Bu erda ketma-ketlikning cheklangan chegarasi mavjudligining umumiy mezonini ko'rib chiqish taklif etiladi,
.

Ta'rif 3.5. Keyingi ketma-ketlik ,
, agar ixtiyoriy son uchun fundamental deb ataladi
raqam bor bu hamma uchun
tengsizlik
.

Asosiy ketma-ketlikning ta'rifi ko'pincha quyidagi shaklda foydalanish uchun qulaydir.

Ta'rif 3.6. Keyingi ketma-ketlik ixtiyoriy son uchun asosiy hisoblanadi
raqam bor bu hamma uchun
va har qanday natural son tengsizlik
.

3.13 teorema (Koshi mezoni). Ketma-ketlik yaqinlashishi uchun uning asosiy bo'lishi zarur va etarli.

Isbot. Kerak. Ketma-ketlikka ruxsat bering ,
, yaqinlashadi, ya'ni mavjud
. Keling, tanlaymiz
. Keyin raqam bor bu hamma uchun
quyidagi tengsizlik amal qiladi:
.

Mayli
va
, keyin

=


,

bu ketma-ketlikning asosiy ekanligini anglatadi.

Adekvatlik. Ketma-ketlikka ruxsat bering asosiy hisoblanadi. Keling, uning birlashishini isbotlaylik. Qiyinchilik bunday raqamni topishda yotadi a, bu uning chegarasi.

Keling, bahsni bir necha bosqichlarga ajratamiz.

a) Ketma-ketlikning asosiy ekanligi uning chegaralanganligini bildirishini isbotlaylik. O'ylab ko'ring ε =1, unda shunday raqam mavjud n 1 , bu hamma uchun

n, m ≥ n 1 tengsizlik
. Barcha uchun n≥ n 1 adolatli:

.

Har bir natural uchun , a bo'lsin tengsizliklar
, ya'ni cheklangan.

b) Biz tabiiylikni tanlaymiz n. To'plamni ko'rib chiqing
- raqamlari tanlanganidan kam bo'lmagan ketma-ketlik a'zolarining qiymatlari to'plami n. a) to'plamda isbotlangan narsa bilan X 1 cheklangan. Va aniq investitsiyalardan
shundan kelib chiqadiki, bu to'plamlarning har biri chegaralangan.

c) ikkita yangi ketma-ketlikni ko'rib chiqing. Shu maqsadda, har bir to'plam uchun
belgilaymiz:
,
. b) da berilgan qo'shimchalardan ketma-ketlik kelib chiqadi ortadi (
) va ketma-ketlik kamayadi (
). Shunung uchun
, ya'ni ketma-ketliklar monoton va chegaralangan va shuning uchun yaqinlashadi. Shuni ham yodda tutingki, hamma tabiiy n aniq tengsizliklar
.

d) Bu ikki ketma-ketlikning farqi nolga moyilligini isbotlaylik:
. Keling, fundamentallik shartidan foydalanamiz. Ixtiyoriy raqam uchun
raqam bor bu hamma uchun k ≥ n ε tengsizliklar
. Bu tengsizliklar bizga shunday xulosa chiqarishga imkon beradi

da n≥ n ε . Binobarin,
.

e) c) qismda isbotlanganidek ketma-ketlik birlashadi, ruxsat
. Chunki
va keyin tengsizliklardan
va ikki politsiyachi lemma dan bu quyidagicha
. Etarliligi isbotlangan. Teorema isbotlangan.

3.9. Quyi ketma-ketliklar. Qisman chegaralar

Ta'rif 3.7. Mayli ,
, - ba'zi sonli ketma-ketlik va ruxsat ,
natural sonlarning qat'iy ortib boruvchi ketma-ketligidir. Keyin shaklning ketma-ketligi
,
, ketma-ketlikning kichik ketma-ketligi deyiladi .

Agar ketma-ketlikning chegarasi bo'lmasa, bu ba'zi bir keyingi ketma-ketliklar uchun chegara mavjudligini istisno qilmaydi.

Ta'rif 3.8. Ketma-ketlikning qisman chegarasi ayrim konvergent quyi ketma-ketlikning chegarasidir.

3.18-misol. Mayli
. Bu ketma-ketlik farqlanadi (3.2-bo'limga qarang), lekin uning keyingi ketma-ketligi
va
mos ravishda 1 va -1 ga yaqinlashadi. Demak, bu raqamlar ketma-ketlikning qisman chegaralaridir
.

3.14 teorema. Ketma-ketlikka ruxsat bering ,
, songa yaqinlashadi a. Keyin uning har qanday pastki ketma-ketligi ham yaqinlashadi a.

Isbot. Mayli
,
, - ketma-ketlikning pastki ketma-ketligi ,
. Chunki natural sonlar ketma-ketligini qat'iy oshirib, keyin
Barcha uchun
(buni induksiya orqali isbotlash oson). Keling, tanlaymiz
. Konvergentsiyaning ta'rifi bo'yicha uchun a Barcha uchun
tengsizlik qondiriladi
.Teorema isbotlangan.

Vazifa 3.14 Ketma-ketlik yaqinlashishi uchun uning har bir kichik ketma-ketligi yaqinlashishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.

Muammo 3.15. Buni shartlardan isbotlang
a va
a shundan kelib chiqadi
a.

Muammo 3.16. To'liq o'nta qisman chegaraga ega bo'lgan ketma-ketlikka misol keltiring.

Muammo 3.17. Har bir haqiqiy son qisman chegara bo'lgan ketma-ketlikka misol keltiring.

Cheklangan ketma-ketlik holatida qisman chegaralar mavjudligi masalasini ko'rib chiqing.

3.15 teorema (Bolzano-Vayershtrass). Har qanday chegaralangan ketma-ketlikda konvergent quyi ketma-ketlik mavjud.

Isbot. Ketma-ketlikning chegaralanganligi tufayli bunday raqamlarni ko'rsatish mumkin
, qaysi biri uchun tengsizliklar
. Segmentni ajrating
yarmida. Keyin kamida bir yarmi ketma-ketlik a'zolarining cheksiz sonini o'z ichiga oladi. Bu ketma-ketlikning cheksiz sonli a'zolardan iboratligi va faqat ikkita yarmi borligidan kelib chiqadi. Biz bu yarmini tanlaymiz va bilan belgilaymiz
, agar ikkalasi ham bo'lsa, u holda ulardan birortasi.

Keyingi, kesish
yana yarmiga bo'ling va ketma-ketlikda cheksiz sonli atamalarni o'z ichiga olgan yarmini tanlang. bilan belgilaymiz
. Bu jarayonni davom ettirib, -chi bosqichda biz segmentni olamiz
, u berilgan ketma-ketlikning cheksiz ko'p a'zolarini o'z ichiga oladi. Tuzilgan segmentlarning har biri avvalgisida joylashgan. Kesilgan uzunlik
ga teng , ya'ni sifatida nolga intiladi . Cantor ichki segmentlari lemmasidan foydalanib, biz ketma-ketlikni olamiz
va
umumiy chegaraga moyil, uni bilan belgilang a.

Keling, birlashmani quraylik a keyingi ketma-ketlik. Sifatida ketma-ketlik a'zolaridan birini tanlang
tarkibida mavjud
. Sifatida
ketma-ketlikning shunday a'zosini tanlang
, tarkibida mavjud
va raqam Ko'proq (bu erda segment ishlatiladi
ketma-ketlikning cheksiz ko'p a'zolarini o'z ichiga oladi). Xuddi shunday bahslashish, -chi qadam sifatida
ketma-ketlikning shunday a'zosini tanlang
, tarkibida mavjud
va raqam Ko'proq
. Eslatib o'tamiz, tuzilgan segmentlarning har biri bunday tanlash imkoniyatini belgilaydigan ketma-ketlikning cheksiz ko'p a'zolarini o'z ichiga oladi. Chunki
, a
, keyin ikki politsiyachi haqida lemma tomonidan
.Teorema isbotlangan.

Ketma-ketlikning barcha qisman chegaralari to'plami bilan belgilanadi
. Tasdiqlangan Bolzano-Vayershtrass teoremasini quyidagicha qayta shakllantirish mumkin:

har bir chegaralangan ketma-ketlik to'plamiga ega
qisman chegaralar bo'sh emas.

Bundan tashqari, biz tengsizliklarda chegaraga o'tish teoremasi bo'yicha ketma-ketlikning chegaralanganligi to'plamning chegaralanganligini bildirishini ta'kidlaymiz.
. Juda ko'p
aniq yuqori va pastki qirralarga ega.

Ta'rif 3.9. Mayli ,
, chegaralangan ketma-ketlikdir va ruxsat
uning barcha qisman chegaralari to'plamidir. Qiymatlar

,

navbati bilan ketma-ketlikning pastki va yuqori chegaralari deyiladi. .

Bu ta'rifdan bevosita raqamlar kelib chiqmaydi ,to'plamga tegishli
, lekin baribir haqiqat

3.16 teorema. Chegaralangan ketma-ketlikning yuqori va pastki chegaralari uning qisman chegaralari hisoblanadi.

Isbot. Keling, bunday pastki ketma-ketlik mavjudligini ko'rsataylik
, nima
. Chunki
<, keyin eng kichik yuqori chegaraning ta'rifi bo'yicha, mavjud dan
, buning uchun
. Keyingi, bor

, buning uchun
, va umuman, har qanday uchun bo'ladi

, tengsizliklarni qondirish:

.

Har biridan beri qisman chegara hisoblanadi, keyin har qanday mahalla ketma-ketlikning cheksiz ko'p a'zolarini o'z ichiga oladi . Shuning uchun raqam bor , buning uchun
; raqam bor , buning uchun

va
.

Mulohazalarni davom ettirish, har biri uchun ko'rib chiqing , shartlarni qondirish

va
.

Keyingi ketma-ketlik shunday tuzilgan
tengsizliklarni qanoatlantiradi

va ikki politsiyachi tomonidan lemma moyil .

ga yaqinlashuvchi keyingi ketma-ketlik .Teorema isbotlangan.

Isbotlangan teoremadan, xususan, shunday ketma-ketlik mavjud emas, uning barcha qisman chegaralari to'plami cheklangan intervaldir.

Biz ketma-ketlikning yuqori va pastki chegaralarini bilan belgilaymiz
va
mos ravishda. Bu miqdorlarning xarakterli xossalaridan biri sifatida quyidagi teoremani isbotlaymiz.

3.17 teorema . Mayli - cheklangan ketma-ketlik,
;
. Keyin har qanday ijobiy raqam uchun tengsizliklarning har biri
va
ketma-ketlikda faqat cheklangan shartlar to'plamini qanoatlantiradi.

Isbot. Buning aksini faraz qilaylik. Raqamlar to'plamiga ruxsat bering tengsizlikni qanoatlantiruvchi ketma-ketlik a'zolari
, cheksiz. Keling, bu raqamlarni o'sish tartibida joylashtiramiz:
Keyin keyingi ketma-ketlik
tengsizliklarni qanoatlantiradi
. Bolzano-Veyershtras teoremasiga ko'ra, undan konvergent pastki ketma-ketlikni, chegarani chiqarish mumkin. dan ortiq . Bu aniq

, bu haqiqatga zid keladi - yuqori chet. Olingan qarama-qarshilik teoremani isbotlaydi.

KOCHI MEZONI

1) sonli ketma-ketlikning yaqinlashishi: sonlar uchun (haqiqiy yoki murakkab) x n, n=1, 2, . . ., chegarasi bor, har qanday kishi uchun hamma uchun N soni mavjud bo'lishi zarur va etarli amalga oshirildi; bajarildi

Raqamli ketma-ketlikning yaqinlashish mezoni to'liq metrikaning nuqtalarining yaqinlashuvi mezoniga umumlashtiriladi. bo'sh joy.

Nuqtalar ketma-ketligi (x n) to'liq metrik fazo birlashadi, agar biron bir uchun shunday bo'lsa va faqat N, bu barcha tengsizliklar uchun

2) K. k. n ta oʻzgaruvchining funksiyalar chegarasining mavjudligi.. X oʻlchamli fazo toʻplamida f aniqlansin. R n va raqamli (haqiqiy yoki murakkab) qiymatlarni oladi, a - X to'plamining chegara nuqtasi (yoki belgisi, bu holda X chegaralanmagan). Cheklangan chegara mavjud bo'ladi, agar har birida shunday bo'lsa va faqat mavjud bo'lsa U=U(a) . ball a, bu har qanday va tengsizlik uchun

Ushbu mezonni umumiyroq xaritalash uchun umumlashtirish mumkin: ruxsat X- topologik , a - hisoblash mumkin bo'lgan chegara nuqtasi, Y- to'liq metrik fazo va f - Xv Y. Chegara bo'lishi uchun

har bir kishi uchun mahallaning mavjudligi zarur va yetarlidir U=U(a) tengsizlik hamma uchun amal qiladigan hujum nuqtalari

3) funksiyalar turkumining bir xil yaqinlashuviga. Mayli X- ba'zi to'plamlar, Y- topologik chegara nuqtasida sanashning birinchi aksiomasini qanoatlantiradigan bo'shliq, R to'liq metrik fazodir. bo'sh joy, f( x, y). - to'plamni xaritalash Xaritalar oilasi f( x, y), qo'zg'almas X to'plamini R ga ko'rsatish, agar har birida shunday qo'shnilik mavjud bo'lsa, X ga bir xilda yaqinlashadi. U=U(y 0).nuqta y 0 bu hamma uchun va barcha tengsizliklar

Xususan, agar Y- natural sonlar to'plami va u holda ketma-ketlik X to'plamiga bir xilda yaqinlashadi, agar biron birida shunday raqam mavjud bo'lsa va faqat N, bu hamma va barcha sonlar va tengsizliklar uchun

4) K. qatorning yaqinlashuviga: sonli yaqinlashadi, agar birortasi uchun shunday son mavjud bo‘lsagina N, bu hamma va barcha butun sonlar uchun tengsizlik

Bir nechta seriyalar uchun shunga o'xshash konvergentsiya mezoni deyiladi. Koshi-Stolz mezoni. Masalan, qilish uchun

to'rtburchaklar qisman yig'indisiga yaqinlashdi

har bir kishi uchun shunday bo'lishi zarur va etarlidir N, bu hamma va barcha butun sonlar uchun tengsizlik

Bu mezonlar Banax fazolarida qatorlarga umumlashtiriladi (mutlaq qiymat o‘rniga mos elementlar normalari olinadi).

5) C. qatorning bir xil yaqinlashuvi: baʼzi X toʻplamda aniqlangan va sonli qiymatlarni oladigan funksiyalar boʻlsin. Qator uchun

to'plamda bir xilda yig'iladi x, har qanday odam uchun bunday raqam mavjudligi zarur va etarli N, qaysi barcha tamsayılar uchun tengsizlik

Bu mezon ko'p qatorlarga ham o'tadi va nafaqat sonli qatorlarga, balki shartlari Banax fazolariga tegishli bo'lgan qatorlarga ham tegishlidir, ya'ni qachon va n(x) X to'plamining ba'zi bir to'daga ko'rinishi.

6) Noto'g'ri integrallarning yaqinlashishi: f funksiya yarim oraliqda aniqlansin, unga raqamli qiymatlar olinsin va segmentda integrallansin (Riman yoki Lebegga ko'ra) [ a, c]. Uchun

yaqinlashsa, hamma uchun shartni qondiradigan tengsizlik mavjud bo'lishi zarur va etarlidir.

Mezon shunga o'xshash tarzda boshqa turdagi noto'g'ri integrallar uchun tuzilgan va f funktsiyasi bir nechta o'zgaruvchilarga bog'liq bo'lgan va uning qiymatlari Banach fazosida joylashgan holga ham umumlashtiriladi.

7) Noto'g'ri integrallarning bir xil yaqinlashuviga: f( funksiyasi bo'lsin. x, y).har bir belgilangan joy uchun Y- yarim oraliqda aniqlangan ba'zi to'plamlar raqamli qiymatlarni oladi va segmentdagi x ga nisbatan integrallanadi [ a, c]. Uchun

Y to'plamga bir xilda yaqinlashsa, har qanday shart va hamma uchun tengsizlik mavjud bo'lishi zarur va etarli.

Bu mezon, shuningdek, boshqa turdagi noto'g'ri integrallarga, bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalariga va qiymatlari Banach fazolarida joylashgan funktsiyalarga ham o'tadi.

Lit.: C a u c h y A. L., Analyze algebrique, P., 1821; Stolz O., "Matematik. Ann.", 1884, Bd 24, S. 154-71; Dieudonné J., Zamonaviy tahlil asoslari, trans. ingliz tilidan, M., 1964; Va l'in V. A., Poznya to E. G., Matematik tahlil asoslari, 3-nashr, 1-jild, M., 1971, 2-tom, M., 1973; Kudryavtsev L. D., Matematik tahlil kursi, jild. . 1 - 2, M., 1981; 16] S. M. Nikolskiy, Matematik analiz kursi, 2-nashr, 1-2-jildlar, M., 1975; Whittaker E. - T., Watson J. - N., Zamonaviy tahlil kursi, trans. Ingliz tilidan, 2-nashr, 1-qism, M., 1963. L. D. Kudryavtsev.

Matematik ensiklopediya. - M .: Sovet Entsiklopediyasi. I. M. Vinogradov. 1977-1985 yillar.

Boshqa lug'atlarda "KOSHI CRITERIA" nima ekanligini ko'ring:

Ijobiy qatorlarning yaqinlashuv mezoni (Koshi mezoni) Avgustin Koshi tomonidan o'rnatilgan sonli qatorlar yaqinlashuvining asosiy mezoni hisoblanadi. Ijobiy qator, agar uning qisman yig'indilari ketma-ketligi yuqoridan chegaralangan bo'lsa, yaqinlashadi ... Vikipediya

Nyquist Mixaylov barqarorlik mezoni yopiq boshqaruv tizimining barqarorligini uning ochiq tsiklli faza javobiga qarab baholash usullaridan biridir. Bu chastota barqarorligi mezonlaridan biridir. Barqarorlikni baholash uchun ushbu mezondan foydalanish ... ... Vikipediya

Nyquist Mixaylov barqarorlik mezoni yopiq boshqaruv tizimining barqarorligini uning ochiq holatining amplituda-fazali chastotali javobi bo'yicha baholash usullaridan biridir. Bu chastota mezonlaridan biri ... ... Vikipediya

Koshi mezoni hisobdagi bir qator bayonotlardir: Toʻliq fazo taʼrifi asos boʻlgan ketma-ketlikning yaqinlashuvi mezoni (Asosiy ketma-ketlikka qarang). Ijobiy belgining yaqinlashish mezoni ... ... Vikipediya

O'xshashlik mezoni - bu ko'rib chiqilayotgan jismoniy hodisani aniqlaydigan o'lchovli fizik parametrlardan tashkil topgan o'lchovsiz miqdor. Ikki jismoniy hodisa va tizimlar uchun barcha o'xshashlik mezonlarining tengligi zarur va ... ... Vikipediya

Nyquist Mixaylov barqarorlik mezoni yopiq boshqaruv tizimining barqarorligini uning ochiq tsiklli faza javobiga qarab baholash usullaridan biridir. Bu chastota barqarorligi mezonlaridan biridir. Ushbu mezondan foydalanib, juda ... ... Vikipediyaning barqarorligini baholang

- (Ca) kinetik energiyaning muhitning siqilish energiyasiga nisbatini ifodalovchi uzluksiz mexanikada o'xshashlik mezoni. U elastik jismlarning tebranishlarini va elastik suyuqliklar oqimini o'rganishda qo'llaniladi. Koshi raqami quyidagicha ifodalanadi: bu erda ... ... Vikipediya

Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, Koshi belgisiga qarang. Koshi Maklaurin integral mezoni kamayib borayotgan musbat sonlar qatorining yaqinlashish mezoni hisoblanadi. Koshi Maklaurin belgisi ketma-ketlikning konvergentsiya testini ... ... Vikipediyaga kamaytirish imkonini beradi.

“Koshi testi” atamasi quyidagi bayonotlardan biriga ishora qilishi mumkin: Koshining radikal testi Maklaurin Koshi integral testi Koshi mezoni Koshi teoremasiga ham qarang ... Vikipediya

Kitoblar

• Strukturaviy elementlarning siljish holatida barqarorligi. Qo'llanma. 1-qism. Rodlar, M. N. Kirsanov. Cheksiz sudralmaga ega burilish hosilalarining tebranishlariga nisbatan konstruksiyalarning novda elementlarining deformatsiya barqarorligi hodisasi aniqlangan va o'rganilgan. Taxmin qilingan…

Ta'rif. Ketma-ketlik (x n ) deyiladi asosiy (Koshi ketma-ketligi) agar har qanday e > 0 uchun raqam mavjud bo'lsa N Shunday qilib, barcha raqamlar uchun n, shartni qondirish n>=N, va har qanday natural son uchun p(p=1,2,3…) tengsizlik to‘g‘ri:

|x n + p – x n |< e.

Teorema. (Koshi mezoni) . Ketma-ketlik (x n ) yaqinlashuvchi bo'lishi uchun uning asosiy bo'lishi zarur va etarli.

Isbot.

1) Kerak. X n a bo'lsin a. Biz ixtiyoriy e > 0 ni tuzatamiz. Ketma-ketlik (x n ) chegaraga yaqinlashganligi sababli a, keyin e/2 ga teng son uchun raqam mavjud N hamma uchun shunday n >= N:

|x n - a|< e/2. (bir)

Agar a p har qanday natural son bo'lsa, hamma uchun n>=N va undan ham ko'proq bo'ladi:

|x n + p a| < e/2. (2)

Ikki son yig‘indisining moduli ularning modullari yig‘indisidan oshmagani uchun (1) va (2) tengsizliklardan biz barcha n >= N va istalgan natural son uchun olamiz. p olamiz:

|x n + p – x n | = | + |<= |x n + p – a| + |x n – a|< e, Þ |x n + p – x n | < e - bu asosiy ketma-ketlik ekanligini anglatadi.

2) Adekvatlik. Endi (x n ) fundamental ketma-ketlik bo‘lsin. Masalan, e =1 uchun n 1 borki, n > n 1 va m > n 1 da |x n - x m |< 1.

m o > n 1 ni tuzatish bizda |x n - x m o |< 1 и Þ |x n | < 1+ |xm o |

Þ |x n |<= M, где M=max{|x1|,…|xn1|,1+|xm o |) barcha nnN uchun, ya'ni, (x n ) cheklangan.

Demak, Bolzano-Vayershtrass teoremasi bo'yicha konvergent ketma-ketlik mavjud ( x n k), x n k -> a. (x n ) ga yaqinlashishini ko'rsatamiz a.

Berilgan e > 0 uchun:

"e > 0 $K(e)n N:"k>K(e) Þ

|x n k- a| < e;

Bundan tashqari, (x n ) fundamental bo‘lgani uchun $n e = n(e): n k ,n > n e

Þ |x n – x n k |< e/2

Keling, qo'ying n e = max(n e , n k (e) ) va n ko > ni aniqlang n e. keyin n > uchun n e bizda:

|xn – a|<= |x n – xn ko | + |x n ko-a|< e. А это и означает, что lim x n = a#

15. Funksiyaning nuqtadagi chegarasining ikkita ta’rifi va ularning ekvivalentligi.

Def.1. (Kushiga ko'ra). y=f(x): X à Y funksiya va nuqta berilsin a X to'plami uchun chegara hisoblanadi. Raqam A chaqirdi funktsiya chegarasi y=f(x) nuqtadaa , agar har qanday e > 0 uchun d > 0 ni belgilash mumkin, shunda barcha xOXlar uchun 0 tengsizliklarini qanoatlantiradi.< |x-a| < d, выполняется |f(x) – A| < e.

Ta'rif 2. (Geynega ko'ra). Raqam A nuqtadagi y=f(x) funksiyaning chegarasi deyiladi a, agar har qanday ketma-ketlik uchun (x n )M X, x n ¹a "nON, ga yaqinlashuvchi a, funktsiya qiymatlari ketma-ketligi (f(x n)) songa yaqinlashadi A.

Teorema. Koshi va Geynga ko'ra funktsiya chegarasining ta'rifi ekvivalentdir.

Isbot. A=lim f(x) y=f(x) funksiyaning Koshi chegarasi bo‘lsin.

va (x n )M X, x n ¹a "nON - ga yaqinlashuvchi ketma-ketlikdir. a, x n a a.

e > 0 berilgan bo‘lsa, 0 uchun d > 0 ni topamiz< |x-a| < d, xÎX имеем |f(x) – A| < e,

va bu d dan n d =n(d) sonni topamizki, n>n d uchun 0 bo'ladi.< |x n -a| < d.

Ammo keyin |f(x n) – A| < e, т.е. доказано, что f(x n)à A.

Endi raqamga ruxsat bering A endi funksiyaning Geyne chegarasi mavjud, lekin A Koshi chegarasi emas. U holda e o > 0 shunday bo'ladiki, barcha nnN uchun x n nX mavjud,

0 < |x n -a| < 1/n, для которых |f(x n)-A| >= e o. Bu (x n )M X, x n ¹a "nON, x n a ketma-ketligini bildiradi. a shu kabi

ketma-ketlik (f(x n)) ga yaqinlashmaydi A. #

Funksiya chegarasining nuqtadagi yagonaligi. Cheklangan chegaraga ega funksiyaning mahalliy chegaralanganligi. Nol chegaraga ega bo'lgan funktsiya belgisining mahalliy saqlanishi.

Teorema 1. Agar $ lim f(x) = b O R x à a uchun, keyin bu chegara yagona.

Isbot Javob: Qo'ymasin.

lim f(x) = b 1 va lim x à a uchun f(x) = b 2. b 1 ¹b 2

"(x n )n D(f), x n à a, x n ¹ a Þ f(x n) à b 1 (Geyne taʼrifi)

"(x n )n D(f), x n à a, x n ¹ a Þ f(x n) à b 2 (Geyne taʼrifi)

Muayyan ketma-ketlik uchun (x n )Ì D(f). x n ’ a a, x n ¹ a Þ

Þ f(x n ’) à b 1 va f(x n ’)à b 2. Keyin b 1 =b 2 ketma-ketlik chegarasining yagonaligi haqidagi teorema bo‘yicha. #

Def. Agar d > 0 va M > 0 sonlar mavjud bo‘lsa, f(x) funksiya mahalliy ravishda x à a bilan chegaralangan deyiladi.< |x-a| < d, xÎX имеем |f(x)|<=M.

1-teorema (mahalliy chegaralanganlik haqida). Agar f(x) funksiyaning a da chegarasi bo‘lsa, u lokal ravishda x à a sifatida chegaralangan bo‘ladi.

Isbot: Agar x à a uchun lim f(x) = A mavjud bo'lsa, u holda, masalan, e=1 uchun d>0 mavjud bo'lib, 0 uchun< |x-a| < d, xÎX, имеем |f(x)-A| < 1, а это значит,

|f(x)|<|A|+1=M. #

2-teorema (belgining mahalliy saqlanishi haqida). Agar a lim f(x) = A x à a va A¹0 uchun, u uchun d>0 mavjud

0 < |x-a| < d, xÎX и A>0 bizda f(x)>A/2 va 0 da< |x-a| < d, xÎX и A<0 имеем

f(x)< a/2, т.е. (0 < |x-a| < d)L(xÎX) Þ |f(x)| >|A|/2.

Isbot: e=|A|/2 ni oling. Buning uchun d>0 mavjud

0 < |x-a| < d, xÎX имеем

A-|A|/2

A>0 uchun chap tengsizlikdan f(x) > A/2 ni, A uchun esa hosil bo’ladi<0 из правого неравенства получаем f(x) < A/2. #

Ketma-ketlik yaqinlashuvining Koshi mezoni sonlar qatorining yaqinlashuvining eng umumiy mezonini nazarda tutadi. 4-teorema (Koshi mezoni). Y1 an sonlar qatorining yaqinlashishi uchun har qanday e > 0 soni uchun N = N(e) son mavjud bo‘lishi zarur va yetarli bo‘ladiki, har qanday n > N uchun tengsizlik hamma uchun amal qiladi. (1) ko'rib chiqilayotgan qatorda J2 shaklida yozilishi mumkin. Teorema 5. Agar qator musbat shartli qatorlar uchun taqqoslash testi d’Alember testi Koshi testi Koshining qatorlarning yaqinlashuv mezoni yaqinlashsa, u holda 4-teoremada faraz qilsak, sonning ixtiyoriyligi tufayli hamma uchun amal qiladigan tengsizlikni olamiz. e > 0, bu xulosa degani. Agar lim an nolga teng bo'lmasa yoki mavjud bo'lmasa, u holda qator Izoh. 5-teorema qatorning yaqinlashuvi uchun zaruriy shartni beradi, lekin bu yetarli emas, ya’ni lim o " = 0 sharti divergent qator uchun ham bajarilishi mumkin. 3-misol Garmonik qator deb ataladigan sonlar qatorini ko‘rib chiqaylik. Garmonik qatorlar uchun zaruriy yaqinlashish sharti bajariladi, chunki Koshi mezonidan foydalanib, biz bu qatorning ajralishini ko'rsatamiz. Keling, r-p ni qo'yaylik. U holda hosil bo'lgan tengsizlik har qanday ixtiyoriy katta n uchun o'rinli bo'ladi.Bundan kelib chiqadiki, e ⩾ 5 va p = n tengsizlik (1) uchun qanoatlanmaydi. Shunday qilib, Koshi mezoni tufayli garmonik qatorlar ajralib chiqadi. Muhim eslatma. Muayyan ma'noda qator - cheklangan yig'indining umumlashtirilishi. Biroq, ikkinchisidan farqli o'laroq, atamalar butunlay o'zboshimchalik bilan guruhlanishi va qayta tartibga solinishi mumkin, shuning uchun siz bilganingizdek, yig'indi o'zgarmaydi, ixtiyoriy qator a'zolari bilan harakatlar ehtiyotkorlik bilan amalga oshirilishi kerak - oqibatlar har doim ham bo'lmasligi mumkin. bashorat qilish mumkin. Agar divergent qatorda (kerakli yaqinlashish mezoni bajarilmasa) qo'shni guruhlarni juft-juft qilib guruhlasak, u holda konvergent qatorni olamiz.Yaqinlashuvchi qatorning hadlarini (8-§ dagi misolga qarang) yaqinlashishi uchun qayta tartiblash mumkin. istalgan songa va hatto farqlanadi. Xususan, uning shartlarini qayta tartibga solish natijasida olingan qator asl nusxaning yarim yig'indisiga yaqinlashadi (9-§ dan misol). Bu misollarda qator atamalarining turli belgilarga ega ekanligi ahamiyatlidir. Ayrim son qatorlarni yaqinlashuvi yoki divergensiyasini oldindan ma’lum bo‘lgan boshqa qatorlar bilan solishtirib, ularning yaqinlashuvi yoki divergentsiyasini aniqlash imkonini beruvchi belgilarni keltiramiz. 6-teorema (taqqoslash testi). a va 6n hadlari musbat bo'lgan ikkita qator berilsin. Agar tengsizlik barcha n sonlar uchun o‘rinli bo‘lsa, Y1 6n qatorning yaqinlashuvi a qatorning yaqinlashuvini, Y1 On qatorning divergensiyasi Y1 6n qatorning ajralishini bildiradi. (1) va (2) qatorlarning qisman yig‘indilarini tuzamiz (3) teorema shartidan Sn ⩽ Sn hamma uchun, chunki bu qatorlarning barcha hadlari musbat bo‘ladi, demak, tengsizlik tufayli shundan kelib chiqadi. (3), shundan kelib chiqadiki, Shunday qilib, (1) qatorning barcha 5P qisman yig'indilari cheklangan va n ortishi bilan ortadi, chunki. Demak, qisman yig‘indilar ketma-ketligi konvergent bo‘lib, a qatorning yaqinlashuvini bildiradi.Unda tengsizlikda chegaraga o‘tganda, tengsizlik tufayli biz musbat qatorlar uchun taqqoslash testini olamiz. atamalar d'Alembert testi Koshi testi bir-biridan farq qiladi. Izoh. 6-teorema an ⩽ bn tengsizlik hamma n uchun emas, balki faqat qandaydir A sonidan boshlab bajarilgan taqdirda ham o‘z kuchini saqlab qoladi, ya’ni barcha n ⩽ Jfc uchun, chunki qator hadlarining chekli soni o‘zgaradi. uning konvergentsiyasini buzmaydi. Misollar. Quyidagi qatorni yaqinlashish uchun tekshirib ko‘ring: 6-teorema umumiyroq tengsizlik bo‘lgan taqdirda ham o‘z kuchida qoladi 3-misol. 4-seriyani yaqinlashuv uchun tekshirib ko‘ring, bu (5) qator ham yaqinlashadi.. Xulosa. Agar nolga teng bo‘lmagan chekli chegara mavjud bo‘lsa, u holda qator (1) va (2) bir vaqtda yaqinlashadi yoki ajraladi m Yuqoridagi chegaraning mavjudligidan kelib chiqadiki, har qanday e > 0 soni uchun N soni shunday bo'ladiki, barcha ē > N uchun tengsizlik yoki bajariladi. va bir qator (biz shunday deb hisoblaymiz m qizil nima. Hammasi uchun n bo'lganligi sababli, 6-teorema bo'yicha (1) qator ajraladi. Izoh. Lemmaning sharti u, va Lbn for ketma-ketliklari ekvivalent yoki bir xil bo'lganiga ekvivalentdir.I = 0 holatda (2) qatorning yaqinlashuvi (1) qatorning yaqinlashuvini bildiradi. ). Buning aksi haqiqat emas. L = +oo xolatida (1) qatorning divergentsiyasi (2) qatorning divergentsiyasini bildiradi. Buning aksi haqiqat emas. Misollar. Quyidagi son qatorlarning yaqinlashuvini o‘rganing: 4 Bu qatorni bizda mavjud garmonik qator bilan solishtiring Garmonik qatorlar uzoqlashgani uchun bu qator ham ajralib chiqadi. Keyin asl seriyalar birlashadi. §5. d'Alember testi oo 7-teorema (d'Alember testi). An qatori berilgan bo'lsin, bunda hammasi an > 0. Agar n=\ chegarasi mavjud bo'lsa, u holda qator uchun yaqinlashadi va qator ajraladi.4 Shunday chegara bo'lsinki, q ni olaylik. U holda har qanday son uchun, masalan, e = uchun, N soni shunday bo'ladiki, hamma n ^ N uchun tengsizlik o'rinli bo'ladi.Bu maxrajli geometrik progressiyaning a'zolaridan tashkil topgan qator sifatida yaqinlashadi Taqqoslash uchun, qator yaqinlashadi. , bu asl qatorning yaqinlashishini bildiradi.- mening yaqinlashish belgisi. Izoh. Agar mavjud bo'lsa yoki yo'q bo'lsa, d'Alembert testi ketma-ketlikning yaqinlashishi yoki divergensiyasi haqida javob bermaydi. Misollar. Quyidagi qatorlarni yaqinlashuv uchun tekshirib ko'ring: Berilgan qator uchun bizda ijobiy shartli qatorlar uchun taqqoslash testi mavjud d'Alember testi Koshi testi Koshining qator uchun yaqinlashuv mezoni D'Alember testiga ko'ra, qator yaqinlashadi. Bizda bu qator diverges bor. . Koshi testi 8 teoremasi (Koshi testi). oo qator berilsin.Shunday q raqamini oling. Chegara mavjud bo'lganligi sababli, N sonidan boshlab, tengsizlik qondiriladi. Darhaqiqat, chegaraviy tenglikdan kelib chiqadiki, har qanday c uchun, shu jumladan, uchun ham N soni mavjud bo'lib, undan boshlab A yoki bir xil bo'lgan tengsizlikni bu erdan olamiz. Shunday qilib, qatorning barcha hadlari, dan boshlab, £ 0n yaqinlashuvchi qatorning mos keluvchi hadlaridan kichikdir.Taqqoslash mezoni bo'yicha qatorlar yaqinlashadi va shuning uchun (1) qator ham yaqinlashadi. Mayli. Keyin, ma'lum bir N sonidan boshlab, barcha n > N uchun tengsizlik > 1 o'rinli bo'ladi yoki shuning uchun (1) qator ajralib chiqadi. Izoh. Agar A = 1 bo'lsa, u holda (I) qator yaqinlashishi yoki ajralishi mumkin. Misollar. Quyidagi qatorlarni yaqinlashish uchun o‘rganing: Bizda qatorlar yaqinlashadi. ^ m Bu yerda Seriya farqlanadi. ^

Keyingi ketma-ketlik ( x n ) qanoatlantiradi Koshi holati, agar har qanday musbat haqiqiy son e uchun > 0 shunday natural N e soni mavjud
(1) |x n - x m |< ε при n >Yo'q, m > Yo'q.

Koshi shartini qanoatlantiruvchi ketma-ketliklar ham deyiladi asosiy ketma-ketliklar.

Koshi sharti boshqa shaklda ham ifodalanishi mumkin. m > n bo'lsin. Agar m< n , то поменяем n и m местами. Случай нас не интересует, поскольку при этом неравенство (1) выполняется автоматически. Имеем:
;
.
Bu erda p - natural son.

Keyin Koshi shartini quyidagicha shakllantirish mumkin:

Muvofiqlik qanoatlantiradi Koshi holati, agar birortasi uchun shunday natural son mavjud bo'lsa
(2) uchun va har qanday tabiiy p.

Koshi holatida paydo bo'ladigan raqam e ga bog'liq. Ya'ni, diapazoni natural sonlar to'plami bo'lgan haqiqiy o'zgaruvchi e ning funksiyasi. Raqam, funksiyalarni belgilash uchun odatiy bo'lganidek, sifatida ham yozilishi mumkin.

Ketma-ket yaqinlashish uchun Koshi mezoni

Ketma-ketlik chekli chegaraga ega bo'lishi uchun uning Koshi shartini qondirishi zarur va etarli.

Ketma-ket yaqinlashish uchun Koshi mezonining isboti

zaruriyatning isboti

Ketma-ketlik cheklangan a chegarasiga yaqinlashsin:
.
Bu shuni anglatadiki, ba'zi bir funktsiya mavjud, shuning uchun tengsizliklar har qanday uchun amal qiladi:
(1.1) da .
Ketma-ketlik chegarasini aniqlashga qarang.

Keling, ketma-ketlik qanoatlantirilishini ko'rsataylik. Buning uchun har qanday , uchun quyidagi tengsizliklar bajariladigan funksiyani topishimiz kerak:
da .
Tengsizliklar xossalaridan foydalanamiz va (1.1) amal qilamiz:
.
uchun oxirgi tengsizlik bajariladi.

bilan almashtiramiz. Keyin har birimiz uchun:
da ,
qayerda.

Ehtiyoj isbotlangan.

Etarlilikni isbotlash

Ketma-ketlik qanoatlansin. Uning cheklangan songa yaqinlashishini isbotlaylik. Biz dalilni uch qismga ajratamiz. Biz birinchi navbatda ketma-ketlikning chegaralanganligini isbotlaymiz. Keyin biz amal qilamiz , unga ko'ra cheklangan ketma-ketlik chekli songa yaqinlashuvchi kichik ketma-ketlikka ega. Va nihoyat, keling, butun ketma-ketlik ushbu raqamga yaqinlashishini ko'rsataylik.

qanoatlantiruvchi ketma-ketlikning chegaralanganligini isbotlaylik. Buning uchun, Koshi holatida, biz o'rnatdik. Keyin natural son mavjud bo'lib, u uchun quyidagi tengsizliklar amal qiladi:
(2.1.1) da .

Har qanday natural sonni oling va ketma-ketlik a'zosini tuzating. Bu n indeksiga bog'liq bo'lmagan doimiy son ekanligini ta'kidlash uchun uni belgilaylik.

Biz (2.1.1) ga almashtiramiz va transformatsiyalarni bajaramiz. Bizda:
;
;
;
;
.
Bu , uchun ketma-ketlikning shartlari chegaralanganligini ko'rsatadi. Chunki, uchun , faqat cheklangan sonli hadlar mavjud bo'lsa, u holda butun ketma-ketlik chegaralangan bo'ladi.

Bolzano-Vayershtras teoremasini qo'llaymiz. Bu teoremaga ko'ra, chegaralangan ketma-ketlik qandaydir chekli a soniga yaqinlashuvchi kichik ketma-ketlikka ega. kabi kichik ketma-ketlikni belgilaymiz. Keyin
.

Keling, butun ketma-ketlik a soniga yaqinlashishini ko'rsataylik.
Ketma-ketlik ni qanoatlantirganligi sababli, har qanday funktsiya uchun tengsizliklar mavjud bo'ladi:
da .
Konvergent quyi ketma-ketlikning hadini olaylik va e ni almashtiramiz 1 e kuni /2 :
(2.3.1) da .

n ni tuzatish. U holda (2.3.1) - birinchi hadlarning cheklangan sonini istisno qiladigan ketma-ketlikni o'z ichiga olgan tengsizlik. Birinchi hadlarning cheklangan soni yaqinlashuvga ta'sir qilmaydi (qarang: Cheklangan sonli hadlarning ketma-ketlik yaqinlashuviga ta'siri). Shuning uchun, kesilgan ketma-ketlikning chegarasi hali ham a . Murojaat qilinmoqda tengsizliklar bilan bog'liq chegaralarning xossalari va limitlarning arifmetik xossalari, uchun, (2.3.1) dan bizda:
da .
Aniq tengsizlikdan foydalanamiz: . Keyin
da .


Ya'ni, har qanday kishi uchun natural son mavjud, shuning uchun
da .
Bu shuni anglatadiki, a soni butun ketma-ketlikning chegarasi (va faqat uning keyingi ketma-ketligi emas).

Teorema isbotlangan

Adabiyotlar:
O.V. Jinlar. Matematik tahlil bo'yicha ma'ruzalar. 1-qism. Moskva, 2004 yil.