34 pamoka TEOREMA. Dviejų panašių trikampių plotų santykis lygus panašumo koeficiento kvadratui. kur k yra panašumo koeficientas. Dviejų panašių trikampių perimetrų santykis lygus panašumo koeficientui. V. A. S. R. M. K. Užduočių sprendimas: Nr.545, 549. Namų darbai: 56-58 p., Nr.544, 548.

skaidrė 6 iš pristatymo „Geometrija „Panašūs trikampiai“. Archyvo su pristatymu dydis 232 KB.

Geometrija 8 klasė

kitų pristatymų santrauka

„Ašinės simetrijos apibrėžimas“ – simetrija gamtoje. Užuomina. Simetrijos ašys. Nubrėžkite tašką. Taško kūrimas. Trikampio konstrukcija. Segmento kūrimas. Tautos. Simetrija poezijoje. Figūros, kurios neturi ašinės simetrijos. Figūros su dviem simetrijos ašimis. Stačiakampis. Simetrija. Tiesiai. Sklypo taškai. Ašinė simetrija. Linijos segmentas. Simetrijos ašis. Nubrėžkite dvi linijas. Taškai, esantys tame pačiame statmenyje. Proporcingumas.

"Rasti lygiagretainio plotą" - Raskite lygiagretainio plotą. Lygiagretainio plotas. Aukštis. Raskite aikštės plotą. Kvadrato plotas. Lygiagretainiai aukščiai. Raskite trikampio plotą. Stačiųjų trikampių lygybės ženklai. Raskite stačiakampio plotą. Lygiagretainio aukščio nustatymas. Bazė. Trikampio plotas. Raskite kvadrato perimetrą. Ploto savybės. burnos pratimai.

„Užduotys ieškant vietovės“ – Pamoka – naujos medžiagos paaiškinimas, atliktas „Power point“ pristatymo forma. Pagrindinis tikslas. "Lygiagretainio plotas". „Trapecijos kvadratas“. IŠMOKYTOS MEDŽIAGOS TIKRINIMAS. Norėdami išspręsti užduotį. Darbo knygelė Nr.42, pakartokite visas studijuotas formules. Išveskite stačiakampio, lygiagretainio, trapecijos, trikampio ploto formules. Išplėskite ir pagilinkite idėjas apie plotų matavimą. Supažindinkite mokinius su srities samprata.

„Geometrija „Panašūs trikampiai“ – du trikampiai vadinami panašiais. Kampo kraštinių proporcingumas. Sinuso, kosinuso ir tangentinės reikšmės. Pirmasis trikampių panašumo ženklas. Proporcingos stačiojo trikampio atkarpos. trikampio pusiausvyros savybė. Matematinis diktantas. Raskite lygiašonio stačiojo trikampio plotą. proporcingi pjūviai. Sinuso, kosinuso ir liestinės reikšmės 30°, 45°, 60° kampams.

„Stačiakampiai“ – Žmogus. priešingos pusės. Stačiakampio kraštinė. Stačiakampio pasaka. stačiakampio kraštinės. Stačiakampis gyvenime. Stačiakampio perimetras. Stačiakampis. Įstrižainės. Tapyba. Įstrižainė. Apibrėžimas. Stačiakampio plotas.

„Stačiakampio kvadratas“ 8 klasė“ – užtamsinto kvadrato plotas. Kiekvieno stačiakampio kraštinės. ABCD ir DSMK yra kvadratai. Kraštinėje AB nubrėžtas lygiagretainis. Ploto vienetai. Raskite aikštės plotą. Stačiakampio plotas. ABCD yra lygiagretainis. Ploto savybės. Raskite keturkampio plotą. Stačiakampio šonuose pastatytų kvadratų plotai. Kambario grindys yra stačiakampio formos. Kvadrato plotas lygus jo kraštinės kvadratui.

Panašių trikampių apibrėžimas ir savybės

Skaičiai a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n vadinami proporcingais skaičiams b 1 , b 2 , b 3 , ..., b n, jei galioja lygybė: a 1 / b 1 = a 2 / b 2 = a 3 / b 3 = ... = a n /b n = k, čia k yra tam tikras skaičius, vadinamas proporcingumo koeficientu.

Pavyzdys. Skaičiai 6; 7,5 ir 15 yra proporcingi -4; 5 ir 10. Proporcingumo koeficientas yra -1,5, nes

6/-4 = -7,5/5 = 15/-10 = -1,5.

Skaičių proporcingumas atsiranda, jei šie skaičiai yra susiję proporcingai.

Yra žinoma, kad proporcija gali būti sudaryta ne mažiau kaip iš keturių skaičių, todėl proporcingumo sąvoka taikytina ne mažiau kaip keturiems skaičiams (viena skaičių pora yra proporcinga kitai porai, arba vienas skaičių trigubas yra proporcingas kitam trigubui ir pan. .).

Apsvarstykite ryžių. vienas du trikampiai ABC ir A 1 B 1 C 1 su lygiais kampais poromis: A \u003d A 1, B \u003d B 1, C \u003d C 1.

Vadinamos kraštinės, kurios yra priešingos abiejų trikampių lygioms kampų poroms panašus. Taip, įjungta ryžių. vienas kraštinės AB ir A 1 B 1, AC ir A 1 C 1, BC ir B 1 C 1, panašios, nes yra priešais lygius trikampių ABC ir A 1 B 1 C 1 kampus.

Apibrėžkime panašius trikampius:

Du trikampiai vadinami panašus, jei jų kampai poromis lygūs, o panašios kraštinės yra proporcingos.

Panašių trikampių panašių kraštinių santykis vadinamas panašumo koeficientas.

Panašūs trikampiai žymimi taip: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .

Taip toliau ryžių. 2 turime: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1

kampai A \u003d A 1, B \u003d B 1, C \u003d C 1 ir AB / A 1 B 1 \u003d BC / B 1 C 1 \u003d AC / A 1 C 1 \u003d k, kur k yra panašumas koeficientas. Iš ryžių. 2 matyti, kad panašūs trikampiai turi tokias pačias proporcijas ir skiriasi tik masteliu.

1 pastaba: lygūs trikampiai yra panašūs su koeficientu 1.

2 pastaba: žymint panašius trikampius, jų viršūnės turi būti išdėstytos taip, kad kampai prie jų būtų lygūs poromis. Pavyzdžiui, 2 paveiksle parodytų trikampių atveju neteisinga sakyti, kad Δ ABC ~ Δ B 1 C 1 A 1. Stebint teisingą viršūnių tvarką, patogu užrašyti proporcijas, jungiančias panašias trikampių kraštines, nesikreipiant į brėžinį: atitinkamų santykių skaitiklyje ir vardiklyje turi būti viršūnių poros, kurios žymėjime užima tas pačias vietas. panašių trikampių. Pavyzdžiui, iš žymėjimo „Δ ABC ~ Δ KNL“ išplaukia, kad kampai A = K, B = N, C = L ir AB / KN = BC / NL = AC / KL.

3 pastaba. Reikalavimai, išvardyti panašių trikampių apibrėžime, yra nereikalingi. Trikampių panašumo kriterijai, kuriuose yra mažiau reikalavimų panašiems trikampiams, bus įrodyti šiek tiek vėliau.

Suformuluokime panašių trikampių savybės:

1. Panašių trikampių atitinkamų tiesinių elementų santykis lygus jų panašumo koeficientui. Tokie panašių trikampių elementai yra tie, kurie matuojami ilgio vienetais. Tai, pavyzdžiui, trikampio kraštinė, perimetras, mediana. Kampas ar plotas nėra tokie elementai.
2. Panašių trikampių plotų santykis lygus jų panašumo koeficiento kvadratui.

Tegu trikampiai ABC ir A 1 B 1 C 1 yra panašūs su koeficientu k (2 pav.).

Įrodykime, kad S ABC /S A1 B1 C1 = k 2 .

Kadangi panašių trikampių kampai poromis yra lygūs, ty A \u003d A 1, ir pagal teoremą apie lygių kampų trikampių plotų santykį, turime:

S ABC /S A1 B1 C1 \u003d (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) \u003d AB / A 1 B 1 AC / A 1 C 1.

Dėl trikampių panašumo AB/A 1 B 1 = k ir AC/A 1 C 1 = k,

taigi S ABC /S A1 B1 C1 = AB/A 1 B 1 AC/A 1 C 1 = k k = k 2 .

Pastaba: Aukščiau suformuluotos panašių trikampių savybės galioja ir savavališkoms figūroms.

Trikampių panašumo ženklai

Reikalavimai, kurie pagal apibrėžimą keliami panašiems trikampiams (tai yra kampų lygybė ir kraštinių proporcingumas), yra pertekliniai. Taip pat galite nustatyti trikampių panašumą mažesniu elementų skaičiumi.

Taigi, sprendžiant uždavinius, dažniausiai naudojamas pirmasis trikampių panašumo ženklas, nurodantis, kad dviejų trikampių panašumui pakanka, kad jų kampai būtų lygūs:

Pirmasis trikampių panašumo ženklas (ant dviejų kampų): jei du vieno trikampio kampai yra atitinkamai lygūs dviem antrojo trikampio kampams, tai šie trikampiai yra panašūs (3 pav.).

Tegu pateikiami trikampiai Δ ABC, Δ A 1 B 1 C 1, kuriuose kampai A = A 1 , B = B 1 . Būtina įrodyti, kad Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .

Įrodymas.

1) Pagal trikampio kampų sumos teoremą turime:

kampas C = 180° (kampas A + kampas B) = 180° (kampas A 1 + kampas B 1) = kampas C 1 .

2) Pagal teoremą apie trikampių, turinčių vienodą kampą, plotų santykį,

S ABC /S A1 B1 C1 \u003d (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) \u003d (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) \u003d (AC BC) / (A 1 C 1 B 1 C 1).

3) Iš lygybės (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) = (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) išplaukia, kad AC / A 1 C 1 = BC /B 1 C 1 .

4) Iš lygybės (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) = (AC BC) / (A 1 C 1 B 1 C 1) išplaukia, kad AB / A 1 B 1 = AC /A 1 C 1 .

Taigi trikampiams ABC ir A 1 B 1 C 1 DA \u003d DA 1, DB \u003d DB 1, DC \u003d DC 1 ir AB / A 1 B 1 \u003d AC / A 1 C 1.

5) AB / A 1 B 1 \u003d AC / A 1 C 1 \u003d BC / B 1 C 1, tai yra, panašios pusės yra proporcingos. Taigi, Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 pagal apibrėžimą.

Proporcingų atkarpų teorema. Atkarpos padalijimas tam tikru santykiu

Proporcinio intervalo teorema yra Talio teoremos apibendrinimas.

Norint naudoti Thaleso teoremą, būtina, kad lygiagrečios tiesės, kertančios dvi duotąsias tieses, vienoje iš jų nupjautų lygias atkarpas. Apibendrinta Thales teorema teigia, kad jei lygiagrečios tiesės kerta dvi duotas tieses, tai jų atkarpos vienoje tiesėje yra proporcingos antroje tiesėje nupjautoms atkarpoms.

Proporcingų atkarpų teorema įrodyta panašiai kaip Talio teorema (tik vietoj trikampių lygybės čia naudojamas jų panašumas).

Proporcingų atkarpų teorema (apibendrinta Talio teorema): Lygiagrečios tiesės, kertančios dvi nurodytas tieses, nupjauna proporcingus segmentus.

Trikampio mediana savybė

Pirmasis trikampių panašumo ženklas leidžia įrodyti trikampio medianinę savybę:

Trikampio medianos savybė: Trikampio medianos susikerta viename taške ir yra padalintos iš šio taško santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršaus (4 pav.).

Medianų susikirtimo taškas vadinamas centroidas trikampis.

Tegu duota Δ ABC, kuriai AA 1 , BB 1 , CC 1 yra medianos, be to, AA 1 ∩CC 1 = O. Būtina įrodyti, kad BB 1 ∩ CC 1 = O ir AO/OA 1 = BO /OB 1 \u003d CO / OS 1 \u003d 2.

Įrodymas.

1) Nubrėžkite vidurinę liniją A 1 C 1 . Pagal trikampio vidurio linijos teoremą A 1 C 1 || AC ir A 1 C 1 = AC/2.

2) Trikampiai AOC ir A 1 OC 1 yra panašūs dviem kampais (kampas AOC = kampas A 1 OC 1 kaip vertikalus, kampas OAC = kampas OA 1 C 1 kaip vidinis kryžminis, esantis taške A 1 C 1 || AC ir sekantas AA 1 ), todėl pagal panašių trikampių AO / A 1 O \u003d OS / OS 1 \u003d AC / A 1 C 1 \u003d 2 apibrėžimą.

3) Tegu BB 1 ∩CC 1 = O 1 . Panašiai kaip 1 ir 2 taškais, galima įrodyti, kad BO / O 1 B 1 \u003d CO 1 / O 1 C \u003d 2. Bet kadangi atkarpoje SS 1 yra vienas taškas O, dalijantis jį CO atžvilgiu. : OS 1 \u003d 2: 1, tada taškai O ir O 1 sutampa. Tai reiškia, kad visos trikampio medianos susikerta viename taške, kiekvieną iš jų dalijant santykiu 2:1, skaičiuojant nuo viršaus.

Geometrijos metu temoje „daugiakampių plotas“ įrodyta, kad mediana savavališką trikampį padalija į dvi lygias dalis. Be to, kai susikerta trys trikampio medianos, susidaro šeši vienodo ploto trikampiai.

Ar turite kokių nors klausimų? Nežinote, kaip išspręsti trikampio problemas?
Norėdami gauti pagalbą iš dėstytojo -.
Pirma pamoka nemokama!

tinklaraštis.svetainė, visiškai arba iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Pamokos tipas: susipažinimo su nauja medžiaga pamoka.

Pamokos tikslas: Įrodyti panašių trikampių plotų savybę ir parodyti jos praktinę reikšmę sprendžiant uždavinius.

Pamokos tikslai:

mokymas – įrodyti panašių trikampių plotų savybę ir parodyti jos praktinę reikšmę sprendžiant uždavinius;

ugdyti – ugdyti gebėjimą analizuoti ir atrinkti argumentus sprendžiant problemą, kurios sprendimo būdas nežinomas;

ugdomasis – per ugdymo proceso turinį ir sėkmės situacijos kūrimą ugdyti domėjimąsi dalyku, ugdyti gebėjimą dirbti grupėje.

Studentas turi šias žinias:

Veiklos turinio vienetas, kurį mokiniai turi išmokti:

Per užsiėmimus.

1. Organizacinis momentas.

2. Žinių aktualizavimas.

3. Probleminės situacijos sprendimas.

4. Pamokos apibendrinimas ir namų darbų užrašymas, refleksija.

Mokymo metodai: žodinis, vaizdinis, problemų paieška.

Mokymo formos: frontalinis darbas, darbas mini grupėse, individualus ir savarankiškas darbas.

Technologijos: orientuotas į užduotis, informacinės technologijos, kompetencija pagrįstas požiūris.

Įranga:

kompiuteris, projektorius pristatymui demonstruoti, interaktyvi lenta, dokumentų kamera;

Kompiuterinis pristatymas Microsoft PowerPoint;

nuorodų santrauka;

Per užsiėmimus

1. Organizacinis momentas.

Šiandien pamokoje dirbsime ne sąsiuviniais, o pagalbiniais užrašais, kuriuos pildysite visos pamokos metu. Pasirašykite. Pamokos įvertinimas susideda iš dviejų komponentų: už informacinius užrašus ir už aktyvų darbą pamokoje.

2. Studentų žinių aktualizavimas. Pasiruošimas aktyviai ugdomajai ir pažintinei veiklai pagrindiniame pamokos etape.

Toliau nagrinėjame temą „trikampių panašumas“. Taigi prisiminkime, ko išmokome paskutinėje pamokoje.

Teorinė treniruotė. Testas. Jūsų informaciniuose užrašuose pirmoji užduotis turi bandomąjį pobūdį. Atsakykite į klausimus pasirinkdami vieną iš siūlomų atsakymų, kur reikia, įveskite savo atsakymą.

1. Mokytojas: Koks yra dviejų segmentų santykis?

Atsakymas: dviejų segmentų dviejų segmentų santykis yra jų ilgių santykis.

1. Mokytojas: Kokiu atveju yra segmentaiAB ir CDproporcingas segmentamsA 1 B 1 ir C 1 D 1

Atsakymas: pjūviai AB ir CDproporcingas segmentamsA 1 B 1 ir C 1 D 1 jei

savo galimybes. Gerai. Nepamirškite ištaisyti to, kas klysta.

1. Mokytojas: Koks yra panašių trikampių apibrėžimas? Peržiūrėkite savo nuorodos santrauką. Jūs turite tris atsakymus į šį klausimą. Pasirinkite tinkamą. Apveskite jį ratu.

Taigi, prašau, kurį variantą pasirinkote _______

Atsakymas: Du trikampiai vadinami panašiais, jei jų kampai atitinkamai lygūs, o vieno trikampio kraštinės yra proporcingos kito trikampio kraštinėms.

Šauniai padirbėta! Pataisykite kas klysta.

1. Mokytojas: Koks yra dviejų vienodo kampo trikampių plotų santykis?

Atsakymas: Jei vieno trikampio kampas lygus kito trikampio kampui, tai šių trikampių plotai dalijami kaip lygių kampų kraštinių sandauga.

Užduočių sprendimas pagal paruoštus brėžinius.Toliau mūsų apšilimas vyks sprendžiant problemas pagal paruoštus brėžinius. Šias užduotis taip pat matote savo informaciniuose užrašuose.

Atspindys. Pasiaiškinkime, kokios žinios ir įgūdžiai leido mums išspręsti šias problemas. Kokius sprendimo būdus taikėme (atsakymų tvirtinimas lentoje).

Galimi atsakymai:

Panašių trikampių apibrėžimas;

Panašių trikampių apibrėžimo taikymas sprendžiant uždavinius;

Teorema apie trikampių, turinčių lygų kampą, plotų santykį;

O dabar aš siūlau kelių problemų sprendimo būdą, kuris rezonuoja su pamokos tema, bet jie labiau susiję su geografija.

sėkmės situacija.

Pirmoji užduotis yra prieš jus. Šiuo klausimu dirbame patys. Pirmasis, kuriam pavyks, parodys savo sprendimą prie lentos, o kažkas – per dokumentų kamerą, todėl rašome gražiai ir tiksliai.

Atsakymas: Bermudų trikampio kraštinės yra 2000 km, 1840 km, 2220 km. Sienos ilgis – 6060 km.

Atspindys.

Galimas atsakymas: Panašūs trikampiai turi panašias kraštines, kurios yra proporcingos.

sėkmės situacija.

Mes išsiaiškinome Bermudų trikampio matmenis. Na, o dabar išsiaiškinkime gėlyno išmatavimus. Bazinių natų vartymas. Antra užduotis. Šią problemą sprendžiame dirbdami poromis. Tikriname panašiai, tačiau tik rezultatas bus pirmoji užduotį įvykdžiusi pora.

Atsakymas: trikampio gėlyno kraštinės yra 10m ir 11m 20 cm.

Taigi, patikrinkime. Ar visi sutinka? Kas nusprendžia kitaip?

Atspindys.

Kokius veiksmus taikėte, kad išspręstumėte šią problemą? Įrašykite į savo pagrindinį užrašą.

Galimas atsakymas:

panašių trikampių atitinkami kampai yra lygūs;

Trikampių, turinčių vienodus kampus, plotai dalijami kaip lygių kampų kraštinių sandaugos.

Nesėkmės situacija.

5. Naujos medžiagos mokymasis.

Spręsdami trečiąją užduotį mokiniai susiduria su problema. Jie nesugeba išspręsti problemos, nes, jų nuomone, problemos sąlyga nėra pakankamai išsami arba jie gauna nepagrįstą atsakymą.

Studentai anksčiau nebuvo susidūrę su tokio tipo problemomis, todėl sprendžiant problemą nepavyko.

Atspindys.

Kokį metodą bandėte išspręsti?

Kodėl neišsprendei paskutinės lygties?

Mokiniai: Negalime rasti trikampio ploto, jei žinomas tik panašaus trikampio plotas ir panašumo koeficientas.

Šiuo būdu, mūsų pamokos tikslas Raskite trikampio plotą, jei žinomas tik panašaus trikampio plotas ir panašumo koeficientas.

Performuluokime uždavinį geometrine kalba. Išspręskime tai, o tada grįžkime prie šios problemos.

Išvada: Panašių trikampių plotų santykis lygus panašumo koeficiento kvadratui.

Na, o dabar grįžkime prie 3 problemos ir išspręskime ją, remdamiesi įrodytu faktu.

7. Pamokos santrauka

Ką šiandien išmokote veikti?

Išspręskite uždavinius, kuriuose žinomas vieno iš panašių trikampių panašumo koeficientas ir plotas.

Kokia geometrinė savybė mums tai padėjo?

Panašių trikampių plotų santykis lygus panašumo koeficiento kvadratui.

Namų darbai.

P. 58 p.139 Nr. 546, 548

Kūrybinė užduotis.

Raskite, koks yra dviejų panašių trikampių perimetrų santykis (№547)

Viso gero.

1.3. Panašių trikampių plotų santykis. Teorema. Dviejų panašių trikampių plotų santykis lygus panašumo koeficiento kvadratui. Įrodymas. Tegu trikampiai ABC ir A1B1C1 yra panašūs, o panašumo koeficientas lygus k. Tegul S ir S1 žymi šių trikampių plotus. Kadangi A = A1, tada.

11 skaidrė iš pristatymo ""Panašūs trikampiai" 8 klasė". Archyvo su pristatymu dydis yra 1756 KB.

Geometrija 8 klasė

kitų pristatymų santrauka

„Stačiakampiai“ – įstrižainė. Tapyba. stačiakampio kraštinės. Stačiakampio perimetras. Žmogus. Stačiakampio plotas. Stačiakampis gyvenime. Apibrėžimas. Stačiakampio kraštinė. Įstrižainės. Stačiakampio pasaka. Stačiakampis. priešingos pusės.

„Taškinis produktas koordinatėse“ – vektorius. Napoleono teorema. Pasekmė. Vektorių skaliarinės sandaugos savybės. Keistis kortelėmis. Išspręskime užduotį. Geometrija. Skaliarinė sandauga koordinatėse ir jo savybės. Matematikos testas. Nauja medžiaga. Trikampio sprendimas. Matematikos treniruotė. Teoremos autoriaus vardas. Pitagoro teoremos įrodymas.

„Susirasti lygiagretainio plotą“ – lygiagretainio plotas. burnos pratimai. Aukštis. Lygiagretainio aukščio nustatymas. Lygiagretainiai aukščiai. Raskite lygiagretainio plotą. Trikampio plotas. Kvadrato plotas. Ploto savybės. Raskite trikampio plotą. Raskite kvadrato perimetrą. Bazė. Raskite stačiakampio plotą. Raskite aikštės plotą. Stačiųjų trikampių lygybės ženklai.

„8 laipsnio vektoriai“ – pavadinkite vienodus ir priešingus vektorius. Vektoriai fizikos pamokose. Absoliuti vektoriaus reikšmė. Absoliuti vektoriaus reikšmė. Stačiakampis, kurio visos kraštinės lygios. Vektoriaus samprata. Nustatykite vektoriaus koordinates. Raskite ir pavadinkite lygius vektorius šiame paveiksle. Lygi vektoriai. Savarankiškas darbas poromis. Vektorinės koordinatės. Pamokos šūkis. Skaliariniai fiziniai dydžiai, tokie kaip trinties jėga, greitis.

„Skirtingi simetrijos tipai“ – Reikalavimas. Slenkanti simetrija. Lygiašonis trikampis su veidrodine simetrija. Grupės teorija. Simetrija biologijoje. sukimosi simetrija. Dviejų spindulių radialinė simetrija. Kas yra simetrija. Supersimetrija. Simetrija geometrijoje. Simetrija fizikoje. Varpo viršus. Dvišalės simetrijos atsiradimas. dvišalė simetrija. Noether teorema. Simetrijos trūkumas. Fizikos simetrija. centrinė simetrija.

„Kvadratas gyvenime“ – kvadratai mus suranda visur. Indija. Magiškoji Albrechto Diurerio aikštė. Istorija. Kvadratai. Magiška aikštė Lo Shu. Juodas kvadratas. Paslapčių aikštė. Įdomūs faktai apie aikštę. Geometrinės figūros kvadratas. Malevičiaus aikštė. Magiška aikštė. Stačiakampis. Kvadratas. Pagrindinė koncepcija. Įdomūs faktai. Kinija.

VIII SKYRIUS.

LINJŲ PROPORCINGUMAS. FIGŪRŲ PANAŠUMAS.

§ 92. PANAŠIŲ FIGŪRŲ PLOTŲ SANTYKIS.

1. Kvadratų plotų santykis.

Apsvarstykite dviejų kvadratų plotų santykį. Jei vieno kvadrato kraštinė žymima t, o kito pusė – per P, tada plotai bus atitinkamai lygūs
t 2 ir P 2 (pav. 379).

Pažymėdami pirmojo kvadrato plotą per S, o antrojo - per S, gauname: S / S" = m 2 / n 2 , ty kvadratų plotai yra susiję kaip jų kraštinių kvadratai.

Gautą formulę galima konvertuoti taip: S / S "= ( m / n) 2 .

Taigi, galime sakyti, kad dviejų kvadratų plotų santykis yra lygus jų kraštinių santykio kvadratui.

379 brėžinyje kvadratų kraštinių santykis yra 3, jų plotų santykis yra
3 2 = 9.

2. Dviejų panašių trikampių plotų santykis.

Leisti /\ ABC /\ A „B" C" (380 pav.).Iš trikampių panašumo išplaukia, kad
/ A= / A", / B= / B“ ir / C = / C. Be to, AB / A"B" \u003d BC / B"C" \u003d AC / A"C" .

Šiuose trikampiuose iš viršūnių B ir B "nubrėžiame aukščius ir pažymime jas h ir h". Pirmojo trikampio plotas bus lygus AC h/ 2 , o antrojo trikampio plotas yra A"C" h" / 2 .

Žymime pirmojo trikampio plotą per S, o antrojo - per S "gauname: S / S" = AC h/A"C" h" arba S / S" = AC / A"C" h / h"

Dėl trikampių ABO ir A"B"O panašumo (jie yra panašūs, nes yra stačiakampiai ir, be to, turi vienodą smailųjį kampą, būtent / A= / A") taip:
h / h"= AB / A"B" . Bet AB / A"B" = AC / A"C". Vadinasi, h / h"= AC / A"C" . Formulės pakeitimas S / S "= AC / A" C " h / h" požiūris h / h" kai santykis AC / A"C" lygus jam, gauname:
S / S" \u003d AC / A "C" AC / A "C" arba.

Taigi, panašių trikampių plotai yra susiję kaip panašių kraštinių kvadratai .

Gautą formulę galima konvertuoti taip: S / S" = (AC / A"C") 2.

Taigi, galime sakyti, kad dviejų panašių trikampių plotų santykis yra lygus jų panašių kraštinių santykio kvadratui.

3. Panašių daugiakampių plotų santykis.

Tegul ABCDE ir A"B"C"D"E yra panašūs daugiakampiai (381 pav.).

Yra žinoma, kad /\ ABC /\ A"B"C"; /\ ACD /\ A"C"D" ir /\ ADE /\ A"D"E" (§90).
Be to,

;

Kadangi antrieji šių proporcijų santykiai yra lygūs, o tai išplaukia iš daugiakampių panašumo, tada

Naudodami lygių santykių serijos savybę, gauname:

Arba

kur S ir S" yra šių panašių daugiakampių plotai.

Vadinasi, panašių daugiakampių plotai yra susiję kaip panašių kraštinių kvadratai.

Gautą formulę galima konvertuoti į šią formą: S / S "= (AB / A" B") 2

Pratimai.

1. Pirmojo kvadrato kraštinė yra 2 kartus didesnė už antrojo kvadrato kraštinę (5 kartus). Kiek kartų pirmojo kvadrato plotas yra didesnis už antrojo kvadrato plotą?

2. Pirmojo kvadrato kraštinė yra 1/3 (0,1) antrojo kvadrato kraštinės. Kokia pirmojo kvadrato ploto dalis yra antrojo kvadrato plotas?

3. Panašumo koeficientas panašiuose daugiakampiuose yra 4 (1/5; 0,4; 2,5). Koks jų plotų santykis?

4. Panašių daugiakampių plotų santykis yra 36 (100; 0,09). Koks yra šių daugiakampių panašių kraštinių santykis?