Mutaxassisligi: Amaliy matematika va informatika hamda Amaliy matematika va informatika

“Stokastik differensial tenglamalar va ularning qo‘llanilishi” fanining maqsadi: Tasodifiy jarayonlar nazariyasi sohasida bilim olish, talabalarni stokastik differensial tenglamalarni yechishning raqamli usullari bilan tanishtirish, tasodifiy sonlar generatorlari haqida tushunchaga ega bo‘lish va OpenMP muhiti yordamida dasturlarni parallellashtirish imkoniyatlarini o'rganish.

Kursda talabalar shovqin va tebranishlarni hisobga olgan holda kontsentrlangan va taqsimlangan tizimlarning nochiziqli dinamikasining amaliy masalalarini yechishda tasodifiy jarayonlar nazariyasi va parallel dasturlash ko'nikmalari sohasida olgan nazariy bilimlarini yanada qo'llashlari mumkinligi nazarda tutilgan.

Fanni o'zlashtirish natijasida talaba:

Biling:

– stoxastik dinamika masalalarini yechish uchun hisoblash matematikasining asosiy algoritmlari, ularni qo‘llash shartlari.

Imkoniyatiga ega bo'lish:

- stoxastik dinamikaning amaliy masalalarini hal qilish uchun zarur bo'lgan hisoblash algoritmlarini aniqlash va professional tarzda amalga oshirish, olingan natijalarni tahlil qilish;

– amaliy muammolarni hal qilish uchun dasturiy ta’minotni professional tarzda ishlab chiqish va ulardan foydalanish;

Amalga oshirilgan raqamli usullarning to'g'ri ishlashi uchun protseduralarni bajaring.

Shaxsiy:

– nochiziqli dinamikaning hisoblash usullari;

- zamonaviy instrumental hisoblash vositalari.

Mavzu 1. Shovqin manbalari bo'lgan biriktirilgan dinamik tizimlar uchun hisoblash usullari.

Mavzu 2. Shovqin manbalari bilan avtonom bo'lmagan dinamik tizimlarni sonli o'rganish.

Mavzu 3. Shovqin manbalari bilan taqsimlangan tizimlarni raqamli o'rganish.

Quyidagi mavzular bo‘yicha amaliy topshiriqlarni bajarish

• "Tasodifiy sonlar generatorlarining xususiyatlarini o'rganish"
• "OpenMP muhitida parallellashtirish"
• "Jozefson birikmasining ehtimollik va vaqtinchalik xususiyatlarini raqamli modellashtirish"
• "Nochiziqli tizimlarning generatsiya xususiyatlaridagi o'zgarishlarning shovqin ta'siri (rezonans faollashuvi, kogerent va stokastik rezonans, shovqin tufayli javob vaqtining oshishi)"

Adabiyot

a) asosiy adabiyotlar:

1. A.N. Malaxov, Gauss bo'lmagan tasodifiy jarayonlarning kumulyant tahlili va ularning o'zgarishi, Moskva, Sovet radiosi, 1978).
2. K.V. Gardiner, tabiiy fanlarda stoxastik usullar, Moskva, Mir, 1986 yil.
3. IN VA. Tixonov, M.A. Mironov, Markov jarayonlari, Moskva, Sovet radiosi, 1977 yil.
4. L.A. Pontryagin, A.A. Andronov, A.A. Witt, Dinamik tizimlarni statistik ko'rib chiqish to'g'risida, Eksperimental va nazariy fizika jurnali. - 1933. - T. 3, No 3. - B. 165-180.
5. A.N. Malaxov, O'z-o'zidan tebranuvchi tizimlardagi dalgalanmalar, M.: Nauka, 1968, s. 660.

b) qo'shimcha adabiyotlar:

1. A.N. Malaxov, A.L. Pankratov, ehtimollar taqsimoti va o'rtacha evolyutsiya vaqtlari - Kramers muammosining aniq echimlari, Adv. Chem. Phys., 121, 357-438 (2002).

v) dasturiy ta'minot va Internet resurslari

http://www.df.unipi.it/~mannella/papers/algorithms/SDE_on_a_computer.pdf

OpenMP standartining tavsifi. http://parallel.ru/tech/tech_dev/openmp.html

Ko'pgina real tizimlarning xatti-harakatlari tebranishlarga duchor bo'ladi va bu ma'noda qat'iy deterministik qonunlar bilan tavsiflanmaydi. Misollar: Braun harakati, galvanometr igna tebranishlari, elektr zanjirlaridagi tebranishlar va boshqalar. Bunday hollarda biz gapiramiz. stokastik jarayonlar, unda muayyan aniq shartlarni amalga oshirish ehtimoli ko'rib chiqiladi. Bunday holda, tizimning xususiyatlarini aniqlaydigan tenglamalar tasodifiy o'zgaruvchilar uchun tenglamalarga aylanadi, ya'ni. stokastik tenglamalar.

Tasodifiy elementlarning tenglamaga kirish shakllariga ko'ra, stokastik differensial tenglamalarning uchta asosiy turi mavjud:

• 1) tasodifiy boshlang'ich shartlar;
• 2) tasodifiy ta'sir qiluvchi kuchlar;
• 3) tizim parametrlariga qarab tenglama koeffitsientlarining tasodifiy o'zgarishi.

Tasodifiy element faqat dastlabki shartlarning noaniqligi bilan aniqlanganda, qonunlar bilan aniqlangan zarrachalar harakati tenglamasi birinchi turdagi tenglamaning tipik misolidir.

Ikkinchi holda, tizimga ta'sir qiluvchi tasodifiy kuchni aniqlaydigan stokastik jarayon ko'rsatiladi. Oddiy misol - tasodifiy kuchlar ta'sirida zarraning Broun harakati.

Uchinchi holatda, tizim parametrlari tasodifiy o'zgaruvchilardir. Misol uchun, kondansatkichning sig'imi tasodifiy o'zgarib turadigan elektr davri.

Albatta, turli xil faol sabablarning kombinatsiyasi natijasida tasodifiy elementlar paydo bo'ladigan vaziyatlar mumkin. Ta'riflangan muammoni turli ehtimollik momentlarini batafsil tahlil qilmasdan ko'rsatish uchun misol sifatida birinchi tartibli stokastik tenglamani ko'rib chiqing:

tezlikka mutanosib ishqalanish kuchi ta'sirida klassik zarrachaning bir o'lchovli harakatini tavsiflaydi. v(t)> va funksiya tomonidan tasvirlangan ba'zi "tasodifiy" kuch u(t).

E'tibor bering, (1) tenglama rasmiy ravishda Nyutonning ikkinchi qonuniga o'xshaydi va bu ma'noda klassik zarrachaning mexanik harakati uchun "aniq" bo'lsa ham, aslida u modeldir, chunki u kuch uchun model ifodasini ishlatadi. doimiy muhitda harakatga qarshilik.

(1) tenglamaning formal yechimi shaklda yoziladi

ammo, funksiya xatti-harakatlarining tasodifiy, oldindan aytib bo'lmaydigan tabiati u(t) Bu tenglamani echishning odatiy usulini imkonsiz qiladi, bu (2) ifodaga kiritilgan integralni hisoblashni o'z ichiga oladi.

Muammoni yanada hal qilish uchun siz tasodifiy kuchni amalga oshirish ansamblini belgilashingiz kerak u(t) va ushbu ansambl bo'yicha (2) da ko'rsatilgan barcha miqdorlarning o'rtacha hisobini bajaring. O'rtacha qiymatlarni burchakli qavslar bilan belgilab, biz olamiz

Tasodifiy o'zgaruvchini amalga oshirishning eng oddiy ansambli "oq shovqin" deb ataladi, ular uchun quyidagi munosabatlar amal qiladi:

bu yerda 6(t) - Dirac 6-funktsiyasi. Munosabatlar (4) miqdorning mustaqil tasodifiy qiymatlariga mos keladi u(t) vaqtning turli nuqtalarida. "Oq shovqin" (4) holatida (3) tenglama ya'ni. zarrachaning o'rtacha tezligi eksponensial qonunga muvofiq vaqt o'tishi bilan kamayadi. Keling, (v 2 (f)) ni ko'rib chiqaylik. Tenglikni hisobga olgan holda

(2) va (4) dan foydalanib, biz olamiz

Intilish paytida / ->

ga teng qiymatga kT/t, Qayerda Kimga - Boltsman doimiysi; T - mutlaq harorat. Shunung uchun C/2a = kT/t, va munosabat (7) sifatida qayta yoziladi

Muvozanat amalda vaqt qiymatlarida o'rnatiladi / » 1 / A. Taxminan (4) Braun harakati kabi jarayonlarni tavsiflash uchun ishlatiladi, bunda yopishqoq ishqalanishning tezlikka bog'liq kuchi zarrachaga muhit ta'sirida tebranishlar bo'lmaganda ham mavjud bo'lganda, a u(t) sof tasodifiy kuchni tasvirlaydi.

Endi koordinatalarning vaqtga bog'liqligini ko'rib chiqing X Braun zarrasi. X(0) = 0 deb faraz qilsak, biz bor

Buning uchun biz quyidagi ifodani olamiz:

(2) va (4) munosabatlaridan foydalanish (( v(s)v(p)) bizda ... bor:

(4) va (8) munosabatlarni hisobga olgan holda, korrelyatsiya funktsiyasi (v(s)v(p)) ko'rinishini berish mumkin

shundan keyin (x 2 (/)) uchun biz bor

Zarrachaning kvadratik siljishining o'rtacha qiymatining ifodasi katta (/ » 1) bo'lgan ikkita cheklovchi holatda boshqacha bo'lib chiqadi. /A) va kichik (/ / A) marta (13) dan foydalanib topamiz

(14) dan kelib chiqadiki, uzoq vaqtlarda Broun zarrasi stokastik harakat qiladi. Aksincha, kichik vaqtlarda, (15) dan ko'rinib turibdiki, tizim "dinamik xatti-harakat" ni namoyon qiladi, garchi bu xatti-harakatlar alohida zarrachaga emas, balki ba'zi o'rtacha tasvirga mos keladi, chunki biz x 2 (/) haqida gapirmayapmiz. , lekin bu miqdorlarning o'rtacha qiymati haqida.

E'tibor bering, (14) va (15) formulalarga mos keladigan tizim evolyutsiyasining ketma-ket ikkita xarakterli bosqichi (1) tenglamadagi tezlikka proportsional tortish kuchidan foydalanganda paydo bo'ladi. Bunday kuchning o'zi ma'lum vaqt / s dan keyin o'rnatiladi, shundan so'ng tanlangan zarrachaning atrofdagi zarrachalar bilan o'zaro ta'siri natijasini qandaydir o'rtacha doimiy kuch sifatida ko'rsatish mumkin. Shuning uchun (15) munosabatda yozish to'g'riroq bo'ladi t c Ba'zida kamroq t c, tanlangan zarrachaning harakati sof dinamik tasvirlangan. Qabul qilingan yondashuvda t c Fenomenologik parametr sifatida aniq ishlaydi, uni faqat batafsilroq model doirasida baholash yoki hisoblash mumkin.

Stokastik tizimlarning tavsifiga va xususan, Broun harakatining tavsifiga umumiy yondashuv bilan p(x 0, / 0 |x, r) taqsimot funktsiyalari g'oyasi kiritiladi, bu esa ehtimollikni aniqlaydi. oraliqda Broun zarrachasini aniqlash (x, x + dx) at moment /, sharti bilan / 0 u nuqtada edi Xq. (Soddalik uchun yana bir o'lchovli harakat ko'rib chiqiladi.) Tarqatish funktsiyasi normallashtirilgan deb hisoblanadi:

Bundan tashqari, bu funktsiya dastlabki shartni qondiradi, shuning uchun

Ketma-ket vaqt oralig'ida olingan o'tish ehtimoli mustaqil hisoblanadi, shuning uchun mahsulot

vaqt momentida zarrachani aniqlash ehtimoliga mos keladi t+dt hududda (x, x + dx), agar hozir / 0 u x 0 nuqtasida bo'lsa va ayni paytda / - (x", x" maydonida + dx"). Barcha oraliq davlatlar ustidan integratsiya X"/ vaqtida biz p(dso, / 0 |x,) ehtimolini olamiz. t + dt). Shunung uchun

Bu Smoluxovskiy tenglamasi (chiziqli bo'lmagan integral tenglama). U stoxastik tizimlar - parametrlari o'zgaruvchan dinamik tizimlarning xususiyatlarini ko'rib chiqishda keng qo'llaniladigan chiziqli differentsial Fokker-Plank tenglamasini olish uchun asos bo'lib xizmat qiladi. Ko'rib chiqishni uch o'lchovli holatga umumlashtirish ayniqsa qiyin emas va qisman differentsial tenglamalarga olib keladi.

Deb atalmish asosiy tenglama - boshqaruvchi tenglama

Bu nisbatda w, - tizimning xarakteristikalar to'plami bilan tavsiflangan holatda bo'lish ehtimoli / (agar biz jismoniy tizim haqida gapiradigan bo'lsak, kvant raqamlari), RU- davlatdan vaqt birligiga o'tish ehtimoli j bildirmoq /: RU> 0. Nazariy fizikada (19) tenglama Pauli kinetik muvozanat tenglamasi deb ataladi va ehtimollar w, o'z ko'rinishida statistik operatorning diagonal elementlari sifatida ko'rib chiqiladi.

Intuitiv mulohazalardan deyarli "ravshan" bo'lgan bu tenglamani juda qat'iy mulohazalar yordamida oqlash yoki boshqa tenglamalardan, masalan, hammaning qulog'i bilan tenglamasidan foydalanish mumkin. Haqiqatan ham, p(x", /| x, ehtimolligini tasavvur qilaylik, t+dt) sifatida

bu erda o'ng tomondagi birinchi had zarrachaning ichida qolish ehtimolini tavsiflaydi dt x nuqtada", ikkinchisi esa bir vaqtning o'zida kesib o'tish ehtimoli dt x nuqtaga. Normallashtirish shartini (16) hisobga olgan holda (20) munosabatni olish oson

(20) ni Smoluchovskiy tenglamasiga (18) qo'yib, (21) ni hisobga olgan holda, biz munosabatga erishamiz.

(22) munosabatdan to'g'ridan-to'g'ri differentsial tenglama kelib chiqadi

Bu (19) tenglamaga to'liq mos keladi.

Boshqaruv tenglamasi (19) ehtimollik taqsimotining normallashuvini saqlab qoladi va gevşeme tipidagi tenglama hisoblanadi: bu tenglama bilan tasvirlangan tizim vaqt o'tishi bilan ma'lum vaqtga bog'liq bo'lmagan statsionar holatga qaytarilmas tarzda bo'shashadi. O'tish ehtimoli uchun u yoki bu modelni tanlash /* bu tenglamadan turli xil stokastik jarayonlarni tavsiflash uchun foydalanishga imkon beradi. Xususan, Pauli tenglamasi, alohida holat sifatida, Boltsman kinetik tenglamasini va uning ba'zi kvant umumlashtirishlarini o'z ichiga oladi.

Ushbu tenglamani matematik o'rganish qulayligi uchun u holat vektori uchun matritsa shaklida qayta yoziladi. V w komponentlari bilan:

Bu erda A - elementlar bilan o'tish matritsasi

Haqiqiy o'tish ehtimoli uchun /* A matritsasi Hermitian, ya'ni. uning xos qiymatlari haqiqiy va xos vektorlari ortogonaldir. (24) tenglamaning formal yechimi shaklda yoziladi

Qayerda V( 0) dastlabki vaqtda holat vektori. A matritsaning germitiy xossasi (19) tenglamaning relaksatsiya xarakterini isbotlashni osonlashtiradi.

Vazifalar va mashqlar

• 1. Buni ko'rsating v(t),(2) formula bilan aniqlangan (1) tenglamaning yechimi.
• 2. (6) va (7) munosabatlarning haqiqiyligini isbotlang.
• 3. (12) munosabatni oling.
• 4. (x 2 (/)) uchun (13) formulani oling.
• 5. (13) dan foydalanib, (14) va (15) munosabatlarini isbotlang.
• 6. (5) va (9) munosabatlaridan foydalanib, (*(/)) qiymatni toping va natijani ikkita cheklovchi holatda tahlil qiling: at va I/»1. (14) va (15) munosabatlar bilan solishtiring.
• 7. (22) munosabatni oling.

Dastur

"Stokastik differensial tenglamalar" kursi

o'qituvchi A.V. Bulinskiy

(Oliy matematika kafedrasi, MIPT)

Ba'zi vazifalar , oddiy differensial tenglamalarning stokastik analoglariga olib keladi (fizika, muhandislik, biologiya va moliyaviy matematikadan kelib chiqadigan stokastik modellar).

Yordamchi matematik apparat. Shartli matematik kutish va uning xossalari (chiziqlilik, "teleskoplash", Jensen tengsizligi va boshqalar). Filtrlangan ehtimollik bo'shliqlari. To'xtash momentlari, ularning xossalari, misollar. Diskret va uzluksiz vaqtga ega bo'lgan Martingales, submartingales, supermartingales. Asosiy tengsizliklar. Konvergentsiya teoremalari. Mahalliy martingallar va yarim martingallar. Doob-Meyer parchalanishi. Uzluksiz va kvadratik integrallanuvchi martingallar.

Braun harakati (Wiener jarayoni), uning turli dizaynlari. Traektoriyalarning xatti-harakati: bir ehtimollik bilan farqlanmaslik, mahalliy maksimal, o'sish nuqtalari. Braun oilasi. Broun harakatining (oilasi) Markovian va qat'iy Markovian xususiyatlarining variantlari. Chegaraviy masalalarni yechish uchun qo‘llanmalar (Dirikle masalasi). Feynman-Katz formulasi. Braun harakatining mahalliy vaqti, qo'shimcha funktsiyalari. Braun vektor harakati. Bessel jarayonlari. Fraktal Braun harakati.

Stokastik hisob. Itô integralining tuzilishi, integralning xossalari (jumladan, o'zgaruvchan yuqori chegaraga ega Itô integralining martingal tabiati). Stratonovich integrali. Ikki turdagi stokastik integral o'rtasidagi munosabat. Semimartingale ustidan integratsiya. O'zgaruvchilarni o'zgartirish uchun Ito formulasi va uning keyingi umumlashtirishlari. Misollar.

Stokastik differensial tenglamalar. Kuchli va zaif echimlar. Yechimlarning mavjudligi va o'ziga xosligi muammolari (kuchli va zaif shaklda). Skorokhod, Yatamada va Vatanabe natijalari. Langevin tenglamasining yechimi. Ornshteyn-Ulenbek jarayoni. Stokastik differensial tenglamaning kuchli yechimining Markov xossasi. Engelbert-Shmidt teoremasi. Kameron-Martin-Girsanov transformatsiyasi zaif echimlarni yaratish usuli sifatida. Struk-Varadan martingale muammosi, stokastik differensial tenglamalar bilan bog'liqlik. Diffuziya jarayonlarini o'rganishga turli yondashuvlar.

Stokastik differensial tenglamalarning qo'llanilishi. Filtrlash muammolari (Kalman-Bucy filtri). Optimal to'xtatish muammosi. Stokastik nazorat. Aksiya narxlarining diffuziya modeli: Bachelier modelidan Samuelson modeligacha. Variantlar, adolatli narx. Blek-Skoulz formulasi. Optimal investitsiyalar va iste'mol.

Qo'shimcha tadqiqotlar. Kvant stoxastik differensial tenglamalar tushunchasi va ochiq kvant sistemalarining Markov evolyutsiyasi. Stokastik qisman differensial tenglamalar masalalari. Stokastik differensial tenglamalarni sonli yechishning ba'zi usullari.

Adabiyot

1. Oksendal B. Stokastik differensial tenglamalar. MCMIO, 2002 yil.

2. Shiryaev A.N. Stokastik moliyaviy matematika asoslari, 1,2-jild. M: Faza, 1998 yil.

3. Jakod J., Shiryaev A.N. Tasodifiy jarayonlar uchun chegara teoremalari, j.1,2. M: Fizmatgiz, 1994 yil.

4. Bulinskiy A.V., Shiryaev A.N. Tasodifiy jarayonlar nazariyasi. M: Fizmatlit, 2003 yil.

5. Kallenberg O. Zamonaviy ehtimollik asoslari. Springer, Nyu-York, 1997 yil.

6. Karatzas I., Shreve S.E. Broun harakati va stokastik hisob. Springer, Nyu-York, 1997 yil.

7. Parthasarati K.R. Kvant stoxastik hisobiga kirish. Birxauzer, Bazel, 1992 yil.

Keling, birinchi tartibli dinamik tenglamaga (erkinlik darajasi 1/2 darajali tizim) qaytaylik, bunga misol sifatida o'z-o'zidan osilatorda kichik amplituda tebranishlar tenglamasi [birinchi formula (29.1)], ya'ni tenglama edi. shakldan

Xuddi shu tenglama bilan biz massa zarrasining yopishqoq ishqalanishli muhitda tezligi va bir o'lchovli harakati yoki bu zarrachaning siljishi s to'g'risida, lekin massadan mahrum va elastiklik koeffitsienti bo'lgan prujinaga bog'langan, yoki sig'im zanjiridagi kuchlanish V haqida yoki zanjirdagi tok I haqida va hokazo.

28-§da aytilganlarga muvofiq, biz dinamik tizimga (35.1) etarlicha "zich" (o'rnatish vaqtiga nisbatan) bir hil zarbalar ta'sir qilganda, javob doimiy bir hil bo'lishini kutamiz.

Eynshteyn-Fokker tenglamasini qanoatlantiradigan o'tish ehtimoli bilan Markov jarayoni

ya'ni (29.2) tenglama, lekin bir o'lchovli holatda, v ning ikkinchi o'zgaruvchiga bog'liqligi bo'lmaganda. 28-§da ko'rsatilgan usulga ko'ra, (35.2) koeffitsienti x ifodasiga teng, ya'ni (35.1) tenglamaning o'ng tomoni:

Dastlabki holatda

(35.2) tenglamaning yechimi normal qonun bilan ifodalanadi

[sm. (29.5) va (29.6)]. dagi chegarada, ya'ni t uchun formula (35.3) dan mustaqil statsionar taqsimotga aylanadi. Yopishqoq muhitdagi tezlik va zarrachalar masalasida, taqsimot Maksvell bo'lishi kerak bo'lganda:

Shunday qilib, yuqorida sanab o'tilgan qolgan masalalarda B uchun shunga o'xshash iboralarni yozish mumkin bo'lgan joydan - energiyaning erkinlik darajalari bo'yicha teng taqsimlanishi haqidagi teorema natijasida: erkinlik darajasi 1/2 bo'lgan tizimning o'rtacha energiyasi teng bo'lishi kerak. uchun (bu holda

Bu, dastlabki taxminlarga ko'ra, tebranishlar muammosini hal qilishning sof ehtimolli sxemasi. Endi biz hamma narsani boshqacha qilamiz. (35.1) tenglamaga tasodifiy (yoki tebranish) kuch kiritamiz:

Agar o'ziga xoslik uchun biz zarrachaning cheksiz yopishqoq muhitda harakati muammosini muhokama qilsak, unda biz harakat tenglamasi haqida gapiramiz.

bunda muhitning zarrachaga ta'siri ikki qismga bo'linadi: sistematik ishqalanish kuchi va tasodifiy kuch.

Tizimli ishqalanish kuchi Stoks qonuni bilan ifodalangan deb faraz qilamiz (radiusi a bo'lgan sharsimon zarracha uchun , suyuqlikning yopishqoqligi qayerda), biz ikkita taxmin qilamiz.

Birinchidan, zarracha atrofidagi laminar oqim sharti bajarilishi kerak, ya'ni Reynolds soni kichik:

suyuqlikning zichligi qayerda. Agar for va biz issiqlik harakatining o'rtacha kvadrat tezligining qiymatini olsak [va zarracha moddaning zichligi], ya'ni zarrachaning eng tez tebranishlarini hisobga olsak, u holda

Bizda molekulyar o'lchamlar uchun ham a qiymatini beradi Shunday qilib, laminarlik sharti bajariladi.

Ikkinchidan, Bussinetning fikricha, yopishqoq siqilmaydigan suyuqlikda harakatlanadigan to'pga ta'sir qiluvchi umumiy tizimli kuch tengdir,

qayerda qo'shilgan massa suyuqlik zarrasi bilan almashtirilgan massaning yarmiga teng. (35.6) tenglamada F umumiy kuchdan faqat birinchi had saqlanib qolgan. Ammo ikkinchi va uchinchi shartlar bir xil tartibda bo'lganda. Nisbatan, bu muhim emas, chunki bu atamaning roli faqat zarrachaning samarali massasining o'zgarishiga kamayadi. Eng muhimi, viskoz gidrodinamik keyingi ta'sirni ifodalovchi uchinchi atama (15 va 21-bandlarga qarang), hisobga olinganda tizim cheksiz miqdordagi erkinlik darajalariga ega bo'ladi.

Yopishqoq (va shuning uchun ehtimoliy) keyingi ta'sir mavjud bo'lganda, zarraning o'rtacha kvadrat siljishi V.V.Vladimirskiy va Ya.P.Terletskiy tomonidan topilgan. Odatiy ifoda faqat bo'shashish vaqti bilan solishtirganda etarlicha katta bo'lgan t vaqt oraliqlari uchun amal qiladi.Biz (35.5) tenglama asosidagi masalani soddalashtirilgan shakllantirish bilan cheklanamiz.

Biz bu stokastik tenglamani oddiy differensial tenglama kabi ko'rib chiqamiz.

Uni boshlang'ich sharoitda integratsiyalashgan holda biz olamiz

Chunki, taxminga ko'ra, tasodifiy kuchlar ansambli bo'yicha o'rtacha (35,7) beradi

ya'ni x uchun (35.1) tenglama va Eynshteyn-Fokker tenglamasi (35.2) dagi kabi dinamik qonun olinadi. Endi dispersiyani topamiz. (35.7) va (35.8) ga muvofiq

va shuning uchun uni olish uchun tasodifiy kuch korrelyatsiya funktsiyasini o'rnatish kerak. Siz uning shaklining umumiy cheklovlari bilan ruxsat etilgan har qanday korrelyatsiya funktsiyasini belgilashingiz mumkin, ammo biz maxsus faraz qilamiz, ya'ni -statsionar delta-korrelyatsiya jarayoni deb faraz qilamiz:

bu erda C doimiydir. E'tibor bering, bu kuch impulsi

mustaqil o'sishlar bilan uzluksiz tasodifiy funktsiyadir va shuning uchun har qanday t uchun normal taqsimlanadi (§ 34).

(35.10) ni (35.9) ga almashtirib, topamiz

(35.11)

Agar ni qo'ysak, bu Eynshteyn-Fokker tenglamasidan (35.2) olingan (35.4) ifodaga to'g'ri keladi.

Biz faqat lahzalarni topdik, lekin ko'proq gapirish mumkin. Impulsning o'sishi har qanday berilgan qiymat uchun normal taqsimlanganligi sababli, farq (35.7) ga ko'ra, normal taqsimlangan miqdorlarning yig'indisi (yoki aniqrog'i, yig'indining chegarasi). Demak, taqsimot dispersiya bilan Gauss qonuni bilan ham berilgan (35.11). Bu shartli taqsimot (agar ) oddiygina (35.3) bilan mos keladi. Bundan tashqari, to'g'ridan-to'g'ri almashtirish orqali ushbu turdagi shartli ehtimollar Smoluxovskiy tenglamasini (ular o'tish ehtimoli) qondirishini tekshirish oson, ya'ni jarayon Markovian bo'lib chiqadi. Shunday qilib, agar stokastik differensial tenglamada (35.5) tasodifiy kuch ) statsionar va delta-korrelyatsiya bo'lsa [qarang. (35.10)], u holda javob diffuziya Markov jarayoni bo'lib, uning o'tish ehtimoli Eynshteyn-Fokker tenglamasini qanoatlantiradi.

Har ikkala yondashuv - Eynshteyn-Fokker tenglamasiga asoslangan va tasodifiy funktsiya uchun stokastik differensial tenglamaga asoslangan - ko'rib chiqilayotgan masalada ekvivalent bo'lib chiqadi. Bu, albatta, ularning bu vazifadan tashqari bir xil ekanligini anglatmaydi. Eynshteyn-Fokker tenglamasi, masalan, tasodifiy funktsiyaning mumkin bo'lgan qiymatlari to'plamiga (aks ettiruvchi yoki yutuvchi devorlarning mavjudligi va boshqalar) ma'lum cheklovlar qo'yilgan hollarda, shubhasiz afzalliklarga ega. tegishli chegara shartlari. Langevinning muammoni shakllantirishda bunday cheklovlarni kiritish juda qiyin. Boshqa tomondan, allaqachon ta'kidlanganidek, Langevin usuli kuchning delta-korrelyatsiyasini talab qilmaydi.

Shuni ta'kidlash kerakki, aniq delta-korrelyatsiya qilingan kuchda (35.5) differentsial tenglama bilan ishlaydigan, ma'lum bir ma'noda shartli xususiyatga ega. Bu tenglama x uchun emas, balki oniy qiymat uchun yoziladi. Ammo cheksiz tez-tez uchraydigan zarbalar bilan javob farqlanadigan funktsiya emas, ya'ni u mavjud emas (hosil tushunchasining ehtimollik ma'nolarida). Shunday qilib, butun "differensial tenglama" faqat ma'lum bir ramziy ma'noga ega. Buni quyidagicha tushunish kerak.

(35.5) tenglamaning formal integrasiyasi (35.7) uchun yechimga olib keladi, u endi hech qanday muammo tug'dirmaydi, chunki u faqat integral ostida delta-korrelyatsiya qilingan dilani o'z ichiga oladi. Boshqacha qilib aytganda, (35.5) tenglama

bu (ko'rib chiqilayotgan delta-korrelyatsiya kuchida) bu tenglamaning keyingi yechimi uchun matematik jihatdan noto'g'ri belgi - allaqachon juda mazmunli va oxir-oqibat bizni qiziqtiradigan yagona narsa. Ushbu yondashuvni asoslash muammoni shakllantirishda differensial tenglamalar bilan ishlashning taniqli afzalliklari - umumiy dinamik qonunlardan chiqish qobiliyati, yechimni olish uchun barcha mavjud matematik vositalar arsenalidan foydalanish qobiliyati va boshqalardir. delta-korrelyatsiyasi bo'lmagan holda, hamma narsa rezervlashlar keraksiz bo'lib qolishi haqida gapirmasa ham bo'ladi: tasodifiy funktsiyalar uchun stokastik differensial tenglamalarning o'zlari keyin to'liq aniq matematik tarkibga ega bo'ladi va bundan tashqari, Markov jarayonlari sinfidan tashqariga chiqishga imkon beradi.

Korrelyatsiya funksiyasidagi doimiy C (35.10) tasodifiy zarbalarning intensivligini aniq tavsiflaydi. Keling, tizimning kuchi va reaktsiyasi energetik konjugatsiyaga ega bo'lgan o'zgaruvchilarga qaytaylik, ya'ni kuchning mahsuloti va javob hosilasi tizimga berilgan quvvatni ifodalaydi. Bu, masalan, (35.6) tenglamadagi kuch uchun to'g'ri, chunki zarrachaga o'tkazilgan quvvat ga teng. (35.6) tenglama (35.5) zarrachaning m massasiga bo'lingan holda (35.5) bo'ladi.Shunday qilib, (35.10) ga muvofiq mavjud kuchning korrelyatsiya funksiyasi teng bo'ladi.

Yuqorida biz Broun zarrasining tezligi masalasida nima va nima ekanligini aniqladik. Demak, kuch korrelyatsiyasi funksiyasidagi doimiy S ga teng

ya'ni u faqat sistematik ishqalanish koeffitsienti h bilan bog'liq. Zanjirdagi oqim masalasida biz tasodifiy termal (§ 28) va h R zanjirining faol qarshiligini tushunishimiz kerak, shuning uchun uchun korrelyatsiya doimiysi bo'ladi.

Anatoliy Afanasyevich LEVAKOV

STOXASTIK

DIFFERENTIAL

TENGLAMALAR

Levakov, A. A. Stoxastik differensial tenglamalar/

A. A. Levakov. Minsk: BSU, 2009. 231 p. ISBN 978-985-518-250-5.

IN Monografiyada tasodifiy jarayonlarni o‘rganishning asosiy vositalaridan biri bo‘lgan stoxastik differensial tenglamalar nazariyasi yoritilgan. Stokastik differensial tenglamalar nazariyasining uchta bo'limi ko'rib chiqiladi: mavjudlik teoremalari, barqarorlik nazariyasi va integratsiya usullari. Funktsional tahlil faktlari, ko'p qiymatli xaritalar nazariyasi va kitob taqdimoti asos bo'lgan tasodifiy jarayonlar keltirilgan.

Ehtimollar nazariyasi, differensial tenglamalar nazariyasi va ularni qo‘llash sohasi mutaxassislari, shuningdek, universitetlarning matematika fakultetlari o‘qituvchilari, aspirantlari va talabalari uchun.

Bibliografiya: 171 nom.

Belarus davlat universiteti tahririyat va nashriyot kengashining qarori bilan nashr etilgan

Taqrizchilar: Belarus Milliy Fanlar akademiyasining muxbir a'zosi,

fizika-matematika fanlari doktori, professor L. A. Yanovich; Fizika-matematika fanlari doktori, professor N. V. Lazakovich

ISBN 978-985-518-250-5

c Levakov A. A., 2009 yil

2.3. Stokastik differensial tenglamalarning b-zaif yechimlari uchun mavjudlik teoremasi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.4. Stokastik differentsial tenglamalar va inklyuziyalar uchun kuchli va zaif mavjudlik, traektoriya va zaif noyoblik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.5. Invariant to'plamlar. Stokastik differensial qo'shimchalarning hayotiy yechimlari uchun mavjudlik teoremasi. . . . . . . . . . . . 126

2.6. Chegaradan aks ettirilgan stokastik differensial tenglamalar yechimlari uchun mavjudlik teoremalari. . . . . . . . . . . 139

2.7. Bir o'lchovli stokastik differensial tenglamalar. . . . . . . . . 142

3-BOB. STOXASTIK DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR VA QO'SHILMALARGA ECHIMLARNING XUSUSIYATLARI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.1. Stokastik differensial tenglamalar yechimlarining boshlang'ich shartlarga bog'liqligi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.2. Lyapunov funksiyalari usulida stoxastik differensial tenglamalar barqarorligini o'rganish. . . . . . . . . 157

3.3. Stokastik differensial tenglamalarning barqarorligini nochiziqli yaqinlashish orqali o'rganish. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.4. Chiziqli stokastik differensial sistemalar yechimlarining o'rtacha kvadratida chegaralanganlik mezoni. . . . . . . . . . . . . . . 174

3.5. Oddiy differensial tenglama va buzilgan stokastik differensial tizimning o'rtacha kvadratidagi asimptotik ekvivalentlik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

3.6. Stokastik tizimlarning o'rtacha kvadrat xarakterli ko'rsatkichlari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

4-BOB. STOXASTIK DIFFERENTSIAL TIZIMLARNI INTEGRATSIYA QILISh USULLARI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4.1. Elementar stokastik differensial tizimlar. . . . . . . . . 188

4.2. Kolmogorov tenglamalari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

4.3. Shartli matematik taxminlar uchun differensial tenglamalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

MAVZU INDEKSI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

ASOSIY RIMLAR RO'YXATI

B(x0 , r)

C(R+, X)

metrik fazodagi shar (X, r) markazi r radiusning x0 nuqtasida, (x X | r(x, x0 ))< r}

A to‘plamini to‘ldiruvchi

transpozitsiyalangan matritsa

T topologik fazoning Borel s-algebrasi

A to'plamining qavariq korpusining yopilishi

X to'plamining barcha bo'sh bo'lmagan yopiq to'plamlari oilasi

X to'plamining barcha bo'sh bo'lmagan ixcham kichik to'plamlari oilasi

X to'plamining barcha bo'sh bo'lmagan ixcham qavariq kichik to'plamlari oilasi

da aniqlangan uzluksiz funksiyalar fazosi

bt (C(R+, X))

F([x]d)

d = coF ([x]d )

Lp(T,E)

Scc(X)

sub-s-algebra b(C(R+ , X)), f(s) tomonidan yaratilgan, 06 s6 t

F (x1 ) to‘plamlar birlashmasining barcha x1 bo‘yicha yopilishi, r(x, x1 )6 d

F ([x]d ) to'plamining qavariq korpusining yopilishi

integrallanuvchi ekvivalentlik sinflari fazosi

Bochner funktsiyalariga ko'ra f: T → E shundayki, kfkp =

T kf(t)kp dt< ∞

X to'plamining barcha kichik to'plamlari oilasi

X toʻplamining barcha yopiq qavariq kichik toʻplamlari oilasi

x tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi

tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti x

natural sonlar to'plami

haqiqiy sonlar to'plami

R d×r

d ij

d(a)

tr(A) (Ō, F, P)

1A(x)

SSDU p.v. p.n.

a b = min(a, b) a b = max(a, b) f g ha, bi kak

manfiy bo'lmagan haqiqiy sonlar to'plami e = (x X|r(x, A)6 e)

A to'plamining e-mahallasi

a¯(A, B) = sup(r(x, B)|x A)

Hausdorff yarim og'ish ko'p

B to'plamidan va A

a(A, B) = max(a¯(A, B), a¯(B, A))

A va B to'plamlarning Hausdorff og'ishi

KIRISH

Tabiiy shovqin sharoitida ishlaydigan haqiqiy ob'ektning xatti-harakati ma'lum bir noaniqlik bilan tavsiflanadi, bundan tashqari, murakkab tizimlar uchun boshqaruv tizimlari odatda xatti-harakatlarning noaniqligi bilan ajralib turadigan odamlarni o'z ichiga oladi. Deterministik yondashuvlardan foydalangan holda bunday tizimlarning tavsifi har doim ham ob'ekt faoliyatining haqiqiy rasmini aks ettirmaydi. Agar jarayonning modeli dx(t) = f(t, x(t)) dt differensial tenglama bo'lsa, u holda oq shovqin kabi interferentsiyani hisobga oladigan modelni olish uchun g(t) ko'rinishdagi termin. dW (t) differentsial tenglamaning o'ng tomoniga x(t)) qo'shiladi va stokastik differensial tenglamani ko'rib chiqing.

dx(t) = f(t, x(t)) dt + g(t, x(t)) dW (t)

yoki integral shaklda

bu yerda ikkinchi integral Braun harakati W(t) ustidan Itô integralidir. Stokastik integrallar va stokastik differensial tenglamalarning paydo bo'lishi va rivojlanishi S. N. Bernshteyn, K. Ito, I. I. Gixmanga borib taqaladi. Hozirgi vaqtda stokastik differensial tenglamalarga bag'ishlangan juda katta adabiyot mavjud bo'lib, ularning nazariyasi hozirgi vaqtda jadal rivojlanishda davom etmoqda. K.Ito birinchi bo‘lib Lipschitz f, g funksiyalari uchun (0.1) tenglama o‘ziga xos kuchli yechimga ega ekanligini ko‘rsatdi, biroq amaliy dasturlar uchun, ayniqsa, boshqariladigan tasodifiy jarayonlar nazariyasi uchun kuchsizroq sharoitda mavjudlik va yagonalik teoremalarini isbotlash muhim ahamiyatga ega. f va g xaritalardagi shartlar. A. V. Skoroxod yechimni mos Broun harakati bilan mos ehtimollik fazosida aniqlash mumkinligini tan olib, yangi “zaif yechim” tushunchasini kiritdi. Bu tenglama koeffitsientlarining uzluksizligi sharoitida yechimlar uchun mavjudlik teoremasini isbotlash imkonini berdi. Da

Isbotda Eylerning siniq chiziqlari analogi ishlatilgan, ammo hosil bo'lgan jarayonlar ketma-ketligidan konvergent quyi ketma-ketlikni tanlash mumkin emas. A. V. Skoroxod boshqa ehtimollik fazosiga va jarayonlarning boshqa ketma-ketligiga o'tishdan foydalangan holda, lekin bir xil taqsimot qonunlariga ega bo'lib, tenglama yechimiga yaqinlashuvchi jarayonlar ketma-ketligini tuzdi. Hozirgi vaqtda ushbu yondashuv mavjudlik teoremalarining aksariyatini isbotlash uchun qo'llaniladi. Keyingi muhim bosqich - N.V.Krylovning stokastik integrallarning taqsimoti bo'yicha hisob-kitoblarini olish va ulardan Borel o'lchanadigan f, g cheklangan stokastik differensial tenglamaning kuchsiz yechimlari uchun mavjudlik teoremasini isbotlashda foydalanish.

Va yagona bo'lmagan g matritsasi (n, l, l> gg> l> nkk). Bu teorema stokastik differensial tenglamalar va oddiy tizimlar o'rtasidagi sezilarli farqni ko'rsatadi. F o'lchanadigan funksiyali x˙ = f(t, x) tenglama, umuman olganda, yechimga ega emas. Keyinchalik, g matritsasi degenerativ bo'lmasligi sharti zaiflashdi. Ammo stokastik differensial tenglamalar yechimlari uchun mavjudlik teoremasi oddiy differensial tenglamalar uchun sirpanish rejimlariga o‘xshash yechimlarni qamrab olishi uchun, masalan, drift koeffitsienti f uzluksiz va diffuziya koeffitsienti g nolga teng bo‘lgan sirtdagi harakat, kabi o'tish kerak

Va oddiy differensial tenglamalar uchun mos keladigan stokastik differensial qo'shimchalarga. Sürgülü rejimlarni olish ko'pincha boshqaruvning maqsadi bo'lganligi sababli, ular tashqi ta'sirlarga zaif bog'liq bo'lganligi sababli, bunday echimlarning mavjudligi uchun teoremalarni isbotlash muhim vazifadir. Kitobda har xil turdagi stoxastik differensial tenglamalarning yechimlari mavjudligi masalalariga katta e'tibor berilgan.

Kuchsiz yechimlar tenglamalarning traektoriyalar fazosidagi oʻlchov bilan bogʻliq boʻlgan xossalarini oʻrganishda qoʻllaniladi, masalan, jarayonlarning barqarorligi, yechimlarning ehtimoliy koʻrinishi va boshqalar. Ammo traektoriyalarning oʻziga xos xususiyatini hisobga olish zarur boʻlsa, masalan, , diffuziya jarayonlarini boshqarish nazariyasida, filtrlash nazariyasida, keyin kuchli echimlarni ko'rib chiqing. Kuchli yechimlar uchun mavjudlik teoremalarini isbotlashda muhim rol o'ynaydi

Yamada Vatanabe printsipi shunday deydi: kuchli mavjudlik zaif echimlar va traektoriyaning o'ziga xosligi mavjudligidan kelib chiqadi. E'tibor bering, printsip turli vaziyatlarda qo'llaniladi: stokastik differensial tenglamalar uchun, chegaradan aks ettirilgan stokastik differensial tenglamalar uchun, stokastik differentsial qo'shimchalar uchun. Stokastik differensial tenglamalar yechimlarining mavjudligi va yagonaligi masalasini quyidagicha tasvirlash mumkin. Kuchsiz yechimlari bo'lmagan tenglamalar mavjud. Broun harakati mos keladigan ba'zi ehtimollik fazolarida zaif yechimlarga ega bo'lgan tenglamalar mavjud, boshqa Broun harakatlariga ega bo'lgan boshqa ehtimollik fazolarida esa yechim bo'lmasligi mumkin. Agar traektoriyaning yagonaligi sodir bo'lsa va tenglama zaif mavjudlik xususiyatiga ega bo'lsa, u holda har qanday Broun harakati bilan har qanday ehtimollik fazosida yagona yechim mavjud va u kuchli.

Kitob har qanday tenglama ekanligini ko'rsatadi

dx(t) = f(t, x(t))dt + g(t, x(t))dW (t)

Borel bilan o'lchanadigan mahalliy cheklangan funktsiyalar f, g zaif yechimga ega, ammo kuchsiz eritma deganda biz stokastik inklyuziyaning kuchsiz eritmasini nazarda tutamiz.

dx(t) F (t, x(t))dt + G(t, x(t))dW (t),

bu yerda F (t, x), G(t, x) f va g funksiyalariga mos keladigan ba'zi ko'p qiymatli xaritalardir.

Biz faqat Markov tipidagi diffuziya tenglamalarini ko'rib chiqamiz. Bunday tenglamalar uzoq vaqt davomida o'rganilgan. Biroq, filtratsiya nazariyasi va fizikasida stokastik qisman differentsial tenglamalar paydo bo'ladi, ular, qoida tariqasida, Hilbert yoki Banach fazosida stokastik tenglamalar sifatida talqin qilinishi mumkin. Ko'pgina iqtisodiy masalalarni o'rganishda tenglamalarni Broun harakati bo'yicha emas, balki ba'zi yarim martingallar bo'yicha ko'rib chiqish kerak. Hozirgi vaqtda Banax fazosida yarim martingallarga asoslangan stoxastik tenglamalar nazariyasi muvaffaqiyatli rivojlanmoqda va vaziyatning sezilarli darajada murakkablashishiga qaramay, ko'pchilik

chekli o'lchovli fazolardagi tenglamalar uchun usullar va g'oyalar tegishli o'zgartirishlar bilan Banax fazosida ishlashda davom etmoqda.

Birinchi bob funktsional tahlil, tasodifiy jarayonlar nazariyasi va dinamik tizimlar nazariyasidan olingan ma'lumotlarni taqdim etishga bag'ishlangan.

Va monografiyada foydalanilgan differentsial qo'shimchalar. Kitob asosan Amaliy matematika va informatika fakulteti talabalari uchun moʻljallangan. Belorussiya davlat universitetining mexanika-matematika fakulteti va ma'lumotlarning tavsiya etilgan versiyasi ushbu fakultetlarda o'qitiladigan fundamental matematika kurslari, shuningdek, stokastik differensial tenglamalar nazariyasi ehtiyojlari bilan belgilanadi. Albatta, ma'lumotlar to'plamini to'liq deb hisoblash mumkin emas.

IN ikkinchi bobning 2.1 2.4, 2.7-bandlarida stokastik differensial tenglamalar va qo'shilishlarning kuchsiz va kuchli yechimlari uchun mavjudlik teoremalari isbotlangan bo'lib, oddiy differensial tenglamalar uchun sirpanish rejim tipidagi yechimlarni ham qamrab oladi.

Agar tenglama ma'lum bir D mintaqasida ko'rib chiqilsa, traektoriyalar D chegarasiga yetganda, ularning keyingi davom etish imkoniyatlaridan biri bu chegaradan mintaqaga aks etishdir. Chegaradagi yechimga ta'sir stokastik tenglamada o'ziga xos drift sifatida ifodalanadi, ya'ni dx(t) = f(t, x(t))dt + g(t, x(t) tenglamasini ko'rib chiqamiz. )dW (t) + dK (t), bu erda K(t) cheklangan o'zgaruvchanlikning uzluksiz jarayoni bo'lib, faqat chegarada ortib boradi. Toʻgʻri chiziqdan aks ettirilgan diffuziya jarayonlari birinchi marta A. V. Skoroxod tomonidan oʻrganilgan. Skoroxod muammosini o'rganish

Va Ishlar uning stokastik differensial tenglamalarga qo'llanilishiga bag'ishlangan. Chegaradan aks ettirilgan stokastik differensial tenglamalarning kuchsiz yechimlari mavjudligini ta'minlaydigan eng umumiy shartlar (1.54-taklif) da keltirilgan. Asarlarda muammoning turli jihatlari ko'rib chiqildi. Chegaradan aks ettirilgan stokastik differensial qo'shimchalarning kuchsiz yechimlari uchun mavjudlik teoremasi 2.6-bo'limda o'rnatilgan.

Barcha t > 0 uchun berilgan K to‘plamga tegishli bo‘lgan yechimlar hayotiy deb ataladi. Birinchi shartlar beradi