Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish masalasini o'rganish maktab fanidan Algebra sakkizinchi sinfda va bu ba'zan bolalarni tushunishni qiyinlashtiradi. Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish uchun quyidagi formuladan foydalaning:

Kasrlarni ayirish tartibi qo'shishga o'xshaydi, chunki u ishlash printsipini to'liq nusxalaydi.

Birinchidan, biz bir va boshqa maxrajning ko'paytmasi bo'lgan eng kichik sonni hisoblaymiz.

Ikkinchidan, biz har bir kasrning soni va maxrajini ma'lum songa ko'paytiramiz, bu esa maxrajni berilgan minimal umumiy maxrajga etkazish imkonini beradi.

Uchinchidan, ayirish jarayonining o'zi sodir bo'ladi, natijada maxraj ko'paytiriladi va ikkinchi kasrning soni birinchisidan ayiriladi.

Misol: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 butun 1/6

Avval siz ularni bir xil maxrajga olib kelishingiz kerak, so'ngra ularni olib tashlashingiz kerak. Masalan, 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4. Yoki qiyinroq, 1/3 - 1/5 = 5/15 - 3/15 = 2/15. Kasrlar qanday qilib umumiy maxrajga keltirilishini tushuntirishingiz kerakmi?

Turli xil maxrajli oddiy kasrlarni qo'shish yoki ayirish kabi amallarda oddiy qoida qo'llaniladi - bu kasrlarning maxrajlari bitta raqamga qisqartiriladi va amalning o'zi hisoblagichdagi raqamlar bilan amalga oshiriladi. Ya'ni, kasrlar umumiy maxrajga ega bo'lib, birlashgandek ko'rinadi. Ixtiyoriy kasrlar uchun umumiy maxrajni topish odatda kasrlarning har birini boshqa kasrning maxrajiga oddiygina ko'paytirishga to'g'ri keladi. Ammo oddiyroq holatlarda siz kasrlarning maxrajlarini bir xil songa keltiradigan omillarni darhol topishingiz mumkin.

Kasrni ayirish misoli: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21

Ko'p kattalar allaqachon unutgan har xil maxrajli kasrlarni qanday ayirish mumkin, lekin bu harakat elementar matematikaga tegishli.

Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish, siz ularni umumiy maxrajga olib kelishingiz kerak, ya'ni maxrajlarning eng kichik umumiy karralini toping, so'ngra sonlarni eng kichik umumiy karrali va maxraj nisbatiga teng qo'shimcha ko'paytmalarga ko'paytiring.

Fraksiyalarning belgilari saqlanib qolgan. Kasrlar bir xil maxrajlarga ega bo'lgandan so'ng, siz ayirishingiz mumkin va keyin, agar iloji bo'lsa, kasrni kamaytiring.

Elena, siz maktab matematika kursini takrorlashga qaror qildingizmi?)))

Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish uchun avval ularni bir xil maxrajga kamaytirish, keyin esa ayirish kerak. Eng oddiy variant: Birinchi kasrning sonini va maxrajini ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytiring va ikkinchi kasrning sonini va maxrajini birinchi kasrning maxrajiga ko'paytiring. Bir xil maxrajli ikkita kasrni oling. Endi birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrning sonini ayiramiz va ular bir xil maxrajga ega.

Masalan, beshdan uch ikki ettinchini ayirish yigirma bir o'ttiz beshdan o'n o'ttiz beshni ayirish va bu o'n bir o'ttiz beshga teng.

Agar denominatorlar katta sonlar bo'lsa, unda siz ularning eng kichik umumiy ko'pligini topishingiz mumkin, ya'ni. biriga ham, boshqa maxrajga ham bo'linadigan son. Va ikkala kasrni umumiy maxrajga keltiring (eng kichik umumiy karrali)

Turli xil maxrajli kasrlarni qanday ayirish mumkin, vazifa juda oddiy - biz kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz va keyin ayirishni paylagichda qilamiz.

Ko'p odamlar bu kasrlar yonida butun sonlar mavjud bo'lganda qiyinchiliklarga duch kelishadi, shuning uchun men buni qanday qilishni quyidagi misol bilan ko'rsatmoqchi edim:

butun qismli va har xil maxrajli kasrlarni ayirish

birinchi navbatda biz butun qismlarni 8-5 = 3 dan chiqaramiz (uchlik birinchi kasr yaqinida qoladi);

biz kasrlarni umumiy maxraj 6 ga keltiramiz (agar birinchi kasrning soni ikkinchidan katta bo'lsa, biz ayirib, butun qismning yonida yozamiz, bizning holatlarimizda biz davom etamiz);

3-sonli qismni 2 va 1 ga ajratamiz;

1 6/6 kasr sifatida yoziladi;

6/6+3/6-4/6 umumiy maxraj 6 ostiga yozamiz va sanoqdagi amallarni bajaramiz;

topilgan natijani yozing 2 5/6.

Shuni yodda tutish kerakki, kasrlar bir xil maxrajga ega bo'lsa, ayiriladi. Shuning uchun, bizda farqda turli xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlar mavjud bo'lganda, ularni oddiygina umumiy maxrajga qisqartirish kerak, buni qilish qiyin emas. Biz faqat har bir kasrning numeratorini faktorlarga ajratishimiz va nol bo'lmasligi kerak bo'lgan eng kichik umumiy ko'paytmani hisoblashimiz kerak. Numeratorlarni olingan qo'shimcha omillarga ko'paytirishni unutmang, ammo bu erda qulaylik uchun misol:



Agar siz turli xil maxrajli kasrlarni ayirmoqchi bo'lsangiz, avval ushbu ikki kasr uchun umumiy maxrajni topishingiz kerak. Va keyin birinchi kasrning numeratoridan ikkinchisini olib tashlang. Bu yangi qiymatga ega bo'lgan yangi kasrga aylanadi.

3-sinf matematika kursidan esimga tushganidek, har xil maxrajli kasrlarni ayirish uchun avval umumiy maxrajni hisoblab, unga keltirish kerak, keyin esa sanoqchilar bir-biridan oddiygina ayiriladi va maxraj umumiyligicha qoladi.

Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish uchun avvalo shu kasrlarning eng kichik umumiy maxrajini topishimiz kerak.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:



Kattaroq 25 sonni kichik 20 ga bo'ling. Bo'linmaydi. Shunday qilib, biz 25 maxrajini shunday songa ko'paytiramizki, natijada olingan summani 20 ga bo'lish mumkin. Bu raqam 4 bo'ladi. 25x4 \u003d 100. 100:20=5. Shunday qilib, biz eng kichik umumiy maxrajni topdik - 100.

Endi biz har bir kasr uchun qo'shimcha omil topishimiz kerak. Buning uchun biz yangi maxrajni eskisiga ajratamiz.

9 ni 4 ga ko'paytiring = 36. 7 ni 5 ga ko'paytiring = 35.

Umumiy maxrajga ega bo'lib, biz misolda ko'rsatilganidek, ayiramiz va natijani olamiz.

§ 87. Kasrlarni qo‘shish.

Kasrlarni qo'shish butun sonlarni qo'shish bilan juda ko'p o'xshashliklarga ega. Kasrlarni qo'shish - bu bir nechta berilgan sonlar (termalar) had birliklarining barcha birliklari va kasrlarini o'z ichiga olgan bitta songa (yig'indi) birlashtirilishidan iborat bo'lgan harakatdir.

Biz uchta holatni navbat bilan ko'rib chiqamiz:

1. Maxrajlari bir xil bo‘lgan kasrlarni qo‘shish.
2. Turli xil maxrajli kasrlarni qo`shish.
3. Aralash sonlarni qo`shish.

1. Maxrajlari bir xil bo‘lgan kasrlarni qo‘shish.

Misolni ko'rib chiqing: 1/5 + 2/5 .

AB segmentini oling (17-rasm), uni birlik sifatida oling va uni 5 ta teng qismga bo'ling, keyin bu segmentning AC qismi AB segmentining 1/5 qismiga va bir xil CD segmentining qismiga teng bo'ladi. 2/5 AB ga teng bo'ladi.

Chizmadan ko'rinib turibdiki, agar AD segmentini olsak, u holda u 3/5 AB ga teng bo'ladi; lekin AD segmenti aynan AC va CD segmentlarining yig'indisidir. Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Bu shartlarni va hosil bo’lgan miqdorni hisobga olsak, yig’indining numeratori hadlarning sanoqlarini qo’shish orqali olinganini, maxraji esa o’zgarishsiz qolganini ko’ramiz.

Bundan quyidagi qoidani olamiz: Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun ularning sonlarini qo'shish va bir xil maxrajni qoldirish kerak.

Bir misolni ko'rib chiqing:

2. Turli xil maxrajli kasrlarni qo`shish.

Kasrlarni qo'shamiz: 3/4 + 3/8 Avval ularni eng kichik umumiy maxrajga kamaytirish kerak:

6/8 + 3/8 oraliq havolani yozish mumkin emas edi; Biz buni aniqroq qilish uchun bu erda yozdik.

Shunday qilib, har xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun avval ularni eng kichik umumiy maxrajga keltirish, ularning sonlarini qo'shish va umumiy maxrajga imzo qo'yish kerak.

Misolni ko'rib chiqing (tegishli kasrlar ustiga qo'shimcha omillarni yozamiz):

3. Aralash sonlarni qo`shish.

Keling, raqamlarni qo'shamiz: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Keling, avval raqamlarimizning kasr qismlarini umumiy maxrajga keltiramiz va ularni qayta yozamiz:

Endi butun son va kasr qismlarni ketma-ket qo'shing:

§ 88. Kasrlarni ayirish.

Kasrlarni ayirish butun sonlarni ayirish bilan bir xil tarzda aniqlanadi. Bu ikki a'zo va ulardan biri yig'indisi berilganda boshqa bir muddat topiladigan harakatdir. Keling, uchta holatni navbat bilan ko'rib chiqaylik:

1. Maxrajlari bir xil bo‘lgan kasrlarni ayirish.
2. Maxrajlari har xil bo‘lgan kasrlarni ayirish.
3. Aralash sonlarni ayirish.

1. Maxrajlari bir xil bo‘lgan kasrlarni ayirish.

Bir misolni ko'rib chiqing:

13 / 15 - 4 / 15

Keling, AB segmentini olaylik (18-rasm), uni birlik sifatida qabul qilamiz va uni 15 ta teng qismga ajratamiz; u holda bu segmentning AC qismi AB ning 1/15 qismini tashkil qiladi va bir xil segmentning AD qismi 13/15 AB ga to'g'ri keladi. Keling, 4/15 AB ga teng bo'lgan boshqa ED segmentini ajratamiz.

13/15 dan 4/15ni ayirishimiz kerak. Chizmada bu AD segmentidan ED segmentini olib tashlash kerakligini anglatadi. Natijada, AE segmenti qoladi, bu AB segmentining 9/15 qismini tashkil qiladi. Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin:

Biz keltirgan misol shuni ko'rsatadiki, ayirmaning payi sanoqlarni ayirish yo'li bilan olingan va maxraj o'zgarishsiz qolgan.

Demak, bir xil maxrajli kasrlarni ayirish uchun ayirmaning ayirish qismidan ayirish va bir xil maxrajni qoldirish kerak.

2. Maxrajlari har xil bo‘lgan kasrlarni ayirish.

Misol. 3/4 - 5/8

Birinchidan, bu kasrlarni eng kichik umumiy maxrajga keltiramiz:

6/8 - 5/8 oraliq havola bu erda aniqlik uchun yozilgan, ammo kelajakda uni o'tkazib yuborish mumkin.

Shunday qilib, kasrdan kasrni ayirish uchun avval ularni eng kichik umumiy maxrajga keltirish kerak, keyin ayirmaning ayirma sonini ayirma qismidan ayirish va ularning ayirmasi ostidagi umumiy maxrajga ishora qilish kerak.

Bir misolni ko'rib chiqing:

3. Aralash sonlarni ayirish.

Misol. 10 3/4 - 7 2/3.

Minuend va ayirishning kasr qismlarini eng kichik umumiy maxrajga keltiramiz:

Butundan butunni, kasrdan kasrni ayirdik. Ammo ayirishning kasr qismi minuendning kasr qismidan kattaroq bo'lgan holatlar mavjud. Bunday hollarda siz qisqartirilganning butun qismidan bitta birlik olishingiz, uni kasr qismi ifodalangan qismlarga bo'lishingiz va qisqartirilganning kasr qismiga qo'shishingiz kerak. Va keyin ayirish avvalgi misoldagi kabi amalga oshiriladi:

§ 89. Kasrlarni ko'paytirish.

Kasrlarni ko'paytirishni o'rganishda biz quyidagi savollarni ko'rib chiqamiz:

1. Kasrni butun songa ko‘paytirish.
2. Berilgan sonning kasr qismini topish.
3. Butun sonni kasrga ko‘paytirish.
4. Kasrni kasrga ko`paytirish.
5. Aralash sonlarni ko`paytirish.
6. Qiziqish tushunchasi.
7. Berilgan sonning foizlarini topish. Keling, ularni ketma-ket ko'rib chiqaylik.

1. Kasrni butun songa ko‘paytirish.

Kasrni butun songa ko'paytirish butun sonni butun songa ko'paytirish bilan bir xil ma'noga ega. Kasrni (ko'paytiruvchini) butun songa (ko'paytiruvchiga) ko'paytirish deganda har bir atama ko'paytmaga, hadlar soni esa ko'paytiruvchiga teng bo'lgan bir xil hadlar yig'indisini tuzish tushuniladi.

Shunday qilib, agar siz 1/9 ni 7 ga ko'paytirishingiz kerak bo'lsa, buni shunday qilish mumkin:

Natijani osonlik bilan oldik, chunki amal bir xil maxrajli kasrlarni qo'shishga qisqartirildi. Binobarin,

Ushbu harakatni ko'rib chiqish shuni ko'rsatadiki, kasrni butun songa ko'paytirish bu kasrni butun sonda qancha birliklar bo'lsa, shuncha ko'paytirishga tengdir. Va kasrning o'sishiga uning numeratorini oshirish orqali erishiladi

yoki uning maxrajini kamaytirish orqali , u holda biz sonni butun songa ko'paytirishimiz yoki maxrajni unga bo'lishimiz mumkin, agar bunday bo'linish mumkin bo'lsa.

Bu erdan biz qoidani olamiz:

Kasrni butun songa ko'paytirish uchun payni shu butun songa ko'paytirish va bir xil maxrajni qoldirish kerak yoki iloji bo'lsa, maxrajni shu raqamga bo'lish, hisoblagichni o'zgarishsiz qoldirish kerak.

Ko'paytirishda qisqartmalar mumkin, masalan:

2. Berilgan sonning kasr qismini topish. Berilgan raqamning bir qismini topish yoki hisoblash kerak bo'lgan ko'plab muammolar mavjud. Bu vazifalarning boshqalardan farqi shundaki, ular ba'zi ob'ektlar yoki o'lchov birliklarining sonini beradi va siz bu raqamning bir qismini topishingiz kerak, bu erda ham ma'lum bir qism bilan ko'rsatilgan. Tushunishni osonlashtirish uchun biz birinchi navbatda bunday muammolarga misollar keltiramiz, so'ngra ularni hal qilish usuli bilan tanishamiz.

Vazifa 1. Menda 60 rubl bor edi; Bu pulning 1/3 qismini kitob sotib olishga sarfladim. Kitoblar qancha turadi?

Vazifa 2. Poezd A va B shaharlari orasidagi 300 km ga teng masofani bosib o'tishi kerak. U allaqachon bu masofaning 2/3 qismini bosib o'tgan. Bu necha kilometr?

Vazifa 3. Qishloqda 400 ta uy bor, ularning 3/4 qismi gʻisht, qolgani yogʻoch. Qancha g'ishtli uy bor?

Berilgan sonning bir qismini topish uchun biz ko'p muammolarni hal qilishimiz kerak. Ular odatda berilgan sonning bir qismini topish uchun muammolar deb ataladi.

1-masala yechimi. 60 rubldan. Men 1/3 qismini kitoblarga sarfladim; Shunday qilib, kitoblarning narxini topish uchun siz 60 raqamini 3 ga bo'lishingiz kerak:

2-muammo yechimi. Muammoning ma'nosi shundaki, siz 300 km ning 2/3 qismini topishingiz kerak. 300 ning birinchi 1/3 qismini hisoblang; Bunga 300 km ni 3 ga bo'lish orqali erishiladi:

300: 3 = 100 (bu 300 ning 1/3 qismi).

300 ning uchdan ikki qismini topish uchun natijada olingan koeffitsientni ikki barobarga oshirish kerak, ya'ni 2 ga ko'paytirish kerak:

100 x 2 = 200 (bu 300 ning 2/3 qismi).

3-masala yechimi. Bu erda siz 400 ning 3/4 qismini tashkil etadigan g'ishtli uylar sonini aniqlashingiz kerak. Keling, birinchi navbatda 400 ning 1/4 qismini topamiz,

400: 4 = 100 (bu 400 ning 1/4 qismi).

400 ning to'rtdan uch qismini hisoblash uchun olingan koeffitsientni uch marta, ya'ni 3 ga ko'paytirish kerak:

100 x 3 = 300 (bu 400 ning 3/4 qismi).

Ushbu muammolarni hal qilish asosida biz quyidagi qoidani chiqarishimiz mumkin:

Berilgan sondan kasrning qiymatini topish uchun bu sonni kasrning maxrajiga bo'lish va hosil bo'lgan qismni uning soniga ko'paytirish kerak.

3. Butun sonni kasrga ko‘paytirish.

Ilgari (§ 26) butun sonlarni ko'paytirishni bir xil atamalarni qo'shish (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20) deb tushunish kerakligi aniqlangan. Ushbu bandda (1-band) kasrni butun songa ko'paytirish bu kasrga teng bir xil hadlar yig'indisini topishni anglatadi.

Ikkala holatda ham ko'paytirish bir xil atamalar yig'indisini topishdan iborat edi.

Endi biz butun sonni kasrga ko'paytirishga o'tamiz. Bu erda biz, masalan, ko'paytirish bilan uchrashamiz: 9 2/3. Ko'paytirishning oldingi ta'rifi bu holatga taalluqli emasligi aniq. Bu shuni ko'rsatadiki, biz bunday ko'paytirishni teng sonlarni qo'shish bilan almashtira olmaymiz.

Shu sababli, biz ko'paytirishning yangi ta'rifini berishimiz kerak bo'ladi, ya'ni kasrga ko'paytirish orqali nimani tushunish kerak, bu harakatni qanday tushunish kerak degan savolga javob berish kerak.

Butun sonni kasrga ko'paytirishning ma'nosi quyidagi ta'rifdan aniq bo'ladi: butun sonni (ko‘paytiruvchini) kasrga (ko‘paytiruvchi) ko‘paytirish ko‘paytiruvchining shu qismini topishni anglatadi.

Ya'ni, 9 ni 2/3 ga ko'paytirish to'qqiz birlikning 2/3 qismini topishni anglatadi. Oldingi paragrafda bunday muammolar hal qilindi; shuning uchun biz 6 bilan yakunlanganimizni aniqlash oson.

Ammo endi qiziqarli va muhim savol tug'iladi: nega teng sonlar yig'indisini topish va sonning ulushini topish kabi bir xil ko'rinadigan amallar arifmetikada bir xil "ko'paytirish" so'zi deb ataladi?

Buning sababi, oldingi harakat (sonni shartlar bilan bir necha marta takrorlash) va yangi harakat (sonning ulushini topish) bir hil savollarga javob beradi. Bu shuni anglatadiki, biz bu erda bir xil savollar yoki vazifalar bir xil harakat bilan hal qilinadi degan mulohazalardan kelib chiqamiz.

Buni tushunish uchun quyidagi muammoni ko'rib chiqing: “1 m mato 50 rubl turadi. Bunday matoning 4 metri qancha turadi?

Bu muammo rubl (50) sonini hisoblagichlar soniga (4), ya'ni 50 x 4 = 200 (rubl) ko'paytirish orqali hal qilinadi.

Xuddi shu masalani olaylik, lekin unda mato miqdori kasr son sifatida ifodalanadi: “1 m mato 50 rubl turadi. Bunday matoning 3/4 m qancha turadi?

Bu muammoni ham rubl sonini (50) metrlar soniga (3/4) ko'paytirish orqali hal qilish kerak.

Shuningdek, siz undagi raqamlarni muammoning ma'nosini o'zgartirmasdan bir necha marta o'zgartirishingiz mumkin, masalan, 9/10 m yoki 2 3/10 m va hokazolarni oling.

Bu masalalar bir xil mazmunga ega va faqat son jihatidan farq qilganligi uchun ularni yechishda qo`llaniladigan amallarni bir xil so`z - ko`paytirish deb ataymiz.

Butun son kasrga qanday ko'paytiriladi?

Oxirgi muammoda duch kelgan raqamlarni olaylik:

Ta'rifga ko'ra, biz 50 ning 3/4 qismini topishimiz kerak. Avval 50 ning 1/4 qismini, keyin esa 3/4 ni topamiz.

50 ning 1/4 qismi 50/4;

50 ning 3/4 qismi.

Natijada.

Yana bir misolni ko'rib chiqaylik: 12 5/8 = ?

12 ning 1/8 qismi 12/8,

12 sonining 5/8 qismi .

Binobarin,

Bu erdan biz qoidani olamiz:

Butun sonni kasrga ko'paytirish uchun butun sonni kasrning soniga ko'paytirish va bu ko'paytmani sanoqchi qilish va berilgan kasrning maxrajini maxraj sifatida imzolash kerak.

Ushbu qoidani harflar yordamida yozamiz:

Ushbu qoidani aniq tushunish uchun kasrni qism sifatida ko'rib chiqish mumkinligini esga olish kerak. Shuning uchun topilgan qoidani § 38da ko'rsatilgan sonni qismga ko'paytirish qoidasi bilan solishtirish foydalidir.

Shuni esda tutish kerakki, ko'paytirishni amalga oshirishdan oldin siz (iloji bo'lsa) qilishingiz kerak. kesiklar, masalan:

4. Kasrni kasrga ko`paytirish. Kasrni kasrga ko'paytirish butun sonni kasrga ko'paytirish bilan bir xil ma'noga ega, ya'ni kasrni kasrga ko'paytirishda birinchi kasrdan (ko'paytiruvchi) ko'paytiruvchidagi kasrni topish kerak.

Ya'ni, 3/4 ni 1/2 (yarim) ga ko'paytirish 3/4 ning yarmini topishni anglatadi.

Kasrni kasrga qanday ko'paytirish mumkin?

Misol keltiraylik: 3/4 marta 5/7. Bu siz 3/4 dan 5/7 ni topishingiz kerak degan ma'noni anglatadi. Avval 3/4 ning 1/7 qismini, keyin esa 5/7 qismini toping

3/4 ning 1/7 qismi quyidagicha ifodalanadi:

5/7 raqamlari 3/4 quyidagicha ifodalanadi:

Shunday qilib,

Yana bir misol: 5/8 marta 4/9.

5/8 ning 1/9 qismi,

4/9 raqamlari 5/8.

Shunday qilib,

Ushbu misollardan quyidagi qoidani chiqarish mumkin:

Kasrni kasrga ko‘paytirish uchun hisobni ayiruvchiga, maxrajni esa ko‘paytiruvchiga ko‘paytirish va birinchi ko‘paytmani ayiruvchi, ikkinchi ko‘paytmani ko‘paytiruvchi qilish kerak.

Ushbu qoidani umumiy tarzda quyidagicha yozish mumkin:

Ko'paytirishda (agar iloji bo'lsa) qisqartirishlar qilish kerak. Misollarni ko'rib chiqing:

5. Aralash sonlarni ko`paytirish. Aralash raqamlarni noto'g'ri kasrlar bilan osongina almashtirish mumkinligi sababli, bu holat odatda aralash raqamlarni ko'paytirishda qo'llaniladi. Bu shuni anglatadiki, ko'paytma yoki ko'paytma yoki ikkala omil aralash sonlar sifatida ifodalangan hollarda, ular noto'g'ri kasrlar bilan almashtiriladi. Masalan, aralash raqamlarni ko'paytiring: 2 1/2 va 3 1/5. Biz ularning har birini noto'g'ri kasrga aylantiramiz va keyin hosil bo'lgan kasrlarni kasrni kasrga ko'paytirish qoidasiga ko'ra ko'paytiramiz:

Qoida. Aralash raqamlarni ko'paytirish uchun avval ularni noto'g'ri kasrlarga aylantirishingiz kerak, keyin esa kasrni kasrga ko'paytirish qoidasiga ko'ra ko'paytirishingiz kerak.

Eslatma. Agar omillardan biri butun son bo'lsa, ko'paytirishni taqsimlash qonuni asosida quyidagicha bajarish mumkin:

6. Qiziqish tushunchasi. Muammolarni hal qilishda va turli xil amaliy hisob-kitoblarni bajarishda biz barcha turdagi kasrlardan foydalanamiz. Ammo shuni yodda tutish kerakki, ko'p miqdorlar ular uchun hech qanday emas, balki tabiiy bo'linmalarni tan oladi. Misol uchun, siz rublning yuzdan bir qismini (1/100) olishingiz mumkin, u bir tiyin bo'ladi, ikki yuzinchi 2 tiyin, uch yuzdan biri 3 tiyin. Siz rublning 1/10 qismini olishingiz mumkin, u "10 kopek, yoki bir tiyin bo'ladi. Siz rublning chorak qismini, ya'ni 25 tiyin, yarim rubl, ya'ni 50 kopek (ellik kopek) olishingiz mumkin. Lekin ular amalda yo'q. Masalan, 2/7 rublni olmang, chunki rubl ettinchi qismga bo'linmaydi.

Og'irlikning o'lchov birligi, ya'ni kilogramm, birinchi navbatda, o'nli bo'linmalarga imkon beradi, masalan, 1/10 kg yoki 100 g. Va kilogrammning 1/6, 1/11, 1/ kabi kasrlari. 13 kam uchraydi.

Umuman olganda, bizning (metrik) o'lchovlarimiz o'nlik va o'nlik bo'linmalarga ruxsat beradi.

Ammo shuni ta'kidlash kerakki, kattaliklarni bo'linishning bir xil (bir xil) usulini qo'llash juda ko'p turli xil holatlarda juda foydali va qulaydir. Ko'p yillik tajriba shuni ko'rsatdiki, bunday asosli bo'linish "yuzlik" bo'limidir. Keling, inson amaliyotining eng xilma-xil sohalari bilan bog'liq bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

1. Kitoblar narxi avvalgi narxdan 12/100 ga arzonlashdi.

Misol. Kitobning oldingi narxi - 10 rubl. U 1 rublga tushdi. 20 kop.

2. Omonat kassalari yil davomida omonatchilarga omonatga qo'yilgan summaning 2/100 qismini to'laydi.

Misol. Kassaga 500 rubl qo'yiladi, bu summadan yil uchun daromad 10 rublni tashkil qiladi.

3. Bitta maktab bitiruvchilari umumiy o‘quvchilar sonining 5/100 qismini tashkil etdi.

MISOL Maktabda bor-yo‘g‘i 1200 nafar o‘quvchi tahsil olgan, ulardan 60 nafari maktabni tamomlagan.

Sonning yuzdan bir qismi foiz deb ataladi..

"Foiz" so'zi lotin tilidan olingan bo'lib, uning o'zagi "tsent" yuz degan ma'noni anglatadi. Bu so'z predlog (pro centum) bilan birgalikda "yuz uchun" degan ma'noni anglatadi. Ushbu iboraning ma'nosi shundan kelib chiqadiki, dastlab qadimgi Rimda foizlar qarzdorning qarz beruvchiga "har bir yuz uchun" to'lagan pullari bo'lgan. "Sent" so'zi shunday tanish so'zlarda eshitiladi: sentner (yuz kilogramm), santimetr (santimetr deyishadi).

Misol uchun, zavod o'tgan oyda ishlab chiqarilgan barcha mahsulotlarning 1/100 qismini ishlab chiqardi, deyish o'rniga, biz shuni aytamiz: zavod o'tgan oy davomida rad etilganlarning bir foizini ishlab chiqargan. Zavod belgilangan rejadan 4/100 ko'p mahsulot ishlab chiqardi, deyish o'rniga: zavod rejani 4 foizga ortig'i bilan bajardi, deymiz.

Yuqoridagi misollarni boshqacha ifodalash mumkin:

1. Kitoblar narxi avvalgi narxdan 12 foizga arzonlashdi.

2. Omonat kassalari omonatchilarga omonatga qo'yilgan summaning yiliga 2 foizi miqdorida to'laydi.

3. Bitta maktabni bitiruvchilar soni maktabdagi barcha o‘quvchilar sonining 5 foizini tashkil etdi.

Harfni qisqartirish uchun "foiz" so'zi o'rniga% belgisini yozish odatiy holdir.

Ammo shuni esda tutish kerakki, % belgisi odatda hisob-kitoblarda yozilmaydi, uni muammo bayonida va yakuniy natijada yozish mumkin. Hisob-kitoblarni amalga oshirishda ushbu belgi bilan butun son o'rniga 100 ga teng bo'lgan kasrni yozishingiz kerak.

Belgilangan belgi bilan butun sonni maxraji 100 bo'lgan kasr bilan almashtira olishingiz kerak:

Aksincha, siz maxraji 100 bo'lgan kasr o'rniga ko'rsatilgan belgi bilan butun son yozishga odatlanishingiz kerak:

7. Berilgan sonning foizlarini topish.

Vazifa 1. Maktab 200 kubometr oldi. m o'tin, qayin o'tinlari 30% ni tashkil qiladi. Qancha qayin daraxti bor edi?

Bu muammoning ma'nosi shundaki, qayin o'tinlari maktabga etkazib berilgan o'tinning faqat bir qismi edi va bu qism 30/100 ning bir qismi sifatida ifodalanadi. Demak, oldimizda sonning kasr qismini topish vazifasi turibdi. Uni hal qilish uchun biz 200 ni 30/100 ga ko'paytirishimiz kerak (sonning ulushini topish uchun topshiriqlar sonni kasrga ko'paytirish orqali hal qilinadi.).

Demak, 200 ning 30% 60 ga teng.

Bu muammoda uchragan 30/100 kasrni 10 ga kamaytirish mumkin. Bu qisqartirishni boshidanoq amalga oshirish mumkin edi; muammoning yechimi o'zgarmas edi.

Vazifa 2. Oromgohda turli yoshdagi 300 nafar bola bor edi. 11 yoshli bolalar 21%, 12 yoshli bolalar 61% va nihoyat 13 yoshli bolalar 18% edi. Lagerda har bir yoshdagi nechta bola bor edi?

Ushbu muammoda siz uchta hisob-kitobni bajarishingiz kerak, ya'ni ketma-ket 11 yoshli, keyin 12 yoshli va nihoyat 13 yoshli bolalar sonini toping.

Shunday qilib, bu erda uch marta sonning kasr qismini topish kerak bo'ladi. Keling buni bajaramiz:

1) 11 yoshda nechta bola bor edi?

2) 12 yoshda nechta bola bor edi?

3) 13 yoshda nechta bola bor edi?

Muammoni hal qilgandan so'ng, topilgan raqamlarni qo'shish foydalidir; ularning yig'indisi 300 bo'lishi kerak:

63 + 183 + 54 = 300

Muammoning shartida berilgan foizlar yig'indisi 100 ga teng ekanligiga ham e'tibor berishingiz kerak:

21% + 61% + 18% = 100%

Bu shuni ko'rsatadiki, lagerdagi bolalarning umumiy soni 100% deb qabul qilingan.

3 a da cha 3. Ishchi oyiga 1200 rubl oldi. Shulardan 65 foizini oziq-ovqatga, 6 foizini kvartira va isitishga, 4 foizini gaz, elektr va radioga, 10 foizini madaniy ehtiyojlarga, 15 foizini tejab qo‘ygan. Topshiriqda ko'rsatilgan ehtiyojlar uchun qancha pul sarflandi?

Bu masalani yechish uchun 1200 sonining kasrini 5 marta topish kerak, buni bajaramiz.

1) Oziq-ovqatga qancha pul sarflanadi? Vazifada aytilishicha, bu xarajat barcha daromadlarning 65%, ya'ni 1200 sonining 65/100 qismini tashkil qiladi. Keling, hisob-kitob qilaylik:

2) Isitish bilan jihozlangan kvartira uchun qancha pul to'langan? Avvalgi kabi bahslashsak, biz quyidagi hisob-kitoblarga erishamiz:

3) Gaz, elektr va radio uchun qancha pul to'lagansiz?

4) Madaniy ehtiyojlarga qancha pul sarflanadi?

5) Ishchi qancha pul tejagan?

Tasdiqlash uchun ushbu 5 savolda joylashgan raqamlarni qo'shish foydalidir. Miqdori 1200 rubl bo'lishi kerak. Barcha daromadlar 100% sifatida qabul qilinadi, bu muammo bayonotida ko'rsatilgan foizlarni qo'shib tekshirish oson.

Biz uchta muammoni hal qildik. Bu vazifalar har xil narsalar (maktab uchun o'tin yetkazib berish, turli yoshdagi bolalar soni, ishchining xarajatlari) haqida bo'lishiga qaramay, ular bir xil tarzda hal qilindi. Bu sodir bo'ldi, chunki barcha vazifalarda berilgan raqamlarning bir necha foizini topish kerak edi.

§ 90. Kasrlarning bo'linishi.

Kasrlarning bo'linishini o'rganishda biz quyidagi savollarni ko'rib chiqamiz:

1. Butun sonni butun songa bo‘lish.
2. Kasrni butun songa bo‘lish
3. Butun sonni kasrga bo‘lish.
4. Kasrni kasrga bo'lish.
5. Aralash sonlarning bo‘linishi.
6. Kasr berilgan sonni topish.
7. Raqamni foiz bo‘yicha topish.

Keling, ularni ketma-ket ko'rib chiqaylik.

1. Butun sonni butun songa bo‘lish.

Butun sonlar bo'limida ta'kidlanganidek, bo'linish ikki omil (dividend) va bu omillardan birining (bo'luvchi) ko'paytmasi berilgan holda boshqa omil topilishidan iborat bo'lgan harakatdir.

Butun sonning butun songa bo'linishini biz butun sonlar bo'limida ko'rib chiqdik. Biz u erda ikkita bo'linish holatini uchratdik: qoldiqsiz bo'linish yoki "butunlay" (150: 10 = 15) va qoldiq bilan bo'linish (100: 9 = 11 va qolganda 1). Shuning uchun aytishimiz mumkinki, butun sonlar sohasida aniq bo'linish har doim ham mumkin emas, chunki dividend har doim ham bo'luvchi va butun sonning mahsuloti emas. Kasrga ko'paytirish kiritilgandan so'ng, biz butun sonlarni bo'lishning har qanday holatini iloji boricha ko'rib chiqishimiz mumkin (faqat nolga bo'linish chiqarib tashlanadi).

Misol uchun, 7 ni 12 ga bo'lish ko'paytmasi 12 ga 7 bo'ladigan sonni topishni anglatadi. Bu raqam 7/12 kasrdir, chunki 7/12 12 = 7. Yana bir misol: 14: 25 = 14/25, chunki 14/25 25 = 14.

Shunday qilib, butun sonni butun songa bo'lish uchun siz kasrni yasashingiz kerak, uning numeratori dividendga teng, maxraji esa bo'luvchidir.

2. Kasrni butun songa bo‘lish.

6/7 kasrni 3 ga bo'ling. Yuqorida keltirilgan bo'linish ta'rifiga ko'ra, biz bu erda mahsulot (6/7) va omillardan biri (3); shunday ikkinchi koeffitsientni topish kerakki, 3 ga ko'paytirilganda berilgan mahsulot 6/7 ni beradi. Shubhasiz, bu mahsulotdan uch barobar kichikroq bo'lishi kerak. Bu shuni anglatadiki, oldimizga qo'yilgan vazifa 6/7 kasrni 3 barobarga qisqartirish edi.

Biz allaqachon bilamizki, kasrning kamaytirilishi uning numeratorini kamaytirish yoki maxrajini oshirish orqali amalga oshirilishi mumkin. Shuning uchun siz yozishingiz mumkin:

Bunday holda, raqam 6 3 ga bo'linadi, shuning uchun raqamni 3 marta kamaytirish kerak.

Yana bir misol keltiraylik: 5 / 8 2 ga bo'linadi. Bu erda 5 soni 2 ga bo'linmaydi, ya'ni maxrajni ushbu raqamga ko'paytirish kerak bo'ladi:

Bunga asoslanib, biz qoidani aytishimiz mumkin: Kasrni butun songa bo'lish uchun kasrning payini shu butun songa bo'lish kerak.(Agar mumkin bo `lsa), bir xil maxrajni qoldirib, yoki kasrning maxrajini shu songa ko'paytirib, bir xil sonni qoldirib.

3. Butun sonni kasrga bo‘lish.

5 ni 1/2 ga bo'lish talab qilinsin, ya'ni 1/2 ga ko'paytirgandan so'ng mahsulot 5 ni beradigan sonni toping. Shubhasiz, bu raqam 5 dan katta bo'lishi kerak, chunki 1/2 to'g'ri kasr, sonni to'g'ri kasrga ko'paytirishda esa ko'paytma ko'paytmadan kichik bo'lishi kerak. Aniqroq bo'lishi uchun harakatlarimizni quyidagicha yozamiz: 5: 1 / 2 = X , shuning uchun x 1/2 \u003d 5.

Biz bunday raqamni topishimiz kerak X , bu 1/2 ga ko'paytirilganda 5 ni beradi. Ma'lum bir sonni 1/2 ga ko'paytirish bu sonning 1/2 qismini topishni anglatadi, demak, noma'lum sonning 1/2 qismi. X 5 va butun son X ikki barobar ko'p, ya'ni 5 2 \u003d 10.

Shunday qilib, 5: 1/2 = 5 2 = 10

Keling, tekshiramiz:

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. 6 ni 2/3 ga bo'lish talab qilinsin. Keling, avval chizma yordamida kerakli natijani topishga harakat qilaylik (19-rasm).

19-rasm

Ayrim birliklarning 6 tasiga teng AB segmentini chizing va har bir birlikni 3 ta teng qismga ajrating. Har bir birlikda AB butun segmentida uchdan uch (3/3) 6 barobar ko'p, ya'ni. e. 18/3. Biz kichik qavslar yordamida 2 ta olingan 18 ta segmentni bog'laymiz; Faqat 9 ta segment bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, 2/3 kasr b birlikda 9 marta joylashgan yoki boshqacha aytganda, 2/3 kasr 6 ta butun birlikdan 9 marta kam. Binobarin,

Ushbu natijani faqat hisob-kitoblar yordamida chizmasiz qanday olish mumkin? Biz quyidagicha bahslashamiz: 6 ni 2/3 ga bo'lish kerak, ya'ni 2/3 ni 6 ga necha marta o'z ichiga oladi degan savolga javob berish kerak. Keling, avval bilib olaylik: 1/3 necha marta. 6 ga kiritilgan? Butun birlikda - uchdan 3, 6 birlikda - 6 barobar ko'p, ya'ni 18 uchdan; bu raqamni topish uchun biz 6 ni 3 ga ko'paytirishimiz kerak. Demak, 1/3 b birlikda 18 marta, 2/3 esa b 18 marta emas, balki ikki barobar ko'p, ya'ni 18: 2 = 9. Shunday qilib, 6 ni 2/3 ga bo'lishda biz quyidagilarni qildik:

Bu yerdan biz butun sonni kasrga bo'lish qoidasini olamiz. Butun sonni kasrga bo'lish uchun siz ushbu butun sonni berilgan kasrning maxrajiga ko'paytirishingiz kerak va bu ko'paytmani hisoblagichga aylantirib, uni berilgan kasrning soniga bo'lishingiz kerak.

Biz qoidani harflar yordamida yozamiz:

Ushbu qoidani aniq tushunish uchun kasrni qism sifatida ko'rib chiqish mumkinligini esga olish kerak. Shuning uchun topilgan qoidani § 38da ko'rsatilgan sonni qismga bo'lish qoidasi bilan solishtirish foydalidir. E'tibor bering, xuddi shu formula u erda olingan.

Bo'lishda qisqartmalar mumkin, masalan:

4. Kasrni kasrga bo'lish.

3/4 ni 3/8 ga bo'lish talab qilinsin. Bo'lish natijasida olinadigan son nima bilan belgilanadi? Bu 3/8 kasr 3/4 kasrda necha marta borligi haqidagi savolga javob beradi. Bu masalani tushunish uchun rasm chizamiz (20-rasm).

AB segmentini oling, uni birlik sifatida oling, uni 4 ta teng qismga bo'ling va 3 ta shunday qismni belgilang. AC segmenti AB segmentining 3/4 qismiga teng bo'ladi. Keling, to'rtta boshlang'ich segmentning har birini yarmiga ajratamiz, keyin AB segmenti 8 ta teng qismga bo'linadi va har bir bunday qism AB segmentining 1/8 qismiga teng bo'ladi. Biz 3 ta shunday segmentni yoylar bilan bog'laymiz, keyin AD va DC segmentlarining har biri AB segmentining 3/8 qismiga teng bo'ladi. Chizma shuni ko'rsatadiki, 3/8 ga teng segment 3/4 ga teng bo'lgan segmentda aniq 2 marta joylashgan; Shunday qilib, bo'linish natijasini quyidagicha yozish mumkin:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. 15/16 ni 3/32 ga bo'lish talab qilinsin:

Biz shunday fikr yuritishimiz mumkin: biz 3/32 ga ko'paytirilgandan so'ng 15/16 ga teng mahsulot beradigan raqamni topishimiz kerak. Keling, hisob-kitoblarni quyidagicha yozamiz:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 noma'lum raqam X 15/16 ni tashkil qiling

1/32 noma'lum raqam X bu,

32/32 raqamlari X grim surmoq, pardoz qilmoq; yasamoq, tuzmoq .

Binobarin,

Shunday qilib, kasrni kasrga bo'lish uchun birinchi kasrning soni ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytirilishi kerak va birinchi kasrning maxraji ikkinchisining soniga ko'paytiriladi va birinchi ko'paytmani sanoq va kasrga aylantirish kerak. ikkinchi maxraj.

Keling, qoidani harflar yordamida yozamiz:

Bo'lishda qisqartmalar mumkin, masalan:

5. Aralash sonlarning bo‘linishi.

Aralash sonlarni bo'lishda avvalo noto'g'ri kasrlarga aylantirilishi kerak, so'ngra hosil bo'lgan kasrlarni kasr sonlarini bo'lish qoidalariga muvofiq bo'lish kerak. Bir misolni ko'rib chiqing:

Aralash sonlarni noto'g'ri kasrlarga aylantiring:

Endi ajratamiz:

Shunday qilib, aralash raqamlarni bo'lish uchun siz ularni noto'g'ri kasrlarga aylantirishingiz va keyin kasrlarni bo'lish qoidasiga muvofiq bo'lishingiz kerak.

6. Kasr berilgan sonni topish.

Kasrlar bo'yicha turli topshiriqlar orasida ba'zida noma'lum sonning qandaydir kasrining qiymati berilgan va bu raqamni topish talab qilinadigan vazifalar mavjud. Bu turdagi masalalar berilgan sonning kasrini topish masalasiga teskari bo'ladi; u yerda son berilgan va bu sonning qandaydir qismini topish talab qilingan, bu yerda sonning bir qismi berilgan va shu sonning o'zini topish talab qilinadi. Ushbu turdagi masalalar yechimiga murojaat qilsak, bu fikr yanada oydinlashadi.

Vazifa 1. Birinchi kuni oynachilar 50 ta derazani sirladilar, bu qurilgan uyning barcha derazalarining 1/3 qismini tashkil qiladi. Bu uyda nechta deraza bor?

Yechim. Muammo shundaki, 50 ta oynali derazalar uyning barcha derazalarining 1/3 qismini tashkil qiladi, ya'ni jami 3 barobar ko'p derazalar mavjud, ya'ni.

Uyda 150 ta deraza bor edi.

Vazifa 2. Do‘konda 1500 kg un sotilgan, bu esa do‘kondagi umumiy un zaxirasining 3/8 qismini tashkil etadi. Do‘konning dastlabki un ta’minoti qancha edi?

Yechim. Muammoning holatidan ko'rinib turibdiki, sotilgan 1500 kg un umumiy zaxiraning 3/8 qismini tashkil qiladi; bu shuni anglatadiki, ushbu aktsiyaning 1/8 qismi 3 baravar kam bo'ladi, ya'ni uni hisoblash uchun siz 1500 ni 3 marta kamaytirishingiz kerak:

1500: 3 = 500 (bu aksiyaning 1/8 qismi).

Shubhasiz, butun zaxira 8 barobar ko'p bo'ladi. Binobarin,

500 8 \u003d 4000 (kg).

Do'konda dastlabki un etkazib berish 4000 kg edi.

Ushbu muammoni ko'rib chiqishdan quyidagi qoidani chiqarish mumkin.

Raqamni uning ulushining berilgan qiymati bo'yicha topish uchun bu qiymatni kasrning numeratoriga bo'lish va natijani kasrning maxrajiga ko'paytirish kifoya.

Biz uning kasri berilgan sonni topishga oid ikkita masalani yechdik. Bunday masalalar, ayniqsa oxirgisidan yaxshi ko'rinib turganidek, ikkita harakat bilan hal qilinadi: bo'linish (bir qism topilganda) va ko'paytirish (butun son topilganda).

Biroq, kasrlarni bo'linishini o'rganganimizdan so'ng, yuqoridagi masalalarni bir amalda, ya'ni: kasrga bo'lishda hal qilish mumkin.

Masalan, oxirgi vazifani bitta harakatda hal qilish mumkin:

Kelajakda biz sonni uning kasriga ko'ra topish masalasini bitta harakatda - bo'linishda hal qilamiz.

7. Raqamni foiz bo‘yicha topish.

Ushbu vazifalarda siz ushbu raqamning bir necha foizini bilib, raqamni topishingiz kerak bo'ladi.

Vazifa 1. Bu yil boshida men omonat kassasidan 60 rubl oldim. bir yil oldin jamg'armaga qo'ygan summamdan daromad. Omonat kassasiga qancha pul qo'ydim? (Kassalar omonatchilarga yiliga 2% daromad beradi.)

Muammoning ma'nosi shundaki, ma'lum miqdordagi pulni men tomonidan omonat kassasiga qo'yib, bir yil davomida yotdim. Bir yildan keyin men undan 60 rubl oldim. daromad, bu men qo'ygan pulning 2/100 qismini tashkil etadi. Men qancha pul qo'ydim?

Shuning uchun, bu pulning ikki shaklda (rubl va kasrlarda) ifodalangan qismini bilib, biz hali noma'lum bo'lgan to'liq miqdorni topishimiz kerak. Bu kasr berilgan sonni topishning oddiy muammosi. Quyidagi vazifalar bo'linish orqali hal qilinadi:

Shunday qilib, omonat kassasiga 3000 rubl tushdi.

Vazifa 2. Ikki haftada baliqchilar 512 tonna baliq tayyorlab, oylik rejani 64 foizga bajardi. Ularning rejasi nima edi?

Muammoning holatidan ma'lumki, baliqchilar rejaning bir qismini bajargan. Bu qism 512 tonnaga teng bo‘lib, rejaning 64 foizini tashkil etadi. Reja bo'yicha qancha tonna baliq yig'ish kerak, biz bilmaymiz. Muammoni hal qilish bu raqamni topishdan iborat bo'ladi.

Bunday vazifalarni ajratish yo'li bilan hal qilinadi:

Demak, rejaga ko‘ra, 800 tonna baliq tayyorlash kerak.

Vazifa 3. Poyezd Rigadan Moskvaga yo‘l oldi. U 276-kilometrdan o'tganida, yo'lovchilardan biri o'tayotgan konduktordan qancha yo'l bosib o'tganliklarini so'radi. Bunga dirijyor javob berdi: "Biz butun sayohatning 30 foizini bosib o'tdik". Rigadan Moskvagacha bo'lgan masofa qancha?

Muammoning holatidan ko'rish mumkinki, Rigadan Moskvagacha bo'lgan yo'lning 30 foizi 276 km. Biz ushbu shaharlar orasidagi butun masofani topishimiz kerak, ya'ni bu qism uchun butunni toping:

§ 91. O'zaro raqamlar. Bo'linishni ko'paytirish bilan almashtirish.

2/3 kasrni oling va hisoblagichni maxraj joyiga o'zgartiring, biz 3/2 ni olamiz. Biz kasrni oldik, buning o'zaro.

Berilgan kasrning o'zaro kasrini olish uchun uning hisoblagichini maxraj o'rniga, maxrajini esa hisoblagich o'rniga qo'yish kerak. Shunday qilib, har qanday kasrning o'zaro nisbati bo'lgan kasrni olishimiz mumkin. Masalan:

3/4, teskari 4/3; 5/6 , teskari 6/5

Birinchisining soni ikkinchisining maxraji va birinchisining maxraji ikkinchisining soni bo'lish xususiyatiga ega bo'lgan ikkita kasr deyiladi. o'zaro teskari.

Keling, 1/2 ning o'zaro nisbati qaysi kasr bo'lishini o'ylab ko'raylik. Shubhasiz, u 2/1 yoki atigi 2 bo'ladi. Buning o'zaro munosabatini qidirib, biz butun sonni oldik. Va bu holat alohida emas; aksincha, numeratori 1 (bir) bo'lgan barcha kasrlar uchun o'zaro butun sonlar bo'ladi, masalan:

1/3, teskari 3; 1/5, teskari 5

O'zarolarni qidirishda biz butun sonlar bilan ham uchrashganimiz sababli, kelajakda biz o'zaro emas, balki o'zaro bog'liqliklar haqida gapiramiz.

Keling, butun sonning teskarisini qanday yozishni aniqlaymiz. Kasrlar uchun bu oddiygina hal qilinadi: maxrajni pay o'rniga qo'yish kerak. Xuddi shu tarzda, siz butun sonning o'zaro nisbatini olishingiz mumkin, chunki har qanday butun sonning maxraji 1 bo'lishi mumkin. Demak, 7 ning o'zaro nisbati 1/7 bo'ladi, chunki 7 \u003d 7/1; 10 raqami uchun teskari 1/10 ga teng, chunki 10 = 10/1

Ushbu fikrni boshqa yo'l bilan ifodalash mumkin: berilgan sonning o'zaro nisbati bittani berilgan songa bo'lish yo'li bilan olinadi. Bu gap faqat butun sonlar uchun emas, balki kasrlar uchun ham to'g'ri. Haqiqatan ham, agar siz 5/9 ning o'zaro nisbati bo'lgan raqamni yozmoqchi bo'lsangiz, unda biz 1 ni olib, uni 5/9 ga bo'lishimiz mumkin, ya'ni.

Endi bittasini ta'kidlaymiz mulk Biz uchun foydali bo'lgan o'zaro o'zaro raqamlar: o'zaro o'zaro sonlarning ko'paytmasi birga teng. Haqiqatdan ham:

Ushbu xususiyatdan foydalanib, biz o'zaro munosabatlarni quyidagi tarzda topishimiz mumkin. Keling, 8 ning o'zaro nisbatini topamiz.

Keling, uni harf bilan belgilaymiz X , keyin 8 X = 1, shuning uchun X = 1/8. Keling, boshqa raqamni topamiz, 7/12 ning teskarisi, uni harf bilan belgilaymiz X , keyin 7/12 X = 1, shuning uchun X = 1:7 / 12 yoki X = 12 / 7 .

Biz bu erda kasrlar bo'linishi haqidagi ma'lumotlarni biroz to'ldirish uchun o'zaro o'zaro sonlar tushunchasini kiritdik.

6 raqamini 3/5 ga bo'lsak, biz quyidagilarni bajaramiz:

Ifodaga alohida e'tibor bering va uni berilgan bilan solishtiring: .

Agar iborani oldingisi bilan bog'lanmagan holda alohida olsak, u qaerdan kelganligi haqidagi savolni hal qilib bo'lmaydi: 6 ni 3/5 ga bo'lish yoki 6 ni 5/3 ga ko'paytirish. Ikkala holatda ham natija bir xil bo'ladi. Shunday qilib, aytishimiz mumkin bir sonni boshqasiga bo'lish dividendni bo'luvchining o'zaro soniga ko'paytirish orqali almashtirilishi mumkin.

Quyida keltirilgan misollar bu xulosani to‘liq tasdiqlaydi.

$\frac63$ kasrini ko'rib chiqing. Uning qiymati 2 ga teng, chunki $\frac63 =6:3 = 2$. Numerator va maxraj 2 ga ko'paytirilsa nima bo'ladi? $ \ frac63 \ marta 2 = \ frac (12) (6) $. Shubhasiz, kasrning qiymati o'zgarmagan, shuning uchun $\frac(12)(6)$ ham y sifatida 2 ga teng. son va maxrajni ko'paytiring 3 ga va $\frac(18)(9)$ yoki 27 ga va $\frac(162)(81)$ yoki 101 ga ega bo'ling va $\frac(606)(303)$ oling. Ushbu holatlarning har birida, hisoblagichni maxrajga bo'lish orqali biz oladigan kasrning qiymati 2 ga teng. Bu uning o'zgarmaganligini anglatadi.

Xuddi shu holat boshqa kasrlarda ham kuzatiladi. Agar $\frac(120)(60)$ (2 ga teng) kasrning soni va maxraji 2 ga ($\frac(60)(30)$ natijasi) yoki 3 ga ($\ natijasi) boʻlinsa. frac(40)(20) $), yoki 4 ga (natija $\frac(30)(15)$) va hokazo, keyin har bir holatda kasr qiymati o'zgarishsiz qoladi va 2 ga teng.

Bu qoida teng bo'lmagan kasrlarga ham tegishli. butun son.

Agar $\frac(1)(3)$ kasrning pay va maxraji 2 ga ko'paytirilsa, biz $\frac(2)(6)$ olamiz, ya'ni kasrning qiymati o'zgarmagan. Va aslida, agar siz tortni 3 qismga bo'lib, ulardan birini olsangiz yoki uni 6 qismga bo'lib, 2 qismga olsangiz, ikkala holatda ham bir xil miqdordagi pirogni olasiz. Shuning uchun $\frac(1)(3)$ va $\frac(2)(6)$ raqamlari bir xil. Keling, umumiy qoidani tuzamiz.

Har qanday kasrning soni va maxraji bir xil songa ko'paytirilishi yoki bo'linishi mumkin va kasrning qiymati o'zgarmaydi.

Bu qoida juda foydali. Masalan, ba'zi hollarda, lekin har doim ham emas, katta raqamlar bilan operatsiyalardan qochish imkonini beradi.

Masalan, $\frac(126)(189)$ kasrning pay va maxrajini 63 ga bo'lib, hisoblash ancha oson bo'lgan $\frac(2)(3)$ kasrini olishimiz mumkin. Yana bir misol. $\frac(155)(31)$ kasrning pay va maxrajini 31 ga bo'lib, $\frac(5)(1)$ yoki 5 kasrini olishimiz mumkin, chunki 5:1=5.

Ushbu misolda biz birinchi marta duch keldik maxraji 1 ga teng kasr. Bunday kasrlar hisob-kitoblarda muhim rol o'ynaydi. Shuni esda tutish kerakki, har qanday raqam 1 ga bo'linishi mumkin va uning qiymati o'zgarmaydi. Ya'ni, $\frac(273)(1)$ 273 ga teng; $\frac(509993)(1)$ 509993 va hokazo. Shuning uchun raqamlarni ga bo'lish shart emas, chunki har bir butun sonni maxraji 1 bo'lgan kasr sifatida ko'rsatish mumkin.

Maxraji 1 ga teng bo'lgan bunday kasrlar bilan siz boshqa barcha kasrlar bilan bir xil arifmetik amallarni bajarishingiz mumkin: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

Butun sonni kasr sifatida ifodalashdan nima foyda, deb so'rashingiz mumkin, uning ostida birlik bo'ladi, chunki butun son bilan ishlash qulayroqdir. Ammo haqiqat shundaki, butun sonni kasr sifatida ko'rsatish bizga bir vaqtning o'zida ham butun, ham kasr sonlar bilan ishlaganda turli harakatlarni samaraliroq bajarish imkoniyatini beradi. Masalan, o'rganish uchun har xil maxrajli kasrlarni qo'shing. Aytaylik, biz $\frac(1)(3)$ va $\frac(1)(5)$ qo'shishimiz kerak.

Biz bilamizki, siz faqat maxrajlari teng bo'lgan kasrlarni qo'shishingiz mumkin. Demak, kasrlarni maxrajlari teng bo'lganda bunday ko'rinishga keltirishni o'rganishimiz kerak. Bunday holda, bizga yana bir haqiqat kerak bo'ladi, siz kasrning soni va maxrajini uning qiymatini o'zgartirmasdan bir xil songa ko'paytirishingiz mumkin.

Birinchidan, biz $\frac(1)(3)$ kasrning payini va maxrajini 5 ga ko'paytiramiz. Biz $\frac(5)(15)$ olamiz, kasrning qiymati o'zgarmadi. Keyin $\frac(1)(5)$ kasrning payini va maxrajini 3 ga ko'paytiramiz. Biz $\frac(3)(15)$ olamiz, yana kasrning qiymati o'zgarmadi. Shuning uchun, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Keling, ushbu tizimni butun va kasr qismlarini o'z ichiga olgan sonlarni qo'shishda qo'llashga harakat qilaylik.

Biz $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$ qo'shishimiz kerak. Birinchidan, barcha atamalarni kasrlarga aylantiramiz va olamiz: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Endi biz barcha kasrlarni umumiy maxrajga keltirishimiz kerak, buning uchun birinchi kasrning sonini va maxrajini 12 ga, ikkinchisini 4 ga, uchinchisini 3 ga ko'paytiramiz. Natijada $\frac(36) ni olamiz. )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, bu $\frac(55)(12)$ ga teng. Agar siz qutulishni istasangiz noto'g'ri kasr, uni butun son va kasr qismidan iborat songa aylantirish mumkin: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ yoki $4\frac( 7)( 12)$.

Ruxsat beradigan barcha qoidalar kasrlar bilan amallar Biz hozirgina o'rgangan , manfiy sonlar uchun ham amal qiladi. Shunday qilib, -1: 3 $\frac(-1)(3)$ va 1: (-3) $\frac(1)(-3)$ sifatida yozilishi mumkin.

Salbiy sonni musbat songa bo'lish va musbat sonni manfiy natijaga bo'lish manfiy sonlarda bo'lgani uchun ikkala holatda ham javobni manfiy son ko'rinishida olamiz. Ya'ni

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ yoki $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Minus belgisi shu tarzda yozilsa, hisob yoki maxraj alohida emas, balki butun kasrga tegishlidir.

Boshqa tomondan, (-1) : (-3) $\frac(-1)(-3)$ shaklida yozilishi mumkin va manfiy sonni manfiy songa bo'lish ijobiy sonni bergani uchun $\frac (-1 )(-3)$ $+\frac(1)(3)$ shaklida yozilishi mumkin.

Manfiy kasrlarni qo'shish va ayirish xuddi musbat kasrlarni qo'shish va ayirish kabi bajariladi. Masalan, $1- 1\frac13$ nima? Keling, ikkala raqamni kasr shaklida ifodalaymiz va $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$ olamiz. Kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz va $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, ya'ni $\frac(3)(3)-\frac( ni olamiz. 4) (3)$ yoki $-\frac(1)(3)$.

Farzandingiz maktabdan uy vazifasini olib keldi va siz uni qanday hal qilishni bilmayapsizmi? Unda bu mini darslik siz uchun!

O'nli kasrlarni qanday qo'shish kerak

Ustunga o'nlik kasrlarni qo'shish qulayroqdir. O'nli kasrlarni qo'shish uchun siz bitta oddiy qoidaga amal qilishingiz kerak:

• Raqam raqam ostida, vergul esa vergul ostida bo'lishi kerak.

Misolda ko'rib turganingizdek, butun birliklar bir-birining ostida, o'ninchi va yuzlik birliklari bir-birining ostida joylashgan. Endi biz vergulni e'tiborsiz qoldirib, raqamlarni qo'shamiz. Vergul bilan nima qilish kerak? Vergul butun sonlarni chiqarishda turgan joyga ko'chiriladi.

Maxrajlari teng bo‘lgan kasrlarni qo‘shish

Umumiy maxraj bilan qo'shishni amalga oshirish uchun siz maxrajni o'zgarishsiz saqlashingiz kerak, sonlarning yig'indisini toping va umumiy miqdor bo'lgan kasrni olishingiz kerak.

Umumiy karrali topib, har xil maxrajli kasrlarni qo‘shish

E'tibor berish kerak bo'lgan birinchi narsa - bu denominatorlar. Maxrajlar har xil, biri ikkinchisiga bo'linadimi, xoh tub sonlar bo'ladimi. Avval siz bitta umumiy maxrajga olib kelishingiz kerak, buni qilishning bir necha yo'li mavjud:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, bu misolni hal qilish uchun biz 2 maxrajga bo'linadigan eng kichik umumiy ko'paytmani (LCM) topishimiz kerak. a va b ning eng kichik karralini belgilash uchun - LCM (a; b). Bu misolda LCM (3;4)=12. Tekshirish: 12:3=4; 12:4=3.
• Biz omillarni ko'paytiramiz va natijada olingan raqamlarni qo'shishni amalga oshiramiz, biz 13/12 - noto'g'ri kasrni olamiz.

• Noto'g'ri kasrni to'g'ri kasrga o'tkazish uchun payni maxrajga bo'lamiz, 1 butun sonni olamiz, qolgan 1 - son va 12 - maxraj.

O'zaro ko'paytirish yordamida kasrlarni qo'shish

Turli xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun "o'zaro o'zaro faoliyat" formulasiga ko'ra boshqa usul mavjud. Bu maxrajlarni tenglashtirishning kafolatlangan usuli, buning uchun siz hisob raqamlarini bir kasrning maxraji bilan ko'paytirishingiz kerak va aksincha. Agar siz kasrlarni o'rganishning dastlabki bosqichida bo'lsangiz, unda bu usul turli xil maxrajli kasrlarni qo'shishda to'g'ri natijaga erishishning eng oson va eng aniq usuli hisoblanadi.

Bu darsda maxrajlari bir xil bo'lgan algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish ko'rib chiqiladi. Biz allaqachon bir xil maxrajli oddiy kasrlarni qanday qo'shish va ayirishni bilamiz. Ma'lum bo'lishicha, algebraik kasrlar bir xil qoidalarga amal qiladi. Bir xil maxrajli kasrlar bilan ishlash ko'nikmasi algebraik kasrlar bilan ishlash qoidalarini o'rganishning asoslaridan biridir. Xususan, ushbu mavzuni tushunish murakkabroq mavzuni - har xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirishni o'zlashtirishni osonlashtiradi. Darsning bir qismi sifatida biz bir xil maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish qoidalarini o'rganamiz, shuningdek bir qator tipik misollarni tahlil qilamiz.

Bir xil maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish qoidasi

Sfor-mu-li-ru-em pr-vi-lo slo-zhe-niya (siz-chi-ta-niya) al-geb-ra-va-che-dro-bey bilan yakkama-yakka-siz - mi-know-on-te-la-mi (bu oddiy-lekin-ven-nyh-dr-bay uchun ana-logik bosh barmog'i bilan co-pa-yes-et): Bu qo'shimcha uchun yoki you-chi-ta-niya al-geb-ra-and-che-dro-bey bilan bir-to-you-mi-know-me-on-te-la-mi zarur -ho-di-mo bilan -li-te-lei sonining veterinariya-stu-u-th al-geb-ra-i-che-sum bilan turish va iz-me-siz iz-me-on-tel izni. yo'q.

Biz bu o'ng-vi-loni oddiy-lekin-tomir-zarba zarbalari misolida ham, al-geb-ra-va-che-dro-bey misolida ham tahlil qilamiz.

Oddiy kasrlar uchun qoidani qo'llash misollari

Misol 1. Kasrlarni qo'shish:.

Yechim

Keling, raqamni qo'shamizmi-yo'qmi-ular-chizadi-uradimi va tel-telefonda imzo qo'yishni bir xilda qoldiraylik. Shundan so'ng biz son-li-tel va signal-me-on-telni oddiy ko'paytiruvchilarga va so-kra-timga ajratamiz. Keling, bilib olaylik: .

Eslatma: standart xatolik, men yaxshi misolda hal qilishda biror narsani boshlayman, masalan, -key-cha-et-sya uchun quyidagi-du-u-sch-so-so-be-so-she-tion : . Bu qo'pol xatodir, chunki tel orqali ro'yxatdan o'tish asl fraktsiyalarda bo'lgani kabi qoladi.

Misol 2. Kasrlarni qo'shish:.

Yechim

Bu za-da-cha oldingisidan-cha-et-sya-yo'qmi hech narsa emas:.

Algebraik kasrlar uchun qoidani qo'llash misollari

Odatiy-lekin-ven-nyh dro-bay per-rey-demdan al-geb-ra-i-che-skimgacha.

Misol 3. Kasrlarni qo'shish:.

Yechim: yuqorida aytib o'tilganidek, al-geb-ra-va-che-dro-bey qo'shilishi zhe-niya odatda-lekin-ven-nyh dro-bay dan-is-cha-is-sya hech narsa emas. Shuning uchun, hal qilish usuli bir xil:.

Misol 4. You-hurmat kasrlar:.

Yechim

You-chi-ta-nie al-geb-ra-va-che-dro-bey dan-cha-et-sya-dan-yo'qmi asoratdan faqat pi-sy-va-et-sya sonida. sonidagi farq-li-te-lei is-run-nyh-dro-bay. Shunung uchun .

Misol 5. Siz-hurmat kasrlar:.

Yechim: .

Misol 6. Soddalashtiring:.

Yechim: .

Qoidani qo'llashdan keyin qisqartirish misollari

Kasrda, kimdir-jannat re-zul-ta-o'sha qo'shilishda yoki siz-chi-ta-nia, go'zal niya bilan hamkorlik qilish mumkin. Bundan tashqari, siz ODZ al-geb-ra-i-che-dro-bey haqida unutmasligingiz kerak.

Misol 7. Soddalashtiring:.

Yechim: .

Qayerda. Umuman olganda, agar issiq bo'lmagan boyqushlarning ODZ-si umumiy yig'ilishning ODZ-si bilan pa-yes-et bo'lsa, unda siz uni ko'rsata olmaysiz (axir, kasr, ichida a lu-chen- naya in-ve-o'lar, ko-from-vet-stu-u-s-knowing-che-no-yah-re-men-nyh bilan ham mavjud bo'lmaydi). Ammo agar ODZ ishlaydigan dro-bay manbai bo'lsa va from-ve-that co-pa-yes-et bo'lmasa, ODZ ehtiyoj-ho-di-moni ko'rsatadi.

Misol 8. Soddalashtiring:.

Yechim: . Shu bilan birga, y (chiqib chiquvchi tort-bayning ODZ-si re-zul-ta-ta-ning ODZ-ga to‘g‘ri kelmaydi).

Turli xil maxrajli oddiy kasrlarni qo'shish va ayirish

Saqlash va siz-chi-tat al-geb-ra-va-che-kasrlarni har xil-biz-me-on-te-la-mi, pro-ve-dem ana-lo-gyu bilan odatdagidan- but-ven-ny-mi dro-bya-mi va uni al-geb-ra-va-che-kasrlarga qayta-qayta emas-sem.

Ras-oddiy venoz tortishish uchun eng oddiy misolni ko'rib chiqing.

1-misol. Kasrlarni qo'shish:.

Yechim:

Keling, o'ng-vi-lo-slo-drow-bayni eslaylik. Na-cha-la kasrlar uchun umumiy belgi-me-to-te-luga-ve-sti qo'shish kerak. Oddiy-lekin-tomir-chizish-beats uchun umumiy belgisi-me-on-te-la rolida, you-stu-pa-et eng kichik umumiy karra(NOK) -me-on-the-lei belgilarining manbai.

Ta'rif

Eng kichik-bo'yin-tu-ral-soni, kimdir-to'dasi bir vaqtning o'zida raqamlarga de-litlanadi va.

MOQni topish uchun siz oddiy multiplikatorlarga aylanib, so'ngra hamma narsani tanlashni tanlashingiz kerak - ular juda ko'p, ularning ba'zilari ikkalasi orasidagi farqga kiritilgan lei-me-on-the-lei.

; . Keyin raqamlar LCM ikki ikki va ikki uch o'z ichiga olishi kerak:.

Te-la umumiy belgisini topgandan so'ng, dro-baylarning har biri qo'shimcha multi-ji-telni topishi kerak (fak-ti-che-ski, umumiy belgini to'kishda-me- on-tel on sign-me-on-tel co-from-rep-to-th-th- fraction).

Keyin, har bir kasr yarim-chen-ny-yarim-no-tel-ny multiplikatoriga ko'paytiriladi. Bir xil-to-you-know-me-on-te-la-mi, omborlar va siz-chi-tat kimgadir bilan kasrlar - o'tgan darslarda o'rganilgan.

By-lu-cha-eat: .

Javob:.

Ras-look-rim endi al-geb-ra-va-che-dro-beyning turli belgilari-me-on-te-la-mi burmasi. Sleep-cha-la, biz-kasrlarga qaraymiz, biling-me-on-the-ulardan ba'zilari-la-yut-sya soni-la-mi.

Turli maxrajli algebraik kasrlarni qo‘shish va ayirish

2-misol. Kasrlarni qo'shish:.

Yechim:

Al-go-ritmi re-she-niya ab-so-lyut-lekin ana-lo-gi-chen oldingi-du-sche-mu p-me-ru. Berilgan kasrlar bo'yicha umumiy maxrajni olish oson: va ularning har biri uchun to'liq ko'paytirgichlar.

.

Javob:.

Shunday qilib, sfor-mu-li-ru-em asoratning al-go-ritmi va siz-chi-ta-niya al-geb-ra-va-che-dro-beats turli-biz-biz-me-on-te-la-mi bilan bilasiz.:

1. Eng kichik umumiy sign-me-on-tel draw-bay toping.

2. Har bir tortma kasr uchun qo'shimcha ko'paytiruvchilarni toping).

3. Ko-ot-vet-stu-u-s-upda-yarim-yo'q-tel-nye-ko'p-o'sha-yarim-yo'qmi-yo'qmi-jonli sonlarni-ko'paytiring.

4. Jonli qo'shing yoki kasrlarni hurmat qiling, katlamaning o'ng-wi-la-mi va you-chi-ta-niya chizish-bay bilan bir-to-you-know -me-on-dan foydalaning. te-la-mi.

Ras-look-rim endi dro-bya-mi bilan bir misol, in know-me-on-the-le-there-rere-rere-rere-beech-ven-nye you-ra-bir xil - tion.