Matematinių lūkesčių samprata gali būti nagrinėjama naudojant kauliuko metimo pavyzdį. Su kiekvienu metimu fiksuojami iškritę taškai. Joms išreikšti naudojamos natūralios vertės nuo 1 iki 6.

Po tam tikro metimų skaičiaus, naudojant paprastus skaičiavimus, galima rasti kritusių taškų aritmetinį vidurkį.

Taip pat atmetus bet kurią diapazono vertę, ši vertė bus atsitiktinė.

O jei metimų skaičių padidinsite kelis kartus? Esant dideliam metimų skaičiui, taškų vidurkio aritmetinė vertė priartės prie konkretaus skaičiaus, kuris tikimybių teorijoje vadinamas matematiniu lūkesčiu.

Taigi matematinis lūkestis suprantamas kaip vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė. Šis rodiklis taip pat gali būti pateiktas kaip svertinė tikėtinų reikšmių suma.

Ši sąvoka turi keletą sinonimų:

• vidurkis;
• Vidutinė vertė;
• centrinis tendencijų indikatorius;
• pirma akimirka.

Kitaip tariant, tai yra ne kas kita, kaip skaičius, aplink kurį pasiskirsto atsitiktinio dydžio reikšmės.

Įvairiose žmogaus veiklos srityse požiūriai į matematinio lūkesčio supratimą šiek tiek skirsis.

Ją galima žiūrėti taip:

• vidutinė nauda, ​​gauta iš sprendimo priėmimo, tuo atveju, kai toks sprendimas vertinamas didelių skaičių teorijos požiūriu;
• galimas laimėjimo arba pralaimėjimo dydis (lošimo teorija), skaičiuojamas vidutiniškai kiekvienam iš statymų. Žargonu jie skamba kaip „žaidėjo pranašumas“ (teigiamas žaidėjui) arba „kazino pranašumas“ (neigiamas žaidėjui);
• procentas nuo pelno, gauto iš laimėjimų.

Matematinis lūkestis nėra privalomas absoliučiai visiems atsitiktiniams dydžiams. Jo nėra tiems, kurių atitinkama suma arba integralas neatitinka.

Laukimo savybės

Kaip ir bet kuris statistinis parametras, matematinis lūkestis turi šias savybes:

Pagrindinės matematinių lūkesčių formulės

Matematinės lūkesčių skaičiavimas gali būti atliktas tiek atsitiktiniams dydžiams, kuriems būdingas tęstinumas (A formulė), tiek diskretiškumas (B formulė):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, kur xi yra atsitiktinio dydžio reikšmės, pi – tikimybės:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, kur f(x) yra duotas tikimybės tankis.

Matematinių lūkesčių skaičiavimo pavyzdžiai

A pavyzdys.

Ar galima sužinoti vidutinį nykštukų ūgį pasakoje apie Snieguolę. Yra žinoma, kad kiekvienas iš 7 nykštukų turėjo tam tikrą ūgį: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 ir 0,81 m.

Skaičiavimo algoritmas yra gana paprastas:

• Raskite visų augimo rodiklio (atsitiktinio kintamojo) reikšmių sumą:
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Gauta suma padalijama iš nykštukų skaičiaus:
  6,31:7=0,90.

Taigi vidutinis nykštukų ūgis pasakoje yra 90 cm Kitaip tariant, tai matematinis nykštukų augimo lūkestis.

Darbinė formulė - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6

Praktinis matematinio lūkesčio įgyvendinimas

Įvairiose praktinės veiklos srityse pasitelkiamas statistinio matematinio lūkesčio rodiklio skaičiavimas. Pirmiausia kalbame apie komercinę sferą. Iš tiesų, Huygenso šio rodiklio įvedimas yra susijęs su galimybių, kurios gali būti palankios arba, priešingai, nepalankios, tam tikram įvykiui, nustatymu.

Šis parametras plačiai naudojamas rizikos vertinimui, ypač kai kalbama apie finansines investicijas.
Taigi versle matematinių lūkesčių skaičiavimas veikia kaip rizikos vertinimo metodas skaičiuojant kainas.

Taip pat šis rodiklis gali būti naudojamas apskaičiuojant tam tikrų priemonių, pavyzdžiui, darbo apsaugos, efektyvumą. Jo dėka galite apskaičiuoti įvykio tikimybę.

Kita šio parametro taikymo sritis yra valdymas. Jį taip pat galima apskaičiuoti gaminio kokybės kontrolės metu. Pavyzdžiui, naudojant kilimėlį. lūkesčius, galite apskaičiuoti galimą gamybos brokuotų dalių skaičių.

Matematinis lūkestis yra būtinas ir statistiškai apdorojant mokslinio tyrimo metu gautus rezultatus. Tai taip pat leidžia apskaičiuoti norimo arba nepageidaujamo eksperimento ar tyrimo rezultato tikimybę, priklausomai nuo tikslo pasiekimo lygio. Juk jo pasiekimas gali būti siejamas su pelnu ir pelnu, o nepasiekimas – kaip nuostolis ar nuostolis.

Matematinių lūkesčių naudojimas Forex

Praktiškai šį statistinį parametrą pritaikyti galima atliekant sandorius užsienio valiutų rinkoje. Jis gali būti naudojamas analizuojant prekybos sandorių sėkmę. Be to, lūkesčių vertės padidėjimas rodo jų sėkmės padidėjimą.

Taip pat svarbu atsiminti, kad matematinis lūkestis neturėtų būti laikomas vieninteliu statistiniu parametru, naudojamu prekiautojo veiklos rezultatams analizuoti. Naudojant kelis statistinius parametrus kartu su vidutine verte, kartais padidėja analizės tikslumas.

Šis parametras pasitvirtino stebint prekybos sąskaitų stebėjimus. Jo dėka atliekamas greitas depozitinėje sąskaitoje atliktų darbų įvertinimas. Tais atvejais, kai prekiautojo veikla yra sėkminga ir jis išvengia nuostolių, nerekomenduojama naudoti vien matematinio lūkesčio skaičiavimo. Tokiais atvejais į riziką neatsižvelgiama, o tai sumažina analizės efektyvumą.

Atlikti prekybininkų taktikos tyrimai rodo, kad:

• efektyviausia yra taktika, pagrįsta atsitiktine įvestimi;
• mažiausiai veiksmingos yra taktika, pagrįsta struktūrizuotais įėjimais.

Norint pasiekti teigiamų rezultatų, taip pat svarbu:

• pinigų valdymo taktika;
• pasitraukimo strategijos.

Naudodami tokį rodiklį kaip matematinis lūkestis, galime daryti prielaidą, koks bus pelnas ar nuostolis investuojant 1 dolerį. Žinoma, kad šis rodiklis, skaičiuojamas visiems kazino praktikuojamiems žaidimams, yra palankus įstaigai. Tai leidžia užsidirbti pinigų. Ilgos žaidimų serijos atveju labai padidėja tikimybė, kad klientas praras pinigus.

Profesionalių žaidėjų žaidimai apsiriboja trumpais laiko tarpais, o tai padidina tikimybę laimėti ir sumažina pralaimėjimo riziką. Toks pat modelis pastebimas ir atliekant investicines operacijas.

Investuotojas gali uždirbti didelę sumą, turėdamas teigiamų lūkesčių ir daug sandorių per trumpą laiką.

Tikėtina gali būti laikoma skirtumu tarp pelno procento (PW) padauginto iš vidutinio pelno (AW) ir nuostolių tikimybės (PL), padauginto iš vidutinio nuostolio (AL).

Kaip pavyzdį apsvarstykite šiuos dalykus: pozicija - 12,5 tūkst. dolerių, portfelis - 100 tūkst. dolerių, rizika vienam indėliui - 1%. Sandorių pelningumas yra 40% atvejų, o vidutinis pelnas yra 20%. Nuostolių atveju vidutinis nuostolis yra 5 proc. Apskaičiavus matematinius sandorio lūkesčius, gaunama 625 USD vertė.

Matematinis diskretiškojo atsitiktinio dydžio lūkestis yra visų jo galimų reikšmių ir jų tikimybių sandaugų suma.

Tegu atsitiktinis dydis gali būti tik kurio tikimybės yra atitinkamai lygios, tada atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą lemia lygybė

Jei diskretinis atsitiktinis kintamasis įgauna skaičiuojamą galimų reikšmių rinkinį, tada

Be to, matematinis lūkestis egzistuoja, jei eilutės dešinėje lygybės pusėje absoliučiai suartėja.

komentuoti. Iš apibrėžimo išplaukia, kad matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis yra neatsitiktinis (pastovus) kintamasis.

Matematinio lūkesčio apibrėžimas bendruoju atveju

Apibrėžkime atsitiktinio dydžio, kurio pasiskirstymas nebūtinai yra diskretus, matematinį lūkestį. Pradėkime nuo neneigiamų atsitiktinių dydžių atvejo. Idėja bus aproksimuoti tokius atsitiktinius dydžius diskrečiųjų pagalba, kuriems matematinis lūkestis jau nustatytas, ir matematinį lūkestį nustatyti lygią jį aproksimuojančių diskrečiųjų atsitiktinių dydžių matematinių lūkesčių ribai. Beje, tai labai naudinga bendra idėja, susidedanti iš to, kad paprastiems objektams iš pradžių nustatoma kokia nors charakteristika, o po to sudėtingesniems objektams ji nustatoma aproksimuojant juos su paprastesniais.

Lema 1. Tegul yra savavališkas neneigiamas atsitiktinis kintamasis. Tada yra tokia diskrečiųjų atsitiktinių dydžių seka, kad

Įrodymas. Padalinkime pusašį į vienodus ilgio segmentus ir apibrėžkime

Tada 1 ir 2 savybės lengvai išplaukia iš atsitiktinio dydžio apibrėžimo ir

Lema 2. Tegul yra neneigiamas atsitiktinis dydis ir dvi sekos diskrečiųjų atsitiktinių dydžių, kurių savybės yra 1-3 iš 1 lemos.

Įrodymas. Atkreipkite dėmesį, kad leidžiame naudoti neneigiamus atsitiktinius kintamuosius

Pagal 3 savybę nesunku pastebėti, kad yra tokia teigiamų skaičių seka, kad

Iš to išplaukia

Naudodami diskrečiųjų atsitiktinių dydžių matematinių lūkesčių savybes, gauname

Pereinama prie ribos, kai gauname 2 lemos teiginį.

Apibrėžimas 1. Tegul yra neneigiamas atsitiktinis dydis, tai yra diskrečiųjų atsitiktinių dydžių seka, kurios savybės yra 1-3 iš 1 lemos. Atsitiktinio dydžio matematinė tikėtis yra

2 lema garantuoja, kad ji nepriklauso nuo aproksimacinės sekos pasirinkimo.

Tegul dabar yra savavališkas atsitiktinis kintamasis. Apibrėžkime

Iš apibrėžimo ir tai lengvai išplaukia

2 apibrėžimas. Savavališko atsitiktinio dydžio matematinė tikėtis yra skaičius

Jei bent vienas iš skaičių dešinėje šios lygybės pusėje yra baigtinis.

Laukimo savybės

Savybė 1. Matematinis pastovios reikšmės lūkestis yra lygus pačiai konstantai:

Įrodymas. Konstantą laikysime diskrečiu atsitiktiniu dydžiu, kuris turi vieną galimą reikšmę ir priima ją su tikimybe, todėl

Pastaba 1. Konstantos vertės sandaugą diskrečiu atsitiktiniu dydžiu apibrėžiame kaip diskrečiąjį atsitiktinį dydį, kurio galimos reikšmės yra lygios konstantos sandaugoms pagal galimas reikšmes; galimų reikšmių tikimybės yra lygios atitinkamų galimų reikšmių tikimybėms. Pavyzdžiui, jei galimos reikšmės tikimybė yra lygi, tada tikimybė, kad reikšmė įgis reikšmę, taip pat lygi

2 savybė. Iš lūkesčio ženklo galima išimti pastovų veiksnį:

Įrodymas. Tegul atsitiktinis dydis pateikiamas tikimybių skirstinio dėsniu:

Atsižvelgdami į 1 pastabą, rašome atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį

2 pastaba. Prieš pereinant prie kitos savybės, atkreipiame dėmesį, kad du atsitiktiniai dydžiai vadinami nepriklausomais, jei vieno iš jų pasiskirstymo dėsnis nepriklauso nuo to, kokias galimas reikšmes turi kitas kintamasis. Kitu atveju atsitiktiniai dydžiai yra priklausomi. Keli atsitiktiniai dydžiai vadinami vienas nuo kito nepriklausomais, jei bet kurio jų skaičiaus pasiskirstymo dėsniai nepriklauso nuo to, kokias galimas reikšmes turi kiti kintamieji.

3 pastaba. Apibrėžiame nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugą ir kaip atsitiktinį dydį, kurio galimos reikšmės yra lygios kiekvienos galimos reikšmės sandaugoms iš kiekvienos galimos sandaugos galimų reikšmių tikimybių reikšmės. į galimų veiksnių verčių tikimybių sandaugas. Pavyzdžiui, jei galimos vertės tikimybė yra, galimos vertės tikimybė yra tada galimos vertės tikimybė yra

3 savybė. Dviejų nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai:

Įrodymas. Tegul nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai pateikiami pagal jų tikimybių pasiskirstymo dėsnius:

Sugalvokime visas reikšmes, kurias gali įgauti atsitiktinis kintamasis. Norėdami tai padaryti, visas galimas reikšmes padauginame iš kiekvienos galimos reikšmės; dėl to gauname ir, atsižvelgdami į 3 pastabą, surašome paskirstymo dėsnį, paprastumo dėlei darydami prielaidą, kad visos galimos gaminio reikšmės yra skirtingos (jei taip nėra, įrodymas atliekamas panašiai):

Matematinis lūkestis yra lygus visų galimų reikšmių ir jų tikimybių sandaugų sumai:

Pasekmė. Kelių tarpusavyje nepriklausomų atsitiktinių dydžių sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai.

Savybė 4. Dviejų atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus terminų matematinių lūkesčių sumai:

Įrodymas. Tegul atsitiktiniai dydžiai ir yra pateikti pagal šiuos skirstymo dėsnius:

Sudarykite visas galimas kiekio reikšmes Norėdami tai padaryti, pridėkite kiekvieną galimą reikšmę prie kiekvienos galimos vertės; Paprastumo dėlei darome prielaidą, kad šios galimos reikšmės yra skirtingos (jei taip nėra, tada įrodymas atliekamas panašiai), ir pažymime jų tikimybes ir atitinkamai

Matematinis vertės lūkestis yra lygus galimų verčių sandaugų sumai pagal jų tikimybes:

Įrodykime, kad įvykis, susidedantis iš reikšmės paėmimo (šio įvykio tikimybė yra lygi), apima įvykį, kurį sudaro reikšmės paėmimas arba (šio įvykio tikimybė yra lygi sudėjimo teorema), ir atvirkščiai. Iš to išplaukia, kad lygybės

Pakeitę teisingas šių lygybių dalis į santykį (*), gauname

arba pagaliau

Dispersija ir standartinis nuokrypis

Praktikoje dažnai reikia įvertinti galimų atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidą aplink jo vidutinę vertę. Pavyzdžiui, artilerijoje svarbu žinoti, kaip arti sviediniai kris arti taikinio, į kurį reikėtų pataikyti.

Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad paprasčiausias būdas įvertinti sklaidą yra apskaičiuoti visas įmanomas atsitiktinio dydžio nuokrypio reikšmes ir tada rasti jų vidutinę vertę. Tačiau šis kelias nieko neduos, nes vidutinė nuokrypio reikšmė, t.y. bet kuriam atsitiktiniam dydžiui yra lygus nuliui. Ši savybė paaiškinama tuo, kad vieni galimi nukrypimai yra teigiami, o kiti – neigiami; dėl jų abipusio panaikinimo vidutinė nuokrypio reikšmė lygi nuliui. Šie svarstymai rodo, kad tikslinga galimus nuokrypius pakeisti jų absoliučiomis reikšmėmis arba kvadratais. Taip jie tai daro praktiškai. Tiesa, tuo atveju, kai galimi nuokrypiai pakeičiami jų absoliučiomis reikšmėmis, tenka operuoti su absoliučiomis reikšmėmis, o tai kartais sukelia rimtų sunkumų. Todėl dažniausiai jie nueina kitu keliu, t.y. apskaičiuokite vidutinę kvadratinio nuokrypio reikšmę, kuri vadinama dispersija.

Be pasiskirstymo dėsnių, galima aprašyti ir atsitiktinius kintamuosius skaitinės charakteristikos .

matematinis lūkestis Atsitiktinio dydžio M (x) vadinamas jo vidutine reikšme.

Matematinis diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestis apskaičiuojamas pagal formulę

kur – atsitiktinio dydžio reikšmės, p aš- jų tikimybės.

Apsvarstykite matematinių lūkesčių savybes:

1. Matematinis konstantos lūkestis yra lygus pačiai konstantai

2. Jei atsitiktinis dydis padauginamas iš tam tikro skaičiaus k, tai matematinis lūkestis bus padaugintas iš to paties skaičiaus

M (kx) = kM (x)

3. Atsitiktinių dydžių sumos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sumai

M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)

4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)

5. Nepriklausomų atsitiktinių dydžių x 1 , x 2 , … x n sandaugos matematinis lūkestis yra lygus jų matematinių lūkesčių sandaugai

M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - M (M (x)) \u003d M (x) - M (x) \u003d 0

Apskaičiuokime atsitiktinio dydžio matematinį tikėjimą pagal 11 pavyzdį.

M(x) == .

12 pavyzdys. Tegul atsitiktiniai dydžiai x 1 , x 2 yra pateikti atitinkamai pasiskirstymo dėsniais:

x 1 2 lentelė

x 2 3 lentelė

Apskaičiuokite M (x 1) ir M (x 2)

M (x 1) \u003d (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 \u003d 0

M (x 2) \u003d (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 \u003d 0

Abiejų atsitiktinių dydžių matematiniai lūkesčiai yra vienodi – jie lygūs nuliui. Tačiau jų pasiskirstymas skiriasi. Jei x 1 reikšmės mažai skiriasi nuo jų matematinio lūkesčio, tai x 2 reikšmės labai skiriasi nuo jų matematinio lūkesčio, o tokių nukrypimų tikimybė nėra maža. Šie pavyzdžiai rodo, kad iš vidutinės reikšmės neįmanoma nustatyti, kokie nukrypimai nuo jos vyksta tiek aukštyn, tiek žemyn. Taigi, esant vienodam vidutiniam metiniam kritulių kiekiui dviejose vietovėse, negalima teigti, kad šios vietovės yra vienodai palankios žemės ūkio darbams. Taip pat pagal vidutinio darbo užmokesčio rodiklį negalima spręsti apie daug ir mažai apmokamų darbuotojų proporciją. Todėl įvedama skaitinė charakteristika - dispersija D(x) , kuris apibūdina atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo jo vidutinės reikšmės laipsnį:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Dispersija yra matematinis atsitiktinio dydžio nuokrypio nuo matematinio lūkesčio kvadratas. Diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams dispersija apskaičiuojama pagal formulę:

D(x)= = (3)

Iš dispersijos apibrėžimo matyti, kad D (x) 0.

Dispersijos savybės:

1. Konstantos sklaida lygi nuliui

2. Jei atsitiktinis dydis padauginamas iš kokio nors skaičiaus k, tai dispersija dauginama iš šio skaičiaus kvadrato

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) \u003d M (x 2) – M 2 (x)

4. Porinių nepriklausomų atsitiktinių dydžių x 1 , x 2 , … x n sumos dispersija yra lygi dispersijų sumai.

D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)

Apskaičiuokime atsitiktinio dydžio dispersiją pagal 11 pavyzdį.

Matematinė lūkestis M (x) = 1. Todėl pagal (3) formulę turime:

D (x) = (0–1) 2 1/4 + (1–1) 2 1/2 + (2–1) 2 1/4 = 1 1/4 +1 1/4 = 1/2

Atminkite, kad dispersiją lengviau apskaičiuoti, jei naudojame 3 savybę:

D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).

Apskaičiuokime atsitiktinių dydžių x 1 , x 2 dispersijas pagal 12 pavyzdį naudodami šią formulę. Abiejų atsitiktinių dydžių matematiniai lūkesčiai yra lygūs nuliui.

D (x 1) \u003d 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 \u003d 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,002 d 0,4 0,003

D (x 2) \u003d (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 \u003d 240 +20 \u003d 260

Kuo dispersijos reikšmė arčiau nulio, tuo mažesnė atsitiktinio dydžio sklaida, palyginti su vidutine verte.

Vertė vadinama standartinis nuokrypis. Atsitiktinė mada x diskretinio tipo Md yra atsitiktinio dydžio reikšmė, atitinkanti didžiausią tikimybę.

Atsitiktinė mada x ištisinio tipo Md, yra tikrasis skaičius, apibrėžtas kaip didžiausias tikimybių pasiskirstymo tankio f(x) taškas.

Atsitiktinio dydžio mediana x ištisinis tipas Mn yra realusis skaičius, tenkinantis lygtį

Atsitiktinio dydžio X matematinis lūkestis yra vidutinė reikšmė.

1. M(C) = C

2. M(CX) = CM(X), kur C= konst

3. M(X ± Y) = M(X) ± M(Y)

4. Jei atsitiktiniai dydžiai X ir Y tada nepriklausomas M(XY) = M(X) M(Y)

Sklaida

Atsitiktinio dydžio X dispersija vadinama

D(X) = S(x – M(X)) 2 p = M(X 2 ) – M 2 (X).

Dispersija yra atsitiktinio dydžio reikšmių nuokrypio nuo jo vidutinės vertės matas.

1. D(C) = 0

2. D(X + C) = D(X)

3. D(CX) = C 2 D(X), kur C= konst

4. Nepriklausomiems atsitiktiniams dydžiams

D(X ± Y) = D(X) + D(Y)

5. D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(x, y)

Atsitiktinio dydžio X dispersijos kvadratinė šaknis vadinama standartiniu nuokrypiu .

@ 3 užduotis: Tegul atsitiktinis kintamasis X turi tik dvi reikšmes (0 arba 1) su tikimybėmis q, p, kur p + q = 1. Raskite matematinį lūkestį ir dispersiją.

Sprendimas:

M(X) = 1 p + 0 q = p; D(X) = (1 – p) 2 p + (0 - p) 2 q = pq.

@ 4 užduotis: Atsitiktinio dydžio matematinis lūkestis ir dispersija X yra lygūs 8. Raskite atsitiktinių dydžių matematinį lūkestį ir dispersiją: a) X-4; b) 3X-4.

Sprendimas: M(X - 4) = M(X) - 4 = 8 - 4 = 4; D(X-4) = D(X) = 8; M(3X-4) = 3M(X)-4 = 20; D(3X – 4) = 9D(X) = 72.

@ 5 užduotis: šeimų rinkinys pasiskirsto taip pagal vaikų skaičių:

x i	x 1	x2
pi	0,1	p2	0,4	0,35

Apibrėžkite x 1, x2 ir p2 jei tai žinoma M(X) = 2; D(X) = 0,9.

Sprendimas: Tikimybė p 2 lygi p 2 = 1 - 0,1 - 0,4 - 0,35 = 0,15. Nežinomi x randami iš lygčių: M(X) = x 1 0,1 + x 2 0,15 + 2 0,4 + 3 0,35 = 2; D(X) = 0,1 + 0,15 + 4 0,4 ​​+ 9 0,35 - 4 = 0,9. x 1 = 0; x2 = 1.

Bendroji visuma ir imtis. Parametrų įvertinimai

Atrankinis stebėjimas

Statistinis stebėjimas gali būti organizuojamas nuolat, o ne tęstinis. Nuolatinis stebėjimas apima visų tiriamos populiacijos vienetų (bendrosios populiacijos) tyrimą. Gyventojų skaičius tai visuma fizinių ar juridinių asmenų, kuriuos tyrėjas tiria pagal savo užduotį. Tai dažnai nėra ekonomiškai naudinga, o kartais ir neįmanoma. Šiuo atžvilgiu tiriama tik dalis visos populiacijos – mėginių ėmimo rėmelis .

Rezultatai, gauti iš imties visumos, gali būti išplėsti į bendrą aibę, jei laikomasi šių principų:

1. Imties visuma turi būti nustatyta atsitiktinai.

2. Mėginių ėmimo vienetų skaičius turi būti pakankamas.

3. Turi būti pateikta reprezentatyvumas ( reprezentatyvumas). Reprezentatyvioji imtis yra mažesnis, bet tikslus visumos modelis, kurį ji turi reprezentuoti.

Mėginių tipai

Praktikoje naudojami šių tipų pavyzdžiai:

a) tinkamas atsitiktinis, b) mechaninis, c) tipinis, d) serijinis, e) kombinuotas.

Savarankiška atranka

At tinkamas atsitiktinis pavyzdys atrankos vienetai parenkami atsitiktinai, pavyzdžiui, burtų keliu arba atsitiktinių skaičių generatoriumi.

Mėginiai kartojami ir nekartojami. Atliekant pakartotinį mėginį, atrinktas vienetas grąžinamas ir išlieka vienoda galimybė būti dar kartą paimtam. Taikant nepasikartojančią atranką, į imtį įtrauktas populiacijos vienetas ateityje nedalyvaus imtyje.

Klaidos, būdingos imties stebėjimui, atsirandančios dėl to, kad imtis nevisiškai atkuria bendrąją populiaciją, vadinamos standartinės klaidos . Jie parodo vidutinį kvadratinį skirtumą tarp rodiklių, gautų iš imties, verčių ir atitinkamų bendrosios populiacijos rodiklių verčių.

Atsitiktinės pakartotinės atrankos standartinės paklaidos apskaičiuotos formulės yra tokios: , o atsitiktinio pakartotinio atrankos atveju: , kur S 2 yra imties visumos dispersija, n/N - pavyzdžio dalis, n, N- imties ir bendrosios visumos vienetų skaičius. At n = N standartinė paklaida m = 0.

Mechaninis mėginių ėmimas

At mechaninis mėginių ėmimas bendroji visuma suskirstoma į vienodus intervalus ir iš kiekvieno intervalo atsitiktinai parenkamas vienas vienetas.

Pavyzdžiui, naudojant 2 % atrankos dažnį, kas 50-as vienetas pasirenkamas iš populiacijos sąrašo.

Standartinė mechaninio atrankos paklaida apibrėžiama kaip savaiminio atsitiktinio nepasikartojančio atrankos paklaida.

Tipiškas pavyzdys

At tipinis pavyzdys bendroji populiacija suskirstoma į vienarūšes tipines grupes, tada iš kiekvienos grupės atsitiktinai atrenkami vienetai.

Įprasta imtis naudojama heterogeninės bendrosios populiacijos atveju. Tipiškas pavyzdys duoda tikslesnius rezultatus, nes užtikrina reprezentatyvumą.

Pavyzdžiui, mokytojai, kaip visa populiacija, skirstomi į grupes pagal šiuos požymius: lytį, patirtį, kvalifikaciją, išsilavinimą, miesto ir kaimo mokyklas ir kt.

Tipinės atrankos standartinės klaidos apibrėžiamos kaip savaiminės atsitiktinės atrankos klaidos, vienintelis skirtumas yra tas, kad S2 pakeičiamas grupės vidaus dispersijų vidurkiu.

serijinis mėginių ėmimas

At serijinis mėginių ėmimas bendroji populiacija suskirstoma į atskiras grupes (serija), tada atsitiktinai atrinktos grupės yra nuolat stebimos.

Serijinės atrankos standartinės klaidos apibrėžiamos kaip savaiminės atsitiktinės atrankos klaidos, vienintelis skirtumas yra tas S2 pakeičiamas tarpgrupinių dispersijų vidurkiu.

Kombinuotas mėginių ėmimas

Kombinuotas mėginių ėmimas yra dviejų ar daugiau pavyzdžių tipų derinys.

Taško įvertinimas

Galutinis imties stebėjimo tikslas yra rasti bendrosios populiacijos ypatybes. Kadangi to negalima padaryti tiesiogiai, imties visumos charakteristikos išplečiamos į bendrą aibę.

Įrodyta esminė galimybė iš vidutinės imties duomenų nustatyti bendrosios visumos aritmetinį vidurkį. Čebyševo teorema. Su neribotu padidinimu n tikimybė, kad skirtumas tarp imties vidurkio ir bendrojo vidurkio bus savavališkai mažas, siekia 1.

Tai reiškia, kad bendrosios populiacijos charakteristika tikslumu . Toks vertinimas vadinamas tašką .

Intervalo įvertinimas

Intervalo įvertinimo pagrindas yra centrinės ribos teorema.

Intervalo įvertinimas leidžia atsakyti į klausimą: kokiame intervale ir su kokia tikimybe yra nežinoma, norima bendrosios populiacijos parametro reikšmė?

Paprastai vadinamas pasitikėjimo lygiu p = 1 – a, kuris bus intervale – D< < + D, где D = t kr m > 0 ribinė paklaida pavyzdžiai, a - reikšmingumo lygis (tikimybė, kad nelygybė bus klaidinga), t kr- kritinė vertė, kuri priklauso nuo verčių n ir a. Su nedideliu pavyzdžiu n< 30 t kr yra pateikta naudojant kritinę Stjudento t skirstinio reikšmę dvipusiam testui su n– 1 laisvės laipsnis su reikšmingumo lygiu a ( t kr(n- 1, a) yra iš lentelės "Kritinės Stjudento t skirstinio reikšmės", 2 priedas). n > 30, t kr yra normaliojo skirstinio kvantilis ( t kr randama Laplaso funkcijos reikšmių lentelėje F(t) = (1 – a)/2 kaip argumentą). Kai p = 0,954, kritinė vertė t kr= 2 esant p = 0,997 kritinei vertei t kr= 3. Tai reiškia, kad ribinė paklaida paprastai yra 2-3 kartus didesnė už standartinę paklaidą.

Taigi atrankos metodo esmė slypi tame, kad, remiantis tam tikros nedidelės bendrosios populiacijos dalies statistiniais duomenimis, galima rasti intervalą, kuriame su patikimumo tikimybe p randama norima bendrosios populiacijos charakteristika (darbuotojų skaičiaus vidurkis, balų vidurkis, vidutinis derlingumas, standartinis nuokrypis ir kt.).

@ 1 užduotis. Norint nustatyti atsiskaitymų su korporacinių įmonių kreditoriais komerciniame banke greitį, buvo atlikta atsitiktinė 100 mokėjimo dokumentų atranka, kurių vidutinis pinigų pervedimo ir gavimo laikas buvo 22 dienos (= 22) su standartu. 6 dienų nuokrypis (S = 6). Su tikimybe p= 0,954 nustato imties vidurkio ribinę paklaidą ir šios korporacijos įmonių vidutinės atsiskaitymų trukmės pasikliautinąjį intervalą.

Sprendimas: Imties vidurkio ribinė paklaida pagal(1)yra lygus D = 2· 0,6 = 1,2, o pasikliautinasis intervalas apibrėžiamas kaip (22 - 1,2; 22 + 1,2), t.y. (20,8; 23,2).

§6.5 Koreliacija ir regresija

Tikimybių teorija – speciali matematikos šaka, kurią studijuoja tik aukštųjų mokyklų studentai. Ar jums patinka skaičiavimai ir formulės? Ar nebijote pažinties su normaliuoju skirstiniu, ansamblio entropija, matematinių lūkesčių ir diskretiškojo atsitiktinio dydžio dispersijos perspektyvų? Tada ši tema jus labai sudomins. Susipažinkime su kai kuriomis svarbiausiomis pagrindinėmis šios mokslo dalies sąvokomis.

Prisiminkime pagrindus

Net jei prisimenate paprasčiausias tikimybių teorijos sąvokas, nepamirškite pirmųjų straipsnio pastraipų. Faktas yra tas, kad be aiškaus pagrindinių dalykų supratimo negalėsite dirbti su toliau aptartomis formulėmis.

Taigi, yra atsitiktinis įvykis, eksperimentas. Dėl atliktų veiksmų galime sulaukti kelių baigčių – vieni dažnesni, kiti rečiau. Įvykio tikimybė – tai faktiškai gautų vieno tipo baigčių skaičiaus ir bendro galimų baigčių skaičiaus santykis. Tik žinodami klasikinį šios sąvokos apibrėžimą, galite pradėti tyrinėti nuolatinių atsitiktinių dydžių matematinius lūkesčius ir sklaidą.

Vidutinis

Dar mokykloje, matematikos pamokose, pradėjai dirbti su aritmetiniu vidurkiu. Ši sąvoka plačiai naudojama tikimybių teorijoje, todėl jos negalima ignoruoti. Šiuo metu mums svarbiausia, kad su tuo susidursime atsitiktinio dydžio matematinio lūkesčio ir dispersijos formulėse.

Turime skaičių seką ir norime rasti aritmetinį vidurkį. Viskas, ko iš mūsų reikalaujama, yra susumuoti viską, kas turima, ir padalyti iš sekos elementų skaičiaus. Turėkime skaičius nuo 1 iki 9. Elementų suma bus 45, o šią reikšmę padalinsime iš 9. Atsakymas: - 5.

Sklaida

Moksliniu požiūriu dispersija yra gautų požymių verčių nuokrypių nuo aritmetinio vidurkio vidutinis kvadratas. Vienas žymimas didžiąja lotyniška raide D. Ko reikia jai apskaičiuoti? Kiekvienam sekos elementui apskaičiuojame skirtumą tarp turimo skaičiaus ir aritmetinio vidurkio ir jį kvadratu. Bus lygiai tiek daug vertybių, kiek gali būti renginio, kurį svarstome, rezultatų. Toliau apibendriname viską, ką gavome, ir padaliname iš sekos elementų skaičiaus. Jei turime penkis galimus rezultatus, padalinkite iš penkių.

Dispersija taip pat turi savybių, kurias reikia atsiminti, kad ją pritaikytumėte sprendžiant problemas. Pavyzdžiui, jei atsitiktinis dydis padidinamas X kartų, dispersija padidėja X kartų kvadratu (t. y. X*X). Jis niekada nėra mažesnis už nulį ir nepriklauso nuo reikšmių poslinkio vienoda reikšme aukštyn arba žemyn. Be to, nepriklausomiems bandymams sumos dispersija yra lygi dispersijų sumai.

Dabar neabejotinai turime apsvarstyti diskretinio atsitiktinio dydžio dispersijos ir matematinio lūkesčio pavyzdžius.

Tarkime, kad vykdome 21 eksperimentą ir gauname 7 skirtingus rezultatus. Kiekvieną iš jų stebėjome atitinkamai 1,2,2,3,4,4 ir 5 kartus. Kokia bus dispersija?

Pirmiausia apskaičiuojame aritmetinį vidurkį: elementų suma, žinoma, yra 21. Padalijame iš 7 ir gauname 3. Dabar iš kiekvieno pradinės sekos skaičiaus atimame 3, kiekvieną reikšmę padalijame kvadratu ir sudedame rezultatus. . Pasirodo, 12. Dabar mums belieka skaičių padalyti iš elementų skaičiaus, ir, atrodytų, viskas. Bet yra laimikis! Tai aptarkime.

Priklausomybė nuo eksperimentų skaičiaus

Pasirodo, skaičiuojant dispersiją, vardiklis gali būti vienas iš dviejų skaičių: arba N, arba N-1. Čia N yra atliktų eksperimentų skaičius arba sekos elementų skaičius (kuris iš esmės yra tas pats). nuo ko tai priklauso?

Jei testų skaičius matuojamas šimtais, tai į vardiklį turime dėti N. Jei vienetais, tai N-1. Mokslininkai nusprendė ribą nubrėžti gana simboliškai: šiandien ji eina išilgai skaičiaus 30. Jei atlikome mažiau nei 30 eksperimentų, tada kiekį padalinsime iš N-1, o jei daugiau, tai iš N.

Užduotis

Grįžkime prie mūsų dispersijos ir lūkesčių problemos sprendimo pavyzdžio. Gavome tarpinį skaičių 12, kurį reikėjo padalyti iš N arba N-1. Kadangi atlikome 21 eksperimentą, tai yra mažiau nei 30, pasirinksime antrąjį variantą. Taigi atsakymas yra toks: dispersija yra 12/2 = 2.

Tikėtina vertė

Pereikime prie antrosios koncepcijos, kurią turime apsvarstyti šiame straipsnyje. Matematinis lūkestis yra visų galimų rezultatų, padaugintų iš atitinkamų tikimybių, rezultatas. Svarbu suprasti, kad gauta reikšmė, kaip ir dispersijos apskaičiavimo rezultatas, visai užduočiai gauti tik vieną kartą, nesvarbu, kiek rezultatų joje atsižvelgiama.

Matematinės lūkesčių formulė gana paprasta: paimame rezultatą, padauginame jį iš tikimybės, pridedame tą patį antram, trečiam rezultatui ir tt Viskas, kas susiję su šia sąvoka, yra lengvai apskaičiuojama. Pavyzdžiui, matematinių lūkesčių suma yra lygi matematiniam sumos lūkesčiui. Tas pats pasakytina ir apie darbą. Ne kiekvienas dydis tikimybių teorijoje leidžia atlikti tokias paprastas operacijas. Paimkime užduotį ir apskaičiuokime dviejų ištirtų sąvokų reikšmę vienu metu. Be to, mus blaškė teorija – laikas praktikuotis.

Dar vienas pavyzdys

Atlikome 50 bandymų ir gavome 10 rūšių rezultatų – skaičius nuo 0 iki 9 – skirtingu procentais. Tai yra atitinkamai: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Prisiminkite, kad norint gauti tikimybes, reikia padalyti procentines reikšmes iš 100. Taigi gauname 0,02; 0,1 ir tt Pateiksime atsitiktinio dydžio dispersijos ir matematinio lūkesčio uždavinio sprendimo pavyzdį.

Aritmetinį vidurkį apskaičiuojame pagal formulę, kurią prisimename iš pradinės mokyklos: 50/10 = 5.

Dabar išverskime tikimybes į rezultatų skaičių „gabalais“, kad būtų patogiau skaičiuoti. Gauname 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ir 9. Iš kiekvienos gautos reikšmės atimame aritmetinį vidurkį, po kurio kiekvieną gautą rezultatą padalome kvadratu. Pažiūrėkite, kaip tai padaryti naudojant pirmąjį elementą kaip pavyzdį: 1 - 5 = (-4). Toliau: (-4) * (-4) = 16. Jei norite naudoti kitas reikšmes, atlikite šiuos veiksmus patys. Jei viską padarėte teisingai, tada viską sudėjus gausite 90.

Tęskime dispersijos ir vidurkio skaičiavimą, 90 padalydami iš N. Kodėl pasirenkame N, o ne N-1? Teisingai, nes atliktų eksperimentų skaičius viršija 30. Taigi: 90/10 = 9. Gavome dispersiją. Jei gausite kitą numerį, nenusiminkite. Greičiausiai skaičiavimuose padarėte banalią klaidą. Dar kartą patikrinkite, ką parašėte, ir tikrai viskas atsistos į savo vietas.

Galiausiai prisiminkime matematinę lūkesčių formulę. Visų skaičiavimų nepateiksime, tik parašysime atsakymą, su kuriuo galėsite pasitikrinti atlikę visas reikalingas procedūras. Numatoma vertė bus 5,48. Mes tik prisimename, kaip atlikti operacijas, naudodamiesi pirmųjų elementų pavyzdžiu: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... ir pan. Kaip matote, mes tiesiog padauginame rezultato vertę iš jo tikimybės.

Nukrypimas

Kita sąvoka, glaudžiai susijusi su sklaida ir matematiniais lūkesčiais, yra standartinis nuokrypis. Jis žymimas arba lotyniškomis raidėmis sd, arba graikiškomis mažosiomis raidėmis „sigma“. Ši koncepcija parodo, kaip vidutiniškai vertės nukrypsta nuo pagrindinės savybės. Norėdami sužinoti jo reikšmę, turite apskaičiuoti dispersijos kvadratinę šaknį.

Jei nubraižote normalųjį skirstinį ir norite tiesiai ant jo matyti kvadratinį nuokrypį, tai galima padaryti keliais etapais. Paimkite pusę vaizdo į kairę arba dešinę nuo režimo (centrinė reikšmė), nubrėžkite statmeną horizontaliai ašiai, kad gautų figūrų plotai būtų lygūs. Atkarpos tarp skirstinio vidurio ir gautos projekcijos horizontalioje ašyje reikšmė bus standartinis nuokrypis.

Programinė įranga

Kaip matyti iš formulių aprašymų ir pateiktų pavyzdžių, dispersijos ir matematinio lūkesčio skaičiavimas nėra pati lengviausia procedūra aritmetiniu požiūriu. Kad nebūtų gaištas laikas, prasminga naudoti aukštosiose mokyklose naudojamą programą – ji vadinasi „R“. Jame yra funkcijų, leidžiančių apskaičiuoti daugelio sąvokų reikšmes iš statistikos ir tikimybių teorijos.

Pavyzdžiui, jūs apibrėžiate reikšmių vektorių. Tai daroma taip: vektorius<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Pagaliau

Sklaida ir matematinis lūkestis yra be kurių sunku ką nors apskaičiuoti ateityje. Pagrindiniame paskaitų kurse universitetuose jos svarstomos jau pirmaisiais dalyko studijų mėnesiais. Būtent dėl ​​šių paprastų sąvokų nesuvokimo ir nesugebėjimo jų apskaičiuoti daugelis studentų iš karto pradeda atsilikti nuo programos, o vėliau sesijoje gauna prastus pažymius, dėl kurių atimamos stipendijos.

Praktikuokite bent vieną savaitę po pusvalandį per dieną, spręsdami užduotis, panašias į pateiktas šiame straipsnyje. Tada atlikdami bet kurį tikimybių teorijos testą susidorosite su pavyzdžiais be pašalinių patarimų ir apgaulės lapų.