungimui prie kompiuterio, tikrai labai primena pelę su uodega. Norėdami pakeisti žymeklio padėtį monitoriaus ekrane, vartotojas perkelia pelę per stalą paspausdamas vieną ar kitą klavišą. Kai kurios programos yra sukurtos veikti tik su pele, tačiau dauguma programų leidžia įvesti ir klaviatūrą, ir pelę.

Skaitytuvas – įrenginys grafinei ir tekstinei informacijai nuskaityti į kompiuterį. Skaitytuvai yra staliniai, leidžiantys apdoroti visą popieriaus lapą ar vadovą, juos reikia brėžti eilutė po eilutės virš norimo paveikslėlio ar teksto.

Modemas yra įrenginys, naudojamas informacijai priimti arba perduoti telefono linija. Modemas gali prijungti kompiuterį prie kito kompiuterio naudojant standartinę telefono liniją. Kompiuteryje yra įmontuota daugybė kitų periferinių įrenginių: braižytuvai, žaidimų adapteriai, atminties išplėtimo blokai, streameriai ir kt. ir tt

OPERACINĖ SISTEMA

Operacinė sistema yra programa, kuri įkeliama, kai įjungiate kompiuterį. Jis užmezga dialogą su vartotoju, valdo kompiuterį, paleidžia kitas programas. Operacinė sistema suteikia vartotojui patogų būdą. ryšys (sąsaja) su kompiuteriniais įrenginiais.

Pagrindinė operacinės sistemos poreikio priežastis yra ta, kad elementarios operacijos dirbant su kompiuteriniais įrenginiais yra labai žemo lygio operacijos, todėl vartotojui reikalingi veiksmai susideda iš tūkstančių tokių elementariųjų operacijų. Taigi net norint atlikti tokį paprastą veiksmą, kaip failo kopijavimas iš vieno diskelio į kitą, reikia atlikti tūkstančius operacijų, kad paleistumėte disko įrenginio komandas, patikrintumėte jų vykdymą, ieškotumėte ir apdorotumėte informaciją diske esančiose failų paskirstymo lentelėse, ir tt tt Operacinė sistema slepia šias sudėtingas ir nereikalingas detales nuo vartotojo ir suteikia jam patogią sąsają darbui. Paprastai IBM kompiuteris veikia su MS DOS operacine sistema iš Microsoft Corp. MS DOS plačiai paplito dėl palyginti nedidelės vietos diske ir RAM, patogios sąsajos, gero suderinamumo su įvairiais išoriniais įrenginiais.

MS DOS operacinė sistema susideda iš šių dalių:

1) Pagrindinė įvesties-išvesties sistema, esanti ROM į Ši OS dalis yra integruota į kompiuterį. Jis atlieka pačias paprasčiausias ir universaliausias OS paslaugas, susijusias su I/O ir turi kompiuterinį testą, kuris patikrina jo įrenginių ir atminties veikimą įjungus maitinimą. Pagrindinėje įvesties / išvesties sistemoje yra OS įkėlimo iškvietimo programa.

2) Operacinės sistemos įkroviklis yra trumpa programa, esanti pirmame diskelio su OS arba kietuoju disku sektoriuje. Jo funkcija yra nuskaityti dar du OS modulius į atmintį.

3) Disko failai IO. SYS ir MSDOS. SYS. Juos į atmintį įkelia OS įkroviklis ir jie lieka kompiuterio atmintyje. io failą. SYS yra pagrindinės ROM įvesties/išvesties sistemos priedas. MSDOS failą. SYS įgyvendina pagrindines aukšto lygio MSDOS paslaugas.

4) DOS komandų procesorius – apdoroja vartotojo įvestas komandas. Komandų procesorius yra komandoje COMMAND. COM diske, iš kurio įkeliama OS. Kai kurias vartotojo komandas, vadinamas vidinėmis, pvz., DIR arba COPY, vykdo pats apvalkalas. Kad įvykdytų likusias (išorines) komandas, diskuose ieško atitinkamo pavadinimo programos, o jei randa, įkelia į atmintį ir perduoda jai valdymą. Baigęs apvalkalas pašalina programą iš atminties ir pateikia DOS raginimą.

5) Išorinės DOS komandos yra programos, tiekiamos kartu su OS kaip atskiri failai. Jie atlieka techninės priežiūros darbus, tokius kaip diskelių formatavimas, diskelių testavimas ir kt. ir tt

6) Įrenginių tvarkyklės yra specialios programos, kurios papildo DOS įvesties / išvesties sistemą ir teikia paslaugas naujiems įrenginiams. Tvarkyklės įkeliamos į kompiuterio atmintį, kai paleidžiama OS, o jų pavadinimai nurodomi specialiame CONFIG faile. SYS. Tai palengvina naujų įrenginių pridėjimą ir leidžia tai padaryti nepažeidžiant DOS sistemos failų.

a) Kai maitinimas įjungtas.

b) Paspaudus mygtuką „Atstatyti“.

c) Vienu metu paspaudus C klavišus Įkrovos pradžioje veikia ROM esančios aparatūros testavimo programos. Baigus bandymą, įkrovos įkroviklis bando nuskaityti OS įkrovos įkroviklį iš diskelio, įdiegto A diske. Jei diskelyje A nėra diskelio, OS bus įkelta iš standžiojo disko. Jei diskelyje A yra diskelis be OS, bus rodomas klaidos pranešimas. Turėtumėte pakeisti diskelį į sistemos diskelį arba pašalinti diskelį ir paleisti iš naujo. Po to, kai OS kroviklio programa nuskaitoma iš disko, ji nuskaito OS modulius – IO failus į kompiuterio atmintį. SYS ir MSDOS. SYS ir perduoda valdymą jiems.

Po to COMMAND failas nuskaitomas iš sistemos disko. COM ir valdymas perkeliamas į jį. KOMANDA. COM ieško AUTOEXEC sistemos disko šakniniame kataloge. BAT, kuriame pateikiamos komandos ir programos, kurios vykdomos kiekvieną kartą paleidžiant kompiuterį. Pavyzdžiui, programa, kuri suteikia galimybę dirbti su rusiškomis raidėmis klaviatūroje, NORTON COMMANDER apvalkalo programa. Įvykdę AUTOEXEC. BAT OS įkrovos procesas baigiasi ir DOS išduoda raginimą, nurodantį, kad yra pasirengusi priimti komandas: pavyzdžiui, C:\>

Tinklo planavimas naudojant kritinio kelio metodą.

(Kritinio kelio metodas) MUT

CPM yra viena iš populiariausių verslo projektų planavimo įrankių. Tinklo diagrama yra grafinis projekto vaizdas, kuriame rodyklėmis pavaizduotos atskiros operacijos, tai yra darbai, skirti projektui užbaigti. Rodyklės pradžia ir pabaiga atitinkamai nurodo operacijos pradžią ir pabaigą. Laikas, kurį tikimasi skirti operacijai atlikti, vadinamas planuojama jos trukme. Aiškumo dėlei tinklo diagramoje pateikiamas trumpas kiekvienos operacijos aprašymas ir trukmė (1 pav.)

Viena iš svarbiausių tinklo diagramos sąvokų yra kelias. Kelias yra bet kokia veiklos seka, kurioje kiekvienos veiklos pabaigos įvykis yra toks pat kaip ir po jos einančios veiklos pradžios įvykis. Tarp įvairių tinklo diagramos kelių labiausiai domina visas kelias. Visas kelias yra bet koks kelias, kuris prasideda tinklo įvykio pradžios ir baigiasi tinklo pabaigos įvykiu. Ilgiausias kelias tinkle vadinamas kritiniu keliu. Šiame kelyje esantys darbai ir įvykiai dar vadinami kritiniais. Kritinis kelias yra ypač svarbus, nes šio kelio veiklos nulemia bendrą viso veiklų rinkinio, suplanuoto naudojant tinklo diagramą, užbaigimo ciklą. O norint sutrumpinti projekto trukmę, pirmiausia reikia sutrumpinti veiklos, kuri guli kritiniame kelyje, trukmę. Jei laiko vienetas (diena, savaitė) yra vienodas visoms tinklo operacijoms, tada trukmei nurodyti pakanka nurodyti tik šių vienetų skaičių. Operacijos vaizduojamos neatsižvelgiant į mastelį. Yra trijų tipų operacijos: a) Faktinė operacija – tai procesas, reikalaujantis laiko ir išteklių montavimo darbams atlikti, medžiagoms transportuoti ir pan. ir tt) b) Eksploatacija-laukimas-procesas, reikalaujantis tik laiko sąnaudų (betono kietėjimas, tinko džiūvimas ir kt. e)

c) Fiktyvi operacija – tai loginė priklausomybė, atspindinti technologinę arba resursų priklausomybę atliekant kai kurias operacijas. Tai pažymėta brūkšninėmis rodyklėmis. Tokios operacijos trukmė nulinė ir nereikalauja jokio darbo. Kiekvienai tinklo veiklai gali būti veiklos, kurios baigiasi prieš jai prasidedant, vykdomos lygiagrečiai arba pradedamos tik ją užbaigus. Tinklo diagramoje neturėtų būti uždarų kilpų, visos jos operacijos nukreipiamos iš kairės į dešinę. Jis turėtų būti brėžiamas kelis kartus, siekiant kuo mažiau susikirtimų ir palaipsniui gerinant aiškumą. Didelio projekto tinklo diagramoje gali būti tūkstančiai veiklų.

Todėl reikalingas paprastas būdas apibrėžti ir pažymėti operaciją. Kiekvieną operaciją apibrėžia du mazgai (įvykiai) – pradinis ir galutinis. Mazgo pavadinimo „įvykis“ reikšmė ta, kad jis vaizduoja būtent tokį momentą, kai visos operacijos įeinančios į šį mazgą yra baigtos, todėl galima pradėti visas operacijas, išeinančias iš šio mazgo. Veiksmų numeravimui patogu naudoti i-j taisyklę, o skaičius i visada yra mažesnis už skaičių j. Žymėjimo problema kyla, kai dvi ar daugiau operacijų sujungia du ar daugiau mazgų.

Jai išspręsti naudojama fiktyvi operacija. Kartais įvykiai numeruojami ne iš eilės (1, 2, 3...), o suteikiami skaičiai 10, 20, 30, 40. . . . Tai palengvina naujų operacijų įtraukimą į tinklą. Tokios operacijos gauna tarpinius numerius, pavyzdžiui, 11-12, 14-18 ir kt. ir tt Sudarant tinklo tvarkaraštį būtina atidžiai išanalizuoti jo logiką, nuolat užduodant šiuos klausimus: a) Kokias operacijas reikia atlikti, kad ši operacija galėtų prasidėti? b) Kokios operacijos gali prasidėti vienu metu su šia? c) Kokios operacijos priklauso nuo šios operacijos atlikimo?

Kiekviena rodyklė turi turėti horizontalią sekciją, kurioje nurodytas operacijos aprašymas ir trukmė. Aprašymas turi būti pateiktas virš rodyklės, o trukmė po ja. Rodyklės turėtų būti brėžiamos iš kairės į dešinę. Mazgai turėtų būti sunumeruoti tik baigus sudaryti diagramą.

Aiškumo dėlei reikėtų kiek įmanoma vengti susikirtimų, net jei dėl to reikia keisti grafiko struktūrą.

ĮVYKIŲ AKMENYS.

Įvykis – tai momentas, kai visos ankstesnės operacijos yra baigtos ir visos iš karto sekančios operacijos gali būti pradėtos. Taikant CPM metodą, su kiekvienu įvykiu susiejami du laiko taškai: ankstyva įvykio akimirka ir vėlyvoji įvykio akimirka.

a) Ankstyvasis įvykio laikas apibrėžiamas kaip anksčiausias laikas, kai galima pradėti atitinkamo mazgo operacijas. Skaičiavimo procesas, naudojamas nustatant ankstyvuosius tinklo įvykių momentus, vadinamas tiesioginiu perėjimu. į priekį, skaičiavimai prasideda dešiniajame mazge ir tęsiasi nuosekliai iš kairės į dešinę, kol nustatomi kiekvieno tinklo įvykio ankstyvieji momentai. Pradiniame mazge ankstyvasis įvykio momentas nustatomas į nulį. ankstyvas vėlesnio įvykio momentas nustatomas pridedant ankstesnės operacijos trukmę prie ankstyvo ankstesnio įvykio momento. Jei mazgas apima kelias operacijas, jo ankstyviausias įvykio laikas laikomas didžiausiu iš visų ankstyvų operacijų pabaigos laikų.

b) Tam tikro mazgo vėlyvasis įvykio momentas apibrėžiamas kaip didžiausias iš visų šiame mazge įtrauktų operacijų vėlyvųjų pabaigos laikų. Skaičiavimo procesas, skirtas vėlyviems įvykių momentams nustatyti, vadinamas atvirkštiniais metodais. Grįžtant atgal, skaičiavimai prasideda nuo paskutinio mazgo ir tęsiami nuosekliai kiekvienam tinklo įvykiui iki pradinio. Laikoma, kad paskutinio įvykio vėlyvas momentas yra lygus ankstyvam šio įvykio momentui, nustatytam tiesioginio praėjimo metu. Akivaizdu, kad nėra jokios priežasties atidėti projektą ilgiau, nei iš tikrųjų reikia jį užbaigti. Vėlyvas ankstesnio įvykio momentas randamas atimant ankstesnės operacijos trukmę iš vėlyvojo vėlesnio įvykio momento. Jei kelios operacijos palieka mazgą, tai prieš nustatant atitinkamo (šiame mazgo) vėlyvą momentą, reikėtų atsižvelgti į vėlyvo įvykių pradžios momentus kiekvienai iš šio mazgo išeinančios operacijos. Akivaizdu, kad kaip vėlyvą įvykio akimirką reikia laikyti vėlyvą operacijos pradžios momentą, kuris turėtų prasidėti pirmas laiku.

VEIKLOS PRADŽIOS IR PABAIGIMO AKMENYS.

Taikant CPM metodą, operacijų pradžios ir pabaigos laikai apskaičiuojami naudojant įvykių momentus ir dažniausiai pateikiami lentelėse, tačiau pateikiami tinklo diagramoje. Ankstyva bet kokios operacijos pradžia yra ankstyvas prieš ją įvykusio įvykio momentas. Vėlyvoji bet kokios operacijos pabaiga yra vėlyvas po jos įvykusio įvykio momentas. Vėlyva operacijos pradžia yra jos vėlyva pabaiga, atėmus operacijos trukmę. Ankstyva operacijos pabaiga yra ankstyva jos pradžia + operacijos trukmė. Vėlyvoji operacijos pradžia visada yra didesnė už ankstesnio mazgo vėlyvojo įvykio laiką arba jam lygi. Ankstyvas operacijos nutraukimas visada yra ne didesnis nei kito mazgo ankstyvo įvykio laikas. Jei yra tinklo diagrama su apskaičiuotais ankstyvais ir vėlyvaisiais įvykių momentais, tada operacijų pradžios ir pabaigos laikui apskaičiuoti ir sudaryti lentelėse galima naudoti šią 6 žingsnių procedūrą: 1. Užsakykite skaičių i, o po to kiekvienam i užsakymui. juos didėjimo tvarka pagal skaičių j). 2. Įveskite kiekvienos operacijos pavadinimą 2 stulpelyje, o jų trukmes – 3 stulpelyje. 3. Įveskite kiekvienos operacijos ankstyvos pradžios momentus 4 stulpelyje. Tai ankstyvieji įvykių momentai, atitinkantys i operacijos mazgus. 4. Nustatykite kiekvienos veiklos ankstyvą pabaigos laiką, pridėdami jos trukmę prie ankstyvos pradžios laiko ir pateikite duomenis 5 stulpelyje. 5. Įveskite kiekvienos veiklos vėlyvą pabaigos laiką 7 stulpelyje. Tai vėlyvieji įvykiai, atitinkantys j veiklos mazgai. 6. Nustatykite kiekvienos veiklos vėlyvą pradžios laiką, atimdami jos trukmę iš vėlyvos pabaigos laiko ir patalpinkite duomenis į 6 stulpelį.

REZERVAS: PRADŽIA IR PABAIGIA.

Kiekviena projekto veikla turi būti baigta nuo ankstyvos pradžios iki vėlyvo pabaigos. Jei visos operacijos bus baigtos laikantis šių ribų, projektas bus baigtas laiku. Kai laikas tarp šių dviejų ribų viršija operacijų trukmę, tada lieka laisvo laiko arba prieš operacijos pradžią, arba po jos pabaigos. Šis laisvas laikas vadinamas rezervu. Laikotarpis nuo vėlyvos operacijos pabaigos iki jos ankstyvos pradžios vadinamas pradiniu rezervu, o laikotarpis nuo vėlyvos operacijos pabaigos iki ankstyvos jos pabaigos vadinamas galutiniu rezervu, tai yra:

PRADINIS REZERVAS = VĖLA PRADŽIA – ANKSTYVA STARTAS

PABAIGOS REZERVAS = VĖLA PABAIGA-ANKSTYVA PABAIGA

Pradinis operacijos atsipalaidavimas yra lygus galutiniam.

REZERVAS: PILNAS.

REIKŠMINGIAUSIAS IŠ VISŲ REZERVŲ YRA VISAS REZERVAS.

Jame nurodoma, kiek laiko galima pratęsti veiklos trukmę, nekeliant pavojaus suplanuotai projekto pabaigos datai. Todėl vėlavimą, kuris kelia susirūpinimą, reikėtų skirti nuo vėlavimo, kuris nekelia grėsmės projekto užbaigimo datai. Visas rezervas apibrėžiamas kaip vėlyvos operacijos pabaigos laikas – ankstyvos pradžios laikas – operacijos trukmė.

NEMOKAMAS IR NEPRIKLAUSOMAS REZERVAS.

Laisvasis rezervas FF apibrėžiamas kaip ankstyvas vėlesnio įvykio laikas Ej atėmus ankstesnio įvykio ankstyvą laiką Ei atėmus operacijos D trukmę, kurią nustato šie įvykiai:

Laisva marža pirmiausia naudojama siekiant nustatyti sandorius, kurie gali būti atidėti, nepažeidžiant viso vėlesnių operacijų rezervo.

Nepriklausomas rezervinis IF paprastai apibrėžiamas kaip ankstyvas vėlesnio įvykio momentas, atėmus operacijos D trukmę, kurią nustato šie įvykiai:

Nepriklausomas rezervas leidžia nustatyti sandorius, kurių vėlavimas neturi įtakos visam rezervui nei ankstesnių, nei vėlesnių operacijų. Bendros atsargos (laisvos ir nepriklausomos) apskaičiuojamos ir pateikiamos lentelėse, naudojant operacijų pradžios ir pabaigos laiką. Jei bendras rezervas lygus nuliui, tai laisvieji ir nepriklausomi rezervai taip pat lygūs nuliui. Todėl, kai skaičiuojant gaunamas nulinis bendras rezervas ir tuo pačiu nenulinis kitas rezervas, tai rodo skaičiavimų klaidą.

KRITINIO KELIO ANALIZĖ.

Veiksmų seka, kuriai atlikti reikia ilgiausiai, nustato trumpiausią laiką, per kurį projektas gali būti užbaigtas. Šis laikas vadinamas projekto trukme. Nurodyta operacijų seka, lemianti projekto trukmę, yra labai svarbi ir vadinama kritiniu keliu. Kritinis kelias visada prasideda nuo paties pirmojo tinklo įvykio ir eina per visą tinklą, baigiant paskutiniu įvykiu. Kiekviena kritinio kelio veikla yra kritinė veikla. Norint išanalizuoti tinklo diagramą, svarbu nustatyti visas svarbiausias operacijas. Kritinė operacija turi vienu metu atitikti šiuos tris kriterijus: 1) Ankstyvieji ir vėlyvieji mazgo i įvykiai turi būti lygūs:

Ei=Lj 2) Ankstyvieji ir vėlyvieji įvykių momentai j taip pat yra vienodi:

Ei=Lj 3) Operacijos trukmė turi būti lygi skirtumui tarp vėlyvojo įvykio j momento ir ankstyvojo įvykio i momento:

Trečioji sąlyga reiškia, kad kritinė operacija neturi turėti rezervo. Todėl visas rezervas yra naudingas įrankis nustatant kritinę operaciją. Dažnai tinklo diagramoje yra keli svarbūs keliai. Kartais trumpos grandinės, kuriose yra svarbių operacijų, gali nukrypti nuo pagrindinio kritinio kelio ir vėl į jį grįžti. Kritinės operacijos turi būti baigtos laiku, kitaip bus praleisti projekto terminai. Nekritinės operacijos yra tik tos, kurios turi pakankamai atsargų. Operacijos su dideliu rezervu yra subkritinės, paprastai kuo didesnis operacijos rezervas, tuo jis mažiau kritiškas kitų atžvilgiu. Kritines veiklas pirmiausia turėtų kontroliuoti projekto vadovas, nes bet kurios iš jų uždelsimas padidina projekto trukmę. Kadangi kritinės operacijos paprastai sudaro 10-15% projekto, vadovybei visiškai įmanoma sutelkti dėmesį į jas, visų pirma mažiau svarbių operacijų sąskaita. Svarbus metodo privalumas – gebėjimas nukreipti vadovybės dėmesį į svarbiausias operacijas, o tai absoliučiai būtina dideliuose, sudėtinguose projektuose.

Tinklo planavimas neapibrėžtas

Nustatant tinklo diagramos laiko parametrus, iki šiol

Buvo daroma prielaida, kad kiekvieno darbo atlikimo laikas yra tiksliai žinomas. Tokia prielaida retai būna teisinga, nes tinklo planavimas dažniausiai naudojamas kuriant sudėtingą *****, kuri praeityje dažnai buvo neprilygstama. Dažniausiai trukmė

pagal tinklo schemą nėra iš anksto žinomas ir gali turėti tik vieną iš daugelio galimų jo reikšmių. Kitaip tariant, darbo trukmė yra atsitiktinis dydis, kuriam būdingas savas pasiskirstymo dėsnis, taigi ir jo skaitinės charakteristikos – numatoma trukmė ir sklaidos matas.

Tinklo grafikai gali turėti deterministinę arba stochastinę struktūrą. Be to, reikėtų aiškiai atskirti deterministinių ir stochastinių struktūrų skirtumus. a) Jei visa tinklo veikla ir jų ryšys yra aiškiai apibrėžti,

tada tokia grafo struktūra vadinama deterministine. b) Stochastinė struktūra reiškia, kad visi sandoriai yra įtraukti į tinklą su tam tikra tikimybe. Tai yra, kai kuriuose projektuose tam tikruose etapuose konkretus darbų rinkinys priklauso nuo iš anksto nežinomo rezultato, o realų jo įgyvendinimą galima numatyti tik su tam tikra tikimybe. Pavyzdžiui, mokslinių tyrimų ir plėtros projektuose iš anksto nežinoma ne tik atskirų operacijų trukmė, bet ir jų sąrašas, taip pat tinklo struktūra.

Stochastinės struktūros parametrų skaičiavimas ir grafikų analizė yra susiję su dideliais sunkumais, todėl praktikoje dažniausiai naudojami grafikai, turintys deterministinę struktūrą ir su atsitiktiniais operacijų laiko įverčiais. Tokie tinklai vadinami stochastiniais arba tikimybiniais tinklais.

Tiriant tikimybinius tinklus gali pasitaikyti du atvejai: 1) Veiksmai nėra nauji, ir mes apytiksliai žinome kiekvienos iš jų vykdymo trukmės paskirstymo funkciją. 2) Operacijos yra naujos, mažai tyrinėtos, o jų trukmės skirstymo funkcijos nežinomos.

Pirmuoju atveju numatoma trukmė ir sklaidos matas nustatomi pagal žinomą pasiskirstymo funkciją.

Antruoju atveju naudojamas vidurkinimo metodas. Pradiniai vidurkinimo metodo duomenys yra tikimybiniai kiekvienos operacijos trukmės įverčiai: a - minimali operacijos trukmė (optimistinis įvertinimas), b - maksimali operacijos trukmė (psimistinis įvertinimas), o m - labiausiai tikėtina trukmė. operacijos. Šiuos laiko sąmatas nustato atsakingas vykdytojas arba ekspertų grupė.

Tinklo planavimo matematinio aparato kūrėjų neapibrėžtumo sąlygomis empiriškai ir eksperimentiškai atlikta statistinė analizė, siekiant nustatyti, kad: a + 4m + b Numatoma operacijos trukmė ij - Fij = 6

b-a Sklaidos matas ***= 6

Pagal šią formulę nustačius numatomas operacijų trukmės trukmes, kaip ir deterministiniu atveju, apskaičiuojami tinklo laiko parametrai. Numatoma kritinio kelio trukmė laikoma atsitiktinių dydžių suma, t.y. veikia lemiamai *****

(Fcr)= E F(ij)cr.

(i, j)cr Kritinio kelio trukmės sklaidos matas laikomas lygiu kelio sumai:

d(Tcr) = E dij(Fij)

(i, j)cr Tinklo laiko parametrų skaičiavimas pagal numatomas operacijų trukmės trukmes neleidžia griežtai nustatyti operacijų komplekso užbaigimo termino. Tikrasis atsitiktinių dydžių Tij nuokrypis nuo jų vidutinių verčių Tij gali būti didelis ir mažas. Todėl tikroji operacijų komplekso vykdymo trukmė gali būti didesnė arba mažesnė už Tcr (tikėtiną kritinio kelio trukmę) Šiuo atžvilgiu labai svarbu įvertinti operacijų komplekso užbaigimo tikimybę. iki tam tikros datos, kuri priklauso nuo kritinio kelio trukmės sklaidos masto. Kai kurioms Tij vertybėms gali būti vienas kritinis kelias, kitoms – kitas.

Jei operacija atliekama pakankamai palankiomis sąlygomis, ji bus atlikta per gana trumpą laiką. Taip nustatomas optimistinis veiklos vertinimas. Tikimybė jos realiai įgyvendinti yra apie 0,01.Jei operacija atliekama itin nepalankiomis sąlygomis, tai jos įgyvendinimas vėluoja. Remiantis šiais samprotavimais, nustatomas pesimistinis operacijų trukmės įvertinimas, jo įgyvendinimo tikimybė taip pat yra maždaug 0. 01 Daugeliu atvejų operacijos trukmė bus dviejų ankstesnių įverčių apribotame intervale. Artimiausia faktinei trukmės įvertis vadinamas labiausiai tikėtinu.

Apsvarstykite šį operacijų pavyzdį:

Optimistinis trukmės įvertinimas: a=4

Labiausiai tikėtina trukmė: m=6

Pesimistinis trukmės įvertis: b=7 Trys įverčiai atspindi užduoties atlikimo laiko tikimybės laipsnį; vieno įvertinimo pakanka tik visiško tikrumo atveju. Savo ruožtu tikimybę galima išreikšti statistiniais terminais, tai yra pasiskirstymo tankio kreivės forma, nusakanti įvairios trukmės operacijos, atliekamos daug kartų, įgyvendinimo dažnumą.

Tikimybė, kad nagrinėjamame pavyzdyje operacija bus atlikta per 4 (arba 7) darbo dienas, kaip minėta aukščiau, yra 0,01. Labiausiai tikėtina, kad operacija bus baigta per 6 dienas. Daroma prielaida, kad jei operacija atliekama daug kartų ir įrašomi visi duomenys, trukmės dažnio grafikas duos asimetrinę kreivę, vadinamą funkcija. Pateikti skaitiniai operacijų trukmės ir įgyvendinimo tikimybės įverčiai 1 diagramoje pavaizduoti funkcija b. Vertikalios linijos virš taškų 4. 0 6. 0 7. 0 rodo operacijos dažnumą skaičiui. darbo dienų, kuris matuojamas išilgai horizontalios linijos.

Kadangi vertikali linija ties 6,0 nepaskirsto ploto po kreive į dvi lygias dalis, tikimybė, kad ši operacija bus atlikta per 6 (ar mažiau) darbo dienas, nėra lygi 0,5. Numatyti numatomą šios operacijos trukmę naudojami svertiniai vidurkiai. sandorio tipas. Numatoma trukmė, arba matematinis lūkestis, kaip prisimename, apskaičiuojamas pagal formulę;

Tai yra mūsų pavyzdyje

Asmuo, kuris įvertino labiausiai tikėtiną operacijos trukmę 6 dienas, buvo nusiteikęs pesimistiškai, nes 5,8 yra mažiau nei 6.

2 diagramoje jis padalina plotą po funkcija į 2 lygias dalis.

Taigi tikimybė, kad operacija bus atlikta ne ilgiau kaip per 5,8 darbo dienos, yra 0,5.

Kitas šios aplinkybės aiškinimas yra toks; reiškia trukmę, per kurią yra vienodos galimybės užbaigti operaciją anksčiau arba vėliau.

Apsvarstykite kitą atvejį, kai įvertinimai yra tokie; a=4 m=5 b=18

(4+4*5+18)/6= 7. 0

Tai parodyta 3 paveiksle. Kaip ir ankstesniame paveiksle, čia b-funkcija padalijama į dvi lygias dalis. Tai. , tikimybė sandorį užbaigti per numatytą 7,0 darbo dienų laiką yra 0,5. Šiuo atveju prognozė buvo optimistinė, nes ji yra didesnė už labiausiai tikėtinos trukmės 5 įvertinimą.

Išsklaidymo matas

Apsvarstykite dvi operacijas A1 ir A2, kurių trukmė yra tokia;

=(4+24+8)/6=6=(3+20+13)/6=6

Kiekvienai operacijai =6, nors optimistiniai, labiausiai tikėtini ir pesimistiniai įverčiai labai skiriasi. Šių įverčių sklaidos matas vadinamas dispersija D.

D(A1)=((8-4)/6)^2 =0. 444

D(A2)=((13-3)/6)=2. 777

Iš esmės sklaidos matas apibūdina neapibrėžtumą, susijusį su operacijos trukmės įvertinimo procesu. Jei sklaidos matas yra didelis, tai yra, optimistiniai ir pesimistiniai įverčiai labai skiriasi vienas nuo kito, tai reiškia didelį neapibrėžtumą dėl aeracijos pabaigos laiko. Atitinkamai, nedidelis dispersijos matas rodo santykinį operacijos užbaigimo laiko tikrumą.

****, projekto trukmę ir rezervus galima apskaičiuoti naudojant pirmyn ir atgal praėjimą.

Kadangi kiekvienos operacijos atlikimo tikimybė per numatomą laiką t(ij) =0. 5. , tada tikimybė užbaigti visą projektą per laiką Ts = suma t(ij) taip pat lygi 0. 5. Bet projekto trukmė nebeapibūdinama B funkcija, kaip yra individualaus atveju. projekto operacijos. Darant prielaidą, kad projektą sudaro daug veiklų, gauname jo trukmės pasiskirstymą, kuris yra artimas normaliam, todėl galime daryti prielaidą, kad numatoma projekto trukmė yra normaliojo pasiskirstymo.

Gali pasirodyti, kad numatoma projekto trukmė Ts vadovybei nepriimtina, vietoj to pasirenkamas kitas laikas Tc, mažesnis nei Ts. Tc

Norint nustatyti projekto įgyvendinimo tikimybę Tc, būtina atsižvelgti į normaliojo pasiskirstymo kreivės standartinį nuokrypį, apskaičiuotą pagal formulę:

g(t)= kvadratinė šaknis iš operacijų sklaidos matų sumos.

Apsvarstykite pavyzdį, kurį sudaro keturios operacijos:

A B C D 1-2-3-4-5

a=4 a=3 a=2 a=4

m = 6 m = 8 m = 4 m = 5

b = 8 b = 9 b = 7 b = 6

******=6+7. 33 + 4. 17 + 5 = 22. 5

Projekto trukmės standartinių nuokrypių vertė lygi

g(t)=****************=1. 5

Paveikslėlyje parodytas mūsų pavyzdžio projekto trukmės tikimybių tankio pasiskirstymas.

Čia standartinis nuokrypis parodo projekto vykdymo neapibrėžtumo laipsnį laikui bėgant Tc. Vieno standartinio nuokrypio ribose abiejose Ts pusėse projekto trukmė gali kisti nuo 21 iki 24 laiko vienetų (22,5+-1,5), to tikimybė yra 0,68 (plotas po kreive +-g ribose)

Norint rasti tikimybę, kad projektas bus baigtas tam tikru momentu, reikia apskaičiuoti Z reikšmę pagal formulę planuojama trukmė - numatoma trukmė

Z = standartinis nuokrypis, tada naudokite šią reikšmę tikimybei nustatyti pagal standartinę normaliojo skirstinio lentelę, kur kiekvienai Z vertei yra tam tikra tikimybės reikšmė. Savo pavyzdyje projekto įvykdymo tikimybę nustatysime ne vėliau kaip per 21,5 dienos.

1,5 lentelėje nurodytam Z, įvykdymo tikimybė bus 0,25.

Ir subkritinis, šiek tiek trumpesnis.

Bet jei šio subkritinio kelio sklaidos matų suma yra didesnė nei kritinio kelio, tai praktiškai toks subkritinis kelias gali tapti kritiniu su didele tikimybe.

Taigi, turint kritinį kelią, kurio numatoma trukmė = 80 vienetų. laikas ir standartinis nuokrypis = 2 , projekto pabaigos tikimybė ir 86 vnt. laikas yra 0,9987.

Jei subkritinio kelio trukmė = 78, tai standartinis nuokrypis = 5, tada su ta pačia tikimybe 0,9987 darbas šiuo keliu bus baigtas tarp 63 ir 93. Iš to seka, kad subkritinio kelio transformavimas į kritinį yra labai tikėtina.

Įvadas

Vienas iš būdų tobulinti ūkinės veiklos analizę – ekonominių ir matematinių metodų bei modernių kompiuterių diegimas. Jų taikymas didina ekonominės analizės efektyvumą plečiant veiksnius, pagrindžiant valdymo sprendimus, pasirenkant geriausią ekonominių išteklių panaudojimo variantą, identifikuojant ir telkiant rezervus gamybos efektyvumui didinti.

Matematiniai metodai remiasi ekonominio ir matematinio modeliavimo metodika bei moksliškai pagrįsta problemų klasifikacija ūkinės veiklos analizėje.

Atsižvelgiant į ekonominės analizės tikslus, išskiriami šie ekonominiai ir matematiniai modeliai: deterministiniuose modeliuose - logaritmas, nuosavybės dalyvavimas, diferenciacija; stochastiniuose modeliuose - koreliacijos-regresijos metodas, tiesinis programavimas, eilių teorija, grafų teorija.

Bendrosios matematinių analizės metodų charakteristikos

Plačiai paplitę matematiniai metodai yra svarbi kryptis tobulinant ekonominę analizę, didinant įmonių ir jų padalinių veiklos analizės efektyvumą. Tai pasiekiama sutrumpinant analizės laiką, pilniau aprėpiant veiksnių įtaką komercinės veiklos rezultatams, apytikslius ar supaprastintus skaičiavimus pakeičiant tiksliais skaičiavimais, nustatant ir sprendžiant naujas daugiamatės analizės problemas, kurios praktiškai neįgyvendinamos tradiciniais metodais.

Matematinių metodų taikymas atliekant ekonominę įmonės analizę reikalauja:

· sisteminis požiūris į įmonių ekonomikos tyrimą, atsižvelgiant į visą reikšmingų ryšių tarp įvairių įmonių veiklos aspektų visumą; tokiomis sąlygomis pati analizė vis labiau įgauna sistemiškumo bruožų kibernetine šio žodžio prasme;

· ekonominių ir matematinių modelių rinkinio, atspindinčio ekonominių procesų ir ekonominės analizės pagalba sprendžiamų uždavinių kiekybines charakteristikas, sukūrimas;

· ekonominės informacijos apie įmonių darbą sistemos tobulinimas;

techninių priemonių (kompiuterių ir kt.), kurios saugo, apdoroja ir perduoda ekonominę informaciją ekonominės analizės tikslais, prieinamumą;

· ūkinės veiklos kompiuterinės analizės organizavimas, analizės programinės įrangos kūrimas valdymo sistemoje.

Ryžiai. vienas.

Šiandienos viršūnė kuriant valdymo sistemas yra BPM sistemos ( verslo veiklos valdymas - verslo veiklos valdymas), t.y. sistemos, leidžiančios susieti visas valdymo funkcijas. Tokių sistemų rėmuose, pavyzdžiui, aukščiausio lygio vadovai turi galimybę analizuoti ir koreguoti šiuos skaičius bei įvesti naujus duomenis. Sistemos leidžia jiems matyti ir naudoti susijusių padalinių ataskaitas. Be to, žemesniajame valdymo lygmenyje pataisyti ir papildyti duomenys vėl skelbiami įmonės lygiui. Visas dvikrypčio planavimo procesas sparčiai kartojamas, kol sudaromas optimaliausias planas. BPM sistemos leidžia sudaryti kelias plano (biudžeto) versijas, vadinamuosius lanksčius skirtingų pardavimų apimčių sąmatas, atsižvelgiant į galimus neigiamus ar teigiamus neplanuotus veiksnius. Taigi krizės metu organizaciją galima nedelsiant perkelti į avarinį biudžetą. Tuo pačiu, natūralu, neliks laiko peržiūrėti, derinti visų biudžeto punktų visų išlaidų ir atsakomybės centrų kontekste. Pažymėtina, kad tolesnio VRM sistemų tobulinimo pagrindas yra jų metodinė ir metodinė analitinė pagalba.

Matematiškai suformuluota ekonominės analizės problema gali būti išspręsta vienu iš sukurtų matematinių metodų. Ant pav. 1 parodyta apytikslė pagrindinių matematinių metodų, su kuriais dirbama, jų panaudojimo įmonių ekonominės veiklos analizei diagrama.

Elementariosios matematikos metodai naudojami įprastiniuose tradiciniuose ekonominiuose skaičiavimuose pagrindžiant išteklių poreikius, apskaitant gamybos kaštus, rengiant planus, projektus, skaičiuojant balansą ir kt. Klasikinės aukštosios matematikos metodai schemoje išryškinti dėl to, kad jie naudojami ne tik kitų metodų rėmuose, pavyzdžiui, matematinės statistikos ir matematinio programavimo metodai, bet ir atskirai. Taigi daugelio ekonominių rodiklių pokyčių faktorinė analizė gali būti atliekama naudojant diferenciaciją ir integraciją.

Ekonominėje analizėje plačiai taikomi matematinės statistikos ir tikimybių teorijos metodai. Šie metodai taikomi tais atvejais, kai analizuojamų rodiklių kitimas gali būti vaizduojamas kaip atsitiktinis procesas.

Statistiniai metodai, kaip pagrindinė masės, pasikartojančių reiškinių tyrimo priemonė, vaidina svarbų vaidmenį prognozuojant ekonominių rodiklių elgseną. Kai ryšys tarp analizuojamų charakteristikų yra ne deterministinis, o stochastinis, tai statistiniai ir tikimybiniai metodai yra praktiškai vienintelė tyrimo priemonė. Iš matematinių ir statistinių ekonominės analizės metodų labiausiai paplitę yra daugialypės ir porinės koreliacinės analizės metodai. Vienmačiams statistiniams suvestiniams dydžiams tirti naudojama variacijų eilutė, pasiskirstymo dėsniai ir atrankos metodas. Daugiamatėms statistinėms populiacijoms tirti naudojamos koreliacijos, regresijos, dispersijos ir faktorių analizė.

Ekonometriniai metodai yra pagrįsti trijų žinių sričių: ekonomikos, matematikos ir statistikos sinteze. Ekonometrijos pagrindas – ekonominis modelis, kuris suprantamas kaip schematiškas ekonominio reiškinio ar proceso atvaizdavimas naudojant mokslinę abstrakciją, atspindintis jiems būdingus bruožus. Plačiausiai naudojamas analizės metodas yra kaštai – produkcija. Tai matriciniai (balansiniai) modeliai, sukurti pagal šachmatų schemą ir leidžiantys kompaktiškiausia forma pateikti sąnaudų ir gamybos rezultatų santykį. Skaičiavimų patogumas ir ekonominio aiškinimo aiškumas yra pagrindiniai matricinių modelių bruožai. Tai svarbu kuriant automatizuoto duomenų apdorojimo sistemas, planuojant gaminių gamybą kompiuteriu.

Matematinis programavimas yra svarbi šiuolaikinės taikomosios matematikos šaka. Matematiniai (pirmiausia linijinio programavimo) metodai yra pagrindinė problemų sprendimo priemonė, ūkinės veiklos optimizavimas.Iš esmės šie metodai yra planinių skaičiavimų priemonė.Jų vertė planų įgyvendinimo ekonominei analizei slypi tame, kad kad jie leidžia įvertinti planuojamų taikinių įtampą, nustatyti ribojančias įrangos grupes, žaliavų ir medžiagų rūšis, gauti gamybos išteklių trūkumo įverčius ir kt.

Operacijų studijoje turime omenyje kryptingų veiksmų (operacijų) metodų kūrimą, gautų sprendimų kiekybinį įvertinimą ir geriausių iš jų pasirinkimą. Operacijų tyrimo objektas – ekonominės sistemos, įskaitant įmonių ūkinę veiklą. Tikslas yra toks struktūrinių tarpusavyje susijusių sistemų elementų derinys, kuris geriausiai atitinka užduotį gauti geriausią ekonominį rodiklį iš daugelio galimų.

Žaidimų teorija kaip operacijų tyrimo šaka – tai matematinių modelių teorija, leidžianti priimti optimalius sprendimus kelių skirtingų interesų šalių neapibrėžtumo ar konflikto sąlygomis.

Eilių teorija, remdamasi tikimybių teorija, tiria matematinius eilės procesų kiekybinio įvertinimo metodus. Taigi bet kuris įmonės struktūrinis padalinys gali būti vaizduojamas kaip paslaugų sistemos objektas.

Visų problemų, susijusių su eilėmis, bendras bruožas yra atsitiktinis tiriamų reiškinių pobūdis. Paslaugų užklausų skaičius ir laiko intervalai tarp jų gavimo yra atsitiktinio pobūdžio, jų negalima vienareikšmiškai numatyti. Tačiau visumoje daugeliui šių reikalavimų taikomi tam tikri statistiniai modeliai, kurių kiekybinis tyrimas yra eilių teorijos objektas.

Ekonominė kibernetika ekonominius reiškinius ir procesus analizuoja kaip labai sudėtingas sistemas valdymo ir informacijos judėjimo juose dėsnių ir mechanizmų požiūriu. Ekonominėje analizėje plačiausiai naudojami modeliavimo ir sisteminės analizės metodai.

Daugeliu atvejų ekstremalių problemų sprendimą reikia rasti nevisiškai žinant nagrinėjamo reiškinio mechanizmą. Toks sprendimas randamas eksperimentiniu būdu. Pastaraisiais metais ekonomikos mokslas vis labiau domisi metodų įforminimu empirinei optimalių proceso sąlygų paieškai pasitelkiant žmogaus patirtį ir intuiciją.

Euristiniai metodai – tai neformalizuoti ekonominių problemų, susijusių su esama ekonomine situacija, sprendimo metodai, paremti intuicija, praeities patirtimi, specialistų ekspertiniais vertinimais ir kt.

Ekonominės veiklos analizei daugelis metodų iš aukščiau pateiktos pavyzdinės schemos nerado praktinio pritaikymo ir yra tik plėtojami ekonominės analizės teorijoje. Vadovėlyje aptariami pagrindiniai ekonominiai ir matematiniai metodai, kurie jau buvo pritaikyti ekonominės analizės praktikoje. Vieno ar kito matematinio metodo taikymas ekonominėje analizėje grindžiamas ekonominių procesų ekonominio ir matematinio modeliavimo metodika bei moksliškai pagrįsta analizės metodų ir uždavinių klasifikacija.

Pagal optimalumo klasifikavimo kriterijų visi ekonominiai ir matematiniai metodai (uždaviniai) skirstomi į dvi grupes: optimizavimo ir neoptimizavimo. Jeigu metodas ar užduotis leidžia ieškoti sprendimo pagal duotą optimalumo kriterijų, tai šis metodas priskiriamas optimizavimo metodų grupei. Tuo atveju, kai sprendimo paieška vykdoma be optimalumo kriterijaus, atitinkamas metodas priskiriamas neoptimizavimo metodų grupei.

Remiantis tikslaus sprendimo gavimu, visi ekonominiai ir matematiniai metodai skirstomi į tikslius ir apytikslius. Jeigu metodo algoritmas leidžia gauti tik vieną sprendimą pagal duotą optimalumo kriterijų arba be jo, tai šis metodas priskiriamas tiksliųjų metodų grupei. Tuo atveju, kai ieškant sprendimo naudojama stochastinė informacija ir uždavinio sprendimą galima gauti bet kokiu tikslumu, naudojamas metodas priskiriamas apytikslių metodų grupei. Į apytikslių metodų grupę patenka ir tie, kuriuos taikant negarantuojama gauti unikalų sprendimą pagal pateiktą optimalumo kriterijų.

Taigi, naudojant tik du klasifikavimo požymius, visi ekonominiai ir matematiniai metodai skirstomi į keturias grupes: 1) optimizavimo tikslieji metodai; 2) apytiksliai optimizavimo metodai;

3) neoptimizavimo tikslūs metodai; 4) neoptimizavimo apytiksliai metodai.

Taigi optimalių procesų teorijos metodai, kai kurie matematinio programavimo metodai ir operacijų tyrimo metodai gali būti priskirti optimizavimo tiksliesiems metodams. Apytikslieji optimizavimo metodai apima individualius matematinio programavimo metodus, operacijų tyrimo metodus, ekonominės kibernetikos metodus, ekstremalių eksperimentų planavimo matematinės teorijos metodus, euristinius metodus.

Neoptimizavimo tikslieji metodai apima elementariosios matematikos metodus ir klasikinius matematinės analizės metodus, ekonometrinius metodus. Neoptimizavimo apytiksliai metodai apima statistinių testų metodą ir kitus matematinės statistikos metodus.

Schemoje (žr. 1 pav.) pateiktos padidintos ekonominių ir matematinių metodų grupės, atskiri metodai iš šių grupių naudojami sprendžiant įvairias problemas, tiek optimizavimo, tiek neoptimizavimo; tiek tiksliai, tiek apytiksliai. Didelę reikšmę ūkinės veiklos analizei turi balanso ir faktoriaus metodų (užduočių) grupavimas.

Balanso metodai – tai struktūros, proporcijų ir santykių analizės metodai.

Ekonominė analizė – tai visų pirma faktorių analizė (plačiąja to žodžio prasme, o ne tik stochastinės faktorinės analizės forma).

Ekonominė faktorių analizė reiškia laipsnišką perėjimą nuo pradinės faktorių sistemos (veiklos rodiklio) į galutinę faktorių sistemą (arba atvirkščiai), atskleidžiant visą rinkinį tiesioginių, kiekybiškai išmatuojamų veiksnių, turinčių įtakos rezultato rodiklio pokyčiui.

Panagrinėkime apytikslę įmonių darbo faktorinės analizės problemų klasifikaciją matematinių metodų taikymo požiūriu (2 pav.).

Atliekant tiesioginę faktorių analizę, nustatomi atskiri veiksniai, turintys įtakos rezultato rodiklio ar proceso pokyčiui, nustatomos deterministinio (funkcinio) arba stochastinio ryšio tarp rezultato rodiklio ir tam tikros veiksnių visumos formos, galiausiai – individo vaidmuo. išaiškinami rezultato ekonominio rodiklio keitimo veiksniai. Tiesioginės faktorinės analizės problemos formulavimas apima deterministinius ir stochastinius atvejus.

Ryžiai. 2 - Išplėstinė ekonominės faktorinės analizės problemų klasifikavimo schema

matematinis modeliavimas ekonomikos analitinis

Tiesioginės deterministinės faktorinės analizės uždaviniai yra labiausiai paplitusi ekonominės veiklos analizės uždavinių grupė.

Panagrinėkime tiesioginės stochastinės faktorinės analizės problemos formulavimo ypatumus. Jei atliekant tiesioginę deterministinę faktorių analizę, pradiniai analizės duomenys pateikiami konkrečių skaičių pavidalu, tai tiesioginės stochastinės faktorinės analizės atveju jie pateikiami imtimi (laikine arba skersine). Stochastinės faktorinės analizės problemoms spręsti reikia: atlikti giluminius ekonominius tyrimus, siekiant nustatyti pagrindinius veiksnius, turinčius įtakos veiklos rodikliui; regresijos tipo parinkimas, kuris geriausiai atspindėtų tikrąjį tiriamojo rodiklio ryšį su veiksnių visuma; metodo, leidžiančio nustatyti kiekvieno veiksnio įtaką rezultato rodikliui, sukūrimas.

Jei tiesioginės deterministinės analizės rezultatai turėtų pasirodyti tikslūs ir nedviprasmiški, tai stochastiniai - su tam tikra tikimybe (patikimumu), kurią reikėtų įvertinti.

Tiesioginės stochastinės faktorinės analizės pavyzdys – darbo našumo ir kitų ekonominių rodiklių regresinė analizė.

Ekonominėje analizėje, be užduočių, susijusių su rodiklio detalizavimu, suskaidymu į jo sudedamąsias dalis, yra užduočių grupė, kai reikia susieti daugybę ekonominių charakteristikų komplekse, t.y. sukurti funkciją, kurioje yra pagrindinė visų nagrinėjamų ekonominių rodiklių-argumentų kokybė, t.y. sintezės užduotys. Šiuo atveju iškeliama atvirkštinė užduotis (atsižvelgiant į tiesioginės faktorinės analizės užduotį) - užduotis sujungti daugybę rodiklių į kompleksą.

Atvirkštinės faktorinės analizės problemos gali būti deterministinės ir stochastinės. Atvirkštinės deterministinės faktorinės analizės problemos pavyzdžiai yra kompleksinio ekonominės veiklos vertinimo problemos, taip pat matematinio programavimo problemos, įskaitant tiesinį. Atvirkštinės stochastinės faktorinės analizės problemos pavyzdžiu gali būti gamybos funkcijos, nustatančios ryšius tarp produkcijos vertės ir gamybos veiksnių (pirminių išteklių) kaštų. Norint išsamiai ištirti ekonominius rodiklius ar procesus, būtina atlikti ne tik vieno etapo, bet ir grandininę faktorių analizę: statinę (erdvinę) ir dinaminę (erdvinę ir laike).

Veiksnių detalizavimas gali būti tęsiamas toliau. Baigę, jie išsprendžia atvirkštinę faktorinės analizės problemą, sintezuodami tyrimo rezultatus rezultato rodikliui apibūdinti. y.Šis tyrimo metodas vadinamas grandininiu statiniu faktorinės analizės metodu. Naudojant grandininę dinaminę faktorių analizę, norint visapusiškai ištirti rezultato rodiklio elgseną, neužtenka jo statinės vertės; Rodiklio faktorinė analizė atliekama skirtingais laiko padalijimo intervalais, kuriais remiantis tiriamas rodiklis.

Ekonominė faktorių analizė gali būti skirta išaiškinti veiksnių, sudarančių ekonominės veiklos rezultatus, poveikį pagal įvairius erdvinės ar laiko kilmės šaltinius.

Ekonominės veiklos rodiklių dinaminių (laiko) eilučių analizė, suskaidant eilutės lygį į komponentus (pagrindinė raidos kryptis - tendencija, sezoninis ar periodinis komponentas, ciklinis komponentas, susijęs su reprodukcijos reiškiniais, atsitiktinis komponentas) - laiko faktoriaus analizės užduotis.

Faktinės analizės problemų klasifikacija supaprastina daugelio ekonominių problemų formulavimą, leidžia nustatyti bendrus jų sprendimo modelius. Tiriant sudėtingus ekonominius procesus, galima nustatyti uždavinius, jei pastarieji visiškai nepriklauso jokiam klasifikacijoje nurodytam tipui.

Atliekant sisteminius tyrimus plačiausiai naudojami matematiniai metodai. Tuo pačiu metu praktinių problemų sprendimas matematiniais metodais atliekamas nuosekliai pagal šį algoritmą:

matematinis problemos formulavimas (matematinio modelio sukūrimas);

gauto matematinio modelio tyrimo metodo pasirinkimas;

gauto matematinio rezultato analizė.

Matematinė uždavinio formuluotė dažniausiai vaizduojami skaičiais, geometriniais vaizdais, funkcijomis, lygčių sistemomis ir kt. Objekto (reiškinio) aprašymas gali būti vaizduojamas naudojant ištisines arba diskrečiąsias, deterministines arba stochastines ir kitas matematines formas.

Matematinis modelis yra matematinių ryšių (formulių, funkcijų, lygčių, lygčių sistemų) sistema, apibūdinanti tam tikrus tiriamo objekto, reiškinio, proceso ar viso objekto (proceso) aspektus.

Pirmasis matematinio modeliavimo etapas – problemos formulavimas, tyrimo objekto ir uždavinių apibrėžimas, objektų tyrimo ir jų valdymo kriterijų (ypatybių) nustatymas. Neteisingas arba neišsamus problemos išdėstymas gali paneigti visų tolesnių etapų rezultatus.

Šis modelis yra kompromiso tarp dviejų priešingų tikslų rezultatas:

modelis turi būti detalus, atsižvelgti į visus realiai egzistuojančius ryšius ir jo darbe dalyvaujančius veiksnius bei parametrus;

tuo pačiu modelis turi būti pakankamai paprastas, kad, esant tam tikriems išteklių apribojimams, per priimtiną laikotarpį būtų galima gauti priimtinus sprendimus ar rezultatus.

Modeliavimą galima pavadinti apytiksliu moksliniu tyrimu. O jo tikslumo laipsnis priklauso nuo tyrėjo, jo patirties, tikslų, išteklių.

Kuriant modelį padarytos prielaidos yra modeliavimo tikslų ir tyrėjo galimybių (resursų) pasekmė. Jie nustatomi pagal rezultatų tikslumo reikalavimus ir, kaip ir pats modelis, yra kompromiso rezultatas. Juk būtent prielaidos skiria vieną to paties proceso modelį nuo kito.

Paprastai kuriant modelį nereikšmingi veiksniai yra atmetami (į juos neatsižvelgiama). Laikoma, kad fizinių lygčių konstantos yra pastovios. Kartais kai kurie procese besikeičiantys dydžiai yra suvidurkinami (pavyzdžiui, oro temperatūra gali būti laikoma nepakitusi per tam tikrą laikotarpį).

1. Modelio kūrimo procesas

Tai nuoseklaus (ir galbūt pasikartojančio) tiriamo reiškinio schematizavimo arba idealizavimo procesas.

Modelio tinkamumas yra jo atitikimas realiam fiziniam procesui (arba objektui), kurį jis reprezentuoja.

Norint sukurti fizinio proceso modelį, būtina nustatyti:

Kartais taikomas metodas, kai taikomas mažo užbaigtumo modelis, kuris yra tikimybinio pobūdžio. Tada kompiuterio pagalba ji analizuojama ir išgryninama.

Modelio patvirtinimas prasideda ir praeina pačiame jo konstravimo procese, kai pasirenkamas ar nustatomas vienoks ar kitoks ryšys tarp jo parametrų, įvertinamos priimtos prielaidos. Tačiau suformavus modelį kaip visumą, būtina jį išanalizuoti iš kai kurių bendrų pozicijų.

Modelio matematinis pagrindas (t. y. matematinis fizinių ryšių aprašymas) turi būti nuoseklus būtent matematikos požiūriu: funkcinės priklausomybės turi turėti tokias pat tendencijas kaip ir realūs procesai; lygčių egzistavimo sritis turi būti ne mažesnė už diapazoną, kuriame atliekamas tyrimas; jie neturėtų turėti specialių taškų ar spragų, jei jie nėra realiame procese ir pan. Lygtys neturėtų iškreipti tikrojo proceso logikos.

Modelis turi adekvačiai, t.y. kuo tiksliau atspindėti tikrovę. Tinkamumas reikalingas ne apskritai, o svarstomame diapazone.

Neatitikimai tarp modelio analizės rezultatų ir tikrojo objekto elgesio yra neišvengiami, nes modelis yra atspindys, o ne pats objektas.

Ant pav. 3. pateikiamas apibendrintas vaizdavimas, naudojamas kuriant matematinius modelius.

Ryžiai. 3. Aparatas matematiniams modeliams kurti

Taikant statinius metodus, dažniausiai naudojamas algebros ir diferencialinių lygčių aparatas su nuo laiko nepriklausomais argumentais.

Dinaminiuose metoduose diferencialinės lygtys naudojamos taip pat; integralinės lygtys; dalinės diferencialinės lygtys; automatinio valdymo teorija; algebra.

Naudojami tikimybiniai metodai: tikimybių teorija; informacijos teorija; algebra; atsitiktinių procesų teorija; Markovo procesų teorija; automatų teorija; diferencialines lygtis.

Svarbią vietą modeliavime užima modelio ir realaus objekto panašumo klausimas. Kiekybiniai atitikmenys tarp atskirų realiame objekte vykstančių procesų aspektų ir jo modelio apibūdinami skalėmis.

Apskritai procesų panašumas objektuose ir modeliuose pasižymi panašumo kriterijais. Panašumo kriterijus yra bedimensinis parametrų rinkinys, apibūdinantis tam tikrą procesą. Atliekant tyrimą, priklausomai nuo tyrimo srities, naudojami įvairūs kriterijai. Pavyzdžiui, hidraulikoje toks kriterijus yra Reinoldso skaičius (apibūdina skysčio sklandumą), šilumos inžinerijoje – Nusselto skaičius (apibūdina šilumos perdavimo sąlygas), mechanikoje – Niutono kriterijus ir kt.

Manoma, kad jei tokie modelio ir tiriamo objekto kriterijai yra vienodi, tai modelis yra teisingas.

Kitas teorinio tyrimo metodas greta panašumo teorijos – matmenų analizės metodas, kuri remiasi dviem prielaidomis:

fizikiniai dėsniai išreiškiami tik fizikinių dydžių laipsnių sandaugiais, kurie gali būti teigiami, neigiami, sveikieji ir trupmeniniai; abiejų lygybės dalių, išreiškiančių fizinį matmenį, matmenys turi būti vienodi.

Naują skaičiavimą kaip sistemą visapusiškai sukūrė Niutonas, tačiau jis ilgą laiką neskelbė savo atradimų.

Oficialia diferencialinio skaičiavimo gimimo data galima laikyti gegužę, kai Leibnicas paskelbė pirmąjį straipsnį "Naujas aukštumų ir nuosmukių metodas...". Šiame straipsnyje glausta ir neprieinama forma buvo išdėstyti naujo metodo, vadinamo diferencialiniu skaičiavimu, principai.

Leibnicas ir jo mokiniai

Šie apibrėžimai paaiškinti geometriškai, fig. be galo maži prieaugiai vaizduojami kaip baigtiniai. Svarstymas grindžiamas dviem reikalavimais (aksiomomis). Pirmas:

Reikalaujama, kad du dydžiai, besiskiriantys vienas nuo kito tik be galo mažu dydžiu, [supaprastinant reiškinius?] galėtų būti imami abejingai vienas vietoj kito.

Kiekvienos tokios linijos tęsinys vadinamas kreivės liestine. Tirdama liestinę, einanti per tašką, L'Hopital didelę reikšmę skiria kiekiui

,

pasiekus kraštutines vertes kreivės vingio taškuose, o santykiui su neteikiama jokia ypatinga reikšmė.

Pažymėtina ekstremalumo taškų paieška. Jei nuolat didėjant skersmeniui, ordinatės pirmiausia didėja, o paskui mažėja, tada skirtumas pirmiausia yra teigiamas, palyginti su, o po to neigiamas.

Bet bet koks nuolat didėjantis ar mažėjantis dydis negali virsti iš teigiamo į neigiamą nepraeidamas per begalybę ar nulį... Iš to išplaukia, kad didžiausio ir mažiausio dydžio skirtumas turi būti lygus nuliui arba begalybei.

Ši formuluotė tikriausiai nėra nepriekaištinga, jei prisiminsime pirmąjį reikalavimą: tarkime, , tada pagal pirmąjį reikalavimą

;

esant nuliui, dešinė pusė lygi nuliui, bet kairė ne. Matyt, reikėjo pasakyti, kad galima transformuoti pagal pirmąjį reikalavimą taip, kad maksimaliame taške . . Pavyzdžiuose viskas savaime aišku, ir tik vingio taškų teorijoje Lopital rašo, kad didžiausiame taške jis lygus nuliui, padalytas iš .

Be to, vien diferencialų pagalba suformuluojamos ekstremumo sąlygos ir nagrinėjama daugybė sudėtingų problemų, daugiausia susijusių su diferencine geometrija plokštumoje. Knygos pabaigoje sk. 10, yra nurodyta tai, kas dabar vadinama L'Hopital taisykle, nors ir ne visai įprasta forma. Tegul kreivės ordinatės reikšmė išreiškiama trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis išnyksta ties . Tada kreivės taškas su turi ordinatę, lygią skaitiklio skirtumo ir vardiklio diferencialo santykiui, paimtam .

Pagal L'Hopital idėją, tai, ką jis parašė, buvo pirmoji analizės dalis, o antrojoje turėjo būti integralinis skaičiavimas, tai yra būdas rasti kintamųjų ryšį pagal žinomą jų diferencialų ryšį. Pirmąją jo ekspoziciją pateikia Johanas Bernulli savo Matematinės paskaitos apie integralinį metodą. Čia pateikiamas metodas, kaip imti daugumą elementariųjų integralų, ir nurodyti daugelio pirmos eilės diferencialinių lygčių sprendimo būdai.

Nurodydamas praktinį naujojo metodo naudingumą ir paprastumą, Leibnicas rašė:

Tai, ką žmogus, išmanantis šį skaičiavimą, gali išsiaiškinti trimis eilutėmis, kiti labiausiai išsilavinę vyrai buvo priversti ieškoti sudėtingais aplinkkeliais.

Euleris

Per kitą pusę amžiaus įvykę pokyčiai atsispindi plačiame Eulerio traktate. Analizės pristatymas atveria dviejų tomų „Įvadą“, kuriame pateikiami įvairių elementariųjų funkcijų vaizdų tyrimai. Sąvoka „funkcija“ pirmą kartą pasirodė tik Leibnize, tačiau Euleris jį iškėlė pirmiesiems vaidmenims. Pradinis funkcijos sąvokos aiškinimas buvo toks, kad funkcija yra skaičiavimo išraiška (vok. Rechnungsausdrϋck) arba analitinė išraiška.

Kintamojo dydžio funkcija yra analitinė išraiška, tam tikru būdu sudaryta iš šio kintamojo dydžio ir skaičių arba pastovių dydžių.

Pabrėždamas, kad „pagrindinis skirtumas tarp funkcijų slypi tame, kaip jos sudaromos iš kintamųjų ir konstantų“, Euleris išvardija veiksmus, „kuriais dydžiai gali būti derinami ir maišomi vienas su kitu; šie veiksmai yra: sudėties ir atimties, daugybos ir dalybos, eksponencijos didinimas ir šaknų ištraukimas; čia taip pat turėtų būti [algebrinių] lygčių sprendimas. Be šių operacijų, vadinamų algebrinėmis, yra daugybė kitų transcendentinių operacijų, tokių kaip eksponentinė, logaritminė ir daugybė kitų, atliekamų integraliniu skaičiavimu. Toks aiškinimas leido lengvai susidoroti su daugiareikšmėmis funkcijomis ir nereikėjo paaiškinti, kuriame lauke funkcija laikoma: skaičiavimo išraiška apibrėžiama sudėtingoms kintamųjų reikšmėms, net jei tai nėra būtinas nagrinėjamai problemai spręsti.

Veiksmai išraiškoje buvo leidžiami tik baigtiniu skaičiumi, o transcendentas prasiskverbė be galo didelio skaičiaus pagalba. Išraiškose šis skaičius naudojamas kartu su natūraliaisiais skaičiais. Pavyzdžiui, tokia eksponento išraiška laikoma galiojančia

,

kurioje tik vėlesni autoriai įžvelgė perėjimą prie ribos. Analitinėmis išraiškomis buvo atliekamos įvairios transformacijos, kurios leido Euleriui rasti elementariųjų funkcijų atvaizdus serijų, begalinių sandaugų ir pan. pavidalu. Euleris skaičiavimo išraiškas transformuoja taip pat, kaip ir algebroje, nekreipdamas dėmesio į galimybę funkcijos reikšmę taške kiekvienam iš parašytų formulių.

Priešingai nei L'Hôpital, Euleris išsamiai apžvelgia transcendentines funkcijas, o ypač dvi labiausiai ištirtas jų klases - eksponentinę ir trigonometrinę. Jis atranda, kad visos elementarios funkcijos gali būti išreikštos naudojant aritmetines operacijas ir dvi operacijas – imant logaritmą ir eksponentą.

Pati įrodinėjimo eiga puikiai parodo be galo didelio panaudojimo techniką. Nustatęs sinusą ir kosinusą naudodamas trigonometrinį apskritimą, Euleris iš sudėjimo formulių išveda:

Įdėdamas ir , jis gauna

,

atmesti be galo mažas aukštesnės eilės vertes. Naudodamas šią ir panašią išraišką, Euleris taip pat gauna savo garsiąją formulę

.

Nurodęs įvairias išraiškas funkcijoms, kurios dabar vadinamos elementariomis, Euleris pradeda nagrinėti kreives plokštumoje, nubrėžtas laisvu rankos judesiu. Jo nuomone, kiekvienai tokiai kreivei neįmanoma rasti vienos analitinės išraiškos (taip pat žr. Stygų ginčą). XIX amžiuje, Casorati siūlymu, šis teiginys buvo laikomas klaidingu: pagal Weierstrasso teoremą bet kuri ištisinė kreivė šiuolaikine prasme gali būti apytiksliai apibūdinta daugianariais. Tiesą sakant, Euleris vargu ar buvo tuo įtikintas, nes vis tiek turime perrašyti ištrauką iki ribos naudojant simbolį .

Eulerio diferencialinio skaičiavimo pristatymas prasideda baigtinių skirtumų teorija, o trečiajame skyriuje pateikiamas filosofinis paaiškinimas, kad „begalinis dydis yra tiksliai nulis“, o tai labiausiai netiko Eulerio amžininkams. Tada diferencialai sudaromi iš baigtinių skirtumų su be galo mažu prieaugiu ir iš Niutono interpoliacijos formulės, Taylor formulės. Šis metodas iš esmės grįžta į Taylor (1715) darbą. Šiuo atveju Euleris turi stabilų santykį , kuris vis dėlto laikomas dviejų begalinių mažųjų santykiu. Paskutiniai skyriai yra skirti apytikriam skaičiavimui naudojant serijas.

Trijų tūrių integralo skaičiavime Euleris integralo sąvoką interpretuoja ir pristato taip:

Ta funkcija, kurios diferencialas vadinamas jo integralu ir žymima priešais esančiu ženklu.

Apskritai ši Eulerio traktato dalis yra skirta bendresnei diferencialinių lygčių integravimo šiuolaikiniu požiūriu problemai. Tuo pat metu Euleris randa daugybę integralų ir diferencialinių lygčių, kurios lemia naujas funkcijas, pavyzdžiui, -funkcijas, elipsines funkcijas ir tt. Tikslų jų neelementarumo įrodymą 1830-aisiais pateikė Jacobi elipsinėms funkcijoms ir pateikė Liouville (žr. elementarias funkcijas).

Lagranžas

Kitas svarbus darbas, suvaidinęs reikšmingą vaidmenį plėtojant analizės sampratą, buvo Analitinių funkcijų teorija Lagrange'as ir platus Lagrange'o darbo perpasakojimas, kurį Lacroix atliko šiek tiek eklektiškai.

Norėdamas visiškai atsikratyti begalybės mažumo, Lagrange'as pakeitė ryšį tarp darinių ir Taylor serijos. Analitine funkcija Lagranžas suprato savavališką funkciją, ištirtą analizės metodais. Pačią funkciją jis pavadino kaip , suteikdamas grafinį būdą parašyti priklausomybę – anksčiau Euleris valdė tik kintamuosius. Norint taikyti analizės metodus, anot Lagrange'o, būtina, kad funkcija išsiplėstų į seriją

,

kurių koeficientai bus naujos funkcijos . Belieka iškviesti išvestinę (diferencialinį koeficientą) ir pažymėti kaip . Taigi vedinio sąvoka įvedama antrajame traktato puslapyje ir be begalinių mažylių pagalbos. Belieka tai pastebėti

,

taigi koeficientas yra du kartus didesnis už išvestinės išvestinę, t.y.

ir tt

Šis požiūris į išvestinės sąvokos aiškinimą yra naudojamas šiuolaikinėje algebroje ir buvo pagrindas Weierstrass analitinių funkcijų teorijai sukurti.

Lagranžas naudojo tokias serijas kaip formalias ir gavo daugybę nuostabių teoremų. Visų pirma, pirmą kartą ir gana griežtai jis įrodė įprastų diferencialinių lygčių pradinės problemos išsprendžiamumą formaliose laipsnių eilutėse.

Klausimą, kaip įvertinti aproksimacijų, pateiktų dalinėmis Taylor serijos sumomis, tikslumą, pirmą kartą iškėlė Lagranžas: pabaigoje Analitinių funkcijų teorijos jis išvedė tai, kas dabar vadinama Teiloro Lagranžo liekanos formule. Tačiau, priešingai nei šiuolaikiniai autoriai, Lagrange'as nematė poreikio naudoti šį rezultatą Taylor serijos konvergencijai pateisinti.

Vėliau diskusijų objektu tapo klausimas, ar analizėje naudojamas funkcijas tikrai galima išplėsti laipsnio eilutėje. Žinoma, Lagrange'as žinojo, kad kai kuriais taškais elementarios funkcijos gali neišsiplėsti į laipsnio eilutę, tačiau šiais taškais jos jokiu būdu nesiskiria. Koshy savo Algebrinė analizė pateikė funkciją kaip priešingą pavyzdį

pratęstas nuliu prie nulio. Ši funkcija visur sklandžiai veikia tikroje ašyje ir turi nulinę Maclaurin seriją ties nuliu, todėl ji nesutampa su . Prieš šį pavyzdį Puasonas prieštaravo, kad Lagranžas funkciją apibrėžė kaip vieną analitinę išraišką, o Cauchy pavyzdyje funkcija nuliui ir . Tik XIX amžiaus pabaigoje Pringsheimas įrodė, kad egzistuoja be galo diferencijuota funkcija, kurią suteikia viena išraiška, kuriai Maclaurin serija skiriasi. Tokios funkcijos pavyzdys pateikia išraišką

.

Tolimesnis vystymas

Paskutiniame XIX amžiaus trečdalyje Weierstrassas atliko analizės aritmetizavimą, laikydamas nepakankamu geometrinio pagrindimo, ir pasiūlė klasikinį ribos apibrėžimą ε-δ kalba. Jis taip pat sukūrė pirmąją griežtą realiųjų skaičių aibės teoriją. Tuo pačiu metu bandymai patobulinti Riemann integruojamumo teoremą leido sukurti realių funkcijų nepertraukiamumo klasifikaciją. Taip pat buvo atrasti „patologiniai“ pavyzdžiai (niekur nediferencijuojamos tolydžios funkcijos, erdvės užpildymo kreivės). Šiuo atžvilgiu Jordanas sukūrė matų teoriją, o Kantoras - aibių teoriją, o XX amžiaus pradžioje jų pagalba buvo formalizuota matematinė analizė. Kita svarbi XX amžiaus raida buvo nestandartinės analizės, kaip alternatyvaus požiūrio į analizės pagrindimą, sukūrimas.

Matematinės analizės skyriai

• Metrinė erdvė, topologinė erdvė

taip pat žr

Bibliografija

enciklopedijos straipsniai

• // Enciklopedinė leksika: Sankt Peterburgas: tipas. A. Pliushardas, 1835-1841 m. 1-17 tomas.

• // Enciklopedinis Brockhauso ir Efrono žodynas: 86 tomai (82 tomai ir 4 papildomi). - Sankt Peterburgas. , 1890–1907 m.

Mokomoji literatūra

Standartiniai vadovėliai

Daugelį metų Rusijoje buvo populiarūs šie vadovėliai:

• Kurantas, R. Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas (dviejų tomų). Pagrindinė kurso metodinė išvada: pirmiausia paprasčiausiai išdėstomos pagrindinės mintys, o po to pateikiami griežti įrodymai. Parašė Courantas, kai jis buvo Getingeno universiteto profesorius 1920-aisiais, veikiamas Kleino idėjų, o 1930-aisiais jis buvo perkeltas į Amerikos žemę. 1934 m. vertimas į rusų kalbą ir jo perspausdinimas pateikia tekstą pagal vokišką leidimą, septintojo dešimtmečio vertimas (vadinamasis 4-asis leidimas) yra rinkinys iš vadovėlio vokiškų ir amerikietiškų versijų, todėl yra labai žodinis.
• Fikhtengoltas G. M. Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas (trijų tomų) ir probleminė knyga.
• Demidovičius B.P. Matematinės analizės uždavinių ir pratimų rinkinys.
• Lyashko I. I. ir kt. Aukštosios matematikos žinynas, 1-5 t.

Kai kurie universitetai turi savo analizės gaires:

• Maskvos valstybinis universitetas, MehMat:

• Arkhipovas G. I., Sadovnichijus V. A., Chubarikovas V. N. Paskaitos apie matematiką. analizė.
• Zorichas V.A. Matematinė analizė. I dalis M.: Nauka, 1981. 544 p.
• Zorichas V.A. Matematinė analizė. II dalis. M.: Nauka, 1984. 640 p.
• Kamyninas L.I. Matematinės analizės kursas (dviejų tomų). Maskva: Maskvos universiteto leidykla, 2001 m.

• V. A. Iljinas, V. A. Sadovnichijus, Bl. H. Sendovas. Matematinė analizė / Red. A. N. Tichonova. - 3 leidimas. , peržiūrėjo ir papildomas - M .: Prospektas, 2006. - ISBN 5-482-00445-7

• Maskvos valstybinio universiteto Fizikos fakultetas:

• Iljinas V. A., Poznyak E. G. Matematinės analizės pagrindai (dviejų dalių). - M .: Fizmatlit, 2005. - 648 p. - ISBN 5-9221-0536-1
• Butuzovas V.F. ir kt. Mat. klausimų ir užduočių analizė

• Matematika technikos universitete Mokymo priemonių rinkinys 21 tomas.

• Sankt Peterburgo valstybinio universiteto Fizikos fakultetas:

• Smirnovas V.I. Aukštosios matematikos kursas, 5 tomai. M.: Nauka, 1981 (6-asis leidimas), BHV-Petersburg, 2008 (24-as leidimas).

• NSU, ​​mekhmatas:

• Reshetnyak Yu. G. Matematinės analizės kursas. I dalis. 1 knyga. Matematinės analizės įvadas. Vieno kintamojo funkcijų diferencialinis skaičiavimas. Novosibirskas: Matematikos instituto leidykla, 1999. 454 p. ISBN 5-86134-066-8.
• Reshetnyak Yu. G. Matematinės analizės kursas. I dalis. 2 knyga. Vieno kintamojo funkcijų integralinis skaičiavimas. Kelių kintamųjų funkcijų diferencialinis skaičiavimas. Novosibirskas: Matematikos instituto leidykla, 1999. 512 p. ISBN 5-86134-067-6.
• Reshetnyak Yu. G. Matematinės analizės kursas. II dalis. 1 knyga. Sklandžios analizės daugiamatėse erdvėse pagrindai. Eilučių teorija. Novosibirskas: Matematikos instituto leidykla, 2000. 440 p. ISBN 5-86134-086-2.
• Reshetnyak Yu. G. Matematinės analizės kursas. II dalis. 2 knyga. Daugelio kintamųjų funkcijų integralinis skaičiavimas. Integralinis skaičiavimas ant kolektorių. Išorinės diferencialinės formos. Novosibirskas: Matematikos instituto leidykla, 2001. 444 p. ISBN 5-86134-089-7.
• Švedovas I. A. Kompaktiškas matematinės analizės kursas, 1 dalis. Vieno kintamojo funkcijos, 2 dalis. Kelių kintamųjų funkcijų diferencialinis skaičiavimas.

• MIPT, Maskva

• Kudrjavcevas L. D. Matematinės analizės kursas (trijų tomų).

• Baltarusijos valstybinio universiteto Fizikos fakultetas:

• Bogdanov Yu.S. Matematinės analizės paskaitos (dviejų dalių). - Minskas: BGU, 1974. - 357 p.

Išplėstiniai vadovėliai

Pamokos:

• Rudinas W. Matematinės analizės pagrindai. M., 1976 – nedidelė knygelė, parašyta labai aiškiai ir glaustai.

Padidinto sudėtingumo užduotys:

• G. Polia, G. Sege, Problemos ir teoremos iš analizės. 1 dalis, 2 dalis, 1978 m
• Paskalis, E.(Neapolis). Esercizii, 1895; 2 leidimas, 1909 // Interneto archyvas

Humanitarinių mokslų vadovėliai

• AM Achtyamov matematika sociologams ir ekonomistams. - M. : Fizmatlit, 2004 m.
• N. Sh. Kremer ir kiti Aukštoji matematika ekonomistams. Vadovėlis. 3 leidimas - M. : Vienybė, 2010 m

problemines knygas

• G. N. Bermanas. Užduočių rinkinys matematinės analizės kursui: Vadovėlis universitetams. – 20-asis leidimas. M.: Mokslas. Pagrindinis fizinės ir matematinės literatūros leidimas, 1985. - 384 p.
• P. E. Danko, A. G. Popovas, T. Ya. Koževnikovas. Aukštoji matematika pratimuose ir užduotyse. (Iš 2 dalių) - M .: Vyssh.shk, 1986 m.
• GI Zaporozhets Matematinės analizės problemų sprendimo vadovas. - M.: Aukštoji mokykla, 1966 m.
• I. A. Kaplanas. Aukštosios matematikos praktikos pamokos, iš 5 dalių - Charkovas, Red. Charkovo valstija. un-ta, 1967, 1971, 1972 m.
• A. K. Boyarchukas, G. P. Golovachas. Diferencialinės lygtys pavyzdžiuose ir uždaviniuose. Maskva. URSS redakcija, 2001 m.
• A. V. Pantelejevas, A. S. Jakimova, A. V. Bosovas. Paprastosios diferencialinės lygtys pavyzdžiuose ir uždaviniuose. MAI, 2000 m
• A. M. Samoilenko, S. A. Krivošeja, N. A. Perestyukas. Diferencialinės lygtys: pavyzdžiai ir uždaviniai. V. S., 1989 m.
• K. N. Lungu, V. P. Norinas, D. T. Pismenny, Yu. A. Ševčenka. Aukštosios matematikos uždavinių rinkinys. 1 kursas. – 7-asis leidimas. - M.: Iris-press, 2008 m.
• I. A. Maronas. Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas pavyzdžiuose ir užduotyse (Vieno kintamojo funkcijos). - M., „Fizmatlit“, 1970 m.
• V. D. Černenka. Aukštoji matematika pavyzdžiuose ir uždaviniuose: vadovėlis aukštosioms mokykloms. 3 tomuose - Sankt Peterburgas: Politechnika, 2003 m.

Žinynai

klasikinių kūrinių

Raštai apie analizės istoriją

• Kestneris, Abraomas Gotgelfas. Geschichte der Mathematik . 4 tomai, Getingenas, 1796-1800 m
• Kantoras, Moricas. Vorlesungen über geschichte der mathematik Leipcigas: B. G. Teubneris, - . bd. 1, Bd. 2, Bd. 3, Bd. 4
• Matematikos istorija, redagavo A. P. Juškevičius (trimis tomomis):

• 1 tomas Nuo seniausių laikų iki naujųjų laikų pradžios. (1970 m.)
• 2 tomas Matematika XVII a. (1970 m.)
• 3 tomas Matematika XVIII a. (1972 m.)

• Markushevich AI esė apie analitinių funkcijų teorijos istoriją. 1951 m
• Vileitner G. Matematikos istorija nuo Dekarto iki XIX amžiaus vidurio. 1960 m

Pastabos

1. Pvz., Cornell Un kursas
2. Niutonas I. Matematiniai darbai. M, 1937 m.
3. Leibnicas // Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., V t., p. 220-226. Rus. per.: Sėkmės Mat. Nauk, 3 t., c. 1 (23), p. 166-173.
4. Lopital. Begalinių mažumų analizė. M.-L.: GTTI, 1935. (Toliau: Lopital) // Mat. analizė EqWorld
5. Lopital, ch. 1, def. 2.
6. Lopital, ch. 4, def. vienas.
7. Lopital, ch. 1, 1 reikalavimas.
8. Lopital, ch. 1, 2 reikalavimas.
9. Lopital, ch. 2, def.
10. Lopital, § 46.
11. Lopitalis nerimauja dėl kitko: jam segmento ilgis ir būtina paaiškinti, ką reiškia jo negatyvumas. § 8-10 pateiktą pastabą netgi galima suprasti taip, kad mažėjant augant reikia rašyti , bet toliau tai nevartojama.

Matematiniai metodai

Informacijos rinkimo, judėjimo ir transformavimo procesų formalizavimas ir modeliavimas yra susijęs su matematinių metodų, įgyvendinančių reikiamas skaičiavimo ir logines operacijas, įskaitant ir automatizuotose informacinėse sistemose, naudojimu. Todėl teisinė informatika yra glaudžiai susijusi su matematika ir naudoja įvairių matematikos mokslų metodus.

Pastaruoju metu teisės krypties informacinių procesų studijose pasitelkiama tikimybių teorija, matematinė statistika, matematinė logika, operacijų tyrimai ir daugelis kitų matematikos mokslų bei disciplinų. Matematiniai metodai, būdami specialiai laužyti teisės teorijoje, praturtina ir sustiprina teisės mokslo metodą, bet, žinoma, jo nepakeičia.

Šiandien galime teigti, kad tiksliuosius matematikos metodus teisės srityje taikančių specialistų pastangos sutelktos dviem kryptimis: pirmoji – matematinis teisės tyrimų rezultatų apdorojimas; antrasis – teisės struktūros tyrimas matematiniais metodais. Šios sritys sudaro pagrindą įvairių automatizuotų socialinės ir teisinės informacijos apdorojimo sistemų kūrimui ir pritaikymui teisinėje srityje.

Pirmoji kryptis dar 1775 m. sukūrė Pierre'as Simonas Laplasas, pasiūlęs tikimybių teorijos metodus vertinti įrodymus, analizuoti rinkimus ir susirinkimų sprendimus bei nustatyti klaidų tikimybę teismo nuosprendžiuose.

Jo pasekėjai Siméonas Poissonas ir Auguste'as Cournot atitinkamai 1837 ir 1877 metais išleido traktatą „Tikimybių tyrimas, pagrįstas baudžiamųjų ir civilinių nuosprendžių medžiaga, remiantis bendromis tikimybių skaičiavimo taisyklėmis“ ir monografiją „Tikimybių teorijos pagrindai“. Tikimybė ir tikimybė“, kurio 15 skyrius vadinosi: „Teismų sprendimų tikimybių teorija. Jo taikymas civilinių bylų statistikai. Jungtinėse Amerikos Valstijose teisės-metrinių tyrimų estafetę perėmė profesorius J. Schubertas iš Mičigano, 1959 metais išleidęs savo veikalą „Teismų elgesio kiekybinė analizė“. 1961 m. Stuartas Nagelis paskelbė daugybę straipsnių, tarp kurių „Laukiant nuosprendžio“ yra kiekybinis rodiklis, nurodantis galimybę laimėti ar prarasti ieškinius, kylančius dėl žalos padarymo, atsižvelgiant į tai, ar byloje yra daugybė kintamųjų, kurie apdorojami statistinių apibendrinimų metodu.

Šiuo metu šios krypties rėmuose įvairūs matematiniai metodai sėkmingai naudojami sprendžiant šias problemas: kiekybinis teisės reiškinių aprašymas; apskaitos ir atskaitomybės užtikrinimas teisinėje veikloje skaitiniu būdu apdorojant įvairius statistinius rodiklius.

Antroji kryptis yra pagrįsta idėja redukuoti samprotavimus iki skaičiavimų ir turi gilias istorines šaknis, siekiančias R. Descartes'ą. Jis numatė galimybę sukurti dirbtinę mokslo kalbą, išsamiai apibūdino ją ir didžiulę naudą, susijusią su pastarosios naudojimu. Dekartas padarė prielaidą, kad mūsų mintyse egzistuoja tam tikra natūrali tvarka, kurią jis palygino su tvarka skaičių pasaulyje. Su visu begaliniu skaičių rinkiniu kiekvienas iš jų turi unikalų ženklų atvaizdavimą, todėl kiekvienam iš jų galima suteikti savo pavadinimą, kuris leis veiksmus su jais užrašyti specialia kompaktiška kalba. Kadangi tokia universali kalba buvo sukurta skaičiams, tai, pasak Dekarto, laikui bėgant bus sukonstruota dar universalesnė kalba, apimanti ne tik skaičius, bet ir bet kokius objektus, kurie gali tapti tyrimo objektu. Tokia kalba leistų apibūdinti bet kokias idėjas, atskiriant paprastus vaizdus ir fiksuojant elementus, sudarančius kiekvieną mintį. Tai pašalins bet kokią painiavos galimybę. Tokia kalba neaiškios reikšmės žodžius supriešintų su gerai apibrėžtais dirbtiniais elementais. Vietoj „statykime“ mokslininkai sakys „apskaičiuokime“.

Universalios mokslo kalbos idėjos plėtrai daug dėmesio skiriama G. Leibnizo darbuose, padėjusio pamatus matematinei logikai. Leibnizo nuomone, bendro metodo, kurio dėka bus galima susisteminti amžinąsias tiesas, jas įrodyti, net atrasti naujų, idealas yra toks:

1) reikia visas sąvokas išskaidyti į paprasčiausias, kaip ir matematikoje sudėtiniai skaičiai skaidomi į pirminių faktorių sandaugą. Paprasčiausių sąvokų skaičius tokioje kalboje negali būti didelis;

2) pažymėdami kiekvieną sąvoką specialiu simboliu, gauname „žmogaus minties abėcėlę“;

3) visi galimi paprastų sąvokų deriniai suteiks mums sudėtingų sąvokų rinkinį. Ir nors pirmųjų skaičius nedidelis, tačiau, kaip rodo kombinatorikos formulės, jų kombinacijų skaičius gali būti beveik neišsemiamas;

4) būtina įvesti specialius simbolius pagrindiniams sąvokų ryšiams ir nustatyti šių simbolių vartojimo ir derinių taisykles.

Taigi mąstymo procesą reikėjo redukuoti iki ypatingos rūšies mechaninių skaičiavimų, kuriais iš esmės užsiima šiuolaikinė simbolinė logika.

Šiuolaikinė logika sukūrė daugybę sistemų, apibūdinančių atskirus prasmingo samprotavimo fragmentus. Teisės normų struktūrai modeliuoti specialiai sukurta „norminė logika“, kurios tema – norminių teiginių loginė struktūra ir loginiai ryšiai.

Taigi, vertindami teisės normų struktūros, teisinių santykių ir norminių išvadų loginio modeliavimo principus, V. Knapp ir A. Gerloch nurodo, kad jais grindžiama teisės normų klasifikacija yra supaprastinta realių teisės normų, kurios yra kompleksinės, abstrakcija. Pavyzdžiui, tyrinėdami teisės sąvokų palyginamumą ir suderinamumą, šie autoriai prieina prie išvados, kad „paveldėjimo teisės“ ir „rinkimų teisės“ sąvokų nepalyginamumas negali būti įrodytas loginiu samprotavimu nei vienos iš logikos teorijų rėmuose, kadangi bendro požymio „dėsnis“ buvimas daro šias sąvokas formaliai palyginamas . Šių sąvokų nepalyginamumui įrodyti, anot autorių, neapsieinama be teisės teorijos aparato.

Kitas teisės normų formalizavimo būdas grindžiamas matematinės logikos panaudojimu teisės normos loginei struktūrai modeliuoti.

Matematinė logika yra šiuolaikinė formaliosios logikos forma, t.y. mokslas, tiriantis išvadas jų formalios struktūros požiūriu.

Jokia mintis sąvokų, sprendimų ar išvadų pavidalu neegzistuoja už kalbos ribų. Atskleisti ir tirti logines struktūras galima tik analizuojant kalbines išraiškas.

Teiginys paprastai suprantamas kaip kokia nors prielaida, apie kurią prasminga sakyti, kad jis teisingas ar klaidingas. Teiginiuose apibrėžiamos šios operacijos:

jungtukas (loginis „ir“);

disjunkcija (loginis "arba");

neigimas (loginis „ne“);

implikacija („jei .., tada ...“).

Taigi, A.O. Gavrilovas pasiūlė logines operacijas sumodeliuoti teisės normos loginę struktūrą. Modeliavimo tikslas – atskleisti loginius (taip pat ir latentinius) teisės normos ryšius. Teisės normos loginė struktūra gali būti pavaizduota taip:

((p→ d) → ˥ s) → (˥ d→ s)

kur p- normos hipotezė;

d- disponavimas;

s- sankcija.

Minėtas teisės kalbos formalizavimas leidžia modeliuoti ir analizuoti kai kurias teisės normas naudojant tokią naują teisinės informacijos automatizuotų sistemų klasę kaip ekspertinės sistemos.

Tačiau pažymėtina, kad matematikos kalbos naudojimas teisės formalizavimui yra gerokai apribotas. Tai daugiausia lemia tai, kad, kaip teigia A.G. Olshanetsky, „Tarp teisininkų vis dar nėra sutarimo dėl teisės sąvokų loginio pobūdžio, loginės specifikos, jų konstruktyvaus vaidmens plėtojant jurisprudencijos mokslą, formuojant teisinį determinantą, jo loginio judėjimo socialinio reguliavimo mechanizme. sistemos. Mokslininkų nuomonės šiuo klausimu yra dviprasmiškos, turi prieštaringą, kartais prieštaringą pobūdį. Visų pirma išsakoma nuomonė, kad tik kai kurios baudžiamosios teisės sąvokos turi tam tikrą loginį specifiškumą. Kalbant apie kitas teisės šakas, konkrečiai juridinis yra arba nereikšmingas, arba jo visai nėra... Jie turi tik ekstraloginio pobūdžio bruožus. Jų turinio ... struktūroje, jį formuojančių požymių pobūdyje nėra požymių, kurie leistų šias sąvokas išskirti specialioje mokslinių sąvokų klasėje.

Pasak O.A. Gavrilovo, yra penkios pagrindinės priežastys, kodėl matematika negali tapti universalia teisės mokslo tyrimo priemone:

1. Augant socialinio-teisinio objekto kompleksiškumui ir vientisumui, žymiai sumažėja galimybė jį skaidyti į formalizuojamus elementus.

2. Pagrindinės socialinių mokslų kategorijos yra sudėtingos, daugialypės ir daugialypės sąvokos, kurias sieja daugybė neformalizuojamų ryšių, tokių kaip pagrindas, antstatas, gamybinės jėgos, gamybiniai santykiai, valstybė, teisė, ekonomika, politika, demokratija.

3. Valstybė ir teisė, kaip klasinės visuomenės reiškiniai, yra vientisos socialinės-politinės sistemos. Jiems būdinga daug kokybinių požymių ir ryšių, kurie nėra nei kiekybiniai, nei tikimybiniai, nei funkciniai (matematine šio žodžio prasme), todėl nėra pritaikyti matematiniam formalizavimui.

4. Atliekant lyginamąją matematinių metodų ir tradicinių teisės mokslo priemonių analizę, neįmanoma neįžvelgti jų vienas kitą papildančių priešybių.

5. Tradiciniais kokybiniais metodais atliekamų tyrimų išskirtinis bruožas – jų visapusiškumas ir įvairovė, reiškinių aprėpties lankstumas. Išskirtinis matematinių tyrimų bruožas – didelis jų tikslumas. Taikydamas tradicinius teisės mokslo metodus, teisės tyrinėtojas įgyja vaizdo išsamumą, bet praranda visą tikslumą. Ir atvirkščiai, taikydamas kiekybinius tyrimo metodus, jis laimi mokslinio aprašymo tikslumu, bet praranda lankstumą ir visapusiškumą.

Pažymėtina, kad ne visi teisininkai laikosi šio požiūrio. Taigi, V.P. Pavlovas, tyrinėdamas teisinių tyrimų matematizavimo galimybę, nesutinka su aukščiau pateiktu O. A. požiūriu. Gavrilovas.

Jo nuomone, bet kurio mokslo istorija liudija, kad pradiniame žinių lygyje, kuriame kaupiami moksliniai faktai apie stebimas tiriamų reiškinių savybes ir empirinius modelius (dominančio reiškinio raidos tendencijų pavidalu). mums praktiniame gyvenime), jie naudoja stebėjimo, eksperimento, matavimų, aprašymų, apibendrinimo, analizės ir sintezės palyginimo, klasifikavimo ir sisteminimo metodus. Šiems metodams įgyvendinti jurisprudencijoje plačiai taikomi tradiciniai bendrieji mokslo metodai, tokie kaip filosofinis, lyginamosios teisės metodas, kompleksinio tyrimo metodas. Tačiau tikrai teorinis lygmuo pasiekiamas, kai iškeliamos mokslinės hipotezės, formuluojami dėsniai ir kuriamos teorijos. Šis lygmuo atitinka įvairius konkrečių reiškinių paaiškinimo metodus, tarp kurių yra hipotetinis, struktūrinis, funkcinis, abstrakcijos metodas, apimantis tam tikrų sąvokų idealizavimą ir apibendrinimą, hipotezių pagrindimo ir teorijų kūrimo metodas. Šis lygis pasiekiamas tik įtraukiant matematiką kaip universaliausią materialaus pasaulio analizės įrankį. Dialektinis šių dviejų lygių ryšys slypi tame, kad empirinių faktų, kaip pradinio pažinimo etapo, nustatymas visada atliekamas remiantis tam tikromis ankstesnio lygio teorinėmis žiniomis, o patys empiriniai faktai yra pagrindas kelti teorinių žinių lygis tiriamoje srityje. Todėl vienas kitą papildantis tradicinių ir matematinių metodų santykis slypi ne jų priešpriešoje, o būtent tame, kad jų universalumas leidžia užtikrinti tiriamo reiškinio matomumą, tikslumą ir išsamumą. Dėl to plečiasi laukas, leidžiantis tradicinėmis priemonėmis suprasti tas tiriamo reiškinio sritis, kurias nuo stebėtojo slėpė empirinio reiškinio paveikslo fragmentacija.

Taigi pagrindinė kliūtis matematiniam teisės normų apibūdinimui yra teisės mokslo konceptualaus aparato dviprasmiškumas, kuris daug kartų išauga nekritiškai jo analizei naudojant matematines priemones. Prieštaravimas slypi tame, kad be matematinio aparato panaudojimo neįmanoma užtikrinti teisės tyrimų išsamumo ir tikslumo, o matematinio aparato panaudojimas yra neįmanomas esamo teisės sąvokinio aparato dviprasmiškumo sąlygomis.