Differensiallash amallaridan biri hosila (differensial)ni topish va uni funksiyalarni o‘rganishda qo‘llashdir.

Teskari muammo ham bir xil darajada muhimdir. Agar funktsiyaning xatti-harakati uning ta'rifining har bir nuqtasi yaqinida ma'lum bo'lsa, unda funktsiyani bir butun sifatida qanday tiklash kerak, ya'ni. uning ta'rifining butun doirasi bo'ylab. Ushbu muammo integral hisob deb ataladigan narsani o'rganish mavzusidir.

Integratsiya - bu farqlashning teskari harakati. Yoki berilgan f`(x) hosilasidan f(x) funksiyani tiklash. Lotincha "integro" so'zi qayta tiklash degan ma'noni anglatadi.

№1 misol.

(f(x))' = 3x 2 bo'lsin. f(x) ni toping.

Yechim:

Farqlash qoidasiga asoslanib, f (x) \u003d x 3 ekanligini taxmin qilish oson, chunki

(x 3) ' = 3x 2 Biroq, f (x) ning noaniq topilganligini ko'rish oson. f (x) sifatida siz f (x) \u003d x 3 +1 f (x) \u003d x 3 +2 f (x) \u003d x 3 -3 va hokazolarni olishingiz mumkin.

Chunki ularning har birining hosilasi 3x2 ga teng. (Doimiyning hosilasi 0 ga teng). Bu funktsiyalarning barchasi bir-biridan doimiy atama bilan farqlanadi. Demak, masalaning umumiy yechimini f(x)= x 3 +C shaklida yozish mumkin, bunda C har qanday doimiy haqiqiy son.

Topilgan har qanday funksiya f(x) deyiladi ibtidoiy F`(x) = 3x 2 funksiyasi uchun

Ta'rif.

F(x) funksiya berilgan J oraliqdagi f(x) funksiya uchun antiderivativ deyiladi, agar bu oraliqdagi barcha x uchun F`(x) = f(x). Shunday qilib, F (x) \u003d x 3 funktsiyasi f (x) \u003d 3x 2 uchun (- ∞ ; ∞) uchun antiderivativdir. Chunki barcha x ~ R uchun tenglik to'g'ri bo'ladi: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Yuqorida aytib o'tganimizdek, bu funktsiya cheksiz antiderivativlarga ega.

№2 misol.

Funktsiya (0; +∞) oraliqdagi hamma uchun antiderivativdir, chunki bu oraliqdan boshlab barcha h uchun tenglik bajariladi.

Integratsiya vazifasi berilgan funksiya uchun uning barcha antiderivativlarini topishdir. Ushbu muammoni hal qilishda quyidagi bayonot muhim rol o'ynaydi:

Funksiyaning doimiyligi belgisi. Agar biron bir I oraliqda F "(x) \u003d 0 bo'lsa, F funktsiyasi bu oraliqda doimiydir.

Isbot.

I oraliqdan qandaydir x 0 ni tuzatamiz. Shunday oraliqdagi istalgan x soni uchun Lagrange formulasi yordamida x va x 0 orasida shunday c sonni belgilash mumkin.

F (x) - F (x 0) \u003d F "(c) (x-x 0).

Shart bo'yicha, F’ (c) = 0, chunki c ∈1, shuning uchun,

F(x) - F(x 0) = 0.

Demak, I oraliqdan barcha x uchun

ya'ni F funktsiyasi doimiy bo'lib qoladi.

Barcha antiderivativ funktsiyalar f bir formula yordamida yozilishi mumkin, bu formulaga deyiladi funksiya uchun antiderivativlarning umumiy shakli f. Quyidagi teorema to'g'ri ( ibtidoiylarning asosiy xossalari):

Teorema. I oraliqdagi f funksiya uchun har qanday anti hosila sifatida yozish mumkin

F(x) + C, (1) bu yerda F(x) f(x) funksiyaning I oraliqdagi antiderivativlaridan biri, C esa ixtiyoriy doimiydir.

Keling, antiderivativning ikkita xususiyati qisqacha ifodalangan ushbu bayonotni tushuntiramiz:

1. C o‘rniga (1) ifodaga qanday son qo‘ysak, I oraliqda f ga qarshi hosila olamiz;
2. I oraliqdagi f uchun qaysi anti hosila F olingan bo‘lsa, shunday C sonni tanlash mumkinki, I oraliqdagi barcha x uchun tenglik bajarilsin.

Isbot.

1. Shartga ko'ra, F funktsiyasi I oraliqdagi f uchun antiderivativdir. Shuning uchun, har qanday x∈1 uchun F "(x) \u003d f (x), shuning uchun (F (x) + C)" \u003d F "( x) + C" \u003d f(x)+0=f(x), ya'ni F(x) + C f funksiyasi uchun antiderivativdir.
2. Xuddi shu I oraliqdagi f funksiya uchun F (x) ga qarshi hosilalardan biri bo‘lsin, ya’ni barcha x∈I uchun F "(x) = f (x) bo‘lsin.

Keyin (F (x) - F (x)) "= F" (x) - F '(x) = f (x) - f (x) \u003d 0.

Bu erdan kelib chiqadi. funktsiya konstantligi belgisi tufayli F (x) - F (x) ayirmasi I oraliqda qandaydir doimiy C qiymatni qabul qiluvchi funktsiyadir.

Shunday qilib, I oraliqdagi barcha x uchun F(x) - F(x)=S tengligi to'g'ri bo'lib, u isbotlanishi kerak edi. Antiderivativning asosiy xususiyatiga geometrik ma'no berilishi mumkin: f funktsiyasi uchun har qanday ikkita antiderivativning grafiklari y o'qi bo'ylab parallel ko'chirish orqali bir-biridan olinadi.

Tezislar uchun savollar

F(x) funksiya f(x) funksiya uchun anti hosiladir. f(x)=9x2 - 6x + 1 va F(-1) = 2 bo'lsa, F(1) ni toping.

Funktsiya uchun barcha antiderivativlarni toping

(x) = cos2 * sin2x funktsiyasi uchun F(0) = 0 bo'lsa, F(x) ga qarshi hosilani toping.

Funksiya uchun grafigi nuqtadan o‘tadigan antiderivativni toping

Nuqtaning to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatini ko‘rib chiqaylik. Vaqtga ruxsat bering t harakat boshidan boshlab, nuqta yo'ldan o'tdi s(t). Keyin oniy tezlik v(t) funksiyaning hosilasiga teng s(t), ya'ni v(t) = s"(t).

Amalda teskari masala mavjud: nuqta harakatining berilgan tezligi uchun v(t) uning yo'lini toping s(t), ya'ni bunday funktsiyani topish s(t), uning hosilasi v(t). Funktsiya s(t), shu kabi s"(t) = v(t), funksiyaning antiderivativi deyiladi v(t).

Masalan, agar v(t) = at, qayerda a berilgan son, keyin funksiya
s(t) = (2 da) / 2v(t), chunki
s "(t) \u003d ((2 da) / 2) " \u003d \u003d v (t).

Funktsiya F(x) antiderivativ funksiya deyiladi f(x) ba'zi bir intervalda, agar hamma uchun X bu oraliqdan F"(x) = f(x).

Masalan, funktsiya F(x) = sin x funksiyaning antiderivatividir f(x) = cos x, chunki (sin x)" = cos x; funktsiyasi F (x) \u003d x 4/4 funksiyaning antiderivatividir f(x) = x 3, chunki (x 4/4)" \u003d x 3.

Keling, muammoni ko'rib chiqaylik.

Vazifa.

x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 - 4 funktsiyalari bir xil f (x) \u003d x 2 funksiyaning anti hosilasi ekanligini isbotlang.

Yechim.

1) F 1 (x) \u003d x 3/3, keyin F "1 (x) \u003d 3 ∙ (x 2/3) \u003d x 2 \u003d f (x) ni belgilang.

2) F 2 (x) \u003d x 3/3 + 1, F "2 (x) \u003d (x 3/3 + 1)" \u003d (x 3/3) "+ (1)" \u003d x 2 \u003d f ( x).

3) F 3 (x) \u003d x 3/3 - 4, F "3 (x) \u003d (x 3/3 - 4)" \u003d x 2 \u003d f (x).

Umuman olganda, har qanday funktsiya x 3 / 3 + C, bu erda C doimiy bo'lib, x 2 funktsiyasining antiderivatividir. Bu doimiyning hosilasi nolga teng ekanligidan kelib chiqadi. Bu misol shuni ko'rsatadiki, berilgan funktsiya uchun uning antiderivativi yagona aniqlanmagan.

F 1 (x) va F 2 (x) bir xil f(x) funksiyaning ikkita anti hosilasi bo‘lsin.

Keyin F 1 "(x) = f(x) va F" 2 (x) = f(x).

Ularning farqining hosilasi g (x) \u003d F 1 (x) - F 2 (x) nolga teng, chunki g "(x) \u003d F" 1 (x) - F "2 (x) \u003d f (x) - f (x) = 0.

Agar ma'lum oraliqda g "(x) \u003d 0 bo'lsa, u holda bu oraliqning har bir nuqtasida y \u003d g (x) funksiya grafigiga teginish Ox o'qiga parallel bo'ladi. Shuning uchun funktsiya grafigi y \u003d g (x) - Ox o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziq, ya'ni g (x) \u003d C, bu erda C qandaydir doimiydir g (x) \u003d C, g (x) \u003d F tengliklaridan 1 (x) - F 2 (x) shundan kelib chiqadiki, F 1 (x) \u003d F 2(x) + C.

Demak, agar F(x) funksiya qaysidir oraliqda f(x) ning anti hosilasi bo'lsa, f(x) ning barcha anti hosilalari F(x) + S ko'rinishida yoziladi, bu erda S ixtiyoriy doimiydir.

Berilgan f(x) funksiyaning barcha anti hosilalari grafiklarini ko‘rib chiqaylik. Agar F(x) f(x) funksiyaning antihosillaridan biri bo‘lsa, bu funksiyaning istalgan anti hosilasi F(x) ga qandaydir doimiyni qo‘shish orqali olinadi: F(x) + C. y = funksiyalarning grafiklari. F(x) + C y = F(x) grafikdan Oy o'qi bo'ylab siljish orqali olinadi. C ni tanlash orqali antiderivativning grafigi berilgan nuqtadan o'tishini ta'minlash mumkin.

Keling, primitivlarni topish qoidalariga e'tibor beraylik.

Eslatib o'tamiz, berilgan funksiya uchun hosilani topish operatsiyasi deyiladi farqlash. Berilgan funksiya uchun anti hosilani topishning teskari amali deyiladi integratsiya(Lotin so'zidan "tiklash").

Antiderivativlar jadvali ba'zi funktsiyalar uchun hosilalar jadvali yordamida kompilyatsiya qilish mumkin. Masalan, buni bilish (cos x)" = -sin x, olamiz (-cos x)" = sin x, shundan kelib chiqadiki, barcha antiderivativ funktsiyalar gunoh x shaklida yoziladi -cos x + C, qayerda FROM- doimiy.

Keling, antiderivativlarning ba'zi qiymatlarini ko'rib chiqaylik.

1) Funktsiya: x p, p ≠ -1. Antiderivativ: (x p + 1) / (p + 1) + C.

2) Funktsiya: 1/x, x > 0. Antiderivativ: lnx + C.

3) Funktsiya: x p, p ≠ -1. Antiderivativ: (x p + 1) / (p + 1) + C.

4) Funktsiya: e x. Antiderivativ: e x + C.

5) Funktsiya: gunoh x. Antiderivativ: -cos x + C.

6) Funktsiya: (kx + b) p , p ≠ -1, k ≠ 0. Antiderivativ: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Funktsiya: 1/(kx + b), k ≠ 0. Antiderivativ: (1/k) ln (kx + b) + C.

8) Funktsiya: e kx + b , k ≠ 0. Antiderivativ: (1/k) e kx + b + C.

9) Funktsiya: sin (kx + b), k ≠ 0. Antiderivativ: (-1/k) cos (kx + b).

10) Funktsiya: cos (kx + b), k ≠ 0. Antiderivativ: (1/k) sin (kx + b).

Integratsiya qoidalari yordamida olish mumkin farqlash qoidalari. Keling, ba'zi qoidalarni ko'rib chiqaylik.

Mayli F(x) va G(x) mos ravishda funksiyalarning antiderivativlaridir f(x) va g(x) ma'lum bir intervalda. Keyin:

1) funktsiyasi F(x) ± G(x) funksiyaning antiderivatividir f(x) ± g(x);

2) funktsiyasi aF(x) funksiyaning antiderivatividir af(x).

sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.

Ibtidoiy. Chiroyli so'z.) Boshlash uchun biroz ruscha. Bu so'z emas, balki shunday talaffuz qilinadi "birlamchi" tuyulishi mumkin. Antiderivativ butun integral hisobning asosiy tushunchasidir. Har qanday integrallar - noaniq, aniq (siz ular bilan shu semestrda tanishasiz), shuningdek, qo'sh, uch, egri chiziqli, sirt (va bu ikkinchi yilning asosiy belgilari) - bu asosiy tushunchaga asoslanadi. O'zlashtirish uchun to'liq ma'no bor. Boring.)

Antiderivativ tushunchasi bilan tanishishdan oldin, keling, eng umumiy ma'noda eng keng tarqalganini eslaylik. hosila. Chegaralarning zerikarli nazariyasini, argumentning o'sishini va boshqa narsalarni o'rganmasdan, biz aytishimiz mumkinki, hosila topish (yoki farqlash) faqat ustidagi matematik amaldir funktsiyasi. Va tamom. Har qanday funktsiya olinadi (masalan, f(x) = x2) va ma'lum qoidalarga muvofiq ga aylanadi yangi xususiyat. Va bu bitta yangi xususiyat va chaqirdi hosila.

Bizning holatda, differentsiatsiyadan oldin funktsiya mavjud edi f(x) = x2, va farqlashdan keyin u allaqachon bo'ldi boshqa funktsiya f'(x) = 2x.

Hosil– chunki bizning yangi funksiyamiz f'(x) = 2x sodir bo'ldi funktsiyasidan f(x) = x2. Differensiatsiya operatsiyasi natijasida. Bundan tashqari, u boshqa funktsiyadan emas, balki undan ( x 3, masalan).

Qo'pol qilib aytganda, f(x) = x2- bu onam, f'(x) = 2x- uning sevimli qizi.) Bu tushunarli. Davom etish.

Matematiklar tinchlanmaydigan odamlardir. Har bir harakat uchun ular reaktsiya topishga harakat qilishadi. :) Qo'shish bor - ayirish ham bor. Ko‘paytirish ham, bo‘lish ham bor. Qudratga ko'tarish - ildizni olishdir. Sinus arksinusdir. Aynan shu narsa bor farqlash Bu degani ... integratsiya.)

Va endi shunday qiziqarli muammoni qo'yaylik. Bizda, masalan, shunday oddiy funksiya bor f(x) = 1. Va biz bu savolga javob berishimiz kerak:

WHAT funksiyasining hosilasi bizga funktsiyani beradif(x) = 1?

Boshqacha qilib aytganda, qizini ko'rib, DNK tahlilidan foydalanib, uning onasi kimligini aniqlang. :) Xo'sh, nimadan original funksiya (uni F(x) deb ataymiz) bizning hosila f(x) = 1 funksiyasi? Yoki matematik shaklda, nima uchun F(x) funksiyasi tenglik bajariladi:

F'(x) = f(x) = 1?

Elementar misol. Men harakat qildim.) Biz faqat F (x) funksiyasini tanlaymiz, shunda tenglik ishlaydi. :) Xo'sh, uni qanday qilib oldingiz? Ha albatta! F(x) = x. Chunki:

F'(x) = x' = 1 = f(x).

Albatta, onam topildi F(x) = x siz uni biror narsa deb atashingiz kerak, ha.) Men bilan tanishing!

Funktsiya uchun antiderivativf(x) shunday funksiyadirF(x), hosilasi teng bo'lganf(x), ya'ni. buning uchun tenglikF’(x) = f(x).

Ana xolos. Boshqa ilmiy fokuslar yo'q. Qattiq ta'rifda qo'shimcha ibora qo'shiladi "x orasida". Ammo biz hozircha bu nozikliklarni ko'rib chiqmaymiz, chunki bizning asosiy vazifamiz bu juda ibtidoiy narsalarni qanday topishni o'rganishdir.

Bizning holatda, bu funktsiya shunchaki chiqadi F(x) = x hisoblanadi ibtidoiy funktsiya uchun f(x) = 1.

Nega? chunki F'(x) = f(x) = 1. X ning hosilasi birlikdir. E'tirozlar yo'q.)

"Birlamchi" atamasi filistiycha "ajdod", "ota-ona", "ajdod" degan ma'noni anglatadi. Biz darhol eng aziz va yaqin odamni eslaymiz.) Va antiderivativni qidirishning o'zi asl funktsiyani tiklashdir. ma'lum hosilasi bilan. Boshqacha aytganda, bu harakat farqlashning teskarisi. Va tamom! Ushbu ajoyib jarayonning o'zi ham ilmiy jihatdan deyiladi - integratsiya. Lekin haqida integrallar- keyinroq. Sabr, do'stlar!

Eslab qoling:

Integratsiya - bu funksiya ustidagi matematik operatsiya (xuddi differensiallash kabi).

Integratsiya differensiatsiyaga teskari hisoblanadi.

Antiderivativ integratsiya natijasidir.

Endi vazifani murakkablashtiramiz. Endi funktsiyaning antiderivativini topamiz f(x) = x. Ya'ni, topamiz bunday funktsiya F(x) , uchun uning hosilasi x ga teng bo'ladi:

F'(x) = x

Kim lotinlar bilan do'stdir, ehtimol shunga o'xshash narsa xayolga keladi:

(x 2)' = 2x.

Xo'sh, hosilalar jadvalini eslaganlarga hurmat va hurmat!) To'g'ri. Lekin bitta muammo bor. Bizning asl funktsiyamiz f(x) = x, a (x2)' = 2 x. Ikki X. Va farqlashdan keyin biz olishimiz kerak faqat x. Yaxshi emas. Lekin…

Biz ilmli xalqmiz. Biz sertifikatlar oldik.) Va biz maktabdan bilamizki, har qanday tenglikning ikkala qismi ham bir xil songa ko'paytirilishi va bo'linishi mumkin (albatta, noldan tashqari)! Shunday qilib tartibga solingan. Keling, ushbu imkoniyatdan foydalanaylik.)

Axir, biz toza X o'ng tomonda qolishini xohlaymiz, shunday emasmi? Va deuce aralashadi ... Shunday qilib, hosila (x 2) '= 2x uchun nisbatni olamiz va bo'linadi. uning ikkala qismi bu ikkisi uchun:

Shunday qilib, u bir nechta narsalarni aniqlaydi. Davom etish. Biz bilamizki, har qanday doimiy bo'lishi mumkin uni hosila belgisidan chiqaring. Mana bunday:

Matematikadagi barcha formulalar chapdan o'ngga va aksincha - o'ngdan chapga ishlaydi. Bu shuni anglatadiki, bir xil muvaffaqiyat bilan har qanday doimiy bo'lishi mumkin hosila belgisi ostiga kiriting:

Bizning holatda, biz ikkalasini hosila belgisi ostida maxrajda (yoki bir xil bo'lgan koeffitsient 1/2) yashiramiz:

Endi esa ehtiyotkorlik bilan Keling, rekordimizni ko'rib chiqaylik. Biz nimani ko'ramiz? ning hosilasi degan tenglikni ko'ramiz nimadur(bu nimadur- qavs ichida) x ga teng.

Olingan tenglik faqat funktsiya uchun kerakli antiderivativ degan ma'noni anglatadi f(x) = x vazifasini bajaradi F(x) = x2/2 . Qo'shtirnoq ostidagi qavs ichida joylashgan. To'g'ridan-to'g'ri antiderivativ ma'nosiga ko'ra.) Xo'sh, natijani tekshiramiz. Keling, hosilani topamiz:

Ajoyib! Asl funktsiyani oldim f(x) = x. Ular raqsga tushgan narsadan qaytib kelishdi. Bu bizning antiderivativimiz to'g'ri topilganligini anglatadi.)

Agar f(x) = x2? Uning primitivi nimaga teng? Muammo yo'q! Siz va men bilamiz (yana farqlash qoidalaridan):

3x2 = (x3)'

VA, anavi,

Tushundim? Endi biz o'zimiz uchun sezilmaydigan tarzda, har qanday uchun antiderivativlarni hisoblashni o'rgandik quvvat funksiyasi f(x)=x n. Ongda.) Biz boshlang'ich ko'rsatkichni olamiz n, uni bittaga oshiring va kompensatsiya sifatida biz butun tuzilmani ajratamiz n+1:

Olingan formula, aytmoqchi, haqiqiydir nafaqat tabiiy ko'rsatkich uchun daraja n, balki boshqa har qanday uchun ham - salbiy, kasr. Bu oddiydan antiderivativlarni topishni osonlashtiradi kasrlar va ildizlar.

Masalan:

Tabiiyki, n ≠ -1 , aks holda formulaning maxraji nolga teng bo'lib, formula o'z ma'nosini yo'qotadi.) Ushbu maxsus holat haqida n=-1 sal keyinroq.)

Noaniq integral nima? Integrallar jadvali.

Aytaylik, funksiya uchun hosila nima F(x) = x? Xo'sh, bitta, bitta - men norozi javoblarni eshitaman ... To'g'ri. Birlik. Lekin... Funktsiya uchun G(x) = x+1 hosila ham bittaga teng bo'ladi.:

Bundan tashqari, hosila funktsiya uchun bittaga teng bo'ladi x+1234 , va funksiya uchun x-10 , va shaklning boshqa har qanday funksiyasi uchun x+C , qayerda FROM har qanday doimiydir. Har qanday doimiyning hosilasi nolga teng va nolni qo'shish / ayirish natijasida hech kim sovuq yoki issiq emas.)

Bu noaniqlik chiqadi. Ma'lum bo'lishicha, funktsiya uchun f(x) = 1 prototip sifatida xizmat qiladi nafaqat funktsiya F(x) = x , balki funksiya ham F 1 (x) = x+1234 va funksiya F 2 (x) = x-10 va hokazo!

Ha. To'g'ri.) Hamma uchun ( intervalda uzluksiz) funksiyaning faqat bitta antiderivativ emas, balki cheksiz ko'p - butun oila! Bitta ona yoki dadam emas, balki butun nasl-nasab, ha.)

Lekin! Bizning barcha ibtidoiy qarindoshlarimiz bitta muhim umumiy xususiyatga ega. Shuning uchun ham ular qarindoshlardir.) Mulk shu qadar muhimki, integratsiya usullarini tahlil qilish jarayonida biz bu haqda bir necha marta eslaymiz. Va biz uzoq vaqt eslaymiz.)

Mana, bu mulk:

Har qanday ikkita ibtidoiy F 1 (x) vaF 2 (x) xuddi shu funksiyadanf(x) doimiy bilan farqlanadi:

F 1 (x) - F 2 (x) = C.

Dalil kimga qiziq - adabiyotni yoki ma'ruza matnlarini o'rganing.) Mayli, shunday bo'lsin, men buni isbotlayman. Yaxshiyamki, bu erda isbot elementar, bir qadamda. Biz tenglikni qabul qilamiz

F 1 (x) - F 2 (x) = C

va Keling, ikkala qismni ham farqlaylik. Ya'ni, biz shunchaki ahmoqona zarbalar qo'ydik:

Ana xolos. Ular aytganidek, CTD. :)

Bu mulk nima deydi? Va bu ikki xil ibtidoiy bir xil funktsiyadan f(x) bilan farq qila olmaydi x bilan qandaydir ifoda . Faqat qat'iy ravishda doimiy ravishda! Boshqacha qilib aytganda, agar bizda qandaydir grafik mavjud bo'lsa kashshoflardan biri(F(x) bo'lsin), keyin grafiklar boshqalar Bizning antiderivativlarimiz F(x) grafigini y o'qi bo'ylab parallel ko'chirish orqali tuzilgan.

Keling, misol funksiyasida qanday ko'rinishini ko'rib chiqaylik f(x) = x. Uning barcha ibtidoiylari, biz allaqachon bilganimizdek, umumiy shaklga ega F(x) = x 2 /2+C . Rasmda shunday ko'rinadi cheksiz sonli parabolalar doimiy qiymatiga qarab OY o'qi bo'ylab yuqoriga yoki pastga siljish yo'li bilan "asosiy" y = x 2 /2 parabolasidan olinadi. FROM.

Maktab funktsiya grafigini eslang y=f(x)+a jadval almashinuvi y=f(x) y o'qi bo'ylab "a" birliklari bilan?) Bu erda ham xuddi shunday.)

Va e'tibor bering: bizning parabolalarimiz hech qayerdan o'tmang! Bu tabiiy. Axir, ikki xil funksiya y 1 (x) va y 2 (x) muqarrar ravishda mos keladi. doimiyning ikki xil qiymati – 1 dan va 2 dan.

Demak, y 1 (x) = y 2 (x) tenglama hech qachon yechimga ega emas:

C 1 = C 2

x ∊ ∅ , chunki C 1 ≠ C2

Va endi biz integral hisobning ikkinchi asosiy kontseptsiyasiga muammosiz yaqinlashamiz. Biz aniqlaganimizdek, har bir f(x) funksiya bir-biridan doimiy qiymat bilan farq qiluvchi cheksiz F(x) + C antiderivativlar to‘plamiga ega. Bu eng cheksiz to'plamning ham o'ziga xos nomi bor.) Xo'sh, iltimos, seving va iltifot qiling!

Noaniq integral nima?

Funktsiya uchun barcha antiderivativlar to'plami f(x) deyiladi noaniq integral funktsiyasidanf(x).

Bu butun ta'rif.)

"noaniq" - chunki bir xil funktsiya uchun barcha antiderivativlar to'plami cheksiz. Variantlar juda ko'p.)

"Integral" - biz ushbu shafqatsiz so'zning batafsil dekodlanishi bilan keyingi katta bo'limda tanishamiz. aniq integrallar. Ayni paytda, qo'pol shaklda biz ajralmas narsani ko'rib chiqamiz umumiy, bir, butun. Va integratsiya uyushma, umumlashtirish, bu holda, xususiy (hosil) dan umumiy (antiderivativlar) ga o'tish. Shunga o'xshash narsa.

Noaniq integral quyidagicha ifodalanadi:

U qanday yozilgan bo'lsa, xuddi shunday o'qiydi: x de x ning integral effekti. Yoki integral dan ef dan x de x. Xo'sh, siz fikrni tushunasiz.)

Endi notalash bilan shug'ullanamiz.

∫ - integral belgisi. Ma'nosi hosila uchun chiziq bilan bir xil.)

d - belgisidifferensial. Biz qo'rqmaymiz! Nima uchun u erda kerak - bir oz pastroq.

f(x) - integral("s" orqali).

f(x)dx - integral. Yoki, qo'pol qilib aytganda, integralni "to'ldirish".

Noaniq integral ma'nosiga ko'ra,

Bu yerda F(x)- xuddi shunday antiderivativ funktsiya uchun f(x) biz qandaydir tarzda o'zlarini topdilar. Ular buni qanday aniq topdilar, bu gap emas. Masalan, biz buni aniqladik F(x) = x2/2 uchun f(x)=x.

"FROM" - ixtiyoriy doimiy. Yoki ko'proq ilmiy, integral doimiy. Yoki integratsiya konstantasi. Hammasi bitta.)

Endi birinchi antiderivativ misollarimizga qaytaylik. Noaniq integral nuqtai nazaridan, endi ishonch bilan yozishimiz mumkin:

Integral konstanta nima va u nima uchun kerak?

Savol juda qiziq. Va juda (JUDA!) Muhim. Butun cheksiz antiderivativlar to'plamining integral konstantasi ushbu chiziqni ajratib turadi, berilgan nuqta orqali o'tadi.

Gap nimada. Asl cheksiz antiderivativlar to'plamidan (ya'ni. noaniq integral) berilgan nuqtadan o'tadigan egri chiziqni tanlash kerak. Ba'zilar bilan maxsus koordinatalar. Bunday vazifa har doim va hamma joyda integrallar bilan dastlabki tanishish jarayonida uchraydi. Maktabda ham, universitetda ham.

Oddiy muammo:

f=x funksiyaning barcha teskari hosilalari to‘plamidan (2;2) nuqtadan o‘tuvchisini tanlang.

Biz boshimiz bilan o'ylashni boshlaymiz ... Barcha ibtidoiylarning to'plami - bu birinchi navbatda kerak degan ma'noni anglatadi asl funktsiyamizni birlashtiring. Ya'ni, x(x). Biz buni biroz yuqoriroq qildik va quyidagi javobni oldik:

Va endi biz aniq nimani olganimizni tushunamiz. Biz faqat bitta funktsiyani emas, balki oldik funktsiyalarning butun oilasi. Qaysilari? Vida y=x 2 /2+C . O'zgarmas C qiymatiga qarab. Va endi biz doimiyning bu qiymatini "ushlashimiz" kerak.) Xo'sh, tutaylikmi?)

Bizning qarmoq - egri chiziqlar oilasi (parabolalar) y=x2/2+C.

Konstantalar - bu baliqlar. Juda ham. Ammo har birining o'z ilgagi va o'ljasi bor.)

Va o'lja nima? To'g'ri! Bizning nuqtamiz (-2;2).

Shunday qilib, biz nuqtamizning koordinatalarini antiderivativlarning umumiy shaklida almashtiramiz! Biz olamiz:

y(2) = 2

Bu erdan topish oson C=0.

Siyo nimani anglatadi Bu shaklning barcha cheksiz parabola to'plamidan ekanligini anglatadiy=x 2 /2+Cfaqat doimiy C=0 bo'lgan parabola bizga yarashadi! Aynan:y=x2/2. Va faqat u. Bizga kerakli nuqtadan faqat shu parabola o'tadi (-2; 2). Va ichidabizning oilamizdagi barcha boshqa parabolalar o'tadi bu nuqta endi bo'lmaydi. Samolyotning boshqa ba'zi nuqtalari orqali - ha, lekin (2; 2) nuqta orqali - endi yo'q. Tushundim?

Aniqlik uchun bu erda siz uchun ikkita rasm - parabolalarning butun oilasi (ya'ni, noaniq integral) va ba'zilari. beton parabola ga mos keladi doimiyning o'ziga xos qiymati va orqali o'tish aniq nuqta:

Doimiylikni hisobga olish qanchalik muhimligini ko'ring FROM integratsiyalashganda! Shunday qilib, ushbu "C" harfini e'tiborsiz qoldirmang va yakuniy javobni belgilashni unutmang.

Keling, nima uchun bu belgi integrallarning hamma joyida joylashganligini aniqlaylik dx . Talabalar ko'pincha bu haqda unutishadi ... Aytgancha, bu ham xatodir! Va juda qo'pol. Gap shundaki, integratsiya differentsiatsiyaga teskari hisoblanadi. Va aniq nima farqlash natijasi? Hosilmi? To'g'ri, lekin aslida emas. Differensial!

Bizning holatda, funktsiya uchun f(x) uning antiderivativini farqlash F(x), bo'ladi:

Kim bu zanjirni tushunmasa - zudlik bilan differentsialning ta'rifi va ma'nosini takrorlang va u qanchalik aniq ochilgan! Aks holda, siz integrallarda shafqatsiz ravishda sekinlashasiz ....

Sizga shuni eslatib o'tamanki, eng qo'pol filistin shaklida, har qanday f (x) funktsiyasining differentsiali shunchaki mahsulotdir. f'(x)dx. Va tamom! Hosilini oling va uni ko'paytiring argumentning farqlanishiga(ya'ni dx). Ya'ni, har qanday differentsial, aslida, odatiy hisob-kitoblarga qisqartiriladi hosila.

Shuning uchun, qat'iy aytganda, integral dan emas, balki "olindi" funktsiyalari f(x), odatda ishonganidek, va differensial f(x)dx! Ammo, soddalashtirilgan versiyada buni aytish odatiy holdir "integral funktsiyadan olingan". Yoki: "f funktsiyasini integrallaydi(x)". Bu xuddi shunday. Va biz ham xuddi shunday deymiz. Ammo ikona haqida dx Shunga qaramay, unutmaylik! :)

Va endi men sizga yozish paytida buni qanday unutmaslik kerakligini aytaman. Avval tasavvur qiling-a, siz x ga nisbatan oddiy hosilani hisoblayapsiz. Odatda qanday yozasiz?

Bu kabi: f’(x), y’(x), y’x. Yoki aniqroq, farqlar nisbati orqali: dy/dx. Bu yozuvlarning barchasi hosila aniq x tomonidan olinganligini ko'rsatadi. Va "y", "te" yoki boshqa o'zgaruvchilar bilan emas.)

Xuddi shu narsa integrallar uchun ham amal qiladi. Yozib olish ∫ f(x)dx AQSh ham go'yo integratsiyaning aniq amalga oshirilganligini ko'rsatadi x o'zgaruvchisi bo'yicha. Albatta, bularning barchasi juda soddalashtirilgan va qo'pol, ammo bu aniq, umid qilamanki. Va imkoniyatlar unut hamma joyda mavjud bo'lganini belgilang dx keskin tushib.)

Shunday qilib, bir xil noaniq integral nima ekanligini aniqladik. Zo'r.) Endi bu juda noaniq integrallarni o'rganish yaxshi bo'lardi hisoblash. Yoki oddiy qilib aytganda, "oling". :) Va bu erda talabalar ikkita yangilikni kutishmoqda - yaxshi va unchalik yaxshi emas. Hozircha yaxshilikdan boshlaylik.)

Yangilik yaxshi. Integrallar uchun ham, hosilalar uchun ham jadval mavjud. Va biz yo'lda uchrashadigan barcha integrallarni, hatto eng dahshatli va ajoyiblarini ham, biz ma'lum qoidalarga muvofiq Biz qandaydir tarzda bu jadvallarga qisqartiramiz.)

Demak, u shu yerda integral jadval!

Mana, eng mashhur funksiyalardan integrallarning shunday chiroyli jadvali. 1-2 formulalar guruhiga (doimiy va quvvat funktsiyasi) alohida e'tibor berishni tavsiya etaman. Bular integrallardagi eng keng tarqalgan formulalar!

Formulalarning uchinchi guruhi (trigonometriya), siz taxmin qilganingizdek, hosilalar uchun mos keladigan formulalarni oddiygina teskari aylantirish orqali olinadi.

Masalan:

To'rtinchi formulalar guruhi bilan (eksponensial funktsiya) - hamma narsa o'xshash.

Va bu erda biz uchun formulalarning oxirgi to'rtta guruhi (5-8). yangi. Ular qayerdan paydo bo'lgan va nima uchun bu ekzotik funktsiyalar to'satdan asosiy integrallar jadvaliga kirdi? Nima uchun bu funktsiyalar guruhlari boshqa funktsiyalardan juda ko'p ajralib turadi?

Shunday qilib, bu rivojlanish jarayonida tarixiy ravishda sodir bo'ldi integratsiya usullari . Biz eng xilma-xil integrallarni olishga o'rgatganimizda, jadvalda keltirilgan funksiyalarning integrallari juda va juda keng tarqalganligini tushunasiz. Ko'pincha matematiklar ularni jadvalli deb tasniflaydilar.) Juda ko'p boshqa integrallar ular orqali yanada murakkab konstruktsiyalardan ifodalanadi.

Qiziqish uchun siz ushbu dahshatli formulalardan birini olishingiz va farqlashingiz mumkin. :) Masalan, eng shafqatsiz 7-formula.

Hammasi yaxshi. Matematiklar aldanmagan. :)

Integrallar jadvalini, shuningdek hosilalar jadvalini yoddan bilish maqsadga muvofiqdir. Har holda, formulalarning dastlabki to'rtta guruhi. Bu birinchi qarashda ko'rinadigan darajada qiyin emas. Oxirgi to'rtta guruhni yodlang (kasrlar va ildizlar bilan) xayr arzimaydi. Baribir, avvaliga logarifmni qayerga yozishni, yoy tangensi qayerda, yoy sinusi qayerda, 1/a qayerda, 1/2a qayerda... Birgina chiqish yo‘li bor – ko‘proq yechish. misollar. Keyin stol asta-sekin o'z-o'zidan eslab qoladi va shubhalar tishlashni to'xtatadi.)

Ayniqsa, qiziquvchan odamlar stolga diqqat bilan qarab, savol berishlari mumkin: jadvalda boshqa boshlang'ich "maktab" funktsiyalarining integrallari - tangens, logarifm, "arklar" qaerda? Aytaylik, nima uchun jadvalda sinusning integrali bor, lekin tangensning integrali YO'Q. tg x? Yoki logarifmadan integral yo'q ln x? Arksinusdan arcsin x? Nega ular yomonroq? Ammo u ba'zi "chap" funktsiyalarga to'la - ildizlar, kasrlar, kvadratlar bilan ...

Javob. Bundan yomoni yo'q.) Faqat yuqoridagi integrallar (tangens, logarifm, arksinus va boshqalardan) jadvalli emas . Va ular amalda jadvalda keltirilganlarga qaraganda kamroq uchraydi. Shunday qilib, biling yurakdan, ular teng bo'lgan, umuman kerak emas. Faqat bilish kifoya ular qanday hisoblangan.)

Nima, hali ham chidab bo'lmas odammi? Shunday bo'lsin, ayniqsa siz uchun!

Xo'sh, qanday o'qimoqchisiz? :) Siz qilmaysizmi? Va qilmang.) Lekin tashvishlanmang, biz bunday integrallarning barchasini albatta topamiz. tegishli darslarda. :)

Xo'sh, endi biz noaniq integralning xususiyatlariga murojaat qilamiz. Ha, qilinadigan hech narsa yo'q! Yangi kontseptsiya kiritiladi va uning ba'zi xususiyatlari darhol ko'rib chiqiladi.

Noaniq integralning xossalari.

Endi unchalik yaxshi xabar emas.

Farqlashdan farqli o'laroq, umumiy standart integratsiya qoidalari, adolatli barcha holatlar uchun, matematikada mavjud emas. Bu fantastika!

Misol uchun, barchangiz buni juda yaxshi bilasiz (umid qilamanki!). har qanday ish har qanday Ikki funktsiya f(x) g(x) quyidagicha differensiallanadi:

(f(x) g(x))’ = f’(x) g(x) + f(x) g’(x).

Har qanday ko'rsatkich quyidagicha farqlanadi:

Va har qanday murakkab funktsiya, qanchalik o'ralgan bo'lishidan qat'i nazar, quyidagicha farqlanadi:

Va f va g harflari ostida qanday funktsiyalar yashiringan bo'lishidan qat'i nazar, umumiy qoidalar hali ham ishlaydi va hosila, u yoki bu tarzda topiladi.

Ammo integrallar bilan bunday raqam endi ishlamaydi: mahsulot, qism (kasr), shuningdek, umumiy integratsiya formulalarining murakkab funktsiyasi uchun mavjud emas! Hech qanday standart qoidalar yo'q! Aksincha, ular. Men matematikani behuda xafa qildim.) Lekin, birinchidan, ular farqlashning umumiy qoidalariga qaraganda ancha kam. Ikkinchidan, biz keyingi darslarda gaplashadigan integratsiya usullarining aksariyati juda aniq. Va ular faqat ma'lum, juda cheklangan funktsiyalar sinfi uchun amal qiladi. Keling, shunchaki aytaylik kasrli ratsional funksiyalar. Yoki boshqalar.

Va ba'zi integrallar, garchi ular tabiatda mavjud bo'lsa-da, odatda boshlang'ich "maktab" funktsiyalari orqali hech qanday tarzda ifodalanmaydi! Ha, ha, va bunday integrallar juda ko'p! :)

Shuning uchun integratsiya farqlashdan ko'ra ko'proq vaqt va mashaqqatli ishdir. Ammo buning o'ziga xos jihati bor. Bu faoliyat ijodiy va juda hayajonli.) Va agar siz integrallar jadvalini yaxshi o'zlashtirsangiz va kamida ikkita asosiy texnikani o'zlashtirsangiz, ularni keyinroq muhokama qilamiz (va), unda sizga integratsiya juda yoqadi. :)

Endi esa, aslida, noaniq integralning xossalari bilan tanishamiz. Ular hech narsa emas. Mana ular.

Birinchi ikkita xususiyat hosilalar uchun bir xil xususiyatlarga to'liq o'xshash va deyiladi noaniq integralning chiziqlilik xossalari . Bu erda hamma narsa sodda va mantiqiy: yig'indining integrali / farqi integrallarning yig'indisi / farqiga teng va doimiy omil integral belgisidan chiqarilishi mumkin.

Ammo quyidagi uchta xususiyat biz uchun tubdan yangidir. Keling, ularni batafsil tahlil qilaylik. Ular rus tilida quyidagicha yangraydi.

Uchinchi mulk

Integralning hosilasi integralga teng

Hamma narsa oddiy, xuddi ertakdagi kabi. Agar siz funktsiyani integrallasangiz va natijaning hosilasini topsangiz, unda ... siz asl integrani olasiz. :) Bu xususiyat har doim (va kerak) yakuniy integratsiya natijasini tekshirish uchun ishlatilishi mumkin. Biz integralni hisobladik - javobni farqlang! Biz integralni oldik - OK. Ular buni qabul qilishmadi, demak, ular biror joyda aralashib ketishgan. Xatoni qidiring.)

Albatta, javobda shunday shafqatsiz va mashaqqatli funktsiyalarni olish mumkinki, ularni orqaga ajratishni istamaydi, ha. Ammo iloji bo'lsa, o'zingizni tekshirishga harakat qilish yaxshiroqdir. Hech bo'lmaganda bu oson bo'lgan misollarda.)

To'rtinchi mulk

Integralning differensialligi integralga teng .

Bu erda hech qanday maxsus narsa yo'q. Mohiyat bir xil, oxirida faqat dx paydo bo'ladi. Oldingi mulkka va differentsialni kengaytirish qoidalariga ko'ra.

Beshinchi mulk

Ayrim funksiya differensialining integrali bu funksiya va ixtiyoriy doimiyning yig‘indisiga teng. .

Bundan tashqari, juda oddiy mulk. Bundan integrallarni yechish jarayonida ham muntazam foydalanamiz. Ayniqsa - ichida va.

Bu erda ba'zi foydali xususiyatlar mavjud. Men bu erda ularning qat'iy dalillari bilan zerikmoqchi emasman. Men buni xohlaydiganlarga o'zlari qilishni taklif qilaman. To'g'ridan-to'g'ri hosila va differentsial ma'nosiga ko'ra. Men faqat oxirgi, beshinchi xususiyatni isbotlayman, chunki u kamroq aniq.

Shunday qilib, bizda bayonot bor:

Biz integralimizning "to'ldirilishi" ni olib tashlaymiz va uni differentsial ta'rifiga ko'ra ochamiz:

Har holda, shuni eslatamanki, hosila va antiderivativ belgilarimizga ko'ra, F’(x) = f(x) .

Endi biz natijamizni integral ichiga kiritamiz:

Aniq qabul qilingan noaniq integralning ta'rifi (rus tili meni kechirsin)! :)

Ana xolos.)

Xo'sh. Shu bilan birga, integrallarning sirli olami bilan dastlabki tanishuvimiz sodir bo'ldi, deb hisoblayman. Bugun men yakunlashni taklif qilaman. Biz allaqachon razvedkaga borish uchun yetarlicha qurollanganmiz. Agar pulemyot bilan bo'lmasa, unda hech bo'lmaganda asosiy xususiyatlarga ega suv to'pponchasi va stol bilan. :) Keyingi darsda biz allaqachon jadvalning to'g'ridan-to'g'ri qo'llanilishi va yozma xossalari uchun integrallarning eng oddiy zararsiz misollarini kutmoqdamiz.

Ko'rishguncha!

antiderivativ

Antiderivativ funktsiyaning ta'rifi

• Funktsiya y=F(x) funktsiyaga qarshi hosila deb ataladi y=f(x) berilgan oraliqda X, agar hamma uchun X ∈X tenglik amal qiladi: F'(x) = f(x)

Uni ikki shaklda o'qish mumkin:

1. f funksiya hosilasi F
2. F funktsiya uchun antiderivativ f

antiderivativlarning xossasi

• Agar a F(x)- funksiya uchun antiderivativ f(x) berilgan oraliqda, f(x) funksiya cheksiz ko‘p antiderivativlarga ega va bu barcha anti hosilalar quyidagicha yozilishi mumkin. F(x) + C, bu erda C ixtiyoriy doimiydir.

Geometrik talqin

• Berilgan funksiyaning barcha antiderivativlarining grafiklari f(x) O'qi bo'ylab parallel o'tkazish yo'li bilan har qanday bir antiderivativning grafigidan olinadi da.

Antiderivativlarni hisoblash qoidalari

1. Yig'indining antiderivativi antiderivativlar yig'indisiga teng. Agar a F(x)- uchun ibtidoiy f(x), G(x) esa ga qarshi hosiladir g(x), keyin F(x) + G(x)- uchun ibtidoiy f(x) + g(x).
2. Doimiy koeffitsient hosila belgisidan chiqarilishi mumkin. Agar a F(x)- uchun ibtidoiy f(x), va k doimiy bo'lsa, u holda kF(x)- uchun ibtidoiy kf(x).
3. Agar a F(x)- uchun ibtidoiy f(x), va k,b- doimiy va k ≠ 0, keyin 1/k F(kx + b)- uchun ibtidoiy f(kx + b).

Eslab qoling!

Har qanday funktsiya F (x) \u003d x 2 + C , bu yerda C ixtiyoriy doimiy va faqat shunday funksiya funksiya uchun antiderivativ hisoblanadi f(x) = 2x.

• Masalan:

  F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f(x) = 2x, chunki F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f(x) = 2x, chunki F "(x) \u003d (x 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x);

Funksiya grafiklari va uning antiderivativi o'rtasidagi bog'liqlik:

1. Agar funksiyaning grafigi f(x)>0 F(x) bu oraliqda ortadi.
2. Agar funksiyaning grafigi f(x)<0 oraliqda, keyin uning antiderivativining grafigi F(x) bu oraliqda kamayadi.
3. Agar a f(x)=0, keyin uning antiderivativining grafigi F(x) bu vaqtda ortishdan kamayishgacha (yoki aksincha) o'zgaradi.

Anti hosilani belgilash uchun noaniq integral belgisi, ya'ni integral chegaralarini ko'rsatmasdan integral ishlatiladi.

Noaniq integral

Ta'rif:

• f(x) funksiyaning noaniq integrali F(x) + C ifodasi, ya’ni berilgan f(x) funksiyaning barcha anti hosilalari to‘plamidir. Noaniq integral quyidagicha belgilanadi: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x) integrand deyiladi;
• f(x) dx- integrand deyiladi;
• x- integratsiya o'zgaruvchisi deyiladi;
• F(x)- f(x) funksiyaning antiderivativlaridan biri;
• FROM ixtiyoriy doimiydir.

Noaniq integralning xossalari

1. Noaniq integralning hosilasi integralga teng: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Integralning doimiy omili integral belgisidan chiqarilishi mumkin: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Funktsiyalar yig'indisining (farqining) integrali ushbu funktsiyalarning integrallari yig'indisiga (farqiga) teng: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Agar a k,b konstantalar va k ≠ 0, u holda \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Antiderivativlar va noaniq integrallar jadvali

Funktsiya f(x)	antiderivativ F(x) + C	Noaniq integrallar \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x )dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x)=\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)( 1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =-l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sinx)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

Nyuton-Leybnits formulasi

Mayli f(x) bu funksiya, F uning ixtiyoriy ibtidoiy.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

qayerda F(x)- uchun ibtidoiy f(x)

Ya'ni, funktsiyaning integrali f(x) oraliq bo'yicha nuqtalardagi antiderivativlar farqiga teng b va a.

Egri chiziqli trapezoidning maydoni

Egri chiziqli trapezoid segmentdagi manfiy bo'lmagan va uzluksiz funksiya grafigi bilan chegaralangan raqam deyiladi f, o'qi Ox va to'g'ri chiziqlar x = a va x = b.

Egri chiziqli trapezoidning maydoni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida topiladi:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

Antihosil funksiya va noaniq integral

Fakt 1. Integratsiya differensiallashning teskarisi, ya’ni funksiyani shu funksiyaning ma’lum hosilasidan tiklash. Funktsiya shu tarzda tiklandi F(x) deyiladi ibtidoiy funktsiya uchun f(x).

Ta'rif 1. Funktsiya F(x f(x) ma'lum bir oraliqda X, agar barcha qiymatlar uchun x bu oraliqdan tenglik F "(x)=f(x), ya'ni bu funktsiya f(x) antiderivativ funktsiyaning hosilasidir F(x). .

Masalan, funktsiya F(x) = gunoh x funksiya uchun antiderivativ hisoblanadi f(x) = cos x butun son qatorida, chunki x ning istalgan qiymati uchun (gunoh x)" = (chunki x) .

Ta'rif 2. Funktsiyaning noaniq integrali f(x) uning barcha antiderivativlari to'plamidir. Bu belgidan foydalanadi

∫

f(x)dx

,

belgisi qayerda ∫ integral belgisi, funksiya deyiladi f(x) integral hisoblanadi va f(x)dx integral hisoblanadi.

Shunday qilib, agar F(x) uchun ba'zi antiderivativ hisoblanadi f(x), keyin

∫

f(x)dx = F(x) +C

qayerda C - ixtiyoriy doimiy (doimiy).

Funksiyaning noaniq integral sifatidagi antiderivativlar to'plamining ma'nosini tushunish uchun quyidagi o'xshashlik mos keladi. Eshik bo'lsin (an'anaviy yog'och eshik). Uning vazifasi "eshik bo'lish" dir. Eshik nimadan yasalgan? Daraxtdan. Bu shuni anglatadiki, "eshik bo'lish" integralining antiderivativlari to'plami, ya'ni uning noaniq integrali "daraxt + C bo'lish" funktsiyasidir, bu erda C doimiy bo'lib, bu kontekstda quyidagini anglatishi mumkin: Masalan, daraxt turi. Eshik ba'zi asboblar bilan yog'ochdan yasalgani kabi, funktsiyaning hosilasi antiderivativ funktsiyadan "yasaladi". hosilani o'rganish orqali biz o'rgangan formula .

Keyin umumiy ob'ektlar va ularga mos keladigan ibtidoiylarning funktsiyalari jadvali ("eshik bo'lmoq" - "daraxt bo'lmoq", "qoshiq bo'lmoq" - "metall bo'lmoq" va boshqalar) jadvaliga o'xshashdir. asosiy noaniq integrallar, ular quyida keltiriladi. Noaniq integrallar jadvalida bu funksiyalar "yasalgan" antiderivativlarni ko'rsatuvchi umumiy funktsiyalar ro'yxati keltirilgan. Noaniq integralni topish masalalarining bir qismi sifatida to'g'ridan-to'g'ri maxsus harakatlarsiz, ya'ni noaniq integrallar jadvali bo'yicha integrallash mumkin bo'lgan shunday integrallar berilgan. Murakkabroq masalalarda, avvalo, jadvalli integrallardan foydalanish uchun integralni o'zgartirish kerak.

Fakt 2. Funksiyani antiderivativ sifatida tiklashda biz ixtiyoriy konstantani (doimiy) hisobga olishimiz kerak. C, va 1 dan cheksizgacha bo'lgan turli konstantalarga ega bo'lgan antiderivativlar ro'yxatini yozmaslik uchun siz ixtiyoriy doimiyga ega bo'lgan antiderivativlar to'plamini yozishingiz kerak. C, shunday: 5 x³+C. Demak, ixtiyoriy konstanta (doimiy) antiderivativning ifodasiga kiritilgan, chunki antiderivativ funktsiya bo'lishi mumkin, masalan, 5. x³+4 yoki 5 x³+3 va farqlashda 4 yoki 3 yoki boshqa har qanday doimiy yo'qoladi.

Biz integratsiya muammosini qo'ydik: berilgan funksiya uchun f(x) bunday funktsiyani toping F(x), kimning hosilasi ga teng f(x).

1-misol Funktsiyaning anti hosilalari to'plamini toping

Yechim. Bu funksiya uchun antiderivativ funktsiya hisoblanadi

Funktsiya F(x) funksiya uchun antiderivativ deyiladi f(x) hosila bo'lsa F(x) ga teng f(x), yoki, bir xil narsa, differentsial F(x) ga teng f(x) dx, ya'ni.

(2)

Shuning uchun funktsiya funktsiya uchun antiderivativdir. Biroq, bu yagona antiderivativ emas. Ular ham funktsiyalardir

qayerda FROM ixtiyoriy doimiydir. Buni farqlash orqali tekshirish mumkin.

Shunday qilib, agar funktsiya uchun bitta antiderivativ mavjud bo'lsa, u uchun doimiy yig'indisi bilan farq qiluvchi cheksiz antiderivativlar to'plami mavjud. Funksiya uchun barcha antiderivativlar yuqoridagi shaklda yozilgan. Bu quyidagi teoremadan kelib chiqadi.

Teorema (2-haqiqatning rasmiy bayoni). Agar a F(x) funksiya uchun antiderivativ hisoblanadi f(x) ma'lum bir oraliqda X, keyin uchun har qanday boshqa antiderivativ f(x) bir xil intervalda sifatida ifodalanishi mumkin F(x) + C, qayerda FROM ixtiyoriy doimiydir.

Quyidagi misolda biz allaqachon noaniq integralning xossalaridan keyin 3-bandda keltirilgan integrallar jadvaliga murojaat qilamiz. Yuqoridagilarning mohiyati aniq bo'lishi uchun biz buni butun jadval bilan tanishishdan oldin qilamiz. Jadval va xususiyatlardan keyin biz ularni integratsiyalashganda to'liq ishlatamiz.

2-misol Antiderivativlar to'plamini toping:

Yechim. Biz antiderivativ funktsiyalar to'plamini topamiz, ulardan bu funktsiyalar "yasalgan". Integrallar jadvalidagi formulalarni eslatganda, hozircha shunday formulalar borligini qabul qiling va biz noaniq integrallar jadvalini biroz keyinroq to'liq o'rganamiz.

1) uchun integrallar jadvalidan (7) formulani qo'llash n= 3, olamiz

2) uchun integrallar jadvalidan (10) formuladan foydalanish n= 1/3, bizda bor

3) beri

keyin formula (7) bo'yicha at n= -1/4 toping

Integral belgisi ostida ular funktsiyaning o'zini yozmaydi f, va uning mahsuloti differentsial bo'yicha dx. Bu, birinchi navbatda, antiderivativ qaysi o'zgaruvchi qidirilayotganligini ko'rsatish uchun amalga oshiriladi. Masalan,

, ;

bu yerda ikkala holatda ham integrasiya ga teng, lekin ko'rib chiqilayotgan holatlarda uning noaniq integrallari boshqacha bo'lib chiqadi. Birinchi holda, bu funktsiya o'zgaruvchining funktsiyasi sifatida qaraladi x, ikkinchisida esa - funktsiyasi sifatida z .

Funktsiyaning noaniq integralini topish jarayoni shu funksiyani integrallash deyiladi.

Noaniq integralning geometrik ma'nosi

Egri chiziqni topish talab qilinsin y=F(x) va biz allaqachon bilamizki, tangensning har bir nuqtasidagi qiyaligining tangensi berilgan funktsiyadir f(x) bu nuqtaning absissasi.

Hosilning geometrik ma'nosiga ko'ra, egri chiziqning ma'lum bir nuqtasida tangensning qiyaligi tangensi y=F(x) hosila qiymatiga teng F"(x). Shunday qilib, biz bunday funktsiyani topishimiz kerak F(x), buning uchun F"(x)=f(x). Vazifada talab qilinadigan funksiya F(x) dan olingan f(x). Muammoning sharti bir egri chiziq bilan emas, balki egri chiziqlar oilasi tomonidan qanoatlantiriladi. y=F(x)- bu egri chiziqlardan biri va boshqa har qanday egri chiziqdan eksa bo'ylab parallel ko'chirish orqali olinishi mumkin Oy.

ning anti hosilasi funksiyasining grafigini chaqiraylik f(x) integral egri chiziq. Agar a F"(x)=f(x), keyin funksiya grafigi y=F(x) integral egri chiziqdir.

Fakt 3. Noaniq integral geometrik jihatdan barcha integral egri chiziqlar oilasi bilan ifodalanadi. quyidagi rasmda bo'lgani kabi. Har bir egri chiziqning boshlang'ich nuqtasidan masofasi ixtiyoriy integratsiya doimiysi (doimiy) bilan aniqlanadi. C.

Noaniq integralning xossalari

Fakt 4. Teorema 1. Noaniq integralning hosilasi integralga, differentsiali esa integralga teng.

Fakt 5. Teorema 2. Funksiya differentsialining noaniq integrali f(x) funksiyaga teng f(x) doimiy muddatgacha , ya'ni.

(3)

1 va 2 teoremalar differentsiallash va integrasiya o‘zaro teskari amallar ekanligini ko‘rsatadi.

Fakt 6. Teorema 3. Integranddagi doimiy omilni noaniq integral belgisidan chiqarish mumkin. , ya'ni.