Kuris turi būti apibrėžtas, yra vienalytis ir paprastos formos - stačiakampis, apvalus, sferinis, cilindrinis, kvadratinis ir turi simetrijos centrą, tokiu atveju svorio centras sutampa su simetrijos centru.

Vienalyčio strypo svorio centras yra jo viduryje, tai yra, geometriniame centre. Lygiai toks pat rezultatas gaunamas vienodam apvaliam diskui. Jo svorio centras yra apskritimo skersmenų susikirtimo taške. Todėl svorio centras bus jo centre, už paties lanko taškų. Raskite vienalytės sferos svorio centrą – jis yra sferos geometriniame centre. Vienalytės masės centras bus jo įstrižainių sankirtoje.

Jei kūnas yra savavališkos formos, jei jis nehomogeniškas, tarkime, turi įpjovas, sunku apskaičiuoti padėtį. Išsiaiškinkite, kur tokio kūno susikirtimo taškas yra visų gravitacijos jėgų, veikiančių jį apverčiant. Lengviausia šį tašką rasti empiriškai, naudojant laisvo kūno pakabinimo ant sriegio metodą.

Nuosekliai pritvirtinkite korpusą prie sriegio skirtinguose taškuose. Esant pusiausvyrai, kūno svorio centras turi būti ties linija, sutampančia su sriegio linija, kitaip gravitacija pradėtų judėti.

Naudodami liniuotę ir pieštuką nubrėžkite vertikalias linijas, atitinkančias skirtinguose taškuose pritvirtintų siūlų kryptį. Priklausomai nuo kūno formos sudėtingumo, turėsite nubrėžti dvi ar tris linijas. Visi jie turi susikirsti viename taške. Šis taškas bus šio kūno svorio centras, nes svorio centras vienu metu turi būti visose tokiose tiesiose linijose.

Pakabos metodu nustatykite tiek plokščios figūros, tiek sudėtingesnio kūno svorio centrą, kurio forma gali keistis. Pavyzdžiui, dviejų strypų, sujungtų vyriais, išskleistoje būsenoje svorio centras yra geometriniame centre, o sulenktoje būsenoje jų svorio centras yra už šių strypų.

Šaltiniai:

• Kūnų svorio centras
• kaip nustatyti kūno svorio centrą
• Plokštumos svorio centro koordinačių skaičiavimas

Dar mokykloje, fizikos pamokose, pirmiausia susipažįstame su tokia sąvoka kaip svorio centras. Užduotis nelengva, bet gerai paaiškinta ir suprantama. Ne tik jaunasis fizikas turės žinoti svorio centro apibrėžimą. Ir jei jūs susiduriate su šia užduotimi, turėtumėte pasinaudoti patarimais ir priminimais, kad atnaujintumėte savo atmintį.

Instrukcija

Išstudijavę fizikos, mechanikos vadovėlius, žodynus ar enciklopedijas, užklysite į svorio centrą, arba kaip vadinamas masės centras.

Skirtinguose moksluose šiek tiek skiriasi apibrėžimai, bet esmė, tiesą sakant, neprarandama. Svorio centras visada yra kūno simetrijos centre. Kalbant apie vizualesnę koncepciją, „svorio centras (arba kitaip vadinamas masės centru) yra tas, kuris visada yra susijęs su kietu kūnu. Per jį praeina gravitacijos jėgų, veikiančių tam tikro kūno dalelę bet kurioje jos padėtyje, rezultatas.

Jei standaus kūno svorio centras yra taškas, tai jis turi turėti savo koordinates.

Norint nustatyti, svarbu žinoti i-osios kūno dalies x, y, z koordinates ir svorį, žymimą raide – p.

Apsvarstykite užduoties pavyzdį.

Duoti du skirtingos masės m1 ir m2 kūnai, kuriuos veikia skirtingos svorio jėgos (kaip parodyta paveikslėlyje). Svorių užrašymas:

P1= m1*g, P2= m2*g;

Svorio centras yra tarp dviejų masių. Ir jei visas kūnas bus pakibęs t.O, atsiras balanso vertė, tai yra, šie nustos vienas kitą nusverti.

Įvairios geometrinės figūros turi fizines ir skaičiavimus apie svorio centrą. Kiekvienas turi savo požiūrį ir metodą.

Atsižvelgdami į diską, paaiškiname, kad jo viduje yra svorio centras, tiksliau, skersmenys (kaip parodyta paveikslėlyje taške C - skersmenų susikirtimo taškas). Lygiai taip pat randami gretasienio arba vienalyčio rutulio centrai.

Pateiktas diskas ir du kūnai, kurių masės m1 ir m2 yra vienodos masės ir taisyklingos formos. Čia galima pastebėti, kad mūsų ieškomas svorio centras yra šių objektų viduje. Tačiau nehomogeniškos masės ir netaisyklingos formos kūnuose centras gali būti ir toliau. Jūs pats jaučiate, kad užduotis jau darosi sunkesnė.

Pusiausvyra ekonomikos mokslo požiūriu yra tokia sistemos būsena, kai kiekvienas iš rinkos dalyvių nenori keisti savo elgesio. Taigi rinkos pusiausvyra apibrėžiama kaip situacija, kai pardavėjai siūlo parduoti tiksliai tiek prekių, kiek pirkėjai nori įsigyti. Pusiausvyros taško radimas yra sukurti idealų ekonominių santykių dalyvių rinkos elgesio modelį.

Instrukcija

Naudokite paklausos sąvokas ir raskite pusiausvyros tašką. Tai padės nustatyti, kokiu kainų lygiu abi funkcijos turės vienodas reikšmes. Paklausa apibūdina pirkėjus pirkti prekę ir - gamintojo norą parduoti šią prekę.

Pasiūlos ir paklausos funkcijas išreikškite naudodami trijų stulpelių lentelę (žr. 1 pav.). Pirmajame skaičių stulpelyje bus nurodytos kainos vertės, pavyzdžiui, už prekę. Antrasis stulpelis apibrėžia paklausos apimtį, o trečiasis - pasiūlos apimtį tam tikru iš anksto nustatytu laikotarpiu.

Norėdami rasti rinkos pusiausvyrą, naudokite grafinį pasiūlos ir paklausos vaizdą. Perkelkite duomenis iš lentelės, panašios į aukščiau pateiktą, į dviejų ašių erdvę, iš kurių viena (P) rodo kainų lygį, o antroji (Q) - prekių vienetų skaičių.

Nubrėžkite linijas, kad sujungtumėte taškus, vaizduojančius kiekvieno stulpelio parametrų pasikeitimą. Dėl to jūs gausite du grafikus D ir S, susikertančius tam tikru momentu. Kreivė D atspindi vartotojų paklausą produktui, o kreivė S – to paties produkto pasiūlos rinkoje vaizdą.

Dviejų kreivių susikirtimo tašką pažymėkite kaip A. Šis bendras taškas parodo prekių kiekio ir jos kainos pusiausvyros vertę šiame rinkos segmente. Toks grafinis pusiausvyros taško vaizdavimas yra platesnis ir vizualesnis pasiūlos ir paklausos vaizdas.

Susiję vaizdo įrašai

Bet kurio geometrinio objekto svorio centras yra visų gravitacijos jėgų, veikiančių figūrą pasikeitus jo padėčiai, susikirtimo taškas. Kartais šis ženklas gali nesutapti su kūnu, būdamas už jo ribų.

Remiantis aukščiau gautomis bendromis formulėmis, galima nurodyti konkrečius kūnų svorio centrų koordinačių nustatymo metodus.

1. Simetrija. Jei vienalytis kūnas turi plokštumą, ašį arba simetrijos centrą (7 pav.), tai jo svorio centras yra atitinkamai simetrijos plokštumoje, simetrijos ašyje arba simetrijos centre.

7 pav

2. Skaldymas. Kūnas padalintas į baigtinį skaičių dalių (8 pav.), kurių kiekvienai yra žinoma svorio centro padėtis ir plotas.

8 pav

3.Neigiamų sričių metodas. Ypatingas atskyrimo metodo atvejis (9 pav.). Tai taikoma kūnams su išpjovomis, jei žinomi kūno svorio centrai be išpjovos ir išpjovos. Iškirptos plokštės pavidalo korpusas pavaizduotas vientisos plokštės (be išpjovos) su plotu S 1 ir išpjautos dalies S 2 deriniu.

9 pav

4.grupavimo metodas. Tai geras paskutinių dviejų metodų papildymas. Suskaidžius figūrą į sudedamąsias dalis, gali būti patogu kai kuriuos iš jų vėl sujungti, kad būtų galima supaprastinti sprendimą, atsižvelgiant į šios grupės simetriją.

Kai kurių vienarūšių kūnų svorio centrai.

1) Apskritimo lanko svorio centras. Apsvarstykite lanką AB spindulys R su centriniu kampu. Dėl simetrijos šio lanko svorio centras yra ant ašies Jautis(10 pav.).

10 pav

Raskime koordinates naudodami formulę. Norėdami tai padaryti, pasirinkite ant lanko AB elementas MM' ilgis , kurio padėtis nustatoma pagal kampą . Koordinatė X elementas MM' bus . Pakeičiant šias reikšmes X ir d l ir turint omenyje, kad integralas turi būti pratęstas per visą lanko ilgį, gauname:

kur L- arkos ilgis AB, lygus .

Iš čia mes pagaliau nustatome, kad apskritimo lanko svorio centras yra ant jo simetrijos ašies atstumu nuo centro O lygus

kur kampas matuojamas radianais.

2) Trikampio ploto svorio centras. Apsvarstykite trikampį, esantį plokštumoje Oxy, kurio viršūnių koordinatės žinomos: A i(x i,y i), (i= 1,2,3). Trikampio suskaidymas į siauras juosteles lygiagrečiai šonui BET 1 BET 2 , darome išvadą, kad trikampio svorio centras turi priklausyti medianai BET 3 M 3 (11 pav.) .

11 pav

Trikampio suskaidymas į juosteles lygiagrečiai šonui BET 2 BET 3 , galite įsitikinti, kad jis turi gulėti ant medianos BET 1 M vienas . Šiuo būdu, trikampio svorio centras yra jo medianų susikirtimo taške, kuris, kaip žinote, atskiria trečiąją dalį nuo kiekvienos medianos, skaičiuojant nuo atitinkamos pusės.

Visų pirma, medianai BET 1 M 1 gauname, atsižvelgiant į tai, kad taško koordinates M 1 yra viršūnių koordinačių aritmetinis vidurkis BET 2 ir BET 3:

x c = x 1 + (2/3)∙(x M 1 - x 1) = x 1 + (2/3)∙[(x 2 + x 3)/2-x 1 ] = (x 1 +x 2 +x 3)/3.

Taigi trikampio svorio centro koordinatės yra jo viršūnių koordinačių aritmetinis vidurkis:

x c =(1/3)Σ x i ; y c =(1/3)Σ y i.

3) Apvalaus sektoriaus srities svorio centras. Apsvarstykite spindulio apskritimo sektorių R kurių centrinis kampas yra 2α, esantis simetriškai apie ašį Jautis(12 pav.) .

Tai akivaizdu y c = 0, o atstumą nuo apskritimo centro, iš kurio šis sektorius yra nupjautas, iki jo svorio centro galima nustatyti pagal formulę:

12 pav

Lengviausias būdas apskaičiuoti šį integralą yra padalyti integravimo sritį į elementarius sektorius su kampu dφ. Iki be galo mažų pirmosios eilės skaičių tokį sektorių galima pakeisti trikampiu, kurio pagrindas lygus R× dφ ir aukštis R. Tokio trikampio plotas dF=(1/2)R 2 ∙dφ, o jo svorio centras yra 2/3 atstumu R iš viršaus, todėl į (5) dedame x = (2/3)R∙kosφ. Pakeičiama į (5) F= α R 2, gauname:

Naudodami paskutinę formulę apskaičiuojame atstumą iki svorio centro puslankiu.

Pakeitę (2) α = π/2, gauname: x c = (4R)/(3π) ≅ 0,4 R .

1 pavyzdys Nustatykime vienalyčio kūno svorio centrą, parodytą Fig. 13.

13 pav

Kūnas yra vienalytis, susidedantis iš dviejų simetriškos formos dalių. Jų svorio centrų koordinatės:

Jų apimtys:

Todėl kūno svorio centro koordinatės

2 pavyzdys Raskite stačiu kampu sulenktos plokštės svorio centrą. Matmenys - ant brėžinio (14 pav.).

14 pav

Svorio centrų koordinatės:

Kvadratai:

Ryžiai. 6.5.

3 pavyzdys Iš kvadratinio lapo cm išpjaunama kvadratinė kiaurymė cm (15 pav.). Raskite lapo svorio centrą.

15 pav

Šioje problemoje patogiau korpusą padalinti į dvi dalis: didelę kvadratinę ir kvadratinę skylę. Tik skylės plotas turėtų būti laikomas neigiamu. Tada lapo svorio centro koordinatės su skyle:

koordinuoti kadangi kūnas turi simetrijos ašį (įstrižainę).

4 pavyzdys Vielos laikiklis (16 pav.) susideda iš trijų vienodo ilgio sekcijų l.

16 pav

Atkarpų svorio centrų koordinatės:

Todėl viso skliausto svorio centro koordinatės:

5 pavyzdys Nustatykite santvaros, kurios visų strypų linijinis tankis vienodas, svorio centro padėtį (17 pav.).

Prisiminkite, kad fizikoje kūno tankis ρ ir jo savitasis sunkumas g yra susiję su ryšiu: γ= ρ g, kur g- gravitacijos pagreitis. Norėdami rasti tokio vienalyčio kūno masę, turite padauginti tankį iš jo tūrio.

17 pav

Terminas „linijinis“ arba „tiesinis“ tankis reiškia, kad norint nustatyti santvaros strypo masę, linijinis tankis turi būti padaugintas iš šio strypo ilgio.

Norėdami išspręsti problemą, galite naudoti skaidymo metodą. Pateikę nurodytą santvarą kaip 6 atskirų strypų sumą, gauname:

kur L i ilgio i-toji ūkio meškerė, ir x i, y i yra jo svorio centro koordinatės.

Šios problemos sprendimą galima supaprastinti sugrupuojant paskutinius 5 santvaros strypus. Nesunku pastebėti, kad jie sudaro figūrą su simetrijos centru, esančiu ketvirtojo strypo viduryje, kur yra šios strypų grupės svorio centras.

Taigi tam tikrą santvarą galima pavaizduoti tik dviejų strypų grupių deriniu.

Pirmąją grupę sudaro pirmasis jai skirtas strypas L 1 = 4 m, x 1 = 0 m, y 1 = 2 m Antroji strypų grupė susideda iš penkių strypų, kuriems L 2 = 20 m, x 2 = 3 m, y 2 = 2 m.

Ūkio svorio centro koordinatės randamos pagal formulę:

x c = (L 1 ∙x 1 +L 2 ∙x 2)/(L 1 + L 2) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;

y c = (L 1 ∙y 1 +L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4,2 + 20,2)/24 = 2 m.

Atkreipkite dėmesį, kad centras NUO guli ant jungiančios linijos NUO 1 ir NUO 2 ir padalija atkarpą NUO 1 NUO 2 apie: NUO 1 NUO/SS 2 = (x c - x 1)/(x 2 - x c ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

Klausimai savityrai

Kas yra lygiagrečių jėgų centras?

Kaip nustatomos lygiagrečių jėgų centro koordinatės?

Kaip nustatyti lygiagrečių jėgų centrą, kurių rezultatas lygus nuliui?

Kokia yra lygiagrečių jėgų centro savybė?

Kokios formulės naudojamos lygiagrečių jėgų centro koordinatėms apskaičiuoti?

Kas yra kūno svorio centras?

Kodėl Žemės traukos jėgos, veikiančios kūno tašką, gali būti laikomos lygiagrečių jėgų sistema?

Užrašykite nehomogeninių ir vienalyčių kūnų svorio centro padėties nustatymo formulę, plokščių pjūvių svorio centro padėties nustatymo formulę?

Užrašykite paprastų geometrinių figūrų svorio centro padėties nustatymo formulę: stačiakampis, trikampis, trapecija ir pusė apskritimo?

Kas vadinamas statiniu ploto momentu?

Pateikite kūno, kurio svorio centras yra už kūno ribų, pavyzdį.

Kaip simetrijos savybės naudojamos kūnų svorio centrams nustatyti?

Kokia yra neigiamų svorių metodo esmė?

Kur yra apskritimo lanko svorio centras?

Kokia grafine konstrukcija galima rasti trikampio svorio centrą?

Užrašykite formulę, kuri nustato apskritimo sektoriaus svorio centrą.

Naudodami formules, kurios nustato trikampio ir apskritimo sektoriaus svorio centrus, išveskite panašią apskritimo atkarpos formulę.

Kokiomis formulėmis apskaičiuojamos vienarūšių kūnų, plokštumos figūrų ir tiesių svorio centrų koordinatės?

Kas vadinamas statiniu plokščios figūros ploto momentu ašies atžvilgiu, kaip jis apskaičiuojamas ir kokio dydžio jis turi?

Kaip nustatyti vietovės svorio centro padėtį, jei žinoma atskirų jo dalių svorio centrų padėtis?

Kokios pagalbinės teoremos naudojamos svorio centro padėčiai nustatyti?

6.1. Bendra informacija

Lygiagrečių pajėgų centras
Apsvarstykite dvi lygiagrečias jėgas, nukreiptas ta pačia kryptimi , Ir , Taikomas kūno taškuose BET 1 ir BET 2 (6.1 pav.). Ši jėgų sistema turi rezultatą, kurio veikimo linija eina per tam tikrą tašką NUO. Taško padėtis NUO galima rasti naudojant Varinjono teoremą:

Jei pasukate jėgą ir šalia taškų BET 1 ir BET 2 viena kryptimi ir tuo pačiu kampu, tada gauname naują lygiagrečių riebalų sistemą, turinčią tuos pačius modulius. Šiuo atveju jų rezultatas taip pat praeis per tašką NUO. Toks taškas vadinamas lygiagrečių jėgų centru.
Apsvarstykite lygiagrečių ir vienodai nukreiptų jėgų, veikiančių standųjį kūną taškuose, sistemą. Ši sistema turi rezultatą.
Jei kiekviena sistemos jėga bus pasukta šalia jų taikymo taškų ta pačia kryptimi ir tuo pačiu kampu, tada bus gautos naujos vienodai nukreiptų lygiagrečių jėgų sistemos su tais pačiais moduliais ir taikymo taškais. Tokių sistemų rezultantas turės tą patį modulį R, bet kaskart vis kita kryptimi. Sudėjo jėgas F 1 ir F 2 nustato, kad jų rezultatas R 1 , kuris visada eis per tašką NUO 1 , kurio padėtį lemia lygybė . Pridedama toliau R 1 ir F 3 , suraskite jų rezultatą, kuris visada eis per tašką NUO 2 guli ant linijos BET 3 NUO 2. Pabaigę jėgų pridėjimo procesą, padarysime išvadą, kad visų jėgų rezultatas iš tikrųjų visada praeis per tą patį tašką. NUO, kurios padėtis taškų atžvilgiu bus nepakitusi.
Taškas NUO, per kurią eina atstojamosios lygiagrečių jėgų sistemos veikimo linija bet kokiam šių jėgų sukimuisi šalia jų taikymo taškų ta pačia kryptimi tuo pačiu kampu, vadinama lygiagrečių jėgų centru (6.2 pav.).

6.2 pav

Nustatykime lygiagrečių jėgų centro koordinates. Kadangi taško padėtis NUO kūno atžvilgiu yra nepakitęs, tada jo koordinatės nepriklauso nuo koordinačių sistemos pasirinkimo. Pasukite visas jėgas šalia jų taikymo taip, kad jos būtų lygiagrečios ašiai OU ir pritaikyti Varinjono teoremą sukamoms jėgoms. Nes R" yra šių jėgų rezultatas, tada pagal Varinjono teoremą turime , nes , , mes gauname

Iš čia randame lygiagrečių jėgų centro koordinatę zc:

Norėdami nustatyti koordinates xc sudaryti jėgų momento apie ašį išraišką Ozas.

Norėdami nustatyti koordinates yc pasukite visas jėgas taip, kad jos būtų lygiagrečios ašiai Ozas.

Lygiagrečių jėgų centro padėtį pradžios atžvilgiu (6.2 pav.) galima nustatyti pagal jo spindulio vektorių:

6.2. Standaus kūno svorio centras

gravitacijos centras standus kūnas yra taškas, visada susijęs su šiuo kūnu NUO, per kurią eina tam tikro kūno gravitacijos jėgų rezultanto veikimo linija, esant bet kokiai kūno padėčiai erdvėje.
Svorio centras naudojamas tiriant kūnų ir ištisinių terpių pusiausvyros padėties stabilumą veikiant gravitacijai ir kai kuriais kitais atvejais, būtent: medžiagų atsparumui ir konstrukcinei mechanikai - naudojant Vereshchagino taisyklę.
Yra du būdai nustatyti kūno svorio centrą: analitinis ir eksperimentinis. Analitinis svorio centro nustatymo metodas tiesiogiai išplaukia iš lygiagrečių jėgų centro sampratos.
Svorio centro, kaip lygiagrečių jėgų centro, koordinatės nustatomos pagal formules:

kur R- viso kūno svoris; pk- kūno dalelių svoris; xk, yk, zk- kūno dalelių koordinates.
Vienalyčiam kūnui viso kūno ir bet kurios jo dalies svoris yra proporcingas tūriui P=Vγ, pk =vk γ, kur γ - svoris vienam tūrio vienetui, V- kūno tūris. Išraiškų pakeitimas P, pkį svorio centro koordinačių nustatymo formules ir, sumažinant bendru koeficientu γ , mes gauname:

Taškas NUO, kurio koordinates nustatomos gautos formules, vadinamas tūrio svorio centras.
Jei kūnas yra plona vienalytė plokštė, tada svorio centras nustatomas pagal formules:

kur S- visos plokštės plotas; sk- jo dalies plotas; xk, yk- plokštės dalių svorio centro koordinatės.
Taškas NUOšiuo atveju vadinamas svorio centro sritis.
Reiškių skaitikliai, nustatantys plokštumos figūrų svorio centro koordinates, vadinami su statiniai vietovės momentai apie kirvius adresu ir X:

Tada vietovės svorio centrą galima nustatyti pagal formules:

Kūnų, kurių ilgis daug kartų didesnis už skerspjūvio matmenis, nustatomas linijos svorio centras. Linijos svorio centro koordinatės nustatomos pagal formules:

kur L- linijos ilgis; lk- jo dalių ilgis; xk, yk, zk- linijos dalių svorio centro koordinatė.

6.3. Kūnų svorio centrų koordinačių nustatymo metodai

Remiantis gautomis formulėmis, galima pasiūlyti praktinius kūnų svorio centrų nustatymo metodus.
1. Simetrija. Jei kūnas turi simetrijos centrą, tada svorio centras yra simetrijos centre.
Jei kūnas turi simetrijos plokštumą. Pavyzdžiui, XOU plokštuma, tada svorio centras yra šioje plokštumoje.
2. skilimas. Kūnams, sudarytiems iš paprastų kūnų, naudojamas padalijimo metodas. Kūnas yra padalintas į dalis, kurių svorio centras randamas simetrijos metodu. Viso kūno svorio centras nustatomas pagal tūrio (ploto) svorio centro formules.

Pavyzdys. Nustatykite plokštės svorio centrą, parodytą paveikslėlyje žemiau (6.3 pav.). Plokštę galima įvairiai padalinti į stačiakampius ir nustatyti kiekvieno stačiakampio svorio centro koordinates bei jų plotą.

6.3 pav

Atsakymas: xc=17,0 cm; yc=18,0 cm.

3. Papildymas. Šis metodas yra ypatingas skaidymo metodo atvejis. Jis naudojamas, kai kūnas turi įpjovas, įpjovas ir pan., jei žinomos kūno svorio centro koordinatės be įpjovos.

Pavyzdys. Nustatykite apvalios plokštės, turinčios išpjovą su spinduliu, svorio centrą r = 0,6 R(6.4 pav.).

6.4 pav

Apvali plokštė turi simetrijos centrą. Padėkime koordinačių pradžią plokštės centre. Plokštės plotas be įpjovos, įpjovos plotas. Įpjovos plokštės plotas; .
Įpjova turi simetrijos ašį O1 x, Vadinasi, yc=0.

4. Integracija. Jei kūno negalima padalyti į baigtinį skaičių dalių, kurių svorio centrų padėtis yra žinoma, kūnas padalijamas į savavališkai mažus tūrius, kuriems formulė, naudojant skaidymo metodą, yra tokia: .
Toliau jie pereina į ribą, palaikydami elementarius tūrius iki nulio, t.y. sutartines apimtis į taškus. Sumos pakeičiamos integralais, išplėstais į visą kūno tūrį, tada formulės, skirtos nustatyti tūrio svorio centro koordinates, įgauna tokią formą:

Formulės, skirtos nustatyti vietovės svorio centro koordinates:

Tiriant plokščių pusiausvyrą, skaičiuojant Mohro integralą konstrukcijų mechanikoje, reikia nustatyti ploto svorio centro koordinates.

Pavyzdys. Nustatykite apskritimo spindulio lanko centroidą R su centriniu kampu AOB= 2α (6.5 pav.).

Ryžiai. 6.5

Apskritimo lankas yra simetriškas ašiai Oi, todėl lanko svorio centras yra ant ašies Oi, yc = 0.
Pagal linijos svorio centro formulę:

6.Eksperimentinis būdas. Nehomogeniškų sudėtingos konfigūracijos kūnų svorio centrus galima nustatyti eksperimentiškai: pakabinant ir sveriant. Pirmasis būdas yra tai, kad kūnas įvairiuose taškuose yra pakabinamas ant kabelio. Virvės, ant kurios pakabinamas kūnas, kryptis parodys gravitacijos kryptį. Šių krypčių susikirtimo taškas nustato kūno svorio centrą.
Svėrimo metodas – pirmiausia nustatomas kėbulo, pavyzdžiui, automobilio, svoris. Tada ant svarstyklių nustatomas automobilio galinės ašies slėgis į atramą. Sudarę pusiausvyros lygtį tam tikro taško, pavyzdžiui, priekinių ratų ašies, atžvilgiu, galite apskaičiuoti atstumą nuo šios ašies iki automobilio svorio centro (6.6 pav.).

6.6 pav

Kartais, sprendžiant uždavinius, reikia vienu metu taikyti skirtingus svorio centro koordinačių nustatymo metodus.

6.4. Kai kurių paprastų geometrinių figūrų svorio centrai

Norint nustatyti bendros formos kūnų (trikampio, apskritimo lanko, sektoriaus, atkarpos) svorio centrus, patogu naudoti atskaitos duomenis (6.1 lentelė).

6.1 lentelė

Kai kurių vienarūšių kūnų svorio centro koordinatės

№	Figūros pavadinimas	Paveikslėlis
	apskritimo lankas: vienalyčio apskritimo lanko svorio centras yra ant simetrijos ašies (koordinatės yc=0). R yra apskritimo spindulys.
	Homogeniškas apskritas sektorius yc=0). čia α yra pusė centrinio kampo; R yra apskritimo spindulys.
	Segmentas: svorio centras yra simetrijos ašyje (koordinatė yc=0). čia α yra pusė centrinio kampo; R yra apskritimo spindulys.
	Puslankis:
	Trikampis: vienalyčio trikampio svorio centras yra jo medianų susikirtimo taške. kur x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3- trikampio viršūnių koordinates
	Kūgis: vienalyčio apskrito kūgio svorio centras yra jo aukštyje ir yra 1/4 aukščio atstumu nuo kūgio pagrindo.

Inžinerinėje praktikoje atsitinka taip, kad reikia apskaičiuoti sudėtingos plokščios figūros, susidedančios iš paprastų elementų, kurių svorio centro vieta yra žinoma, svorio centro koordinates. Ši užduotis yra dalis užduoties nustatyti...

Kompozitinių sijų ir strypų skerspjūvių geometrinės charakteristikos. Dažnai su tokiais klausimais susiduria štampavimo štampų projektuotojai, nustatydami slėgio centro koordinates, įvairių transporto priemonių pakrovimo schemų kūrėjai dedant krovinius, metalinių statybinių konstrukcijų projektuotojai renkantis elementų sekcijas ir, žinoma, studentai studijuodami. disciplinas „Teorinė mechanika“ ir „Medžiagų stiprumas“.

Elementariųjų figūrų biblioteka.

Simetriškoms plokštumos figūroms svorio centras sutampa su simetrijos centru. Į simetrišką elementariųjų objektų grupę įeina: apskritimas, stačiakampis (įskaitant kvadratą), lygiagretainis (įskaitant rombą), taisyklingasis daugiakampis.

Iš dešimties figūrų, pateiktų aukščiau esančiame paveikslėlyje, tik dvi yra pagrindinės. Tai yra, naudodami trikampius ir apskritimų sektorius, galite sujungti beveik bet kokią praktinio susidomėjimo figūrą. Bet kokias savavališkas kreives galima suskirstyti į dalis ir pakeisti apskritimų lankais.

Likusios aštuonios figūros yra labiausiai paplitusios, todėl jos buvo įtrauktos į tokio tipo biblioteką. Mūsų klasifikacijoje šie elementai nėra pagrindiniai. Stačiakampis, lygiagretainis ir trapecija gali būti sudaryti iš dviejų trikampių. Šešiakampis yra keturių trikampių suma. Apskritimo atkarpa yra skirtumas tarp apskritimo ir trikampio sektoriaus. Žiedinis apskritimo sektorius yra skirtumas tarp dviejų sektorių. Apskritimas yra apskritimo, kurio kampas α=2*π=360˚, sektorius. Pusapskritis yra atitinkamai apskritimo, kurio kampas α=π=180˚, sektorius.

Sudėtinės figūros svorio centro koordinačių skaičiavimas programoje Excel.

Visada lengviau perduoti ir suvokti informaciją, atsižvelgiant į pavyzdį, nei tirti klausimą remiantis grynai teoriniais skaičiavimais. Apsvarstykite problemos "Kaip rasti svorio centrą?" pagal sudėtinės figūros pavyzdį, parodytą paveikslėlyje po šiuo tekstu.

Sudėtinė sekcija yra stačiakampis (su matmenimis a1 = 80 mm, b1 \u003d 40 mm), prie kurio viršuje kairėje buvo pridėtas lygiašonis trikampis (su pagrindo dydžiu a2 =24 mm ir aukštis h2 \u003d 42 mm) ir iš kurio iš viršaus dešinėje buvo nupjautas puslankis (centruotas taške su koordinatėmis x03 =50 mm ir y03 =40 mm, spindulys r3 =26 mm).

Norėdami padėti jums atlikti skaičiavimus, įtrauksime programą MS Excel arba programa Oo skaičiuok . Bet kuris iš jų lengvai susidoros su mūsų užduotimi!

Ląstelėse su geltona užpildymas yra įmanomas pagalbinis preliminarus skaičiavimai .

Ląstelėse su šviesiai geltonu užpildu skaičiuojame rezultatus.

Mėlyna šriftas yra pradiniai duomenys .

Juoda šriftas yra tarpinis skaičiavimo rezultatai .

Raudona šriftas yra galutinis skaičiavimo rezultatai .

Pradedame spręsti uždavinį – pradedame ieškoti atkarpos svorio centro koordinačių.

Pradiniai duomenys:

1. Atitinkamai bus įvesti elementariųjų figūrų, sudarančių sudėtinę sekciją, pavadinimai

į langelį D3: Stačiakampis

į langelį E3: Trikampis

į langelį F3: Puslankis

2. Naudodami šiame straipsnyje pateiktą „Elementariųjų figūrų biblioteką“ nustatome sudėtinės sekcijos elementų svorio centrų koordinates. xci ir yci mm, palyginti su savavališkai pasirinktomis ašimis 0x ir 0y, ir parašykite

į langelį D4: =80/2 = 40,000

xc 1 = a 1 /2

į langelį D5: =40/2 =20,000

yc 1 = b 1 /2

į langelį E4: =24/2 =12,000

xc 2 = a 2 /2

į langelį E5: =40+42/3 =54,000

yc 2 = b 1 + h 2 /3

į langelį F4: =50 =50,000

xc 3 = x03

į langelį F5: =40-4*26/3/PI() =28,965

yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π

3. Apskaičiuokite elementų plotą F 1 , F 2 , F3 mm2, dar kartą naudodami formules iš skyriaus „Elementariųjų figūrų biblioteka“

langelyje D6: =40*80 =3200

F1 = a 1 * b1

langelyje E6: =24*42/2 =504

F2 = a2 *h2 /2

langelyje F6: =-PI()/2*26^2 =-1062

F3 =-π/2*r3 ^2

Trečiojo elemento - puslankio - plotas yra neigiamas, nes ši išpjova yra tuščia vieta!

Svorio centro koordinačių apskaičiavimas:

4. Nustatykite galutinės figūros bendrą plotą F0 mm2

sujungtame langelyje D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642

F0 = F 1 + F 2 + F3

5. Apskaičiuokite sudėtinės figūros statinius momentus Sx ir Sy mm3, palyginti su pasirinktomis ašimis 0x ir 0y

sujungtame langelyje D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459

Sx = yc1 * F1 + yc2 * F2 + yc3 * F3

sujungtame langelyje D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955

Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3

6. Ir galiausiai apskaičiuojame sudėtinės sekcijos svorio centro koordinates Xc ir Yc mm pasirinktoje koordinačių sistemoje 0x - 0y

sujungtame langelyje D11E11F11: =D10/D8 =30,640

Xc = Sy / F0

sujungtame langelyje D12E12F12: =D9/D8 =22,883

Yc=Sx/F0

Užduotis išspręsta, skaičiavimas "Excel" baigtas - randamos atkarpos svorio centro koordinatės, sudarytos naudojant tris paprastus elementus!

Išvada.

Straipsnyje pateiktas pavyzdys pasirinktas labai paprastas, kad būtų lengviau suprasti sudėtingos atkarpos svorio centro skaičiavimo metodiką. Metodas slypi tame, kad bet kokia sudėtinga figūra turi būti suskirstyta į paprastus elementus su žinomomis svorio centrų vietomis ir atlikti galutiniai visos atkarpos skaičiavimai.

Jei sekcija sudaryta iš valcuotų profilių - kampų ir kanalų, tada nereikia jų skaidyti į stačiakampius ir kvadratus su iškirptais apskritais "π / 2" - sektoriais. Šių profilių svorio centrų koordinatės pateiktos GOST lentelėse, tai yra, tiek kampas, tiek kanalas bus pagrindiniai elementarūs elementai jūsų sudėtinių sekcijų skaičiavimuose (nėra prasmės kalbėti apie I-sijas, vamzdžius , strypai ir šešiakampiai – tai yra simetriškos sekcijos centre).

Koordinačių ašių vieta figūros svorio centro padėtyje, žinoma, neturi įtakos! Todėl rinkitės tokią koordinačių sistemą, kuri supaprastintų jūsų skaičiavimus. Jei, pavyzdžiui, mūsų pavyzdyje pasukčiau koordinačių sistemą 45˚ pagal laikrodžio rodyklę, tada stačiakampio, trikampio ir puslankio svorio centrų koordinačių apskaičiavimas virstų kitu atskiru ir sudėtingu skaičiavimo žingsniu, kurio negalite atlikti. tavo galvoje“.

Toliau pateiktas Excel skaičiavimo failas šiuo atveju nėra programa. Greičiau tai yra skaičiuotuvo eskizas, algoritmas, šablonas, kuris seka kiekvienu atveju. sukurkite savo formulių seką langeliams su ryškiai geltonu užpildu.

Taigi, dabar jūs žinote, kaip rasti bet kurios sekcijos svorio centrą! Išsamus visų savavališkų sudėtingų sudėtinių sekcijų geometrinių charakteristikų apskaičiavimas bus apsvarstytas viename iš kitų antraštės "" straipsnių. Sekite naujienas tinklaraštyje.

Dėl gavimo informacija apie naujų straipsnių išleidimą ir už atsisiunčiami darbo programos failai Prašau jūsų užsiprenumeruoti pranešimus straipsnio pabaigoje esančiame lange arba puslapio viršuje esančiame lange.

Įvedę savo elektroninio pašto adresą ir paspaudę mygtuką „Gauti straipsnių pranešimus“. NEPAMIRŠK PATVIRTINTI PRENUMERACIJĄ paspaudę nuorodą laiške, kuris iš karto ateis jums nurodytu paštu (kartais - aplanke « Šlamštas » )!

Keletas žodžių apie stiklinę, monetą ir dvi šakutes, kurios pavaizduotos ant „piktogramos-iliustracijos“ pačioje straipsnio pradžioje. Daugelis iš jūsų tikrai žinote šį „gudrybę“, kuri sukelia susižavėjimo kupinus vaikų ir nesupratusių suaugusiųjų žvilgsnius. Šio straipsnio tema yra svorio centras. Tai jis ir atramos taškas, žaisdami su mūsų sąmone ir patirtimi, tiesiog apgaudinėja mūsų protą!

Sistemos „šakės + moneta“ svorio centras visada yra ant fiksuotas atstumas vertikaliai žemyn nuo monetos krašto, kuris savo ruožtu yra atramos taškas. Tai yra stabilios pusiausvyros padėtis! Papurčius šakutes iškart tampa akivaizdu, kad sistema siekia užimti buvusią stabilią padėtį! Įsivaizduokite švytuoklę - tvirtinimo tašką (= monetos atramos tašką ant stiklo krašto), švytuoklės strypo ašį (= mūsų atveju ašis yra virtuali, nes dviejų šakių masė yra atskirtas skirtingomis erdvės kryptimis) ir apkrova ašies apačioje (= visos „šakės“ sistemos svorio centras + moneta“). Jei pradėsite svyruoklę nukrypti nuo vertikalės bet kuria kryptimi (pirmyn, atgal, kairėn, dešinėn), tada gravitacijos veikiama ji neišvengiamai grįš į pradinę padėtį. stabili pusiausvyros būsena(tas pats atsitinka su mūsų šakėmis ir moneta)!

Kas nesuprato, bet nori suprasti - išsiaiškinkite patys. Labai įdomu „pasiekti“ save! Pridursiu, kad toks pat stabilaus balanso naudojimo principas įgyvendintas ir žaisle Roly-Get Up. Tik šio žaislo svorio centras yra virš atramos taško, bet žemiau atraminio paviršiaus pusrutulio centro.

Jūsų komentarai visada laukiami, mieli skaitytojai!

maldauju, GERBA autorinis darbas, parsisiųsti failą PO PREnumeratos straipsnių skelbimams.

Tikslas – analitiškai ir eksperimentiškai nustatyti sudėtingos figūros svorio centrą.

Teorinis pagrindimas. Materialūs kūnai susideda iš elementariųjų dalelių, kurių vietą erdvėje lemia jų koordinatės. Kiekvienos dalelės traukos į Žemę jėgos gali būti laikomos lygiagrečių jėgų sistema, šių jėgų atstojamoji yra vadinama kūno gravitacijos jėga arba kūno svoriu. Kūno svorio centras yra gravitacijos taikymo taškas.

Svorio centras yra geometrinis taškas, kuris taip pat gali būti už kūno ribų (pavyzdžiui, diskas su skylute, tuščiaviduris rutulys ir kt.). Didelę praktinę reikšmę turi plonų plokščių vienalyčių plokščių svorio centro nustatymas. Jų storis paprastai gali būti nepaisomas ir galima daryti prielaidą, kad svorio centras yra plokštumoje. Jei koordinačių plokštuma xOy sulygiuota su figūros plokštuma, tada svorio centro padėtis nustatoma pagal dvi koordinates:

kur yra figūros dalies plotas, ();

- figūros dalių svorio centro koordinatės, mm (cm).

Figūros skersinis pjūvis	A, mm2	X c , mm	Y c , mm
	bh	b/2	h/2
	bh/2	b/3	h/3
	R2a
Jei 2α = π πR 2 /2

Darbo tvarka.

Nupieškite sudėtingos formos figūrą iš 3-4 paprastų figūrų (stačiakampio, trikampio, apskritimo ir kt.) masteliu 1:1 ir surašykite jos matmenis.

Nubrėžkite koordinačių ašis taip, kad jos apimtų visą figūrą, suskaidykite sudėtingą figūrą į paprastas dalis, nustatykite kiekvienos paprastos figūros svorio centro plotą ir koordinates pasirinktos koordinačių sistemos atžvilgiu.

Analitiškai apskaičiuokite visos figūros svorio centro koordinates. Iškirpkite šią formą iš plono kartono ar faneros. Išgręžkite dvi skylutes, skylių kraštai turi būti lygūs, o skylių skersmuo turi būti šiek tiek didesnis nei adatos, skirtos figūrai pakabinti, skersmuo.

Pirmiausia pakabinkite figūrą viename taške (skylėje), pieštuku nubrėžkite liniją, kuri sutampa su svambalo linija. Pakartokite tą patį pakabindami figūrą kitame taške. Empiriškai rastas figūros svorio centras turi sutapti.

Analitiškai nustatykite plonos vienalytės plokštės svorio centro koordinates. Patikrinkite pagal patirtį

Sprendimo algoritmas

1. Analitinis metodas.

a) Nubraižykite piešinį masteliu 1:1.

b) Padalinkite sudėtingą figūrą į paprastas

c) Pasirinkite ir nubrėžkite koordinačių ašis (jei figūra simetriška, tada - pagal simetrijos ašį, kitu atveju - pagal figūros kontūrą)

d) Apskaičiuokite paprastų figūrų ir visos figūros plotą

e) Pažymėkite kiekvienos paprastos figūros svorio centro padėtį brėžinyje

f) Apskaičiuokite kiekvienos figūros svorio centro koordinates

(išilgai x ir y ašių)

g) Pagal formulę apskaičiuokite visos figūros svorio centro koordinates

h) Pažymėkite svorio centro padėtį brėžinyje C (

2. Patyręs ryžtas.

Eksperimentiniu būdu tikrinamas uždavinio sprendimo teisingumas. Iškirpkite šią formą iš plono kartono ar faneros. Išgręžkite tris skylutes, skylių kraštai turi būti lygūs, o skylių skersmuo turi būti šiek tiek didesnis nei adatos, skirtos figūrai pakabinti, skersmuo.

Pirmiausia pakabinkite figūrą viename taške (skylėje), pieštuku nubrėžkite liniją, kuri sutampa su svambalo linija. Tą patį pakartokite kabindami figūrą kituose taškuose. Figūros svorio centro koordinačių reikšmė, nustatyta pakabinus figūrą dviejuose taškuose: . Empiriškai rastas figūros svorio centras turi sutapti.

3. Išvada dėl svorio centro padėties atliekant analitinį ir eksperimentinį nustatymą.

Pratimas

Analitiškai ir empiriškai nustatykite plokščios pjūvio svorio centrą.

Vykdymo pavyzdys

Užduotis

Nustatykite plonos vienalytės plokštės svorio centro koordinates.

I Analitinis metodas

1. Brėžinys nupieštas pagal mastelį (matmenys dažniausiai pateikiami mm)

2. Sudėtingą figūrą skaidome į paprastas.

1 - stačiakampis

2 – trikampis (stačiakampis)

3- Puslankio plotas (nėra, minuso ženklas).

Randame paprastų taškų figūrų svorio centro padėtį ir

3. Nubraižome koordinačių ašis kaip patogiau ir pažymime koordinačių pradžią t. O.

4. Apskaičiuojame paprastų figūrų plotus ir visos figūros plotą. [dydis cm]

(3. ne, ženklas -).

Visos figūros plotas

5. Raskite c.t koordinatę. , ir brėžinyje.

6. Apskaičiuokite taškų C 1 , C 2 ir C 3 koordinates

7. Apskaičiuokite taško C koordinates

8. Piešinyje pažymėkite tašką

II Patyręs

Svorio centro koordinatės empiriškai.

Testo klausimai.

1. Ar kūno gravitacijos jėgą galima laikyti lygiagrečių jėgų rezultatine sistema?

2. Ar gali būti viso kūno svorio centras?

3. Kokia yra plokščios figūros svorio centro eksperimentinio nustatymo esmė?

4. Kaip nustatomas sudėtingos figūros, susidedančios iš kelių paprastų figūrų, svorio centras?

5. Kaip turėtų būti racionalu, nustatant visos figūros svorio centrą, padalinti sudėtingos formos figūrą į paprastas figūras?

6. Koks yra skylės ploto ženklas svorio centro nustatymo formulėje?

7. Kurių trikampio tiesių sankirtoje yra jo svorio centras?

8. Jei figūrą sunku išskaidyti į nedidelį skaičių paprastų figūrų, koks svorio centro nustatymo metodas gali duoti greičiausią atsakymą?

Praktinis darbas Nr.6

„Sudėtingo pobūdžio problemų sprendimas“

Tikslas: gebėti spręsti sudėtingo pobūdžio problemas (kinematika, dinamika)

Teorinis pagrindimas: Greitis yra kinematinis taško judėjimo matas, apibūdinantis jo padėties kitimo greitį. Taško greitis yra vektorius, apibūdinantis taško judėjimo greitį ir kryptį tam tikru metu. Nurodant taško judėjimą lygtimis, greičio projekcijos Dekarto koordinačių ašyse yra lygios:

Taško greičio modulis nustatomas pagal formulę

Greičio kryptis nustatoma pagal krypties kosinusus:

Greičio kitimo greičio charakteristika yra pagreitis a. Taško pagreitis yra lygus greičio vektoriaus laiko išvestinei:

Nurodant taško judėjimą, pagreičio projekcijos koordinačių ašyse lygtys yra šios:

Pagreičio modulis:

Pilnas pagreičio modulis

Tangentinio pagreičio modulis nustatomas pagal formulę

Normalaus pagreičio modulis nustatomas pagal formulę

kur yra trajektorijos kreivumo spindulys tam tikrame taške.

Pagreičio kryptis nustatoma pagal krypties kosinusus

Standaus kūno sukamojo judėjimo aplink fiksuotą ašį lygtis turi formą

Kūno kampinis greitis:

Kartais kampinis greitis apibūdinamas apsisukimų per minutę skaičiumi ir žymimas raide. Santykis tarp ir turi formą

Kūno kampinis pagreitis:

Jėga, lygi tam tikro taško masės ir jo pagreičio sandaugai taško pagreičiui tiesiai priešinga kryptimi, vadinama inercijos jėga.

Galia yra darbas, kurį jėga atlieka per laiko vienetą.

Pagrindinė sukamojo judėjimo dinamikos lygtis

- kūno inercijos apie sukimosi ašį momentas yra materialių taškų masių sandaugų suma kvadratiniam jų atstumo iki šios ašies

Pratimas

Kūnas, kurio masė yra m, ant būgno, kurio skersmuo d, suvynioto troso pagalba juda aukštyn arba žemyn pasvirusia plokštuma, kurios polinkio kampas α. Kūno judėjimo lygtis S=f(t), būgno sukimosi lygtis , kur S yra metrais; φ - radianais; t yra sekundėmis. P ir ω yra atitinkamai galia ir kampinis greitis ant būgno veleno pagreičio pabaigos arba lėtėjimo pradžios momentu. Laikas t 1 – pagreičio laikas (nuo ramybės iki nustatyto greičio) arba lėtėjimo (nuo nurodyto greičio iki sustojimo). Slydimo trinties tarp kūno ir plokštumos koeficientas –f. Nekreipkite dėmesio į būgno trinties nuostolius, taip pat į būgno masę. Spręsdami problemas, paimkite g \u003d 10 m / s 2

Nr. var	α, deg	Judėjimo dėsnis	Pavyzdžiui, judėti	m, kg	t1, c	d, m	P, kW	, rad/s	f	Def. kiekiai
		S=0,8t2	Toli žemyn	-	-	0,20	4,0		0,20	m,t1
		φ=4t2	Toli žemyn		1,0	0,30	-	-	0,16	P,ω
		S=1,5t-t2	aukštyn	-	-	-	4,5		0,20	m, d
		ω=15t-15t2	aukštyn	-	-	0,20	3,0	-	0,14	m,ω
		S=0,5t2	Toli žemyn		-	-	1,76		0,20	d, t1
		S=1,5t2	Toli žemyn	-	0,6	0,24	9,9	-	0,10	m,ω
		S=0,9t2	Toli žemyn		-	0,18	-		0,20	P, t1
		φ=10t2	Toli žemyn		-	0,20	1,92	-	0,20	P, t1
		S=t-1,25t2	aukštyn		-	-	-		0,25	P, d
		φ = 8t-20t 2	aukštyn		-	0,20	-	-	0,14	P, w

Vykdymo pavyzdys

1 užduotis(1 paveikslas).

1 sprendimas Tiesus judėjimas (1 pav., a). Taškas, judantis tolygiai, tam tikru momentu, gavo naują judėjimo dėsnį ir po tam tikro laiko sustojo. Nustatykite visas taško judėjimo kinematines charakteristikas dviem atvejais; a) judėjimas tiesia trajektorija; b) judėjimas kreivine trajektorija, kurios kreivumo spindulys yra pastovus r=100cm

1 paveikslas (a).

Taško greičio kitimo dėsnis

Pradinį taško greitį randame iš sąlygos:

Lėtėjimo laiką iki sustojimo galima rasti iš šios sąlygos:

adresu , iš čia .

Taško judėjimo vienodo judėjimo periode dėsnis

atstumas, kurį taškas nuvažiuoja išilgai trajektorijos stabdymo laikotarpiu,

Taško tangentinio pagreičio kitimo dėsnis

Iš to išplaukia, kad lėtėjimo laikotarpiu taškas judėjo tolygiai sulėtėjo, nes tangentinis pagreitis yra neigiamas ir pastovios vertės.

Tiesios trajektorijos taško normalus pagreitis lygus nuliui, t.y. .

2 sprendimas Kreivinis judėjimas (1 pav., b).

1 paveikslas (b)

Šiuo atveju, palyginti su tiesia linija, visos kinematinės charakteristikos išlieka nepakitusios, išskyrus įprastą pagreitį.

Normaliojo taško pagreičio kitimo dėsnis

Normalus taško pagreitis pradiniu lėtėjimo momentu

Brėžinyje priimta taško padėčių trajektorijoje numeracija: 1 - esama taško padėtis tolygiai judant prieš stabdymo pradžią; 2 – taško padėtis stabdymo pradžios momentu; 3 – esama taško padėtis stabdymo laikotarpiu; 4 - galutinė taško padėtis.

2 užduotis.

Krovinys (2 pav., a) pakeliamas naudojant būgninę gervę. Būgno skersmuo yra d=0,3 m, o jo sukimosi dėsnis yra .

Būgno pagreitis tęsėsi iki kampinio greičio . Nustatykite visas būgno ir apkrovos judėjimo kinematines charakteristikas.

Sprendimas. Būgno kampinio greičio kitimo dėsnis. Pradinį kampinį greitį randame iš sąlygos: ; todėl įsibėgėjimas prasidėjo nuo poilsio. Pagreičio laiką randame iš sąlygos: . Būgno sukimosi kampas pagreičio laikotarpiu.

Būgno kampinio pagreičio kitimo dėsnis, todėl išplaukia, kad pagreičio laikotarpiu būgnas sukasi tolygiai pagreitėjęs.

Krovinio kinematinės charakteristikos yra lygios bet kurio traukos troso taško, taigi ir taško A, esančio ant būgno krašto, atitinkamoms charakteristikoms (2 pav., b). Kaip žinoma, besisukančio kūno taško tiesinės charakteristikos nustatomos pagal jo kampines charakteristikas.

Krovinio nuvažiuotas atstumas per įsibėgėjimo laikotarpį, . Pakrovimo greitis įsibėgėjimo pabaigoje.

Krovinio pagreitis.

Krovinių judėjimo dėsnis.

Krovinio atstumą, greitį ir pagreitį galima nustatyti kitu būdu, naudojant rastą krovinio judėjimo dėsnį:

3 užduotis. Krovinys, tolygiai judantis aukštyn išilgai nuožulnios atskaitos plokštumos tam tikru momentu, buvo stabdomas pagal naują judėjimo dėsnį , kur s yra metrais, o t yra sekundėmis. Krovinio masė m = 100 kg, slydimo trinties tarp apkrovos ir plokštumos koeficientas f=0,25. Nustatykite traukos troso jėgą F ir galią dviem laiko momentams: a) vienodo judėjimo prieš stabdymo pradžią;

b) pradinis stabdymo momentas. Skaičiuodami paimkite g \u003d 10 m / .

Sprendimas. Nustatome krovinio judėjimo kinematines charakteristikas.

Krovinio greičio kitimo dėsnis

Pradinis apkrovos greitis (kai t = 0)

Krovinio pagreitis

Kadangi pagreitis yra neigiamas, judėjimas yra lėtas.

1. Vienodas krovinio judėjimas.

Norėdami nustatyti varomąją jėgą F, atsižvelgiame į apkrovos pusiausvyrą, kurią veikia konverguojančių jėgų sistema: jėga ant troso F, apkrovos gravitacinė jėga G = mg, normali atraminio paviršiaus reakcija N. o trinties jėga, nukreipta į kūno judėjimą. Pagal trinties dėsnį,. Mes pasirenkame koordinačių ašių kryptį, kaip parodyta brėžinyje, ir sudarome dvi apkrovos pusiausvyros lygtis:

Kabelio galia prieš stabdymo pradžią nustatoma pagal gerai žinomą formulę

Kur m/s.

2. Lėtas krovinio judėjimas.

Kaip žinoma, esant netolygiam kūno judesiui, jėgų sistema, veikianti jį judėjimo kryptimi, nėra subalansuota. Pagal d'Alembert principą (kinetostatikos metodą) kūnas šiuo atveju gali būti laikomas sąlyginės pusiausvyros, jei prie visų jį veikiančių jėgų pridėsime inercijos jėgą, kurios vektorius nukreiptas priešingai pagreičio vektorius. Pagreičio vektorius mūsų atveju yra nukreiptas priešais greičio vektorių, nes apkrova juda lėtai. Sudarome dvi apkrovos pusiausvyros lygtis:

Stabdymo momentu įjunkite laidą

Testo klausimai.

1. Kaip nustatyti taško greičio skaitinę reikšmę ir kryptį tam tikru momentu?

2. Kas apibūdina normalųjį ir tangentinį viso pagreičio komponentus?

3. Kaip pereiti nuo kampinio greičio išraiškos min -1 iki jo išraiškos rad / s?

4. Kas yra kūno svoris? Kas yra masės matavimo vienetas

5. Kuriame materialaus taško judesyje atsiranda inercijos jėga? Kokia jo skaitinė reikšmė, kaip ji nukreipta?

6. Suformuluokite d'Alembert principą

7. Ar inercijos jėga atsiranda vienodame kreiviniame materialaus taško judėjime?

8. Kas yra sukimo momentas?

9. Kaip išreiškiamas ryšys tarp sukimo momento ir kampinio greičio esant tam tikrai perduodamai galiai?

10. Pagrindinė sukamojo judėjimo dinamikos lygtis.

Praktinis darbas Nr.7

„Konstrukcijų stiprumo skaičiavimas“

Tikslas: nustatyti stiprumą, skerspjūvio matmenis ir leistiną apkrovą

Teorinis pagrindimas.

Žinodami jėgos veiksnius ir pjūvio geometrines charakteristikas tempimo (gniuždymo) deformacijos metu, įtempį galime nustatyti pagal formules. Ir tam, kad suprastume, ar mūsų dalis (velenas, krumpliaratis ir kt.) gali atlaikyti išorinę apkrovą. Būtina palyginti šią vertę su leistina įtampa.

Taigi, statinio stiprumo lygtis

Remiantis juo, išsprendžiamos 3 tipų užduotys:

1) stiprumo testas

2) atkarpos matmenų nustatymas

3) leistinos apkrovos nustatymas

Taigi, statinio standumo lygtis

Jos pagrindu taip pat sprendžiamos 3 tipų užduotys

Statinio tempimo (gniuždymo) stiprio lygtis

1) Pirmas tipas – stiprumo testas

,

y., išsprendžiame kairę pusę ir lyginame su leistina įtampa.

2) Antrasis tipas - sekcijos matmenų nustatymas

iš dešinės skerspjūvio ploto pusės

skerspjūvio apskritimas

taigi skersmuo d

Skyrius Stačiakampis

Skyriaus kvadratas

A = a² (mm²)

Puslankio skerspjūvis

Sekcijos kanalas, I-sija, kampas ir kt.

Ploto vertės - iš lentelės, paimtos pagal GOST

3) Trečias tipas – leistinos apkrovos nustatymas;

nuimtas, sveikasis skaičius

PRATIMAS

Užduotis

A) Stiprumo testas (patikrinimo skaičiavimas)

Sukurkite tam tikros sijos išilginių jėgų diagramą ir patikrinkite stiprumą abiejose atkarpose. Sijos medžiagai (plienui St3) paimkite

pasirinkimo numeris
	12,5	5,3	-			-
		2,3			-	-
		4,2		-	-

B) Sekcijos pasirinkimas (projekto skaičiavimas)

Sukurkite tam tikros sijos išilginių jėgų diagramą ir nustatykite skerspjūvio matmenis abiejose atkarpose. Sijos medžiagai (plienui St3) paimkite

pasirinkimo numeris
	1,9	2,5
	2,8	1,9
	3,2

C) Leidžiamos išilginės jėgos nustatymas

Tam tikros sijos leistinas apkrovų vertes ir

sudaryti išilginių jėgų diagramą. Sijos medžiagai (plienui St3) paimkite . Spręsdami problemą, atsižvelkite į tai, kad apkrovos tipas yra vienodas abiejose sijos dalyse.

pasirinkimo numeris
	-	-
			-	-
	-	-

Užduočių atlikimo pavyzdys

1 užduotis(1 paveikslas).

Patikrinkite kolonos, pagamintos iš nurodyto dydžio I formos sijų, stiprumą. Kolonos medžiagai (plienui St3) paimkite leistinus tempimo įtempius ir esant suspaudimui . Jei yra perkrova arba didelė per maža apkrova, pasirinkite tokius I-sijų matmenis, kurie užtikrintų optimalų kolonos tvirtumą.

Sprendimas.

Tam tikra sija turi dvi sekcijas 1, 2. Atkarpų ribos yra atkarpos, kuriose veikia išorinės jėgos. Kadangi siją apkraunančios jėgos yra išsidėsčiusios išilgai jos centrinės išilginės ašies, tai skerspjūviuose atsiranda tik vienas vidinis jėgos faktorius - išilginė jėga, t.y. vyksta sijos įtempimas (suspaudimas).

Išilginei jėgai nustatyti naudojame pjūvių metodą, pjūvių metodą. Atlikdami protinį skerspjūvį kiekvienoje sekcijoje, išmessime apatinę fiksuotą sijos dalį, o viršutinę paliksime svarstymui. 1 skyriuje išilginė jėga yra pastovi ir lygi

Minuso ženklas rodo, kad sija suspausta abiejose atkarpose.

Sudarome išilginių jėgų diagramą. Nubrėžę schemos pagrindinę (nulinę) liniją, lygiagrečią sijos ašiai, gautas vertes nubraižome statmenai jai savavališkai. Kaip matote, diagrama buvo nubrėžta tiesiomis linijomis, lygiagrečiomis pagrindinei.

Atliekame sijos stiprumo patikrą, t.y. nustatome projektinį įtempį (kiekvienai sekcijai atskirai) ir palyginame su leistinu. Norėdami tai padaryti, naudojame gniuždymo stiprumo sąlygą

kur plotas yra geometrinė skerspjūvio stiprumo charakteristika. Iš valcuoto plieno lentelės paimame:

I-sijai
I-sijai

Jėgos testas:

Išilginių jėgų reikšmės imamos absoliučia verte.

Užtikrintas sijos tvirtumas, tačiau yra didelė (daugiau nei 25%) per maža apkrova, kuri nepriimtina dėl medžiagos pertekliaus.

Iš stiprumo sąlygos nustatome naujus I-sijos matmenis kiekvienai sijos sekcijai:
Taigi reikalingas plotas

Pagal GOST lentelę parenkame I-siją Nr.16, kuriai;

Taigi reikalingas plotas

Pagal GOST lentelę parenkame I-siją Nr.24, kuriai;

Naudojant pasirinktus I formos sijų dydžius, taip pat yra per maža apkrova, bet nereikšminga (mažiau nei 5%)

Užduotis numeris 2.

Strypo su nurodytais skerspjūvio matmenimis nustatykite leistinas apkrovos reikšmes ir . Sijos medžiagai (St3 plienui) paimkite leistinus tempimo įtempius ir esant suspaudimui .

Sprendimas.

Duotas strypas turi dvi sekcijas 1, 2. Yra strypo įtempimas (suspaudimas).

Pjūvių metodu nustatome išilginę jėgą, išreikšdami ją norimomis jėgomis ir. Nubraižydami atkarpą kiekvienoje sekcijoje, išmessime kairę sijos pusę, o dešinę paliksime svarstymui. 1 skyriuje išilginė jėga yra pastovi ir lygi

2 skyriuje išilginė jėga taip pat yra pastovi ir lygi

Pliuso ženklas rodo, kad sija ištempta abiejose atkarpose.

Sudarome išilginių jėgų diagramą. Diagrama nubrėžta tiesiomis linijomis, lygiagrečiomis bazinei.

Iš tempiamojo stiprio būklės nustatome leistinas apkrovų vertes ir apskaičiavę nurodytų skerspjūvių plotus:

Testo klausimai.

1. Kokie vidinės jėgos veiksniai atsiranda sijos ruože tempiant ir gniuždant?

2. Užrašykite tempimo ir gniuždymo stiprio sąlygą.

3. Kaip priskiriami išilginės jėgos ir normalaus įtempio požymiai?

4. Kaip pasikeis įtempis, jei skerspjūvio plotas padidės 4 kartus?

5. Ar stiprio sąlygos tempimo ir gniuždymo skaičiavimuose skiriasi?

6. Kokiais vienetais matuojama įtampa?

7. Kuri iš mechaninių charakteristikų pasirenkama kaip ribinis įtempis plastiškoms ir trapioms medžiagoms?

8. Kuo skiriasi ribinis ir leistinas įtempis?

Praktinis darbas Nr.8

„Problemų, skirtų plokščių geometrinių figūrų pagrindinių inercijos momentų nustatymui, sprendimas“

Tikslas: analitiškai nustatyti sudėtingos formos plokščių kūnų inercijos momentus

Teorinis pagrindimas. Atkarpos svorio centro koordinates galima išreikšti statiniu momentu:

kur x ašies atžvilgiu

Oy ašies atžvilgiu

Statinis figūros ploto momentas toje pačioje plokštumoje esančios ašies atžvilgiu yra lygus figūros ploto ir jos svorio centro atstumo nuo šios ašies sandaugai. Statinis momentas turi dimensiją. Statinis momentas gali būti teigiamas, neigiamas ir lygus nuliui (bet kurios centrinės ašies atžvilgiu).

Pjūvio ašinis inercijos momentas yra sandaugų, perimtų per visą pjūvį arba elementariųjų plotų integralą, atstumų kvadratais iki tam tikros ašies, esančios nagrinėjamo pjūvio plokštumoje.

Ašinis inercijos momentas išreiškiamas vienetais - . Ašinis inercijos momentas visada yra teigiamas ir nelygus nuliui.

Ašys, einančios per figūros svorio centrą, vadinamos centrine. Inercijos momentas apie centrinę ašį vadinamas centriniu inercijos momentu.

Inercijos momentas apie bet kurią ašį yra lygus centrui