Paprasčiau tariant, tai yra lygtys, kurių vardiklyje yra bent viena kintamasis.

Pavyzdžiui:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Pavyzdys ne trupmeninės racionalios lygtys:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Kaip sprendžiamos trupmeninės racionalios lygtys?

Svarbiausia atsiminti trupmenines racionaliąsias lygtis – jose reikia įrašyti. Ir suradę šaknis, būtinai patikrinkite jų leistinumą. Priešingu atveju gali atsirasti pašalinių šaknų, o visas sprendimas bus laikomas neteisingu.

Trupmeninės racionalios lygties sprendimo algoritmas:

Išrašykite ir „išspręskite“ ODZ.

Padauginkite kiekvieną lygties narį iš bendro vardiklio ir sumažinkite gautas trupmenas. Vardikliai išnyks.

Parašykite lygtį neatplėšdami skliaustų.

Išspręskite gautą lygtį.

Patikrinkite rastas šaknis su ODZ.

Atsakydami užrašykite šaknis, kurios išlaikė testą 7 veiksme.

Neįsimink algoritmo, 3-5 išspręstas lygtis – ir ji įsimins savaime.

Pavyzdys . Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Sprendimas:

Atsakymas: \(3\).

Pavyzdys . Raskite trupmeninės racionalios lygties šaknis \(=0\)

Sprendimas:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Užsirašome ir „išsprendžiame“ ODZ. Išskleiskite \(x^2+7x+10\) į formulę: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Laimei, \(x_1\) ir \(x_2\) jau radome.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Akivaizdu, kad bendras trupmenų vardiklis: \((x+2)(x+5)\). Iš jo padauginame visą lygtį.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Sumažiname trupmenas
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Skliaustų atidarymas
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Mes suteikiame panašias sąlygas
\(2x^2+9x-5=0\)		Lygties šaknų radimas
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Viena iš šaknų netelpa po ODZ, todėl atsakydami užrašome tik antrąją šaknį.

Atsakymas: \(\frac(1)(2)\).

Mes jau išmokome spręsti kvadratines lygtis. Išplėskime tiriamus metodus į racionaliąsias lygtis.

Kas yra racionali išraiška? Mes jau susidūrėme su šia koncepcija. Racionalios išraiškos vadinamos išraiškomis, sudarytomis iš skaičių, kintamųjų, jų laipsnių ir matematinių operacijų ženklų.

Atitinkamai, racionalios lygtys yra lygtys, kurių forma: , kur - racionalios išraiškos.

Anksčiau mes svarstėme tik tas racionalias lygtis, kurios redukuoja į tiesines. Dabar panagrinėkime tas racionalias lygtis, kurias galima redukuoti į kvadratines.

1 pavyzdys

Išspręskite lygtį: .

Sprendimas:

Trupmena yra 0 tada ir tik tada, kai jos skaitiklis yra 0, o vardiklis nėra 0.

Gauname tokią sistemą:

Pirmoji sistemos lygtis yra kvadratinė lygtis. Prieš spręsdami visus jo koeficientus padaliname iš 3. Gauname:

Gauname dvi šaknis: ; .

Kadangi 2 niekada nėra lygus 0, turi būti įvykdytos dvi sąlygos: . Kadangi nė viena iš aukščiau gautos lygties šaknų nesutampa su neteisingomis kintamojo reikšmėmis, gautomis sprendžiant antrąją nelygybę, jos abi yra šios lygties sprendiniai.

Atsakymas:.

Taigi, suformuluokime racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą:

1. Perkelkite visus terminus į kairę pusę, kad dešinėje būtų gautas 0.

2. Transformuokite ir supaprastinkite kairę pusę, suveskite visas trupmenas į bendrą vardiklį.

3. Gautą trupmeną prilyginkite 0 pagal šį algoritmą: .

4. Užrašykite tas šaknis, kurios gautos pirmoje lygtyje ir tenkina antrąją nelygybę.

Pažiūrėkime į kitą pavyzdį.

2 pavyzdys

Išspręskite lygtį: .

Sprendimas

Pačioje pradžioje visus terminus perkeliame į kairę pusę, kad dešinėje liktų 0. Gauname:

Dabar mes pateikiame kairę lygties pusę į bendrą vardiklį:

Ši lygtis yra lygiavertė sistemai:

Pirmoji sistemos lygtis yra kvadratinė lygtis.

Šios lygties koeficientai: . Apskaičiuojame diskriminantą:

Gauname dvi šaknis: ; .

Dabar išspręskime antrąją nelygybę: veiksnių sandauga nėra lygi 0 tada ir tik tada, kai nė vienas iš veiksnių nėra lygus 0.

Turi būti įvykdytos dvi sąlygos: . Gauname, kad iš dviejų pirmosios lygties šaknų tinka tik viena - 3.

Atsakymas:.

Šioje pamokoje prisiminėme, kas yra racionalioji išraiška, taip pat išmokome spręsti racionaliąsias lygtis, kurios redukuojamos į kvadratines lygtis.

Kitoje pamokoje racionalias lygtis nagrinėsime kaip realių situacijų modelius, taip pat apsvarstysime judėjimo problemas.

Bibliografija

1. Bašmakovas M.I. Algebra, 8 klasė. - M.: Švietimas, 2004 m.
2. Dorofejevas G.V., Suvorova S.B., Bunimovičius E.A. ir kt., Algebra, 8. 5 leidimas. - M.: Švietimas, 2010 m.
3. Nikolskis S.M., Potapovas M.A., Rešetnikovas N.N., Ševkinas A.V. Algebra, 8 klasė. Vadovėlis švietimo įstaigoms. - M.: Švietimas, 2006 m.

1. Pedagoginių idėjų festivalis „Atvira pamoka“ ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Namų darbai

Pristatymas ir pamoka tema: "Racionaliosios lygtys. Racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmas ir pavyzdžiai"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pasiūlymų! Visa medžiaga yra patikrinta antivirusine programa.

Mokymo priemonės ir treniruokliai internetinėje parduotuvėje "Integral" 8 klasei
Vadovėlis Makarychev Yu.N. Vadovėlis Mordkovich A.G.

Įvadas į iracionaliąsias lygtis

Vaikinai, mes išmokome spręsti kvadratines lygtis. Tačiau matematika jais neapsiriboja. Šiandien mes išmoksime išspręsti racionalias lygtis. Racionaliųjų lygčių sąvoka daugeliu atžvilgių yra panaši į racionaliųjų skaičių sąvoką. Tik be skaičių, dabar mes pristatėme kintamąjį $x$. Ir taip gauname išraišką, kurioje yra sudėties, atimties, daugybos, dalybos ir didinimo iki sveikojo skaičiaus operacijos.

Tegu $r(x)$ racionali išraiška. Tokia išraiška gali būti paprastas daugianario kintamasis $x$ arba daugianario santykis (įvedama dalybos operacija, kaip ir racionaliesiems skaičiams).
Vadinama lygtis $r(x)=0$ racionalioji lygtis.
Bet kuri lygtis formos $p(x)=q(x)$, kur $p(x)$ ir $q(x)$ yra racionalios išraiškos, taip pat bus racionalioji lygtis.

Apsvarstykite racionaliųjų lygčių sprendimo pavyzdžius.

1 pavyzdys
Išspręskite lygtį: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Sprendimas.
Perkelkime visas išraiškas į kairę pusę: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Jei paprastieji skaičiai būtų pavaizduoti kairėje lygties pusėje, tada dvi trupmenas surinktume į bendrą vardiklį.
Padarykime taip: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Gavome lygtį: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Trupmena lygi nuliui tada ir tik tada, kai trupmenos skaitiklis yra nulis, o vardiklis yra nulis. Tada atskirai prilyginkite skaitiklį nuliui ir raskite skaitiklio šaknis.
$3(x^2+2x-3)=0$ arba $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Dabar patikrinkime trupmenos vardiklį: $(x-3)*x≠0$.
Dviejų skaičių sandauga yra lygi nuliui, kai bent vienas iš šių skaičių yra lygus nuliui. Tada: $x≠0$ arba $x-3≠0$.
$x≠0$ arba $x≠3$.
Skaitiklyje ir vardiklyje gautos šaknys nesutampa. Taigi atsakydami užrašome abi skaitiklio šaknis.
Atsakymas: $x=1$ arba $x=-3$.

Jei staiga viena iš skaitiklio šaknų sutapo su vardiklio šaknimi, ji turėtų būti neįtraukta. Tokios šaknys vadinamos pašalinėmis!

Racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmas:

1. Visas lygtyje esančias išraiškas perkelkite į kairę nuo lygybės ženklo.
2. Konvertuokite šią lygties dalį į algebrinę trupmeną: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Gautą skaitiklį prilyginkite nuliui, tai yra išspręskite lygtį $p(x)=0$.
4. Vardiklį prilyginkite nuliui ir išspręskite gautą lygtį. Jei vardiklio šaknys sutapo su skaitiklio šaknimis, jos turėtų būti neįtrauktos į atsakymą.

2 pavyzdys
Išspręskite lygtį: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Sprendimas.
Išspręsime pagal algoritmo taškus.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Skaitiklį prilyginkite nuliui: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Vardiklį prilyginkite nuliui:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ ir $x=-1$.
Viena iš šaknų $x=1$ sutapo su skaitiklio šaknimi, tai atsakydami jos neužrašome.
Atsakymas: $x=-1$.

Racionaliąsias lygtis patogu spręsti kintamųjų kaitos metodu. Parodykime tai.

3 pavyzdys
Išspręskite lygtį: $x^4+12x^2-64=0$.

Sprendimas.
Pristatome pakaitalą: $t=x^2$.
Tada mūsų lygtis bus tokia:
$t^2+12t-64=0$ yra įprasta kvadratinė lygtis.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 USD.
Įveskime atvirkštinį pakeitimą: $x^2=4$ arba $x^2=-16$.
Pirmosios lygties šaknys yra skaičių pora $x=±2$. Antrasis neturi šaknų.
Atsakymas: $x=±2$.

4 pavyzdys
Išspręskite lygtį: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Sprendimas.
Įveskime naują kintamąjį: $t=x^2+x+1$.
Tada lygtis bus tokia: $t=\frac(15)(t+2)$.
Toliau veiksime pagal algoritmą.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 USD.
4. $t≠-2$ – šaknys nesutampa.
Pristatome atvirkštinį pakeitimą.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Išspręskime kiekvieną lygtį atskirai:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ne šaknys.
Ir antroji lygtis: $x^2+x-2=0$.
Šios lygties šaknys bus skaičiai $x=-2$ ir $x=1$.
Atsakymas: $x=-2$ ir $x=1$.

5 pavyzdys
Išspręskite lygtį: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Sprendimas.
Pristatome pakeitimą: $t=x+\frac(1)(x)$.
Tada:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ arba $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Gavome lygtį: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Šios lygties šaknys yra pora:
$t=-3$ ir $t=2$.
Pristatykime atvirkštinį pakeitimą:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Spręsime atskirai.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Išspręskime antrąją lygtį:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Šios lygties šaknis yra skaičius $x=1$.
Atsakymas: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Savarankiško sprendimo užduotys

Išspręskite lygtis:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Mes jau išmokome spręsti kvadratines lygtis. Išplėskime tiriamus metodus į racionaliąsias lygtis.

Kas yra racionali išraiška? Mes jau susidūrėme su šia koncepcija. Racionalios išraiškos vadinamos išraiškomis, sudarytomis iš skaičių, kintamųjų, jų laipsnių ir matematinių operacijų ženklų.

Atitinkamai, racionalios lygtys yra lygtys, kurių forma: , kur - racionalios išraiškos.

Anksčiau mes svarstėme tik tas racionalias lygtis, kurios redukuoja į tiesines. Dabar panagrinėkime tas racionalias lygtis, kurias galima redukuoti į kvadratines.

1 pavyzdys

Išspręskite lygtį: .

Sprendimas:

Trupmena yra 0 tada ir tik tada, kai jos skaitiklis yra 0, o vardiklis nėra 0.

Gauname tokią sistemą:

Pirmoji sistemos lygtis yra kvadratinė lygtis. Prieš spręsdami visus jo koeficientus padaliname iš 3. Gauname:

Gauname dvi šaknis: ; .

Kadangi 2 niekada nėra lygus 0, turi būti įvykdytos dvi sąlygos: . Kadangi nė viena iš aukščiau gautos lygties šaknų nesutampa su neteisingomis kintamojo reikšmėmis, gautomis sprendžiant antrąją nelygybę, jos abi yra šios lygties sprendiniai.

Atsakymas:.

Taigi, suformuluokime racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą:

1. Perkelkite visus terminus į kairę pusę, kad dešinėje būtų gautas 0.

2. Transformuokite ir supaprastinkite kairę pusę, suveskite visas trupmenas į bendrą vardiklį.

3. Gautą trupmeną prilyginkite 0 pagal šį algoritmą: .

4. Užrašykite tas šaknis, kurios gautos pirmoje lygtyje ir tenkina antrąją nelygybę.

Pažiūrėkime į kitą pavyzdį.

2 pavyzdys

Išspręskite lygtį: .

Sprendimas

Pačioje pradžioje visus terminus perkeliame į kairę pusę, kad dešinėje liktų 0. Gauname:

Dabar mes pateikiame kairę lygties pusę į bendrą vardiklį:

Ši lygtis yra lygiavertė sistemai:

Pirmoji sistemos lygtis yra kvadratinė lygtis.

Šios lygties koeficientai: . Apskaičiuojame diskriminantą:

Gauname dvi šaknis: ; .

Dabar išspręskime antrąją nelygybę: veiksnių sandauga nėra lygi 0 tada ir tik tada, kai nė vienas iš veiksnių nėra lygus 0.

Turi būti įvykdytos dvi sąlygos: . Gauname, kad iš dviejų pirmosios lygties šaknų tinka tik viena - 3.

Atsakymas:.

Šioje pamokoje prisiminėme, kas yra racionalioji išraiška, taip pat išmokome spręsti racionaliąsias lygtis, kurios redukuojamos į kvadratines lygtis.

Kitoje pamokoje racionalias lygtis nagrinėsime kaip realių situacijų modelius, taip pat apsvarstysime judėjimo problemas.

Bibliografija

1. Bašmakovas M.I. Algebra, 8 klasė. - M.: Švietimas, 2004 m.
2. Dorofejevas G.V., Suvorova S.B., Bunimovičius E.A. ir kt., Algebra, 8. 5 leidimas. - M.: Švietimas, 2010 m.
3. Nikolskis S.M., Potapovas M.A., Rešetnikovas N.N., Ševkinas A.V. Algebra, 8 klasė. Vadovėlis švietimo įstaigoms. - M.: Švietimas, 2006 m.

1. Pedagoginių idėjų festivalis „Atvira pamoka“ ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Namų darbai

„Racionalios lygtys su daugianariais“ yra viena iš dažniausiai pasitaikančių temų USE testuose matematikoje. Dėl šios priežasties jų kartojimui reikėtų skirti ypatingą dėmesį. Daugelis studentų susiduria su problema rasti diskriminantą, perkelti rodiklius iš dešinės pusės į kairę ir suvesti lygtį į bendrą vardiklį, todėl sunku atlikti tokias užduotis. Racionalių lygčių sprendimas ruošiantis egzaminui mūsų svetainėje padės greitai susidoroti su bet kokio sudėtingumo užduotimis ir puikiai išlaikyti testą.

Norėdami sėkmingai pasiruošti vieningam matematikos egzaminui, rinkitės edukacinį portalą „Shkolkovo“!

Norėdami sužinoti nežinomųjų skaičiavimo taisykles ir lengvai gauti teisingus rezultatus, naudokite mūsų internetinę paslaugą. Shkolkovo portalas yra unikali platforma, kurioje renkama medžiaga, reikalinga pasiruošimui egzaminui. Mūsų mokytojai susistemino ir suprantama forma pateikė visas matematines taisykles. Be to, kviečiame moksleivius išbandyti savo jėgas sprendžiant tipines racionaliąsias lygtis, kurių pagrindas nuolat atnaujinamas ir papildomas.

Norint efektyviau pasiruošti testavimui, rekomenduojame vadovautis mūsų specialiu metodu ir pradėti nuo taisyklių kartojimo bei paprastų problemų sprendimo, palaipsniui pereinant prie sudėtingesnių. Taigi abiturientas galės išryškinti pačias sunkiausias temas ir susitelkti į jų studijas.

Pradėkite ruoštis galutiniam bandymui su „Shkolkovo“ šiandien, o rezultatas neprivers jūsų laukti! Pasirinkite lengviausią pavyzdį iš pateiktų. Jei greitai įvaldėte posakį, pereikite prie sunkesnės užduoties. Taigi galite patobulinti savo žinias iki USE matematikos užduočių sprendimo profilio lygiu.

Išsilavinimą gali gauti ne tik absolventai iš Maskvos, bet ir kitų miestų moksleiviai. Pavyzdžiui, skirkite porą valandų per dieną studijuodami mūsų portale ir labai greitai galėsite susidoroti su bet kokio sudėtingumo lygtimis!