Garmonik osilator.

Tenglama bilan tavsiflangan tizim , bu erda , garmonik osilator deb ataladi. Ushbu tenglamaning yechimi ma'lum:

.

Shuning uchun garmonik osilator muvozanat holati atrofida garmonik tebranishlarni amalga oshiradigan tizimdir.

Garmonik osilator uchun garmonik tebranish uchun ilgari olingan barcha natijalar amal qiladi.

Keling, ularga qo'shimcha ravishda yana ikkita savolni ko'rib chiqamiz va muhokama qilamiz.

Keling, topamiz puls garmonik osilator. Ifodani farqlang t ga va olingan natijani osilatorning massasiga ko'paytirib, biz quyidagilarni olamiz:

"X" og'ishi bilan tavsiflangan har bir pozitsiyada osilator "p" qiymatiga ega. “p”ni “x” funksiyasi sifatida topish uchun “p” va “x” uchun yozilgan tenglamalardan “t” ni chiqarib tashlash kerak.Bu tenglamalarni quyidagicha ifodalaymiz:

(8.9)

Ushbu iboralarni kvadratga aylantirib, ularni qo'shib, biz quyidagilarni olamiz:

. (8.10)

Garmonik osilatorning “p” impulsining “x” og‘ishiga bog‘liqligini ko‘rsatuvchi grafik chizamiz (8.6-rasm). Koordinata tekisligi ("p", "x") odatda deyiladi faza tekisligi, va mos keladigan grafik fazali traektoriya. Garmonik osilatorning faza traektori yarim o'qlari "A" va "A·m·w 0" bo'lgan ellipsdir. Fazali traektoriyaning har bir nuqtasi osilatorning ma'lum bir vaqtdagi holatini (ya'ni uning og'ishi va impulsini) tasvirlaydi. Vaqt o'tishi bilan holatni ifodalovchi nuqta tebranish davrida to'liq zanjir hosil qilib, faza traektoriyasi bo'ylab harakatlanadi. Bundan tashqari, bu harakat soat yo'nalishi bo'yicha amalga oshiriladi [ya'ni, agar vaqtning bir nuqtasida t¢ x=A, p = 0 bo'lsa, u holda vaqtning keyingi nuqtasida "x" kamayadi va "p" salbiy qiymatlarni oladi. mutlaq qiymatning oshishi, t.e. tasviriy nuqtaning harakati (ya'ni holatni ifodalovchi nuqta) soat yo'nalishi bo'yicha bo'ladi].

Endi ellipsning maydonini toping. Yoki

.

Bu erda n 0 - osilatorning tabiiy chastotasi, bu osilator uchun doimiy qiymat.

Natijada, . Qayerda

Shunday qilib, garmonik osilatorning umumiy energiyasi ellips maydoniga proportsionaldir va proportsionallik omili osilatorning tabiiy chastotasi hisoblanadi.

8.6. Muvozanat holatiga yaqin tizimning kichik tebranishlari.

Keling, ixtiyoriy mexanik tizimni ko'rib chiqaylik, uning pozitsiyasi bitta "x" qiymati yordamida aniqlanishi mumkin. Tizimning o'rnini belgilovchi "x" qiymati ma'lum bir tekislikdan o'lchangan burchak yoki berilgan egri chiziq bo'ylab o'lchangan masofa bo'lishi mumkin.

Bunday tizimning potentsial energiyasi bitta o'zgaruvchi "x" ning funktsiyasi bo'ladi: E p =E p (x).

Boshni shunday tanlaymizki, muvozanat holatida x=0. U holda E p (x) funksiya x=0 da minimumga ega bo'ladi.

("x" ning kichikligi tufayli qolgan atamalar e'tiborsiz qoldiriladi)

Chunki E x=0 da p (x) minimal, u holda , va . Belgilamoq E p(x)=b va , keyin .

Bu ifoda kvazelastik kuch ta'sir qiladigan tizimning potentsial energiyasining ifodasi bilan bir xildir (doimiy "b" 0 ga teng bo'lishi mumkin).

Tizimga ta'sir qiluvchi kuchni quyidagi formula bilan aniqlash mumkin: . Ishning potentsial energiyani yo'qotish tufayli bajarilishini hisobga olgan holda olingan.

Shunday qilib, muvozanat holatidan kichik og'ishlar uchun tizimning potentsial energiyasi siljishning kvadratik funktsiyasi bo'lib chiqadi va tizimga ta'sir qiluvchi kuch kvazi elastik kuch shakliga ega. Shunday qilib, muvozanat holatidan kichik og'ishlar bilan har qanday mexanik tizim garmonikaga yaqin tebranadi.

8.7. Matematik mayatnik.

TA’RIF: matematik mayatnik bir nuqtada to'plangan massa osilgan vaznsiz va cho'zilmaydigan ipdan tashkil topgan ideallashtirilgan tizimni chaqiramiz.

Mayatnikning muvozanat holatidan chetlanishi j burchak bilan tavsiflanadi (8.7-rasm). Mayatnik muvozanat holatidan chetga chiqqanda, aylanish momenti paydo bo'ladi , u shunday yo'nalishga egaki, u mayatnikni muvozanat holatiga qaytarishga intiladi, shuning uchun M momenti va burchak siljishi j turli belgilar bilan belgilanishi kerak.

Yassi gorizontal stol ustida yotgan qattiqlik koeffitsienti k bo'lgan prujinada og'irlikning m tebranishlarini stol yuzasida og'irlikning ishqalanishi yo'q deb hisoblaymiz. Agar vazn muvozanat holatidan chiqarilsa, u shu pozitsiya atrofida tebranadi. Biz bu tebranishlarni vaqtga bog'liq funktsiya orqali tasvirlaymiz, u og'irlikning t vaqtdagi muvozanat holatidan og'ishini aniqlaydi deb faraz qilamiz.

Gorizontal yo'nalishda faqat bitta kuch og'irlikka ta'sir qiladi - taniqli Guk qonuni bilan belgilanadigan bahorning elastik kuchi

Prujinaning deformatsiyasi vaqtga bog'liq, shuning uchun u ham o'zgaruvchan.

Nyutonning ikkinchi qonunidan biz bor

chunki tezlanish siljishning ikkinchi hosilasidir:.

(9) tenglamani shaklda qayta yozish mumkin

qayerda. Bu tenglama garmonik osilator tenglamasi deb ataladi.

Izoh. Matematik adabiyotlarda differensial tenglamani yozishda, odatda, unga bog'liq bo'lgan barcha funksiyalar yonida argument (t) ko'rsatilmaydi. Ushbu bog'liqlik sukut bo'yicha qabul qilinadi. (10) da Maple matematik paketidan foydalanilganda funksiyaning aniq bog'liqligini ko'rsatish kerak.

O'zgarmas kuch ta'sirida tana harakatining oldingi misolidan farqli o'laroq, bizning holatlarimizda kuch vaqt o'tishi bilan o'zgaradi va (10) tenglamani endi odatiy integratsiya protsedurasi yordamida hal qilib bo'lmaydi. Keling, bu tenglama qandaydir tebranish jarayonini tasvirlashini bilib, uning yechimini taxmin qilishga harakat qilaylik. (10) tenglamaning mumkin bo'lgan yechimlaridan biri sifatida biz quyidagi funktsiyani tanlashimiz mumkin:

Differentsial funksiya (11), bizda mavjud

(12) ifodani (10) tenglamaga almashtirib, u t ning istalgan qiymati uchun bir xil qanoatlantirilishiga ishonch hosil qilamiz.

Biroq (11) funksiya garmonik osilator tenglamasining yagona yechimi emas. Masalan, funktsiyani boshqa yechim sifatida tanlash mumkin, uni ham shunga o'xshash tarzda tekshirish oson. Bundan tashqari, ushbu ikkita tasodifiy nomlangan echimlarning har qanday chiziqli birikmasini tekshirish mumkin

doimiy koeffitsientlari bilan A va B ham garmonik osilator tenglamasining yechimidir.

Ikki doimiy yechim (13) garmonik osilator tenglamasining (10) umumiy yechimi ekanligini isbotlash mumkin. Demak, formula (13) bu tenglamaning barcha mumkin bo'lgan yechimlarini tugatadi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, garmonik osilator tenglamasi A va B ixtiyoriy konstantalarni aniqlash orqali (13) formuladan olinganlardan tashqari boshqa maxsus echimlarga ega emas.

E'tibor bering, fizikada ko'pincha individual ODE yoki ularning tizimlarining ba'zi maxsus echimlarini izlash kerak. Keling, bu savolni batafsil ko'rib chiqaylik.

Biz ko'rib chiqayotgan prujinada og'irlik tizimidagi tebranishlarni turli usullar bilan qo'zg'atish mumkin. Keling, quyidagi dastlabki shartlarni o'rnatamiz

Bu shuni anglatadiki, vaqtning boshlang'ich momentida vazn muvozanat holatidan a qiymati bilan olib tashlangan va erkin bo'shatilgan (ya'ni, u o'z harakatini nol boshlang'ich tezlik bilan boshlaydi). Qo'zg'alishning boshqa ko'plab usullarini tasavvur qilish mumkin, masalan, muvozanat holatidagi vaznga "bosish" orqali qandaydir boshlang'ich tezlik beriladi va hokazo. [Umumiy holat, ].

Biz boshlang'ich shartlarni (14) umumiy yechimdan (13) og'irlik tebranishlarini qo'zg'atish usulimizga mos keladigan ba'zi bir maxsus echimdan ajratish uchun ba'zi qo'shimcha shartlar deb hisoblaymiz.

(13) ifodada t=0 deb faraz qilsak, B=a degan xulosaga kelamiz. Shunday qilib, biz (13) yechimda ilgari ixtiyoriy konstantalardan birini topdik. Bundan tashqari, (13) formulada farq qilsak, biz bor

Bu ifodada t=0 deb faraz qilib va ​​(14) dan ikkinchi boshlang‘ich shartni hisobga olsak, A=0 degan xulosaga kelamiz va demak, dastlabki xususiy yechim ko‘rinishga ega bo‘ladi.

U ko'rib chiqilayotgan mexanik tizimning dastlabki qo'zg'alish shartlari bilan belgilanadigan tebranish rejimini tavsiflaydi (14).

Maktab fizikasi kursidan ma'lumki, (16) formulada a tebranishlar amplitudasi (og'irlikning muvozanat holatidan maksimal og'ishini belgilaydi), siklik chastotasi va tebranishlar fazasi ( boshlang'ich faza nolga teng bo'ladi).

Garmonik osilator tenglamasi (10) chiziqli ODE ga misoldir. Demak, noma’lum funksiya va uning barcha hosilalari tenglamaning har bir a’zosiga birinchi darajagacha kiritilgan. Chiziqli differensial tenglamalar juda muhim o'ziga xos xususiyatga ega: ular superpozitsiya printsipini qondiradi. Demak, chiziqli ODE ning istalgan ikkita yechimining har qanday chiziqli birikmasi ham uning yechimi hisoblanadi.

Biz ko'rib chiqayotgan garmonik osilator tenglamasi misolida ikkita alohida yechimning ixtiyoriy chiziqli birikmasi shunchaki yangi yechim emas, balki bu tenglamaning umumiy yechimidir (uning barcha mumkin bo'lgan yechimlarini tugatadi).

Umuman olganda, bunday emas. Misol uchun, agar biz uchinchi tartibli chiziqli differensial tenglama bilan ishlayotgan bo'lsak (ya'ni, tenglama uchinchi hosilani o'z ichiga olgan bo'lsa), uning har qanday ikkita maxsus yechimining chiziqli birikmasi ham bu tenglamaning yechimi bo'lar edi, lekin bu tenglama bo'lmaydi. ifodalash uning umumiy yechimidir.

Differensial tenglamalar jarayonida N-tartibli ODE ning umumiy yechimi (chiziqli yoki chiziqli bo'lmagan) N ixtiyoriy konstantaga bog'liqligi teorema isbotlangan. Nochiziqli tenglama bo'lsa, bu ixtiyoriy doimiylar umumiy yechimga ((13) dan farqli o'laroq) chiziqli bo'lmagan tarzda kirishi mumkin.

Superpozitsiya printsipi ODE nazariyasida juda muhim rol o'ynaydi, chunki u differensial tenglamaning umumiy yechimini uning maxsus echimlarining superpozitsiyasi ko'rinishida qurish uchun ishlatilishi mumkin. Masalan, doimiy koeffitsientli chiziqli ODElar va ularning tizimlari (garmonik osilator tenglamasi aynan shu turdagi tenglamalarga tegishli) uchun differensial tenglamalar nazariyasida umumiy yechim usuli ishlab chiqilgan. Uning mohiyati quyidagicha. Biz shaklda alohida yechim izlayapmiz Uni dastlabki tenglamaga almashtirish natijasida vaqtga bog'liq bo'lgan barcha omillar bekor qilinadi va biz N-tartibli ODE uchun N-darajali algebraik tenglama bo'lgan qandaydir xarakterli tenglamaga erishamiz. Uni yechish orqali biz barcha mumkin bo'lgan maxsus echimlarni topamiz, ularning ixtiyoriy chiziqli birikmasi dastlabki ODE ning umumiy yechimini beradi. Biz o'quvchini differensial tenglamalar nazariyasi bo'yicha tegishli darsliklarga havola qilib, bu masalaga boshqa to'xtalmaymiz, bu erda qo'shimcha ma'lumotlarni, xususan, xarakterli tenglama bir nechta ildizlarni o'z ichiga olgan holda topish mumkin.

Agar o'zgaruvchan koeffitsientli chiziqli ODE ko'rib chiqilsa (uning koeffitsientlari vaqtga bog'liq), u holda superpozitsiya printsipi ham amal qiladi, ammo bu tenglamaning umumiy yechimini har qanday standart usul bilan aniq shaklda qurish endi mumkin emas. Bu masalaga keyinroq qaytamiz, parametrik rezonans hodisasi va uni o‘rganish bilan bog‘liq Matye tenglamasini muhokama qilamiz.

Keling, oddiy fizik tizimni ko'rib chiqaylik - Guk kuchi ta'sirida gorizontal yuzada ishqalanishsiz tebranish qobiliyatiga ega bo'lgan moddiy nuqta (2-rasmga qarang).

Agar yukning siljishi kichik bo'lsa (deformatsiyalanmagan prujinaning uzunligidan ancha kichik) va prujinaning doimiysi k bo'lsa, u holda yukga ta'sir qiluvchi yagona kuch Guk kuchidir. Keyin tenglama

yukning harakati (Nyutonning ikkinchi qonuni) shaklga ega

Shartlarni tenglamaning chap tomoniga o'tkazib, moddiy nuqtaning massasiga bo'linib (biz m ga nisbatan bahorning massasini e'tiborsiz qoldiramiz), biz harakat tenglamasini olamiz

(*) ,

,

,

tebranish davri.

Keyin, funktsiyani qabul qilish

va vaqtga nisbatan farqlash, biz, birinchi navbatda, yukning tezligi teng ekanligiga ishonch hosil qilamiz

ikkinchidan, takroriy farqlashdan keyin

,

ya'ni X(t) haqiqatdan ham bahor yuki tenglamasining yechimidir.

Bunday tizim, umuman olganda, mexanik, elektr yoki boshqa usulda harakat tenglamasiga (*) ega bo'lgan har qanday tizim garmonik osilator deb ataladi. X(t) tipidagi funksiya garmonik osilatorning harakat qonuni, kattalik deyiladi.
chaqirdi amplituda,tsiklik yoki tabiiy chastota,boshlang'ich bosqichi. Tabiiy chastota osilatorning parametrlari bilan belgilanadi, amplituda va boshlang'ich faza dastlabki shartlar bilan beriladi.

X(t) harakat qonuni erkin tebranishdir. Bunday tebranishlar so'nmagan mayatniklar (matematik yoki fizik), ideal tebranish zanjiridagi oqim va kuchlanish va boshqa ba'zi tizimlar tomonidan amalga oshiriladi.

Garmonik tebranishlar bir yo'nalishda ham, turli yo'nalishlarda ham rivojlanishi mumkin. Qo'shish natijasi ham garmonik tebranishdir, masalan,

.

Bu tebranishlarning superpozitsiyasi (superpozitsiyasi) tamoyilidir.

Matematiklar bu turdagi qatorlar nazariyasini ishlab chiqdilar, ular Furye qatorlari deb ataladi. Bundan tashqari, Furye integrallari (chastotalar uzluksiz o'zgarishi mumkin) va hatto murakkab chastotalar bilan ishlaydigan Laplas integrallari kabi bir qator umumlashmalar mavjud.

§o'n besh. namlangan osilator. Majburiy tebranishlar.

Haqiqiy mexanik tizimlar har doim kamida kichik ishqalanishga ega. Eng oddiy holat suyuq yoki yopishqoq ishqalanishdir. Bu ishqalanish, uning qiymati tizim tezligiga mutanosib (va, albatta, harakat yo'nalishiga qarshi qaratilgan). Agar harakat X o'qi bo'ylab sodir bo'lsa, u holda harakat tenglamasini (masalan, buloqdagi og'irlik uchun) ko'rinishda yozish mumkin.

,

qayerda yopishqoq ishqalanish koeffitsienti hisoblanadi.

Ushbu harakat tenglamasini shaklga aylantirish mumkin

.

Bu yerda
zaiflashuv koeffitsienti, hali ham osilatorning tabiiy chastotasi (buni endi harmonik deb atash mumkin emas; u yopishqoq ishqalanish bilan namlangan osilator).

Matematiklar bunday differensial tenglamalarni yechish usullarini bilishadi. Yechim funksiya ekanligi ko'rsatildi

Oxirgi formulada quyidagi belgilar qo'llaniladi: – boshlang‘ich amplitudasi, zaif so‘ngan tebranishlar chastotasi
,
. Bundan tashqari, dampingni tavsiflovchi boshqa parametrlar tez-tez ishlatiladi: logarifmik dampingning pasayishi
, tizimning dam olish vaqti
, tizimning sifat omili
, bu erda hisoblagich tizim tomonidan saqlanadigan energiya, maxraj esa T davridagi energiya yo'qolishidir.

Kuchli zaiflashgan taqdirda
eritma aperiodik shaklga ega.

Ko'pincha osilatorga ishqalanish kuchlaridan tashqari tashqi kuch ham ta'sir qiladigan holatlar mavjud. Keyin harakat tenglamasi shaklga keltiriladi

,

o'ngdagi ifoda ko'pincha kamaytirilgan kuch, ifodaning o'zi deb ataladi
majburlovchi kuch deb ataladi. Ixtiyoriy harakatlantiruvchi kuch uchun tenglamaning yechimini topish mumkin emas. Odatda turdagi harmonik harakatlantiruvchi kuchni ko'rib chiqing
. Keyin eritma (**) tipidagi namlangan qism bo'lib, u katta vaqtlarda nolga intiladi va barqaror (majburiy) tebranishlar.

Majburiy tebranishlarning amplitudasi

,

va majburiy tebranishlar fazasi

.

E'tibor bering, tabiiy chastota harakatlantiruvchi kuchning chastotasiga yaqinlashganda, majburiy tebranishlarning amplitudasi ortadi. Bu hodisa deb nomlanadi rezonans. Agar damping katta bo'lsa, u holda rezonansning oshishi katta emas. Bunday rezonans "ahmoq" deb ataladi. Kam dampingda "o'tkir" rezonansning amplitudasi sezilarli darajada oshishi mumkin. Agar tizim ideal bo'lsa va unda ishqalanish bo'lmasa, unda majburiy tebranishlarning amplitudasi cheksiz ortadi.

E'tibor bering, shuningdek, harakatlantiruvchi kuchning chastotasida

Harakatlanuvchi kuch amplitudasining maksimal qiymatiga erishiladi, ga teng

.

Garmonik osilatorning tebranishlari Garmonik osilator vaqt o'tishi bilan evolyutsiyasi differensial tenglama bilan tasvirlangan jismoniy ob'ektdir

Qayerda q garmonik osilatorning umumlashtirilgan koordinatasi, t- vaqt, ? garmonik osilatorning xarakterli chastotasi. O'zgaruvchining ustidagi ikkita nuqta vaqtga nisbatan ikkinchi hosilani anglatadi. Qiymat q garmonik tebranishlarni hosil qiladi.
Garmonik osilator muammosi klassik va kvant fizikasida markaziy rol o'ynaydi.
Ko'p sonli jismoniy tizimlar muvozanatdan kichik og'ish bilan garmonik osilatorlar kabi ishlaydi. Bularga matematik va fizik mayatniklar, molekulalar va qattiq jismlardagi atomlarning tebranishlari, elektr tebranish zanjirlari va boshqalar kiradi.
Mayatnikning kichik tebranishlari garmonikdir

Energiya, Lagrange va Gamilton funktsiyasi
Garmonik osilatorning kinetik energiyasi ifoda bilan beriladi

Garmonik osilatorning potentsial energiyasi ifoda bilan beriladi

Shunga ko'ra, qiymatni hisobga olgan holda q umumlashgan koordinata, garmonik osilatorning Lagranj funksiyasi quyidagicha yoziladi

.

Umumiy impuls

Gamilton funktsiyasi

.

Majburiy tebranishlar
Garmonik osilatorning tabiiy chastotasiga mutlaqo to'g'ri kelmaydigan chastotali tashqi davriy kuch ta'sirida osilator garmonik tebranishlarni amalga oshiradi, ularning amplitudasi tashqi kuchning kattaligi va tashqi kuchning nisbati bilan belgilanadi. chastota va osilatorning tabiiy chastotasi.
Chastotali garmonik osilatorning majburiy tebranishlari? 0 chastotali kuch ta'sirida? tenglama bilan tavsiflanadi

Qayerda f 0 - tashqi kuchning amplitudasi.
Majburiy tebranishlarni tavsiflovchi ushbu tenglamaning alohida yechimi shaklga ega

.

Garmonik ositor tashqi kuch ta'sirida amplitudali garmonik tebranishlarni amalga oshiradi. . da, majburiy tebranishlar amplitudasi cheksizlikka intiladi. Bu hodisa rezonans deb ataladi.
Damlangan garmonik osilator
Osilator energiyasining tarqalishiga va uning issiqlikka aylanishiga olib keladigan boshqa turdagi ishqalanish yoki qarshilik kuchlarini hisobga olgan holda, garmonik osilator tenglamasi o'zgaradi. Xususan, qarshilik kuchlari miqdorning o'zgarish tezligiga mutanosib bo'lgan juda keng tarqalgan holat q. Keyin garmonik osilator tenglamasi shaklni oladi

Bunday tebranishlar qonunga ko'ra vaqt o'tishi bilan parchalanadi

Söndürülmüş garmonik osilatorning majburiy tebranishlari
Davriy tashqi kuch ta'sirida, hatto damping bo'lsa ham, osilator uchun qo'llaniladigan kuchga, chastota nisbatiga, shuningdek, dampingning kattaligiga bog'liq bo'lgan amplitudali garmonik tebranishlar o'rnatiladi.
Majburiy tebranishlarning amplitudasi, dampingni hisobga olgan holda, formula bilan aniqlanadi

.

Bu tashqi kuchning barcha chastotalarida cheklangan qiymatdir.
Vertikaldan boshlang'ich og'ishi kichik bo'lgan matematik mayatnik, chastota bilan garmonik tebranishlarni amalga oshiradi.

Tebranish davri garmonik osilator bo'lib, chastotaga ega

Bu erda L induktivlik, C sig'im.
Tafsilotlar uchun kvant osilatoriga qarang.
Xususiy qiymatlar va xos funktsiyalar spektri
dan kvant raqamlari bilan dastlabki oltita holatning to'lqin funksiyalari n= 0 dan 5 gacha. Umumlashtirilgan koordinata y o'qi bo'yicha chiziladi Garmonik osilatorning Gamiltoniani Gamilton funksiyasidagi impulsni almashtirish orqali olinadi. p ustida

.

Garmonik osilatorning spektri statsionar Shredinger tenglamasidan topilgan va formula bilan berilgan.

.

Bu yerda n noldan cheksizgacha bo'lgan kvant soni. Garmonik teng masofadagi osilatorning energiya darajalari. Garmonik osilatorning o'ziga xos xususiyati shundaki, garmonik osilator hatto asosiy holatda ham nolga teng bo'lmagan energiyaga ega.

Bu past energiya deyiladi nol tebranishlar energiyasi.
Kvant soniga mos keladigan garmonik osilatorning xos funksiyalari n formulalar orqali beriladi

,

Qayerda, A H n (x) germit ko'phadlaridir.
Hatto n garmonik osilatorning xos funksiyalari juftlashgan, Nepran uchun esa ular toq. Garmonik osilatorning Gamiltoniani almashtirish operatori bilan ishlaydi x ustida - x(paritet operatori tomonidan) va shuning uchun bu operator bilan umumiy xos funktsiyalarga ega.
Tug'ilish va yo'q qilish operatorlari
Agar tug'ilish operatorini aniqlasak

Va o'ldirish operatori

,

.

Yaratish va yo'q qilish operatorlari kommutatsiya munosabatini qanoatlantiradi:

Garmonik osilatorning xos funktsiyalari keyin shaklga ega bo'ladi

Yoki ket va sutyen vektor belgilaridan foydalanish:

Shtatdagi garmonik operatorga tug'ilish operatorining umumiy harakati | n> davlatga o'tishga olib keladi | n+1>:

Yo'q qilish operatorining holat bo'yicha harakati | n> davlatga o'tishga olib keladi | n-1>:

Operator

U zarrachalar sonining operatori deyiladi, chunki bu munosabat unga tegishli.

Tanlov qoidalari
Garmonik osilator uchun ruxsat etilgan o'tishlar orqali foton chiqarilganda yoki so'rilsa, n kvant soni bittaga o'zgaradigan holatlar mavjud. Darajaning teng masofasini hisobga olgan holda, ushbu tanlov qoidasi cheksiz darajadagi darajalarga qaramay, garmonik osilatorning optik yutilish yoki emissiya spektrida chastotali faqat bitta chiziq mavjudligiga olib keladi.
Molekulalarning haqiqiy tebranish spektrlarida ushbu qoidadan chetga chiqish atomlararo o'zaro ta'sirning real potentsialining garmonikligi, to'rt kutupli o'tishlar va boshqalar tufayli mumkin.

Ikki atomli molekuladagi atomlarning tebranish harakatining eng oddiy modeli ikki massali tizim bo'lishi mumkin. t/ va w? elastik prujina bilan bog'langan. Ikki atomning massa markaziga nisbatan tebranishi bir ekvivalentning tebranishi bilan almashtirilishi mumkin.

boshlang'ich nol nuqtasiga nisbatan massa R= 0, qayerda

R- massalar orasidagi masofa; Re- muvozanat nuqtasining holati.

Klassik mulohazaga ko'ra, bahor ideal deb hisoblanadi - elastik kuch F deformatsiyaga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir - muvozanatdan og'ish x \u003d R-R e, Guk qonuniga ko'ra:

qayerda uchun elastiklik konstantasi hisoblanadi. Shunday qilib, kuch muvozanat holatiga qaytish tomon yo'naltiriladi.

Guk va Nyuton qonunlarini birlashtirish (F-ta), yozilishi mumkin:

(belgilaydi). Ma'lumki, bunday tenglamani yechish orqali,

garmonik funksiyalar vazifasini bajaradi

qayerda ho- amplituda va

Kamaytirilgan massadan foydalanish /l olamiz:

Tizimning potentsial energiyasining o'lchovi V ishga xizmat qiladi

Kvant mexanikasida garmonik osilatorning oddiy modeli uchun tebranish harakatini tahlil qilish ancha murakkab. U Shredinger tenglamasini echishga asoslangan

(y/- tebranish to'lqin funktsiyasi, E zarrachaning umumiy energiyasi) va bizning taqdimotimiz doirasidan tashqarida.

Kvant osilatori uchun formulaga muvofiq faqat diskret energiya qiymatlari E va chastotalar seriyasi mumkin. E=hv. Bundan tashqari, osilator energiyasining minimal qiymati nolga teng emas. Bu qiymat nol energiya deb ataladi, u osilatorning eng past energiya darajasiga to'g'ri keladi va ga teng, uning mavjudligini Geyzenberg noaniqlik munosabati asosida tushuntirish mumkin.

Shunday qilib, kvant mexanikasiga muvofiq, garmonik osilatorning energiyasi kvantlanadi:

qayerda v- y=0, 1, 2, 3,... qiymatini qabul qila oladigan tebranish kvant soni.

Osilator elektromagnit nurlanish kvantlari bilan o'zaro ta'sir qilganda, uchta omilni hisobga olish kerak: 1) darajalar populyatsiyasi (ma'lum energiya darajasida molekulani topish ehtimoli); 2) chastota qoidasi (Bohr), unga ko'ra kvant energiyasi har qanday ikki darajadagi energiya farqiga mos kelishi kerak;

3) kvant o'tishlari uchun tanlov qoidasi: o'tish ehtimoli, ya'ni. yutilish spektridagi chiziq intensivligi miqdor bilan belgilanadi o'tish dipol momenti (nazariy kirishga qarang). Eng oddiy garmonik osilatorda tanlash qoidasi to'lqin funktsiyalarini hisobga olgan holda olinadi. Unda aytilishicha, o'tishlar faqat qo'shni darajalar ("bir qadam") o'rtasida sodir bo'lishi mumkin: tebranish kvant soni bittaga o'zgaradi. Av= 1. Qo'shni darajalar orasidagi masofalar bir xil bo'lganligi sababli, garmonik osilatorning yutilish spektri chastotali faqat bitta chiziqdan iborat bo'lishi kerak.

Boltzman taqsimotiga ko'ra, eng past tebranish darajasi xona va undan past haroratlarda joylashganligi sababli, eng past darajadan (d = 0) o'tish eng qizg'in bo'ladi va bu chiziqning chastotasi zaifroq o'tish chastotasiga to'g'ri keladi. qo'shniga yuqori darajalar, yanada yuqori daraja.

Har xil energiya qiymatlari uchun garmonik osilatorning to'lqin funktsiyalari grafiklari 2.3-rasmda ko'rsatilgan. Ular garmonik osilator uchun Shredinger tenglamasining yechimlari

qayerda N,- normallashtiruvchi omil, H 0- Hermit ko'pnomlari, x \u003d R-R e- muvozanat holatidan og'ish.

Vibratsiyali o'tishlar uchun o'tish dipol momenti, R0(yoki M") teng:

qayerda ju molekulaning dipol momenti; ikkilanib

mos ravishda boshlang'ich va oxirgi holatlarning qattiq to'lqin funktsiyalari. Formuladan ko'rinib turibdiki, o'tishga ruxsat berilgan,

agar muvozanat nuqtasida - molekulaning dipol momenti

muvozanat nuqtasi pozitsiyasiga yaqin o'zgarishlar, (egri ju=f(R) bu nuqtada maksimaldan o'tmaydi). Integral (formuladagi ikkinchi omil) ham nolga teng bo'lmasligi kerak. Qo'shni darajalar o'rtasida o'tish amalga oshirilsa, bu shart bajarilganligini ko'rsatish mumkin, shuning uchun qo'shimcha tanlov qoidasi AI = 1.

Ikki atomli molekulalarda tebranish spektrlari faqat geteroyadro molekulalarida kuzatilishi mumkin, gomonukulyar molekulalar uchun dipol momenti yo'q va tebranish paytida o'zgarmaydi. CO2 ning tebranish spektrlarida tebranishlar (valentlik antisimmetrik va deformatsiya tebranishlari) paydo bo'ladi, ularda dipol momenti o'zgaradi, lekin u o'zgarmagan simmetrik tebranishlar paydo bo'lmaydi.