a)

Yechim.

Qarorning birinchi va eng muhim momenti - bu chizmaning qurilishi.

Keling, rasm chizamiz:

Tenglama y=0 x o'qini o'rnatadi;

- x=-2 va x=1 - to'g'ri, o'qga parallel OU;

- y \u003d x 2 +2 - shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan, tepasi (0;2) nuqtada joylashgan parabola.

Izoh. Parabolani qurish uchun uning koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini topish kifoya, ya'ni. qo'yish x=0 o'qi bilan kesishgan joyni toping OU va mos kvadrat tenglamani yechish, o'q bilan kesishishni toping Oh .

Parabolaning uchini quyidagi formulalar yordamida topish mumkin:

Chiziqlarni va nuqtalarni chizishingiz mumkin.

[-2;1] oraliqda funksiya grafigi y=x 2 +2 joylashgan eksa ustida ho'kiz , Shunung uchun:

Javob: S \u003d 9 kvadrat birlik

Vazifa bajarilgandan so'ng, chizmaga qarash va javob haqiqiy yoki yo'qligini aniqlash har doim foydalidir. Bunday holda, "ko'z bilan" biz chizmadagi hujayralar sonini hisoblaymiz - yaxshi, taxminan 9 ta teriladi, bu haqiqatga o'xshaydi. Aniqki, agar bizda, aytaylik, javob bo'lsa: 20 kvadrat birlik, demak, biror joyda xatoga yo'l qo'yilgan - 20 hujayra aniq ko'rsatilgan raqamga mos kelmaydi, ko'pi bilan o'nlab. Agar javob salbiy bo'lib chiqsa, u holda vazifa ham noto'g'ri hal qilingan.

Egri chiziqli trapezoid joylashgan bo'lsa, nima qilish kerak aks ostida Oh?

b) Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang y=-e x , x=1 va koordinata o'qlari.

Yechim.

Keling, rasm chizamiz.

Agar egri chiziqli trapezoid bo'lsa to'liq o'q ostida Oh , u holda uning maydonini quyidagi formula bo'yicha topish mumkin:

Javob: S=(e-1) kv. birlik" 1,72 kv. birlik

Diqqat! Ikki turdagi vazifalarni aralashtirib yubormang:

1) Agar sizdan hech qanday geometrik ma'nosiz faqat aniq integralni echishingiz so'ralsa, u manfiy bo'lishi mumkin.

2) Agar sizdan aniq integral yordamida figuraning maydonini topish so'ralsa, u holda maydon har doim ijobiy bo'ladi! Shuning uchun ko'rib chiqilgan formulada minus paydo bo'ladi.

Amalda, ko'pincha bu raqam yuqori va pastki yarim tekisliklarda joylashgan.

Bilan) Chiziqlar bilan chegaralangan tekislik figurasining maydonini toping y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Yechim.

Avval siz rasm chizishingiz kerak. Umuman olganda, maydon muammolari chizmasini qurishda bizni ko'proq chiziqlarning kesishish nuqtalari qiziqtiradi. Parabolaning kesishish nuqtalarini toping va to'g'ridan-to'g'ri Bu ikki usulda amalga oshirilishi mumkin. Birinchi usul analitikdir.

Tenglamani yechamiz:

Shunday qilib, integratsiyaning pastki chegarasi a=0 , integratsiyaning yuqori chegarasi b=3 .

Berilgan chiziqlarni quramiz: 1. Parabola - (1;1) nuqtadagi tepa; eksa kesishmasi Oh - ball(0;0) va (0;2). 2. To'g'ri chiziq - 2 va 4-koordinata burchaklarining bissektrisasi. Va endi Diqqat! Agar segmentda [ a;b] ba'zi uzluksiz funksiya f(x) ba'zi uzluksiz funksiyadan katta yoki unga teng g(x), keyin mos keladigan raqamning maydonini quyidagi formula bo'yicha topish mumkin: . Shakl qayerda joylashganligi muhim emas - o'qdan yuqorida yoki o'qdan pastda, lekin qaysi diagramma YUQOR (boshqa diagrammaga nisbatan) va qaysi biri QUYIDA ekanligi muhim. Ko'rib chiqilayotgan misolda ko'rinib turibdiki, segmentda parabola to'g'ri chiziqdan yuqorida joylashgan va shuning uchun undan ayirish kerak.

Integratsiya chegaralari go'yo "o'z-o'zidan" aniqlangan holda, nuqta-nuqta chiziqlarini qurish mumkin. Shunga qaramay, chegaralarni topishning analitik usuli, masalan, grafik etarlicha katta bo'lsa yoki tishli konstruktsiya integratsiya chegaralarini aniqlamasa (ular kasr yoki irratsional bo'lishi mumkin) ba'zan foydalanishga to'g'ri keladi.

Kerakli raqam yuqoridan parabola va pastdan to'g'ri chiziq bilan cheklangan.

Segmentda , mos keladigan formula bo'yicha:

Javob: S \u003d 4,5 kv. birlik

Aslida, figuraning maydonini topish uchun sizga noaniq va aniq integral haqida ko'p ma'lumot kerak emas. "Maydonni aniq integral yordamida hisoblash" vazifasi har doim chizilgan qurilishni o'z ichiga oladi, shuning uchun sizning bilimingiz va chizish qobiliyatingiz ancha dolzarb masala bo'ladi. Shu munosabat bilan asosiy elementar funktsiyalarning grafiklari xotirasini yangilash va hech bo'lmaganda to'g'ri chiziq va giperbolani qurish foydalidir.

Egri chiziqli trapetsiya - bu o'q, to'g'ri chiziqlar va segmentdagi uzluksiz funktsiyaning grafigi bilan chegaralangan tekis figura, bu oraliqda belgisi o'zgarmaydi. Bu raqam joylashgan bo'lsin kam emas absissa:

Keyin egri chiziqli trapezoidning maydoni son jihatdan ma'lum bir integralga teng. Har qanday aniq integral (mavjud) juda yaxshi geometrik ma'noga ega.

Geometriya nuqtai nazaridan aniq integral AREA hisoblanadi.

Ya'ni, aniq integral (agar u mavjud bo'lsa) geometrik jihatdan biron bir figuraning maydoniga mos keladi. Masalan, aniq integralni ko'rib chiqing. Integrand o'qdan yuqorida joylashgan tekislikdagi egri chiziqni belgilaydi (xohlaganlar chizmani bajarishlari mumkin) va aniq integralning o'zi son jihatdan mos keladigan egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng.

1-misol

Bu odatiy vazifa bayonoti. Qarorning birinchi va eng muhim momenti - bu chizmaning qurilishi. Bundan tashqari, chizma qurilishi kerak TO'G'RI.

Loyihani yaratishda men quyidagi tartibni tavsiya qilaman: birinchi barcha chiziqlarni (agar mavjud bo'lsa) qurish yaxshiroq va faqat Keyin- parabola, giperbola, boshqa funksiyalarning grafiklari. Funktsiya grafiklarini qurish foydaliroq nuqtaga.

Ushbu muammoda yechim shunday ko'rinishi mumkin.
Keling, chizma tuzamiz (e'tibor bering, tenglama o'qni belgilaydi):

Segmentda funksiyaning grafigi joylashgan eksa ustida, Shunung uchun:

Javob:

Vazifa bajarilgandan so'ng, chizmaga qarash va javob haqiqiy yoki yo'qligini aniqlash har doim foydalidir. Bunday holda, "ko'z bilan" biz chizmadagi hujayralar sonini hisoblaymiz - yaxshi, taxminan 9 ta teriladi, bu haqiqatga o'xshaydi. Aniqki, agar bizda, aytaylik, javob bo'lsa: 20 kvadrat birlik, demak, biror joyda xatoga yo'l qo'yilgan - 20 hujayra aniq ko'rsatilgan raqamga mos kelmaydi, ko'pi bilan o'nlab. Agar javob salbiy bo'lib chiqsa, u holda vazifa ham noto'g'ri hal qilingan.

3-misol

Chiziqlar va koordinata o'qlari bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang.

Yechim: Keling, rasm chizamiz:

Agar egri chiziqli trapezoid joylashgan bo'lsa aks ostida(yoki hech bo'lmaganda yuqori emas berilgan o'q), u holda uning maydonini quyidagi formula bo'yicha topish mumkin:

Ushbu holatda:

Diqqat! Ikki turdagi vazifalarni aralashtirib yubormang:

1) Agar sizdan hech qanday geometrik ma'nosiz faqat aniq integralni echishingiz so'ralsa, u manfiy bo'lishi mumkin.

2) Agar sizdan aniq integral yordamida figuraning maydonini topish so'ralsa, u holda maydon har doim ijobiy bo'ladi! Shuning uchun ko'rib chiqilgan formulada minus paydo bo'ladi.

Amalda, ko'pincha bu raqam yuqori va pastki yarim tekislikda joylashgan va shuning uchun eng oddiy maktab muammolaridan biz yanada mazmunli misollarga o'tamiz.

4-misol

Chiziqlar bilan chegaralangan tekis figuraning maydonini toping.

Yechim: Avval siz chizmani bajarishingiz kerak. Umuman olganda, maydon muammolari chizmasini qurishda bizni ko'proq chiziqlarning kesishish nuqtalari qiziqtiradi. Parabola va chiziqning kesishish nuqtalarini topamiz. Bu ikki usulda amalga oshirilishi mumkin. Birinchi usul analitikdir. Tenglamani yechamiz:

Demak, integratsiyaning pastki chegarasi, integratsiyaning yuqori chegarasi.

Iloji bo'lsa, bu usuldan foydalanmaslik yaxshiroqdir..

Integratsiya chegaralari xuddi "o'z-o'zidan" aniqlanganda, chiziqlarni nuqtama-nuqta qurish ancha foydali va tezroq. Shunga qaramay, chegaralarni topishning analitik usuli, masalan, grafik etarlicha katta bo'lsa yoki tishli konstruktsiya integratsiya chegaralarini aniqlamasa (ular kasr yoki irratsional bo'lishi mumkin) ba'zan foydalanishga to'g'ri keladi. Va biz bunday misolni ham ko'rib chiqamiz.

Biz o'z vazifamizga qaytamiz: avval to'g'ri chiziq, keyin esa parabola qurish oqilonaroq. Keling, rasm chizamiz:

Va endi ish formulasi: Agar intervalda uzluksiz funksiya mavjud bo'lsa dan katta yoki teng ba'zi uzluksiz funktsiya, keyin ushbu funktsiyalarning grafiklari va to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan raqamning maydonini quyidagi formula bilan topish mumkin:

Bu erda endi raqam qayerda joylashganligini o'ylashning hojati yo'q - o'qdan yuqorida yoki o'qdan pastda, va, taxminan, qaysi diagramma YUQORIDA ekanligi muhim(boshqa grafikga nisbatan), va qaysi biri quyida.

Ko'rib chiqilayotgan misolda ko'rinib turibdiki, segmentda parabola to'g'ri chiziqdan yuqorida joylashgan va shuning uchun undan ayirish kerak.

Yechimni yakunlash quyidagicha ko'rinishi mumkin:

Kerakli raqam yuqoridan parabola va pastdan to'g'ri chiziq bilan cheklangan.
Segmentda tegishli formula bo'yicha:

Javob:

4-misol

, , , chiziqlari bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang.

Yechim: Avval rasm chizamiz:

Biz maydonini topishimiz kerak bo'lgan raqam ko'k rangga bo'yalgan.(shartga diqqat bilan qarang - raqam qanday cheklangan!). Ammo amalda, e'tiborsizlik tufayli, ko'pincha yashil rangga bo'yalgan raqamning maydonini topishingiz kerak bo'lgan "nosozlik" paydo bo'ladi!

Ushbu misol, shuningdek, foydalidir, chunki unda raqamning maydoni ikkita aniq integral yordamida hisoblanadi.

Haqiqatan ham:

1) Eksa ustidagi segmentda to'g'ri chiziqli grafik mavjud;

2) Eksa ustidagi segmentda giperbola grafigi joylashgan.

Hududlarni qo'shish mumkinligi (va kerakligi) aniq, shuning uchun:

Aniq integral. Shaklning maydonini qanday hisoblash mumkin

Endi biz integral hisobning qo'llanilishini ko'rib chiqishga o'tamiz. Ushbu darsda biz odatiy va eng keng tarqalgan vazifani tahlil qilamiz. Tekislik figurasining maydonini hisoblash uchun aniq integraldan qanday foydalanish kerak. Nihoyat, oliy matematikada ma'no izlayotganlar - topsinlar. Siz hech qachon bilmaysiz. Haqiqiy hayotda siz oddiy funktsiyalarga ega yozgi uyni taxmin qilishingiz va ma'lum bir integral yordamida uning maydonini topishingiz kerak bo'ladi.

Materialni muvaffaqiyatli o'zlashtirish uchun sizga kerak:

1) Noaniq integralni hech bo'lmaganda o'rta darajada tushuning. Shunday qilib, qo'g'irchoqlar birinchi navbatda darsni o'qishlari kerak Yo'q.

2) Nyuton-Leybnits formulasini qo‘llay olish va aniq integralni hisoblay olish. Sahifada ma'lum integrallar bilan iliq do'stona munosabatlar o'rnatishingiz mumkin Aniq integral. Yechim misollari.

Aslida, figuraning maydonini topish uchun sizga noaniq va aniq integral haqida ko'p ma'lumot kerak emas. "Maydonni aniq integral yordamida hisoblash" vazifasi har doim chizilgan qurilishni o'z ichiga oladi, shuning uchun sizning bilimingiz va chizish qobiliyatingiz ancha dolzarb masala bo'ladi. Shu munosabat bilan asosiy elementar funksiyalarning grafiklari xotirasini yangilash va hech bo'lmaganda to'g'ri chiziq, parabola va giperbolani qura olish foydalidir. Buni uslubiy material va grafiklarning geometrik o'zgarishlariga oid maqola yordamida (ko'pchilik bunga muhtoj) qilish mumkin.

Darhaqiqat, aniq integral yordamida maydonni topish muammosi bilan hamma maktabdan beri tanish va biz maktab o'quv dasturidan biroz oldinga o'tamiz. Ushbu maqola umuman mavjud bo'lmasligi mumkin, ammo haqiqat shundaki, muammo 100 ta holatdan 99 tasida, talaba oliy matematika kursini o'zlashtirgan ishtiyoq bilan nafratlangan minora tomonidan azoblanganida yuzaga keladi.

Ushbu seminarning materiallari sodda, batafsil va minimal nazariya bilan taqdim etilgan.

Egri chiziqli trapesiyadan boshlaylik.

Egri chiziqli trapezoid eksa, to'g'ri chiziqlar va bu oraliqda belgisini o'zgartirmaydigan segmentdagi uzluksiz funktsiya grafigi bilan chegaralangan tekis figura deb ataladi. Bu raqam joylashgan bo'lsin kam emas absissa:

Keyin egri chiziqli trapezoidning maydoni son jihatdan ma'lum bir integralga teng. Har qanday aniq integral (mavjud) juda yaxshi geometrik ma'noga ega. Darsda Aniq integral. Yechim misollari Aniq integral son ekanligini aytdim. Va endi yana bir foydali faktni aytish vaqti keldi. Geometriya nuqtai nazaridan aniq integral AREA hisoblanadi.

Ya'ni, aniq integral (agar u mavjud bo'lsa) geometrik jihatdan qandaydir figuraning maydoniga mos keladi. Masalan, aniq integralni ko'rib chiqing. Integrand o'qdan yuqorida joylashgan tekislikdagi egri chiziqni belgilaydi (xohlaganlar chizmani bajarishlari mumkin) va aniq integralning o'zi son jihatdan mos keladigan egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng.

1-misol

Bu odatiy vazifa bayonoti. Qarorning birinchi va eng muhim momenti - bu chizmaning qurilishi. Bundan tashqari, chizma qurilishi kerak TO'G'RI.

Loyihani yaratishda men quyidagi tartibni tavsiya qilaman: birinchi barcha chiziqlarni (agar mavjud bo'lsa) qurish yaxshiroq va faqat Keyin- parabola, giperbola, boshqa funksiyalarning grafiklari. Funktsiya grafiklarini qurish foydaliroq nuqtadan nuqta, nuqtali qurilish texnikasi bilan mos yozuvlar materialida topish mumkin Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari. U erda siz bizning darsimizga nisbatan juda foydali bo'lgan materialni topishingiz mumkin - parabolani qanday tezda qurish.

Ushbu muammoda yechim shunday ko'rinishi mumkin.
Keling, chizma tuzamiz (e'tibor bering, tenglama o'qni belgilaydi):

Men egri chiziqli trapezoidni yaratmayman, bu erda biz qaysi soha haqida gapirayotganimiz aniq. Yechim quyidagicha davom etadi:

Segmentda funksiyaning grafigi joylashgan eksa ustida, Shunung uchun:

Javob:

Kim aniq integralni hisoblashda va Nyuton-Leybnits formulasini qo'llashda qiynaladi , ma'ruzaga murojaat qiling Aniq integral. Yechim misollari.

Vazifa bajarilgandan so'ng, chizmaga qarash va javob haqiqiy yoki yo'qligini aniqlash har doim foydalidir. Bunday holda, "ko'z bilan" biz chizmadagi hujayralar sonini hisoblaymiz - yaxshi, taxminan 9 tasi teriladi, bu to'g'ri ko'rinadi. Aniqki, agar bizda, aytaylik, javob bo'lsa: 20 kvadrat birlik, demak, biror joyda xatoga yo'l qo'yilgan - 20 ta katak ko'rsatilgan raqamga to'g'ri kelmaydi, ko'pi bilan o'nlab. Agar javob salbiy bo'lib chiqsa, u holda vazifa ham noto'g'ri hal qilingan.

2-misol

, , va o'qi bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. To'liq yechim va javob dars oxirida.

Egri chiziqli trapezoid joylashgan bo'lsa, nima qilish kerak aks ostida?

3-misol

Chiziqlar va koordinata o'qlari bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang.

Yechim: Keling, rasm chizamiz:

Agar egri chiziqli trapezoid joylashgan bo'lsa aks ostida(yoki hech bo'lmaganda yuqori emas berilgan o'q), u holda uning maydonini quyidagi formula bo'yicha topish mumkin:
Ushbu holatda:

Diqqat! Ikki turdagi vazifalarni aralashtirib yubormang:

1) Agar sizdan hech qanday geometrik ma'nosiz faqat aniq integralni echishingiz so'ralsa, u manfiy bo'lishi mumkin.

2) Agar sizdan aniq integral yordamida figuraning maydonini topish so'ralsa, u holda maydon har doim ijobiy bo'ladi! Shuning uchun ko'rib chiqilgan formulada minus paydo bo'ladi.

Amalda, ko'pincha bu raqam yuqori va pastki yarim tekislikda joylashgan va shuning uchun eng oddiy maktab muammolaridan biz yanada mazmunli misollarga o'tamiz.

4-misol

Chiziqlar bilan chegaralangan tekis figuraning maydonini toping.

Yechim: Avval siz chizmani bajarishingiz kerak. Umuman olganda, maydon muammolari chizmasini qurishda bizni ko'proq chiziqlarning kesishish nuqtalari qiziqtiradi. Parabola va chiziqning kesishish nuqtalarini topamiz. Bu ikki usulda amalga oshirilishi mumkin. Birinchi usul analitikdir. Tenglamani yechamiz:

Demak, integratsiyaning pastki chegarasi, integratsiyaning yuqori chegarasi.
Iloji bo'lsa, bu usuldan foydalanmaslik yaxshiroqdir..

Integratsiya chegaralari xuddi "o'z-o'zidan" aniqlanganda, chiziqlarni nuqtama-nuqta qurish ancha foydali va tezroq. Turli diagrammalar uchun nuqta-nuqta qurish texnikasi yordamda batafsil muhokama qilinadi Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari. Shunga qaramay, chegaralarni topishning analitik usuli, masalan, grafik etarlicha katta bo'lsa yoki tishli konstruktsiya integratsiya chegaralarini aniqlamasa (ular kasr yoki irratsional bo'lishi mumkin) ba'zan foydalanishga to'g'ri keladi. Va biz bunday misolni ham ko'rib chiqamiz.

Biz o'z vazifamizga qaytamiz: avval to'g'ri chiziq, keyin esa parabola qurish oqilonaroq. Keling, rasm chizamiz:

Yana takror aytamanki, nuqtali qurilish bilan integratsiya chegaralari ko'pincha "avtomatik ravishda" aniqlanadi.

Va endi ish formulasi: Agar intervalda uzluksiz funksiya mavjud bo'lsa dan katta yoki teng ba'zi uzluksiz funktsiya, keyin ushbu funktsiyalarning grafiklari va to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan raqamning maydonini quyidagi formula bilan topish mumkin:

Bu erda endi raqam qayerda joylashganligi haqida o'ylashning hojati yo'q - o'qdan yuqorida yoki o'qdan pastda va, taxminan, qaysi diagramma YUQORIDA ekanligi muhim(boshqa grafikga nisbatan), va qaysi biri quyida.

Ko'rib chiqilayotgan misolda ko'rinib turibdiki, segmentda parabola to'g'ri chiziqdan yuqorida joylashgan va shuning uchun undan ayirish kerak.

Yechimni yakunlash quyidagicha ko'rinishi mumkin:

Kerakli raqam yuqoridan parabola va pastdan to'g'ri chiziq bilan cheklangan.
Segmentda tegishli formula bo'yicha:

Javob:

Aslida, pastki yarim tekislikdagi egri chiziqli trapezoidning maydoni uchun maktab formulasi (3-sonli oddiy misolga qarang) formulaning alohida holatidir. . Chunki o'q tenglama bilan berilgan va funktsiyaning grafigi joylashgan yuqori emas keyin boltalar

Va endi mustaqil qaror qabul qilish uchun bir nechta misol

5-misol

6-misol

Chiziqlar bilan o'ralgan figuraning maydonini toping.

Muayyan integral yordamida maydonni hisoblash masalalarini yechish jarayonida ba'zida kulgili voqea sodir bo'ladi. Chizma to'g'ri tuzilgan, hisob-kitoblar to'g'ri, ammo e'tiborsizlik tufayli ... noto'g'ri figuraning maydoni topildi, sizning itoatkor xizmatkoringiz bir necha marta buzg'unchilik qildi. Mana haqiqiy hayotiy voqea:

7-misol

, , , chiziqlari bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang.

Yechim: Avval rasm chizamiz:

…Eh, chizma ahmoq chiqdi, lekin hamma narsa o'qiladiganga o'xshaydi.

Biz maydonini topishimiz kerak bo'lgan raqam ko'k rangga bo'yalgan.(shartga diqqat bilan qarang - raqam qanday cheklangan!). Ammo amalda, e'tiborsizlik tufayli, ko'pincha yashil rangga bo'yalgan raqamning maydonini topishingiz kerak bo'lgan "nosozlik" paydo bo'ladi!

Ushbu misol, shuningdek, foydalidir, chunki unda raqamning maydoni ikkita aniq integral yordamida hisoblanadi. Haqiqatan ham:

1) Eksa ustidagi segmentda to'g'ri chiziqli grafik mavjud;

2) Eksa ustidagi segmentda giperbola grafigi joylashgan.

Hududlarni qo'shish mumkinligi (va kerakligi) aniq, shuning uchun:

Javob:

Keling, yana bir mazmunli vazifaga o'tamiz.

8-misol

Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang,
Keling, tenglamalarni "maktab" ko'rinishida taqdim etamiz va nuqta-nuqta chizamiz:

Chizmadan ko'rinib turibdiki, bizning yuqori chegaramiz "yaxshi": .
Ammo pastki chegara nima? Bu butun son emasligi aniq, lekin nima? Balkim ? Ammo chizmaning mukammal aniqlik bilan qilinganligiga kafolat qayerda, bu aniq bo'lishi mumkin. Yoki ildiz. Agar biz grafikni umuman to'g'ri ololmasak-chi?

Bunday hollarda qo'shimcha vaqt sarflash va integratsiya chegaralarini analitik jihatdan aniqlashtirish kerak.

Chiziq va parabolaning kesishish nuqtalarini topamiz.
Buning uchun tenglamani yechamiz:


,

Haqiqatan ham, .

Keyingi yechim ahamiyatsiz, asosiysi almashtirish va belgilarda chalkashmaslikdir, bu erda hisob-kitoblar eng oson emas.

Segmentda , mos keladigan formula bo'yicha:

Javob:

Xo'sh, dars yakunida biz ikkita qiyin vazifani ko'rib chiqamiz.

9-misol

Chiziqlar bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang, ,

Yechim: Ushbu rasmni chizmaga chizing.

Jin ursin, men jadvalga imzo chekishni unutibman va rasmni qaytadan yozishni unutibman, uzr, hotz emas. Chizma emas, qisqasi, bugun kun =)

Nuqtama-nuqta qurish uchun sinusoidning ko'rinishini bilish kerak (va umuman bilish foydalidir) barcha elementar funksiyalarning grafiklari), shuningdek, ba'zi sinus qiymatlari, ularni topish mumkin trigonometrik jadval. Ba'zi hollarda (bu holatda bo'lgani kabi) sxematik chizmani qurishga ruxsat beriladi, unda grafikalar va integratsiya chegaralari printsipial jihatdan to'g'ri ko'rsatilishi kerak.

Bu erda integratsiya chegaralari bilan bog'liq muammolar yo'q, ular to'g'ridan-to'g'ri shartdan kelib chiqadi: - "x" noldan "pi" ga o'zgaradi. Biz qo'shimcha qaror qabul qilamiz:

Segmentda funktsiya grafigi o'qdan yuqorida joylashgan, shuning uchun:

Saytga matematik formulalarni qanday kiritish mumkin?

Agar biror marta veb-sahifaga bitta yoki ikkita matematik formula qo'shish kerak bo'lsa, buni qilishning eng oson yo'li maqolada tasvirlanganidek: matematik formulalar Wolfram Alpha avtomatik ravishda yaratadigan rasmlar ko'rinishida saytga osongina kiritiladi. Oddiylikdan tashqari, ushbu universal usul saytning qidiruv tizimlarida ko'rinishini yaxshilashga yordam beradi. U uzoq vaqtdan beri ishlaydi (va menimcha, u abadiy ishlaydi), lekin u axloqiy jihatdan eskirgan.

Agar siz saytingizda doimiy ravishda matematik formulalardan foydalansangiz, men sizga MathML, LaTeX yoki ASCIIMathML belgilaridan foydalangan holda veb-brauzerlarda matematik belgilarni ko'rsatadigan maxsus JavaScript kutubxonasi MathJax dan foydalanishni tavsiya qilaman.

MathJax-dan foydalanishni ikki yo'l bilan boshlash mumkin: (1) oddiy kod yordamida siz MathJax skriptini saytingizga tezda ulashingiz mumkin, u kerakli vaqtda masofaviy serverdan avtomatik ravishda yuklanadi (serverlar ro'yxati); (2) MathJax skriptini masofaviy serverdan serveringizga yuklang va uni saytingizning barcha sahifalariga ulang. Ikkinchi usul ancha murakkab va ko'p vaqt talab qiladi va saytingiz sahifalarini yuklashni tezlashtirishga imkon beradi va agar ota-ona MathJax serveri biron sababga ko'ra vaqtincha ishlamay qolsa, bu sizning saytingizga hech qanday ta'sir qilmaydi. Ushbu afzalliklarga qaramay, men birinchi usulni tanladim, chunki u sodda, tezroq va texnik ko'nikmalarni talab qilmaydi. Mening misolimga amal qiling va 5 daqiqa ichida veb-saytingizda MathJax-ning barcha imkoniyatlaridan foydalana olasiz.

MathJax kutubxonasi skriptini uzoq serverdan asosiy MathJax veb-saytidan yoki hujjatlar sahifasidan olingan ikkita kod variantidan foydalanib ulashingiz mumkin:

Ushbu kod variantlaridan birini nusxalash va veb-sahifangizning kodiga, yaxshisi teglar orasiga joylashtirish kerak. va yoki tegdan keyin . Birinchi variantga ko'ra, MathJax tezroq yuklanadi va sahifani kamroq sekinlashtiradi. Ammo ikkinchi variant MathJax-ning so'nggi versiyalarini avtomatik ravishda kuzatib boradi va yuklaydi. Agar siz birinchi kodni kiritsangiz, uni vaqti-vaqti bilan yangilab turish kerak bo'ladi. Agar siz ikkinchi kodni joylashtirsangiz, sahifalar sekinroq yuklanadi, lekin siz MathJax yangilanishlarini doimiy ravishda kuzatib borishingiz shart emas.

MathJax-ni ulashning eng oson yo'li Blogger yoki WordPress-da: saytni boshqarish paneliga uchinchi tomon JavaScript kodini kiritish uchun mo'ljallangan vidjetni qo'shing, unga yuqorida keltirilgan yuklash kodining birinchi yoki ikkinchi versiyasini nusxalang va vidjetni yaqinroq joylashtiring. shablonning boshiga (Aytgancha, bu mutlaqo kerak emas, chunki MathJax skripti asinxron ravishda yuklangan). Ana xolos. Endi MathML, LaTeX va ASCIIMathML belgilash sintaksisini o'rganing va siz matematik formulalarni veb-sahifalaringizga joylashtirishga tayyormiz.

Har qanday fraktal cheksiz ko'p marta doimiy ravishda qo'llaniladigan ma'lum bir qoidaga muvofiq qurilgan. Har bir bunday vaqt iteratsiya deb ataladi.

Menger shimgichni qurishning iterativ algoritmi juda oddiy: 1 tomoni bo'lgan asl kub yuzlariga parallel bo'lgan tekisliklar bilan 27 ta teng kubga bo'linadi. Undan bitta markaziy kub va unga qo'shni yuzlar bo'ylab 6 kub chiqariladi. Qolgan 20 ta kichik kubdan iborat to'plam paydo bo'ldi. Ushbu kublarning har biri bilan xuddi shunday qilib, biz 400 ta kichik kubdan iborat to'plamni olamiz. Ushbu jarayonni cheksiz davom ettirib, biz Menger shimgichni olamiz.

Ushbu maqolada siz integral hisoblar yordamida chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini qanday topishni o'rganasiz. Biz birinchi marta o'rta maktabda ma'lum integrallarni o'rganish tugallanganda va amaliyotda olingan bilimlarni geometrik talqin qilishni boshlash vaqti kelganida bunday muammoni shakllantirishga duch kelamiz.

Shunday qilib, integrallardan foydalangan holda figuraning maydonini topish muammosini muvaffaqiyatli hal qilish uchun nima talab qilinadi:

• Chizmalarni to'g'ri chizish qobiliyati;
• Mashhur Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib aniq integralni yechish qobiliyati;
• Ko'proq foydali echimni "ko'rish" qobiliyati - ya'ni. u yoki bu holatda qanday qilib integratsiyani amalga oshirish qulayroq bo'lishini tushunish uchun? X o'qi (OX) yoki y o'qi (OY) bo'ylab?
• Xo'sh, to'g'ri hisob-kitoblarsiz qayerda?) Bu boshqa turdagi integrallarni qanday echish va sonli hisoblarni to'g'rilashni tushunishni o'z ichiga oladi.

Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblash muammosini hal qilish algoritmi:

1. Biz chizma quramiz. Buni qafasdagi qog'oz varag'ida, katta hajmda qilish tavsiya etiladi. Biz har bir grafikning ustiga qalam bilan ushbu funktsiya nomini belgilaymiz. Grafiklarning imzosi faqat keyingi hisob-kitoblarning qulayligi uchun amalga oshiriladi. Istalgan raqamning grafigini olgandan so'ng, ko'p hollarda qaysi integratsiya chegaralari qo'llanilishi darhol aniq bo'ladi. Shunday qilib, biz muammoni grafik tarzda hal qilamiz. Biroq, chegaralarning qiymatlari kasr yoki irratsional bo'ladi. Shuning uchun siz qo'shimcha hisob-kitoblarni amalga oshirishingiz mumkin, ikkinchi bosqichga o'ting.

2. Agar integratsiya chegaralari aniq belgilanmagan bo'lsa, biz grafiklarning bir-biri bilan kesishish nuqtalarini topamiz va bizning grafik yechimimiz analitik bilan mos keladimi yoki yo'qligini bilib olamiz.

3. Keyinchalik, chizilgan rasmni tahlil qilishingiz kerak. Funktsiyalar grafiklari qanday joylashganiga qarab, rasmning maydonini topish uchun turli xil yondashuvlar mavjud. Integrallar yordamida figuraning maydonini topishning turli misollarini ko'rib chiqing.

3.1. Muammoning eng klassik va eng oddiy versiyasi egri chiziqli trapezoidning maydonini topish kerak bo'lganda. Egri chiziqli trapezoid nima? Bu x o'qi bilan chegaralangan tekis raqam (y=0), Streyt x = a, x = b va dan oraliqda uzluksiz har qanday egri chiziq a oldin b. Shu bilan birga, bu ko'rsatkich salbiy emas va x o'qidan past bo'lmagan joyda joylashgan. Bunday holda, egri chiziqli trapezoidning maydoni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblangan aniq integralga son jihatdan teng:

1-misol y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Shaklni qaysi chiziqlar aniqlaydi? Bizda parabola bor y = x2 - 3x + 3, bu eksa ustida joylashgan OH, u salbiy emas, chunki bu parabolaning barcha nuqtalari ijobiydir. Keyinchalik, to'g'ri chiziqlar berilgan x = 1 va x = 3 o'qiga parallel bo'lgan OU, chap va o'ngdagi raqamning chegara chiziqlari. Xo'sh y = 0, u x o'qi bo'lib, bu raqamni pastdan cheklaydi. Olingan raqam, chapdagi rasmda ko'rinib turganidek, soyali. Bunday holda, siz darhol muammoni hal qilishni boshlashingiz mumkin. Bizning oldimizda egri chiziqli trapetsiyaning oddiy misoli bor, biz uni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hal qilamiz.

3.2. Oldingi 3.1-bandda egri chiziqli trapezoid x o'qi ustida joylashganida vaziyat tahlil qilingan. Endi masalaning shartlari bir xil bo'lgan holatni ko'rib chiqing, faqat funktsiya x o'qi ostida joylashgan. Standart Nyuton-Leybnits formulasiga minus qo'shiladi. Bunday muammoni qanday hal qilish kerak, biz batafsilroq ko'rib chiqamiz.

2-misol . Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

Ushbu misolda bizda parabola mavjud y=x2+6x+2, bu eksa ostidan kelib chiqadi OH, Streyt x=-4, x=-1, y=0. Bu yerda y = 0 yuqoridan kerakli raqamni cheklaydi. To'g'ridan-to'g'ri x = -4 va x = -1 bu chegaralar bo'lib, ular ichida aniq integral hisoblanadi. Shaklning maydonini topish muammosini hal qilish printsipi 1-misolga deyarli to'liq mos keladi. Yagona farq shundaki, berilgan funktsiya ijobiy emas va hamma narsa intervalda ham uzluksizdir. [-4; -1] . Ijobiy emas nimani anglatadi? Rasmdan ko'rinib turibdiki, berilgan x ichida joylashgan raqam faqat "salbiy" koordinatalarga ega, masalani hal qilishda biz buni ko'rishimiz va eslashimiz kerak. Biz Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, faqat boshida minus belgisi bilan raqamning maydonini qidiramiz.

Maqola tugallanmagan.