Virpesių sistema – tai sistema, kurioje dėl pusiausvyros būsenos pažeidimo gali atsirasti virpesių.
Sistemoje atsirandančių virpesių tipas priklauso nuo įvairių fizikinių dydžių, kurie apibūdina sistemą - sistemos parametrų, taip pat nuo išorinių poveikių, kurie išveda sistemą iš pusiausvyros, tipo (pavyzdžiui: matematinė švytuoklė sistemoje). antžeminis gravitacinis laukas).
Virpesių sistemos gali būti tiesinės ir nelinijinės. Fizinės sistemos, atliekančios virpesius, kurių esminiai požymiai pakankamai aproksimuojami tiesinėmis diferencialinėmis lygtimis, vadinamos tiesinėmis svyravimo sistemomis, likusios – netiesinėmis.
Nagrinėsime tik paprasčiausias svyruojančias sistemas – tiesines sistemas su vienu laisvės laipsniu, ir tokias, kad sistemos parametrai nepriklauso nuo jos būsenos ir yra pastovūs. Tokios virpesių sistemos apibūdinamos antros eilės tiesinėmis diferencialinėmis lygtimis su pastoviais koeficientais. Tokių sistemų pavyzdžiai yra „elektros virpesių grandinė“, „sukimo švytuoklė“, „rutulys, pakabintas ant spyruoklės“ ir kt.
Apsvarstykite reiškinius, vykstančius virpesių sistemose. Negalėdami atlikti analizės bendruoju atveju, mes apsiribojame dviem pavyzdžiais: elektrine virpesių grandine ir mechanine švytuokle.
Tegul virpesių grandinė (1 pav.) susideda iš talpos C, induktyvumo L ir ominės varžos R.
Grandinę iš pusiausvyros padėties galima išvesti naudojant kintamos įtampos šaltinį E(t), nuosekliai sujungtą su grandinės elementais. Darysime prielaidą, kad šaltinio EML priklausomybės nuo laiko formą galime pasirinkti savavališkai (visų pirma, galime ją nustatyti lygų nuliui). Šaltinio EML atlieka išorinės grandinės varomosios jėgos vaidmenį.
Mechaninė švytuoklė (2 pav.) – tai rutulys, kurio masė m, pritvirtintas prie spyruoklės K.
Sistema gali būti įjungta judančia srove W, prie kurios pritvirtintas antrasis spyruoklės galas a. Sudarykime diferencialines lygtis virpesių grandinės talpos įtampai U C ir rutulio centro koordinatiniam poslinkiui iš pusiausvyros padėties. Akivaizdu, kad uždaroje virpesių grandinės grandinėje vyksta lygybė
E(t) = UL + UR + UC |
čia U L, U R ir U C yra L, R ir C grandinės elementų įtampos kritimai. Naudojant žinomas lygybes
UR = JR,
UL = L
U=UC= | |||||||||||||
C∫ | |||||||||||||
ir atsižvelgiant į tai | |||||||||||||
U'= | U′′= | d 2 U | 1 DJ |
||||||||||
dt2 | dt, |
||||||||||||
į formą pateikiame lygtį (1).
LCU" + RCU" + U = E(t)
Supažindinkime su užrašu
Mechaninei sistemai pagal antrąjį Niutono dėsnį
mx" = fmp + fg |
kur fmp \u003d -rx "- trinties jėga, fg \u003d -k (x - x 1) - jėga dėl spyruoklės deformacijos, k - spyruoklės standumo koeficientas, x 1 \u003d x 1 (t) - galo poslinkis a spyruoklę iš padėties
mx" + rx" + k(x – x1 ) = 0
Pristatome užrašą
Lyginant (2) ir (6) lygtis, matome, kad jos skiriasi tik kintamojo (U arba x ) ir laisvojo termino E(t) arba x 1 (t) žymėjimais. Tie. tiek elektros grandinės talpos įtampa, tiek mechaninės švytuoklės rutulio poslinkis apibūdinami ta pačia lygtimi ir vienodai priklauso nuo priverstinio veikimo tipo. (Toliau naudosime (3) lygtį, prisimindami, kad ji vienodai apibūdina ir mechanines, ir elektrines sistemas).
Apibendrinant gautą rezultatą, galima teigti, kad bet kurią paprasčiausią virpesių sistemą galima apibūdinti tik dviem reikšmėmis α ir ω 0, o jos judėjimo pobūdis priklauso nuo šių reikšmių ir nuo funkcijos E(t) formos. , kuriame aprašomas išorinis poveikis sistemai. Koeficientus α ir ω 0 lemia konkrečios virpesių sistemos parametrai. Visų pirma, ryšiai (2) ir (5) galioja mūsų aptartoms sistemoms. Reikšmė α vadinama slopinimo koeficientas, aω 0 - natūralus dažnis sistemos.
Kažkokiu būdu sužadinus virpesių sistemą (ty nustačius tam tikro tipo funkcijas E(t) ) ir ištyrus atsiradusius virpesius, galima nustatyti koeficientus α ir ω 0 . Dažniausiai naudojami du koeficientų nustatymo metodai – metodas, pagrįstas sužadinimu laisvųjų virpesių sistemoje ir metodas, pagrįstas nesužadinimu priverstinių virpesių sistemoje. Panagrinėkime šiuos du sistemos virpesių tipus.
Laisvas nuo vibracijos.
Laisvieji arba natūralūs sistemos svyravimai atsiranda, jei sistema pakankamai staigiu pradiniu stūmimu buvo ištraukta iš pusiausvyros, o po to paliekama savaime. Įdėję E(t)=0 į (3) lygtį, gauname tuo atveju
tenkina (7) lygtį. (Diferencialinių lygčių teorijoje įrodyta, kad jei ω 0 2 ≠ α 2, šis sprendimas yra unikalus).
Formulė (8) turi tiesioginę fizinę reikšmę tik tuo atveju, jei ω c yra tikroji reikšmė, ty ω 0 2 > α 2 .
(Jei ω 0 2< α 2 , то это означает, что трение в системе настолько велико, что колебаний не возникает. Этот случай мы рассматривать не будем).
Funkcija U vaizduoja slopinamos vibracijos. Jo grafikas parodytas fig. 3.
Ši funkcija yra neperiodinė, tačiau ji turi tam tikrą „pakartojamumą“, kuri susideda iš to, kad funkcijos maksimumai, jos minimumai ir nuliai atsiranda reguliariais intervalais, lygiais periodui T nuo harmoninio koeficiento cos (ω). su t- α). Todėl galime kalbėti apie slopintų svyravimų „periodas“.
o apie slopinamojo svyravimo „dažnį“ ω c .
Lygiai taip pat, kadangi funkcija U nėra harmoninė, tada, griežtai tariant, terminas „amplitudė“ jai netaikomas.
Tačiau dažniausiai kalbama apie „amplitudę“ slopinamas svyravimas, supratimas iš to didžiausia reikšmė, kurią funkcija pasiekia per vieną laikotarpį. Slopinamo virpesio U 0 e α t "amplitudė" mažėja pagal eksponentinį dėsnį. Dviejų iš eilės einančių „amplitudžių“ santykis
U0 e− α t | αTc |
|||
− α (t + T | ||||
jei reikšmė pastovi. Šio santykio natūralusis logaritmas
λ= α Tc
vadinamas logaritminiu slopinimo mažėjimu svyravimai.
(Dažnai jis trumpinamas kaip slopinimo mažinimas arba tiesiog sumažinimas). Paaiškinkime dydžių α , λ ir ω 0 fizikinę reikšmę.
Laiko intervalą, per kurį svyravimų amplitudė mažėja be pas, pažymėkime τ. Tada e - ατ \u003d e -1, iš kur α \u003d τ 1. koeficientas Skilimo greitisα yra
laiko abipusisτ , kurio metu amplitudė mažėja e . kartą. Logaritminio slopinimo sumažėjimas parodo, kiek svyravimų amplitudė sumažėja per tam tikrą laikotarpį. Tegul N yra virpesių, kurių metu amplitudė sumažėja koeficientu, skaičius. Tada
Logaritminis slopinimo sumažėjimas yra svyravimų skaičiaus atvirkštinė vertė, pagal
po to amplitudė sumažėja e kartus. Jei įdėsime α =0, tai vietoj (8) turėsime U = U 0 cos (ω 0 t - ϕ ). Šiuo būdu, natūralus dažnis yra dažnis
harmoninius virpesius, kuriuos sistema padarytų, jei nebūtų trinties. Savavališkos konstantos U 0 ir ϕ funkcijoje U nustatomos pradine
sąlygos, t.y. funkcijų U reikšmės ir jos išvestinė U" pradiniu laiko momentu. Šios reikšmės priklauso nuo to, kaip sistema buvo išvesta iš pusiausvyros.
Priverstinės vibracijos.
Dabar panagrinėkime procesus virpesių sistemose priverstinių harmoninių virpesių režimu.
Tegul priverstinis veiksmas turi harmoninės funkcijos formą
E(t) = E0 cos ω t |
Todėl dabar mūsų svyravimo sistema apibūdinama lygtimi
U" + 2α U" + ω0 2 U = Е0 ω0 2 cos ω t | ||
(13) lygties sprendinys turi formą | ||
U = U0 e- α t cos (ωc t +ϕ c ) + U(ω) cos [ω t+ϕ (ω) ] | ||
Pirmasis sumos narys išraiškoje (14) yra natūralūs sistemos svyravimai, atsirandantys, kai sistema išvedama iš pusiausvyros tuo metu, kai įjungiamas priverstinis efektas. Kadangi natūralūs svyravimai yra slopinami, po kurio laiko jų amplitudė tampa nereikšminga, o sistema pradeda svyruoti dažniu ω, kurį jai sukelia išorinis poveikis.
stacionarus, o pradinis etapas vadinamas pereinamasis procesas. Mes atsižvelgsime tik į pastovų procesą. Vadinasi
U = U(ω) cos [ω t+ϕ (ω) ] |
tie. sistemos virpesiai yra harmoningi, kurių amplitudė U(ω) ir fazė ϕ (ω) priklauso nuo dažnio.
Ateityje jaudinantį veiksmą (12) ir jo amplitudę vadinsime įvesties virpesiais (smūgiu) ir įvesties amplitude bei svyravimu (15), kuris apibūdina sistemos reakciją ir šio svyravimo amplitudę - išėjimo virpesius ir išėjimo amplitudę.
Pakeitę (15) į (13) lygtį, randame
U (ω) = 2 | 4α 2 | ω) 2 | |||||||
2 α ω | ||||||||
ϕ (ω ) = − arctan | ||||||||
1− ( | ||||||||
Iš gautų išraiškų matyti, kad išėjimo amplitudės priklausomybės nuo dažnio forma ir išėjimo virpesių fazė priklauso tik nuo dviejų parametrų - natūralios
dažnis ω 0 ir santykis2 α .
Supažindinkime su svyravimo sistemos Q kokybės koeficiento samprata
Q = ω 2 α 0
(Fizikinę kokybės faktoriaus reikšmę išsiaiškinsime vėliau). Pakeičiant
(18)/ (16) ir (17) gauname
U(ω)= 2+ | ω) 2 |
|||
ϕ (ω ) = − arctgω 0
Panagrinėkime išėjimo svyravimų amplitudės ir fazės priklausomybės nuo dažnio pobūdį.
U(ω) kreivių šeima skirtingoms Q reikšmėms parodyta 4 pav.
Jei įėjimo svyravimo dažnis mažas ω<<ω 0 , тоU(ω) Е 0 , т.е. амплитуда вынужденных колебаний оказывается равной величине статического смешения, которое вызвало бы постоянное внешнее воздействиеЕ 0 . Когда частотаω приближаемся к частоте
kaip ω → ∞ . U(ω) prie maksimumo didėja kuo staigiau, tuo labiau
kokybės koeficientas, taigi ir tuo mažesnis sistemos slopinimo koeficientas α. Staigus išėjimo svyravimų amplitudės padidėjimas šalia ω 0 sistemose su mažu slopinimu vadinamas rezonanso reiškiniu. Amplitudės-dažnio kreivės šiuo atveju vadinamos amplitudės rezonanso kreivės, ir atitinkanti didžiausią amplitudę - rezonansinis dažnis.
Apibrėžkime ω r . Paimant išvestinę | ir prilyginę jį nuliui, gauname |
|||||||
1− | = ω 2 | −2 α 2 |
||||||
2Q2 | ||||||||
Išsiaiškinkime fizinę kokybės veiksnio reikšmę. Apsvarstykite sistemą su mažu slopinimu. Tokia sistema turi ryškių rezonansinių savybių. Jai
sąlygos tenkinamos
α2<<ω0 2 , | Q2 >>1 |
Tada galima skaičiuoti
ωр ≈ ω0 |
Kiekybinė rezonanso efekto charakteristika gali būti maksimalios išėjimo amplitudės ir priverstinių virpesių, esančių toli nuo rezonanso, amplitudės santykis, kai dažniai yra tokie žemi, kad amplitudė gali būti laikoma nepriklausoma nuo dažnio. Iš (19), atsižvelgdami į (22) ir (23) sąlygas, gauname
U U (maks. 0)≈ Q
tie. šis santykis lygus sistemos kokybės koeficientui. Kadangi U(0)= E 0, kokybės koeficientas taip pat parodo, kiek kartų amplitudė sistemos išėjime esant rezonansui viršija įėjimo amplitudę. Kuo didesnis sistemos kokybės koeficientas, tuo siauresnis rezonansinis maksimumas. Rezonanso kreivės plotis tam tikrame, kartą ir visiems laikams pasirinktame aukštyje taip pat gali būti kiekybinė rezonanso efekto charakteristika. rezonansinis plotis
yra proporcingas amplitudės kvadratui, tada tai atitinka virpesių energijos sumažėjimą per pusę, palyginti su maksimalia).
Taigi išmatuotas plotis 2∆ ω vadinamas rezonanso kreivės plotis esant pusei galios. Raskime plotį 2∆ ω. Sąlyga sumažinti kvadratinę amplitudę per pusę mūšyje su maksimumu turės formą
Q2 E2 | |||||||||
} | |||||||||
