4.3.1 Chiziqli fazoni aniqlash

Mayli ā , , - ba'zi bir to'plamning elementlari ā , , L va λ , μ - haqiqiy raqamlar, λ , μ R..

L to'plami deyiladichiziqli yokivektor maydoni, agar ikkita operatsiya aniqlangan bo'lsa:

1 0 . Qo'shish. Ushbu to'plamning har bir juft elementi bir xil to'plamning elementi bilan bog'langan bo'lib, ularning yig'indisi deb ataladi

ā + =

2°.Raqamga ko'paytirish. Har qanday haqiqiy raqam λ va element ā L bir xil to'plamning elementi tayinlangan λ ā L va quyidagi xususiyatlarga javob beradi:

1. ā+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. mavjud null element
, shu kabi ā +=ā ;

4. mavjud qarama-qarshi element -
shu kabi ā +(-ā )=.

Agar a λ , μ - haqiqiy raqamlar, keyin:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Chiziqli fazoning elementlari ā, , ... vektorlar deyiladi.

Mashq. O'zingizga ushbu to'plamlar chiziqli bo'shliqlarni tashkil qilishini ko'rsating:

1) Tekislikdagi geometrik vektorlar to'plami;

2) Uch o‘lchamli fazodagi geometrik vektorlar to‘plami;

3) Bir darajali ko'phadlar to'plami;

4) Bir xil o'lchamdagi matritsalar to'plami.

4.3.2 Chiziqli bog'liq va mustaqil vektorlar. Kosmosning o'lchami va asosi

Chiziqli birikma vektorlar ā 1 , ā 2 , …, ā n Lshaklning bir xil fazosining vektori deyiladi:

,

qayerda λ i - haqiqiy sonlar.

Vektorlar ā 1 , .. , ā n chaqirdichiziqli mustaqil, agar ularning chiziqli birikmasi nol vektor bo'lsa, agar hammasi l bo'lsa i nolga teng, ya'ni

λ i=0

Agar chiziqli kombinatsiya nol vektor va kamida bitta bo'lsa λ i noldan farq qiladi, keyin bu vektorlar chiziqli bog'liq deb ataladi. Ikkinchisi vektorlardan kamida bittasi boshqa vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkinligini anglatadi. Haqiqatan ham, keling va, masalan,
. keyin,
, qayerda

.

Vektorlarning maksimal chiziqli mustaqil tartiblangan tizimi deyiladi asos bo'sh joy L. Bazis vektorlar soni deyiladi o'lcham bo'sh joy.

Keling, bor deb faraz qilaylik n chiziqli mustaqil vektorlar, keyin fazo deyiladi n- o'lchovli. Boshqa fazo vektorlari chiziqli birikma sifatida ifodalanishi mumkin n bazis vektorlari. asos bo'yicha n- o'lchovli bo'shliqni olish mumkin har qanday n bu fazoning chiziqli mustaqil vektorlari.

17-misol. Berilgan chiziqli boʻshliqlarning asosini va oʻlchamini toping:

a) bir chiziqda yotgan vektorlar to'plami (ba'zi bir chiziqqa to'g'ri keladigan)

b) tekislikka tegishli vektorlar to'plami

v) uch o'lchamli fazo vektorlari to'plami

d) ko'pi bilan ikki darajali ko'phadlar to'plami.

Yechim.

a) Bir chiziqda yotgan har qanday ikkita vektor chiziqli bog'liq bo'ladi, chunki vektorlar kollineardir
, keyin
, λ - skaler. Shuning uchun bu fazoning asosi noldan boshqa faqat bitta (har qanday) vektor hisoblanadi.

Odatda bu bo'shliq R, uning o'lchami 1.

b) har qanday ikkita kollinear bo'lmagan vektor
chiziqli mustaqil va tekislikdagi har qanday uchta vektor chiziqli bog'liqdir. Har qanday vektor uchun , raqamlar mavjud  va  shu kabi
. Bo'shliq ikki o'lchovli deb ataladi, belgilanadi R 2 .

Ikki o'lchovli fazoning asosini har qanday ikkita kollinear bo'lmagan vektor tashkil qiladi.

ichida) Har qanday uchta tekis bo'lmagan vektor chiziqli mustaqil bo'ladi, ular uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladi. R 3 .

G) Ko'pi bilan ikkita darajali polinomlar fazosi uchun asos sifatida quyidagi uchta vektorni tanlash mumkin: ē 1 = x 2 ; ē 2 = x; ē 3 =1 .

(1 - ko'phad, bir xilda teng). Bu bo'shliq uch o'lchovli bo'ladi.

Vikipediyadan, bepul ensiklopediya

vektor(yoki chiziqli) bo'sh joy- vektorlar deb ataladigan elementlar to'plami bo'lgan matematik struktura, ular uchun bir-biriga qo'shish va songa ko'paytirish amallari - skaler aniqlanadi. Bu operatsiyalar sakkizta aksiomaga bo'ysunadi. Skalar haqiqiy, murakkab yoki boshqa har qanday son maydonining elementlari bo'lishi mumkin. Bunday makonning alohida holati odatiy uch o'lchovli Evklid fazosidir, uning vektorlari, masalan, jismoniy kuchlarni ifodalash uchun ishlatiladi. Shu bilan birga, shuni ta'kidlash kerakki, vektor fazoning elementi sifatida yo'naltirilgan segment shaklida ko'rsatilishi shart emas. "Vektor" tushunchasini har qanday tabiatdagi vektor fazosining elementiga umumlashtirish nafaqat atamalarni chalkashtirib yubormaydi, balki ixtiyoriy tabiatdagi fazolar uchun amal qiladigan bir qator natijalarni tushunish yoki hatto taxmin qilish imkonini beradi. .

Vektor fazolar chiziqli algebrada o'rganiladigan mavzudir. Vektor fazoning asosiy xususiyatlaridan biri uning o'lchamidir. O'lchov - fazoning chiziqli mustaqil elementlarining maksimal soni, ya'ni qo'pol geometrik tavsifga murojaat qilish orqali, faqat skalerga qo'shish va ko'paytirish amallari orqali bir-biri bilan ifodalab bo'lmaydigan yo'nalishlar soni. Vektor maydoni qo'shimcha tuzilmalar bilan ta'minlanishi mumkin, masalan, norma yoki nuqta mahsuloti. Bunday bo'shliqlar tabiiy ravishda hisob-kitoblarda, asosan cheksiz o'lchovli funktsiya fazolarida paydo bo'ladi ( Ingliz), bu erda vektorlar funktsiyalardir. Tahlilning ko'pgina muammolari vektorlar ketma-ketligi berilgan vektorga yaqinlashish yoki yaqinlashmasligini aniqlashni talab qiladi. Bunday savollarni ko'rib chiqish qo'shimcha tuzilishga ega vektor fazolarida, ko'p hollarda yaqinlik va uzluksizlik tushunchalarini aniqlash imkonini beradigan mos topologiyada mumkin. Bunday topologik vektor fazolar, xususan Banax va Gilbert fazolari chuqurroq o‘rganish imkonini beradi.

Chiziqli algebra vektorlardan tashqari yuqori darajali tenzorlarni ham oʻrganadi (skalar 0-darajali tenzor, vektor 1-darajali tenzor deb hisoblanadi).

Vektor fazosi kontseptsiyasining kiritilishini kutgan birinchi ishlar 17-asrga to'g'ri keladi. Analitik geometriya, matritsalar haqidagi ta'limot, chiziqli tenglamalar tizimlari va Evklid vektorlari o'z rivojlanishini o'sha paytda oldi.

Ta'rif

Chiziqli, yoki vektor maydoni $V\backslash chap(F\backslash o\text{'}ng)$ maydon ustida $F$ tartiblangan to'rtlikdir $(V,F,+,\backslash cdot)$, qayerda

• $V$- ixtiyoriy xarakterdagi elementlarning bo'sh bo'lmagan to'plami, deyiladi vektorlar;
• $F$- elementlari chaqiriladigan (algebraik) maydon skalyarlar;
• Operatsiya aniqlandi qo'shimchalar vektorlar $V\; \backslash \; marta\; V\; \backslash \; dan\; V\; gacha$, har bir juft elementga mos keladigan $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$ to'plamlar $V$ $V$ ularni chaqirish so'm va belgilandi $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Operatsiya aniqlandi vektorlarni skalyarlarga ko'paytirish $F\; \backslash \; marta\; V\; \backslash \; dan\; V\; gacha$, bu har bir elementga mos keladi $\backslash lambda$ dalalar $F$ va har bir element $\backslash mathbf(x)$ to'plamlar $V$ to'plamning yagona elementi $V$, belgilangan $\backslash lambda\backslash cdot\; \backslash mathbf(x)$ yoki $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Bir xil elementlar to'plamida, lekin turli maydonlarda aniqlangan vektor bo'shliqlari turli vektor bo'shliqlari bo'ladi (masalan, haqiqiy sonlar juftligi to'plami). $\backslash mathbb(R)^2$ haqiqiy sonlar maydoni yoki bir o'lchovli - kompleks sonlar maydoni ustidagi ikki o'lchovli vektor fazosi bo'lishi mumkin).

Eng oddiy xususiyatlar

1. Vektor fazosi qo'shish yo'li bilan abel guruhidir.
2. neytral element $\backslash mathbf(0)\; \backslash \; V\; ichida$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$ har kim uchun $\backslash mathbf(x)\; \backslash \; V\; ichida$.
4. Har kim uchun $\backslash mathbf(x)\; \backslash \; V\; ichida$ qarama-qarshi element $-\backslash mathbf(x)\; \backslash da\; V$ guruh xususiyatlaridan kelib chiqadigan yagona narsa.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$ har kim uchun $\backslash mathbf(x)\; \backslash \; V\; ichida$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$ har qanday uchun $F.da\; \backslash alfa\; \backslash$ va $\backslash mathbf(x)\; \backslash \; V\; ichida$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$ har kim uchun $F.da\; \backslash alfa\; \backslash$.

Tegishli ta'riflar va xususiyatlar

pastki fazo

Algebraik ta'rif: Chiziqli pastki fazo yoki vektor pastki fazosi bo'sh bo'lmagan kichik to'plamdir $K$ chiziqli fazo $V$ shu kabi $K$ da belgilanganlarga nisbatan o‘zi chiziqli fazodir $V$ skalerga qo'shish va ko'paytirish amallari. Barcha kichik bo'shliqlar to'plami odatda sifatida belgilanadi $\backslash mathrm(lat)(V)$. Kichik to'plam pastki bo'shliq bo'lishi uchun bu zarur va etarli

1. har qanday vektor uchun $K.da\; \backslash mathbf(x)\backslash$, vektor $\backslash alpha\backslash mathbf(x)$ ham tegishli edi $K$, har qanday uchun $F.da\; \backslash alfa$;
2. har qanday vektorlar uchun $K.da\; \backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash$, vektor $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$ ham tegishli edi $K$.

Oxirgi ikkita bayonot quyidagilarga teng:

Har qanday vektorlar uchun $K.da\; \backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash$, vektor $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$ ham tegishli edi $K$ har qanday uchun $F\; da\; \backslash alpha,\; \backslash beta\; \backslash$.

Xususan, faqat bitta nol vektordan iborat vektor fazo har qanday fazoning pastki fazosi hisoblanadi; har qanday fazo o'zining pastki fazosidir. Bu ikkalasiga to'g'ri kelmaydigan pastki fazolar deyiladi Shaxsiy yoki ahamiyatsiz.

Subfazo xususiyatlari

• Har qanday pastki fazolar oilasining kesishishi yana pastki fazodir;
• Pastki bo'shliqlar yig'indisi $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash in\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$ elementlarning barcha mumkin bo'lgan yig'indisini o'z ichiga olgan to'plam sifatida aniqlanadi $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • Cheklangan pastki fazolar oilasining yig'indisi yana pastki fazodir.

Chiziqli birikmalar

Ko'rishning yakuniy yig'indisi

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

Chiziqli birikma deyiladi:

Asos. Hajmi

Vektorlar $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$ chaqirdi chiziqli bog'liq, agar ularning nolga teng bo'lmagan chiziqli birikmasi bo'lsa:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash to\text{'}rt\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alpha\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

Aks holda, bu vektorlar deyiladi chiziqli mustaqil.

Ushbu ta'rif quyidagi umumlashtirishga imkon beradi: cheksiz vektorlar to'plami $V$ chaqirdi chiziqli bog'liq, agar ba'zi final uning kichik to'plami va chiziqli mustaqil, agar mavjud bo'lsa final kichik to'plam chiziqli mustaqildir.

Asosiy xususiyatlar:

• Har qanday $n$ chiziqli mustaqil elementlar $n$- o'lchovli fazo shakli asos bu bo'shliq.
• Har qanday vektor $\backslash mathbf(x)\; \backslash \; V\; ichida$ asosiy elementlarning cheklangan chiziqli birikmasi sifatida (noyob) ifodalanishi mumkin:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

Chiziqli qobiq

Chiziqli qobiq $\backslash mathcal\; V(X)$ kichik to'plamlar $X$ chiziqli fazo $V$- barcha kichik fazolarning kesishishi $V$ o'z ichiga olgan $X$.

Chiziqli qobiq pastki fazodir $V$.

Chiziqli qobiq ham deyiladi yaratiladigan pastki fazo $X$. Bundan tashqari, chiziqli oraliq deyiladi $\backslash mathcal\; V(X)$- bo'sh joy, ustiga cho'zilgan kopgina $X$.

Chiziqli qobiq $\backslash mathcal\; V(X)$ dan elementlarning turli chekli quyi tizimlarining barcha mumkin bo'lgan chiziqli birikmalaridan iborat $X$. Xususan, agar $X$ u cheklangan to'plamdir $\backslash mathcal\; V(X)$ elementlarning barcha chiziqli birikmalaridan iborat $X$. Shunday qilib, null vektor har doim chiziqli oraliqga tegishli.

Agar a $X$ chiziqli mustaqil toʻplam boʻlsa, u asos boʻladi $\backslash mathcal\; V(X)$ va shu bilan uning hajmini belgilaydi.

Misollar

• Yagona elementi nolga teng bo'lgan nol bo'shliq.
• Barcha funktsiyalar maydoni $X\backslash to\; F$ chekli qo'llab-quvvatlash bilan teng o'lchovli vektor fazoni hosil qiladi $X$.
• Haqiqiy sonlar maydonini ratsional sonlar maydoni ustidagi uzluksiz o'lchovli vektor fazosi sifatida ko'rish mumkin.
• Har qanday maydon o'zidan yuqorida joylashgan bir o'lchovli bo'shliqdir.

Qo'shimcha tuzilmalar

Shuningdek qarang

"Vektor maydoni" maqolasiga sharh yozing

Eslatmalar

Adabiyot

• Gelfand I. M. Chiziqli algebra bo'yicha ma'ruzalar. - 5. - M .: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 319 p. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Gelfand I. M. Chiziqli algebra bo'yicha ma'ruzalar. 5-nashr. - M .: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 320 p. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Kostrikin A.I., Manin Yu.I. Chiziqli algebra va geometriya. 2-nashr. - M .: Nauka, 1986. - 304 b.
• Kostrikin A.I. Algebraga kirish. 2-qism: Chiziqli algebra. - 3-chi. - M .: Nauka ., 2004. - 368 b. - (Universitet darsligi).
• Maltsev A.I. Chiziqli algebra asoslari. - 3-chi. - M .: Nauka, 1970. - 400 b.

• Postnikov M.M. Chiziqli algebra (Geometriyadan ma’ruzalar. II semestr). - 2. - M .: Nauka, 1986. - 400 b.
• Strang G. Chiziqli algebra va uning ilovalari = Chiziqli algebra va uning ilovalari. - M .: Mir, 1980. - 454 b.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Chiziqli algebra. 6-nashr. - M .: Fizmatlit, 2010. - 280 b. - ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Halmosh P. Chekli o'lchovli vektor fazolar = Chekli o'lchovli vektor fazolar. - M .: Fizmatgiz, 1963. - 263 b.
• Faddeev D.K. Algebra bo'yicha ma'ruzalar. - 5. - Sankt-Peterburg. : Lan, 2007. - 416 b.
• Shafarevich I. R., Remizov A. O. Chiziqli algebra va geometriya. - 1-chi. - M .: Fizmatlit, 2009. - 511 b.
• Shreyer O., Shperner G. Geometrik taqdimotda chiziqli algebraga kirish = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (nemis tilidan tarjima qilingan). - M.–L.: ONTI, 1934. - 210 b.

Vektorlar va matritsalar Vektorlar Asosiy tushunchalar Vektorlar turlari Vektorlar ustida amallar Kosmik turlari matritsalar Asosiy tushunchalar Boshqa

Vektor fazosini tavsiflovchi parcha

Kutuzov saflar bo'ylab yurib, vaqti-vaqti bilan to'xtab, turk urushidan tanish bo'lgan ofitserlarga, ba'zan esa askarlarga bir necha yaxshi so'zlarni aytdi. Oyoq kiyimlariga ko‘z tashlab, bir necha marta g‘amgin tarzda bosh chayqadi va avstriyalik generalga shunday bir ibora bilan ishora qildiki, buning uchun hech kimni qoralamagandek bo‘ldi, lekin buning qanchalik yomonligini ko‘rmay qolmasdi. Polk komandiri bosh qo‘mondonning polk haqidagi so‘zini o‘tkazib yuborishdan qo‘rqib, har safar oldinga yugurdi. Kutuzovning orqasida, har qanday zaif so'z eshitiladigan masofada, 20 nafar mulozim yurardi. Murojaatchilarning janoblari o'zaro gaplashib, ba'zan kulishdi. Bosh qo'mondonning orqasida chiroyli ad'yutant bor edi. Bu knyaz Bolkonskiy edi. Uning yonida o'rtog'i Nesvitskiy, baland bo'yli, nihoyatda baquvvat, mehribon va jilmayuvchi xushbichim chehrasi, nam ko'zlari bor edi; Nesvitskiy uning yonida yurgan qora tanli gusar ofitseridan hayajonlanib kulishdan o'zini zo'rg'a tiya oldi. Gussar ofitser jilmay, tikilgan ko‘zlari ifodasini o‘zgartirmay, polk komandirining orqa tomoniga jiddiy chehra bilan qaradi va uning har bir harakatiga taqlid qildi. Polk komandiri har gal titrab, oldinga egilganida, xuddi shunday, aynan bir xilda, hussar ofitser titrab, oldinga egilib turardi. Nesvitskiy kulib, boshqalarni kulgili odamga qarashga undadi.
Kutuzov xo'jayinning orqasidan sekin va befarq o'tib, uyasidan oqib chiqqan mingta ko'zning yonidan o'tdi. 3-rota bilan tenglashib, u birdan to'xtadi. Murojaatchilar bu to'xtashni oldindan bilmay, beixtiyor unga yaqinlashdilar.
- Oh, Timoxin! – dedi bosh qo‘mondon ko‘k palto uchun qiynalgan qizil burunli kapitanni tanidi.
Aftidan, Timoxin cho'zganidan ko'ra ko'proq cho'zish mumkin emas edi, polk komandiri unga tanbeh berdi. Ammo shu payt bosh qo‘mondon unga murojaat qildi, kapitan shunday cho‘zilib ketdiki, agar bosh qo‘mondon unga yana bir oz qarasa, kapitan bunga chiday olmas edi; va shuning uchun Kutuzov, shekilli, o'z pozitsiyasini tushunib, aksincha, kapitanga eng yaxshisini tilab, shoshilib yuz o'girdi. Kutuzovning yarador yuzida zo'rg'a seziladigan tabassum paydo bo'ldi.
"Yana bir Izmaylovskiy o'rtoq", dedi u. — Jasur ofitser! Siz bundan mamnunmisiz? — deb so‘radi Kutuzov polk komandiridan.
Va polk komandiri xuddi ko'zguda, o'ziga ko'rinmas, hussar ofitserida aks etgandek, titrab, oldinga bordi va javob berdi:
“Juda xursandman, Janobi Oliylari.
"Biz hammamiz zaif emasmiz", dedi Kutuzov jilmayib, undan uzoqlashdi. "Uning Bacchus bilan bog'liqligi bor edi.
Polk komandiri bunda aybdor emasligidan qo‘rqib, javob bermadi. O'sha paytda ofitser kapitanning qip-qizil burni va qorni qisilgan yuzini payqadi va uning yuzi va holatini shu qadar taqlid qildiki, Nesvitskiy kulishdan o'zini tuta olmadi.
Kutuzov orqasiga o'girildi. Ma'lum bo'lishicha, ofitser yuzini xohlaganicha boshqara oladi: bu vaqtda Kutuzov orqasiga o'girilib, ofitser jilmayishga muvaffaq bo'ldi va shundan so'ng eng jiddiy, hurmatli va begunoh ifodani oldi.
Uchinchi kompaniya oxirgi edi va Kutuzov o'yladi, shekilli, nimanidir esladi. Knyaz Andrey mulozimlardan chiqib, jimgina frantsuz tilida dedi:
- Siz ushbu polkdagi rütbəsi tushirilgan Doloxovni eslatishni buyurdingiz.
- Doloxov qayerda? - deb so'radi Kutuzov.
Allaqachon askarning kulrang paltosini kiygan Doloxov chaqirilishini kutmadi. Oldindan tiniq ko'k ko'zlari sarg'ish askarning nozik qiyofasi chiqdi. Bosh qo‘mondonning oldiga kelib, qorovul qo‘ydi.
- Talab? - Bir oz qoshlarini chimirib, so'radi Kutuzov.
"Bu Doloxov", dedi knyaz Andrey.
- A! - dedi Kutuzov. - Umid qilamanki, bu dars sizni tuzatadi, yaxshi xizmat qiladi. Imperator rahmdil. Va agar bunga loyiq bo'lsang, men seni unutmayman.
Shaffof ko‘k ko‘zlar polk komandiriga bo‘lgani kabi, bosh qo‘mondonga ham beadablik bilan qaradi, go‘yo o‘z ifodalari bilan bosh qo‘mondonni askardan uzoqroqda ajratib turgan shart-sharoit pardasini yirtib tashlayotgandek edi.
- Sizdan bir narsani so'rayman, Janobi Oliylari, - dedi u o'zining jarangdor, qat'iyatli va shoshilmaydigan ovozida. “Men sizdan mening aybimni o'zgartirish va imperator va Rossiyaga sodiqligimni isbotlash uchun imkoniyat berishingizni so'rayman.
Kutuzov yuz o'girdi. Kapitan Timoxindan yuz o'girgan paytdagidek, uning ko'zlaridagi tabassum yuzida chaqnadi. U yuz o'girdi va qiyshayib qo'ydi, go'yo bu bilan Doloxov unga aytgan hamma narsani va unga aytishi mumkin bo'lgan hamma narsani uzoq vaqtdan beri bilganini va bularning barchasi uni zeriktirganini va bularning barchasi unga kerak bo'lgan narsa emas.. U o‘girilib, arava tomon yurdi.
Polk kompaniyalarga bo'linib, Braunaudan unchalik uzoq bo'lmagan xonadonlarga yo'l oldi, u erda ular poyabzal kiyish, kiyinish va qiyin o'tishlardan keyin dam olishga umid qilishdi.
- Menga o'xshamayapsizmi, Proxor Ignatich? - dedi polk komandiri 3-rotani aylanib, o'sha joyga qarab harakatlanib, uning oldida ketayotgan kapitan Timoxinning oldiga bordi. Polk komandirining yuzi, xursandchilik bilan ketgandan so'ng, cheksiz quvonchni ifoda etdi. - Qirollik xizmati ... qila olmaysiz ... boshqa safar siz old tomondan kesasiz ... Men birinchi bo'lib kechirim so'rayman, siz meni bilasiz ... Katta rahmat! Va u qo'lini qo'mondonga uzatdi.
- Kechirasiz, general, jur'at qila olamanmi! - javob berdi kapitan, burni bilan qizarib, jilmayib, Ismoilning yonida dumbasi bilan taqillatilgan ikkita old tishlari yo'qligini tabassum bilan ochib berdi.
- Ha, janob Doloxovga ayting, men uni unutmayman, xotirjam bo'lsin. Ha, aytingchi, men tinmay so'ragim keldi, u nima, o'zini qanday tutyapti? Va tamom…
"U o'z xizmatida juda xizmat qiladi, Janobi Oliylari ... lekin karaxter ..." dedi Timoxin.
- Va nima, xarakter nima? — so‘radi polk komandiri.
"U, Janobi Oliylari, bir necha kun topadi, - dedi kapitan, - u aqlli, o'qimishli va mehribon. Va bu hayvon. Polshada u yahudiyni o'ldirdi, agar bilsangiz ...
- Xo'sh, ha, ha, ha, - dedi polk komandiri, - baxtsizlikka uchragan yigitga hali ham achinish kerak. Axir, ajoyib aloqalar ... Shunday qilib, siz ...
"Men tinglayapman, Janobi Oliylari", dedi Timoxin xo'jayinning istaklarini tushunganini his qilib, tabassum bilan.
- Ha Ha.
Polk komandiri Doloxovni safda topdi va otini jilovladi.
"Birinchi holatdan oldin, epaulettlar", dedi u.
Doloxov atrofga qaradi, hech narsa demadi va istehzoli jilmaygan og'zining ifodasini o'zgartirmadi.
- Yaxshi, - davom etdi polk komandiri. "Odamlar mendan bir stakan aroq olishadi", deya qo'shib qo'ydi u, askarlar eshitishi uchun. - Barchangizga rahmat! Xudoga shukur! - Va u kompaniyani bosib o'tib, boshqasiga yugurdi.
“Xo'sh, u haqiqatan ham yaxshi odam; Siz u bilan birga xizmat qilishingiz mumkin, - dedi qo'l ostidagi Timoxin uning yonida ketayotgan ofitserga.
- Bir so'z, qizil! ... (polk qo'mondoni qizil qirol laqabini oldi) - dedi subaltern ofitser kulib.
Ko‘rikdan so‘ng rasmiylarning quvonchli kayfiyati askarlarga o‘tdi. Rota quvnoq edi. Har tomondan askarlar ovozi eshitilardi.
- Qanday aytishdi, Kutuzov qiyshiq, bir ko'z haqida?
- Lekin yoq! Mutlaqo qiyshiq.
- Yo'q ... uka, sizdan ko'ra kattaroq. Botinkalar va yoqalar - hamma narsaga qaradi ...
- Qanday qilib u, ukam, oyog'imga qaraydi ... yaxshi! o'ylab ko'ring...
- Va ikkinchisi avstriyalik, u xuddi bo'r bilan bulg'angandek u bilan birga edi. Un kabi, oq. Men choy, ular o'q-dorilarni qanday tozalashadi!
- Nima, Fedeshou! ... u dedi, ehtimol, soqchilar boshlanganda, siz yaqinroq turdingizmi? Ular hamma narsani aytishdi, Bunapartning o'zi Brunovda turibdi.
- Bunaparte turibdi! yolg'on gapirasan, ahmoq! Nima bilmaydi! Endi Prussiya qo'zg'olon ko'tarmoqda. Shuning uchun avstriyalik uni tinchlantiradi. U yarashishi bilanoq, Bounapart bilan urush boshlanadi. Va keyin, deydi u, Brunovda, Bunapart turibdi! Uning ahmoq ekani ko‘rinib turibdi. Siz ko'proq tinglang.
“Qarang, la’nati ijarachilar! Beshinchi kompaniya, qarang, allaqachon qishloqqa aylanmoqda, ular bo'tqa pishiradi, biz esa bu erga hali etib bormaymiz.
- Menga kraker bering, jin ursin.
"Kecha siz tamaki berdingizmi?" Bo‘ldi, uka. Axir, Xudo siz bilan.
- Agar ular to'xtab qolishsa, aks holda siz yana besh milya proprem yemaysiz.
- Nemislar bizga aravacha sovg'a qilgani yaxshi bo'ldi. Siz boring, biling: bu muhim!
- Mana, uka, odamlar butunlay g'azablanishdi. U erda hamma narsa qutbga o'xshardi, hamma narsa rus tojidan edi; va endi, birodar, qattiq nemis ketdi.
- Qo'shiq mualliflari oldinda! - Men kapitanning qichqirig'ini eshitdim.
Yigirma kishi esa kompaniya oldiga turli toifalardan yugurib chiqishdi. Barabanchi qo‘shiq kitoblariga yuz o‘girilib kuyladi va qo‘lini silkitib, cho‘zilgan askar qo‘shig‘ini kuyladi: “Tong otayotgani yo‘qmi, quyosh botayotgan edi...” va quyidagi so‘zlar bilan tugaydi: "Bu, birodarlar, bizni otasi Kamenskiy bilan shon-sharaf bo'ladi ..." Bu qo'shiq Turkiyada yaratilgan va hozir Avstriyada kuylangan, faqat "Kamenskiy otasi" o'rniga quyidagi so'zlar kiritilgan: "Kutuzovning otasi. ."
Bu so‘nggi so‘zlarni askarday uzib, yerga nimadir tashlayotgandek qo‘llarini silkitarkan, nog‘orachi, qirqlarcha quruq va kelishgan askar, qo‘shiqchi askarlarga qattiq tikilib, ko‘zlarini yumdi. Keyin hammaning ko‘zlari unga qadalganiga ishonch hosil qilib, u ikki qo‘li bilan qandaydir ko‘rinmas, qimmatli narsani boshining tepasida avaylab ko‘targandek bo‘ldi-da, bir necha soniya shunday ushlab turdi va birdan umidsizlik bilan tashladi:
Oh, sen, mening soyabonim, mening soyabonim!
“Mening yangim...” yigirmata ovoz eshitildi va qoshiqchi, o'q-dorilarning og'irligiga qaramay, shiddat bilan oldinga sakrab, kompaniya oldida orqaga o'tib, yelkalarini silkitib, birovni qoshiq bilan tahdid qildi. Qo‘shiq sadosi ostida qo‘llarini silkitgan askarlar beixtiyor oyog‘iga urib, keng qadam bilan yurishdi. Kompaniya ortidan g‘ildiraklarning shovqini, buloqlarning xirillashi va otlarning gurillashi eshitildi.
Kutuzov hamrohlari bilan shaharga qaytayotgan edi. Bosh qo‘mondon xalqning erkin yurishini davom ettirishga ishora qildi va qo‘shiq sadosidan, raqsga tushayotgan askarni, quvnoq va chaqqonlikni ko‘rishdan uning yuzida va barcha mulozimlarining yuzlarida mamnuniyat namoyon bo‘ldi. kompaniyaning marshrut askarlari. Ikkinchi qatorda, vagon rotalarni bosib o‘tgan o‘ng qanotdan ko‘k ko‘zli askar Doloxov beixtiyor ko‘z oldiga tushdi, u qo‘shiq ritmida ayniqsa chaqqon va nafis yurib, qo‘shiqchilarning yuzlariga qaradi. o'tkinchilar shunday ibora bilan u bu vaqtda kompaniya bilan bormagan har bir kishiga achinadigandek. Kutuzovning mulozimlaridan polk komandiriga taqlid qilgan hussar korneti vagondan orqada qoldi va Doloxovga yaqinlashdi.
Bir vaqtlar Sankt-Peterburgdagi Gussar korneti Jerkov Doloxov boshchiligidagi zo'ravonlik jamiyatiga tegishli edi. Jerkov Doloxov bilan chet elda askar sifatida uchrashdi, lekin uni tan olishni zarur deb hisoblamadi. Endi, Kutuzovning lavozimi pasaytirilgan bilan suhbatidan so'ng, u eski do'stining quvonchi bilan unga murojaat qildi:
- Aziz do'stim, yaxshimisiz? – dedi u qo‘shiq sadosida otining qadamini shirkat qadami bilan tenglashtirib.
- Men shundayman? - sovuqqonlik bilan javob berdi Doloxov, - ko'rib turganingizdek.
Jonli qo'shiq Jerkov gapirgan xushchaqchaq hazil ohangiga va Doloxovning javoblarining ataylab sovuqligiga alohida ahamiyat berdi.
- Xo'sh, hokimiyat bilan qanday munosabatdasiz? - so'radi Jerkov.
Hech narsa, yaxshi odamlar. Bosh qarorgohga qanday kirgansiz?
- Men xizmatdaman.
Ular jim turishdi.
“O‘ng yengimdan lochinni qo‘yib yubordim”, dedi qo‘shiq beixtiyor quvnoq, quvnoq tuyg‘uni uyg‘otib. Agar qo‘shiq sadosida gapirmaganlarida, ularning suhbati, ehtimol, boshqacha bo‘lardi.
- Nima rost, avstriyaliklar kaltaklangan? — soʻradi Doloxov.
“Iblis biladi, deyishadi.
"Men xursandman", dedi Doloxov, qo'shiq talab qilganidek, qisqa va aniq javob berdi.
- Xo'sh, kechqurun fir'avn garovga qo'yganida bizga keling, - dedi Jerkov.
Yoki ko'p pulingiz bormi?
-Keling.
- Bu taqiqlangan. U qasam berdi. Ishim tugamaguncha ichmayman, o‘ynamayman.
Xo'sh, birinchi narsadan oldin ...
- U erda ko'rasiz.
Ular yana jim bo'lishdi.
"Kiring, agar sizga biror narsa kerak bo'lsa, shtab-kvartirada hamma yordam beradi ..." dedi Jerkov.
Doloxov kulib yubordi.
“Xavotir olmang yaxshisi. Menga nima kerak, so'ramayman, o'zim olaman.
- Ha, men judayam...
- Xo'sh, men ham.
- Xayr.
- Salomat bo'l…
... va baland va uzoq,
Uy tomonda...
Jerkov otiga shnurlari bilan tegdi, u uch marta hayajonlanib, tepib, qaerdan boshlashni bilmay, boshqarib, chopib, kompaniyani quvib o'tib, vagonga yetib oldi, shuningdek, qo'shiq bilan o'z vaqtida.

Ko'rib chiqishdan qaytib, Kutuzov avstriyalik general hamrohligida o'z kabinetiga bordi va ad'yutantni chaqirib, o'ziga kelayotgan qo'shinlarning holati bilan bog'liq ba'zi hujjatlarni va oldinga qo'shinni boshqargan archduke Ferdinanddan olingan xatlarni berishni buyurdi. . Knyaz Andrey Bolkonskiy kerakli hujjatlar bilan bosh qo'mondonning kabinetiga kirdi. Stol ustidagi reja oldida Kutuzov va avstriyalik Hofkriegsrat a'zosi o'tirishdi.
"Oh ..." dedi Kutuzov Bolkonskiyga qarab, go'yo bu so'z bilan ad'yutantni kutishga taklif qilgandek va frantsuz tilida boshlangan suhbatni davom ettirdi.
"Men faqat bitta narsani aytyapman, general," dedi Kutuzov yoqimli ifoda va intonatsiya bilan, odamni har bir bemalol aytilgan so'zni tinglashga majbur qildi. Kutuzov o'zini zavq bilan tinglagani aniq edi. -Faqat bir narsani aytaman, general, agar ish mening shaxsiy xohishimga bog‘liq bo‘lganida edi, u holda imperator Frantsning vasiyatnomasi allaqachon bajarilgan bo‘lardi. Men archdukega allaqachon qo'shilgan bo'lardim. Va shon-sharafimga ishoning, shaxsan men uchun armiyaning yuqori qo'mondonligini o'zimdan ko'ra ko'proq bilimdon va mohir generalga topshirish, Avstriya kabi juda ko'p va bu og'ir mas'uliyatni shaxsan o'zim uchun o'z zimmasiga olish baxt bo'lardi. . Ammo sharoitlar bizdan kuchliroq, general.
Va Kutuzov xuddi shunday degandek jilmayib qo'ydi: "Siz menga ishonmaslikka haqingiz bor, hatto menga ishonasizmi yoki yo'qmi, menga farqi yo'q, lekin buni menga aytishga hech qanday sabab yo'q. Hamma gap ham shunda”.
Avstriyalik general norozi ko'rindi, lekin Kutuzovga bir xil ohangda javob bera olmadi.
“Aksincha, – dedi u qoʻrqinchli va gʻazabli ohangda, aytilgan soʻzlarning xushomadgoʻy maʼnosiga zid ravishda, “aksincha, Janobi Oliylarining umumiy ishdagi ishtiroki oliy hazratlari tomonidan yuksak qadrlanadi; ammo biz ishonamizki, haqiqiy sekinlashuv ulug'vor rus qo'shinlari va ularning qo'mondonlarini janglarda yig'ib olishga odatlangan yutuqlardan mahrum qiladi ", deb tugatdi u aftidan tayyorlangan iborani.
Kutuzov tabassumini o'zgartirmasdan ta'zim qildi.
- Va men shunchalik aminmanki, oliy hazratlari archgertsog Ferdinand meni hurmat qilgan oxirgi maktubga asoslanib, general Mak kabi mohir yordamchining qo'mondonligi ostida Avstriya qo'shinlari allaqachon hal qiluvchi g'alabani qo'lga kiritgan deb taxmin qilaman. Bizning yordamimiz kerak, - dedi Kutuzov.
General qoshlarini chimirdi. Avstriyaliklarning mag'lubiyati haqida hech qanday ijobiy xabar bo'lmasa-da, umumiy noqulay mish-mishlarni tasdiqlovchi juda ko'p holatlar mavjud edi; va shuning uchun Kutuzovning avstriyaliklarning g'alabasi haqidagi taxmini masxara bilan juda o'xshash edi. Ammo Kutuzov muloyimlik bilan jilmayib qo'ydi, baribir o'sha ibora bilan u buni qabul qilishga haqli ekanligini aytdi. Darhaqiqat, Mak armiyasidan olgan so'nggi maktubi unga g'alaba va armiyaning eng foydali strategik pozitsiyasi haqida xabar berdi.
"Mana bu xatni menga bering", dedi Kutuzov knyaz Andreyga o'girilib. - Mana, ko'rmoqchi bo'lsangiz. - Va Kutuzov lablarining uchida istehzoli tabassum bilan archduke Ferdinandning nemis-avstriyalik generalning maktubidan quyidagi parchani o'qib chiqdi: “Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70,000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; Mithin auch jeden Augenblick, Wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit wor ganzer alabachtlite wenn. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, va sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, shuning uchun.” [Bizda to'liq jamlangan kuchimiz bor, taxminan 70 000 kishi, agar dushman Lexdan o'tib ketsa, biz hujum qilishimiz va uni mag'lub etishimiz mumkin. Biz allaqachon Ulmga egalik qilganimiz sababli, biz Dunayning ikkala qirg'og'iga qo'mondonlik qilish ustunligini saqlab qolishimiz mumkin, shuning uchun har daqiqada, agar dushman Lexni kesib o'tmasa, Dunayni kesib o'tib, aloqa liniyasiga shoshilib, Dunayni pastroq va dushmanni kesib o'ting. , agar u butun kuchini sodiq ittifoqchilarimizga qaratishga qaror qilsa, niyatining amalga oshishiga yo'l qo'ymaslik uchun. Shunday qilib, biz imperator rus armiyasi to'liq tayyor bo'lgan vaqtni xursandchilik bilan kutamiz va keyin birgalikda dushmanni u munosib taqdirga tayyorlash imkoniyatini osongina topamiz.

Chiziqli (vektor) fazo - vektorlar deb ataladigan ixtiyoriy elementlarning V to'plami bo'lib, unda vektorlarni qo'shish va vektorni songa ko'paytirish amallari aniqlanadi, ya'ni. ixtiyoriy ikkita \mathbf(u) va (\mathbf(v)) vektorlariga vektor berilgan. \mathbf(u)+\mathbf(v), \mathbf(u) va (\mathbf(v)) vektorlarining yig'indisi deb ataladi, haqiqiy sonlar maydonidan har qanday vektor (\mathbf(v)) va har qanday \lambda soni \mathbb(R) vektori tayinlanadi. \lambda \mathbf(v), vektor \mathbf(v) va \lambda sonining mahsuloti deb ataladi; shuning uchun quyidagi shartlar bajariladi:

1. \mathbf(u)+ \mathbf(v)=\mathbf(v)+\mathbf(u)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\V ichida(qo‘shishning kommutativligi);
2. \mathbf(u)+(\mathbf(v)+\mathbf(w))=(\mathbf(u)+\mathbf(v))+\mathbf(w)\,~\forall \mathbf(u), \mathbf(v),\mathbf(w)\V ichida(qo‘shishning assotsiativligi);
3. V ning ichida null vektor deb ataladigan \mathbf(o)\ element mavjud, shundayki \mathbf(v)+\mathbf(o)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V;
4. har bir vektor (\mathbf(v)) uchun \mathbf(v) vektoriga qarama-qarshi deb ataladigan vektor mavjud, shundayki \mathbf(v)+(-\mathbf(v))=\mathbf(o);
5. \lambda(\mathbf(u)+\mathbf(v))=\lambda \mathbf(u)+\lambda \mathbf(v)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\V ichida ,~\forall \lambda\in \mathbb(R);
6. (\lambda+\mu)\mathbf(v)=\lambda \mathbf(v)+\mu \mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\ \mathbb(R) da;
7. \lambda(\mu \mathbf(v))=(\lambda\mu)\mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb( R);
8. 1\cdot \mathbf(v)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

1-8 shartlar chaqiriladi chiziqli fazo aksiomalar. Vektorlar orasiga qo'yilgan tenglik belgisi V to'plamning bir xil elementi tenglikning chap va o'ng qismlarida berilganligini bildiradi, bunday vektorlar teng deb ataladi.

Chiziqli fazoni aniqlashda vektorni songa ko'paytirish amali haqiqiy sonlar uchun kiritilgan. Bunday bo'shliq deyiladi haqiqiy (haqiqiy) sonlar maydoni ustidagi chiziqli fazo, yoki qisqasi, haqiqiy chiziqli fazo. Agar ta'rifda haqiqiy sonlarning \mathbb(R) maydoni o'rniga kompleks sonlar maydonini \mathbb(C) olsak, u holda olamiz. kompleks sonlar maydoni ustidagi chiziqli fazo, yoki qisqasi, murakkab chiziqli fazo. Ratsional sonlarning \mathbb(Q) maydonini ham son maydoni sifatida tanlash mumkin va bu holda biz ratsional sonlar maydoni ustida chiziqli fazoni olamiz. Keyinchalik, agar boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa, haqiqiy chiziqli bo'shliqlar ko'rib chiqiladi. Ba'zi hollarda, qisqalik uchun biz chiziqli so'zni qoldirib, bo'shliq haqida gapiramiz, chunki quyida ko'rib chiqilgan barcha bo'shliqlar chiziqli.

Izohlar 8.1

1. 1-4 aksiomalar chiziqli fazo qo‘shish amaliga nisbatan kommutativ guruh ekanligini ko‘rsatadi.

2. 5 va 6 aksiomalar vektorni songa ko‘paytirish amalining vektorlarni qo‘shish amaliga (5-aksioma) yoki sonlarni qo‘shish amaliga (6-aksioma) nisbatan taqsimlanishini aniqlaydi. Ba'zan songa ko'paytirishning assotsiativlik qonuni deb ataladigan 7 aksioma ikki xil operatsiya o'rtasidagi bog'liqlikni ifodalaydi: vektorni songa ko'paytirish va sonlarni ko'paytirish. 8-aksioma bilan aniqlangan xususiyat vektorni songa ko'paytirish operatsiyasining unitarligi deb ataladi.

3. Chiziqli fazo bo'sh bo'lmagan to'plamdir, chunki u majburiy ravishda nol vektorni o'z ichiga oladi.

4. Vektorlarni qo‘shish va vektorni songa ko‘paytirish amallari vektorlar ustida chiziqli amallar deyiladi.

5. \mathbf(u) va \mathbf(v) vektorlarining ayirmasi qarama-qarshi vektor (-\mathbf(v)) bo'lgan \mathbf(u) vektorining yig'indisi bo'lib, quyidagicha belgilanadi: \mathbf(u)-\mathbf(v)=\mathbf(u)+(-\mathbf(v)).

6. Ikki nolga teng bo'lmagan \mathbf(u) va \mathbf(v) vektorlar, agar \lambda soni mavjud bo'lsa, ular kollinear (proporsional) deyiladi. \mathbf(v)=\lambda \mathbf(u). Kollinearlik tushunchasi vektorlarning har qanday chekli soniga taalluqlidir. Null vektor \mathbf(o) har qanday vektor bilan kollinear hisoblanadi.

Chiziqli fazo aksiomalarining oqibatlari

1. Chiziqli fazoda yagona nol vektor mavjud.

2. Chiziqli fazoda V dagi har qanday \mathbf(v)\ vektor uchun yagona qarama-qarshi vektor mavjud. (-\mathbf(v))\V ichida.

3. Ixtiyoriy fazo vektori va nol sonining mahsuloti nol vektoriga teng, ya'ni. 0\cdot \mathbf(v)=\mathbf(o)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

4. Nol vektorning istalgan songa ko'paytmasi nol vektorga teng, ya'ni har qanday son uchun \lambda .

5. Ushbu vektorga qarama-qarshi vektor bu vektorning mahsulotiga (-1) soniga teng, ya'ni. (-\mathbf(v))=(-1)\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\V ichida.

6. kabi ifodalarda \mathbf(a+b+\ldots+z)(cheklangan sonli vektorlar yig'indisi) yoki \alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf(v)(cheklangan sonli omillar bo'yicha vektorning ko'paytmasi) siz qavslarni istalgan tartibda joylashtirishingiz mumkin yoki umuman emas.

Masalan, birinchi ikkita xususiyatni isbotlaylik. Null vektorning o'ziga xosligi. Agar \mathbf(o) va \mathbf(o)" ikkita nol vektor bo'lsa, 3-aksioma bo'yicha ikkita tenglikni olamiz: \mathbf(o)"+\mathbf(o)=\mathbf(o)" yoki \mathbf(o)+\mathbf(o)"=\mathbf(o), chap qismlari aksioma bilan teng bo'lgan 1. Shuning uchun o'ng qismlar ham teng, ya'ni. \mathbf(o)=\mathbf(o)". Qarama-qarshi vektorning o'ziga xosligi. Agar \mathbf(v)\in V vektorida ikkita qarama-qarshi vektor (-\mathbf(v)) va (-\mathbf(v))" bo'lsa, 2, 3,4 aksiomalar bo'yicha ularning tengligini olamiz:

(-\mathbf(v))"=(-\mathbf(v))"+\underbrace(\mathbf(v)+(-\mathbf(v))))_(\mathbf(o))= \underbrace( (-\mathbf(v))"+\mathbf(v))_(\mathbf(o))+(-\mathbf(v))=(-\mathbf(v)).

Qolgan xususiyatlar xuddi shunday isbotlangan.

Chiziqli fazolarga misollar

1. \(\mathbf(o)\) - bitta nol vektorni o'z ichiga olgan to'plamni amallar bilan belgilang \mathbf(o)+ \mathbf(o)=\mathbf(o) va \lambda \mathbf(o)=\mathbf(o). Bu amallar uchun 1-8 aksiomalar bajariladi. Demak, \(\mathbf(o)\) to'plam har qanday son maydoni ustidagi chiziqli bo'shliqdir. Bu chiziqli fazo null deb ataladi.

2. V_1,\,V_2,\,V_3 - vektorlar (yo'naltirilgan segmentlar) to'plamini mos ravishda to'g'ri chiziqda, tekislikda, fazoda vektorlarni qo'shish va vektorlarni songa ko'paytirishning odatiy amallari bilan belgilang. Chiziqli fazoning 1-8 aksiomalarining bajarilishi elementar geometriya kursidan kelib chiqadi. Demak, V_1,\,V_2,\,V_3 to'plamlar haqiqiy chiziqli fazolardir. Erkin vektorlar o'rniga radius vektorlarining mos keladigan to'plamlarini ko'rib chiqishimiz mumkin. Masalan, umumiy kelib chiqishi bo'lgan tekislikdagi vektorlar to'plami, ya'ni. tekislikning bir qo'zg'almas nuqtasidan ajratilgan, haqiqiy chiziqli fazodir. Birlik uzunlikdagi radius vektorlar to'plami chiziqli bo'shliqni hosil qilmaydi, chunki bu vektorlarning birortasi uchun yig'indisi \mathbf(v)+\mathbf(v) ko'rib chiqilayotgan to'plamga tegishli emas.

3. \mathbb(R)^n - matritsani qo'shish va matritsani songa ko'paytirish amallari bilan n\times1 o'lchamdagi matritsa-ustunlar to'plamini belgilang. Ushbu to'plam uchun chiziqli fazoning 1-8 aksiomalari qondiriladi. Ushbu to'plamdagi nol vektor nol ustundir o=\begin(pmatrix)0&\cdots&0\end(pmatrix)^T. Demak, \mathbb(R)^n to'plami haqiqiy chiziqli fazodir. Xuddi shunday, n\times1 o‘lchamdagi, murakkab yozuvli ustunlarning \mathbb(C)^n to‘plami murakkab chiziqli fazodir. Manfiy bo'lmagan haqiqiy elementlarga ega ustun matritsalari to'plami, aksincha, chiziqli bo'shliq emas, chunki u qarama-qarshi vektorlarni o'z ichiga olmaydi.

4. \(Ax=o\) - n o'lchamdagi ustunlar to'plami sifatida qaraladigan va noma'lumli chiziqli algebraik tenglamalarning Ax=o bir jinsli sistemasi yechimlari to'plamini belgilang (bu erda A - tizimning haqiqiy matritsasi). \times1 matritsani qo'shish va matritsani songa ko'paytirish amallari bilan . E'tibor bering, bu operatsiyalar \(Ax=o\) to'plamida aniqlangan. Bir jinsli sistema eritmalarining 1-xususiyati (5.5-bo'limga qarang) bir jinsli sistemaning ikkita eritmasi yig'indisi va uning yechimining songa ko'paytmasi ham bir jinsli sistemaning yechimlari ekanligini anglatadi, ya'ni. to'plamga tegishli \(Ax=o\) . Ustunlar uchun chiziqli bo'shliqning aksiomalari qondiriladi (chiziqli bo'shliqlar misollarida 3-bandga qarang). Demak, bir jinsli sistemaning yechimlar to'plami haqiqiy chiziqli fazodir.

Ax=b,~b\ne o notekis sistema yechimlarining \(Ax=b\) to'plami, aksincha, chiziqli fazo emas, faqat uning tarkibida nol element bo'lmagani uchun (x=o bo'ladi). bir hil bo'lmagan tizimga yechim emas).

5. M_(m\times n) - matritsalarni qo'shish va matritsani songa ko'paytirish amallari bilan m\times n o'lchamdagi matritsalar to'plamini belgilang. Ushbu to'plam uchun chiziqli fazoning 1-8 aksiomalari qondiriladi. Nol vektor - mos keladigan o'lchamlarning nol matritsasi O. Demak, M_(m\times n) toʻplam chiziqli fazodir.

6. P(\mathbb(C)) - kompleks koeffitsientli bir o'zgaruvchidagi ko'phadlar to'plamini belgilang. Ko'p sonlarni qo'shish va ko'phadni nol darajali ko'phad sifatida qabul qilingan songa ko'paytirish amallari aniqlangan va 1-8 aksiomalarni qondiradi (xususan, nol vektori nolga teng bo'lgan ko'phaddir). Demak, P(\mathbb(C)) to‘plami kompleks sonlar maydoni ustidagi chiziqli fazodir. Haqiqiy koeffitsientli polinomlarning P(\mathbb(R)) to‘plami ham chiziqli fazodir (lekin, albatta, haqiqiy sonlar maydoni ustida). Haqiqiy koeffitsientli ko'pi bilan n darajali ko'phadlarning P_n(\mathbb(R)) to'plami ham haqiqiy chiziqli fazodir. E'tibor bering, ko'p sonlarni qo'shish amali ushbu to'plamda aniqlangan, chunki ko'phadlar yig'indisining darajasi yig'indilarning vakolatlaridan oshmaydi.

n darajali ko'phadlar to'plami chiziqli bo'shliq emas, chunki bunday ko'phadlar yig'indisi ko'rib chiqilayotgan to'plamga tegishli bo'lmagan pastki darajadagi ko'phadga aylanishi mumkin. Ijobiy koeffitsientli ko'pi bilan n darajali barcha darajali ko'phadlar to'plami ham chiziqli bo'shliq emas, chunki bunday ko'phadni manfiy songa ko'paytirishda biz ushbu to'plamga tegishli bo'lmagan ko'phadni olamiz.

7. C(\mathbb(R)) ni belgilang - \mathbb(R) da aniqlangan va uzluksiz real funksiyalar to'plami. f,g funksiyalarning yig‘indisi (f+g) va f funksiyaning \lambda f mahsuloti va \lambda haqiqiy soni tenglik bilan aniqlanadi:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\to'rt (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x) hamma uchun x\in \mathbb(R)

Bu amallar haqiqatan ham C(\mathbb(R)) da aniqlangan, chunki uzluksiz funksiyalar yig‘indisi va uzluksiz funksiyaning songa ko‘paytmasi ikkala uzluksiz funksiyadir, ya’ni. C(\mathbb(R)) ning elementlari. Chiziqli fazo aksiomalarining bajarilishini tekshiramiz. Haqiqiy sonlarni qo‘shishning kommutativligi tenglikning haqiqiyligini bildiradi f(x)+g(x)=g(x)+f(x) har qanday x\in \mathbb(R) uchun. Shuning uchun f+g=g+f, ya'ni. aksioma 1 qanoatlantiriladi. 2-aksioma ham qo'shishning assotsiativligidan kelib chiqadi. Nol vektori nolga teng bo'lgan o(x) funksiyasi, albatta, uzluksizdir. Har qanday f funksiya uchun f(x)+o(x)=f(x) tengligi to‘g‘ri, ya’ni. 3-aksioma to'g'ri f vektor uchun qarama-qarshi vektor (-f)(x)=-f(x) funksiya bo'ladi. U holda f+(-f)=o (4-aksioma bajariladi). Haqiqiy sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish amallarining taqsimlanishidan 5, 6-aksiomalar, sonlarni ko‘paytirishning assotsiativligidan 7-aksioma kelib chiqadi. Oxirgi aksioma o'rinli, chunki bittaga ko'paytirish funksiyani o'zgartirmaydi: 1\cdot f(x)=f(x) har qanday x\in \mathbb(R) uchun, ya'ni. 1\cdot f=f . Shunday qilib, kiritilgan amallar bilan ko'rib chiqilayotgan C(\mathbb(R)) to'plam haqiqiy chiziqli fazodir. Xuddi shunday, bu ham isbotlangan C^1(\mathbb(R)),C^2(\mathbb(R)), \ldots, C^m(\mathbb(R))- birinchi, ikkinchi va boshqalarning uzluksiz hosilalariga ega bo'lgan funktsiyalar to'plami. buyurtmalar, o'z navbatida, ham chiziqli bo'shliqlardir.

Belgilang - haqiqiy koeffitsientli trigonometrik binomlar to'plami (ko'pincha \omega\ne0 ), ya'ni, shakl funktsiyalari to'plami f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t, qayerda a\in \mathbb(R),~b\in \mathbb(R). Bunday binomlarning yig'indisi va binomialning haqiqiy songa ko'paytmasi trigonometrik binomdir. Chiziqli fazo aksiomalari ko'rib chiqilayotgan to'plam uchun amal qiladi (chunki T _ (\ omega) (\ mathbb (R)) \ pastki to'plam C (\ mathbb (R))). Shuning uchun, to'plam T_(\omega)(\mathbb(R)) funksiyalar uchun odatiy bo'lgan qo'shish va ko'paytirish amallari bilan haqiqiy chiziqli fazodir. Nol element binomial hisoblanadi o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t, xuddi shunday nolga teng.

\mathbb(R) da aniqlangan va monotonli real funksiyalar toʻplami chiziqli boʻshliq emas, chunki ikkita monoton funksiyaning farqi monoton boʻlmagan funksiya boʻlib chiqishi mumkin.

8. Belgilang \mathbb(R)^X - X to'plamda aniqlangan real funktsiyalar to'plami, amallar bilan:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\to'rt (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X

Bu haqiqiy chiziqli bo'shliq (isbot oldingi misoldagi kabi). Bunday holda, X to'plami o'zboshimchalik bilan tanlanishi mumkin. Xususan, agar X=\(1,2,\ldots,n\), u holda f(X) tartiblangan sonlar to‘plamidir f_1,f_2,\ldots,f_n, qayerda f_i=f(i),~i=1,\ldots,n Bunday to'plamni o'lchamlarning ustun matritsasi deb hisoblash mumkin n\times1 , ya'ni. kopgina \mathbb(R)^(\(1,2,\ldots,n\))\mathbb(R)^n toʻplamiga toʻgʻri keladi (chiziqli boʻshliqlar misollari uchun 3-bandga qarang). Agar X=\mathbb(N) (esda tutingki, \mathbb(N) natural sonlar to‘plami), u holda chiziqli fazoni olamiz. \mathbb(R)^(\mathbb(N))- sonli ketma-ketliklar to'plami \(f(i)\)_(i=1)^(\infty). Xususan, sonlarning yaqinlashuvchi ketma-ketliklari to‘plami ham chiziqli fazoni hosil qiladi, chunki ikkita yaqinlashuvchi ketma-ketlik yig‘indisi yaqinlashadi va yaqinlashuvchi ketma-ketlikning barcha a’zolarini songa ko‘paytirsak, yaqinlashuvchi ketma-ketlikni hosil qilamiz. Aksincha, divergent ketma-ketliklar to'plami chiziqli bo'shliq emas, chunki, masalan, divergent ketma-ketliklar yig'indisi chegaraga ega bo'lishi mumkin.

9. \mathbb(R)^(+) - musbat haqiqiy sonlar to‘plamini belgilang, unda a\oplus b yig‘indisi va \lambda\ast a ko‘paytmasi (bu misoldagi yozuv odatdagidan farq qiladi) quyidagicha aniqlanadi: tenglik: a\oplus b=ab,~ \lambda\ast a=a^(\lambda), boshqacha qilib aytganda, elementlar yig'indisi raqamlarning ko'paytmasi, elementni songa ko'paytirish esa darajaga ko'tarilish deb tushuniladi. Ikkala amal ham \mathbb(R)^(+) to'plamida aniqlangan, chunki musbat sonlarning ko'paytmasi musbat son va musbat sonning har qanday haqiqiy kuchi musbat sondir. Keling, aksiomalarning haqiqiyligini tekshiramiz. Tenglik

a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus(b\oplus c)=a(bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c

1 va 2 aksiomalar qanoatlantirilishini ko'rsating. Bu to'plamning nol vektori bitta, chunki a\oplus1=a\cdot1=a, ya'ni. o=1. a ning teskarisi \frac(1)(a) bo'lib, u a\ne o sifatida belgilanadi. Haqiqatdan ham, a\oplus\frac(1)(a)=a\cdot\frac(1)(a)=1=o. 5, 6, 7, 8 aksiomalarning bajarilishini tekshiramiz:

\begin(to'plangan) \mathsf(5))\quad \lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^(\lambda)= a^(\lambda)\cdot b^(\lambda) = \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\ \mathsf(6))\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^(\lambda+\mu)=a^( \lambda)\cdot a^(\mu)=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(7)) \quad \lambda\ast(\mu\ast a) =(a^(\mu))^(\lambda)=a^(\lambda\mu)=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(8))\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hfill \end(yig'ilgan)

Barcha aksiomalar bajarildi. Shuning uchun ko'rib chiqilayotgan to'plam haqiqiy chiziqli fazodir.

10. V haqiqiy chiziqli fazo bo'lsin. V da aniqlangan chiziqli skalyar funksiyalar to'plamini ko'rib chiqaylik, ya'ni. funktsiyalari f\kolon V\to \mathbb(R), haqiqiy qiymatlarni olish va shartlarni qondirish:

f(\mathbf(u)+\mathbf(v))=f(u)+f(v)~~ \forall u,v\in V(qo'shimchalar);

f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R)(bir xillik).

Chiziqli funksiyalar ustidagi chiziqli amallar chiziqli fazolar misollarining 8-bandidagi kabi aniqlanadi. f+g yig'indisi va \lambda\cdot f mahsuloti tenglik bilan aniqlanadi:

(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\ V,~ \forall \lambda\da \mathbb(R).

Chiziqli fazo aksiomalarining bajarilishi xuddi 8-banddagi kabi tasdiqlanadi. Shuning uchun V chiziqli fazoda aniqlangan chiziqli funksiyalar to‘plami chiziqli fazodir. Bu fazo V fazoga dual deyiladi va V^(\ast) bilan belgilanadi. Uning elementlari kovektorlar deb ataladi.

Masalan, vektor argumentining skalyar funksiyalari to'plami sifatida qaraladigan n o'zgaruvchining chiziqli shakllari to'plami \mathbb(R)^n fazoga dual chiziqli fazodir.

Agar xato, matn terish xatosi yoki takliflaringiz bo'lsa, izohlarda yozing.

Bunday vektor fazosiga mos keladi. Ba'zi mualliflar Evklid va Gilbertgacha bo'lgan fazoni tenglashtiradilar. Ushbu maqolada birinchi ta'rif dastlabki ta'rif sifatida qabul qilinadi.

N (\displaystyle n)-o'lchovli Evklid fazosi odatda belgilanadi E n (\displaystyle \mathbb (E) ^(n)); kontekstdan fazoning tabiiy Evklid tuzilishi bilan ta'minlanganligi aniq bo'lsa, yozuv ham tez-tez ishlatiladi.

Rasmiy ta'rif

Evklid fazosini aniqlash uchun nuqta mahsulotining asosiy tushunchasi sifatida qabul qilish oson. Evklid vektor fazosi - bu haqiqiy sonlar maydoni ustidagi chekli o'lchovli vektor fazosi bo'lib, ularning juft vektorlarida haqiqiy qiymatli funktsiya berilgan. (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot,\cdot),) quyidagi uchta xususiyatga ega:

Evklid fazosi misoli - koordinatali fazo R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),) haqiqiy sonlarning barcha mumkin bo'lgan to'plamlaridan iborat (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots,x_(n)),) formula bilan aniqlanadigan skalyar mahsulot (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n. (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Uzunlik va burchaklar

Evklid fazosida berilgan skalyar mahsulot uzunlik va burchakning geometrik tushunchalarini kiritish uchun yetarli. Vektor uzunligi u (\displaystyle u) sifatida belgilangan (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u)))) va belgilandi | u | . (\displaystyle |u|.) Ichki mahsulotning ijobiy aniqligi nolga teng bo'lmagan vektor uzunligi nolga teng bo'lmasligini kafolatlaydi va ikki chiziqlilikdan kelib chiqadi: | a u | = | a | | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,) ya'ni proportsional vektorlarning uzunliklari proportsionaldir.

Vektorlar orasidagi burchak u (\displaystyle u) va v (\displaystyle v) formula bilan aniqlanadi ph = arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|)}\o'ng).) Kosinus teoremasidan kelib chiqadiki, ikki o'lchovli Evklid fazosi uchun ( evklid tekisligi) burchakning bu ta'rifi odatdagiga to'g'ri keladi. Ortogonal vektorlar, uch o'lchovli fazoda bo'lgani kabi, vektorlar sifatida aniqlanishi mumkin, ularning orasidagi burchak teng. p 2 . (\ displaystyle (\ frac (\ pi ) (2)).)

Koshi-Bunyakovskiy-Shvars tengsizligi va uchburchak tengsizligi

Yuqorida berilgan burchak ta'rifida bitta bo'shliq qoldi: maqsadida arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\o‘ngda)) belgilangan edi, bu tengsizlik zarur | (x, y) | x | | y | | ≤ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.) Bu tengsizlik haqiqatan ham ixtiyoriy Evklid fazosida mavjud bo'lib, u Koshi-Bunyakovskiy-Shvars tengsizligi deb ataladi. Bu tengsizlik, o'z navbatida, uchburchak tengsizligini anglatadi: | u+v | ⩽ | u | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.) Uchburchak tengsizligi yuqorida sanab o‘tilgan uzunlik xossalari bilan birgalikda vektor uzunligi Evklid vektor fazosida norma ekanligini bildiradi va funktsiya d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|) Evklid fazosida metrik fazoning tuzilishini belgilaydi (bu funktsiya Evklid metrikasi deb ataladi). Xususan, elementlar orasidagi masofa (nuqta) x (\displaystyle x) va y (\displaystyle y) koordinata maydoni R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) formula bilan berilgan d (x , y) = ‖ x - y ‖ = ∑ i = 1 n (x i - y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n)) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Algebraik xossalari

Ortonormal asoslar

Ikki bo'shliq va operatorlar

Har qanday vektor x (\displaystyle x) Evklid fazosi chiziqli funksionallikni belgilaydi x ∗ (\displaystyle x^(*)) sifatida belgilangan ushbu bo'shliqda x ∗ (y) = (x , y) . (\ displaystyle x ^ (*) (y) = (x, y).) Bu taqqoslash Evklid fazosi va uning ikkilamchi fazosi o'rtasidagi izomorfizm bo'lib, ularni hisob-kitoblarni buzmasdan aniqlash imkonini beradi. Jumladan, qo'shilgan operatorlarni uning ikkilamchi bo'limida emas, balki asl bo'shliqda harakat qiluvchi deb hisoblash mumkin, o'z-o'zidan qo'shilish operatorlari esa ularning qo'shma operatorlari bilan mos keladigan operatorlar sifatida belgilanishi mumkin. Ortonormal asosda qo'shma operatorning matritsasi dastlabki operatorning matritsasiga ko'chiriladi va o'z-o'zidan qo'shilish operatorining matritsasi simmetrikdir.

Evklid fazo harakati

Evklid fazoviy harakatlari metrikani saqlaydigan o'zgarishlar (shuningdek, izometriyalar deb ataladi). Harakat namunasi - vektorga parallel tarjima v (\displaystyle v), bu fikrni tarjima qiladi p (\displaystyle p) aynan p+v (\displaystyle p+v). Har qanday harakat bir nuqtani barqaror ushlab turadigan parallel tarjima va transformatsiya kompozitsiyasi ekanligini tushunish oson. Boshlang'ich sifatida belgilangan nuqtani tanlab, har qanday bunday harakatni deb hisoblash mumkin

Ma’ruza 6. Vektor fazosi.

Asosiy savollar.

1. Vektorli chiziqli fazo.

2. Fazoning asosi va o'lchami.

3. Kosmosning orientatsiyasi.

4. Vektorning bazis nuqtai nazaridan parchalanishi.

5. Vektor koordinatalari.

1. Vektorli chiziqli fazo.

Chiziqli amallar aniqlangan har qanday tabiatdagi elementlardan iborat to'plam: ikkita elementni qo'shish va elementni songa ko'paytirish deyiladi. bo'shliqlar, va ularning elementlari vektorlar bu fazo va geometriyadagi vektor kattaliklar bilan bir xil tarzda belgilanadi: . Vektorlar bunday mavhum bo'shliqlar, qoida tariqasida, oddiy geometrik vektorlar bilan hech qanday umumiylikka ega emas. Mavhum fazolarning elementlari funksiyalar, sonlar tizimi, matritsalar va boshqalar va muayyan holatda oddiy vektorlar bo'lishi mumkin. Shuning uchun bunday bo'shliqlar deyiladi vektor bo'shliqlari .

Vektor bo'shliqlar, masalan, bilan belgilanadigan kollinear vektorlar to'plami V1 , koplanar vektorlar to'plami V2 , oddiy (real fazo) vektorlar to'plami V3 .

Ushbu alohida holat uchun vektor fazoning quyidagi ta'rifini berishimiz mumkin.

Ta'rif 1. Vektorlar to'plami deyiladi vektor maydoni, agar to'plamning har qanday vektorlarining chiziqli birikmasi ham ushbu to'plamning vektori bo'lsa. Vektorlarning o'zi deyiladi elementlar vektor maydoni.

Nazariy jihatdan ham, amaliy jihatdan ham vektor fazosining umumiy (mavhum) tushunchasi muhimroqdir.

Ta'rif 2. Kopgina R elementlar , unda har qanday ikkita element va yig'indisi aniqlanadi va har qanday element uchun https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20">deb ataladi. vektor(yoki chiziqli) bo'sh joy, va uning elementlari vektorlar, agar vektorlarni qo‘shish va vektorni songa ko‘paytirish amallari quyidagi shartlarni qanoatlantirsa ( aksiomalar) :

1) qo'shimcha almashinish, ya'ni.gif" width="184" height="25">;

3) shunday element (nol vektor) mavjudki, har qanday https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif uchun width="45" height="20">.gif" width= " 99"balandlik="27">;

5) har qanday vektor va har qanday l soni uchun tenglik bajariladi;

6) har qanday vektorlar va har qanday raqamlar uchun λ va µ tenglik amal qiladi https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> va har qanday raqamlar λ va µ adolatli ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20"> .

Vektor fazosini belgilaydigan aksiomalardan eng oddiyiga amal qiling oqibatlari :

1. Vektor fazoda faqat bitta nol - element - nol vektor mavjud.

2. Vektor fazoda har bir vektor yagona qarama-qarshi vektorga ega.

3. Har bir element uchun tenglik bajariladi.

4. Har qanday haqiqiy son uchun λ va nol vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" eni="145" balandligi="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> - tenglikni qanoatlantiruvchi vektor https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Demak, haqiqatdan ham barcha geometrik vektorlar to'plami ham chiziqli (vektor) fazodir, chunki bu to'plamning elementlari uchun formulalangan aksiomalarni qanoatlantiradigan songa qo'shish va ko'paytirish amallari aniqlanadi.

2. Fazoning asosi va o'lchami.

Vektor fazosining muhim tushunchalari asos va o'lchov tushunchalaridir.

Ta'rif. Fazoning har qanday vektori chiziqli ifodalanadigan ma'lum tartibda olingan chiziqli mustaqil vektorlar to'plami deyiladi. asos bu bo'shliq. Vektorlar. Asosni tashkil etuvchi bo'shliqlar deyiladi Asosiy .

Ixtiyoriy chiziqda joylashgan vektorlar to'plamining asosini ushbu chiziq vektoriga bitta kollinear deb hisoblash mumkin.

Samolyotda asos ma'lum tartibda olingan ushbu tekislikdagi ikkita kollinear bo'lmagan vektorni chaqiramiz https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24"> .

Agar bazis vektorlari juft perpendikulyar (ortogonal) bo'lsa, bazis deyiladi ortogonal, va agar bu vektorlarning uzunligi bir ga teng bo'lsa, unda bazis deyiladi ortonormal .

Kosmosdagi chiziqli mustaqil vektorlarning eng ko'p soni deyiladi o'lcham bu fazo, ya'ni fazoning o'lchami bu fazoning bazis vektorlari soniga to'g'ri keladi.

Shunday qilib, ushbu ta'riflarga ko'ra:

1. Bir o‘lchovli fazo V1 toʻgʻri chiziq boʻlib, asos dan iborat bitta kollinear vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src=">.

3. Oddiy fazo uch o'lchamli fazodir V3 , uning asosini tashkil etadi uchta mos kelmaydigan vektorlar.

Bu erdan ko'ramizki, to'g'ri chiziqdagi, tekislikdagi, real fazodagi bazis vektorlar soni odatda geometriyada to'g'ri chiziq, tekislik, fazoning o'lchamlari (o'lchami) soni deb ataladigan narsaga to'g'ri keladi. Shuning uchun umumiyroq ta'rifni kiritish tabiiydir.

Ta'rif. vektor maydoni R chaqirdi n- agar u eng ko'p bo'lsa, o'lchovli n chiziqli mustaqil vektorlar va belgilanadi R n. Raqam n chaqirdi o'lcham bo'sh joy.

Kosmosning o'lchamiga ko'ra bo'linadi chekli o'lchovli va cheksiz o'lchovli. Nol bo'shliqning o'lchami, ta'rifga ko'ra, nolga teng deb hisoblanadi.

Izoh 1. Har bir bo'shliqda siz xohlagancha ko'p bazani belgilashingiz mumkin, ammo bu bo'shliqning barcha asoslari bir xil miqdordagi vektorlardan iborat.

Izoh 2. DA n- o'lchovli vektor fazoda har qanday tartiblangan to'plam asos hisoblanadi n chiziqli mustaqil vektorlar.

3. Kosmosning orientatsiyasi.

Fazoda bazis vektorlari bo'lsin V3 bor umumiy boshlanish va buyurdi, ya'ni qaysi vektor birinchi, qaysi biri ikkinchi va qaysi biri uchinchi deb hisoblanishi ko'rsatilgan. Masalan, asosda vektorlar indeksatsiya bo'yicha tartiblanadi.

Uchun makonni yo'naltirish uchun qandaydir asosni belgilash va uni ijobiy deb e'lon qilish kerak .

Fazoning barcha asoslari to'plami ikki sinfga, ya'ni ikkita kesishmaydigan kichik to'plamga tushishini ko'rsatish mumkin.

a) bitta kichik to'plamga (sinfga) tegishli barcha asoslar mavjud xuddi shu orientatsiya (bir xil nomdagi asoslar);

b) tegishli bo'lgan har qanday ikkita asos har xil kichik to'plamlar (sinflar), ega qarama-qarshi orientatsiya, ( turli nomlar asoslar).

Agar fazo asoslarining ikkita sinfidan biri musbat, ikkinchisi manfiy deb e'lon qilinsa, bu fazoni aytamiz. yo'naltirilgan .

Ko'pincha, makonni yo'naltirishda ba'zi bazalar chaqiriladi to'g'ri, boshqalar esa so'lchilar .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> chaqirildi to'g'ri, agar uchinchi vektorning oxiridan kuzatilganda, birinchi vektorning eng qisqa aylanishi https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23"> amalga oshiriladi soat miliga teskari(1.8-rasm, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Guruch. 1.8. O'ng asos (a) va chap asos (b)

Odatda, makonning to'g'ri asosi ijobiy asos deb e'lon qilinadi

Bo'shliqning o'ng (chap) asosini "o'ng" ("chap") vint yoki gimlet qoidasi yordamida ham aniqlash mumkin.

Bunga o'xshab, o'ng va chap tushunchasi uchlik buyurtma qilinishi kerak bo'lgan to'ldiruvchi bo'lmagan vektorlar (1.8-rasm).

Shunday qilib, umumiy holatda, koplanar bo'lmagan vektorlarning ikkita tartibli uchligi fazoda bir xil yo'nalishga ega (bir xil nomga ega). V3 agar ular ikkalasi ham o'ngda yoki ikkalasi ham chapda bo'lsa va - qarama-qarshi yo'nalish (qarama-qarshi), agar ulardan biri o'ng, ikkinchisi chap bo'lsa.

Xuddi shu narsa kosmosda ham amalga oshiriladi V2 (samolyotlar).

4. Vektorning bazis nuqtai nazaridan parchalanishi.

Fikrlashning soddaligi uchun biz bu savolni uch o'lchovli vektor fazosi misolida ko'rib chiqamiz R3 .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> bu fazoning ixtiyoriy vektori bo'lsin.