Trupmeninės-racionalios funkcijos integravimas.
Neapibrėžtų koeficientų metodas

Mes ir toliau dirbame integruodami trupmenas. Pamokoje jau nagrinėjome kai kurių tipų trupmenų integralus ir šią pamoką tam tikra prasme galima laikyti tęsiniu. Norint sėkmingai suprasti medžiagą, reikalingi pagrindiniai integravimo įgūdžiai, todėl jei ką tik pradėjote mokytis integralų, tai yra, esate arbatinukas, tuomet turite pradėti nuo straipsnio Neapibrėžtas integralas. Sprendimo pavyzdžiai.

Kaip bebūtų keista, dabar mes užsiimsime ne tiek integralų paieška, kiek ... tiesinių lygčių sistemų sprendimu. Šiuo atžvilgiu stipriai Rekomenduoju apsilankyti pamokoje Būtent, jūs turite gerai išmanyti pakeitimo metodus ("mokyklos" metodą ir sistemų lygčių sudėties (atėmimo) metodą).

Kas yra trupmeninė racionali funkcija? Paprastais žodžiais tariant, trupmeninė-racionali funkcija yra trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai arba daugianario sandauga. Tuo pačiu metu trupmenos yra sudėtingesnės nei aptariamos straipsnyje. Kai kurių trupmenų integravimas.

Teisingos trupmeninės-racionalios funkcijos integravimas

Iškart pavyzdys ir tipinis trupmeninės racionalios funkcijos integralo sprendimo algoritmas.

1 pavyzdys

1 žingsnis. Pirmas dalykas, kurį VISADA darome spręsdami racionalios trupmeninės funkcijos integralą, yra užduoti šį klausimą: ar teisinga trupmena?Šis veiksmas atliekamas žodžiu, o dabar paaiškinsiu, kaip:

Pirmiausia pažiūrėkite į skaitiklį ir sužinokite vyresnysis laipsnis daugianario:

Didžiausia skaitiklio galia yra du.

Dabar pažiūrėkite į vardiklį ir sužinokite vyresnysis laipsnis vardiklis. Akivaizdus būdas yra atidaryti skliaustus ir pateikti panašius terminus, bet galite tai padaryti lengviau kiekviena skliausteliuose raskite aukščiausią laipsnį

ir mintyse padauginkite: - taigi, didžiausias vardiklio laipsnis lygus trims. Visiškai akivaizdu, kad jei tikrai atidarysime skliaustus, tada negausime laipsnio didesnio nei trys.

Išvada: didžiausia skaitiklio galia GRIEŽTAI mažesnė už didžiausią vardiklio laipsnį, tada trupmena yra teisinga.

Jei šiame pavyzdyje skaitiklyje yra daugianario 3, 4, 5 ir kt. laipsnis, tada trupmena būtų negerai.

Dabar nagrinėsime tik tinkamas trupmenines-racionalias funkcijas. Atvejį, kai skaitiklio laipsnis yra didesnis arba lygus vardiklio laipsniui, analizuosime pamokos pabaigoje.

2 žingsnis Išskaidykime vardiklį faktoriais. Pažvelkime į mūsų vardiklį:

Paprastai tariant, čia jau yra veiksnių produktas, bet vis dėlto klausiame savęs: ar įmanoma dar ką nors išplėsti? Žinoma, kankinimo objektas bus kvadratinis trinaris. Išsprendžiame kvadratinę lygtį:

Diskriminantas yra didesnis už nulį, o tai reiškia, kad trinaris iš tikrųjų yra koeficientas:

Bendra taisyklė: VISKĄ, ką vardiklyje GALIMA įskaityti – faktorizuokite

Pradėkime priimti sprendimą:

3 veiksmas Naudodamiesi neapibrėžtųjų koeficientų metodu, integrandą išplečiame į paprastųjų (elementariųjų) trupmenų sumą. Dabar bus aiškiau.

Pažvelkime į mūsų integrando funkciją:

Ir, žinote, kažkaip praslysta intuityvi mintis, kad būtų neblogai mūsų didelę dalį paversti keliomis mažomis. Pavyzdžiui, taip:

Kyla klausimas, ar tai apskritai įmanoma padaryti? Atsikvėpkime, atitinkama matematinės analizės teorema teigia – GALIMA. Toks skilimas egzistuoja ir yra unikalus.

Yra tik vienas laimikis, koeficientai mes Ate nežinome, iš čia ir pavadinimas – neapibrėžtųjų koeficientų metodas.

Jūs atspėjote, vėlesni gestai, todėl nesikuklina! bus nukreiptas į juos tiesiog MOKYTI – išsiaiškinti, kam jie prilygsta.

Būkite atsargūs, vieną kartą išsamiai paaiškinsiu!

Taigi, pradėkime šokti nuo:

Kairėje pusėje pateikiame išraišką į bendrą vardiklį:

Dabar saugiai atsikratome vardiklių (nes jie yra vienodi):

Kairėje pusėje atidarome skliaustus, kol dar neliečiame nežinomų koeficientų:

Tuo pačiu kartojame mokyklinę daugianario daugybos taisyklę. Kai buvau mokytojas, išmokau tiesiai šviesiai pasakyti šią taisyklę: Norėdami padauginti daugianarį iš daugianario, turite padauginti kiekvieną vieno daugianario narį iš kiekvieno kito daugianario.

Aiškaus paaiškinimo požiūriu geriau koeficientus dėti skliausteliuose (nors aš asmeniškai niekada to nedarau, kad sutaupyčiau laiko):

Sudarome tiesinių lygčių sistemą.
Pirmiausia ieškome vyresniųjų laipsnių:

Ir mes įrašome atitinkamus koeficientus pirmoje sistemos lygtyje:

Prisiminkite šį niuansą. Kas nutiktų, jei dešinės pusės iš viso nebūtų? Sakykite, ar jis tiesiog pasirodytų be jokio kvadrato? Šiuo atveju sistemos lygtyje dešinėje tektų dėti nulį: . Kodėl nulis? Ir todėl, kad dešinėje pusėje visada galite priskirti šį kvadratą su nuliu: Jei dešinėje nėra kintamųjų arba (ir) laisvo termino, tada atitinkamų sistemos lygčių dešinėse pusėse dedame nulius.

Atitinkamus koeficientus įrašome į antrąją sistemos lygtį:

Ir, galiausiai, mineralinis vanduo, renkame nemokamus narius.

Ech, aš juokavau. Anekdotus atmetus – matematika yra rimtas mokslas. Mūsų instituto grupėje niekas nesijuokė, kai docentė pasakė, kad išbarstys narius pagal skaičių eilutę ir išrinks didžiausią. Būkime rimti. Nors ... kas gyvena iki šios pamokos pabaigos, vis tiek tyliai šypsosis.

Sistema paruošta:

Mes išsprendžiame sistemą:

(1) Iš pirmosios lygties ją išreiškiame ir pakeičiame 2 ir 3 sistemos lygtimis. Tiesą sakant, buvo galima išreikšti (ar kitą raidę) iš kitos lygties, tačiau šiuo atveju naudinga ją išreikšti iš 1-osios lygties, nes ten mažiausias šansas.

(2) Panašius terminus pateikiame 2-oje ir 3-ioje lygtyse.

(3) 2-ąją ir 3-iąją lygtis pridedame po termino, gaudami lygybę , iš kurios išplaukia, kad

(4) Mes pakeičiame į antrąją (arba trečiąją) lygtį, iš kurios tai randame

(5) Mes pakeičiame ir į pirmąją lygtį, gauname .

Jei kyla problemų dėl sistemos sprendimo būdų, išsiaiškinkite juos klasėje. Kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą?

Išsprendus sistemą, visada pravartu pasitikrinti – pakeisti rastas reikšmes kiekviename sistemos lygtis, todėl viskas turėtų „susilieti“.

Beveik atvyko. Rasti koeficientai, tuo tarpu:

Švarus darbas turėtų atrodyti maždaug taip:

Kaip matote, pagrindinis užduoties sunkumas buvo sudaryti (teisingai!) ir išspręsti (teisingai!) tiesinių lygčių sistemą. Ir paskutiniame etape viskas nėra taip sunku: naudojame neapibrėžto integralo tiesiškumo savybes ir integruojame. Atkreipiu jūsų dėmesį į tai, kad po kiekvienu iš trijų integralų turime „laisvą“ kompleksinę funkciją, apie jos integravimo ypatybes kalbėjau pamokoje. Kintamojo keitimo metodas neapibrėžtame integrelyje.

Patikrinkite: išskirkite atsakymą:

Buvo gautas pradinis integralas, o tai reiškia, kad integralas buvo rastas teisingai.
Patikrinimo metu reikėjo suvesti išraišką į bendrą vardiklį, ir tai neatsitiktinai. Neapibrėžtų koeficientų metodas ir išraiškos suvedimas į bendrą vardiklį yra abipusiai atvirkštiniai veiksmai.

2 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Grįžkime prie pirmojo pavyzdžio trupmenos: . Nesunku pastebėti, kad vardiklyje visi veiksniai yra SKIRTINGI. Kyla klausimas, ką daryti, jei, pavyzdžiui, pateikiama tokia trupmena: ? Čia mes turime laipsnius vardiklyje arba, matematine prasme, keli veiksniai. Be to, yra neskaidomas kvadratinis trinaris (lengva patikrinti, ar lygties diskriminantas yra neigiamas, todėl trinaris jokiu būdu negali būti įskaičiuotas). Ką daryti? Išplėtimas į elementariųjų trupmenų sumą atrodys taip su nežinomais koeficientais viršuje ar kaip kitaip?

3 pavyzdys

Pateikite funkciją

1 žingsnis. Tikrinama, ar turime teisingą trupmeną
Didžiausia skaitiklio galia: 2
Didžiausias vardiklis: 8
, taigi trupmena teisinga.

2 žingsnis Ar galima ką nors įtraukti į vardiklį? Akivaizdu, kad ne, viskas jau išdėstyta. Kvadratinis trinaris neišsiplečia į gaminį dėl minėtų priežasčių. Gerai. Mažiau darbo.

3 veiksmas Pavaizduokime trupmeninę-racionaliąją funkciją kaip elementariųjų trupmenų sumą.
Šiuo atveju skaidymas turi tokią formą:

Pažvelkime į mūsų vardiklį:
Išskaidžius trupmeninę-racionaliąją funkciją į elementariųjų trupmenų sumą, galima išskirti tris pagrindinius dalykus:

1) Jei vardiklyje yra „vienišas“ pirmojo laipsnio koeficientas (mūsų atveju), tada viršuje (mūsų atveju) dedame neapibrėžtą koeficientą. Pavyzdžiai Nr. 1,2 susideda tik iš tokių „vienišių“ veiksnių.

2) Jei vardiklyje yra daugkartinis daugiklis, tada reikia išskaidyti taip:
- tai yra, nuosekliai rūšiuokite visus „x“ laipsnius nuo pirmojo iki n-ojo laipsnio. Mūsų pavyzdyje yra du keli veiksniai: ir , dar kartą pažvelkite į mano pateiktą skaidymą ir įsitikinkite, kad jie yra suskaidyti tiksliai pagal šią taisyklę.

3) Jei vardiklyje yra neskaidomas antrojo laipsnio polinomas (mūsų atveju ), tai plečiant skaitiklyje reikia parašyti tiesinę funkciją su neapibrėžtais koeficientais (mūsų atveju su neapibrėžtais koeficientais ir ).

Tiesą sakant, yra ir 4-asis atvejis, bet aš apie tai tylėsiu, nes praktiškai tai yra labai reta.

4 pavyzdys

Pateikite funkciją kaip elementariųjų trupmenų su nežinomais koeficientais suma.

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Griežtai laikykitės algoritmo!

Jei supratote principus, pagal kuriuos reikia išskaidyti trupmeninę-racionaliąją funkciją į sumą, galite nulaužti beveik bet kurį nagrinėjamo tipo integralą.

5 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

1 žingsnis. Akivaizdu, kad trupmena yra teisinga:

2 žingsnis Ar galima ką nors įtraukti į vardiklį? Gali. Čia yra kubelių suma . Vardiklio faktorinavimas naudojant sutrumpintą daugybos formulę

3 veiksmas Naudodamiesi neapibrėžtųjų koeficientų metodu, integrandą išplečiame į elementariųjų trupmenų sumą:

Atkreipkite dėmesį, kad daugianomas yra neskaidomas (patikrinkite, ar diskriminantas yra neigiamas), todėl viršuje dedame tiesinę funkciją su nežinomais koeficientais, o ne tik viena raide.

Sukeliame trupmeną į bendrą vardiklį:

Sukurkime ir išspręskime sistemą:

(1) Iš pirmosios lygties išreiškiame ir pakeičiame antrąją sistemos lygtį (tai yra racionaliausias būdas).

(2) Panašius terminus pateikiame antroje lygtyje.

(3) Antrąją ir trečiąją sistemos lygtis sudedame po terminą.

Visi tolesni skaičiavimai iš esmės yra žodiniai, nes sistema yra paprasta.

(1) Užrašome trupmenų sumą pagal rastus koeficientus .

(2) Mes naudojame neapibrėžto integralo tiesiškumo savybes. Kas atsitiko antrajame integrale? Šį metodą rasite paskutinėje pamokos pastraipoje. Kai kurių trupmenų integravimas.

(3) Dar kartą naudojame tiesiškumo savybes. Trečiajame integrale pradedame pasirinkti visą kvadratą (priešpaskutinę pamokos pastraipą Kai kurių trupmenų integravimas).

(4) Imame antrą integralą, trečiuoju pasirenkame visą kvadratą.

(5) Imame trečiąjį integralą. Paruošta.

Racionalioji funkcija yra formos trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis yra daugianariai arba daugianario sandauga.

1 pavyzdys 2 žingsnis

.

Neapibrėžtus koeficientus padauginame iš daugianarių, kurie nėra šioje atskiroje trupmenoje, bet yra kitose gautose trupmenose:

Atidarome skliaustus ir gauto pradinio integrando skaitiklį prilyginame gautai išraiškai:

Abiejose lygybės dalyse ieškome terminų su vienodomis x galiomis ir iš jų sudarome lygčių sistemą:

.

Atšaukiame visus x ir gauname lygiavertę lygčių sistemą:

.

Taigi galutinis integrando išplėtimas į paprastųjų trupmenų sumą:

.

2 pavyzdys 2 žingsnis 1 veiksme gavome tokį pradinės trupmenos išplėtimą į paprastų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais skaitikliuose sumą:

.

Dabar pradedame ieškoti neapibrėžtų koeficientų. Norėdami tai padaryti, funkcijos išraiškos pradinės trupmenos skaitiklį prilyginame išraiškos skaitikliui, gautam sumažinus trupmenų sumą iki bendro vardiklio:

Dabar reikia sukurti ir išspręsti lygčių sistemą. Norėdami tai padaryti, kintamojo koeficientus atitinkamam laipsniui prilyginame funkcijos pradinės išraiškos skaitiklyje ir panašius koeficientus išraiškoje, gautoje ankstesniame žingsnyje:

Mes išsprendžiame gautą sistemą:

Taigi, iš čia

.

3 pavyzdys 2 žingsnis 1 veiksme gavome tokį pradinės trupmenos išplėtimą į paprastų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais skaitikliuose sumą:

Pradedame ieškoti neapibrėžtų koeficientų. Norėdami tai padaryti, funkcijos išraiškos pradinės trupmenos skaitiklį prilyginame išraiškos skaitikliui, gautam sumažinus trupmenų sumą iki bendro vardiklio:

Kaip ir ankstesniuose pavyzdžiuose, sudarome lygčių sistemą:

Sumažiname x ir gauname lygiavertę lygčių sistemą:

Išspręsdami sistemą, gauname šias neapibrėžtų koeficientų reikšmes:

Galutinį integrando išplėtimą gauname į paprastųjų trupmenų sumą:

.

4 pavyzdys 2 žingsnis 1 veiksme gavome tokį pradinės trupmenos išplėtimą į paprastų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais skaitikliuose sumą:

.

Kaip sulyginti pradinės trupmenos skaitiklį su išraiška skaitiklyje, gauta išskaidžius trupmeną į paprastųjų trupmenų sumą ir šią sumą sumažinus iki bendro vardiklio, jau žinome iš ankstesnių pavyzdžių. Todėl tik kontrolei pateikiame gautą lygčių sistemą:

Išspręsdami sistemą, gauname šias neapibrėžtų koeficientų reikšmes:

Galutinį integrando išplėtimą gauname į paprastųjų trupmenų sumą:

5 pavyzdys 2 žingsnis 1 veiksme gavome tokį pradinės trupmenos išplėtimą į paprastų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais skaitikliuose sumą:

.

Šią sumą nepriklausomai suvedame į bendrą vardiklį, šios išraiškos skaitiklį prilyginame pradinės trupmenos skaitikliui. Rezultatas turėtų būti tokia lygčių sistema:

Išspręsdami sistemą, gauname šias neapibrėžtų koeficientų reikšmes:

.

Galutinį integrando išplėtimą gauname į paprastųjų trupmenų sumą:

.

6 pavyzdys 2 žingsnis 1 veiksme gavome tokį pradinės trupmenos išplėtimą į paprastų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais skaitikliuose sumą:

Su šia suma atliekame tuos pačius veiksmus, kaip ir ankstesniuose pavyzdžiuose. Rezultatas turėtų būti tokia lygčių sistema:

Išspręsdami sistemą, gauname šias neapibrėžtų koeficientų reikšmes:

.

Galutinį integrando išplėtimą gauname į paprastųjų trupmenų sumą:

.

7 pavyzdys 2 žingsnis 1 veiksme gavome tokį pradinės trupmenos išplėtimą į paprastų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais skaitikliuose sumą:

.

Atlikus žinomus veiksmus su gauta suma, reikia gauti tokią lygčių sistemą:

Išspręsdami sistemą, gauname šias neapibrėžtų koeficientų reikšmes:

Galutinį integrando išplėtimą gauname į paprastųjų trupmenų sumą:

.

8 pavyzdys 2 žingsnis 1 veiksme gavome tokį pradinės trupmenos išplėtimą į paprastų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais skaitikliuose sumą:

.

Pakeiskime jau automatizuotus veiksmus, kad gautume lygčių sistemą. Yra dirbtinis triukas, kuris kai kuriais atvejais padeda išvengti nereikalingų skaičiavimų. Suvedę trupmenų sumą į bendrą vardiklį, gauname ir prilyginę šios išraiškos skaitiklį pradinės trupmenos skaitikliui, gauname.

Racionaliųjų funkcijų integravimas Trupmeninė - racionalioji funkcija Paprasčiausios racionalios trupmenos Racionaliosios trupmenos skaidymas į paprasčiausias trupmenas Paprasčiausių trupmenų integravimas Bendroji racionaliųjų trupmenų integravimo taisyklė

n laipsnio daugianario. Trupmeninė – racionalioji funkcija Trupmeninė – racionalioji funkcija yra funkcija, lygi dviejų daugianarių santykiui: Racionalioji trupmena vadinama tinkama, jei skaitiklio laipsnis mažesnis už vardiklio laipsnį, tai yra m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Trupmena – racionali funkcija Paverskite netinkamą trupmeną į teisingą formą: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Paprasčiausios racionalios trupmenos Taisyklingosios formos trupmenos: Jos vadinamos paprasčiausiomis racionaliosiomis tipų trupmenomis. axA); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Racionaliosios trupmenos išskaidymas į paprastas trupmenas Teorema: Bet kuri tinkama racionalioji trupmena, kurios vardiklis faktorizuotas: gali būti pavaizduota unikaliai kaip paprastųjų trupmenų suma: s k qxpxxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx. M)(

Racionaliosios trupmenos išskaidymas į paprastas trupmenas Paaiškinkime teoremos formulavimą šiais pavyzdžiais: Neapibrėžtiems koeficientams A, B, C, D ... rasti naudojami du metodai: koeficientų palyginimo metodas ir dalinio metodas. kintamojo reikšmės. Pažvelkime į pirmąjį metodą su pavyzdžiu. 3 2) 3) (2 (4 x x 2 x A 3 3 2 21) 3 () 3 (3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11) 1 (1 x x Nx. M) 1 (3 22) 3 xx x 2 21 x A 22 2)1) (4 (987 xxx xx 4 x)

Racionaliosios trupmenos išskaidymas į paprastas trupmenas Pavaizduoti trupmeną kaip paprastųjų trupmenų sumą: Sumažinti paprasčiausias trupmenas iki bendro vardiklio Sulyginti gautų ir pradinių trupmenų skaitiklius Sulyginti koeficientus esant tokioms pačioms x laipsnėms)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52) (1()1) () 52 (2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax. 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Paprasčiausių trupmenų integravimas Raskime paprasčiausių racionaliųjų trupmenų integralus: Panagrinėkime 3 tipo trupmenų integravimą naudodami pavyzdį. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Paprastų trupmenų integravimas dx xx x 102 13 2 dx xx x 9) 12 (13 2 dx x x 9) 1 (13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1) 1 (3 2 dt t t 9 232 2t 9 23 2 t 9 2 3 2 2 td 33 2 t arctg.C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

Paprastųjų trupmenų integravimas Šio tipo integralas pakeitimo būdu: sumažinamas iki dviejų integralų sumos: Pirmasis integralas apskaičiuojamas įvedant t po diferencialo ženklu. Antrasis integralas apskaičiuojamas naudojant rekursinę formulę: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Paprastųjų trupmenų integravimas a = 1; k = 3 323) 1 (t dt tartg t dt 1 21) 1) (12 (2222 322 1 21 222 t t t dt) 1 (22 1 2 t t t t t 2223) 1) (13 (2232 t 2 t c 3 g t ) (4)1(

Bendroji racionaliųjų trupmenų integravimo taisyklė Jei trupmena neteisinga, pavaizduokite ją kaip daugianario ir tinkamos trupmenos sumą. Išskaidę tinkamos racionalios trupmenos vardiklį į veiksnius, pavaizduokite jį kaip paprastų trupmenų su neapibrėžtais koeficientais sumą. Raskite neapibrėžtuosius koeficientus palygindami koeficientus arba kintamojo dalinių reikšmių metodu. Integruokite daugianarį ir gautą paprastųjų trupmenų sumą.

Pavyzdys Perkelkime trupmeną į teisingą formą. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx 23 35 2 442 xxx 23 35 2 442 xxx 23 35 2 442 xxx 23 35 2 442 x 2 5

Pavyzdys Tinkamos trupmenos vardiklio faktorinavimas Trupmenos vaizdavimas paprastųjų trupmenų suma Neapibrėžtų koeficientų radimas naudojant kintamojo xxx xx dalinių reikšmių metodą 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2)1(1) x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2) 1 (3 1 124 xxx

Pavyzdys dx xx 2 2) 1 (3 1 124 52 2 2) 1 (3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

2., 5.
,

3.
, 6.
.

Integraluose 1-3 as u priimti . Tada po n-karto taikant formulę (19), gauname vieną iš lentelės integralų

,
,
.

4-6 integraluose diferencijuojant transcendentinis veiksnys supaprastinamas
,
arba
, kuris turėtų būti laikomas u.

Apskaičiuokite šiuos integralus.

7 pavyzdys

8 pavyzdys

Integralų redukavimas į save

Jei integrandas
atrodo kaip:

,
,
ir tt

tada po dvigubo integravimo dalimis gauname išraišką, kurioje yra pradinis integralas :

,

kur
yra tam tikra konstanta.

Išspręsdami gautą lygtį atžvilgiu , gauname pradinio integralo apskaičiavimo formulę:

.

Šis integravimo dalimis metodo taikymo atvejis vadinamas " atnešdamas integralą į save».

9 pavyzdys Apskaičiuokite integralą
.

Dešinėje pusėje yra originalus integralas . Perkeldami jį į kairę pusę, gauname:

.

10 pavyzdys Apskaičiuokite integralą
.

4.5. Paprasčiausių tinkamų racionaliųjų trupmenų integravimas

Apibrėžimas.Paprasčiausios tinkamos trupmenos aš , II ir III tipai vadinamos šios trupmenos:

aš. ;

II.
; (
yra teigiamas sveikasis skaičius);

III.
; (vardiklio šaknys yra sudėtingos, tai yra:
.

Apsvarstykite paprastųjų trupmenų integralus.

aš.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Trupmenos skaitiklį transformuojame taip, kad skaitiklyje būtų išskirtas terminas
lygus vardiklio išvestinei.

Apsvarstykite pirmąjį iš dviejų gautų integralų ir pakeiskite jį:

Antrajame integrale vardiklį papildome iki viso kvadrato:

Galiausiai trečiojo tipo trupmenos integralas yra lygus:

=
+
. (22)

Taigi I tipo paprasčiausių trupmenų integralas išreiškiamas logaritmais, II tipo – racionaliosiomis funkcijomis, III tipo – logaritmais ir arktangentais.

4.6 Dalinių ir racionalių funkcijų integravimas

Viena iš funkcijų klasių, turinčių integralą, išreikštą elementariomis funkcijomis, yra algebrinių racionaliųjų funkcijų klasė, ty funkcijos, atsirandančios iš baigtinio skaičiaus algebrinių operacijų su argumentu.

Kiekviena racionali funkcija
gali būti pavaizduotas kaip dviejų daugianario santykis
ir
:

. (23)

Darysime prielaidą, kad daugianariai neturi bendrų šaknų.

Formos (23) trupmena vadinama teisinga, jei skaitiklio laipsnis yra mažesnis už vardiklio laipsnį, tai yra, m< n. Kitaip - negerai.

Jei trupmena neteisinga, tada, padalijant skaitiklį iš vardiklio (pagal daugianario dalybos taisyklę), trupmeną pavaizduojame kaip daugianario ir tinkamos trupmenos sumą:

, (24)

kur
- daugianaris, yra tinkama trupmena ir daugianario laipsnis
- nėra aukštojo mokslo laipsnio ( n-1).

Pavyzdys.

Kadangi daugianario integravimas sumažinamas iki laipsnio funkcijos lentelių integralų sumos, pagrindinis sunkumas integruojant racionaliąsias trupmenas yra tinkamų racionaliųjų trupmenų integravimas.

Algebra įrodo, kad kiekviena tinkama trupmena suyra į aukščiau nurodytų dalykų sumą pirmuonys trupmenos, kurių forma nustatoma pagal vardiklio šaknis
.

Panagrinėkime tris ypatingus atvejus. Čia ir toliau manysime, kad koeficientas aukščiausiu vardiklio laipsniu
lygus vienam =1, tai yraredukuotas daugianario .

1 atvejis Vardiklio šaknys, tai yra šaknys
lygtys
=0 yra tikri ir skirtingi. Tada vardiklį pavaizduojame kaip tiesinių veiksnių sandaugą:

ir tinkama frakcija suskaidoma į paprasčiausias I tipo trupmenas:

, (26)

kur
yra keletas pastovių skaičių, kurie randami neapibrėžtųjų koeficientų metodu.

Tam jums reikia:

1. Sumažinkite dešinę išplėtimo pusę (26) iki bendro vardiklio.

2. Kairiosios ir dešiniosios dalių skaitiklyje esančius vienodų daugianario koeficientus sulyginkite. Gauname tiesinių lygčių sistemą, skirtą nustatyti
.

3. Išspręskite gautą sistemą ir raskite neapibrėžtuosius koeficientus
.

Tada trupmeninės-racionalios funkcijos integralas (26) bus lygus paprasčiausių I tipo trupmenų integralų sumai, apskaičiuotai pagal (20) formulę.

Pavyzdys. Apskaičiuokite integralą
.

Sprendimas. Išskaidykime vardiklį naudodami Vietos teoremą:

Tada integrandas išplečiamas į paprastųjų trupmenų sumą:

.

X:

Parašykime trijų lygčių sistemą, skirtą rasti
X kairėje ir dešinėje pusėse:

.

Nurodykime paprastesnį neapibrėžtų koeficientų nustatymo metodą, vadinamą dalinės vertės metodas.

Darant prielaidą lygybėje (27)
mes gauname
, kur
. Darant prielaidą
mes gauname
. Galiausiai, darant prielaidą
mes gauname
.

.

2 atvejis vardiklio šaknis
yra tikros, tačiau tarp jų yra kelios (lygios) šaknys. Tada vardiklį pavaizduojame kaip tiesinių veiksnių, įtrauktų į sandaugą, sandaugą tiek, kiek atitinkamos šaknies dauginys yra:

kur
.

Tinkama trupmena bus plečiama I ir II tipų trupmenų suma. Tegu pvz. - daugybos vardiklio šaknis k ir visa kita ( n- k) šaknų skiriasi.

Tada skilimas atrodys taip:

Panašiai, jei yra ir kitų kelių šaknų. Jei šaknys nėra kelios, išplėtimas (28) apima paprasčiausias pirmojo tipo frakcijas.

Pavyzdys. Apskaičiuokite integralą
.

Sprendimas. Pavaizduokime trupmeną kaip paprastų pirmosios ir antrosios rūšies trupmenų su neapibrėžtais koeficientais sumą:

.

Dešinę pusę pritraukiame prie bendro vardiklio ir prilyginame polinomus kairiosios ir dešiniosios pusės skaitikliuose:

Dešinėje pusėje pateikiame panašius su tais pačiais laipsniais X:

Užrašykime keturių lygčių sistemą, skirtą rasti
ir . Norėdami tai padaryti, sulyginame koeficientus esant toms pačioms galioms X kairėje ir dešinėje pusėje

.

3 atvejis Tarp vardiklio šaknų
turi sudėtingas vienkartines šaknis. Tai yra, vardiklio išplėtimas apima antrojo laipsnio veiksnius
, kurių negalima išskaidyti į tikrus tiesinius veiksnius ir jie nesikartoja.

Tada, plečiant frakciją, kiekvienas toks koeficientas atitiks paprasčiausią III tipo frakciją. Tiesiniai koeficientai atitinka paprasčiausias I ir II tipų trupmenas.

Pavyzdys. Apskaičiuokite integralą
.

Sprendimas.
.

.

.