Ikki burchakli burchak tushunchasi

Ikki burchakli burchak tushunchasini kiritish uchun avvalo stereometriya aksiomalaridan birini esga olamiz.

Har qanday tekislikni shu tekislikda yotgan $a$ chiziqning ikkita yarim tekisligiga boʻlish mumkin. Bunda bir yarim tekislikda yotgan nuqtalar $a$ toʻgʻri chiziqning bir tomonida, turli yarim tekislikda yotgan nuqtalar esa $a$ toʻgʻri chiziqqa qarama-qarshi tomonlarda boʻladi (1-rasm). ).

1-rasm.

Ikki burchakli burchakni qurish printsipi ushbu aksiomaga asoslanadi.

Ta'rif 1

Shakl deyiladi ikki burchakli burchak agar u chiziqdan va shu chiziqning bir tekislikka tegishli bo'lmagan ikkita yarim tekisligidan iborat bo'lsa.

Bunday holda, dihedral burchakning yarim tekisliklari deyiladi yuzlar, va yarim tekisliklarni ajratuvchi to'g'ri chiziq - ikki burchakli chekka(1-rasm).

Shakl 2. Ikki burchakli burchak

Ikki burchakli burchakning daraja o'lchovi

Ta'rif 2

Biz chekkada ixtiyoriy $A$ nuqtasini tanlaymiz. Har xil yarim tekisliklarda yotuvchi, chetiga perpendikulyar va $A$ nuqtada kesishgan ikki chiziq orasidagi burchak deyiladi. chiziqli burchak dihedral burchak(3-rasm).

3-rasm

Shubhasiz, har bir dihedral burchak cheksiz sonli chiziqli burchakka ega.

Teorema 1

Bitta dihedral burchakning barcha chiziqli burchaklari bir-biriga teng.

Isbot.

$AOB$ va $A_1(OB)_1$ ikkita chiziqli burchaklarni ko'rib chiqing (4-rasm).

4-rasm

$OA$ va $(OA)_1$ nurlari bir xil $\alpha $ yarim tekislikda yotib, bitta toʻgʻri chiziqqa perpendikulyar boʻlgani uchun ular koʻp yoʻnalishli. $OB$ va $(OB)_1$ nurlari bir xil $\beta $ yarim tekislikda yotib, bitta toʻgʻri chiziqqa perpendikulyar boʻlgani uchun ular koʻp yoʻnalishli. Shuning uchun

\[\AOB burchagi=\burchak A_1(OB)_1\]

Chiziqli burchaklarni tanlashning o'zboshimchaliklari tufayli. Bitta dihedral burchakning barcha chiziqli burchaklari bir-biriga teng.

Teorema isbotlangan.

Ta'rif 3

Ikki burchakli burchakning daraja o'lchovi ikki burchakli burchakning chiziqli burchagining daraja o'lchovidir.

Vazifalarga misollar

1-misol

$m$ chizig'i bo'ylab kesishuvchi ikkita perpendikulyar bo'lmagan $\alpha $ va $\beta $ tekisliklari berilsin. $A$ nuqtasi $\beta $ tekisligiga tegishli. $AB$ $m$ toʻgʻrisiga perpendikulyar. $AC$ $\alpha $ tekisligiga perpendikulyar ($C$ nuqtasi $\alpha $ ga tegishli). $ABC$ burchak ikki burchakli burchakning chiziqli burchagi ekanligini isbotlang.

Isbot.

Masalaning shartiga qarab rasm chizamiz (5-rasm).

5-rasm

Buni isbotlash uchun quyidagi teoremani eslaymiz

2-teorema: Egri chiziqning asosidan o'tuvchi, unga perpendikulyar bo'lgan to'g'ri chiziq uning proyeksiyasiga perpendikulyar.

$AC$ $\alpha $ tekisligiga perpendikulyar bo'lgani uchun $C$ nuqtasi $A$ nuqtasining $\alpha $ tekisligiga proyeksiyasidir. Demak, $BC$ qiya $AB$ proyeksiyasidir. 2-teoremaga ko'ra, $BC$ dihedral burchakning chetiga perpendikulyar.

Keyin $ABC$ burchak ikki burchakli burchakning chiziqli burchagini aniqlash uchun barcha talablarni qondiradi.

2-misol

Ikki burchakli burchak $30^\circ$. Yuzlarning birida ikkinchi yuzidan $4$ sm masofada joylashgan $A$ nuqta yotadi.$A$ nuqtadan ikki burchakli burchak chetigacha boʻlgan masofani toping.

Yechim.

Keling, 5-rasmni ko'rib chiqaylik.

Taxminlarga ko'ra, bizda $AC=4\ cm$ bor.

Ikki burchakli burchakning daraja o'lchovining ta'rifiga ko'ra, biz $ABC$ burchagi $30^\circ$ ga teng ekanligini tushunamiz.

$ABC$ uchburchak toʻgʻri burchakli uchburchakdir. O'tkir burchak sinusining ta'rifi bo'yicha

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Ushbu dars "Diedral burchak" mavzusini mustaqil o'rganish uchun mo'ljallangan. Bu dars davomida o‘quvchilar eng muhim geometrik shakllardan biri bo‘lgan ikki burchakli burchak bilan tanishadilar. Shuningdek, darsda biz ko'rib chiqilayotgan geometrik figuraning chiziqli burchagini qanday aniqlashni o'rganishimiz kerak va rasmning negizida ikki burchakli burchak nima ekanligini bilib olishimiz kerak.

Keling, tekislikdagi burchak nima ekanligini va uni qanday o'lchashni takrorlaymiz.

Guruch. 1. Samolyot

a tekislikni ko'rib chiqaylik (1-rasm). Bir nuqtadan O ikkita nur chiqadi O.V va O.A.

Ta'rif. Xuddi shu nuqtadan chiqadigan ikkita nurdan hosil bo'lgan figuraga burchak deyiladi.

Burchak gradus va radian bilan o'lchanadi.

Keling, radian nima ekanligini eslaylik.

Guruch. 2. Radian

Agar yoy uzunligi radiusga teng bo'lgan markaziy burchakka ega bo'lsak, unda bunday markaziy burchak 1 radian burchak deb ataladi. , ∠ AOB= 1 rad (2-rasm).

Radianlar va darajalar o'rtasidagi bog'liqlik.

xursand.

Biz tushunamiz, xursandmiz. (). Keyin,

Ta'rif. ikki burchakli burchak to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan figura deyiladi a va umumiy chegaraga ega bo'lgan ikkita yarim tekislik a bir xil tekislikka tegishli emas.

Guruch. 3. Yarim samolyotlar

Ikki a va b yarim tekisliklarni ko'rib chiqaylik (3-rasm). Ularning umumiy chegarasi a. Bu raqam ikki burchakli burchak deb ataladi.

Terminologiya

a va b yarim tekisliklar ikki burchakli burchakning yuzlaridir.

Streyt a ikki burchakli burchakning chetidir.

Umumiy chekkada a dihedral burchak ixtiyoriy nuqtani tanlang O(4-rasm). Nuqtadan a yarim tekislikda O perpendikulyarni tiklang O.A to'g'ri chiziqqa a. Xuddi shu nuqtadan O ikkinchi yarim tekislikda b perpendikulyar quramiz O.V qovurg'aga a. Burchak oldim AOB, bu dihedral burchakning chiziqli burchagi deb ataladi.

Guruch. 4. Ikki burchakli burchakni o'lchash

Berilgan ikki burchakli burchak uchun barcha chiziqli burchaklarning tengligini isbotlaylik.

Ikki burchakli burchakka ega bo'lsin (5-rasm). Bir nuqtani tanlang O va nuqta Taxminan 1 to'g'ri chiziqda a. Nuqtaga mos chiziqli burchak yasaymiz O, ya'ni ikkita perpendikulyar chizamiz O.A va O.V a va b tekisliklarda mos ravishda chetiga a. Biz burchakni olamiz AOB dihedral burchakning chiziqli burchagi.

Guruch. 5. Dalilning tasviri

Bir nuqtadan Taxminan 1 ikkita perpendikulyar chizamiz OA 1 va OB 1 qovurg'aga a a va b tekisliklarda mos ravishda va biz ikkinchi chiziqli burchakni olamiz A 1 O 1 B 1.

Nurlar O 1 A 1 va O.A birgalikda yo'nalishli, chunki ular bir yarim tekislikda yotadi va bir xil chiziqqa ikkita perpendikulyar sifatida bir-biriga parallel. a.

Xuddi shunday, nurlar Taxminan 1da 1 va O.V hizalangan, bu degani ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 ko'p yo'nalishli tomonlari bo'lgan burchaklar sifatida isbotlanishi kerak edi.

Chiziqli burchak tekisligi dihedral burchakning chetiga perpendikulyar.

isbotlash: a ⊥ AOW.

Guruch. 6. Dalilning tasviri

Isbot:

O.A ⊥ a qurilish bo'yicha, O.V ⊥ a qurilish bo'yicha (6-rasm).

Biz bu chiziqni olamiz a kesishgan ikkita chiziqqa perpendikulyar O.A va O.V samolyotdan AOB, bu to'g'ri degan ma'noni anglatadi a tekislikka perpendikulyar OAB, bu isbotlanishi kerak edi.

Dihedral burchak uning chiziqli burchagi bilan o'lchanadi. Bu shuni anglatadiki, chiziqli burchakda qancha radian darajalari mavjud bo'lsa, uning dihedral burchagida ham shuncha daraja radian mavjud. Bunga muvofiq ikki burchakli burchaklarning quyidagi turlari ajratiladi.

O'tkir (6-rasm)

Dihedral burchak o'tkir, agar uning chiziqli burchagi o'tkir bo'lsa, ya'ni. .

To'g'ri (7-rasm)

Dihedral burchak uning chiziqli burchagi 90 ° bo'lganda to'g'ri bo'ladi - obtuse (8-rasm)

Dihedral burchak, uning chiziqli burchagi o'tkir bo'lsa, to'liq bo'ladi, ya'ni. .

Guruch. 7. To'g'ri burchak

Guruch. 8. Ketma burchak

Haqiqiy figuralarda chiziqli burchaklar yasashga misollar

ABCD- tetraedr.

1. Ikki burchakli burchakning chiziqli burchagini chekka bilan qurish AB.

Guruch. 9. Muammo uchun rasm

Bino:

Gap qirradan hosil bo'lgan dihedral burchak haqida ketmoqda AB va yuzlar ABD va ABC(9-rasm).

Keling, to'g'ri chiziq chizamiz DH tekislikka perpendikulyar ABC, H perpendikulyarning asosi hisoblanadi. Keling, qiya chizamiz DM chiziqqa perpendikulyar AB,M- eğimli asos. Uchta perpendikulyar teorema bo'yicha biz qiyshiqning proyeksiyasi degan xulosaga kelamiz NM chiziqqa ham perpendikulyar AB.

Ya'ni, nuqtadan M chetiga ikkita perpendikulyar tiklandi AB ikki tomondan ABD va ABC. Biz chiziqli burchakka ega bo'ldik DMN.

e'tibor bering, bu AB, chiziqli burchak tekisligiga perpendikulyar bo'lgan dihedral burchakning qirrasi, ya'ni tekislik. DMN. Muammo hal qilindi.

Izoh. Dihedral burchakni quyidagicha belgilash mumkin: DABC, qayerda

AB- chekka va nuqtalar D va BILAN burchakning turli tomonlarida yoting.

2. Ikki burchakli burchakning qirrali chiziqli burchagini quring AC.

Keling, perpendikulyar chizamiz DH samolyotga ABC va qiyshiq DN chiziqqa perpendikulyar AS. Uch perpendikulyar teorema bo'yicha biz buni olamiz HN- qiya proyeksiya DN samolyotga ABC, chiziqqa ham perpendikulyar AS.DNH- qovurg'ali dihedral burchakning chiziqli burchagi AC.

tetraedrda DABC barcha qirralari teng. Nuqta M- qovurg'aning o'rtasi AC. Burchak ekanligini isbotlang DMV- dihedral burchakning chiziqli burchagi SIZD, ya'ni qirrasi bo'lgan dihedral burchak AC. Uning chetlaridan biri ACD, ikkinchi - IIV(10-rasm).

Guruch. 10. Muammo uchun rasm

Yechim:

Uchburchak ADC- teng tomonli, DM median va shuning uchun balandlik. Ma'nosi, DM ⊥ AS. Xuddi shunday, uchburchak AVC- teng tomonli, VM mediana va shuning uchun balandlik. Ma'nosi, VM ⊥ AS.

Demak, nuqtadan M qovurg'alar AC dihedral burchak ikki perpendikulyar tiklandi DM va VM dihedral burchakning yuzlarida bu chetiga.

Shunday qilib ∠ DMV isbotlanishi kerak bo'lgan dihedral burchakning chiziqli burchagi.

Shunday qilib, biz ikki burchakli burchakni, ikki tomonlama burchakning chiziqli burchagini aniqladik.

Keyingi darsda biz chiziqlar va tekisliklarning perpendikulyarligini ko'rib chiqamiz, so'ngra raqamlarning negizida dihedral burchak nima ekanligini bilib olamiz.

“Diedral burchak”, “Geometrik figuralar asosidagi ikki burchakli burchak” mavzulari bo‘yicha adabiyotlar.

1. Geometriya. 10-11-sinf: umumiy ta'lim muassasalari uchun darslik / Sharygin I. F. - M .: Bustard, 1999. - 208 b.: kasal.
2. Geometriya. 10-sinf: matematikani chuqur va profilli o'rganadigan umumiy ta'lim muassasalari uchun darslik / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6-nashr, stereotip. - M.: Bustard, 2008. - 233 b.: kasal.

1. Yaklass.ru ().
2. e-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().
4. Tutoronline.ru ().

“Dihedral burchak” mavzusidagi uy vazifasi, figuralar asosidagi ikki burchakli burchakni aniqlash

Geometriya. 10-11-sinf: ta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik (asosiy va profil darajalari) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-nashr, tuzatilgan va to'ldirilgan - M.: Mnemozina, 2008. - 288 b.: kasal.

2, 3-topshiriqlar 67-bet.

Ikki burchakli burchakning chiziqli burchagi nimaga teng? Uni qanday qurish kerak?

ABCD- tetraedr. Qirrali ikki burchakli burchakning chiziqli burchagini tuzing:

a) VD b) DBILAN.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - kub Ikki burchakli burchakning chiziqli burchagini chizish A 1 ABC qovurg'a bilan AB. Uning daraja o'lchovini aniqlang.

BIRINCHI BOB. Chiziqlar va tekisliklar

V. DIHEDRAL BURChAKLAR, TASIZLIK BILAN TO'G'RI BURChAK,
IKKI KESHISH TURISH BURCHI, KO'P YERLI BURChAKLAR

ikki burchakli burchaklar

38. Ta'riflar. Samolyotning shu tekislikda yotgan chiziqning bir tomonida yotgan qismi deyiladi yarim tekislik. Bir to'g'ri chiziqdan (AB) chiqadigan ikkita yarim tekislik (P va Q, 26-rasm) hosil qilgan figuraga deyiladi. ikki burchakli burchak. AB to'g'ri chiziq deyiladi chekka, va yarim tekisliklar P va Q - partiyalar yoki yuzlar ikki burchakli burchak.

Bunday burchak odatda uning chetida joylashgan ikkita harf bilan belgilanadi (dihedral burchak AB). Ammo agar bir chetida ikki tomonlama burchaklar bo'lmasa, ularning har biri to'rtta harf bilan belgilanadi, ulardan ikkitasi o'rtasi chetida, ikkitasi esa yuzlarida (masalan, dihedral burchak SCDR) (1-rasm). 27).

Agar ixtiyoriy D nuqtadan AB qirralari (28-rasm) har bir yuzga qirraga perpendikulyar bo'ylab chizilgan bo'lsa, ular tomonidan hosil qilingan CDE burchagi deyiladi. chiziqli burchak ikki burchakli burchak.

Chiziqli burchakning qiymati uning tepasining chetidagi holatiga bog'liq emas. Shunday qilib, CDE va ​​C 1 D 1 E 1 chiziqli burchaklari tengdir, chunki ularning tomonlari mos ravishda parallel va teng yo'naltirilgan.

Chiziqli burchak tekisligi chetiga perpendikulyar, chunki u unga perpendikulyar ikkita chiziqni o'z ichiga oladi. Demak, chiziqli burchakni olish uchun berilgan dihedral burchakning yuzlarini chetiga perpendikulyar tekislik bilan kesish va shu tekislikda olingan burchakni hisobga olish kifoya.

39. Ikki burchakli burchaklarning tengligi va tengsizligi. Ikki burchakli burchaklar, agar ular o'rnatilganda birlashtirilishi mumkin bo'lsa, teng hisoblanadi; aks holda dihedral burchaklardan biri kichikroq deb hisoblanadi, bu esa boshqa burchakning bir qismini tashkil qiladi.

Planimetriyadagi burchaklar kabi ikki burchakli burchaklar ham bo'lishi mumkin qo'shni, vertikal va boshqalar.

Agar ikkita qo'shni ikki burchakli burchaklar bir-biriga teng bo'lsa, ularning har biri deyiladi to'g'ri dihedral burchak.

Teoremalar. 1) Teng dihedral burchaklar teng chiziqli burchaklarga mos keladi.

2) Kattaroq dihedral burchak kattaroq chiziqli burchakka mos keladi.

PABQ va P 1 A 1 B 1 Q 1 (29-rasm) ikkita ikki burchakli burchak bo'lsin. A 1 B 1 burchagini AB burchagiga shunday kiritingki, A 1 B 1 cheti AB chetiga va P 1 yuzi P yuziga to'g'ri keladi.

U holda bu ikki burchakli burchaklar teng bo'lsa, Q 1 yuzi Q yuziga to'g'ri keladi; agar A 1 B 1 burchagi AB burchagidan kichik bo'lsa, u holda Q 1 yuzi dihedral burchak ichida qandaydir pozitsiyani egallaydi, masalan Q 2 .

Buni payqab, umumiy chekkada qandaydir B nuqtani olamiz va u orqali chetiga perpendikulyar R tekislik o'tkazamiz. Ushbu tekislikning ikki burchakli burchaklar yuzlari bilan kesishishidan chiziqli burchaklar olinadi. Agar dihedral burchaklar bir-biriga to'g'ri kelsa, ular bir xil chiziqli CBD burchagiga ega bo'lishi aniq; agar dihedral burchaklar bir-biriga to'g'ri kelmasa, masalan, Q 1 yuzi Q 2 holatini olsa, u holda kattaroq dihedral burchak kattaroq chiziqli burchakka ega bo'ladi (masalan: / CBD > / C2BD).

40. Teskari teoremalar. 1) Teng chiziqli burchaklar teng dihedral burchaklarga mos keladi.

2) Kattaroq chiziqli burchak kattaroq dihedral burchakka mos keladi .

Bu teoremalar qarama-qarshilik bilan osongina isbotlanadi.

41. Oqibatlari. 1) To'g'ri dihedral burchak to'g'ri chiziqli burchakka mos keladi va aksincha.

(30-rasm) PABQ ikki burchakli burchak to'g'ri burchak bo'lsin. Bu QABP 1 qo'shni burchakka teng ekanligini anglatadi. Lekin bu holda CDE va ​​CDE 1 chiziqli burchaklari ham teng; va ular qo'shni bo'lgani uchun, ularning har biri to'g'ri bo'lishi kerak. Aksincha, agar qo'shni chiziqli burchaklar CDE va ​​CDE 1 teng bo'lsa, u holda qo'shni ikki tomonlama burchaklar ham tengdir, ya'ni ularning har biri to'g'ri bo'lishi kerak.

2) Barcha to'g'ri dihedral burchaklar teng, chunki ular teng chiziqli burchaklarga ega .

Xuddi shunday, buni isbotlash oson:

3) Vertikal dihedral burchaklar teng.

4) Ikki burchakli mos ravishda parallel va teng (yoki qarama-qarshi) yo'naltirilgan yuzlari bo'lgan burchaklar tengdir.

5) Ikki burchakli burchaklar birligi sifatida chiziqli burchaklar birligiga mos keladigan shunday ikki burchakli burchakni olsak, ikki burchakli burchak uning chiziqli burchagi bilan o'lchanadi, deyishimiz mumkin.