Ko'rsatkichli tenglamalar va tengsizliklar ko'rsatkichda noma'lum bo'lgan tenglamalardir.

Ko'rsatkichli tenglamalarni yechish ko'pincha a x = a b tenglamasini echishga to'g'ri keladi, bu erda a > 0, a ≠ 1, x noma'lum. Bu tenglama bitta ildizga ega x = b, chunki quyidagi teorema to'g'ri:

Teorema. Agar a > 0, a ≠ 1 va a x 1 = a x 2 bo'lsa, x 1 = x 2 bo'ladi.

Keling, ko'rib chiqilgan bayonotni asoslab beraylik.

Faraz qilaylik, x 1 = x 2 tengligi bajarilmaydi, ya'ni. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1 bo'lsa, u holda ko'rsatkichli funktsiya y = a x ortadi va shuning uchun a x 1 tengsizlikni qondirish kerak.< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. Ikkala holatda ham a x 1 = a x 2 shartiga qarama-qarshilik oldik.

Keling, bir nechta muammolarni ko'rib chiqaylik.

4 ∙ 2 x = 1 tenglamani yeching.

Yechim.

Tenglamani 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 ko'rinishda yozamiz, undan x + 2 = 0 ni olamiz, ya'ni. x = -2.

Javob. x = -2.

2 3x ∙ 3 x = 576 tenglamani yeching.

Yechim.

2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2 bo'lgani uchun tenglamani 8 x ∙ 3 x = 24 2 yoki 24 x = 24 2 shaklida yozish mumkin.

Bu erdan biz x = 2 ni olamiz.

Javob. x = 2.

3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 tenglamani yeching.

Yechim.

Chap tarafdagi qavslardan 3 x - 2 umumiy koeffitsientini olib, biz 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25 ni olamiz,

buning uchun 3 x - 2 = 1, ya'ni. x – 2 = 0, x = 2.

Javob. x = 2.

3 x = 7 x tenglamani yeching.

Yechim.

7 x ≠ 0 bo'lgani uchun tenglamani 3 x /7 x = 1 shaklida yozish mumkin, bundan (3/7) x = 1, x = 0.

Javob. x = 0.

9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 tenglamani yeching.

Yechim.

3 x = a ni almashtirib, bu tenglama a 2 – 4a – 45 = 0 kvadrat tenglamaga keltiriladi.

Bu tenglamani yechish orqali uning ildizlarini topamiz: a 1 = 9 va 2 = -5, bundan 3 x = 9, 3 x = -5.

3 x = 9 tenglamaning ildizi 2, 3 x = -5 tenglamaning ildizlari yo'q, chunki ko'rsatkichli funktsiya manfiy qiymatlarni qabul qila olmaydi.

Javob. x = 2.

Eksponensial tengsizliklarni yechish ko‘pincha a x > a b yoki a x tengsizliklarini yechishga to‘g‘ri keladi.< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Keling, ba'zi muammolarni ko'rib chiqaylik.

3 x tengsizlikni yeching< 81.

Yechim.

Tengsizlikni 3 x ko'rinishda yozamiz< 3 4 . Так как 3 >1, u holda y = 3 x funksiya ortib bormoqda.

Shuning uchun, x uchun< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Shunday qilib, x da< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Javob. X< 4.

16 x +4 x – 2 > 0 tengsizlikni yeching.

Yechim.

4 x = t ni belgilaymiz, keyin t2 + t – 2 > 0 kvadrat tengsizlikni olamiz.

Bu tengsizlik t uchun amal qiladi< -2 и при t > 1.

t = 4 x bo'lgani uchun biz ikkita 4 x tengsizlikni olamiz< -2, 4 х > 1.

Birinchi tengsizlikning yechimi yo'q, chunki barcha x € R uchun 4 x > 0.

Ikkinchi tengsizlikni 4 x > 4 0 ko'rinishda yozamiz, bundan x > 0.

Javob. x > 0.

(1/3) x = x – 2/3 tenglamani grafik tarzda yeching.

Yechim.

1) y = (1/3) x va y = x – 2/3 funksiyalarning grafiklarini tuzamiz.

2) Bizning rasmimizga asoslanib, ko'rib chiqilayotgan funksiyalarning grafiklari x ≈ 1 abscissa bilan nuqtada kesishadi degan xulosaga kelishimiz mumkin. Tekshirish shuni isbotlaydiki

x = 1 - bu tenglamaning ildizi:

(1/3) 1 = 1/3 va 1 - 2/3 = 1/3.

Boshqacha qilib aytganda, biz tenglamaning ildizlaridan birini topdik.

3) Keling, boshqa ildizlarni topaylik yoki ularning yo'qligini isbotlaymiz. (1/3) x funksiyasi kamaymoqda, y = x – 2/3 funksiyasi ortib bormoqda. Shuning uchun, x > 1 uchun birinchi funktsiyaning qiymatlari 1/3 dan kichik, ikkinchisi esa 1/3 dan ortiq; x da< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 va x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Javob. x = 1.

E'tibor bering, bu masalani yechishdan, xususan, x uchun (1/3) x > x – 2/3 tengsizlik qanoatlantiriladi.< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda asl manbaga havola talab qilinadi.

Qadim zamonlardan beri amaliy masalalarni yechishda miqdor va miqdorlarni solishtirish zarur bo‘lib kelgan. Shu bilan birga, bir jinsli miqdorlarni solishtirish natijalarini bildiruvchi ko‘proq va kamroq, balandroq va past, engilroq va og‘irroq, sokinroq va balandroq, arzonroq va qimmatroq kabi so‘zlar paydo bo‘lgan.

Ko'p va kamroq tushunchalari predmetlarni sanash, miqdorlarni o'lchash va taqqoslash bilan bog'liq holda paydo bo'lgan. Misol uchun, Qadimgi Yunoniston matematiklari har qanday uchburchakning tomoni boshqa ikki tomonning yig'indisidan kichik ekanligini va katta tomoni uchburchakdagi katta burchakka qarama-qarshi ekanligini bilishgan. Arximed, aylanani hisoblashda, har qanday doiraning perimetri diametrining ettidan biridan kam bo'lgan, lekin diametrining o'ndan etmish barobaridan ortiq bo'lgan ortiqcha diametri uch baravarga teng ekanligini aniqladi.

> va b belgilaridan foydalanib sonlar va miqdorlar orasidagi munosabatlarni ramziy ravishda yozing. Ikki raqam bir belgi bilan bog'langan yozuvlar: > (kattaroq), siz quyi sinflarda ham sonli tengsizliklarga duch keldingiz. Bilasizki, tengsizliklar to'g'ri yoki noto'g'ri bo'lishi mumkin. Masalan, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) to`g`ri sonli tengsizlik, 0,23 > 0,235 noto`g`ri sonli tengsizlik.

Noma'lumlarni o'z ichiga olgan tengsizliklar noma'lumlarning ba'zi qiymatlari uchun to'g'ri, boshqalari uchun noto'g'ri bo'lishi mumkin. Masalan, 2x+1>5 tengsizlik x = 3 uchun to'g'ri, x = -3 uchun noto'g'ri. Bitta noma'lum bo'lgan tengsizlik uchun siz vazifani qo'yishingiz mumkin: tengsizlikni hal qiling. Amalda tengsizliklarni yechish masalalari tenglamalarni yechish masalalaridan kam bo'lmagan holda qo'yiladi va yechiladi. Masalan, ko'pgina iqtisodiy muammolar chiziqli tengsizliklar tizimini o'rganish va hal qilish bilan bog'liq. Matematikaning ko'pgina bo'limlarida tengsizliklar tenglamalarga qaraganda ko'proq uchraydi.

Ba'zi tengsizliklar ma'lum bir ob'ektning, masalan, tenglamaning ildizining mavjudligini isbotlash yoki rad etishning yagona yordamchi vositasi bo'lib xizmat qiladi.

Raqamli tengsizliklar

Butun sonlar va kasrlarni taqqoslashingiz mumkin. Maxrajlari bir xil, lekin sanoqchilari har xil bo‘lgan oddiy kasrlarni solishtirish qoidalarini bilish; soni bir xil, lekin maxrajlari har xil. Bu erda siz har qanday ikkita raqamni ularning farqining belgisini topib, qanday taqqoslashni o'rganasiz.

Raqamlarni solishtirish amaliyotda keng qo'llaniladi. Misol uchun, iqtisodchi rejalashtirilgan ko'rsatkichlarni haqiqiy ko'rsatkichlar bilan taqqoslaydi, shifokor bemorning haroratini normal bilan solishtiradi, torner ishlov beriladigan qismning o'lchamlarini standart bilan taqqoslaydi. Bunday hollarda ba'zi raqamlar taqqoslanadi. Raqamlarni solishtirish natijasida sonli tengsizliklar yuzaga keladi.

Ta'rif. Agar a-b farqi ijobiy bo'lsa, a soni b sonidan katta. Agar a-b farqi manfiy bo'lsa, a soni b sonidan kichikdir.

Agar a b dan katta bo'lsa, ular yozadilar: a > b; agar a b dan kichik bo'lsa, u holda ular yozadilar: a Shunday qilib, a > b tengsizlik a - b farqining ijobiy ekanligini bildiradi, ya'ni. a - b > 0. Tengsizlik a ixtiyoriy ikkita a va b sonlar uchun quyidagi uchta munosabatdan a > b, a = b, a a va b sonlarni solishtirish deganda >, = yoki belgilarning qaysi biri ekanligini aniqlash kerak. Teorema. Agar a > b va b > c bo'lsa, a > c.

Teorema. Agar tengsizlikning ikkala tomoniga bir xil son qo'shilsa, tengsizlik belgisi o'zgarmaydi.
Natija. Har qanday atama tengsizlikning bir qismidan ikkinchisiga bu hadning belgisini teskarisiga o'zgartirish orqali o'tkazilishi mumkin.

Teorema. Agar tengsizlikning ikkala tomoni bir xil musbat songa ko'paytirilsa, u holda tengsizlikning belgisi o'zgarmaydi. Agar tengsizlikning ikkala tomoni bir xil manfiy songa ko'paytirilsa, u holda tengsizlik belgisi teskari tomonga o'zgaradi.
Natija. Agar tengsizlikning ikkala tomoni bir xil musbat songa bo'linsa, tengsizlikning belgisi o'zgarmaydi. Agar tengsizlikning ikkala tomoni bir xil manfiy songa bo'linsa, tengsizlikning belgisi teskari tomonga o'zgaradi.

Bilasizmi, sonli tengliklarni qo‘shish va hadga ko‘paytirish mumkin. Keyinchalik, tengsizliklar bilan o'xshash harakatlarni qanday bajarishni o'rganasiz. Tengsizliklarni atama bo'yicha qo'shish va ko'paytirish qobiliyati amalda ko'pincha qo'llaniladi. Ushbu harakatlar iboralarning ma'nolarini baholash va taqqoslash muammolarini hal qilishga yordam beradi.

Turli masalalarni yechishda ko'pincha tengsizliklarning chap va o'ng tomonlarini had bo'yicha qo'shish yoki ko'paytirish kerak bo'ladi. Shu bilan birga, ba'zan tengsizliklar qo'shiladi yoki ko'payadi, deyiladi. Masalan, sayyoh birinchi kuni 20 km dan ortiq, ikkinchi kuni esa 25 km dan ortiq yo‘l bosib o‘tgan bo‘lsa, u holda ikki kunda 45 km dan ortiq yo‘l bosib o‘tganligini aytishimiz mumkin. Xuddi shunday, agar to'rtburchakning uzunligi 13 sm dan kam bo'lsa va kengligi 5 sm dan kam bo'lsa, biz ushbu to'rtburchakning maydoni 65 sm2 dan kam deb aytishimiz mumkin.

Ushbu misollarni ko'rib chiqishda quyidagilar ishlatilgan: Tengsizliklarni qo'shish va ko'paytirish teoremalari:

Teorema. Xuddi shu belgili tengsizliklarni qo'shganda bir xil belgili tengsizlik olinadi: a > b va c > d bo'lsa, a + c > b + d.

Teorema. Chap va o'ng tomonlari musbat bo'lgan bir xil belgili tengsizliklarni ko'paytirishda bir xil ishorali tengsizlik hosil bo'ladi: a > b, c > d va a, b, c, d musbat sonlar bo'lsa, u holda ac > bd.

> (katta) va 1/2, 3/4 b, c belgisi bo'lgan tengsizliklar qat'iy tengsizliklar belgilari bilan bir qatorda > va Xuddi shu tarzda \(a \geq b \) tengsizlik a soni ekanligini bildiradi. b dan katta yoki teng, ya'ni .va kam emas b.

\(\geq \) belgisi yoki \(\leq \) belgisi bo'lgan tengsizliklar qat'iy bo'lmagan deb ataladi. Masalan, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) qat`iy tengsizliklar emas.

Qattiq tengsizliklarning barcha xossalari qat'iy bo'lmagan tengsizliklar uchun ham amal qiladi. Bundan tashqari, agar qat'iy tengsizliklar uchun belgilar > qarama-qarshi hisoblangan bo'lsa va siz bir qator amaliy muammolarni hal qilish uchun tenglama yoki tenglamalar tizimi ko'rinishidagi matematik modelni yaratishingiz kerakligini bilsangiz. Keyinchalik, ko'p muammolarni hal qilish uchun matematik modellar noma'lumlar bilan tengsizliklar ekanligini bilib olasiz. Tengsizlikni yechish tushunchasi kiritiladi va berilgan son ma’lum bir tengsizlikning yechimi ekanligini tekshirish yo‘llari ko‘rsatiladi.

Shaklning tengsizliklari
\(ax > b, \to'rtta ax, bunda a va b raqamlar berilgan, x esa noma'lum bo'lganlar deyiladi. bitta noma'lum chiziqli tengsizliklar.

Ta'rif. Bitta noma'lumli tengsizlikning yechimi noma'lumning qiymati bo'lib, bu tengsizlik haqiqiy sonli tengsizlikka aylanadi. Tengsizlikni yechish uning barcha yechimlarini topish yoki yo'qligini aniqlash demakdir.

Siz tenglamalarni eng oddiy tenglamalarga qisqartirish orqali hal qildingiz. Xuddi shunday, tengsizliklarni yechishda xossalardan foydalanib, ularni oddiy tengsizliklar shakliga keltirishga harakat qilinadi.

Bitta o‘zgaruvchili ikkinchi darajali tengsizliklarni yechish

Shaklning tengsizliklari
\(ax^2+bx+c >0 \) va \(ax^2+bx+c bu erda x o'zgaruvchi, a, b va c ba'zi raqamlar va \(a \neq 0 \) deb ataladi. bitta o'zgaruvchili ikkinchi darajali tengsizliklar.

Tengsizlikning yechimi
\(ax^2+bx+c >0 \) yoki \(ax^2+bx+c ni \(y= ax^2+bx+c \) funksiyasi musbat yoki manfiy qabul qiladigan intervallarni topish deb hisoblash mumkin. qiymatlar Buning uchun \(y= ax^2+bx+c\) funksiya grafigi koordinata tekisligida qanday joylashishini tahlil qilish kifoya: parabolaning shoxlari qayerga yo'naltirilgan - yuqoriga yoki pastga, parabola x o'qini kesib o'tadi va agar kesishsa, unda qaysi nuqtalarda.

Bitta o‘zgaruvchili ikkinchi darajali tengsizliklarni yechish algoritmi:
1) kvadrat uch a'zoning diskriminantini toping \(ax^2+bx+c\) va uchburchakning ildizlari bor yoki yo'qligini aniqlang;
2) agar trinomialning ildizlari bo'lsa, ularni x o'qi bo'ylab belgilang va belgilangan nuqtalar orqali shoxlari > 0 uchun yuqoriga yoki 0 uchun pastga yoki 3 uchun pastga yo'naltirilgan sxematik parabolani chizing) x o'qi bo'yicha oraliqlarni toping, ular uchun parabolalar x o'qi ustida joylashgan (agar ular \(ax^2+bx+c >0\) tengsizlikni yechishsa) yoki x o'qidan pastda (agar ular tengsizlik
\(ax^2+bx+c Tengsizliklarni interval usuli yordamida yechish

Funktsiyani ko'rib chiqing
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Bu funksiyaning sohasi barcha raqamlar to'plamidir. Funksiyaning nollari -2, 3, 5 raqamlaridir. Ular funksiyaning aniqlanish sohasini \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; () oraliqlariga ajratadi. 3; 5) \) va \( (5; +\infty)\)

Keling, ko'rsatilgan intervallarning har birida ushbu funktsiyaning belgilari qanday ekanligini bilib olaylik.

(x + 2)(x - 3)(x - 5) ifodasi uchta omilning mahsulotidir. Ushbu omillarning har birining ko'rib chiqilayotgan intervallardagi belgisi jadvalda ko'rsatilgan:

Umuman olganda, funktsiya formula bilan berilgan bo'lsin
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
bu yerda x o'zgaruvchi, x 1, x 2, ..., x n esa bir-biriga teng bo'lmagan sonlar. x 1 , x 2 , ..., x n raqamlari funksiyaning nollaridir. Ta'rif sohasi funksiyaning nolga bo'linadigan intervallarning har birida funksiyaning belgisi saqlanib qoladi va noldan o'tganda uning belgisi o'zgaradi.

Bu xususiyat shaklning tengsizliklarini yechish uchun ishlatiladi
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) bu erda x 1, x 2, ..., x n bir-biriga teng bo'lmagan sonlar

Ko'rib chiqilgan usul tengsizliklarni yechish interval usuli deyiladi.

Tengsizliklarni interval usuli yordamida yechishga misollar keltiramiz.

Tengsizlikni yeching:

\(x(0,5-x)(x+4) Shubhasiz, f(x) = x(0,5-x)(x+4) funksiyaning nollari \(x=0, \; x= \ nuqtalardir. frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Funktsiyaning nollarini raqamlar o'qida chizamiz va har bir oraliqdagi belgini hisoblaymiz:

Funktsiya noldan kichik yoki teng bo'lgan intervallarni tanlaymiz va javobni yozamiz.

Javob:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \o'ng) \chashka \left[ 4; \; +\infty \o'ng) \)

Nazariya:

Tengsizliklarni yechishda quyidagi qoidalar qo'llaniladi:

1. Tengsizlikning istalgan hadi bir qismdan ko'chirilishi mumkin
tengsizlik qarama-qarshi belgili boshqasiga o'tadi, lekin tengsizlik belgisi o'zgarmaydi.

2. Tengsizlikning ikkala tomonini bittaga ko'paytirish yoki bo'lish mumkin
va tengsizlik belgisini o'zgartirmasdan bir xil musbat son.

3. Tengsizlikning ikkala tomonini bittaga ko‘paytirish yoki bo‘lish mumkin
va bir xil manfiy raqam, tengsizlik belgisini o'zgartiradi
qarama-qarshi.

Tengsizlikni yechish − 8 x + 11< − 3 x − 4
Yechim.

1. Keling, jinsiy olatni harakatga keltiramiz − 3 x tengsizlikning chap tomoniga va termin 11 - belgilarni qarama-qarshi tomonga o'zgartirganda, tengsizlikning o'ng tomoniga − 3 x va da 11 .
Keyin olamiz

− 8 x + 3 x< − 4 − 11

− 5 x< − 15

2. Tengsizlikning ikkala tomonini ajratamiz − 5 x< − 15 salbiy raqamga − 5 , va tengsizlik belgisi < , ga o'zgaradi > , ya'ni. qarama-qarshi ma'noli tengsizlikka o'tamiz.
Biz olamiz:

− 5 x< − 15 | : (− 5 )

x > − 15 : (− 5 )

x > 3

x > 3— berilgan tengsizlikning yechimi.

Diqqat qilish!

Yechimni yozish uchun ikkita variant mavjud: x > 3 yoki raqamlar oralig'i sifatida.

Tengsizlikning yechimlari to‘plamini son chizig‘ida belgilab, javobni son oralig‘i ko‘rinishida yozamiz.

x ∈ (3 ; + ∞ )

Javob: x > 3 yoki x ∈ (3 ; + ∞ )

Algebraik tengsizliklar.

Kvadrat tengsizliklar. Yuqori darajadagi ratsional tengsizliklar.

Tengsizliklarni yechish usullari asosan tengsizlikni tashkil etuvchi funksiyalar qaysi sinfga mansubligiga bog'liq.

1. I. Kvadrat tengsizliklar, ya'ni shaklning tengsizliklari

ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Tengsizlikni yechish uchun siz:

1. Kvadrat uch a’zoni ko‘paytiring, ya’ni tengsizlikni ko‘rinishda yozing

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. Ko‘phadning ildizlarini sonlar qatoriga chizing. Ildizlar haqiqiy sonlar to'plamini intervallarga ajratadi, ularning har birida tegishli kvadrat funktsiya doimiy ishorali bo'ladi.
2. Har bir intervaldagi a (x - x 1) (x - x 2) belgisini aniqlang va javobni yozing.

Agar kvadrat trinomning ildizlari bo'lmasa, D uchun<0 и a>0 kvadrat trinomial har qanday x uchun musbat.

• Tengsizlikni yechish. x 2 + x - 6 > 0.

Kvadrat uch a'zoni (x + 3) (x - 2) > 0 ko'paytiring

Javob: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x - 6) 2 > 0

Bu tengsizlik x = 6 dan tashqari har qanday x uchun to'g'ri.

Javob: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

Bu erda D< 0, a = 1 >0. Kvadrat trinomial barcha x uchun musbat.

Javob: x Î Ø.

Tengsizliklarni yeching:

1. 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
2. 3x² - 12x + 12 ≤ 0. Javob:
3. 3x² - 7x + 5 ≤ 0. Javob:
4. 2x² - 12x + 18 > 0. Javob:
5. a ning qaysi qiymatlari uchun tengsizlik

x² - ax > har qanday x uchun mos keladimi? Javob:

1. II. Yuqori darajadagi ratsional tengsizliklar, ya'ni shaklning tengsizliklari

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

Eng yuqori darajadagi ko'phadni koeffitsientlarga ajratish, ya'ni tengsizlikni ko'rinishda yozish kerak

a n (x - x 1) (x - x 2) ·…· (x - x n) > 0 (<0).

Ko‘phad o‘chib ketadigan sonlar chizig‘idagi nuqtalarni belgilang.

Har bir oraliqda ko'phadning belgilarini aniqlang.

1) x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x tengsizlikni yeching.< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) =x (x - 1)(x) 2 -5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Shunday qilib, x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Javob: (0; 1) (2; 3).

2) (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4 tengsizlikni yeching.<0.

Keling, son o'qida ko'phadni yo'qotadigan nuqtalarni belgilaymiz. Bular x = 1, x = -2, x = ½, x = - ½.

X = - ½ nuqtada belgi o'zgarmaydi, chunki binomial (2x + 1) teng darajaga ko'tariladi, ya'ni (2x + 1) 4 ifodasi x = nuqtadan o'tganda ishorani o'zgartirmaydi. - ½.

Javob: (-∞; -2) (½; 1).

3) Tengsizlikni yeching: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

Bu tengsizlik quyidagi to'plamga ekvivalentdir

(1) ning yechimi x (-∞; -2) (3; +∞). (2) ning yechimi x = 0, x = -2, x = 3. Olingan yechimlarni birlashtirib, x O (-∞; -2] (0) (0) ) ni olamiz.