Matematik kutish - bu ta'rif

Matni kutish qiymatlarning taqsimlanishini tavsiflovchi matematik statistika va ehtimollar nazariyasidagi eng muhim tushunchalardan biri. ehtimolliklar tasodifiy o'zgaruvchi. Odatda tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan parametrlarining o'rtacha og'irligi sifatida ifodalanadi. U texnik tahlilda, sonlar qatorlarini oʻrganishda, uzluksiz va uzoq muddatli jarayonlarni oʻrganishda keng qoʻllaniladi. Moliyaviy bozorlarda savdo qilishda risklarni baholash, narx ko'rsatkichlarini bashorat qilishda muhim ahamiyatga ega va o'yin taktikasi strategiyalari va usullarini ishlab chiqishda qo'llaniladi. qimor nazariyasi.

Checkmate kutmoqda- bu tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati, taqsimoti ehtimolliklar tasodifiy o'zgaruvchi ehtimollar nazariyasida ko'rib chiqiladi.

Matni kutish ehtimollik nazariyasidagi tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymatining o'lchovi. Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi x belgilangan M(x).

Matematik kutish (O'rtacha aholi soni) hisoblanadi

Matni kutish

Matni kutish ehtimollik nazariyasida bu tasodifiy o'zgaruvchi olishi mumkin bo'lgan barcha mumkin bo'lgan qiymatlarning o'rtacha og'irligi.

Matni kutish tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari ko'paytmalarining ushbu qiymatlarning ehtimolliklari bo'yicha yig'indisi.

Matematik kutish (O'rtacha aholi soni) hisoblanadi

Matni kutish ma'lum bir qarordan o'rtacha foyda, agar bunday qaror katta sonlar va uzoq masofalar nazariyasi doirasida ko'rib chiqilishi mumkin.

Matni kutish qimor o'yinlari nazariyasida chayqovchi har bir tikish uchun o'rtacha hisobda olishi yoki yo'qotishi mumkin bo'lgan yutuq miqdori. Qimor o'yinlari tilida chayqovchilar Bu ba'zan "afzallik" deb ataladi chayqovchi” (agar u chayqovchi uchun ijobiy bo'lsa) yoki "uy chekkasi" (agar u chayqovchi uchun salbiy bo'lsa).

Matematik kutish (O'rtacha aholi soni) hisoblanadi

Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese Veb-sayt weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. OK

Kutilgan qiymat

Dispersiya Mumkin qiymatlari butun Ox o'qiga tegishli bo'lgan doimiy X tasodifiy o'zgaruvchisi tenglik bilan aniqlanadi:

Xizmat topshirig'i. Onlayn kalkulyator muammolarni hal qilish uchun mo'ljallangan tarqatish zichligi f(x) , yoki F(x) taqsimot funksiyasi (misolga qarang). Odatda bunday vazifalarda uni topish talab qilinadi matematik kutish, standart og'ish, f(x) va F(x) funksiyalarini chizing.

Ko'rsatma. Kirish ma'lumotlarining turini tanlang: tarqatish zichligi f(x) yoki tarqatish funksiyasi F(x) .

Tarqatish zichligi berilgan f(x) taqsimot funksiyasi berilgan F(x)

Tarqatish zichligi f(x) berilgan:

F(x) taqsimot funksiyasi berilgan:

Uzluksiz tasodifiy miqdor ehtimollik zichligi bilan aniqlanadi
(Rayleigh taqsimot qonuni - radiotexnikada qo'llaniladi). M(x) , D(x) ni toping.

X tasodifiy o'zgaruvchisi deyiladi davomiy , agar uning taqsimot funksiyasi F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasi tasodifiy o'zgaruvchining ma'lum bir intervalga tushish ehtimolini hisoblash uchun ishlatiladi:
P(a< X < β)=F(β) - F(α)
bundan tashqari, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun uning chegaralari ushbu intervalga kiritilganmi yoki yo'qligi muhim emas:
P(a< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Tarqatish zichligi uzluksiz tasodifiy miqdor funksiya deyiladi
f(x)=F'(x) , taqsimot funksiyasining hosilasi.

Tarqatish zichligi xossalari

1. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish zichligi x ning barcha qiymatlari uchun manfiy emas (f(x) ≥ 0).
2. Normalizatsiya sharti:

Normalizatsiya shartining geometrik ma'nosi: taqsimlanish zichligi egri chizig'i ostidagi maydon birga teng.
3. a dan b gacha bo‘lgan oraliqda X tasodifiy o‘zgaruvchiga urilish ehtimoli formula bo‘yicha hisoblanishi mumkin.

Geometrik jihatdan uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X ning (a, b) oraliqga tushishi ehtimolligi ushbu intervalga asoslangan taqsimot zichligi egri chizig'i ostidagi egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng.
4. Tarqatish funksiyasi zichlik bilan quyidagicha ifodalanadi:

X nuqtadagi taqsimot zichligi qiymati bu qiymatni olish ehtimoliga teng emas, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun biz faqat ma'lum bir intervalga tushish ehtimoli haqida gapirishimiz mumkin. Agar qator absolyut yaqinlashsa =∑x i p i bo'lsin.

Xizmat topshirig'i. Onlayn xizmat bilan matematik kutish, dispersiya va standart og'ish hisoblanadi(misolga qarang). Bundan tashqari, F(X) taqsimot funksiyasining grafigi chiziladi.

Tasodifiy miqdorning matematik kutilishining xossalari

1. Doimiy qiymatning matematik kutilishi o'ziga teng: M[C]=C , C doimiy;
2. M=C M[X]
3. Tasodifiy o‘zgaruvchilar yig‘indisining matematik kutilishi ularning matematik taxminlari yig‘indisiga teng: M=M[X]+M[Y]
4. Mustaqil tasodifiy miqdorlar ko‘paytmasining matematik kutilishi ularning matematik kutilmalari ko‘paytmasiga teng: M=M[X] M[Y], agar X va Y mustaqil bo‘lsa.

Dispersiya xususiyatlari

1. Doimiy qiymatning dispersiyasi nolga teng: D(c)=0.
2. Doimiy koeffitsientni dispersiya belgisi ostidan uning kvadratiga aylantirib chiqarish mumkin: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Agar X va Y tasodifiy miqdorlar mustaqil bo‘lsa, yig‘indining dispersiyasi dispersiyalarning yig‘indisiga teng bo‘ladi: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Agar X va Y tasodifiy o'zgaruvchilar bog'liq bo'lsa: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Dispersiya uchun hisoblash formulasi amal qiladi:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Misol. Ikki mustaqil X va Y tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmalari va dispersiyalari ma’lum: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Z=9X-8Y+7 tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini toping.
Yechim. Matematik kutilma xossalari asosida: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Dispersiya xususiyatlariga ko'ra: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Matematik kutishni hisoblash algoritmi

Diskret tasodifiy o'zgaruvchilarning xususiyatlari: ularning barcha qiymatlarini natural sonlar bilan qayta raqamlash mumkin; Har bir qiymatga nolga teng bo'lmagan ehtimollikni tayinlang.

1. Juftlarni birma-bir ko'paytiring: x i ga p i .
2. Har bir juftlikning mahsulotini qo'shamiz x i p i .
   Masalan, n = 4 uchun: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Diskret tasodifiy miqdorni taqsimlash funksiyasi bosqichma-bosqich, ehtimolliklari ijobiy bo'lgan nuqtalarda keskin ortadi.

№1 misol.

x i	1	3	4	7	9
pi	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Matematik kutilma m = ∑x i p i formula bilan topiladi.
Matematik kutish M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Dispersiya d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 formulasi bilan topiladi.
Dispersiya D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Standart og'ish s(x).
s = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78

№2 misol. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi quyidagi taqsimot qatoriga ega:

X	-10	-5	0	5	10
R	a	0,32	2a	0,41	0,03

Ushbu tasodifiy miqdorning a qiymatini, matematik kutilmasini va standart og'ishini toping.

Yechim. Munosabatdan a qiymati topiladi: sp i = 1
Sp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 yoki 0,24=3 a , bundan a = 0,08

№3 misol. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini aniqlang, agar uning dispersiyasi ma'lum bo'lsa va x 1 x 1 =6; x2=9; x3=x; x4=15
p 1 =0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96

Yechim.
Bu erda d (x) dispersiyani topish uchun formulani yaratishingiz kerak:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
bu yerda kutilma m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Bizning ma'lumotlarimiz uchun
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
yoki -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Shunga ko'ra, tenglamaning ildizlarini topish kerak va ulardan ikkitasi bo'ladi.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Biz x 1 shartni qanoatlantiradiganini tanlaymiz x3=12

Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni
x 1 =6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p 1 =0,3; p2=0,3; p3=0,1; p 4 \u003d 0,3

Ehtimollar nazariyasi matematikaning maxsus bo'limi bo'lib, uni faqat oliy o'quv yurtlari talabalari o'rganadilar. Hisoblash va formulalarni yaxshi ko'rasizmi? Oddiy taqsimot, ansamblning entropiyasi, matematik kutish va diskret tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi bilan tanishish istiqbollaridan qo'rqmaysizmi? Shunda bu mavzu sizni juda qiziqtiradi. Keling, ushbu fan bo'limining eng muhim asosiy tushunchalari bilan tanishamiz.

Keling, asosiy narsalarni eslaylik

Ehtimollar nazariyasining eng oddiy tushunchalarini eslab qolsangiz ham, maqolaning birinchi xatboshilarini e'tiborsiz qoldirmang. Gap shundaki, asoslarni aniq tushunmasdan, siz quyida muhokama qilingan formulalar bilan ishlay olmaysiz.

Shunday qilib, qandaydir tasodifiy hodisa, qandaydir tajriba bor. Amalga oshirilgan harakatlar natijasida biz bir nechta natijalarni olishimiz mumkin - ulardan ba'zilari tez-tez uchraydi, boshqalari kamroq. Hodisa ehtimoli - bu bir turdagi haqiqatda olingan natijalar sonining mumkin bo'lganlarning umumiy soniga nisbati. Faqatgina ushbu kontseptsiyaning klassik ta'rifini bilib, siz uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik kutilishi va tarqalishini o'rganishni boshlashingiz mumkin.

O'rta arifmetik

Maktabda, matematika darslarida siz o'rtacha arifmetik bilan ishlay boshladingiz. Bu tushuncha ehtimollar nazariyasida keng qo'llaniladi va shuning uchun uni e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydi. Ayni paytda biz uchun asosiy narsa shundaki, biz buni tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va dispersiyasi formulalarida uchratamiz.

Bizda raqamlar ketma-ketligi bor va o'rtacha arifmetikni topmoqchimiz. Bizdan talab qilinadigan narsa - mavjud bo'lgan barcha narsalarni jamlash va ketma-ketlikdagi elementlar soniga bo'lish. Bizda 1 dan 9 gacha raqamlar bo'lsin. Elementlarning yig'indisi 45 ga teng bo'ladi va biz bu qiymatni 9 ga bo'lamiz. Javob: - 5.

Dispersiya

Ilmiy so'z bilan aytganda, dispersiya - bu olingan xususiyat qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatdan chetlanishining o'rtacha kvadrati. Biri bosh lotin harfi D bilan belgilanadi. Uni hisoblash uchun nima kerak? Ketma-ketlikning har bir elementi uchun mavjud son va arifmetik o'rtacha o'rtasidagi farqni hisoblab chiqamiz va uning kvadratiga aylantiramiz. Biz ko'rib chiqayotgan voqea uchun qancha natijalar bo'lishi mumkin bo'lsa, shuncha ko'p qiymatlar bo'ladi. Keyinchalik, biz olingan hamma narsani umumlashtiramiz va ketma-ketlikdagi elementlar soniga bo'linadi. Agar bizda beshta mumkin bo'lgan natija bo'lsa, unda beshga bo'ling.

Dispersiya shuningdek, muammolarni hal qilishda uni qo'llash uchun eslab qolishingiz kerak bo'lgan xususiyatlarga ega. Misol uchun, agar tasodifiy miqdor X marta ko'paytirilsa, dispersiya kvadratdan X marta ortadi (ya'ni X*X). U hech qachon noldan kam emas va qiymatlarni teng qiymatga yuqoriga yoki pastga siljishiga bog'liq emas. Shuningdek, mustaqil sinovlar uchun yig'indining dispersiyasi dispersiyalarning yig'indisiga teng.

Endi biz, albatta, diskret tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi va matematik kutish misollarini ko'rib chiqishimiz kerak.

Aytaylik, biz 21 ta tajriba o'tkazdik va 7 xil natijaga erishdik. Biz ularning har birini mos ravishda 1,2,2,3,4,4 va 5 marta kuzatdik. Farq qanday bo'ladi?

Birinchidan, biz o'rtacha arifmetik qiymatni hisoblaymiz: elementlarning yig'indisi, albatta, 21. Biz uni 7 ga bo'lamiz, 3 ni olamiz. Endi biz dastlabki ketma-ketlikdagi har bir raqamdan 3 ni ayirib, har bir qiymatni kvadratga aylantiramiz va natijalarni birgalikda qo'shamiz. . Bu 12 bo'lib chiqdi. Endi biz uchun raqamni elementlar soniga bo'lish qoladi va bu hammasi bo'lib tuyuladi. Ammo bir yutuq bor! Keling, buni muhokama qilaylik.

Tajribalar soniga bog'liqlik

Ma'lum bo'lishicha, dispersiyani hisoblashda maxraj ikkita raqamdan biri bo'lishi mumkin: N yoki N-1. Bu erda N - bajarilgan tajribalar soni yoki ketma-ketlikdagi elementlar soni (bu asosan bir xil narsa). Bu nimaga bog'liq?

Agar testlar soni yuzlab o'lchangan bo'lsa, u holda biz maxrajga N qo'yishimiz kerak, agar birliklarda bo'lsa, N-1. Olimlar chegarani juda ramziy ravishda chizishga qaror qilishdi: bugungi kunda u 30 raqami bo'ylab ishlaydi. Agar biz 30 dan kam tajriba o'tkazgan bo'lsak, unda biz miqdorni N-1 ga, agar ko'p bo'lsa, N ga bo'lamiz.

Vazifa

Keling, dispersiya va kutish masalasini hal qilish misolimizga qaytaylik. Biz oraliq raqamni oldik 12, uni N yoki N-1 ga bo'lish kerak edi. Biz 30 dan kam bo'lgan 21 ta tajriba o'tkazganimiz uchun biz ikkinchi variantni tanlaymiz. Demak, javob: dispersiya 12/2 = 2.

Kutilgan qiymat

Keling, ushbu maqolada ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan ikkinchi kontseptsiyaga o'tamiz. Matematik kutish barcha mumkin bo'lgan natijalarni mos keladigan ehtimollar bilan ko'paytirish natijasidir. Olingan qiymat, shuningdek, dispersiyani hisoblash natijasi, unda qancha natijalar ko'rib chiqilishidan qat'i nazar, butun vazifa uchun faqat bir marta olinishini tushunish muhimdir.

Matematik kutish formulasi juda oddiy: biz natijani olamiz, uni ehtimollik bilan ko'paytiramiz, ikkinchi, uchinchi natija uchun bir xil qo'shamiz va hokazo. Ushbu kontseptsiyaga tegishli hamma narsani hisoblash oson. Masalan, matematik taxminlar yig'indisi yig'indining matematik kutishiga teng. Xuddi shu narsa ish uchun ham amal qiladi. Ehtimollar nazariyasidagi har bir miqdor bunday oddiy amallarni bajarishga imkon bermaydi. Keling, topshiriqni olamiz va bir vaqtning o'zida o'rgangan ikkita tushunchaning qiymatini hisoblaymiz. Bundan tashqari, biz nazariya bilan chalg'idik - amaliyot vaqti keldi.

Yana bir misol

Biz 50 ta sinovni o'tkazdik va 10 turdagi natijalarni oldik - 0 dan 9 gacha raqamlar - har xil foizlarda paydo bo'ladi. Bular mos ravishda: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Eslatib o'tamiz, ehtimolliklarni olish uchun siz foiz qiymatlarini 100 ga bo'lishingiz kerak. Shunday qilib, biz 0,02 ni olamiz; 0,1 va boshqalar. Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi va matematik kutish uchun masalani yechish misolini keltiramiz.

Biz boshlang'ich maktabda eslab qolgan formuladan foydalanib, o'rtacha arifmetikni hisoblaymiz: 50/10 = 5.

Keling, hisoblashni qulayroq qilish uchun ehtimollarni natijalar soniga "bo'laklarga" aylantiramiz. Biz 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 va 9 ni olamiz. Olingan har bir qiymatdan o'rtacha arifmetikni ayirib, shundan so'ng olingan natijalarning har birini kvadratga aylantiramiz. Misol sifatida birinchi element bilan buni qanday qilishni ko'ring: 1 - 5 = (-4). Keyinchalik: (-4) * (-4) = 16. Boshqa qiymatlar uchun ushbu amallarni o'zingiz bajaring. Agar siz hamma narsani to'g'ri bajargan bo'lsangiz, hamma narsani qo'shgandan so'ng siz 90 ni olasiz.

90 ni N ga bo'lish orqali dispersiya va o'rtachani hisoblashni davom ettiramiz. Nima uchun biz N-1 emas, N ni tanlaymiz? To'g'ri, chunki bajarilgan tajribalar soni 30 dan oshadi. Shunday qilib: 90/10 = 9. Biz dispersiyani oldik. Agar siz boshqa raqamni olsangiz, umidsizlikka tushmang. Katta ehtimol bilan siz hisob-kitoblarda xato qildingiz. Yozganlaringizni ikki marta tekshiring, shunda hamma narsa joyiga tushadi.

Va nihoyat, matematik kutish formulasini eslaylik. Biz barcha hisob-kitoblarni bermaymiz, faqat barcha kerakli protseduralarni bajarganingizdan so'ng tekshirishingiz mumkin bo'lgan javobni yozamiz. Kutilayotgan qiymat 5,48 bo'ladi. Biz faqat birinchi elementlarning misolidan foydalanib, operatsiyalarni qanday bajarishni eslaymiz: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... va hokazo. Ko'rib turganingizdek, biz shunchaki natijaning qiymatini uning ehtimoli bilan ko'paytiramiz.

Og'ish

Dispersiya va matematik kutish bilan chambarchas bog'liq bo'lgan yana bir tushuncha standart og'ishdir. U lotincha sd harflari yoki yunoncha kichik "sigma" bilan belgilanadi. Ushbu kontseptsiya o'rtacha qiymatlarning markaziy xususiyatdan qanday chetga chiqishini ko'rsatadi. Uning qiymatini topish uchun dispersiyaning kvadrat ildizini hisoblash kerak.

Agar siz oddiy taqsimotni chizsangiz va to'g'ridan-to'g'ri kvadrat og'ishini ko'rishni istasangiz, bu bir necha bosqichda amalga oshirilishi mumkin. Rasmning yarmini rejimning chap yoki o'ng tomoniga (markaziy qiymat) oling, natijada olingan raqamlarning maydonlari teng bo'lishi uchun gorizontal o'qga perpendikulyar chizing. Tarqatishning o'rtasi va natijada gorizontal o'qdagi proektsiya o'rtasidagi segmentning qiymati standart og'ish bo'ladi.

Dasturiy ta'minot

Formulalarning tavsiflari va keltirilgan misollardan ko'rinib turibdiki, dispersiya va matematik kutishni hisoblash arifmetik nuqtai nazardan eng oson protsedura emas. Vaqtni behuda o'tkazmaslik uchun oliy ta'limda qo'llaniladigan dasturdan foydalanish mantiqan to'g'ri keladi - u "R" deb ataladi. U statistika va ehtimollar nazariyasidan ko'plab tushunchalar uchun qiymatlarni hisoblash imkonini beruvchi funktsiyalarga ega.

Masalan, siz qiymatlar vektorini aniqlaysiz. Bu quyidagicha amalga oshiriladi: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Nihoyat

Dispersiya va matematik kutish - bularsiz kelajakda biror narsani hisoblash qiyin. Universitetlardagi ma'ruzalarning asosiy kursida ular fanni o'rganishning birinchi oylaridayoq ko'rib chiqiladi. Aynan shu oddiy tushunchalarni tushunmaganliklari va ularni hisoblab chiqa olmaganliklari sababli ko‘plab talabalar darhol dasturda qolib ketishadi va keyinchalik sessiyada yomon baho olishadi, bu esa ularni stipendiyalardan mahrum qiladi.

Kuniga kamida bir hafta yarim soat mashq qiling, ushbu maqolada keltirilganlarga o'xshash vazifalarni hal qiling. Keyin, har qanday ehtimollik nazariyasi testida siz begona maslahatlar va nayranglarsiz misollar bilan kurashasiz.

Vazifa 1. Bug'doy urug'larining unib chiqish ehtimoli 0,9 ga teng. Ekilgan to'rtta urug'dan kamida uchtasi unib chiqishi ehtimoli qanday?

Yechim. Tadbirga ruxsat bering A- 4 ta urug‘dan kamida 3 tasi unib chiqadi; voqea V- 4 ta urug'dan 3 tasi unib chiqadi; voqea BILAN 4 ta urug'dan 4 ta urug' chiqadi. Ehtimollarni qo'shish teoremasiga ko'ra

Ehtimollar
va
quyidagi holatda qo'llaniladigan Bernulli formulasi bilan aniqlaymiz. Seriya davom etsin P mustaqil sinovlar, ularning har birida hodisaning yuzaga kelish ehtimoli doimiy va tengdir R, va bu hodisaning sodir bo'lmasligi ehtimoli teng
. Keyin hodisaning ehtimoli A v P testlar aniq paydo bo'ladi marta, Bernulli formulasi bilan hisoblangan

,

qayerda
- kombinatsiyalar soni P tomonidan elementlar . Keyin

Istalgan ehtimollik

Vazifa 2. Bug'doy urug'larining unib chiqish ehtimoli 0,9 ga teng. Ekilgan 400 ta urug‘dan 350 tasi unib chiqish ehtimolini toping.

Yechim. Istalgan ehtimollikni hisoblang
Bernulli formulasiga ko'ra, hisob-kitoblarning noqulayligi tufayli qiyin. Shuning uchun biz mahalliy Laplas teoremasini ifodalovchi taxminiy formulani qo'llaymiz:

,

qayerda
va
.

Muammo bayonotidan. Keyin

.

Ilovalarning 1-jadvalidan biz topamiz. Istalgan ehtimollik teng

Vazifa 3. Bug'doy urug'lari orasida 0,02% begona o'tlar. 10 000 ta urug‘ning tasodifiy tanlanishi natijasida 6 ta begona o‘t urug‘ining paydo bo‘lish ehtimoli qanday?

Yechim. Kam ehtimollik tufayli mahalliy Laplas teoremasini qo'llash
ehtimollikning aniq qiymatdan sezilarli og'ishiga olib keladi
. Shuning uchun, kichik qiymatlar uchun R hisoblash uchun
asimptotik Puasson formulasini qo'llang

, qayerda.

Bu formula qachon ishlatiladi
, va kamroq R va boshqalar P, natija qanchalik aniq bo'lsa.

Vazifaga ko'ra
;
. Keyin

Vazifa 4. Bug'doy urug'larining unib chiqish foizi 90% ni tashkil qiladi. Ekilgan 500 ta urug‘dan 400 tadan 440 tagacha urug‘ning unib chiqishi ehtimolini toping.

Yechim. Voqea sodir bo'lish ehtimoli bo'lsa A har birida P testlar doimiy va tengdir R, keyin ehtimollik
bu voqea A bunday testlarda kamida bo'ladi bir marta va ortiq emas vaqtlar Laplas integral teoremasi bilan quyidagi formula bilan aniqlanadi:

, qayerda

,
.

Funktsiya
Laplas funksiyasi deyiladi. Ilovalarda (2-jadval) ushbu funktsiyaning qiymatlari berilgan
. Da
funktsiyasi
. Salbiy qiymatlar uchun X Laplas funksiyasining g'alatiligi tufayli
. Laplas funksiyasidan foydalanib, bizda quyidagilar mavjud:

Vazifaga ko'ra. Yuqoridagi formulalardan foydalanib, biz topamiz
va :

Vazifa 5. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni berilgan X:

2. Toping: 1) matematik kutish; 2) dispersiya; 3) standart og'ish.

Yechim. 1) Diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni jadval orqali berilgan bo'lsa

2. Agar birinchi qatorda tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari berilgan bo'lsa va ikkinchi qatorda bu qiymatlarning ehtimolligi berilgan bo'lsa, matematik taxmin formula bo'yicha hisoblanadi.

2) dispersiya
diskret tasodifiy miqdor X tasodifiy miqdorning matematik kutilmasidan chetlanish kvadratining matematik kutilishi deyiladi, ya'ni.

Bu qiymat kvadrat og'ishning o'rtacha kutilgan qiymatini tavsiflaydi X dan
. Bizda mavjud bo'lgan oxirgi formuladan

dispersiya
uning quyidagi xossasidan kelib chiqib, boshqa usulda ham topish mumkin: dispersiya
tasodifiy miqdor kvadratining matematik kutilishi orasidagi farqga teng X va uning matematik kutish kvadrati
, ya'ni

Hisoblash uchun
miqdor taqsimotining quyidagi qonunini tuzamiz
:

3) Tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarining uning o'rtacha qiymati atrofida tarqalishini tavsiflash uchun standart og'ish kiritiladi.
tasodifiy o'zgaruvchi X, dispersiyaning kvadrat ildiziga teng
, ya'ni

.

Ushbu formuladan bizda:

Vazifa 6. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X integral taqsimot funksiyasi bilan berilgan

Toping: 1) differensial taqsimot funksiyasi
; 2) matematik kutish
; 3) dispersiya
.

Yechim. 1) Differensial taqsimot funksiyasi
uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X integral taqsimot funksiyasining hosilasi deyiladi
, ya'ni

.

Istalgan differentsial funktsiya quyidagi shaklga ega:

2) uzluksiz tasodifiy miqdor bo'lsa X funksiya tomonidan berilgan
, keyin uning matematik kutilishi formula bilan aniqlanadi

Funktsiyadan beri
da
va da
nolga teng, keyin bizda mavjud bo'lgan oxirgi formuladan

.

3) dispersiya
formula bilan aniqlang

Vazifa 7. Qism uzunligi normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, matematik taxmin 40 mm va standart og'ish 3 mm. Toping: 1) ixtiyoriy qismning uzunligi 34 mm dan ortiq va 43 mm dan kichik bo'lish ehtimoli; 2) qismning uzunligi uning matematik kutilganidan 1,5 mm dan ko'p bo'lmagan chetga chiqish ehtimoli.

Yechim. 1) Mayli X- qismning uzunligi. Agar tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa X differensial funksiya bilan berilgan
, keyin buning ehtimoli X segmentga tegishli qiymatlarni oladi
, formula bilan aniqlanadi

.

Qattiq tengsizliklarni bajarish ehtimoli
bir xil formula bilan aniqlanadi. Agar tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa X normal qonun bo'yicha taqsimlanadi, keyin

, (1)

qayerda
Laplas funksiyasi,
.

Vazifada. Keyin

2) Muammoning sharti bo'yicha , qayerda
. (1) ga almashtirsak, biz bor

. (2)

Formuladan (2) biz bor.