Pirmas skyrius.

Didžiausio sveikojo skaičiaus kvadratinės šaknies ištraukimas iš nurodyto sveikojo skaičiaus.

170. Pirminės pastabos.

a) Kadangi kalbėsime tik apie kvadratinės šaknies išskyrimą, trumpumo dėlei šiame skyriuje vietoj „kvadratinės“ sakysime tiesiog „šaknis“.

b) Jei natūraliosios eilutės skaičius kvadratu: 1,2,3,4,5. . . , tada gauname tokią kvadratų lentelę: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Akivaizdu, kad šioje lentelėje yra daug sveikųjų skaičių; iš tokių skaičių, žinoma, neįmanoma išgauti visos šaknies. Todėl, pavyzdžiui, jei norite paimti kokio nors sveikojo skaičiaus šaknį. reikia rasti √4082, tada sutiksime šį reikalavimą suprasti taip: jei įmanoma, iš 4082 ištraukti visą šaknį; jei ne, tada turime rasti didžiausią sveikąjį skaičių, kurio kvadratas yra 4082 (toks skaičius yra 63, nes 63 2 \u003d 3969 ir 64 2 \u003d 4090).

in) Jei šis skaičius yra mažesnis nei 100, tada jo šaknis yra daugybos lentelėje; taigi √60 būtų 7, nes sem 7 yra lygus 49, kuris yra mažesnis nei 60, o 8 lygus 64, kuris yra didesnis nei 60.

171. Skaičiaus, mažesnio nei 10 000, bet didesnio nei 100, šaknies ištraukimas. Tegul reikia rasti √4082 . Kadangi šis skaičius yra mažesnis nei 10 000, tai jo šaknis yra mažesnė nei √l0 000 = 100. Kita vertus, šis skaičius yra didesnis nei 100; taigi jo šaknis yra didesnė už (arba lygi 10) . (Jei, pavyzdžiui, reikėtų rasti √ 120 , tada nors skaičius 120 > 100, tačiau √ 120 yra lygus 10, nes 11 2 = 121.) Bet bet koks skaičius, didesnis nei 10, bet mažesnis nei 100, turi 2 skaitmenis; taigi norima šaknis yra suma:

dešimtys + vienetai,

ir todėl jo kvadratas turi būti lygus sumai:

Ši suma turėtų būti didžiausias kvadratas, sudarytas iš 4082.

Paimkime didžiausią iš jų, 36, ir tarkime, kad šaknies dešimčių kvadratas bus lygus šiam didžiausiam kvadratui. Tada dešimčių skaičius šaknyje turi būti 6. Dabar patikrinkime, ar taip turi būti visada, t.y., šaknies dešimčių skaičius visada yra lygus didžiausiai šaknies skaičiaus šimtų sveikajai šaknei.

Iš tiesų, mūsų pavyzdyje šaknies dešimčių skaičius negali būti didesnis nei 6, nes (7 gr.) 2 \u003d 49 šimtai, o tai viršija 4082. Bet jis negali būti mažesnis nei 6, nes 5 gr. (su vienetais) yra mažesnis nei 6 dess, o tuo tarpu (6 deš.) 2 = 36 šimtai, o tai yra mažiau nei 4082. O kadangi mes ieškome didžiausios sveikosios šaknies, neturėtume imti šaknies 5 dess, kai 6 dešimtukai nėra daug.

Taigi, mes radome šaknies dešimčių skaičių, būtent 6. Rašome šį skaičių dešinėje nuo = ženklo, prisimindami, kad tai reiškia šaknies dešimtis. Iškėlę į aikštę gauname 36 šimtukus. Šiuos 36 šimtus atimame iš 40 šimtų šakninio skaičiaus ir panaikiname kitus du šio skaičiaus skaitmenis. Likusioje 482 dalyje turi būti 2 (6 gr.) (vnt.) + (vnt.) 2. (6 gr.) sandauga (vienetas) turi būti dešimtys; todėl dešimties vienetų dvigubos sandaugos reikia ieškoti liekanos dešimtukuose, t.y., 48 (jų skaičių gausime atskyrę vieną skaitmenį nuo dešinės liekanoje 48 "2). kurie dar nėra žinomi). , tada turėtume gauti skaičių, esantį 48. Todėl 48 padalinsime iš 12.

Norėdami tai padaryti, nubrėžiame vertikalią liniją į kairę nuo likusios dalies ir už jos (nukrypdami nuo linijos viena vieta į kairę taikiniui, kuris dabar bus rastas) parašome dvigubą pirmąjį šaknies skaitmenį, ty 12, ir į jį padalinkite 48. Dalinyje gauname 4.

Tačiau negalima iš anksto garantuoti, kad skaičių 4 galima paimti kaip šaknies vienetus, nes dabar visą likusios dešimčių skaičių padalinome iš 12, o kai kurie iš jų gali nepriklausyti dvigubai dešimčių sandaugai. vienetais, bet yra vienetų kvadrato dalis. Todėl skaičius 4 gali būti didelis. Turite ją išbandyti. Akivaizdu, kad tinka, jei 2 (6 gr.) 4 + 4 2 suma pasirodo esanti ne didesnė už likusią 482 dalį.

Dėl to iš karto gauname abiejų sumą. Gautas produktas buvo 496, tai yra daugiau nei likęs 482; Taigi 4 yra didelis. Tada tokiu pat būdu išbandysime kitą mažesnį skaičių 3.

Pavyzdžiai.

4-ame pavyzdyje 47 liekanos dešimtis dalijant iš 4, dalinyje gauname 11. Bet kadangi šaknies vieneto skaitmuo negali būti dviženklis skaičius 11 ar 10, turime tiesiogiai patikrinti skaičių 9.

5-ame pavyzdyje iš pirmojo kvadrato paviršiaus atėmus 8, likusioji dalis yra 0, o kitas paviršius taip pat susideda iš nulių. Tai rodo, kad norimą šaknį sudaro tik 8 dešimtys, todėl vietoj vienetų reikia įdėti nulį.

172. Didesnio nei 10000 skaičiaus šaknies ištraukimas. Tegul reikia rasti √35782 . Kadangi radikalinis skaičius yra didesnis nei 10 000, tada jo šaknis yra didesnė nei √10000 = 100, todėl jis susideda iš 3 ar daugiau skaitmenų. Nesvarbu, kiek skaitmenų jį sudaro, visada galime laikyti jį tik dešimčių ir vienetų suma. Jei, pavyzdžiui, šaknis pasirodė esanti 482, tai galime laikyti 48 dess suma. + 2 vnt Tada šaknies kvadratą sudarys 3 terminai:

(dec.) 2 + 2 (dec.) (un.) + (un.) 2 .

Dabar galime samprotauti lygiai taip pat, kaip ir radę √4082 (ankstesnėje pastraipoje). Vienintelis skirtumas bus tas, kad norėdami rasti 4082 šaknies dešimtis, turėjome išgauti šaknį iš 40, ir tai buvo galima padaryti naudojant daugybos lentelę; dabar, norėdami gauti dešimtis√35782, turėsime paimti 357 šaknį, o to negalima padaryti naudojant daugybos lentelę. Tačiau √357 galime rasti pagal ankstesnėje pastraipoje aprašytą triuką, nes skaičius 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Tada elgiamės taip, kaip darėme radę √4082, būtent: į kairę nuo likusios 3382 dalies nubrėžiame vertikalią liniją ir po jos rašome (nukrypdami nuo linijos per vieną vietą) dvigubą rastų šaknų dešimčių skaičių, t.y 36. (du kartus 18). Likusioje dalyje atskiriame vieną skaitmenį dešinėje ir dešimčių skaičių iš liekanos, t.y 338, padalijame iš 36. Dalinyje gauname 9. Išbandome šį skaičių, kuriam priskiriame 36 dešinėje ir padauginkite iš jo. Paaiškėjo, kad produktas yra 3321, tai yra mažiau nei likusi dalis. Taigi skaičius 9 yra geras, rašome jį šaknyje.

Apskritai, norint paimti kvadratinę šaknį iš bet kurio sveikojo skaičiaus, pirmiausia reikia paimti jo šimtų šaknį; jei šis skaičius yra didesnis nei 100, tuomet turėsite ieškoti šaknies iš šimtų iš šių šimtų, tai yra, iš dešimčių tūkstančių tam tikro skaičiaus; jei šis skaičius yra didesnis nei 100, šaknį turėsite paimti iš šimtų dešimčių tūkstančių, tai yra, iš tam tikro skaičiaus milijonų ir pan.

Pavyzdžiai.

Paskutiniame pavyzdyje radę pirmąjį skaitmenį ir atėmę jo kvadratą, likusioje dalyje gauname 0. Nugriauname kitus 2 skaitmenis 51. Atskirdami dešimtis, gauname 5 dec, o du kartus rastas šakninis skaitmuo yra 6. Taigi, dalijant 5 po 6, gauname 0 Į antrąją vietą įdedame 0 prie šaknies, o kitus 2 skaitmenis išardome iki likusios dalies; gauname 5110. Tada tęsiame kaip įprasta.

Šiame pavyzdyje norimą šaknį sudaro tik 9 šimtai, todėl vietoj dešimčių ir vienetų reikia įdėti nulius.

Taisyklė. Norėdami išgauti duoto sveikojo skaičiaus kvadratinę šaknį, sulaužykite ją iš dešinės į kairę, krašte, po 2 skaitmenis kiekviename, išskyrus paskutinį, kuris gali turėti vieną skaitmenį.
Norėdami rasti pirmąjį šaknies skaitmenį, paimkite kvadratinę šaknį iš pirmojo veido.
Norint rasti antrąjį skaitmenį, šaknies pirmojo skaitmens kvadratas atimamas iš pirmojo paviršiaus, antrasis paviršius nugriaunamas iki likusios dalies, o gauto skaičiaus dešimčių skaičius padalinamas iš dvigubo pirmojo šaknies skaitmens. ; gautas sveikasis skaičius tikrinamas.
Šis testas atliekamas taip: už vertikalios linijos (į kairę nuo likučio) parašo du kartus anksčiau rastą šaknies skaičių ir jam dešinėje priskiria bandomąją figūrą, gautą skaičių, po to Be to, skaičius padauginamas iš bandomojo skaičiaus. Jei padauginus gaunamas skaičius, didesnis už likutį, tai bandomoji figūra nėra gera ir reikia patikrinti kitą mažesnį skaičių.
Šie šaknies skaičiai randami tuo pačiu metodu.
Jei nugriovus veidą gauto skaičiaus dešimčių skaičius pasirodo mažesnis už daliklį, t.y. mažiau nei du kartus už rastą šaknies dalį, tada prie šaknies dedama 0, nugriauna kitą veidą ir tęsia. veiksmas toliau.

173. Šaknies skaitmenų skaičius. Atsižvelgus į šaknies radimo procesą, darytina išvada, kad šaknyje yra tiek skaitmenų, kiek šakniniame skaičiuje yra po 2 skaitmenis (kairėje pusėje gali būti vienas skaitmuo).

Antras skyrius.

Apytikslių kvadratinių šaknų išskyrimas iš sveikųjų ir trupmeninių skaičių .

Išskirdami daugianario kvadratinę šaknį, žr. § 399 ir paskesnių 2-osios dalies papildymus.

174. Tikslios kvadratinės šaknies ženklai. Tiksli nurodyto skaičiaus kvadratinė šaknis yra skaičius, kurio kvadratas yra tiksliai lygus nurodytam skaičiui. Nurodykime keletą ženklų, pagal kuriuos galima spręsti, ar tiksli šaknis išgauta iš tam tikro skaičiaus, ar ne:

a) Jei tiksli sveikojo skaičiaus šaknis nėra išgaunama iš duoto sveikojo skaičiaus (ji gaunama išimant likutį), tada iš tokio skaičiaus negalima rasti tikslios trupmeninės šaknies, nes bet kuri trupmena, kuri nėra lygi sveikajam skaičiui, padauginta iš savęs , taip pat pateikia produkto trupmeną, o ne sveikąjį skaičių.

b) Kadangi trupmenos šaknis yra lygi skaitiklio šaknims, padalytai iš vardiklio šaknies, tikslios neredukuojamos trupmenos šaknies negalima rasti, jei jos negalima išskirti iš skaitiklio arba iš vardiklio. Pavyzdžiui, tikslios šaknies negalima išgauti iš trupmenų 4/5, 8/9 ir 11/15, nes pirmoje trupmenoje ji negali būti išskirta iš vardiklio, antroje - iš skaitiklio, o trečioje - nei iš vardiklio. skaitiklio nei iš vardiklio.

Iš tokių skaičių, iš kurių neįmanoma išgauti tikslios šaknies, galima išgauti tik apytiksles šaknis.

175. Apytikslė šaknis iki 1. Apytikslė kvadratinė šaknis iki 1 iš nurodyto skaičiaus (sveikasis skaičius arba trupmena – nesvarbu) yra sveikasis skaičius, atitinkantis šiuos du reikalavimus:

1) šio skaičiaus kvadratas nėra didesnis už nurodytą skaičių; 2) bet šio skaičiaus kvadratas, padidintas 1, yra didesnis už nurodytą skaičių. Kitaip tariant, apytikslė kvadratinė šaknis iki 1 yra didžiausia tam tikro skaičiaus sveikoji kvadratinė šaknis, tai yra šaknis, kurią išmokome rasti ankstesniame skyriuje. Ši šaknis vadinama apytiksliu iki 1, nes norint gauti tikslią šaknį, prie šios apytikslės šaknies reikėtų pridėti trupmeną, mažesnę nei 1, todėl jei vietoj nežinomos tikslios šaknies imsime šią apytikslę, padarysime klaida, mažesnė nei 1.

Taisyklė. Norėdami išgauti apytikslę kvadratinę šaknį 1 tikslumu, turite išgauti didžiausią sveikojo skaičiaus šaknį iš nurodyto skaičiaus sveikosios dalies.

Pagal šią taisyklę rastas skaičius yra apytikslė šaknis su trūkumu, nes jame trūksta trupmenos (mažiau nei 1) iki tikslios šaknies. Jei padidinsime šią šaknį 1, tai gausime kitą skaičių, kuriame yra šiek tiek pertekliaus už tikslią šaknį, o šis perteklius yra mažesnis nei 1. Šią šaknį, padidintą 1, taip pat galima vadinti apytiksle šaknimi iki 1, bet su perteklius. (Pavadinimai: „su trūkumu“ arba „su pertekliumi“ kai kuriose matematinėse knygose pakeičiami kitais lygiaverčiais: „pagal trūkumą“ arba „pertekliu“.)

176. Apytikslė šaknis 1/10 tikslumu. Tegul reikalaujama rasti √2.35104 iki 1/10. Tai reiškia, kad reikia rasti tokią dešimtainę trupmeną, kurią sudarytų sveikieji vienetai ir dešimtosios ir kuri atitiktų šiuos du reikalavimus:

1) šios trupmenos kvadratas neviršija 2,35104, bet 2) padidinus ją 1/10, tai šios padidintos trupmenos kvadratas viršija 2,35104.

Norėdami rasti tokią trupmeną, pirmiausia randame apytikslę šaknį iki 1, tai yra, ištraukiame šaknį tik iš sveikojo skaičiaus 2. Gauname 1 (o likusioji dalis yra 1). Šaknyje rašome skaičių 1, o po jo dedame kablelį. Dabar ieškosime dešimtųjų skaičiaus. Norėdami tai padaryti, skaitmenį 35 panaikiname iki likusios 1 dalies kablelio dešinėje ir tęsiame ištraukimą taip, lyg ištrauktume šaknį iš sveikojo skaičiaus 235. Gautą skaičių 5 rašome šaknyje vietoje dešimtokai. Mums nereikia likusių šakninio skaičiaus skaitmenų (104). Kad gautas skaičius 1,5 iš tikrųjų bus apytikslė šaknis, kurios tikslumas yra 1/10, matyti iš toliau pateiktų dalykų. Jei rastume didžiausią sveikąjį skaičių 235 šaknį 1 tikslumu, gautume 15. Taigi:

15 2 < 235, bet 16 2 > 235.

Padalinę visus šiuos skaičius iš 100, gauname:

Tai reiškia, kad skaičius 1,5 yra ta dešimtainė trupmena, kurią 1/10 tikslumu pavadinome apytiksle šaknimi.

Šiuo metodu taip pat randame šias apytiksles šaknis, kurių tikslumas yra 0,1:

177. Apytikslė kvadratinė šaknis, kurios tikslumas yra nuo 1/100 iki 1/1000 ir kt.

Tegul reikia rasti apytikslį √248 1/100 tikslumu. Tai reiškia: rasti tokią dešimtainę trupmeną, kurią sudarytų sveikieji skaičiai, dešimtosios ir šimtosios dalys ir kuri atitiktų du reikalavimus:

1) jos kvadratas neviršija 248, bet 2) jei šią trupmeną padidiname 1/100, tai šios padidintos trupmenos kvadratas viršija 248.

Tokią trupmeną rasime tokia seka: pirmiausia rasime sveikąjį skaičių, tada dešimtųjų skaitmenį, tada šimtųjų skaičių. Kvadratinė sveikojo skaičiaus šaknis bus 15 sveikųjų skaičių. Norint gauti dešimtųjų skaičių, kaip matėme, reikia sumažinti iki likusio 23 dar 2 skaitmenys į dešinę nuo kablelio. Mūsų pavyzdyje šie skaičiai iš viso neegzistuoja, jų vietoje dedame nulius. Priskirdami juos likusiai daliai ir tęsdami veiksmą taip, lyg rastume sveikojo skaičiaus 24 800 šaknį, rasime dešimtųjų skaitmenį 7. Belieka rasti šimtųjų skaičių. Norėdami tai padaryti, prie likusios dalies 151 pridedame dar 2 nulius ir tęsiame ištraukimą, tarsi rastume sveikojo skaičiaus 2 480 000 šaknį. Gauname 15,74. Kad šis skaičius iš tikrųjų yra apytikslė šaknis iš 248 1/100 tikslumu, matyti iš toliau pateiktų dalykų. Jei rastume didžiausią sveikojo skaičiaus kvadratinę šaknį iš sveikojo skaičiaus 2 480 000, gautume 1574; reiškia:

1574 2 < 2 480 000, bet 1575 2 > 2 480 000.

Padalinę visus skaičius iš 10 000 (= 100 2), gauname:

Taigi 15,74 yra ta dešimtainė trupmena, kurią pavadinome apytiksle šaknimi 1/100 tikslumu iš 248.

Taikydami šią techniką apytiksliai šaknims rasti, kurių tikslumas yra nuo 1/1000 iki 1/10000 ir t. t., gauname taip.

Taisyklė. Norėdami iš tam tikro sveikojo skaičiaus arba tam tikros dešimtainės trupmenos išskirti apytikslę šaknį, kurios tikslumas yra nuo 1/10 iki 1/100 iki 1/100 ir tt, pirmiausia suraskite apytikslę šaknį, kurios tikslumas yra 1, ištraukdami šaknį iš sveikasis skaičius (jei ne, jie rašo apie 0 sveikųjų skaičių šaknį).

Tada suraskite dešimtųjų skaičių. Norėdami tai padaryti, likutis nugriaunamas, 2 radikalinio skaičiaus skaitmenys kablelio dešinėje (jei jų nėra, likusiai daliai priskiriami du nuliai), o ištraukimas tęsiamas taip pat, kaip daroma tada, kai šaknies ištraukimas iš sveikojo skaičiaus. Gautas skaičius rašomas šaknyje vietoje dešimtųjų.

Tada suraskite šimtųjų skaičių. Norėdami tai padaryti, du numeriai vėl nugriaunami iki likusios dalies, į dešinę nuo ką tik nugriauto ir pan.

Taigi, išskiriant šaknį iš sveikojo skaičiaus su dešimtaine trupmena, reikia padalyti į veidelius po 2 skaitmenis, pradedant nuo kablelio, tiek į kairę (sveikojoje skaičiaus dalyje), tiek į dešinę (į trupmeninė dalis).

Pavyzdžiai.

1) Raskite iki 1/100 šaknų: a) √2; b) √0,3;

Paskutiniame pavyzdyje 3/7 konvertavome į dešimtainį skaičių, apskaičiuodami 8 skaitmenis po kablelio, kad sudarytume 4 veidus, kurių reikia norint rasti 4 šaknies skaitmenis po kablelio.

178. Kvadratinių šaknų lentelės aprašymas.Šios knygos pabaigoje yra kvadratinių šaknų lentelė, apskaičiuota keturiais skaitmenimis. Naudodami šią lentelę galite greitai rasti sveikojo skaičiaus (arba dešimtainės trupmenos) kvadratinę šaknį, kuri išreiškiama ne daugiau kaip keturiais skaitmenimis. Prieš paaiškindami, kaip išdėstyta ši lentelė, pažymime, kad pirmą reikšmingą norimos šaknies skaitmenį visada galime rasti be lentelių pagalbos vienu žvilgsniu į šaknies skaičių; Taip pat galime nesunkiai nustatyti, kuri dešimtainė vieta reiškia pirmąjį šaknies skaitmenį, todėl kur šaknyje, radus jos skaitmenis, reikia dėti kablelį. Štai keletas pavyzdžių:

1) √5"27,3 . Pirmasis skaitmuo bus 2, nes kairėje šakninio skaičiaus pusėje yra 5; o 5 šaknis yra 2. Be to, kadangi visų paviršių radikalinio skaičiaus sveikojoje dalyje yra tik 2, tai norimos šaknies sveikoji dalis turi turėti 2 skaitmenis, todėl pirmasis jos skaitmuo 2 turi reikšti dešimtys.

2) √9,041. Akivaizdu, kad šioje šaknyje pirmasis skaitmuo bus 3 paprasti vienetai.

3) √0,00"83"4 . Pirmasis reikšmingas skaitmuo yra 9, nes veidas, iš kurio reikėtų ištraukti šaknį, norint gauti pirmąjį reikšminį skaitmenį, yra 83, o 83 šaknis yra 9. Kadangi norimame skaičiuje nebus nei sveikųjų, nei dešimtųjų, pirmasis skaitmuo 9 turi reikšti šimtąsias dalis.

4) √0,73 "85. Pirmas reikšmingas skaičius yra 8 dešimtosios.

5) √0,00 "00" 35 "7. Pirmas reikšmingas skaičius bus 5 tūkstantosios dalys.

Padarykime dar vieną pastabą. Tarkime, kad reikia ištraukti šaknį iš tokio skaičiaus, kuris, išmetus jame užimtą, pavaizduotas tokių skaičių seka: 5681. Ši šaknis gali būti viena iš šių:

Jei paimsime šaknis, kurias pabraukėme viena eilute, tada jos visos bus išreikštos ta pačia skaičių seka, būtent tais skaičiais, kurie gaunami ištraukus šaknį iš 5681 (tai bus skaičiai 7, 5, 3, 7 ). Taip yra todėl, kad veidai, į kuriuos reikia padalinti radikalųjį skaičių ieškant šaknies skaitmenų, visuose šiuose pavyzdžiuose bus vienodi, todėl kiekvienos šaknies skaitmenys bus vienodi (tik kablelio padėtis Žinoma, bus kitaip). Lygiai taip pat visose šaknyse, kurias pabraukėme dviem eilutėmis, turėtų būti gauti tie patys skaičiai, būtent tie, kurie išreiškia √568.1 (šie skaičiai bus 2, 3, 8, 3), ir dėl tos pačios priežasties. Taigi, šaknų skaitmenys iš skaičių, pavaizduotų (atmetant kablelį) ta pačia skaitmenų serija 5681, bus dvejopo (ir tik dvigubo) pobūdžio: arba tai yra 7, 5, 3, 7, arba 2, 3, 8, 3 serija. Akivaizdu, kad tą patį galima pasakyti apie bet kurią kitą skaičių seką. Todėl, kaip dabar matysime, lentelėje kiekviena radikalinio skaičiaus skaitmenų eilutė atitinka 2 šaknų skaitmenų eilutes.

Dabar galime paaiškinti lentelės struktūrą ir kaip ją naudoti. Kad būtų aiškiau, čia pavaizdavome pirmojo lentelės puslapio pradžią.

Ši lentelė apima kelis puslapius. Ant kiekvieno iš jų, pirmame stulpelyje kairėje, dedami skaičiai 10, 11, 12 ... (iki 99). Šie skaičiai išreiškia pirmuosius 2 skaičiaus, iš kurio ieškoma kvadratinės šaknies, skaitmenis. Viršutinėje horizontalioje eilutėje (taip pat ir apačioje) yra skaičiai: 0, 1, 2, 3 ... 9, kurie yra 3 šio skaičiaus skaitmuo, o toliau į dešinę yra skaičiai 1, 2 , 3. . . 9, reiškiantis 4-ąjį šio skaičiaus skaitmenį. Visose kitose horizontaliose eilutėse dedami 2 keturženkliai skaičiai, išreiškiantys atitinkamų skaičių kvadratines šaknis.

Tegu reikalaujama rasti kokio nors skaičiaus, sveikojo skaičiaus arba išreikšto dešimtaine trupmena kvadratinę šaknį. Visų pirma, be lentelių pagalbos randame pirmąjį šaknies skaitmenį ir jo kategoriją. Tada išmetame kablelį nurodytame skaičiuje, jei toks yra. Pirmiausia tarkime, kad, pavyzdžiui, atmetus kablelį, lieka tik 3 skaitmenys. 114. Lentelėse kairiausiame stulpelyje randame pirmuosius 2 skaitmenis, t.y 11, ir judame iš jų į dešinę horizontalia linija, kol pasiekiame vertikalią stulpelį, kurio viršuje (ir apačioje) yra 3 skaitmuo. skaičiaus , t.y 4. Šioje vietoje randame du keturženklius skaičius: 1068 ir 3376. Kurį iš šių dviejų skaičių reikia paimti ir kur dėti kablelį, tai lemia pirmasis šaknies skaitmuo ir jo iškrova, kurią radome anksčiau. Taigi, jei jums reikia rasti √0,11 "4, tada pirmasis šaknies skaitmuo yra 3 dešimtosios, todėl šaknims reikia paimti 0,3376. Jei būtų reikalaujama rasti √1,14, tada pirmasis šaknies skaitmuo būtų būtų 1, tada gautume 1,068.

Taigi galime lengvai rasti:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571 ir kt.

Tarkime, kad reikia rasti skaičiaus, išreikšto (atmetus kablelį) 4 skaitmenimis, šaknį, pavyzdžiui, √7 "45.6. Pastebėję, kad pirmasis šaknies skaitmuo yra 2 dešimtys, randame skaičių 745, kaip dabar buvo paaiškinta, skaičiai 2729 (šį skaičių pastebime tik pirštu, bet neužsirašome) Tada judame toliau nuo šio skaičiaus į dešinę iki dešinėje lentelės pusėje (už Paskutinė paryškinta eilutė) sutinkame vertikalią stulpelį, pažymėtą virš (ir žemiau) 4 šio skaičiaus skaitmens, t.y. skaičių 6, ir ten randame skaičių 1. Tai bus korekcija, kurią reikia pritaikyti (galvoje). ) prie anksčiau rasto skaičiaus 2729, gauname 2730. Rašome šį skaičių ir dedame kablelį tinkamoje vietoje: 27.30.

Tokiu būdu randame, pavyzdžiui:

√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04"437 \u003d 0,2107 ir kt.

Jei radikalus skaičius išreiškiamas tik vienu ar dviem skaitmenimis, galime daryti prielaidą, kad po šių skaitmenų yra vienas arba du nuliai, ir tada elgiamės taip, kaip buvo paaiškinta trijų skaitmenų skaičiui. Pavyzdžiui, √2,7 = √2,70 =1,643; √0,13 \u003d √0,13 "0 \u003d 0,3606 ir kt.

Galiausiai, jei šakninis skaičius išreikštas daugiau nei 4 skaitmenimis, paimsime tik pirmuosius 4 iš jų, o likusius išmesime, o norėdami sumažinti klaidą, jei pirmasis iš atmestų skaitmenų yra 5 arba daugiau nei 5, tada ketvirtą iš išsaugotų skaitmenų padidinsime l . Taigi:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; ir tt

komentuoti. Lentelėse nurodoma apytikslė kvadratinė šaknis, kartais su trūkumu, kartais su pertekliumi, ty viena iš šių apytikslių šaknų, kuri yra arčiau tikslios šaknies.

179. Kvadratinių šaknų ištraukimas iš paprastųjų trupmenų. Tikslią neredukuojamos trupmenos kvadratinę šaknį galima išgauti tik tada, kai abu trupmenos nariai yra tikslūs kvadratai. Tokiu atveju pakanka atskirai išgauti šaknį iš skaitiklio ir vardiklio, pavyzdžiui:

Apytikslę paprastosios trupmenos kvadratinę šaknį tam tikru tikslumu po kablelio galima lengviausia rasti, jei pirmą kartą paprastąją trupmeną konvertuosime į dešimtainę trupmeną, apskaičiuodami šioje trupmenoje skaičių po kablelio po kablelio, kuris būtų dvigubai didesnis už kablelio skaičių. vietas norimoje šaknyje.

Tačiau galite elgtis kitaip. Paaiškinkime tai tokiu pavyzdžiu:

Raskite apytikslę √ 5 / 24

Padarykime vardiklį tiksliu kvadratu. Tam pakaktų abu trupmenos narius padauginti iš vardiklio 24; bet šiame pavyzdyje galite elgtis kitaip. 24 išskaidome į pirminius veiksnius: 24 \u003d 2 2 2 3. Iš šio skaidymo matyti, kad jei 24 padauginsime iš 2, o kitą iš 3, tai sandaugoje kiekvienas pirminis koeficientas kartosis lyginį skaičių kartų, ir todėl vardiklis taps kvadratu:

Belieka su tam tikru tikslumu paskaičiuoti √30 ir padalyti rezultatą iš 12. Tokiu atveju reikia turėti omenyje, kad dalinant iš 12 sumažės ir trupmena, rodanti tikslumo laipsnį. Taigi, jei rasime √30 1/10 tikslumu ir rezultatą padalinsime iš 12, tada gausime apytikslę trupmenos 5/24 šaknį 1/120 tikslumu (būtent 54/120 ir 55/120)

Trečias skyrius.

Funkcijų grafikasx = √ y .

180. Atvirkštinė funkcija. Tegul yra lygtis, kuri apibrėžia adresu kaip funkcija X , pavyzdžiui, tai: y = x 2 . Galime sakyti, kad tai lemia ne tik adresu kaip funkcija X , bet ir atvirkščiai, lemia X kaip funkcija adresu , nors ir numanomai. Kad ši funkcija būtų aiški, turime išspręsti šią lygtį X , paėmus adresu už žinomą numerį; Taigi iš mūsų paimtos lygties randame: y = x 2 .

Algebrinė išraiška, gauta x, išsprendus lygtį, kuri apibrėžia y kaip x funkciją, vadinama atvirkštine tos, kuri apibrėžia y, funkcija.

Taigi funkcija x = √ y funkcija atvirkštinė y = x 2 . Jei, kaip įprasta, žymimas nepriklausomas kintamasis X , ir priklausomas adresu , tada gautą atvirkštinę funkciją galime išreikšti taip: y = √x . Taigi, norint gauti funkciją, kuri yra atvirkštinė duotai (tiesioginei), reikia išvesti iš lygties, kuri apibrėžia šią duotąją funkciją X Priklausomai nuo y o gautoje išraiškoje pakeiskite y ant x , a X ant y .

181. Funkcijos grafikas y = √x . Ši funkcija negalima su neigiama verte X , bet jį galima apskaičiuoti (bet kokiu tikslumu) bet kokiai teigiamai vertei x , ir kiekvienai tokiai vertei funkcija gauna dvi skirtingas reikšmes su ta pačia absoliučia verte, bet su priešingais ženklais. Jei pažįstamas √ žymime tik kvadratinės šaknies aritmetinę reikšmę, tada šias dvi funkcijos reikšmes galima išreikšti taip: y= ± √ x Norėdami nubraižyti šią funkciją, pirmiausia turite sukurti jos reikšmių lentelę. Lengviausias būdas sudaryti šią lentelę yra iš tiesioginių funkcijų reikšmių lentelės:

y = x 2 .

x

y

jei vertybės adresu priimti kaip vertybes X , ir atvirkščiai:

y= ± √ x

Pateikę visas šias reikšmes brėžinyje, gauname tokią grafiką.

Tame pačiame brėžinyje pavaizdavome (punktyrinę liniją) ir tiesioginės funkcijos grafiką y = x 2 . Palyginkime šias dvi diagramas.

182. Tiesioginių ir atvirkštinių funkcijų grafikų koreliacija. Sudaryti atvirkštinių funkcijų reikšmių lentelę y= ± √ x paėmėme už X tie skaičiai, kurie yra tiesioginių funkcijų lentelėje y = x 2 tarnavo kaip vertybės adresu , ir už adresu paėmė tuos skaičius; kurių vertės šioje lentelėje buvo x . Iš to išplaukia, kad abu grafikai yra vienodi, tik tiesioginės funkcijos grafikas yra išdėstytas ašies atžvilgiu adresu - kaip atvirkštinės funkcijos grafikas yra ašies atžvilgiu X - ov. Dėl to, jei sulenksime piešinį aplink tiesią liniją OA dalijantis stačiu kampu xOy , kad brėžinio dalis, kurioje yra pusašis OU , nukrito ant dalies, kurioje yra pusiau ašis Oi , tada OU suderinama su Oi , visi skyriai OU sutampa su padalijimais Oi , ir parabolės taškai y = x 2 sutampa su atitinkamais grafiko taškais y= ± √ x . Pavyzdžiui, taškai M ir N , kurio ordinatė 4 , ir abscisė 2 ir - 2 , sutampa su taškais M" ir N" , kurio abscisė 4 , ir ordinatės 2 ir - 2 . Jei šie taškai sutampa, tai reiškia, kad linijos MM" ir NN" statmenai OA ir padalykite šią tiesią per pusę. Tą patį galima pasakyti apie visus kitus svarbius abiejų grafikų taškus.

Taigi atvirkštinės funkcijos grafikas turėtų būti toks pat kaip tiesioginės funkcijos grafikas, tačiau šie grafikai yra išdėstyti skirtingai, būtent simetriškai vienas kito atžvilgiu kampo pusiausvyros atžvilgiu. sveikas . Galime sakyti, kad atvirkštinės funkcijos grafikas yra tiesioginės funkcijos grafiko atspindys (kaip veidrodyje) kampo pusiausvyros atžvilgiu. sveikas .

Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditus, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Jei tai būtina – pagal įstatymus, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valstybės institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų viešojo intereso priežasčių.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Bibliografinis aprašymas: Pryamostanovas S. M., Lysogorova L. V. Kvadratinės šaknies išgavimo metodai // Jaunasis mokslininkas. 2017. №2.2. S. 76-77..02.2019).



Raktažodžiai : kvadratinės šaknies, kvadratinės šaknies ištraukimas.

Matematikos pamokose susipažinau su kvadratinės šaknies sąvoka, kvadratinės šaknies ištraukimo operacija. Pradėjau domėtis, kad kvadratinę šaknį išgauti galima tik naudojant kvadratų lentelę, naudojant skaičiuotuvą, ar yra būdas ją išgauti rankiniu būdu. Radau kelis būdus: Senovės Babilono formulę, sprendžiant lygtis, viso kvadrato atmetimo metodą, Niutono metodą, geometrinį metodą, grafinį metodą (, ), spėjimo metodą, nelyginių skaičių atėmimo metodą.

Apsvarstykite šiuos metodus:

Išskaidykime į pirminius veiksnius naudodami dalijimosi požymius 27225=5*5*3*3*11*11. Šiuo būdu

1. Į Kanados metodas.Šį greitą metodą XX amžiuje atrado jauni mokslininkai viename iš pirmaujančių Kanados universitetų. Jo tikslumas yra ne didesnis kaip dvi ar trys skaitmenys po kablelio.

kur x yra skaičius, iš kurio reikia paimti šaknį, c yra artimiausio kvadrato skaičius), pavyzdžiui:

=5,92

1. stulpelyje.Šis metodas leidžia rasti apytikslę bet kurio tikrojo skaičiaus šaknies reikšmę bet kokiu iš anksto nustatytu tikslumu. Metodo trūkumai apima didėjantį skaičiavimo sudėtingumą, padidėjus rastų skaitmenų skaičiui. Norint rankiniu būdu išgauti šaknį, naudojamas žymėjimas, panašus į padalijimą iš stulpelio.

Kvadratinės šaknies algoritmas

1. Atskirai padalykite trupmeninę ir sveikąją dalį nuo kablelio ant dviejų skaičių krašto kiekviename veide ( pabučiuoti dalis - iš dešinės į kairę; trupmeninis- iš kairės į dešinę). Gali būti, kad sveikojoje dalyje gali būti vienas skaitmuo, o trupmeninėje dalyje – nuliai.

2. Ištraukimas pradedamas iš kairės į dešinę ir pasirenkame skaičių, kurio kvadratas neviršija skaičiaus pirmajame veidelyje. Šį skaičių pakeliame kvadratu ir užrašome po skaičiumi pirmoje pusėje.

3. Randame skirtumą tarp pirmojo veidelio skaičiaus ir pasirinkto pirmojo skaičiaus kvadrato.

4. Iki gauto skirtumo nugriauname kitą veidą, gautas skaičius bus dalytis. Mes formuojame skirstytuvas. Pirmąjį pasirinktą atsakymo skaitmenį padvigubiname (padauginame iš 2), gauname daliklio dešimčių skaičių, o vienetų skaičius turi būti toks, kad jo sandauga visu dalikliu neviršytų dividendo. Pasirinktą skaičių užrašome atsakyme.

5. Iki gauto skirtumo griauname sekantį veidą ir atliekame veiksmus pagal algoritmą. Jei pasirodo, kad šis veidas yra trupmeninės dalies veidas, atsakyme padėkite kablelį. (1 pav.)

Tokiu būdu galite išgauti skaičius skirtingu tikslumu, pavyzdžiui, tūkstantųjų dalių tikslumu. (2 pav.)

Atsižvelgdami į įvairius kvadratinės šaknies ištraukimo būdus, galime daryti išvadą: kiekvienu konkrečiu atveju turite nuspręsti dėl efektyviausio pasirinkimo, kad sugaištumėte mažiau laiko sprendimui.

Literatūra:

1. Kiselevas A. Algebros ir analizės elementai. Pirma dalis.-M.-1928

Raktiniai žodžiai: kvadratinė šaknis, kvadratinė šaknis.

Anotacija: Straipsnyje aprašomi kvadratinės šaknies išgavimo būdai ir pateikiami šaknų išgavimo pavyzdžiai.

Instrukcija

Pasirinkite radikalų skaičių tokį veiksnį, kurio pašalinimas iš apačios šaknis galiojanti išraiška – kitaip operacija bus prarasta. Pavyzdžiui, jei po ženklu šaknis kurių eksponentas lygus trims (kubo šaknis) yra vertas numerį 128, tada iš po ženklo galima išimti, pvz. numerį 5. Tuo pačiu metu šaknis numerį 128 turės būti padalintas iš 5 kubelių: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Jei trupmeninio skaičiaus buvimas po ženklu šaknis neprieštarauja problemos sąlygoms, galima tokia forma. Jei jums reikia paprastesnio varianto, pirmiausia suskaidykite radikaliąją išraišką į tokius sveikojo skaičiaus veiksnius, kurių vieno kubo šaknis bus sveikasis skaičius numerį m. Pavyzdžiui: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Naudokite norėdami pasirinkti šakninio skaičiaus veiksnius, jei mintyse neįmanoma apskaičiuoti skaičiaus laipsnio. Tai ypač pasakytina apie šaknis m, kurio rodiklis didesnis nei du. Jei turite prieigą prie interneto, galite atlikti skaičiavimus naudodami „Google“ ir „Nigma“ paieškos sistemose įmontuotus skaičiuotuvus. Pavyzdžiui, jei reikia rasti didžiausią sveikojo skaičiaus koeficientą, kurį galima paimti iš kubinio ženklo šaknis jei norite gauti numerį 250, tada eikite į „Google“ svetainę ir įveskite užklausą „6 ^ 3“, kad patikrintumėte, ar galima išimti iš po ženklo šaknisšeši. Paieškos sistema parodys rezultatą, lygų 216. Deja, 250 negalima padalyti be likučio iš šio numerį. Tada įveskite užklausą 5^3. Rezultatas bus 125, o tai leidžia padalyti 250 į koeficientus 125 ir 2, o tai reiškia, kad jis bus pašalintas iš ženklo šaknis numerį 5 išvyksta iš ten numerį 2.

Šaltiniai:

• kaip jį ištraukti iš po šaknies
• Produkto kvadratinė šaknis

Išimkite iš apačios šaknis vienas iš veiksnių yra būtinas situacijose, kai reikia supaprastinti matematinę išraišką. Pasitaiko atvejų, kai neįmanoma atlikti reikiamų skaičiavimų naudojant skaičiuotuvą. Pavyzdžiui, jei vietoj skaičių naudojamos kintamųjų raidės.

Instrukcija

Išskaidykite radikaliąją išraišką į paprastus veiksnius. Pažiūrėkite, kuris iš veiksnių kartojasi tiek pat kartų, nurodytas rodikliuose šaknis, arba daugiau. Pavyzdžiui, skaičiaus a šaknį reikia paimti į ketvirtą laipsnį. Šiuo atveju skaičius gali būti pavaizduotas kaip a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. indikatorius šaknisšiuo atveju atitiks veiksnys a3. Jis turi būti pašalintas iš ženklo.

Jei įmanoma, gautų radikalų šaknis ištraukite atskirai. gavyba šaknis yra algebrinė operacija, atvirkštinė eksponencijai. gavyba šaknis savavališką skaičiaus laipsnį, raskite skaičių, kurį pakėlus iki šios savavališkos laipsnio, bus gautas tam tikras skaičius. Jei ištraukimas šaknis negali būti gaminamas, po ženklu palikite radikalią išraišką šaknis taip kaip yra. Atlikę aukščiau nurodytus veiksmus, atliksite pašalinimą iš apačios ženklas šaknis.

Susiję vaizdo įrašai

pastaba

Būkite atsargūs rašydami radikalią išraišką kaip veiksnius - klaida šiame etape sukels neteisingus rezultatus.

Naudingi patarimai

Išgaunant šaknis patogu naudoti specialias lenteles arba logaritminių šaknų lenteles – taip gerokai sutrumpės laikas ieškant tinkamo sprendimo.

Šaltiniai:

• šaknų ištraukimo ženklas 2019 m

Supaprastinti algebrines išraiškas reikia daugelyje matematikos šakų, įskaitant aukštesnio laipsnio lygčių sprendimą, diferenciaciją ir integravimą. Tam naudojami keli metodai, įskaitant faktorizavimą. Norėdami taikyti šį metodą, turite rasti ir išimti bendrą veiksnys per skliausteliuose.

Instrukcija

Išimant bendrą veiksnį skliausteliuose- vienas iš labiausiai paplitusių skaidymo būdų. Ši technika naudojama ilgų algebrinių išraiškų struktūrai supaprastinti, t.y. daugianario. Bendrasis gali būti skaičius, vienanarinis arba dvinaris, o norint jį rasti, naudojama daugybos skirstomoji savybė.

Skaičius. Atidžiai pažiūrėkite į kiekvieno daugianario koeficientus, kad pamatytumėte, ar juos galima padalyti iš to paties skaičiaus. Pavyzdžiui, reiškinyje 12 z³ + 16 z² - 4, akivaizdu veiksnys 4. Po konvertavimo gausite 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Kitaip tariant, šis skaičius yra mažiausiai paplitęs sveikasis visų koeficientų daliklis.

Mononomas Nustatykite, ar tas pats kintamasis yra kiekviename daugianario naryje. Tarkime, kad taip yra, dabar pažvelkime į koeficientus, kaip ir ankstesniu atveju. Pavyzdys: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.

Kiekvienas šio daugianario elementas turi kintamąjį z. Be to, visi koeficientai yra 3 kartotiniai. Todėl bendras koeficientas bus monomialas 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1).

Dvejetainė.Dėl skliausteliuose bendras veiksnys iš dviejų , kintamasis ir skaičius, kuris yra bendrasis daugianomas. Todėl, jei veiksnys-binomas nėra akivaizdus, ​​tada reikia rasti bent vieną šaknį. Pažymėkite laisvąjį daugianario narį, tai koeficientas be kintamojo. Dabar taikykite pakeitimo metodą bendrai visų laisvojo termino sveikųjų skaičių daliklių išraiškai.

Apsvarstykite: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Patikrinkite, ar nėra sveikųjų skaičių 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Raskite z1 paprastu pakeitimu = 1 ir z2 = 2, taigi skliausteliuose dvinarias (z - 1) ir (z - 2) galima išimti. Norėdami rasti likusią išraišką, naudokite nuoseklų padalijimą į stulpelį.

Šaknies ištraukimas iš didelio skaičiaus. Mieli draugai!Šiame straipsnyje parodysime, kaip paimti didelio skaičiaus šaknį be skaičiuoklės. Tai būtina ne tik sprendžiant tam tikro tipo USE uždavinius (yra tokių užduočių judėjimui), bet taip pat pageidautina išmanyti šią analitinę techniką bendram matematiniam vystymuisi.

Atrodytų, viskas paprasta: faktorizuokite ir ištraukite. Jokių problemų. Pavyzdžiui, numeris 291600, išplėstas, suteiks produktui:

Skaičiuojame:

Yra vienas BET! Metodas geras, jei nesunkiai nustatomi dalikliai 2, 3, 4 ir pan. O kas, jei skaičius, iš kurio išimame šaknį, yra pirminių skaičių sandauga? Pavyzdžiui, 152881 yra skaičių 17, 17, 23, 23 sandauga. Pabandykite iš karto rasti šiuos daliklius.

Mes svarstome metodo esmę- tai gryna analizė. Greitai randama šaknis su sukauptais įgūdžiais. Jei įgūdis nėra išlavintas, o požiūris tiesiog suprantamas, tada jis yra šiek tiek lėtesnis, bet vis tiek ryžtingas.

Paimkime šaknį 190969.

Pirmiausia nustatykime, tarp kokių skaičių (šimto kartotinių) yra mūsų rezultatas.

Akivaizdu, kad tam tikro skaičiaus šaknies rezultatas yra diapazone nuo 400 iki 500, nes

400 2 = 160 000 ir 500 2 = 250 000

Tikrai:

viduryje, arčiau 160 000 ar 250 000?

Skaičius 190969 yra kažkur per vidurį, bet vis tiek arčiau 160000. Galime daryti išvadą, kad mūsų šaknies rezultatas bus mažesnis nei 450. Patikrinkime:

Iš tiesų, tai yra mažiau nei 450, nes 190 969< 202 500.

Dabar patikrinkime skaičių 440:

Taigi mūsų rezultatas yra mažesnis nei 440, nes 190 969 < 193 600.

Patikrinkite numerį 430:

Mes nustatėme, kad šios šaknies rezultatas yra nuo 430 iki 440.

Skaičių, kurie baigiasi 1 arba 9, sandauga suteikia skaičių, kuris baigiasi 1. Pavyzdžiui, 21 kartas 21 yra lygus 441.

Skaičių, kurie baigiasi 2 arba 8, sandauga suteikia skaičių, kuris baigiasi 4. Pavyzdžiui, 18 kartų 18 yra lygus 324.

Skaičių, kurie baigiasi 5, sandauga suteikia skaičių, kuris baigiasi 5. Pavyzdžiui, 25 kartus 25 yra lygus 625.

Skaičių, kurie baigiasi 4 arba 6, sandauga suteikia skaičių, kuris baigiasi 6. Pavyzdžiui, 26 kartus 26 yra lygus 676.

Skaičių, kurie baigiasi 3 arba 7, sandauga suteikia skaičių, kuris baigiasi 9. Pavyzdžiui, 17 kartų 17 yra lygus 289.

Kadangi skaičius 190969 baigiasi skaičiumi 9, tai šis produktas yra 433 arba 437.

*Tik jie, surašyti kvadratu, gali duoti 9 pabaigoje.

Mes tikriname:

Taigi šaknies rezultatas bus 437.

Tai yra, mes tarsi „pajutome“ teisingą atsakymą.

Kaip matote, daugiausiai reikia atlikti 5 veiksmus stulpelyje. Galbūt iškart pasieksite reikalą arba atliksite tik tris veiksmus. Viskas priklauso nuo to, kaip tiksliai atliksite pradinį skaičiaus įvertinimą.

Ištraukite savo šaknį iš 148996

Užduotyje gaunamas toks diskriminantas:

Motorlaivis plaukia palei upę iki kelionės tikslo 336 km ir sustojęs grįžta į išvykimo vietą. Raskite laivo greitį stovinčiame vandenyje, jei srovės greitis 5 km/h, stovėjimas trunka 10 valandų, o laivas grįžta į išvykimo vietą praėjus 48 valandoms po išplaukimo iš jo. Atsakymą pateikite km/val.

Žiūrėti sprendimą

Šaknies rezultatas yra tarp skaičių 300 ir 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Tiesa, 90 000<148996<160000.

Tolesnio samprotavimo esmė yra nustatyti, kaip skaičius 148996 yra (nutolęs) nuo šių skaičių.

Apskaičiuokite skirtumus 148996 – 90000=58996 ir 160000 – 148996=11004.

Pasirodo, 148996 yra artimas (daug arčiau) 160000. Todėl šaknies rezultatas tikrai bus didesnis nei 350 ir net 360.

Galime daryti išvadą, kad mūsų rezultatas yra didesnis nei 370. Be to, aišku: kadangi 148996 baigiasi skaičiumi 6, tai reiškia, kad skaičių, kuris baigiasi 4 arba 6, turite padalyti kvadratu. *Tik šie skaičiai, padalyti į kvadratą, išduoda pabaiga 6.

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.