Trigonometriya fan sifatida Qadimgi Sharqda vujudga kelgan. Birinchi trigonometrik nisbatlar astronomlar tomonidan aniq taqvim yaratish va yulduzlar tomonidan orientatsiya qilish uchun ishlab chiqilgan. Ushbu hisoblar sferik trigonometriya bilan bog'liq bo'lib, maktab kursida ular tekis uchburchakning tomonlari va burchagi nisbatlarini o'rganadilar.
Trigonometriya - trigonometrik funktsiyalarning xossalari va uchburchaklarning tomonlari va burchaklari o'rtasidagi bog'liqlik bilan shug'ullanadigan matematikaning bo'limi.
Milodiy 1-ming yillikda madaniyat va fanning gullab-yashnagan davrida bilimlar Qadimgi Sharqdan Yunonistonga tarqaldi. Ammo trigonometriyaning asosiy kashfiyotlari Arab xalifaligi odamlarining xizmatlaridir. Xususan, turkman olimi al-Marazviy tangens va kotangens kabi funksiyalarni kiritdi, sinuslar, tangenslar va kotangentlar uchun dastlabki qiymatlar jadvallarini tuzdi. Sinus va kosinus tushunchasi hind olimlari tomonidan kiritilgan. Evklid, Arximed va Eratosfen kabi antik davrning buyuk arboblari asarlarida trigonometriyaga katta e'tibor berilgan.
Trigonometriyaning asosiy miqdorlari
Raqamli argumentning asosiy trigonometrik funktsiyalari sinus, kosinus, tangens va kotangensdir. Ularning har biri o'z grafigiga ega: sinus, kosinus, tangens va kotangens.
Ushbu miqdorlarning qiymatlarini hisoblash uchun formulalar Pifagor teoremasiga asoslanadi. Maktab o'quvchilariga "hamma yo'nalishda teng Pifagor shimlari" formulasi ko'proq ma'lum, chunki dalil teng yonli to'g'ri burchakli uchburchak misolida keltirilgan.
Sinus, kosinus va boshqa bog'liqliklar har qanday to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchaklari va tomonlari o'rtasidagi munosabatni o'rnatadi. Biz A burchak uchun bu miqdorlarni hisoblash uchun formulalar beramiz va trigonometrik funktsiyalarning munosabatlarini kuzatamiz:
Ko'rib turganingizdek, tg va ctg teskari funktsiyalardir. Agar a oyog'ini sin A va gipotenuza c ko'paytmasi, b oyog'ini cos A * c deb ifodalasak, u holda tangens va kotangens uchun quyidagi formulalarni olamiz:
trigonometrik doira
Grafik jihatdan ko'rsatilgan miqdorlarning nisbati quyidagicha ifodalanishi mumkin:
Aylana, bu holda, a burchagining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini ifodalaydi - 0 ° dan 360 ° gacha. Rasmdan ko'rinib turibdiki, har bir funktsiya burchakka qarab manfiy yoki ijobiy qiymat oladi. Misol uchun, agar a aylananing I va II choraklariga tegishli bo'lsa, ya'ni u 0 ° dan 180 ° gacha bo'lsa, sin a "+" belgisi bilan bo'ladi. a bilan 180° dan 360° gacha (III va IV chorak) sin a faqat manfiy qiymat bo'lishi mumkin.
Keling, aniq burchaklar uchun trigonometrik jadvallar tuzishga harakat qilaylik va miqdorlarning ma'nosini bilib olaylik.
30°, 45°, 60°, 90°, 180° va boshqalarga teng a qiymatlari maxsus holatlar deyiladi. Ular uchun trigonometrik funktsiyalarning qiymatlari hisoblab chiqiladi va maxsus jadvallar ko'rinishida taqdim etiladi.
Bu burchaklar tasodifan tanlanmagan. Jadvallardagi p belgisi radyanlar uchundir. Rad - aylana yoyning uzunligi uning radiusiga mos keladigan burchak. Ushbu qiymat universal munosabatlarni o'rnatish uchun kiritilgan; radianlarda hisoblashda radiusning smdagi haqiqiy uzunligi muhim emas.
Trigonometrik funktsiyalar jadvalidagi burchaklar radian qiymatlariga mos keladi:
Shunday qilib, 2p to'liq doira yoki 360 ° ekanligini taxmin qilish qiyin emas.
Trigonometrik funksiyalarning xossalari: sinus va kosinus
Sinus va kosinus, tangens va kotangensning asosiy xossalarini ko'rib chiqish va solishtirish uchun ularning funktsiyalarini chizish kerak. Buni ikki o'lchovli koordinatalar tizimida joylashgan egri chiziq shaklida bajarish mumkin.
Sinus to'lqin va kosinus to'lqinlari xususiyatlarining qiyosiy jadvalini ko'rib chiqing:
| sinusoid | kosinus to'lqini |
|---|---|
| y = sin x | y = cos x |
| ODZ [-1; bitta] | ODZ [-1; bitta] |
| sin x = 0, x = pk uchun, bu erda k s Z | cos x = 0, x = p/2 + pk uchun, bu erda k s Z |
| sin x = 1, x = p/2 + 2pk uchun, bu erda k s Z | cos x = 1, x = 2pk uchun, bu erda k s Z |
| sin x = - 1, x = 3p/2 + 2pk da, bu erda k s Z | cos x = - 1, x = p + 2pk uchun, bu erda k s Z |
| sin (-x) = - sin x, ya'ni toq funksiya | cos (-x) = cos x, ya'ni funksiya juft |
| funksiya davriy, eng kichik davri 2p | |
| sin x › 0, x I va II choraklarga tegishli yoki 0° dan 180° gacha (2pk, p + 2pk) | cos x › 0, x bilan I va IV choraklarga tegishli yoki 270° dan 90° gacha (- p/2 + 2pk, p/2 + 2pk) |
| sin x ‹ 0, x III va IV choraklarga tegishli yoki 180° dan 360° gacha (p + 2pk, 2p + 2pk) | cos x ‹ 0, x bilan II va III choraklarga tegishli yoki 90° dan 270° gacha (p/2 + 2pk, 3p/2 + 2pk) |
| [- p/2 + 2pk, p/2 + 2p] oraliqda ortadi | [-p + 2pk, 2pk] oraliqda ortadi |
| [ p/2 + 2pk, 3p/2 + 2p] oraliqlarda kamayadi | intervallarda kamayadi |
| hosila (sin x)' = cos x | hosila (cos x)’ = - sin x |
Funksiyaning juft yoki juft emasligini aniqlash juda oddiy. Trigonometrik miqdorlar belgilariga ega trigonometrik doirani tasavvur qilish va grafikni OX o'qiga nisbatan aqliy ravishda "katlash" kifoya. Agar belgilar bir xil bo'lsa, funktsiya juft bo'ladi, aks holda u toq bo'ladi.
Radianlarning kiritilishi va sinusoid va kosinus to'lqinlarining asosiy xususiyatlarini sanab o'tish bizga quyidagi naqshni keltirish imkonini beradi:
Formulaning to'g'riligini tekshirish juda oson. Misol uchun, x = p/2 uchun sinus 1 ga teng, x = 0 ning kosinasi kabi. Tekshirish jadvallarni ko'rib chiqish yoki berilgan qiymatlar uchun funktsiya egri chizig'ini kuzatish orqali amalga oshirilishi mumkin.
Tangentoid va kotangentoidning xossalari
Tangens va kotangens funktsiyalarining grafiklari sinusoid va kosinus to'lqinidan sezilarli darajada farq qiladi. tg va ctg qiymatlari bir-biriga teskari.
- Y = tgx.
- Tangens x = p/2 + pk da y ning qiymatlariga intiladi, lekin ularga hech qachon etib bormaydi.
- Tangentoidning eng kichik musbat davri p dir.
- Tg (- x) \u003d - tg x, ya'ni funksiya g'alati.
- Tg x = 0, x = p uchun.
- Funktsiya ortib bormoqda.
- Tg x › 0, x s uchun (pk, p/2 + pk).
- Tg x ‹ 0, x s uchun (— p/2 + pk, pk).
- Hosil (tg x)' = 1/cos 2 x .
Matnda quyida kotangentoidning grafik tasvirini ko'rib chiqing.
Kotangentoidning asosiy xususiyatlari:
- Y = ctgx.
- Sinus va kosinus funktsiyalaridan farqli o'laroq, tangentoidda Y barcha haqiqiy sonlar to'plamining qiymatlarini olishi mumkin.
- Kotangentoid x = pk da y ning qiymatlariga intiladi, lekin ularga hech qachon etib bormaydi.
- Kotangentoidning eng kichik musbat davri p dir.
- Ctg (- x) \u003d - ctg x, ya'ni funksiya g'alati.
- Ctg x = 0, x = p/2 + pk uchun.
- Funktsiya pasaymoqda.
- Ctg x › 0, x s uchun (pk, p/2 + pk).
- Ctg x ‹ 0, x s uchun (p/2 + pk, pk).
- Hosil (ctg x)' = - 1/sin 2 x Tuzatish
To'g'ri burchakli uchburchakni echish bo'yicha vazifalar ko'rib chiqilayotganda, men sinus va kosinus ta'riflarini yodlash texnikasini taqdim etishga va'da berdim. Undan foydalanib, siz har doim qaysi oyoq gipotenuzaga tegishli ekanligini tezda eslaysiz (qo'shni yoki qarama-qarshi). Men uni cheksiz muddatga qoldirmaslikka qaror qildim, kerakli material quyida, o'qing 😉
Gap shundaki, men 10-11-sinf o‘quvchilari bu ta’riflarni eslab qolishda qiynalayotganliklarini bir necha bor kuzatganman. Ular oyoqning gipotenuzaga tegishli ekanligini juda yaxshi eslashadi, lekin qaysi biri- unut va chalkash. Xatoning narxi, siz imtihonda bilganingizdek, yo'qolgan balldir.
Men to'g'ridan-to'g'ri matematikaga taqdim etadigan ma'lumotlarning hech qanday aloqasi yo'q. U majoziy fikrlash va og'zaki-mantiqiy bog'lanish usullari bilan bog'liq. To'g'ri, men o'zim ham bir marta esladimta'rif ma'lumotlari. Agar siz hali ham ularni unutib qo'ysangiz, unda taqdim etilgan texnikalar yordamida har doim eslab qolish oson.
To'g'ri burchakli uchburchakda sinus va kosinus ta'riflarini eslatib o'taman:
Kosinus To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:
Sinus To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak - bu qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati:
Xo'sh, kosinus so'zi sizda qanday assotsiatsiyalarni uyg'otadi?
Ehtimol, har kimning o'zi borHavolani eslang:
Shunday qilib, siz darhol xotirangizda ifodaga ega bo'lasiz -
«… AJACENT oyoqning gipotenuzaga nisbati».
Kosinus ta'rifi bilan bog'liq muammo hal qilindi.
Agar siz to'g'ri uchburchakdagi sinusning ta'rifini eslab qolishingiz kerak bo'lsa, u holda kosinusning ta'rifini eslab, to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning sinusi qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati ekanligini osongina aniqlashingiz mumkin. Axir, faqat ikkita oyoq bor, agar qo'shni oyoq kosinus tomonidan "ishg'ol qilingan" bo'lsa, u holda sinus uchun faqat qarama-qarshi tomon qoladi.
Tangens va kotangens haqida nima deyish mumkin? Xuddi shu chalkashlik. Talabalar bu oyoqlarning nisbati ekanligini bilishadi, ammo muammo qaysi biri qaysi biri bilan bog'liqligini eslashda - qo'shniga qarama-qarshi yoki aksincha.
Ta'riflar:
Tangent To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak - bu qarama-qarshi oyoqning qo'shnisiga nisbati:
Kotangent To'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak qo'shni oyoqning qarama-qarshi tomoniga nisbati:
Qanday eslash kerak? Ikkita yo'l bor. Birida og'zaki-mantiqiy aloqa, ikkinchisi - matematik bog'lanish ham qo'llaniladi.
MATEMATIK USUL
Bunday ta'rif mavjud - o'tkir burchakning tangensi - bu burchak sinusining uning kosinusiga nisbati:
* Formulani eslab, siz har doim to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning tangensi qarama-qarshi oyoqning qo'shnisiga nisbati ekanligini aniqlashingiz mumkin.
Xuddi shunday.O'tkir burchakning kotangensi - bu burchak kosinusining sinusiga nisbati:
Shunday ekan! Ushbu formulalarni eslab, har doim quyidagilarni aniqlashingiz mumkin:
- to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning tangensi qarama-qarshi oyoqning qo'shnisiga nisbati.
- to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchakning kotangensi qo'shni oyoqning qarama-qarshi qismiga nisbati.
VERBAL-MANTIQIK USUL
Tangens haqida. Havolani eslang:
Ya'ni, agar siz tangensning ta'rifini eslab qolishingiz kerak bo'lsa, ushbu mantiqiy aloqadan foydalanib, uning nima ekanligini osongina eslab qolishingiz mumkin.
"... qarama-qarshi oyoqning qo'shniga nisbati"
Agar kotangens haqida gap ketsa, u holda tangens ta'rifini eslab, siz kotangentning ta'rifini osongina ovoz chiqarib qo'yishingiz mumkin -
"... qo'shni oyoqning teskarisiga nisbati"
Saytda tangens va kotangensni yodlashning qiziqarli texnikasi mavjud " Matematik tandem " , qarang.
UNIVERSAL USUL
Siz shunchaki maydalashingiz mumkin.Ammo amaliyot shuni ko'rsatadiki, og'zaki-mantiqiy aloqalar tufayli odam nafaqat matematik, balki uzoq vaqt davomida ma'lumotni eslab qoladi.
Umid qilamanki, material siz uchun foydali bo'ldi.
Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix
P.S: Ijtimoiy tarmoqlarda sayt haqida gapirib bersangiz minnatdor bo'lardim.
O'rtacha darajasi
To'g'ri uchburchak. Toʻliq tasvirlangan qoʻllanma (2019)
O‘ng uchburchak. BIRINCHI DARAJA.
Muammolarda to'g'ri burchak umuman kerak emas - pastki chap burchak, shuning uchun siz ushbu shaklda to'g'ri burchakli uchburchakni qanday tanib olishni o'rganishingiz kerak,
va shunga o'xshash
va shunga o'xshash 
To'g'ri uchburchakda nima yaxshi? Xo'sh... birinchi navbatda, uning partiyalari uchun maxsus chiroyli nomlar mavjud.
Chizmaga diqqat!
Eslab qoling va chalkashtirmang: oyoqlari - ikkita, gipotenuz esa - faqat bitta(yagona, noyob va eng uzun)!
Xo'sh, biz nomlarni muhokama qildik, endi eng muhimi: Pifagor teoremasi.
Pifagor teoremasi.
Bu teorema to'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq ko'plab muammolarni hal qilishning kalitidir. Bu Pifagor tomonidan butunlay qadim zamonlarda isbotlangan va o'shandan beri u buni biladiganlarga ko'p foyda keltirdi. Va uning eng yaxshi tomoni shundaki, u sodda.
Shunday qilib, Pifagor teoremasi:
Hazilni eslaysizmi: "Pifagor shimlari har tomondan tengdir!"?
Keling, bu Pifagor shimlarini chizamiz va ularga qaraylik. 
Bu haqiqatan ham shortilarga o'xshaydimi? Xo'sh, ular qaysi tomonlarda va qayerda teng? Hazil nima uchun va qaerdan paydo bo'ldi? Va bu hazil Pifagor teoremasi bilan, aniqrog'i Pifagorning o'zi teoremasini shakllantirish usuli bilan bog'liq. Va u buni shunday tuzatdi:
"sum kvadratlar maydoni, oyoqlarda qurilgan, tengdir kvadrat maydon gipotenuzaga qurilgan.
Bu biroz boshqacha eshitilmaydi, shunday emasmi? Shunday qilib, Pifagor o'z teoremasining bayonotini chizganida, xuddi shunday rasm paydo bo'ldi.
Ushbu rasmda kichik kvadratlar maydonlarining yig'indisi katta kvadratning maydoniga teng. Va bolalar oyoq kvadratlarining yig'indisi gipotenuzaning kvadratiga teng ekanligini yaxshiroq eslab qolishlari uchun kimdir Pifagor shimlari haqida bu hazilni o'ylab topdi.
Nega endi biz Pifagor teoremasini shakllantirmoqdamiz?
Pifagor azob chekib, kvadratlar haqida gapirganmi?
Ko'ryapsizmi, qadimda ... algebra yo'q edi! Hech qanday belgilar va boshqalar yo'q edi. Hech qanday yozuv yo'q edi. Tasavvur qila olasizmi, qadimda kambag'al o'quvchilar hamma narsani so'z bilan yodlashlari qanchalik dahshatli edi??! Va bizda Pifagor teoremasining oddiy formulasi borligidan xursand bo'lishimiz mumkin. Yaxshi eslash uchun yana takrorlaymiz:
Endi bu oson bo'lishi kerak:
| Gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng. |
To'g'ri burchakli uchburchak haqidagi eng muhim teorema muhokama qilindi. Agar siz uning qanday isbotlangani bilan qiziqsangiz, nazariyaning keyingi darajalarini o'qing va endi trigonometriyaning qorong'u o'rmoniga o'tamiz! Sinus, kosinus, tangens va kotangens degan dahshatli so'zlarga.
To'g'ri burchakli uchburchakda sinus, kosinus, tangens, kotangens.
Aslida, hamma narsa unchalik qo'rqinchli emas. Albatta, maqolada sinus, kosinus, tangens va kotangensning "haqiqiy" ta'rifini ko'rib chiqish kerak. Lekin siz haqiqatan ham xohlamaysiz, shunday emasmi? Biz quvonishimiz mumkin: to'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq muammolarni hal qilish uchun siz quyidagi oddiy narsalarni to'ldirishingiz mumkin:
Nima uchun hamma narsa burchak bilan bog'liq? Burchak qayerda? Buni tushunish uchun siz 1 - 4 gaplarning so'zlarda qanday yozilishini bilishingiz kerak. Qarang, tushuning va eslang!
1.
Bu aslida shunday eshitiladi:
Burchak haqida nima deyish mumkin? Burchakka qarama-qarshi bo'lgan, ya'ni qarama-qarshi oyoq (burchak uchun) bormi? Albatta bor! Bu katet!
Ammo burchak haqida nima deyish mumkin? Yaqindan qarang. Qaysi oyoq burchakka ulashgan? Albatta, mushuk. Shunday qilib, burchak uchun oyoq qo'shni va
Va endi, diqqat! Qarang, bizda nima bor:
Bu qanchalik ajoyib ekanligini ko'ring:
Endi tangens va kotangensga o'tamiz.
Endi buni qanday qilib so'z bilan ifodalash mumkin? Burchakka nisbatan oyoq nima? Albatta, qarama-qarshi - burchakka qarama-qarshi "yotadi". Va katet? Burchakka ulashgan. Xo'sh, biz nima oldik?
Numerator va maxraj qanday teskari bo'lishini ko'rasizmi?
Va endi yana burchaklar va almashinuvni amalga oshirdi:
Xulosa
Keling, o'rganganlarimizni qisqacha yozamiz.
 |
Pifagor teoremasi: |
To'g'ri burchakli uchburchakning asosiy teoremasi Pifagor teoremasi.
Pifagor teoremasi
Aytgancha, oyoq va gipotenuzaning nima ekanligini yaxshi eslaysizmi? Agar yo'q bo'lsa, unda rasmga qarang - bilimingizni yangilang
Ehtimol, siz Pifagor teoremasidan ko'p marta foydalangansiz, lekin nima uchun bunday teorema to'g'ri ekanligi haqida hech o'ylab ko'rganmisiz? Buni qanday isbotlagan bo'lardingiz? Qadimgi yunonlar kabi qilaylik. Keling, bir tomoni bilan kvadrat chizamiz.
Ko'ryapsizmi, biz uning tomonlarini qanday qilib ayyorlik bilan uzunlikdagi segmentlarga ajratganimizni va!
Endi belgilangan nuqtalarni bog'laymiz
Bu erda biz yana bir narsani ta'kidladik, lekin siz o'zingiz rasmga qaraysiz va nima uchun o'ylaysiz.
Kattaroq kvadratning maydoni qancha? To'g'ri, . Kichikroq maydon haqida nima deyish mumkin? Albatta, . To'rt burchakning umumiy maydoni qoladi. Tasavvur qiling-a, biz ulardan ikkitasini oldik va gipotenuslar bilan bir-biriga suyanib qoldik. Nima bo'ldi? Ikki to'rtburchak. Shunday qilib, "kesish" maydoni teng.
Keling, hozir hammasini birlashtiramiz.
Keling, aylantiramiz:
Shunday qilib, biz Pifagorga tashrif buyurdik - biz uning teoremasini qadimgi usulda isbotladik.
To'g'ri uchburchak va trigonometriya
To'g'ri burchakli uchburchak uchun quyidagi munosabatlar amal qiladi:
O'tkir burchakning sinusi qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng
O'tkir burchakning kosinusu qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng.
O'tkir burchakning tangensi qarama-qarshi oyoqning qo'shni oyoqqa nisbatiga teng.
O'tkir burchakning kotangensi qo'shni oyoqning qarama-qarshi oyoqqa nisbatiga teng.
Va yana bir bor, bularning barchasi plastinka shaklida:
Bu juda qulay!
To'g'ri burchakli uchburchaklar tenglik belgilari
I. Ikki oyoqda
II. Oyoq va gipotenuza bilan
III. Gipotenuza va o'tkir burchak bilan
IV. Oyoq va o'tkir burchak bo'ylab
a) 
b) 
Diqqat! Bu erda oyoqlarning "tegishli" bo'lishi juda muhimdir. Masalan, agar u shunday bo'lsa:
SHUNDA UCHBURCHAKLAR TENG EMAS, ular bir xil o'tkir burchakka ega bo'lishiga qaramay.
Kerak ikkala uchburchakda oyoq qo'shni yoki ikkalasida - qarama-qarshi edi.
To'g'ri burchakli uchburchaklarning tenglik belgilari uchburchaklar tengligining odatiy belgilaridan qanday farq qilishini payqadingizmi? Mavzuni ko'rib chiqing va "oddiy" uchburchaklarning tengligi uchun ularning uchta elementining tengligi kerakligiga e'tibor bering: ikki tomon va ular orasidagi burchak, ikkita burchak va ular orasidagi tomon yoki uch tomon. Ammo to'g'ri burchakli uchburchaklarning tengligi uchun faqat ikkita mos keladigan element etarli. Bu ajoyib, to'g'rimi?
To'g'ri uchburchaklarning o'xshashlik belgilari bilan taxminan bir xil holat.
To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari
I. O'tkir burchak
II. Ikki oyoqda
III. Oyoq va gipotenuza bilan
To'g'ri uchburchakdagi median
Nega bunday?
To'g'ri uchburchak o'rniga butun to'rtburchakni ko'rib chiqing.
Keling, diagonal chizamiz va nuqtani ko'rib chiqamiz - diagonallarning kesishish nuqtasi. To'rtburchakning diagonallari haqida nimalarni bilasiz?
Va bundan nima kelib chiqadi?
Shunday bo'ldi
- - median:
Bu haqiqatni eslang! Ko'p yordam beradi!
Bundan ham ajablanarlisi shundaki, buning aksi ham haqiqatdir.
Gipotenuzaga chizilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng bo'lishidan qanday foyda olish mumkin? Keling, rasmga qaraylik
Yaqindan qarang. Bizda: , ya'ni nuqtadan uchburchakning barcha uch uchlarigacha bo'lgan masofalar teng bo'lib chiqdi. Ammo uchburchakda faqat bitta nuqta mavjud bo'lib, uchburchakning barcha uchta uchlari teng bo'lgan masofalar va bu tasvirlangan AYLANMA MARKAZI. Xo'sh, nima bo'ldi?
Shunday qilib, keling, "bundan tashqari ..." bilan boshlaylik.
Keling, i ni ko'rib chiqaylik.
Ammo shunga o'xshash uchburchaklarda barcha burchaklar tengdir!
va haqida ham shunday deyish mumkin
Endi uni birga chizamiz:
Ushbu "uchlik" o'xshashlikdan qanday foydalanish mumkin.
Xo'sh, masalan - to'g'ri burchakli uchburchakning balandligi uchun ikkita formula.
Tegishli tomonlarning munosabatlarini yozamiz:
Balandlikni topish uchun biz proporsiyani echamiz va olamiz birinchi formula "To'g'ri burchakli uchburchakdagi balandlik":
Shunday qilib, o'xshashlikni qo'llaymiz: .
Endi nima bo'ladi?
Yana proporsiyani yechib, ikkinchi formulani olamiz:
Ushbu ikkala formulani ham juda yaxshi eslab qolish kerak va ulardan foydalanish qulayroqdir. Keling, ularni yana yozamiz.
Pifagor teoremasi:
To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng:.
To'g'ri burchakli uchburchaklar tengligining belgilari:
- ikki oyoqda:
- oyoq va gipotenuz bo'ylab: yoki
- oyoq va qo'shni o'tkir burchak bo'ylab: yoki
- oyoq bo'ylab va qarama-qarshi o'tkir burchak: yoki
- gipotenuza va o'tkir burchak bilan: yoki.
To'g'ri burchakli uchburchaklarning o'xshashlik belgilari:
- bitta o'tkir burchak: yoki
- ikki oyoqning mutanosibligidan:
- oyoq va gipotenuzaning proportsionalligidan: yoki.
To'g'ri burchakli uchburchakda sinus, kosinus, tangens, kotangens
- To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining sinusi qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbati:
- To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining kosinusu qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati:
- To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining tangensi qarama-qarshi oyoqning qo'shnisiga nisbati:
- To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagining kotangensi qo'shni oyoqning qarama-qarshi qismiga nisbati:.
To'g'ri burchakli uchburchakning balandligi: yoki.
To'g'ri burchakli uchburchakda to'g'ri burchakning tepasidan chizilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng: .
To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni:
- kateterlar orqali:
Sinus asosiy trigonometrik funktsiyalardan biri bo'lib, uni qo'llash faqat geometriya bilan cheklanmaydi. Muhandislik kalkulyatorlari kabi trigonometrik funktsiyalarni hisoblash uchun jadvallar har doim ham qo'lda emas va sinusni hisoblash ba'zan turli muammolarni hal qilish uchun kerak bo'ladi. Umuman olganda, sinusni hisoblash chizish ko'nikmalarini va trigonometrik identifikatsiyalar haqidagi bilimlarni mustahkamlashga yordam beradi.
Ruler va qalam o'yinlari
Oddiy vazifa: qog'ozga chizilgan burchakning sinusini qanday topish mumkin? Yechish uchun sizga oddiy o'lchagich, uchburchak (yoki kompas) va qalam kerak. Burchakning sinusini hisoblashning eng oddiy usuli - bu to'g'ri burchakli uchburchakning uzoq oyog'ini uzun tomoni - gipotenuzaga bo'lish. Shunday qilib, birinchi navbatda burchakning tepasidan ixtiyoriy masofada nurlardan biriga perpendikulyar chiziq chizish orqali to'g'ri burchakli uchburchak shakliga o'tkir burchakni yakunlashingiz kerak. To'liq 90 ° burchakni kuzatish kerak bo'ladi, buning uchun bizga ruhoniy uchburchak kerak bo'ladi.
Kompasdan foydalanish biroz aniqroq, ammo ko'proq vaqt talab etadi. Nurlardan birida siz ma'lum masofada 2 nuqtani belgilashingiz kerak, kompasga taxminan nuqtalar orasidagi masofaga teng radiusni o'rnatishingiz va bu chiziqlar kesishmaguncha bu nuqtalarda markazlari bilan yarim doira chizishingiz kerak. Bizning doiralarimizning kesishish nuqtalarini bir-biri bilan bog'lab, biz burchagimizning nuriga qat'iy perpendikulyar olamiz, faqat chiziqni boshqa nur bilan kesishmaguncha uzaytirish qoladi.
Olingan uchburchakda burchakka qarama-qarshi tomonni va nurlarning birida uzun tomonni o'lchagich bilan o'lchashingiz kerak. Birinchi o'lchovning ikkinchisiga nisbati o'tkir burchakning sinusining kerakli qiymati bo'ladi.
90° dan katta burchak uchun sinusni toping
To'g'ri burchak uchun vazifa unchalik qiyin emas. Bizni qiziqtirgan burchak nurlaridan biri bilan toʻgʻri chiziq hosil qilish uchun chizgʻich yordamida tepadan qarama-qarshi yoʻnalishdagi nurni chizish kerak. Olingan o'tkir burchak bilan siz yuqorida ta'riflanganidek harakat qilishingiz kerak, qo'shni burchaklarning sinuslari birgalikda 180 ° rivojlangan burchakni tashkil qiladi.
Boshqa trigonometrik funktsiyalardan sinusni hisoblash
Bundan tashqari, sinusni hisoblash, agar burchakning boshqa trigonometrik funktsiyalarining qiymatlari yoki hech bo'lmaganda uchburchak tomonlari uzunligi ma'lum bo'lsa, mumkin. Bunda bizga trigonometrik identifikatsiyalar yordam beradi. Keling, umumiy misollarni ko'rib chiqaylik.
Burchakning ma'lum kosinusi bo'lgan sinusni qanday topish mumkin? Pifagor teoremasidan kelib chiqqan birinchi trigonometrik o'ziga xoslik, bir xil burchakdagi sinus va kosinus kvadratlarining yig'indisi birga teng ekanligini aytadi.
Burchakning ma'lum tangensi bo'lgan sinusni qanday topish mumkin? Tangens uzoq oyoqni yaqinga bo'lish yoki sinusni kosinusga bo'lish yo'li bilan olinadi. Shunday qilib, sinus kosinus va tangensning mahsuloti bo'ladi va sinusning kvadrati bu mahsulotning kvadrati bo'ladi. Biz birinchi trigonometrik identifikatsiyaga ko'ra kvadrat kosinusni birlik va kvadrat sinus o'rtasidagi farq bilan almashtiramiz va oddiy manipulyatsiyalar orqali biz teginish orqali kvadrat sinusni hisoblash uchun tenglamani keltiramiz, sinusni hisoblash uchun siz mos ravishda sinusni hisoblashingiz kerak bo'ladi. olingan natijadan ildizni chiqarib oling.
Burchakning ma'lum kotangensi bo'lgan sinusni qanday topish mumkin? Kotangensning qiymatini oyoq burchagidan yaqinining uzunligini uzoqning uzunligiga bo'lish yo'li bilan hisoblash mumkin, shuningdek, kotangensni sinusga bo'lish mumkin, ya'ni kotangent tangensning teskari funktsiyasidir. 1 raqamiga nisbatan. Sinusni hisoblash uchun tg a \u003d 1 / ctg a formulasidan foydalanib tangensni hisoblashingiz va ikkinchi variantdagi formuladan foydalanishingiz mumkin. Bundan tashqari, tangensga o'xshash to'g'ridan-to'g'ri formulani olishingiz mumkin, bu shunday ko'rinadi.
Uchburchakning uch tomonining sinusini qanday topish mumkin
Qarama-qarshi burchak kosinusining trigonometrik funksiyasidan foydalangan holda ikkita ma'lum tomoni berilgan to'g'ri burchakli uchburchak emas, balki har qanday uchburchakning noma'lum tomonining uzunligini topish uchun formula mavjud. U shunday ko'rinadi.
Trigonometriya - trigonometrik funktsiyalarni va ularning geometriyada qo'llanilishini o'rganadigan matematikaning bo'limi. Trigonometriyaning rivojlanishi qadimgi Yunoniston davrida boshlangan. O'rta asrlarda bu fanning rivojlanishiga Yaqin Sharq va Hindiston olimlari muhim hissa qo'shdilar.
Ushbu maqola trigonometriyaning asosiy tushunchalari va ta'riflariga bag'ishlangan. Unda asosiy trigonometrik funktsiyalarning ta'riflari muhokama qilinadi: sinus, kosinus, tangens va kotangens. Ularning geometriya kontekstidagi ma'nosi tushuntiriladi va tasvirlangan.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Dastlab, argumenti burchak bo'lgan trigonometrik funktsiyalarning ta'riflari to'g'ri burchakli uchburchak tomonlari nisbati orqali ifodalangan.
Trigonometrik funksiyalarning ta’riflari
Burchakning sinusi (sin a) - bu burchakka qarama-qarshi bo'lgan oyoqning gipotenuzaga nisbati.
Burchakning kosinusu (cos a) qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati.
Burchakning tangensi (t g a) qarama-qarshi oyoqning qo'shnisiga nisbati.
Burchakning kotangensi (c t g a) qo'shni oyoqning qarama-qarshisiga nisbati.
Bu ta'riflar to'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchagi uchun berilgan!
Keling, misol keltiraylik.
To'g'ri burchakli C burchakli ABC uchburchakda A burchakning sinusi BC oyoqning AB gipotenuzasiga nisbatiga teng.
Sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'riflari ushbu funktsiyalarning qiymatlarini uchburchak tomonlarining ma'lum uzunliklaridan hisoblash imkonini beradi.
Esda tutish muhim!
Sinus va kosinus qiymatlari diapazoni: -1 dan 1 gacha. Boshqacha qilib aytganda, sinus va kosinus -1 dan 1 gacha qiymatlarni oladi. Tangens va kotangens qiymatlari diapazoni butun son chizig'idir, ya'ni bular funksiyalar har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin.
Yuqorida keltirilgan ta'riflar o'tkir burchaklarga tegishli. Trigonometriyada burilish burchagi tushunchasi kiritiladi, uning qiymati o'tkir burchakdan farqli o'laroq, 0 dan 90 gradusgacha bo'lgan ramkalar bilan cheklanmaydi.Aylanish burchagi gradus yoki radiandagi har qanday haqiqiy son bilan ifodalanadi - ∞ dan + ∞ gacha.
Shu nuqtai nazardan, ixtiyoriy kattalikdagi burchakning sinusini, kosinusini, tangensini va kotangensini aniqlash mumkin. Dekart koordinata tizimining kelib chiqishida joylashgan birlik doirani tasavvur qiling.
Koordinatalari (1 , 0) bo'lgan A boshlang'ich nuqtasi birlik aylana markazi atrofida qandaydir a burchak bilan aylanadi va A 1 nuqtaga boradi. Ta'rif A 1 (x, y) nuqtaning koordinatalari orqali beriladi.
Aylanish burchagining sinus (sin).
Aylanish burchagi a sinusi A 1 nuqtaning ordinatasi (x, y). sina = y
Aylanish burchagining kosinusu (cos).
Burilish burchagining kosinusu a A nuqtaning abssissasi (x, y). cos a = x
Aylanish burchagining tangensi (tg).
A burilish burchagi tangensi A 1 (x, y) nuqta ordinatasining uning abssissasiga nisbati hisoblanadi. t g a = y x
Aylanish burchagining kotangenti (ctg).
A burilish burchagining kotangensi A 1 (x, y) nuqta abtsissasining uning ordinatasiga nisbati hisoblanadi. c t g a = x y
Har qanday aylanish burchagi uchun sinus va kosinus aniqlanadi. Bu mantiqan to'g'ri, chunki aylanishdan keyin nuqtaning abscissa va ordinatasi istalgan burchakda aniqlanishi mumkin. Tangens va kotangens bilan vaziyat boshqacha. Aylanishdan keyingi nuqta nol abscissa (0 , 1) va (0 , - 1) nuqtaga oʻtganda tangens aniqlanmaydi. Bunday hollarda t g a = y x tangensi ifodasi oddiygina ma'noga ega emas, chunki u nolga bo'linishni o'z ichiga oladi. Vaziyat kotangent bilan o'xshash. Farqi shundaki, nuqta ordinatasi yo'qolgan hollarda kotangent aniqlanmaydi.
Esda tutish muhim!
Har qanday a burchak uchun sinus va kosinus aniqlanadi.
Tangens a = 90° + 180° k , k ∈ Z (a = p 2 + p k , k ∈ Z) dan tashqari barcha burchaklar uchun aniqlanadi.
Kotangent a = 180° k, k ∈ Z (a = p k, k ∈ Z) dan tashqari barcha burchaklar uchun aniqlanadi.
Amaliy misollarni yechishda “aylanish burchagi sinusi a” demang. "Aylanish burchagi" so'zlari shunchaki olib tashlandi, bu kontekstdan nima xavf ostida ekanligi allaqachon aniq ekanligini anglatadi.
Raqamlar
Sonning burilish burchagi emas, balki sinus, kosinus, tangens va kotangens ta'rifi haqida nima deyish mumkin?
Sonning sinus, kosinus, tangensi, kotangensi
Sonning sinus, kosinus, tangensi va kotangensi t dagi sinus, kosinus, tangens va kotangensga teng bo'lgan son chaqiriladi t radian.
Masalan, 10 p sinusi 10 p rad aylanish burchagi sinusiga teng.
Sonning sinus, kosinus, tangensi va kotangensini aniqlashda yana bir yondashuv mavjud. Keling, buni batafsil ko'rib chiqaylik.
Har qanday haqiqiy raqam t to'rtburchaklar Dekart koordinata sistemasining boshidagi markaz bilan birlik doiradagi nuqta mos keladi. Bu nuqtaning koordinatalari bo'yicha sinus, kosinus, tangens va kotangens aniqlanadi.
Doiradagi boshlang'ich nuqta koordinatali (1 , 0) A nuqtadir.
ijobiy raqam t
Salbiy raqam t aylana bo'ylab soat sohasi farqli ravishda harakatlansa va t yo'lidan o'tsa, boshlang'ich nuqtasi harakatlanadigan nuqtaga to'g'ri keladi.
Aylanadagi son va nuqta o'rtasidagi bog'lanish o'rnatilgandan so'ng, biz sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'rifiga o'tamiz.
t sonining sinus (sin).
Raqamning sinusi t- songa mos keladigan birlik aylana nuqtasining ordinatasi t. sin t = y
Kosinus (cos) t
Sonning kosinusu t- songa mos keladigan birlik aylana nuqtasining abssissasi t. cos t = x
Tangensi (tg) t
Sonning tangensi t- ordinataning songa mos keladigan birlik doira nuqtasining abssissasiga nisbati t. t g t = y x = sin t cos t
Oxirgi ta'riflar ushbu bo'limning boshida berilgan ta'rifga mos keladi va unga zid kelmaydi. Raqamga mos keladigan aylanaga ishora qiling t, burchakdan burilgandan keyin boshlang'ich nuqtasi o'tadigan nuqtaga to'g'ri keladi t radian.
Burchak va son argumentning trigonometrik funktsiyalari
Burchakning har bir qiymati a bu burchakning sinusi va kosinusining ma'lum bir qiymatiga mos keladi. Xuddi a = 90 ° + 180 ° · k dan boshqa barcha burchaklar kabi k ∈ Z (a = p 2 + p · k, k ∈ Z) tangensning ma'lum bir qiymatiga mos keladi. Kotangent, yuqorida aytib o'tilganidek, a = 180 ° k, k ∈ Z (a = p k, k ∈ Z) dan tashqari barcha a uchun aniqlanadi.
Aytishimiz mumkinki, sin a, cos a, t g a, c t g a alfa burchakning funksiyalari yoki burchak argumentining funksiyalaridir.
Xuddi shunday, sonli argumentning funktsiyalari sifatida sinus, kosinus, tangens va kotangens haqida gapirish mumkin. Har bir haqiqiy raqam t sonning sinusi yoki kosinusining o'ziga xos qiymatiga mos keladi t. p 2 + p · k , k ∈ Z dan boshqa barcha raqamlar tangens qiymatiga mos keladi. Kotangent p · k , k ∈ Z dan tashqari barcha sonlar uchun xuddi shunday aniqlanadi.
Trigonometriyaning asosiy funktsiyalari
Sinus, kosinus, tangens va kotangens asosiy trigonometrik funktsiyalardir.
Odatda kontekstdan trigonometrik funktsiyaning qaysi argumenti (burchak argumenti yoki raqamli argument) bilan shug'ullanayotganimiz aniq bo'ladi.
Keling, ta'riflarning eng boshida ma'lumotlarga qaytaylik va 0 dan 90 daraja oralig'ida joylashgan alfa burchagi. Sinus, kosinus, tangens va kotangensning trigonometrik taʼriflari toʻgʻri burchakli uchburchak tomonlari nisbatlaridan foydalangan holda berilgan geometrik taʼriflar bilan toʻliq mos keladi. Keling, ko'rsataylik.
To'rtburchaklar dekart koordinata tizimiga markazlashtirilgan birlik doirani oling. A (1, 0) boshlang'ich nuqtasini 90 gradusgacha burchakka aylantiramiz va hosil bo'lgan A 1 (x, y) nuqtadan x o'qiga perpendikulyar chizamiz. Olingan to'g'ri burchakli uchburchakda burchak A 1 O H burilish burchagi a ga, oyog'ining uzunligi O H A 1 nuqtaning abssissasiga teng (x, y) . Burchakning qarshisidagi oyoq uzunligi A 1 (x, y) nuqtaning ordinatasiga teng, gipotenuzaning uzunligi esa bir ga teng, chunki u birlik doirasining radiusi.
Geometriya ta'rifiga ko'ra, a burchakning sinusi qarama-qarshi oyoqning gipotenuzaga nisbatiga teng.
sin a \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y
Bu shuni anglatadiki, to'g'ri burchakli uchburchakdagi o'tkir burchak sinusini tomonlar nisbati orqali aniqlash, alfa 0 dan 90 gradusgacha bo'lgan oraliqda joylashgan aylanish burchagi sinusining ta'rifiga ekvivalentdir.
Xuddi shunday, ta'riflarning mosligini kosinus, tangens va kotangens uchun ko'rsatish mumkin.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing
