Hozir shu yerdamisiz? =) Yo'q, men hech kimni qo'rqitishga urinmadim, shunchaki noto'g'ri integrallar mavzusi oliy matematika va boshqa aniq fanlarni o'tkazmaslik qanchalik muhimligini juda yaxshi tasvirlab beradi. Saytda darsni o'zlashtirish uchun hamma narsa mavjud - batafsil va qulay shaklda, istak paydo bo'ladi ....

Shunday ekan, boshlaylik. Majoziy ma'noda, noto'g'ri integral "ilg'or" aniq integraldir va aslida ular bilan unchalik ko'p qiyinchiliklar mavjud emas, bundan tashqari, noto'g'ri integral juda yaxshi geometrik ma'noga ega.

Noto'g'ri integralni hisoblash nimani anglatadi?

Noto'g'ri integralni hisoblang - bu RAQAMni topishni bildiradi(aniq integral bilan bir xil), yoki farqlanishini isbotlang(ya'ni, son o'rniga cheksizlik bilan yakunlanadi).

Noto'g'ri integrallar ikki xil bo'ladi.

Integrallashning cheksiz chegara(lar)i bilan noto'g'ri integral

Ba'zan bunday noto'g'ri integral deyiladi birinchi turdagi noto'g'ri integrali. Umuman olganda, cheksiz chegarali noto'g'ri integral ko'pincha quyidagicha ko'rinadi: . U aniq integraldan qanday farq qiladi? Yuqori chegarada. Bu cheksizdir:

Cheksiz pastki chegarasi yoki ikkita cheksiz chegarasi bo'lgan integrallar kamroq tarqalgan: , va biz ularni keyinroq ko'rib chiqamiz - ta'mga ega bo'lganingizda :)

Xo'sh, endi eng mashhur ishni tahlil qilaylik. Ko'pgina misollarda integral funktsiyasi mavjud davomiy orasida va bu avval tekshirish uchun muhim fakt! Chunki bo'shliqlar mavjud bo'lsa, unda qo'shimcha nuanslar mavjud. Aniqlik uchun biz o'sha paytda ham odatiy deb taxmin qilamiz egri chiziqli trapezoid quyidagicha ko'rinadi:

E'tibor bering, u cheksiz (o'ngda chegaralanmagan) va noto'g'ri integral son jihatdan uning maydoniga teng. Bunday holda, quyidagi variantlar mumkin:

1) Aqlga keladigan birinchi fikr: “chunki raqam cheksizdir, demak ”, boshqacha aytganda, maydon ham cheksizdir. Shunday bo'lishi mumkin. Bunday holda, biz noto'g'ri integral deb aytamiz farqlanadi.

2) Lekin. Qanchalik paradoksal tuyulmasin, cheksiz raqamning maydoni ... cheklangan songa teng bo'lishi mumkin! Masalan: . Bo'lishi mumkinmi? Oson. Ikkinchi holda, noto'g'ri integral birlashadi.

3) Uchinchi variant haqida birozdan keyin.

Noto'g'ri integral qachon ajraladi va qachon yaqinlashadi? Bu integralga bog'liq va biz tez orada aniq misollarni ko'rib chiqamiz.

Ammo cheksiz egri chiziqli trapezoid eksa ostida joylashgan bo'lsa nima bo'ladi? Bunday holda, noto'g'ri integral (ajraladi) yoki chekli manfiy songa teng.

Shunday qilib, noto'g'ri integral manfiy bo'lishi mumkin.

Muhim! Agar echish uchun HAR QANDAY noto'g'ri integral taklif qilinsa, umuman olganda, hech qanday hudud haqida gap yo'q va chizmani qurishning hojati yo'q. Men noto'g'ri integralning geometrik ma'nosini faqat materialni tushunishni osonlashtirish uchun aytdim.

Noto'g'ri integral aniq integralga juda o'xshash bo'lganligi sababli, biz Nyuton-Leybnits formulasini eslaymiz: . Aslida, formula noto'g'ri integrallarga ham tegishli, faqat uni biroz o'zgartirish kerak. Farqi nimada? Integratsiyaning cheksiz yuqori chegarasida: . Ehtimol, ko'pchilik bu allaqachon chegaralar nazariyasini qo'llashni anglatadi va formula quyidagicha yoziladi deb taxmin qilishgan: .

U aniq integraldan qanday farq qiladi? Ha, hech qanday maxsus narsa yo'q! Aniq integralda bo'lgani kabi, anti hosilaviy funktsiyani (noaniq integral) topa bilishingiz, Nyuton-Leybnits formulasini qo'llay bilishingiz kerak. Qo'shilgan yagona narsa - bu limitni hisoblash. Ular bilan kim yomon, saboq oling Funksiyalarning chegaralari. Yechim misollari chunki armiyaga qaraganda kechroq.

Ikkita klassik misolni ko'rib chiqing:

1-misol

Aniqlik uchun men rasm chizaman, garchi yana bir bor ta'kidlayman, amalda bu vazifada chizmalarni qurish shart emas.

Integral yarim oraliqda uzluksiz, ya'ni hamma narsa yaxshi va noto'g'ri integralni "muntazam" usul yordamida hisoblash mumkin.

Bizning formulamizni qo'llash va yechim quyidagicha ko'rinadi:

Ya'ni, noto'g'ri integral ajralib chiqadi va soyali egri chiziqli trapezoidning maydoni cheksizlikka teng.

Ko'rib chiqilgan misolda bizda eng oddiy jadvalli integral va aniq integraldagi kabi Nyuton-Leybnits formulasini qo'llash texnikasi mavjud. Lekin bu formula chegara belgisi ostida qo'llaniladi. "Dinamik" o'zgaruvchining odatiy harfi o'rniga "be" harfi paydo bo'ladi. Bu chalkashtirmaslik yoki chalkashtirmaslik kerak, chunki har qanday harf standart "X" dan yomonroq emas.

Agar nima uchun qachon ekanligini tushunmasangiz, bu juda yomon, yoki siz eng oddiy chegaralarni tushunmaysiz (va chegara nima ekanligini umuman tushunmaysiz) yoki logarifmikning grafigi nima ekanligini bilmaysiz. funksiyaga o'xshaydi. Ikkinchi holda, darsga tashrif buyuring Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari.

Noto'g'ri integrallarni yechishda asosiy elementar funksiyalarning grafiklari qanday ko'rinishini bilish juda muhimdir!

Toza ish dizayni quyidagicha ko'rinishi kerak:

“

! Misolni loyihalashda biz har doim yechimni to'xtatamiz va integral bilan nima sodir bo'lishini ko'rsatamiz – integratsiya oralig'ida uzluksizmi yoki yo'qmi. Bu bilan biz noto'g'ri integral turini aniqlaymiz va keyingi harakatlarni asoslaymiz.

2-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

Keling, rasm chizamiz:

Birinchidan, biz quyidagilarga e'tibor beramiz: integratsiya yarim oraliqda uzluksizdir. Yaxshi. Formula bilan yechish :

(1) Biz quvvat funktsiyasining eng oddiy integralini olamiz (bu maxsus holat ko'plab jadvallarda mavjud). Minusni keyingi hisob-kitoblarda oyoq osti qilmasligi uchun darhol chegara belgisidan tashqariga o'tkazish yaxshiroqdir.

(2) Yuqori va pastki chegaralarni Nyuton-Leybnits formulasiga muvofiq almashtiramiz.

(3) Biz shuni ko'rsatamizki, qachon (janoblar, bu allaqachon tushunilgan) va javobni soddalashtiramiz.

Bu erda cheksiz egri chiziqli trapezoidning maydoni cheklangan songa teng! Ajablanarlisi, lekin bu haqiqat.

Misolning toza dizayni quyidagicha ko'rinishi kerak:

“

Integrand uzluksiz

“

Agar integral kabi - bilan duch kelsangiz nima qilish kerak sinish nuqtasi integratsiya oralig'ida? Bu misolda matn terish xatosi borligini anglatadi (ehtimol) yoki ilg'or ta'lim darajasi. Ikkinchi holda, tufayli qo'shilish xususiyatlari, oraliqlarda ikkita noto'g'ri integralni ko'rib chiqish va keyin yig'indi bilan ishlash kerak.

Ba'zan, xato yoki noto'g'ri integral niyati tufayli, bu mumkin umuman mavjud emas, shuning uchun, masalan, agar "x" ning kvadrat ildizi yuqoridagi integralning maxrajiga qo'yilsa, u holda integrallash oralig'ining bir qismi integratsiyani aniqlash sohasiga umuman kirmaydi.

Bundan tashqari, noto'g'ri integral barcha "ko'rinadigan farovonlik" bilan ham mavjud bo'lmasligi mumkin. Klassik misol: . Kosinusning aniqligi va uzluksizligiga qaramay, bunday noto'g'ri integral mavjud emas! Nega? Bu juda oddiy, chunki:
- mavjud emas mos keladigan chegara.

Va bunday misollar, kamdan-kam bo'lsa-da, amalda topiladi! Shunday qilib, konvergentsiya va divergensiyadan tashqari, to'liq javobga ega bo'lgan yechimning uchinchi natijasi ham mavjud: "noto'g'ri integral yo'q".

Shuni ham ta'kidlash kerakki, noto'g'ri integralning qat'iy ta'rifi limit orqali aniq berilgan va xohlovchilar u bilan o'quv adabiyotlarida tanishishlari mumkin. Xo'sh, biz amaliy darsni davom ettiramiz va yanada mazmunli vazifalarga o'tamiz:

3-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

Birinchidan, antiderivativ funktsiyani (noaniq integral) topishga harakat qilaylik. Agar biz buni qila olmasak, tabiiyki, biz noto'g'ri integralni ham yecha olmaymiz.

Jadval integrallaridan qaysi biri integralga o'xshaydi? Bu menga yoy tangensini eslatadi: . Ushbu mulohazalardan kelib chiqqan holda, fikr o'z-o'zidan, maxrajda kvadrat olish yaxshi bo'lardi, degan fikrni o'z-o'zidan paydo qiladi. Bu almashtirish orqali amalga oshiriladi.

Keling, almashtiramiz:

Noaniq integral topildi, bu holda doimiy qo'shishning ma'nosi yo'q.

Qoralamada har doim tekshirishni amalga oshirish, ya'ni natijani farqlash foydali bo'ladi:

Asl integral olindi, ya'ni noaniq integral to'g'ri topildi.

Endi biz noto'g'ri integralni topamiz:

(1) Biz yechimni formulaga muvofiq yozamiz . Keyingi hisob-kitoblarga xalaqit bermasligi uchun konstantani darhol chegara belgisidan tashqariga o'tkazish yaxshiroqdir.

(2) Yuqori va pastki chegaralarni Nyuton-Leybnits formulasiga muvofiq almashtiramiz. Nima uchun da ? Qayta-qayta tavsiya etilgan maqolada yoy tangens grafigiga qarang.

(3) Biz yakuniy javobni olamiz. Yoddan bilish foydali ekanligi.

Ilg‘or o‘quvchilar noaniq integralni alohida topa olmasligi va almashtirish usulini qo‘llamasligi, balki differentsial belgisi ostidagi funksiyani yig‘ish usulini qo‘llashi va noto‘g‘ri integralni “darhol” yechishlari mumkin. Bunday holda, yechim quyidagicha ko'rinishi kerak:

“

Integrand uzluksiz bo'ladi.

“

4-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

! Bu odatiy misol va shunga o'xshash integrallar juda keng tarqalgan. Yaxshilab ishlang! Bu erda antiderivativ funktsiya to'liq kvadratni tanlash usuli bilan topiladi, usul haqida batafsil ma'lumotni darsda topish mumkin Ayrim kasrlarning integrasiyasi.

5-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

Bu integralni batafsil yechish mumkin, ya'ni avval o'zgaruvchini o'zgartirib, noaniq integral topiladi. Va siz uni "darhol" hal qilishingiz mumkin - funktsiyani differentsial belgisi ostida jamlash orqali. Kim matematik bilimga ega.

Dars oxirida to'liq echimlar va javoblar.

Integratsiyaning cheksiz pastki chegarasiga ega noto'g'ri integrallarning yechimlari misollarini sahifada topish mumkin. Noto'g'ri integrallarni yechishning samarali usullari. U erda ikkala integratsiya chegarasi ham cheksiz bo'lgan holat ko'rib chiqiladi.

Cheklanmagan funksiyalarning noto'g'ri integrallari

Yoki ikkinchi turdagi noto'g'ri integrallar. Ikkinchi turdagi noto'g'ri integrallar odatiy aniq integral ostida ayyorlik bilan "shifrlangan" va aynan bir xil ko'rinishga ega: Lekin, aniq integraldan farqli o'laroq, integral cheksiz uzilishga duchor bo'ladi (mavjud emas): 1) nuqtada , 2) yoki nuqtada , 3) ​​yoki ikkala nuqtada bir vaqtning o'zida, 4) yoki hatto integratsiya oralig'ida. Biz birinchi ikkita ishni ko'rib chiqamiz, 3-4 holatlar uchun maqolaning oxirida qo'shimcha darsga havola mavjud.

Buni tushunish uchun bir misol:. Bu aniq integralga o'xshaydi. Ammo, aslida, bu ikkinchi turdagi noto'g'ri integraldir, agar biz pastki chegaraning qiymatini integrandga almashtirsak, unda maxraj yo'qoladi, ya'ni bu nuqtada integral oddiygina mavjud emas!

Umuman olganda, noto'g'ri integralni tahlil qilishda har doim ikkala integratsiya chegarasini integrandga almashtirish kerak. Shu munosabat bilan biz yuqori chegarani ham tekshiramiz: . Bu yerda hamma narsa yaxshi.

Noto'g'ri integralning ko'rib chiqilayotgan xilma-xilligi uchun egri chiziqli trapezoid asosan quyidagicha ko'rinadi:

Bu erda deyarli hamma narsa birinchi turdagi integral bilan bir xil.

Bizning integralimiz son jihatdan yuqoridan chegaralanmagan soyali egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng. Bunday holda, ikkita variant * bo'lishi mumkin: noto'g'ri integral ajralib chiqadi (maydon cheksiz) yoki noto'g'ri integral cheklangan songa teng (ya'ni cheksiz raqamning maydoni chekli!).

* sukut bo'yicha, biz odatda noto'g'ri integral mavjud deb taxmin qilamiz

Faqat Nyuton-Leybnits formulasini o'zgartirish qoladi. Bundan tashqari, chegara yordamida o'zgartiriladi, lekin chegara endi cheksizlikka moyil emas, balki o'ngdagi qiymatga. Chizma bo'ylab kuzatib borish oson: eksa bo'ylab biz cheksiz ravishda sinish nuqtasiga yaqinlashishimiz kerak o'ngda.

Keling, bu amalda qanday amalga oshirilayotganini ko'rib chiqaylik.

6-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

Integrand bir nuqtada cheksiz tanaffusga duchor bo'ladi (agar hamma narsa yuqori chegara bilan yaxshi bo'lsa, og'zaki yoki qoralama tekshirishni unutmang!)

Birinchidan, biz noaniq integralni hisoblaymiz:

O'zgartirish:

O'zgartirishda qiynalayotganlar uchun darsga murojaat qiling Noaniq integralda almashtirish usuli.

Noto'g'ri integralni hisoblaymiz:

(1) Bu yerda nima yangiliklar bor? Texnik jihatdan deyarli hech narsa. O'zgargan yagona narsa - bu chegara belgisi ostidagi yozuv: . Qo'shish biz o'ngdagi qiymatga intilayotganimizni anglatadi (bu mantiqiy - grafikaga qarang). Chegara nazariyasidagi bunday chegara deyiladi bir tomonlama chegara. Bu holatda bizda bor o'ng qo'l chegarasi.

(2) Yuqori va pastki chegaralarni Nyuton-Leybnits formulasiga muvofiq almashtiramiz.

(3) da bilan ishlash. Ifoda qayerga qaratilganligini qanday aniqlash mumkin? Taxminan aytganda, siz shunchaki qiymatni unga almashtirishingiz kerak, to'rtdan uch qismini almashtiring va shuni ko'rsating. Javobni birlashtirish.

Bunday holda, noto'g'ri integral manfiy songa teng bo'ladi. Bunda hech qanday jinoyat yo'q, faqat mos keladigan egri chiziqli trapezoid eksa ostida joylashgan.

Va endi mustaqil yechim uchun ikkita misol.

7-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

8-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

Agar nuqtada integrand mavjud bo'lmasa

Bunday noto'g'ri integral uchun cheksiz egri chiziqli trapetsiya asosan shunday ko'rinadi.

Ba'zan bunday noto'g'ri integrallar deyiladi ikkinchi turdagi noto'g'ri integrallar. Ikkinchi turdagi noto'g'ri integrallar odatiy aniq integral ostida ayyorlik bilan "shifrlangan" va aynan bir xil ko'rinishga ega: .

Ammo, aniq integraldan farqli o'laroq, integral cheksiz uzilishga duchor bo'ladi (mavjud emas):

1) nuqtada,

2) nuqta,

3) bir vaqtning o'zida ikkala nuqtada,

4) yoki hatto integratsiya oralig'ida.

Biz birinchi ikkita ishni ko'rib chiqamiz, 3-4 holatlar uchun maqolaning oxirida qo'shimcha darsga havola mavjud.

Buni aniqroq qilish uchun misolni ko'rib chiqaylik:

Bu aniq integralga o'xshaydi. Lekin, aslida, bu ikkinchi turdagi noto'g'ri integraldir, chunki agar biz integratsiyani almashtirsak, pastki chegaraning qiymati

keyin maxraj yo'qoladi, ya'ni bu nuqtada integral oddiygina mavjud emas!

Noto'g'ri integralni tahlil qilishda har doim ikkala integratsiya chegarasini integrandga almashtirish kerak. Shu munosabat bilan biz yuqori chegarani ham tekshiramiz:

Bu yerda hamma narsa yaxshi. Noto'g'ri integralning ko'rib chiqilayotgan xilma-xilligi uchun egri chiziqli trapezoid asosan quyidagicha ko'rinadi:

Bu erda deyarli hamma narsa birinchi turdagi integral bilan bir xil. Bizning integralimiz son jihatdan yuqoridan chegaralanmagan soyali egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng. Bunday holda, ikkita variant bo'lishi mumkin: noto'g'ri integral ajralib chiqadi (maydon cheksiz) yoki noto'g'ri integral cheklangan songa teng (cheksiz raqamning maydoni chekli bo'lsa!).

Faqat Nyuton-Leybnits formulasini o'zgartirish qoladi. Bundan tashqari, chegara yordamida o'zgartiriladi, lekin chegara endi cheksizlikka moyil emas, balki qadrlash o'ngda. O'q bo'ylab joylashgan chizmaga amal qilish oson OX o'ngda.

Keling, bu amalda qanday amalga oshirilayotganini ko'rib chiqaylik.

6-misol

(har bir narsa yuqori chegara bilan yaxshi bo'lsa, og'zaki yoki qoralama tekshirishni unutmang!). Birinchidan, biz noaniq integralni hisoblaymiz:

O'zgartirishda qiynalayotganlar uchun darsga murojaat qiling Noaniq integralda almashtirish usuli.

Noto'g'ri integralni hisoblaymiz:

(1) Bu yerda nima yangiliklar bor? Texnik jihatdan deyarli hech narsa. O'zgargan yagona narsa - bu chegara belgisi ostidagi yozuv:

+0 qo'shish biz o'ngdagi ¾ qiymatiga intilayotganimizni anglatadi, bu mantiqiy (grafikga qarang). Chegara nazariyasidagi bunday chegara deyiladi bir tomonlama chegara. Bu holatda bizda bor o'ng qo'l chegarasi.

(2) Yuqori va pastki chegaralarni Nyuton-Leybnits formulasiga muvofiq almashtiramiz.

(3) da bilan ishlash. Ifoda qayerga qaratilganligini qanday aniqlash mumkin? Taxminan aytganda, siz shunchaki qiymatni unga almashtirishingiz kerak, to'rtdan uch qismini almashtiring va shuni ko'rsating. Javobni birlashtirish.

Bunday holda, noto'g'ri integral manfiy songa teng bo'ladi. Bunda hech qanday jinoyat yo'q, faqat mos keladigan egri chiziqli trapezoid eksa ostida joylashgan OX. Va endi mustaqil qaror uchun misollar.

7-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

8-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

Agar nuqtada integrand mavjud bo'lmasa

Bunday noto'g'ri integral uchun cheksiz egri chiziqli trapezoid asosan quyidagicha ko'rinadi:

Bu erda biz hamma narsani xuddi shunday qilamiz, faqat chegara moyilligidan tashqari qadrlash bchap. Eksa OX biz sinish nuqtasiga cheksiz yaqinlashishimiz kerak chap.

9-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

Integrand bir nuqtada cheksiz uzilishga duchor bo'ladi b = 3 (boshqa integratsiya chegarasi bilan hamma narsa yaxshi ekanligini og'zaki tekshiramiz!).

O'zgartirish uchun biz ushbu chegarani darhol hal qilamiz - funktsiyani differentsial belgisi ostiga olib. Qiyin bo'lganlar avval ko'rib chiqilgan sxema bo'yicha noaniq integralni topishlari mumkin.

Qo'shimcha (-0) bizda chegara borligini bildiradi chap tomonli, va nuqtaga b = 3 biz o'qga yaqinlashamiz OX chap.

Nima uchun fraktsiyani tushunamiz

(bu eng yaxshi og'zaki yoki qoralama shaklida amalga oshiriladi).

Biz chegara qiymatini ildiz ostida almashtiramiz b = 3 - 0.

Nihoyat:

Noto'g'ri integral ajralib chiqadi.

Minus belgisi mos keladigan egri chiziqli trapezoidning o'q ostida joylashganligini bildiradi OX. Belgilar bilan juda ehtiyot bo'ling.

Ha, albatta, noto'g'ri integral ajralib chiqadi, lekin bular turli xil narsalar, turli xil janrlar va agar siz belgilarga e'tibor bermasangiz, unda, qat'iy aytganda, jiddiy xatoga yo'l qo'yasiz.

Va o'z-o'zini ko'rib chiqish uchun oxirgi ikkita misol:

10-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

11-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

Ikkala integratsiya chegarasi ham "yomon" bo'lgan yoki uzilish nuqtasi to'g'ridan-to'g'ri integratsiya segmentida joylashgan vaziyatning tahlilini maqolada topish mumkin. Aniq va noto'g'ri integrallarni yechishning samarali usullari.

Yechimlar va javoblar:

4-misol: Yechim:

.

5-misol: Yechim:

Integrand uzluksiz .

7-misol: Yechim:

Integrand bir nuqtada cheksiz uzilishga duchor bo'ladi

Noto'g'ri integral ajralib chiqadi.

Eslatma: ifoda chegarasi bilan

2Birinchi turdagi noto'g'ri integrallar shakldagi integrallar deyiladi Integratsiya butun integrasiya segmentida uzluksiz deb hisoblanadi.

2 Agar chegara mavjud bo'lsa va chekli bo'lsa, unda noto'g'ri integral yaqinlashadi va unga teng deyiladi.

Integrallar va shunga o'xshash tarzda aniqlanadi:

(8.21)
qayerda a har qanday haqiqiy sondir. Bundan tashqari, oxirgi integral, agar uning integralining ikkala komponenti yaqinlashsa, yaqinlashadi, deyiladi.

Muammo 8.10.

Yechim.

Shuning uchun integral ajralib chiqadi.

Muammo 8.11. Noto'g'ri integralni hisoblang.

Yechim.

Bu integral yaqinlashadi.

2 Ikkinchi turdagi noto'g'ri integrallar ko'rinishdagi integrallar deyiladi: , bu erda integral f(x) chekli oraliqda cheksiz uzilishlarga ega [ a; b]. Ikkinchi turdagi noto'g'ri integrallar [ intervaldagi uzilish nuqtalarining joylashishiga qarab turlicha aniqlanadi. a; b].

1) funksiyani faraz qilaylik f(x) integratsiya domenining ichki nuqtalarida cheksiz uzilishga ega ( cÎ( a; b)) Segmentning boshqa nuqtalarida [ a; b] funksiya uzluksiz deb qabul qilinadi.

U holda, agar chegaralar mavjud bo'lsa va chekli bo'lsa, biz integral yaqinlashadi va unga teng deb aytamiz.

. (8.22)
2) Funktsiyaning yagona uzilish nuqtasi bo'lsin f(x) nuqta bilan mos keladi a

. (8.23)
3) Funktsiyaning yagona uzilish nuqtasi bo'lsin f(x) nuqta bilan mos keladi b. Keyin, agar chegara mavjud bo'lsa va chekli bo'lsa, biz integral yaqinlashadi va unga teng deb aytamiz.

. (8.24)
Hamma joyda e > 0 va d > 0 deb faraz qilinadi.

Muammo 8.12. Noto'g'ri integralni hisoblang.

Yechim. x= 2. Shuning uchun,

Muammo 8.13. Noto'g'ri integralni hisoblang.

Yechim. Integrand nuqtada ikkinchi turdagi uzilishga ega x= 0 (integratsiya hududi ichida). Binobarin,

Birinchi chegara mavjud va cheklangan, lekin ikkinchi chegara cheksizlikka teng ( at ). Shuning uchun bu integral ajralib chiqadi.

9-bob

§9.1. Ta'rif n-o'lchovli Evklid fazosi R n.

Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalarini o'rganishga kirishishdan oldin kontseptsiyani kiritish foydali bo'ladi n-har qanday uchun o'lchovli bo'shliq n = 1, 2, 3,… .

2 ball x n-o'lchovli fazo (vektor) tartiblangan to'plamdir n haqiqiy raqamlar.

Raqam chaqiriladi i-vektorning koordinatasi.

2 Ikki nuqta orasidagi masofa n-o'lchovli fazo va formula bilan aniqlanadi:

Nuqtadan nuqtagacha bo'lgan masofa x vektorning moduli deyiladi x va belgilanadi. (9.1) formuladan kelib chiqadiki.

DA n-o'lchovli fazoda skalyar ko'paytma tushunchasi tabiiy ravishda kiritilgan:

Vektorlar orasidagi burchak x va y formula bilan aniqlash mumkin:

Avvalgidek, vektorlar x va y perpendikulyar bo'ladi, agar ularning nuqta mahsuloti nolga teng bo'lsa.

2 Barcha ballar to'plami n-(9.1) formula bo’yicha masofa aniqlangan va skalyar ko’paytma deyilgan o’lchovli fazo. n-o'lchovli Evklid vektor fazosi va bilan belgilanadi.

Qachon n= 1 bo'shliq chiziq bilan mos keladi, holatda n= 2 - tekislik bilan va holatda n= 3 - bo'sh joy bilan.

2 va bo'lsin. , bo'lgan barcha nuqtalar to'plami deyiladi n-nuqta markazida joylashgan o'lchamli to'p x yoki e- nuqta qo'shnisi x fazoda va bilan belgilanadi.

Koordinata shaklida ushbu ta'rif quyidagicha ko'rinadi:

To'g'ri chiziq bo'lsa, ya'ni. da n= 1, nuqta qo'shnisi radius nuqtasida markazlashtirilgan oraliqdir e. Samolyot holatida, ya'ni. da n= 2, nuqta qo'shnisi radius nuqtasida joylashgan ochiq doiradir e. Kosmos holatida, ya'ni. da n= 3 nuqtaning qo'shnisi radius nuqtasida joylashgan ochiq to'pdir e.

§9.2. Bir nechta o'zgaruvchilardan iborat funktsiya doirasi. Davomiylik

2 funksiya n o'zgaruvchilar shunday qoida (qonun) deb ataladi, unga ko'ra har bir to'plamdan iborat n ba'zi bir sohadan olingan o'zgaruvchilar D n-o'lchovli fazo , bitta raqam beriladi z. Eng oddiy holatda.

2 2 o'zgaruvchining funksiyasi qoida (qonun) bo'lib, unga ko'ra har bir nuqta M(x; y) qaysidir hududga tegishli D samolyot xOy, bitta raqam beriladi z.

Koordinatali kosmosdagi nuqtalar to'plami ma'lum bir sirtni hosil qiladi (9.1-rasm), maydondan yuqoriga ko'tariladi. D(ikki o'zgaruvchili funktsiyaning geometrik ma'nosi).

2 mintaqa D, buning uchun yuqoridagi yozishmalar tuzilgan, funksiyaning sohasi deyiladi.

Muammo 9.1. Funktsiya doirasini toping

Yechim. Istalgan ta'rif sohasi - bu tekislikdagi nuqtalar to'plami xOy, tengsizliklar tizimini qondirish. Tengsizliklar va ularning belgisini quyidagi chiziqlar kesishmasida teskari tomonga (mos ravishda) o'zgartiring: x = y va x = 0, y= 0. Bu chiziqlar tekislikni buzadi xOy 6 ta viloyat uchun. Har bir mintaqaning ixtiyoriy nuqtalarini tizimga ketma-ket almashtirib, biz (1) va (3) hududlarning birlashuvi asl funktsiyani aniqlash sohasi ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Bundan tashqari, to'g'ridan-to'g'ri x = y, nuqtadan tashqari (0; 0), aniqlash sohasiga va chiziqlarga kiritilgan x= 0, va y= 0 - kiritilmagan (9.2-rasm).

2 Hududning yopilishi kosmosdagi nuqtalar to'plami bo'lib, ularning har birining har bir qo'shnisida hududning nuqtalari mavjud. D.

Keling, masalan, D- samolyotda ba'zi ochiq (chegara kiritilmagan) maydon xOy. Keyin mintaqaga bo'lsa, mintaqaning yopilishi olinadi D uning chegarasini yopishtiring G .

2 Ba'zi hududga ruxsat bering D samolyot xOy funksiya berilgan va mintaqaning ba'zi bir yopilish nuqtasi bo'lsin D(). Raqam LEKIN nuqtadagi funksiyaning chegarasi deyiladi M har qanday raqam uchun 0 e> 0 shunday raqam bor δ > 0, bu nuqtadan boshqa barcha nuqtalar uchun M 0 va undan kamroq masofada joylashgan δ , tengsizlik qanoatlantiriladi.

2 Funktsiya nuqtada uzluksiz deyiladi, agar u shu nuqtada () aniqlansa va tenglik sodir bo'lsa.

§9.3. Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning darajali chiziqlari

Samolyotda 2 ta chiziq xOy, tenglamalar bilan berilgan, bu erda FROM ixtiyoriy doimiy bo'lib, funksiyaning darajali chiziqlari deyiladi.

Darajali chiziqlar - sirt, berilgan funktsiya va tekislikning kesishish chiziqlari z = C, tekislikka parallel xOy. Darajali chiziqlar yordamida siz funksiya tomonidan berilgan sirt shaklini o'rganishingiz mumkin.

9.2-misol. Darajali chiziqlarni toping va tenglama bilan berilgan sirt shaklini aniqlang.

Bu holda darajali chiziqlar tenglamalari shaklga ega. C da< 0 уравнение дает пустое множество решений (следовательно, вся поверхность расположена выше плоскости xOy). Da C= 0 faqat bitta nuqta daraja chizig'ining tenglamasini qanoatlantiradi x = 0, y= 0 (samolyot bilan xOy sirt faqat boshida kesishadi). Da C> 0 darajali chiziqlar yarim o'qli ellips va . Turli qiymatlarga mos keladigan darajali chiziqlar FROM, shaklda ko'rsatilgan. 9.3. Tenglama orqali berilgan sirt elliptik paraboloid deb ataladi (9.4-rasm).

§9.4. Birinchi tartibli qisman hosilalar

Biror hududga ruxsat bering D samolyot xOy funksiya berilgan va maydonning qaysidir nuqtasidir D.

x

, (9.2)

2 O‘zgaruvchiga nisbatan nuqtadagi funksiyaning qisman hosilasi y(belgilangan yoki) deyiladi

, (9.3)
agar berilgan chegara mavjud bo'lsa va chekli bo'lsa.

2 Funksiyaning qisman hosilasi n o'zgaruvchilar nuqtada o'zgaruvchilar x i chaqirdi

, (9.4)
agar berilgan chegara mavjud bo'lsa va chekli bo'lsa.

(9.2) - (9.4) formulalardan ko'rinib turibdiki, qisman hosilalar bir o'zgaruvchining funksiyasining hosilasi aniqlanganidek aniqlanadi. Cheklovni hisoblashda o'zgaruvchilardan faqat bittasi oshiriladi, boshqa o'zgaruvchilar ko'paytirilmaydi va doimiy bo'lib qoladi. Shunday qilib, qisman hosilalar oddiy hosilalar bilan bir xil qoidalar bo'yicha hisoblanishi mumkin, bunda barcha erkin o'zgaruvchilar (differensiallash amalga oshiriladiganidan tashqari) doimiylar sifatida ko'rib chiqiladi.

Muammo 9.3. Funksiyalarning qisman hosilalarini toping

Yechim. .

Muammo 9.4. Funksiyaning qisman hosilalarini toping.

Yechim. Bu funktsiyani o'zgaruvchiga nisbatan farqlashda x biz daraja funksiyasini differentsiallash qoidasidan foydalanamiz va o'zgaruvchiga nisbatan qisman hosilani topishda y– ko‘rsatkichli funksiyani differentsiallash qoidasi:

Muammo 9.5. Nuqtadagi funksiyaning qisman hosilalarini hisoblang.

Yechim. Kompleks funktsiyani differentsiallash qoidasini qo'llab, qisman hosilalarni topamiz

Nuqta koordinatalarini qisman hosilalarga almashtirish M, olamiz

§9.5. Bir nechta o'zgaruvchilarning gradient funktsiyasi.
Yo'nalishli hosila

2 Funktsiyaning nuqtadagi gradienti - bu berilgan nuqtada hisoblangan berilgan funksiyaning qisman hosilalaridan tashkil topgan vektor:

2 Vektor yo‘nalishidagi nuqtadagi funktsiyaning hosilasi bu funksiyaning nuqtada hisoblangan gradient vektorining proyeksiyasidir. M 0 , bu yo'nalishga

(2.6) formulaga muvofiq vektorning vektorga proyeksiyasini hisoblab, olamiz

. (9.7)
Qayerda ekanligini payqab a vektorning o'q bilan qiladigan burchagi OX, vektor yo'nalishi bo'yicha hosilani hisoblash uchun boshqa formulani olamiz

Muammo 9.6. Funksiyaning nuqtadagi gradientini toping M 0 (4; 2) va vektor yo'nalishi bo'yicha hosila

Yechim. Keling, qisman hosilalarni topamiz

Nuqtadagi qisman hosilalarning qiymatlarini hisoblang M 0:

Bir nuqtada funksiya gradienti M 0 ni (9.5) formula bo'yicha topamiz:

Muammo 9.7. Shu nuqtada M 0 (0; 1) funktsiyaning ikkinchi koordinata burchagi bissektrisasi yo'nalishi bo'yicha hosilasini hisoblang.

Yechim. Funktsiyaning qisman hosilalarini topamiz:

Bir nuqtada qisman hosilalarning qiymatlarini va funktsiyaning gradientini hisoblang M 0:

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi M 0 ikkinchi koordinata burchagi bissektrisa yo'nalishi bo'yicha (bu yo'nalish o'q bilan OX burchak a= 135°) (9.8) formula bo'yicha topamiz:

§9.6. Bir necha o'zgaruvchili funktsiyaning differentsialligi
va uning taxminiy hisob-kitoblarga qo'llanilishi

1 Agar nuqtada funktsiya uzluksiz qisman hosilalarga ega bo'lsa va nuqtadan o'tishda uning umumiy o'sishi. M 0 dan nuqtaga quyidagicha ifodalanishi mumkin:

, (9.9)
qayerda , .

2 ifoda nuqtadagi funktsiyaning umumiy differensiali deyiladi.

(9.9) formuladan kelib chiqadiki, funktsiyaning differentsiali funktsiyaning umumiy o'sishining asosiy chiziqli qismidir. Etarlicha kichik D uchun x va D y ifoda differensialdan ancha kichik va uni e'tiborsiz qoldirish mumkin. Shunday qilib, biz quyidagi taxminiy formulaga kelamiz:

. (9.10)
Izoh. Formula (9.10) funksiyalarning qiymatlarini taxminiy hisoblash uchun faqat nuqtaga etarlicha yaqin bo'lgan nuqtalarda ishlatilishi mumkin. Qiymat qanchalik kichik bo'lsa, (9.9) formula bo'yicha topilgan qiymat shunchalik aniqroq bo'ladi.

9.8-misol. Differensial yordamida taxminan hisoblang.

Keling, funktsiyani ko'rib chiqaylik. Qiymatni hisoblash uchun talab qilinadi z Ushbu funktsiyaning 1 nuqtasi ( x 1 ; y 1) = (0,09; 6,95). (0; 7) nuqtani nuqta sifatida tanlab, taxminiy formuladan (9.9) foydalanamiz. Keyin D x = x 1 – x 0 = 0,09 - 0 = 0,09, D y =y 1 – y 0 = 6,95 – 7 = – 0,05.

Binobarin,

§9.7. Yuqori tartibli qisman hosilalar

Hududga ruxsat bering D uzluksiz qisman hosilalarga ega va shu mintaqada funksiya berilgan. Shunday qilib, hududda D biz ikkita o'zgaruvchining ikkita yangi uzluksiz funksiyasini oldik va . Agar mintaqada bir nuqtada bo'lsa D funktsiyalari va o'zgaruvchiga nisbatan qisman hosilalariga ega x, va o'zgartirish orqali y, u holda bu hosilalar funksiyaning ikkinchi tartibli hosilalari deyiladi. Ular quyidagicha belgilanadi:

1 Agar mintaqaning bir nuqtasida D funksiya uzluksiz aralash hosilalarga ega va , u holda nuqtada bu hosilalar teng: . D , quyidagi shartlar bajarilishi kerak: D = 32 – 9 = 23.

Diskriminant noldan katta bo'lgani uchun, keyin nuqtada M funktsiya ekstremumga ega. Ya'ni, mahalliy minimal, chunki LEKIN va FROM Noldan yuqori. Qayerda

Birinchi turdagi noto'g'ri integrallar. Aslida, bu bir xil aniq integraldir, lekin integrallar cheksiz yuqori yoki pastki integratsiya chegarasiga ega bo'lgan yoki ikkala integral chegarasi cheksiz bo'lgan hollarda.

Ikkinchi turdagi noto'g'ri integrallar. Aslida, bu bir xil aniq integraldir, lekin integral cheklanmagan funktsiyalardan olingan hollarda, integral cheksiz segmentning chekli nuqtalarida integrasiyaga ega emas, cheksizlikka aylanadi.

Taqqoslash uchun. Aniq integral tushunchasini kiritishda funksiya deb faraz qilingan edi f(x) [ oraliqda uzluksiz a, b] va integrallash oralig'i chekli, ya'ni u cheksizlik bilan emas, balki sonlar bilan chegaralangan. Ba'zi vazifalar ushbu cheklovlardan voz kechish zarurligiga olib keladi. Noto'g'ri integrallar shunday paydo bo'ladi.

Noto'g'ri integralning geometrik ma'nosi juda oddiy bo'lib chiqadi. Funktsiyaning grafigi qachon y = f(x) eksa ustida joylashgan ho'kiz, aniq integral egri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya maydonini ifodalaydi. y = f(x) , abscissa va ordinatalar x = a , x = b. O'z navbatida, noto'g'ri integral chiziqlar orasiga o'ralgan cheksiz (cheksiz) egri chiziqli trapezoidning maydonini ifodalaydi. y = f(x) (quyida qizil rangda tasvirlangan) x = a va abscissa o'qi.

Noto'g'ri integrallar boshqa cheksiz intervallar uchun ham xuddi shunday aniqlanadi:

Cheksiz egri chiziqli trapezoidning maydoni cheklangan son bo'lishi mumkin, bu holda noto'g'ri integral konvergent deb ataladi. Maydon ham cheksiz bo'lishi mumkin, bu holda noto'g'ri integral divergent deb ataladi.

Noto'g'ri integral o'rniga integral chegarasidan foydalanish. Noto'g'ri integralni hisoblash uchun aniq integralning chegarasidan foydalanish kerak. Agar bu chegara mavjud bo'lsa va chekli bo'lsa (cheksizlikka teng bo'lmasa), unda noto'g'ri integral konvergent deb ataladi, aks holda u divergent hisoblanadi. Chegara belgisi ostidagi o'zgaruvchining nimaga moyilligi biz birinchi turdagi noto'g'ri integral yoki ikkinchi turdagi integral bilan ishlayotganimizga bog'liq. Keling, bu haqda hozir bilib olaylik.

Birinchi turdagi noto'g'ri integrallar - cheksiz chegaralar va ularning yaqinlashuvi

Cheksiz yuqori chegaraga ega noto'g'ri integrallar

Demak, noto'g'ri integralning yozuvi odatdagi aniq integraldan integrallashning yuqori chegarasi cheksiz ekanligi bilan farq qiladi.

Ta'rif. Uzluksiz funksiyadan integrallashning cheksiz yuqori chegarasiga ega noto'g'ri integral f(x) orasida a oldin ∞ bu funksiyaning integralining yuqori chegarasi bilan integralining chegarasi deyiladi b va integratsiyaning pastki chegarasi a integratsiyaning yuqori chegarasi cheksiz o'sishi sharti bilan, ya'ni.

.

Agar bu chegara mavjud bo'lsa va abadiylikka emas, balki qandaydir songa teng bo'lsa, unda noto'g'ri integral konvergent deyiladi, va chegaraga teng son uning qiymati sifatida qabul qilinadi. Aks holda noto'g'ri integral divergent deyiladi va unga hech qanday qiymat berilmaydi.

Misol 1. Noto'g'ri integralni hisoblang(agar u birlashsa).

Yechim. Noto'g'ri integralning ta'rifiga asoslanib, biz topamiz

Chegara mavjud va 1 ga teng bo'lganligi sababli, berilgan noto'g'ri integral yaqinlashadi va 1 ga teng.

Quyidagi misolda integral 1-misoldagi kabi deyarli bir xil, faqat x ning darajasi ikki emas, balki alfa harfi va vazifa yaqinlashuv uchun noto'g'ri integralni o'rganishdir. Ya'ni, savolga javob berish kerak: bu noto'g'ri integral alfa ning qaysi qiymatlarida yaqinlashadi va u qanday qiymatlarda ajralib chiqadi?

2-misol. Noto'g'ri integralning yaqinlashuvini o'rganing(pastki integratsiya chegarasi noldan katta).

Yechim. Faraz qilaylik, birinchi navbatda, keyin

Olingan ifodada biz chegaraga o'tamiz:

O'ng tarafdagi chegara mavjudligini va qachon nolga teng ekanligini ko'rish oson, ya'ni, qachon yo'q, ya'ni.

Birinchi holda, ya'ni qachon . Agar , keyin va mavjud emas.

Tadqiqotimizning xulosasi quyidagicha: noto'g'ri integral yaqinlashadi da va farqlanadi da .

Noto'g'ri integralning o'rganilayotgan turiga Nyuton-Leybnits formulasini qo'llash , biz quyidagi juda o'xshash formulani olishimiz mumkin:

.

Bu umumlashtirilgan Nyuton-Leybnits formulasi.

Misol 3. Noto'g'ri integralni hisoblash(agar u birlashsa).

Ushbu integralning chegarasi mavjud:

Asl integralni ifodalovchi yig'indi bo'lgan ikkinchi integral:

Ushbu integralning chegarasi ham mavjud:

.

Biz ikkita integralning yig'indisini topamiz, bu ham ikkita cheksiz chegarali dastlabki noto'g'ri integralning qiymati:

Ikkinchi turdagi noto'g'ri integrallar - cheksiz funktsiyalardan va ularning yaqinlashuvidan

Funktsiyaga ruxsat bering f(x) dan segmentiga o'rnatiladi a oldin b va unda cheksiz. Faraz qilaylik, funksiya nuqtada cheksizlikka boradi b , segmentning boshqa barcha nuqtalarida esa uzluksiz.

Ta'rif. Funktsiyaning noto'g'ri integrali f(x) dan segmentida a oldin b bu funksiyaning integralining yuqori chegarasi bilan integralining chegarasi deyiladi c , agar intilish paytida c uchun b funksiya cheksiz va nuqtada ortadi x = b funksiya aniqlanmagan, ya'ni.

.

Agar bu chegara mavjud bo'lsa, ikkinchi turdagi noto'g'ri integral konvergent, aks holda divergent deb ataladi.

Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, biz hosil qilamiz.