Panagrinėkime seriją.

7 28 112 448 1792...

Visiškai aišku, kad bet kurio jo elemento vertė yra lygiai keturis kartus didesnė nei ankstesnio. Taigi ši serija yra progresas.

Geometrinė progresija – tai begalinė skaičių seka, kurios pagrindinė ypatybė yra ta, kad kitas skaičius gaunamas iš ankstesnio, padauginus iš kokio nors konkretaus skaičiaus. Tai išreiškiama tokia formule.

a z +1 =a z q, kur z yra pasirinkto elemento skaičius.

Atitinkamai, z ∈ N.

Laikotarpis, kai mokykloje mokomasi geometrinės progresijos, yra 9 klasė. Pavyzdžiai padės suprasti sąvoką:

0.25 0.125 0.0625...

Remiantis šia formule, progreso vardiklį galima rasti taip:

Nei q, nei b z negali būti lygūs nuliui. Be to, kiekvienas progresavimo elementas neturėtų būti lygus nuliui.

Atitinkamai, norėdami sužinoti kitą serijos skaičių, turite padauginti paskutinį skaičių iš q.

Norėdami nurodyti šią eigą, turite nurodyti pirmąjį jo elementą ir vardiklį. Po to galima rasti bet kurį iš vėlesnių terminų ir jų sumą.

Veislės

Priklausomai nuo q ir a 1, ši progresija skirstoma į keletą tipų:

• Jei ir a 1, ir q yra didesni už vieną, tai tokia seka yra geometrinė progresija, didėjanti su kiekvienu sekančiu elementu. Tokio pavyzdys pateikiamas žemiau.

Pavyzdys: a 1 =3, q=2 – abu parametrai yra didesni už vieną.

Tada skaitinę seką galima parašyti taip:

3 6 12 24 48 ...

• Jei |q| mažiau nei vienas, tai yra, daugyba iš jo yra lygi dalybai, tada progresija su panašiomis sąlygomis yra mažėjanti geometrinė progresija. Tokio pavyzdys pateikiamas žemiau.

Pavyzdys: a 1 = 6, q = 1/3 – a 1 yra didesnis už vieną, q yra mažesnis.

Tada skaitinę seką galima parašyti taip:

6 2 2/3 ... - bet kuris elementas yra 3 kartus didesnis nei po jo einantis elementas.

• Ženklas-kintamasis. Jei q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Pavyzdys: a 1 = -3 , q = -2 – abu parametrai yra mažesni už nulį.

Tada seką galima parašyti taip:

3, 6, -12, 24,...

Formulės

Norint patogiai naudoti geometrines progresijas, yra daug formulių:

• z-tojo nario formulė. Leidžia apskaičiuoti elementą pagal tam tikrą skaičių, neskaičiuojant ankstesnių skaičių.

Pavyzdys:q = 3, a 1 = 4. Reikia apskaičiuoti ketvirtąjį progresijos elementą.

Sprendimas:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Pirmųjų elementų, kurių skaičius yra, suma z. Leidžia apskaičiuoti visų sekos elementų sumą ikia zimtinai.

Nuo (1-q) yra vardiklyje, tada (1 - q)≠ 0, taigi q nėra lygus 1.

Pastaba: jei q = 1, progresija būtų be galo pasikartojančio skaičiaus serija.

Geometrinės progresijos suma, pavyzdžiai:a 1 = 2, q= -2. Apskaičiuokite S 5 .

Sprendimas:S 5 = 22 - skaičiavimas pagal formulę.

• Suma, jei |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Pavyzdys:a 1 = 2 , q= 0,5. Raskite sumą.

Sprendimas:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Kai kurios savybės:

• būdinga savybė. Jei tokia sąlyga atlikta bet kokiamz, tada duotoji skaičių serija yra geometrinė progresija:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Be to, bet kurio geometrinės progresijos skaičiaus kvadratas randamas pridedant bet kurių kitų dviejų skaičių kvadratus tam tikroje eilutėje, jei jie yra vienodu atstumu nuo šio elemento.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , kurtyra atstumas tarp šių skaičių.

• Elementaiskiriasi qkartą.
• Progresijos elementų logaritmai taip pat sudaro progresiją, bet jau aritmetinę, tai yra, kiekvienas iš jų yra didesnis už ankstesnį tam tikru skaičiumi.

Kai kurių klasikinių problemų pavyzdžiai

Norint geriau suprasti, kas yra geometrinė progresija, gali padėti pavyzdžiai su 9 klasės sprendimu.

• Sąlygos:a 1 = 3, a 3 = 48. Rastiq.

Sprendimas: kiekvienas paskesnis elementas yra didesnis nei ankstesnisq kartą.Vienus elementus būtina išreikšti per kitus, naudojant vardiklį.

Vadinasi,a 3 = q 2 · a 1

Keičiantq= 4

• Sąlygos:a 2 = 6, a 3 = 12. Apskaičiuokite S 6 .

Sprendimas:Norėdami tai padaryti, pakanka rasti q, pirmąjį elementą, ir pakeisti jį į formulę.

a 3 = q· a 2 , Vadinasi,q= 2

a 2 = q a 1,Štai kodėl a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Raskite ketvirtąjį progresijos elementą.

Sprendimas: tam pakanka ketvirtąjį elementą išreikšti per pirmąjį ir per vardiklį.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Taikymo pavyzdys:

• Banko klientas įnešė 10 000 rublių indėlį, pagal kurį kiekvienais metais klientas prie pagrindinės sumos pridės 6% jo. Kiek pinigų bus sąskaitoje po 4 metų?

Sprendimas: pradinė suma yra 10 tūkstančių rublių. Taigi, praėjus metams po investicijos, sąskaitoje bus suma lygi 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06

Atitinkamai, suma sąskaitoje po kitų metų bus išreikšta taip:

(10 000 1,06) 0,06 + 10 000 1,06 = 1,06 1,06 10 000

Tai yra, kiekvienais metais suma padidėja 1,06 karto. Tai reiškia, kad norint rasti lėšų sumą sąskaitoje po 4 metų, pakanka rasti ketvirtąjį progresijos elementą, kurį suteikia pirmasis elementas lygus 10 tūkst., o vardiklis lygus 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10 000 = 12 625

Sumos apskaičiavimo užduočių pavyzdžiai:

Įvairiose problemose naudojama geometrinė progresija. Sumos nustatymo pavyzdys gali būti pateiktas taip:

a 1 = 4, q= 2, apskaičiuokiteS5.

Sprendimas: visi skaičiavimui reikalingi duomenys yra žinomi, tereikia juos pakeisti formulėje.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Apskaičiuokite pirmųjų šešių elementų sumą.

Sprendimas:

Geom. progresija, kiekvienas kitas elementas yra q kartus didesnis nei ankstesnis, tai yra, norint apskaičiuoti sumą, reikia žinoti elementąa 1 ir vardiklisq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Panašiai mes turime rastia 1 , žinanta 2 irq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Pamoka ir pristatymas tema: "Skaičių sekos. Geometrinė progresija"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pasiūlymų! Visa medžiaga yra patikrinta antivirusine programa.

Mokymo priemonės ir treniruokliai internetinėje parduotuvėje "Integral" 9 klasei
Galios ir šaknys Funkcijos ir grafikai

Vaikinai, šiandien mes susipažinsime su kitu progresavimo tipu.
Šios dienos pamokos tema – geometrinė progresija.

Geometrinė progresija

Apibrėžimas. Skaičių seka, kurioje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesnio ir tam tikro fiksuoto skaičiaus sandaugai, vadinama geometrine progresija.
Apibrėžkime seką rekursyviai: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
kur b ir q yra tam tikri duotieji skaičiai. Skaičius q vadinamas progresijos vardikliu.

Pavyzdys. 1,2,4,8,16… Geometrinė progresija, kurioje pirmasis narys lygus vienetui, o $q=2$.

Pavyzdys. 8,8,8,8… Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys yra aštuoni,
ir $q=1$.

Pavyzdys. 3,-3,3,-3,3... Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys yra trys,
ir $q=-1$.

Geometrinė progresija turi monotoniškumo savybes.
Jei $b_(1)>0$, $q>1$,
tada seka didėja.
Jei $b_(1)>0$, $0 Seka paprastai žymima taip: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Kaip ir aritmetinėje progresijoje, jei geometrinės progresijos elementų skaičius yra baigtinis, progresija vadinama baigtine geometrine progresija.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Atkreipkite dėmesį, kad jei seka yra geometrinė progresija, tada kvadratų seka taip pat yra geometrinė progresija. Antroji seka turi pirmąjį terminą $b_(1)^2$ ir vardiklį $q^2$.

Geometrinės progresijos n-ojo nario formulė

Geometrinė progresija taip pat gali būti nurodyta analitine forma. Pažiūrėkime, kaip tai padaryti:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Mes galime lengvai pamatyti modelį: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Mūsų formulė vadinama "geometrinės progresijos n-ojo nario formule".

Grįžkime prie mūsų pavyzdžių.

Pavyzdys. 1,2,4,8,16… Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys yra lygus vienetui,
ir $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Pavyzdys. 16,8,4,2,1,1/2… Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys yra šešiolika ir $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Pavyzdys. 8,8,8,8… Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys yra aštuoni ir $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Pavyzdys. 3,-3,3,-3,3… Geometrinė progresija, kurioje pirmasis narys lygus trims, o $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Pavyzdys. Duota geometrinė progresija $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Yra žinoma, kad $b_(1)=6, q=3$. Raskite $b_(5)$.
b) Yra žinoma, kad $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Rasti n.
c) Yra žinoma, kad $q=-2, b_(6)=96$. Raskite $b_(1)$.
d) Yra žinoma, kad $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Rasti q.

Sprendimas.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, nes $2^7=128 => n-1=7; n = 8 USD.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Pavyzdys. Skirtumas tarp septintojo ir penktojo geometrinės progresijos narių yra 192, penktojo ir šeštojo progresijos narių suma yra 192. Raskite dešimtąjį šios progresijos narį.

Sprendimas.
Žinome, kad: $b_(7)-b_(5)=192$ ir $b_(5)+b_(6)=192$.
Taip pat žinome: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Tada:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Gavome lygčių sistemą:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Sulyginus, mūsų lygtys gaunasi:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Gavome du sprendinius q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Iš eilės pakeiskite antrąją lygtį:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ sprendimų nėra.
Gavome: $b_(1)=4, q=2$.
Raskime dešimtąjį terminą: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Baigtinės geometrinės progresijos suma

Tarkime, kad turime baigtinę geometrinę progresiją. Apskaičiuokime, kaip ir aritmetinei progresijai, jos narių sumą.

Tegu pateikta baigtinė geometrinė progresija: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Įveskime jo narių sumos žymėjimą: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Tuo atveju, kai $q=1$. Visi geometrinės progresijos nariai lygūs pirmajam nariui, tada akivaizdu, kad $S_(n)=n*b_(1)$.
Dabar apsvarstykite atvejį $q≠1$.
Aukščiau nurodytą sumą padauginkite iš q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Pastaba:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Gavome baigtinės geometrinės progresijos sumos formulę.

Pavyzdys.
Raskite geometrinės progresijos, kurios pirmasis narys yra 4, o vardiklis yra 3, pirmųjų septynių narių sumą.

Sprendimas.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Pavyzdys.
Raskite penktąjį geometrinės progresijos narį, kuris yra žinomas: $b_(1)=-3$; $b_(n) = -3072 $; $S_(n) = -4095 $.

Sprendimas.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072 $.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
-4095 USD(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
-4095 USD(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q = 4 $.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Būdinga geometrinės progresijos savybė

Vaikinai, atsižvelgiant į geometrinę progresiją. Panagrinėkime tris iš eilės einančius narius: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Mes tai žinome:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Tada:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Jei progresija yra baigtinė, tada ši lygybė galioja visoms sąlygoms, išskyrus pirmą ir paskutinę.
Jei iš anksto nežinoma, kokią seką turi seka, bet žinoma, kad: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Tada galime drąsiai teigti, kad tai geometrinė progresija.

Skaičių seka yra geometrinė progresija tik tada, kai kiekvieno jos nario kvadratas yra lygus dviejų gretimų progresijos narių sandaugai. Nepamirškite, kad baigtinei progresijai ši sąlyga netenkinama pirmą ir paskutinę kadenciją.

Pažiūrėkime į šią tapatybę: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ vadinamas a ir b geometriniu vidurkiu.

Bet kurio geometrinės progresijos elemento modulis yra lygus dviejų gretimų elementų geometriniam vidurkiui.

Pavyzdys.
Raskite x tokį, kad $x+2; 2x+2; 3x+3$ buvo trys iš eilės geometrinės progresijos nariai.

Sprendimas.
Naudokime būdingą savybę:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ ir $x_(2)=-1$.
Iš eilės pakeiskite pradinę išraišką, mūsų sprendimai:
Kai $x=2$, gavome seką: 4;6;9 yra geometrinė progresija su $q=1.5$.
Kai $x=-1$, gavome seką: 1;0;0.
Atsakymas: $x=2.$

Savarankiško sprendimo užduotys

1. Raskite aštuntą pirmąjį geometrinės progresijos narį 16; -8; 4; -2 ....
2. Raskite dešimtąjį geometrinės progresijos narį 11,22,44….
3. Yra žinoma, kad $b_(1)=5, q=3$. Raskite $b_(7)$.
4. Yra žinoma, kad $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Rasti n.
5. Raskite geometrinės progresijos 3;12;48… pirmųjų 11 narių sumą.
6. Raskite x tokį, kad $3x+4; 2x+4; x+5$ yra trys iš eilės geometrinės progresijos nariai.

Geometrinė progresija kartu su aritmetika yra svarbi skaičių eilutė, kuri tiriama 9 klasės mokykliniame algebros kurse. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime geometrinės progresijos vardiklį ir kaip jo vertė veikia jos savybes.

Geometrinės progresijos apibrėžimas

Pirmiausia pateikiame šios skaičių serijos apibrėžimą. Geometrinė progresija yra racionaliųjų skaičių serija, kuri susidaro paeiliui padauginus jos pirmąjį elementą iš pastovaus skaičiaus, vadinamo vardikliu.

Pavyzdžiui, skaičiai serijose 3, 6, 12, 24, ... yra geometrinė progresija, nes padauginus 3 (pirmasis elementas) iš 2, gauname 6. Jei 6 padauginsime iš 2, gausime 12 ir pan.

Nagrinėjamos sekos nariai dažniausiai žymimi simboliu ai, kur i yra sveikasis skaičius, nurodantis elemento skaičių serijoje.

Aukščiau pateiktą progresijos apibrėžimą matematikos kalba galima parašyti taip: an = bn-1 * a1, kur b yra vardiklis. Šią formulę patikrinti nesunku: jei n = 1, tai b1-1 = 1, ir gauname a1 = a1. Jei n = 2, tai an = b * a1, ir vėl pasiekiame nagrinėjamos skaičių serijos apibrėžimą. Panašūs samprotavimai gali būti tęsiami ir didelėms n reikšmėms.

Geometrinės progresijos vardiklis

Skaičius b visiškai nustato, kokį simbolį turės visa skaičių serija. Vardiklis b gali būti teigiamas, neigiamas arba didesnis arba mažesnis už vieną. Visos aukščiau pateiktos parinktys lemia skirtingas sekas:

• b > 1. Didėja racionaliųjų skaičių serija. Pavyzdžiui, 1, 2, 4, 8, ... Jei elementas a1 yra neigiamas, tai visa seka didės tik modulo, bet mažės atsižvelgiant į skaičių ženklą.
• b = 1. Dažnai toks atvejis nevadinamas progresija, nes yra eilinė identiškų racionaliųjų skaičių eilutė. Pavyzdžiui, -4, -4, -4.

Sumos formulė

Prieš pradedant nagrinėti konkrečias problemas, naudojant nagrinėjamos progresijos tipo vardiklį, reikia pateikti svarbią formulę pirmųjų n elementų sumai. Formulė yra tokia: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Šią išraišką galite gauti patys, jei atsižvelgsite į rekursyvią progresijos narių seką. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad aukščiau pateiktoje formulėje pakanka žinoti tik pirmąjį elementą ir vardiklį, kad būtų galima rasti savavališko skaičiaus terminų sumą.

Be galo mažėjanti seka

Aukščiau buvo paaiškinta, kas tai yra. Dabar, žinodami Sn formulę, pritaikykime ją šiai skaičių serijai. Kadangi bet kuris skaičius, kurio modulis neviršija 1, linkęs į nulį, kai jis padidinamas iki didelių laipsnių, tai yra, b∞ => 0, jei -1

Kadangi skirtumas (1 - b) visada bus teigiamas, nepriklausomai nuo vardiklio reikšmės, be galo mažėjančios geometrinės progresijos S∞ sumos ženklą vienareikšmiškai lemia jo pirmojo elemento a1 ženklas.

Dabar panagrinėsime keletą problemų, kur parodysime, kaip įgytas žinias pritaikyti konkretiems skaičiams.

Užduotis numeris 1. Nežinomų progresijos elementų ir sumos apskaičiavimas

Atsižvelgiant į geometrinę progresiją, progresijos vardiklis yra 2, o pirmasis jos elementas yra 3. Kokie bus jos 7 ir 10 nariai ir kokia yra septynių pradinių elementų suma?

Problemos sąlyga yra gana paprasta ir apima tiesioginį aukščiau pateiktų formulių naudojimą. Taigi, norėdami apskaičiuoti elementą su skaičiumi n, naudojame išraišką an = bn-1 * a1. 7-ajam elementui turime: a7 = b6 * a1, pakeitę žinomus duomenis, gauname: a7 = 26 * 3 = 192. Tą patį darome su 10-uoju nariu: a10 = 29 * 3 = 1536.

Mes naudojame gerai žinomą sumos formulę ir nustatome šią reikšmę pirmiesiems 7 serijos elementams. Turime: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Užduotis numeris 2. Savavališkų progresijos elementų sumos nustatymas

Tegu -2 yra eksponentinės progresijos bn-1 * 4 vardiklis, kur n yra sveikas skaičius. Būtina nustatyti sumą nuo 5 iki 10 šios serijos elemento imtinai.

Iškeltos problemos negalima tiesiogiai išspręsti naudojant žinomas formules. Ją galima išspręsti 2 skirtingais būdais. Dėl išsamumo pateikiame abu.

1 metodas. Jo idėja paprasta: reikia apskaičiuoti dvi atitinkamas pirmųjų narių sumas, o tada iš vienos atimti kitą. Apskaičiuokite mažesnę sumą: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Dabar apskaičiuojame didelę sumą: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Atkreipkite dėmesį, kad paskutinėje išraiškoje buvo susumuoti tik 4 terminai, nes 5-asis jau yra įtrauktas į sumą, kurią reikia apskaičiuoti pagal uždavinio sąlygą. Galiausiai imame skirtumą: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

2 būdas. Prieš pakeisdami skaičius ir skaičiuodami, galite gauti sumos formulę tarp nagrinėjamos eilutės terminų m ir n. Mes veikiame lygiai taip pat, kaip ir 1 metodu, tik pirmiausia dirbame su simboliniu sumos vaizdavimu. Turime: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Galite pakeisti žinomus skaičius į gautą išraišką ir apskaičiuoti galutinį rezultatą: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Užduotis numeris 3. Kas yra vardiklis?

Tegu a1 = 2, raskite geometrinės progresijos vardiklį, jei begalinė jo suma lygi 3 ir žinoma, kad tai mažėjanti skaičių seka.

Pagal problemos būklę nesunku atspėti, kokia formule jai spręsti. Žinoma, be galo mažėjančios progresijos sumai. Turime: S∞ = a1 / (1 - b). Iš kur išreiškiame vardiklį: b = 1 - a1 / S∞. Belieka pakeisti žinomas reikšmes ir gauti reikiamą skaičių: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 arba -0,333 (3). Šį rezultatą galime patikrinti kokybiškai, jei prisiminsime, kad tokio tipo sekos modulis b neturi viršyti 1. Kaip matote, |-1 / 3|

Užduotis numeris 4. Skaičių serijos atkūrimas

Tegu pateikiami 2 skaičių eilutės elementai, pavyzdžiui, 5-asis lygus 30, o 10-asis – 60. Iš šių duomenų reikia atkurti visą eilutę žinant, kad ji tenkina geometrinės progresijos savybes.

Norėdami išspręsti problemą, pirmiausia turite užsirašyti atitinkamą kiekvieno žinomo nario išraišką. Turime: a5 = b4 * a1 ir a10 = b9 * a1. Dabar antrąją išraišką padaliname iš pirmosios, gauname: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Iš čia mes nustatome vardiklį, paimdami penktojo laipsnio šaknį iš narių santykio, žinomo iš uždavinio sąlygos, b = 1,148698. Gautą skaičių pakeičiame viena iš žinomo elemento išraiškų, gauname: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Taigi, mes nustatėme, kas yra progresijos bn vardiklis, o geometrinė progresija bn-1 * 17.2304966 = an, kur b = 1.148698.

Kur naudojamos geometrinės progresijos?

Jei šios skaitinės serijos nebūtų taikomos praktikoje, jos tyrimas būtų sumažintas iki grynai teorinio intereso. Bet yra tokia programa.

Žemiau pateikiami 3 garsiausi pavyzdžiai:

• Zenono paradoksas, kai judrusis Achilas negali pasivyti lėto vėžlio, sprendžiamas naudojant be galo mažėjančios skaičių sekos koncepciją.
• Jei kviečių grūdai bus dedami į kiekvieną šachmatų lentos langelį taip, kad 1 grūdas būtų į 1 langelį, 2 - 2, 3 - 3 ir tt, tada 18446744073709551615 grūdų reikės užpildyti visas lenta!
• Žaidime „Tower of Hanoi“, norint pertvarkyti diskus iš vieno strypo į kitą, reikia atlikti 2n – 1 operacijas, tai yra jų skaičius eksponentiškai auga nuo naudojamų diskų skaičiaus n.

>>Matematika: geometrinė progresija

Skaitytojo patogumui šiame skyriuje laikomasi lygiai to paties plano, kaip ir ankstesniame skyriuje.

1. Pagrindinės sąvokos.

Apibrėžimas. Skaitinė seka, kurios visi nariai skiriasi nuo 0 ir kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, gaunamas iš ankstesnio nario, padauginus jį iš to paties skaičiaus, vadinama geometrine progresija. Šiuo atveju skaičius 5 vadinamas geometrinės progresijos vardikliu.

Taigi geometrinė progresija yra skaitinė seka (b n), kurią rekursyviai pateikia santykiai

Ar įmanoma, žiūrint į skaičių seką, nustatyti, ar tai geometrinė progresija? Gali. Jei esate įsitikinę, kad bet kurio sekos nario ir ankstesnio nario santykis yra pastovus, tada turite geometrinę progresiją.
1 pavyzdys

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

2 pavyzdys

Tai geometrinė progresija, kuri
3 pavyzdys

Tai geometrinė progresija, kuri
4 pavyzdys

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Tai geometrinė progresija, kur b 1 - 8, q = 1.

Atkreipkite dėmesį, kad ši seka taip pat yra aritmetinė progresija (žr. 3 pavyzdį iš § 15).

5 pavyzdys

2,-2,2,-2,2,-2.....

Tai geometrinė progresija, kurioje b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Akivaizdu, kad geometrinė progresija yra didėjanti seka, jei b 1 > 0, q > 1 (žr. 1 pavyzdį), ir mažėjanti seka, jei b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Norint nurodyti, kad seka (b n) yra geometrinė progresija, kartais patogu naudoti šį žymėjimą:

Piktograma pakeičia frazę „geometrinė progresija“.
Atkreipiame dėmesį į vieną keistą ir kartu gana akivaizdžią geometrinės progresijos savybę:
Jei seka yra geometrinė progresija, tada kvadratų seka, t.y. yra geometrinė progresija.
Antroje geometrinėje progresijoje pirmasis narys yra lygus q 2.
Jei eksponentiškai atmesime visus terminus, einančius po b n, gausime baigtinę geometrinę progresiją
Tolesnėse šio skyriaus pastraipose apžvelgsime svarbiausias geometrinės progresijos savybes.

2. Geometrinės progresijos n-ojo nario formulė.

Apsvarstykite geometrinę progresiją vardiklis q. Mes turime:

Nesunku atspėti, kad bet kurio skaičiaus n lygybė

Tai yra geometrinės progresijos n-ojo nario formulė.

komentuoti.

Jei perskaitėte svarbią pastabą iš ankstesnės pastraipos ir ją supratote, pabandykite įrodyti (1) formulę matematine indukcija, kaip tai buvo padaryta aritmetinės progresijos n-ojo nario formulei.

Perrašykime geometrinės progresijos n-ojo nario formulę

ir įveskite žymėjimą: gauname y \u003d mq 2 arba, tiksliau,
Argumentas x yra eksponente, todėl tokia funkcija vadinama eksponentine funkcija. Tai reiškia, kad geometrinė progresija gali būti laikoma eksponentine funkcija, pateikta natūraliųjų skaičių aibėje N. Ant pav. 96a parodytas Fig. funkcijos grafikas. 966 - funkcijų grafikas Abiem atvejais turime atskirus taškus (su abscisėmis x = 1, x = 2, x = 3 ir t. t.), esančius ant kokios nors kreivės (abieji paveikslai rodo tą pačią kreivę, tik skirtingai išsidėstę ir pavaizduoti skirtingomis mastelėmis). Ši kreivė vadinama eksponentu. Plačiau apie eksponentinę funkciją ir jos grafiką bus kalbama 11 klasės algebros kurse.

Grįžkime prie ankstesnės pastraipos 1–5 pavyzdžių.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Tai geometrinė progresija, kurioje b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Padarykime n-ojo nario formulę
2) Tai geometrinė progresija, kurioje suformuluokime n-tąjį narį

Tai geometrinė progresija, kuri Sudarykite n-ojo nario formulę
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Tai geometrinė progresija, kurioje b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Padarykime n-ojo nario formulę
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Tai geometrinė progresija, kurioje b 1 = 2, q = -1. Sudarykite n-ojo nario formulę

6 pavyzdys

Pateikta geometrinė progresija

Visais atvejais sprendimas grindžiamas geometrinės progresijos n-ojo nario formule

a) Įdėję n = 6 į geometrinės progresijos n-ojo nario formulę, gauname

b) Mes turime

Kadangi 512 \u003d 2 9, gauname n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) Mes turime

7 pavyzdys

Skirtumas tarp septintojo ir penktojo geometrinės progresijos narių yra 48, penktojo ir šeštojo progresijos narių suma taip pat yra 48. Raskite dvyliktą šios progresijos narį.

Pirmas lygmuo. Matematinio modelio sudarymas.

Užduoties sąlygas galima trumpai parašyti taip:

Naudodami geometrinės progresijos n-ojo nario formulę, gauname:
Tada antrąją uždavinio sąlygą (b 7 - b 5 = 48) galima parašyti kaip

Trečiąją uždavinio sąlygą (b 5 +b 6 = 48) galima parašyti kaip

Dėl to gauname dviejų lygčių sistemą su dviem kintamaisiais b 1 ir q:

kuri kartu su aukščiau parašyta 1) sąlyga yra matematinis problemos modelis.

Antrasis etapas.

Darbas su sudarytu modeliu. Sulyginę abiejų sistemos lygčių kairiąsias dalis, gauname:

(abi lygties puses padalijome į išraišką b 1 q 4 , kuri skiriasi nuo nulio).

Iš lygties q 2 - q - 2 = 0 randame q 1 = 2, q 2 = -1. Pakeitę reikšmę q = 2 į antrąją sistemos lygtį, gauname
Į antrąją sistemos lygtį pakeitę reikšmę q = -1, gauname b 1 1 0 = 48; ši lygtis neturi sprendinių.

Taigi, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - ši pora yra sudarytos lygčių sistemos sprendimas.

Dabar galime užrašyti nagrinėjamą geometrinę progresiją: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Trečias etapas.

Atsakymas į problemos klausimą. Reikia apskaičiuoti b 12 . Mes turime

Atsakymas: b 12 = 2048.

3. Baigtinės geometrinės progresijos narių sumos formulė.

Tegul yra baigtinė geometrinė progresija

Pažymėkite S n jo narių sumą, t.y.

Išveskime formulę, kaip rasti šią sumą.

Pradėkime nuo paprasčiausio atvejo, kai q = 1. Tada geometrinė progresija b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn susideda iš n skaičių, lygių b 1 , t.y. progresija yra b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Šių skaičių suma yra nb 1 .

Dabar q = 1 Norėdami rasti S n, naudojame dirbtinį metodą: atlikime kai kurias išraiškos S n q transformacijas. Mes turime:

Atlikdami transformacijas, pirmiausia naudojome geometrinės progresijos apibrėžimą, pagal kurį (žr. trečiąją samprotavimo eilutę); antra, jie pridėjo ir atėmė, kodėl posakio reikšmė, žinoma, nepasikeitė (žr. ketvirtą samprotavimo eilutę); trečia, mes panaudojome n-ojo geometrinės progresijos nario formulę:

Iš (1) formulės randame:

Tai yra geometrinės progresijos n narių sumos formulė (tuo atveju, kai q = 1).

8 pavyzdys

Duota baigtinė geometrinė progresija

a) progresijos narių suma; b) jos narių kvadratų suma.

b) Aukščiau (žr. p. 132) jau pažymėjome, kad jei visi geometrinės progresijos nariai yra kvadratu, tai bus gauta geometrinė progresija su pirmuoju nariu b 2 ir vardikliu q 2. Tada šešių naujos progresijos narių suma bus apskaičiuojama pagal

9 pavyzdys

Raskite geometrinės progresijos, kuriai

Tiesą sakant, mes įrodėme šią teoremą.

Skaičių seka yra geometrinė progresija tada ir tik tada, kai kiekvieno jos nario kvadratas, išskyrus pirmąjį (ir paskutinįjį, jei yra baigtinė seka), yra lygus ankstesnių ir vėlesnių narių sandaugai. (būdinga geometrinės progresijos savybė).

Instrukcija

10, 30, 90, 270...

Būtina rasti geometrinės progresijos vardiklį.
Sprendimas:

1 variantas. Paimkime savavališką progresijos narį (pavyzdžiui, 90) ir padalinkime jį iš ankstesnio (30): 90/30=3.

Jei žinoma kelių geometrinės progresijos narių suma arba visų mažėjančios geometrinės progresijos narių suma, tada progresijos vardikliui rasti naudokite atitinkamas formules:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), kur Sn yra pirmųjų n geometrinės progresijos narių suma ir
S = b1/(1-q), kur S yra be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma (visų progresijos narių, kurių vardiklis mažesnis už vieną, suma).
Pavyzdys.

Mažėjančios geometrinės progresijos pirmasis narys lygus vienetui, o visų jos narių suma lygi dviem.

Būtina nustatyti šios progresijos vardiklį.
Sprendimas:

Pakeiskite duomenis iš užduoties į formulę. Gaukite:
2=1/(1-q), iš kur – q=1/2.

Progresija yra skaičių seka. Geometrinėje progresijoje kiekvienas paskesnis narys gaunamas padauginus ankstesnįjį iš tam tikro skaičiaus q, vadinamo progresijos vardikliu.

Instrukcija

Jei žinomi du gretimi geometrinių b(n+1) ir b(n) nariai, norint gauti vardiklį, skaičių su dideliu skaičiumi reikia padalyti iš prieš jį esančio: q=b(n) +1)/b(n). Tai išplaukia iš progreso apibrėžimo ir jo vardiklio. Svarbi sąlyga yra ta, kad pirmasis progresijos narys ir vardiklis nėra lygūs nuliui, kitaip jis laikomas neapibrėžtu.

Taigi tarp progresijos narių nustatomi tokie ryšiai: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Pagal formulę b(n)=b1 q^(n-1) galima apskaičiuoti bet kurį geometrinės progresijos narį, kurio vardiklis q ir narys b1. Be to, kiekvienas progresijos modulis yra lygus gretimų narių vidurkiui: |b(n)|=√, taigi progresija gavo savo .

Geometrinės progresijos analogas yra paprasčiausia eksponentinė funkcija y=a^x, kur x yra eksponente, a yra koks nors skaičius. Šiuo atveju progresijos vardiklis sutampa su pirmuoju nariu ir yra lygus skaičiui a. Funkcijos y reikšmė gali būti suprantama kaip n-asis progresijos narys, jei argumentas x imamas kaip natūralusis skaičius n (skaitiklis).

Egzistuoja geometrinės progresijos pirmųjų n narių sumai: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Ši formulė galioja q≠1. Jei q=1, tai pirmųjų n narių suma apskaičiuojama pagal formulę S(n)=n b1. Beje, progresija bus vadinama didėjančia, kai q yra didesnė už vieną ir teigiama b1. Kai progresijos vardiklis, modulis ne didesnis kaip vienas, progresija bus vadinama mažėjančia.

Ypatingas geometrinės progresijos atvejis yra be galo mažėjanti geometrinė progresija (b.u.g.p.). Faktas yra tas, kad mažėjančios geometrinės progresijos nariai vėl ir vėl mažės, bet niekada nepasieks nulio. Nepaisant to, galima rasti visų tokios progresijos terminų sumą. Jis nustatomas pagal formulę S=b1/(1-q). Bendras narių skaičius n yra begalinis.

Norėdami įsivaizduoti, kaip galite pridėti begalinį skaičių skaičių ir negauti begalybės, iškepkite pyragą. Nupjaukite pusę jo. Tada nupjaukite 1/2 pusės ir pan. Dalys, kurias gausite, yra ne kas kita, kaip be galo mažėjančios geometrinės progresijos, kurios vardiklis yra 1/2, nariai. Jei sudėsite visas šias dalis, gausite originalų pyragą.

Geometrijos problemos yra ypatingas pratimas, reikalaujantis erdvinio mąstymo. Jei negalite išspręsti geometrinės užduotis pabandykite laikytis toliau pateiktų taisyklių.

Instrukcija

Labai atidžiai perskaitykite problemos sąlygą, jei ko nors neprisimenate ar nesuprantate, perskaitykite dar kartą.

Pabandykite nustatyti, kokios tai geometrinės problemos, pvz.: skaičiavimo, kai reikia išsiaiškinti kokią nors vertę, užduotys, reikalaujančios loginės samprotavimo grandinės, užduotys statyti naudojant kompasą ir liniuotę. Daugiau mišrių problemų. Kai išsiaiškinsite problemos tipą, pabandykite mąstyti logiškai.

Taikykite šiai problemai reikalingą teoremą, jei kyla abejonių arba visai nėra pasirinkimų, pabandykite prisiminti teoriją, kurią perdavėte atitinkama tema.

Taip pat padarykite problemos juodraštį. Pabandykite naudoti žinomus metodus, kad patikrintumėte savo sprendimo teisingumą.

Tvarkingai užbaikite problemos sprendimą sąsiuvinyje, be dėmių ir perbrėžimų, o svarbiausia - Galbūt prireiks laiko ir pastangų išspręsti pirmąsias geometrines užduotis. Tačiau kai tik įsigilinsite į šį procesą, pradėsite spustelėti tokias užduotis kaip riešutai ir smagiai tai daryti!

Geometrinė progresija yra tokia skaičių seka b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n), kad b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Kitaip tariant, kiekvienas progresijos narys gaunamas iš ankstesnio, padauginus jį iš kokio nors progresijos q vardiklio, kuris nėra nulis.

Instrukcija

Progresijos uždaviniai dažniausiai sprendžiami sudarant ir vadovaujantis sistema progresijos pirmojo nario b1 ir progresijos q vardiklio atžvilgiu. Norint parašyti lygtis, naudinga atsiminti kai kurias formules.

Kaip išreikšti n-tąjį progresijos narį per pirmąjį progresijos narį ir progresijos vardiklį: b(n)=b1*q^(n-1).

Atskirai apsvarstykite atvejį |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии