Vandenilio atomas yra sistema, susidedanti iš elektrono, kuris cirkuliuoja branduolio (protono) Kulono lauke. Tokios sistemos potenciali energija nepriklauso nuo laiko ir yra lygi

Šis dydis turėtų būti pakeistas stacionaria Schrödingerio lygtimi (5.5) ir išspręstas atsižvelgiant į standartines bangų funkcijai taikomas sąlygas. Kadangi branduolio sukuriamas jėgos laukas yra sferiškai simetriškas, patogiau šią problemą spręsti sferinėmis koordinatėmis . Sprendimo rezultatas yra toks. Lygtis išspręsta tik tam tikroms parametro reikšmėms, kurios sudaro diskrečią eilutę :

kur m ir e yra elektrono masė ir krūvis; n = 1, 2, 3....

Šios vertės yra galimos (leistinos) vandenilio atomo energijos vertės. Galimos elektrono banginės funkcijos vandenilio atome gali būti parašytos kaip trijų komponentų sandauga, kurių kiekviena priklauso nuo vienos iš sferinės sistemos koordinačių:

(5.6)

kur yra vadinamasis pirmasis Boro spindulys, lygus

.

Schrödingerio lygtis sprendžiama funkcijomis (8) tik tam tikroms skaičių reikšmėms n, l, m, kurios yra susijusios taip:

Koeficientų reikšmės ir išraiškoje (5.6) randamos kiekvienai būsenai, remiantis normalizavimo sąlyga (5.2), kuri sferinėmis koordinatėmis suskirstoma į tris sąlygas:

Paimkime, pavyzdžiui,
. Atomo energija šiuo atveju yra minimali (pagrindinė būsena) ir lygi

eV.

Likę du kvantiniai skaičiai l ir m gali turėti tik nulines vertes ir energiją atitinka tik vieną banginę funkciją
(nėra išsigimimo).

At
kvantinis skaičius l gali gauti reikšmes 0 ir 1, ir kada

, ir kada

. Galų gale prasmė
atitinka keturias skirtingas būsenas, aprašytas bangų funkcijomis



ir kiekvienas iš jų atitinka tą pačią energiją (keturis kartus degeneracija). Schematiškai:

Panašiai, kai
Yra devynios galimos būsenos, aprašytos bangų funkcijomis:

ir visose šiose būsenose atomas turi vienodą energiją
(devyneriopai degeneracija).

Apsvarstykite konkrečią pirmųjų kelių bangų funkcijų formą.

1.


. Pakeitę šias reikšmes į (8), gauname:

Taikant normalizavimo sąlygas gaunama:

Pakeitę šias reikšmes į (5.8), gauname vandenilio atomo pagrindinės (nesužadintos) būsenos bangos funkciją:

(5.9)

Kadangi ši funkcija nepriklauso nuo kampų ir (sferiškai simetriškas), tada tikimybė rasti elektroną tam tikru atstumu nuo šerdies bus vienoda visomis kryptimis. Raskime tikimybę rasti elektroną elementariame sluoksnyje, kurį riboja rutuliai - spinduliai ir
(5.1 pav.).

Šio sluoksnio tūris
o atitinkamą tikimybę pagal (5.1) ir (5.9) galima parašyti kaip

Įveskime radialinės tikimybės tankį tokiu būdu:

(5.10)

Grafiškai ši funkcija pavaizduota kreivė, parodyta fig. 5.2. Kreivės maksimumas ties r = r 1 = 0,53Å rodo, kad vandenilio atomui pagrindinėje būsenoje labiausiai tikėtinas elektrono pašalinimas iš branduolio atitinka pirmąjį Boro spindulį.

Jei tikimybė rasti elektroną sferiniame storio sluoksnyje
nutolęs per atstumą iš branduolio yra
tada reikšmė įvesta kaip
vadinamas radialiniu tikimybės tankiu. Jei priklausomybė
pateikta grafiškai, tada vertė
apibrėžiamas kaip stačiakampio su pagrindu plotas
ir aukštis
, rekonstruota per atstumą nuo kilmės (tamsuoto stačiakampio plotas).

2. Kada


banginei funkcijai pagal (5.6), atsižvelgiant į (5.7), galima gauti

Ši funkcija taip pat yra sferiškai simetriška, todėl čia natūralu įvesti radialinį tikimybės tankį, kurį galima parašyti taip

(5.11)

3. Kada


bangos funkcija turi formą

4. Kada

5. Kada

4.4.1. De Broglie hipotezė

Svarbus žingsnis kuriant kvantinę mechaniką buvo mikrodalelių banginių savybių atradimas. Bangų savybių idėją iš pradžių kaip hipotezę iškėlė prancūzų fizikas Louisas de Broglie.

Fizikoje daugelį metų dominavo teorija, pagal kurią šviesa yra elektromagnetinė banga. Tačiau po Plancko (šiluminė spinduliuotė), Einšteino (fotoelektrinis efektas) ir kitų darbų tapo akivaizdu, kad šviesa turi korpuskulinių savybių.

Norint paaiškinti kai kuriuos fizikinius reiškinius, šviesą reikia laikyti fotonų dalelių srautu. Korpuskulinės šviesos savybės ne atmeta, o papildo jos bangines savybes.

Taigi, fotonas yra elementari šviesos dalelė, turinti bangines savybes.

Fotono impulso formulė

Pasak de Broglie, dalelės, pavyzdžiui, elektrono, judėjimas yra panašus į bangos procesą, kurio bangos ilgis λ apibrėžtas pagal (4.4.3) formulę. Šios bangos vadinamos de Broglie bangos. Todėl dalelės (elektronai, neutronai, protonai, jonai, atomai, molekulės) gali pasižymėti difrakcinėmis savybėmis.

K. Davissonas ir L. Germeris pirmieji pastebėjo elektronų difrakciją viename nikelio kristale.

Gali kilti klausimas: kas nutinka atskiroms dalelėms, kaip atskirų dalelių difrakcijos metu susidaro maksimumai ir minimumai?

Labai mažo intensyvumo elektronų pluoštų, tai yra tarsi atskirų dalelių, difrakcijos eksperimentai parodė, kad tokiu atveju elektronas nėra „išteptas“ įvairiomis kryptimis, o elgiasi kaip visa dalelė. Tačiau elektronų nukrypimo skirtingomis kryptimis tikimybė dėl sąveikos su difrakcijos objektu yra skirtinga. Labiausiai tikėtina, kad elektronai pataikys į vietas, kurios, remiantis skaičiavimais, atitinka difrakcijos maksimumus, jų pataikyti į minimumus yra mažesnė. Taigi bangos savybės būdingos ne tik elektronų kolektyvui, bet ir kiekvienam elektronui atskirai.

4.4.2. Bangos funkcija ir jos fizinė reikšmė

Kadangi banginis procesas yra susijęs su mikrodalele, kuri atitinka jos judėjimą, dalelių būsena kvantinėje mechanikoje apibūdinama bangine funkcija, kuri priklauso nuo koordinačių ir laiko: .

Jei dalelę veikiantis jėgos laukas yra stacionarus, tai yra nepriklauso nuo laiko, tai funkcija ψ gali būti pavaizduota kaip dviejų veiksnių sandauga, iš kurių vienas priklauso nuo laiko, o kitas nuo koordinačių:

Tai reiškia fizinę bangos funkcijos reikšmę:

4.4.3. Neapibrėžtumo santykis

Viena iš svarbių kvantinės mechanikos nuostatų yra W. Heisenbergo pasiūlyti neapibrėžtumo santykiai.

Tegul dalelės padėtis ir impulsas matuojami vienu metu, o abscisių ir impulso projekcijos abscisių ašyje apibrėžimų netikslumai yra atitinkamai Δx ir Δр x .

Klasikinėje fizikoje nėra jokių apribojimų, draudžiančių vienu metu matuoti ir vieną, ir kitą dydį bet kokiu tikslumu, ty Δx → 0 ir Δр x → 0.

Kvantinėje mechanikoje situacija yra iš esmės kitokia: Δx ir Δр x , atitinkantys x ir р x vienalaikį nustatymą, yra susiję priklausomybe.

Formulės (4.4.8), (4.4.9) vadinamos neapibrėžtumo santykiai.

Paaiškinkime juos vienu modelio eksperimentu.

Tiriant difrakcijos reiškinį buvo atkreiptas dėmesys į tai, kad plyšio pločio sumažėjimas difrakcijos metu padidina centrinio maksimumo plotį. Panašus reiškinys taip pat pasireikš elektronų difrakcijos plyšio atveju modelio eksperimente. Sumažinus plyšio plotį, sumažėja Δ x (4.4.1 pav.), tai lemia didesnį elektronų pluošto „ištepimą“, tai yra didesnį dalelių impulso ir greičio neapibrėžtumą.

Ryžiai. 4.4.1 Neapibrėžtumo ryšio paaiškinimas.

Neapibrėžtumo santykis gali būti pavaizduotas kaip

čia ΔE yra tam tikros sistemos būsenos energijos neapibrėžtis; Δt yra laikotarpis, per kurį jis egzistuoja. Ryšys (4.4.10) reiškia, kad kuo trumpesnis bet kurios sistemos būsenos gyvavimo laikas, tuo neapibrėžtesnė jos energinė vertė. Energijos lygiai E 1 , E 2 ir kt. turėti tam tikrą plotį (4.4.2 pav.)), priklausomai nuo laiko, kada sistema yra šį lygį atitinkančioje būsenoje.

Ryžiai. 4.4.2.Energijos lygiai E 1, E 2 ir kt. turėti tam tikrą plotį.

Lygių „susiliejimas“ lemia skleidžiamo fotono energijos ΔE ir jo dažnio Δν neapibrėžtumą sistemos perėjimo iš vieno energijos lygio į kitą metu:

,

čia m yra dalelės masė; ; E ir E n yra jo visuminė ir potencinė energija (potencialią energiją lemia jėgos laukas, kuriame yra dalelė, o stacionariu atveju nepriklauso nuo laiko)

Jei dalelė juda tik tam tikra linija, pavyzdžiui, išilgai OX ašies (vienmatis atvejis), tada Schrödingerio lygtis iš esmės supaprastėja ir įgauna formą

(4.4.13)

Vienas iš paprasčiausių Šriodingerio lygties panaudojimo pavyzdžių – dalelės judėjimo vienmačio potencialo šulinyje problemos sprendimas.

4.4.5. Šriodingerio lygties taikymas vandenilio atomui. kvantiniai skaičiai

Atomų ir molekulių būsenų apibūdinimas naudojant Šriodingerio lygtį yra gana sudėtinga užduotis. Tai paprasčiausiai išspręsta vienam elektronui, esančiam branduolio lauke. Tokios sistemos atitinka vandenilio atomą ir į vandenilį panašius jonus (viengubai jonizuotas helio atomas, dvigubai jonizuotas ličio atomas ir kt.). Tačiau šiuo atveju problemos sprendimas taip pat yra sudėtingas, todėl apsiribojame kokybiniu problemos pateikimu.

Visų pirma, potencialią energiją reikėtų pakeisti į Schriodingerio lygtį (4.4.12), kuri dviejų sąveikaujančių taškinių krūvių – e (elektronų) ir Ze (branduolys), esančių vakuume atstumu r, išreiškiama taip: :

Ši išraiška yra Schrödingerio lygties sprendimas ir visiškai sutampa su atitinkama Boro teorijos formule (4.2.30).

4.4.3 paveiksle pavaizduoti galimų vandenilio atomo suminės energijos reikšmių lygiai (E 1 , E 2 , E 3 ir kt.) ir potencialios energijos E n grafikas, palyginti su atstumu r tarp elektrono ir branduolys. Didėjant pagrindiniam kvantiniam skaičiui n, r didėja (žr. 4.2.26), o bendroji (4.4.15) ir potenciali energija linkusi į nulį. Kinetinė energija taip pat linkusi į nulį. Tamsintas plotas (E>0) atitinka laisvojo elektrono būseną.

Ryžiai. 4.4.3. Rodomi galimų vandenilio atomo suminės energijos verčių lygiai
ir potencialios energijos ir atstumo r tarp elektrono ir branduolio grafikas.

Antrasis kvantinis skaičius - orbitos l, kuri duotam n gali turėti reikšmes 0, 1, 2, ...., n-1. Šis skaičius apibūdina elektrono orbitinį kampinį impulsą L i branduolio atžvilgiu:

Ketvirtasis kvantinis skaičius - sukti m s. Jis gali turėti tik dvi reikšmes (±1/2) ir apibūdina galimas elektronų sukimosi projekcijos reikšmes:

Elektrono būsena atome su duotais n ir l žymima taip: 1s, 2s, 2p, 3s ir t.t. Čia skaičius nurodo pagrindinio kvantinio skaičiaus reikšmę, o raidė - orbitinį kvantinį skaičių: simboliai s, p, d, f atitinka reikšmes l=0, 1, 2. 3 ir kt.

Didžiausia sėkmė kvantinės mechanikos istorijoje buvo visų paprasčiausių atomų spektrų detalių paaiškinimas, taip pat cheminių elementų lentelėje randami periodiškumas. Šiame kvantinės mechanikos kurso skyriuje pagaliau pasieksime tą etapą ir paaiškinsime vandenilio atomų spektrą. Be to, čia kalbėsime apie kokybinį paslaptingų cheminių elementų savybių paaiškinimą. Norėdami tai padaryti, mes išsamiai išnagrinėsime elektrono elgesį vandenilio atome: pirmiausia apskaičiuosime jo pasiskirstymą erdvėje, vadovaudamiesi idėjomis, kurios buvo sukurtos skyriuje. keturiolika.

Norint visapusiškai apibūdinti vandenilio atomą, reikėtų atsižvelgti į abiejų dalelių – tiek protono, tiek elektrono – judesius. Kvantinėje mechanikoje ši problema atitinka klasikinę idėją aprašyti kiekvienos dalelės judėjimą jų svorio centro atžvilgiu. Tačiau mes to nedarysime. Mes tiesiog naudojame aproksimaciją, kad protonas laikomas labai sunkiu, tokiu sunkiu, kad atrodo, kad jis yra pritvirtintas atomo centre.

Padarysime dar vieną aproksimaciją: pamiršime, kad elektronas turi sukinį ir kad jis turi būti aprašytas reliatyvistinės mechanikos dėsniais. Tam reikės šiek tiek pakoreguoti mūsų skaičiavimus, nes naudosime nereliatyvistinę Schrödingerio lygtį ir nepaisysime magnetinių efektų. Maži magnetiniai efektai atsiranda dėl to, kad protonas, elektrono požiūriu, yra apskritimu cirkuliuojantis krūvis, sukuriantis magnetinį lauką. Šiame lauke elektrono energija bus skirtinga, priklausomai nuo to, ar jo sukinys nukreiptas lauke aukštyn ar žemyn. Atomo energija turėtų šiek tiek pasislinkti, palyginti su mūsų apskaičiuota verte. Tačiau mes nepaisysime šio nežymaus energijos poslinkio, ty įsivaizduosime, kad elektronas yra lygiai toks pat, kaip viršūnė, judanti erdvėje apskritimu ir visą laiką išlaikanti tą pačią sukimosi kryptį. Kadangi mes kalbame apie laisvą atomą erdvėje, bendras kampinis momentas bus išsaugotas. Pagal mūsų apytikslį kampinį impulsą dėl elektrono sukimosi liks nepakitęs, todėl likęs kampinis atomo momentas (kas paprastai vadinamas „orbitiniu“ kampiniu momentu) taip pat nepasikeis. Labai gerai apytiksliai galime daryti prielaidą, kad elektronas juda vandenilio atome kaip dalelė be sukinio – jo orbitos kampinis momentas yra pastovus.

Šiuose aproksimacijose amplitudė, kurią elektronas bus aptiktas tam tikroje erdvės vietoje, gali būti pavaizduota kaip elektrono padėties erdvėje ir laike funkcija. Pažymėkime amplitudę, kad elektronas bus rastas taške akimirką per . Remiantis kvantine mechanika, šios amplitudės kitimo greitį laikui bėgant pateikia Hamiltono operatorius, veikiantis pagal tą pačią funkciją. Iš ch. 14 mes tai žinome

. (17.2)

Čia yra elektrono masė ir potencinė elektrono energija protono elektrostatiniame lauke. Skaičiuojant dideliais atstumais nuo protono, galima rašyti

Tada bangos funkcija turi tenkinti lygtį

. (17.3)

Norime rasti būsenų su tam tikra energija, todėl bandysime ieškoti sprendimų, kurie atrodytų

. (17.4)

Tada funkcija turi būti lygties sprendimas

, (17.5)

kur yra koks nors pastovus skaičius (atomo energija).

Kadangi potenciali energija priklauso tik nuo spindulio, geriau šią lygtį išspręsti polinėmis koordinatėmis. Laplaso stačiakampės koordinatės buvo apibrėžtos taip:

.

Vietoj to norime naudoti koordinates , , parodytas pav. 17.1. Jie yra susiję su , , taškų formulėmis.

Vandenilio atomui pritaikyta Šriodingerio lygtis leidžia gauti Boro teorijos apie vandenilio atomą rezultatus nesinaudojant Boro postulatais ir kvantavimo sąlyga. Energijos kvantavimas atsiranda kaip natūrali sąlyga, atsirandanti sprendžiant Šriodingerio lygtį, tam tikra prasme, panašia į energijos kvantavimo priežastį dalelei potencialo šulinyje.

Stacionarios Schrödingerio lygties taikymas vandenilio atomui reiškia:

a) šioje lygtyje pakeiskite elektrono ir branduolio sąveikos potencialios energijos išraišką

b) kaip m, pakaitalas m e - elektrono masė (jei nepaisysime, kaip paskaitoje N 4, branduolio judėjimą).

Po to gauname Šriodingerio vandenilio atomo lygtis :

Vandenilio atomo Schrödingerio lygties sprendimas egzistuoja tokiomis sąlygomis:

a) bet kokioms teigiamoms bendros energijos vertėms (E > 0). Tai yra vadinamieji nesurištų elektronų būsenos kai praskrenda pro branduolį ir palieka jį iki begalybės;

b) atskiroms neigiamos energijos vertėms (n-sveikasis skaičius):

Ši formulė sutampa su Bohro formule vandenilio atomo nejudančių būsenų energijai. Sveikasis skaičius n vadinamas pagrindinis kvantinis skaičius .

23. Atomo branduolio sudėtis. Nukleonai ir jų tarpusavio konvertuojamumas.

Atominiai branduoliai skirtingi elementai susideda iš dviejų tipų dalelių – protonų ir neutronų.

protonas- teigiamai įkrauta dalelė, kurios krūvis absoliučia reikšme lygus elektrono krūviui, o masė 1836 kartus didesnė už elektrono masę.

Po protono atradimo buvo pasiūlyta, kad atomų branduoliai susideda tik iš protonų. Tačiau ši prielaida pasirodė nepagrįsta, nes branduolio krūvio ir jo masės santykis skirtingiems branduoliams nelieka pastovus, kaip būtų, jei į branduolių sudėtį būtų įtraukti tik protonai. Sunkesniems branduoliams šis santykis pasirodo mažesnis nei lengvųjų, t.y., pereinant prie sunkesnių branduolių, branduolio masė auga greičiau nei krūvis.

Standžiai surišta kompaktiška protonų-elektronų pora, kuri yra elektriškai neutralus darinys – dalelė, kurios masė maždaug lygi protono masei. Rutherfordas netgi sugalvojo šios hipotetinės dalelės pavadinimą - neutronas - klaidinga mintis. Elektronas negali būti branduolio dalis. Neutronas - neutrali dalelė, kurios masė maždaug lygi protono masei.

protonų masė, pagal šiuolaikinius matavimus, yra lygus m p = 1,67262∙10 -27 kg. Branduolinėje fizikoje dalelės masė dažnai išreiškiama atominės masės vienetais (a.m.u.), lygia 1/12 anglies atomo, kurio masės skaičius yra 12, masės:

Rutherfordo eksperimente buvo aptiktas azoto ir kitų elementų branduolių skilimo reiškinys veikiant greitoms α dalelėms ir parodyta, kad protonai yra atomų branduolių dalis.neutronų masė m n \u003d 1,67493 10 -27 kg \u003d 1,008665 a. e.m. Energijos vienetais neutronų masė yra 939,56563 MeV. Neutrono masė yra maždaug dviem elektronų masėmis didesnė už protono masę.

Laisvoje valstybėje neutronas nestabilus(radioaktyvus). Jis spontaniškai suyra, virsdamas protonu, išskirdamas elektroną (-e) ir kita dalelė, vadinama antineutrinu ():

Pusinės eliminacijos laikas yra 12 minučių.

Antineutrino masė yra nereikšminga, palyginti su dalelių, esančių dešinėje lygties pusėje, masėmis / Neutrono masė yra 2,5 me didesnė už protono masę. àNeutrono masė 1,5 viršija bendrą dalelių masę dešinėje pusėje aš, tie. iki 0,77 MeV. Ši energija išsiskiria neutronui irstant susidariusių dalelių kinetinės energijos pavidalu.

neutronų skaičius: N = A-Z ,

nukleonų skaičius A

Vandenilio atomo Schrödingerio lygties sprendime naudojamas faktas, kad Kulono potencialas yra izotropinis, tai yra nepriklauso nuo krypties erdvėje, kitaip tariant, turi sferinę simetriją. Nors galutinės bangos funkcijos ( orbitalės) nebūtinai yra sferiškai simetriški, jų priklausomybė nuo kampinės koordinatės visiškai išplaukia iš žemės potencialo izotropijos: Hamiltono operatoriaus savąsias reikšmes galima pasirinkti kaip kampinio momento operatoriaus savąsias būsenas. Tai atitinka faktą, kad kampinis impulsas išsaugomas elektrono orbitinio judėjimo aplink branduolį metu. Iš to išplaukia, kad Hamiltono savosios būsenos yra pateiktos dviem kvantiniais kampinio momento skaičiais l ir m(Sveiki skaičiai). Kvantinis skaičius kampinis momentas l gali įgauti reikšmes 0, 1, 2… ir nustato kampinio momento reikšmę. Magnetinis gali užtrukti kvantinis skaičius m = −l, …, +l; ji apibrėžia kampinio momento projekciją į (savavališkai pasirinktą) ašį z.

Be matematinių išraiškų viso kampinio momento bangų funkcijoms ir kampinio momento projekcijos, reikia rasti banginės funkcijos radialinės priklausomybės išraišką. potencialiai 1/ r radialinės bangos funkcijos parašytos naudojant Lagero polinomus). Tai veda į trečiąjį kvantinį skaičių, kuris vadinamas pagrindiniu kvantiniu skaičiumi n ir gali turėti reikšmes 1, 2, 3… Pagrindinis kvantinis skaičius vandenilio atome yra susijęs su visa atomo energija. Atkreipkite dėmesį, kad didžiausią kampinio momento kvantinio skaičiaus reikšmę riboja pagrindinis kvantinis skaičius: jis gali kisti tik iki n– 1, tai yra l = 0, 1, …, n−1.

Dėl kampinio momento išsaugojimo būsenos su tuo pačiu l, bet kitoks m nesant magnetinio lauko, jie turi tą pačią energiją (tai galioja visoms ašinės simetrijos problemoms). Be to, vandenilio atomo būsenos yra tokios pat n, bet kitoks l taip pat yra išsigimę (tai yra, jų energija yra tokia pati). Tačiau ši savybė yra tik vandenilio atomo (ir į vandenilį panašių atomų) savybė, ji negalioja sudėtingesniems atomams, kurių (efektyvusis) potencialas skiriasi nuo Kulono (dėl vidinių elektronų, ekranuojančių branduolio potencialas).

Jei atsižvelgsime į elektrono sukimąsi, tada atsiras paskutinis, ketvirtas kvantinis skaičius, nulemiantis vandenilio atomo būsenas – paties elektrono sukimosi kampinio momento projekciją ašyje. Z. Ši projekcija gali turėti dvi reikšmes. Bet kuri elektrono savoji būsena vandenilio atome yra visiškai aprašyta keturiais kvantiniais skaičiais. Pagal įprastas kvantinės mechanikos taisykles tikroji elektrono būsena gali būti bet kokia šių būsenų superpozicija. Tai taip pat paaiškina, kodėl pasirinkta ašis Z kampinio momento vektoriaus krypties kvantavimui nėra svarbu: duomenų orbitalė l ir gautas kitai pasirinktai ašiai visada vaizduojamas kaip tinkama skirtingų būsenų superpozicija su skirtingomis m(bet tas pats l), kurie buvo gauti už Z.

Dabar apsvarstykite vandenilio atomo Schrödingerio lygties sprendimą. Kadangi potenciali elektrono funkcija vandenilio atome turi formą kur e yra elektrono (ir protono) krūvis, r yra spindulio vektorius, tada Schrödingerio lygtis bus parašyta taip:

Čia ψ yra elektrono banginė funkcija protonų atskaitos sistemoje, m- elektronų masė, - Planko konstanta, E yra bendra elektrono energija, yra Laplaso operatorius. Kadangi potenciali funkcija priklauso nuo r, o ne iš koordinačių atskirai, Laplasą bus patogu rašyti sferine koordinačių sistema.Joje atrodo taip:

Schrödingerio lygtis sferinėmis koordinatėmis:

Ši lygtis yra trijų kintamųjų funkcija. Padalinkime ją į tris paprastesnes lygtis. Norėdami tai padaryti, funkciją vaizduojame kaip trijų funkcijų sandaugą: Šios funkcijos bus pažymėtos paprastai Tada:

Pakeitę dalinių išvestinių reikšmes į Šriodingerio lygtį, gauname:

Padauginkite lygtį iš

Antrasis narys čia priklauso tik nuo φ. Perkelkime jį į dešinę lygybės pusę.

Lygybė įmanoma, kai abi dalys yra lygios kokiai nors pastoviai vertei. Pažymėkime tai, todėl:

Šios lygties sprendimas yra funkcijos

Kampas φ gali svyruoti nuo 0 iki 2π. Funkcija turi būti periodinė su 2π periodu. Tai įmanoma tik tuo atveju, jei Taigi iš Šriodingerio lygties sprendinio gauname vieno iš kvantinių skaičių reikšmę (žinoma, visus iš jo galima gauti). Skambina numeriu magnetinis kvantinis skaičius.

Padalinkite lygtį iš

Perkėlę antrąjį terminą į dešinę, panašiai kaip aukščiau, ir nurodę reikšmę, kuriai šios dalys yra lygios, gauname

Šių dviejų paskutinių lygčių sprendimas lemia vertes l ir n atitinkamai. Trys kvantiniai skaičiai kartu visiškai apibūdina elektrono būsenas vandenilio atome.