Çfarë është integrimi me pjesë? Për të zotëruar këtë lloj integrimi, le të kujtojmë së pari derivatin e produktit:

$((\left(f\cdot g \djathtas))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"$

Pyetja është: mirë, çfarë kanë të bëjnë integralet me të? Tani le të integrojmë të dyja anët e këtij ekuacioni. Pra, le të shkruajmë:

$\int(((\left(f\cdot g \djathtas))^(\prime ))\tekst(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\tekst(d)x+\ int(f\cdot(g)"\,\tekst(d)x))$

Por çfarë është primitive e një goditjeje? Është vetëm funksioni në vetvete, i cili është brenda goditjes. Pra, le të shkruajmë:

$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\tekst(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\tekst(d)x))$

Në këtë ekuacion, unë propozoj të shpreh termin. Ne kemi:

$\int((f)"\cdot g\,\tekst(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\tekst(d)x))$

Kjo është ajo që është formula për integrimin sipas pjesëve. Pra, ne në thelb po shkëmbejmë derivatin dhe funksionin. Nëse fillimisht kemi pasur një integral të një goditjeje, të shumëzuar me diçka, atëherë marrim një integral të një diçkaje të re, të shumëzuar me një goditje. Ky është i gjithë rregulli. Në pamje të parë, kjo formulë mund të duket e ndërlikuar dhe e pakuptimtë, por, në fakt, ajo mund të thjeshtojë shumë llogaritjet. Le të shohim.

Shembuj të llogaritjes së integraleve

Detyra 1. Llogaritni:

\[\int(\ln x\,\tekst(d)x)\]\[\]

Le ta rishkruajmë shprehjen duke shtuar 1 përpara logaritmit:

\[\int(\ln x\,\tekst(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\tekst(d)x)\]

Ne kemi të drejtë ta bëjmë këtë sepse nuk do të ndryshojë as numri dhe as funksioni. Tani le ta krahasojmë këtë shprehje me atë që kemi shkruar në formulë. Roli i $(f)"$ është 1, kështu që ne shkruajmë:

$\begin(lidh)& (f)"=1\Djathtas f=x \\& g=\n x\Rightshigjeta (g)"=\frac(1)(x) \\\end (linjë)$

Të gjitha këto funksione janë në tabela. Tani që kemi shkruar të gjithë elementët që përfshihen në shprehjen tonë, do ta rishkruajmë këtë integral duke përdorur formulën e integrimit sipas pjesëve:

\[\fillim(rreshtoj)& \int(1\cdot \ln x\,\tekst(d)x)=x\ln x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\tekst(d )x)=x\ln x-\int(\tekst(d)x)= \\& =x\n x-x+C=x\majtas(\ln x-1 \djathtas)+C \\\ fund(rreshtoj)\]

Kaq, gjendet integrali.

Detyra 2. Llogaritni:

$\int(x((\tekst(e))^(-x))\,\tekst(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\tekst(d) )x))$

Nëse marrim $x$ si derivat nga i cili tani duhet të gjejmë antiderivativin, atëherë marrim $((x)^(2))$, dhe shprehja përfundimtare do të përmbajë $((x)^(2)) ((\tekst(e))^(-x))$.

Natyrisht, detyra nuk është thjeshtuar, kështu që ne do të ndërrojmë faktorët nën shenjën integrale:

$\int(x\cdot ((\tekst(e))^(-x))\,\tekst(d)x)=\int(((\tekst(e))^(-x))\cdot x\,\tekst(d)x)$

Tani le të prezantojmë shënimin:

$(f)"=((\tekst(e))^(-x))\Shigjeta djathtas f=\int(((\tekst(e))^(-x))\,\tekst(d)x) =-((\tekst(e))^(-x))$

Diferenconi $((\tekst(e))^(-x))$:

$((\left(((\tekst(e))^(-x)) \djathtas))^(\prime ))=((\tekst(e))^(-x))\cdot ((\ majtas(-x \djathtas))^(\prime ))=-((\tekst(e))^(-x))$

Me fjalë të tjera, së pari shtohet "minus", dhe më pas të dyja palët integrohen:

\[\fillim(rreshtoj)& ((\majtas(((\tekst(e))^(-x)) \djathtas))^(\prime ))=-((\tekst(e))^(- x))\Djathtas ((\tekst(e))^(-x))=-((\majtas((\tekst(e))^(-x)) \djathtas))^(\prime )) \\& \int(((\tekst(e))^(-x))\,\tekst(d)x)=-\int(((\left(((\tekst(e))^(- x)) \djathtas)) ^(\prime ))\tekst(d)x)=-((\tekst(e))^(-x))+C \\\fund (rreshtoj)\]

Tani le të merremi me funksionin $g$:

$g=x\Djathtas (g)"=1$

Ne e konsiderojmë integralen:

$\fille(lidhoj)& \int(((\tekst(e))^(-x))\cdot x\,\tekst(d)x)=x\cdot \left(-((\tekst(e ))^(-x)) \djathtas)-\int(\majtas(-((\tekst(e))^(-x)) \djathtas)\cdot 1\cdot \text(d)x)= \ \& =-x((\tekst(e))^(-x))+\int(((\tekst(e))^(-x))\,\tekst(d)x)=-x( (\tekst(e))^(-x))-((\tekst(e))^(-x))+C=-((\tekst(e))^(-x))\left(x) +1 \djathtas)+C \\\fund (rreshtoj)$

Pra, ne kemi kryer integrimin e dytë sipas pjesëve.

Detyra 3. Llogaritni:

$\int(x\cos 3x\,\tekst(d)x)$

Në këtë rast, çfarë duhet të merret për $(f)"$, dhe çfarë për $g$? Nëse $x$ vepron si një derivat, atëherë $\frac(((x)^(2)))(2) $, dhe faktori i parë nuk do të zhduket askund - do të jetë $\frac(((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$. Prandaj, ne do t'i ndërrojmë përsëri faktorët:

$\fille(radhis)& \int(x\cos 3x\,\tekst(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\tekst(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\Djathtas shigjeta f=\int(\cos 3x\,\tekst(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\Djathtas (g)"=1 \\\ fund(rreshtoj)$

Ne rishkruajmë shprehjen tonë origjinale dhe e zgjerojmë atë sipas formulës së integrimit sipas pjesëve:

\[\fillim(rreshtoj)& \int(\cos 3x\cdot x\ \tekst(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\tekst(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\tekst(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\\fund(rreshtoj)\]

Gjithçka, detyra e tretë është zgjidhur.

Së fundi, le të shohim përsëri formula për integrimin sipas pjesëve. Si të zgjedhim se cili nga faktorët do të jetë derivat dhe cili do të jetë funksioni real? Këtu ka vetëm një kriter: elementi që do të diferencojmë duhet ose të japë një shprehje “të bukur”, e cila më pas do të reduktohet, ose do të zhduket fare gjatë diferencimit. Ky mësim ka mbaruar.

Merrni parasysh funksionet $u=u(x)$ dhe $v=v(x)$ që kanë derivate të vazhdueshme. Sipas vetive të diferencialeve, barazia e mëposhtme vlen:

$d(u v)=u d v+v d u$

Duke integruar pjesët e majta dhe të djathta të barazisë së fundit, marrim:

$\int d(u v)=\int(u d v+v d u) \Djathtas shigjetë u v=\int u d v+\int v d u$

Ne rishkruajmë barazinë që rezulton në formën:

$\int u d v=u v-\int v d u$

Kjo formulë quhet integrimi sipas formulave të pjesëve. Me ndihmën e tij, integrali $\int u d v$ mund të reduktohet në gjetjen e integralit $\int v d u$, i cili mund të jetë më i thjeshtë.

Koment

Në disa raste, formula për integrimin sipas pjesëve duhet të zbatohet në mënyrë të përsëritur.

Këshillohet që të aplikoni formulën e integrimit sipas pjesëve për integralet e formës së mëposhtme:

1) $\int P_(n)(x) e^(k x) d x$ ; $\int P_(n)(x) \sin (k x) d x$ ; $\int P_(n)(x) \cos (k x) d x$

Këtu $P_(n)(x)$ është një polinom i shkallës $n$, $k$ është një konstante. Në këtë rast, polinomi merret si funksion $u$, dhe faktorët e mbetur merren si $d v$. Për integrale të këtij lloji, formula e integrimit sipas pjesëve zbatohet $n$ herë.

Shembuj të zgjidhjes së integraleve me këtë metodë

Shembull

Ushtrimi. Gjeni integralin $\int(x+1) e^(2 x) d x$

Zgjidhje.

$=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(1)(2) \int e^(2 x) d x=\frac((x+1) e^( 2 x))(2)-\frac(1)(2) \cdot \frac(1)(2) e^(2 x)+C=$

$=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(e^(2 x))(4)+C$

Përgjigju.$\int(x+1) e^(2 x) d x=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(e^(2 x))(4)+C $

Shembull

Ushtrimi. Gjeni integralin $\int x^(2) \cos x d x$

Zgjidhje.

$=x^(2) \sin x-2\left(x \cdot(-\cos) x-\int(-\cos x) d x\djathtas)=$

$=x^(2) \sin x+2 x \cos x-2 \int \cos x d x=$

$=x^(2) \sin x+2 x \cos x-2 \sin x+C=\majtas(x^(2)-1\djathtas) \sin x+2 x \cos x+C$

Përgjigju.$\int x^(2) \cos x d x=\majtas(x^(2)-1\djathtas) \sin x+2 x \cos x+C$

2) $\int P_(n)(x) \arcsin x d x$ ; $\int P_(n)(x) \arccos x d x$; $\int P_(n)(x) \ln x d x$

Këtu supozohet se $d v=P_(n)(x) d x$, dhe faktorët e mbetur si $u$.

Shembull

Ushtrimi. Gjeni integralin $\int \ln x d x$

Zgjidhje. Në integralin origjinal veçojmë funksionet $u$ dhe $v$, më pas kryejmë integrimin sipas pjesëve.

$=x \ln x-\int d x=x \ln x-x+C=x(\ln x-1)+C$

Përgjigju.$\int \ln x d x=x(\n x-1)+C$

Shembull

Ushtrimi. Gjeni integralin $\int \arcsin x d x$

Zgjidhje. Në integralin origjinal veçojmë funksionet $u$ dhe $v$, më pas kryejmë integrimin sipas pjesëve. Për të zgjidhur këtë integral, ky operacion duhet të përsëritet 2 herë.

$=x \arcsin x-\int \frac(-t d t)(\sqrt(t^(2)))=x \arcsin x+\int \frac(t d t)(t)=x \arcsin x+\int d t= $

$=x \arcsin x+t+C=x \arcsin x+\sqrt(1-x^(2))+C$

Përgjigju.$\int \arcsin x d x=x \arcsin x+\sqrt(1-x^(2))+C$

3) $\int e^(k x+b) \sin (c x+f) d x$ ; $\int e^(k x+b) \cos (c x+f) d x$

Në këtë rast, ose eksponenti ose funksioni trigonometrik merret si $u$. Kushti i vetëm është që në aplikimin e mëtejshëm të formulës së integrimit sipas pjesëve, i njëjti funksion të merret si funksion $u$, përkatësisht ose funksioni eksponencial ose trigonometrik.

Shembull

Ushtrimi. Gjeni integralin $\int e^(2 x+1) \sin x d x$

Zgjidhje. Në integralin origjinal veçojmë funksionet $u$ dhe $v$, më pas kryejmë integrimin sipas pjesëve.

$=-e^(2 x+1) \cos x-\int(-\cos x) \cdot \frac(e^(2 x+1))(2) d x=$

Kjo metodë bazohet në formulën e mëposhtme: (*)

Le dhe janë funksione të x që kanë derivate të vazhdueshme dhe .

Dihet se ose ; ose .

Integrale dhe , pasi sipas supozimit funksionet u dhe v janë të diferencueshëm dhe si rrjedhim të vazhdueshëm.

Formula (*) quhet formula e integrimit sipas pjesëve.

Metoda e bazuar në aplikimin e saj quhet metoda e integrimit sipas pjesëve.

Ai redukton llogaritjen në llogaritjen e një integrali tjetër: .

Zbatimi i metodës së integrimit sipas pjesëve konsiston në faktin se nën shprehjen integrale të një integrali të caktuar ata përpiqen të përfaqësojnë në formën e një produkti, ku dhe janë disa funksione të x, dhe këto funksione janë zgjedhur në mënyrë që ishte më e lehtë për t'u llogaritur sesa integrali origjinal. Kur të llogaritet gjetur më parë dhe .

(si "v" merret një nga antiderivativët fillestarë të gjetur nga dv, prandaj, në të ardhmen, kur llogaritim "v", do të heqim konstantën C në shënim).

Koment. Kur faktorizoni nën shprehjen integrale, duhet kuptuar se çfarë dhe duhet të përmbajë.

Fatkeqësisht, është e pamundur të jepen rregulla të përgjithshme për faktorizimin e shprehjes integrale në faktorët "u" dhe "dv". Kjo mund të mësohet me praktikë të madhe dhe të menduar.

Me gjithë këtë, duhet pasur parasysh se ishte më i thjeshtë se integrali origjinal.

Shembulli 6.6.22.

Ndonjëherë, për të marrë rezultatin përfundimtar, rregulli i integrimit sipas pjesëve zbatohet me radhë disa herë.

Metoda e integrimit sipas pjesëve është e përshtatshme për t'u përdorur, natyrisht, jo çdo herë, dhe aftësia për ta përdorur varet nga përvoja.

Gjatë llogaritjes së integraleve, është e rëndësishme të përcaktohet saktë se cila metodë e integrimit duhet të përdoret (si në shembullin e mëparshëm, zëvendësimi trigonometrik çon në qëllimin më shpejt).

Konsideroni integralet më të zakonshme që llogariten me integrim sipas pjesëve.

1.Integrale të formës :

ku është një polinom numër i plotë (në lidhje me x); a është një numër konstant.

Nëse prodhimi i një funksioni trigonometrik ose eksponencial është një algjebrik nën shenjën integrale, atëherë funksioni algjebrik zakonisht merret për "u".

Shembulli 6.6.23.

Vini re se një ndarje tjetër në faktorë: nuk çon te qëllimi.

E vërtetuar
.

Ne marrim një integral më kompleks.

2.Integrale të formës :

ku është një polinom.

Nëse shenja integrale është prodhim i logaritmit të një funksioni ose i një funksioni trigonometrik të anasjelltë nga një algjebrik, atëherë funksionet duhet të merren si "u".

Shembulli 6.6.23.

3.Integrale të formës:

Këtu mund të përdorni cilindo nga 2 ndarjet e mundshme të shprehjes integrale në faktorë: për "u" mund të merrni të dyja dhe .

Për më tepër, llogaritja e integraleve të tillë duke përdorur metodën e integrimit sipas pjesëve çon në integralin origjinal, domethënë, merret një ekuacion në lidhje me integralin e dëshiruar.

Shembulli 6.6.24 Llogarit .

.

Gjatë integrimit, shpesh është e nevojshme të zbatohet në mënyrë të njëpasnjëshme metoda e zëvendësimit dhe metoda e integrimit sipas pjesëve.

Shembulli 6.6.25.

Integrimi i disa funksioneve që përmbajnë një trinom katror

1)

.

dhe këto janë integrale tabelare.

2) koeficientët e numrave realë

në numërues zgjedhim derivatin e emëruesit.

a,b,c janë numra realë

a) ; atëherë kemi:

b) . Në këtë rast, ka kuptim të merret parasysh vetëm kur diskriminuesi trinom pozitive:

Tani kemi:

Koment. Në praktikë, ata zakonisht nuk përdorin rezultate të gatshme, por preferojnë të kryejnë përsëri llogaritje të ngjashme çdo herë.

Shembull.

4)

Ne e transformojmë numëruesin në mënyrë që prej tij të nxirret derivati ​​i trinomit katror:

Për shkak të faktit se në praktikë nuk ekziston një metodë e përgjithshme e përshtatshme për llogaritjen e integraleve të pacaktuar, së bashku me metoda të veçanta të integrimit (shih leksionin e mëparshëm), ne gjithashtu duhet të marrim parasysh metodat për integrimin e disa klasave të veçanta të funksioneve, integralet e të cilave janë haset shpesh në praktikë.

Klasa më e rëndësishme midis tyre është klasa e funksioneve racionale.

"Integrimi i funksioneve thyesore-racionale"

Integrimi i një thyese racionale të duhur bazohet në zgjerimin e një thyese racionale në një shumë të thyesave elementare.

Thyesat elementare (të thjeshta) dhe integrimi i tyre.

Përkufizimi. Thyesat e formës: ; (1)

(2), ku

(d.m.th., rrënjët e trinomit janë komplekse), quhen elementare.

Merrni parasysh integrimin e thyesave elementare

2)

(ku le ).

Ne llogarisim integralin

(*)

Integrali i fundit llogaritet duke përdorur një formulë rekursive.

Ndonjëherë integrimi sipas pjesëve ju lejon të merrni lidhjen midis një integrali të pacaktuar që përmban shkallën e një funksioni dhe një integrali të ngjashëm, por me një eksponent më të vogël të të njëjtit funksion. Marrëdhënie të tilla quhen formula rekursive.

Shënoni me .

Ne kemi:

Në integralin e fundit vendosim:

Kjo është arsyeja pse

ku

Kështu, kemi ardhur në një formulë rekursive: aplikimi i përsëritur i së cilës përfundimisht çon në integralin "tabelë":

Pastaj në vend të "t" dhe "k" ne zëvendësojmë vlerat e tyre.

Shembulli 6.6.26.

(sipas formulës së përsëritjes).=

.

Një thyesë racionale është një funksion i përfaqësuar në formë ; ku dhe janë polinome me koeficientë realë.

Një thyesë racionale quhet e duhur nëse shkalla e numëruesit është më e vogël se shkalla e emëruesit.

Çdo thyesë e duhur racionale mund të përfaqësohet si shuma e një numri të kufizuar thyesash elementare.

Zbërthimi i një thyese të duhur në ato elementare përcaktohet nga teorema e mëposhtme, të cilën e konsiderojmë pa prova.

Teorema . Nëse thyesa - e saktë dhe, (ku trinomi nuk ka rrënjë reale), atëherë identiteti është i vërtetë:

(Unë)

Vini re se çdo rrënjë reale, për shembull a, e shumëfishimit " " të polinomit në këtë zgjerim korrespondon me shumën e fraksioneve elementare të formës (1), dhe me çdo çift rrënjësh komplekse të konjuguara dhe (të tilla që ) të shumëfishimit " " - shuma e thyesave elementare të formës (2).

Për të kryer zgjerimin (I), duhet të mësoni se si të përcaktoni koeficientët .

Ka mënyra të ndryshme për t'i gjetur ato. Do të shqyrtojmë metodën e koeficientëve të papërcaktuar dhe metodën e vlerave të pjesshme.

Integrali i pacaktuar

1 Integral antiderivativ dhe i pacaktuar 1

2 Vetitë më të thjeshta të integralit të pacaktuar. 3

Tabela e integraleve bazë 3

2.1 Tabela shtesë e integraleve 4

3 Ndryshimi i ndryshores në integral të pacaktuar 5

3.1Mënyra e integrimit të funksioneve të formës dhe (a≠ 0). 6

4 Integrimi sipas pjesëve në integralin e pacaktuar 7

4.1 Metoda e integrimit të funksioneve të formës. 7

4.2 Mënyra e integrimit të funksioneve të formës: 8

5 Integrimi i thyesave racionale 8

5.1 Metoda e integrimit të thyesave më të thjeshta të tipit 4. njëmbëdhjetë

6 Integrimi i shprehjeve irracionale 12

6.1Integrimi i shprehjeve trigonometrike 14

1. Integrali antiderivativ dhe i pacaktuar

Zgjidheni ekuacionin diferencial

në intervalin , d.m.th. gjeni një funksion të tillë që . Meqenëse, ekuacioni (1) mund të rishkruhet në diferenciale:

Çdo zgjidhje për një ekuacion të tillë quhet funksion antiderivativ. Pra thirret funksioni funksioni antiderivativ në intervalin nëse për të gjithë . Rastet dhe/ose nuk përjashtohen. Është e qartë se nëse antiderivativ, atëherë edhe antiderivativ. Detyra jonë është të gjejmë të gjitha zgjidhjet e ekuacionit (1). Funksioni i dy ndryshoreve quhet zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit (1) ose, me fjalë të tjera, integral i pacaktuar funksionet nëse, kur zëvendësojmë ndonjë numër, marrim një zgjidhje të caktuar të ekuacionit (1) dhe çdo zgjidhje e veçantë e ekuacionit (1) fitohet në këtë mënyrë.

Integrali i pacaktuar shënohet me . Funksioni quhet integrand, diferenciali quhet integrand dhe është shenja e integralit (shkronja latine e shtrirë S, shkronja e parë e fjalës Sum është shuma). Shtrohet pyetja për ekzistencën e një antiderivati ​​dhe një integrali të pacaktuar. Në rubrikën "Integrali i caktuar", § formula e Njuton-Leibnizit, do të vërtetohet se antiderivati ​​i një funksioni të vazhdueshëm ekziston gjithmonë.

Lemë.Le të jetë identike për të gjithë. Pastaj është një konstante në këtë interval.

Dëshmi. Le të shënojmë për çdo pikë. Le të marrim një pikë arbitrare dhe të zbatojmë teoremën e Lagranzhit për ndryshimin: për një pikë . Prandaj lema vërtetohet.□

Teorema mbi antiderivativët. Dy antiderivativë të të njëjtit funksion të përcaktuar në një interval ndryshojnë nga një konstante.

Dëshmi. Le të jenë funksione antiderivative. Pastaj nga ku, nga lema -- konstante. Rrjedhimisht, . □

Pasoja. Nëse është antiderivati ​​i funksionit, atëherë .

Vini re se nëse marrim jo një interval si një funksion ODZ, por, për shembull, një grup të tillë të shkëputur si bashkimi i dy intervaleve , pastaj çdo funksion të formës

ka një derivat zero, dhe kështu lema dhe teorema antiderivative pushojnë së qeni e vërtetë në këtë rast.

1. Vetitë më të thjeshta të integralit të pacaktuar.

1. Integrali i shumës është i barabartë me shumën e integraleve:

2. Konstanta mund të hiqet nga shenja integrale:

3. Derivati ​​i integralit është i barabartë me integrandin.

4. Diferenciali nga integrali është i barabartë me integrandin.

5. (Ndryshimi linear i variablave) Nëse , pastaj (këtu).

Tabela e integraleve bazë

Veçanërisht,

Për një rast të jashtëzakonshëm kemi:

1. Tabela shtesë e integraleve

1. Ndryshimi i ndryshores në integralin e pacaktuar

Le ta zgjerojmë përkufizimin e integralit të pacaktuar në një rast më të përgjithshëm: supozojmë me përkufizim . Kështu, për shembull

Teorema. Le të jetë një funksion i diferencueshëm. Pastaj

Dëshmi. Le . Pastaj

që duhej vërtetuar.□

Në rastin e veçantë kur marrim një ndryshim linear të ndryshoreve (shih vetinë 5, §1). Zbatimi i formulës (1) "nga e majta në të djathtë" do të thotë ndryshim i ndryshores. Zbatimi i formulës (1) në drejtim të kundërt, "nga e djathta në të majtë" quhet hyrje nën shenjën diferenciale.

Shembuj. POR.

1. Zgjedhim derivatin e trinomit katror në numërues:

3. Për të llogaritur integralin e parë në (2), përdorim hyrjen nën shenjën e diferencialit:

Për të llogaritur integralin e dytë, ne zgjedhim një katror të plotë në një trinom katror dhe e zvogëlojmë atë në një tabelë me një ndryshim linear të ndryshoreve.

Integrale të formës

Shembuj

1. Integrimi sipas pjesëve në integralin e pacaktuar

Teorema. Për funksionet e diferencueshme dhe kemi relacionin

Dëshmi. Integrimi i anës së majtë dhe të djathtë të formulës , marrim:

Meqenëse sipas përkufizimit dhe , vijon formula (1).□

Shembull.

Për të integruar funksione të tilla, ne vendosim polinomin nën shenjën diferenciale dhe zbatojmë formulën e integrimit për pjesë. Procedura përsëritet k herë.

Shembull.

1. Integrimi i thyesave racionale

Thyesë racionale quhet funksion i formës , ku janë polinomet. Nëse , atëherë thirret një thyesë racionale korrekte. Ndryshe quhet gabim.

Thyesat racionale të mëposhtme quhen më të thjeshtat

(lloji 2)

(lloji 3)

(lloji 4) ,

Teorema 1.Çdo thyesë mund të zbërthehet në shumën e një polinomi dhe një fraksioni të duhur racional.

Dëshmi. Lë të jetë një thyesë e papërshtatshme racionale. Ndani numëruesin me emëruesin me një mbetje: Këtu janë polinomet dhe Pastaj

Thyesa është e saktë për shkak të pabarazisë. □

Teorema 2.Çdo thyesë e duhur racionale mund të zbërthehet në një shumë më të thjeshtë.

Algoritmi i zbërthimit.

a) Zgjerojmë emëruesin e një thyese të duhur në një produkt të polinomeve të pareduktueshme (lineare dhe kuadratike me diskriminues negativ):

Këtu dhe -- shumëzimet e rrënjëve përkatëse.

b) Thyesën e zbërthejmë në shumën e më të thjeshtëve me koeficientë të pacaktuar sipas parimeve të mëposhtme:

Ne e bëjmë këtë për çdo faktor linear dhe për çdo faktor kuadratik.

c) Zgjerimi që rezulton shumëzohet me një emërues të përbashkët dhe koeficientët e pacaktuar gjenden nga kushti që pjesa e majtë dhe e djathtë të jenë identike. Puna me një kombinim të dy metodave

??? – vërtetimi i algoritmit

Shembuj. A. Zbërthehet në shumën e më të thjeshtëve

Prandaj rrjedh se. Duke zëvendësuar këtë raport, ne gjejmë menjëherë . Kështu që

B. Zgjero thyesën racionale në shumën e më të thjeshtëve. Zgjerimi i kësaj thyese me koeficientë të pacaktuar ka formën

Duke shumëzuar me një emërues të përbashkët, marrim raportin

Duke zëvendësuar këtu, gjejmë se ku. Zëvendësimi gjejmë . Duke barazuar koeficientët në , marrim sistemin

Nga këtu dhe. Duke shtuar barazitë e sistemit të fundit, marrim dhe . Pastaj dhe

Rrjedhimisht,

/**/ Një detyrë. Përgjithësoni rezultatin e shembullit A dhe vërtetoni barazinë

1. Mënyra e integrimit të thyesave më të thjeshta të tipit të 4-të.

a) Duke e ndarë derivatin e emëruesit në numërues, zgjerojmë integralin në shumën e dy integraleve.

b) I pari nga integralet që rezultojnë, pasi të futet nën shenjën e diferencialit, do të bëhet tabelor.

c) Në emëruesin e dytë, zgjidhni katrorin e plotë dhe zvogëloni llogaritjen në një integral të formës . Ne aplikojmë procedurën rekursive të mëposhtme për këtë integral

Ne aplikojmë formulën e integrimit për pjesë në integralin e fundit:

Pra, nëse caktojmë , pastaj

Kjo është një formulë rekursive për llogaritjen e integraleve duke pasur parasysh vlerën fillestare .

Shembull

1. Integrimi i shprehjeve irracionale

Integrale të formës , ku m/n,...,r/s janë numra racional me emërues të përbashkët k, reduktohen në integralin e një funksioni racional nga ndryshimi

Atëherë thelbi i shprehjeve racionale, prandaj, pas zëvendësimit, marrim integralin e fraksionit racional:

Duke llogaritur këtë integral (shih par. 4) dhe duke bërë zëvendësimin e kundërt, marrim përgjigjen.

Në mënyrë të ngjashme, integrale të formës

ku ad-bc≠ 0 dhe k ka të njëjtin kuptim si më sipër, reduktohen në integrale të një thyese racionale duke zëvendësuar

Shembuj. A. Njehsoni integralin

B. Njehsoni integralin

Një metodë më e thjeshtë e integrimit (por që kërkon një supozim) për të njëjtin funksion është kjo:

1. Integrimi i shprehjeve trigonometrike

Integrale të formës reduktohen në integrale të një funksioni racional nga ndryshimi universal

pra marrim integralin e shprehjes racionale

Në raste të veçanta  R(sin x) cos x dx,  R(cos x) sin x dx dhe R(sin 2 x, cos 2 x, tg x, ctg x) dx, është më mirë të përdoren zëvendësimet, përkatësisht .

>> Metodat e integrimit

Metodat bazë të integrimit

Përkufizimi i integralit integral, i caktuar dhe i pacaktuar, tabela e integraleve, formula Njuton-Leibniz, integrimi sipas pjesëve, shembuj të llogaritjes së integraleve.

Integrali i pacaktuar

Një funksion F(x) i diferencueshëm në një interval të caktuar X quhet antiderivativ për funksionin f(x), ose një integral i f(x) nëse për çdo x ∈X vlen barazia:

F "(x) = f(x). (8.1)

Gjetja e të gjithë antiderivativëve për një funksion të caktuar quhet e saj integrimin. Integrali i pacaktuar i funksionit f(x) në një interval të caktuar X është bashkësia e të gjithë antiderivativëve për funksionin f(x); emërtimi -

Nëse F(x) është një antiderivativ për funksionin f(x), atëherë ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

ku C është një konstante arbitrare.

Tabela e integraleve

Direkt nga përkufizimi marrim vetitë kryesore të integralit të pacaktuar dhe listën e integraleve të tabelës:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=konst)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Lista e integraleve të tabelës

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x / ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctg x + C

8.=arcsin x + C

10.=-ctg x + C

Zëvendësimi i ndryshueshëm

Për të integruar shumë funksione, përdoret metoda e ndryshimit të një ndryshoreje ose zëvendësimet, duke lejuar sjelljen e integraleve në një formë tabelare.

Nëse funksioni f(z) është i vazhdueshëm në [α,β], funksioni z =g(x) ka një derivat të vazhdueshëm dhe α ≤ g(x) ≤ β, atëherë

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

për më tepër, pas integrimit në anën e djathtë, duhet bërë një zëvendësim z=g(x).

Për ta vërtetuar atë, mjafton të shkruhet integrali origjinal në formën:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Për shembull:

1)

2) .

Mënyra e integrimit sipas pjesëve

Le të jenë funksione u = f(x) dhe v = g(x) që kanë . Më pas, sipas punimeve,

d(uv))= udv + vdu ose udv = d(uv) - vdu.

Për shprehjen d(uv), antiderivati ​​do të jetë padyshim uv, kështu që formula zhvillohet:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Kjo formulë shpreh rregullin integrimi sipas pjesëve. E sjell integrimin e shprehjes udv=uv"dx tek integrimi i shprehjes vdu=vu"dx.

Le të, për shembull, kërkohet të gjendet ∫xcosx dx. Le të u = x, dv = cosxdx, pra du=dx, v=sinx. Pastaj

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Rregulli i integrimit sipas pjesëve ka një shtrirje më të kufizuar se ndryshimi i ndryshores. Por ka klasa të tëra integralesh, për shembull,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax dhe të tjera, të cilat llogariten saktësisht duke përdorur integrimin sipas pjesëve.

Integral i caktuar

Koncepti i një integrali të caktuar paraqitet si më poshtë. Le të përcaktohet një funksion f(x) në një interval. Le ta ndajmë segmentin [a,b] në n pjesë nga pika a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i \u003d x i - x i-1. Shuma e trajtës f(ξ i)Δ x i quhet shuma integrale, dhe kufiri i tij në λ = maxΔx i → 0, nëse ekziston dhe është i fundëm, quhet integral i caktuar funksionet f(x) të a përpara b dhe shënohet:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Funksioni f(x) në këtë rast thirret të integrueshme në një segment, quhen numrat a dhe b kufiri i poshtëm dhe i sipërm i integralit.

Karakteristikat e mëposhtme vlejnë për një integral të caktuar:

4), (k = konst, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Vetia e fundit quhet teorema e vlerës mesatare.

Le të jetë f(x) e vazhdueshme në . Pastaj në këtë segment ekziston një integral i pacaktuar

∫f(x)dx = F(x) + C

dhe zhvillohet Formula Njuton-Leibniz, e cila lidh integralin e caktuar me atë të pacaktuar:

F(b) - F(a). (8.6)

Interpretimi gjeometrik: integrali i caktuar është zona e një trapezi lakor të kufizuar nga lart nga kurba y=f(x), drejtëzat x = a dhe x = b dhe segmenti i boshtit kau.

Integrale të pahijshme

Integralet me kufij të pafundëm dhe integrale të funksioneve të ndërprera (të pakufizuara) quhen e pahijshme. Integrale të pahijshme të llojit të parë - këto janë integrale në një interval të pafund, të përcaktuar si më poshtë:

(8.7)

Nëse ky kufi ekziston dhe është i fundëm, atëherë quhet integrali i parregullt konvergjent i f(x) në intervalin [а,+ ∞), dhe thirret funksioni f(x). i integrueshëm në një interval të pafund[a,+ ∞). Përndryshe, integrali thuhet se është nuk ekziston ose ndryshon.

Integralet e pahijshme në intervalet (-∞,b] dhe (-∞, + ∞) janë përcaktuar në mënyrë të ngjashme:

Le të përcaktojmë konceptin e një integrali të një funksioni të pakufizuar. Nëse f(x) është e vazhdueshme për të gjitha vlerat x segment , me përjashtim të pikës c, në të cilën f(x) ka një ndërprerje të pafundme, atëherë integral i pahijshëm i llojit të dytë të f(x) duke filluar nga a në b e quajti shumën:

nëse këto kufij ekzistojnë dhe janë të fundme. Përcaktimi:

Shembuj të llogaritjes së integraleve

Shembulli 3.30. Njehsoni ∫dx/(x+2).

Zgjidhje. Shënoni t = x+2, pastaj dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Shembulli 3.31. Gjeni ∫ tgxdx.

Zgjidhje.∫tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Le të jetë t=cosx, atëherë ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Shembull3.32 . Gjeni ∫dx/sinx

Zgjidhje.

Shembull3.33. Gjej .

Zgjidhje. =

.

Shembull3.34 . Gjeni ∫arctgxdx.

Zgjidhje. Ne integrojmë me pjesë. Shënoni u=arctgx, dv=dx. Atëherë du = dx/(x 2 +1), v=x, prej nga ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; sepse
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Shembull3.35 . Llogarit ∫lnxdx.

Zgjidhje. Duke aplikuar formulën e integrimit sipas pjesëve, marrim:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Atëherë ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Shembull3.36 . Njehsoni ∫e x sinxdx.

Zgjidhje. Shënoni u = e x, dv = sinxdx, pastaj du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Integrali ∫e x cosxdx është gjithashtu i integrueshëm sipas pjesëve: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Ne kemi:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Morëm relacionin ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, prej nga 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Shembull 3.37. Llogaritni J = ∫cos(lnx)dx/x.

Zgjidhje. Meqenëse dx/x = dlnx, atëherë J= ∫cos(lnx)d(lnx). Duke zëvendësuar lnx përmes t, arrijmë në tabelën integrale J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Shembull 3.38 . Llogaritni J = .

Zgjidhje. Duke marrë parasysh se = d(lnx), bëjmë zëvendësimin lnx = t. Atëherë J = .