Kjo metodë bazohet në formulën e mëposhtme: (*)

Le dhe janë funksione të x që kanë derivate të vazhdueshme dhe .

Dihet se ose ; ose .

Integrale dhe , pasi sipas supozimit funksionet u dhe v janë të diferencueshëm dhe si rrjedhim të vazhdueshëm.

Formula (*) quhet formula e integrimit sipas pjesëve.

Metoda e bazuar në aplikimin e saj quhet metoda e integrimit sipas pjesëve.

Ai redukton llogaritjen në llogaritjen e një integrali tjetër: .

Zbatimi i metodës së integrimit sipas pjesëve konsiston në faktin se nën shprehjen integrale të një integrali të caktuar ata përpiqen të përfaqësojnë në formën e një produkti, ku dhe janë disa funksione të x, dhe këto funksione janë zgjedhur në mënyrë që ishte më e lehtë për t'u llogaritur sesa integrali origjinal. Kur të llogaritet gjetur më parë dhe .

(si "v" marrim një nga antiderivativët origjinalë të gjetur nga dv, prandaj, në të ardhmen, kur llogaritim "v", do të heqim konstantën C në shënim).

Koment. Kur faktorizoni nën shprehjen integrale, duhet kuptuar se çfarë dhe duhet të përmbajë.

Fatkeqësisht, është e pamundur të jepen rregulla të përgjithshme për faktorizimin e shprehjes integrale në faktorët "u" dhe "dv". Kjo mund të mësohet me praktikë të madhe dhe të menduar.

Me gjithë këtë, duhet pasur parasysh se ishte më i thjeshtë se integrali origjinal.

Shembulli 6.6.22.

Ndonjëherë, për të marrë rezultatin përfundimtar, rregulli i integrimit sipas pjesëve zbatohet me radhë disa herë.

Metoda e integrimit sipas pjesëve është e përshtatshme për t'u përdorur, natyrisht, jo çdo herë, dhe aftësia për ta përdorur varet nga përvoja.

Gjatë llogaritjes së integraleve, është e rëndësishme të përcaktohet saktë se cila metodë e integrimit duhet të përdoret (si në shembullin e mëparshëm, zëvendësimi trigonometrik çon në qëllimin më shpejt).

Konsideroni integralet më të zakonshme që llogariten me integrim sipas pjesëve.

1.Integrale të formës :

ku është një polinom numër i plotë (në lidhje me x); a është një numër konstant.

Nëse produkti i një funksioni trigonometrik ose eksponencial është një algjebrik nën shenjën integrale, atëherë funksioni algjebrik zakonisht merret për "u".

Shembulli 6.6.23.

Vini re se një ndarje tjetër në faktorë: nuk çon te qëllimi.

E vërtetuar
.

Ne marrim një integral më kompleks.

2.Integrale të formës :

ku është një polinom.

Nëse shenja integrale është produkt i logaritmit të një funksioni ose i një funksioni trigonometrik të anasjelltë nga një algjebrik, atëherë funksionet duhet të merren si "u".

Shembulli 6.6.23.

3.Integrale të formës:

Këtu mund të përdorni cilindo nga 2 ndarjet e mundshme të shprehjes integrale në faktorë: për "u" mund të merrni të dyja dhe .

Për më tepër, llogaritja e integraleve të tillë duke përdorur metodën e integrimit sipas pjesëve çon në integralin origjinal, domethënë, merret një ekuacion në lidhje me integralin e dëshiruar.

Shembulli 6.6.24 Llogarit .

.

Gjatë integrimit, shpesh është e nevojshme të zbatohet në mënyrë të njëpasnjëshme metoda e zëvendësimit dhe metoda e integrimit sipas pjesëve.

Shembulli 6.6.25.

Integrimi i disa funksioneve që përmbajnë një trinom katror

1)

.

dhe këto janë integrale tabelare.

2) koeficientët e numrave realë

në numërues zgjedhim derivatin e emëruesit.

a,b,c janë numra realë

a) ; atëherë kemi:

b) . Në këtë rast, ka kuptim të merret parasysh vetëm kur diskriminuesi trinom pozitive:

Tani kemi:

Koment. Në praktikë, ata zakonisht nuk përdorin rezultate të gatshme, por preferojnë të kryejnë përsëri llogaritje të ngjashme çdo herë.

Shembull.

4)

Ne e transformojmë numëruesin në mënyrë që prej tij të nxirret derivati ​​i trinomit katror:

Për shkak të faktit se në praktikë nuk ekziston një metodë e përgjithshme e përshtatshme për llogaritjen e integraleve të pacaktuar, së bashku me metoda të veçanta të integrimit (shih leksionin e mëparshëm), ne gjithashtu duhet të marrim parasysh metodat për integrimin e disa klasave të veçanta të funksioneve, integralet e të cilave janë haset shpesh në praktikë.

Klasa më e rëndësishme midis tyre është klasa e funksioneve racionale.

"Integrimi i funksioneve thyesore-racionale"

Integrimi i një thyese racionale të duhur bazohet në zgjerimin e një thyese racionale në një shumë të thyesave elementare.

Thyesat elementare (të thjeshta) dhe integrimi i tyre.

Përkufizimi. Thyesat e formës: ; (1)

(2), ku

(d.m.th., rrënjët e trinomit janë komplekse), quhen elementare.

Merrni parasysh integrimin e thyesave elementare

2)

(ku le ).

Ne llogarisim integralin

(*)

Integrali i fundit llogaritet duke përdorur një formulë rekursive.

Ndonjëherë integrimi sipas pjesëve ju lejon të merrni lidhjen midis një integrali të pacaktuar që përmban shkallën e një funksioni dhe një integrali të ngjashëm, por me një eksponent më të vogël të të njëjtit funksion. Marrëdhënie të tilla quhen formula rekursive.

Shënoni me .

Ne kemi:

Në integralin e fundit vendosim:

Kjo është arsyeja pse

ku

Kështu, kemi ardhur në një formulë rekursive: aplikimi i përsëritur i së cilës përfundimisht çon në integralin "tabelë":

Pastaj në vend të "t" dhe "k" ne zëvendësojmë vlerat e tyre.

Shembulli 6.6.26.

(sipas formulës së përsëritjes).=

.

Një thyesë racionale është një funksion i përfaqësuar në formë ; ku dhe janë polinome me koeficientë realë.

Një thyesë racionale quhet e duhur nëse shkalla e numëruesit është më e vogël se shkalla e emëruesit.

Çdo thyesë e duhur racionale mund të përfaqësohet si shuma e një numri të kufizuar thyesash elementare.

Zbërthimi i një thyese të duhur në ato elementare përcaktohet nga teorema e mëposhtme, të cilën e konsiderojmë pa prova.

Teorema . Nëse thyesa - e saktë dhe, (ku trinomi nuk ka rrënjë reale), atëherë identiteti është i vërtetë:

(Unë)

Vini re se çdo rrënjë reale, për shembull a, e shumëfishimit " " të polinomit në këtë zgjerim korrespondon me shumën e fraksioneve elementare të formës (1) dhe me çdo çift rrënjësh komplekse të konjuguara dhe (të tilla) të shumëzisë ". " - shuma e thyesave elementare të formës (2).

Për të kryer zgjerimin (I), duhet të mësoni se si të përcaktoni koeficientët .

Ka mënyra të ndryshme për t'i gjetur ato. Do të shqyrtojmë metodën e koeficientëve të papërcaktuar dhe metodën e vlerave të pjesshme.

Është paraqitur një metodë për integrimin e një integrali të pacaktuar sipas pjesëve. Janë dhënë shembuj të integraleve të llogaritur me këtë metodë. Janë analizuar shembuj të zgjidhjeve.

përmbajtja

Shiko gjithashtu: Metodat për llogaritjen e integraleve të pacaktuara
Tabela e integraleve të pacaktuar
Funksionet themelore elementare dhe vetitë e tyre

Formula për integrimin sipas pjesëve është:
.

Metoda e integrimit sipas pjesëve konsiston në zbatimin e kësaj formule. Në zbatim praktik, vlen të theksohet se u dhe v janë funksione të ndryshores së integrimit. Lëreni variablin e integrimit të shënohet si x (simbol pas shenjës diferenciale d në fund të shënimit integral). Atëherë u dhe v janë funksione të x : u(x) dhe v(x) .
Pastaj
, .
Dhe formula e integrimit sipas pjesëve merr formën:
.

Kjo do të thotë, integrandi duhet të përbëhet nga produkti i dy funksioneve:
,
njërën prej të cilave e shënojmë si u: g(x) \u003d u, dhe integrali duhet të llogaritet për tjetrin (më saktë, duhet të gjendet antiderivati):
, atëherë dv = f(x) dx .

Në disa raste f(x) = 1 . Domethënë në integral
,
mund të vendosim g(x) = u, x = v.

Përmbledhje

Pra, në këtë metodë, formula e integrimit sipas pjesëve duhet të mbahet mend dhe të zbatohet në dy forma:
;
.

Integrale të llogaritura me integrim sipas pjesëve

Integrale që përmbajnë funksione logaritme dhe inverse trigonometrike (hiperbolike).

Integralet që përmbajnë logaritmin dhe funksionet e anasjellta trigonometrike ose hiperbolike shpesh integrohen nga pjesë. Në këtë rast, pjesa që përmban logaritmin ose funksionet e anasjellta trigonometrike (hiperbolike) shënohet me u, pjesa e mbetur - me dv.

Këtu janë shembuj të integraleve të tillë, të cilët llogariten me metodën e integrimit sipas pjesëve:
, , , , , , .

Integrale që përmbajnë produktin e një polinomi dhe sin x, cos x ose e x

Sipas formulës për integrimin e pjesëve, gjenden integrale të formës:
, , ,
ku P(x) është një polinom në x. Në integrim, polinomi P(x) shënohet me u , dhe e ax dx, cos sëpatë dx ose mëkat sëpatë dx- nëpërmjet dv.

Këtu janë shembuj të integraleve të tillë:
, , .

Shembuj të llogaritjes së integraleve me metodën e integrimit sipas pjesëve

Shembuj të integraleve që përmbajnë funksione logaritmesh dhe trigonometrike të anasjellta

Shembull

Llogarit integralin:

Zgjidhje e detajuar

Këtu integrandi përmban logaritmin. Bërja e zëvendësimeve
u= në x,
dv=x 2dx.
Pastaj
,
.

Ne llogarisim integralin e mbetur:
.
Pastaj
.
Në fund të llogaritjeve, është e domosdoshme të shtohet konstantja C, pasi integrali i pacaktuar është bashkësia e të gjithë antiderivativëve. Mund të shtohet edhe në llogaritjet e ndërmjetme, por kjo vetëm do të rrëmbejë llogaritjet.

Zgjidhje më e shkurtër

Zgjidhja është e mundur të paraqitet në një version më të shkurtër. Për ta bërë këtë, nuk keni nevojë të bëni zëvendësime me u dhe v, por mund të gruponi faktorët dhe të aplikoni formulën e integrimit sipas pjesëve në formën e dytë.

.

Shembuj të tjerë

Shembuj të integraleve që përmbajnë produktin e një polinomi dhe sin x, cos x ose ex

Shembull

Llogarit integralin:
.

Ne prezantojmë eksponentin nën shenjën diferenciale:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

Ne integrojmë me pjesë.
.
Ne përdorim gjithashtu metodën e integrimit me pjesë.
.
.
.
Më në fund kemi.

Nuk mund të llogarisim gjithmonë funksionet antiderivative, por problemi i diferencimit mund të zgjidhet për çdo funksion. Kjo është arsyeja pse nuk ka asnjë metodë të vetme integrimi që mund të përdoret për çdo lloj llogaritjeje.

Në kuadrin e këtij materiali, ne do të analizojmë shembuj të zgjidhjes së problemeve që lidhen me gjetjen e një integrali të pacaktuar dhe do të shohim se për cilat lloje të integrantëve është e përshtatshme secila metodë.

Metoda e integrimit të drejtpërdrejtë

Metoda kryesore për llogaritjen e funksionit antiderivativ është integrimi i drejtpërdrejtë. Ky veprim bazohet në vetitë e integralit të pacaktuar dhe për llogaritjet na nevojitet një tabelë e antiderivativëve. Metoda të tjera mund të ndihmojnë vetëm sjelljen e integralit origjinal në një formë tabelare.

Shembulli 1

Njehsoni bashkësinë e antiderivativëve të funksionit f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 .

Zgjidhje

Së pari, le ta ndryshojmë formën e funksionit në f (x) = 2 x + 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 .

Ne e dimë se integrali i shumës së funksioneve do të jetë i barabartë me shumën e këtyre integraleve, që do të thotë:

∫ f (x) d x = ∫ 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 5 x + 4 1 3 d x

Ne nxjerrim një koeficient numerik përtej shenjës integrale:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 ∫ (5 x + 4) 1 3 d x

Për të gjetur integralin e parë, do të duhet t'i referohemi tabelës së antiderivativëve. Ne marrim prej tij vlerën ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1

Për të gjetur integralin e dytë, na duhet një tabelë e antiderivativëve për funksionin e fuqisë ∫ x p d x = x p + 1 p + 1 + C , si dhe rregulli ∫ f k x + b d x = 1 k F (k x + b) + C .

Prandaj, ∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x log 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Ne morëm sa vijon:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x log 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

ku C = C 1 + 3 2 C 2

Përgjigje:∫ f (x) d x = 2 x log 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Ne i kushtuam një artikull të veçantë integrimit të drejtpërdrejtë duke përdorur tabelat e antiderivativëve. Ne ju rekomandojmë që t'i hidhni një sy.

Metoda e Zëvendësimit

Një metodë e tillë integrimi konsiston në shprehjen e integrandit në terma të një ndryshoreje të re të prezantuar posaçërisht për këtë qëllim. Si rezultat, ne duhet të marrim një formë tabelare të integralit ose thjesht një integral më pak kompleks.

Kjo metodë është shumë e dobishme kur ju duhet të integroni funksione me radikale ose funksione trigonometrike.

Shembulli 2

Njehsoni integralin e pacaktuar ∫ 1 x 2 x - 9 d x.

Zgjidhje

Le të shtojmë edhe një variabël z = 2 x - 9 . Tani duhet të shprehim x në terma z:

z 2 \u003d 2 x - 9 ⇒ x \u003d z 2 + 9 2 ⇒ d x \u003d d z 2 + 9 2 \u003d z 2 + 9 2 "d z \u003d 1 2 z d z \u003d zd

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9

Marrim tabelën e antiderivativëve dhe zbulojmë se 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .

Tani duhet të kthehemi te ndryshorja x dhe të marrim përgjigjen:

2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C

Përgjigje:∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Nëse duhet të integrojmë funksione me një irracionalitet të formës x m (a + b x n) p, ku vlerat m, n, p janë numra racionalë, atëherë është e rëndësishme të formulojmë saktë një shprehje për futjen e një ndryshoreje të re. Lexoni më shumë për këtë në artikullin mbi integrimin e funksioneve irracionale.

Siç thamë më lart, metoda e zëvendësimit është e përshtatshme për t'u përdorur kur dëshironi të integroni një funksion trigonometrik. Për shembull, duke përdorur një zëvendësim universal, mund të sillni një shprehje në një formë racionale të pjesshme.

Kjo metodë shpjegon rregullin e integrimit ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C .

Shtojmë edhe një ndryshore z = k · x + b . Ne marrim sa vijon:

x = z k - b k ⇒ d x = d z k - b k = z k - b k "d z = d z k

Tani marrim shprehjet që rezultojnë dhe i shtojmë ato në integralin e dhënë në kusht:

∫ f (k x + b) d x = ∫ f (z) d z k = 1 k ∫ f (z) d z = = 1 k F z + C 1 = F (z) k + C 1 k

Nëse marrim C 1 k = C dhe kthehemi në ndryshoren origjinale x , atëherë marrim:

F (z) k + C 1 k = 1 k F k x + b + C

Metoda e përmbledhjes nën shenjën e diferencialit

Kjo metodë bazohet në shndërrimin e integrandit në funksion të formës f (g (x)) d (g (x)) . Pas kësaj, ne kryejmë një zëvendësim, duke futur një ndryshore të re z = g (x), gjejmë antiderivativin e saj dhe kthehemi në variablin origjinal.

∫ f(g(x)) d(g(x)) = g(x) = z = ∫ f(z) d(z) == F(z) + C = z = g(x) = F( g(x)) + C

Për të zgjidhur problemet më shpejt duke përdorur këtë metodë, mbani në dispozicion një tabelë të derivateve në formën e diferencialeve dhe një tabelë antiderivativësh për të gjetur shprehjen në të cilën do të reduktohet integrandi.

Le të analizojmë problemin në të cilin është e nevojshme të llogaritet grupi i antiderivativëve të funksionit kotangjent.

Shembulli 3

Njehsoni integralin e pacaktuar ∫ c t g x d x.

Zgjidhje

Shprehjen origjinale e transformojmë nën integral duke përdorur formulat bazë trigonometrike.

c t g x d x = cos s d x sin x

Ne shikojmë tabelën e derivateve dhe shohim se numëruesi mund të sillet nën shenjën e diferencialit cos x d x = d (sin x), që do të thotë:

c t g x d x \u003d cos x d x mëkat x \u003d d mëkat x mëkat x, d.m.th. ∫ c t g x d x = ∫ d mëkat x sin x.

Supozojmë se sin x = z, me ç'rast ∫ d sin x sin x = ∫ d z z. Sipas tabelës së antiderivativëve, ∫ d z z = ln z + C . Tani kthehemi te ndryshorja origjinale ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C .

E gjithë zgjidhja mund të shkruhet në formë të shkurtër si më poshtë:

∫ c t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s i n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = mëkat x = ln mëkat x + C

Përgjigje: ∫ me t g x d x = ln sin x + C

Metoda e shenjave diferenciale përdoret shumë shpesh në praktikë, kështu që ne ju këshillojmë të lexoni një artikull të veçantë kushtuar asaj.

Mënyra e integrimit sipas pjesëve

Kjo metodë bazohet në shndërrimin e integrandit në një produkt të formës f (x) d x = u (x) v "x d x = u (x) d (v (x)) , pas së cilës formula ∫ u (x) d ( v (x)) \u003d u (x) v (x) - ∫ v (x) d u (x) Kjo është një metodë shumë e përshtatshme dhe e zakonshme zgjidhjeje. Ndonjëherë integrimi i pjesshëm në një problem duhet të zbatohet disa herë përpara se të merret rezultatin e dëshiruar.

Le të analizojmë problemin në të cilin është e nevojshme të llogaritet grupi i antiderivativëve të tangjentës së harkut.

Shembulli 4

Njehsoni integralin e pacaktuar ∫ a r c t g (2 x) d x .

Zgjidhje

Le të themi se u (x) = a r c t g (2 x) , d (v (x)) = d x, në këtë rast:

d (u (x)) = u "(x) d x = a r c t g (2 x) " d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x

Kur llogarisim vlerën e funksionit v (x), nuk duhet të shtojmë një konstante arbitrare C.

∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2

Integrali që rezulton llogaritet duke përdorur metodën e përmbledhjes nën shenjën diferenciale.

Meqenëse ∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2, atëherë 2 x d x = 1 4 ditë (1 + 4 x 2) .

∫ a r c t g (2 x) d x = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 = = x a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x a r c t g (2 x) - 1 4 log 1 + 4 x 2 + C

Përgjigje:∫ a r c t g (2 x) d x = x a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .

Vështirësia kryesore në zbatimin e një metode të tillë është nevoja për të zgjedhur se cila pjesë të merret për diferencialin dhe cila pjesë për funksionin u (x). Në artikullin për mënyrën e integrimit sipas pjesëve, jepen disa këshilla për këtë çështje, të cilat duhet t'i lexoni.

Nëse na duhet të gjejmë grupin e antiderivativëve të një funksioni racional thyesor, atëherë së pari duhet të paraqesim integrandin si një shumë të thyesave të thjeshta dhe më pas të integrojmë thyesat që rezultojnë. Shihni artikullin mbi integrimin e thyesave të thjeshta për më shumë detaje.

Nëse integrojmë një shprehje fuqie të formës sin 7 x d x ose d x (x 2 + a 2) 8, atëherë formula rekursive që mund të ulin gradualisht shkallën do të jenë të dobishme për ne. Ato rrjedhin duke përdorur integrime të shumëfishta të njëpasnjëshme sipas pjesëve. Ju këshillojmë të lexoni artikullin “Integrimi duke përdorur formula të përsëritura.

Le të përmbledhim. Për të zgjidhur problemet, është shumë e rëndësishme të njihni metodën e integrimit të drejtpërdrejtë. Metoda të tjera (vënia nën shenjën diferenciale, zëvendësimi, integrimi me pjesë) gjithashtu bëjnë të mundur thjeshtimin e integralit dhe sjelljen e tij në një formë tabelare.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Integrali i pacaktuar

1 Integral antiderivativ dhe i pacaktuar 1

2 Vetitë më të thjeshta të integralit të pacaktuar. 3

Tabela e integraleve bazë 3

2.1 Tabela shtesë e integraleve 4

3 Ndryshimi i ndryshores në integral të pacaktuar 5

3.1Mënyra e integrimit të funksioneve të formës dhe (a≠ 0). 6

4 Integrimi sipas pjesëve në integralin e pacaktuar 7

4.1 Metoda e integrimit të funksioneve të formës. 7

4.2 Mënyra e integrimit të funksioneve të formës: 8

5 Integrimi i thyesave racionale 8

5.1 Metoda e integrimit të thyesave më të thjeshta të tipit 4. njëmbëdhjetë

6 Integrimi i shprehjeve irracionale 12

6.1Integrimi i shprehjeve trigonometrike 14

1. Integrali antiderivativ dhe i pacaktuar

Zgjidheni ekuacionin diferencial

në intervalin , d.m.th. gjeni një funksion të tillë që . Meqenëse, ekuacioni (1) mund të rishkruhet në diferenciale:

Çdo zgjidhje për një ekuacion të tillë quhet funksion antiderivativ. Pra thirret funksioni funksioni antiderivativ në intervalin nëse për të gjithë . Rastet dhe/ose nuk përjashtohen. Është e qartë se nëse antiderivativ, atëherë edhe antiderivativ. Detyra jonë është të gjejmë të gjitha zgjidhjet e ekuacionit (1). Funksioni i dy ndryshoreve quhet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit (1) ose, me fjalë të tjera, integral i pacaktuar funksionet nëse, kur zëvendësojmë ndonjë numër, marrim një zgjidhje të caktuar të ekuacionit (1) dhe çdo zgjidhje e veçantë e ekuacionit (1) fitohet në këtë mënyrë.

Integrali i pacaktuar shënohet me . Funksioni quhet integrand, diferenciali quhet integrand dhe është shenja e integralit (shkronja latine e shtrirë S, shkronja e parë e fjalës Sum është shuma). Shtrohet pyetja për ekzistencën e një antiderivati ​​dhe një integrali të pacaktuar. Në rubrikën "Integrali i caktuar", § formula e Njuton-Leibnizit, do të vërtetohet se antiderivati ​​i një funksioni të vazhdueshëm ekziston gjithmonë.

Lemë.Le të jetë identike për të gjithë. Pastaj është një konstante në këtë interval.

Dëshmi. Le të shënojmë për çdo pikë. Le të marrim një pikë arbitrare dhe të zbatojmë teoremën e Lagranzhit për ndryshimin: për një pikë . Prandaj lema vërtetohet.□

Teorema mbi antiderivativët. Dy antiderivativë të të njëjtit funksion të përcaktuar në një interval ndryshojnë nga një konstante.

Dëshmi. Le të jenë funksione antiderivative. Pastaj nga ku, nga lema -- konstante. Rrjedhimisht, . □

Pasoja. Nëse është antiderivati ​​i funksionit, atëherë .

Vini re se nëse marrim jo një interval si funksion ODZ, por, për shembull, një grup të tillë të shkëputur si bashkimi i dy intervaleve , pastaj çdo funksion të formës

ka një derivat zero, dhe kështu lema dhe teorema antiderivative pushojnë së qeni e vërtetë në këtë rast.

1. Vetitë më të thjeshta të integralit të pacaktuar.

1. Integrali i shumës është i barabartë me shumën e integraleve:

2. Konstanta mund të hiqet nga shenja integrale:

3. Derivati ​​i integralit është i barabartë me integrandin.

4. Diferenciali nga integrali është i barabartë me integrandin.

5. (Ndryshimi linear i variablave) Nëse , pastaj (këtu).

Tabela e integraleve bazë

Veçanërisht,

Për një rast të jashtëzakonshëm kemi:

1. Tabela shtesë e integraleve

1. Ndryshimi i ndryshores në integralin e pacaktuar

Le ta zgjerojmë përkufizimin e integralit të pacaktuar në një rast më të përgjithshëm: supozojmë me përkufizim . Kështu, për shembull

Teorema. Le të jetë një funksion i diferencueshëm. Pastaj

Dëshmi. Le . Pastaj

që duhej vërtetuar.□

Në rastin e veçantë kur marrim një ndryshim linear të ndryshoreve (shih vetinë 5, §1). Zbatimi i formulës (1) "nga e majta në të djathtë" do të thotë ndryshim i ndryshores. Zbatimi i formulës (1) në drejtim të kundërt, "nga e djathta në të majtë" quhet hyrje nën shenjën diferenciale.

Shembuj. POR.

1. Zgjedhim derivatin e trinomit katror në numërues:

3. Për të llogaritur integralin e parë në (2), përdorim hyrjen nën shenjën e diferencialit:

Për të llogaritur integralin e dytë, ne zgjedhim një katror të plotë në një trinom katror dhe e zvogëlojmë atë në një tabelë me një ndryshim linear të ndryshoreve.

Integrale të formës

Shembuj

1. Integrimi sipas pjesëve në integralin e pacaktuar

Teorema. Për funksionet e diferencueshme dhe kemi relacionin

Dëshmi. Integrimi i anës së majtë dhe të djathtë të formulës , marrim:

Meqenëse sipas përkufizimit dhe , vijon formula (1).□

Shembull.

Për të integruar funksione të tilla, ne vendosim polinomin nën shenjën diferenciale dhe zbatojmë formulën e integrimit për pjesë. Procedura përsëritet k herë.

Shembull.

1. Integrimi i thyesave racionale

Thyesë racionale quhet funksion i formës , ku janë polinomet. Nëse , atëherë thirret një thyesë racionale korrekte. Ndryshe quhet gabim.

Thyesat racionale të mëposhtme quhen më të thjeshtat

(lloji 2)

(lloji 3)

(lloji 4) ,

Teorema 1.Çdo thyesë mund të zbërthehet në shumën e një polinomi dhe një fraksioni të duhur racional.

Dëshmi. Lë të jetë një thyesë e papërshtatshme racionale. Ndani numëruesin me emëruesin me një mbetje: Këtu janë polinomet dhe Pastaj

Thyesa është e saktë për shkak të pabarazisë. □

Teorema 2.Çdo thyesë e duhur racionale mund të zbërthehet në një shumë më të thjeshtë.

Algoritmi i zbërthimit.

a) Zgjerojmë emëruesin e një thyese të duhur në një prodhim të polinomeve të pareduktueshme (lineare dhe kuadratike me diskriminues negativ):

Këtu dhe -- shumëzimet e rrënjëve përkatëse.

b) Thyesën e zbërthejmë në shumën e më të thjeshtëve me koeficientë të pacaktuar sipas parimeve të mëposhtme:

Ne e bëjmë këtë për çdo faktor linear dhe për çdo faktor kuadratik.

c) Zgjerimi që rezulton shumëzohet me një emërues të përbashkët dhe nga kushti i identitetit të pjesës së majtë dhe të djathtë gjenden koeficientë të pacaktuar. Puna me një kombinim të dy metodave

??? – vërtetimi i algoritmit

Shembuj. A. Zbërthehet në shumën e më të thjeshtëve

Prandaj rrjedh se . Duke zëvendësuar këtë raport, ne gjejmë menjëherë . Kështu që

B. Zgjero thyesën racionale në shumën e më të thjeshtëve. Zgjerimi i kësaj thyese me koeficientë të pacaktuar ka formën

Duke shumëzuar me një emërues të përbashkët, marrim raportin

Duke zëvendësuar këtu, gjejmë se ku. Zëvendësimi gjejmë . Duke barazuar koeficientët në , marrim sistemin

Nga këtu dhe. Duke shtuar barazitë e sistemit të fundit, marrim dhe . Pastaj dhe

Rrjedhimisht,

/**/ Një detyrë. Përgjithësoni rezultatin e shembullit A dhe vërtetoni barazinë

1. Mënyra e integrimit të thyesave më të thjeshta të tipit të 4-të.

a) Duke e ndarë derivatin e emëruesit në numërues, zgjerojmë integralin në shumën e dy integraleve.

b) I pari nga integralet që rezultojnë, pasi të futet nën shenjën e diferencialit, do të bëhet tabelor.

c) Në emëruesin e dytë, zgjidhni katrorin e plotë dhe zvogëloni llogaritjen në një integral të formës . Ne aplikojmë procedurën rekursive të mëposhtme për këtë integral

Ne aplikojmë formulën e integrimit për pjesë në integralin e fundit:

Pra, nëse caktojmë , pastaj

Kjo është një formulë rekursive për llogaritjen e integraleve duke pasur parasysh vlerën fillestare .

Shembull

1. Integrimi i shprehjeve irracionale

Integrale të formës , ku m/n,...,r/s janë numra racional me emërues të përbashkët k, reduktohen në integralin e një funksioni racional nga ndryshimi

Atëherë thelbi i shprehjeve racionale, prandaj, pas zëvendësimit, marrim integralin e fraksionit racional:

Duke llogaritur këtë integral (shih par. 4) dhe duke bërë zëvendësimin e kundërt, marrim përgjigjen.

Në mënyrë të ngjashme, integrale të formës

ku ad-bc≠ 0 dhe k ka të njëjtin kuptim si më sipër, reduktohen në integrale të një thyese racionale duke zëvendësuar

Shembuj. A. Njehsoni integralin

B. Njehsoni integralin

Një metodë më e thjeshtë e integrimit (por që kërkon një supozim) për të njëjtin funksion është kjo:

1. Integrimi i shprehjeve trigonometrike

Integrale të formës reduktohen në integrale të një funksioni racional nga ndryshimi universal

pra marrim integralin e shprehjes racionale

Në raste të veçanta  R(sin x) cos x dx,  R(cos x) sin x dx dhe R(sin 2 x, cos 2 x, tg x, ctg x) dx, është më mirë të përdoren zëvendësime, përkatësisht .

Merrni parasysh funksionet $u=u(x)$ dhe $v=v(x)$ që kanë derivate të vazhdueshme. Sipas vetive të diferencialeve, barazia e mëposhtme vlen:

$d(u v)=u d v+v d u$

Duke integruar pjesët e majta dhe të djathta të barazisë së fundit, marrim:

$\int d(u v)=\int(u d v+v d u) \Djathtas shigjetë u v=\int u d v+\int v d u$

Ne rishkruajmë barazinë që rezulton në formën:

$\int u d v=u v-\int v d u$

Kjo formulë quhet integrimi sipas formulave të pjesëve. Me ndihmën e tij, integrali $\int u d v$ mund të reduktohet në gjetjen e integralit $\int v d u$, i cili mund të jetë më i thjeshtë.

Koment

Në disa raste, formula për integrimin sipas pjesëve duhet të zbatohet në mënyrë të përsëritur.

Këshillohet që të aplikoni formulën e integrimit sipas pjesëve për integralet e formës së mëposhtme:

1) $\int P_(n)(x) e^(k x) d x$ ; $\int P_(n)(x) \sin (k x) d x$ ; $\int P_(n)(x) \cos (k x) d x$

Këtu $P_(n)(x)$ është një polinom i shkallës $n$, $k$ është një konstante. Në këtë rast, polinomi merret si funksion $u$, dhe faktorët e mbetur merren si $d v$. Për integrale të këtij lloji, formula e integrimit sipas pjesëve zbatohet $n$ herë.

Shembuj të zgjidhjes së integraleve me këtë metodë

Shembull

Ushtrimi. Gjeni integralin $\int(x+1) e^(2 x) d x$

Zgjidhje.

$=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(1)(2) \int e^(2 x) d x=\frac((x+1) e^( 2 x))(2)-\frac(1)(2) \cdot \frac(1)(2) e^(2 x)+C=$

$=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(e^(2 x))(4)+C$

Përgjigju.$\int(x+1) e^(2 x) d x=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(e^(2 x))(4)+C $

Shembull

Ushtrimi. Gjeni integralin $\int x^(2) \cos x d x$

Zgjidhje.

$=x^(2) \sin x-2\left(x \cdot(-\cos) x-\int(-\cos x) d x\djathtas)=$

$=x^(2) \sin x+2 x \cos x-2 \int \cos x d x=$

$=x^(2) \sin x+2 x \cos x-2 \sin x+C=\majtas(x^(2)-1\djathtas) \sin x+2 x \cos x+C$

Përgjigju.$\int x^(2) \cos x d x=\majtas(x^(2)-1\djathtas) \sin x+2 x \cos x+C$

2) $\int P_(n)(x) \arcsin x d x$ ; $\int P_(n)(x) \arccos x d x$; $\int P_(n)(x) \ln x d x$

Këtu supozohet se $d v=P_(n)(x) d x$, dhe faktorët e mbetur si $u$.

Shembull

Ushtrimi. Gjeni integralin $\int \ln x d x$

Zgjidhje. Në integralin origjinal veçojmë funksionet $u$ dhe $v$, më pas kryejmë integrimin sipas pjesëve.

$=x \ln x-\int d x=x \ln x-x+C=x(\ln x-1)+C$

Përgjigju.$\int \ln x d x=x(\n x-1)+C$

Shembull

Ushtrimi. Gjeni integralin $\int \arcsin x d x$

Zgjidhje. Në integralin origjinal veçojmë funksionet $u$ dhe $v$, më pas kryejmë integrimin sipas pjesëve. Për të zgjidhur këtë integral, ky operacion duhet të përsëritet 2 herë.

$=x \arcsin x-\int \frac(-t d t)(\sqrt(t^(2)))=x \arcsin x+\int \frac(t d t)(t)=x \arcsin x+\int d t= $

$=x \arcsin x+t+C=x \arcsin x+\sqrt(1-x^(2))+C$

Përgjigju.$\int \arcsin x d x=x \arcsin x+\sqrt(1-x^(2))+C$

3) $\int e^(k x+b) \sin (c x+f) d x$ ; $\int e^(k x+b) \cos (c x+f) d x$

Në këtë rast, ose eksponenti ose funksioni trigonometrik merret si $u$. Kushti i vetëm është që në aplikimin e mëtejshëm të formulës së integrimit sipas pjesëve, i njëjti funksion të merret si funksion $u$, përkatësisht ose funksioni eksponencial ose trigonometrik.

Shembull

Ushtrimi. Gjeni integralin $\int e^(2 x+1) \sin x d x$

Zgjidhje. Në integralin origjinal veçojmë funksionet $u$ dhe $v$, më pas kryejmë integrimin sipas pjesëve.

$=-e^(2 x+1) \cos x-\int(-\cos x) \cdot \frac(e^(2 x+1))(2) d x=$