NGA n i panjohur është një sistem i formës:

ku aij dhe b i (i=1,…,m; b=1,…,n) janë disa numra të njohur, dhe x 1,…,x n- numra të panjohur. Në shënimin e koeficientëve aij indeks i përcakton numrin e ekuacionit, dhe i dyti jështë numri i të panjohurës në të cilën ndodhet ky koeficient.

Sistemi homogjen - kur të gjithë anëtarët e lirë të sistemit janë të barabartë me zero ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), situata është e kundërt sistem heterogjen.

Sistemi katror - kur numri m ekuacionet janë të barabarta me numrin n i panjohur.

Zgjidhja e sistemit- vendosur n numrat c 1 , c 2 , ..., c n , të tillë që zëvendësimi i të gjithëve c i në vend të x i në një sistem i kthen të gjitha ekuacionet e tij në identitete.

Sistemi i përbashkët - kur sistemi ka të paktën një zgjidhje, dhe sistem i papajtueshëm kur sistemi nuk ka zgjidhje.

Një sistem i përbashkët i këtij lloji (siç është dhënë më sipër, le të jetë (1)) mund të ketë një ose më shumë zgjidhje.

Zgjidhjet c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) dhe c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2) sistemi i përbashkët i tipit (1) do të ndryshme, kur edhe 1 nga barazitë nuk plotësohet:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Një sistem i përbashkët i tipit (1) do të caktuara kur ka vetëm një zgjidhje; kur një sistem ka të paktën 2 zgjidhje të ndryshme, ai bëhet i nënpërcaktuar. Kur ka më shumë ekuacione sesa të panjohura, sistemi është ripërcaktuar.

Koeficientët për të panjohurat shkruhen si matricë:

Quhet matrica e sistemit.

Numrat që janë në anën e djathtë të ekuacioneve b 1,…,b m janë anëtarë të lirë.

Agregat n numrat c 1,…,c nështë zgjidhje e këtij sistemi kur të gjitha ekuacionet e sistemit kthehen në barazi pasi të zëvendësohen numrat në to c 1,…,c n në vend të të panjohurave përkatëse x 1,…,x n.

Kur zgjidhni një sistem ekuacionesh lineare, mund të shfaqen 3 opsione:

1. Sistemi ka vetëm një zgjidhje.

2. Sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh. Për shembull, . Zgjidhja e këtij sistemi do të jenë të gjitha çiftet e numrave që ndryshojnë në shenjë.

3. Sistemi nuk ka zgjidhje. Për shembull, , nëse ekziston një zgjidhje, atëherë x1 + x2 do të ishte 0 dhe 1 në të njëjtën kohë.

Metodat për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare.

Metodat e drejtpërdrejta jepni një algoritëm me të cilin gjendet zgjidhja e saktë SLAU(sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare). Dhe nëse saktësia do të ishte absolute, ata do ta kishin gjetur atë. Një kompjuter i vërtetë elektrik, natyrisht, funksionon me një gabim, kështu që zgjidhja do të jetë e përafërt.

Në përgjithësi, ekuacioni linear ka formën:

Ekuacioni ka një zgjidhje: nëse të paktën një nga koeficientët në të panjohurat është i ndryshëm nga zero. Në këtë rast, çdo vektor dimensional quhet zgjidhje e ekuacionit nëse, kur koordinatat e tij zëvendësohen, ekuacioni bëhet identitet.

Karakteristikat e përgjithshme të sistemit të lejuar të ekuacioneve

Shembulli 20.1

Përshkruani sistemin e ekuacioneve.

Zgjidhje:

1. A ka një ekuacion të paqëndrueshëm?(Nëse koeficientët, në këtë rast ekuacioni ka formën: dhe quhet e diskutueshme.)

• Nëse një sistem përmban një sistem jokonsistent, atëherë një sistem i tillë është jokonsistent dhe nuk ka zgjidhje.

2. Gjeni të gjitha variablat e lejuara. (E panjohura quhetlejohet për një sistem ekuacionesh, nëse ai hyn në një nga ekuacionet e sistemit me koeficient +1, dhe nuk futet në pjesën tjetër të ekuacioneve (d.m.th., ai hyn me një koeficient të barabartë me zero).

3. A lejohet sistemi i ekuacioneve? (Sistemi i ekuacioneve quhet i zgjidhur, nëse çdo ekuacion i sistemit përmban një të panjohur të zgjidhur, ndër të cilat nuk ka të njëjtat që përputhen)

Të panjohurat e lejuara, të marra një nga një nga secili ekuacion i sistemit, formohen grup i plotë i të panjohurave të lejuara sistemeve. (në shembullin tonë është)

Të panjohurat e lejuara të përfshira në grupin e plotë quhen gjithashtu bazë(), dhe nuk përfshihet në grup - falas ().

Në rastin e përgjithshëm, sistemi i zgjidhur i ekuacioneve ka formën:

Në këtë fazë, është e rëndësishme të kuptoni se çfarë është zgjidhet e panjohur(të përfshira në bazë dhe falas).

Zgjidhja themelore e përgjithshme e pjesshme

Zgjidhje e përgjithshme i sistemit të lejuar të ekuacioneve është grupi i shprehjeve të të panjohurave të lejuara në terma të lirë dhe të panjohura të lira:

Vendim privat quhet një zgjidhje e marrë nga e përgjithshme për vlerat specifike të variablave të lirë dhe të panjohurave.

Zgjidhja bazëështë një zgjidhje e veçantë e marrë nga ajo e përgjithshme në vlerat zero të variablave të lirë.

• Zgjidhja bazë (vektori) quhet i degjeneruar, nëse numri i koordinatave të tij jozero është më i vogël se numri i të panjohurave të lejuara.
• Zgjidhja bazë quhet jo i degjeneruar, nëse numri i koordinatave të tij jozero është i barabartë me numrin e të panjohurave të lejuara të sistemit të përfshira në grupin e plotë.

Teorema (1)

Sistemi i lejuar i ekuacioneve është gjithmonë i pajtueshëm(sepse ka të paktën një zgjidhje); Për më tepër, nëse sistemi nuk ka të panjohura falas,(d.m.th., në sistemin e ekuacioneve, të gjitha ato të lejuara përfshihen në bazë) atëherë është përcaktuar(ka një zgjidhje unike); nëse ka të paktën një variabël të lirë, atëherë sistemi nuk është i përcaktuar(ka një numër të pafund zgjidhjesh).

Shembull 1. Gjeni një zgjidhje të përgjithshme, themelore dhe çdo të veçantë të sistemit të ekuacioneve:

Zgjidhje:

1. Po kontrolloni nëse sistemi është i lejuar?

• Sistemi lejohet (sepse secili prej ekuacioneve përmban një të panjohur të lejuar)

2. Ne përfshijmë të panjohurat e lejuara në grup - një nga secili ekuacion.

3. Ne shkruajmë zgjidhjen e përgjithshme, varësisht se cilat të panjohura të lejuara kemi përfshirë në grup.

4. Ne gjejmë një zgjidhje të veçantë. Për ta bërë këtë, ne barazojmë variablat e lirë që nuk i kemi përfshirë në grup për të barazuar me numra arbitrarë.

Përgjigje: zgjidhje private(një nga opsionet)

5. Gjetja e zgjidhjes bazë. Për ta bërë këtë, ne barazojmë variablat e lirë që nuk i kemi përfshirë në grup me zero.

Shndërrimet elementare të ekuacioneve lineare

Sistemet e ekuacioneve lineare reduktohen në sisteme ekuivalente të lejuara me ndihmën e transformimeve elementare.

Teorema (2)

Nëse ndonjë shumëzojmë ekuacionin e sistemit me një numër jozero, dhe lini pjesën tjetër të ekuacioneve të pandryshuara, pastaj . (d.m.th., nëse shumëzoni anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit me të njëjtin numër, merrni një ekuacion të barabartë me atë të dhënë)

Teorema (3)

Nese nje shtoni një tjetër në çdo ekuacion të sistemit, dhe lini të gjitha ekuacionet e tjera të pandryshuara, atëherë merrni një sistem të barabartë me atë të dhënë. (d.m.th., nëse shtoni dy ekuacione (duke shtuar pjesët e tyre majtas dhe djathtas), merrni një ekuacion të barabartë me të dhënat)

Përfundim nga teoremat (2 dhe 3)

Nese nje shtoni në çdo ekuacion një tjetër, të shumëzuar me një numër të caktuar, dhe lërini të gjitha ekuacionet e tjera të pandryshuara, atëherë marrim një sistem të barabartë me atë të dhënë.

Formulat për rillogaritjen e koeficientëve të sistemit

Nëse kemi një sistem ekuacionesh dhe duam ta shndërrojmë atë në një sistem të lejuar ekuacionesh, metoda Jordan-Gauss do të na ndihmojë për këtë.

Transformimi i Jordanisë me një element zgjidhës ju lejon të merrni të panjohurën e zgjidhur për sistemin e ekuacioneve në ekuacionin me numrin . (shembulli 2).

Transformimi i Jordanisë përbëhet nga transformime elementare të dy llojeve:

Le të themi se duam ta bëjmë të panjohurën në ekuacionin e poshtëm një të panjohur të zgjidhur. Për ta bërë këtë, ne duhet të pjesëtojmë me në mënyrë që shuma të jetë .

Shembulli 2 Rillogaritni koeficientët e sistemit

Kur pjesëtohet një ekuacion me një numër me , koeficientët e tij rillogariten sipas formulave:

Për të përjashtuar nga ekuacioni me numrin , duhet të shumëzoni ekuacionin me numrin me dhe të shtoni në këtë ekuacion.

Teorema (4) Mbi zvogëlimin e numrit të ekuacioneve të sistemit.

Nëse sistemi i ekuacioneve përmban një ekuacion të parëndësishëm, atëherë ai mund të përjashtohet nga sistemi dhe do të merret një sistem ekuivalent me atë origjinal.

Teorema (5) Mbi papajtueshmërinë e sistemit të ekuacioneve.

Nëse një sistem ekuacionesh përmban një ekuacion jokonsistent, atëherë ai është jokonsistent.

Algoritmi i metodës Jordan-Gauss

Algoritmi për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve me metodën Jordan-Gauss përbëhet nga një numër hapash të të njëjtit lloj, secila prej të cilave kryen veprime në rendin e mëposhtëm:

1. Kontrollon nëse sistemi është i paqëndrueshëm. Nëse një sistem përmban një ekuacion jokonsistent, atëherë ai është jokonsistent.
2. Kontrollohet mundësia e zvogëlimit të numrit të ekuacioneve. Nëse sistemi përmban një ekuacion të parëndësishëm, ai kryqëzohet.
3. Nëse lejohet sistemi i ekuacioneve, atëherë shkruani zgjidhjen e përgjithshme të sistemit dhe, nëse është e nevojshme, zgjidhje të veçanta.
4. Nëse sistemi nuk lejohet, atëherë në ekuacionin që nuk përmban një të panjohur të lejuar, zgjidhet një element zgjidhës dhe me këtë element kryhet një transformim Jordan.
5. Pastaj kthehuni te pika 1.

Shembulli 3 Zgjidhet sistemi i ekuacioneve duke përdorur metodën Jordan-Gauss.

Gjej: dy zgjidhje të përgjithshme dhe dy zgjidhje bazë përkatëse

Zgjidhje:

Llogaritjet janë paraqitur në tabelën e mëposhtme:

Veprimet në ekuacione tregohen në të djathtë të tabelës. Shigjetat tregojnë se cilit ekuacion i shtohet ekuacioni me elementin zgjidhës të shumëzuar me një faktor të përshtatshëm.

Tre rreshtat e parë të tabelës përmbajnë koeficientët e të panjohurave dhe pjesët e duhura të sistemit origjinal. Rezultatet e transformimit të parë Jordan me një rezolutë të barabartë me një janë dhënë në rreshtat 4, 5, 6. Rezultatet e transformimit të dytë Jordan me një rezolutë të barabartë me (-1) janë dhënë në rreshtat 7, 8, 9. ekuacioni i tretë është i parëndësishëm, nuk mund të merret parasysh.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare është një nga problemet kryesore të algjebrës lineare. Ky problem ka një rëndësi të madhe praktike në zgjidhjen e problemeve shkencore dhe teknike, përveç kësaj, është ndihmës në zbatimin e shumë algoritmeve të matematikës llogaritëse, fizikës matematikore dhe përpunimit të rezultateve të studimeve eksperimentale.

Sistemi i ekuacioneve algjebrike lineare quhet sistem ekuacionesh të formës: (1)

ku – i panjohur; - anëtarë të lirë.

Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve(1) emërtoni çdo grup numrash që, duke u vendosur në sistem (1) në vend të të panjohurës konverton të gjitha ekuacionet e sistemit në barazi të vërteta numerike.

Sistemi i ekuacioneve quhet të përbashkët nëse ka të paktën një zgjidhje, dhe të papajtueshme nëse nuk ka zgjidhje.

Sistemi i përbashkët i ekuacioneve quhet të caktuara nëse ka një zgjidhje të vetme, dhe i pasigurt nëse ka të paktën dy zgjidhje të dallueshme.

Quhen dy sisteme ekuacionesh ekuivalente ose ekuivalente nëse kanë të njëjtin grup zgjidhjesh.

Sistemi (1) quhet homogjene nëse termat e lirë janë të barabartë me zero:

Një sistem homogjen është gjithmonë konsistent - ai ka një zgjidhje (ndoshta jo të vetmen).

Nëse në sistemin (1) , atëherë kemi sistemin n ekuacionet lineare me n i panjohur: ku – i panjohur; janë koeficientët për të panjohurat, - anëtarë të lirë.

Një sistem linear mund të ketë një zgjidhje të vetme, pafundësisht shumë zgjidhje ose asnjë.

Konsideroni një sistem me dy ekuacione lineare me dy të panjohura

Nëse atëherë sistemi ka një zgjidhje unike;

nëse atëherë sistemi nuk ka zgjidhje;

nëse atëherë sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh.

Shembull. Sistemi ka një zgjidhje unike për një çift numrash

Sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh. Për shembull, zgjidhjet e këtij sistemi janë çifte numrash, e kështu me radhë.

Sistemi nuk ka zgjidhje, pasi ndryshimi i dy numrave nuk mund të marrë dy vlera të ndryshme.

Përkufizimi. Përcaktues i rendit të dytë quhet një shprehje si:

Përcaktoni përcaktorin me simbolin D.

Numrat a 11, …, a 22 quhen elementë përcaktues.

Diagonale e formuar nga elementë a 11 ; a 22 telefononi kryesore, diagonalen e formuar nga elementet a 12 ; a 21 − anësor.

Kështu, përcaktori i rendit të dytë është i barabartë me ndryshimin midis produkteve të elementeve të diagonaleve kryesore dhe dytësore.

Vini re se përgjigja është një numër.

Shembull. Le të llogarisim përcaktuesit:

Konsideroni një sistem prej dy ekuacionesh lineare me dy të panjohura: ku X 1, X 2 – i panjohur; a 11 , …, a 22 - koeficientët për të panjohurat, b 1 , b 2 - anëtarë falas.

Nëse një sistem me dy ekuacione në dy të panjohura ka një zgjidhje unike, atëherë ai mund të gjendet duke përdorur përcaktorë të rendit të dytë.

Përkufizimi. Përcaktori, i përbërë nga koeficientët e të panjohurave, quhet kualifikuesi i sistemit: D=.

Kolonat e përcaktorit D janë koeficientët, përkatësisht, për X 1 dhe në , X 2. Le të prezantojmë dy përcaktues shtesë, të cilat fitohen nga përcaktorja e sistemit duke zëvendësuar njërën nga kolonat me një kolonë anëtarësh të lirë: D 1 = D 2 = .

Teorema 14(Kramer, për rastin n=2). Nëse përcaktori D i sistemit është i ndryshëm nga zero (D¹0), atëherë sistemi ka një zgjidhje unike, e cila gjendet me formulat:

Këto formula quhen Formulat e Cramer-it.

Shembull. Ne e zgjidhim sistemin sipas rregullit të Cramer:

Zgjidhje. Le të gjejmë numrat

Përgjigju.

Përkufizimi. Përcaktori i rendit të tretë quhet një shprehje si:

Elementet a 11; a 22 ; a 33 - formoni diagonalen kryesore.

Numrat a 13; a 22 ; a 31 - formoni një diagonale anësore.

Hyrja plus përfshin: produktin e elementeve në diagonalen kryesore, dy termat e tjerë janë prodhimi i elementeve të vendosura në kulmet e trekëndëshave me baza paralele me diagonalen kryesore. Termat me minus formohen në të njëjtën mënyrë në lidhje me diagonalen dytësore.

Shembull. Le të llogarisim përcaktuesit:

Konsideroni një sistem prej tre ekuacionesh lineare me tre të panjohura: ku – i panjohur; janë koeficientët për të panjohurat, - anëtarë të lirë.

Në rastin e një zgjidhjeje unike, një sistem prej 3 ekuacionesh lineare me tre të panjohura mund të zgjidhet duke përdorur përcaktorë të rendit të tretë.

Përcaktori i sistemit D ka formën:

Ne prezantojmë tre përcaktues shtesë:

Teorema 15(Kramer, për rastin n=3). Nëse përcaktori D i sistemit është jozero, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike, e cila gjendet duke përdorur formulat Cramer:

Shembull. Le të zgjidhim sistemin duke përdorur rregullin e Cramer.

Zgjidhje. Le të gjejmë numrat

Le të përdorim formulat e Cramer dhe të gjejmë një zgjidhje për sistemin origjinal:

Përgjigju.

Vini re se teorema e Cramer-it është e zbatueshme kur numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e të panjohurave dhe kur përcaktori i sistemit D është i ndryshëm nga zero.

Nëse përcaktorja e sistemit është e barabartë me zero, atëherë në këtë rast sistemi ose mund të mos ketë zgjidhje ose të ketë një numër të pafund zgjidhjesh. Këto raste janë duke u studiuar veçmas.

Vërejmë vetëm një rast. Nëse përcaktorja e sistemit është e barabartë me zero (D=0), dhe të paktën një nga përcaktorët shtesë është i ndryshëm nga zero, atëherë sistemi nuk ka zgjidhje, domethënë është i paqëndrueshëm.

Teorema e Cramer-it mund të përgjithësohet në sistem n ekuacionet lineare me n i panjohur: ku – i panjohur; janë koeficientët për të panjohurat, - anëtarë të lirë.

Nëse përcaktori i një sistemi ekuacionesh lineare me të panjohura, atëherë zgjidhja e vetme për sistemin gjendet duke përdorur formulat Cramer:

Një përcaktues shtesë merret nga përcaktorja D nëse përmban një kolonë koeficientësh për të panjohurën x i zëvendësohet me një kolonë anëtarësh të lirë.

Vini re se përcaktorët D, D 1 , ... , D n kanë rregull n.

Metoda e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare

Një nga metodat më të zakonshme për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare është metoda e eliminimit të njëpasnjëshëm të të panjohurave. - Metoda e Gausit. Kjo metodë është një përgjithësim i metodës së zëvendësimit dhe konsiston në eliminimin e njëpasnjëshëm të të panjohurave derisa të mbetet një ekuacion me një të panjohur.

Metoda bazohet në disa transformime të sistemit të ekuacioneve lineare, si rezultat i të cilave fitohet një sistem që është ekuivalent me sistemin origjinal. Algoritmi i metodës përbëhet nga dy faza.

Faza e parë quhet në vijë të drejtë Metoda e Gausit. Ai konsiston në eliminimin e njëpasnjëshëm të të panjohurave nga ekuacionet. Për ta bërë këtë, në hapin e parë, ekuacioni i parë i sistemit ndahet me (përndryshe, ekuacionet e sistemit ndërrohen). Koeficientët e ekuacionit të reduktuar që rezulton shënohen, shumëzohen me koeficientin dhe zbriten nga ekuacioni i dytë i sistemit, duke përjashtuar kështu nga ekuacioni i dytë (zero koeficientin ).

Pjesa tjetër e ekuacioneve trajtohen në mënyrë të ngjashme dhe fitohet një sistem i ri, në të gjitha ekuacionet e të cilit, duke filluar nga i dyti, koeficientët në përmbajnë vetëm zero. Natyrisht, sistemi i ri që rezulton do të jetë i barabartë me sistemin origjinal.

Nëse koeficientët e rinj, në , nuk janë të gjithë të barabartë me zero, ne mund t'i eliminojmë ata nga ekuacioni i tretë dhe i mëpasshëm në të njëjtën mënyrë. Duke vazhduar këtë operacion për të panjohurat e mëposhtme, sistemi sillet në të ashtuquajturën formë trekëndore:

Këtu, simbolet dhe tregojnë koeficientët numerikë dhe termat e lirë që kanë ndryshuar si rezultat i transformimeve.

Nga ekuacioni i fundit i sistemit, përcaktohet , dhe më pas me zëvendësim të njëpasnjëshëm, të panjohurat e mbetura.

Komentoni. Ndonjëherë, si rezultat i shndërrimeve, në cilindo nga ekuacionet, të gjithë koeficientët dhe ana e djathtë kthehen në zero, domethënë ekuacioni kthehet në identitetin 0=0. Duke përjashtuar një ekuacion të tillë nga sistemi, numri i ekuacioneve zvogëlohet në krahasim me numrin e të panjohurave. Një sistem i tillë nuk mund të ketë një zgjidhje unike.

Nëse, në procesin e aplikimit të metodës së Gausit, çdo ekuacion kthehet në një barazi të formës 0=1 (koeficientët për të panjohurat kthehen në 0, dhe ana e djathtë merr një vlerë jo zero), atëherë sistemi origjinal nuk ka zgjidhje, pasi një barazi e tillë është e pasaktë për ndonjë vlerë të panjohur.

Konsideroni një sistem prej tre ekuacionesh lineare me tre të panjohura:

ku – i panjohur; janë koeficientët për të panjohurat, - anëtarë të lirë. , duke zëvendësuar të gjeturën

Zgjidhje. Duke aplikuar metodën Gaussian në këtë sistem, marrim

Nga ku barazia e fundit është e rreme për çdo vlerë të të panjohurave, prandaj sistemi nuk ka zgjidhje.

Përgjigju. Sistemi nuk ka zgjidhje.

Vini re se metoda e Cramer e konsideruar më parë mund të përdoret për të zgjidhur vetëm ato sisteme në të cilat numri i ekuacioneve përkon me numrin e të panjohurave dhe përcaktori i sistemit duhet të jetë i ndryshëm nga zero. Metoda Gaussian është më universale dhe është e përshtatshme për sisteme me çdo numër ekuacionesh.

Sistemi m ekuacionesh lineare me n të panjohura quhet sistem i formës

ku aij dhe b i (i=1,…,m; b=1,…,n) janë disa numra të njohur, dhe x 1,…,x n- e panjohur. Në shënimin e koeficientëve aij indeksi i parë i tregon numrin e ekuacionit, dhe i dyti jështë numri i të panjohurës në të cilën qëndron ky koeficient.

Koeficientët për të panjohurat do të shkruhen në formën e një matrice , të cilin do ta quajmë matrica e sistemit.

Numrat në anën e djathtë të ekuacioneve b 1,…,b m thirrur anëtarë të lirë.

Agregat n numrat c 1,…,c n thirrur vendim të këtij sistemi, nëse çdo ekuacion i sistemit bëhet barazi pas zëvendësimit të numrave në të c 1,…,c n në vend të të panjohurave përkatëse x 1,…,x n.

Detyra jonë do të jetë të gjejmë zgjidhje për sistemin. Në këtë rast, mund të lindin tre situata:

Një sistem ekuacionesh lineare që ka të paktën një zgjidhje quhet të përbashkët. Përndryshe, d.m.th. nëse sistemi nuk ka zgjidhje, atëherë ai quhet të papajtueshme.

Le të shqyrtojmë mënyrat për të gjetur zgjidhje për sistemin.

METODA E MATRIKES PER ZGJIDHEN E SISTEMEVE TE EKUACIONET LINEARE

Matricat bëjnë të mundur që shkurtimisht të shkruhet një sistem ekuacionesh lineare. Le të jepet një sistem prej 3 ekuacionesh me tre të panjohura:

Konsideroni matricën e sistemit dhe kolonat e matricës së anëtarëve të panjohur dhe të lirë

Le të gjejmë produktin

ato. si rezultat i produktit, marrim anët e majta të ekuacioneve të këtij sistemi. Pastaj, duke përdorur përkufizimin e barazisë së matricës, ky sistem mund të shkruhet si

ose më të shkurtër A∙X=B.

Këtu matricat A dhe B janë të njohura, dhe matrica X i panjohur. Ajo duhet të gjendet, sepse. elementet e tij janë zgjidhja e këtij sistemi. Ky ekuacion quhet ekuacioni i matricës.

Le të jetë përcaktori i matricës i ndryshëm nga zero | A| ≠ 0. Më pas ekuacioni i matricës zgjidhet si më poshtë. Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit në të majtë me matricën A-1, anasjellta e matricës A: . Sepse A -1 A = E dhe E∙X=X, atëherë marrim zgjidhjen e ekuacionit të matricës në formë X = A -1 B .

Vini re se meqenëse matrica e anasjelltë mund të gjendet vetëm për matricat katrore, metoda e matricës mund të zgjidhë vetëm ato sisteme në të cilat numri i ekuacioneve është i njëjtë me numrin e të panjohurave. Megjithatë, shënimi i matricës së sistemit është i mundur edhe në rastin kur numri i ekuacioneve nuk është i barabartë me numrin e të panjohurave, atëherë matrica A nuk është katror dhe për këtë arsye është e pamundur të gjendet një zgjidhje për sistemin në formë X = A -1 B.

Shembuj. Zgjidh sisteme ekuacionesh.

RREGULLI I CRAMER

Konsideroni një sistem prej 3 ekuacionesh lineare me tre të panjohura:

Përcaktori i rendit të tretë që i përgjigjet matricës së sistemit, d.m.th. i përbërë nga koeficientë në të panjohura,

thirrur përcaktues i sistemit.

Ne hartojmë tre përcaktorë të tjerë si më poshtë: zëvendësojmë me radhë 1, 2 dhe 3 kolona në përcaktorin D me një kolonë me terma të lirë

Atëherë mund të vërtetojmë rezultatin e mëposhtëm.

Teorema (rregulla e Kramerit). Nëse përcaktori i sistemit është Δ ≠ 0, atëherë sistemi në shqyrtim ka një dhe vetëm një zgjidhje, dhe

Dëshmi. Pra, merrni parasysh një sistem prej 3 ekuacionesh me tre të panjohura. Shumëzoni ekuacionin e parë të sistemit me komplementin algjebrik A 11 element një 11, ekuacioni 2 - i ndezur A21 dhe 3 - në A 31:

Le të shtojmë këto ekuacione:

Konsideroni secilën nga kllapat dhe anën e djathtë të këtij ekuacioni. Me teoremën mbi zgjerimin e përcaktorit përsa i përket elementeve të kolonës 1

Në mënyrë të ngjashme, mund të tregohet se dhe .

Më në fund, është e lehtë të shihet kjo

Kështu, marrim barazinë: .

Rrjedhimisht,.

Barazitë dhe nxirren në mënyrë të ngjashme, prej nga vijon pohimi i teoremës.

Kështu, vërejmë se nëse përcaktori i sistemit është Δ ≠ 0, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike dhe anasjelltas. Nëse përcaktorja e sistemit është e barabartë me zero, atëherë sistemi ose ka një grup të pafund zgjidhjesh ose nuk ka zgjidhje, d.m.th. të papajtueshme.

Shembuj. Zgjidh një sistem ekuacionesh

METODA E GAUSS

Metodat e konsideruara më parë mund të përdoren për të zgjidhur vetëm ato sisteme në të cilat numri i ekuacioneve përkon me numrin e të panjohurave, dhe përcaktori i sistemit duhet të jetë i ndryshëm nga zero. Metoda Gaussian është më universale dhe është e përshtatshme për sisteme me çdo numër ekuacionesh. Ai konsiston në eliminimin e njëpasnjëshëm të të panjohurave nga ekuacionet e sistemit.

Konsideroni përsëri një sistem prej tre ekuacionesh me tre të panjohura:

.

Ne e lëmë ekuacionin e parë të pandryshuar, dhe nga e dyta dhe e treta përjashtojmë termat që përmbajnë x 1. Për ta bërë këtë, ne e ndajmë ekuacionin e dytë me a 21 dhe shumëzojeni me - a 11 dhe më pas shtoni me ekuacionin e 1-rë. Në mënyrë të ngjashme, ne e ndajmë ekuacionin e tretë në a 31 dhe shumëzojeni me - a 11 dhe më pas shtojeni tek e para. Si rezultat, sistemi origjinal do të marrë formën:

Tani, nga ekuacioni i fundit, eliminojmë termin që përmban x 2. Për ta bërë këtë, ndani ekuacionin e tretë me , shumëzojeni me dhe shtojeni në të dytin. Atëherë do të kemi një sistem ekuacionesh:

Prandaj nga ekuacioni i fundit është e lehtë të gjendet x 3, pastaj nga ekuacioni i 2-të x 2 dhe më në fund nga 1 - x 1.

Kur përdorni metodën Gaussian, ekuacionet mund të ndërrohen nëse është e nevojshme.

Shpesh, në vend që të shkruajnë një sistem të ri ekuacionesh, ata kufizohen në shkrimin e matricës së zgjeruar të sistemit:

dhe pastaj sillni atë në një formë trekëndore ose diagonale duke përdorur shndërrimet elementare.

për të transformimet elementare matricat përfshijnë transformimet e mëposhtme:

1. ndërrimi i rreshtave ose kolonave;
2. shumëzimi i një vargu me një numër të ndryshëm nga zero;
3. duke shtuar në një rresht vija të tjera.

Shembuj: Të zgjidhin sistemet e ekuacioneve me metodën e Gausit.

Kështu, sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh.

Shkruani sistemin e ekuacioneve algjebrike lineare në formë të përgjithshme

Çfarë është një zgjidhje SLAE?

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh është një grup n numrash,

Kur i cili zëvendësohet në sistem, çdo ekuacion bëhet një identitet.

Cili sistem quhet i përbashkët (jo i përbashkët)?

Një sistem ekuacionesh quhet konsistent nëse ka të paktën një zgjidhje.

Një sistem quhet jo konsistent nëse nuk ka zgjidhje.

Cili sistem quhet i caktuar (i pacaktuar)?

Një sistem i përbashkët quhet i caktuar nëse ka një zgjidhje unike.

Një sistem i përbashkët quhet i papërcaktuar nëse ka më shumë se një zgjidhje.

Forma matricore e shkrimit të një sistemi ekuacionesh

Sistemi i renditjes së vektorëve

Rangu i një sistemi vektorësh është numri maksimal i vektorëve linearisht të pavarur.

Renditja e matricës dhe mënyrat për ta gjetur atë

Rangu i matricës- më i larti i renditjeve të minoreve të kësaj matrice, përcaktori i së cilës është i ndryshëm nga zero.

Metoda e parë - metoda e skajimit - është si më poshtë:

Nëse të gjithë të miturit janë të rendit të parë, d.m.th. elementet e matricës janë të barabartë me zero, atëherë r=0 .

Nëse të paktën një nga minoret e rendit të parë nuk është e barabartë me zero, dhe të gjitha minoret e rendit të dytë janë të barabarta me zero, atëherë r=1.

Nëse minorja e rendit të dytë është jozero, atëherë ne hetojmë minorat e rendit të tretë. Në këtë mënyrë gjendet minorja e rendit k-të dhe kontrollohet nëse minoret e rendit k+1-të nuk janë të barabarta me zero.

Nëse të gjitha minoret e rendit k+1 janë të barabarta me zero, atëherë rangu i matricës është i barabartë me numrin k. Minore të tilla të rendit k+1 zakonisht gjenden duke "skarë" minorin e rendit kth.

Metoda e dytë për përcaktimin e renditjes së një matrice është aplikimi i transformimeve elementare të matricës kur ajo ngrihet në një formë diagonale. Renditja e një matrice të tillë është e barabartë me numrin e elementeve diagonale jo zero.

Zgjidhja e përgjithshme e një sistemi johomogjen ekuacionesh lineare, vetitë e tij.

Prona 1. Shuma e çdo zgjidhjeje për një sistem ekuacionesh lineare dhe çdo zgjidhje për sistemin homogjen përkatës është një zgjidhje për sistemin e ekuacioneve lineare.

Prona 2. Dallimi i çdo dy zgjidhjesh të një sistemi johomogjen ekuacionesh lineare është një zgjidhje e sistemit homogjen përkatës.

Metoda e Gausit për zgjidhjen e SLAE

Pasoja:

1) përpilohet një matricë e zgjeruar e sistemit të ekuacioneve

2) me ndihmën e transformimeve elementare, matrica reduktohet në një formë hapi

3) përcaktohet rangu i matricës së zgjeruar të sistemit dhe rangu i matricës së sistemit dhe vendoset një pakt përputhshmërie ose papajtueshmërie të sistemit.

4) në rast të përputhshmërisë, shkruhet sistemi ekuivalent i ekuacioneve

5) gjendet zgjidhja e sistemit. Variablat kryesorë shprehen në terma të lirë

Teorema Kronecker-Capelli

Teorema Kronecker - Capelli- kriteri i përputhshmërisë së sistemit të ekuacioneve algjebrike lineare:

Një sistem ekuacionesh algjebrike lineare është konsistent nëse dhe vetëm nëse rangu i matricës së tij kryesore është i barabartë me gradën e matricës së tij të zgjeruar, dhe sistemi ka një zgjidhje unike nëse rangu është i barabartë me numrin e të panjohurave, dhe një numër i pafund zgjidhjesh nëse rangu është më i vogël se numri i të panjohurave.

Që një sistem linear të jetë konsistent, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës së zgjeruar të këtij sistemi të jetë i barabartë me gradën e matricës së tij kryesore.

Kur sistemi nuk ka zgjidhje, kur ka një zgjidhje të vetme, a ka shumë zgjidhje?

Nëse numri i ekuacioneve të sistemit është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura dhe përcaktori i matricës së tij kryesore nuk është i barabartë me zero, atëherë sisteme të tilla ekuacionesh kanë një zgjidhje unike, dhe në rastin e një sistemi homogjen, të gjitha të panjohura. variablat janë të barabartë me zero.

Një sistem ekuacionesh lineare që ka të paktën një zgjidhje quhet i pajtueshëm. Përndryshe, d.m.th. nëse sistemi nuk ka zgjidhje, atëherë ai quhet jokonsistent.