Belarus Respublikasi Ta'lim vazirligi
ta'lim muassasasi
"Gomel davlat universiteti
Fransisk Skarina nomi bilan atalgan.
Matematika fakulteti
Algebra va geometriya kafedrasi
Himoya qilish huquqiga ega
Bosh Kafedra Shemetkov L.A.
Trigonometrik tenglamalar va tengsizliklar
Kurs ishi
Ijrochi:
talabalar guruhi M-51
SM. Gorskiy
Ilmiy maslahatchi
Katta o‘qituvchi
V.G. Safonov
Gomel 2008 yil
KIRISH
TRIGONOMETRIK TENGLAMALARNI YECHISHNING ASOSIY USULLARI
Faktorizatsiya
Trigonometrik funksiyalarning ko`paytmasini yig`indiga aylantirish orqali tenglamalarni yechish
Uchta argumentli formulalar yordamida tenglamalarni yechish
Ayrim trigonometrik funktsiyaga ko'paytirish
NOSTANDART TRIGONOMETRİK TENGLAMALAR
TRIGONOMETRIK TENGSIZLIKLAR
ILDIZLARNI TANLASH
MUSTAQIL YECHI UCHUN VAZIFALAR
XULOSA
FOYDALANILGAN MANBALAR RO'YXATI
Qadim zamonlarda trigonometriya astronomiya, geodeziya va qurilish ehtiyojlari bilan bog'liq holda paydo bo'lgan, ya'ni u sof geometrik xususiyatga ega bo'lgan va asosan ifodalangan.<<исчисление хорд>>. Vaqt o'tishi bilan ba'zi tahliliy fikrlar unga aralasha boshladi. 18-asrning 1-yarmida keskin burilish yuz berdi, shundan soʻng trigonometriya yangi yoʻnalish oldi va matematik analizga oʻtdi. Aynan shu davrda trigonometrik bog'liqliklar funksiyalar sifatida ko'rib chiqila boshlandi.
Trigonometrik tenglamalar maktab matematika kursining eng qiyin mavzularidan biridir. Trigonometrik tenglamalar planimetriya, qattiq geometriya, astronomiya, fizika va boshqa sohalarga oid masalalarni yechishda yuzaga keladi. Trigonometrik tenglamalar va tengsizliklar yildan-yilga markazlashtirilgan test vazifalari orasida topiladi.
Trigonometrik va algebraik tenglamalarning eng muhim farqi shundaki, algebraik tenglamalar chekli sonli ildizlarga ega, trigonometrik tenglamalar esa cheksiz songa ega, bu esa ildizlarni tanlashni ancha murakkablashtiradi. Trigonometrik tenglamalarning yana bir o'ziga xos xususiyati javob yozishning o'ziga xos bo'lmagan shaklidir.
Ushbu tezis trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni yechish usullariga bag'ishlangan.
Diplom ishi 6 bo'limdan iborat.
Birinchi bo'limda asosiy nazariy ma'lumotlar mavjud: trigonometrik va teskari trigonometrik funktsiyalarning ta'rifi va xossalari; ba'zi argumentlar uchun trigonometrik funktsiyalar qiymatlari jadvali; trigonometrik funktsiyalarni boshqa trigonometrik funktsiyalar bilan ifodalash, bu trigonometrik ifodalarni, ayniqsa teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olganlarni aylantirish uchun juda muhimdir; maktab kursidan yaxshi ma'lum bo'lgan asosiy trigonometrik formulalarga qo'shimcha ravishda, teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan ifodalarni soddalashtiradigan formulalar berilgan.
Ikkinchi bo'limda trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari ko'rsatilgan. Elementar trigonometrik tenglamalarni yechish, faktoring usuli, trigonometrik tenglamalarni algebraik tenglamalarga keltirish usullari ko'rib chiqiladi. Trigonometrik tenglamalar yechimlari bir necha usulda yozilishi mumkinligini hisobga olsak va bu yechimlarning shakli bu yechimlarning bir xil yoki boshqacha ekanligini darhol aniqlashga imkon bermaydi.<<сбить с толку>> testlarni yechishda trigonometrik tenglamalarni yechishning umumiy sxemasi ko'rib chiqiladi va trigonometrik tenglamalarning umumiy yechimlari guruhlarini o'zgartirish batafsil ko'rib chiqiladi.
Uchinchi bo'lim nostandart trigonometrik tenglamalar bilan bog'liq bo'lib, ularning echimlari funktsional yondashuvga asoslangan.
To'rtinchi bo'lim trigonometrik tengsizliklar bilan bog'liq. Elementar trigonometrik tengsizliklarni birlik aylanada ham, grafik usulda ham yechish usullari batafsil ko‘rib chiqiladi. Elementar bo'lmagan trigonometrik tengsizliklarni elementar tengsizliklar orqali yechish jarayoni va maktab o'quvchilariga allaqachon yaxshi ma'lum bo'lgan intervallar usuli tasvirlangan.
Beshinchi bo'lim eng qiyin vazifalarni taqdim etadi: trigonometrik tenglamani yechish emas, balki topilgan ildizlardan ba'zi shartlarni qondiradigan ildizlarni tanlash kerak bo'lganda. Ushbu bo'lim ildizlarni tanlash bo'yicha odatiy vazifalarni hal qiladi. Ildizlarni tanlash uchun zaruriy nazariy ma'lumotlar berilgan: butun sonlar to'plamini kesishmaydigan kichik to'plamlarga bo'lish, tenglamalarni butun sonlarda hal qilish (diofantin).
Oltinchi bo'limda test shaklida ishlab chiqilgan mustaqil hal qilish uchun topshiriqlar keltirilgan. 20 ta test topshirig‘ida markazlashtirilgan test sinovlarida duch kelishi mumkin bo‘lgan eng qiyin vazifalar sanab o‘tilgan.
Elementar trigonometrik tenglamalar
Elementar trigonometrik tenglamalar ko'rinishdagi tenglamalar bo'lib, bu erda trigonometrik funksiyalardan biri: , , , .
Elementar trigonometrik tenglamalar cheksiz ko'p ildizlarga ega. Masalan, quyidagi qiymatlar tenglamani qanoatlantiradi: , , , va hokazo. Tenglamaning barcha ildizlari topiladigan umumiy formula, bu erda ,:
Bu erda u har qanday butun qiymatlarni qabul qilishi mumkin, ularning har biri tenglamaning ma'lum bir ildiziga mos keladi; bu formulada (shuningdek, elementar trigonometrik tenglamalar yechiladigan boshqa formulalarda) deyiladi. parametr. Ular odatda yozib oladilar va shu bilan parametr har qanday butun qiymatlarni qabul qilishi mumkinligini ta'kidlaydilar.
Tenglamaning yechimlari , bu erda , formula bo'yicha topiladi
Tenglama formulani qo'llash orqali echiladi
va tenglama --- formula bo'yicha
Elementar trigonometrik tenglamalarning ba'zi maxsus holatlariga alohida e'tibor qaratamiz, bunda yechim umumiy formulalardan foydalanmasdan yozilishi mumkin:
Trigonometrik tenglamalarni yechishda trigonometrik funksiyalar davri muhim rol o’ynaydi. Shuning uchun biz ikkita foydali teoremani keltiramiz:
Teorema Agar --- funktsiyaning bosh davri bo'lsa, u holda son funktsiyaning bosh davri hisoblanadi.
Funksiyalarning va davrlari, agar natural sonlar mavjud bo'lsa, mutanosib deb ataladi va , bu .
Teorema Agar davriy funktsiyalar va , mutanosib va ga ega bo'lsa, ular umumiy davrga ega bo'ladi, ya'ni funksiyalarning davri , .
Teorema , , , funksiyaning davri nima ekanligini aytadi va bu asosiy davr emas. Masalan, va funksiyalarining bosh davri --- , ularning hosilasining bosh davri esa --- dir.
Yordamchi dalil bilan tanishtirish
Shakl ifodalarini konvertatsiya qilishning standart usuli 
quyidagi nayrangdir: --- tenglik bilan berilgan burchak bo'lsin 
, 
. Har qanday va bunday burchak uchun mavjud. Shunday qilib . Agar , yoki , , , aks holda.
Trigonometrik tenglamalarni yechish sxemasi
Trigonometrik tenglamalarni echishda biz boshqaradigan asosiy sxema quyidagicha:
berilgan tenglamaning yechimi elementar tenglamalar yechimiga keltiriladi. Yechimlar --- o'zgartirishlar, faktorlarga ajratish, noma'lumlarni almashtirish. Asosiy tamoyil - ildizlarni yo'qotmaslik. Bu shuni anglatadiki, keyingi tenglamaga (tenglamalarga) o'tishda biz qo'shimcha (tashqi) ildizlarning paydo bo'lishidan qo'rqmaymiz, lekin biz faqat "zanjir" ning har bir keyingi tenglamasi (yoki tenglamalar to'plamining shoxlanish) oldingisining natijasidir. Ildizlarni tanlashning mumkin bo'lgan usullaridan biri tekshirishdir. Darhol shuni ta'kidlaymizki, trigonometrik tenglamalarda ildizlarni tanlash, tekshirish bilan bog'liq qiyinchiliklar, qoida tariqasida, algebraik tenglamalarga nisbatan keskin ortadi. Axir siz cheksiz ko'p a'zolardan iborat seriyani tekshirishingiz kerak.
Trigonometrik tenglamalarni yechishda noma'lumlarning o'zgarishini alohida ta'kidlab o'tish kerak. Ko'pgina hollarda, kerakli almashtirishdan so'ng, algebraik tenglama olinadi. Bundan tashqari, tenglamalar juda kam uchraydi, ular trigonometrik ko'rinishga ega bo'lsa-da, aslida unchalik emas, chunki birinchi bosqichdan keyin --- o'zgaruvchilarning o'zgarishi - algebraiklarga aylanadi va trigonometriyaga qaytish faqat sodir bo'ladi. elementar trigonometrik tenglamalarni yechish bosqichi.
Yana bir bor eslatib o'tamiz: noma'lumni almashtirish imkon qadar tezroq amalga oshirilishi kerak, almashtirishdan keyin hosil bo'lgan tenglama oxirigacha hal qilinishi kerak, shu jumladan ildizlarni tanlash bosqichi va shundan keyingina u asl noma'lumga qaytadi.
Trigonometrik tenglamalarning xususiyatlaridan biri shundaki, ko'p hollarda javob turli xil usullarda yozilishi mumkin. Hatto tenglamani yechish uchun ham 
javob quyidagicha yozilishi mumkin:
1) ikki qator shaklida: 
, , ;
2) yuqoridagi qatorlar birlashmasi bo'lgan standart shaklda: , ;
3) beri 
, keyin javob quyidagicha yozilishi mumkin 
, . (Keyinchalik, javob yozuvida , yoki parametrining mavjudligi avtomatik ravishda bu parametr barcha mumkin bo'lgan butun qiymatlarni qabul qilishini bildiradi. Istisnolar ko'zda tutiladi.)
Shubhasiz, sanab o'tilgan uchta holat ko'rib chiqilayotgan tenglamaga javob yozish uchun barcha imkoniyatlarni tugatmaydi (ularning cheksiz ko'plari mavjud).
Masalan, uchun 
. Shuning uchun, birinchi ikki holatda, agar , bilan almashtira olamiz .
Odatda, javob 2-band asosida yoziladi. Quyidagi tavsiyani eslash foydali bo'ladi: agar ish tenglamaning yechimi bilan tugamasa, hali ham tadqiqot, ildizlarni tanlash kerak, keyin ro'yxatga olishning eng qulay shakli 1-bandda ko'rsatilgan. (Tenglama uchun shunga o'xshash tavsiyalar berilishi kerak).
Keling, aytilganlarni ko'rsatadigan misolni ko'rib chiqaylik.
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Eng aniq - quyidagi yo'l. Bu tenglama ikkiga bo'linadi: va . Ularning har birini yechish va olingan javoblarni birlashtirib, biz topamiz.
Boshqa yo'l. dan beri, keyin, almashtirish va kamaytirish formulalari bilan. Kichkina o'zgarishlardan so'ng, biz qaerdan olamiz 
.
Bir qarashda, ikkinchi formula birinchisiga nisbatan alohida afzalliklarga ega emas. Biroq, masalan, ni oladigan bo'lsak, u holda ma'lum bo'ladiki, ya'ni. tenglamaning yechimi bor, birinchi yo'l esa bizni javobga olib boradi 
. "Ko'ring" va tenglikni isbotlang 
unchalik oson emas.
Javob. .
Trigonometrik tenglamalarning umumiy yechimlari guruhlarini o'zgartirish va birlashtirish
Ikkala yo'nalishda ham cheksiz cho'ziladigan arifmetik progressiyani ko'rib chiqamiz. Bu progressiyaning a'zolarini progressiyaning markaziy yoki nol a'zosi deb ataladigan ba'zi a'zolarning o'ng va chap tomonida joylashgan ikki guruh a'zolariga bo'lish mumkin.
Cheksiz progressiyaning shartlaridan birini nol raqam bilan belgilab, qolgan barcha a'zolar uchun ikki marta raqamlashni amalga oshirishimiz kerak bo'ladi: o'ngda joylashgan atamalar uchun ijobiy va nolning chap tomonida joylashgan hadlar uchun salbiy.
Umuman olganda, agar progressiyaning ayirmasi nol had bo'lsa, cheksiz arifmetik progressiyaning istalgan (inchi) hadi uchun formula:
Cheksiz arifmetik progressiyaning istalgan a'zosi uchun formulalarni o'zgartirish
1. Agar progressiyaning ayirmasini nol hadga qo’shsak yoki ayirasak, bundan progressiya o’zgarmaydi, faqat nol had harakat qiladi, ya’ni. a'zolarning raqamlanishi o'zgaradi.
2. Agar o'zgaruvchining koeffitsienti ga ko'paytirilsa, bu faqat a'zolarning o'ng va chap guruhlarini almashtirishga olib keladi.
3. Cheksiz progressiyaning ketma-ket a'zolari bo'lsa
masalan , , , ..., , bir xil farqli progressiyalarning markaziy hadlarini quyidagiga teng qilish uchun:
keyin progressiya va progressiyalar qatori bir xil sonlarni ifodalaydi.
Misol Qator quyidagi uchta qator bilan almashtirilishi mumkin: , , .
4. Agar ayirmasi bir xil boʻlgan cheksiz progressiyalar ayirmali arifmetik progressiyani tashkil etuvchi markaziy aʼzolar kabi raqamlarga ega boʻlsa, bu qatorlarni ayirmali bitta progressiyaga va shularning markaziy aʼzolaridan birortasiga teng markaziy aʼzo bilan almashtirilishi mumkin. progressiyalar, ya'ni agar
keyin bu progressiyalar bittaga birlashtiriladi:
Misol
, , , ikkalasi bir guruhga birlashtiriladi, chunki 
.
Umumiy yechimga ega bo'lgan guruhlarni umumiy yechimga ega bo'lmagan guruhlarga aylantirish uchun bu guruhlar umumiy davrga ega bo'lgan guruhlarga bo'linadi, so'ngra takrorlanuvchilarni hisobga olmaganda, hosil bo'lgan guruhlarni birlashtirishga harakat qilamiz.
Faktorizatsiya
Faktorizatsiya usuli quyidagicha: agar
keyin tenglamaning istalgan yechimi
tenglamalar to‘plamining yechimidir
Qarama-qarshi bayonot, umuman olganda, noto'g'ri: to'plamning har bir yechimi tenglamaning yechimi emas. Buning sababi, individual tenglamalar yechimlari funktsiyani aniqlash sohasiga kiritilmasligi mumkin.
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Asosiy trigonometrik identifikatsiyadan foydalanib, biz tenglamani shaklda ifodalaymiz
Javob.
; 
.
Trigonometrik funktsiyalar yig'indisini mahsulotga aylantirish
Misol
tenglamani yeching 
.
Yechim. Formulani qo'llaymiz, ekvivalent tenglamani olamiz
Javob. .
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Bunday holda, trigonometrik funktsiyalar yig'indisi uchun formulalarni qo'llashdan oldin siz qisqartirish formulasidan foydalanishingiz kerak. 
. Natijada ekvivalent tenglamani olamiz
Javob.
, 
.
Trigonometrik funksiyalarning ko`paytmasini yig`indiga aylantirish orqali tenglamalarni yechish
Bir qator tenglamalarni yechishda formulalardan foydalaniladi.
Misol tenglamani yeching
Yechim.
Javob. , .
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Formuladan foydalanib, biz ekvivalent tenglamani olamiz:
Javob. .
Tenglamalarni kamaytirish formulalari yordamida yechish
Keng doiradagi trigonometrik tenglamalarni yechishda formulalar asosiy rol o‘ynaydi.
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Formulani qo'llash orqali biz ekvivalent tenglamani olamiz.
Javob. ; .
Uchta argumentli formulalar yordamida tenglamalarni yechish
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Biz formulani qo'llaymiz, biz tenglamani olamiz
Javob. ; .
Misol
tenglamani yeching 
.
Yechim. Darajani pasaytirish uchun formulalarni qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz: 
. Qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:
Javob. ; .
Xuddi shu nomdagi trigonometrik funksiyalarning tengligi
Misol Tenglamani yeching.
Yechim.
Javob. , .
Misol
tenglamani yeching 
.
Yechim. Keling, tenglamani aylantiramiz.
Javob. .
Misol Ma'lumki va tenglamani qanoatlantiring
Yig'indini toping.
Yechim. Bu tenglamadan kelib chiqadi
Javob. .
Shakl summalarini ko'rib chiqing
Ushbu summalarni ko'paytirish va bo'lish orqali mahsulotga aylantirish mumkin, keyin biz olamiz
Ushbu texnikadan ba'zi trigonometrik tenglamalarni echishda foydalanish mumkin, ammo shuni yodda tutish kerakki, buning natijasida begona ildizlar paydo bo'lishi mumkin. Mana bu formulalarning umumlashtirilishi:
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Ko'rinib turibdiki, to'plam dastlabki tenglamaning yechimi hisoblanadi. Shuning uchun tenglamaning chap va o'ng tomonlarini ko'paytirish qo'shimcha ildizlarning paydo bo'lishiga olib kelmaydi.
Bizda ... bor 
.
Javob. ; .
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Biz tenglamaning chap va o'ng tomonlarini ko'paytiramiz va trigonometrik funktsiyalar mahsulotini yig'indiga aylantirish uchun formulalarni qo'llaymiz, biz olamiz
Bu tenglama ikkita tenglamalar to'plamiga ekvivalent va , buning uchun va .
Tenglamaning ildizlari tenglamaning ildizlari bo'lmaganligi sababli, natijada olingan echimlar to'plamidan chiqarib tashlash kerak. Shunday qilib, to'plamda siz istisno qilishingiz kerak.
Javob. va , .
Misol
tenglamani yeching 
.
Yechim. Keling, ifodani o'zgartiramiz:
Tenglama quyidagi shaklda yoziladi:
Javob. .
Trigonometrik tenglamalarni algebraik tenglamalarga keltirish
Kvadratga qisqartirish
Agar tenglama o'xshash bo'lsa
keyin almashtirish kvadratga olib keladi, chunki 
() va.
Agar muddat o'rniga mavjud bo'lsa, unda kerakli almashtirish bo'ladi.
Tenglama
kvadrat tenglamaga qisqartiradi
sifatida taqdimot 
. Qaysi biri tenglamaning ildizi emasligini tekshirish oson va o'zgartirishni amalga oshirib, tenglama kvadratik tenglamaga keltiriladi.
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Keling, uni chap tomonga o'tkazamiz, uni bilan almashtiramiz va va orqali ifodalaymiz.
Soddalashtirilgandan so'ng biz quyidagilarni olamiz: . Atamani atama ga ajrating, almashtirishni bajaring:
ga qaytsak, topamiz 
.
ga nisbatan bir jinsli tenglamalar,
Shaklning tenglamasini ko'rib chiqing
bu yerda , , , ..., , haqiqiy sonlar. Tenglamaning chap tomonidagi har bir hadda monomiallarning darajalari teng, ya'ni sinus va kosinus darajalarining yig'indisi bir xil va tengdir. Bunday tenglama deyiladi bir hil va ga nisbatan va raqam chaqiriladi bir xillik ko'rsatkichi .
Ma'lumki, agar bo'lsa, tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
ularning yechimlari qiymatlari bo'lgan qiymatlar, ya'ni raqamlar. Qavslar ichida yozilgan ikkinchi tenglama ham bir hil, ammo darajalar 1 ga pastroq.
Agar bo'lsa, bu raqamlar tenglamaning ildizi emas.
Qachonki: , va tenglamaning chap tomoni (1) qiymatini oladi.
Demak, uchun, va, demak, tenglamaning ikkala tomonini ga bo’lish mumkin. Natijada biz tenglamani olamiz:
Bu almashtirish orqali algebraikga osonlikcha tushiriladi:
Bir jinslilik indeksli bir jinsli tenglamalar 1. At , bizda tenglama mavjud.
Agar , u holda bu tenglama , , qaerdan , tenglamasiga teng.
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Bu tenglama birinchi darajali bir hildir. Uning ikkala qismini ga ajratsak: , , , .
Javob. .
Misol da, shaklning bir jinsli tenglamasini olamiz
Yechim.
Agar bo'lsa, tenglamaning ikkala tomonini ga bo'lamiz, tenglamani olamiz 
, almashtirish orqali osongina kvadratga keltirilishi mumkin: 
. Agar 
, u holda tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'ladi, . Dastlabki tenglama ikkita yechim guruhiga ega bo'ladi: , , .
Agar 
, u holda tenglamaning yechimlari yo'q.
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Bu tenglama ikkinchi darajali bir hildir. Tenglamaning ikkala tomonini ga ajratsak, quyidagilarga erishamiz: . Keling, keyin, , . , , ; , , .
Javob.
.
Tenglama shakldagi tenglamaga keltiriladi
Buning uchun identifikatsiyadan foydalanish kifoya 
Xususan, tenglama bilan almashtirilsa, bir hil tenglamaga kamayadi 
, keyin biz ekvivalent tenglamani olamiz:
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Keling, tenglamani bir hil tenglamaga aylantiramiz:
Tenglamaning ikkala tomonini ga bo'ling 
, biz tenglamani olamiz:
, keyin kvadrat tenglamaga kelamiz: , , 
, 
, .
Javob.
.
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz, ular ijobiy qiymatlarga ega: , ,
Mayli, keyin olamiz 
, , .
Javob. .
Identifikatsiyalar yordamida yechilgan tenglamalar 
Quyidagi formulalarni bilish foydalidir:
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Foydalanish, biz olamiz
Javob.
Biz formulalarning o'zini emas, balki ularni olish yo'lini taklif qilamiz:
shuning uchun,
Xuddi shunday, .
Misol
tenglamani yeching 
.
Yechim. Keling, ifodani o'zgartiramiz:
Tenglama quyidagi shaklda yoziladi:
Olib, olamiz. , . Shuning uchun
Javob. .
Universal trigonometrik almashtirish
Shaklning trigonometrik tenglamasi
Bu erda --- formulalar yordamida ratsional funktsiya --, shuningdek formulalar yordamida -- , , , argumentlariga nisbatan ratsional tenglamaga keltirilishi mumkin, shundan so'ng tenglamani qisqartirish mumkin. universal trigonometrik almashtirish formulalaridan foydalanishga nisbatan algebraik ratsional tenglama
Shuni ta'kidlash kerakki, formulalardan foydalanish dastlabki tenglamaning ODZ ning torayishiga olib kelishi mumkin, chunki u nuqtalarda aniqlanmagan, shuning uchun bunday hollarda burchaklar asl tenglamaning ildizlari ekanligini tekshirish kerak. .
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Vazifaga ko'ra. Formulalarni qo'llash va almashtirishni amalga oshirib, biz olamiz
qayerdan va shuning uchun, .
Shaklning tenglamalari
Ko'phad bo'lgan shakldagi tenglamalar noma'lumlarni o'zgartirish orqali yechiladi
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. O'zgartirishni amalga oshirib, buni hisobga olsak, biz olamiz
qayerda,. --- begona ildiz, chunki . Tenglama ildizlari 
bor.
Cheklangan funksiyalardan foydalanish
Markazlashtirilgan test amaliyotida yechimi va funksiyalarining chegaralanganligiga asoslangan tenglamalarni uchratish kam uchraydi. Masalan:
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Chunki , , keyin chap tomoni oshmaydi va ga teng, agar
Ikkala tenglamani qanoatlantiradigan qiymatlarni topish uchun biz quyidagicha harakat qilamiz. Biz ulardan birini hal qilamiz, keyin topilgan qiymatlar orasidan ikkinchisini qanoatlantiradiganlarini tanlaymiz.
Ikkinchisidan boshlaylik: , . Keyin, 
.
Faqat juft sonlar uchun bo'lishi aniq.
Javob. .
Boshqa bir fikr quyidagi tenglamani yechish orqali amalga oshiriladi:
Misol
tenglamani yeching 
.
Yechim. Eksponensial funksiya xossasidan foydalanamiz: , 
.
Ushbu tengsizliklarni atama bo'yicha qo'shsak, bizda:
Shuning uchun, bu tenglamaning chap tomoni teng bo'ladi, agar va faqat ikkita tenglik bajarilsa:
ya'ni , , qiymatlarini olishi mumkin yoki qiymatlarni olishi mumkin, .
Javob. , .
Misol
tenglamani yeching 
.
Yechim., . Demak, 
.
Javob. .
Misol tenglamani yeching
Yechim. ni belgilang, keyin bizda mavjud bo'lgan teskari trigonometrik funktsiyaning ta'rifidan 
va 
.
Chunki, tengsizlik tenglamadan kelib chiqadi, ya'ni. . Buyon va , keyin va . Biroq, va shuning uchun.
Agar va bo'lsa, u holda. Ilgari aniqlangani uchun, keyin.
Javob. , .
Misol tenglamani yeching
Yechim. Tenglamaning haqiqiy qiymatlari diapazoni .
Avval funksiya ekanligini ko'rsatamiz
Har qanday kishi uchun u faqat ijobiy qiymatlarni qabul qilishi mumkin.
Funksiyani quyidagicha ifodalaymiz: .
O'shandan beri, ya'ni, 
.
Shuning uchun tengsizlikni isbotlash uchun buni ko'rsatish kerak 
. Shu maqsadda biz bu tengsizlikning ikkala qismini kub qilamiz
Olingan son tengsizlik shuni ko'rsatadi. ni ham hisobga olsak, tenglamaning chap tomoni manfiy emas.
Endi tenglamaning o'ng tomonini ko'rib chiqing.
Chunki 
, keyin
Biroq, bu ma'lum 
. Bu erdan kelib chiqadiki, ya'ni. tenglamaning o'ng tomoni oshmaydi. Ilgari tenglamaning chap tomoni manfiy emasligi isbotlangan edi, shuning uchun undagi tenglik faqat uning ikkala qismi teng bo'lganda bo'lishi mumkin va bu faqat uchun mumkin.
Javob. .
Misol tenglamani yeching
Yechim. Belgilang va 
. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligini qo'llagan holda, biz . Demak, bundan kelib chiqadi 
. Boshqa tomondan, bor 
. Shuning uchun tenglamaning ildizlari yo'q.
Javob. .
Misol Tenglamani yeching:
Yechim. Tenglamani quyidagi shaklda qayta yozamiz:
Javob. .
Trigonometrik va kombinatsiyalangan tenglamalarni yechishning funksional usullari
O'zgartirishlar natijasida har bir tenglamani ma'lum bir hal qilish usuli mavjud bo'lgan u yoki bu standart shakldagi tenglamaga keltirish mumkin emas. Bunday hollarda funksiyalarning monotonlik, chegaralanganlik, tekislik, davriylik kabi xossalaridan foydalanish foydali bo‘lib chiqadi. Demak, funksiyalardan biri kamaysa, ikkinchisi intervalda ortib ketsa, tenglama bu oraliqda ildizga ega bo'lsa, bu ildiz o'ziga xosdir va keyin, masalan, uni tanlash orqali topish mumkin. Agar funktsiya yuqoridan va , va funksiya pastdan chegaralangan bo'lsa, va, u holda tenglama tenglamalar tizimiga ekvivalent bo'ladi.
Misol tenglamani yeching
Yechim. Dastlabki tenglamani shaklga o'tkazamiz
ga nisbatan kvadrat shaklida yeching. Keyin olamiz
Birinchi to‘plam tenglamasini yechamiz. Funksiyaning chegaralanganligini hisobga olib, tenglama faqat intervalda ildizga ega bo'lishi mumkin degan xulosaga kelamiz. Bu oraliqda funktsiya ortadi va funktsiya 
kamayadi. Shuning uchun, agar bu tenglamaning ildizi bo'lsa, u yagonadir. Tanlov orqali topamiz.
Javob. .
Misol tenglamani yeching
Yechim. Keling, va 
, keyin asl tenglamani funktsional tenglama sifatida yozish mumkin. Funktsiya g'alati bo'lgani uchun . Bunday holda, biz tenglamani olamiz
, va monotonik bo'lgani uchun, tenglama tenglamaga ekvivalentdir, ya'ni. 
, bu bitta ildizga ega.
Javob. .
Misol
tenglamani yeching 
.
Yechim. Murakkab funktsiyaning hosilasi haqidagi teoremaga asoslanib, funktsiya 
kamayuvchi (funksiyaning kamayishi, ortishi, kamayishi). Bundan ma'lum bo'ladiki, funktsiya 
ga belgilangan, kamayuvchi. Shuning uchun bu tenglama ko'pi bilan bitta ildizga ega. Chunki 
, keyin
Javob. .
Misol Tenglamani yeching.
Yechim. Tenglamani uchta oraliqda ko'rib chiqing.
a) ruxsat bering. U holda bu to'plamda asl tenglama tenglamaga ekvivalent bo'ladi. Qaysi intervalda hech qanday yechimlari bor, beri 
, , a. Intervalda asl tenglamaning ham ildizlari yo'q, chunki 
, a.
b) ruxsat bering. Keyin ushbu to'plamda asl tenglama tenglamaga ekvivalent bo'ladi
oraliqdagi ildizlari , , , raqamlari.
c) ruxsat bering. Keyin ushbu to'plamda asl tenglama tenglamaga ekvivalent bo'ladi
Qaysi oraliqda yechimlari yo'q, chunki , lekin . Tenglamaning oraliq bo'yicha yechimlari ham yo'q, chunki , , a.
Javob. , , , .
Simmetriya usuli
Simmetriya usulini topshiriq bayonida tenglama, tengsizlik, sistema va h.k.larning yechimi yagona bo‘lishi talabi mavjud bo‘lganda qo‘llash qulay. yoki yechimlar sonining aniq ko'rsatkichi. Bunday holda, berilgan ifodalarning har qanday simmetriyasini aniqlash kerak.
Bundan tashqari, simmetriyaning mumkin bo'lgan turlarining xilma-xilligini hisobga olish kerak.
Simmetriya bilan fikr yuritishda mantiqiy bosqichlarga qat'iy rioya qilish ham bir xil darajada muhimdir.
Odatda, simmetriya bizga faqat kerakli shartlarni o'rnatishga imkon beradi, keyin esa ularning etarliligini tekshirishimiz kerak.
Misol Tenglama yagona yechimga ega bo'lgan parametrning barcha qiymatlarini toping.
Yechim. E'tibor bering va ular juft funktsiyalardir, shuning uchun tenglamaning chap tomoni juft funktsiyadir.
Shunday qilib, agar tenglamaning yechimi bo'lsa, unda tenglamaning yechimi ham mavjud. Agar tenglamaning yagona yechimi bo'lsa, u holda zarur , .
Keling, tanlaymiz mumkin qiymatlar, bu tenglamaning ildizi bo'lishini talab qiladi.
Biz darhol ta'kidlaymizki, boshqa qiymatlar muammoning holatini qondira olmaydi.
Ammo tanlanganlarning barchasi muammoning shartini qondiradimi yoki yo'qmi hali noma'lum.
Adekvatlik.
1) , tenglama shaklni oladi 
.
2) , tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
Shubhasiz, hamma uchun va 
. Shunday qilib, oxirgi tenglama tizimga ekvivalentdir:
Shunday qilib, , uchun tenglama yagona yechimga ega ekanligini isbotladik.
Javob. .
Funktsiyalarni o'rganish bilan yechim
Misol Tenglamaning barcha yechimlari ekanligini isbotlang
Butun sonlar.
Yechim. Dastlabki tenglamaning asosiy davri . Shuning uchun biz birinchi navbatda ushbu tenglamani segmentda o'rganamiz.
Tenglamani quyidagi shaklga aylantiramiz:
Kalkulyator yordamida biz quyidagilarni olamiz:
Agar bo'lsa, oldingi tengliklardan biz quyidagilarni olamiz:
Hosil bo'lgan tenglamani yechish orqali quyidagilarga erishamiz: .
Amalga oshirilgan hisob-kitoblar oraliqga tegishli tenglamaning ildizlarini, va deb hisoblash imkoniyatini beradi.
To'g'ridan-to'g'ri tekshirish bu farazni tasdiqlaydi. Shunday qilib, tenglamaning ildizlari faqat butun sonlar ekanligi isbotlangan.
Misol
Tenglamani yeching 
.
Yechim. Tenglamaning asosiy davrini toping. Funktsiyaning asosiy davri . Funktsiyaning asosiy davri . Sonlarning eng kichik umumiy karrali va ga teng. Demak, tenglamaning asosiy davri . Mayli.
Shubhasiz, tenglamaning yechimi. Intervalda. Funktsiya salbiy. Shuning uchun tenglamaning boshqa ildizlarini faqat x va oraliqlardan izlash kerak.
Mikrokalkulyator yordamida birinchi navbatda tenglama ildizlarining taxminiy qiymatlarini topamiz. Buning uchun funksiya qiymatlari jadvalini tuzamiz 
intervallar bo'yicha va ; ya'ni intervallarda va .
| 0 | 0 | 202,5 | 0,85355342 |
| 3 | -0,00080306 | 207 | 0,6893642 |
| 6 | -0,00119426 | 210 | 0,57635189 |
| 9 | -0,00261932 | 213 | 0,4614465 |
| 12 | -0,00448897 | 216 | 0,34549155 |
| 15 | -0,00667995 | 219 | 0,22934931 |
| 18 | -0,00903692 | 222 | 0,1138931 |
| 21 | -0,01137519 | 225 | 0,00000002 |
| 24 | -0,01312438 | 228 | -0,11145712 |
| 27 | -0,01512438 | 231 | -0,21961736 |
| 30 | -0,01604446 | 234 | -0,32363903 |
| 33 | -0,01597149 | 237 | -0,42270819 |
| 36 | -0,01462203 | 240 | -0,5160445 |
| 39 | -0,01170562 | 243 | -0,60290965 |
| 42 | -0,00692866 | 246 | -0,65261345 |
| 45 | 0,00000002 | 249 | -0,75452006 |
| 48 | 0,00936458 | 252 | -0,81805397 |
| 51 | 0,02143757 | 255 | -0,87270535 |
| 54 | 0,03647455 | 258 | -0,91803444 |
| 57 | 0,0547098 | 261 | -0,95367586 |
| 60 | 0,07635185 | 264 | -0,97934187 |
| 63 | 0,10157893 | 267 | -0,99482505 |
| 66 | 0,1305352 | 270 | -1 |
| 67,5 | 0,14644661 |
Jadvaldan quyidagi farazlarni osongina ko'rish mumkin: segmentga tegishli tenglamaning ildizlari sonlar: ; ; . To'g'ridan-to'g'ri tekshirish bu farazni tasdiqlaydi.
Javob.
; 
; .
Birlik aylana yordamida trigonometrik tengsizliklarni yechish
Trigonometrik funktsiyalardan biri bo'lgan shakldagi trigonometrik tengsizliklarni yechishda tengsizlikning yechimini eng aniq ko'rsatish va javobni yozish uchun trigonometrik doiradan foydalanish qulay. Trigonometrik tengsizliklarni yechishning asosiy usuli ularni eng oddiy turdagi tengsizliklarga kamaytirishdir. Keling, bunday tengsizliklarni qanday yechish misolini ko'rib chiqaylik.
Misol Tengsizlikni yeching.
Yechim. Trigonometrik doira chizamiz va uning ustida ordinatasi dan katta bo'lgan nuqtalarni belgilaymiz.
Bu tengsizlikning yechimi uchun bo'ladi. Bundan tashqari, agar biron bir raqam ko'rsatilgan oraliqdan ba'zi bir raqamdan farq qilsa, u ham dan kam bo'lmasligi aniq. Shuning uchun, yechimning topilgan segmentining oxiriga faqat qo'shishingiz kerak . Nihoyat, biz asl tengsizlikning yechimlari hammasi bo'lishini tushunamiz 
.
Javob.
.
Tangens va kotangens bilan tengsizliklarni yechish uchun tangens va kotangenslar chizig'i tushunchasi foydalidir. Bular trigonometrik doiraga teguvchi chiziqlar va navbati bilan (1 va (2)-rasmda).
Ko'rinib turibdiki, agar siz kelib chiqishi bo'lgan nurni abscissa o'qining musbat yo'nalishi bilan burchak hosil qilgan holda qursangiz, u holda segmentning uzunligi ushbu nurning kesishgan nuqtasidan tortib to chiziq bilan kesishgan nuqtagacha bo'lganligini tushunish oson. tangenslar bu nurning abscissa o'qi bilan yasagan burchak tangensiga to'liq teng. Xuddi shunday kuzatuv kotangentga ham tegishli.
Misol Tengsizlikni yeching.
Yechim. ni belgilang, u holda tengsizlik eng oddiy shaklni oladi: . Tangensning eng kichik ijobiy davriga (LPP) teng uzunlikdagi intervalni ko'rib chiqing. Ushbu segmentda teglar chizig'idan foydalanib, biz buni aniqlaymiz. Endi biz nima qo'shish kerakligini eslaymiz, chunki funktsiyaning RPE . Shunday qilib, 
. O'zgaruvchiga qaytsak, biz buni olamiz.
Javob.
.
Teskari trigonometrik funksiyalar bilan tengsizliklarni teskari trigonometrik funksiyalarning grafiklaridan foydalanib yechish qulay. Keling, bu qanday amalga oshirilishini misol bilan ko'rsatamiz.
Trigonometrik tengsizliklarni grafik usulda yechish
E'tibor bering, agar --- davriy funktsiya bo'lsa, u holda tengsizlikni echish uchun uzunligi funktsiya davriga teng bo'lgan segmentda uning echimlarini topish kerak. Asl tengsizlikning barcha yechimlari topilgan qiymatlardan, shuningdek, funktsiya davrlarining istalgan butun soni bilan topilganlardan farq qiladigan barcha qiymatlardan iborat bo'ladi.
() tengsizlikning yechimini ko'rib chiqaylik.
Chunki tengsizlikning yechimlari yo'q. Agar bo'lsa, u holda tengsizlikning yechimlari to'plami barcha haqiqiy sonlar to'plamidir.
Mayli. Sinus funktsiyasi eng kichik musbat davrga ega, shuning uchun tengsizlik birinchi navbatda uzunlik segmentida, masalan, segmentda echilishi mumkin. Biz va () funktsiyalarning grafiklarini quramiz. shakldagi tengsizliklar bilan beriladi: va, buning uchun,
Ushbu maqolada eng oddiy va olimpiada darajasidagi trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni yechish usullari ko'rib chiqildi. Trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni yechishning asosiy usullari, ham o'ziga xos --- faqat trigonometrik tenglamalar va tengsizliklar uchun xarakterli ---- va trigonometrik tenglamalarga nisbatan qo'llaniladigan tenglamalar va tengsizliklarni echishning umumiy funktsional usullari ko'rib chiqildi.
Tezisda asosiy nazariy ma’lumotlar berilgan: trigonometrik va teskari trigonometrik funksiyalarning ta’rifi va xossalari; trigonometrik funktsiyalarni boshqa trigonometrik funktsiyalar bilan ifodalash, bu trigonometrik ifodalarni, ayniqsa teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olganlarni aylantirish uchun juda muhimdir; maktab kursidan yaxshi ma'lum bo'lgan asosiy trigonometrik formulalarga qo'shimcha ravishda, teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan ifodalarni soddalashtiradigan formulalar berilgan. Elementar trigonometrik tenglamalarni yechish, faktoring usuli, trigonometrik tenglamalarni algebraik tenglamalarga keltirish usullari ko'rib chiqiladi. Trigonometrik tenglamalar yechimlari bir necha usulda yozilishi mumkinligini va bu yechimlarning shakli bu yechimlarning bir xil yoki boshqacha ekanligini darhol aniqlashga imkon bermasligini hisobga olib, trigonometrik tenglamalarni yechishning umumiy sxemasi ko‘rib chiqiladi va trigonometrik tenglamalarning umumiy yechimlari guruhlarini o'zgartirish batafsil ko'rib chiqiladi. Elementar trigonometrik tengsizliklarni birlik aylanada ham, grafik usulda ham yechish usullari batafsil ko‘rib chiqiladi. Elementar bo'lmagan trigonometrik tengsizliklarni elementar tengsizliklar orqali yechish jarayoni va maktab o'quvchilariga allaqachon yaxshi ma'lum bo'lgan intervallar usuli tasvirlangan. Ildizlarni tanlash bo'yicha tipik vazifalarning echimlari berilgan. Ildizlarni tanlash uchun zaruriy nazariy ma'lumotlar berilgan: butun sonlar to'plamini kesishmaydigan kichik to'plamlarga bo'lish, tenglamalarni butun sonlarda hal qilish (diofantin).
Ushbu bitiruv malakaviy ishining natijalari kurs va dissertatsiyalar tayyorlashda, maktab o‘quvchilari uchun tanlov fanlarini tayyorlashda o‘quv materiali sifatida, shuningdek, talabalarni kirish imtihonlari va markazlashtirilgan test sinovlariga tayyorlashda foydalanish mumkin.
Vygodskiy Ya.Ya., Boshlang'ich matematika bo'yicha qo'llanma. /Vigodskiy Ya.Ya. --- M.: Nauka, 1970 yil.
Igudisman O., Og'zaki imtihonda matematika / Igudisman O. --- M .: Iris Press, Rolf, 2001.
Azarov A.I., tenglamalar / Azarov A.I., Gladun O.M., Fedosenko V.S. --- Minsk: Trivium, 1994 yil.
Litvinenko V.N., Boshlang'ich matematika bo'yicha seminar / Litvinenko V.N. --- M .: Ta'lim, 1991 yil.
Sharygin I.F., Matematikaning ixtiyoriy kursi: muammolarni hal qilish / Sharygin I.F., Golubev V.I. --- M.: Ma'rifat, 1991 yil.
Bardushkin V., Trigonometrik tenglamalar. Ildizlarni tanlash / V. Bardushkin, A. Prokofyev.// Matematika, No 12, 2005 bet. 23--27.
Vasilevskiy A.B., Matematikadan sinfdan tashqari ishlar uchun topshiriqlar / Vasilevskiy A.B. --- Mn.: Xalq Asvetasi. 1988. --- 176-yillar.
Sapunov P. I., Trigonometrik tenglamalarning umumiy yechimlari guruhlarini o'zgartirish va birlashtirish / Sapunov P. I. // Matematik ta'lim, 1935 yil 3-son.
Borodin P., Trigonometriya. Moskva davlat universitetiga kirish imtihonlari materiallari [matn] / P. Borodin, V. Galkin, V. Panferov, I. Sergeev, V. Tarasov // Matematika No 1, 2005 y. 36--48.
Samusenko A.V., Matematika: Abituriyentlarning odatiy xatolari: Ma'lumotnoma / Samusenko A.V., Kazachenok V.V. --- Minsk: Oliy maktab, 1991 yil.
Azarov A.I., Imtihon muammolarini hal qilishning funktsional va grafik usullari / Azarov A.I., Barvenov S.A., --- Minsk: Aversev, 2004.
Eng oddiy trigonometrik tengsizliklarni yechish algoritmi va trigonometrik tengsizliklarni yechish usullarini tan olish.
Oliy malaka toifali o'qituvchilar:
Shirko F.M. Taraqqiyot qishlog'i, MOBU-SOSH №6
Sankina L.S. Armavir, PEI "Yangi yo'l" o'rta maktabi
Tabiiy-matematik fanlarni o'qitishning universal usullari mavjud emas. Har bir o'qituvchi faqat o'zi uchun maqbul bo'lgan o'qitish usullarini topadi.
Bizning ko'p yillik o'qitish tajribamiz shuni ko'rsatadiki, agar talabalar murakkab mavzuni o'rganishning dastlabki bosqichida o'z faoliyatida algoritmlardan foydalanishga o'rgatilsa, diqqatni jamlashni va xotirada katta hajmdagi ma'lumotlarni saqlashni talab qiladigan materialni osonroq o'zlashtiradi. Bunday mavzu, bizningcha, trigonometrik tengsizliklarni yechish mavzusidir.
Shunday qilib, biz talabalar bilan trigonometrik tengsizliklarni echish texnikasi va usullarini aniqlashni boshlashdan oldin, biz eng oddiy trigonometrik tengsizliklarni yechish algoritmini ishlab chiqamiz va tuzamiz.
Eng oddiy trigonometrik tengsizliklarni yechish algoritmi
Tegishli o'qda nuqtalarni belgilaymiz ( uchun gunoh x- y o'qi, uchuncos x- OX o'qi)
Biz aylanani ikki nuqtada kesib o'tadigan o'qga perpendikulyarni tiklaymiz.
Avval aylanada ta'rif bo'yicha yoy funktsiyasi qiymatlari oralig'iga tegishli nuqtani belgilaymiz.
Imzolangan nuqtadan boshlab, biz o'qning soyali qismiga mos keladigan aylana yoyini soya qilamiz.
Biz aylanib o'tish yo'nalishiga alohida e'tibor beramiz. Agar o'tish soat yo'nalishi bo'yicha bo'lsa (ya'ni 0 dan o'tish bo'lsa), u holda aylananing ikkinchi nuqtasi manfiy bo'ladi, agar soat miliga teskari bo'lsa - ijobiy.
Javobni funksiyaning davriyligini hisobga olgan holda interval sifatida yozamiz.
Algoritmning ishlashini misollar bilan ko'rib chiqamiz.
1) gunoh ≥ 1/2;
Yechim:
Birlik doirasini chizing.;
Y o'qida ½ nuqtani belgilaymiz.
O'qga perpendikulyarni tiklang,
aylanani ikki nuqtada kesib o'tuvchi.
Arksinusning ta'rifi bo'yicha biz birinchi navbatda belgilaymiz
nuqta p/6.
Biz o'qning mos keladigan qismini soya qilamiz
berilgan tengsizlik, ½ nuqtadan yuqori.
Biz o'qning soyali qismiga mos keladigan aylana yoyini soya qilamiz.
Bypass soat sohasi farqli o'laroq amalga oshiriladi, biz 5p/6 nuqtasini oldik.
Javobni funksiyaning davriyligini hisobga olgan holda interval sifatida yozamiz;
Javob:x;[p/6 + 2p n, 5p/6 + 2p n], n Z.
Eng oddiy tengsizlik, agar javoblar yozuvida jadval qiymati bo'lmasa, xuddi shu algoritm yordamida hal qilinadi.
Talabalar birinchi darslarda doskada tengsizliklarni yechib, algoritmning har bir bosqichini ovoz chiqarib talaffuz qiladilar.
2) 5 cos x – 1 ≥ 0;
R 
Yechim:da
5 cos x – 1 ≥ 0;
cos x ≥ 1/5;
Birlik doirasini chizing.
OX o'qida koordinatasi 1/5 bo'lgan nuqtani belgilaymiz.
Biz o'qga perpendikulyarni tiklaymiz, bu
aylanani ikki nuqtada kesib o‘tadi.
Avval aylanada ta'rif bo'yicha teskari kosinus qiymatlari oralig'iga tegishli nuqtani belgilaymiz (0; p).
Ushbu tengsizlikka mos keladigan eksa qismini soya qilamiz.
Imzolangan nuqtadan boshlab arccos 1/5, o'qning soyali qismiga mos keladigan aylana yoyini soya qiling.
Aylanib o'tish soat yo'nalishi bo'yicha amalga oshiriladi (ya'ni 0 dan o'tish bor), bu aylananing ikkinchi nuqtasi salbiy bo'lishini anglatadi - arccos 1/5.
Javobni funksiyaning davriyligini hisobga olgan holda, kichikroq qiymatdan kattaroq qiymatga qadar interval sifatida yozamiz.
Javob: x [-arccos 1/5 + 2p n, arccos 1/5 + 2p n], n Z.
Trigonometrik tengsizliklarni yechish qobiliyatini takomillashtirishga quyidagi savollar yordam beradi: “Tengsizliklar guruhini qanday hal qilamiz?”; “Bir tengsizlik boshqasidan qanday farq qiladi?”; "Bir tengsizlik boshqasiga qanday o'xshaydi?"; Agar qat'iy tengsizlik berilgan bo'lsa, javob qanday o'zgaradi? Agar "" belgisi o'rniga belgi bo'lsa, javob qanday o'zgaradi?
Tengsizliklar ro'yxatini ularni hal qilish yo'llari nuqtai nazaridan tahlil qilish vazifasi ularni tanib olishni ishlab chiqishga imkon beradi.
Talabalarga sinfda yechish uchun tengsizliklar beriladi.
Savol: Trigonometrik tengsizlikni eng oddiyga qisqartirishda ekvivalent o'zgartirishlardan foydalanishni talab qiladigan tengsizliklarni ajratib ko'rsating?
Javob 1, 3, 5.
Savol: Murakkab argumentni oddiy deb hisoblash uchun qanday tengsizliklar mavjud?
Javob: 1, 2, 3, 5, 6.
Savol: Trigonometrik formulalarni qo'llash mumkin bo'lgan tengsizliklar qanday?
Javob: 2, 3, 6.
Savol: Yangi o'zgaruvchini kiritish usulini qo'llash mumkin bo'lgan tengsizliklar qanday?
Javob: 6.
Tengsizliklar ro'yxatini ularni hal qilish yo'llari nuqtai nazaridan tahlil qilish vazifasi ularni tanib olishni ishlab chiqishga imkon beradi. Ko'nikmalarni rivojlantirishda uni amalga oshirish bosqichlarini ajratib ko'rsatish va ularni eng oddiy trigonometrik tengsizliklarni echish algoritmida keltirilgan umumiy shaklda shakllantirish muhimdir.
Amaliy darsda biz "Trigonometriya" mavzusidagi asosiy topshiriq turlarini takrorlaymiz, murakkabligi oshgan muammolarni qo'shimcha ravishda tahlil qilamiz va turli trigonometrik tengsizliklar va ularning tizimlarini echish misollarini ko'rib chiqamiz.
Ushbu dars sizga B5, B7, C1 va C3 topshiriqlaridan biriga tayyorgarlik ko'rishga yordam beradi.
Keling, Trigonometriya mavzusida ko'rib chiqilgan asosiy turdagi vazifalarni takrorlashdan boshlaylik va bir nechta nostandart vazifalarni hal qilamiz.
№1 vazifa. Burchaklarni radian va gradusga aylantiring: a) ; b) .
a) darajalarni radianga aylantirish formulasidan foydalaning
Unga berilgan qiymatni almashtiring.
b) radianlarni darajaga o'tkazish formulasini qo'llang
Keling, almashtirishni bajaramiz 
.
Javob. a) ; b) .
Vazifa №2. Hisoblang: a) ; b) .
a) Burchak jadvaldan ancha uzoqda bo'lgani uchun sinus davrini ayirib, uni kamaytiramiz. Chunki burchak radianlarda berilgan, u holda davr sifatida qabul qilinadi.
b) Bu holatda ham vaziyat shunga o'xshash. Burchak graduslarda ko'rsatilganligi sababli, biz tangens davrini deb hisoblaymiz.
Olingan burchak, davrdan kamroq bo'lsa-da, kattaroqdir, ya'ni u endi asosiyga emas, balki jadvalning kengaytirilgan qismiga tegishli. Trigofunktsiya qiymatlarining kengaytirilgan jadvalini yodlab, xotiramizni yana bir bor o'rgatmaslik uchun tangens davrini yana ayiramiz:
Biz tangens funksiyasining g'alatiligidan foydalandik.
Javob. a) 1; b) .
Vazifa №3. Hisoblash 
, agar.
Kasrning payini va maxrajini ga bo'lish orqali butun ifodani tangenslarga keltiramiz. Shu bilan birga, biz bundan qo'rqmasligimiz kerak, chunki bu holda tangensning qiymati mavjud bo'lmaydi.
№4 vazifa. Ifodani soddalashtiring.
Belgilangan ifodalar quyma formulalar yordamida aylantiriladi. Shunchaki, ular noodatiy darajada darajalar yordamida yozilgan. Birinchi ifoda odatda sondir. Barcha trigofunktsiyalarni navbat bilan soddalashtiring:
Chunki , keyin funktsiya kofunktsiyaga o'zgaradi, ya'ni. kotangensga va burchak ikkinchi chorakka to'g'ri keladi, bunda dastlabki tangensning belgisi manfiy bo'ladi.
Oldingi ifodadagi kabi sabablarga ko'ra, funktsiya kofunktsiyaga o'zgaradi, ya'ni. kotangensga va burchak birinchi chorakka to'g'ri keladi, bunda boshlang'ich tangens ijobiy belgiga ega.
Hamma narsani soddalashtirilgan ifodaga almashtirish:
Vazifa №5. Ifodani soddalashtiring.
Ikki burchakning tangensini mos formula bo'yicha yozamiz va ifodani soddalashtiramiz:
Oxirgi identifikatsiya kosinus uchun universal almashtirish formulalaridan biridir.
Vazifa №6. Hisoblang.
Asosiysi, standart xatolikka yo'l qo'ymaslik va ifoda teng bo'lgan javobni bermaslikdir. Yoy tangensining asosiy xususiyatidan uning yonida ikkita ko'rinishdagi omil mavjud bo'lganda foydalanish mumkin emas. Undan xalos bo'lish uchun biz ifodani qo'sh burchakning tangensi formulasiga muvofiq yozamiz, shu bilan birga uni oddiy argument sifatida ko'rib chiqamiz.
Endi yoy tangensining asosiy xususiyatini qo'llash allaqachon mumkin, uning raqamli natijasiga hech qanday cheklovlar yo'qligini unutmang.
№7 vazifa. Tenglamani yeching.
Nolga teng bo'lgan kasr tenglamasini yechishda har doim hisob nol, maxraj esa nolga teng ekanligi ko'rsatiladi, chunki siz nolga bo'la olmaysiz.
Birinchi tenglama eng oddiy tenglamaning maxsus holati bo'lib, u trigonometrik doira yordamida echiladi. Ushbu yechim haqida o'zingiz o'ylab ko'ring. Ikkinchi tengsizlik eng oddiy tenglama sifatida tangensning ildizlari uchun umumiy formuladan foydalangan holda echiladi, lekin faqat teng emas belgisi bilan.
Ko'rib turganimizdek, ildizlarning bir oilasi boshqa tenglamani qanoatlantirmaydigan bir xil ildizlar oilasini istisno qiladi. Bular. ildizlari yo'q.
Javob. Hech qanday ildiz yo'q.
№8 vazifa. Tenglamani yeching.
Darhol e'tibor bering, siz umumiy omilni chiqarib, buni qilishingiz mumkin:
Bir nechta omillarning mahsuloti nolga teng bo'lganda, tenglama standart shakllardan biriga qisqartirildi. Biz allaqachon bilamizki, bu holda ulardan biri nolga teng, yoki ikkinchisi yoki uchinchisi. Biz buni tenglamalar to'plami sifatida yozamiz:
Birinchi ikkita tenglama eng oddiylarining maxsus holatlaridir, biz shunga o'xshash tenglamalar bilan ko'p marta uchrashganmiz, shuning uchun biz darhol ularning echimlarini ko'rsatamiz. Ikki burchakli sinus formulasidan foydalanib, uchinchi tenglamani bitta funktsiyaga qisqartiramiz.
Oxirgi tenglamani alohida yechamiz:
Bu tenglamaning ildizlari yo'q, chunki sinning qiymati chegaradan oshib keta olmaydi 
.
Shunday qilib, ildizlarning faqat birinchi ikkita oilasi yechim bo'lib, ularni trigonometrik doirada ko'rsatish oson bo'lgan bittaga birlashtirilishi mumkin:
 |
Bu barcha yarmining oilasi, ya'ni.
Keling, trigonometrik tengsizliklarni yechishga o‘tamiz. Birinchidan, umumiy yechim formulalarini ishlatmasdan, lekin trigonometrik doira yordamida misolni yechish usulini tahlil qilaylik.
№9 vazifa. Tengsizlikni yeching.
ga teng sinusning qiymatiga mos keladigan trigonometrik doirada yordamchi chiziq chizing va tengsizlikni qanoatlantiruvchi burchaklar oralig’ini ko’rsating.
 |
Olingan burchak oralig'ini qanday aniq belgilashni tushunish juda muhim, ya'ni. uning boshlanishi va oxiri nima. Bo'shliqning boshlanishi, agar biz soat miliga teskari harakat qilsak, bo'shliqning eng boshida kiradigan nuqtaga mos keladigan burchak bo'ladi. Bizning holatda, bu chap tomonda joylashgan nuqta, chunki soat sohasi farqli o'laroq harakat qilish va to'g'ri nuqtadan o'tish, aksincha, biz kerakli burchak oralig'idan chiqamiz. Shuning uchun to'g'ri nuqta bo'shliqning oxiriga to'g'ri keladi.
Endi biz tengsizlikni hal qilish bo'shlig'ining boshlang'ich va yakuniy burchaklarining qiymatlarini tushunishimiz kerak. Odatiy xato - bu to'g'ri nuqta burchakka mos kelishini darhol ko'rsatish , chap va javob bering. Bu haqiqat emas! E'tibor bering, biz hozirgina aylananing yuqori qismiga mos keladigan intervalni ko'rsatdik, garchi biz pastki qismiga qiziqsak ham, boshqacha qilib aytganda, biz kerakli echimlar oralig'ining boshi va oxirini aralashtirdik.
Interval o'ng nuqtaning burchagidan boshlanib, chap nuqtaning burchagida tugashi uchun birinchi ko'rsatilgan burchak ikkinchidan kichik bo'lishi kerak. Buning uchun biz to'g'ri nuqtaning burchagini salbiy mos yozuvlar yo'nalishida o'lchashimiz kerak bo'ladi, ya'ni. soat yo'nalishi bo'yicha va u ga teng bo'ladi. Keyin, undan soat yo'nalishi bo'yicha musbat yo'nalishda boshlab, chap nuqtadan keyin o'ng nuqtaga etib boramiz va buning uchun burchak qiymatini olamiz. Endi burchaklar oralig'ining boshi ning oxiridan kichik bo'lib, yechimlar oralig'ini davrni hisobga olmagan holda yozishimiz mumkin:
Bunday bo'shliqlar har qanday butun son aylanishlardan keyin cheksiz ko'p marta takrorlanishini hisobga olsak, biz sinus davrini hisobga olgan holda umumiy yechimni olamiz:
Tengsizlik qat'iy bo'lgani uchun biz dumaloq qavslar qo'yamiz va biz doiradagi oraliqning uchlariga mos keladigan nuqtalarni teshamiz.
Javobingizni biz ma'ruzada bergan umumiy yechim formulasi bilan solishtiring.
Javob. 
.
Bu usul eng oddiy trigonal tengsizliklarning umumiy yechimlari formulalari qayerdan kelganligini tushunish uchun yaxshi. Bundan tashqari, bu barcha noqulay formulalarni o'rganish uchun juda dangasa bo'lganlar uchun foydalidir. Biroq, usulning o'zi ham oson emas, yechimga qaysi yondashuv siz uchun eng qulay ekanligini tanlang.
Trigonometrik tengsizliklarni yechish uchun birlik doirasi yordamida ko'rsatilgan usulga o'xshab, yordamchi chiziq qurilgan funksiya grafiklaridan ham foydalanish mumkin. Agar siz qiziqsangiz, yechimga ushbu yondashuvni o'zingiz tushunishga harakat qiling. Quyida biz eng oddiy trigonometrik tengsizliklarni yechish uchun umumiy formulalardan foydalanamiz.
№10 vazifa. Tengsizlikni yeching.
Tengsizlik qat'iy emasligini hisobga olib, umumiy yechim formulasidan foydalanamiz:
Bizning holatimizda biz quyidagilarni olamiz:
Javob. 
№11 vazifa. Tengsizlikni yeching.
Tegishli qat'iy tengsizlik uchun umumiy yechim formulasidan foydalanamiz:
Javob. 
.
№12 vazifa. Tengsizliklarni yeching: a) ; b) .
Ushbu tengsizliklarda umumiy echimlar yoki trigonometrik doiralar uchun formulalardan foydalanishga shoshilmaslik kerak, sinus va kosinus qiymatlari oralig'ini eslab qolish kifoya.
a) Chunki 
, u holda tengsizlik ma'nosiz bo'ladi. Shuning uchun hech qanday yechim yo'q.
b) Chunki xuddi shunday, har qanday argumentning sinusi ham shartda belgilangan tengsizlikni qanoatlantiradi. Shunday qilib, tengsizlik argumentning barcha haqiqiy qiymatlari bilan qondiriladi.
Javob. a) yechim yo'q; b) .
13-topshiriq. Tengsizlikni yeching 
.
Aksariyat talabalar trigonometrik tengsizliklarni yoqtirmaydilar. Lekin behuda. Bir qahramon aytganidek,
"Siz ularni qanday pishirishni bilmayapsiz"
Shunday qilib, qanday qilib "pishirish" va sinus bilan tengsizlikni nima bilan topshirish kerak, biz buni ushbu maqolada aniqlaymiz. Biz eng oddiy usulda - birlik doirasi yordamida hal qilamiz.
Shunday qilib, birinchi navbatda, bizga quyidagi algoritm kerak.
Sinusli tengsizliklarni yechish algoritmi:
- $a$ sonini sinus o'qiga chizamiz va aylana bilan kesishguncha kosinus o'qiga parallel to'g'ri chiziq chizamiz;
- bu chiziqning aylana bilan kesishgan nuqtalari, agar tengsizlik qat'iy bo'lmasa, to'ldirilmaydi, agar tengsizlik qat'iy bo'lsa, to'ldirilmaydi;
- tengsizlikning yechim maydoni chiziq ustida va aylanagacha bo'ladi, agar tengsizlikda "$>$" belgisi bo'lsa, chiziq ostida va "$" belgisi bo'lsa, aylanagacha.<$”;
- kesishish nuqtalarini topish uchun $\sin(x)=a$ trigonometrik tenglamani yechamiz, $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$ olamiz;
- $n=0$ belgilab, biz birinchi kesishish nuqtasini topamiz (u birinchi yoki to'rtinchi kvadrantda joylashgan);
- ikkinchi nuqtani topish uchun maydon bo'ylab ikkinchi kesishish nuqtasiga qaysi yo'nalishda ketayotganimizni ko'rib chiqamiz: agar ijobiy yo'nalishda bo'lsa, $n=1$, manfiy yo'nalishda bo'lsa, $n= -1$;
- Bunga javoban kichikroq kesishish nuqtasi $+ 2\pi n$dan kattaroq boʻlgan $+ 2\pi n$ oraligʻi yoziladi.
Algoritmni cheklash
Muhim: d bu algoritm ishlamayapti$\sin(x) > 1 ko'rinishdagi tengsizliklar uchun; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.
Sinus bilan tengsizlikni yechishdagi maxsus holatlar
Yuqoridagi algoritmdan foydalanmasdan mantiqiy yechish ancha qulay bo'lgan quyidagi holatlarga ham e'tibor qaratish lozim.
Maxsus holat 1. Tengsizlikni yeching:
$\sin(x) \leq 1.$
$y=\sin(x)$ trigonometrik funksiyaning sohasi ko‘pi bilan $1$ bo‘lgani uchun tengsizlikning chap tomoni har qanday uchun Domendan $x$ (va sinusning domeni hammasi haqiqiy sonlar) $1$ dan katta emas. Va shuning uchun javob sifatida biz yozamiz: $x \in R$.
Natija:
$\sin(x) \geq -1.$
Maxsus holat 2. Tengsizlikni yeching:
$\sin(x)< 1.$
1-xususiy holatga o'xshash argumentlarni qo'llasak, $\sin(x) = 1 tenglamasining yechimi bo'lgan nuqtalardan tashqari barcha $x \ R $ uchun tengsizlikning chap tomoni $1$ dan kichik ekanligini tushunamiz. $. Ushbu tenglamani yechishda biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$
Va shuning uchun javob sifatida biz yozamiz: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.
Natija: tengsizlik xuddi shunday yechiladi
$\sin(x) > -1.$
Tengsizliklarni algoritm yordamida yechishga misollar.
1-misol: Tengsizlikni yeching:
$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$
- Sinus o'qida $\frac(1)(2)$ koordinatasiga e'tibor bering.
- Kosinus o'qiga parallel va shu nuqtadan o'tadigan chiziq chizing.
- Kesishish nuqtalariga e'tibor bering. Ular soyali bo'ladi, chunki tengsizlik qat'iy emas.
- Tengsizlik belgisi $\geq$ bo'lib, biz chiziq ustidagi maydonni bo'yashimizni anglatadi, ya'ni. kichikroq yarim doira.
- Kesishishning birinchi nuqtasini toping. Buning uchun tengsizlikni tenglikka aylantiring va uni yeching: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Biz yana $n=0$ o'rnatamiz va birinchi kesishish nuqtasini topamiz: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
- Biz ikkinchi nuqtani topamiz. Bizning hududimiz birinchi nuqtadan ijobiy yo'nalishda ketadi, shuning uchun biz $n $ ni $1$ ga tenglashtiramiz: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \ cdot 1 = \ pi - \ frac (\ pi) (6) = \ frac (5 \ pi) (6) $.
Shunday qilib, yechim quyidagi shaklni oladi:
$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\o'ng], \ n \in Z.$
2-misol: Tengsizlikni yeching:
$\sin(x)< -\frac{1}{2}$
Sinus o‘qda $- \frac(1)(2)$ koordinatasini belgilang va kosinus o‘qiga parallel va shu nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq chizing. Kesishish nuqtalariga e'tibor bering. Ular soyali bo'lmaydi, chunki tengsizlik qat'iy. Tengsizlik belgisi $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:
$\sin(x)=-\frac(1)(2)$
$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\o'ng))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi) )(6) + \pi n$.
Yana $n=0$ sozlab, birinchi kesishish nuqtasini topamiz: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Bizning hududimiz birinchi nuqtadan salbiy yo'nalishda ketadi, shuning uchun biz $n$ ni $-1$ ga tenglashtiramiz: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)(6) ) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.
Shunday qilib, bu tengsizlikning yechimi interval bo'ladi:
$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\o'ng), \ n \in Z.$
3-misol: Tengsizlikni yeching:
$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\o'ng)) \leq 0.$
Ushbu misolni algoritm yordamida darhol hal qilib bo'lmaydi. Avval siz uni aylantirishingiz kerak. Biz tenglama bilan xuddi shunday qilamiz, lekin belgini unutmang. Salbiy songa bo'lish yoki ko'paytirish uni teskari qiladi!
Shunday qilib, keling, trigonometrik funktsiyaga ega bo'lmagan hamma narsani o'ng tomonga o'tkazamiz. Biz olamiz:
$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\o'ng)) \leq -1.$
Chap va o'ng tomonlarni $-2$ ga bo'ling (belgini unutmang!). Quyidagilarga ega bo'ladi:
$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\o'ng)) \geq \frac(1)(2).$
Shunga qaramay, biz algoritm yordamida hal qila olmaydigan tengsizlikka ega bo'ldik. Ammo bu erda o'zgaruvchini o'zgartirish kifoya:
$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$
Biz trigonometrik tengsizlikni olamiz, uni algoritm yordamida hal qilish mumkin:
$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$
Bu tengsizlik 1-misolda hal qilindi, shuning uchun biz javobni u erdan olamiz:
$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\o'ng].$
Biroq, qaror hali tugamagan. Biz asl o'zgaruvchiga qaytishimiz kerak.
$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\o'ng].$
Keling, bo'shliqni tizim sifatida ko'rsatamiz:
$\left\(\begin(massiv)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n.\end(massiv) \oʻng.$
Tizimning chap qismlarida intervalga tegishli ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$) ifodasi mavjud. Intervalning chap chegarasi birinchi tengsizlik uchun, o'ng chegarasi ikkinchisi uchun javobgardir. Bundan tashqari, qavslar muhim rol o'ynaydi: agar qavs kvadrat bo'lsa, unda tengsizlik qat'iy bo'lmaydi va agar u yumaloq bo'lsa, unda qattiq bo'ladi. bizning vazifamiz chapda $x$ olishdir ikkala tengsizlikda.
$\frac(\pi)(6)$ ni chap tomondan o'ng tomonga o'tkazamiz, biz quyidagilarni olamiz:
$\left\(\begin(massiv)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(massiv) \oʻng.$
Soddalashtirib, bizda quyidagilar bo'ladi:
$\left\(\begin(massiv)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n.\end(massiv) \right.$
Chap va o'ng tomonlarni $4 $ ga ko'paytirsak, biz quyidagilarni olamiz:
$\left\(\begin(massiv)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(massiv) \o'ng. $
Tizimni intervalgacha yig'ib, biz javob olamiz:
$x \in \chapda[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\o'ng], \ n \in Z.$
“Trigonometrik tengsizliklarni yechish” algebra loyihasi 10 “B” sinf o‘quvchisi Yuliya Kazachkova tomonidan bajarildi. Rahbar: matematika o‘qituvchisi Kochakova N.N.
Maqsad "Trigonometrik tengsizliklarni yechish" mavzusidagi materialni birlashtirish va talabalar uchun bo'lajak imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun eslatma yaratish.
Maqsadlar Mavzu bo'yicha materialni umumlashtirish. Qabul qilingan ma'lumotlarni tartibga soling. Imtihonda ushbu mavzuni ko'rib chiqing.
Mavzuning dolzarbligi Men tanlagan mavzuning dolzarbligi shundan iboratki, “Trigonometrik tengsizliklarni yechish” mavzusidagi topshiriqlar imtihon topshiriqlariga kiritilgan.
Trigonometrik tengsizliklar Tengsizlik deb ikki son yoki ifodani belgilardan biri orqali boglovchi munosabatga aytiladi: (katta); ≥ (katta yoki teng). Trigonometrik tengsizlik - trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan tengsizlik.
Trigonometrik tengsizliklar Trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan tengsizliklar yechimi, qoida tariqasida, ko'rinishdagi eng oddiy tengsizliklar yechimiga keltiriladi: sin x>a, sin x. a, cos x a,tgx a, ctg x
Trigonometrik tengsizliklarni yechish algoritmi Berilgan trigonometrik funktsiyaga mos keladigan o'qda ushbu funktsiyaning berilgan son qiymatini belgilang. Belgilangan nuqta orqali birlik doirasini kesib o'tadigan chiziq chizing. Qattiq yoki qat'iy bo'lmagan tengsizlik belgisini hisobga olgan holda chiziq va aylananing kesishish nuqtalarini tanlang. Tengsizlikning yechimlari joylashgan aylana yoyini tanlang. Dumaloq yoyning boshlanish va oxirgi nuqtalaridagi burchaklarning qiymatlarini aniqlang. Berilgan trigonometrik funksiyaning davriyligini hisobga olib, tengsizlikning yechimini yozing.
trigonometrik tengsizliklarni yechish formulalari sinx >a; x (arcsin a + 2pn; p- arcsin a + 2pn). sinx a; x (- arccos a + 2pn; arccos a + 2pn). cosxa; x (arctg a + pn ; + pn). tgx a; x (pn ; arctg + pn). ctgx
Asosiy trigonometrik tengsizliklarning grafik yechimi sinx >a
Sinx asosiy trigonometrik tengsizliklarning grafik yechimi Asosiy trigonometrik tengsizliklarning grafik yechimi cosx >a Asosiy trigonometrik tengsizliklarning grafik yechimi cosx Asosiy trigonometrik tengsizliklarning grafik yechimi tgx >a Asosiy trigonometrik tengsizliklarning grafik yechimi tgx Asosiy trigonometrik tengsizliklarning grafik yechimi ctgx >a
