Mundarija Matematik modellashtirish predmeti. Modellashtirish asoslari. Model tushunchasi. Modellashtirish printsipi. Modellashtirish ilmiy bilish usuli sifatida. Modellashtirish bosqichlari. Xarakterli 1-2 bosqich. Modellashtirish bosqichlari. Xarakterli 3-4 bosqich. Modellarning tasnifi. Umumiy ko'rib chiqish. Iqtisodiy va matematik modellarning tasnifi. Iqtisodiy-matematik modellashtirish bosqichlari. Matematik model. Chiziqli dasturlash. Chiziqli dasturlash muammosining bayoni. Chiziqli dasturlash masalasining geometrik talqini va grafik yechimi. simpleks usuli. Dastlabki asosiy rejani qurish. Simpleks jadvallar. Asosiy rejaning optimalligi belgisi. Ikkilik tushunchasi. Ikkilamchi masalalarni qurish va ularning xossalari. transport vazifasi. Dastlabki asosiy rejani qurish. transport vazifasi. Potentsiallar usuli.

Mundarija Grafiklar nazariyasining asosiy tushunchalari va ta'riflari. Digraf elementlarining tartiblanishi. Fulkerson algoritmi. Grafikdagi eng qisqa yo'llarni topishga oid masalalar yechish. Maksimal oqim muammosi va uning qo'llanilishi. Tarmoq sozlamalarida transport muammosi. Tarmoqni rejalashtirish elementlari. Dinamik dasturlash tamoyillari, usulning hisoblash tartibi. Monte-Karlo usuli. Usulning mohiyati. Monte-Karlo usuli bilan muammolarni yechish. Matritsali o'yinlar nazariyasi elementlari. Nol yig'indili matritsali o'yinlar. Matritsali o'yinlarni yechish usullari. Tabiat bilan o'yinlar. Qaror qabul qilish mezonlari. Maple 7 to'plami. Paketning umumiy ko'rinishi. Uning imkoniyatlari. Dastur interfeysi, buyruqlar bilan ishlash. O'zgaruvchilardan foydalanish. Jadvallar bilan ishlash.

Matematik modellashtirish predmeti. Modellashtirish asoslari Matematik modellashtirish hodisalarni, jarayonlarni, tizimlarni yoki ob'ektlarni ularning modellarini qurish va o'rganish va ulardan yangi qurilgan texnologik jarayonlar, tizimlar va ob'ektlarni qurishning xususiyatlari va oqilona usullarini aniqlash yoki takomillashtirish uchun foydalanish orqali o'rganishdir. Matematik model - bu real dunyoning abstraktsiyasi bo'lib, unda tadqiqotchini qiziqtiradigan real elementlar o'rtasidagi munosabatlar matematik kategoriyalar o'rtasidagi tegishli munosabatlar bilan almashtiriladi. Ushbu munosabatlar, qoida tariqasida, simulyatsiya qilingan real tizimning ishlashini tavsiflovchi tenglamalar va (yoki) tengsizliklar shaklida taqdim etiladi. Matematik modellarni qurish san'ati o'zining matematik tavsifida mumkin bo'lgan maksimal qisqalikni tahlil qilinayotgan voqelikning tadqiqotchini qiziqtiradigan aniq jihatlarini modellashtirishning etarli aniqligi bilan birlashtirishdan iborat. Menyuni modellashtirish - bu katta hajmdagi ma'lumotlarni jiddiy tayyorlash va qayta ishlashni talab qiladigan, mashaqqatlilik va evristik tamoyillarni o'zida mujassam etgan va ehtimollik xususiyatiga ega bo'lgan ijodiy jarayon.

Model tushunchasi. Modellashtirish ilmiy bilish usuli sifatida Model - bu real ob'ekt, hodisa yoki jarayonning qandaydir soddalashtirilgan o'xshashligi. Model - asl ob'ektni o'rganish maqsadida o'rnini bosadigan, shu bilan birga ushbu tadqiqot uchun muhim bo'lgan asl nusxaning ba'zi tipik belgilari va xususiyatlarini saqlab qolgan shunday moddiy yoki aqliy tasvirlangan ob'ekt. Yaxshi qurilgan model, qoida tariqasida, haqiqiy ob'ektga qaraganda tadqiqot uchun qulayroqdir (masalan, mamlakat iqtisodiyoti, quyosh tizimi va boshqalar). Modelning yana bir muhim maqsadi shundaki, u ob'ektning ma'lum xususiyatlarini tashkil etuvchi eng muhim omillarni aniqlashga yordam beradi. Model, shuningdek, ob'ektni boshqarishni o'rganishga imkon beradi, bu ob'ekt bilan tajriba o'tkazish noqulay, qiyin yoki imkonsiz bo'lgan hollarda (masalan, tajriba uzoq davom etganda yoki ob'ektni olib kelish xavfi mavjud bo'lganda) muhimdir. istalmagan yoki qaytarib bo'lmaydigan holatga). Shunday qilib, biz shunday xulosaga kelishimiz mumkinki, model quyidagilar uchun zarur: muayyan ob'ekt qanday joylashtirilganligini tushunish - uning tuzilishi, asosiy xususiyatlari, rivojlanish qonuniyatlari va tashqi dunyo bilan o'zaro ta'siri; ob'ekt yoki jarayonni boshqarishni o'rganish va berilgan maqsadlar va mezonlar (optimallashtirish) uchun boshqarishning eng yaxshi usullarini aniqlash; Ob'ektga, jarayonga ta'sir qilishning ko'rsatilgan usullari va shakllarini amalga oshirishning bevosita va bilvosita oqibatlarini bashorat qilish uchun menyu.

Modellashtirish bosqichlari 1-bosqichning xususiyatlari I bosqich. Muammoning bayoni Muammo eng umumiy ma'noda hal qilinishi kerak bo'lgan muayyan muammo sifatida tushuniladi. Asosiysi, modellashtirish ob'ektini aniqlash va natija qanday bo'lishi kerakligini tushunishdir. Formulyatsiyaning tabiatiga ko'ra, barcha vazifalarni ikkita asosiy guruhga bo'lish mumkin. Birinchi guruh vazifalarni o'z ichiga oladi, ularda ob'ektning xususiyatlari unga qandaydir ta'sir qilish bilan qanday o'zgarishini o'rganish kerak. Muammoning bunday bayonoti odatda "agar ... nima bo'ladi" deb ataladi. Ikkinchi guruh vazifalari quyidagi umumlashtirilgan formulaga ega: uning parametrlari ma'lum bir shartni qondirishi uchun ob'ektga qanday ta'sir qilish kerak? Ushbu muammo bayonoti ko'pincha "buni qanday qilish kerak ..." deb nomlanadi. Modellashtirishning maqsadlari modelning dizayn parametrlari bilan belgilanadi. Ko'pincha, bu muammoni shakllantirishda berilgan savolga javob izlash. Keyin ob'ekt yoki jarayonning tavsifiga o'ting. Ushbu bosqichda modelning xatti-harakati bog'liq bo'lgan omillar aniqlanadi. Elektron jadvallarda modellashtirishda faqat miqdoriy xususiyatlarga ega bo'lgan parametrlarni hisobga olish mumkin. Ba'zida vazifa allaqachon soddalashtirilgan shaklda tuzilgan bo'lishi mumkin va u maqsadlarni aniq belgilaydi va hisobga olinishi kerak bo'lgan model parametrlarini belgilaydi. Ob'ektni tahlil qilishda quyidagi savolga javob berish kerak: o'rganilayotgan ob'ekt yoki jarayonni bir butun sifatida ko'rib chiqish mumkinmi yoki u oddiyroq ob'ektlardan iborat tizimmi? Agar bu bir butun bo'lsa, unda siz axborot modelini yaratishga o'tishingiz mumkin. Agar tizim bo'lsa - uni tashkil etuvchi ob'ektlarning tahliliga o'tish, ular orasidagi aloqalarni aniqlash kerak. Menyu

Modellashtirish bosqichlari Xarakteristikalar 2-bosqich II bosqich. Modelni ishlab chiqish Ob'ektni tahlil qilish natijalari asosida axborot modeli tuziladi. U ob'ektning barcha xususiyatlarini, ularning parametrlarini, harakatlarini va munosabatlarini batafsil tavsiflaydi. Bundan tashqari, axborot modeli belgi shakllaridan birida ifodalanishi kerak. Elektron jadval muhitida ishlashimizni hisobga olsak, axborot modeli matematikaga aylantirilishi kerak. Axborot va matematik modellar asosida kompyuter modeli jadvallar ko'rinishida tuzilgan bo'lib, unda uchta ma'lumotlar sohasi ajralib turadi: dastlabki ma'lumotlar, oraliq hisoblar, natijalar. Dastlabki ma'lumotlar "qo'lda" kiritiladi. Oraliq va yakuniy hisob-kitoblar elektron jadvallar qoidalariga muvofiq yozilgan formulalar bo'yicha amalga oshiriladi. Menyu

Modellashtirish bosqichlari Xarakterli 3 bosqich III bosqich. Kompyuter tajribasi Yangi dizayn ishlanmalariga hayot berish, ishlab chiqarishga yangi texnik echimlarni joriy etish yoki yangi g'oyalarni sinab ko'rish uchun tajriba kerak. Yaqin o'tmishda bunday tajriba laboratoriya sharoitida u uchun maxsus yaratilgan qurilmalarda yoki tabiatda, ya'ni mahsulotning haqiqiy namunasida, uni barcha turdagi sinovlardan o'tkazgan holda amalga oshirilishi mumkin edi. Bu ko'p pul va vaqt talab qiladi. Kompyuter simulyatsiyalari yordamga keldi. Kompyuter tajribasini o'tkazishda qurilish modellarining to'g'riligi tekshiriladi. Modelning xatti-harakati ob'ektning turli parametrlari uchun o'rganiladi. Har bir tajriba natijalarni tushunish bilan birga keladi. Agar kompyuter tajribasining natijalari echilayotgan masalaning ma'nosiga zid bo'lsa, unda xatoni noto'g'ri tanlangan modelda yoki uni hal qilish algoritmi va usulida izlash kerak. Xatolarni aniqlash va bartaraf etishdan so'ng, kompyuter tajribasi takrorlanadi. Menyu

Modellashtirish bosqichlari Xarakteristikalar 4 bosqich IV bosqich. Simulyatsiya natijalarini tahlil qilish Simulyatsiyaning yakuniy bosqichi modelni tahlil qilishdir. Olingan hisoblangan ma'lumotlarga asoslanib, hisob-kitoblar bizning tushunish va modellashtirish maqsadlarimizga qanchalik mos kelishi tekshiriladi. Ushbu bosqichda qabul qilingan modelni va iloji bo'lsa, ob'ekt yoki jarayonni takomillashtirish bo'yicha tavsiyalar beriladi. Menyu

Modellarning tasnifi Foydalanish sohasi bo'yicha tasnifi Ta'lim: ko'rgazmali qurollar, turli simulyatorlar, o'quv dasturlari. Tajribali: keyingi o'rganish uchun o'rganilayotgan ob'ektning qisqartirilgan yoki kattalashtirilgan nusxalari (kema, avtomobil, samolyot, gidroelektrostantsiya modellari). Jarayon va hodisalarni o'rganish uchun ilmiy-texnik modellar yaratiladi (televizorlarni sinovdan o'tkazish uchun stend; sinxrotron - elektron tezlatgich va boshqalar). O'yin: harbiy, iqtisodiy, sport, biznes o'yinlari. Simulyatsiya: haqiqatni turli darajadagi aniqlik bilan aks ettirish (yangi dorini sichqonlarda bir qator tajribalarda sinab ko'rish; ishlab chiqarishga yangi texnologiyani joriy etish bo'yicha tajribalar). Vaqt omilini hisobga olgan holda tasniflash Statik model - ob'ektning ma'lum bir vaqtdagi modeli. Dinamik model ob'ektning vaqt o'tishi bilan qanday o'zgarishini ko'rish imkonini beradi. Menyu

Modellarning tasnifi Tasvirlash usuli bo'yicha tasniflash Moddiy model - bu ob'ektning jismoniy o'xshashligi. Ular asl nusxaning geometrik va fizik xususiyatlarini (to'ldirilgan qushlar, hayvonlarning qo'g'irchoqlari, inson tanasining ichki organlari, geografik va tarixiy xaritalar, quyosh tizimining diagrammasi) takrorlaydi. Axborot modeli - ob'ekt, jarayon, hodisaning xossalari va holatlarini, shuningdek, tashqi dunyo bilan munosabatlarini tavsiflovchi ma'lumotlar to'plami. Har qanday axborot modeli, u yaratilgan maqsadni hisobga olgan holda, faqat ob'ekt haqida muhim ma'lumotlarni o'z ichiga oladi. Turli maqsadlar uchun mo'ljallangan bir xil ob'ektning axborot modellari butunlay boshqacha bo'lishi mumkin. Verbal model - aqliy yoki suhbat shaklidagi axborot modeli. Belgilar modeli - bu maxsus belgilar bilan, ya'ni har qanday rasmiy til yordamida ifodalangan axborot modeli. Ramziy modellar - chizmalar, matnlar, grafiklar, diagrammalar, jadvallar va boshqalar. Kompyuter modeli dasturiy muhit yordamida amalga oshiriladigan modeldir. Ob'ekt (hodisa, jarayon) modelini qurishdan oldin uning tarkibiy elementlarini va ular o'rtasidagi munosabatlarni aniqlash (tizim tahlilini o'tkazish) va natijada olingan tuzilmani qandaydir oldindan belgilangan shaklga "tarjima qilish" - ma'lumotni rasmiylashtirish kerak. Menyuni rasmiylashtirish - bu ob'ekt, hodisa yoki jarayonning ichki tuzilishini ajratib ko'rsatish va ma'lum bir axborot tuzilmasi - shaklga o'tkazish jarayoni.

Iqtisodiy va matematik modellarning tasnifi Iqtisodiy va matematik modellar - iqtisodiy voqelikni o'zgartirish uchun foydalaniladigan boshqariladigan va tartibga solinadigan iqtisodiy jarayonlarning modellari. Modellarning modellashtirish ob'ektlariga muvofiqligi tadqiqot natijalarining kuzatilgan faktlar bilan mos kelishi bilan belgilanadi. Bu holatda amaliyot haqiqatni anglatadi. Ko`zlangan maqsadiga ko`ra iqtisodiy-matematik modellar nazariy va analitik bo`ladi.Amaliy iqtisodiy va matematik modellar butun xalq xo`jaligi va uning quyi tizimlari (tarmoqlar, hududlar va boshqalar) modellariga bo`linadi.Modellar funksional va strukturaviy bo`ladi. Modellar tavsiflovchi va normativdir. Deskreptiv modellar savolga javob beradi, bu qanday sodir bo'ladi va u qanday qilib yanada rivojlanishi mumkin? Normativ modellar qanday bo'lishi kerak degan savolga javob beradi. Ya'ni, ular maqsadli faoliyatni o'z zimmalariga oladilar. Tasodifiylik va noaniqlikni hisobga oladigan qat'iy deterministik modellar va modellar mavjud. Modellar statik yoki dinamik. Ko'rib chiqilayotgan davrning davomiyligi bo'yicha qisqa muddatli (1-5 yil) va uzoq muddatli (10-15 yil va undan ortiq) prognozlash va rejalashtirish modellari farqlanadi. Bunday modellarda vaqtning o'zi doimiy yoki diskret ravishda o'zgarishi mumkin. Menyu modellari chiziqli yoki chiziqli bo'lmagan bo'lishi mumkin.

Iqtisodiy-matematik modellashtirish bosqichlari. Iqtisodiy muammoning bayoni va uning tahlili. Asosiysi, muammoning mohiyatini, qilingan taxminlarni va javob berish kerak bo'lgan savollarni aniqlash. Bosqich ob'ektning eng muhim xususiyatlari va xususiyatlarini ajratib ko'rsatishni, kichiklaridan abstraktlashni o'z ichiga oladi. Agar kerak bo'lsa, ob'ektning xatti-harakati va rivojlanishini tushuntiruvchi gipotezalarni shakllantirish. Matematik modelni qurish. Iqtisodiy muammoni rasmiylashtirish bosqichi. Model qanchalik ko'p faktlarni hisobga olsa, shuncha yaxshi bo'ladi, deb taxmin qilish noto'g'ri. Modelning murakkabligi va hajmini o'zgartirish tadqiqot jarayonini murakkablashtiradi. Axborot va matematik ta'minotning real imkoniyatlarini hisobga olish kerak. Modellashtirish xarajatlarini olingan effekt bilan solishtirish kerak. Matematik modelning eng muhim xususiyatlaridan biri bu turli muammolarni hal qilishda ulardan foydalanishning potentsial imkoniyatlaridir. Menyu

Iqtisodiy-matematik modellashtirish bosqichlari. Modelning matematik tahlili. Ushbu bosqichning maqsadi modelning umumiy xususiyatlarini aniqlashtirishdir. Muhim nuqta - bu yechimning mavjudligini isbotlash. Dastlabki ma'lumotlarni tayyorlash Kerakli ma'lumotlarni yig'ish vaqtini hisobga olish, ma'lumotni tayyorlash xarajatlarini hisobga olish kerak. Tayyorlash jarayonida ehtimollar nazariyasi, nazariy va matematik statistika usullaridan keng foydalaniladi. Raqamli yechim. Masalani sonli yechish algoritmlarini ishlab chiqish, EHM uchun dasturlar tuzish va bevosita hisob-kitoblarni amalga oshirish. Ushbu bosqichdagi qiyinchilik iqtisodiy muammolarning katta hajmi va katta hajmdagi ma'lumotlarni qayta ishlash zarurati bilan bog'liq. Menyu Raqamli natijalarni tahlil qilish va ularni qo'llash. Ushbu bosqichda simulyatsiya natijalarining to'g'riligi va to'liqligi, ularning amaliy qo'llanilishi darajasi haqida savol tug'iladi.

Chiziqli dasturlash. Bu matematik modellashtirishning bo'limi bo'lib, uning barcha bog'liqliklari chiziqli. Har qanday chiziqli dasturlash masalasining matematik modeli Z= max(min) ko'rinishga ega. Menyu Xj ≥ 0 manfiy bo'lmaganlik shartlari

Misol: u 1 va u 2 mahsulotlarini ishlab chiqarishda tokarlik va frezalash dastgohlari, shuningdek, u 1, 300 va 200 dona mahsulot birligini ishlab chiqarish uchun texnologik standartlarga muvofiq po'lat va rangli metallar qo'llaniladi. torna va frezalash uskunalari (soatlarda) mos ravishda talab qilinadi va 10 va 20 birlik po'lat va rangli metallar (kg.). mahsulot ishlab chiqarish uchun u mos ravishda 2, 400, 100, 70, 50 birlik bir xil resurslar talab qilinadi. Seminarda 12400 va 6800 soat, 640 va 840 kg. material. Mahsulot birligini sotishdan olingan foyda u 1 \u003d 6000 den. birliklar , u 2=16000 den. birliklar Majburiy: Manba ma'lumotlarini model yaratish uchun qulay bo'lgan jadvalga keltiring. Masalaning matematik modelini tuzing. Mahsulotlarni ishlab chiqarish rejasini aniqlang, frezalash mashinalarining ishlash muddati to'liq ishlatilishi sharti bilan maksimal foyda olishni ta'minlang.

Yechish: x1 - mahsulotlar soni u 1, x2 - mahsulotlar soni u 2, z - umumiy foyda bo'lsin.

Chiziqli dasturlash. Bu yozuvning umumiy yoki hosila shaklidir. Cheklovlar tizimini va manfiy bo'lmagan shartni qanoatlantiradigan Xj o'zgaruvchilar ruxsat etilgan deb ataladi. Maqsad funksiyasini max yoki min ga aylantiruvchi amal o'zgaruvchilar optimal deb ataladi. Bunday muammolarni hal qilish usullari universal va maxsus bo'linadi. Har qanday PLP universal usul bilan hal qilinadi. Maxsus usullar modelning xususiyatlarini hisobga oladi. MChJning o'ziga xos xususiyati shundaki, maqsad funksiyasi mumkin bo'lgan echimlar mintaqasi chegarasida maksimal (min) ga etadi. ZLP tarkibiga quyidagilar kiradi: optimal texnologiyalarni tanlash muammosi; aralash muammo; materialni kesish vazifasi; transport vazifasi; Resurslardan eng yaxshi foydalanish haqidagi menyu vazifasi; buyurtma berish vazifasi;

Chiziqli dasturlash masalasining bayoni Har qanday LPP matematik model yordamida yoziladi. ZLP menyusini yozishning 3 ta shakli mavjud Umumiy (ixtiyoriy)

Chiziqli dasturlash masalasining bayoni Bu shakllarning barchasi ekvivalentdir. Maksdan minga (yoki aksincha) o'tish uchun maqsad funksiyasi yozuvidagi har bir atamaning belgilarini o'zgartirish kerak. Shaklning tengsizligini shaklning tengsizligiga (va aksincha) aylantirish uchun tengsizlikning ikkala qismini -1 ga ko'paytirish kerak. Menyu Kanonik (asosiy) Tengsizlikni tenglikka aylantirish (va aksincha) uchun chap tomondan qo'shimcha manfiy bo'lmagan o'zgaruvchini qo'shish yoki ayirish kerak, u balans o'zgaruvchisi deyiladi. Maqsad funksiyasini yozishda u =0 koeffitsientga ega.

Amaliy masalalarni matematik usullar bilan yechish muammoni shakllantirish (matematik modelni ishlab chiqish), olingan matematik modelni o‘rganish usulini tanlash, olingan matematik natijani tahlil qilish orqali izchil amalga oshiriladi. Muammoning matematik formulasi odatda geometrik tasvirlar, funksiyalar, tenglamalar tizimi va boshqalar ko'rinishida taqdim etiladi. Ob'ekt (hodisalar) tavsifi uzluksiz yoki diskret, deterministik yoki stokastik va boshqa matematik shakllar yordamida ifodalanishi mumkin.

Matematik modellashtirish nazariyasi atrofdagi dunyoning turli hodisalari oqimining qonuniyatlarini yoki tizimlar va qurilmalarning ishlashini matematik tavsiflash va dala sinovlarisiz modellashtirish orqali aniqlashni ta'minlaydi. Bunday holda, simulyatsiya qilingan hodisalar, tizimlar yoki qurilmalarni ideallashtirishning ma'lum darajasida tavsiflovchi matematikaning qoidalari va qonunlari qo'llaniladi.

Matematik model (MM) - tizimning (yoki operatsiyaning) ba'zi bir mavhum tilda, masalan, matematik munosabatlar to'plami yoki algoritm sxemasi ko'rinishidagi rasmiylashtirilgan tavsifi, ya'ni taqlid qilishni ta'minlaydigan shunday matematik tavsif. tizimlar yoki qurilmalarning to'liq miqyosli sinovlari paytida olingan haqiqiy xatti-harakatlariga etarlicha yaqin darajadagi tizimlar yoki qurilmalarning ishlashi. Har qanday MM real ob'ekt, hodisa yoki jarayonni voqelikka ma'lum darajada yaqinlashgan holda tasvirlaydi. MM turi ham real ob'ektning tabiatiga, ham tadqiqot maqsadlariga bog'liq.

Ijtimoiy, iqtisodiy, biologik va fizik hodisalarni, ob'ektlarni, tizimlarni va turli xil qurilmalarni matematik modellashtirish tabiatni tushunish va turli xil tizimlar va qurilmalarni loyihalashning eng muhim vositalaridan biridir. Yadro texnologiyalari, aviatsiya va aerokosmik tizimlarni yaratishda, atmosfera va okean hodisalari, ob-havo va boshqalarni bashorat qilishda modellashtirishdan samarali foydalanishning ma'lum misollari mavjud.

Biroq, modellashtirishning bunday jiddiy yo'nalishlari ko'pincha superkompyuterlar va katta olimlar guruhlari tomonidan modellashtirish va uni tuzatish uchun ma'lumotlarni tayyorlash uchun ko'p yillik mehnatni talab qiladi. Shunga qaramay, bu holda, murakkab tizimlar va qurilmalarni matematik modellashtirish nafaqat tadqiqot va sinovlar uchun pulni tejash, balki ekologik ofatlarni ham bartaraf etish imkonini beradi - masalan, yadro va termoyadroviy qurollarni sinovdan o'tkazishdan voz kechish, uni matematik modellashtirish foydasiga imkon beradi. yoki aerokosmik tizimlarni haqiqiy parvozlaridan oldin sinovdan o'tkazish.

Shu bilan birga, oddiyroq masalalarni yechish darajasida matematik modellashtirish, masalan, mexanika, elektrotexnika, elektronika, radiotexnika va fan va texnikaning boshqa ko'plab sohalari zamonaviy shaxsiy kompyuterlarda amalga oshirilishi mumkin. Va umumlashtirilgan modellardan foydalanganda juda murakkab tizimlarni, masalan, telekommunikatsiya tizimlari va tarmoqlarini, radar yoki radio navigatsiya tizimlarini modellashtirish mumkin bo'ladi.

Matematik modellashtirishning maqsadi real jarayonlarni (tabiatda yoki texnologiyada) matematik usullar bilan tahlil qilishdir. O'z navbatida, bu o'rganiladigan MM jarayonini rasmiylashtirishni talab qiladi. Model, xatti-harakati haqiqiy tizimnikiga o'xshash o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan matematik ifoda bo'lishi mumkin. Model ikki yoki undan ortiq "o'yinchilar" ning mumkin bo'lgan harakatlarining ehtimolini hisobga oladigan tasodifiylik elementlarini o'z ichiga olishi mumkin, masalan, o'yin nazariyasida; yoki operatsion tizimning o'zaro bog'langan qismlarining haqiqiy o'zgaruvchilarini ifodalashi mumkin.

Tizimlarning xarakteristikalarini o'rganish uchun matematik modellashtirishni analitik, simulyatsiya va birlashtirilganga bo'lish mumkin. O'z navbatida, MM simulyatsiya va analitikga bo'linadi.

Model va simulyatsiya tushunchasi.

Keng ma'noda model- bu uning o'rnini bosuvchi yoki vakili sifatida ishlatiladigan har qanday hajm, jarayon yoki hodisaning har qanday tasviri, aqliy yoki o'rnatilgan tasvirning analogi, tavsifi, diagrammasi, chizmasi, xaritasi va boshqalar. Ob'ekt, jarayon yoki hodisaning o'zi ushbu modelning asli deb ataladi.

Modellashtirish - bu har qanday ob'ekt yoki ob'ektlar tizimini ularning modellarini qurish va o'rganish orqali o'rganishdir. Bu xususiyatlarni aniqlash yoki takomillashtirish va yangi qurilgan ob'ektlarni qurish usullarini ratsionalizatsiya qilish uchun modellardan foydalanish.

Har qanday ilmiy tadqiqot usuli modellashtirish g'oyasiga asoslanadi, shu bilan birga, nazariy usullarda turli xil belgilar, mavhum modellar, eksperimental modellarda esa mavzu modellari qo'llaniladi.

Murakkab real hodisani o'rganishda u qandaydir soddalashtirilgan nusxa yoki sxema bilan almashtiriladi, ba'zan bunday nusxa faqat eslab qolish va keyingi uchrashuvda kerakli hodisani aniqlash uchun xizmat qiladi. Ba'zan tuzilgan sxema ba'zi muhim xususiyatlarni aks ettiradi, hodisaning mexanizmini tushunishga imkon beradi, uning o'zgarishini taxmin qilish imkonini beradi. Turli xil modellar bir xil hodisaga mos kelishi mumkin.

Tadqiqotchining vazifasi hodisaning mohiyatini va jarayonning borishini bashorat qilishdir.

Ba'zan shunday bo'ladiki, ob'ekt mavjud, ammo u bilan tajribalar qimmatga tushadi yoki jiddiy ekologik oqibatlarga olib keladi. Bunday jarayonlar haqidagi bilimlar modellar yordamida olinadi.

Muhim jihat shundaki, fanning o'zi bir aniq hodisani emas, balki o'zaro bog'liq hodisalarning keng sinfini o'rganishni nazarda tutadi. Bu qonunlar deb ataladigan ba'zi umumiy kategorik bayonotlarni shakllantirish zarurligini anglatadi. Tabiiyki, bunday formula bilan ko'plab tafsilotlar e'tiborga olinmaydi. Naqshni aniqroq aniqlash uchun ular ataylab qo'pollik, ideallashtirish, sxematiklikka o'tadilar, ya'ni ular hodisaning o'zini emas, balki uning ko'proq yoki kamroq aniq nusxasini yoki modelini o'rganadilar. Barcha qonunlar modellar haqidagi qonunlardir va shuning uchun vaqt o'tishi bilan ba'zi ilmiy nazariyalar yaroqsiz deb topilishi ajablanarli emas. Bu fanning qulashiga olib kelmaydi, chunki bir model boshqasi bilan almashtirilgan. zamonaviyroq.

Fanda alohida rolni matematik modellar, bu modellarning qurilish materiali va asboblari - matematik tushunchalar egallaydi. Ular ming yillar davomida to'planib, takomillashgan. Zamonaviy matematika tadqiqotning juda kuchli va universal vositalarini taqdim etadi. Matematikadagi deyarli har bir tushuncha, son tushunchasidan boshlab har bir matematik obyekt matematik modeldir. O'rganilayotgan ob'ekt yoki hodisaning matematik modelini qurishda uning xususiyatlari, xususiyatlari va tafsilotlari ajratib ko'rsatiladi, ular bir tomondan ob'ekt haqida ko'proq yoki kamroq to'liq ma'lumotlarni o'z ichiga oladi, boshqa tomondan esa matematik rasmiylashtirish. Matematik rasmiylashtirish ob'ektning xususiyatlari va tafsilotlarini tegishli adekvat matematik tushunchalar: sonlar, funktsiyalar, matritsalar va boshqalar bilan bog'lash mumkinligini anglatadi. Keyin o'rganilayotgan ob'ektda uning alohida qismlari va komponentlari o'rtasida topilgan va taxmin qilingan bog'lanish va munosabatlarni matematik munosabatlardan foydalangan holda yozish mumkin: tenglik, tengsizlik, tenglamalar. Natijada o‘rganilayotgan jarayon yoki hodisaning matematik tavsifi, ya’ni uning matematik modeli hosil bo‘ladi.

Matematik modelni o'rganish har doim o'rganilayotgan ob'ektlarga ta'sir qilishning ba'zi qoidalari bilan bog'liq. Ushbu qoidalar sabablar va oqibatlar o'rtasidagi munosabatlarni aks ettiradi.

Matematik modelni yaratish har qanday tizimni o'rganish yoki loyihalashning markaziy bosqichidir. Ob'ektning butun keyingi tahlili modelning sifatiga bog'liq. Modelni yaratish rasmiy protsedura emas. Bu tadqiqotchiga, uning tajribasi va didiga juda bog'liq, har doim ma'lum bir eksperimental materialga tayanadi. Model etarlicha aniq, adekvat va foydalanish uchun qulay bo'lishi kerak.

Matematik modellashtirish.

Matematik modellarning tasnifi.

Matematik modellar bo'lishi mumkinbelgilangan va stokastik .

Deterministik model va - bular ob'ekt yoki hodisani tavsiflovchi o'zgaruvchilar o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlik o'rnatiladigan modellardir.

Ushbu yondashuv ob'ektlarning ishlash mexanizmini bilishga asoslanadi. Modellashtirilgan ob'ekt ko'pincha murakkab va uning mexanizmini ochish juda mashaqqatli va ko'p vaqt talab qilishi mumkin. Bunday holda, ular quyidagicha davom etadi: tajribalar asl nusxada o'tkaziladi, natijalar qayta ishlanadi va modellashtirilgan ob'ektning mexanizmi va nazariyasiga kirmasdan, matematik statistika va ehtimollik nazariyasi usullaridan foydalangan holda, ular o'rtasidagi munosabatlarni o'rnatadilar. ob'ektni tavsiflovchi o'zgaruvchilar. Bunday holda, olingstokastik model . DA stokastik model, o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabat tasodifiy, ba'zan u fundamental tarzda sodir bo'ladi. Ko'p sonli omillarning ta'siri, ularning kombinatsiyasi ob'ekt yoki hodisani tavsiflovchi tasodifiy o'zgaruvchilar to'plamiga olib keladi. Rejimlarning tabiatiga ko'ra, modelstatistik va dinamik.

Statistikmodelvaqt o'tishi bilan parametrlarning o'zgarishini hisobga olmasdan, barqaror holatdagi simulyatsiya qilingan ob'ektning asosiy o'zgaruvchilari o'rtasidagi munosabatlar tavsifini o'z ichiga oladi.

DA dinamikmodellarbir rejimdan ikkinchisiga o'tishda simulyatsiya qilingan ob'ektning asosiy o'zgaruvchilari o'rtasidagi munosabatni tavsiflaydi.

Modellar diskret va davomiy, va yana aralashgan turi. DA davomiy o'zgaruvchilar ma'lum bir oraliqdan qiymatlarni oladi, indiskreto'zgaruvchilar izolyatsiya qilingan qiymatlarni oladi.

Chiziqli modellar- modelni tavsiflovchi barcha funktsiyalar va munosabatlar o'zgaruvchilarga chiziqli bog'liqdir vachiziqli emasaks holda.

Matematik modellashtirish.

Talablar , taqdim etdi modellarga.

1. Ko'p qirralilik- real ob'ektning o'rganilayotgan xususiyatlarining modeli bo'yicha ko'rsatishning to'liqligini tavsiflaydi.

Adekvatlik - ob'ektning kerakli xususiyatlarini belgilanganidan yuqori bo'lmagan xato bilan aks ettirish qobiliyati.
Aniqlik - haqiqiy ob'ekt xususiyatlarining qiymatlari va modellar yordamida olingan ushbu xususiyatlar qiymatlarining mos kelish darajasi bilan baholanadi.
Iqtisodiyot - kompyuter xotirasi resurslarining narxi va uni amalga oshirish va ishlatish vaqti bilan belgilanadi.

Matematik modellashtirish.

Modellashtirishning asosiy bosqichlari.

1. Muammoning bayoni.

Tahlil maqsadi va unga erishish yo'llarini aniqlash va o'rganilayotgan muammoga umumiy yondashuvni ishlab chiqish. Bu bosqichda vazifaning mohiyatini chuqur anglash talab etiladi. Ba'zida vazifani to'g'ri qo'yish uni hal qilishdan ko'ra qiyinroq emas. Sahnalashtirish rasmiy jarayon emas, umumiy qoidalar yo'q.

2. Nazariy asoslarni o'rganish va asl nusxa ob'ekti haqida ma'lumot to'plash.

Ushbu bosqichda tegishli nazariya tanlanadi yoki ishlab chiqiladi. Agar u mavjud bo'lmasa, ob'ektni tavsiflovchi o'zgaruvchilar o'rtasida sabab-oqibat munosabatlari o'rnatiladi. Kirish va chiqish ma'lumotlari aniqlanadi, soddalashtiruvchi taxminlar amalga oshiriladi.

3. Rasmiylashtirish.

U belgilar tizimini tanlash va ulardan foydalanib, ob'ekt komponentlari orasidagi bog'lanishni matematik ifodalar shaklida yozishdan iborat. Vazifalar sinfi o'rnatiladi, unga ob'ektning natijaviy matematik modeli tegishli bo'lishi mumkin. Ushbu bosqichdagi ba'zi parametrlarning qiymatlari hali aniqlanmagan bo'lishi mumkin.

4. Yechim usulini tanlash.

Ushbu bosqichda ob'ektning ishlash shartlarini hisobga olgan holda modellarning yakuniy parametrlari o'rnatiladi. Olingan matematik masala uchun yechim usuli tanlanadi yoki maxsus usul ishlab chiqiladi. Usulni tanlashda foydalanuvchining bilimi, uning afzalliklari, shuningdek, ishlab chiquvchining afzalliklari hisobga olinadi.

5. Modelni amalga oshirish.

Algoritm ishlab chiqilgach, disk raskadrovka qilingan dastur yoziladi, sinovdan o'tkaziladi va kerakli muammoning yechimi olinadi.

6. Qabul qilingan axborotni tahlil qilish.

Qabul qilingan va kutilgan yechim solishtiriladi, modellashtirish xatosi nazorat qilinadi.

7. Haqiqiy ob'ektning mosligini tekshirish.

Model tomonidan olingan natijalar solishtiriladiyoki ob'ekt haqida mavjud bo'lgan ma'lumotlar bilan yoki tajriba o'tkaziladi va uning natijalari hisoblanganlar bilan taqqoslanadi.

Modellashtirish jarayoni iterativdir. Bosqichlarning qoniqarsiz natijalari bo'lsa 6. yoki 7. muvaffaqiyatsiz modelni ishlab chiqishga olib kelishi mumkin bo'lgan dastlabki bosqichlardan biriga qaytish amalga oshiriladi. Ushbu bosqich va barcha keyingi bosqichlar takomillashtiriladi va modelning bunday takomillashtirilishi maqbul natijalar olinmaguncha sodir bo'ladi.

Matematik model - bu har qanday sinf hodisalari yoki real dunyo ob'ektlarining matematika tilidagi taxminiy tavsifi. Modellashtirishning asosiy maqsadi ushbu ob'ektlarni o'rganish va kelajakdagi kuzatishlar natijalarini bashorat qilishdir. Biroq, modellashtirish ham atrofdagi dunyoni bilish usuli bo'lib, uni boshqarishga imkon beradi.

To'liq miqyosli eksperiment u yoki bu sababga ko'ra imkonsiz yoki qiyin bo'lgan hollarda matematik modellashtirish va tegishli kompyuter tajribasi ajralmas hisoblanadi. Misol uchun, tarixda "agar nima bo'lardi" ni tekshirish uchun to'liq miqyosli eksperiment o'rnatish mumkin emas, u yoki bu kosmologik nazariyaning to'g'riligini tekshirish mumkin emas. Asosan, vabo kabi ba'zi bir kasallikning tarqalishini sinab ko'rish yoki uning oqibatlarini o'rganish uchun yadro portlashini amalga oshirish mumkin, ammo aql bovar qilmaydi. Biroq, bularning barchasini kompyuterda, o'rganilayotgan hodisalarning matematik modellarini oldindan tuzgan holda amalga oshirish mumkin.

1.1.2 2. Matematik modellashtirishning asosiy bosqichlari

1) Model qurish. Bu bosqichda ba'zi "matematik bo'lmagan" ob'ekt - tabiiy hodisa, qurilish, iqtisodiy reja, ishlab chiqarish jarayoni va boshqalar ko'rsatilgan. Bunday holda, qoida tariqasida, vaziyatni aniq tasvirlash qiyin. Birinchidan, hodisaning asosiy belgilari va ular o'rtasidagi sifat darajasidagi munosabatlar aniqlanadi. So'ngra topilgan sifat bog'liqliklari matematika tilida shakllantiriladi, ya'ni matematik model quriladi. Bu modellashtirishning eng qiyin qismi.

2) Model olib keladigan matematik masalani yechish. Bu bosqichda masalani EHMda yechishning algoritmlari va son usullarini ishlab chiqishga katta e’tibor beriladi, ular yordamida natijani kerakli aniqlikda va ruxsat etilgan vaqt ichida topish mumkin.

3) Matematik modeldan olingan natijalarni talqin qilish.Matematika tilidagi modeldan olingan natijalar ushbu sohada qabul qilingan tilda izohlanadi.

4) Modelning mosligini tekshirish.Ushbu bosqichda tajriba natijalari ma'lum bir aniqlik doirasida modeldan olingan nazariy natijalarga mos keladimi yoki yo'qmi aniqlanadi.

5) Modelni o'zgartirish.Bu bosqichda yoki model haqiqatga mos keladigan darajada murakkablashadi yoki amaliy jihatdan maqbul echimga erishish uchun soddalashtiriladi.

1.1.3 3. Model tasnifi

Modellarni turli mezonlarga ko'ra tasniflash mumkin. Masalan, hal qilinayotgan muammolarning tabiatiga ko'ra, modellar funktsional va strukturaviy bo'linishi mumkin. Birinchi holda, hodisa yoki ob'ektni tavsiflovchi barcha miqdorlar miqdoriy jihatdan ifodalanadi. Shu bilan birga, ularning ba'zilari mustaqil o'zgaruvchilar sifatida, boshqalari esa bu miqdorlarning funktsiyalari sifatida qaraladi. Matematik model odatda ko'rib chiqilayotgan miqdorlar orasidagi miqdoriy munosabatlarni o'rnatadigan har xil turdagi (differensial, algebraik va boshqalar) tenglamalar tizimidir. Ikkinchi holda, model murakkab ob'ektning tuzilishini tavsiflaydi, alohida qismlardan iborat bo'lib, ular orasida ma'lum bog'lanishlar mavjud. Odatda, bu munosabatlar miqdoriy jihatdan baholanmaydi. Bunday modellarni qurish uchun grafik nazariyadan foydalanish qulay. Grafik - bu matematik ob'ekt bo'lib, u tekislikdagi yoki fazodagi nuqtalar (cho'qqilar) to'plami bo'lib, ularning ba'zilari chiziqlar (qirralar) bilan bog'langan.

Dastlabki ma'lumotlarning tabiati va bashorat natijalariga ko'ra, modellarni deterministik va ehtimollik-statistik bo'lish mumkin. Birinchi turdagi modellar aniq, aniq bashoratlarni beradi. Ikkinchi turdagi modellar statistik ma'lumotlarga asoslanadi va ular yordamida olingan bashoratlar ehtimollik xarakteriga ega.

MATEMATIK MODELLASH VA UMUMIY KOMPYUTERLASHTIRISH YOKI SIMULYATSIYA MODELLARI

Hozir mamlakatimizda deyarli universal kompyuterlashtirish amalga oshirilayotgan bir paytda turli kasb egalarining “Mamlakatimizda kompyuterni joriy qilaylik, shunda barcha vazifalar darhol hal bo‘ladi”, degan gaplarni eshitish mumkin. Bu nuqtai nazar mutlaqo noto'g'ri, kompyuterlarning o'zi ma'lum jarayonlarning matematik modellarisiz hech narsa qila olmaydi va faqat universal kompyuterlashtirishni orzu qilish mumkin.

Yuqorida aytilganlarni qo'llab-quvvatlash uchun biz modellashtirish, shu jumladan matematik modellashtirish zarurligini asoslashga harakat qilamiz, uning inson tomonidan tashqi dunyoni bilish va o'zgartirishdagi afzalliklarini ochib beramiz, mavjud kamchiliklarni aniqlaymiz va simulyatsiya modellashtirishga o'tamiz, ya'ni. kompyuter yordamida modellashtirish. Lekin hammasi joyida.

Avvalo, savolga javob beraylik: model nima?

Model - bu bilish (o'rganish) jarayonida ushbu tadqiqot uchun muhim bo'lgan ba'zi tipik xususiyatlarni saqlab qolgan holda asl nusxani almashtiradigan moddiy yoki aqliy tasvirlangan ob'ekt.

Haqiqiy ob'ektga qaraganda yaxshi qurilgan model tadqiqot uchun qulayroqdir. Masalan, ta'lim maqsadlarida mamlakat iqtisodiyoti bilan tajribalar qabul qilinishi mumkin emas, bu erda modelsiz amalga oshirib bo'lmaydi.

Aytilganlarni umumlashtirib, biz savolga javob berishimiz mumkin: modellar nima uchun? Uchun

ob'ekt qanday ishlashini tushunish (uning tuzilishi, xususiyatlari, rivojlanish qonunlari, tashqi dunyo bilan o'zaro ta'siri).
ob'ektni (jarayonni) boshqarishni o'rganish va eng yaxshi strategiyalarni aniqlash
ob'ektga ta'sir qilish oqibatlarini bashorat qilish.

Har qanday modelda nima ijobiy? Bu ob'ekt haqida yangi bilim olish imkonini beradi, lekin, afsuski, u yoki bu darajada to'liq emas.

Modelmatematik usullar yordamida matematika tilida tuzilgan matematik model deyiladi.

Uni qurishning boshlang'ich nuqtasi odatda qandaydir vazifadir, masalan, iqtisodiy. Keng tarqalgan, tavsiflovchi va optimallashtiruvchi matematik bo'lib, har xil xarakterlanadi iqtisodiy jarayonlar va shunga o'xshash voqealar:

resurslarni taqsimlash
oqilona kesish
transport
korxonalarni birlashtirish
tarmoqni rejalashtirish.

Matematik model qanday tuzilgan?

Birinchidan, tadqiqotning maqsadi va mavzusi shakllantiriladi.
Ikkinchidan, ushbu maqsadga mos keladigan eng muhim xususiyatlar ta'kidlangan.
Uchinchidan, model elementlari orasidagi munosabatlar og'zaki tasvirlangan.
Bundan tashqari, munosabatlar rasmiylashtiriladi.
Va hisoblash matematik model va olingan yechimning tahlili bo'yicha amalga oshiriladi.

Ushbu algoritmdan foydalanib, siz har qanday optimallashtirish muammosini, jumladan, ko'p mezonli, ya'ni. bir emas, balki bir nechta maqsadlar, jumladan, qarama-qarshi maqsadlar ko'zlangan.

Keling, bir misol keltiraylik. Navbat nazariyasi - navbat muammosi. Siz ikkita omilni muvozanatlashingiz kerak - xizmat ko'rsatish moslamalarini saqlash xarajatlari va navbatda turish narxi. Modelning rasmiy tavsifini qurgandan so'ng, hisob-kitoblar analitik va hisoblash usullari yordamida amalga oshiriladi. Agar model yaxshi bo'lsa, uning yordami bilan topilgan javoblar modellashtirish tizimiga mos keladi, agar u yomon bo'lsa, uni yaxshilash va almashtirish kerak. Adekvatlik mezoni amaliyotdir.

Optimallashtirish modellari, shu jumladan ko'p mezonli modellar umumiy xususiyatga ega - maqsad (yoki bir nechta maqsadlar) ma'lum, qaysi biri ko'pincha murakkab tizimlar bilan shug'ullanishi kerak, bu erda gap optimallashtirish muammolarini hal qilish haqida emas, balki holatlarni tadqiq qilish va bashorat qilish bilan bog'liq. tanlangan boshqaruv strategiyalariga bog'liq. Va bu erda biz avvalgi rejani amalga oshirishda qiyinchiliklarga duch keldik. Ular quyidagichadir:

murakkab tizim elementlar orasidagi ko'plab aloqalarni o'z ichiga oladi
real tizimga tasodifiy omillar ta'sir qiladi, ularni analitik hisobga olish mumkin emas
Asl nusxani model bilan solishtirish imkoniyati faqat matematik apparatni qo'llash boshida va keyin mavjud, chunki oraliq natijalar haqiqiy tizimda analoglarga ega bo'lmasligi mumkin.

Murakkab tizimlarni o'rganishda yuzaga keladigan sanab o'tilgan qiyinchiliklar bilan bog'liq holda, amaliyot yanada moslashuvchan usulni talab qildi va u paydo bo'ldi - simulyatsiya modellashtirish " Simujatsion modellashtirish".

Odatda, simulyatsiya modeli deganda tizimlarning alohida bloklarining ishlashi va ular o'rtasidagi o'zaro ta'sir qoidalarini tavsiflovchi kompyuter dasturlari to'plami tushuniladi. Tasodifiy o'zgaruvchilardan foydalanish simulyatsiya tizimi (kompyuterda) bilan qayta-qayta tajribalar o'tkazish va olingan natijalarning keyingi statistik tahlilini talab qiladi. Simulyatsiya modellaridan foydalanishning juda keng tarqalgan misoli MONTE KARLO usuli bilan navbat masalasini hal qilishdir.

Shunday qilib, simulyatsiya tizimi bilan ishlash kompyuterda o'tkaziladigan tajribadir. Qanday foyda bor?

– Matematik modellarga qaraganda real tizimga ko‘proq yaqinlik;

– Blok printsipi har bir blokni umumiy tizimga kiritishdan oldin tekshirish imkonini beradi;

- Oddiy matematik munosabatlar bilan tavsiflanmagan yanada murakkab tabiatdagi bog'liqliklardan foydalanish.

Ro'yxatdagi afzalliklar kamchiliklarni aniqlaydi

- simulyatsiya modelini yaratish uzoqroq, qiyinroq va qimmatroq;

- simulyatsiya tizimi bilan ishlash uchun sizda sinfga mos kompyuter bo'lishi kerak;

- foydalanuvchi va simulyatsiya modeli (interfeys) o'rtasidagi o'zaro ta'sir juda murakkab, qulay va yaxshi ma'lum bo'lmasligi kerak;

- simulyatsiya modelini qurish matematik modellashtirishdan ko'ra real jarayonni chuqurroq o'rganishni talab qiladi.

Savol tug'iladi: simulyatsiya modellashtirish optimallashtirish usullarini almashtira oladimi? Yo'q, lekin ularni qulay tarzda to'ldiradi. Simulyatsiya modeli - bu optimallashtirish muammosi birinchi bo'lib hal qilinadigan boshqaruvni optimallashtirish uchun qandaydir algoritmni amalga oshiradigan dastur.

Shunday qilib, na kompyuter, na matematik model, na uni alohida o'rganish algoritmi juda murakkab muammoni hal qila olmaydi. Ammo ular birgalikda atrofingizdagi dunyoni bilish, uni inson manfaatlari yo'lida boshqarish imkonini beruvchi kuchni ifodalaydi.

1.2 Model tasnifi

1.2.1
Vaqt omili va foydalanish maydonini hisobga olgan holda tasniflash (Makarova N.A.)

Statik model - bu ob'ekt haqida bir martalik ma'lumotga o'xshaydi (bitta so'rov natijasi)
Dinamik model - imkon beradi vaqt o'tishi bilan ob'ektdagi o'zgarishlarni ko'ring (Klinikada karta)
Modellar bo'yicha tasniflanishi mumkin ular qaysi bilim sohasiga mansub(biologik, tarixiy, ekologik va boshqalar)
Boshlanishga qayting

1.2.2 Foydalanish sohasi bo'yicha tasniflash (Makarova N.A.)

Trening - ingl yordamchi vositalar, murabbiylar , oh urish dasturlari
Tajribali modellar - qisqartirilgan nusxalar (shamol tunnelidagi mashina)
Ilmiy va texnik sinxofazotron, elektron jihozlarni sinovdan o'tkazish uchun stend
O'yin - iqtisodiy, sport, biznes o'yinlari
simulyatsiya - emas ular shunchaki haqiqatni aks ettiradi, lekin unga taqlid qiladi (dorilar sichqonlarda sinab ko'riladi, maktablarda tajribalar o'tkaziladi va hokazo. Bu modellashtirish usuli deyiladi. sinov va xato
Boshlanishga qayting

1.2.3 Taqdimot usuli bo'yicha tasniflash Makarova N.A.)

material modellar - aks holda mavzu deb atash mumkin. Ular asl nusxaning geometrik va fizik xususiyatlarini idrok etadilar va har doim haqiqiy timsolga ega.
Axborot modellar - ruxsat etilmaydi teging yoki ko'ring. Ular ma'lumotlarga asoslanadi. .Ma `lumot model - ob'ekt, jarayon, hodisaning xossalari va holatlarini, shuningdek, tashqi dunyo bilan munosabatlarini tavsiflovchi ma'lumotlar to'plami.
Og'zaki model - aqliy yoki suhbat shaklida axborot modeli.
Ikonik namunaviy-axborot belgilar bilan ifodalangan model , ya'ni.. har qanday rasmiy til yordamida.
Kompyuter modeli - m Dasturiy ta'minot muhiti yordamida amalga oshirilgan model.

1.2.4 "Informatika mamlakati" kitobida keltirilgan modellar tasnifi (Gein A.G.))

“...bu yerda oddiy ko‘ringan vazifa bor: Qoraqum cho‘lini bosib o‘tish uchun qancha vaqt ketadi? Javob bering, albatta sayohat rejimiga bog'liq. Agar a sayohat qilish tuyalar, keyin bir muddat talab qilinadi, agar siz mashinada boradigan bo'lsangiz, boshqasi, samolyotda uchsangiz uchinchisi. Va eng muhimi, sayohatni rejalashtirish uchun turli modellar talab qilinadi. Birinchi holda, kerakli modelni mashhur cho'l tadqiqotchilarining xotiralarida topish mumkin: axir, vohalar va tuya yo'llari haqida ma'lumotsiz ish qilib bo'lmaydi. Ikkinchi holda, yo'llar atlasidagi almashtirib bo'lmaydigan ma'lumotlar. Uchinchisida - parvoz jadvalidan foydalanishingiz mumkin.
Ushbu uchta model bir-biridan farq qiladi - xotiralar, atlas va jadvallar va ma'lumotlar taqdimotining tabiati. Birinchi holda, model ma'lumotning og'zaki tavsifi bilan ifodalanadi (tavsif modeli), ikkinchisida - tabiatdan olingan fotosurat kabi (tabiiy model), uchinchisida - belgilarni o'z ichiga olgan jadval: ketish va kelish vaqti, haftaning kuni, chipta narxi (belgi modeli deb ataladi) Biroq, bu bo'linish juda o'zboshimchalik bilan - xaritalar va diagrammalar (to'liq masshtabli model elementlari) esdaliklarda mavjud, xaritalarda belgilar (ramzli model elementlari), belgilarning dekodlanishi (tavsifiy model elementlari) mavjud. ) jadvalda keltirilgan. Shunday qilib, modellarning bunday tasnifi ... bizning fikrimizcha, samarasiz"
Menimcha, bu parcha Geinning barcha kitoblari uchun umumiy bo'lgan tavsiflovchi (ajoyib til va taqdimot uslubi) va go'yo Sokratik ta'lim uslubini namoyish etadi (Hamma shunday deb o'ylaydi. Men siz bilan to'liq qo'shilaman, lekin agar siz diqqat bilan qarasangiz, unda ...). Bunday kitoblarda aniq ta'riflar tizimini topish juda qiyin (u muallif tomonidan mo'ljallanmagan). N.A. tomonidan tahrir qilingan darslikda. Makarova boshqacha yondashuvni namoyish etadi - tushunchalarning ta'riflari aniq ajralib turadi va biroz statikdir.

1.2.5 A.I.Bochkin qo'llanmasida keltirilgan modellarning tasnifi

Tasniflashning ko'plab usullari mavjud .Biz taqdim etamiz faqat bir nechta taniqli fondlar va belgilari: diskretlik va uzluksizlik, matritsa va skalyar modellar, statik va dinamik modellar, analitik va axborot modellari, predmetli va obrazli-belgili modellar, katta masshtabli va masshtabsiz...
Har bir belgi ma'lum beradi modelning ham, modellashtirilgan haqiqatning ham xususiyatlari haqida bilim. Belgi simulyatsiya qanday bajarilganligi yoki bajarilishi kerakligi haqida maslahat bo'lib xizmat qilishi mumkin.
Diskretlik va davomiylik diskretlik - kompyuter modellarining xarakterli xususiyati .Hammasidan keyin; axiyri kompyuter juda ko'p bo'lsa-da, cheklangan holatda bo'lishi mumkin. Shuning uchun, ob'ekt uzluksiz (vaqt) bo'lsa ham, modelda u sakrashlarda o'zgaradi. Buni ko'rib chiqish mumkin edi davomiylik kompyuter turi bo'lmagan modellarning belgisi.
Tasodifiylik va determinizm . Ishonchsizlik, baxtsiz hodisa dastlab kompyuter dunyosiga qarshi: Yana ishga tushirilgan algoritm o'zini takrorlashi va bir xil natijalarni berishi kerak. Ammo tasodifiy jarayonlarni simulyatsiya qilish uchun psevdo-tasodifiy raqamlar sensorlari ishlatiladi. Tasodifiylikni deterministik muammolarga kiritish kuchli va qiziqarli modellarga olib keladi (Tasodifiy o'tish maydonini hisoblash).
Matritsa - skaler. Parametrlarning mavjudligi matritsa model bilan solishtirganda uning kattaroq murakkabligini va, ehtimol, aniqligini ko'rsatadi skalyar. Misol uchun, agar mamlakat aholisining barcha yosh guruhlarini ajratib ko'rsatmasak, uning o'zgarishini bir butun sifatida hisobga olsak, biz skalyar modelni olamiz (masalan, Maltus modeli), alohida ajratsak, matritsa (jins va yosh) olinadi. model. Urushdan keyin tug'ilish darajasining o'zgarishini tushuntirishga imkon bergan matritsa modeli edi.
statik dinamizm. Modelning bu xususiyatlari odatda real ob'ektning xususiyatlari bilan oldindan belgilanadi. Bu erda tanlash erkinligi yo'q. Shunchaki statik model sari qadam bo'lishi mumkin dinamik, yoki ba'zi model o'zgaruvchilari hozircha o'zgarmagan deb hisoblanishi mumkin. Masalan, sun'iy yo'ldosh Yer atrofida harakat qiladi, uning harakatiga Oy ta'sir qiladi. Agar sun'iy yo'ldoshning aylanishi paytida Oyni harakatsiz deb hisoblasak, biz oddiyroq modelga ega bo'lamiz.
Analitik modellar. Jarayonlarning tavsifi analitik tarzda, formulalar va tenglamalar. Ammo grafik yaratishga urinayotganda, funktsiya qiymatlari va argumentlar jadvallariga ega bo'lish qulayroqdir.
simulyatsiya modellari. simulyatsiya modellar uzoq vaqt oldin paydo bo'lgan kemalar, ko'priklar va boshqalarning katta hajmdagi nusxalari ko'rinishida uzoq vaqt oldin paydo bo'lgan, ammo kompyuterlar bilan bog'liq holda ular yaqinda ko'rib chiqiladi. Qanday bog'langanligini bilish model elementlarini analitik va mantiqiy jihatdan ma'lum munosabatlar va tenglamalar tizimini yechish emas, balki xotira elementlari orasidagi bog'lanishlarni hisobga olgan holda haqiqiy tizimni kompyuter xotirasiga joylashtirish osonroq.
Axborot modellari. Axborot Modellarni matematik, aniqrog'i algoritmik modellarga qarama-qarshi qo'yish odatiy holdir. Bu erda ma'lumotlar/algoritm nisbati muhim ahamiyatga ega. Agar ko'proq ma'lumotlar mavjud bo'lsa yoki ular muhimroq bo'lsa, bizda axborot modeli mavjud, aks holda - matematik.
Mavzu modellari. Bu birinchi navbatda bolalar modeli - o'yinchoq.
Tasviriy belgilar modellari. Bu, birinchi navbatda, inson ongida namunadir: obrazli, agar grafik tasvirlar ustunlik qilsa va ramziy, agar so'zlar va/yoki raqamlardan ko'p bo'lsa. Tasviriy belgilar modellari kompyuterda qurilgan.
masshtabli modellar. Kimga keng ko'lamli modellar - ob'ekt (xarita) shaklini takrorlaydigan mavzu yoki tasviriy modellar.

Matematik modellashtirish

1. Matematik modellashtirish nima?

XX asr o'rtalaridan boshlab. inson faoliyatining turli sohalarida matematik usullar va kompyuterlardan keng foydalanila boshlandi. Tegishli ob'ektlar va hodisalarning matematik modellarini, shuningdek, ushbu modellarni o'rganish usullarini o'rganadigan "matematik iqtisod", "matematik kimyo", "matematik tilshunoslik" kabi yangi fanlar paydo bo'ldi.

2. Matematik modellashtirishning asosiy bosqichlari

1) Model qurish. Bu bosqichda ba'zi "matematik bo'lmagan" ob'ekt - tabiiy hodisa, qurilish, iqtisodiy reja, ishlab chiqarish jarayoni va boshqalar ko'rsatilgan. Bunday holda, qoida tariqasida, vaziyatni aniq tasvirlash qiyin. Birinchidan, hodisaning asosiy belgilari va ular o'rtasidagi sifat darajasidagi munosabatlar aniqlanadi. So'ngra topilgan sifat bog'liqliklari matematika tilida shakllantiriladi, ya'ni matematik model quriladi. Bu modellashtirishning eng qiyin qismi.

2) Model olib keladigan matematik masalani yechish. Bu bosqichda masalani EHMda yechishning algoritmlari va son usullarini ishlab chiqishga katta e’tibor beriladi, ular yordamida natijani kerakli aniqlikda va ruxsat etilgan vaqt ichida topish mumkin.

3) Matematik modeldan olingan natijalarni talqin qilish. Matematika tilidagi modeldan olingan natijalar ushbu sohada qabul qilingan tilda izohlanadi.

4) Modelning mosligini tekshirish. Ushbu bosqichda tajriba natijalari ma'lum bir aniqlik doirasida modeldan olingan nazariy natijalarga mos keladimi yoki yo'qmi aniqlanadi.

5) Modelni o'zgartirish. Bu bosqichda yoki model haqiqatga mos keladigan darajada murakkablashadi yoki amaliy jihatdan maqbul echimga erishish uchun soddalashtiriladi.

3. Modellarning tasnifi

4. Matematik modellarga misollar

1) Snaryadning harakati bilan bog'liq muammolar.

Mexanikada quyidagi muammoni ko'rib chiqing.

Snaryad Yerdan v 0 = 30 m/s boshlang‘ich tezlik bilan uning yuzasiga a = 45° burchak ostida uchiriladi; uning harakat traektoriyasini va bu traektoriyaning boshlanish va oxirgi nuqtalari orasidagi S masofani topish talab etiladi.

Keyin, maktab fizikasi kursidan ma'lumki, snaryadning harakati quyidagi formulalar bilan tavsiflanadi:

bu erda t - vaqt, g = 10 m / s 2 - erkin tushish tezlashishi. Bu formulalar topshiriqning matematik modelini beradi. Birinchi tenglamadan t ni x ko‘rinishida ifodalab, ikkinchi tenglamaga almashtirsak, o‘qning traektoriyasi tenglamasini olamiz:

Ushbu egri chiziq (parabola) x o'qini ikkita nuqtada kesib o'tadi: x 1 \u003d 0 (traektoriyaning boshlanishi) va (snaryad tushgan joy). Olingan formulalarga berilgan v0 va a qiymatlarini almashtirib, olamiz

javob: y \u003d x - 90x 2, S \u003d 90 m.

E'tibor bering, ushbu modelni yaratishda bir qator taxminlardan foydalanilgan: masalan, Yer tekis, havo va Yerning aylanishi snaryadning harakatiga ta'sir qilmaydi, deb taxmin qilinadi.

2) Eng kichik sirt maydoni bo'lgan tank muammosi.

Hajmi V = 30 m 3 bo'lgan, yopiq dumaloq silindr shakliga ega bo'lgan, uning sirt maydoni S minimal bo'lgan qalay idishning balandligi h 0 va radiusi r 0 ni topish kerak (bu holda, eng kichik uni ishlab chiqarish uchun qalay miqdori ishlatiladi).

Balandligi h va radiusi r bo'lgan silindrning hajmi va sirt maydoni uchun quyidagi formulalarni yozamiz:

V = p r 2 h, S = 2p r (r + h).

Birinchi formuladan h ni r va V ko'rinishida ifodalab, hosil bo'lgan ifodani ikkinchisiga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

Shunday qilib, matematik nuqtai nazardan, muammo S(r) funksiya minimal darajaga yetgan r ning qiymatini aniqlashga tushiriladi. Keling, hosilasi bo'lgan r 0 qiymatlarini topamiz

nolga tushadi: r argumenti r 0 nuqtadan o‘tganda S(r) funksiyaning ikkinchi hosilasi belgisini minusdan plyusga o‘zgartirishini tekshirishingiz mumkin. Demak, S(r) funksiya r0 nuqtada minimumga ega. Tegishli qiymat h 0 = 2r 0 . Berilgan V qiymatini r 0 va h 0 ifodasiga almashtirib, kerakli radiusni olamiz. va balandligi

3) Transport vazifasi.

Shaharda ikkita un ombori va ikkita novvoyxona mavjud. Har kuni birinchi ombordan 50 tonna, ikkinchidan 70 tonna, birinchi omborga 40 tonna, ikkinchisiga 80 tonna un eksport qilinmoqda.

tomonidan belgilang a ij - 1 t unni i-ombordan j-zavodga tashish xarajatlari (i, j = 1,2). Mayli

a 11 \u003d 1,2 p., a 12 \u003d 1,6 p., a 21 \u003d 0,8 p., a 22 = 1 p.

Ularning narxi minimal bo'lishi uchun transportni qanday rejalashtirish kerak?

Keling, masalaning matematik formulasini beraylik. Birinchi ombordan birinchi va ikkinchi zavodlarga, x 3 va x 4 orqali esa mos ravishda ikkinchi ombordan birinchi va ikkinchi zavodlarga o'tkazilishi kerak bo'lgan un miqdorini x 1 va x 2 bilan belgilaymiz. Keyin:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Barcha transportning umumiy qiymati formula bo'yicha aniqlanadi

f = 1,2x1 + 1,6x2 + 0,8x3 + x4.

Matematik nuqtai nazardan, vazifa barcha berilgan shartlarni qanoatlantiradigan va f funksiyaning minimalini beradigan to'rtta x 1 , x 2 , x 3 va x 4 sonlarini topishdan iborat. xi (i = 1, 2, 3, 4) ga nisbatan (1) tenglamalar tizimini noma’lumlarni bartaraf etish usuli bilan yechamiz. Biz buni tushunamiz

x 1 \u003d x 4 - 30, x 2 \u003d 80 - x 4, x 3 \u003d 70 - x 4, (2)

va x 4 ni yagona aniqlash mumkin emas. x i i 0 (i = 1, 2, 3, 4) boʻlgani uchun (2) tenglamalardan 30J x 4 J 70 ekanligi kelib chiqadi. X 1 , x 2 , x 3 ifodasini f formulasiga almashtirib, hosil boʻladi.

f \u003d 148 - 0,2x 4.

Ushbu funktsiyaning minimal qiymati x 4 ning maksimal mumkin bo'lgan qiymatida, ya'ni x 4 = 70 da erishilganligini ko'rish oson. Boshqa noma'lumlarning tegishli qiymatlari (2) formulalar bilan aniqlanadi: x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Radioaktiv parchalanish muammosi.

N(0) radioaktiv moddaning boshlang’ich atomlari soni, N(t) esa t vaqtdagi parchalanmagan atomlar soni bo’lsin. Ushbu atomlar sonining o'zgarish tezligi N "(t) N (t) ga proportsional ekanligi, ya'ni N" (t) \u003d -l N (t), l > 0 ekanligi eksperimental ravishda aniqlangan. berilgan moddaning radioaktivlik konstantasi. Maktab matematik tahlil kursida bu differensial tenglamaning yechimi N(t) = N(0)e –l t ko'rinishga ega ekanligi ko'rsatilgan. Dastlabki atomlar soni ikki baravar kamaygan T vaqti yarim yemirilish davri deb ataladi va moddaning radioaktivligining muhim xarakteristikasi hisoblanadi. T ni aniqlash uchun formulaga qo'yish kerak Keyin Misol uchun, radon uchun l = 2,084 10-6 va, natijada, T = 3,15 kun.

5) Sayohatchi sotuvchi muammosi.

A 1 shahrida yashovchi sayohatchi sotuvchi A 2, A 3 va A 4 shaharlariga, har bir shaharga aynan bir marta tashrif buyurishi va keyin A 1 ga qaytishi kerak. Ma’lumki, barcha shaharlar juft bo‘lib yo‘llar orqali bog‘langan va A i va A j shaharlari orasidagi b ij yo‘llarining uzunligi (i, j = 1, 2, 3, 4) quyidagicha:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Tegishli yo'lning uzunligi minimal bo'lgan shaharlarga tashrif buyurish tartibini aniqlash kerak.

Keling, har bir shaharni samolyotdagi nuqta sifatida tasvirlaymiz va uni tegishli Ai yorlig'i bilan belgilaymiz (i = 1, 2, 3, 4). Keling, ushbu nuqtalarni chiziq segmentlari bilan bog'laymiz: ular shaharlar orasidagi yo'llarni tasvirlaydi. Har bir "yo'l" uchun biz uning uzunligini kilometrlarda ko'rsatamiz (2-rasm). Natijada grafik hosil bo'ladi - tekislikdagi ma'lum nuqtalar to'plamidan (cho'qqilar deb ataladi) va bu nuqtalarni bog'laydigan ma'lum chiziqlar to'plamidan (qirralar deb ataladi) iborat matematik ob'ekt. Bundan tashqari, ushbu grafik etiketlangan, chunki ba'zi teglar uning tepalari va qirralariga - raqamlar (qirralar) yoki belgilar (cho'qqilar) uchun tayinlangan. Grafikdagi tsikl V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 cho‘qqilar ketma-ketligi bo‘lib, shundayki V 1 , ..., V k cho‘qqilari har xil bo‘ladi va har qanday juft V i , V uchlari juftligi. i+1 (i = 1, ..., k – 1) va V 1 , V k juftligi chekka bilan bog‘langan. Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan muammo barcha chekka og'irliklarining yig'indisi minimal bo'lgan to'rtta cho'qqidan o'tuvchi grafikda shunday tsiklni topishdir. Keling, to'rtta cho'qqidan o'tuvchi va A 1 dan boshlab barcha turli tsikllarni qidiramiz:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .

Endi bu sikllarning uzunliklarini (km da) topamiz: L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Demak, eng kichik uzunlikdagi marshrut birinchisidir.

E'tibor bering, agar grafikda n ta cho'qqi bo'lsa va barcha cho'qqilar qirralar bilan juft bo'lib bog'langan bo'lsa (bunday grafik to'liq deyiladi), u holda barcha cho'qqilardan o'tadigan tsikllar soni teng bo'ladi.Demak, bizning holatimizda aynan uchta tsikl mavjud. .

6) Moddalarning tuzilishi va xossalari orasidagi bog`lanishni topish masalasi.

Oddiy alkanlar deb ataladigan bir nechta kimyoviy birikmalarni ko'rib chiqing. Ular n = 3 uchun 3-rasmda ko'rsatilgandek o'zaro bog'langan n uglerod atomi va n + 2 vodorod atomidan (n = 1, 2 ...) iborat. Ushbu birikmalarning qaynash nuqtalarining tajriba qiymatlari ma'lum bo'lsin:

y e (3) = - 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Ushbu birikmalar uchun qaynash nuqtasi va n soni o'rtasidagi taxminiy munosabatni topish talab qilinadi. Bu bog'liqlik shaklga ega deb taxmin qilamiz

y » a n+b

qayerda a, b - aniqlanadigan konstantalar. Topish uchun a va b biz ushbu formulaga ketma-ket n = 3, 4, 5, 6 va qaynash nuqtalarining mos keladigan qiymatlarini almashtiramiz. Bizda ... bor:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+b.

Eng yaxshisini aniqlash uchun a va b juda ko'p turli xil usullar mavjud. Keling, ulardan eng oddiylaridan foydalanamiz. b ni ifodalaymiz a bu tenglamalardan:

b" - 42 - 3 a, b » – 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.

Kerakli b sifatida bu qiymatlarning o'rtacha arifmetik qiymatini olamiz, ya'ni b » 16 - 4,5 ni qo'yamiz. a. Keling, bu qiymat b ni tenglamalarning dastlabki tizimiga almashtiramiz va hisoblaymiz a, uchun olamiz a quyidagi qiymatlar: a» 37, a» 28, a» 28, a» 36 a bu raqamlarning o'rtacha qiymati, ya'ni qo'yamiz a» 34. Demak, kerakli tenglama shaklga ega

y » 34n – 139.

Keling, dastlabki to'rtta birikma bo'yicha modelning to'g'riligini tekshiramiz, buning uchun olingan formuladan foydalanib, qaynash nuqtalarini hisoblaymiz:

y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°.

Shunday qilib, ushbu birikmalar uchun bu xususiyatning hisoblash xatosi 5 ° dan oshmaydi. Olingan tenglamadan boshlang'ich to'plamga kirmagan n = 7 bo'lgan birikmaning qaynash haroratini hisoblash uchun foydalanamiz, buning uchun biz ushbu tenglamaga n = 7 ni almashtiramiz: y r (7) = 99 °. Natija juda aniq bo'lib chiqdi: ma'lumki, qaynash nuqtasining tajriba qiymati y e (7) = 98 °.

7) Elektr zanjirining ishonchliligini aniqlash muammosi.

Bu erda biz ehtimollik modelining misolini ko'rib chiqamiz. Birinchidan, ehtimollik nazariyasidan - tajribani qayta-qayta takrorlashda kuzatilgan tasodifiy hodisalarning qonuniyatlarini o'rganadigan matematik fandan ba'zi ma'lumotlarni keltiramiz. Keling, tasodifiy A hodisasini ba'zi tajribaning mumkin bo'lgan natijasi deb ataylik. A 1, ..., A k hodisalari, agar ulardan biri tajriba natijasida majburiy ravishda sodir bo'lsa, to'liq guruh hosil qiladi. Hodisalar bir xil tajribada bir vaqtning o'zida sodir bo'lolmasa, mos kelmaydigan deb ataladi. Tajribani n marta takrorlashda A hodisasi m marta sodir bo'lsin. A hodisaning chastotasi W = soni. Shubhasiz, V ning qiymatini bir qator n ta tajribalar o'tkazilmaguncha aniq bashorat qilib bo'lmaydi. Biroq, tasodifiy hodisalarning tabiati shundan iboratki, amalda ba'zida quyidagi effekt kuzatiladi: tajribalar sonining ko'payishi bilan qiymat amalda tasodifiy bo'lishni to'xtatadi va ba'zi bir tasodifiy bo'lmagan P (A) soni atrofida barqarorlashadi. hodisaning ehtimolligi A. Mumkin bo'lmagan hodisa uchun (tajribada hech qachon ro'y bermaydi) P(A)=0 va ma'lum bir hodisa uchun (tajribada doimo sodir bo'ladigan) P(A)=1. Agar A 1 , ..., A k hodisalar mos kelmaydigan hodisalarning toʻliq guruhini tashkil qilsa, P(A 1)+...+P(A k)=1.

Misol uchun, tajriba zar otish va tushgan nuqtalar sonini kuzatishdan iborat bo'lsin X. Keyin quyidagi tasodifiy hodisalarni kiritishimiz mumkin A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Ular hosil qiladi. mos kelmaydigan teng ehtimolli hodisalarning to'liq guruhi, shuning uchun P (A i) = (i = 1, ..., 6).

A va B hodisalar yig’indisi A+B hodisasi bo’lib, tajribada ulardan kamida bittasi ro’y berishidan iborat. A va B hodisalarning mahsuloti AB hodisasi bo'lib, bu hodisalarning bir vaqtning o'zida sodir bo'lishidan iborat. Mustaqil A va B hodisalari uchun formulalar to'g'ri

P (AB) = P (A) P (B), P (A + B) = P (A) + P (B).

8) Endi quyidagilarni ko'rib chiqing vazifa. Faraz qilaylik, elektr zanjirida bir-biridan mustaqil ishlaydigan uchta element ketma-ket ulangan. 1-, 2- va 3-elementlarning ishdan chiqish ehtimoli mos ravishda P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Agar kontaktlarning zanglashiga olib keladigan oqim bo'lmasligi ehtimoli 0,4 dan oshmasa, biz sxemani ishonchli deb hisoblaymiz. Berilgan zanjir ishonchli yoki yo'qligini aniqlash talab qilinadi.

Elementlar ketma-ket ulanganligi sababli, elementlardan kamida bittasi ishlamay qolsa, zanjirda (A hodisasi) oqim bo'lmaydi. i-element ishlayotgan hodisa A i bo‘lsin (i = 1, 2, 3). Keyin P (A1) = 0,9, P (A2) = 0,85, P (A3) = 0,8. Shubhasiz, A 1 A 2 A 3 - bu uchta elementning bir vaqtning o'zida ishlashi va

P(A 1 A 2 A 3) = P (A 1) P (A 2) P (A 3) = 0,612.

Keyin P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, shuning uchun P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, matematik modellarning yuqoridagi misollari (ular orasida funktsional va strukturaviy, deterministik va ehtimollik mavjud) illyustrativdir va tabiiy va gumanitar fanlarda paydo bo'ladigan barcha matematik modellarni tugatmaydi.

Matematik modellar

Matematik model - taxminiy opiyordamida ifodalangan modellashtirish ob'ektining tavsifischyu matematik simvolizm.

Matematik modellar matematika bilan bir qatorda ko'p asrlar oldin paydo bo'lgan. Kompyuterlarning paydo bo'lishi matematik modellashtirishning rivojlanishiga katta turtki berdi. Kompyuterlardan foydalanish ilgari analitik tadqiqotlar uchun mos bo'lmagan ko'plab matematik modellarni tahlil qilish va amaliyotda qo'llash imkonini berdi. Kompyuter tomonidan amalga oshirilgan matematikosmon modeli chaqirdi kompyuter matematik modeli, a kompyuter modeli yordamida maqsadli hisob-kitoblarni amalga oshirish chaqirdi hisoblash tajribasi.

Kompyuter matematik mo bosqichlario'chirish rasmda ko'rsatilgan. Birinchibosqich - modellashtirish maqsadlarini aniqlash. Ushbu maqsadlar har xil bo'lishi mumkin:

Muayyan ob'ekt qanday ishlashini, uning tuzilishi, asosiy xususiyatlari, rivojlanish qonunlari va o'zaro ta'sirini tushunish uchun model kerak.
tashqi dunyo bilan (tushunish);
ob'ektni (yoki jarayonni) qanday boshqarishni o'rganish va berilgan maqsadlar va mezonlar (boshqaruv) uchun boshqarishning eng yaxshi usullarini aniqlash uchun model kerak;
model ob'ektga ta'sir qilishning ko'rsatilgan usullari va shakllarini amalga oshirishning bevosita va bilvosita oqibatlarini bashorat qilish uchun kerak (prognozlash).

Keling, misollar bilan tushuntiramiz. O'rganish ob'ekti suyuqlik yoki gaz oqimining ushbu oqimga to'sqinlik qiladigan jism bilan o'zaro ta'siri bo'lsin. Tajriba shuni ko'rsatadiki, tananing yonidan oqimga qarshilik kuchi oqim tezligining oshishi bilan ortadi, ammo etarlicha yuqori tezlikda bu kuch tezlikni yanada oshirish bilan yana kuchayishi uchun keskin kamayadi. Qarshilik kuchining pasayishiga nima sabab bo'ldi? Matematik modellashtirish aniq javob olish imkonini beradi: qarshilik keskin pasayganda, suyuqlik yoki gaz oqimida oqimli tananing orqasida hosil bo'lgan vortekslar undan ajralib chiqa boshlaydi va oqim tomonidan olib ketiladi.

Mutlaqo boshqa hududdan misol: umumiy oziq-ovqat bazasiga ega bo'lgan ikki turdagi individlarning barqaror soni bilan tinch-totuv yashab, "to'satdan" ularning sonini keskin o'zgartira boshlaydi. Va bu erda matematik modellashtirish (ma'lum darajada aniqlik bilan) sababni aniqlashga (yoki hech bo'lmaganda ma'lum bir gipotezani rad etishga) imkon beradi.

Ob'ektni boshqarish kontseptsiyasini ishlab chiqish modellashtirishning yana bir mumkin bo'lgan maqsadi hisoblanadi. Parvoz xavfsiz va iqtisodiy jihatdan eng foydali bo'lishi uchun samolyotning qaysi parvoz rejimini tanlash kerak? Katta ob'ektni qurish bo'yicha yuzlab turdagi ishlarni iloji boricha tezroq tugatish uchun qanday rejalashtirish kerak? Bunday ko'plab muammolar iqtisodchilar, dizaynerlar va olimlar oldida muntazam ravishda paydo bo'ladi.

Nihoyat, ob'ektga ma'lum ta'sirlarning oqibatlarini bashorat qilish oddiy fizik tizimlarda ham nisbatan oddiy masala, ham biologik, iqtisodiy, ijtimoiy tizimlarda o'ta murakkab - amalga oshirish imkoniyati yoqasida bo'lishi mumkin. Agar yupqa tayoqchada issiqlik tarqalish rejimining o'zgarishi bilan uning tarkibiy qotishmasi o'zgarishi haqidagi savolga javob berish nisbatan oson bo'lsa, u holda qurilishning ekologik va iqlimiy oqibatlarini kuzatish (bashorat qilish) beqiyos darajada qiyinroq. yirik gidroelektr stantsiyasi yoki soliq qonunchiligidagi o'zgarishlarning ijtimoiy oqibatlari. Ehtimol, bu erda ham matematik modellashtirish usullari kelajakda yanada muhim yordam beradi.

Ikkinchi bosqich: modelning kirish va chiqish parametrlarini aniqlash; kirish parametrlarini ularning o'zgarishining chiqishga ta'sirining muhimlik darajasiga ko'ra bo'linishi. Bu jarayon reyting yoki darajaga bo'linish deb ataladi (pastga qarang). "Formalizamodellashtirish va modellashtirish").

Uchinchi bosqich: matematik modelni qurish. Bu bosqichda modelning mavhum shakllantirilishidan aniq matematik tasvirga ega bo'lgan formulaga o'tish sodir bo'ladi. Matematik model - bu tenglamalar, tenglamalar tizimi, tengsizliklar tizimi, differentsial tenglamalar yoki bunday tenglamalar tizimlari va boshqalar.

To'rtinchi bosqich: matematik modelni o'rganish usulini tanlash. Ko'pincha bu erda raqamli usullar qo'llaniladi, ular dasturlash uchun yaxshi yordam beradi. Qoida tariqasida, bir xil muammoni hal qilish uchun bir nechta usullar mos keladi, ular aniqligi, barqarorligi va boshqalar bilan farqlanadi. Butun modellashtirish jarayonining muvaffaqiyati ko'pincha usulni to'g'ri tanlashga bog'liq.

Beshinchi bosqich: algoritmni ishlab chiqish, kompilyatsiya qilish va kompyuter dasturini tuzatish - rasmiylashtirish qiyin bo'lgan jarayon. Dasturlash tillaridan matematik modellashtirish bo'yicha ko'plab mutaxassislar FORTRANni afzal ko'rishadi: ham an'anaga ko'ra, ham kompilyatorlarning beqiyos samaradorligi (hisoblash ishlari uchun) va katta, puxta tuzatilgan va optimallashtirilgan matematik usullarning standart dasturlari kutubxonalarining mavjudligi tufayli. bu. PASCAL, BASIC, C kabi tillar ham vazifaning tabiati va dasturchining moyilligiga qarab qo'llaniladi.

Oltinchi bosqich: dastur sinovi. Dasturning ishlashi javobi ma'lum bo'lgan test masalasida tekshiriladi. Bu rasmiy ravishda to'liq ta'riflash qiyin bo'lgan sinov jarayonining boshlanishi. Odatda, test foydalanuvchi o'zining professional xususiyatlariga ko'ra dasturni to'g'ri deb hisoblaganda tugaydi.

Ettinchi bosqich: haqiqiy hisoblash tajribasi, uning davomida model haqiqiy ob'ektga (jarayonga) mos keladimi yoki yo'qmi aniq bo'ladi. Agar kompyuterda olingan jarayonning ba'zi xarakteristikalari ma'lum bir aniqlik darajasiga ega bo'lgan eksperimental olingan xarakteristikalar bilan mos tushsa, model haqiqiy jarayonga etarli darajada adekvat hisoblanadi. Agar model haqiqiy jarayonga mos kelmasa, biz oldingi bosqichlardan biriga qaytamiz.

Matematik modellarning tasnifi

Matematik modellarni tasniflash turli printsiplarga asoslanishi mumkin. Modellarni fan sohalari (fizika, biologiya, sotsiologiya va boshqalardagi matematik modellar) bo‘yicha tasniflash mumkin. U qo'llaniladigan matematik apparatlarga ko'ra tasniflanishi mumkin (oddiy differensial tenglamalar, qisman differensial tenglamalar, stokastik usullar, diskret algebraik o'zgarishlar va boshqalardan foydalanishga asoslangan modellar). Va nihoyat, agar matematik apparatdan qat'i nazar, turli fanlarda modellashtirishning umumiy vazifalaridan kelib chiqadigan bo'lsak, quyidagi tasnif eng tabiiydir:

tavsiflovchi (tavsiflovchi) modellar;
optimallashtirish modellari;
ko'p mezonli modellar;
o'yin modellari.

Buni misollar bilan tushuntiramiz.

Ta'riflovchi (tavsiflovchi) modellar. Masalan, Quyosh tizimiga bostirib kirgan kometa harakatining simulyatsiyasi uning parvoz traektoriyasini, Yerdan qancha masofada o‘tishini va hokazolarni bashorat qilish uchun amalga oshiriladi. Bunday holda, modellashtirishning maqsadlari tavsiflovchidir, chunki kometaning harakatiga ta'sir qilish, undagi biror narsani o'zgartirishning hech qanday usuli yo'q.

Optimallashtirish modellari berilgan maqsadga erishishga urinishda ta'sir ko'rsatish mumkin bo'lgan jarayonlarni tavsiflash uchun ishlatiladi. Bunday holda, model ta'sir qilishi mumkin bo'lgan bir yoki bir nechta parametrlarni o'z ichiga oladi. Misol uchun, don omboridagi issiqlik rejimini o'zgartirib, donni maksimal darajada saqlashga erishish uchun bunday rejimni tanlash maqsadini qo'yish mumkin, ya'ni. saqlash jarayonini optimallashtirish.

Ko'p mezonli modellar. Ko'pincha jarayonni bir vaqtning o'zida bir nechta parametrlarda optimallashtirish kerak bo'ladi va maqsadlar juda ziddiyatli bo'lishi mumkin. Masalan, oziq-ovqat narxlari va insonning oziq-ovqatga bo'lgan ehtiyojini bilib, odamlarning katta guruhlari (armiya, bolalar yozgi lageri va boshqalar) uchun ovqatlanishni fiziologik jihatdan to'g'ri va shu bilan birga, iloji boricha arzonroq tashkil qilish kerak. Bu maqsadlar bir-biriga mutlaqo mos kelmasligi aniq; modellashtirishda bir nechta mezonlar qo'llaniladi, ular orasida muvozanatni izlash kerak.

O'yin modellari nafaqat kompyuter o'yinlari, balki juda jiddiy narsalar bilan ham bog'liq bo'lishi mumkin. Masalan, jangdan oldin, agar qarama-qarshi qo'shin haqida to'liq bo'lmagan ma'lumot bo'lsa, qo'mondon rejani ishlab chiqishi kerak: dushmanning mumkin bo'lgan reaktsiyasini hisobga olgan holda, ma'lum bir bo'linmalarni qanday tartibda jangga olib kirish va hokazo. Zamonaviy matematikaning maxsus bo'limi - o'yin nazariyasi mavjud bo'lib, u to'liq bo'lmagan ma'lumotlar sharoitida qaror qabul qilish usullarini o'rganadi.

Maktab informatika kursida talabalar asosiy kursning bir qismi sifatida kompyuterni matematik modellashtirish haqida dastlabki tasavvurga ega bo'ladilar. O'rta maktabda matematik modellashtirishni fizika va matematika darslari uchun umumiy ta'lim kursida, shuningdek, ixtisoslashtirilgan tanlov kursida chuqur o'rganish mumkin.

O'rta maktabda kompyuter matematik modellashtirishni o'qitishning asosiy shakllari ma'ruza, laboratoriya va kredit darslaridir. Odatda, har bir yangi modelni yaratish va o'rganishga tayyorgarlik ko'rish 3-4 darsni oladi. Materialni taqdim etish jarayonida kelajakda talabalar mustaqil ravishda hal qilishlari kerak bo'lgan vazifalar qo'yiladi, umumiy ma'noda ularni hal qilish yo'llari ko'rsatilgan. Savollar tuziladi, ularga javoblar topshiriqlarni bajarishda olinishi kerak. Qo'shimcha adabiyotlar ko'rsatilgan, bu esa vazifalarni yanada muvaffaqiyatli bajarish uchun yordamchi ma'lumotlarni olish imkonini beradi.

Yangi materialni o'rganishda darslarni tashkil etish shakli odatda ma'ruzadir. Keyingi modelni muhokama qilish tugagandan so'ng talabalar ularning ixtiyorida zarur nazariy ma'lumotlar va keyingi ish uchun vazifalar to'plami mavjud. Topshiriqga tayyorgarlik ko'rish jarayonida talabalar tegishli yechim usulini tanlaydilar, ba'zi ma'lum shaxsiy echimlardan foydalangan holda, ular ishlab chiqilgan dasturni sinab ko'radilar. Vazifalarni bajarishda mumkin bo'lgan qiyinchiliklar bo'lsa, maslahatlar beriladi, ushbu bo'limlarni adabiyotda batafsilroq ishlab chiqish taklifi kiritiladi.

Kompyuterda modellashtirishni o'rgatishning amaliy qismiga eng mos keladigani bu loyihalar usulidir. Vazifa talaba uchun o'quv loyihasi shaklida tuzilgan va bir necha darslar davomida amalga oshiriladi va bu holda asosiy tashkiliy shakl kompyuter laboratoriyasi ishi hisoblanadi. O'quv loyihasi usuli yordamida modellashni o'rganish turli darajalarda amalga oshirilishi mumkin. Birinchisi, loyihani amalga oshirish jarayonining muammoli bayoni, uni o'qituvchi boshqaradi. Ikkinchisi, o'qituvchi rahbarligida talabalar tomonidan loyihani amalga oshirish. Uchinchisi - talabalar tomonidan o'quv tadqiqot loyihasini mustaqil ravishda amalga oshirish.

Ish natijalari raqamli shaklda, grafiklar, diagrammalar shaklida taqdim etilishi kerak. Agar iloji bo'lsa, jarayon kompyuter ekranida dinamikada taqdim etiladi. Hisob-kitoblar tugallangandan va natijalar olingandan so'ng, ular tahlil qilinadi, nazariyadan ma'lum faktlar bilan taqqoslanadi, ishonchliligi tasdiqlanadi va mazmunli talqin qilinadi, bu esa keyinchalik yozma hisobotda aks ettiriladi.

Agar natijalar talaba va o'qituvchini qoniqtirsa, u holda ish hisobga oladi yakunlanadi va uning yakuniy bosqichi hisobot tayyorlash hisoblanadi. Ma’ruzada o‘rganilayotgan mavzu bo‘yicha qisqacha nazariy ma’lumotlar, masalaning matematik formulasi, yechish algoritmi va uning asoslanishi, EHM dasturi, dastur natijalari, natijalar va xulosalar tahlili, foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati keltirilgan.

Barcha hisobotlar tuzilgandan so'ng, test sessiyasida talabalar bajarilgan ishlar bo'yicha qisqacha hisobot beradilar, o'z loyihasini himoya qiladilar. Bu loyiha jamoasi tomonidan sinfga hisobot berishning samarali shakli bo'lib, muammoni qo'yish, rasmiy modelni qurish, model bilan ishlash usullarini tanlash, modelni kompyuterda amalga oshirish, tayyor model bilan ishlash, natijalarni sharhlash, bashorat qilish. Natijada, talabalar ikkita baho olishlari mumkin: birinchisi - loyihani ishlab chiqish va uni himoya qilishning muvaffaqiyati uchun, ikkinchisi - dastur, uning algoritmi, interfeysining optimalligi va boshqalar. Talabalar nazariya bo'yicha so'rovlar jarayonida ham baho oladilar.

Muhim savol - matematik modellashtirish uchun maktab informatika kursida qanday vositalardan foydalanish kerak? Modellarni kompyuterda amalga oshirish mumkin:

elektron jadvaldan foydalanish (odatda MS Excel);
an'anaviy dasturlash tillarida (Paskal, BASIC va boshqalar), shuningdek ularning zamonaviy versiyalarida (Delphi, Visual) dasturlar yaratish orqali
Ilova uchun asosiy va boshqalar);
matematik masalalarni yechish uchun maxsus dasturiy paketlardan foydalanish (MathCAD va boshqalar).

Boshlang'ich maktab darajasida birinchi vosita afzal ko'rinadi. Biroq, o'rta maktabda, dasturlash modellashtirish bilan bir qatorda, informatika fanining asosiy mavzusi bo'lsa, uni modellashtirish vositasi sifatida jalb qilish maqsadga muvofiqdir. Dasturlash jarayonida matematik protseduralar tafsilotlari talabalar uchun mavjud bo'ladi; bundan tashqari, ularni oddiygina o'zlashtirishga majbur qilishadi va bu ham matematik ta'limga hissa qo'shadi. Maxsus dasturiy paketlardan foydalanishga kelsak, bu boshqa vositalarga qo'shimcha sifatida profil informatika kursida mos keladi.

Mashq qilish :

Asosiy tushunchalarni belgilang.

Matematik modellashtirish modellari. §bir. matematik modellashtirishning asosiy maqsadlari, ta'riflari va tamoyillari, modellarning turlari