Taqsimot qonuni bilan berilgan diskret tasodifiy miqdorni ko'rib chiqing:
Kutilgan qiymat teng:
Biz bundan ham ko'proq ekanligini ko'ramiz. Bu qiymat bilan izohlash mumkin x= -150, bu qolgan qiymatlardan ancha farq qiladi, kvadrat bo'lganda keskin oshdi; bu qiymatning ehtimoli kichik (0,02). Shunday qilib, dan o'tish M(X) Kimga M(X2) mutlaq qiymatda katta bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchining bunday qiymatlarini matematik kutishga ta'sirini yaxshiroq hisobga olishga imkon berdi, lekin ularning paydo bo'lish ehtimoli kichik. Albatta, agar miqdor bir nechta katta va ehtimol bo'lmagan qiymatlarga ega bo'lsa, unda miqdorga o'tish x2, va undan ham ko'proq qadriyatlarga , va hokazo, bu katta, ammo mumkin bo'lmagan qiymatlarning "rolini yanada kuchaytirish" imkonini beradi. Shuning uchun tasodifiy o'zgaruvchining musbat butun sonining matematik kutilishini nafaqat diskret, balki uzluksiz ham ko'rib chiqish maqsadga muvofiqdir.
Ta'rif 6.10. Tasodifiy o'zgaruvchining tartibli boshlang'ich momenti qiymatning matematik kutilishidir:
Ayniqsa:
Bu nuqtalardan foydalanib, dispersiyani hisoblash formulasini boshqacha yozish mumkin
Tasodifiy o'zgaruvchining momentlariga qo'shimcha ravishda, og'ish momentlarini hisobga olish tavsiya etiladi.
Ta'rif 6.11. Tasodifiy o'zgaruvchining th tartibining markaziy momenti qiymatning matematik kutishidir.
(6.23)
Ayniqsa,
Boshlang'ich va markaziy momentlarni bog'laydigan munosabatlarni olish oson. Shunday qilib, (6.22) va (6.24) taqqoslab, biz quyidagilarga erishamiz:
Quyidagi munosabatlarni isbotlash qiyin emas:
Xuddi shunday:
Yuqori darajadagi lahzalar kamdan-kam qo'llaniladi. Markaziy momentlarni aniqlashda tasodifiy o'zgaruvchining uning matematik kutilishidan (markazidan) og'ishlari qo'llaniladi. Shuning uchun, daqiqalar deyiladi markaziy.
Boshlang'ich momentlarni aniqlashda tasodifiy miqdorning og'ishlari ham qo'llaniladi, lekin matematik kutilganidan emas, balki abtsissasi nolga teng bo'lgan nuqtadan kelib chiqadi. Shuning uchun, daqiqalar deyiladi boshlang'ich.
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchida, tartibning boshlang'ich momenti quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
(6.27)
Uzluksiz tasodifiy miqdorning markaziy momenti quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
(6.28)
Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishi matematik kutishga nisbatan simmetrik bo'lsin, deb faraz qiling. Keyin toq tartibdagi barcha markaziy momentlar nolga teng. Bu miqdorning har bir ijobiy qiymati uchun ekanligi bilan izohlanishi mumkin X-M(X) ga nisbatan taqsimlanish simmetriyasi tufayli mavjud M(X)) bu miqdorning manfiy qiymati mutlaq qiymatda unga teng va ularning ehtimollari bir xil bo'ladi.
Agar g'alati tartibning markaziy momenti nolga teng bo'lmasa, bu taqsimotning assimetriyasini ko'rsatadi va moment qanchalik katta bo'lsa, assimetriya shunchalik katta bo'ladi. Shuning uchun taqsimot assimetriyasining xarakteristikasi sifatida g'alati markaziy momentni olish eng oqilona. Birinchi tartibning markaziy momenti har doim nolga teng bo'lganligi sababli, bu maqsadda uchinchi tartibning markaziy momentidan foydalanish tavsiya etiladi.
Ta'rif 6.12. Asimmetriya koeffitsienti bu qiymat:
Agar assimetriya koeffitsienti salbiy bo'lsa, bu salbiy og'ishlarning kattaligiga katta ta'sir ko'rsatadi. Bunday holda, taqsimot egri chizig'i (6.1-rasm). a) ning chap tomonidagi soyabondan ko'proq. Agar koeffitsient ijobiy bo'lsa, ya'ni ijobiy og'ishlarning ta'siri ustun bo'lsa, taqsimlash egri chizig'i o'ng tomonda tekisroq bo'ladi.
Ma'lumki, ikkinchi markaziy moment (dispersiya) tasodifiy o'zgaruvchi qiymatlarining uning matematik kutilishi atrofida tarqalishini tavsiflash uchun xizmat qiladi. Agar biron bir tasodifiy o'zgaruvchi uchun bu moment etarlicha katta bo'lsa, ya'ni. dispersiya katta bo'lsa, unda tegishli taqsimot egri chizig'i ikkinchi tartibli kichikroq momentga ega tasodifiy miqdorning taqsimot egri chizig'idan tekisroq bo'ladi. Biroq, moment bu maqsadga xizmat qila olmaydi, chunki har qanday tarqatish uchun 
.
Bunday holda, to'rtinchi tartibning markaziy momenti ishlatiladi.
Ta'rif 6.13. Kurtosis - bu qiymat:
Tabiatdagi eng keng tarqalgan normal taqsimot qonuni uchun nisbat . Shuning uchun (6.28) formula bilan berilgan kurtoz bu taqsimotni oddiy bilan solishtirishga xizmat qiladi (6.1-rasm). b).
Keling, matematik taxminni topaylik X 2 :
M(X 2) = 1* 0, 6 + 4* 0, 2 + 25* 0, 19+ 10000* 0, 01 = 106, 15.
Biz buni ko'ramiz M(X 2) ko'proq M(X). Bu miqdorning mumkin bo'lgan qiymatini kvadratga aylantirgandan so'ng, bu bilan izohlanadi X 2 qiymatga mos keladi x=100 qiymat x, 10 000 ga teng bo'ldi, ya'ni sezilarli darajada oshdi; bu qiymatning ehtimoli kichik (0,01).
Shunday qilib, dan o'tish M(X) Kimga M(X 2) katta va past ehtimolga ega bo'lgan mumkin bo'lgan qiymatning matematik kutilishiga ta'sirini yaxshiroq hisobga olish imkonini berdi. Albatta, agar qiymat bo'lsa X bir nechta katta va ehtimol bo'lmagan qiymatlarga ega bo'lgan, keyin miqdorga o'tish X 2 , va undan ham ko'proq miqdorlarga X 3 , X 4 va boshqalar, bu katta, ammo mumkin bo'lmagan qiymatlarning "rolini yanada kuchaytiradi". Shuning uchun tasodifiy o'zgaruvchining (nafaqat diskret, balki uzluksiz) musbat butun sonining matematik kutilishini ko'rib chiqish maqsadga muvofiqdir.
K tartibining dastlabki momenti tasodifiy o'zgaruvchi X miqdorning matematik kutilishi deyiladi Xk:
v k = M(X).
Ayniqsa,
v 1 = M(X), v 2 = M(X 2).
Ushbu nuqtalardan foydalanib, dispersiyani hisoblash formulasi D(X)= M(X 2)- [M(X)] 2 quyidagicha yozilishi mumkin:
D(X)=v 2 – . (*)
Tasodifiy o'zgaruvchining momentlari bundan mustasno X og'ish momentlarini hisobga olish maqsadga muvofiqdir X-M(X).
X tasodifiy miqdorning k tartibining markaziy momenti miqdorning matematik kutilishidir(HM(X))k:
Ayniqsa,
Boshlang'ich va markaziy momentlarni bog'laydigan munosabatlarni olish oson. Misol uchun, (*) va (***) solishtirsak, biz olamiz
m 2=v 2 – .
Markaziy momentni aniqlash va matematik kutish xususiyatlaridan foydalangan holda formulalarni olish qiyin emas:
m 3=v 3 – 3v 2 v 1 + 2 ,
m4=v 4 – 4v 3 v 1 + 6v 2 + 3 .
Yuqori tartibli momentlar kamdan-kam qo'llaniladi.
Izoh. Bu erda ko'rib chiqilgan daqiqalar deyiladi nazariy. Nazariy momentlardan farqli o'laroq, kuzatish ma'lumotlaridan hisoblangan momentlar deyiladi empirik. Empirik momentlarning ta'riflari quyida keltirilgan (XVII bobning 2-bandiga qarang).
Vazifalar
1. Ikki mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilarning dispersiyalari ma'lum: D(X) = 4, D(Y)=3. Bu miqdorlar yig‘indisining dispersiyasini toping.
Rep. 7.
2. Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi X 5 ga teng. Quyidagi miqdorlarning dispersiyasini toping: a) X- bitta; b) -2 X; v) ZX + 6.
Rep. a) 5; b) 20; c) 45.
3. Tasodifiy qiymat X faqat ikkita qiymatni oladi: +C va -C, har birining ehtimoli 0,5 ga teng. Bu miqdorning dispersiyasini toping.
Rep. BILAN 2 .
4. , uning taqsimlanish qonunini bilish
| X | 0, 1 | |||
| P | 0, 4 | 0, 2 | 0, 15 | 0, 25 |
Rep. 67,6404.
5. Tasodifiy qiymat X ikkita mumkin bo'lgan qiymatni qabul qilishi mumkin: X 1 ehtimoli 0,3 va x 0,7 ehtimollik bilan 2 va X 2 > x 1 . Toping x 1 va x 2 buni bilish M(X) = 2, 7i D(X) =0,21.
Rep. x 1 = 2, x 2 = 3.
6. Tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping X- hodisalarning sodir bo'lish soni A ikkita mustaqil sudda, agar M(X) = 0, 8.
Ko'rsatma. Hodisa sodir bo'lish sonining ikkilamchi taqsimotini yozing A ikkita mustaqil sinovda.
Rep. 0, 48.
7. To'rtta mustaqil ishlaydigan qurilmadan iborat qurilma sinovdan o'tkazilmoqda. Asbobning ishlamay qolish ehtimoli quyidagicha: R 1 = 0,3; R 2 = 0,4; p 3 = 0,5; R 4 = 0,6. Muvaffaqiyatsiz qurilmalar sonining matematik kutilishi va farqini toping.
Rep. 1,8; 0,94.
8. Tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping X- 100 ta mustaqil sinovda hodisaning sodir bo'lish soni, ularning har birida hodisaning yuzaga kelish ehtimoli 0,7 ga teng.
Rep. 21.
9. Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi D(X) = 6,25. Standart chetlanishni toping s( X).
Rep. 2, 5.
10. Tasodifiy miqdor taqsimot qonuni bilan berilgan
| X | |||
| P | 0, 1 | 0, 5 | 0, 4 |
Ushbu qiymatning standart og'ishini toping.
Rep. 2, 2.
11. 9 ta bir xil taqsimlangan oʻzaro mustaqil tasodifiy miqdorlarning har birining dispersiyasi 36. Bu oʻzgaruvchilarning oʻrtacha arifmetik qiymatining dispersiyasini toping.
Rep. 4.
12. 16 ta bir xil taqsimlangan oʻzaro mustaqil tasodifiy miqdorlarning har birining standart ogʻishi 10 ga teng. Ushbu oʻzgaruvchilarning oʻrtacha arifmetik qiymatining standart ogʻishini toping.
Rep. 2,5.
To'qqizinchi bob
BUYUK SONLAR QONUNI
Dastlabki mulohazalar
Ma'lumki, test natijasida tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlaridan qaysi birini olishini oldindan aniq taxmin qilish mumkin emas; bu ko'plab tasodifiy sabablarga bog'liq bo'lib, ularni hisobga olish mumkin emas. Ko'rinishidan, har bir tasodifiy o'zgaruvchi haqida juda kam ma'lumotga ega bo'lganimiz sababli, xatti-harakatlarning namunalarini va etarlicha katta miqdordagi tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisini o'rnatish qiyin. Aslida unday emas. Aniqlanishicha, ma'lum nisbatan keng sharoitlarda etarlicha katta miqdordagi tasodifiy o'zgaruvchilarning umumiy harakati deyarli tasodifiy xarakterini yo'qotadi va muntazam bo'ladi.
Amaliyot uchun juda ko'p tasodifiy sabablarning to'plangan ta'siri tasodifdan deyarli mustaqil bo'lgan natijaga olib keladigan sharoitlarni bilish juda muhimdir, chunki bu hodisalarning borishini oldindan ko'rish imkonini beradi. Bu shartlar katta sonlar qonunining umumiy nomini olgan teoremalarda ko'rsatilgan. Bularga Chebishev va Bernulli teoremalari kiradi (bu erda ko'rib chiqilmaydigan boshqa teoremalar mavjud). Chebishev teoremasi katta sonlarning eng umumiy qonuni, Bernulli teoremasi eng oddiy. Bu teoremalarni isbotlash uchun Chebishev tengsizligidan foydalanamiz.
Chebishev tengsizligi
Chebishev tengsizligi diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun amal qiladi. Oddiylik uchun biz diskret miqdorlar uchun bu tengsizlikni isbotlash bilan cheklanamiz.
Diskret tasodifiy miqdorni ko'rib chiqing x, tarqatish jadvali tomonidan berilgan:
| X | x 1 | X 2 | … | x n |
| p | p 1 | P 2 | … | p n |
Tasodifiy miqdorning matematik kutilmasidan chetlanishi absolyut qiymatdagi ijobiy e sonidan oshmasligi ehtimolini baholash vazifasini o‘z oldimizga qo‘yaylik. Agar e etarlicha kichik bo'lsa, biz buning ehtimolini baholaymiz X o'zining matematik taxminiga etarlicha yaqin qiymatlarni oladi. P. L. Chebyshev bizni qiziqtirgan bahoni berishga imkon beruvchi tengsizlikni isbotladi.
Chebishev tengsizligi. X tasodifiy o'zgaruvchining mutlaq qiymatdagi matematik kutilganidan chetga chiqishi e musbat sondan kichik bo'lish ehtimoli, dan kam emas. 1-D(X)/e 2 :
R(|X-M(X)|< e ) 1-D(X)/e 2 .
Isbot. Tengsizliklarni amalga oshirishdan iborat voqealardan beri |X-M(X)|
R(|X-M(X)|< e )+ P(|X-M(X)| e)= 1.
Shuning uchun bizni qiziqtirgan ehtimollik
R(|X-M(X)|< e )= 1- R(|X-M(X)| e). (*)
Shunday qilib, muammo ehtimollikni hisoblash uchun kamayadi R(| HM(X)| e).
Tasodifiy o‘zgaruvchining dispersiyasi ifodasini yozamiz X:
D(X)= [x 1 -M(X)] 2 p 1 + [x 2 -M(X)] 2 p 2 +…+ [xn-M(X)]2p n.
Shubhasiz, bu summaning barcha shartlari salbiy emas.
| uchun shartlarni bekor qilamiz x i-M(X)|<e(qolgan shartlar uchun | xj-M(X)| e), natijada miqdori faqat kamayishi mumkin. Keling, aniqlik uchun tashlab ketilgan narsalarni ko'rib chiqishga rozi bo'laylik k birinchi shartlar (umumiylikni yo'qotmasdan, biz taqsimlash jadvalidagi mumkin bo'lgan qiymatlar shu tartibda raqamlangan deb taxmin qilishimiz mumkin). Shunday qilib,
D(X) [x k + 1 -M(X)] 2 p k + 1 + [x k + 2 -M(X)] 2 p k + z + ... +[xn-M(X)] 2 p n.
E'tibor bering, tengsizlikning ikkala tomoni | xj - M(X)| e (j = k+1, k+ 2, ..., P) musbat, shuning uchun ularni kvadratiga aylantirib, | ekvivalent tengsizlikka erishamiz xj - M(X)| 2 e 2 Keling, ushbu izohdan foydalanamiz va omillarning har birini | xj - M(X)| sonida 2 ta e 2(shu bilan birga, tengsizlik faqat ortishi mumkin), biz olamiz
D(X) e 2 (p k+ 1 + p k + 2 + … + r n). (**)
Qo'shish teoremasi bo'yicha, ehtimollar yig'indisi p k+ 1 + p k + 2 + … + r n bo'lish ehtimoli bor X qadriyatlardan qaysi biri bo'lishidan qat'i nazar, birini qabul qiladi x k + 1 , x k+ 2 ,....x p, va ularning har biri uchun chetlanish tengsizlikni qanoatlantiradi | xj - M(X)| e Bundan kelib chiqadiki, summa p k+ 1 + p k + 2 + … + r n ehtimolini ifodalaydi
P(|X - M(X)| e).
Bu mulohaza tengsizlikni (**) quyidagicha qayta yozishga imkon beradi:
D(X) e 2 P(|X - M(X)| e),
P(|X - M(X)| e)D(X) /e 2 (***)
(***) ni (*) ga almashtirsak, biz nihoyat olamiz
P(|X - M(X)| <e) 1-D(X) /e 2 ,
Q.E.D.
Izoh. Chebishevning tengsizligi amalda cheklangan qiymatga ega, chunki u ko'pincha qo'pol va ba'zan ahamiyatsiz (qiziq bo'lmagan) baho beradi. Masalan, agar D(X)> e 2 va shuning uchun D(X)/e 2 > 1 keyin 1 -D(X)/e 2 < 0; shunday qilib, bu holda, Chebyshevning tengsizligi faqat og'ish ehtimoli salbiy emasligini ko'rsatadi, bu allaqachon aniq, chunki har qanday ehtimollik manfiy bo'lmagan son bilan ifodalanadi.
Chebishev tengsizligining nazariy ahamiyati juda katta. Quyida bu tengsizlikdan Chebishev teoremasini chiqaramiz.
Chebishev teoremasi
Chebishev teoremasi. Agar X 1 , X 2 ,…, X n, ...-juftlik mustaqil tasodifiy miqdorlar va ularning dispersiyalari bir xil chegaralangan(doimiy C sonidan oshmasligi kerak), u holda e musbat soni qanchalik kichik bo'lmasin, tengsizlik ehtimoli
Boshqacha aytganda, teorema sharoitida
Shunday qilib, Chebishev teoremasi shuni ko'rsatadiki, agar cheklangan dispersiyaga ega bo'lgan etarlicha katta miqdordagi mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar ko'rib chiqilsa, tasodifiy o'zgaruvchilarning o'rtacha arifmetik qiymatining ularning matematik taxminlarining o'rtacha arifmetik qiymatidan chetlanishi sodir bo'ladigan hodisani deyarli ishonchli deb hisoblash mumkin. o'zboshimchalik bilan mutlaq qiymatda kichik.
Isbot. Keling, yangi tasodifiy o'zgaruvchini - tasodifiy o'zgaruvchilarning o'rtacha arifmetikini ko'rib chiqaylik
=(X 1 +X 2 +…+Xn)/n.
Keling, matematik taxminni topaylik . Matematik kutishning xususiyatlaridan foydalanib (doimiy omilni matematik kutish belgisidan chiqarish mumkin, yig'indining matematik kutilishi atamalarning matematik kutishlari yig'indisiga teng), biz olamiz
M 
=
. (*)
Chebishev tengsizligini miqdorga qo'llasak, biz bor
O'ng tomonni (***) tengsizlikka (**) almashtirsak (nima uchun ikkinchisini faqat kuchaytirish mumkin), bizda
Demak, chegaraga o'tib, biz olamiz
Nihoyat, ehtimollik birdan oshmasligini hisobga olsak, biz nihoyat yozishimiz mumkin
Teorema isbotlangan.
Yuqorida, Chebishev teoremasini shakllantirishda biz tasodifiy o'zgaruvchilar turli xil matematik taxminlarga ega deb taxmin qildik. Amalda, ko'pincha tasodifiy o'zgaruvchilar bir xil matematik taxminlarga ega bo'ladi. Shubhasiz, agar bu miqdorlarning dispersiyalari cheklangan deb yana bir bor faraz qilsak, Chebishev teoremasi ularga tegishli bo'ladi.
Tasodifiy o'zgaruvchilarning har birining matematik kutilishini orqali belgilaymiz a; ko'rib chiqilayotgan holatda, matematik taxminlarning arifmetik o'rtacha qiymati, buni ko'rish oson, shuningdek, tengdir. a. Ko'rib chiqilayotgan alohida holat uchun Chebishev teoremasini shakllantirishimiz mumkin.
Agar X 1 , X 2 , ..., H p...-bir xil matematik kutilmaga ega bo'lgan juftlik mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar a va bu o'zgaruvchilarning dispersiyalari bir xilda cheklangan bo'lsa, u holda e soni qanchalik kichik bo'lmasin.> Oh tengsizlik ehtimoli
tasodifiy o'zgaruvchilar soni etarlicha katta bo'lsa, o'zboshimchalik bilan birlikka yaqin bo'ladi.
Boshqacha aytganda, teorema shartlarida tenglik
Chebishev teoremasining mohiyati
Tasdiqlangan teoremaning mohiyati quyidagilardan iborat: individual mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar o'zlarining matematik taxminlaridan uzoq bo'lgan qiymatlarni olishlari mumkin bo'lsa-da, tasodifiy o'zgaruvchilarning etarlicha katta arifmetik o'rtacha qiymati ma'lum bir doimiy songa yaqin qiymatlarni oladi, ya'ni raqam ( M(X 1)+ M(X 2)+...+M(X p))/P(yoki raqamga a muayyan holatda). Boshqacha qilib aytganda, individual tasodifiy o'zgaruvchilar sezilarli tarqalishga ega bo'lishi mumkin va ularning arifmetik o'rtachasi kichik tarqalgan.
Shunday qilib, tasodifiy o'zgaruvchilarning har biri qanday mumkin bo'lgan qiymatni olishini ishonch bilan taxmin qilish mumkin emas, lekin ularning arifmetik o'rtacha qiymati qanday bo'lishini taxmin qilish mumkin.
Shunday qilib, etarlicha katta miqdordagi mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilarning o'rtacha arifmetik qiymati(ularning dispersiyalari bir xil chegaralangan) tasodifiy o'zgaruvchining xarakterini yo'qotadi. Bu shunisi bilan izohlanadiki, har bir miqdorning matematik taxminlaridan chetga chiqishi ham ijobiy, ham salbiy bo'lishi mumkin va arifmetik o'rtachada ular bir-birini bekor qiladi.
Chebishev teoremasi faqat diskret emas, balki uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun ham amal qiladi; tasodif va zaruriyat oʻrtasidagi bogʻliqlik haqidagi dialektik materializm taʼlimotining toʻgʻriligini tasdiqlovchi yorqin misoldir.
Tasodifiy miqdorning taqsimlanishini tavsiflash uchun boshlang'ich va markaziy momentlar deb ataladigan raqamli xarakteristikalar alohida ahamiyatga ega.
Boshlanish momenti k-chi tartib a k(X) tasodifiy o'zgaruvchi X k bu miqdorning th kuchi, ya'ni.
a k(X) = M(X k) (6.8)
Formula (6.8), turli xil tasodifiy o'zgaruvchilar uchun matematik kutishning ta'rifi tufayli, o'z shakliga ega, ya'ni cheklangan qiymatlar to'plamiga ega bo'lgan diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun
uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun
, (6.10)
qayerda f(x) tasodifiy miqdorning taqsimlanish zichligi X.
(6.10) formuladagi noto'g'ri integral, agar faqat shu oraliqda uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari mavjud bo'lsa, cheklangan oraliqda aniq integralga aylanadi.
Ilgari kiritilgan raqamli xususiyatlardan biri - matematik kutish - bu birinchi tartibning boshlang'ich momenti yoki ular aytganidek, birinchi boshlang'ich momentdan boshqa narsa emas:
M(X) = α 1 (X).
Oldingi bo'limda markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchi tushunchasi kiritilgan edi HM(X). Agar bu miqdor asosiy deb hisoblansa, u uchun boshlang'ich momentlarni ham topish mumkin. Qiymatning o'zi uchun X bu daqiqalar markaziy deb ataladi.
Markaziy daqiqa k-chi tartib mk(X) tasodifiy o'zgaruvchi X kutish deyiladi k markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchining th kuchi, ya'ni.
mk(X) = M[(HM(X))k] (6.11)
Boshqacha aytganda, markaziy moment k-chi tartib - matematik kutish k og'ishning th darajasi.
markaziy moment k-cheklangan qiymatlar to'plamiga ega bo'lgan diskret tasodifiy o'zgaruvchining tartibi quyidagi formula bo'yicha topiladi:
, (6.12)
formula bo'yicha uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun:
(6.13)
Kelajakda, biz qanday tasodifiy o'zgaruvchi haqida gapirayotganimiz aniq bo'lganda, biz uni boshlang'ich va markaziy momentlarning yozuvida yozmaymiz, ya'ni. ning o'rniga a k(X) va mk(X) biz shunchaki yozamiz a k va mk .
Shubhasiz, birinchi tartibning markaziy momenti nolga teng, chunki bu ilgari isbotlanganlarga ko'ra nolga teng bo'lgan og'ishning matematik kutishidan boshqa narsa emas, ya'ni. .
Tasodifiy o'zgaruvchining ikkinchi tartibli markaziy momenti ekanligini tushunish oson X bir xil tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasiga to'g'ri keladi, ya'ni.
Bundan tashqari, dastlabki va markaziy momentlarga tegishli quyidagi formulalar mavjud:
Shunday qilib, birinchi va ikkinchi darajali momentlar (matematik kutish va dispersiya) taqsimotning eng muhim xususiyatlarini tavsiflaydi: uning pozitsiyasi va qiymatlarning tarqalish darajasi. Yuqori tartibli momentlar taqsimotning batafsil tavsifi uchun xizmat qiladi. Keling, ko'rsataylik.
Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanishi uning matematik kutilishiga nisbatan simmetrik bo'lsin deb faraz qilaylik. Keyin g'alati tartibdagi barcha markaziy momentlar, agar ular mavjud bo'lsa, nolga teng. Bu taqsimotning simmetriyasi tufayli miqdorning har bir ijobiy qiymati uchun shundayligi bilan izohlanadi. X − M(X) mutlaq qiymatda unga teng manfiy qiymat mavjud, shu bilan birga bu qiymatlarning ehtimoli teng. Binobarin, (6.12) formuladagi yig'indi mutlaq qiymatiga teng, lekin belgisi bo'yicha har xil bo'lgan bir necha juft hadlardan iborat bo'lib, ular yig'ish paytida bir-birini bekor qiladi. Shunday qilib, butun miqdor, ya'ni. diskret tasodifiy miqdorning har qanday toq tartibli markaziy momenti nolga teng. Xuddi shunday, toq funksiyaning simmetrik chegaralarida integral sifatida uzluksiz tasodifiy miqdorning har qanday toq tartibli markaziy momenti nolga teng.
Tabiiyki, agar toq tartibning markaziy momenti noldan farq qilsa, taqsimotning o'zi uning matematik kutilishiga nisbatan simmetrik bo'lmaydi. Bunday holda, markaziy moment noldan qanchalik farq qilsa, taqsimotda assimetriya shunchalik katta bo'ladi. Asimmetriyaning xarakteristikasi sifatida eng kichik toq tartibning markaziy momentini olaylik. Har qanday taqsimotga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun birinchi tartibning markaziy momenti nolga teng bo'lganligi sababli, bu maqsadda uchinchi tartibning markaziy momentidan foydalangan ma'qul. Biroq, bu moment tasodifiy o'zgaruvchining kubining o'lchamiga ega. Ushbu kamchilikdan xalos bo'lish va o'lchovsiz tasodifiy o'zgaruvchiga o'tish uchun markaziy momentning qiymati standart og'ish kubiga bo'linadi.
Asimmetriya koeffitsienti A s yoki oddiygina assimetriya uchinchi tartibdagi markaziy momentning standart og'ish kubiga nisbati, ya'ni.
Ba'zida assimetriya "qiyshiqlik" deb ataladi va belgilanadi S k, bu inglizcha skew - "oblique" so'zidan kelib chiqqan.
Agar assimetriya koeffitsienti manfiy bo'lsa, uning qiymatiga salbiy shartlar (og'ishlar) kuchli ta'sir qiladi va taqsimotga ega bo'ladi. chap assimetriya, va taqsimotning grafigi (egri) matematik kutishning chap tomonida tekisroq. Agar koeffitsient ijobiy bo'lsa, unda to'g'ri assimetriya, va egri chiziq matematik kutishning o'ng tomonida tekisroqdir (6.1-rasm).
 |
Ko'rsatilgandek, ikkinchi markaziy moment tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining uning matematik kutilishi atrofida tarqalishini tavsiflash uchun xizmat qiladi, ya'ni. dispersiya. Agar bu moment katta raqamli qiymatga ega bo'lsa, unda bu tasodifiy o'zgaruvchi katta qiymatlarga ega va tegishli taqsimot egri chizig'i ikkinchi markaziy moment kichikroq qiymatga ega bo'lgan egri chiziqqa qaraganda tekisroq shaklga ega. Shuning uchun, ikkinchi markaziy moment, ma'lum darajada, "tekis tepalik" yoki "uchli" taqsimlash egri chizig'ini tavsiflaydi. Biroq, bu xususiyat juda qulay emas. Ikkinchi tartibning markaziy momenti tasodifiy o'lchamning o'lchamining kvadratiga teng o'lchamga ega. Agar biz moment qiymatini standart og'ish kvadratiga bo'lish orqali o'lchovsiz qiymatni olishga harakat qilsak, har qanday tasodifiy o'zgaruvchi uchun biz quyidagilarni olamiz: 
. Shunday qilib, bu koeffitsient tasodifiy miqdorni taqsimlashning har qanday xarakteristikasi bo'lishi mumkin emas. Bu barcha tarqatishlar uchun bir xil. Bunday holda, to'rtinchi tartibli markaziy momentdan foydalanish mumkin.
kurtoz E k formula bilan aniqlangan qiymat deyiladi
(6.15)
Kurtosis asosan uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun qo'llaniladi va taqsimot egri chizig'ining "tikligi" deb ataladigan narsani tavsiflash uchun xizmat qiladi yoki boshqacha tarzda, yuqorida aytib o'tilganidek, taqsimlash egri chizig'ining "tekis tepasi" yoki "uchliligi" ni tavsiflash uchun xizmat qiladi. Oddiy taqsimot egri chizig'i mos yozuvlar taqsimoti egri chizig'i sifatida ko'rib chiqiladi (u keyingi bobda batafsil ko'rib chiqiladi). Oddiy qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi uchun tenglik sodir bo'ladi. Shuning uchun (6.15) formula bilan berilgan kurtoz bu taqsimotni normal bilan solishtirishga xizmat qiladi, bunda kurtoz nolga teng.
Agar biron bir tasodifiy o'zgaruvchi uchun ijobiy kurtoz olingan bo'lsa, u holda bu qiymatning taqsimot egri chizig'i normal taqsimot egri chizig'idan ko'ra ko'proq cho'qqiga chiqadi. Agar kurtoz salbiy bo'lsa, u holda egri chiziq normal taqsimot egri chizig'idan tekisroq bo'ladi (6.2-rasm).
 |
Endi diskret va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun taqsimot qonunlarining o'ziga xos turlariga murojaat qilaylik.
3.4. Tasodifiy o'zgaruvchining momentlari.
Yuqorida biz SW ning to'liq xarakteristikalari bilan tanishdik: taqsimlash funktsiyasi va tarqatish seriyasi - diskret SW uchun, taqsimlash funktsiyasi va ehtimollik zichligi - uzluksiz SW uchun. Axborot mazmunida juftlik ekvivalenti bo'lgan bu xususiyatlar funktsiyalari va ehtimollik nuqtai nazaridan SWni to'liq tavsiflang. Biroq, ko'pgina amaliy vaziyatlarda tasodifiy o'zgaruvchini to'liq tavsiflash mumkin emas yoki kerak emas. Ko'pincha bitta yoki bir nechtasini belgilash kifoya raqamli ma'lum darajada taqsimotning asosiy xususiyatlarini tavsiflovchi parametrlar va ba'zan to'liq xarakteristikani topish, garchi orzu qilingan bo'lsa-da, matematik jihatdan juda qiyin va raqamli parametrlar bilan ishlash, biz o'zimizni taxminiy, ammo soddaroq tavsif bilan cheklaymiz. Belgilangan raqamli parametrlar chaqiriladi raqamli xususiyatlar tasodifiy o'zgaruvchi va ehtimollik nazariyasini fan va texnikaning turli sohalarida qo'llashda muhim rol o'ynaydi, muammolarni hal qilishni osonlashtiradi va yechim natijalarini oddiy va vizual shaklda taqdim etishga imkon beradi.
Eng ko'p ishlatiladigan raqamli xususiyatlarni ikki turga bo'lish mumkin: momentlar va pozitsiyaning xususiyatlari. Bir necha turdagi lahzalar mavjud, ulardan ikkitasi eng ko'p qo'llaniladi: asosiy va markaziy. Boshqa turdagi lahzalar, masalan, absolyut momentlar, faktoriy momentlar, biz hisobga olmaymiz. Integralni umumlashtirish - Stieltjes integrali deb ataladigan narsadan foydalanmaslik uchun biz uzluksiz va diskret SW uchun momentlarning ta'riflarini alohida beramiz.
Ta'riflar. 1. Boshlanish momentik-chi tartibli diskret SW miqdori deyiladi
qayerda f(x) - berilgan SW ning ehtimollik zichligi.
3. Markaziy daqiqak-chi tartibli diskret SW miqdori deyiladi
Bir vaqtning o'zida bir nechta TS ko'rib chiqilayotgan hollarda, tushunmovchiliklarga yo'l qo'ymaslik uchun momentning egaligini ko'rsatish qulay; Biz buni qavs ichida tegishli CB belgisini ko'rsatish orqali qilamiz, masalan, 
, va hokazo. Bu belgini funksiya belgisi bilan, qavs ichidagi harfni esa funksiya argumenti bilan aralashtirib yubormaslik kerak. Tengliklarning o'ng tomonidagi yig'indilar va integrallar (3.4.1 - 3.4.4) qiymatga qarab yaqinlashishi yoki uzoqlashishi mumkin. k va maxsus taqsimot. Birinchi holda, ular shunday deyishadi mavjud emas yoki farqlanadi, ikkinchisida - bu moment mavjud yoki yaqinlashadi. Agar diskret SW chekli sonli chekli qiymatlarga ega bo'lsa ( N chekli), keyin uning barcha chekli tartib momentlari k mavjud. Cheksizda N, ba'zilaridan boshlab k va yuqori buyurtmalar uchun diskret SW momentlari (bir vaqtning o'zida boshlang'ich va markaziy) mavjud bo'lmasligi mumkin. Uzluksiz SW momentlari, ta'riflardan ko'rinib turibdiki, noto'g'ri integrallar bilan ifodalanadi, ular ba'zilardan boshlab farq qilishi mumkin. k va yuqori buyurtmalar uchun (dastlabki va markaziy). Nol tartibli momentlar har doim yaqinlashadi.
Keling, avval boshlang'ich, keyin esa markaziy daqiqalarni batafsil ko'rib chiqaylik. Matematik nuqtai nazardan, boshlang'ich moment k th tartib - "o'rtacha tortishish" k-SW qiymatlarining darajalari; diskret RV bo'lsa, og'irliklar qiymatlarning ehtimolliklari; uzluksiz RV bo'lsa, og'irlik funktsiyasi - ehtimollik zichligi. Bunday turdagi operatsiyalar mexanikada massalarning taqsimlanishini (statik momentlar, inersiya momentlari va boshqalar) tasvirlash uchun keng qo'llaniladi; shu munosabat bilan yuzaga keladigan analogiyalar quyida muhokama qilinadi.
Dastlabki daqiqalarni yaxshiroq tushunish uchun biz ularni alohida ko'rib chiqamiz k. Ehtimollar nazariyasida pastroq tartiblarning momentlari eng muhimi, ya'ni kichik uchun k, shuning uchun ko'rib chiqish qiymatlarning o'sish tartibida amalga oshirilishi kerak k. Nol tartibning dastlabki momenti ga teng
1 , diskret SW uchun;
=1 , uzluksiz SW uchun,
bular. har qanday SW uchun u bir xil qiymatga teng - bitta va shuning uchun SW ning statistik xususiyatlari haqida hech qanday ma'lumotni olib yurmaydi.
Birinchi tartibning boshlang'ich momenti (yoki birinchi boshlang'ich momenti) ga teng
Diskret CB uchun;
, uzluksiz SW uchun.
Bu moment bir necha o'zaro bog'liq sabablarga ko'ra har qanday SWning eng muhim raqamli xarakteristikasi hisoblanadi. Birinchidan, Chebishev teoremasiga ko'ra (7.4-bo'limga qarang), SWda cheksiz miqdordagi sinovlar bilan kuzatilgan qiymatlarning arifmetik o'rtacha qiymati (ma'lum ma'noda) tajribaga moyil bo'ladi. Ikkinchidan, uzluksiz SW uchun u son jihatdan teng X-egri chiziqdan hosil bo'lgan egri chiziqli trapetsiyaning og'irlik markazining koordinatasi. f(x) (shunga o'xshash xususiyat diskret SW uchun ham amal qiladi), shuning uchun bu momentni "tarqatishning og'irlik markazi" deb atash mumkin. Uchinchidan, bu moment kurs davomida aniq bo'ladigan ajoyib matematik xususiyatlarga ega, xususan, shuning uchun uning qiymati markaziy momentlar uchun ifodalarga kiritilgan (qarang (3.4.3) va (3.4.4)).
Ehtimollar nazariyasining nazariy va amaliy muammolari uchun ushbu momentning ahamiyati va uning ajoyib matematik xususiyatlari adabiyotda "birinchi boshlang'ich moment" belgisi va nomidan tashqari, boshqa belgilar va nomlar ham qo'llanilishiga olib keldi. yoki kamroq qulay va eslatib o'tilgan xususiyatlarni aks ettiradi. Eng keng tarqalgan ismlar: kutilgan qiymat, o'rtacha qiymati, va belgi: m, M[X], . Biz ko'pincha "kutish" atamasi va belgidan foydalanamiz m; agar bir nechta RV mavjud bo'lsa, biz matematik kutishning egaligini ko'rsatadigan pastki belgidan foydalanamiz, masalan, m x , m y va hokazo.
Ikkinchi tartibning boshlang'ich momenti (yoki ikkinchi boshlang'ich momenti) ga teng
Diskret CB uchun;
, uzluksiz SW uchun;
ba'zan shunday deyiladi tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha kvadrati va belgilandi M.
Uchinchi tartibning boshlang'ich momenti (yoki uchinchi boshlang'ich moment) ga teng
Diskret CB uchun;
, uzluksiz SW uchun
ba'zan shunday deyiladi tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha kubi va belgilandi M[X 3 ].
Dastlabki daqiqalarni sanab o'tishning ma'nosi yo'q. Keling, buyurtma momentlarining muhim talqiniga to'xtalib o'tamiz k>1. Keling, SW bilan birga X SW ham mavjud Y, va Y=X k (k=2, 3, ...). Bu tenglik tasodifiy o'zgaruvchilarni bildiradi X va Y SW qachon degan ma'noda deterministik bog'liqdir X qiymatini oladi x, SV Y qiymatini oladi y=x k(Keyinchalik, bunday CV ulanishi batafsilroq ko'rib chiqiladi). Keyin (3.4.1) va (3.4.2) ga muvofiq
=m y
, k=2,
3, ...,
ya'ni k-SW ning dastlabki momenti matematik kutishga teng kbu tasodifiy o'zgaruvchining kuchi. Masalan, tasodifiy kubning chet uzunligining uchinchi boshlang'ich momenti kubning kutilgan hajmiga teng. Lahzalarni qandaydir matematik kutish sifatida tushunish imkoniyati matematik kutish tushunchasi ahamiyatining yana bir jihati hisoblanadi.
Keling, markaziy nuqtalarga o'tamiz. Quyida biroz tushunarli bo'lganidek, markaziy lahzalar boshlang'ich momentlarda va aksincha, o'ziga xos tarzda ifodalanganligi sababli, nima uchun markaziy momentlar umuman kerak va nima uchun dastlabki daqiqalar etarli emas degan savol tug'iladi. SWni ko'rib chiqing X(uzluksiz yoki diskret) va birinchi sifatida bog'liq boshqa RV Y Y=X+a, qayerda a 0 - tasodifiy bo'lmagan haqiqiy son. Har bir qiymat x tasodifiy o'zgaruvchi X qiymatiga mos keladi y=x+a tasodifiy o'zgaruvchi Y, shuning uchun SW taqsimoti Y CV taqsimoti bilan bir xil shaklga ega bo'ladi (diskret holatda taqsimlash ko'pburchagi yoki uzluksiz holatda ehtimollik zichligi bilan ifodalanadi) X, lekin x o'qi bo'ylab siljidi a. Shuning uchun, SW ning dastlabki momentlari Y SW ning tegishli momentlaridan farq qiladi X. Masalan, buni ko'rish oson, m y =m x +a(yuqori darajadagi momentlar murakkabroq munosabatlar bilan bog'liq). Shunday qilib, biz buni aniqladik bir butun sifatida taqsimotning siljishi ostida boshlang'ich momentlar o'zgarmas emas. Agar biz taqsimotni emas, balki x o'qining boshlanishini gorizontal ravishda qiymatga siljitsak, xuddi shunday natijaga erishiladi. a, ya'ni. ekvivalent xulosa ham haqiqiydir: dastlabki momentlar x o'qining kelib chiqishining gorizontal siljishiga nisbatan o'zgarmas emas.
Ushbu kamchilik taqsimotlarning umumiy o'zgarishiga bog'liq bo'lmagan xususiyatlarini tavsiflash uchun mo'ljallangan markaziy momentlardan ozoddir. Darhaqiqat, (3.4.3) va (3.4.4) dan ko'rinib turibdiki, taqsimot bir butun sifatida qiymat bo'yicha o'zgartirilganda a, yoki, xuddi shunday, abscissa o'qining boshini - ga siljitish a, barcha qiymatlar x, bir xil ehtimolliklar (diskret holatda) yoki bir xil ehtimollik zichligi (uzluksiz holatda) uchun qiymat bilan o'zgaradi a, lekin qiymat ham o'zgaradi m, shuning uchun tengliklarning o'ng tomonidagi qavslarning qiymatlari o'zgarmaydi. Shunday qilib, markaziy momentlar taqsimotning bir butun sifatida siljishiga nisbatan o'zgarmasdir yoki xuddi shu narsa, abscissa o'qi boshlanishining gorizontal bo'ylab siljishiga nisbatan. Bu lahzalar birinchi boshlang'ich moment "markaz" deb atalgan paytlarda "markaziy" nomini oldi. Shuni ta'kidlash kerakki, SWning markaziy momenti X SW ning mos keladigan boshlang'ich momenti deb tushunish mumkin X 0 ga teng
|
X 0 =X-m x . |
SW X 0 deyiladi markazlashtirilgan(SV ga nisbatan X) va unga olib keladigan operatsiya, ya'ni tasodifiy o'zgaruvchidan uning matematik kutilishini ayirish deyiladi. markazlashtirish. Keyinchalik ko'rib chiqamiz, bu tushuncha va ushbu operatsiya kurs davomida foydali bo'ladi. Buyurtmaning markaziy momentiga e'tibor bering k>1 ni matematik kutish (o'rtacha) deb hisoblash mumkin k markazlashtirilgan CB darajasi: 
.
Keling, quyi tartiblarning markaziy momentlarini alohida ko'rib chiqaylik. Nol tartibli markaziy moment ga teng
, diskret SW uchun;
, uzluksiz SW uchun;
ya'ni har qanday SW uchun va ushbu SWning statistik xususiyatlari haqida hech qanday ma'lumotga ega emas.
Birinchi tartibli markaziy moment (yoki birinchi markaziy moment).
diskret SW uchun;
uzluksiz SW uchun; ya'ni har qanday SW uchun va ushbu SWning statistik xususiyatlari haqida hech qanday ma'lumotga ega emas.
Ikkinchi tartibli markaziy moment (yoki ikkinchi markaziy moment) hisoblanadi
, diskret SW uchun;
, uzluksiz SW uchun.
Quyida ma'lum bo'lishicha, bu nuqta ehtimollik nazariyasidagi eng muhim nuqtalardan biridir, chunki u SW qiymatlarining tarqalishi (yoki tarqalishi) o'lchovining xarakteristikasi sifatida ishlatiladi, shuning uchun u ko'pincha deyiladi. dispersiya va belgilandi D X. E'tibor bering, markazlashtirilgan SWning o'rtacha kvadrati sifatida tushunish mumkin.
Uchinchi tartibning markaziy momenti (uchinchi markaziy moment) ga teng
Tarqatishning markaziy momentlari deyiladi, ularni hisoblashda variantlarning berilgan qatorning o'rtacha arifmetik qiymatidan chetlanishi boshlang'ich qiymat sifatida olinadi.
1. Birinchi tartibning markaziy momentini formula bo'yicha hisoblang:
2. Ikkinchi tartibning markaziy momentini formula bo‘yicha hisoblang:
intervallar o'rtasining qiymati qayerda;
Bu o'rtacha tortilgan;
Fi - qiymatlar soni.
3. Uchinchi tartibning markaziy momentini quyidagi formula bo'yicha hisoblang:
intervallar o'rtasining qiymati qayerda; o'rtacha og'irlik; - qiymatlarning fi soni.
4. To'rtinchi tartibli markaziy momentni formula bo'yicha hisoblang:
intervallar o'rtasining qiymati qayerda; o'rtacha og'irlik; - qiymatlarning fi soni.
3.2-jadval uchun hisoblash
3.4-jadval uchun hisoblash
1. (7.1) formula bo'yicha birinchi tartibning markaziy momentini hisoblang:
2. (7.2) formula bo'yicha ikkinchi tartibning markaziy momentini hisoblang:
3. (7.3) formula bo'yicha uchinchi tartibning markaziy momentini hisoblang:
4. (7.4) formula bo'yicha to'rtinchi tartibning markaziy momentini hisoblang:
3.6-jadval uchun hisoblash
1. (7.1) formula bo'yicha birinchi tartibning markaziy momentini hisoblang:
2. (7.2) formula bo'yicha ikkinchi tartibning markaziy momentini hisoblang:
3. (7.3) formula bo'yicha uchinchi tartibning markaziy momentini hisoblang:
4. (7.4) formula bo'yicha to'rtinchi tartibning markaziy momentini hisoblang:
Uchta topshiriq uchun 1,2,3,4 buyruqlar momentlari hisoblanadi. Egrilikni hisoblash uchun uchinchi tartib momenti va kurtozni hisoblash uchun to'rtinchi tartib momenti kerak bo'lganda.
TARQATMA ASİMMETRİYASINI HISOBLASH
Statistik amaliyotda turli xil taqsimotlar mavjud. Tarqatish egri chiziqlarining quyidagi turlari mavjud:
unimodal egri chiziqlar: simmetrik, o'rtacha assimetrik va o'ta assimetrik;
multivertex egri chiziqlari.
Bir jinsli populyatsiyalar, qoida tariqasida, unimodal taqsimot bilan tavsiflanadi. Ko'p tepalik o'rganilayotgan populyatsiyaning heterojenligini ko'rsatadi. Ikki yoki undan ortiq cho'qqilarning paydo bo'lishi ko'proq bir hil guruhlarni ajratish uchun ma'lumotlarni qayta guruhlashni talab qiladi.
Tarqatishning umumiy xususiyatini aniqlash uning bir xilligini baholashni, shuningdek, assimetriya va kurtoz ko'rsatkichlarini hisoblashni o'z ichiga oladi. Simmetrik taqsimotlar uchun tarqatish markazining har ikki tomonida bir xil masofada joylashgan har qanday ikkita variantning chastotalari bir-biriga teng. Bunday taqsimotlar uchun hisoblangan o'rtacha, rejim va median ham tengdir.
Turli o'lchov birliklari bilan bir nechta taqsimotlarning assimetriyasini qiyosiy o'rganishda assimetriyaning nisbiy ko'rsatkichi () hisoblanadi:
o'rtacha og'irlik qayerda; Moda; - ildiz-o'rtacha kvadrat vaznli dispersiya; Me-median.
Uning qiymati ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin. Birinchi holda, biz o'ng tomonlama assimetriya haqida, ikkinchisida esa chap tomonli haqida gapiramiz.
O'ng tomonli assimetriya bilan Mo>Me>x. Eng ko'p ishlatiladigan (assimetriya ko'rsatkichi sifatida) uchinchi darajali markaziy momentning kubdagi ushbu seriyaning standart og'ishiga nisbati:
uchinchi tartibning markaziy momenti qayerda; standart og'ish kubga teng.
Ushbu ko'rsatkichdan foydalanish nafaqat assimetriyaning kattaligini aniqlashga, balki uning umumiy populyatsiyada mavjudligini tekshirishga imkon beradi. Umuman olganda, 0,5 dan yuqori bo'lgan egrilik (belgidan qat'iy nazar) muhim deb hisoblanadi; agar u 0,25 dan kam bo'lsa, u ahamiyatsiz.
Muhimlikni baholash o'rtacha kvadrat xatosiga, egrilik koeffitsientiga () asoslanadi, bu kuzatishlar soniga (n) bog'liq va quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
bu yerda n - kuzatishlar soni.
Bunday holda, assimetriya muhim va umumiy populyatsiyada belgining tarqalishi assimetrikdir. Aks holda, assimetriya ahamiyatsiz va uning mavjudligi tasodifiy holatlar tufayli yuzaga kelishi mumkin.
3.2-jadval uchun hisoblash O'rtacha oylik ish haqi bo'yicha aholini guruhlash, rub.
Chap tomonlama, sezilarli assimetriya.
3.4-jadval uchun hisoblash Chakana savdo aylanmasi bo'yicha do'konlarni guruhlash, million rubl
1. (7.5) formula bo'yicha nosimmetrikliklar aniqlang:
O'ng tomonlama, sezilarli assimetriya.
3.6-jadval uchun hisoblash Transport tashkilotlarini jamoat transportining yuk aylanmasi bo'yicha guruhlash (mln.t.km)
1. (7.5) formula bo'yicha nosimmetrikliklar aniqlang:
O'ng tomonlama, engil assimetriya.
KURTUS TARQATISHINING HISOBLARI
Nosimmetrik taqsimotlar uchun kurtoz ko'rsatkichini () hisoblash mumkin:
to'rtinchi tartibning markaziy momenti qayerda; - to'rtinchi darajadagi standart og'ish.
3.2-jadval uchun hisoblash O'rtacha oylik ish haqi bo'yicha aholini guruhlash, rub.
3.4-jadval uchun hisoblash Chakana savdo aylanmasi bo'yicha do'konlarni guruhlash, million rubl
(7.7) formuladan foydalanib kurtoz indikatorini hisoblang.
Eng yuqori taqsimot.
3.6-jadval uchun hisoblash Transport tashkilotlarini jamoat transportining yuk aylanmasi bo'yicha guruhlash (mln.t.km)
(7.7) formuladan foydalanib kurtoz indikatorini hisoblang.
Yuqori tekis taqsimlash.
AHOLINING BIR TANGLIGINI BAHOLASH
3.2-jadval uchun bir xillik balli O'rtacha oylik ish haqi bo'yicha aholini guruhlash, rub.
Shuni ta'kidlash kerakki, assimetriya va kurtoz ko'rsatkichlari to'g'ridan-to'g'ri faqat belgining o'rganilayotgan populyatsiya ichidagi tarqalish shaklini tavsiflaydi, ammo ularning ta'rifi faqat tavsiflovchi emas. Ko'pincha assimetriya va kurtoz ijtimoiy-iqtisodiy hodisalar bo'yicha keyingi tadqiqotlar uchun ma'lum ko'rsatkichlarni beradi. Olingan natija tabiatda muhim va salbiy assimetriya mavjudligini ko'rsatadi, assimetriya chap tomonlama ekanligini ta'kidlash kerak. Bundan tashqari, aholining tekis taqsimlanishi mavjud.
3.4-jadval uchun bir xillik balli Chakana savdo aylanmasi bo'yicha do'konlarni guruhlash, million rubl
Olingan natija tabiatda sezilarli va ijobiy assimetriya mavjudligini ko'rsatadi, assimetriya o'ng tomonlama ekanligini ta'kidlash kerak. Shuningdek, to'plam keskin uchli taqsimotga ega.
3.6-jadval uchun bir xillik balli Transport tashkilotlarini jamoat transportining yuk aylanmasi bo'yicha guruhlash (mln.t.km)
Olingan natija tabiatda kichik va ijobiy assimetriya mavjudligini ko'rsatadi, assimetriyaning o'ng qo'li ekanligini ta'kidlash kerak. Bundan tashqari, aholining tekis tepalik taqsimoti mavjud.
