Keling, bir qatorni ko'rib chiqaylik.

7 28 112 448 1792...

Uning biron bir elementining qiymati avvalgisidan to'liq to'rt baravar katta ekanligi mutlaqo aniq. Shunday qilib, bu seriya progressiv hisoblanadi.

Geometrik progressiya sonlarning cheksiz ketma-ketligi bo'lib, uning asosiy xususiyati keyingi son oldingisidan qandaydir o'ziga xos songa ko'paytirish orqali olinadi. Bu quyidagi formula bilan ifodalanadi.

a z +1 =a z q, bu erda z - tanlangan elementning soni.

Shunga ko'ra, z ∈ N.

Maktabda geometrik progressiya o'rganiladigan davr 9-sinf. Misollar tushunchani tushunishga yordam beradi:

0.25 0.125 0.0625...

Ushbu formulaga asoslanib, progressiyaning maxrajini quyidagicha topish mumkin:

q ham, b z ham nolga teng bo'lishi mumkin emas. Shuningdek, progressiyaning har bir elementi nolga teng bo'lmasligi kerak.

Shunga ko'ra, seriyadagi keyingi raqamni bilish uchun oxirgi raqamni q ga ko'paytirish kerak.

Ushbu progressiyani belgilash uchun siz uning birinchi elementi va maxrajini ko'rsatishingiz kerak. Shundan so'ng, keyingi shartlarning istalganini va ularning yig'indisini topish mumkin.

Turlari

q va a 1 ga qarab, bu progressiya bir necha turlarga bo'linadi:

• Agar 1 ham, q ham birdan katta bo‘lsa, bunday ketma-ketlik har bir keyingi element bilan ortib boruvchi geometrik progressiya hisoblanadi. Bunday misol quyida keltirilgan.

Misol: a 1 =3, q=2 - ikkala parametr ham birdan katta.

Keyin raqamli ketma-ketlikni quyidagicha yozish mumkin:

3 6 12 24 48 ...

• Agar |q| birdan kichik, ya'ni unga ko'paytirish bo'lish bilan teng bo'lsa, u holda sharti o'xshash bo'lgan progressiya kamayuvchi geometrik progressiya hisoblanadi. Bunday misol quyida keltirilgan.

Misol: a 1 =6, q=1/3 - a 1 birdan katta, q kichik.

Keyin raqamli ketma-ketlikni quyidagicha yozish mumkin:

6 2 2/3 ... - har qanday element undan keyingi elementdan 3 marta katta.

• Belgi o'zgaruvchan. Agar q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Misol: a 1 = -3 , q = -2 - ikkala parametr ham noldan kichik.

Keyin ketma-ketlikni quyidagicha yozish mumkin:

3, 6, -12, 24,...

Formulalar

Geometrik progressiyalardan qulay foydalanish uchun ko'plab formulalar mavjud:

• z-chi a'zoning formulasi. Oldingi raqamlarni hisoblamasdan, ma'lum bir raqam ostida elementni hisoblash imkonini beradi.

Misol:q = 3, a 1 = 4. Progressiyaning to'rtinchi elementini hisoblash talab qilinadi.

Yechim:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Raqami bo'lgan birinchi elementlarning yig'indisi z. gacha bo'lgan ketma-ketlikning barcha elementlari yig'indisini hisoblash imkonini beradia zinklyuziv.

beri (1-q) maxrajda bo‘lsa, u holda (1 - q)≠ 0, demak, q 1 ga teng emas.

Eslatma: agar q=1 bo'lsa, progressiya cheksiz takrorlanuvchi sonlar qatori bo'ladi.

Geometrik progressiya yig'indisi, misollar:a 1 = 2, q= -2. S 5 ni hisoblang.

Yechim:S 5 = 22 - formula bo'yicha hisoblash.

• Agar |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Misol:a 1 = 2 , q= 0,5. Miqdorini toping.

Yechim:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Ba'zi xususiyatlar:

• xarakterli xususiyat. Quyidagi shart bo'lsa har qanday uchun bajariladiz, u holda berilgan sonlar qatori geometrik progressiyadir:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Shuningdek, geometrik progressiyaning istalgan sonining kvadrati, agar ular ushbu elementdan teng masofada joylashgan bo'lsa, berilgan qatordagi boshqa ikkita raqamning kvadratlarini qo'shish orqali topiladi.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , qayerdatbu raqamlar orasidagi masofa.

• Elementlarq bilan farqlanadibir marta.
• Progressiya elementlarining logarifmlari ham progressiyani tashkil qiladi, lekin allaqachon arifmetik, ya'ni ularning har biri oldingisidan ma'lum songa kattaroqdir.

Ba'zi klassik muammolarga misollar

Geometrik progressiya nima ekanligini yaxshiroq tushunish uchun 9-sinf uchun yechim bilan misollar yordam beradi.

• Shartlar:a 1 = 3, a 3 = 48. Topingq.

Yechim: har bir keyingi element avvalgisidan kattaroqdirq bir marta.Ayrim elementlarni maxraj yordamida boshqalar orqali ifodalash kerak.

Demak,a 3 = q 2 · a 1

O'zgartirish paytidaq= 4

• Shartlar:a 2 = 6, a 3 = 12. S 6 ni hisoblang.

Yechim:Buning uchun birinchi element q ni topib, formulaga almashtirish kifoya.

a 3 = q· a 2 , shuning uchun,q= 2

a 2 = q a 1,Shunung uchun a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Progressiyaning to‘rtinchi elementini toping.

Yechish: buning uchun to‘rtinchi elementni birinchi va maxraj orqali ifodalash kifoya.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Ilova misoli:

• Bank mijozi 10 000 rubl miqdorida depozit qo'ydi, uning shartlariga ko'ra, mijoz har yili uning 6 foizini asosiy qarzga qo'shib qo'yadi. Hisobga 4 yildan keyin qancha pul tushadi?

Yechim: Dastlabki miqdor - 10 ming rubl. Shunday qilib, investitsiya qilinganidan bir yil o'tgach, hisob 10 000 + 10 000 ga teng miqdorga ega bo'ladi. · 0,06 = 10000 1,06

Shunga ko'ra, yana bir yildan keyin hisobvaraqdagi summa quyidagicha ifodalanadi:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Ya'ni, har yili bu miqdor 1,06 barobarga oshadi. Bu shuni anglatadiki, 4 yildan keyin hisobvaraqdagi mablag'lar miqdorini topish uchun birinchi element tomonidan berilgan progressiyaning to'rtinchi elementi 10 mingga, maxraj esa 1,06 ga teng.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Yig'indini hisoblash uchun topshiriqlarga misollar:

Turli masalalarda geometrik progressiya qo'llaniladi. Yig'indini topishga quyidagi misolni keltirish mumkin:

a 1 = 4, q= 2, hisoblangS5.

Yechim: hisoblash uchun zarur bo'lgan barcha ma'lumotlar ma'lum, ularni formulaga almashtirish kifoya.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Birinchi olti elementning yig'indisini hisoblang.

Yechim:

Geom. progressiya, har bir keyingi element oldingisidan q marta katta, ya'ni yig'indini hisoblash uchun siz elementni bilishingiz kerak.a 1 va maxrajq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Xuddi shunday, biz ham topishimiz keraka 1 , bilisha 2 vaq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "Son ketma-ketligi. Geometrik progressiya"

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, fikr-mulohazalaringizni, takliflaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar antivirus dasturi tomonidan tekshiriladi.

9-sinf uchun "Integral" onlayn-do'konida o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
Quvvatlar va ildizlar Funksiyalar va grafiklar

Bolalar, bugun biz progressiyaning yana bir turi bilan tanishamiz.
Bugungi darsimizning mavzusi geometrik progressiya.

Geometrik progressiya

Ta'rif. Har bir had ikkinchisidan boshlab oldingi va qandaydir qo'zg'almas sonning ko'paytmasiga teng bo'lgan sonli ketma-ketlik geometrik progressiya deb ataladi.
Ketma-ketlikni rekursiv aniqlaymiz: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
Bu erda b va q ma'lum berilgan raqamlardir. q soni progressiyaning maxraji deyiladi.

Misol. 1,2,4,8,16… Geometrik progressiya, bunda birinchi a’zo birga teng va $q=2$.

Misol. 8,8,8,8… Birinchi hadi sakkiz bo‘lgan geometrik progressiya,
va $q=1$.

Misol. 3,-3,3,-3,3... Birinchi hadi uchta bo‘lgan geometrik progressiya,
va $q=-1$.

Geometrik progressiya monotonlik xossalariga ega.
Agar $b_(1)>0$, $q>1$,
keyin ketma-ketlik ortib bormoqda.
Agar $b_(1)>0$, $0 Ketma-ketlik odatda quyidagicha belgilanadi: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Xuddi arifmetik progressiyadagi kabi, agar geometrik progressiyadagi elementlar soni chekli bo‘lsa, progressiya chekli geometrik progressiya deyiladi.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
E'tibor bering, agar ketma-ketlik geometrik progressiya bo'lsa, kvadrat hadlar ketma-ketligi ham geometrik progressiyadir. Ikkinchi ketma-ketlikda birinchi termin $b_(1)^2$ va maxraj $q^2$ mavjud.

Geometrik progressiyaning n-azosining formulasi

Geometrik progressiyani analitik shaklda ham ko'rsatish mumkin. Keling, buni qanday qilishni ko'rib chiqaylik:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Biz naqshni osongina ko'rishimiz mumkin: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Bizning formulamiz "geometrik progressiyaning n-azosining formulasi" deb ataladi.

Keling, misollarimizga qaytaylik.

Misol. 1,2,4,8,16… Birinchi hadi birga teng bo‘lgan geometrik progressiya,
va $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Misol. 16,8,4,2,1,1/2… Birinchi hadi oʻn olti va $q=\frac(1)(2)$ boʻlgan geometrik progressiya.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Misol. 8,8,8,8… Birinchi hadi sakkiz va $q=1$ boʻlgan geometrik progressiya.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Misol. 3,-3,3,-3,3… Birinchi hadi uch va $q=-1$ boʻlgan geometrik progressiya.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Misol. $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $ geometrik progressiya berilgan.
a) Ma'lumki, $b_(1)=6, q=3$. $b_(5)$ toping.
b) Ma'lumki, $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. n ni toping.
c) $q=-2, b_(6)=96$ ekanligi ma'lum. $b_(1)$ toping.
d) Ma'lumki, $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. q ni toping.

Yechim.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ beri $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Misol. Geometrik progressiyaning yettinchi va beshinchi a’zolarining ayirmasi 192 ga, progressiyaning beshinchi va oltinchi a’zolarining yig‘indisi 192 ga teng. Shu progressiyaning o‘ninchi a’zosini toping.

Yechim.
Biz bilamizki: $b_(7)-b_(5)=192$ va $b_(5)+b_(6)=192$.
Biz ham bilamiz: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Keyin:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Biz tenglamalar tizimini oldik:
$\begin(holatlar)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(holatlar)$.
Tenglash, bizning tenglamalarimiz:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Biz ikkita yechim oldik q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Ikkinchi tenglamani ketma-ket almashtiring:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ yechim yo'q.
Biz buni oldik: $b_(1)=4, q=2$.
O'ninchi hadni topamiz: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Cheklangan geometrik progressiya yig'indisi

Aytaylik, bizda chekli geometrik progressiya bor. Keling, arifmetik progressiya uchun ham uning a'zolari yig'indisini hisoblaylik.

Cheklangan geometrik progressiya berilsin: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Uning hadlari yig‘indisi uchun yozuvni kiritamiz: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
$q=1$ bo'lgan holatda. Geometrik progressiyaning barcha a'zolari birinchi a'zoga teng bo'lsa, u holda $S_(n)=n*b_(1)$ ekanligi aniq bo'ladi.
Endi $q≠1$ ishni ko'rib chiqing.
Yuqoridagi miqdorni q ga ko'paytiring.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Eslatma:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Biz chekli geometrik progressiya yig'indisining formulasini oldik.

Misol.
Birinchi hadi 4 ga, maxraji 3 ga teng bo‘lgan geometrik progressiyaning dastlabki yetti hadining yig‘indisini toping.

Yechim.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Misol.
Geometrik progressiyaning ma'lum beshinchi a'zosini toping: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Yechim.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Geometrik progressiyaning xarakterli xossasi

Bolalar, geometrik progressiya berilgan. Keling, uning uchta ketma-ket a'zolarini ko'rib chiqaylik: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Biz buni bilamiz:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Keyin:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Agar progressiya chekli bo'lsa, bu tenglik birinchi va oxirgidan tashqari barcha shartlar uchun amal qiladi.
Agar ketma-ketlik qanday ketma-ketlikka ega ekanligi oldindan ma'lum bo'lmasa, lekin ma'lum bo'lsa: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Shunda ishonch bilan aytishimiz mumkinki, bu geometrik progressiya.

Raqamlar ketma-ketligi uning har bir hadining kvadrati progressiyaning qo‘shni ikkita hadining ko‘paytmasiga teng bo‘lgandagina geometrik progressiya hisoblanadi. Shuni unutmangki, cheklangan progressiya uchun bu shart birinchi va oxirgi muddat uchun qanoatlanmaydi.

Keling, ushbu o'ziga xoslikni ko'rib chiqaylik: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ a va b ning geometrik o'rtachasi deyiladi.

Geometrik progressiyaning istalgan a’zosining moduli unga qo‘shni bo‘lgan ikki a’zoning o‘rta geometrik qiymatiga teng.

Misol.
$x+2 bo'ladigan x toping; 2x+2; 3x+3$ geometrik progressiyaning ketma-ket uchta a'zosi edi.

Yechim.
Xarakteristik xususiyatdan foydalanamiz:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ va $x_(2)=-1$.
Asl ifodada ketma-ketlik bilan almashtiring, bizning yechimlarimiz:
$x=2$ bilan biz ketma-ketlikni oldik: 4;6;9 - $q=1,5$ bo'lgan geometrik progressiya.
$x=-1$ bilan biz quyidagi ketma-ketlikni oldik: 1;0;0.
Javob: $x=2.$

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar

1. Geometrik progressiyaning sakkizinchi birinchi a'zosini toping 16;-8;4;-2 ....
2. 11,22,44... geometrik progressiyaning o‘ninchi a’zosini toping.
3. Ma’lumki, $b_(1)=5, q=3$. $b_(7)$ toping.
4. Ma'lumki, $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. n ni toping.
5. 3;12;48... geometrik progressiyaning dastlabki 11 a’zosining yig‘indisini toping.
6. $3x+4 bo‘ladigan x ni toping; 2x+4; x+5$ geometrik progressiyaning ketma-ket uchta a'zosi.

Geometrik progressiya arifmetika bilan bir qatorda 9-sinfda maktab algebrasi kursida o‘rganiladigan muhim sonlar qatoridir. Ushbu maqolada biz geometrik progressiyaning maxraji va uning qiymati uning xususiyatlariga qanday ta'sir qilishini ko'rib chiqamiz.

Geometrik progressiyaning ta’rifi

Boshlash uchun biz ushbu raqamlar seriyasining ta'rifini beramiz. Geometrik progressiya - bu birinchi elementini maxraj deb ataladigan doimiy songa ketma-ket ko'paytirish natijasida hosil bo'lgan ratsional sonlar qatoridir.

Masalan, 3, 6, 12, 24, ... qatoridagi sonlar geometrik progressiyadir, chunki 3 ni (birinchi elementni) 2 ga ko‘paytirsak, 6 ga erishamiz. 6 ni 2 ga ko‘paytirsak, hosil bo‘ladi. 12 va boshqalar.

Ko'rib chiqilayotgan ketma-ketlikning a'zolari odatda ai belgisi bilan belgilanadi, bu erda i qator elementining sonini ko'rsatadigan butun sondir.

Progressiyaning yuqoridagi ta'rifini matematika tilida quyidagicha yozish mumkin: an = bn-1 * a1, bunda b - maxraj. Ushbu formulani tekshirish oson: agar n = 1 bo'lsa, u holda b1-1 = 1 va biz a1 = a1 ni olamiz. Agar n = 2 bo'lsa, u holda an = b * a1 va biz yana ko'rib chiqilayotgan raqamlar qatorining ta'rifiga kelamiz. Xuddi shunday mulohazalarni n ning katta qiymatlari uchun ham davom ettirish mumkin.

Geometrik progressiyaning maxraji

b soni butun raqamlar qatori qanday belgiga ega bo'lishini to'liq aniqlaydi. Maxraj b musbat, manfiy yoki birdan katta yoki kichik bo'lishi mumkin. Yuqoridagi barcha variantlar turli xil ketma-ketliklarga olib keladi:

• b > 1. Ratsional sonlarning ortib borayotgan qatori bor. Masalan, 1, 2, 4, 8, ... Agar a1 elementi manfiy bo'lsa, u holda butun ketma-ketlik faqat modulni oshiradi, lekin raqamlarning belgisini hisobga olgan holda kamayadi.
• b = 1. Ko'pincha bunday holat progressiya deb nomlanmaydi, chunki bir xil ratsional sonlarning oddiy qatori mavjud. Masalan, -4, -4, -4.

Jami uchun formula

Ko'rib chiqilayotgan progressiya turining maxrajidan foydalangan holda aniq masalalarni ko'rib chiqishga o'tishdan oldin, uning birinchi n elementi yig'indisi uchun muhim formulani berish kerak. Formula: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Agar siz progressiya a'zolarining rekursiv ketma-ketligini ko'rib chiqsangiz, bu ifodani o'zingiz olishingiz mumkin. Shuni ham yodda tutingki, yuqoridagi formulada ixtiyoriy sonli hadlar yig'indisini topish uchun faqat birinchi element va maxrajni bilish kifoya.

Cheksiz kamayuvchi ketma-ketlik

Yuqorida bu nima ekanligi haqida tushuntirish berilgan. Endi, Sn ning formulasini bilgan holda, uni ushbu sonlar qatoriga qo'llaymiz. Moduli 1 dan oshmaydigan har qanday son katta darajaga ko‘tarilganda nolga intiladi, ya’ni -1 bo‘lsa b∞ => 0 bo‘ladi.

Ayirma (1 - b) har doim musbat bo'ladi, maxrajning qiymatidan qat'i nazar, cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig'indisining belgisi S∞ uning birinchi elementi a1 belgisi bilan yagona aniqlanadi.

Endi biz bir nechta muammolarni ko'rib chiqamiz, bu erda olingan bilimlarni aniq raqamlarga qanday qo'llashni ko'rsatamiz.

Vazifa raqami 1. Progressiya va yig'indining noma'lum elementlarini hisoblash

Geometrik progressiya berilgan bo‘lsa, progressiyaning maxraji 2 ga, birinchi elementi esa 3 ga teng. Uning 7 va 10 hadlari qanday bo‘ladi va uning yettita boshlang‘ich elementi yig‘indisi qancha bo‘ladi?

Muammoning sharti juda oddiy va yuqoridagi formulalardan bevosita foydalanishni o'z ichiga oladi. Demak, n sonli elementni hisoblash uchun an = bn-1 * a1 ifodasidan foydalanamiz. 7-element uchun bizda mavjud: a7 = b6 * a1, ma'lum ma'lumotlar o'rniga, biz olamiz: a7 = 26 * 3 = 192. 10-a'zo uchun ham xuddi shunday qilamiz: a10 = 29 * 3 = 1536.

Biz yig'indi uchun taniqli formuladan foydalanamiz va bu qiymatni seriyaning birinchi 7 elementi uchun aniqlaymiz. Bizda: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Vazifa raqami 2. Progressiyaning ixtiyoriy elementlari yig'indisini aniqlash

-2 ko'rsatkichli progressiyaning bn-1 * 4 maxraji bo'lsin, bu erda n butun son. Ushbu qatorning 5-dan 10-chi elementigacha bo'lgan summani, shu jumladan, aniqlash kerak.

Qo'yilgan muammoni ma'lum formulalar yordamida to'g'ridan-to'g'ri hal qilib bo'lmaydi. Buni 2 xil usulda hal qilish mumkin. To'liqlik uchun biz ikkalasini ham taqdim etamiz.

Usul 1. Uning g'oyasi oddiy: siz birinchi shartlarning ikkita mos keladigan yig'indisini hisoblashingiz kerak, so'ngra ikkinchisini biridan ayirish kerak. Kichikroq summani hisoblang: S10 = ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Endi biz katta summani hisoblaymiz: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. E'tibor bering, oxirgi iborada atigi 4 ta shart jamlangan, chunki 5-o'rin allaqachon muammoning shartiga ko'ra hisoblanishi kerak bo'lgan summaga kiritilgan. Nihoyat, biz farqni olamiz: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

2-usul. Raqamlarni almashtirish va hisoblashdan oldin ko'rib chiqilayotgan qatorning m va n hadlari orasidagi yig'indi formulasini olishingiz mumkin. Biz xuddi 1-usuldagi kabi harakat qilamiz, faqat biz birinchi navbatda yig'indining ramziy ko'rinishi bilan ishlaymiz. Bizda: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Olingan ifodaga ma'lum raqamlarni almashtirishingiz va yakuniy natijani hisoblashingiz mumkin: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Vazifa raqami 3. Ayiruvchi nima?

a1 = 2 bo'lsin, geometrik progressiyaning maxraji topilsin, agar uning cheksiz yig'indisi 3 ga teng bo'lsa va bu sonlarning kamayuvchi qatori ekanligi ma'lum.

Muammoning shartiga ko'ra, uni hal qilish uchun qaysi formuladan foydalanish kerakligini taxmin qilish qiyin emas. Albatta, cheksiz kamayib boruvchi progressiya yig'indisi uchun. Bizda: S∞ = a1 / (1 - b). Maxrajni qaerdan ifodalaymiz: b = 1 - a1 / S∞. Ma'lum qiymatlarni almashtirish va kerakli raqamni olish qoladi: b \u003d 1 - 2/3 \u003d -1/3 yoki -0,333 (3). Agar ushbu turdagi ketma-ketlik uchun modul b 1 dan oshmasligi kerakligini eslasak, bu natijani sifat jihatidan tekshirishimiz mumkin. Ko'rib turganingizdek, |-1 / 3|

Vazifa raqami 4. Bir qator raqamlarni tiklash

Raqamli qatorning 2 ta elementi berilsin, masalan, 5-chi 30 ga, 10-si 60 ga teng. Bu maʼlumotlardan butun qatorni geometrik progressiyaning xossalarini qanoatlantirishini bilib, qayta tiklash kerak.

Muammoni hal qilish uchun avvalo har bir ma'lum a'zo uchun mos ifodani yozish kerak. Bizda: a5 = b4 * a1 va a10 = b9 * a1. Endi biz ikkinchi ifodani birinchisiga ajratamiz, biz olamiz: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Bu yerdan masala shartidan ma'lum bo'lgan a'zolar nisbatining beshinchi darajali ildizini olib, maxrajni aniqlaymiz, b = 1,148698. Olingan sonni ma'lum element uchun ifodalardan biriga almashtiramiz, biz quyidagilarni olamiz: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Shunday qilib, biz bn progressiyaning maxraji nima ekanligini va geometrik progressiya bn-1 * 17,2304966 = an, bu erda b = 1,148698 ekanligini topdik.

Geometrik progressiyalar qayerda ishlatiladi?

Agar ushbu sonli qatorni amalda qo'llash bo'lmasa, uni o'rganish faqat nazariy qiziqishga aylangan bo'lar edi. Ammo bunday dastur mavjud.

3 ta eng mashhur misollar quyida keltirilgan:

• Zenon paradoksi, bunda chaqqon Axilles sekin toshbaqaga yetib borolmaydi, cheksiz kamayib boruvchi sonlar ketma-ketligi tushunchasi yordamida hal qilinadi.
• Agar bug'doy donalari shaxmat taxtasining har bir katagiga 1 donadan 1-hujayraga, 2 ta - 2-ga, 3 ta - 3-ga va shunga o'xshash tarzda joylashtirilsa, unda barcha hujayralarni to'ldirish uchun 18446744073709551615 dona kerak bo'ladi. kengash!
• "Xanoy minorasi" o'yinida disklarni bir novdadan ikkinchisiga o'zgartirish uchun 2n - 1 operatsiyalarni bajarish kerak, ya'ni ularning soni ishlatilgan disklar sonidan n eksponent ravishda o'sadi.

>>Matematika: Geometrik progressiya

O'quvchiga qulaylik yaratish uchun ushbu bo'lim avvalgi bo'limda biz kuzatgan rejaga to'liq amal qiladi.

1. Asosiy tushunchalar.

Ta'rif. Barcha a'zolari 0 dan farq qiladigan va har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab oldingi a'zodan bir xil songa ko'paytirib olinadigan sonli ketma-ketlik geometrik progressiya deyiladi. Bunda 5 soni geometrik progressiyaning maxraji deyiladi.

Demak, geometrik progressiya - bu munosabatlar orqali rekursiv berilgan sonli ketma-ketlik (b n)

Sonlar ketma-ketligiga qarab, uning geometrik progressiya ekanligini aniqlash mumkinmi? mumkin. Agar ketma-ketlikning istalgan a'zosining oldingi a'zoga nisbati doimiy ekanligiga ishonchingiz komil bo'lsa, u holda siz geometrik progressiyaga ega bo'lasiz.
1-misol

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

2-misol

Bu geometrik progressiyadir
3-misol

Bu geometrik progressiyadir
4-misol

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Bu geometrik progressiya bo'lib, b 1 - 8, q = 1.

E'tibor bering, bu ketma-ketlik ham arifmetik progressiyadir (15-§ 3-misolga qarang).

5-misol

2,-2,2,-2,2,-2.....

Bu geometrik progressiya bo'lib, unda b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Shubhasiz, geometrik progressiya, agar b 1 > 0, q > 1 (1-misolga qarang) bo'lsa, ortib boruvchi ketma-ketlik va b 1 > 0, 0 bo'lsa, kamayuvchi ketma-ketlikdir.< q < 1 (см. пример 2).

Ketma-ketlik (b n) geometrik progressiya ekanligini ko'rsatish uchun ba'zan quyidagi yozuv qulay bo'ladi:

Belgi "geometrik progressiya" iborasi o'rnini egallaydi.
Biz geometrik progressiyaning bir qiziq va ayni paytda aniq xususiyatini qayd etamiz:
Agar ketma-ketlik geometrik progressiya, keyin kvadratlar ketma-ketligi, ya'ni. geometrik progressiyadir.
Ikkinchi geometrik progressiyada birinchi had q 2 ga teng.
Agar b n dan keyingi barcha hadlarni eksponensial ravishda bekor qilsak, chekli geometrik progressiyaga erishamiz
Ushbu bo'limning keyingi paragraflarida biz geometrik progressiyaning eng muhim xususiyatlarini ko'rib chiqamiz.

2. Geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasi.

Geometrik progressiyani ko'rib chiqing maxraj q. Bizda ... bor:

Har qanday raqam uchun n tengligini taxmin qilish qiyin emas

Bu geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasi.

Izoh.

Agar siz oldingi paragrafdagi muhim izohni o‘qib chiqqan bo‘lsangiz va uni tushungan bo‘lsangiz, arifmetik progressiyaning n-chi hadi formulasi uchun qilinganidek, (1) formulani ham matematik induksiya yo‘li bilan isbotlashga harakat qiling.

Geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasini qayta yozamiz

va yozuvni kiriting: Biz y \u003d mq 2 ni olamiz yoki batafsilroq,
X argumenti ko'rsatkichda mavjud, shuning uchun bunday funktsiya ko'rsatkichli funktsiya deb ataladi. Demak, geometrik progressiyani N natural sonlar to‘plamida berilgan ko‘rsatkichli funksiya sifatida ko‘rish mumkin. Shaklda. 96a-rasmda funksiyaning grafigi ko'rsatilgan. 966 - funktsiya grafigi Ikkala holatda ham bizda ba'zi bir egri chiziqda yotadigan ajratilgan nuqtalar (x = 1, x = 2, x = 3 va hokazo abscissalar bilan) mavjud (har ikkala raqam ham bir xil egri chiziqni ko'rsatadi, faqat har xil joylashgan va turli masshtablarda tasvirlangan). Bu egri chiziq eksponent deb ataladi. Ko‘rsatkichli funksiya va uning grafigi haqida to‘liqroq 11-sinf algebra kursida muhokama qilinadi.

Oldingi banddagi 1-5 misollarga qaytaylik.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Bu geometrik progressiya bo'lib, unda b 1 \u003d 1, q \u003d 3. n-son uchun formula tuzamiz.
2) Bu geometrik progressiya bo'lib, unda n-chi hadni tuzamiz

Bu geometrik progressiyadir n-son uchun formula tuzing
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Bu geometrik progressiya bo'lib, unda b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Keling, n-son uchun formula tuzamiz.
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Bu geometrik progressiya bo'lib, unda b 1 = 2, q = -1. n-son uchun formula tuzing

6-misol

Geometrik progressiya berilgan

Hamma hollarda yechim geometrik progressiyaning n-azosining formulasiga asoslanadi

a) Geometrik progressiyaning n-chi hadi formulasiga n = 6 qo‘ysak, hosil bo‘ladi

b) Bizda

512 \u003d 2 9 dan boshlab, biz n - 1 \u003d 9, n \u003d 10 ni olamiz.

d) Bizda bor

7-misol

Geometrik progressiyaning yettinchi va beshinchi aʼzolarining ayirmasi 48 ga, progressiyaning beshinchi va oltinchi aʼzolarining yigʻindisi ham 48 ga teng. Shu progressiyaning oʻn ikkinchi aʼzosini toping.

Birinchi bosqich. Matematik modelni tuzish.

Vazifa shartlarini qisqacha quyidagicha yozish mumkin:

Geometrik progressiyaning n-chi a'zosi formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
U holda masalaning ikkinchi shartini (b 7 - b 5 = 48) quyidagicha yozish mumkin

Masalaning uchinchi shartini (b 5 +b 6 = 48) quyidagicha yozish mumkin

Natijada, ikkita o'zgaruvchisi b 1 va q bo'lgan ikkita tenglamalar tizimini olamiz:

yuqorida yozilgan 1) shart bilan birgalikda masalaning matematik modeli hisoblanadi.

Ikkinchi bosqich.

Kompilyatsiya qilingan model bilan ishlash. Tizimning ikkala tenglamasining chap qismlarini tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

(biz tenglamaning ikkala tomonini noldan farq qiluvchi b 1 q 4 ifodaga ajratdik).

q 2 - q - 2 = 0 tenglamasidan q 1 = 2, q 2 = -1 ni topamiz. Tizimning ikkinchi tenglamasiga q = 2 qiymatini qo'yib, biz hosil bo'lamiz
Tizimning ikkinchi tenglamasiga q = -1 qiymatini almashtirsak, b 1 1 0 = 48 ni olamiz; bu tenglamaning yechimlari yo'q.

Shunday qilib, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - bu juftlik tuzilgan tenglamalar tizimining yechimidir.

Endi biz ko'rib chiqilayotgan geometrik progressiyani yozishimiz mumkin: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Uchinchi bosqich.

Muammoli savolga javob. b 12 ni hisoblash uchun talab qilinadi. Bizda ... bor

Javob: b 12 = 2048.

3. Cheklangan geometrik progressiya a’zolari yig‘indisi formulasi.

Cheklangan geometrik progressiya bo'lsin

Uning shartlari yig'indisini S n bilan belgilang, ya'ni.

Keling, bu yig'indini topish formulasini chiqaramiz.

q = 1 bo'lgan eng oddiy holatdan boshlaylik.U holda b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn geometrik progressiya b 1 ga teng n ta sondan iborat bo'ladi, ya'ni. progressiya b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Bu raqamlarning yig'indisi nb 1 ga teng.

Endi q = 1 bo'lsin, S n ni topish uchun sun'iy usuldan foydalanamiz: S n q ifodasini ba'zi o'zgartirishlarni bajaramiz. Bizda ... bor:

Transformatsiyalarni amalga oshirishda biz, birinchi navbatda, geometrik progressiyaning ta'rifidan foydalandik, unga ko'ra (mulohazalarning uchinchi qatoriga qarang); ikkinchidan, iboraning ma'nosi, albatta, nima uchun o'zgarmaganligini qo'shib, ayirishgan (to'rtinchi fikr qatoriga qarang); uchinchidan, geometrik progressiyaning n-chi a'zosi formulasidan foydalandik:

Formuladan (1) biz quyidagilarni topamiz:

Bu geometrik progressiyaning n ta a'zosi yig'indisining formulasi (q = 1 bo'lgan holat uchun).

8-misol

Cheklangan geometrik progressiya berilgan

a) progressiya a'zolari yig'indisi; b) uning hadlari kvadratlari yig'indisi.

b) Yuqorida (132-betga qarang) agar geometrik progressiyaning barcha a'zolari kvadrat bo'lsa, u holda birinchi a'zosi b 2 va maxraji q 2 bo'lgan geometrik progressiya olinishini ta'kidlagan edik. Keyin yangi progressiyaning oltita hadining yig'indisi tomonidan hisoblanadi

9-misol

Geometrik progressiyaning 8-chi hadini toping

Aslida, biz quyidagi teoremani isbotladik.

Raqamli ketma-ketlik geometrik progressiyadir, agar uning har bir hadining kvadrati, birinchisidan tashqari (va chekli ketma-ketlikda oxirgisi) oldingi va keyingi hadlarning ko‘paytmasiga teng bo‘lsagina va agar (geometrik progressiyaning xarakterli xossasi).

Ko'rsatma

10, 30, 90, 270...

Geometrik progressiyaning maxrajini topish talab qilinadi.
Yechim:

1 variant. Progressiyaning ixtiyoriy a'zosini olaylik (masalan, 90) va uni oldingisiga (30) bo'lamiz: 90/30=3.

Agar geometrik progressiyaning bir nechta a'zolarining yig'indisi yoki kamayuvchi geometrik progressiyaning barcha a'zolarining yig'indisi ma'lum bo'lsa, progressiyaning maxrajini topish uchun tegishli formulalardan foydalaning:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), bu yerda Sn - geometrik progressiyaning birinchi n ta hadining yig'indisi va
S = b1/(1-q), bu yerda S cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisidir (maxraji birdan kichik bo‘lgan progressiyaning barcha a’zolari yig‘indisi).
Misol.

Kamayuvchi geometrik progressiyaning birinchi hadi birga, barcha hadlari yig’indisi ikkiga teng.

Bu progressiyaning maxrajini aniqlash talab qilinadi.
Yechim:

Vazifadagi ma'lumotlarni formulaga almashtiring. Oling:
2=1/(1-q), bundan – q=1/2.

Progressiya - bu raqamlar ketma-ketligi. Geometrik progressiyada har bir keyingi had oldingisini progressiyaning maxraji deb ataladigan qandaydir q soniga ko‘paytirish yo‘li bilan olinadi.

Ko'rsatma

Agar b(n+1) va b(n) geometrikning ikkita qo‘shni a’zosi ma’lum bo‘lsa, maxrajni olish uchun katta sonli sonni oldingisiga bo‘lish kerak: q=b(n). +1)/b(n). Bu progressiya va uning maxrajining ta'rifidan kelib chiqadi. Muhim shart shundaki, progressiyaning birinchi hadi va maxraji nolga teng emas, aks holda u noaniq hisoblanadi.

Shunday qilib, progressiya a'zolari o'rtasida quyidagi munosabatlar o'rnatiladi: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. b(n)=b1 q^(n-1) formulasi boʻyicha geometrik progressiyaning maxraji q va b1 aʼzosi maʼlum boʻlgan istalgan aʼzosini hisoblash mumkin. Shuningdek, progressiya modulining har biri oʻziga qoʻshni aʼzolarning oʻrtacha qiymatiga teng: |b(n)|=√, demak, progressiya oʻzining .

Geometrik progressiyaning analogi eng oddiy ko'rsatkichli funktsiya y=a^x bo'lib, bu erda x ko'rsatkichda, a qandaydir sondir. Bunda progressiyaning maxraji birinchi hadga to'g'ri keladi va a soniga teng bo'ladi. y funksiyaning qiymatini progressiyaning n-chi a'zosi deb tushunish mumkin, agar x argumenti natural son n (hisoblagich) sifatida qabul qilinsa.

Geometrik progressiyaning birinchi n ta a'zosining yig'indisi uchun mavjud: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Bu formula q≠1 uchun amal qiladi. Agar q=1 bo'lsa, birinchi n ta hadning yig'indisi S(n)=n b1 formula bo'yicha hisoblanadi. Aytgancha, progressiya q birdan katta va musbat b1 uchun ortish deb ataladi. Agar progressiyaning maxraji moduli birdan oshmasa, progressiya kamayuvchi deb ataladi.

Geometrik progressiyaning alohida holati cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyadir (b.u.g.p.). Gap shundaki, kamayuvchi geometrik progressiyaning a'zolari qayta-qayta kamayib boradi, lekin hech qachon nolga etib bormaydi. Shunga qaramay, bunday progressiyaning barcha shartlari yig'indisini topish mumkin. S=b1/(1-q) formula bilan aniqlanadi. n a’zolarning umumiy soni cheksizdir.

Qanday qilib cheksiz sonli raqamlarni qo'shishingiz va cheksizlikka erisha olmasligingizni tasavvur qilish uchun tort pishiring. Uning yarmini kesib tashlang. Keyin yarmini 1/2 qismini kesib oling va hokazo. Siz oladigan bo'laklar maxraji 1/2 bo'lgan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning a'zolaridan boshqa narsa emas. Agar siz ushbu qismlarni birlashtirsangiz, siz asl tortni olasiz.

Geometriya masalalari fazoviy fikrlashni talab qiladigan maxsus mashq turidir. Agar siz geometrikni hal qila olmasangiz vazifa quyidagi qoidalarga amal qilishga harakat qiling.

Ko'rsatma

Muammoning holatini juda diqqat bilan o'qing, agar biror narsani eslamasangiz yoki tushunmasangiz, uni qayta o'qing.

Bu qanday geometrik muammolar ekanligini aniqlashga harakat qiling, masalan: hisoblash, ba'zi bir qiymatni aniqlash kerak bo'lganda, mantiqiy fikrlash zanjirini talab qilish uchun topshiriqlar, kompas va o'lchagich yordamida qurish vazifalari. Ko'proq aralash muammolar. Muammoning turini aniqlaganingizdan so'ng, mantiqiy fikr yuritishga harakat qiling.

Ushbu muammo uchun kerakli teoremani qo'llang, agar shubhalar mavjud bo'lsa yoki umuman variantlar bo'lmasa, tegishli mavzu bo'yicha o'rgangan nazariyani eslab qolishga harakat qiling.

Muammoning qoralamasini ham tuzing. Yechimingizning to'g'riligini tekshirish uchun ma'lum usullardan foydalanishga harakat qiling.

Masalaning yechilishini daftarda toza, dog‘larsiz va chizmalarsiz to‘ldiring, eng muhimi -.Balki birinchi geometrik masalalarni yechish uchun vaqt va kuch kerak bo‘lar. Biroq, bu jarayonni o'zlashtirganingizdan so'ng, siz yong'oq kabi vazifalarni bosishni boshlaysiz va buni amalga oshirishdan zavqlanasiz!

Geometrik progressiya shunday b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) sonlar ketma-ketligiga aytiladiki, b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Boshqacha qilib aytganda, progressiyaning har bir a'zosi oldingisidan q progressiyaning nolga teng bo'lmagan qandaydir maxrajiga ko'paytirish orqali olinadi.

Ko'rsatma

Progressiyaga oid masalalar ko'pincha progressiyaning b1 birinchi hadi va q progressiyasining maxrajiga nisbatan tizimni tuzish va unga rioya qilish yo'li bilan yechiladi. Tenglamalarni yozish uchun ba'zi formulalarni eslab qolish foydalidir.

Progressiyaning n-chi a'zosi progressiyaning birinchi a'zosi va progressiyaning maxraji orqali qanday ifodalanadi: b(n)=b1*q^(n-1).

|q| ishni alohida ko'rib chiqing<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии