Endi biz alohida kasrlarni qo'shish va ko'paytirishni o'rganganimizdan so'ng, yanada murakkab tuzilmalarni ko'rib chiqishimiz mumkin. Masalan, kasrlarni qo'shish, ayirish va ko'paytirish bitta masalada sodir bo'lsa-chi?

Avvalo, barcha kasrlarni noto'g'ri bo'lganlarga aylantirishingiz kerak. Keyin biz kerakli harakatlarni ketma-ket bajaramiz - oddiy raqamlar bilan bir xil tartibda. Aynan:

1. Birinchidan, eksponentsiya bajariladi - ko'rsatkichlar bo'lgan barcha ifodalardan xalos bo'ling;
2. Keyin - bo'lish va ko'paytirish;
3. Oxirgi bosqich - qo'shish va ayirish.

Albatta, agar iborada qavslar mavjud bo'lsa, harakatlar tartibi o'zgaradi - birinchi navbatda qavs ichidagi hamma narsani ko'rib chiqish kerak. Va noto'g'ri kasrlar haqida unutmang: siz boshqa barcha harakatlar allaqachon tugallangandan keyingina butun qismni tanlashingiz kerak.

Keling, birinchi ifodadagi barcha kasrlarni noto'g'ri bo'lganlarga aylantiramiz va keyin quyidagi amallarni bajaramiz:

Endi ikkinchi ifodaning qiymatini topamiz. Butun qismli kasrlar yo'q, lekin qavslar mavjud, shuning uchun biz birinchi navbatda qo'shishni amalga oshiramiz va shundan keyingina bo'linadi. 14 = 7 2 ekanligini unutmang. Keyin:

Nihoyat, uchinchi misolni ko'rib chiqing. Bu erda qavslar va daraja bor - ularni alohida hisoblash yaxshiroqdir. 9 = 3 3 ekanligini hisobga olsak, bizda:

Oxirgi misolga e'tibor bering. Kasrni darajaga ko'tarish uchun siz hisoblagichni ushbu darajaga va maxrajni alohida ko'tarishingiz kerak.

Siz boshqacha qaror qilishingiz mumkin. Agar daraja ta'rifini eslasak, muammo odatdagi kasrlarni ko'paytirishga qisqartiriladi:

Ko'p qavatli fraktsiyalar

Hozirgacha biz faqat "sof" kasrlarni ko'rib chiqdik, bunda pay va maxraj oddiy sonlardir. Bu birinchi darsda berilgan sonli kasrning ta'rifiga mos keladi.

Ammo hisoblagich yoki maxrajga murakkabroq ob'ekt qo'yilsa nima bo'ladi? Masalan, boshqa raqamli kasr? Bunday konstruktsiyalar juda tez-tez uchraydi, ayniqsa uzun iboralar bilan ishlashda. Mana bir nechta misollar:

Ko'p qavatli fraktsiyalar bilan ishlash uchun faqat bitta qoida mavjud: siz darhol ulardan xalos bo'lishingiz kerak. "Qo'shimcha" qavatlarni olib tashlash juda oddiy, agar esda tutsangiz, kasr paneli standart bo'linish operatsiyasini anglatadi. Shuning uchun har qanday kasrni quyidagicha qayta yozish mumkin:

Ushbu faktdan foydalanib va ​​protseduraga rioya qilgan holda, biz har qanday ko'p qavatli fraktsiyani oddiy qismga osongina kamaytirishimiz mumkin. Misollarni ko'rib chiqing:

Vazifa. Ko'p qavatli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantiring:

Har bir holatda, biz asosiy kasrni qayta yozamiz, bo'linish chizig'ini bo'linish belgisi bilan almashtiramiz. Shuni ham yodda tutingki, har qanday butun sonni maxraji 1 bo'lgan kasr sifatida ko'rsatish mumkin. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Biz olamiz:

Oxirgi misolda, kasrlar oxirgi ko'paytirishdan oldin qisqartirildi.

Ko'p qavatli fraktsiyalar bilan ishlashning o'ziga xos xususiyatlari

Ko'p qavatli fraktsiyalarda har doim eslab qolishi kerak bo'lgan bir noziklik bor, aks holda siz barcha hisob-kitoblar to'g'ri bo'lsa ham, noto'g'ri javob olishingiz mumkin. Qarab qo'ymoq:

1. Numeratorda alohida raqam 7, maxrajda esa - kasr 12/5;
2. Numerator 7/12 kasr, maxraj esa yagona raqam 5.

Shunday qilib, bitta rekord uchun biz ikkita butunlay boshqacha talqin oldik. Agar hisoblasangiz, javoblar ham boshqacha bo'ladi:

Yozuv har doim bir ma'noda o'qilishini ta'minlash uchun oddiy qoidadan foydalaning: asosiy kasrning bo'linuvchi chizig'i ichki chiziqdan uzunroq bo'lishi kerak. Tercihen bir necha marta.

Agar siz ushbu qoidaga amal qilsangiz, yuqoridagi kasrlar quyidagicha yozilishi kerak:

Ha, ehtimol u xunuk va juda ko'p joy egallaydi. Lekin siz to'g'ri hisoblaysiz. Va nihoyat, ko'p darajali kasrlar haqiqatan ham sodir bo'ladigan bir nechta misollar:

Vazifa. Ifoda qiymatlarini toping:

Shunday qilib, keling, birinchi misol bilan ishlaylik. Keling, barcha kasrlarni noto'g'ri bo'lganlarga aylantiramiz va keyin qo'shish va bo'lish amallarini bajaramiz:

Ikkinchi misol bilan ham xuddi shunday qilaylik. Barcha kasrlarni noto'g'riga aylantiring va kerakli amallarni bajaring. O'quvchini zeriktirmaslik uchun men ba'zi aniq hisob-kitoblarni o'tkazib yuboraman. Bizda ... bor:

Bosh kasrlarning ayiruvchisi va maxraji yig’indidan iborat bo’lganligi sababli, ko’p qavatli kasrlarni yozish qoidasi avtomatik tarzda bajariladi. Bundan tashqari, oxirgi misolda, bo'linishni bajarish uchun ataylab 46/1 raqamini kasr shaklida qoldirdik.

Shuni ham ta'kidlaymanki, ikkala misolda ham kasr satri qavslar o'rnini egallaydi: birinchi navbatda, biz yig'indini topdik va shundan keyingina - qism.

Kimdir ikkinchi misolda noto'g'ri kasrlarga o'tish aniq ortiqcha ekanligini aytadi. Balki shundaydir. Ammo bu bilan biz o'zimizni xatolardan sug'urta qilamiz, chunki keyingi safar misol ancha murakkab bo'lib chiqishi mumkin. O'zingiz uchun muhimroq narsani tanlang: tezlik yoki ishonchlilik.

Maqolada biz ko'rsatamiz kasrlarni qanday yechish kerak oddiy aniq misollar bilan. Keling, kasr nima ekanligini tushunamiz va ko'rib chiqamiz kasrlarni yechish!

tushuncha kasrlar umumta’lim maktabining 6-sinfidan boshlab matematika kursiga kiritiladi.

Kasrlar quyidagicha ko'rinadi: ±X / Y, bu erda Y - maxraj, u butunning nechta qismga bo'linganligini va X - hisoblagich bo'lib, nechta shunday qismlar olinganligini bildiradi. Aniqlik uchun tort bilan misol keltiraylik:

Birinchi holda, pirojnoe teng ravishda kesilgan va yarmi olingan, ya'ni. 1/2. Ikkinchi holda, pirojnoe 7 qismga bo'lingan, undan 4 qism olingan, ya'ni. 4/7.

Agar bir sonni ikkinchisiga bo'lish qismi butun son bo'lmasa, u kasr shaklida yoziladi.

Masalan, 4:2 \u003d 2 ifodasi butun sonni beradi, lekin 4:7 to'liq bo'linmaydi, shuning uchun bu ifoda 4/7 kasr sifatida yoziladi.

Boshqa so'zlar bilan aytganda kasr ikki son yoki ifodaning boʻlinishini bildiruvchi va qiyshiq chiziq bilan yoziladigan ifodadir.

Numerator maxrajdan kichik bo'lsa, kasr to'g'ri, aksincha bo'lsa, noto'g'ri. Kasrda butun son bo'lishi mumkin.

Masalan, 5 butun 3/4.

Ushbu yozuv butun 6 ni olish uchun to'rtning bir qismi etarli emasligini anglatadi.

Agar eslashni istasangiz 6-sinf uchun kasrlarni yechish buni tushunishingiz kerak kasrlarni yechish asosan bir nechta oddiy narsalarni tushunishga tushadi.

• Kasr mohiyatan kasrning ifodasidir. Ya'ni, berilgan qiymat bir butundan qaysi qismdan iboratligining sonli ifodasi. Misol uchun, 3/5 kasr, agar biz butun narsani 5 qismga bo'lsak va bu butunning qismlari yoki qismlari soni uchta bo'lishini ifodalaydi.
• Kasr 1 dan kichik bo'lishi mumkin, masalan, 1/2 (yoki deyarli yarmi), bu to'g'ri. Agar kasr 1 dan katta bo'lsa, masalan, 3/2 (uch yarim yoki bir yarim), bu noto'g'ri va yechimni soddalashtirish uchun biz uchun butun qismni tanlash yaxshidir 3/2= 1 butun 1 /2.
• Kasrlar 1, 3, 10 va hatto 100 bilan bir xil raqamlardir, faqat sonlar butun emas, balki kasrdir. Ular yordamida siz raqamlar bilan bir xil operatsiyalarni bajarishingiz mumkin. Kasrlarni hisoblash unchalik qiyin emas va bundan keyin biz buni aniq misollar bilan ko'rsatamiz.

Kasrlarni qanday yechish mumkin. Misollar.

Kasrlar uchun turli xil arifmetik amallar qo'llaniladi.

Kasrni umumiy maxrajga keltirish

Masalan, 3/4 va 4/5 kasrlarni solishtirish kerak.

Muammoni hal qilish uchun biz birinchi navbatda eng past umumiy maxrajni topamiz, ya'ni. kasrlarning har bir maxrajiga qoldiqsiz bo'linadigan eng kichik son

Eng kichik umumiy maxraj (4.5) = 20

Keyin ikkala kasrning maxraji eng kichik umumiy maxrajga keltiriladi

Javob: 15/20

Kasrlarni qo'shish va ayirish

Agar ikkita kasrning yig'indisini hisoblash kerak bo'lsa, ular birinchi navbatda umumiy maxrajga keltiriladi, so'ngra hisoblagichlar qo'shiladi, maxraj esa o'zgarishsiz qoladi. Kasrlarning farqi ham xuddi shunday ko'rib chiqiladi, yagona farq shundaki, hisoblagichlar ayiriladi.

Masalan, 1/2 va 1/3 kasrlar yig'indisini topishingiz kerak

Endi 1/2 va 1/4 kasrlar orasidagi farqni toping

Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish

Bu erda kasrlarning yechimi oddiy, bu erda hamma narsa juda oddiy:

• Ko'paytirish - kasrlarning sonlari va maxrajlari o'zaro ko'paytiriladi;
• Bo'linish - birinchi navbatda biz kasrni olamiz, ikkinchi kasrning o'zaro, ya'ni. uning numeratorini va maxrajini almashtiring, shundan so'ng biz hosil bo'lgan kasrlarni ko'paytiramiz.

Masalan:

Bu haqida kasrlarni qanday yechish kerak, hammasi. haqida savollaringiz bo'lsa kasrlarni yechish, biror narsa aniq emas, keyin izohlarda yozing va biz sizga javob beramiz.

Agar siz o'qituvchi bo'lsangiz, unda boshlang'ich maktab uchun taqdimotni yuklab olishingiz mumkin (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) bu sizga yordam beradi.

Kasrlar bilan amallar.

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas ..." bo'lganlar uchun
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Shunday qilib, kasrlar nima, kasr turlari, o'zgarishlar - biz esladik. Keling, asosiy savolni hal qilaylik.

Kasrlar bilan nima qilish mumkin? Ha, hamma narsa oddiy raqamlar bilan bir xil. Qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish.

Bu barcha harakatlar bilan kasr kasrlar bilan amallar butun sonlar bilan bajariladigan amallardan farq qilmaydi. Aslida, bu ular uchun yaxshi, o'nlik. Bitta narsa shundaki, siz vergulni to'g'ri qo'yishingiz kerak.

aralash raqamlar, aytganimdek, ko'p harakatlar uchun kam foyda. Ular hali ham oddiy kasrlarga aylantirilishi kerak.

Va bu erda harakatlar oddiy kasrlar aqlliroq bo'ladi. Va bundan ham muhimroq! Sizga eslatib o'taman: Harflar, sinuslar, noma'lumlar va boshqalar bilan kasrli iboralar bilan barcha harakatlar oddiy kasrli harakatlardan farq qilmaydi.! Oddiy kasrlar bilan amallar barcha algebra uchun asosdir. Shuning uchun biz bu erda barcha arifmetikani batafsil tahlil qilamiz.

Kasrlarni qo'shish va ayirish.

Har bir inson bir xil maxrajli kasrlarni qo'shishi (ayirish) mumkin (men chindan ham umid qilaman!). Xo'sh, men butunlay unutuvchan ekanligimni eslatib o'taman: qo'shish (ayirish) paytida maxraj o'zgarmaydi. Natijaning sonini berish uchun sonlar qo'shiladi (ayiriladi). Turi:

Qisqasi, umumiy ma'noda:

Agar denominatorlar boshqacha bo'lsa-chi? Keyin, kasrning asosiy xususiyatidan foydalanib (bu erda u yana foydali bo'ldi!), Biz maxrajlarni bir xil qilamiz! Masalan:

Bu erda biz 2/5 kasrdan 4/10 kasrni qilishimiz kerak edi. Faqat maxrajlarni bir xil qilish maqsadida. Shuni ta'kidlaymanki, har holda, 2/5 va 4/10 bir xil kasr! Faqat 2/5 biz uchun noqulay, 4/10 esa hech narsa emas.

Aytgancha, bu matematikadagi har qanday vazifani hal qilishning mohiyatidir. Biz tashqariga chiqqanimizda noqulay ifodalar qiladi xuddi shunday, lekin hal qilish uchun qulayroq.

Yana bir misol:

Vaziyat shunga o'xshash. Bu erda biz 16 dan 48 tasini hosil qilamiz. 3 ga oddiy ko'paytirish orqali. Bularning barchasi aniq. Ammo bu erda biz shunga o'xshash narsaga duch kelamiz:

Qanday bo'lish kerak?! Yettidan to‘qqizni chiqarish qiyin! Lekin biz aqllimiz, qoidalarni bilamiz! Keling, aylantiraylik har maxrajlar bir xil bo'lishi uchun kasr. Bu "umumiy maxrajga kamaytirish" deb ataladi:

Qanday! 63 haqida qayerdan bildim? Juda onson! 63 - bir vaqtning o'zida 7 va 9 ga teng bo'linadigan son. Bunday raqamni har doim maxrajlarni ko'paytirish orqali olish mumkin. Agar biz biron bir raqamni, masalan, 7 ga ko'paytirsak, natija albatta 7 ga bo'linadi!

Agar siz bir nechta kasrlarni qo'shishingiz (ayirish) kerak bo'lsa, uni juft-juft qilib, bosqichma-bosqich bajarishning hojati yo'q. Siz shunchaki barcha kasrlar uchun umumiy bo'lgan maxrajni topishingiz va har bir kasrni shu maxrajga olib kelishingiz kerak. Masalan:

Va umumiy maxraj nima bo'ladi? Siz, albatta, 2, 4, 8 va 16 ni ko'paytirishingiz mumkin. Biz 1024 ni olamiz. Nightmare. 16 soni 2, 4 va 8 ga to'liq bo'linishini taxmin qilish osonroq. Shuning uchun bu raqamlardan 16 ni olish oson.Bu raqam umumiy maxraj bo'ladi. 1/2 ni 8/16 ga, 3/4 ni 12/16 ga aylantiramiz va hokazo.

Aytgancha, umumiy maxraj sifatida 1024 ni oladigan bo'lsak, hamma narsa ham amalga oshadi, oxir-oqibat hamma narsa kamayadi. Faqat hisob-kitoblar tufayli hamma ham bu maqsadga erisha olmaydi ...

Misolni o'zingiz hal qiling. Logarifm emas... 29/16 bo'lishi kerak.

Shunday qilib, kasrlarni qo'shish (ayirish) bilan aniq, umid qilamanki? Albatta, qo'shimcha multiplikatorlar bilan qisqartirilgan versiyada ishlash osonroq. Ammo bu zavq quyi sinflarda halol ishlaganlar uchun mavjud ... Va hech narsani unutmadi.

Va endi biz xuddi shu harakatlarni qilamiz, lekin kasrlar bilan emas, balki bilan kasrli ifodalar. Bu erda yangi tırmıklar topiladi, ha ...

Shunday qilib, biz ikkita kasr ifodasini qo'shishimiz kerak:

Biz maxrajlarni bir xil qilishimiz kerak. Va faqat yordam bilan ko'paytirish! Shunday qilib, kasrning asosiy xususiyati aytadi. Shuning uchun men maxrajdagi birinchi kasrdagi x ga bitta qo'sha olmayman. (Ammo bu yaxshi bo'lardi!). Ammo agar siz maxrajlarni ko'paytirsangiz, ko'rasiz, hamma narsa birga o'sadi! Shunday qilib, biz kasr qatorini yozamiz, tepada bo'sh joy qoldiramiz, keyin uni qo'shamiz va esdan chiqarmaslik uchun maxrajlarning ko'paytmasini yozamiz:

Va, albatta, biz o'ng tomonda hech narsani ko'paytirmaymiz, biz qavslarni ochmaymiz! Va endi, o'ng tomonning umumiy maxrajiga qarab, biz o'ylaymiz: birinchi kasrda x (x + 1) maxrajini olish uchun biz ushbu kasrning payini va maxrajini (x + 1) ga ko'paytirishimiz kerak. . Va ikkinchi kasrda - x. Siz buni olasiz:

Eslatma! Qavslar shu yerda! Bu ko'pchilik qadam bosadigan rake. Albatta, qavslar emas, balki ularning yo'qligi. Qavslar ko'payganimiz uchun paydo bo'ladi butun hisoblagich va butun denominator! Va ularning alohida qismlari emas ...

O'ng tomonning numeratorida biz sonlarning yig'indisini yozamiz, hamma narsa raqamli kasrlarda bo'lgani kabi, keyin o'ng tomonning numeratoridagi qavslarni ochamiz, ya'ni. hamma narsani ko'paytiring va o'xshash bering. Maxrajdagi qavslarni ochishning hojati yo'q, biror narsani ko'paytirishning hojati yo'q! Umuman olganda, denominatorlarda (har qanday) mahsulot har doim yoqimliroq! Biz olamiz:

Mana biz javob oldik. Jarayon uzoq va qiyin ko'rinadi, ammo bu amaliyotga bog'liq. Misollarni yeching, odatlaning, hamma narsa oddiy bo'ladi. Belgilangan vaqt ichida kasrlarni o'zlashtirganlar, bu operatsiyalarning barchasini bir qo'l bilan, mashinada bajaradilar!

Va yana bir eslatma. Ko'pchilik kasrlar bilan shug'ullanadi, ammo misollar bilan shug'ullanadi butun raqamlar. Turi: 2 + 1/2 + 3/4= ? Deusni qaerga mahkamlash kerak? Hech qanday joyga mahkamlashning hojati yo'q, siz deucedan fraktsiya qilishingiz kerak. Bu oson emas, bu juda oddiy! 2=2/1. Mana bunday. Har qanday butun sonni kasr shaklida yozish mumkin. Numerator - sonning o'zi, maxraj - bitta. 7 - 7/1, 3 - 3/1 va hokazo. Harflar bilan ham xuddi shunday. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 va boshqalar. Va keyin biz barcha qoidalarga muvofiq bu kasrlar bilan ishlaymiz.

Xo'sh, qo'shish - kasrlarni ayirish, bilim yangilandi. Kasrlarni bir turdan ikkinchi turga aylantirish - takroriy. Siz ham tekshirishingiz mumkin. Biroz hal qilaylikmi?)

Hisoblash:

Javoblar (tartibsiz):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Kasrlarni ko'paytirish / bo'lish - keyingi darsda. Kasrli barcha harakatlar uchun vazifalar ham mavjud.

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Bu bo'lim oddiy kasrlar bilan amallar bilan bog'liq. Agar aralash sonlar bilan matematik amalni bajarish zarur bo'lsa, unda aralash kasrni favquloddaga aylantirish, kerakli amallarni bajarish va kerak bo'lganda yakuniy natijani yana aralash son sifatida taqdim etish kifoya. Ushbu operatsiya quyida tavsiflanadi.

Fraksiyani kamaytirish

matematik operatsiya. Fraksiyani kamaytirish

\frac(m)(n) kasrni kamaytirish uchun uning soni va maxrajining eng katta umumiy bo'luvchisini topish kerak: gcd(m,n), so'ngra kasrning payini va maxrajini shu songa bo'ling. Agar gcd(m,n)=1 bo‘lsa, kasrni qisqartirib bo‘lmaydi. Misol: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Odatda, darhol eng katta umumiy bo'luvchini topish qiyin ish bo'lib, amalda kasr bir necha bosqichda qisqartiriladi, bosqichma-bosqich pay va maxrajdan aniq umumiy omillarni ajratib ko'rsatish. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish

matematik operatsiya. Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish

Ikki kasr \frac(a)(b) va \frac(c)(d) ni umumiy maxrajga keltirish uchun quyidagilar zarur:

• maxrajlarning eng kichik umumiy karralini toping: M=LCM(b,d);
• birinchi kasrning soni va maxrajini M / b ga ko'paytiring (bundan keyin kasrning maxraji M soniga teng bo'ladi);
• ikkinchi kasrning soni va maxrajini M / d ga ko'paytiring (bundan keyin kasrning maxraji M soniga teng bo'ladi).

Shunday qilib, biz asl kasrlarni bir xil maxrajli kasrlarga aylantiramiz (bu M soniga teng bo'ladi).

Masalan, \frac(5)(6) va \frac(4)(9) kasrlar LCM(6,9) = 18 ga ega. Keyin: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Shunday qilib, hosil bo'lgan kasrlar umumiy maxrajga ega.

Amalda, maxrajlarning eng kichik umumiy karrali (LCM) topish har doim ham oson ish emas. Shuning uchun umumiy maxraj sifatida asl kasrlarning maxrajlari ko'paytmasiga teng son tanlanadi. Masalan, \frac(5)(6) va \frac(4)(9) kasrlar N=6\cdot9 umumiy maxrajga keltiriladi:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Kasrlarni taqqoslash

matematik operatsiya. Kasrlarni taqqoslash

Ikki oddiy kasrni solishtirish uchun:

• olingan kasrlarning sanoqlarini solishtiring; kattaroq hisoblagichga ega bo'lgan kasr kattaroq bo'ladi.

Masalan, \frac(9)(14)

Kasrlarni taqqoslashda bir nechta maxsus holatlar mavjud:

1. Ikki kasrdan bir xil maxrajlar bilan Numeratori katta bo'lgan kasr qanchalik katta bo'lsa. Masalan \frac(3)(15)
2. Ikki kasrdan bir xil hisoblagichlar bilan maxraji kichikroq bo'lgan kasr qanchalik katta bo'lsa. Masalan, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. Bu kasr, qaysi bir vaqtning o'zida kattaroq ayiruvchi va kichikroq maxraj, Ko'proq. Masalan, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Diqqat! 1-qoida har qanday kasrlarga nisbatan qo'llaniladi, agar ularning umumiy maxraji musbat son bo'lsa. 2 va 3-qoidalar musbat kasrlarga nisbatan qo'llaniladi (ularning soni ham, maxraji ham noldan katta).

Kasrlarni qo'shish va ayirish

matematik operatsiya. Kasrlarni qo'shish va ayirish

Ikki kasr qo'shish uchun sizga kerak bo'ladi:

• ularni umumiy maxrajga keltirish;
• ularning sonlarini qo'shing va maxrajni o'zgarishsiz qoldiring.

Misol: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49) )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Bir kasrdan boshqa kasrni ayirish uchun sizga kerak bo'ladi:

• kasrlarni umumiy maxrajga keltirish;
• birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrning sonini ayirib, maxrajni o'zgarishsiz qoldiring.

Misol: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Agar dastlabki kasrlar dastlab umumiy maxrajga ega bo'lsa, u holda 1-band (umumiy maxrajga qisqartirish) o'tkazib yuboriladi.

Aralash sonni noto'g'ri kasrga va aksincha aylantirish

matematik operatsiya. Aralash sonni noto'g'ri kasrga va aksincha aylantirish

Aralash kasrni noto'g'ri kasrga aylantirish uchun aralash kasrning butun qismini kasr qismi bilan yig'ish kifoya. Bunday yig'indining natijasi noto'g'ri kasr bo'ladi, uning numeratori butun qismning ko'paytmasi va kasrning maxraji aralash kasrning numeratori bilan yig'indisiga teng bo'ladi va maxraj bir xil bo'lib qoladi. Masalan, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Noto'g'ri kasrni aralash songa aylantirish uchun:

• kasrning sonini uning maxrajiga bo'lish;
• bo'linishning qolgan qismini sanoqchiga yozing va maxrajni bir xil qoldiring;
• bo'linish natijasini butun qism sifatida yozing.

Masalan, kasr \frac(23)(4) . 23:4=5,75 ga bo'linganda, ya'ni butun qism 5 ga, bo'linishning qolgan qismi 23-5*4=3 ga teng bo'ladi. Keyin aralash raqam yoziladi: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

O'nlik kasrni oddiy kasrga o'tkazish

matematik operatsiya. O'nlik kasrni oddiy kasrga o'tkazish

O'nli kasrni oddiy kasrga aylantirish uchun:

1. maxraj sifatida o'nning n-darajali darajasini oling (bu erda n - o'nli kasrlar soni);
2. numerator sifatida o'nli kasrdan keyingi raqamni oling (agar asl sonning butun qismi nolga teng bo'lmasa, barcha bosh nollarni ham oling);
3. nolga teng bo'lmagan butun qism eng boshida hisoblagichga yoziladi; nol butun qismi olib tashlandi.

1-misol: 0,0089=\frac(89)(10000) (4 kasrli kasr, shuning uchun maxraj 10 4 =10000, butun son qismi 0 bo'lgani uchun, bosh nolsiz o'nli kasrdan keyingi raqam)

2-misol: 31.0109=\frac(310109)(10000) (hisoblagichda oʻnli kasrdan keyingi sonni barcha nollar bilan yozamiz: “0109”, soʻngra uning oldiga asl “31” raqamining butun qismini qoʻshamiz)

Agar o'nli kasrning butun qismi noldan farq qilsa, uni aralash kasrga aylantirish mumkin. Buning uchun biz raqamni oddiy kasrga aylantiramiz, go'yo butun son qismi nolga teng (1 va 2 nuqtalar) va kasrdan oldin butun sonni qayta yozamiz - bu aralash sonning butun qismi bo'ladi. Misol:

3,014=3\frac(14)(100)

Oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun hisoblagichni maxrajga bo'lish kifoya. Ba'zan siz cheksiz o'nli kasr olasiz. Bunday holda, kerakli kasrga yaxlitlash kerak. Misollar:

\ frac (401) (5) = 80,2; \ to'rt \ frac (2) (3) \ taxminan 0,6667

Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish

matematik operatsiya. Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish

Ikkita oddiy kasrni ko'paytirish uchun kasrlarning numeratorlari va maxrajlarini ko'paytirish kerak.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Bitta oddiy kasrni ikkinchi kasrga bo'lish uchun birinchi kasrni ikkinchi kasrning teskari qismiga ko'paytirish kerak ( o'zaro soni va maxraji teskari bo'lgan kasrdir.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Agar kasrlardan biri natural son bo'lsa, yuqoridagi ko'paytirish va bo'lish qoidalari o'z kuchida qoladi. Shuni yodda tutingki, butun son bir xil kasr bo'lib, uning maxraji birga teng. Masalan: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

Ko'rsatma

Umumiy maxrajga qisqartirish.

a/b va c/d kasrlar berilsin.

Birinchi kasrning numeratori va maxraji LCM / b ga ko'paytiriladi

Ikkinchi kasrning soni va maxraji LCM/d ga ko'paytiriladi

Misol rasmda ko'rsatilgan.

Kasrlarni solishtirish uchun ular umumiy maxrajga ega bo'lishi kerak, keyin esa sanoqlarni solishtiring. Masalan, 3/4< 4/5, см. .

Kasrlarni qo'shish va ayirish.

Ikki oddiy kasrning yig'indisini topish uchun ularni umumiy maxrajga keltirish kerak, so'ngra sonlarni qo'shish kerak, maxraj o'zgarmasdir. 1/2 va 1/3 kasrlarni qo'shish misoli rasmda ko'rsatilgan.

Kasrlar ayirmasi xuddi shunday tarzda topiladi, umumiy maxraj topilgach, kasrlarning sanoqchilari ayiriladi, rasmga qarang.

Oddiy kasrlarni ko'paytirishda sonlar va maxrajlar birga ko'paytiriladi.

Ikki kasrni bo'lish uchun sizga ikkinchi kasrning bir qismi kerak, ya'ni. uning soni va maxrajini o'zgartiring, so'ngra hosil bo'lgan kasrlarni ko'paytiring.

Tegishli videolar

Manbalar:

• kasrlar 5-sinf misol bo'yicha
• Kasrlar uchun asosiy vazifalar

Modul ifodaning mutlaq qiymatini ifodalaydi. Qavslar modulni belgilash uchun ishlatiladi. Ulardagi qiymatlar modul sifatida qabul qilinadi. Modulning yechimi ma'lum qoidalarga muvofiq qavslarni ochish va ifoda qiymatlari to'plamini topishdir. Ko'pgina hollarda modul shunday kengaytiriladiki, submodul ifodasi bir qator ijobiy va salbiy qiymatlarni, jumladan, nolni oladi. Modulning shu xossalari asosida asl ifodaning keyingi tenglamalari va tengsizliklari tuziladi va yechiladi.

Ko'rsatma

bilan asl tenglamani yozing. Buning uchun modulni oching. Har bir submodul ifodasini ko'rib chiqing. Unga kiritilgan noma'lum miqdorlarning qaysi qiymatida modul qavs ichidagi ifoda yo'qolishini aniqlang.

Buning uchun submodul ifodasini nolga tenglashtirib, olingan tenglamani toping. Topilgan qiymatlarni yozing. Xuddi shu tarzda, berilgan tenglamadagi har bir modul uchun noma'lum o'zgaruvchining qiymatlarini aniqlang.

Raqamli chiziq chizing va undagi natijaviy qiymatlarni chizing. Nol modulidagi o'zgaruvchining qiymatlari modulli tenglamani echishda cheklovlar bo'lib xizmat qiladi.

Asl tenglamada o'zgaruvchining qiymatlari raqam chizig'ida ko'rsatilganlarga mos kelishi uchun belgini o'zgartirib, modullarni ochishingiz kerak. Olingan tenglamani yeching. O'zgaruvchining topilgan qiymatini modul tomonidan belgilangan cheklovga nisbatan tekshiring. Agar yechim shartni qondirsa, bu to'g'ri. Cheklovlarni qoniqtirmaydigan ildizlar tashlanishi kerak.

Xuddi shunday, belgini hisobga olgan holda asl ifodaning modullarini kengaytiring va hosil bo'lgan tenglamaning ildizlarini hisoblang. Cheklangan tengsizliklarni qanoatlantiradigan barcha olingan ildizlarni yozing.

Kasr sonlar miqdorning aniq qiymatini turli usullar bilan ifodalash imkonini beradi. Kasrlar yordamida siz butun sonlar bilan bir xil matematik amallarni bajarishingiz mumkin: ayirish, qo'shish, ko'paytirish va bo'lish. Qanday qaror qilishni o'rganish uchun kasrlar, ularning ba'zi xususiyatlarini esga olish kerak. Ular turiga bog'liq kasrlar, butun qismning, umumiy maxrajning mavjudligi. Ba'zi arifmetik amallar bajarilgandan keyin natijaning kasr qismini qisqartirishni talab qiladi.

Sizga kerak bo'ladi

• - kalkulyator

Ko'rsatma

Raqamlarga diqqat bilan qarang. Agar kasrlar orasida o'nli va noto'g'ri kasrlar bo'lsa, ba'zan birinchi navbatda o'nli kasrlar bilan amallarni bajarish, keyin ularni noto'g'ri shaklga o'tkazish qulayroqdir. Tarjima qila olasizmi kasrlar bu shaklda dastlab, sanoqdagi kasrdan keyin qiymatni yozib, maxrajga 10 qo'yish. Agar kerak bo'lsa, yuqoridagi va pastdagi raqamlarni bitta bo'linuvchiga bo'lish orqali kasrni kamaytiring. Butun qismi ajralib turadigan kasrlar, uni maxrajga ko'paytirish va natijaga hisoblagichni qo'shish orqali noto'g'ri shaklga olib keladi. Bu qiymat yangi numeratorga aylanadi kasrlar. Dastlabki noto'g'ri qismdan butun qismni ajratib olish uchun kasrlar, sonni maxrajga bo'ling. dan butun natijani yozing kasrlar. Bo'linishning qolgan qismi esa yangi son, maxrajga aylanadi kasrlar o'zgarmagan holda. Butun qismli kasrlar uchun avval butun son, keyin esa kasr qismlari uchun amallarni alohida bajarish mumkin. Masalan, 1 2/3 va 2 ¾ yig'indisini hisoblash mumkin:
- Kasrlarni noto'g'ri shaklga o'tkazish:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- atamalarning butun va kasr qismlarini alohida yig‘indisi:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Chiziq ostidagi qiymatlar uchun umumiy maxrajni toping. Misol uchun, 5/9 va 7/12 uchun umumiy maxraj 36 bo'ladi. Buning uchun birinchisining soni va maxraji. kasrlar siz 4 ga ko'paytirishingiz kerak (bu 28/36 bo'ladi), ikkinchisi - 3 ga (15/36 bo'ladi). Endi siz hisob-kitoblarni amalga oshirishingiz mumkin.

Agar siz kasrlarning yig'indisini yoki ayirmasini hisoblamoqchi bo'lsangiz, birinchi navbatda topilgan umumiy maxrajni chiziq ostiga yozing. Numeratorlar orasida kerakli amallarni bajaring va natijani yangi satr ustiga yozing kasrlar. Shunday qilib, yangi hisoblagich asl kasrlarning ayirmasi yoki yig'indisi bo'ladi.

Kasrlarning ko'paytmasini hisoblash uchun kasrlarning sonlarini ko'paytiring va natijani yakuniy sonning o'rniga yozing. kasrlar. Denominatorlar uchun ham xuddi shunday qiling. Birga bo'linganda kasrlar bir kasrni boshqasiga yozing, so'ngra uning hisobini ikkinchisining maxrajiga ko'paytiring. Shu bilan birga, birinchisining maxraji kasrlar mos ravishda ikkinchisining soniga ko'paytiriladi. Shu bilan birga, ikkinchisining o'ziga xos teskarisi kasrlar(bo'luvchi). Yakuniy kasr ikkala kasrning numeratorlari va maxrajlarini ko'paytirish natijalaridan bo'ladi. O'rganish oson kasrlar, "to'rt qavatli" shaklida yozilgan. kasrlar. Agar u ikkitasini ajratsa kasrlar, ularni ":" ajratuvchi bilan qayta yozing va oddiy bo'linish bilan davom eting.

Yakuniy natijani olish uchun, hisoblagich va maxrajni bitta butun songa bo'lish orqali hosil bo'lgan kasrni kamaytiring, bu holda mumkin bo'lgan eng katta. Bunday holda, chiziq ustida va ostida butun sonlar bo'lishi kerak.

Eslatma

Turli xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlar bilan arifmetika qilmang. Shunday raqamni tanlangki, har bir kasrning soni va maxraji unga ko'paytirilsa, natijada ikkala kasrning maxrajlari teng bo'ladi.

Foydali maslahat

Kasr sonlarni yozishda dividend satr ustida yoziladi. Bu miqdor kasrning numeratori deb ataladi. Chiziq ostida kasrning bo'luvchisi yoki maxraji yoziladi. Masalan, kasr shaklida bir yarim kilogramm guruch quyidagicha yoziladi: 1 ½ kg guruch. Agar kasrning maxraji 10 ga teng bo'lsa, u o'nli kasr deyiladi. Bunda numerator (dividend) vergul bilan ajratilgan butun qismning o'ng tomoniga yoziladi: 1,5 kg guruch. Hisob-kitoblarning qulayligi uchun bunday kasr har doim noto'g'ri shaklda yozilishi mumkin: 1 2/10 kg kartoshka. Soddalashtirish uchun siz hisoblagich va maxraj qiymatlarini bitta butun songa bo'lish orqali kamaytirishingiz mumkin. Bu misolda 2 ga bo'lish mumkin.Natijada 1 1/5 kg kartoshka olinadi. Arifmetikani amalga oshiradigan raqamlar bir xil shaklda ekanligiga ishonch hosil qiling.

Ko'rsatma

Menyuning "Qo'shish" bandiga bir marta bosing, so'ng "Symbol" bandini tanlang. Bu kiritishning eng oson usullaridan biridir kasrlar matnga. U quyidagilardan iborat. Tayyor belgilar to'plami mavjud kasrlar. Ularning soni odatda kichik, lekin agar siz matnda 1/2 emas, balki ½ yozishingiz kerak bo'lsa, unda bu variant siz uchun eng yaxshisi bo'ladi. Bundan tashqari, kasr belgilarining soni shriftga bog'liq bo'lishi mumkin. Masalan, Times New Roman shrifti uchun bir xil Arial shriftiga qaraganda bir oz kamroq kasrlar mavjud. Oddiy iboralar haqida gap ketganda, eng yaxshi variantni topish uchun shriftlarni o'zgartiring.

Menyuning "Qo'shish" bandini bosing va "Ob'ekt" kichik bandini tanlang. Siz kiritishingiz mumkin bo'lgan ob'ektlar ro'yxati bilan oynani ko'rasiz. Ulardan Microsoft Equation 3.0 ni tanlang. Bu ilova sizga yozishga yordam beradi kasrlar. Va nafaqat kasrlar, shuningdek, turli trigonometrik funktsiyalar va boshqa elementlarni o'z ichiga olgan murakkab matematik ifodalar. Sichqonchaning chap tugmasi bilan ushbu ob'ektni ikki marta bosing. Ko'p belgilarni o'z ichiga olgan oynani ko'rasiz.

Kasrni chop etish uchun bo'sh hisoblagich va maxrajli kasrni ifodalovchi belgini tanlang. Sichqonchaning chap tugmasi bilan bir marta bosing. ning sxemasini ko'rsatuvchi qo'shimcha menyu paydo bo'ladi kasrlar. Bir nechta variant bo'lishi mumkin. Siz uchun eng mosini tanlang va sichqonchaning chap tugmasi bilan bir marta bosing.