Ko'rsatma

Berilgan logarifmik ifodani yozing. Agar ifoda 10 ning logarifmasidan foydalansa, uning yozuvi qisqartiriladi va quyidagicha ko'rinadi: lg b - o'nlik logarifm. Agar logarifmning asosi sifatida e soni bo'lsa, u holda ifoda yoziladi: ln b - natural logarifm. Har qanday ning natijasi b sonini olish uchun asosiy sonni ko'tarish kerak bo'lgan kuch ekanligi tushuniladi.

Yig'indidan ikkita funktsiyani topishda ularni birma-bir farqlash va natijalarni qo'shish kifoya: (u+v)" = u"+v";

Ikki funktsiya ko'paytmasining hosilasini topishda birinchi funktsiyaning hosilasini ikkinchisiga ko'paytirish va ikkinchi funktsiyaning hosilasini birinchi funktsiyaga ko'paytirishni qo'shish kerak: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Ikki funktsiyaning bo'linmasining hosilasini topish uchun, bo'luvchining hosilasining bo'luvchi funktsiyaga ko'paytirilgan hosilasidan bo'luvchining hosilasining bo'luvchi funktsiyaga ko'paytirilgan mahsulotini ayirish va bo'lish kerak. bularning barchasi bo'linuvchi funktsiyaning kvadratiga ko'ra. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Agar murakkab funktsiya berilgan bo'lsa, u holda ichki funktsiyaning hosilasini va tashqi funktsiyaning hosilasini ko'paytirish kerak. y=u(v(x)), keyin y"(x)=y"(u)*v"(x) bo'lsin.

Yuqoridagilardan foydalanib, siz deyarli har qanday funktsiyani farqlashingiz mumkin. Shunday qilib, keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^xx^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^xx^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Bir nuqtada hosilani hisoblash uchun vazifalar ham mavjud. y=e^(x^2+6x+5) funksiya berilsin, funksiyaning x=1 nuqtadagi qiymatini topish kerak.
1) Funktsiyaning hosilasini toping: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Berilgan y"(1)=8*e^0=8 nuqtadagi funksiya qiymatini hisoblang.

Tegishli videolar

Foydali maslahat

Elementar hosilalar jadvali bilan tanishing. Bu ko'p vaqtni tejaydi.

Manbalar:

• doimiy hosila

Xo'sh, irratsional tenglama va ratsional tenglama o'rtasidagi farq nima? Agar noma'lum o'zgaruvchi kvadrat ildiz belgisi ostida bo'lsa, u holda tenglama irratsional deb hisoblanadi.

Ko'rsatma

Bunday tenglamalarni yechishning asosiy usuli ikkala qismni ko'tarish usulidir tenglamalar kvadratga. Biroq. bu tabiiy, birinchi qadam belgidan qutulishdir. Texnik jihatdan bu usul qiyin emas, lekin ba'zida bu muammoga olib kelishi mumkin. Masalan, v(2x-5)=v(4x-7) tenglama. Ikkala tomonni kvadratga aylantirib, siz 2x-5 = 4x-7 olasiz. Bunday tenglamani yechish qiyin emas; x=1. Lekin 1 raqami berilmaydi tenglamalar. Nega? Tenglamadagi x qiymati o'rniga birlikni qo'ying.O'ng va chap tomonlarda esa ma'nosiz ifodalar bo'ladi, ya'ni. Bunday qiymat kvadrat ildiz uchun to'g'ri kelmaydi. Demak, 1 - begona ildiz va shuning uchun bu tenglamaning ildizlari yo'q.

Demak, irratsional tenglama uning ikkala qismini kvadratga solish usuli yordamida yechiladi. Va tenglamani hal qilgandan so'ng, begona ildizlarni kesib tashlash kerak. Buning uchun topilgan ildizlarni asl tenglamaga almashtiring.

Boshqasini ko'rib chiqing.
2x+vx-3=0
Albatta, bu tenglamani oldingi tenglama yordamida yechish mumkin. Transfer birikmalari tenglamalar, kvadrat ildizga ega bo'lmagan, o'ng tomonga va keyin kvadrat usulidan foydalaning. olingan ratsional tenglama va ildizlarni yeching. Ammo boshqa, yanada oqlangan. Yangi o'zgaruvchini kiriting; vx=y. Shunga ko'ra, siz 2y2+y-3=0 kabi tenglama olasiz. Bu odatiy kvadrat tenglama. Uning ildizlarini toping; y1=1 va y2=-3/2. Keyin ikkitasini hal qiling tenglamalar vx=1; vx \u003d -3/2. Ikkinchi tenglamaning ildizlari yo'q, birinchisidan biz x=1 ekanligini topamiz. Ildizlarni tekshirish zarurati haqida unutmang.

Identifikatsiyani hal qilish juda oson. Bu maqsadga erishilgunga qadar bir xil o'zgarishlarni amalga oshirishni talab qiladi. Shunday qilib, eng oddiy arifmetik amallar yordamida vazifa hal qilinadi.

Sizga kerak bo'ladi

• - qog'oz;
• - qalam.

Ko'rsatma

Bunday o'zgarishlarning eng oddiylari algebraik qisqartirilgan ko'paytirishdir (masalan, yig'indining kvadrati (farq), kvadratlar ayirmasi, yig'indisi (farq), yig'indining kubi (farq)). Bundan tashqari, asosan bir xil identifikatsiyaga ega bo'lgan ko'plab trigonometrik formulalar mavjud.

Darhaqiqat, ikki had yig'indisining kvadrati birinchisining kvadratiga plyus birinchi va ikkinchisining ko'paytmasining ikki barobari va ikkinchisining kvadratiga teng, ya'ni (a+b)^2= (a+b) )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Ikkalasini ham soddalashtiring

Yechimning umumiy tamoyillari

Matematik tahlil yoki oliy matematika bo'yicha darslikdan takrorlang, bu aniq integraldir. Ma’lumki, aniq integralning yechimi hosilasi integrasiya beradigan funksiyadir. Bu funktsiya antiderivativ deb ataladi. Bu tamoyilga asosan asosiy integrallar tuziladi.
Bu holda jadval integrallaridan qaysi biri mos kelishini integrallash shakliga qarab aniqlang. Buni darhol aniqlash har doim ham mumkin emas. Ko'pincha, jadval shakli integralni soddalashtirish uchun bir nechta o'zgarishlardan so'ng sezilarli bo'ladi.

O'zgaruvchan almashtirish usuli

Agar integral trigonometrik funktsiya bo'lsa, uning argumenti polinom bo'lsa, o'zgaruvchilarni o'zgartirish usulini qo'llang. Buning uchun integrand argumentidagi ko‘phadni qandaydir yangi o‘zgaruvchi bilan almashtiring. Yangi va eski o'zgaruvchi o'rtasidagi nisbatga asoslanib, integratsiyaning yangi chegaralarini aniqlang. Bu ifodani differensiallash orqali da yangi differentsial toping. Shunday qilib, siz har qanday jadvalga yaqin yoki hatto mos keladigan eski integralning yangi shaklini olasiz.

Ikkinchi turdagi integrallarning yechimi

Agar integral ikkinchi turdagi integral bo'lsa, u holda bu integrallardan skalyarlarga o'tish qoidalaridan foydalanish kerak bo'ladi. Shunday qoidalardan biri Ostrogradskiy-Gauss nisbatidir. Bu qonun ba'zi vektor funksiyasining rotor oqimidan berilgan vektor maydonining divergensiyasi ustidan uch karrali integralga o'tish imkonini beradi.

Integratsiya chegaralarini almashtirish

Antiderivativni topgandan so'ng, integratsiya chegaralarini almashtirish kerak. Birinchidan, yuqori chegara qiymatini antiderivativ uchun ifodaga almashtiring. Siz ba'zi raqam olasiz. Keyinchalik, natijada olingan raqamdan boshqa raqamni, natijada pastki chegarani antiderivativga olib tashlang. Agar integratsiya chegaralaridan biri cheksizlik bo'lsa, uni antiderivativ funktsiyaga almashtirganda, chegaraga o'tish va ifoda nimaga moyilligini topish kerak.
Agar integral ikki o'lchovli yoki uch o'lchovli bo'lsa, integralni qanday hisoblashni tushunish uchun siz integrallashning geometrik chegaralarini ifodalashingiz kerak bo'ladi. Axir, aytaylik, uch o'lchovli integral holatida, integratsiya chegaralari integrallanadigan hajmni cheklaydigan butun tekisliklar bo'lishi mumkin.

Logarifm nima?

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." deganlar uchun.
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Logarifm nima? Logarifmlarni qanday yechish mumkin? Bu savollar ko'plab bitiruvchilarni chalg'itadi. An'anaga ko'ra, logarifmlar mavzusi murakkab, tushunarsiz va qo'rqinchli hisoblanadi. Ayniqsa - logarifmli tenglamalar.

Bu mutlaqo to'g'ri emas. Mutlaqo! Ishonmaysizmi? Xop. Endi 10-20 daqiqa davomida siz:

1. Tushunmoq logarifm nima.

2. Ko‘rsatkichli tenglamalarning butun sinfini yechishni o‘rganing. Agar ular haqida eshitmagan bo'lsangiz ham.

3. Oddiy logarifmlarni hisoblashni o'rganing.

Bundan tashqari, buning uchun siz faqat ko'paytirish jadvalini va raqamni qanday qilib kattalashtirishni bilishingiz kerak bo'ladi ...

Men sizda shubha borligini his qilaman ... Xo'sh, vaqtni saqlang! Bor!

Birinchidan, quyidagi tenglamani ongingizda yeching:

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan test. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

ga nisbatan

berilgan ikkitadan uchta raqamdan istalgan birini topish vazifasi qo'yilishi mumkin. Berilgan a va keyin N ko'rsatkich bilan topiladi. Agar N berilgan bo'lsa va u holda a x darajaning (yoki ko'rsatkichning) ildizini chiqarib topilgan bo'lsa. Endi a va N berilgan holda, x topish kerak bo'lgan holatni ko'rib chiqing.

N soni musbat bo'lsin: a soni musbat va birga teng emas: .

Ta'rif. N sonining a asosiga logarifmi N sonni olish uchun a ko'tarish kerak bo'lgan ko'rsatkichdir; logarifm bilan belgilanadi

Shunday qilib, (26.1) tenglikda ko'rsatkich N ning a asosiga logarifmi sifatida topiladi. Yozuvlar

bir xil ma'noga ega. Tenglik (26.1) ba'zan logarifmlar nazariyasining asosiy o'ziga xosligi deb ataladi; aslida u logarifm tushunchasining ta'rifini ifodalaydi. Ushbu ta'rifga ko'ra, a logarifmning asosi har doim musbat va birlikdan farq qiladi; logarifmlanadigan N soni musbat. Salbiy raqamlar va nolning logarifmlari yo'q. Berilgan asosli har qanday son aniq belgilangan logarifmaga ega ekanligini isbotlash mumkin. Shuning uchun tenglik o'z ichiga oladi. E'tibor bering, bu erda shart juda muhim, aks holda xulosa oqlanmaydi, chunki tenglik x va y ning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri.

Misol 1. Toping

Yechim. Raqamni olish uchun siz 2-bazani kuchga ko'tarishingiz kerak Shuning uchun.

Bunday misollarni yechishda quyidagi shaklda yozib olishingiz mumkin:

2-misol. Toping.

Yechim. Bizda ... bor

1 va 2-misollarda logarifmlanadigan sonni asosning darajasi sifatida ratsional darajali ko'rsatkich bilan ifodalash orqali kerakli logarifmni osongina topdik. Umumiy holatda, masalan, boshqalar uchun, buni amalga oshirish mumkin emas, chunki logarifm irratsional qiymatga ega. Keling, ushbu bayonot bilan bog'liq bir savolga e'tibor qaratamiz. 12-§da biz berilgan ijobiy sonning har qanday haqiqiy kuchini aniqlash imkoniyati tushunchasini berdik. Bu, umuman olganda, irratsional sonlar bo'lishi mumkin bo'lgan logarifmlarni kiritish uchun zarur edi.

Logarifmlarning ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqing.

Xossa 1. Agar son va asos teng bo'lsa, u holda logarifm birga teng bo'ladi va aksincha, agar logarifm birga teng bo'lsa, unda son va asos teng bo'ladi.

Isbot. Logarifmning ta'rifiga ko'ra, biz bor va qaerdan bo'lsin

Aksincha, ta'rifi bo'yicha Keyin bo'lsin

2- xossa. Har qanday asosga birlik logarifmi nolga teng.

Isbot. Logarifmning ta'rifi bo'yicha (har qanday musbat asosning nol kuchi birga teng, qarang (10.1)). Bu yerdan

Q.E.D.

Qarama-qarshi gap ham to'g'ri: agar bo'lsa, N = 1. Haqiqatan ham, bizda .

Logarifmlarning quyidagi xossasini aytishdan oldin ikkita a va b sonlar c dan katta yoki c dan kichik bo‘lsa, uchinchi c sonining bir tomonida yotadi, deyishga rozi bo‘lamiz. Agar bu sonlarning biri c dan katta, ikkinchisi esa c dan kichik bo lsa, u holda ular c ning qarama-qarshi tomonlarida yotadi deymiz.

Xossa 3. Agar son va asos birlikning bir tomonida yotsa, u holda logarifm musbat; agar son va asos birlikning qarama-qarshi tomonlarida yotsa, u holda logarifm manfiy hisoblanadi.

3-xususiyatning isboti asosi birdan katta bo‘lsa va ko‘rsatkichi musbat bo‘lsa, a ning darajasi birdan katta bo‘lishi yoki asosi birdan kichik va ko‘rsatkichi manfiy bo‘lishiga asoslanadi. Agar asos birdan katta bo'lsa va ko'rsatkich manfiy bo'lsa yoki asos birdan kichik va ko'rsatkich ijobiy bo'lsa, daraja birdan kichik bo'ladi.

Ko'rib chiqilishi kerak bo'lgan to'rtta holat mavjud:

Biz ulardan birinchisini tahlil qilish bilan cheklanamiz, qolganlarini o'quvchi o'zi ko'rib chiqadi.

Demak, tenglikdagi ko'rsatkich na manfiy, na nolga teng bo'lsin, shuning uchun u musbat, ya'ni isbotlanishi kerak bo'lgan narsadir.

3-misol. Quyidagi logarifmlarning qaysi biri musbat, qaysi biri manfiy ekanligini aniqlang:

Yechim, a) 15 raqami va 12 ta asosi birlikning bir tomonida joylashganligi uchun;

b) , chunki 1000 va 2 birlikning bir tomonida joylashgan; shu bilan birga, asos logarifmik sondan katta bo'lishi muhim emas;

c), chunki 3.1 va 0.8 birlikning qarama-qarshi tomonlarida yotadi;

G) ; nega?

e) ; nega?

Quyidagi 4-6 xossalari ko'pincha logarifm qoidalari deb ataladi: ular ba'zi raqamlarning logarifmlarini bilib, ularning har birining ko'paytmasi, bo'linmasi, darajasining logarifmlarini topishga imkon beradi.

4-xususiyat (mahsulotning logarifmi uchun qoida). Berilgan asosdagi bir nechta musbat sonlar ko‘paytmasining logarifmi shu asosdagi bu sonlarning logarifmlari yig‘indisiga teng.

Isbot. Ijobiy raqamlar berilsin.

Ularning hosilasining logarifmi uchun logarifmni aniqlaydigan tenglikni (26.1) yozamiz:

Bu erdan topamiz

Birinchi va oxirgi ifodalarning ko'rsatkichlarini taqqoslab, biz kerakli tenglikni olamiz:

E'tibor bering, shart juda muhim; ikkita manfiy sonning mahsulotining logarifmi mantiqiy, ammo bu holda biz olamiz

Umuman olganda, agar bir nechta omillarning ko'paytmasi ijobiy bo'lsa, unda uning logarifmi ushbu omillar modullarining logarifmlari yig'indisiga teng bo'ladi.

5-xususiyat (bo'lim logarifmi qoidasi). Musbat sonlar bo'limining logarifmi bir xil asosda olingan dividend va bo'linuvchining logarifmlari orasidagi farqga teng. Isbot. Doimiy ravishda toping

Q.E.D.

6-xossa (darajaning logarifmi qoidasi). Har qanday musbat sonning kuchining logarifmi shu sonning logarifmini ko‘rsatkichni ko‘paytirishga teng.

Isbot. Raqam uchun yana asosiy identifikatorni (26.1) yozamiz:

Q.E.D.

Natija. Musbat sonning ildizining logarifmi ildiz sonining logarifmini ildizning ko'rsatkichiga bo'linganiga teng:

Ushbu xulosaning to'g'riligini 6-xususiyatni qanday va foydalanishni taqdim etish orqali isbotlashimiz mumkin.

Misol 4. A asosi uchun logarifm:

a) (barcha b, c, d, e qiymatlari ijobiy deb taxmin qilinadi);

b) (deb taxmin qilinadi).

Yechim, a) Bu ifodani kasr darajalariga o‘tkazish qulay:

(26.5) - (26.7) tengliklariga asoslanib, endi yozishimiz mumkin:

E'tibor qilamizki, raqamlarning o'ziga qaraganda, raqamlarning logarifmlari ustida oddiyroq amallar bajariladi: sonlarni ko'paytirishda ularning logarifmlari qo'shiladi, bo'linganda ayiriladi va hokazo.

Shuning uchun logarifmlar hisoblash amaliyotida qo'llanilgan (qarang. 29-sek.).

Logarifmga teskari harakat potentsiallanish deb ataladi, ya'ni: potentsial - bu sonning o'zi berilgan logarifm orqali topilgan harakat. Aslida, potentsiallash hech qanday maxsus harakat emas: bu bazani quvvatga (sonning logarifmiga teng) ko'tarishdan iborat. “Potensiatsiya” atamasini “eksponentsiya” atamasi bilan sinonim deb hisoblash mumkin.

Potentsiyalashda logarifm qoidalariga teskari bo'lgan qoidalardan foydalanish kerak: logarifmlar yig'indisini mahsulotning logarifmi bilan, logarifmalar farqini bo'linmaning logarifmi bilan almashtiring va hokazo. Xususan, agar mavjud bo'lsa. logarifm belgisi oldida har qanday omil, keyin potentsiallash paytida u logarifm belgisi ostidagi indikator darajalariga o'tkazilishi kerak.

5-misol. Agar ma'lum bo'lsa, N ni toping

Yechim. Hozirgina aytilgan potensiyalash qoidasi bilan bog'liq holda, bu tenglikning o'ng tomonidagi logarifmlar belgilari oldida joylashgan 2/3 va 1/3 ko'rsatkichlari ushbu logarifmlarning belgilari ostidagi darajalarga o'tkaziladi; olamiz

Endi biz logarifmlar ayirmasini qismning logarifmi bilan almashtiramiz:

bu tenglik zanjiridagi oxirgi kasrni olish uchun biz oldingi kasrni maxrajdagi irratsionallikdan ozod qildik (25-bo'lim).

Xossa 7. Agar asos birdan katta bo'lsa, u holda katta son kattaroq logarifmaga ega (kichikroq esa kichikroq), agar asos birdan kichik bo'lsa, katta son kichikroq logarifmaga ega bo'ladi (va kichikroq). bittasi kattaroq).

Bu xususiyat, shuningdek, ikkala qismi ham ijobiy bo'lgan tengsizliklar logarifmi uchun qoida sifatida tuzilgan:

Tengsizliklar logarifmini birdan katta asosga olishda tengsizlik belgisi saqlanib qoladi, birdan kichik asosga logarifm olishda esa tengsizlik belgisi teskari bo'ladi (80-bandga ham qarang).

Isbot 5 va 3 xossalarga asoslanadi. Agar , keyin va logarifmni oladigan bo'lsak, buni ko'rib chiqing.

(a va N/M birlikning bir tomonida yotadi). Bu yerdan

Keyingi holat bo'lsa, o'quvchi buni o'zi aniqlaydi.

asosiy xususiyatlar.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

bir xil asoslar

log6 4 + log6 9.

Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz.

Logarifmlarni yechishga misollar

Logarifmning asosi yoki argumentida daraja bo'lsa-chi? Keyin ushbu daraja ko'rsatkichi quyidagi qoidalarga muvofiq logarifm belgisidan chiqarilishi mumkin:

Albatta, agar ODZ logarifmi kuzatilsa, bu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ≠ 1, x >

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

Yangi poydevorga o'tish

Logarifm logaksi berilgan bo'lsin. U holda c > 0 va c ≠ 1 bo'lgan har qanday c soni uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

Shuningdek qarang:

Logarifmning asosiy xossalari

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Ko‘rsatkich 2,718281828…. Ko'rsatkichni eslab qolish uchun siz qoidani o'rganishingiz mumkin: ko'rsatkich 2,7 va Leo Tolstoyning tug'ilgan yilidan ikki marta.

Logarifmlarning asosiy xossalari

Ushbu qoidani bilib, siz eksponentning aniq qiymatini ham, Lev Tolstoyning tug'ilgan sanasini ham bilib olasiz.

Logarifmlar uchun misollar

Ifodalar logarifmini oling

1-misol
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 xossalari bo'yicha biz hisoblaymiz

2.

3.

4. qayerda .

2-misol x if ni toping

3-misol. Logarifmlarning qiymati berilsin

Agar log(x) ni hisoblang

Logarifmlarning asosiy xossalari

Logarifmlar, har qanday raqam kabi, har qanday usulda qo'shilishi, ayirilishi va o'zgartirilishi mumkin. Ammo logarifmlar juda oddiy raqamlar emasligi sababli, bu erda deyiladi qoidalar mavjud asosiy xususiyatlar.

Bu qoidalar ma'lum bo'lishi kerak - ularsiz hech qanday jiddiy logarifmik muammoni hal qilib bo'lmaydi. Bundan tashqari, ular juda oz - hamma narsani bir kunda o'rganish mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Logarifmlarni qo'shish va ayirish

Bir xil asosga ega ikkita logarifmni ko'rib chiqing: logax va logay. Keyin ularni qo'shish va ayirish mumkin, va:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

Demak, logarifmlar yig‘indisi ko‘paytmaning logarifmiga teng, farq esa bo‘linmaning logarifmidir. E'tibor bering: bu erda asosiy nuqta - bir xil asoslar. Agar asoslar boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi!

Ushbu formulalar logarifmik ifodani uning alohida qismlari hisobga olinmagan taqdirda ham hisoblashga yordam beradi ("Logarifm nima" darsiga qarang). Misollarni ko'rib chiqing va qarang:

Logarifmlarning asoslari bir xil bo'lgani uchun biz yig'indi formulasidan foydalanamiz:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log2 48 − log2 3.

Asoslar bir xil, biz farq formulasidan foydalanamiz:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log3 135 − log3 5.

Shunga qaramay, asoslar bir xil, shuning uchun bizda:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ko'rib turganingizdek, asl iboralar "yomon" logarifmlardan iborat bo'lib, ular alohida ko'rib chiqilmaydi. Ammo transformatsiyalardan keyin juda oddiy raqamlar paydo bo'ladi. Ko'pgina testlar ushbu faktga asoslanadi. Ha, nazorat - imtihonda barcha jiddiylikdagi o'xshash iboralar (ba'zan - deyarli o'zgarishlarsiz) taklif etiladi.

Logarifmadan ko'rsatkichni olib tashlash

Oxirgi qoida ularning birinchi ikkitasiga mos kelishini ko'rish oson. Ammo baribir buni eslab qolish yaxshiroqdir - ba'zi hollarda bu hisob-kitoblar miqdorini sezilarli darajada kamaytiradi.

Albatta, ODZ logarifmi kuzatilsa, bu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Va yana bir narsa: barcha formulalarni nafaqat chapdan o'ngga, balki aksincha qo'llashni o'rganing, ya'ni. logarifmning o'ziga logarifm belgisidan oldingi raqamlarni kiritishingiz mumkin. Bu eng tez-tez talab qilinadigan narsa.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log7 496.

Keling, birinchi formula bo'yicha argumentdagi darajadan xalos bo'laylik:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

E'tibor bering, maxraj asosi va argumenti aniq darajalar bo'lgan logarifmdir: 16 = 24; 49 = 72. Bizda:

Menimcha, oxirgi misol tushuntirishga muhtoj. Logarifmlar qayerga ketdi? So'nggi daqiqagacha biz faqat maxraj bilan ishlaymiz.

Logarifmlar formulalari. Logarifmlar yechimlarga misoldir.

Ular logarifmning asosini va argumentini darajalar shaklida taqdim etdilar va ko'rsatkichlarni olib tashladilar - ular "uch qavatli" kasrga ega bo'lishdi.

Endi asosiy kasrni ko'rib chiqaylik. Numerator va maxraj bir xil raqamga ega: log2 7. log2 7 ≠ 0 bo'lgani uchun biz kasrni qisqartirishimiz mumkin - 2/4 maxrajda qoladi. Arifmetika qoidalariga ko'ra, to'rtta bajarilgan hisoblagichga o'tkazilishi mumkin. Natijada javob: 2.

Yangi poydevorga o'tish

Logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari haqida gapirganda, ular faqat bir xil asoslar bilan ishlashini alohida ta'kidladim. Agar asoslar boshqacha bo'lsa-chi? Agar ular bir xil sonning aniq kuchlari bo'lmasa-chi?

Yangi bazaga o'tish uchun formulalar yordamga keladi. Biz ularni teorema shaklida shakllantiramiz:

Logarifm logaksi berilgan bo'lsin. U holda c > 0 va c ≠ 1 bo'lgan har qanday c soni uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

Xususan, agar c = x qo'ysak, biz quyidagilarni olamiz:

Ikkinchi formuladan kelib chiqadiki, logarifmning asosini va argumentini almashtirish mumkin, ammo bu holda butun ifoda "aylantiriladi", ya'ni. logarifm maxrajda joylashgan.

Bu formulalar oddiy sonli ifodalarda kam uchraydi. Ularning qanchalik qulay ekanligini faqat logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishdagina baholash mumkin.

Biroq, yangi poydevorga o'tishdan tashqari, umuman hal qilib bo'lmaydigan vazifalar mavjud. Keling, ulardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log5 16 log2 25.

E'tibor bering, ikkala logarifmning argumentlari aniq ko'rsatkichlardir. Keling, ko'rsatkichlarni chiqaramiz: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Endi ikkinchi logarifmni aylantiramiz:

Mahsulot omillarni almashtirishdan o'zgarmaganligi sababli, biz tinchgina to'rt va ikkitani ko'paytirdik va keyin logarifmlarni aniqladik.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log9 100 lg 3.

Birinchi logarifmning asosi va argumenti aniq kuchlardir. Keling, buni yozamiz va ko'rsatkichlardan xalos bo'laylik:

Endi yangi bazaga o'tish orqali o'nlik logarifmdan xalos bo'laylik:

Asosiy logarifmik identifikatsiya

Ko'pincha echish jarayonida raqamni berilgan asosga logarifm sifatida ko'rsatish talab qilinadi. Bunday holda, formulalar bizga yordam beradi:

Birinchi holda, n soni argumentda ko'rsatkichga aylanadi. n soni mutlaqo har qanday bo'lishi mumkin, chunki bu faqat logarifmning qiymati.

Ikkinchi formula aslida tarjima qilingan ta'rifdir. U shunday deb ataladi:

Haqiqatan ham, agar b soni shunday darajaga ko'tarilsa nima bo'ladi, bu darajadagi b soni a sonini beradi? To'g'ri: bu bir xil raqam a. Ushbu xatboshini yana diqqat bilan o'qing - ko'p odamlar unga "osib qo'yishadi".

Yangi asosiy konvertatsiya formulalari singari, asosiy logarifmik identifikatsiya ba'zan yagona mumkin bo'lgan yechimdir.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

E'tibor bering, log25 64 = log5 8 - faqat bazadan kvadrat va logarifm argumentini chiqarib tashladi. Quvvatlarni bir xil asos bilan ko'paytirish qoidalarini hisobga olgan holda, biz quyidagilarni olamiz:

Agar kimdir bilmasa, bu Yagona davlat imtihonidan olingan haqiqiy vazifa edi 🙂

Logarifmik birlik va logarifmik nol

Xulosa qilib aytganda, men xususiyatlarni chaqirish qiyin bo'lgan ikkita identifikatsiyani beraman - aksincha, bu logarifm ta'rifidan olingan natijalar. Ular doimo muammolarda topiladi va ajablanarlisi, hatto "ilg'or" talabalar uchun ham muammolarni keltirib chiqaradi.

1. logaa = 1. Bir marta eslab qoling: har qanday a asosining logarifmi shu asosning o'zidan bittaga teng.
2. loga 1 = 0. a asosi har qanday bo'lishi mumkin, lekin agar argument bitta bo'lsa, logarifm nolga teng! Chunki a0 = 1 ta'rifning bevosita natijasidir.

Bu barcha xususiyatlar. Ularni amalda qo'llashni mashq qiling! Dars boshida cheat varag'ini yuklab oling, uni chop eting va muammolarni hal qiling.

Shuningdek qarang:

b sonining a asosiga logarifmi ifodani bildiradi. Logarifmni hisoblash tenglik to'g'ri bo'lgan x () kuchini topishni anglatadi

Logarifmning asosiy xossalari

Yuqoridagi xususiyatlarni bilish kerak, chunki ular asosida deyarli barcha masalalar va misollar logarifmlar asosida hal qilinadi. Qolgan ekzotik xususiyatlar ushbu formulalar bilan matematik manipulyatsiyalar orqali olinishi mumkin

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Hisoblashda logarifmlarning yig'indisi va ayirmasi formulalari (3.4) juda tez-tez uchrab turadi. Qolganlari biroz murakkab, ammo bir qator vazifalarda ular murakkab ifodalarni soddalashtirish va ularning qiymatlarini hisoblash uchun ajralmas hisoblanadi.

Logarifmlarning umumiy holatlari

Ba'zi umumiy logarifmlar asosi hatto o'n, eksponensial yoki ikkilik bo'lgan logarifmlardir.
O'nta asosiy logarifm odatda o'nlik logarifm deb ataladi va oddiygina lg (x) bilan belgilanadi.

Yozuvdan ko'rinib turibdiki, yozuvda asoslar yozilmagan. Misol uchun

Natural logarifm asosi ko‘rsatkich bo‘lgan logarifmdir (ln(x) bilan belgilanadi).

Ko‘rsatkich 2,718281828…. Ko'rsatkichni eslab qolish uchun siz qoidani o'rganishingiz mumkin: ko'rsatkich 2,7 va Leo Tolstoyning tug'ilgan yilidan ikki marta. Ushbu qoidani bilib, siz eksponentning aniq qiymatini ham, Lev Tolstoyning tug'ilgan sanasini ham bilib olasiz.

Yana bir muhim asos ikki logarifmdir

Funktsiya logarifmining hosilasi o'zgaruvchiga bo'linganga teng

Integral yoki antiderivativ logarifm bog'liqlik bilan aniqlanadi

Yuqoridagi material logarifmlar va logarifmlar bilan bog'liq keng ko'lamli masalalarni hal qilish uchun etarli. Materialni o'zlashtirish uchun men maktab o'quv dasturi va universitetlardan bir nechta umumiy misollarni keltiraman.

Logarifmlar uchun misollar

Ifodalar logarifmini oling

1-misol
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 xossalari bo'yicha biz hisoblaymiz

2.
Logarifmlarning farq xususiyatiga ko'ra, biz bor

3.
3.5 xossalaridan foydalanib topamiz

4. qayerda .

Bir qator qoidalardan foydalangan holda murakkab ko'rinadigan ibora shaklga soddalashtirilgan

Logarifm qiymatlarini topish

2-misol x if ni toping

Yechim. Hisoblash uchun oxirgi muddatgacha 5 va 13 xossalarini qo'llaymiz

Yozuvda almashtiring va motam tuting

Asoslar teng bo'lgani uchun biz ifodalarni tenglashtiramiz

Logarifmlar. Birinchi daraja.

Logarifmlarning qiymati berilsin

Agar log(x) ni hisoblang

Yechish: Logarifmni hadlar yig‘indisi orqali yozish uchun o‘zgaruvchining logarifmini oling

Bu logarifmlar va ularning xususiyatlari bilan tanishishning boshlanishi. Hisob-kitoblarni mashq qiling, amaliy ko'nikmalaringizni boyiting - tez orada logarifmik tenglamalarni yechish uchun olingan bilimlar kerak bo'ladi. Bunday tenglamalarni echishning asosiy usullarini o'rganib chiqib, biz sizning bilimingizni yana bir muhim mavzu - logarifmik tengsizliklar bo'yicha kengaytiramiz ...

Logarifmlarning asosiy xossalari

Logarifmlar, har qanday raqam kabi, har qanday usulda qo'shilishi, ayirilishi va o'zgartirilishi mumkin. Ammo logarifmlar juda oddiy raqamlar emasligi sababli, bu erda deyiladi qoidalar mavjud asosiy xususiyatlar.

Bu qoidalar ma'lum bo'lishi kerak - ularsiz hech qanday jiddiy logarifmik muammoni hal qilib bo'lmaydi. Bundan tashqari, ular juda oz - hamma narsani bir kunda o'rganish mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Logarifmlarni qo'shish va ayirish

Bir xil asosga ega ikkita logarifmni ko'rib chiqing: logax va logay. Keyin ularni qo'shish va ayirish mumkin, va:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax - logay = log(x: y).

Demak, logarifmlar yig‘indisi ko‘paytmaning logarifmiga teng, farq esa bo‘linmaning logarifmidir. E'tibor bering: bu erda asosiy nuqta - bir xil asoslar. Agar asoslar boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi!

Ushbu formulalar logarifmik ifodani uning alohida qismlari hisobga olinmagan taqdirda ham hisoblashga yordam beradi ("Logarifm nima" darsiga qarang). Misollarni ko'rib chiqing va qarang:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log6 4 + log6 9.

Logarifmlarning asoslari bir xil bo'lgani uchun biz yig'indi formulasidan foydalanamiz:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log2 48 − log2 3.

Asoslar bir xil, biz farq formulasidan foydalanamiz:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log3 135 − log3 5.

Shunga qaramay, asoslar bir xil, shuning uchun bizda:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ko'rib turganingizdek, asl iboralar "yomon" logarifmlardan iborat bo'lib, ular alohida ko'rib chiqilmaydi. Ammo transformatsiyalardan keyin juda oddiy raqamlar paydo bo'ladi. Ko'pgina testlar ushbu faktga asoslanadi. Ha, nazorat - imtihonda barcha jiddiylikdagi o'xshash iboralar (ba'zan - deyarli o'zgarishlarsiz) taklif etiladi.

Logarifmadan ko'rsatkichni olib tashlash

Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz. Logarifmning asosi yoki argumentida daraja bo'lsa-chi? Keyin ushbu daraja ko'rsatkichi quyidagi qoidalarga muvofiq logarifm belgisidan chiqarilishi mumkin:

Oxirgi qoida ularning birinchi ikkitasiga mos kelishini ko'rish oson. Ammo baribir buni eslab qolish yaxshiroqdir - ba'zi hollarda bu hisob-kitoblar miqdorini sezilarli darajada kamaytiradi.

Albatta, ODZ logarifmi kuzatilsa, bu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Va yana bir narsa: barcha formulalarni nafaqat chapdan o'ngga, balki aksincha qo'llashni o'rganing, ya'ni. logarifmning o'ziga logarifm belgisidan oldingi raqamlarni kiritishingiz mumkin.

Logarifmlarni qanday yechish mumkin

Bu eng tez-tez talab qilinadigan narsa.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log7 496.

Keling, birinchi formula bo'yicha argumentdagi darajadan xalos bo'laylik:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

E'tibor bering, maxraj asosi va argumenti aniq darajalar bo'lgan logarifmdir: 16 = 24; 49 = 72. Bizda:

Menimcha, oxirgi misol tushuntirishga muhtoj. Logarifmlar qayerga ketdi? So'nggi daqiqagacha biz faqat maxraj bilan ishlaymiz. Ular logarifmning asosini va argumentini darajalar shaklida taqdim etdilar va ko'rsatkichlarni olib tashladilar - ular "uch qavatli" kasrga ega bo'lishdi.

Endi asosiy kasrni ko'rib chiqaylik. Numerator va maxraj bir xil raqamga ega: log2 7. log2 7 ≠ 0 bo'lgani uchun biz kasrni qisqartirishimiz mumkin - 2/4 maxrajda qoladi. Arifmetika qoidalariga ko'ra, to'rtta bajarilgan hisoblagichga o'tkazilishi mumkin. Natijada javob: 2.

Yangi poydevorga o'tish

Logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari haqida gapirganda, ular faqat bir xil asoslar bilan ishlashini alohida ta'kidladim. Agar asoslar boshqacha bo'lsa-chi? Agar ular bir xil sonning aniq kuchlari bo'lmasa-chi?

Yangi bazaga o'tish uchun formulalar yordamga keladi. Biz ularni teorema shaklida shakllantiramiz:

Logarifm logaksi berilgan bo'lsin. U holda c > 0 va c ≠ 1 bo'lgan har qanday c soni uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

Xususan, agar c = x qo'ysak, biz quyidagilarni olamiz:

Ikkinchi formuladan kelib chiqadiki, logarifmning asosini va argumentini almashtirish mumkin, ammo bu holda butun ifoda "aylantiriladi", ya'ni. logarifm maxrajda joylashgan.

Bu formulalar oddiy sonli ifodalarda kam uchraydi. Ularning qanchalik qulay ekanligini faqat logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishdagina baholash mumkin.

Biroq, yangi poydevorga o'tishdan tashqari, umuman hal qilib bo'lmaydigan vazifalar mavjud. Keling, ulardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log5 16 log2 25.

E'tibor bering, ikkala logarifmning argumentlari aniq ko'rsatkichlardir. Keling, ko'rsatkichlarni chiqaramiz: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Endi ikkinchi logarifmni aylantiramiz:

Mahsulot omillarni almashtirishdan o'zgarmaganligi sababli, biz tinchgina to'rt va ikkitani ko'paytirdik va keyin logarifmlarni aniqladik.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log9 100 lg 3.

Birinchi logarifmning asosi va argumenti aniq kuchlardir. Keling, buni yozamiz va ko'rsatkichlardan xalos bo'laylik:

Endi yangi bazaga o'tish orqali o'nlik logarifmdan xalos bo'laylik:

Asosiy logarifmik identifikatsiya

Ko'pincha echish jarayonida raqamni berilgan asosga logarifm sifatida ko'rsatish talab qilinadi. Bunday holda, formulalar bizga yordam beradi:

Birinchi holda, n soni argumentda ko'rsatkichga aylanadi. n soni mutlaqo har qanday bo'lishi mumkin, chunki bu faqat logarifmning qiymati.

Ikkinchi formula aslida tarjima qilingan ta'rifdir. U shunday deb ataladi:

Haqiqatan ham, agar b soni shunday darajaga ko'tarilsa nima bo'ladi, bu darajadagi b soni a sonini beradi? To'g'ri: bu bir xil raqam a. Ushbu xatboshini yana diqqat bilan o'qing - ko'p odamlar unga "osib qo'yishadi".

Yangi asosiy konvertatsiya formulalari singari, asosiy logarifmik identifikatsiya ba'zan yagona mumkin bo'lgan yechimdir.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

E'tibor bering, log25 64 = log5 8 - faqat bazadan kvadrat va logarifm argumentini chiqarib tashladi. Quvvatlarni bir xil asos bilan ko'paytirish qoidalarini hisobga olgan holda, biz quyidagilarni olamiz:

Agar kimdir bilmasa, bu Yagona davlat imtihonidan olingan haqiqiy vazifa edi 🙂

Logarifmik birlik va logarifmik nol

Xulosa qilib aytganda, men xususiyatlarni chaqirish qiyin bo'lgan ikkita identifikatsiyani beraman - aksincha, bu logarifm ta'rifidan olingan natijalar. Ular doimo muammolarda topiladi va ajablanarlisi, hatto "ilg'or" talabalar uchun ham muammolarni keltirib chiqaradi.

1. logaa = 1. Bir marta eslab qoling: har qanday a asosining logarifmi shu asosning o'zidan bittaga teng.
2. loga 1 = 0. a asosi har qanday bo'lishi mumkin, lekin agar argument bitta bo'lsa, logarifm nolga teng! Chunki a0 = 1 ta'rifning bevosita natijasidir.

Bu barcha xususiyatlar. Ularni amalda qo'llashni mashq qiling! Dars boshida cheat varag'ini yuklab oling, uni chop eting va muammolarni hal qiling.

ta'rifidan kelib chiqadi. Shunday qilib, raqamning logarifmi b sabab bilan a raqam ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkich sifatida aniqlanadi a raqamni olish uchun b(logarifm faqat ijobiy raqamlar uchun mavjud).

Bu formuladan kelib chiqadiki, hisoblash x=log a b, tenglamani yechishga teng ax=b. Masalan, log 2 8 = 3 chunki 8 = 2 3 . Logarifmning formulasi agar ekanligini asoslashga imkon beradi b=a c, keyin raqamning logarifmi b sabab bilan a teng Bilan. Logarifm mavzusi sonning kuchi mavzusi bilan chambarchas bog'liqligi ham aniq.

Logarifmlar bilan, har qanday raqamlarda bo'lgani kabi, siz bajarishingiz mumkin qo`shish, ayirish amallari va har tomonlama o'zgartiring. Ammo logarifmlar juda oddiy raqamlar emasligini hisobga olib, bu erda o'zlarining maxsus qoidalari qo'llaniladi, ular deyiladi. asosiy xususiyatlar.

Logarifmlarni qo'shish va ayirish.

Bir xil asosga ega ikkita logarifmni oling: log x va log a y. Keyin olib tashlang, qo'shish va ayirish amallarini bajarish mumkin:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

Kimdan qism logarifm teoremalari logarifmning yana bir xossasini olish mumkin. Bu jurnali yaxshi ma'lum a 1= 0, shuning uchun

jurnal a 1 /b= jurnal a 1 - jurnal a b= -log a b.

Shunday qilib, tenglik mavjud:

log a 1 / b = - log a b.

Ikki o'zaro o'zaro sonning logarifmlari bir xil asosda bir-biridan faqat belgisi bilan farqlanadi. Shunday qilib:

Jurnal 3 9= - log 3 1/9; log 5 1 / 125 = -log 5 125.