Statistikada o'zgaruvchanlikning asosiy umumlashtiruvchi ko'rsatkichlari dispersiyalar va standart og'ishlardir.
Dispersiya bu arifmetik o'rtacha har bir xarakterli qiymatning umumiy o'rtacha qiymatdan kvadrat og'ishlari. Dispersiya odatda og'ishlarning o'rtacha kvadrati deb ataladi va 2 bilan belgilanadi. Manba ma'lumotlariga qarab, dispersiya oddiy yoki o'rtacha arifmetik yordamida hisoblanishi mumkin:
tortilmagan (oddiy) dispersiya;
vaznli dispersiya.
Standart og'ish bu mutlaq kattaliklarning umumlashtiruvchi xarakteristikasi o'zgarishlar agregatdagi belgilar. U atribut bilan bir xil o'lchov birliklarida (metr, tonna, foiz, gektar va boshqalar) bilan ifodalanadi.
Standart og'ish dispersiyaning kvadrat ildizidir va bilan belgilanadi:
o'lchovsiz standart og'ish;
vaznli standart og'ish.
Standart og'ish o'rtacha ishonchlilik o'lchovidir. Standart og'ish qanchalik kichik bo'lsa, arifmetik o'rtacha ko'rsatilgan barcha aholini yaxshiroq aks ettiradi.
Standart chetlanishni hisoblashdan oldin dispersiyani hisoblash amalga oshiriladi.
Og'irlangan dispersiyani hisoblash tartibi quyidagicha:
1) o'rtacha arifmetik qiymatni aniqlang:
2) variantlarning o'rtacha qiymatdan og'ishlarini hisoblang:
3) har bir variantning o'rtacha qiymatdan og'ishini kvadratga aylantiring:
4) og'irliklar (chastotalar) bo'yicha og'ish kvadratlarini ko'paytiring:
5) olingan mahsulotlarni umumlashtiring:
6) olingan miqdor og'irliklar yig'indisiga bo'linadi:
2.1-misol
O'rtacha og'irlikdagi arifmetik qiymatni hisoblaymiz:
O'rtacha qiymatdan og'ish qiymatlari va ularning kvadratlari jadvalda keltirilgan. Farqni aniqlaymiz:
Standart og'ish quyidagilarga teng bo'ladi:
Agar manba ma'lumotlari interval shaklida taqdim etilsa tarqatish seriyasi , keyin siz avval atributning diskret qiymatini aniqlashingiz kerak, so'ngra tasvirlangan usulni qo'llang.
2.2-misol
Kolxoz ekin maydonlarining bug'doy hosildorligiga ko'ra taqsimlanishi to'g'risidagi ma'lumotlardan foydalangan holda intervalli seriyalar uchun dispersiyani hisoblashni ko'rsatamiz.
O'rtacha arifmetik:
Farqni hisoblaymiz:
6.3. Alohida ma'lumotlarga asoslangan formula yordamida dispersiyani hisoblash
Hisoblash texnikasi farqlar murakkab va variantlar va chastotalarning katta qiymatlari bilan bu noqulay bo'lishi mumkin. Dispersiyaning xossalari yordamida hisob-kitoblarni soddalashtirish mumkin.
Dispersiya quyidagi xususiyatlarga ega.
1. O'zgaruvchan xarakteristikaning og'irliklarini (chastotalarini) ma'lum bir necha marta kamaytirish yoki oshirish dispersiyani o'zgartirmaydi.
2. Xarakteristikaning har bir qiymatini bir xil doimiy miqdorga kamaytirish yoki oshirish A dispersiyani o'zgartirmaydi.
3. Xarakteristikaning har bir qiymatini ma'lum bir necha marta kamaytirish yoki oshirish k dagi farqni mos ravishda kamaytiradi yoki oshiradi k 2 marta standart og'ish ichida k bir marta.
4. Xarakteristikaning ixtiyoriy qiymatga nisbatan dispersiyasi har doim o‘rtacha va ixtiyoriy qiymatlar orasidagi farqning kvadratiga arifmetik o‘rtachaga nisbatan dispersiyadan katta bo‘ladi:
Agar A 0, u holda biz quyidagi tenglikka erishamiz:
ya'ni xarakteristikaning dispersiyasi xarakteristikaning o'rtacha kvadrati va o'rtacha kvadrati o'rtasidagi farqga teng.
Dispersiyani hisoblashda har bir xususiyat mustaqil yoki boshqalar bilan birgalikda ishlatilishi mumkin.
Farqni hisoblash tartibi oddiy:
1) aniqlash arifmetik o'rtacha :
2) o'rtacha arifmetik kvadrat:
3) qatorning har bir variantining og'ishini kvadratga aylantiring:
X i 2 .
4) variantlar kvadratlari yig‘indisini toping:
5) variantlar kvadratlarining yig'indisini ularning soniga bo'ling, ya'ni o'rtacha kvadratni aniqlang:
6) xarakteristikaning o'rtacha kvadrati va o'rtacha kvadrati o'rtasidagi farqni aniqlang:
3.1-misol Mehnat unumdorligi to'g'risida quyidagi ma'lumotlar mavjud:
Keling, quyidagi hisob-kitoblarni qilaylik:
Ko'pincha statistikada hodisa yoki jarayonni tahlil qilishda nafaqat o'rganilayotgan ko'rsatkichlarning o'rtacha darajalari haqidagi ma'lumotlarni, balki individual birliklar qiymatlarining tarqalishi yoki o'zgarishi , bu o'rganilayotgan aholining muhim xususiyatidir.
Eng ko'p o'zgarishlarga aktsiya bahosi, talab va taklif va foiz stavkalari turli vaqt oralig'ida va turli joylarda kiradi.
O'zgaruvchanlikni tavsiflovchi asosiy ko'rsatkichlar , diapazon, dispersiya, standart og'ish va o'zgaruvchanlik koeffitsienti.
Variatsiya diapazoni xarakteristikaning maksimal va minimal qiymatlari o'rtasidagi farqni ifodalaydi: R = Xmax - Xmin. Bu ko'rsatkichning kamchiligi shundaki, u faqat belgining o'zgaruvchanlik chegaralarini baholaydi va bu chegaralar ichida uning o'zgaruvchanligini aks ettirmaydi.
Dispersiya bu kamchilikdan mahrum. U xarakterli qiymatlarning o'rtacha qiymatidan og'ishlarining o'rtacha kvadrati sifatida hisoblanadi:
Dispersiyani hisoblashning soddalashtirilgan usuli quyidagi formulalar yordamida amalga oshiriladi (oddiy va vaznli):
Ushbu formulalarni qo'llash misollari 1 va 2-topshiriqlarda keltirilgan.
Amalda keng qo'llaniladigan ko'rsatkich hisoblanadi standart og'ish :
Standart og'ish dispersiyaning kvadrat ildizi sifatida aniqlanadi va o'rganilayotgan xarakteristikaning o'lchamiga ega.
Ko'rib chiqilgan ko'rsatkichlar o'zgaruvchanlikning mutlaq qiymatini olish imkonini beradi, ya'ni. uni o'rganilayotgan xarakteristikaning o'lchov birliklarida baholang. Ulardan farqli o'laroq, o'zgaruvchanlik koeffitsienti o'zgaruvchanlikni nisbiy jihatdan o'lchaydi - ko'p hollarda afzalroq bo'lgan o'rtacha darajaga nisbatan.
Variatsiya koeffitsientini hisoblash formulasi.
"Statistikada o'zgaruvchanlik ko'rsatkichlari" mavzusidagi muammolarni hal qilish misollari
Muammo 1 . Viloyatdagi banklardagi o‘rtacha oylik depozit miqdoriga reklamaning ta’sirini o‘rganishda 2 ta bank o‘rganildi. Quyidagi natijalarga erishildi:
Belgilang:
1) har bir bank uchun: a) oyiga o'rtacha depozit; b) hissaning tarqalishi;
2) birgalikda ikkita bank uchun o'rtacha oylik depozit;
3) reklamaga qarab 2 ta bank uchun depozit dispersiyasi;
4) Reklamadan tashqari barcha omillarga qarab 2 ta bank uchun depozit dispersiyasi;
5) Qo'shish qoidasi yordamida to'liq dispersiya;
6) Determinatsiya koeffitsienti;
7) Korrelyatsiya munosabati.
Yechim
1) Keling, reklama bilan bank uchun hisob-kitob jadvalini tuzamiz . O'rtacha oylik depozitni aniqlash uchun biz intervallarning o'rta nuqtalarini topamiz. Bunday holda, ochiq intervalning qiymati (birinchi) shartli ravishda unga qo'shni (ikkinchi) oraliq qiymatiga tenglashtiriladi.
O'rtacha omonat hajmini o'rtacha arifmetik formuladan foydalanib topamiz:
29 000/50 = 580 rub.
Quyidagi formula yordamida hissaning dispersiyasini topamiz:
23 400/50 = 468
Biz shunga o'xshash harakatlarni bajaramiz reklamasiz bank uchun :
2) Keling, ikkala bank uchun o'rtacha depozit hajmini birgalikda topamiz. Xsr =(580×50+542,8×50)/100 = 561,4 rub.
3) Biz reklamaga qarab ikki bank uchun depozitning dispersiyasini quyidagi formuladan foydalanib topamiz: s 2 =pq (muqobil atributning dispersiyasi formulasi). Bu erda p=0,5 - reklamaga bog'liq bo'lgan omillar ulushi; q=1-0,5, keyin s 2 =0,5*0,5=0,25.
4) Boshqa omillarning ulushi 0,5 bo'lganligi sababli, reklamadan tashqari barcha omillarga qarab ikkita bank uchun depozitning dispersiyasi ham 0,25 ni tashkil qiladi.
5) Qo‘shish qoidasi yordamida umumiy dispersiyani aniqlang.
= (468*50+636,16*50)/100=552,08
= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96
s 2 = s 2 fakt + s 2 dam = 552,08+345,96 = 898,04
6) Aniqlash koeffitsienti ē 2 = s 2 fakt / s 2 = 345,96/898,04 = 0,39 = 39% - hissa hajmi 39% reklamaga bog'liq.
7) Empirik korrelyatsiya nisbati ē = √ķ 2 = √0,39 = 0,62 - munosabatlar juda yaqin.
Muammo 2 . Tovar mahsuloti hajmi bo'yicha korxonalar guruhlari mavjud:
Aniqlang: 1) tovar mahsuloti qiymatining tarqalishi; 2) standart og'ish; 3) o'zgaruvchanlik koeffitsienti.
Yechim
1) Shart bo'yicha intervalli taqsimot seriyasi taqdim etiladi. U diskret tarzda ifodalanishi kerak, ya'ni intervalning o'rtasini (x") toping. Yopiq intervallar guruhlarida oddiy arifmetik o'rtacha yordamida o'rtasini topamiz. Yuqori chegarasi bo'lgan guruhlarda - bu yuqori chegara orasidagi farq sifatida. va keyingi intervalning yarmi kattaligi (200-(400 -200):2=100).
Pastki chegarasi bo'lgan guruhlarda - bu pastki chegaraning yig'indisi va oldingi intervalning yarmi kattaligi (800+(800-600):2=900).
Biz quyidagi formula bo'yicha sotiladigan mahsulotlarning o'rtacha qiymatini hisoblaymiz:
Xsr = k×((S((x"-a):k)×f):Sf)+a. Bu yerda a=500 - eng yuqori chastotadagi variant o'lchami, k=600-400=200 eng yuqori chastotadagi intervalning o'lchami Natijani jadvalga kiritamiz:
Demak, o’rganilayotgan davrdagi savdo mahsulotining o’rtacha qiymati odatda Xsr = (-5:37)×200+500=472,97 ming rublga teng.
2) Dispersiyani quyidagi formula yordamida topamiz:
s 2 = (33/37)*2002-(472,97-500)2 = 35,675,67-730,62 = 34,945,05
3) standart og'ish: s = ±√s 2 = ±√34,945,05 ≈ ±186,94 ming rubl.
4) o'zgarish koeffitsienti: V = (s /Xsr)*100 = (186,94 / 472,97)*100 = 39,52%
Variatsiya diapazoni (yoki o'zgaruvchanlik diapazoni) - bu xarakteristikaning maksimal va minimal qiymatlari o'rtasidagi farq:
Bizning misolimizda ishchilarning smenali ishlab chiqarishdagi o'zgarishlar diapazoni: birinchi brigadada R = 105-95 = 10 bola, ikkinchi brigadada R = 125-75 = 50 bola. (5 baravar ko'p). Bu shuni ko'rsatadiki, 1-brigadaning mahsuloti yanada "barqaror", ammo ikkinchi brigadada ishlab chiqarishni ko'paytirish uchun ko'proq zaxiralar mavjud, chunki Agar barcha ishchilar ushbu brigada uchun maksimal ishlab chiqarishga erishsa, u 3 * 125 = 375 qismni ishlab chiqarishi mumkin, va 1-brigadada faqat 105 * 3 = 315 qism.
Agar xarakteristikaning ekstremal qiymatlari populyatsiya uchun xos bo'lmasa, u holda kvartil yoki desil diapazonlari qo'llaniladi. RQ= Q3-Q1 kvartil diapazoni populyatsiya hajmining 50% ni, birinchi oʻnlik diapazoni RD1 = D9-D1 maʼlumotlarning 80% ni, ikkinchi oʻnlik diapazoni RD2= D8-D2 – 60% ni qamrab oladi.
Variatsiya diapazoni indikatorining kamchiligi shundaki, uning qiymati belgining barcha tebranishlarini aks ettirmaydi.
Xarakteristikaning barcha tebranishlarini aks ettiruvchi eng oddiy umumiy ko'rsatkich o'rtacha chiziqli og'ish, bu individual variantlarning o'rtacha qiymatidan mutlaq chetlanishlarining o'rtacha arifmetik qiymati:
,
guruhlangan ma'lumotlar uchun 
,
bu erda xi diskret qatordagi atributning qiymati yoki interval taqsimotidagi intervalning o'rtasi.
Yuqoridagi formulalarda hisoblagichdagi farqlar modul bo'yicha olinadi, aks holda o'rtacha arifmetik xususiyatga ko'ra, hisoblagich har doim nolga teng bo'ladi. Shuning uchun o'rtacha chiziqli og'ish statistik amaliyotda kamdan-kam qo'llaniladi, faqat belgini hisobga olmasdan ko'rsatkichlarni yig'ish iqtisodiy ma'noga ega bo'lgan hollarda. Uning yordami bilan, masalan, ishchi kuchining tarkibi, ishlab chiqarish rentabelligi, tashqi savdo aylanmasi tahlil qilinadi.
Xususiyatning xilma-xilligi ularning o'rtacha qiymatidan chetlanishlarning o'rtacha kvadrati:
oddiy farq 
,
vaznli dispersiya 
.
Dispersiyani hisoblash formulasini soddalashtirish mumkin:
Shunday qilib, dispersiya variant kvadratlarining o'rtacha qiymati va populyatsiya variantining o'rtacha kvadrati o'rtasidagi farqga teng: 
.
Biroq, kvadratik og'ishlarning yig'indisi tufayli, dispersiya og'ishlar haqida noto'g'ri tasavvur beradi, shuning uchun o'rtacha unga qarab hisoblanadi. standart og'ish, bu belgining o'ziga xos variantlari o'rtacha qiymatidan qanchalik og'ishini ko'rsatadi. Dispersiyaning kvadrat ildizini olish orqali hisoblangan:
guruhlanmagan ma'lumotlar uchun 
,
Variatsion seriyalar uchun 
Dispersiya va standart og'ishning qiymati qanchalik kichik bo'lsa, populyatsiya qanchalik bir hil bo'lsa, o'rtacha qiymat shunchalik ishonchli (tipik) bo'ladi.
O'rtacha chiziqli va standart og'ish raqamlar deb nomlanadi, ya'ni ular xarakteristikaning o'lchov birliklarida ifodalanadi, mazmuni bir xil va ma'noga yaqin.
Jadvallar yordamida mutlaq o'zgarishlarni hisoblash tavsiya etiladi.
3-jadval - Variatsion xususiyatlarni hisoblash (ekipaj ishchilarining smenali chiqishi to'g'risidagi ma'lumotlar davri misolidan foydalanib)
Ishchilar soni |
Intervalning o'rtasi |
Hisoblangan qiymatlar |
|||||
Jami: |
|||||||
Ishchilarning o'rtacha smenali ishlab chiqarishi: 
O'rtacha chiziqli og'ish: 
Ishlab chiqarish farqi: 
Ayrim ishchilar ishlab chiqarishining o'rtacha ishlab chiqarishdan standart og'ishi:
.
1 Momentlar usuli yordamida dispersiyani hisoblash
Dispersiyalarni hisoblash mashaqqatli hisob-kitoblarni o'z ichiga oladi (ayniqsa, o'rtacha bir necha o'nli kasrlar bilan katta raqam sifatida ifodalangan bo'lsa). Soddalashtirilgan formula va dispersiya xususiyatlaridan foydalangan holda hisob-kitoblarni soddalashtirish mumkin.
Dispersiya quyidagi xususiyatlarga ega:
- Agar xarakteristikaning barcha qiymatlari bir xil A qiymatiga kamaytirilsa yoki oshirilsa, dispersiya kamaymaydi:
,
, keyin yoki 
Dispersiya xossalaridan foydalanib va birinchi navbatda populyatsiyaning barcha variantlarini A qiymatiga kamaytirib, keyin h interval qiymatiga bo'linib, biz teng intervalli variatsiya qatoridagi dispersiyani hisoblash formulasini olamiz. qandaydir tarzda:
,
qayerda momentlar usuli yordamida dispersiya hisoblangan;
h – variatsion qator intervalining qiymati;
- yangi (o'zgartirilgan) qiymatlar varianti;
A - doimiy qiymat, u eng yuqori chastotali intervalning o'rtasi sifatida ishlatiladi; yoki eng yuqori chastotali variant; 
– birinchi tartib momentining kvadrati;
– ikkinchi tartib momenti.
Jamoa ishchilarining smenadagi chiqishi haqidagi ma'lumotlarga asoslanib, momentlar usuli yordamida dispersiyani hisoblaylik.
4-jadval - Momentlar usuli yordamida dispersiyani hisoblash
Ishlab chiqarish ishchilari guruhlari, dona. |
Ishchilar soni |
Intervalning o'rtasi |
Hisoblangan qiymatlar |
||
Hisoblash tartibi:
- Biz farqni hisoblaymiz:
2 Muqobil xarakteristikaning dispersiyasini hisoblash
Statistika tomonidan o'rganiladigan xususiyatlar orasida faqat ikkita o'zaro istisno ma'noga ega bo'lganlar ham mavjud. Bu muqobil belgilar. Ularga mos ravishda ikkita miqdoriy qiymat beriladi: 1-variant va 0. Variant 1ning chastotasi, p bilan belgilanadi, bu xususiyatga ega bo'lgan birliklarning nisbati. 1-r=q farqi 0 variantlarning chastotasi. Shunday qilib,
xi |
|
Muqobil belgining o'rtacha arifmetik qiymati 
, chunki p+q=1.
Muqobil xususiyatlarning o'zgarishi
, chunki 1-r=q
Shunday qilib, muqobil xarakteristikaning dispersiyasi bu xususiyatga ega bo'lgan birliklar nisbati va ushbu xususiyatga ega bo'lmagan birliklar nisbati mahsulotiga tengdir.
Agar 1 va 0 qiymatlari tez-tez sodir bo'lsa, ya'ni p=q, dispersiya maksimal pq=0,25 ga etadi.
Muqobil atributning tafovuti namunaviy so'rovlarda, masalan, mahsulot sifati bo'yicha qo'llaniladi.
3 Guruhlar orasidagi tafovut. Variantlarni qo'shish qoidasi
Dispersiya, o'zgaruvchanlikning boshqa xususiyatlaridan farqli o'laroq, qo'shimcha miqdordir. Ya'ni, omil xususiyatlariga ko'ra guruhlarga bo'lingan agregatda X , natijaviy xususiyatning farqi y har bir guruh ichidagi dispersiyaga (guruhlar ichidagi) va guruhlar orasidagi dispersiyaga (guruhlar orasidagi) ajralishi mumkin. Keyinchalik, butun populyatsiyada belgining o'zgaruvchanligini o'rganish bilan birga, har bir guruhdagi, shuningdek, ushbu guruhlar o'rtasidagi o'zgaruvchanlikni o'rganish mumkin bo'ladi.
Jami farq xususiyatdagi o'zgaruvchanlikni o'lchaydi da bu o'zgarishni (og'ishlarni) keltirib chiqargan barcha omillar ta'siri ostida butunlay. Bu atributning individual qiymatlarining o'rtacha kvadrat og'ishiga teng da katta o'rtachadan va oddiy yoki vaznli dispersiya sifatida hisoblanishi mumkin.
Guruhlararo tafovut hosil bo'lgan belgining o'zgarishini tavsiflaydi da omil-belgining ta'siridan kelib chiqadi X, bu guruhlashning asosini tashkil etdi. Bu guruh o'rtacha ko'rsatkichlarining o'zgarishini tavsiflaydi va guruh o'rtachalarining umumiy o'rtacha qiymatdan chetlanishlarining o'rtacha kvadratiga teng: 
,
i-guruhning o'rtacha arifmetik qiymati qayerda;
– i-guruhdagi birliklar soni (i-guruhning chastotasi);
- aholining umumiy o'rtacha ko'rsatkichi.
Guruh ichidagi tafovutlar tasodifiy o'zgarishlarni aks ettiradi, ya'ni hisobga olinmagan omillar ta'sirida yuzaga keladigan va guruhlashning asosini tashkil etuvchi omil-atributga bog'liq bo'lmagan o'zgarishlarning bir qismi. Bu individual qiymatlarning guruh o'rtachalariga nisbatan o'zgarishini tavsiflaydi va atributning individual qiymatlarining o'rtacha kvadrat og'ishiga tengdir da guruh ichida ushbu guruhning o'rtacha arifmetik qiymatidan (guruh o'rtachasi) va har bir guruh uchun oddiy yoki og'irlikdagi dispersiya sifatida hisoblanadi: 
yoki 
,
guruhdagi birliklar soni qayerda.
Har bir guruh uchun guruh ichidagi farqlarga asoslanib, aniqlash mumkin guruh ichidagi farqlarning umumiy o'rtacha qiymati:
.
Uch dispersiya o'rtasidagi munosabat deyiladi farqlarni qo'shish qoidalari, unga ko'ra umumiy dispersiya guruhlararo dispersiya va guruh ichidagi dispersiyalarning o'rtacha yig'indisiga teng:
Misol. Ishchilarning tarif toifasining (malakasining) ularning mehnat unumdorligi darajasiga ta'sirini o'rganishda quyidagi ma'lumotlar olingan.
5-jadval - Ishchilarning o'rtacha soatlik ishlab chiqarish bo'yicha taqsimlanishi.
№ p/p |
4-toifali ishchilar |
5-toifali ishchilar |
|||||
Chiqish |
Chiqish |
||||||
1 |
7 |
7-10=-3 |
9 |
1 |
14 |
14-15=-1 |
1 |
Ushbu misolda ishchilar omil xususiyatlariga ko'ra ikki guruhga bo'lingan X– darajalari bilan tavsiflangan malakalar. Natijada paydo bo'lgan xususiyat - ishlab chiqarish - uning ta'siri ostida ham (guruhlararo o'zgaruvchanlik) va boshqa tasodifiy omillar (guruh ichidagi o'zgarish) tufayli o'zgaradi. Maqsad bu o'zgarishlarni uchta variatsiya yordamida o'lchashdir: umumiy, guruhlar o'rtasidagi va guruhlar ichidagi. Determinatsiyaning empirik koeffitsienti natijaviy xarakteristikada o'zgarish nisbatini ko'rsatadi da omil belgisi ta'sirida X. Umumiy o'zgarishlarning qolgan qismi da boshqa omillarning o'zgarishi natijasida yuzaga keladi.
Misolda, empirik determinatsiya koeffitsienti: 
yoki 66,7%,
Bu shuni anglatadiki, mehnat unumdorligidagi o'zgarishlarning 66,7 foizi malakaviy farqlar, 33,3 foizi esa boshqa omillar ta'siriga bog'liq.
Empirik korrelyatsiya munosabati guruhlash va ishlash xususiyatlari o'rtasidagi yaqin aloqani ko'rsatadi. Empirik determinatsiya koeffitsientining kvadrat ildizi sifatida hisoblanadi:
Empirik korrelyatsiya nisbati, masalan, 0 dan 1 gacha qiymatlarni qabul qilishi mumkin.
Agar ulanish bo'lmasa, = 0. Bu holda =0, ya'ni guruh o'rtachalari bir-biriga teng va guruhlararo o'zgarishlar bo'lmaydi. Bu shuni anglatadiki, guruhlash xususiyati - omil umumiy o'zgaruvchanlikning shakllanishiga ta'sir qilmaydi.
Agar ulanish funktsional bo'lsa, =1. Bunda guruh o'rtacha dispersiyasi umumiy dispersiyaga () teng bo'ladi, ya'ni guruh ichidagi o'zgarishlar bo'lmaydi. Bu shuni anglatadiki, guruhlash xarakteristikasi o'rganilayotgan natijaviy xususiyatning o'zgarishini to'liq belgilaydi.
Korrelyatsiya nisbatining qiymati birlikka qanchalik yaqin bo'lsa, funksional bog'liqlikka qanchalik yaqin bo'lsa, xarakteristikalar o'rtasidagi bog'liqlik shunchalik yaqin bo'ladi.
Xususiyatlar o'rtasidagi bog'lanishning yaqinligini sifat jihatidan baholash uchun Chaddock munosabatlaridan foydalaniladi.
Misolda 
, bu ishchilarning unumdorligi va ularning malakasi o'rtasidagi yaqin aloqani ko'rsatadi.
Dispersiyatasodifiy o'zgaruvchi- berilganning tarqalishi o'lchovi tasodifiy o'zgaruvchi, ya'ni uning og'ishlar matematik kutishdan. Statistikada dispersiyani ko'rsatish uchun notation (sigma kvadrat) ko'pincha ishlatiladi. ga teng dispersiyaning kvadrat ildizi deyiladi standart og'ish yoki standart tarqalish. Standart og'ish tasodifiy o'zgaruvchining o'zi bilan bir xil birliklarda o'lchanadi va dispersiya bu birlikning kvadratlarida o'lchanadi.
Butun namunani baholash uchun faqat bitta qiymatdan (masalan, o'rtacha yoki rejim va median) foydalanish juda qulay bo'lsa-da, bu yondashuv osongina noto'g'ri xulosalarga olib kelishi mumkin. Bu holatning sababi qiymatning o'zida emas, balki bitta qiymat hech qanday tarzda ma'lumotlar qiymatlarining tarqalishini aks ettirmasligidadir.
Masalan, namunada:
o'rtacha qiymat 5 ga teng.
Biroq, namunaning o'zida 5 qiymatiga ega bo'lgan bitta element yo'q. Namunadagi har bir elementning o'rtacha qiymatiga yaqinlik darajasini bilishingiz kerak bo'lishi mumkin. Boshqacha qilib aytganda, siz qiymatlarning farqini bilishingiz kerak bo'ladi. Ma'lumotlarning o'zgarishi darajasini bilib, siz yaxshiroq talqin qilishingiz mumkin o'rtacha qiymati, median Va moda. Namuna qiymatlarining o'zgarishi darajasi ularning dispersiyasi va standart og'ishini hisoblash yo'li bilan aniqlanadi.
Standart og'ish deb ataladigan dispersiya va dispersiyaning kvadrat ildizi o'rtacha tanlamadan o'rtacha chetlanishni tavsiflaydi. Ushbu ikki miqdor orasida eng muhimi standart og'ish. Ushbu qiymatni elementlarning namunaning o'rta elementidan bo'lgan o'rtacha masofasi deb hisoblash mumkin.
Variantni mazmunli talqin qilish qiyin. Biroq, bu qiymatning kvadrat ildizi standart og'ishdir va uni osongina izohlash mumkin.
Standart og‘ish avval dispersiyani aniqlash va keyin dispersiyaning kvadrat ildizini olish yo‘li bilan hisoblanadi.
Masalan, rasmda ko'rsatilgan ma'lumotlar massivi uchun quyidagi qiymatlar olinadi:
1-rasm
Bu erda kvadrat farqlarning o'rtacha qiymati 717,43 ni tashkil qiladi. Standart og'ishni olish uchun bu raqamning kvadrat ildizini olish qoladi.
Natijada taxminan 26,78 bo'ladi.
Esda tutingki, standart og'ish elementlarning o'rtacha o'rtacha qiymatidan o'rtacha masofa sifatida talqin qilinadi.
Standart og'ish o'rtacha butun namunani qanchalik yaxshi tasvirlashini o'lchaydi.
Aytaylik, siz shaxsiy kompyuterlarni yig'ish bo'limi boshlig'isiz. Har choraklik hisobotda aytilishicha, oxirgi chorakda ishlab chiqarish 2500 dona shaxsiy kompyuterni tashkil etgan. Bu yaxshimi yoki yomonmi? Siz hisobotda ushbu ma'lumotlarning standart og'ishini ko'rsatishni so'radingiz (yoki hisobotda bu ustun mavjud). Standart og'ish ko'rsatkichi, masalan, 2000. Siz, bo'lim boshlig'i sifatida, ishlab chiqarish liniyasi yaxshiroq boshqaruvni talab qilishi (yig'ilgan shaxsiy kompyuterlar sonida juda katta og'ishlar) aniq bo'ladi.
Eslatib o'tamiz, standart og'ish katta bo'lsa, ma'lumotlar o'rtacha atrofida keng tarqalgan va standart og'ish kichik bo'lsa, ular o'rtachaga yaqin to'planadi.
VAR(), VAR(), STDEV() va STDEV() to‘rtta statistik funksiyalar qator katakchalardagi raqamlarning dispersiyasi va standart og‘ishini hisoblash uchun mo‘ljallangan. Ma'lumotlar to'plamining dispersiyasi va standart og'ishini hisoblashdan oldin, ma'lumotlar populyatsiyani yoki populyatsiya namunasini ifodalashini aniqlashingiz kerak. Umumiy populyatsiyadan namuna olishda siz VAR() va STDEV() funksiyalaridan, umumiy to‘plamda esa VAR() va STDEV() funksiyalaridan foydalanishingiz kerak:
| Aholi | Funktsiya |
 | DISPR() |
 | STANDOTLONP() |
| Namuna | |
 | DISP() |
 | STDEV() |
Dispersiya (shuningdek, standart og'ish), biz ta'kidlaganimizdek, ma'lumotlar to'plamiga kiritilgan qiymatlarning o'rtacha arifmetik atrofida tarqalish darajasini ko'rsatadi.
Dispersiya yoki standart og'ishning kichik qiymati barcha ma'lumotlar o'rtacha arifmetik atrofida to'planganligini va bu qiymatlarning katta qiymati ma'lumotlarning keng qiymatlar oralig'ida tarqalganligini ko'rsatadi.
Dispersiyani mazmunli talqin qilish juda qiyin (kichik qiymat, katta qiymat nimani anglatadi?). Ishlash Vazifalar 3 grafikda ma'lumotlar to'plami uchun dispersiyaning ma'nosini vizual ravishda ko'rsatishga imkon beradi.
Vazifalar
· 1-mashq.
· 2.1. Tushunchalarni bering: dispersiya va standart og'ish; statistik ma'lumotlarni qayta ishlash uchun ularning ramziy belgilanishi.
· 2.2. 1-rasmga muvofiq ish varag'ini to'ldiring va kerakli hisob-kitoblarni bajaring.
· 2.3. Hisoblashda ishlatiladigan asosiy formulalarni keltiring
· 2.4. Barcha belgilarni tushuntiring ( , , )
· 2.5. Dispersiya va standart og'ish tushunchalarining amaliy ma'nosini tushuntiring.
Vazifa 2.
1.1. Tushunchalarni bering: umumiy populyatsiya va namuna; statistik ma'lumotlarni qayta ishlash uchun matematik kutish va ularning arifmetik o'rtacha ramziy belgilanishi.
1.2. 2-rasmga muvofiq ish varag'ini tayyorlang va hisob-kitoblarni bajaring.
1.3. Hisob-kitoblarda qo'llaniladigan asosiy formulalarni keltiring (umumiy to'plam va namuna uchun).
2-rasm
1.4. 46.43 va 48.78 kabi namunalardagi oʻrtacha arifmetik qiymatlarni nima uchun olish mumkinligini tushuntiring (Ilova fayliga qarang). Xulosa chiqaring.
Vazifa 3.
Turli xil ma'lumotlar to'plamiga ega ikkita namuna mavjud, ammo ular uchun o'rtacha bir xil bo'ladi:
3-rasm
3.1. 3-rasmga muvofiq ish varag'ini to'ldiring va kerakli hisob-kitoblarni bajaring.
3.2. Asosiy hisoblash formulalarini keltiring.
3.3. Grafiklarni 4, 5-rasmlarga muvofiq tuzing.
3.4. Olingan bog'liqliklarni tushuntiring.
3.5. Ikki namunadagi ma'lumotlar uchun shunga o'xshash hisob-kitoblarni bajaring.
Asl namuna 11119999
Ikkinchi namunaning qiymatlarini ikkinchi namuna uchun arifmetik o'rtacha bir xil bo'lishi uchun tanlang, masalan:
Ikkinchi namuna uchun qiymatlarni o'zingiz tanlang. 3, 4, 5-rasmlarga o'xshash hisoblar va grafiklarni joylashtiring. Hisoblashda foydalanilgan asosiy formulalarni ko'rsating.
Tegishli xulosalar chiqaring.
Barcha kerakli rasmlar, grafiklar, formulalar va qisqacha tushuntirishlar bilan barcha topshiriqlarni hisobot shaklida tayyorlang.
Eslatma: grafiklarni qurish chizmalar va qisqacha tushuntirishlar bilan tushuntirilishi kerak.
Dispersiya - bu ma'lumotlar qiymatlari va o'rtacha o'rtasidagi qiyosiy og'ishlarni tavsiflovchi dispersiya o'lchovidir. Bu statistikada eng ko'p qo'llaniladigan dispersiya o'lchovidir, har bir ma'lumot qiymatining o'rtacha qiymatdan og'ishini yig'ish va kvadratga solish orqali hisoblanadi. Dispersiyani hisoblash formulasi quyida keltirilgan:
s 2 – namunaviy dispersiya;
x av - namunaviy o'rtacha;
n — namuna hajmi (ma'lumotlar qiymatlari soni),
(x i - x avg) - ma'lumotlar to'plamining har bir qiymati uchun o'rtacha qiymatdan og'ish.
Formulani yaxshiroq tushunish uchun keling, misolni ko'rib chiqaylik. Men ovqat pishirishni yoqtirmayman, shuning uchun men buni kamdan-kam qilaman. Biroq, och qolmaslik uchun vaqti-vaqti bilan tanamni oqsillar, yog'lar va uglevodlar bilan to'yintirish rejasini amalga oshirish uchun pechkaga borishim kerak. Quyidagi ma'lumotlar to'plami Renat har oy necha marta pishirishini ko'rsatadi:
Dispersiyani hisoblashda birinchi qadam, namunaviy o'rtacha qiymatni aniqlashdir, bu bizning misolimizda oyiga 7,8 marta. Qolgan hisob-kitoblarni quyidagi jadval yordamida osonlashtirish mumkin.
Dispersiyani hisoblashning yakuniy bosqichi quyidagicha ko'rinadi:
Barcha hisob-kitoblarni bir vaqtning o'zida bajarishni yaxshi ko'radiganlar uchun tenglama quyidagicha ko'rinadi:
Xom hisoblash usulidan foydalanish (pishirish misoli)
Xom hisoblash usuli deb nomlanuvchi dispersiyani hisoblashning yanada samarali usuli mavjud. Garchi tenglama bir qarashda juda og'ir tuyulishi mumkin bo'lsa-da, aslida u qadar qo'rqinchli emas. Bunga ishonch hosil qilishingiz mumkin va keyin qaysi usul sizga ko'proq yoqadi.
Kvadratlashgandan keyin har bir ma'lumot qiymatining yig'indisi,
barcha ma'lumotlar qiymatlari yig'indisining kvadratidir.
Hozir aqlingizni yo'qotmang. Keling, bularning barchasini jadvalga kiritamiz va bu erda oldingi misolga qaraganda kamroq hisob-kitoblar borligini ko'rasiz.
Ko'rib turganingizdek, natija avvalgi usuldan foydalanganda bo'lgani kabi edi. Bu usulning afzalliklari namuna hajmi (n) ortishi bilan yaqqol namoyon bo'ladi.
Excelda farqlarni hisoblash
Siz allaqachon taxmin qilganingizdek, Excelda dispersiyani hisoblash imkonini beruvchi formula mavjud. Bundan tashqari, Excel 2010 dan boshlab siz 4 turdagi dispersiya formulasini topishingiz mumkin:
1) VARIANCE.V - namunadagi dispersiyani qaytaradi. Mantiqiy qiymatlar va matn e'tiborga olinmaydi.
2) DISP.G - populyatsiyaning dispersiyasini qaytaradi. Mantiqiy qiymatlar va matn e'tiborga olinmaydi.
3) VARIANCE - mantiqiy va matn qiymatlarini hisobga olgan holda namunadagi dispersiyani qaytaradi.
4) VARIANCE - mantiqiy va matn qiymatlarini hisobga olgan holda boshlanishning dispersiyasini qaytaradi.
Birinchidan, namuna va populyatsiya o'rtasidagi farqni tushunamiz. Ta'riflovchi statistik ma'lumotlarning maqsadi ma'lumotlarni umumlashtirish yoki ko'rsatishdir, shunda siz tezda katta rasmga, ta'bir joiz bo'lsa, umumiy ko'rinishga ega bo'lasiz. Statistik xulosa sizga ushbu populyatsiyadan olingan ma'lumotlar namunasi asosida populyatsiya haqida xulosa chiqarish imkonini beradi. Populyatsiya bizni qiziqtirgan barcha mumkin bo'lgan natijalar yoki o'lchovlarni ifodalaydi. Namuna populyatsiyaning kichik to'plamidir.
Misol uchun, biz Rossiya universitetlaridan birining talabalari guruhiga qiziqamiz va biz guruhning o'rtacha ballini aniqlashimiz kerak. Biz o'quvchilarning o'rtacha ko'rsatkichlarini hisoblashimiz mumkin, keyin natijada olingan ko'rsatkich parametr bo'ladi, chunki bizning hisob-kitoblarimizga butun aholi jalb qilinadi. Ammo, agar biz mamlakatimizdagi barcha talabalarning GPA ni hisoblamoqchi bo'lsak, unda bu guruh bizning namunamiz bo'ladi.
Namuna va populyatsiya o'rtasidagi dispersiyani hisoblash formulasidagi farq maxrajdir. Qaerda namuna uchun u (n-1) ga, umumiy populyatsiya uchun esa faqat n ga teng bo'ladi.
Endi oxirlar bilan dispersiyani hisoblash funktsiyalarini ko'rib chiqamiz A, tavsifida matn va mantiqiy qiymatlar hisoblashda hisobga olinishi ko'rsatilgan. Bunday holda, raqamli bo'lmagan qiymatlar mavjud bo'lgan ma'lum bir ma'lumotlar to'plamining dispersiyasini hisoblashda, Excel matn va noto'g'ri mantiqiy qiymatlarni 0 ga, haqiqiy mantiqiy qiymatlarni esa 1 ga teng deb izohlaydi.
Shunday qilib, agar sizda ma'lumotlar massivi bo'lsa, yuqorida sanab o'tilgan Excel funksiyalaridan birini qo'llash orqali uning dispersiyasini hisoblash qiyin bo'lmaydi.
