Ta'rif 1. Silindrsimon sirt parallel chiziqlar hosil qilgan sirt deb ataladi, uning deyiladi hosil qiluvchi .

Agar barcha hosil qiluvchi silindrsimon sirtlarni kesib o'tuvchi har qanday tekislik uni chiziq bo'ylab kesib o'tsa R, keyin bu chiziq chaqiriladi hidoyat bu silindrsimon sirt.

Teorema . Agar fazoda Dekart koordinata tizimi va tekislikda tenglama kiritilsa hoy qandaydir chiziq tenglamasidir R, u holda fazodagi bu tenglama silindrsimon yuzaning tenglamasidir L hidoyat chizig'i bilan R, va generatorlar o'qga parallel Oz(3.19-rasm, a).

Isbot. Nuqta
silindrsimon yuzada yotadi L agar va faqat proyeksiya bo'lsa
ball M samolyotga hoy o'qiga parallel Oz chiziqda yotadi R, ya'ni. agar va faqat tenglama bo'lsa
.

Xuddi shunday xulosalar shakl tenglamalari uchun ham amal qiladi
(3.19-rasm, b) va
(3.19-rasm, c).

Ta'rif 2 . Qo'llanmalari ikkinchi tartibli chiziqlar bo'lgan silindrsimon sirtlar deyiladi ikkinchi tartibli silindrsimon yuzalar .

Ikkinchi tartibli tsilindrlarning uch turi mavjud: elliptik (3.20-rasm)

, (5.42)

giperbolik (3.21-rasm)

, (5.43)

parabolik (3.22-rasm)

. (5.44)

Guruch. 3.20-rasm. 3.21-rasm. 3.22

(5.42), (5.43) va (5.44) tenglamalar bilan berilgan silindrlar uchun yo'naltiruvchi chiziqlar mos ravishda ellipsdir.

,

giperbola

,

parabola

,

va generatorlar o'qga parallel Oz.

Izoh. Ko‘rib turganimizdek, ikkinchi tartibli konussimon va silindrsimon yuzalar to‘g‘ri chiziqli generatorlarga ega bo‘lib, bu sirtlarning har biri to‘g‘ri chiziqning fazodagi harakatidan hosil bo‘lishi mumkin.

Ma'lum bo'lishicha, silindr va konusdan tashqari ikkinchi tartibdagi barcha sirtlar orasida bir varaqli giperboloid va giperbolik paraboloid ham to'g'ri chiziqli generatorlarga ega va xuddi silindr va konusda bo'lgani kabi, ikkalasi ham bu sirtlar kosmosda to'g'ri chiziq harakati bilan hosil bo'lishi mumkin (qarang. rasm. maxsus adabiyot).

§4. Ikkinchi tartibli sirtning umumiy tenglamasini kanonik shaklga keltirish

Ikkinchi tartibli sirtning umumiy tenglamasida

a) kvadratik shakl

qayerda
;

b) chiziqli shakl

qayerda
;

c) bepul a'zo .

(5.45) tenglamani kanonik ko'rinishga keltirish uchun, birinchi navbatda, bunday koordinatani o'zgartirishni amalga oshirish kerak.
, va, demak, bog'liq ortonormal asos
, bu kvadrat shaklni (5.46) kanonik shaklga aylantiradi (qarang: kn.2, ch.8, §3, 3.1-band).

Ushbu kvadrat shaklning matritsasi shaklga ega

,

qayerda, ya'ni. matritsa LEKIN- simmetrik. tomonidan belgilang
o'z raqamlari va orqali
matritsaning xos vektorlaridan tashkil topgan ortonormal asos LEKIN. Bo'lsin

–

bazisdan o'tish matritsasi
asosga
, a
bu asos bilan bog'liq yangi koordinatalar tizimidir.

Keyin, koordinatalarni o'zgartirganda

(5.48)

kvadratik shakl (5.46) kanonik shaklni oladi

qayerda
.

Endi (5.48) koordinatani chiziqli ko'rinishga (5.47) qo'llasak, biz hosil bo'lamiz.

qayerda
,
yangi shakl koeffitsientlari (5.47).

Shunday qilib, (5.45) tenglama shaklni oladi

+.

Ushbu tenglamani formulalar bo'yicha koordinatalar tizimining parallel tarjimasi orqali kanonik shaklga keltirish mumkin.

yoki (5.49)

Parallel ko'chirish (5.49) orqali koordinatalar tizimini o'zgartirishni amalga oshirgandan so'ng, Dekart koordinata tizimiga nisbatan umumiy ikkinchi tartibli sirt tenglamasi (5.45)
quyidagi o'n etti sirtdan birini ifodalaydi:

1) ellipsoid

2) xayoliy ellipsoid

3) bir varaqli giperboloid

4) ikki varaqli giperboloid

5) konus

6) xayoliy konus

7) elliptik paraboloid

8) giperbolik paraboloid

9) elliptik silindr

10) xayoliy elliptik silindr

11) ikkita xayoliy kesishuvchi tekislik

12) giperbolik silindr

13) ikkita kesishuvchi tekislik

14) parabolik silindr

15) ikkita parallel tekislik

16) ikkita xayoliy parallel tekislik

17) bir-biriga mos keladigan ikkita tekislik

Misol. Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimiga nisbatan ko'rsatilgan sirtning turi va joyini aniqlang
va tegishli ortonormal asos
tenglama

Kvadrat shaklni beramiz

(5.51)

kanonik shaklga. Ushbu shaklning matritsasi shaklga ega

.

Keling, ushbu matritsaning xos qiymatlarini xarakteristik tenglamadan aniqlaymiz

Bu yerdan  1 = 2,  2 = 0,  3 = 3.

Endi matritsaning xos vektorlarini topamiz LEKIN: 1) ruxsat bering
, keyin tenglamadan
yoki koordinatali shaklda

qayerdan toping
har qanday raqam va shuning uchun
, a
. Kollinear vektorlarning butun to'plamidan vektorni tanlang
, kimning moduli
, ya'ni. vektorni normallashtirish .

2) uchun
bizda ... bor

.

Bu yerdan
, qayerda
- har qanday raqam. Keyin
, a
. Vektorni normallashtirish , biz birlik vektorini topamiz :

,

qayerda
.

3)
, keyin komponent uchun
vektor tizimimiz bor

Qayerda, qayerda
har qanday raqam va shuning uchun
, a
. Vektorni normallashtirish , biz birlik vektorini topamiz vektor tomonidan berilgan yo'nalish uchun :

qayerda
.

Endi ortonormal asosdan o'tamiz
ortonormal asosga
, matritsaning xos vektorlaridan tashkil topgan LEKIN va oxirgi asos bilan yangi Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimini bog'lang
. Bunday transformatsiya uchun o'tish matritsasi shaklga ega

,

va koordinatalar formulalar orqali o'zgartiriladi

(5.52)

Ushbu koordinatani o'zgartirishni kvadrat shaklga (5.51) qo'llasak, uni kanonik shaklga keltiramiz.

, qayerda
.

Keling, chiziqli formula qanday shaklga ega ekanligini aniqlaylik

, qayerda
,

agar koordinatalar (5.52) formulalar bilan o'zgartirilsa. Bizda ... bor

Shunday qilib, agar koordinatalar tizimi
(5.52) formulalar bo'yicha, so'ngra yangi koordinatalar tizimiga nisbatan o'zgartiring
ikkinchi tartibli ko'rib chiqilayotgan sirt tenglama bilan berilgan

(5.53) tenglama formulalar bo'yicha koordinatalar tizimini parallel o'tkazish yo'li bilan kanonik ko'rinishga keltiriladi.

shundan so'ng, koordinatalar tizimiga nisbatan sirt tenglamasi
shaklni oladi

yoki

Bu tenglama yo'naltiruvchi ellipsi koordinata tekisligida joylashgan elliptik silindrni ifodalaydi.
, va hosil qiluvchi chiziqlar o'qga parallel

Izoh. Ushbu bo'limda keltirilgan ikkinchi tartibli sirtning umumiy tenglamasini kanonik shaklga keltirish sxemasi ikkinchi tartibli egri chiziqning umumiy tenglamasini kanonik shaklga qisqartirish uchun ham qo'llanilishi mumkin.

Farqi shundaki, "tekis" grafikalar o'rniga biz eng keng tarqalgan fazoviy yuzalarni ko'rib chiqamiz, shuningdek ularni qo'lda qanday qilib to'g'ri qurishni o'rganamiz. Men ancha vaqtdan beri 3D chizmalarini yaratish uchun dasturiy vositalarni izlayapman va bir nechta yaxshi ilovalarni topdim, ammo foydalanish qulayligiga qaramay, bu dasturlar muhim amaliy masalani yaxshi hal qila olmaydi. Gap shundaki, yaqin tarixiy kelajakda talabalar qalamli chizg'ich bilan qurollangan bo'lishadi va hatto yuqori sifatli "mashina" rasmiga ega bo'lishsa ham, ko'pchilik uni katak qog'ozga to'g'ri o'tkaza olmaydi. Shuning uchun o'quv qo'llanmasida qo'lda qurilish texnikasiga alohida e'tibor beriladi va sahifadagi rasmlarning muhim qismi qo'lda tayyorlangan mahsulotdir.

Ushbu ma'lumotnoma materiali analoglardan nimasi bilan farq qiladi?

Tegishli amaliy tajribaga ega bo'lganim sababli, men oliy matematikaning haqiqiy muammolarida qaysi sirtlar ko'pincha ko'rib chiqilishini juda yaxshi bilaman va umid qilamanki, ushbu maqola sizning yukingizni tegishli bilim va amaliy ko'nikmalar bilan tezda to'ldirishga yordam beradi, bu 90-95% hollarda. yetarli bo‘lishi kerak.

Hozir nimani bilishingiz kerak?

Eng oddiy:

Birinchidan, siz qodir bo'lishingiz kerak to'g'ri qurish fazoviy dekart koordinatalar tizimi (maqolaning boshiga qarang Funksiyalarning grafiklari va xossalari) .

Ushbu maqolani o'qib chiqqandan keyin nimaga erishasiz?

Shisha Dars materiallarini o'zlashtirgandan so'ng, siz uning funksiyasi va / yoki tenglamasi bo'yicha sirt turini tezda qanday aniqlashni, uning kosmosda qanday joylashganligini tasavvur qilishni va, albatta, chizmalarni yaratishni o'rganasiz. Agar birinchi o'qishdan boshlab hamma narsa sizning boshingizga to'g'ri kelmasa, yaxshi - keyinroq kerak bo'lganda istalgan xatboshiga qaytishingiz mumkin.

Axborot har kimning qo'lida - uni rivojlantirish uchun sizga hech qanday super bilim, maxsus badiiy iste'dod va fazoviy qarash kerak emas.

Boshlash!

Amalda, odatda, fazoviy sirt beriladi ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi yoki shaklning tenglamasi (o'ng tomonning doimiysi ko'pincha nolga yoki birga teng). Birinchi belgi ko'proq matematik tahlil uchun, ikkinchisi - uchun analitik geometriya. Tenglama, mohiyatan shunday bilvosita berilgan 2 o'zgaruvchining funksiyasi, bu odatda holatlarda osongina shaklga tushirilishi mumkin. Sizga eng oddiy misolni eslataman c:

–tekislik tenglamasi mehribon.

dagi tekislik funksiyasi aniq .

Undan boshlaylik:

Umumiy tekislik tenglamalari

To'rtburchaklar koordinatalar tizimida tekisliklarni joylashtirishning odatiy variantlari maqolaning boshida batafsil ko'rib chiqiladi. Tekislik tenglamasi. Shunga qaramay, amaliyot uchun katta ahamiyatga ega bo'lgan tenglamalarga yana bir bor to'xtalib o'tamiz.

Avvalo, siz koordinata tekisliklariga parallel bo'lgan tekisliklarning tenglamalarini to'liq tan olishingiz kerak. Samolyotlarning bo'laklari odatda to'rtburchaklar shaklida tasvirlangan, ular oxirgi ikki holatda parallelogrammga o'xshaydi. Odatiy bo'lib, siz har qanday o'lchamlarni tanlashingiz mumkin (albatta, oqilona chegaralar ichida), shu bilan birga koordinata o'qi tekislikni "teshadigan" nuqta simmetriya markazi bo'lishi maqsadga muvofiqdir:


To'g'ri aytganda, ba'zi joylarda koordinata o'qlari nuqta chiziq bilan tasvirlangan bo'lishi kerak edi, ammo chalkashmaslik uchun biz bu nuanceni e'tiborsiz qoldiramiz.

– (chapda chizilgan) tengsizlik bizdan eng uzoqda joylashgan yarim bo'shliqni aniqlaydi, tekislikning o'zi bundan mustasno;

– (o'rta chizma) tengsizlik o'ng yarim bo'shliqni, shu jumladan tekislikni belgilaydi;

– (o'ng rasm) er-xotin tengsizlik tekisliklar o'rtasida joylashgan "qatlam" ni belgilaydi, shu jumladan ikkala tekislik ham.

O'z-o'zini mashq qilish uchun:

1-misol

Samolyotlar bilan chegaralangan jismni chizing
Berilgan jismni aniqlovchi tengsizliklar sistemasini tuzing.

Qalamingiz ostidan eski tanishingiz chiqishi kerak kubsimon. Ko'rinmas qirralar va yuzlar nuqta chiziq bilan chizilgan bo'lishi kerakligini unutmang. Dars oxirida rasm chizish tugallandi.

Arzimaydi, E'tiborsiz qoldirmang o'rganish vazifalari, garchi ular juda oddiy ko'rinsa ham. Aks holda, ular buni bir marta o'tkazib yuborganlari, ikki marta o'tkazib yuborganlari va keyin bir soat davomida uch o'lchamli rasmni biron bir haqiqiy misolda silliqlashlari mumkin. Bundan tashqari, mexanik ish materialni yanada samarali o'rganishga va aqlni rivojlantirishga yordam beradi! Bolalar bog'chasi va boshlang'ich maktabda bolalarga barmoqlarning nozik motorli ko'nikmalarini rivojlantirish uchun rasm chizish, modellashtirish, dizaynerlar va boshqa vazifalar yuklanganligi bejiz emas. Chekishni kechiring, lekin mening rivojlanish psixologiyasi bo'yicha ikkita daftarim yo'qolmasligi kerak =)

Quyidagi samolyotlar guruhini shartli ravishda "to'g'ridan-to'g'ri nisbatlar" deb ataymiz - bular koordinata o'qlaridan o'tadigan tekisliklar:

2) shaklning tenglamasi o'qdan o'tadigan tekislikni aniqlaydi;

3) shaklning tenglamasi o'qdan o'tadigan tekislikni aniqlaydi.

Rasmiy belgi aniq bo'lsa-da (qaysi o'zgaruvchi tenglamada yo'q - tekislik shu o'qdan o'tadi), sodir bo'layotgan voqealarning mohiyatini tushunish har doim foydalidir:

2-misol

Samolyot qurish

Qurilishning eng yaxshi usuli qanday? Men quyidagi algoritmni taklif qilaman:

Birinchidan, biz tenglamani shaklda qayta yozamiz, undan "y" olishi mumkinligi aniq ko'rinadi. har qanday qiymatlar. Biz qiymatni tuzatamiz , ya'ni koordinata tekisligini ko'rib chiqamiz. Tenglamalar to'plami fazoviy chiziq berilgan koordinata tekisligida yotgan. Keling, ushbu chiziqni chizmaga chizamiz. Chiziq koordinatadan o'tadi, shuning uchun uni qurish uchun bitta nuqtani topish kifoya. Bo'lsin. Bir nuqtani chetga surib qo'ying va chiziq torting.

Endi tekislik tenglamasiga qayting. Chunki "y" oladi har qanday qiymatlar, keyin tekislikda qurilgan to'g'ri chiziq doimiy ravishda chapga va o'ngga "takrorlanadi". Bizning samolyotimiz o'qdan o'tib, shunday shakllanadi. Chizishni yakunlash uchun to'g'ri chiziqning chap va o'ng tomonida ikkita parallel chiziqni ajratib qo'yamiz va ko'ndalang gorizontal segmentlar bilan ramziy parallelogrammani "yopamiz":

Vaziyat qo'shimcha cheklovlar qo'ymaganligi sababli, samolyotning bo'lagi biroz kichikroq yoki biroz kattaroq tasvirlangan bo'lishi mumkin edi.

Yana bir bor, biz misol yordamida fazoviy chiziqli tengsizlikning ma'nosini takrorlaymiz. U belgilaydigan yarim bo'shliqni qanday aniqlash mumkin? Keling, bir nuqtani olaylik egalik qilmaydi tekislik, masalan, bizga eng yaqin yarim fazodan nuqta va uning koordinatalarini tengsizlikka almashtiring:

Qabul qildi to'g'ri tengsizlik, ya'ni tengsizlik pastki (tekislikka nisbatan) yarim bo'shliqni belgilaydi, tekislikning o'zi esa yechimga kiritilmagan.

3-misol

Samolyotlarni qurish
a) ;
b) .

Bu o'z-o'zini qurish uchun vazifalar, agar qiyinchilik bo'lsa, shunga o'xshash mulohazalardan foydalaning. Dars oxirida qisqacha ko'rsatmalar va chizmalar.

Amalda, ayniqsa, o'qga parallel bo'lgan tekisliklar keng tarqalgan. Samolyot o'qdan o'tganda, "b" bandida alohida holat bo'lgan va endi biz umumiy muammoni tahlil qilamiz:

4-misol

Samolyot qurish

Qaror: "z" o'zgaruvchisi tenglamada aniq ishtirok etmaydi, ya'ni tekislik qo'llaniladigan o'qga parallel. Keling, oldingi misollardagi kabi texnikadan foydalanamiz.

Tekis tenglamani ko'rinishda qayta yozamiz shundan "Z" olishi aniq har qanday qiymatlar. Keling, uni tuzatamiz va "mahalliy" tekislikda odatiy "tekis" to'g'ri chiziqni chizamiz. Uni qurish uchun mos yozuvlar nuqtalarini olish qulay.

Chunki "Z" oladi hammasi qiymatlar, keyin qurilgan to'g'ri chiziq doimiy ravishda yuqoriga va pastga "ko'payadi" va shu bilan kerakli tekislikni hosil qiladi. . Ehtiyotkorlik bilan oqilona o'lchamdagi parallelogramma chizing:

Tayyor.

Segmentlardagi tekislik tenglamasi

Eng muhim qo'llaniladigan nav. Agar a hammasi imkoniyatlar tekislikning umumiy tenglamasi noldan farq qiladi, keyin u sifatida ifodalanishi mumkin , deb ataladi segmentlardagi tekislik tenglamasi. Shubhasiz, tekislik koordinata o'qlarini nuqtalarda kesib o'tadi va bunday tenglamaning katta afzalligi - chizishning qulayligi:

5-misol

Samolyot qurish

Qaror: birinchidan, tekislik tenglamasini segmentlarda tuzamiz. Erkin atamani o'ngga tashlang va ikkala qismni 12 ga bo'ling:

Yo'q, bu xato emas va hamma narsa kosmosda sodir bo'ladi! Biz taklif qilingan sirtni yaqinda samolyotlar uchun ishlatilgan bir xil usul bilan tekshiramiz. Biz tenglamani shaklda qayta yozamiz , shundan kelib chiqadiki, "Z" oladi har qanday qiymatlar. Biz tekislikda ellipsni tuzatamiz va quramiz. Chunki "Z" oladi hammasi qiymatlar, keyin tuzilgan ellips doimiy ravishda yuqoriga va pastga "takrorlanadi". Bu sirt ekanligini tushunish oson cheksiz:

Bu sirt deyiladi elliptik silindr. Ellips (har qanday balandlikda) deyiladi hidoyat silindr va ellipsning har bir nuqtasidan o'tadigan parallel chiziqlar deyiladi hosil qiluvchi silindr (uni tom ma'noda tashkil qiladi). eksa hisoblanadi simmetriya o'qi sirt (lekin uning bir qismi emas!).

Berilgan sirtga tegishli har qanday nuqtaning koordinatalari, albatta, tenglamani qanoatlantiradi .

Fazoviy tengsizlik silindrsimon sirtning o'zini o'z ichiga olgan cheksiz "quvur" ning "ichki" ni belgilaydi va shunga mos ravishda qarama-qarshi tengsizlik silindrdan tashqaridagi nuqtalar to'plamini belgilaydi.

Amaliy masalalarda eng mashhur holat qachondir hidoyat silindr hisoblanadi doira:

8-misol

Tenglama bilan berilgan sirtni tuzing

Cheksiz "quvur" ni tasvirlab bo'lmaydi, shuning uchun san'at, qoida tariqasida, "kesish" bilan cheklangan.

Birinchidan, tekislikda radius doirasini, keyin esa yuqorida va pastda yana bir nechta doira qurish qulay. Olingan doiralar ( yo'riqnomalar silindr) to'rtta parallel to'g'ri chiziq bilan aniq bog'langan ( hosil qiluvchi silindr):

Ko'rinmas chiziqlar uchun nuqtali chiziqlardan foydalanishni unutmang.

Berilgan silindrga tegishli har qanday nuqtaning koordinatalari tenglamani qanoatlantiradi . To'liq "quvur" ichida joylashgan har qanday nuqtaning koordinatalari tengsizlikni qondiradi. , va tengsizlik tashqi qismning nuqtalari to'plamini belgilaydi. Yaxshiroq tushunish uchun men kosmosdagi bir nechta aniq fikrlarni ko'rib chiqishni va o'zingiz ko'rishni tavsiya qilaman.

9-misol

Sirtni tuzing va uning tekislikka proyeksiyasini toping

Biz tenglamani shaklda qayta yozamiz shundan kelib chiqadiki, "x" olinadi har qanday qiymatlar. Keling, tekislikda tuzatamiz va chizamiz doira– boshlang‘ichda markazlashtirilgan, birlik radiusi. Chunki "x" doimiy ravishda oladi hammasi qiymatlar, keyin qurilgan doira simmetriya o'qi bilan dairesel silindr hosil qiladi. Boshqa doira chizing hidoyat silindr) va ularni to'g'ri chiziqlar bilan ehtiyotkorlik bilan ulang ( hosil qiluvchi silindr). Ba'zi joylarda qoplamalar paydo bo'ldi, ammo nima qilish kerak, bunday qiyalik:

Bu safar men o'zimni bo'shliqda silindrning bir bo'lagi bilan cheklab qo'ydim va bu tasodifiy emas. Amalda, ko'pincha sirtning faqat kichik bir qismini tasvirlash kerak.

Aytgancha, bu erda 6 ta generatris paydo bo'ldi - ikkita qo'shimcha to'g'ri chiziq sirtni yuqori chap va pastki o'ng burchaklardan "yopishadi".

Endi silindrning tekislikka proyeksiyasi bilan shug'ullanamiz. Ko'pgina o'quvchilar proektsiya nima ekanligini tushunishadi, ammo shunga qaramay, keling, yana besh daqiqa jismoniy tarbiya bilan shug'ullanamiz. Iltimos, o'qning uchi peshonangizga perpendikulyar ko'rinishi uchun o'rningizdan turing va boshingizni chizilgan ustiga egib qo'ying. Tsilindrning bu burchakdan ko'rinishi uning tekislikka proyeksiyasidir. Ammo bu to'g'ri chiziqlar, jumladan, to'g'ri chiziqlar orasiga o'ralgan cheksiz chiziq kabi ko'rinadi. Bu prognoz aynan domen funktsiyalari (tsilindrning yuqori "trubkasi"), (pastki "truba").

Aytgancha, keling, boshqa koordinata tekisliklariga proyeksiyalar bilan bog'liq vaziyatga aniqlik kiritaylik. Quyosh nurlari silindrga uchi tomondan va eksa bo'ylab porlasin. Silindrning tekislikka soyasi (proyeksiyasi) xuddi shunday cheksiz chiziq - tekislikning to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan qismi ( - har qanday), shu jumladan to'g'ri chiziqlarning o'zi.

Ammo samolyotdagi proektsiya biroz boshqacha. Agar siz silindrga o'qning uchidan qarasangiz, u birlik radiusi doirasiga proyeksiyalanadi. u bilan qurilishni boshladik.

10-misol

Sirtni tuzing va uning koordinata tekisliklaridagi proyeksiyalarini toping

Bu mustaqil qaror qabul qilish vazifasi. Agar shart juda aniq bo'lmasa, ikkala tomonni kvadratga aylantiring va natijani tahlil qiling; funktsiya silindrning qaysi qismini aniq belgilashini aniqlang. Yuqorida qayta-qayta qo'llanilgan qurilish texnikasidan foydalaning. Dars oxirida qisqacha yechim, chizma va sharhlar.

Elliptik va boshqa silindrsimon yuzalar koordinata o'qlariga nisbatan siljishi mumkin, masalan:

(haqidagi maqolaning tanish asoslarida 2-tartibdagi qatorlar) - o'qga parallel nuqtadan o'tadigan simmetriya chizig'i bilan birlik radiuli silindr. Biroq, amalda bunday tsilindrlar juda kam uchraydi va koordinata o'qlariga nisbatan "qiyshiq" silindrsimon sirtni uchratish mutlaqo aql bovar qilmaydi.

Parabolik tsilindrlar

Nomidan ko'rinib turibdiki, hidoyat shunday silindr parabola.

11-misol

Sirtni tuzing va uning koordinata tekisliklaridagi proyeksiyalarini toping.

Bu misolga qarshi tura olmadim =)

Qaror: Biz kaltaklangan yo'ldan boramiz. Keling, tenglamani shaklda qayta yozamiz, shundan kelib chiqadiki, "Z" har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin. Oldin arzimas mos yozuvlar nuqtalarini belgilab, tekislikda oddiy parabolani tuzatamiz va quramiz. Chunki "Z" oladi hammasi qiymatlar, keyin tuzilgan parabola doimiy ravishda yuqoriga va pastga cheksiz "takrorlanadi". Biz bir xil parabolani, aytaylik, balandlikda (tekislikda) chetga surib qo'yamiz va ularni ehtiyotkorlik bilan parallel chiziqlar bilan bog'laymiz ( silindr generatorlari):

eslataman foydali texnika: agar dastlab chizilgan sifatiga ishonch bo'lmasa, unda avval chiziqlarni qalam bilan ingichka va ingichka qilib chizish yaxshiroqdir. Keyin biz eskizning sifatini baholaymiz, sirt ko'zimizdan yashiringan joylarni aniqlaymiz va shundan keyingina stilusga bosim o'tkazamiz.

Prognozlar.

1) Silindrning tekislikka proyeksiyasi paraboladir. Shuni ta'kidlash kerakki, bu holatda bu haqda gapirish mumkin emas ikki oʻzgaruvchili funksiyaning sohalari- silindr tenglamasi funksional shaklga qaytarilmasligi sababli.

2) Silindrning tekislikka proyeksiyasi yarim tekislik, shu jumladan o'q

3) Va nihoyat, silindrning tekislikka proyeksiyasi butun tekislikdir.

12-misol

Parabolik tsilindrlarni tuzing:

a) , yaqin yarim fazoda sirtning bir bo'lagi bilan cheklanamiz;

b) oraliqda

Qiyinchiliklar bo'lsa, biz shoshilmaymiz va oldingi misollarga o'xshab bahslashamiz, xayriyatki, texnologiya yaxshilab ishlab chiqilgan. Agar yuzalar biroz noqulay bo'lib chiqsa, bu muhim emas - asosiy rasmni to'g'ri ko'rsatish muhimdir. Men o'zimni chiziqlarning go'zalligi bilan bezovta qilmayman, agar chidab bo'lmas "C gradus" chizmasini olsam, odatda buni takrorlamayman. Namunaviy yechimda, aytmoqchi, chizma sifatini yaxshilash uchun yana bir usul ishlatilgan ;-)

Giperbolik silindrlar

yo'riqnomalar bunday silindrlar giperbolalardir. Mening kuzatishlarimga ko'ra, bu turdagi sirt oldingi turlarga qaraganda ancha kam uchraydi, shuning uchun men o'zimni giperbolik silindrning bitta sxematik chizmasi bilan cheklayman:

Bu erda fikr yuritish printsipi aynan bir xil - odatiy maktab giperbolasi tekislikdan doimiy ravishda yuqoriga va pastga cheksiz "ko'payadi".

Ko'rib chiqilgan silindrlar deb ataladigan narsalarga tegishli 2-tartibdagi yuzalar, va endi biz ushbu guruhning boshqa vakillari bilan tanishishni davom ettiramiz:

Ellipsoid. Sfera va to'p

To'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi ellipsoidning kanonik tenglamasi shaklga ega , musbat raqamlar qayerda ( aks vallari ellipsoid), bu umumiy holatda boshqacha. Ellipsoid deyiladi sirt, va tanasi bu sirt bilan chegaralangan. Tana, ko'pchilik taxmin qilganidek, tengsizlik bilan berilgan va har qanday ichki nuqtaning koordinatalari (shuningdek, har qanday sirt nuqtasi) bu tengsizlikni majburiy ravishda qondiradi. Dizayn koordinata o'qlari va koordinata tekisliklariga nisbatan nosimmetrikdir:

"Elipsoid" atamasining kelib chiqishi ham aniq: agar sirt koordinata tekisliklari bilan "kesilgan" bo'lsa, u holda bo'limlarda uch xil (umumiy holatda) bo'ladi.

2-tartibli sirtlar bilan talaba birinchi yilda tez-tez uchrashadi. Avvaliga ushbu mavzu bo'yicha topshiriqlar oddiy bo'lib tuyulishi mumkin, ammo siz oliy matematikani o'rganib, ilmiy tomonga chuqurroq kirib borsangiz, nihoyat sodir bo'layotgan voqealarga yo'naltirishni to'xtatishingiz mumkin. Buning oldini olish uchun nafaqat eslab qolish, balki u yoki bu sirt qanday olinganligini, koeffitsientlarning o'zgarishi unga qanday ta'sir qilishini va uning dastlabki koordinata tizimiga nisbatan joylashishini va yangi tizimni qanday topishni tushunish kerak. (uning markazi boshlang'ich koordinatalariga to'g'ri keladi, lekin koordinata o'qlaridan biriga parallel). Eng boshidan boshlaylik.

Ta'rif

2-tartibdagi sirt GMT bo'lib, uning koordinatalari quyidagi shakldagi umumiy tenglamani qanoatlantiradi:

Ko'rinib turibdiki, sirtga tegishli bo'lgan har bir nuqta biron bir belgilangan asosda uchta koordinataga ega bo'lishi kerak. Garchi ba'zi hollarda nuqtalarning joylashishi, masalan, tekislikka tushishi mumkin. Bu faqat koordinatalardan biri doimiy va barcha ruxsat etilgan qiymatlar oralig'ida nolga teng ekanligini anglatadi.

Yuqorida aytib o'tilgan tenglikning to'liq bo'yalgan shakli quyidagicha ko'rinadi:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm - ba'zi konstantalar, x, y, z - biron bir nuqtaning affin koordinatalariga mos keladigan o'zgaruvchilar. Bunday holda, doimiy omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lmasligi kerak, ya'ni tenglamaga hech qanday nuqta mos kelmaydi.

Ko'pgina misollarda ko'pgina raqamli omillar hali ham nolga teng va tenglama juda soddalashtirilgan. Amalda nuqtaning sirtga tegishli ekanligini aniqlash qiyin emas (tenglamaga uning koordinatalarini qo'yish va o'ziga xoslik kuzatilganligini tekshirish kifoya). Bunday ishdagi asosiy nuqta ikkinchisini kanonik shaklga qisqartirishdir.

Yuqorida yozilgan tenglama 2-tartibdagi har qanday (quyida sanab o'tilgan) sirtlarni belgilaydi. Quyida misollarni ko'rib chiqamiz.

2-tartibdagi sirtlarning turlari

Ikkinchi tartibli sirtlarning tenglamalari faqat A nm koeffitsientlari qiymatlarida farqlanadi. Umumiy nuqtai nazardan, doimiylarning ma'lum qiymatlari uchun turli sirtlarni olish mumkin, ular quyidagicha tasniflanadi:

1. Silindrlar.
2. Elliptik turi.
3. giperbolik turi.
4. Konus turi.
5. parabolik turi.
6. Samolyotlar.

Ro'yxatga olingan turlarning har biri tabiiy va xayoliy shaklga ega: xayoliy shaklda haqiqiy nuqtalarning joylashuvi oddiyroq shaklga aylanadi yoki umuman yo'q.

silindrlar

Bu eng oddiy tur, chunki nisbatan murakkab egri chiziq faqat asosda yotadi va yo'riqnoma vazifasini bajaradi. Generatorlar - bu asos yotadigan tekislikka perpendikulyar to'g'ri chiziqlar.

Grafikda dumaloq silindr, elliptik silindrning maxsus holati ko'rsatilgan. XY tekisligida uning proyeksiyasi ellips (bizning holimizda aylana) - yo'naltiruvchi, XZda esa - to'rtburchak bo'ladi - generatorlar Z o'qiga parallel bo'lgani uchun uni umumiy tenglamadan olish uchun sizga kerak bo'ladi. koeffitsientlarga quyidagi qiymatlarni bering:

Odatiy belgilar o'rniga seriya raqami bilan x, y, z, x ishlatiladi - bu muhim emas.

Aslida, 1/a 2 va bu erda ko'rsatilgan boshqa konstantalar umumiy tenglamada ko'rsatilgan bir xil koeffitsientlardir, ammo ularni bu shaklda yozish odatiy holdir - bu kanonik tasvirdir. Keyinchalik, faqat shunday belgi qo'llaniladi.

Giperbolik silindr shunday aniqlanadi. Sxema bir xil - giperbola qo'llanma bo'ladi.

Parabolik silindr biroz boshqacha tarzda aniqlanadi: uning kanonik shakli parametr deb ataladigan p koeffitsientini o'z ichiga oladi. Aslida, koeffitsient q=2p ga teng, lekin uni taqdim etilgan ikkita omilga bo'lish odatiy holdir.

Tsilindrning yana bir turi mavjud: xayoliy. Bunday tsilindrga hech qanday haqiqiy nuqta tegishli emas. U elliptik silindrning tenglamasi bilan tavsiflanadi, lekin birlik o'rniga -1 ga teng.

Elliptik turi

Ellipsoidni o'qlardan biri bo'ylab cho'zish mumkin (bu yuqorida ko'rsatilgan a, b, c konstantalarining qiymatlariga bog'liq; kattaroq koeffitsient kattaroq o'qga to'g'ri kelishi aniq).

Xayoliy ellipsoid ham mavjud - agar koordinatalar yig'indisi koeffitsientlarga ko'paytirilsa -1:

Giperboloidlar

Konstantalardan birida minus paydo bo'lganda, ellipsoid tenglama bir varaqli giperboloid tenglamasiga aylanadi. Shuni tushunish kerakki, bu minus x 3 koordinatasi oldida joylashgan bo'lishi shart emas! U faqat o'qlardan qaysi biri giperboloidning aylanish o'qi (yoki unga parallel) bo'lishini aniqlaydi, chunki kvadratda qo'shimcha atamalar paydo bo'lganda (masalan, (x-2) 2), rasmning markazi siljiydi, chunki natijada sirt koordinata o'qlariga parallel ravishda harakat qiladi). Bu 2-tartibning barcha sirtlari uchun amal qiladi.

Bundan tashqari, tenglamalar kanonik shaklda taqdim etilganligini tushunish kerak va ular doimiylarni o'zgartirish orqali o'zgartirilishi mumkin (belgi saqlangan!); ularning shakli (giperboloid, konus va boshqalar) bir xil bo'lib qoladi.

Bunday tenglama allaqachon ikki varaqli giperboloid tomonidan berilgan.

konusning yuzasi

Konus tenglamasida birlik yo'q - nolga tenglik.

Faqat chegaralangan konussimon sirt konus deyiladi. Quyidagi rasm shuni ko'rsatadiki, aslida diagrammada ikkita konus deb ataladigan narsa bo'ladi.

Muhim eslatma: barcha ko'rib chiqilgan kanonik tenglamalarda standart konstantalar ijobiy deb qabul qilinadi. Aks holda, belgi yakuniy jadvalga ta'sir qilishi mumkin.

Koordinata tekisliklari konusning simmetriya tekisliklariga aylanadi, simmetriya markazi koordinata boshida joylashgan.

Xayoliy konusning tenglamasida faqat plyuslar mavjud; unda bitta haqiqiy nuqta bor.

Paraboloidlar

Kosmosdagi 2-tartibdagi sirtlar o'xshash tenglamalarda ham turli shakllarga ega bo'lishi mumkin. Masalan, paraboloidlarning ikki turi mavjud.

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 2z

Z o'qi chizmaga perpendikulyar bo'lganda elliptik paraboloid ellipsga proyeksiyalanadi.

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 2z

Giperbolik paraboloid: tekisliklari ZY ga parallel bo'lgan kesmalar parabolalarni, XY ga parallel tekisliklari bo'lgan kesimlar esa giperbolalarni hosil qiladi.

Kesishuvchi tekisliklar

2-tartibdagi sirtlar tekislikka aylangan holatlar mavjud. Ushbu samolyotlarni turli yo'llar bilan joylashtirish mumkin.

Avval kesishgan tekisliklarni ko'rib chiqing:

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 0

Kanonik tenglamaning bu modifikatsiyasi natijasida faqat ikkita kesishuvchi tekislik (xayoliy!); barcha haqiqiy nuqtalar tenglamada bo'lmagan koordinata o'qida (kanonik - Z o'qi).

Parallel tekisliklar

Faqat bitta koordinata mavjud bo'lganda, 2-tartibdagi sirtlar bir juft parallel tekisliklarga aylanadi. Esda tutingki, Y o'rnini har qanday boshqa o'zgaruvchi egallashi mumkin; keyin boshqa o'qlarga parallel tekisliklar olinadi.

Bunday holda, ular xayoliy holga keladi.

Tasodifiy samolyotlar

Bunday oddiy tenglama bilan bir juft tekislik bittaga aylanadi - ular bir-biriga mos keladi.

Shuni unutmangki, uch o'lchovli bazis holatida yuqoridagi tenglama y=0 chiziqni aniqlamaydi! Uning boshqa ikkita o'zgaruvchisi yo'q, lekin bu ularning qiymati doimiy va nolga teng ekanligini anglatadi.

Bino

Talaba uchun eng qiyin vazifalardan biri bu 2-tartibli sirtlarni qurishdir. Egri chiziqning o'qlarga nisbatan moyillik burchaklari va markazning siljishini hisobga olgan holda, bir koordinata tizimidan ikkinchisiga o'tish yanada qiyinroq. Keling, analitik tarzda chizmaning kelajakdagi ko'rinishini ketma-ket aniqlashni takrorlaymiz.

Ikkinchi darajali sirtni qurish uchun sizga kerak bo'ladi:

• tenglamani kanonik shaklga keltiring;
• o'rganilayotgan sirt turini aniqlash;
• koeffitsientlar qiymatlari asosida tuzing.

Ko'rib chiqilgan barcha turlar quyida keltirilgan:

Birlashtirish uchun biz ushbu turdagi topshiriqlarning bir misolini batafsil tasvirlab beramiz.

Misollar

Aytaylik, bizda tenglama bor:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

Keling, uni kanonik shaklga keltiramiz. Keling, to'liq kvadratlarni ajratib ko'rsatamiz, ya'ni mavjud shartlarni yig'indi yoki ayirma kvadratining kengayishi bo'ladigan tarzda joylashtiramiz. Masalan: agar (a+1) 2 =a 2 +2a+1, u holda a 2 +2a+1=(a+1) 2 . Biz ikkinchi operatsiyani bajaramiz. Bunday holda, qavslarni ochish shart emas, chunki bu faqat hisob-kitoblarni murakkablashtiradi, lekin umumiy koeffitsient 6 ni olib tashlash kerak (Y ning to'liq kvadrati bilan qavslarda):

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

z o'zgaruvchisi bu holatda faqat bir marta uchraydi - hozircha unga tegmasdan qolishi mumkin.

Biz ushbu bosqichda tenglamani tahlil qilamiz: barcha noma'lumlar oldiga ortiqcha belgisi qo'yiladi; oltiga bo'linganda bitta qoladi. Shuning uchun bizda ellipsoidni aniqlaydigan tenglama mavjud.

E'tibor bering, 144 150-6 soniga ko'paytirildi, shundan so'ng -6 o'ngga ko'chirildi. Nega buni bunday qilish kerak edi? Ko'rinib turibdiki, bu misoldagi eng katta bo'luvchi 6 ga teng, shuning uchun birlik unga bo'lingandan keyin o'ng tomonda qolishi uchun 144 dan aniq 6 ni "kechiktirish" kerak (erkin a'zoning mavjudligi, a doimiy noma'lumga ko'paytirilmaydi).

Hammasini oltiga bo'ling va ellipsoidning kanonik tenglamasini oling:

(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1

Ilgari qo'llanilgan 2-tartibli sirtlarni tasniflashda, rasmning markazi boshlang'ichda bo'lganda, ma'lum bir holat ko'rib chiqiladi. Ushbu misolda u ofset qilingan.

Noma'lum har bir qavs yangi o'zgaruvchi deb faraz qilamiz. Ya'ni: a=x-1, b=y+5, c=z. Yangi koordinatalarda ellipsoidning markazi (0,0,0) nuqtaga to'g'ri keladi, demak, a=b=c=0, bundan: x=1, y=-5, z=0. Dastlabki koordinatalarda figuraning markazi (1,-5,0) nuqtada yotadi.

Ellipsoid ikkita ellipsdan iborat bo'ladi: birinchisi XY tekisligida va ikkinchisi XZ tekisligida (yoki YZ - bu muhim emas). O'zgaruvchilar bo'linadigan koeffitsientlar kanonik tenglamada kvadratga olinadi. Shuning uchun yuqoridagi misolda ikki, bir va uchning ildiziga bo'lish to'g'riroq bo'ladi.

Y o'qiga parallel bo'lgan birinchi ellipsning kichik o'qi ikkitadir. X o'qiga parallel bo'lgan katta o'q ikkitadan ikkita ildizdir. Y o'qiga parallel bo'lgan ikkinchi ellipsning kichik o'qi bir xil bo'lib qoladi - u ikkiga teng. Z o'qiga parallel bo'lgan katta o'q esa uchtadan ikkita ildizga teng.

Asl tenglamadan kanonik shaklga o'tkazish orqali olingan ma'lumotlardan foydalanib, biz ellipsoidni chizishimiz mumkin.

Xulosa qilish

Ushbu maqolada ko'rib chiqilgan mavzu juda keng, lekin aslida, siz hozir ko'rib turganingizdek, unchalik murakkab emas. Uning rivojlanishi, aslida, siz yuzalarning nomlari va tenglamalarini (va, albatta, ularning ko'rinishini) eslab qolishingiz bilan tugaydi. Yuqoridagi misolda biz har bir qadamni batafsil ko'rib chiqdik, lekin tenglamani kanonik shaklga keltirish oliy matematika bo'yicha minimal bilimni talab qiladi va talabaga hech qanday qiyinchilik tug'dirmasligi kerak.

Mavjud tenglik bo'yicha kelajak jadvalini tahlil qilish allaqachon qiyinroq vazifadir. Ammo uni muvaffaqiyatli hal qilish uchun mos keladigan ikkinchi darajali egri chiziqlar - ellipslar, parabolalar va boshqalar qanday qurilganligini tushunish kifoya.

Degeneratsiya holatlari yanada oddiyroq bo'limdir. Ba'zi o'zgaruvchilarning yo'qligi sababli, ilgari aytib o'tilganidek, nafaqat hisob-kitoblar, balki qurilishning o'zi ham soddalashtiriladi.

Barcha turdagi sirtlarni ishonchli nomlash, konstantalarni o'zgartirish, grafikni u yoki bu raqamga aylantirishingiz bilanoq, mavzu o'zlashtiriladi.

O'rganishda muvaffaqiyat!