Taip atsitinka, kad skaičiavimų patogumui įprastą trupmeną reikia konvertuoti į dešimtainę ir atvirkščiai. Apie tai, kaip tai padaryti, kalbėsime šiame straipsnyje. Išanalizuosime paprastųjų trupmenų konvertavimo į dešimtaines taisykles ir atvirkščiai, taip pat pateiksime pavyzdžių.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Apsvarstysime paprastųjų trupmenų konvertavimą į dešimtainius, laikantis tam tikros sekos. Pirmiausia apsvarstykite, kaip paprastos trupmenos, kurių vardiklis yra 10 kartotinis, paverčiamos dešimtainiais skaitmenimis: 10, 100, 1000 ir tt Trupmenos su tokiais vardikliais iš tikrųjų yra sudėtingesnis dešimtainių trupmenų žymėjimas.

Toliau apžvelgsime, kaip paprastas trupmenas paversti dešimtainėmis trupmenomis su bet kokiu, o ne tik 10 kartotiniu, vardikliu. Atkreipkite dėmesį, kad paprastąsias trupmenas konvertuojant į dešimtaines trupmenas gaunamos ne tik galutinės, bet ir begalinės periodinės dešimtainės trupmenos.

Pradėkime!

Paprastųjų trupmenų, kurių vardikliai 10, 100, 1000 ir kt., vertimas. po kablelio

Pirmiausia, tarkime, kad kai kurias trupmenas reikia šiek tiek paruošti prieš konvertuojant į dešimtainę formą. Kas tai? Prieš skaičių skaitiklyje reikia pridėti tiek nulių, kad skaitmenų skaičius skaitiklyje taptų lygus nulių skaičiui vardiklyje. Pavyzdžiui, trupmenai 3100 skaičių 0 reikia vieną kartą pridėti skaitiklio kairėje nuo 3. Frakcijos 610, remiantis aukščiau pateikta taisykle, tobulinti nereikia.

Apsvarstykite kitą pavyzdį, po kurio suformuluojame taisyklę, kurią iš pradžių ypač patogu naudoti, o trupmenų tvarkymo patirties nėra daug. Taigi, trupmena 1610000 pridėjus nulius skaitiklyje atrodys kaip 001510000.

Kaip išversti paprastąją trupmeną, kurios vardiklis yra 10, 100, 1000 ir kt. po kablelio?

Įprastų tinkamų trupmenų konvertavimo į dešimtaines taisyklė

1. Parašykite 0 ir po jo padėkite kablelį.
2. Užrašome skaičių iš skaitiklio, kuris pasirodė pridėjus nulius.

Dabar pereikime prie pavyzdžių.

1 pavyzdys. Paprastųjų trupmenų konvertavimas į dešimtaines

Paverskite bendrąją trupmeną 39100 į dešimtainę.

Pirmiausia žiūrime į trupmeną ir matome, kad parengiamųjų veiksmų nereikia – skaitmenų skaičius skaitiklyje sutampa su nulių skaičiumi vardiklyje.

Vadovaudamiesi taisykle, užrašykite 0 , po jo dėkite kablelį ir užrašykite skaičių iš skaitiklio. Gauname dešimtainę trupmeną 0, 39.

Panagrinėkime kito pavyzdžio šia tema sprendimą.

2 pavyzdys. Paprastųjų trupmenų konvertavimas į dešimtaines

Parašykime trupmeną 105 10000000 kaip dešimtainę trupmeną.

Nulių skaičius vardiklyje yra 7, o skaitiklis turi tik tris skaitmenis. Pridėkime dar 4 nulius prieš skaičių skaitiklyje:

0000105 10000000

Dabar rašome 0 , po jo dedame kablelį ir rašome skaičių iš skaitiklio. Gauname dešimtainę trupmeną 0 , 0000105 .

Visuose pavyzdžiuose nagrinėjamos trupmenos yra paprastosios tikrosios trupmenos. Bet kaip neteisingą bendrąją trupmeną konvertuoti į dešimtainę? Iš karto pasakykime, kad nereikia ruoštis pridedant nulių tokioms trupmenoms. Suformuluokime taisyklę.

Įprastų netinkamųjų trupmenų konvertavimo į dešimtaines taisyklė

1. Užrašome skaičių, kuris yra skaitiklyje.
2. Su kableliu dešinėje atskiriame tiek skaitmenų, kiek pradinės paprastosios trupmenos vardiklyje yra nulių.

Žemiau pateikiamas šios taisyklės naudojimo pavyzdys.

3 pavyzdys. Paprastųjų trupmenų konvertavimas į dešimtaines

Paverskime trupmeną 56888038009 100000 iš paprastosios netaisyklingos į dešimtainę.

Pirmiausia parašykite skaičių iš skaitiklio:

Dabar, dešinėje, mes atskiriame penkis skaitmenis kableliu (nulių skaičius vardiklyje yra penki). Mes gauname:

Kitas natūraliai kylantis klausimas – kaip mišrųjį skaičių paversti dešimtaine trupmena, jei jo trupmeninės dalies vardiklis yra skaičius 10, 100, 1000 ir kt. Norėdami konvertuoti į dešimtainę tokio skaičiaus trupmeną, galite naudoti šią taisyklę.

Mišrių skaičių konvertavimo į dešimtaines taisyklė

1. Jei reikia, paruošiame trupmeninę skaičiaus dalį.
2. Užrašome sveikąją pradinio skaičiaus dalį ir po jos dedame kablelį.
3. Rašome skaičių iš trupmeninės dalies skaitiklio kartu su pridedamais nuliais.

Pažiūrėkime į pavyzdį.

4 pavyzdys. Mišrių skaičių konvertavimas į dešimtaines

Konvertuokite mišrų skaičių 23 17 10000 į dešimtainę.

Trupmeninėje dalyje turime išraišką 17 10000. Paruoškime jį ir skaitiklio kairėje pridėkime dar du nulius. Gauname: 0017 10000 .

Dabar užrašome sveikąją skaičiaus dalį ir po jos dedame kablelį: 23,. .

Po kablelio rašome skaičių iš skaitiklio kartu su nuliais. Gauname rezultatą:

23 17 10000 = 23 , 0017

Paprastųjų trupmenų keitimas į baigtines ir begalines periodines trupmenas

Žinoma, galite konvertuoti į dešimtaines trupmenas ir paprastas trupmenas, kurių vardiklis nėra lygus 10, 100, 1000 ir kt.

Dažnai trupmeną galima lengvai sumažinti iki naujo vardiklio ir tada naudoti taisyklę, aprašytą šio straipsnio pirmoje pastraipoje. Pavyzdžiui, pakanka trupmenos 25 skaitiklį ir vardiklį padauginti iš 2 ir gauname trupmeną 410, kuri lengvai sumažinama iki dešimtainės formos 0,4.

Tačiau šis paprastosios trupmenos konvertavimo į dešimtainį metodas ne visada gali būti naudojamas. Žemiau mes apsvarstysime, ką daryti, jei neįmanoma taikyti svarstomo metodo.

Iš esmės naujas būdas paprastąją trupmeną paversti dešimtainiu – skaitiklį padalyti iš vardiklio iš stulpelio. Ši operacija labai panaši į natūraliųjų skaičių padalijimą iš stulpelio, tačiau turi savo ypatybes.

Dalinant skaitiklis vaizduojamas kaip dešimtainė trupmena – paskutinio skaitiklio skaitmens dešinėje dedamas kablelis ir pridedami nuliai. Gautame koeficiente dešimtainis kablelis dedamas, kai baigiasi skaitiklio sveikosios dalies padalijimas. Kaip tiksliai veikia šis metodas, paaiškės įvertinus pavyzdžius.

5 pavyzdys. Paprastųjų trupmenų konvertavimas į dešimtaines

Išverskime paprastąją trupmeną 621 4 į dešimtainę formą.

Pavaizduokime skaičių 621 iš skaitiklio kaip dešimtainę trupmeną, po kablelio pridedant kelis nulius. 621 = 621 00

Dabar stulpelį 621, 00 padalinsime iš 4. Pirmieji trys dalybos žingsniai bus tokie patys kaip ir dalijant natūraliuosius skaičius, ir gauname.

Kai gauname dividendų skaičių po kablelio, o likusioji dalis yra ne nulis, mes dedame kablelį į koeficientą ir toliau dalijame, nebekreipiame dėmesio į kablelį dividende.

Dėl to gauname dešimtainę trupmeną 155 , 25 , kuri yra paprastosios trupmenos 621 4 inversijos rezultatas

621 4 = 155 , 25

Apsvarstykite galimybę išspręsti kitą pavyzdį, kad pataisytumėte medžiagą.

6 pavyzdys. Paprastųjų trupmenų konvertavimas į dešimtaines

Apverskime paprastąją trupmeną 21 800 .

Norėdami tai padaryti, padalinkite trupmeną 21 000 iš 800 į stulpelį. Sveikosios dalies dalijimas baigsis pirmuoju žingsniu, todėl iškart po jo į koeficientą dedame po kablelio kablelį ir tęsiame dalijimą, nekreipdami dėmesio į kablelį dividende, kol gausime likutį, lygų nuliui.

Kaip rezultatas, mes gavome: 21 800 = 0 . 02625 .

Bet ką daryti, jei dalydami niekada negausime likučio 0. Tokiais atvejais dalyba gali būti tęsiama neribotą laiką. Tačiau, pradedant nuo tam tikro žingsnio, likučiai periodiškai kartosis. Atitinkamai, koeficiento skaičiai taip pat bus kartojami. Tai reiškia, kad paprastoji trupmena verčiama į dešimtainę begalinę periodinę trupmeną. Iliustruojame tai, kas buvo pasakyta, pavyzdžiu.

7 pavyzdys. Paprastųjų trupmenų konvertavimas į dešimtaines

Įprastąją trupmeną 1944 paverskime dešimtainiu. Norėdami tai padaryti, atliekame padalijimą iš stulpelio.

Matome, kad dalijant liekanos 8 ir 36 kartojasi. Tuo pačiu metu koeficiente kartojasi skaičiai 1 ir 8. Tai yra dešimtainis taškas. Rašant šie skaičiai imami skliausteliuose.

Taigi pradinė paprastoji trupmena verčiama į begalinę periodinę dešimtainę trupmeną.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Turėkime neredukuojamą paprastąją trupmeną. Kokia forma ji bus? Kurios paprastosios trupmenos konvertuojamos į baigtinius dešimtainius, o kurios į begalinius periodinius?

Pirma, tarkime, kad jei trupmeną galima sumažinti iki vieno iš vardklių 10, 100, 1000 .., tada ji atrodys kaip paskutinė dešimtainė trupmena. Kad trupmena būtų sumažinta iki vieno iš šių vardklių, jos vardiklis turi būti bent vieno iš skaičių 10, 100, 1000 ir kt. Iš skaičių faktoringo į pirminius koeficientus taisyklių išplaukia, kad skaičių daliklis 10, 100, 1000 ir kt. Išskaidžius į pirminius veiksnius, turėtų būti tik skaičiai 2 ir 5.

Apibendrinkime tai, kas buvo pasakyta:

1. Paprastoji trupmena gali būti sumažinta iki galutinės dešimtainės trupmenos formos, jei jos vardiklį galima išskaidyti į pirminius koeficientus 2 ir 5.
2. Jei, be skaičių 2 ir 5, vardiklio plėtinyje yra ir kitų pirminių skaičių, trupmena sumažinama iki begalinės periodinės dešimtainės trupmenos formos.

Paimkime pavyzdį.

8 pavyzdys. Paprastųjų trupmenų konvertavimas į dešimtaines

Kuri iš pateiktų trupmenų 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 paverčiama galutine dešimtaine trupmena, o kuri – tik periodine. Atsakymą į šį klausimą pateiksime tiesiogiai nekonvertuodami paprastosios trupmenos į dešimtainę.

Trupmena 47 20 , kaip nesunkiai matote, padauginus skaitiklį ir vardiklį iš 5, sumažinama iki naujo vardiklio 100 .

4720 = 235100. Iš to darome išvadą, kad ši trupmena paverčiama galutine dešimtaine trupmena.

Skaičiuojant trupmenos 7 12 vardiklį, gaunama 12 = 2 2 3 . Kadangi paprastasis koeficientas 3 skiriasi nuo 2 ir 5, ši trupmena negali būti pavaizduota kaip baigtinė dešimtainė trupmena, bet turės begalinės periodinės trupmenos formą.

Frakcija 21 56, pirma, reikia sumažinti. Sumažinus 7, gauname neredukuojamąją trupmeną 3 8 , kurios vardiklio išplėtimas į koeficientus gaunamas 8 = 2 · 2 · 2 . Todėl tai yra baigiamasis dešimtainis skaičius.

Trupmenos 31 17 atveju vardiklio faktorius yra pats pirminis skaičius 17. Atitinkamai, ši trupmena gali būti paversta begaline periodine dešimtaine trupmena.

Paprastoji trupmena negali būti konvertuojama į begalinę ir nesikartojančią dešimtainę trupmeną

Aukščiau kalbėjome tik apie baigtines ir begalines periodines trupmenas. Bet ar bet kurią paprastąją trupmeną galima paversti begaline neperiodine trupmena?

Atsakome: ne!

Svarbu!

Kai konvertuojate begalinę trupmeną į dešimtainę trupmeną, gaunate arba baigtinę dešimtainę trupmeną, arba begalinę periodinę dešimtainę trupmeną.

Likusi padalijimo dalis visada yra mažesnė už daliklį. Kitaip tariant, pagal dalijimosi teoremą, jei kurį nors natūralųjį skaičių padalinsime iš skaičiaus q, tai dalybos liekana bet kuriuo atveju negali būti didesnė už q-1. Pasibaigus padalijimui, galima viena iš šių situacijų:

1. Mes gauname 0 likutį, ir čia baigiasi padalijimas.
2. Mes gauname liekaną, kuri kartojasi vėlesnio dalijimo metu, todėl turime begalinę periodinę trupmeną.

Konvertuojant paprastąją trupmeną į dešimtainę, kitų parinkčių negali būti. Taip pat sakykime, kad periodo ilgis (skaitmenų skaičius) begalinėje periodinėje trupmenoje visada yra mažesnis už skaitmenų skaičių atitinkamos paprastosios trupmenos vardiklyje.

Konvertuoti dešimtaines trupmenas į bendrąsias trupmenas

Dabar atėjo laikas apsvarstyti atvirkštinį dešimtainės trupmenos konvertavimo į paprastąją procesą. Suformuluokime vertimo taisyklę, kurią sudaro trys etapai. Kaip dešimtainį skaičių konvertuoti į bendrąją trupmeną?

Dešimtainių trupmenų pavertimo paprastosiomis trupmenomis taisyklė

1. Skaitiklyje rašome skaičių iš pradinės dešimtainės trupmenos, išmesdami kablelį ir visus nulius kairėje, jei tokių yra.
2. Vardiklyje rašome vienetą ir po jo tiek nulių, kiek yra skaitmenų pradinėje dešimtainėje trupmenoje po kablelio.
3. Jei reikia, sumažinkite gautą paprastąją frakciją.

Apsvarstykite šios taisyklės taikymą pateikdami pavyzdžius.

8 pavyzdys. Dešimtainių skaičių pavertimas įprastu

Pavaizduokime skaičių 3, 025 kaip paprastąją trupmeną.

1. Skaitiklyje rašome pačią dešimtainę trupmeną, atmesdami kablelį: 3025.
2. Vardiklyje rašome vieną, o po jo tris nulius - tiek skaitmenų yra pradinėje trupmenoje po kablelio: 3025 1000.
3. Gautą trupmeną 3025 1000 galima sumažinti 25 , todėl gauname: 3025 1000 = 121 40 .

9 pavyzdys. Dešimtainių skaičių pavertimas įprastu

Paverskime trupmeną 0, 0017 iš dešimtainės į paprastąją.

1. Skaitiklyje įrašome trupmeną 0, 0017, išmesdami kablelį ir nulius kairėje. Gaukite 17.
2. Vardiklyje įrašome vieną, o po jo – keturis nulius: 17 10000. Ši dalis yra neredukuojama.

Jei dešimtainėje trupmenoje yra sveikoji dalis, tada tokią trupmeną galima iš karto paversti mišriu skaičiumi. Kaip tai padaryti?

Suformuluokime dar vieną taisyklę.

Dešimtainių trupmenų konvertavimo į mišrius skaičius taisyklė.

1. Skaičius iki kablelio rašomas kaip sveikoji mišraus skaičiaus dalis.
2. Skaitiklyje įrašome skaičių, esantį trupmenoje po kablelio, išmesdami nulius kairėje, jei tokių yra.
3. Trupmeninės dalies vardiklyje pridedame vieną ir tiek nulių, kiek trupmeninėje dalyje yra skaitmenų po kablelio.

Pažiūrėkime į pavyzdį

10 pavyzdys: dešimtainės dalies konvertavimas į mišrų skaičių

Pavaizduokime trupmeną 155, 06005 kaip mišrų skaičių.

1. Skaičius 155 rašome kaip sveikąją dalį.
2. Skaitiklyje skaičius rašome po kablelio, išmesdami nulį.
3. Vardiklyje rašome vieną ir penkis nulius

Mokymas mišriu numeriu: 155 6005 100 000

Trupmeninę dalį galima sumažinti 5 . Sumažiname ir gauname galutinį rezultatą:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Begalinių pasikartojančių dešimtainių skaičių konvertavimas į bendrąsias trupmenas

Pažvelkime į pavyzdžius, kaip periodines dešimtaines trupmenas išversti į įprastas. Prieš pradėdami, paaiškinkime: bet kurią periodinę dešimtainę trupmeną galima konvertuoti į paprastą.

Paprasčiausias atvejis yra tas, kad trupmenos periodas lygus nuliui. Periodinė trupmena su nuliniu tašku pakeičiama galutine dešimtaine trupmena, o tokios trupmenos apvertimo procesas sumažinamas iki paskutinės dešimtainės trupmenos invertavimo.

11 pavyzdys. Periodinės dešimtainės dalies konvertavimas į bendrąją trupmeną

Apverskime periodinę trupmeną 3, 75 (0) .

Dešinėje numetę nulius, gauname galutinę dešimtainę trupmeną 3, 75.

Pavertę šią trupmeną į paprastąją pagal ankstesnėse pastraipose aptartą algoritmą, gauname:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Ką daryti, jei trupmenos periodas yra ne nulis? Periodinė dalis turėtų būti laikoma geometrinės progresijos narių suma, kuri mažėja. Paaiškinkime tai pavyzdžiu:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Yra begalinės mažėjančios geometrinės progresijos narių sumos formulė. Jei pirmasis progresijos narys yra b, o q vardiklis yra toks, kad 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Pažvelkime į keletą pavyzdžių, naudodami šią formulę.

12 pavyzdys. Periodinės dešimtainės dalies konvertavimas į bendrąją trupmeną

Tarkime, kad turime periodinę trupmeną 0, (8) ir turime ją konvertuoti į paprastąją.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Čia turime begalinę mažėjančią geometrinę progresiją, kurios pirmasis narys yra 0, 8 ir vardiklis 0, 1.

Taikome formulę:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Tai norima paprastoji trupmena.

Norėdami konsoliduoti medžiagą, apsvarstykite kitą pavyzdį.

13 pavyzdys. Periodinio dešimtainio skaičiaus pavertimas paprastu

Apverskite trupmeną 0 , 43 (18) .

Pirmiausia trupmeną įrašome kaip begalinę sumą:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Apsvarstykite terminus skliausteliuose. Šią geometrinę progresiją galima pavaizduoti taip:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Gautą trupmeną pridedame prie galutinės trupmenos 0, 43 \u003d 43 100 ir gauname rezultatą:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Pridėjus šias trupmenas ir sumažinus, gauname galutinį atsakymą:

0 , 43 (18) = 19 44

Šio straipsnio pabaigoje pasakysime, kad neperiodinės begalinės dešimtainės trupmenos negali būti paverstos paprastosiomis trupmenomis.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Šiame straipsnyje mes analizuosime, kaip paprastųjų trupmenų konvertavimas į dešimtaines, taip pat apsvarstykite atvirkštinį procesą - dešimtainių trupmenų pavertimą paprastosiomis trupmenomis. Čia išsakysime trupmenų invertavimo taisykles ir pateiksime išsamius tipinių pavyzdžių sprendimus.

Puslapio naršymas.

Paprastųjų trupmenų konvertavimas į dešimtaines

Pažymime seką, kuria nagrinėsime paprastųjų trupmenų konvertavimas į dešimtaines.

Pirmiausia pažiūrėsime, kaip paprastąsias trupmenas su vardikliais 10, 100, 1000, ... pavaizduoti dešimtainėmis trupmenomis. Taip yra todėl, kad dešimtainės trupmenos iš esmės yra kompaktiška paprastųjų trupmenų forma su vardikliais 10, 100, ....

Po to mes eisime toliau ir parodysime, kaip parašyti bet kurią paprastąją trupmeną (ne tik su vardikliais 10, 100, ...) kaip dešimtainę trupmeną. Taip paverčiant paprastąsias trupmenas gaunamos ir baigtinės dešimtainės trupmenos, ir begalinės periodinės dešimtainės trupmenos.

Dabar apie viską iš eilės.

Paprastųjų trupmenų su vardikliais 10, 100, ... konvertavimas į dešimtaines trupmenas

Kai kurias įprastas trupmenas reikia „iš anksto paruošti“ prieš konvertuojant į dešimtaines. Tai taikoma paprastosioms trupmenoms, kurių skaitmenų skaičius yra mažesnis už nulių skaičių vardiklyje. Pavyzdžiui, paprastąją trupmeną 2/100 pirmiausia reikia paruošti konvertuoti į dešimtainę trupmeną, tačiau trupmenos 9/10 ruošti nereikia.

„Preliminarus paruošimas“ teisingoms paprastosioms trupmenoms konvertuoti į dešimtaines trupmenas – skaitiklio kairėje pusėje pridedama tiek nulių, kad bendras ten esančių skaitmenų skaičius būtų lygus nulių skaičiui vardiklyje. Pavyzdžiui, trupmena pridėjus nulius atrodys taip.

Paruošę teisingą paprastąją trupmeną, galite pradėti ją konvertuoti į dešimtainę trupmeną.

Duokim taisyklė, kaip paversti tinkamą bendrąją trupmeną, kurios vardiklis yra 10, 100 arba 1 000 ... į dešimtainę trupmeną. Jį sudaro trys žingsniai:

• užrašyti 0;
• po jo dėkite kablelį;
• užrašykite skaičių iš skaitiklio (kartu su pridėtais nuliais, jei juos sudėjome).

Apsvarstykite šios taisyklės taikymą spręsdami pavyzdžius.

Pavyzdys.

Konvertuokite tinkamą trupmeną 37/100 į dešimtainę.

Sprendimas.

Vardiklyje yra skaičius 100, kurio įraše yra du nuliai. Skaitiklyje yra skaičius 37, jo įraše yra du skaitmenys, todėl šios trupmenos nereikia ruošti konvertuoti į dešimtainę trupmeną.

Dabar rašome 0, dedame kablelį ir iš skaitiklio įrašome skaičių 37, o gauname dešimtainę trupmeną 0,37.

Atsakymas:

0,37 .

Norėdami įtvirtinti įprastų paprastųjų trupmenų su skaitikliais 10, 100, ... vertimo į dešimtaines trupmenas įgūdžius, išanalizuosime kito pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Parašykite tinkamą trupmeną 107/10 000 000 dešimtainiu tikslumu.

Sprendimas.

Skaitytuvo skaitmenų skaičius yra 3, o nulių skaičius vardiklyje yra 7, todėl šią paprastąją trupmeną reikia paruošti konvertuoti į dešimtainę. Turime pridėti 7-3=4 nulius į kairę skaitiklyje, kad bendras skaitmenų skaičius būtų lygus nulių skaičiui vardiklyje. Mes gauname .

Belieka suformuoti norimą dešimtainę trupmeną. Norėdami tai padaryti, pirma, užrašome 0, antra, dedame kablelį, trečia, užrašome skaičių iš skaitiklio kartu su nuliais 0000107 , todėl gauname dešimtainę trupmeną 0,0000107 .

Atsakymas:

0,0000107 .

Netinkamų bendrųjų trupmenų nereikia ruošti konvertuojant į dešimtaines trupmenas. Reikėtų laikytis toliau pateiktų nurodymų taisyklės, kaip netinkamas bendrąsias trupmenas su vardikliais 10, 100, ... paversti dešimtainėmis trupmenomis:

• užsirašykite skaičių iš skaitiklio;
• kableliu atskiriame tiek skaitmenų dešinėje, kiek pradinės trupmenos vardiklyje yra nulių.

Išanalizuokime šios taisyklės taikymą spręsdami pavyzdį.

Pavyzdys.

Konvertuokite netinkamą bendrąją trupmeną 56 888 038 009/100 000 į dešimtainę.

Sprendimas.

Pirma, užrašome skaičių iš skaitiklio 56888038009, antra, 5 skaitmenis dešinėje atskiriame dešimtainiu tašku, nes pradinės trupmenos vardiklyje yra 5 nuliai. Dėl to mes turime dešimtainę trupmeną 568 880.38009.

Atsakymas:

568 880,38009 .

Norėdami mišrų skaičių konvertuoti į dešimtainę trupmeną, kurios trupmeninės dalies vardiklis yra skaičius 10 arba 100, arba 1000, ..., galite paversti mišrų skaičių į netinkamą paprastąją trupmeną, po kurios gaunama trupmena galima konvertuoti į dešimtainę trupmeną. Bet taip pat galite naudoti toliau nurodytus dalykus taisyklė, kaip mišrius skaičius, kurių vardiklis trupmeninės dalies vardiklis yra 10, 100, arba 1000, ... į dešimtaines trupmenas:

• jei reikia, atliekame pradinio mišraus skaičiaus trupmeninės dalies „preliminarų paruošimą“, skaitiklyje kairėje pridėdami reikiamą nulių skaičių;
• užrašykite sveikąją pradinio mišraus skaičiaus dalį;
• įdėti dešimtainį tašką;
• skaičių iš skaitiklio užrašome kartu su pridėtais nuliais.

Panagrinėkime pavyzdį, kurį spręsdami atliksime visus būtinus veiksmus, kad mišrus skaičius būtų pavaizduotas kaip dešimtainė trupmena.

Pavyzdys.

Konvertuoti mišrų skaičių į dešimtainę.

Sprendimas.

Trupmeninės dalies vardiklyje yra 4 nuliai, o skaitiklyje - skaičius 17, sudarytame iš 2 skaitmenų, todėl skaitiklyje kairėje turime pridėti du nulius, kad simbolių skaičius būtų lygus nulių skaičius vardiklyje. Tai padarius, skaitiklis bus 0017.

Dabar užrašome sveikąją pradinio skaičiaus dalį, tai yra skaičių 23, dedame dešimtainį tašką, po kurio įrašome skaičių iš skaitiklio kartu su pridėtais nuliais, tai yra, 0017, o gauname norimą dešimtainį skaičių. trupmena 23,0017.

Trumpai užrašykite visą sprendimą: .

Be jokios abejonės, buvo galima iš pradžių pavaizduoti mišrų skaičių kaip netinkamą trupmeną, o tada konvertuoti jį į dešimtainę trupmeną. Taikant šį metodą, sprendimas atrodo taip:

Atsakymas:

23,0017 .

Paprastųjų trupmenų konvertavimas į baigtines ir begalines periodines dešimtaines trupmenas

Dešimtaine trupmena gali būti paverčiamos ne tik paprastosios trupmenos, kurių vardikliai yra 10, 100, ..., bet ir paprastosios trupmenos su kitais vardikliais. Dabar išsiaiškinsime, kaip tai daroma.

Kai kuriais atvejais pradinė paprastoji trupmena nesunkiai sumažinama iki vieno iš vardklių 10, 100, arba 1000, ... (žr. paprastosios trupmenos redukavimą iki naujo vardiklio), po to nesunku pateikti gautą trupmeną kaip dešimtainę trupmeną. Pavyzdžiui, akivaizdu, kad trupmeną 2/5 galima sumažinti iki trupmenos, kurios vardiklis yra 10, tam reikia padauginti skaitiklį ir vardiklį iš 2, o tai duos trupmeną 4/10, kuri pagal taisyklės, aptartos ankstesnėje pastraipoje, gali būti lengvai konvertuojamos į dešimtainę trupmeną 0, 4 .

Kitais atvejais turite naudoti kitokį paprastą trupmenos konvertavimo į dešimtainį būdą, kurį dabar apsvarstysime.

Norėdami paversti paprastąją trupmeną į dešimtainę trupmeną, trupmenos skaitiklis dalijamas iš vardiklio, skaitiklis anksčiau buvo pakeistas lygia dešimtaine trupmena su bet kokiu nulių skaičiumi po kablelio (apie tai kalbėjome skyriuje, lygus ir nelygios dešimtainės trupmenos). Šiuo atveju dalijimas atliekamas taip pat, kaip ir dalijimas iš natūraliųjų skaičių stulpelio, o dalyboje dedamas kablelis, kai baigiasi sveikosios dividendo dalies dalijimas. Visa tai paaiškės iš toliau pateiktų pavyzdžių sprendimų.

Pavyzdys.

Paverskite bendrąją trupmeną 621/4 į dešimtainę.

Sprendimas.

Skaitytuvo 621 skaičių pavaizduojame kaip dešimtainę trupmeną, pridėdami po kablelio ir kelis nulius po jo. Iš pradžių pridėsime 2 skaitmenis 0, vėliau, jei reikia, visada galime pridėti daugiau nulių. Taigi, mes turime 621,00.

Dabar skaičių 621 000 padalinkime iš 4 iš stulpelio. Pirmieji trys žingsniai nesiskiria nuo padalijimo iš natūraliųjų skaičių stulpelio, po kurio gauname tokį paveikslėlį:

Taigi, mes pasiekėme dividendų kablelį, o likusi dalis skiriasi nuo nulio. Tokiu atveju į koeficientą dedame dešimtainį tašką ir tęsiame padalijimą iš stulpelio, nepaisydami kablelių:

Šis padalijimas baigtas, todėl gavome dešimtainę trupmeną 155,25, kuri atitinka pradinę paprastąją trupmeną.

Atsakymas:

155,25 .

Norėdami konsoliduoti medžiagą, apsvarstykite kito pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Paverskite bendrąją trupmeną 21/800 į dešimtainę.

Sprendimas.

Norėdami konvertuoti šią bendrąją trupmeną į dešimtainę trupmeną, dešimtainę trupmeną 21 000 ... iš 800 padalinkime iš stulpelio. Atlikę pirmąjį veiksmą, į koeficientą turėsime įdėti kablelį, o tada tęsti padalijimą:

Galiausiai, mes gavome likutį 0, tai baigus įprastos trupmenos 21/400 konvertavimas į dešimtainę trupmeną, ir mes pasiekėme dešimtainę trupmeną 0,02625.

Atsakymas:

0,02625 .

Gali atsitikti taip, kad dalijant skaitiklį iš paprastosios trupmenos vardiklio, niekada negausime 0 liekanos. Tokiais atvejais padalijimas gali būti tęsiamas tol, kol pageidaujama. Tačiau, pradedant nuo tam tikro žingsnio, likučiai pradeda kartotis periodiškai, o koeficiento skaitmenys taip pat kartojasi. Tai reiškia, kad pradinė bendroji trupmena verčiama į begalinį periodinį dešimtainį skaičių. Parodykime tai pavyzdžiu.

Pavyzdys.

Parašykite bendrąją trupmeną 19/44 kaip dešimtainį skaičių.

Sprendimas.

Norėdami paversti paprastąją trupmeną į dešimtainę, dalijame iš stulpelio:

Jau aišku, kad dalijant pradėjo kartotis likučiai 8 ir 36, o koeficiente kartojasi skaičiai 1 ir 8. Taigi pradinė paprastoji trupmena 19/44 paverčiama periodine dešimtaine trupmena 0,43181818…=0,43(18) .

Atsakymas:

0,43(18) .

Baigdami šią pastraipą išsiaiškinsime, kurios paprastosios trupmenos gali būti konvertuojamos į galutines po kablelio trupmenas, o kurios gali būti konvertuojamos tik į periodines.

Turėkime prieš save neredukuojamą paprastąją trupmeną (jei trupmena redukuojama, tai pirmiausia atliekame trupmenos redukciją), ir turime išsiaiškinti, į kokią dešimtainę trupmeną ją galima paversti – baigtinę ar periodinę.

Akivaizdu, kad jei paprastąją trupmeną galima sumažinti iki vieno iš vardklių 10, 100, 1000, ..., tai gautą trupmeną galima nesunkiai konvertuoti į galutinę dešimtainę trupmeną pagal ankstesnėje pastraipoje aptartas taisykles. Bet į vardiklius 10, 100, 1000 ir t.t. pateikiamos ne visos paprastosios trupmenos. Į tokius vardiklius galima redukuoti tik trupmenas, kurių vardikliai yra bent vienas iš skaičių 10, 100, ... O kokie skaičiai gali būti 10, 100, ... dalikliais? Skaičiai 10, 100, … leis mums atsakyti į šį klausimą, ir jie yra tokie: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . Iš to išplaukia, kad 10, 100, 1000 ir kt. gali būti tik skaičiai, kurių skaidymuose į pirminius veiksnius yra tik skaičiai 2 ir (arba) 5 .

Dabar galime padaryti bendrą išvadą apie paprastųjų trupmenų konvertavimą į dešimtaines trupmenas:

• jei išskaidant vardiklį į pirminius veiksnius yra tik skaičiai 2 ir (arba) 5, tai šią trupmeną galima paversti galutine dešimtaine trupmena;
• jei, be dviejų ir penkių, vardiklio plėtinyje yra ir kitų pirminių skaičių, tai ši trupmena paverčiama begaline periodine dešimtaine trupmena.

Pavyzdys.

Nekonvertuodami įprastų trupmenų į dešimtainius, pasakykite man, kurios iš trupmenų 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 gali būti paverstos galutine dešimtaine trupmena, o kurias galima konvertuoti tik į periodinę.

Sprendimas.

Trupmenos 47/20 vardiklio pirminis faktorius turi formą 20=2 2 5 . Šiame išplėtime yra tik dvejetai ir penketukai, todėl šią trupmeną galima sumažinti iki vieno iš vardklių 10, 100, 1000, ... (šiame pavyzdyje iki vardiklio 100), todėl ją galima paversti galutine. dešimtainė trupmena.

Trupmenos 7/12 vardiklio pirminis faktorius turi formą 12=2 2 3 . Kadangi joje yra paprastas koeficientas 3, kuris skiriasi nuo 2 ir 5, ši trupmena negali būti pavaizduota kaip baigtinė dešimtainė trupmena, bet gali būti konvertuojama į periodinę dešimtainę trupmeną.

Frakcija 21/56 - sutraukiamas, po sumažinimo įgauna formą 3/8. Vardiklio skaidymas į pirminius veiksnius susideda iš trijų koeficientų, lygių 2, todėl paprastąją trupmeną 3/8, taigi ir jai lygią trupmeną 21/56, galima paversti galutine dešimtaine trupmena.

Galiausiai, trupmenos 31/17 vardiklio išplėtimas pats savaime yra 17, todėl ši trupmena negali būti konvertuojama į baigtinę dešimtainę trupmeną, bet gali būti konvertuojama į begalinę periodinę.

Atsakymas:

47/20 ir 21/56 galima konvertuoti į galutinį dešimtainį skaičių, o 7/12 ir 31/17 galima konvertuoti tik į periodinį dešimtainį skaičių.

Paprastosios trupmenos nekeičiamos į begalinius nesikartojančius dešimtainius

Ankstesnės pastraipos informacija kelia klausimą: „Ar dalijant trupmenos skaitiklį iš vardiklio galima gauti begalinę neperiodinę trupmeną“?

Atsakymas: ne. Verčiant paprastąją trupmeną, galima gauti arba baigtinę dešimtainę trupmeną, arba begalinę periodinę dešimtainę trupmeną. Paaiškinkime, kodėl taip yra.

Iš dalijimosi su liekana teoremos aišku, kad liekana visada yra mažesnė už daliklį, tai yra, jei kurį nors sveikąjį skaičių padalinsime iš sveikojo skaičiaus q, tada tik vienas iš skaičių 0, 1, 2, ..., q−1 gali būti likusioji dalis. Iš to išplaukia, kad stulpeliui padalijus sveikąją paprastosios trupmenos skaitiklio dalį iš vardiklio q, atlikus ne daugiau kaip q žingsnius, atsiras viena iš šių dviejų situacijų:

• arba gausime likutį 0 , tai užbaigs padalijimą ir gausime galutinę dešimtainę trupmeną;
• arba gausime jau anksčiau pasirodžiusią liekaną, po kurios likučiai pradės kartotis kaip ir ankstesniame pavyzdyje (kadangi dalijant lygius skaičius iš q gaunamos lygios liekanos, kas išplaukia iš jau minėtos dalijimosi teoremos), taigi bus gauta begalinė periodinė dešimtainė trupmena.

Kitų variantų negali būti, todėl paprastąją trupmeną konvertuojant į dešimtainę trupmeną, negalima gauti begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos.

Iš šioje pastraipoje pateiktų samprotavimų taip pat matyti, kad dešimtainės trupmenos periodo ilgis visada yra mažesnis už atitinkamos paprastosios trupmenos vardiklio reikšmę.

Konvertuoti dešimtaines trupmenas į bendrąsias trupmenas

Dabar išsiaiškinkime, kaip dešimtainę trupmeną paversti įprastąja. Pradėkime konvertuodami paskutinius dešimtainius skaičius į bendrąsias trupmenas. Po to apsvarstykite begalinių periodinių dešimtainių trupmenų invertavimo metodą. Pabaigoje sakykime apie tai, kad neįmanoma begalinių neperiodinių dešimtainių trupmenų paversti paprastosiomis trupmenomis.

Pabaigos dešimtainės dalys konvertuojamos į bendrąsias trupmenas

Gauti paprastąją trupmeną, kuri rašoma kaip paskutinė dešimtainė trupmena, yra gana paprasta. Galutinės dešimtainės trupmenos konvertavimo į paprastąją trupmeną taisyklė susideda iš trijų žingsnių:

• pirma, į skaitiklį įrašykite duotą dešimtainę trupmeną, prieš tai atmetę dešimtainį tašką ir visus nulius kairėje, jei tokių yra;
• antra, vardiklyje įrašykite vieną ir pridėkite prie jo tiek nulių, kiek pradinėje dešimtainėje trupmenoje yra skaitmenų po kablelio;
• trečia, jei reikia, sumažinkite gautą frakciją.

Panagrinėkime pavyzdžius.

Pavyzdys.

Paverskite dešimtainę 3,025 į bendrą trupmeną.

Sprendimas.

Jei iš pradinės dešimtainės trupmenos pašalinsime dešimtainį tašką, gausime skaičių 3025. Kairėje pusėje nėra nulių, kuriuos išmestume. Taigi, reikiamos trupmenos skaitiklyje rašome 3025.

Vardiklyje įrašome skaičių 1, o jo dešinėje pridedame 3 nulius, nes pradinėje dešimtainėje trupmenoje po kablelio yra 3 skaitmenys.

Taigi gavome paprastą trupmeną 3 025/1 000. Šią trupmeną galima sumažinti 25, gauname .

Atsakymas:

.

Pavyzdys.

Konvertuoti dešimtainę 0,0017 į paprastąją trupmeną.

Sprendimas.

Be kablelio pradinė dešimtainė trupmena atrodo kaip 00017, išmetę nulius kairėje, gauname skaičių 17, kuris yra norimos paprastosios trupmenos skaitiklis.

Vardiklyje rašome vienetą su keturiais nuliais, nes pradinėje dešimtainėje trupmenoje po kablelio yra 4 skaitmenys.

Dėl to turime paprastą dalį 17/10 000. Ši trupmena yra neredukuojama, o dešimtainė trupmena konvertuojama į paprastąją.

Atsakymas:

.

Kai pradinės galutinės dešimtainės trupmenos sveikoji dalis skiriasi nuo nulio, ją galima iš karto konvertuoti į mišrų skaičių, apeinant paprastąją trupmeną. Duokim taisyklė, skirta paskutinio dešimtainio skaičiaus konvertavimui į mišrų skaičių:

• skaičius prieš dešimtainį tašką turi būti parašytas kaip sveikoji norimo mišraus skaičiaus dalis;
• trupmeninės dalies skaitiklyje turite įrašyti skaičių, gautą iš pradinės dešimtainės trupmenos trupmeninės dalies, išmetę visus nulius kairėje joje;
• trupmeninės dalies vardiklyje reikia įrašyti skaičių 1, prie kurio dešinėje pridėti tiek nulių, kiek yra skaitmenų įvedant pradinę dešimtainę trupmeną po kablelio;
• jei reikia, sumažinkite gauto mišraus skaičiaus trupmeninę dalį.

Apsvarstykite dešimtainės trupmenos konvertavimo į mišrų skaičių pavyzdį.

Pavyzdys.

Išreikškite dešimtainį skaičių 152.06005 kaip mišrų skaičių

Prisiminkite, kaip pačioje pirmoje pamokoje apie dešimtaines trupmenas sakiau, kad yra skaitinių trupmenų, kurių negalima pavaizduoti kaip po kablelio (žr. pamoką „ Dešimtainės trupmenos“)? Taip pat išmokome koeficientuoti trupmenų vardiklius, kad patikrintume, ar yra kitų skaičių, išskyrus 2 ir 5.

Taigi: melavau. Ir šiandien mes išmoksime išversti absoliučiai bet kokią skaitinę trupmeną į dešimtainę. Tuo pačiu susipažinsime su visa trupmenų klase, turinčia begalinę reikšmingą dalį.

Pasikartojantis dešimtainis skaičius yra bet koks dešimtainis skaičius, turintis:

1. Reikšmingąją dalį sudaro begalinis skaičius skaitmenų;
2. Tam tikrais intervalais kartojami reikšmingosios dalies skaičiai.

Pasikartojančių skaitmenų rinkinys, sudarantis reikšmingąją dalį, vadinamas periodine trupmenos dalimi, o skaitmenų skaičius šioje aibėje yra trupmenos periodas. Likęs reikšmingosios dalies segmentas, kuris nesikartoja, vadinamas neperiodine dalimi.

Kadangi yra daug apibrėžimų, verta išsamiai apsvarstyti keletą šių trupmenų:

Ši dalis dažniausiai atsiranda problemų atveju. Neperiodinė dalis: 0; periodinė dalis: 3; laikotarpio trukmė: 1.

Neperiodinė dalis: 0,58; periodinė dalis: 3; laikotarpio trukmė: vėl 1.

Neperiodinė dalis: 1; periodinė dalis: 54; laikotarpio trukmė: 2.

Neperiodinė dalis: 0; periodinė dalis: 641025; periodo ilgis: 6. Patogumui pasikartojančios dalys viena nuo kitos atskiriamos tarpu – šiame sprendime to daryti nebūtina.

Neperiodinė dalis: 3066; periodinė dalis: 6; laikotarpio trukmė: 1.

Kaip matote, periodinės trupmenos apibrėžimas grindžiamas sąvoka reikšminga skaičiaus dalis. Todėl, jei pamiršote, kas tai yra, rekomenduoju tai pakartoti – žiūrėkite pamoką „“.

Perėjimas prie periodinio dešimtainio skaičiaus

Apsvarstykite paprastąją formos a / b trupmeną. Išskaidykime jo vardiklį į paprastus veiksnius. Yra dvi parinktys:

1. Išplėtime yra tik faktoriai 2 ir 5. Šios trupmenos lengvai sumažinamos iki kablelio – žr. pamoką „ Dešimtainės trupmenos“. Mums tokie neįdomūs;
2. Išplėtime yra dar kažkas, be 2 ir 5. Šiuo atveju trupmena negali būti pavaizduota kaip dešimtainė dalis, tačiau ją galima paversti periodine dešimtaine dalimi.

Norėdami nustatyti periodinę dešimtainę trupmeną, turite rasti jos periodinę ir neperiodinę dalis. Kaip? Paverskite trupmeną į netinkamą, o tada padalinkite skaitiklį iš vardiklio su „kampu“.

Tai darant, atsitiks:

1. Pirmiausia padalinkite visa dalis jei jis egzistuoja;
2. Po kablelio gali būti keli skaičiai;
3. Po kurio laiko prasidės skaičiai kartoti.

Tai viskas! Pasikartojantys skaitmenys po kablelio žymimi periodine dalimi, o kas yra priekyje – neperiodine.

Užduotis. Paprastąsias trupmenas konvertuoti į periodines dešimtaines:

Visos trupmenos be sveikosios dalies, todėl skaitiklį tiesiog padalijame iš vardiklio su „kampu“:

Kaip matote, likučiai kartojasi. Parašykime trupmeną „teisinga“ forma: 1,733 ... = 1,7(3).

Rezultatas yra trupmena: 0,5833 ... = 0,58(3).

Rašome normalia forma: 4.0909 ... = 4, (09).

Gauname trupmeną: 0,4141 ... = 0, (41).

Perėjimas iš periodinio dešimtainio į paprastąjį

Apsvarstykite periodinį dešimtainį X = abc (a 1 b 1 c 1). Būtina jį perkelti į klasikinį „dviejų aukštų“. Norėdami tai padaryti, atlikite keturis paprastus veiksmus:

1. Raskite trupmenos periodą, t.y. suskaičiuokite, kiek skaitmenų yra periodinėje dalyje. Tegul tai yra skaičius k;
2. Raskite išraiškos X · 10 k reikšmę. Tai prilygsta kablelio perkėlimui per visą tašką į dešinę – žr. pamoką „ Dešimtainių trupmenų daugyba ir dalyba“;
3. Iš gauto skaičiaus atimkite pradinę išraišką. Tokiu atveju periodinė dalis „išdeginama“ ir lieka bendroji trupmena;
4. Gautoje lygtyje raskite X. Visos dešimtainės trupmenos paverčiamos įprastomis.

Užduotis. Konvertuoti į įprastą neteisingą skaičiaus trupmeną:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Darbas su pirmąja trupmena: X = 9, (6) = 9,666 ...

Skliausteliuose yra tik vienas skaitmuo, taigi laikotarpis k = 1. Toliau šią trupmeną padauginame iš 10 k = 10 1 = 10. Turime:

10X = 10 9,6666... ​​= 96,666...

Atimkite pradinę trupmeną ir išspręskite lygtį:

10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X=87;
X = 87/9 = 29/3.

Dabar panagrinėkime antrąją trupmeną. Taigi X = 32, (39) = 32,393939 ...

Laikotarpis k = 2, todėl viską padauginame iš 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Dar kartą atimkite pradinę trupmeną ir išspręskite lygtį:

100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Pereikime prie trečios trupmenos: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Schema ta pati, todėl pateiksiu tik skaičiavimus:

Laikotarpis k = 1 ⇒ viską padauginti iš 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

Galiausiai paskutinė trupmena: X = 0,(2475) = 0,2475 2475 ... Vėlgi, patogumo dėlei periodinės dalys viena nuo kitos atskirtos tarpais. Mes turime:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10 000 X = 10 000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Šis straipsnis yra apie po kablelio. Čia aptarsime trupmeninių skaičių dešimtainį žymėjimą, supažindinsime su dešimtainės trupmenos sąvoka ir pateiksime dešimtainių trupmenų pavyzdžių. Toliau pakalbėkime apie dešimtainių trupmenų skaitmenis, pateikite skaitmenų pavadinimus. Po to mes sutelksime dėmesį į begalines dešimtaines trupmenas, tarkime, apie periodines ir neperiodines trupmenas. Toliau išvardijame pagrindinius veiksmus su dešimtainėmis trupmenomis. Apibendrinant, nustatome dešimtainių trupmenų padėtį koordinačių spindulyje.

Puslapio naršymas.

Trupmeninio skaičiaus dešimtainis žymėjimas

Skaitymas po kablelio

Pakalbėkime keletą žodžių apie dešimtainių trupmenų skaitymo taisykles.

Dešimtainės trupmenos, atitinkančios teisingas paprastąsias trupmenas, skaitomos taip pat, kaip ir šios paprastosios trupmenos, tik prieš tai pridedama „nulis“. Pavyzdžiui, dešimtainė trupmena 0,12 atitinka įprastą trupmeną 12/100 (skaitoma „dvylika šimtųjų dalių“), todėl 0,12 skaitoma kaip „nulis dvylika šimtųjų dalių“.

Dešimtainės trupmenos, atitinkančios mišrius skaičius, skaitomos lygiai taip pat, kaip ir šie mišrūs skaičiai. Pavyzdžiui, dešimtainė trupmena 56.002 atitinka mišrų skaičių, todėl dešimtainė trupmena 56.002 skaitoma kaip „penkiasdešimt šeši taškai dvi tūkstantosios dalys“.

Vietos po kablelio

Dešimtainių trupmenų žymėjime, taip pat natūraliųjų skaičių žymėjime kiekvieno skaitmens reikšmė priklauso nuo jo padėties. Iš tikrųjų skaičius 3 dešimtaine 0,3 reiškia tris dešimtąsias, 0,0003 - tris dešimtąsias dalis, o 30 000,152 - tris dešimtis tūkstančių. Taigi, galime kalbėti apie skaitmenys po kablelio, taip pat apie natūraliųjų skaičių skaitmenis.

Skaičių pavadinimai dešimtainėje trupmenoje iki kablelio visiškai sutampa su natūraliųjų skaičių skaitmenų pavadinimais. O skaitmenų pavadinimai dešimtainėje trupmenoje po kablelio matomi iš šios lentelės.

Pavyzdžiui, dešimtainėje trupmenoje 37,051 skaičius 3 yra dešimčių vietoje, 7 yra vienetų vietoje, 0 yra dešimtoje, 5 yra šimtoje, 1 yra tūkstantojoje.

Dešimtainės trupmenos skaitmenys taip pat skiriasi stažu. Jei dešimtainiame žymėjime pereisime nuo skaitmens prie skaitmens iš kairės į dešinę, tada judėsime nuo vyresnysisĮ jaunesniųjų rangų. Pavyzdžiui, šimtų skaitmuo yra senesnis nei dešimtosios dalies skaitmuo, o milijoninis skaitmuo yra jaunesnis už šimtąją skaitmenį. Šioje paskutinėje dešimtainėje trupmenoje galime kalbėti apie reikšmingiausius ir mažiausiai reikšmingus skaitmenis. Pavyzdžiui, dešimtainiu skaičiumi 604.9387 vyresnysis (aukščiausias) skaitmuo yra šimtų skaitmuo ir jaunesnysis (žemiausias)- dešimtoji tūkstantoji vieta.

Dešimtainės trupmenos išplečiamos į skaitmenis. Tai analogiška natūraliųjų skaičių skaitmenų plėtimui. Pavyzdžiui, 45,6072 dešimtainis išplėtimas yra: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002 . O sudėjimo savybės iš dešimtainės trupmenos išplėtimo į skaitmenis leidžia pereiti prie kitų šios dešimtainės trupmenos atvaizdų, pavyzdžiui, 45.6072=45+0.6072 arba 45.6072=40.6+5.007+0.0002 arba 45.4507=0.0002 , arba 45.407=2. .

Pabaigos po kablelio

Iki šiol kalbėjome tik apie dešimtaines trupmenas, kurių įraše po kablelio yra baigtinis skaičius skaitmenų. Tokios trupmenos vadinamos paskutinėmis dešimtainėmis trupmenomis.

Apibrėžimas.

Pabaigos po kablelio- Tai yra dešimtainės trupmenos, kurių įrašuose yra baigtinis simbolių (skaitmenų) skaičius.

Štai keletas paskutinių dešimtainių skaičių pavyzdžių: 0,317 , 3,5 , 51,1020304958 , 230 032,45 .

Tačiau ne kiekviena bendroji trupmena gali būti pavaizduota kaip baigtinė dešimtainė trupmena. Pavyzdžiui, trupmena 5/13 negali būti pakeista lygia trupmena, kurios vardiklis yra 10, 100, ..., todėl jos negalima konvertuoti į galutinę dešimtainę trupmeną. Plačiau apie tai kalbėsime paprastųjų trupmenų konvertavimo į dešimtaines trupmenas teorijos skyriuje.

Begalinės dešimtainės trupmenos: periodinės ir neperiodinės trupmenos

Rašydami dešimtainę trupmeną po kablelio, galite leisti begalinį skaitmenų skaičių. Šiuo atveju mes pereisime prie vadinamųjų begalinių dešimtainių trupmenų svarstymo.

Apibrėžimas.

Begalinis dešimtainis skaičius- Tai yra dešimtainės trupmenos, kurių įraše yra begalinis skaičius skaitmenų.

Aišku, kad begalinės dešimtainės trupmenos negalime užrašyti visos, todėl jas įrašant jos apsiriboja tik tam tikru baigtiniu skaitmenų skaičiumi po kablelio ir dedama elipsė, nurodanti be galo besitęsiančią skaitmenų seką. Štai keletas begalinių dešimtainių trupmenų pavyzdžių: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

Jei atidžiai pažvelgsite į paskutines dvi begalines dešimtaines trupmenas, tada trupmenoje 2.111111111 ... aiškiai matomas be galo besikartojantis skaičius 1, o trupmenoje 69.74152152152 ..., pradedant nuo trečiojo skaitmens po kablelio, pasikartojanti skaičių grupė 1, 5 ir 2 yra aiškiai matomi. Tokios begalinės dešimtainės trupmenos vadinamos periodinėmis.

Apibrėžimas.

Periodiniai dešimtainiai(arba tiesiog periodinės trupmenos) – tai begalinės dešimtainės trupmenos, kurių įraše, pradedant nuo tam tikro kablelio, yra koks nors skaitmuo ar skaitmenų grupė, vadinama trupmenos laikotarpis.

Pavyzdžiui, periodinės trupmenos 2,111111111… laikotarpis yra skaičius 1, o trupmenos laikotarpis 69,74152152152… yra skaičių grupė, pavyzdžiui, 152.

Begalinėms periodinėms dešimtainėms trupmenoms pritaikytas specialus žymėjimas. Trumpumo dėlei susitarėme vieną kartą parašyti tašką, įterpdami jį skliausteliuose. Pavyzdžiui, periodinė trupmena 2.111111111… rašoma kaip 2,(1) , o periodinė trupmena 69.74152152152… rašoma kaip 69.74(152) .

Verta paminėti, kad tai pačiai periodinei dešimtainei trupmenai galite nurodyti skirtingus laikotarpius. Pavyzdžiui, periodinis dešimtainis skaičius 0,73333… gali būti laikomas trupmena 0,7(3), kurios taškas yra 3, taip pat trupmena 0,7(33) su periodu 33 ir tt 0,7(333), 0,7 (3333). ), ... Taip pat galite žiūrėti periodinę trupmeną 0,73333 ... taip: 0,733 (3), arba taip 0,73 (333) ir pan. Čia, siekiant išvengti dviprasmybių ir nenuoseklumo, sutinkame dešimtainės trupmenos periodu laikyti trumpiausią iš visų galimų pasikartojančių skaitmenų sekų, pradedant nuo artimiausios padėties iki kablelio. Tai yra, dešimtainės trupmenos periodas 0,73333… bus laikomas vieno skaitmens 3 seka, o periodiškumas prasideda nuo antros padėties po kablelio, tai yra, 0,73333…=0,7(3) . Kitas pavyzdys: periodinės trupmenos 4,7412121212… laikotarpis yra 12, periodiškumas prasideda nuo trečiojo skaitmens po kablelio, tai yra, 4,7412121212…=4,74(12) .

Begalinės dešimtainės periodinės trupmenos gaunamos paprastųjų trupmenų, kurių vardikliuose yra pirminių koeficientų, išskyrus 2 ir 5, dešimtaines trupmenas.

Čia verta paminėti periodines trupmenas, kurių taškas yra 9. Štai tokių trupmenų pavyzdžiai: 6.43(9) , 27,(9) . Šios trupmenos yra dar vienas žymėjimas periodinėms trupmenoms, kurių periodas 0, ir įprasta jas pakeisti periodinėmis trupmenomis su 0 periodu. Norėdami tai padaryti, 9 laikotarpis pakeičiamas 0 periodu, o kito didžiausio skaitmens reikšmė padidinama vienu. Pavyzdžiui, 7.24(9) formos trupmena su 9 tašku pakeičiama periodine trupmena su 7.25(0) formos periodine trupmena arba lygia galutine dešimtaine trupmena 7.25. Kitas pavyzdys: 4,(9)=5,(0)=5 . Trupmenos su periodu 9 ir ją atitinkančios trupmenos su periodu 0 lygybė lengvai nustatoma pakeitus šias dešimtaines trupmenas jų lygiomis paprastosiomis trupmenomis.

Galiausiai, atidžiau pažvelkime į begalinius dešimtainius skaičius, kurie neturi be galo pasikartojančios skaitmenų sekos. Jie vadinami neperiodiniais.

Apibrėžimas.

Nesikartojantis dešimtainis skaičius(arba tiesiog neperiodinės trupmenos) yra begaliniai dešimtainiai skaitmenys be taško.

Kartais neperiodinių trupmenų forma yra panaši į periodinių trupmenų formą, pavyzdžiui, 8.02002000200002 ... yra neperiodinė trupmena. Tokiais atvejais turėtumėte būti ypač atsargūs, kad pastebėtumėte skirtumą.

Atkreipkite dėmesį, kad neperiodinės trupmenos nėra konvertuojamos į paprastąsias trupmenas, begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos reiškia neracionalius skaičius.

Veiksmai su dešimtaine

Vienas iš veiksmų su dešimtainėmis dalimis yra palyginimas, taip pat apibrėžiamos keturios pagrindinės aritmetikos operacijos su dešimtainėmis dalimis: sudėtis, atimtis, daugyba ir dalyba. Apsvarstykite atskirai kiekvieną veiksmą su dešimtainėmis trupmenomis.

Dešimtainis palyginimas iš esmės pagrįstas paprastųjų trupmenų, atitinkančių lyginamąsias dešimtaines trupmenas, palyginimu. Tačiau dešimtainių trupmenų konvertavimas į įprastas yra gana daug pastangų reikalaujantis veiksmas, o begalinės nesikartojančios trupmenos negali būti vaizduojamos kaip paprastoji trupmena, todėl patogu naudoti bitų dešimtainių trupmenų palyginimą. Bitinis dešimtainių skaičių palyginimas yra panašus į natūraliųjų skaičių palyginimą. Norėdami gauti išsamesnės informacijos, rekomenduojame perskaityti straipsnį apie dešimtainių trupmenų palyginimą, taisykles, pavyzdžius, sprendimus.

Pereikime prie kito žingsnio - dauginant po kablelio. Galutinių dešimtainių trupmenų dauginimas atliekamas panašiai kaip dešimtainių trupmenų atėmimas, taisyklės, pavyzdžiai, daugybos iš natūraliųjų skaičių stulpelio sprendiniai. Periodinių trupmenų atveju daugyba gali būti sumažinta iki paprastųjų trupmenų dauginimo. Savo ruožtu begalinių neperiodinių dešimtainių trupmenų daugyba po jų apvalinimo sumažinama iki baigtinių dešimtainių trupmenų dauginimo. Rekomenduojame toliau studijuoti straipsnio dešimtainių trupmenų daugybos medžiagą, taisykles, pavyzdžius, sprendinius.

Koordinačių pluošto dešimtainės dalys

Egzistuoja vienas su vienu taškais ir kablelio atitikmuo.

Išsiaiškinkime, kaip taškai sudaromi koordinačių spindulyje, atitinkančiame nurodytą dešimtainę trupmeną.

Baigines dešimtaines trupmenas ir begalines periodines dešimtaines trupmenas galime pakeisti joms lygiomis paprastosiomis trupmenomis, o tada koordinačių spindulyje sudaryti atitinkamas paprastąsias trupmenas. Pavyzdžiui, dešimtainė trupmena 1,4 atitinka paprastąją trupmeną 14/10, todėl taškas, kurio koordinatė 1,4, teigiama kryptimi pašalinamas iš pradžios 14 atkarpų, lygių vienos atkarpos dešimtajai daliai.

Dešimtainės trupmenos gali būti pažymėtos koordinačių pluošte, pradedant nuo šios dešimtainės trupmenos išplėtimo į skaitmenis. Pavyzdžiui, tarkime, kad reikia sukurti tašką, kurio koordinatė yra 16,3007, nes 16,3007=16+0,3+0,0007, tada galime pasiekti šį tašką nuosekliai išdėstydami 16 vienetų atkarpų nuo koordinačių pradžios, 3 atkarpas, ilgį. iš kurių lygi vieneto dešimtajai daliai, ir 7 atkarpas, kurių ilgis lygus dešimčiai tūkstantajai vieneto atkarpos.

Šis koordinačių pluošto dešimtainių skaičių konstravimo metodas leidžia kiek norite priartėti prie taško, atitinkančio begalinę dešimtainę trupmeną.

Kartais galima tiksliai nubraižyti tašką, atitinkantį begalinį dešimtainį skaičių. Pavyzdžiui, , tada ši begalinė dešimtainė trupmena 1,41421... atitinka koordinačių spindulio tašką, nutolusį nuo pradžios tašku kvadrato, kurio kraštinė yra 1 vieneto atkarpa, įstrižainės ilgiu.

Atvirkštinis dešimtainės trupmenos gavimo procesas, atitinkantis duotą koordinačių pluošto tašką, yra vadinamasis. segmento dešimtainis matavimas. Pažiūrėkime, kaip tai daroma.

Tegul mūsų užduotis yra patekti iš pradžios į nurodytą tašką koordinačių tiesėje (arba be galo priartėti prie jo, jei neįmanoma į jį patekti). Naudodami dešimtainį segmento matavimą, galime nuosekliai atidėti bet kokį vienetinių segmentų skaičių nuo pradžios, tada segmentus, kurių ilgis lygus vieno segmento dešimtajai daliai, tada segmentus, kurių ilgis lygus šimtajai atskiro atkarpos ir tt . Užrašę kiekvieno ilgio nubrėžtų atkarpų skaičių, gauname dešimtainę trupmeną, atitinkančią duotą koordinačių spindulio tašką.

Pavyzdžiui, norėdami patekti į tašką M aukščiau esančiame paveikslėlyje, turite atidėti 1 vieneto segmentą ir 4 segmentus, kurių ilgis yra lygus vieneto dešimtajai daliai. Taigi taškas M atitinka dešimtainę trupmeną 1.4.

Aišku, kad koordinačių pluošto taškai, kurių negalima pasiekti atliekant dešimtainį matavimą, atitinka begalines dešimtaines trupmenas.

Bibliografija.

• Matematika: studijos. 5 ląstelėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. – 21 leid., ištrinta. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: iliustr. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. 6 klasė: vadovėlis. bendrajam lavinimui institucijos / [N. Ya.Vilenkinas ir kiti]. - 22 leidimas, kun. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: vadovėlis 8 ląstelėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M. : Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiesiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.

Padalijimo operacija apima kelių pagrindinių komponentų dalyvavimą. Pirmasis iš jų yra vadinamasis dividendas, tai yra skaičius, kuriam taikoma padalijimo procedūra. Antrasis yra daliklis, tai yra skaičius, pagal kurį dalijama. Trečiasis yra koeficientas, tai yra, operacijos dalijant dividendą iš daliklio rezultatas.

padalijimo rezultatas

Paprasčiausias rezultatas, kurį galima gauti naudojant du teigiamus sveikuosius skaičius kaip dividendą ir daliklį, yra kitas teigiamas sveikasis skaičius. Pavyzdžiui, dalijant 6 iš 2, koeficientas bus lygus 3. Tokia situacija įmanoma, jei dividendas yra daliklis, tai yra dalijamas iš jo be liekanos.

Tačiau yra ir kitų variantų, kai neįmanoma atlikti padalijimo operacijos be likučio. Šiuo atveju ne sveikasis skaičius tampa privatus, kurį galima parašyti kaip sveikojo skaičiaus ir trupmeninės dalies derinį. Pavyzdžiui, dalijant 5 iš 2, koeficientas yra 2,5.

Skaičius taške

Vienas iš variantų, kuris gali atsitikti, jei dividendas nėra daliklio kartotinis, yra vadinamasis laikotarpio skaičius. Jis gali atsirasti dėl padalijimo tuo atveju, jei koeficientas pasirodo be galo pasikartojantis skaičių rinkinys. Pavyzdžiui, skaičius taške gali atsirasti, kai skaičius 2 yra padalintas iš 3. Tokiu atveju rezultatas dešimtainės trupmenos pavidalu bus išreikštas kaip begalinio skaičiaus 6 skaitmenų po kablelio derinys. tašką.

Norint nurodyti tokio padalijimo rezultatą, buvo išrastas specialus skaičių rašymo taške būdas: toks skaičius nurodomas skliausteliuose dedant pasikartojantį skaitmenį. Pavyzdžiui, 2 dalijimo iš 3 rezultatas šiuo metodu būtų parašytas kaip 0,(6). Nurodytas žymėjimas taip pat taikomas, jei kartojama tik dalis skaičiaus, gauto iš padalijimo.

Pavyzdžiui, padalijus 5 iš 6, gaunamas periodinis skaičius, panašus į 0,8(3). Šio metodo naudojimas, pirma, yra efektyviausias, palyginti su bandymu užrašyti visus ar dalį skaičiaus skaitmenų taške, ir, antra, jis turi didesnį tikslumą, palyginti su kitu tokių skaičių perdavimo būdu - apvalinimu ir be to, lyginant šių skaičių dydį, jis leidžia atskirti periodinius skaičius nuo tikslios dešimtainės trupmenos su atitinkama reikšme. Taigi, pavyzdžiui, akivaizdu, kad 0, (6) yra žymiai didesnis nei 0,6.