Dastlabki artilleriya tayyorgarligidan so'ng, 3-4-5 funktsiyalarni o'rnatish misollari kamroq qo'rqinchli bo'ladi. Quyidagi ikkita misol ba'zilar uchun murakkab bo'lib tuyulishi mumkin, ammo agar siz ularni tushunsangiz (kimdir azob chekadi), unda differentsial hisoblashda qolgan deyarli hamma narsa bolalarning haziliga o'xshaydi.

2-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Yuqorida aytib o'tilganidek, murakkab funktsiyaning hosilasini topishda, birinchi navbatda, kerak To'g'ri Investitsiyalaringizni TUSHUNING. Shubhalar mavjud bo'lsa, men sizga foydali texnikani eslataman: biz, masalan, "x" ning eksperimental qiymatini olamiz va bu qiymatni "dahshatli ifoda" ga almashtirishga harakat qilamiz (aqliy yoki qoralama).

1) Avval biz ifodani hisoblashimiz kerak, ya'ni yig'indi eng chuqur joylashuvdir.

2) Keyin logarifmni hisoblashingiz kerak:

4) Keyin kosinusni kubga aylantiring:

5) Beshinchi bosqichda farq:

6) Va nihoyat, eng tashqi funktsiya kvadrat ildizdir:

Murakkab funktsiyani farqlash formulasi teskari tartibda, eng tashqi funktsiyadan eng ichkigacha qo'llaniladi. Biz qaror qilamiz:

Hech qanday xatolik yo'qdek tuyuladi:

1) Kvadrat ildizning hosilasini oling.

2) Qoida yordamida ayirma hosilasini oling

3) Uchlik hosilasi nolga teng. Ikkinchi muddatda biz darajaning hosilasini olamiz (kub).

4) Kosinusning hosilasini oling.

6) Va nihoyat, biz eng chuqur joylashtirishning hosilasini olamiz.

Bu juda qiyin tuyulishi mumkin, ammo bu eng shafqatsiz misol emas. Misol uchun, Kuznetsovning kollektsiyasini oling va tahlil qilingan lotinning barcha go'zalligi va soddaligini qadrlaysiz. Men shuni payqadimki, ular talaba murakkab funktsiyaning hosilasini qanday topishni tushunadimi yoki tushunmaydimi yoki yo'qligini tekshirish uchun imtihonda shunga o'xshash narsani berishni yaxshi ko'radilar.

Quyidagi misol siz o'zingiz hal qilishingiz mumkin.

3-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Maslahat: Avval chiziqlilik qoidalari va mahsulotni farqlash qoidasini qo'llaymiz

To'liq yechim va javob dars oxirida.

Kichikroq va chiroyliroq narsaga o'tish vaqti keldi.
Misol uchun ikkita emas, balki uchta funktsiyaning mahsulotini ko'rsatish odatiy hol emas. Uch omil mahsulotining hosilasi qanday topiladi?

4-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Avval qaraymiz, uchta funktsiyaning mahsulotini ikkita funktsiyaning mahsulotiga aylantirish mumkinmi? Misol uchun, agar mahsulotda ikkita polinom bo'lsa, biz qavslarni ochishimiz mumkin. Ammo ko'rib chiqilayotgan misolda barcha funktsiyalar boshqacha: daraja, ko'rsatkich va logarifm.

Bunday hollarda kerak ketma-ket mahsulotni farqlash qoidasini qo'llang ikki marta

Ayyorlik shundan iboratki, "y" bilan biz ikkita funktsiyaning mahsulotini belgilaymiz: va "ve" bilan logarifmni belgilaymiz: . Nima uchun buni qilish mumkin? Haqiqatan ham - bu ikki omilning mahsuli emas va qoida ishlamaydi?! Hech qanday murakkab narsa yo'q:

Endi qoidani ikkinchi marta qo'llash qoladi qavsga:

Siz ham buralib, qavs ichidan biror narsani qo'yishingiz mumkin, ammo bu holda javobni aynan shu shaklda qoldirgan ma'qul - tekshirish osonroq bo'ladi.

Ko'rib chiqilgan misolni ikkinchi usulda hal qilish mumkin:

Ikkala yechim ham mutlaqo ekvivalentdir.

5-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu birinchi usul yordamida hal qilingan namunadagi mustaqil yechim uchun misol;

Keling, kasrlar bilan o'xshash misollarni ko'rib chiqaylik.

6-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu yerga bir necha usul bilan borishingiz mumkin:

Yoki shunday:

Lekin birinchi navbatda qismni differentsiallash qoidasidan foydalansak, yechim yanada ixchamroq yoziladi , butun hisoblagich uchun:

Asos sifatida, misol hal qilinadi va agar u shunday qoldirilsa, bu xato bo'lmaydi. Ammo vaqtingiz bo'lsa, javobni soddalashtirish mumkinligini bilish uchun har doim qoralamani tekshirish tavsiya etiladi?

Numeratorning ifodasini umumiy maxrajga keltiramiz va kasrning uch qavatli tuzilishidan xalos bo'laylik.:

Qo'shimcha soddalashtirishlarning kamchiliklari shundaki, hosilani topishda emas, balki maktabdagi oddiy o'zgarishlar paytida xato qilish xavfi mavjud. Boshqa tomondan, o'qituvchilar ko'pincha topshiriqni rad etadilar va lotinni "yodiga keltirishni" so'rashadi.

O'zingiz hal qilish uchun oddiyroq misol:

7-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Biz hosilani topish usullarini o'zlashtirishni davom ettirmoqdamiz va endi farqlash uchun "dahshatli" logarifm taklif qilingan odatiy holatni ko'rib chiqamiz.

Siz bu erga kelganingizdan beri, ehtimol siz ushbu formulani darslikda ko'rgansiz

va shunday yuz hosil qiling:

Do'stim, tashvishlanmang! Aslida, hamma narsa shunchaki g'alati. Siz, albatta, hamma narsani tushunasiz. Faqat bitta iltimos - maqolani o'qing asta-sekin, har bir qadamni tushunishga harakat qiling. Men iloji boricha sodda va aniq yozdim, lekin siz hali ham fikrni tushunishingiz kerak. Va maqoladagi vazifalarni hal qilishga ishonch hosil qiling.

Murakkab funktsiya nima?

Tasavvur qiling-a, siz boshqa kvartiraga ko'chib o'tmoqdasiz va shuning uchun narsalarni katta qutilarga joylashtirasiz. Aytaylik, siz ba'zi kichik narsalarni, masalan, maktab yozish materiallarini to'plashingiz kerak. Agar siz ularni shunchaki katta qutiga tashlasangiz, ular boshqa narsalar qatorida yo'qoladi. Bunga yo'l qo'ymaslik uchun siz avval ularni, masalan, sumkaga solib, keyin katta qutiga solib, keyin uni muhrlab qo'yasiz. Ushbu "murakkab" jarayon quyidagi diagrammada keltirilgan:

Ko'rinib turibdiki, matematikaning bunga nima aloqasi bor? Ha, murakkab funktsiya AYNASI SHUNDAY tarzda tuzilganiga qaramay! Faqat biz daftar va ruchkalarni emas, balki \(x\) “to'playmiz”, “paketlar” va “qutilar” esa boshqacha.

Misol uchun, keling, x ni olaylik va uni funktsiyaga "to'playmiz":

Natijada, biz, albatta, \(\cos⁡x\) olamiz. Bu bizning "narsalar sumkamiz". Endi uni "qutiga" joylashtiramiz - masalan, kub funksiyasiga to'plang.

Oxiri nima bo'ladi? Ha, to'g'ri, "qutidagi narsalar sumkasi", ya'ni "X kubik kosinasi" bo'ladi.

Olingan dizayn murakkab funktsiyadir. Bu oddiy narsadan farq qiladi Bir X ga bir nechta "ta'sir" (paketlar) qo'llaniladi va bu "funktsiyadan funktsiya" - "qadoqdagi qadoqlash" bo'lib chiqadi.

Maktab kursida bunday "to'plamlarning" juda kam turlari mavjud, faqat to'rttasi:

Keling, X-ni avval asosi 7 bo'lgan eksponensial funktsiyaga, so'ngra trigonometrik funktsiyaga "to'playmiz". Biz olamiz:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Endi keling, x ni trigonometrik funktsiyalarga ikki marta "to'playmiz", avvaliga, keyin esa:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Oddiy, to'g'rimi?

Endi funksiyalarni o'zingiz yozing, bu erda x:
- avval u kosinusga, so'ngra \(3\) asosli eksponensial funktsiyaga "to'planadi";
- birinchi navbatda beshinchi darajaga, keyin esa teginishga;
- logarifmdan avval asosga \(4\) , keyin quvvatga \(-2\).

Maqolaning oxirida ushbu vazifaga javoblarni toping.

X-ni ikki emas, uch marta "qadoqlash" mumkinmi? Hammasi joyida! Va to'rt, besh va yigirma besh marta. Bu erda, masalan, x ning \(4\) marta “qadoqlangan” funksiyasi:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ammo maktab amaliyotida bunday formulalar topilmaydi (o'quvchilar baxtliroq - ularniki murakkabroq bo'lishi mumkin☺).

Murakkab funktsiyani "ochish"

Oldingi funktsiyaga yana qarang. "Qadoqlash" ketma-ketligini aniqlay olasizmi? Avval nima X to'ldirilgan edi, keyin nima va oxirigacha. Ya'ni, qaysi funktsiya qaysi ichida joylashgan? Bir varaq qog'oz oling va nima deb o'ylaysiz, yozing. Buni yuqorida yozganimizdek yoki boshqa yo'l bilan o'qlar bilan zanjir bilan qilishingiz mumkin.

Endi to'g'ri javob: birinchi navbatda, x \(4\) darajaga "qadoqlangan", keyin natija sinusga o'ralgan, u o'z navbatida logarifmaga \(2\) asosga joylashtirilgan. , va oxir-oqibat, bu butun qurilish kuch beshga to'ldirilgan edi.

Ya'ni, siz ketma-ketlikni teskari TARTIBDA yechishingiz kerak. Va buni qanday qilib osonroq qilish haqida maslahat: darhol X ga qarang - siz undan raqsga tushishingiz kerak. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Masalan, bu erda quyidagi funksiya mavjud: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Biz X ga qaraymiz - birinchi navbatda u bilan nima sodir bo'ladi? Undan olingan. Undan keyin? Natijaning tangensi olinadi. Bu ketma-ketlik bir xil bo'ladi:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Yana bir misol: \(y=\cos⁡((x^3))\). Keling, tahlil qilaylik - avval biz X ni kub qildik, so'ngra natijaning kosinusini oldik. Bu ketma-ketlik quyidagicha bo'lishini anglatadi: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). E'tibor bering, funktsiya birinchisiga o'xshaydi (u erda rasmlar mavjud). Ammo bu butunlay boshqacha funktsiya: bu erda kubda x (ya'ni, \(\cos⁡((x·x·x)))\), kubda esa kosinus \(x\) ( ya'ni \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Bu farq turli xil "qadoqlash" ketma-ketliklaridan kelib chiqadi.

Oxirgi misol (undagi muhim ma'lumotlar bilan): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Ko'rinib turibdiki, bu erda ular dastlab x bilan arifmetik amallar bajargan, keyin natijaning sinusini olgan: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Va bu muhim nuqta: arifmetik operatsiyalar o'z-o'zidan funktsiyalar emasligiga qaramay, bu erda ular "qadoqlash" usuli sifatida ham ishlaydi. Keling, ushbu noziklikni biroz chuqurroq o'rganaylik.

Yuqorida aytib o'tganimdek, oddiy funktsiyalarda x bir marta, murakkab funktsiyalarda esa ikki yoki undan ko'p "qadoqlangan". Bundan tashqari, oddiy funktsiyalarning har qanday birikmasi (ya'ni, ularning yig'indisi, ayirmasi, ko'paytirish yoki bo'linishi) ham oddiy funktsiyadir. Masalan, \(x^7\) oddiy funksiya va \(ctg x\) ham shunday. Bu ularning barcha kombinatsiyalari oddiy funktsiyalar ekanligini anglatadi:

\(x^7+ ctg x\) - oddiy,
\(x^7· karyola x\) - oddiy,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – oddiy va h.k.

Biroq, agar bunday kombinatsiyaga yana bitta funktsiya qo'llanilsa, u murakkab funktsiyaga aylanadi, chunki ikkita "paket" bo'ladi. Diagrammaga qarang:

Mayli, hozir davom et. "O'rash" funktsiyalari ketma-ketligini yozing:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Javoblar yana maqolaning oxirida.

Ichki va tashqi funktsiyalar

Nima uchun biz funktsiyani joylashtirishni tushunishimiz kerak? Bu bizga nima beradi? Gap shundaki, bunday tahlilsiz biz yuqorida muhokama qilingan funktsiyalarning hosilalarini ishonchli topa olmaymiz.

Va davom etish uchun bizga yana ikkita tushuncha kerak bo'ladi: ichki va tashqi funktsiyalar. Bu juda oddiy narsa, bundan tashqari, biz ularni yuqorida tahlil qildik: agar biz o'xshashlikni boshida eslasak, ichki funktsiya "paket", tashqi funktsiya esa "quti" dir. Bular. birinchi navbatda X "o'ralgan" ichki funktsiyadir va ichki funksiya "o'ralgan" allaqachon tashqidir. Xo'sh, nima uchun aniq - u tashqarida, bu tashqi degan ma'noni anglatadi.

Bu misolda: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), \(\log_2⁡x\) funksiyasi ichki va
- tashqi.

Va bunda: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) ichki va
- tashqi.

Murakkab funktsiyalarni tahlil qilishning so'nggi amaliyotini yakunlang va nihoyat biz boshlagan narsaga o'tamiz - biz murakkab funktsiyalarning hosilalarini topamiz:

Jadvaldagi bo'sh joylarni to'ldiring:

Murakkab funktsiyaning hosilasi

Bravo, biz nihoyat ushbu mavzuning "xo'jayini" ga yetib keldik - aslida murakkab funktsiyaning hosilasi, xususan, maqola boshidan o'sha dahshatli formulaga.☺

\((f(g(x))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ushbu formula quyidagicha o'qiydi:

Murakkab funktsiyaning hosilasi tashqi funktsiyaning doimiy ichki funktsiyaga nisbatan hosilasi va ichki funktsiya hosilasiga teng.

Va nima bilan nima qilish kerakligini tushunish uchun darhol so'zlarga ko'ra tahlil qilish diagrammasiga qarang:

Umid qilamanki, "hosil" va "mahsulot" atamalari hech qanday qiyinchilik tug'dirmaydi. "Murakkab funktsiya" - biz uni allaqachon saralab oldik. Qo'lga olish "doimiy ichki funktsiyaga nisbatan tashqi funktsiyaning hosilasi" da. Bu nima?

Javob: Bu tashqi funktsiyaning odatiy hosilasi bo'lib, unda faqat tashqi funktsiya o'zgaradi va ichki funktsiya bir xil bo'lib qoladi. Hali ham aniq emasmi? Mayli, keling, misol keltiraylik.

Bizga \(y=\sin⁡(x^3)\) funksiyasi bo'lsin. Bu erda ichki funktsiya \(x^3\) va tashqi ekanligi aniq
. Keling, doimiy ichki qismga nisbatan tashqi ko'rinish hosilasini topamiz.

"Eski" darsliklarda "zanjir" qoidasi ham deyiladi. Shunday qilib, agar y = f (u) va u = ph (x), ya'ni

y = f (ph (x))

kompleks - kompozit funksiya (funksiyalar tarkibi) keyin

Qayerda , hisob-kitobdan keyin da ko'rib chiqiladi u = ph(x).

E'tibor bering, bu erda biz bir xil funktsiyalardan "turli xil" kompozitsiyalarni oldik va farqlash natijasi tabiiy ravishda "aralashtirish" tartibiga bog'liq bo'lib chiqdi.

Zanjir qoidasi tabiiy ravishda uch yoki undan ortiq funktsiyali kompozitsiyalarga taalluqlidir. Bunday holda, lotinni tashkil etuvchi "zanjir" da uch yoki undan ortiq "bog'lanish" bo'ladi. Bu erda ko'paytirish bilan o'xshashlik: "bizda" hosilalar jadvali; "u erda" - ko'paytirish jadvali; "Biz bilan" - zanjir qoidasi va "u erda" - "ustun" ko'paytirish qoidasi. Bunday "murakkab" hosilalarni hisoblashda, albatta, yordamchi argumentlar (u¸v va boshqalar) kiritilmaydi, lekin kompozitsiyada ishtirok etadigan funktsiyalarning soni va ketma-ketligini o'zlari qayd etib, tegishli havolalar "torlanadi". ko'rsatilgan tartibda.

. Bu yerda “y” qiymatini olish uchun “x” bilan beshta amal bajariladi, yaʼni beshta funksiyaning tarkibi mavjud: “tashqi” (ularning oxirgisi) - eksponensial - e  ; keyin teskari tartibda, quvvat. (♦) 2 ; trigonometrik sin(); tinchlantiruvchi. () 3 va nihoyat logarifmik ln.(). Shunung uchun

Quyidagi misollar bilan biz "bir tosh bilan bir nechta qushni o'ldiramiz": biz murakkab funktsiyalarni farqlashni mashq qilamiz va elementar funktsiyalarning hosilalari jadvaliga qo'shamiz. Shunday qilib:

4. Quvvat funksiyasi uchun - y = x a - uni taniqli "asosiy logarifmik identifikatsiya" - b=e ln b - yordamida x a = x a ln x ko'rinishida qayta yozamiz.

5. Ixtiyoriy eksponensial funktsiya uchun, xuddi shu texnikadan foydalanib, biz ega bo'lamiz

6. Ixtiyoriy logarifmik funktsiya uchun yangi bazaga o'tishning mashhur formulasidan foydalanib, biz izchil ravishda olamiz.

.

7. Tangensni (kotangensni) differensiallash uchun biz kotirovkalarni farqlash qoidasidan foydalanamiz:

Teskari trigonometrik funksiyalarning hosilalarini olish uchun ikkita o‘zaro teskari funksiyaning hosilalari qanoatlantiriladigan munosabatdan, ya’ni munosabatlar bilan bog‘langan ph (x) va f (x) funksiyalardan foydalanamiz:

Bu nisbat

O'zaro teskari funktsiyalar uchun bu formuladan

Va
,

Va nihoyat, keling, quyidagi jadvalda osongina olinadigan ushbu va boshqa hosilalarni umumlashtiramiz.

Murakkab funktsiyaning hosilasi formulasi yordamida hosilalarni hisoblashga misollar keltirilgan.

Bu erda biz quyidagi funktsiyalarning hosilalarini hisoblash misollarini keltiramiz:
; ; ; ; .

Agar funktsiyani murakkab funktsiya sifatida quyidagi shaklda ko'rsatish mumkin bo'lsa:
,
u holda uning hosilasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
.
Quyidagi misollarda biz ushbu formulani quyidagicha yozamiz:
.
Qayerda.
Bu yerda hosila belgisi ostida joylashgan yoki pastki belgisi farqlash amalga oshiriladigan o'zgaruvchilarni bildiradi.

Odatda, hosilalar jadvallarida x o'zgaruvchidan funksiyalarning hosilalari beriladi. Biroq, x rasmiy parametrdir. X o'zgaruvchisi istalgan boshqa o'zgaruvchi bilan almashtirilishi mumkin. Shuning uchun funktsiyani o'zgaruvchidan farqlashda biz hosilalar jadvalidagi x o'zgaruvchisini shunchaki u o'zgaruvchiga o'zgartiramiz.

Oddiy misollar

1-misol

Murakkab funksiyaning hosilasini toping
.

Yechim

Berilgan funksiyani ekvivalent shaklda yozamiz:
.
Sanoat jadvalida biz quyidagilarni topamiz:
;
.

Murakkab funktsiyaning hosilasi formulasiga ko'ra, bizda:
.
Bu yerga .

Javob

2-misol

Hosilini toping
.

Yechim

Biz doimiy 5 ni hosila belgisidan olamiz va hosilalar jadvalidan topamiz:
.

.
Bu yerga .

Javob

3-misol

Hosilini toping
.

Yechim

Biz doimiyni chiqaramiz -1 hosila belgisi uchun va hosilalar jadvalidan topamiz:
;
Sanoat jadvalidan biz quyidagilarni topamiz:
.

Murakkab funktsiyaning hosilasi uchun formulani qo'llaymiz:
.
Bu yerga .

Javob

Keyinchalik murakkab misollar

Murakkabroq misollarda biz murakkab funktsiyani farqlash qoidasini bir necha marta qo'llaymiz. Bunday holda biz lotinni oxiridan hisoblaymiz. Ya'ni, funksiyani uning tarkibiy qismlariga ajratamiz va undan foydalanib, eng oddiy qismlarning hosilalarini topamiz hosilalar jadvali. Biz ham foydalanamiz summalarni farqlash qoidalari, mahsulotlar va fraksiyalar. Keyin almashtirishlarni amalga oshiramiz va murakkab funktsiyaning hosilasi uchun formulani qo'llaymiz.

4-misol

Hosilini toping
.

Yechim

Formulaning eng oddiy qismini tanlaymiz va uning hosilasini topamiz. .

.
Bu erda biz belgidan foydalandik
.

Olingan natijalardan foydalanib, asl funktsiyaning keyingi qismining hosilasini topamiz. Yig'indini farqlash qoidasini qo'llaymiz:
.

Yana bir bor murakkab funktsiyalarni differentsiallash qoidasini qo'llaymiz.

.
Bu yerga .

Javob

5-misol

Funktsiyaning hosilasini toping
.

Yechim

Formulaning eng oddiy qismini tanlaymiz va hosilalar jadvalidan hosilasini topamiz. .

Biz murakkab funksiyalarni differentsiallash qoidasini qo'llaymiz.
.
Bu yerga
.

Murakkab tipdagi funksiyalar har doim ham murakkab funksiya ta'rifiga mos kelmaydi. Agar y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 ko'rinishdagi funktsiya mavjud bo'lsa, u holda y = sin 2 x dan farqli ravishda murakkab deb bo'lmaydi.

Ushbu maqolada murakkab funktsiya tushunchasi va uning identifikatsiyasi ko'rsatiladi. Xulosadagi yechimlarga misollar bilan hosilani topish formulalari bilan ishlaymiz. Hosila jadvali va farqlash qoidalaridan foydalanish hosilani topish vaqtini sezilarli darajada qisqartiradi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Asosiy ta'riflar

Ta'rif 1

Argumenti ham funktsiya bo'lgan funktsiya murakkab funktsiyadir.

U shunday belgilanadi: f (g (x)). Bizda g (x) funksiya f (g (x)) argumenti hisoblanadi.

Ta'rif 2

Agar f funktsiya mavjud bo'lsa va u kotangent funksiya bo'lsa, u holda g(x) = ln x natural logarifm funktsiyadir. F (g (x)) kompleks funksiyasi arctg(lnx) shaklida yozilishini topamiz. Yoki f funktsiya, ya'ni 4-darajali darajaga ko'tarilgan funktsiya, bu erda g (x) = x 2 + 2 x - 3 butun ratsional funktsiya hisoblanadi, biz f (g (x)) = (x 2 +) ni olamiz. 2 x - 3) 4 .

Shubhasiz, g (x) murakkab bo'lishi mumkin. y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 misolidan ko'rinib turibdiki, g ning qiymati kasrning kub ildiziga ega. Bu ifodani y = f (f 1 (f 2 (x))) deb belgilash mumkin. Bizda f sinus funktsiya, f 1 esa kvadrat ildiz ostida joylashgan funktsiya, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 kasr ratsional funktsiyadir.

Ta'rif 3

Uyalanish darajasi har qanday natural son bilan aniqlanadi va y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... f n (x)))))) kabi yoziladi.

Ta'rif 4

Funksiya tarkibi tushunchasi masalaning shartlariga ko‘ra ichki o‘rnatilgan funksiyalar sonini bildiradi. Yechish uchun shaklning murakkab funksiyasining hosilasini topish formulasidan foydalaning

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Misollar

1-misol

y = (2 x + 1) 2 ko`rinishdagi kompleks funksiyaning hosilasini toping.

Yechim

Shart shuni ko'rsatadiki, f kvadrat funktsiya, g(x) = 2 x + 1 esa chiziqli funktsiya hisoblanadi.

Kompleks funktsiya uchun hosila formulasini qo'llaymiz va yozamiz:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x)))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Funksiyaning soddalashtirilgan asl shakli bilan hosilani topish kerak. Biz olamiz:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Bu erdan bizda shunday bor

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Natijalar bir xil edi.

Bu turdagi masalalarni yechishda f va g (x) ko`rinishdagi funksiya qayerda joylashishini tushunish kerak.

2-misol

y = sin 2 x va y = sin x 2 ko'rinishdagi murakkab funktsiyalarning hosilalarini topishingiz kerak.

Yechim

Birinchi funksiya yozuvida aytilishicha, f kvadrat funksiyasi va g(x) sinus funksiyasi. Keyin biz buni olamiz

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Ikkinchi yozuv f sinus funksiya ekanligini va g(x) = x 2 quvvat funksiyasini bildiradi. Bundan kelib chiqadiki, biz murakkab funksiyaning mahsulotini quyidagicha yozamiz

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))) hosilasi uchun formula y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (.)) shaklida yoziladi. . ( f n (x))) · f 1 " (f 3 (... (f n (x))) · · f 2 " (... f n (x)). ))) ))) . . . fn "(x)

3-misol

y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) funksiyaning hosilasini toping.

Yechim

Bu misol funksiyalarni yozish va joylashishni aniqlash qiyinligini ko'rsatadi. U holda y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) belgilang bu erda f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) sinus funksiyasi, koʻtarish funksiyasi. 3 darajagacha, logarifmli va e asosli funktsiya, arktangens va chiziqli funktsiya.

Murakkab funktsiyani aniqlash formulasidan biz buni olamiz

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Biz topishimiz kerak bo'lgan narsani olamiz

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) hosilalar jadvaliga ko'ra sinusning hosilasi sifatida, keyin f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4)) x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))) quvvat funksiyasining hosilasi sifatida, keyin f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) logarifmik hosila sifatida, keyin f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. Arktangentning hosilasi sifatida f 3 " (f 4 (x)), keyin f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. f 4 (x) = 2 x hosilasini topganda, darajasi 1 ga teng bo'lgan darajali funktsiyaning hosilasi formulasidan foydalanib, hosila belgisidan 2 ni oling, keyin f 4 " (x) = (2 x) ) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2.

Biz oraliq natijalarni birlashtiramiz va bunga erishamiz

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Bunday funktsiyalarni tahlil qilish uyalar qo'g'irchoqlarini eslatadi. Differentsiatsiya qoidalarini har doim ham hosila jadvali yordamida aniq qo'llash mumkin emas. Ko'pincha murakkab funktsiyalarning hosilalarini topish uchun formuladan foydalanish kerak.

Murakkab ko'rinish va murakkab funktsiyalar o'rtasida ba'zi farqlar mavjud. Buni aniq ajratish qobiliyati bilan hosilalarni topish ayniqsa oson bo'ladi.

4-misol

Bunday misol keltirish haqida o'ylash kerak. Agar y = t g 2 x + 3 t g x + 1 ko'rinishdagi funksiya mavjud bo'lsa, u holda uni g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 ko'rinishdagi kompleks funktsiya deb hisoblash mumkin. . Shubhasiz, murakkab hosila uchun formuladan foydalanish kerak:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 ko'rinishdagi funktsiya murakkab hisoblanmaydi, chunki u t g x 2, 3 t g x va 1 yig'indisiga ega. Shu bilan birga, t g x 2 murakkab funktsiya hisoblanadi, keyin biz g (x) = x 2 va f ko'rinishdagi quvvat funktsiyasini olamiz, bu esa tangens funktsiyadir. Buning uchun miqdori bo'yicha farqlang. Biz buni tushunamiz

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Keling, murakkab funktsiyaning hosilasini topishga o'tamiz (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Biz y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x ni olamiz.

Murakkab tipdagi funksiyalar murakkab funksiyalarga, murakkab funksiyalarning o‘zi esa murakkab tipdagi funksiyalarning tarkibiy qismlari bo‘lishi mumkin.

5-misol

Masalan, y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) ko‘rinishdagi kompleks funksiyani ko‘rib chiqaylik.

Bu funktsiyani y = f (g (x)) shaklida ifodalash mumkin, bunda f ning qiymati 3 ta logarifmning funktsiyasi, g (x) esa h (x) = ko'rinishdagi ikkita funktsiya yig'indisi hisoblanadi. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 va k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Shubhasiz, y = f (h (x) + k (x)).

h(x) funktsiyasini ko'rib chiqaylik. Bu l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ning m (x) = e x 2 + 3 3 nisbati.

Bizda l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) ikkita n (x) = x 2 + 7 va p ( funksiyalarning yig'indisi) bor. x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , bu erda p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) sonli koeffitsienti 3 bo'lgan kompleks funksiya, p 1 esa kub funksiyasi, p 2 kosinus funksiyasi bilan, p 3 (x) = 2 x + 1 chiziqli funksiya bilan.

m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) q (x) = e x 2 va r (x) = 3 3 funksiyalarning yig'indisi ekanligini aniqladik, bu erda q (x) = q 1 (q 2 (x)) kompleks funksiya, q 1 ko‘rsatkichli funksiya, q 2 (x) = x 2 quvvat funksiyasi.

Bu shuni ko'rsatadiki, h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) ko'rinishdagi ifodaga o'tganda, funktsiya kompleks s ( ) ko'rinishida taqdim etilishi aniq bo'ladi. x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) ratsional butun sonli t (x) = x 2 + 1, bu yerda s 1 kvadratik funksiya, s 2 (x) = ln x esa logarifmik. asos e.

Bundan kelib chiqadiki, ifoda k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) ko‘rinishda bo‘ladi.

Keyin biz buni olamiz

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3) x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Funksiya tuzilmalariga asoslanib, ifodani farqlashda uni soddalashtirish uchun qanday va qanday formulalardan foydalanish kerakligi ma’lum bo‘ldi. Bunday masalalar va ularni yechish tushunchasi bilan tanishish uchun funktsiyani differensiallash, ya’ni uning hosilasini topish masalasiga murojaat qilish kerak.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing