Kvadrat matritsa nima. Matritsa tushunchasi. Matritsalar turlari

Matritsalar ustida amallar va ularning xossalari.

Ikkinchi va uchinchi darajali determinant tushunchasi.Determinantlarning xossalari va ularni hisoblash.

3. Vazifaning umumiy tavsifi.

4. Vazifalarni bajarish.

5. Laboratoriya ishi yuzasidan hisobot tuzish.

Lug'at

Quyidagi ta'riflarni bilib oling shartlari:

Hajmi Matritsa - bu uning satrlari soni m va ustunlar soni n dan iborat ikkita raqam to'plami.

Agar m=n bo'lsa, u holda matritsa deyiladi kvadrat tartibli matritsa n.

Matritsa operatsiyalari: matritsani ko‘chirish, matritsani songa ko‘paytirish (bo‘lish), qo‘shish va ayirish, matritsani matritsaga ko‘paytirish.

A matritsadan satrlari ustunlar, ustunlari esa A matritsa satrlari bo'lgan A m matritsaga o'tish deyiladi. transpozitsiya matritsalar a.

Misol: A= , A t =.

Kimga matritsani raqamga ko'paytirish, matritsaning har bir elementini ushbu raqamga ko'paytirishingiz kerak.

Misol: 2A= 2 =.

Yig'indi (farq) bir xil o'lchamdagi A va B matritsalari C \u003d A B matritsasi deb ataladi, ularning elementlari teng ij = a ij b ij bilan Barcha uchun i va j.

Misol: A = ; B =. A+B= = .

ish A m n matritsa B n k matritsa C m k matritsa deyiladi, uning har bir elementi c ij A matritsaning i-qatori elementlari va j-ustunning mos elementi ko‘paytmalari yig‘indisiga teng. B matritsasi:

c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j +…+ a in b nj .

Matritsani matritsaga ko'paytirish uchun ular shunday bo'lishi kerak kelishilgan ko'paytirish uchun, ya'ni ustunlar soni birinchi matritsada teng bo'lishi kerak qatorlar soni ikkinchi matritsada.

Misol: A= va B=.

A·B—mumkin emas, chunki ular bir-biriga ziddir.

V·A= . = = .

Matritsani ko‘paytirish amalining xossalari.

1. Agar A matritsaning o'lchami bo'lsa mn, B matritsasi esa o'lchamdir nk, keyin A · B mahsuloti mavjud.

B A mahsuloti faqat qachon mavjud bo'lishi mumkin m=k.

2. Matritsani ko'paytirish kommutativ emas, ya'ni. A · B har doim ham B · A ga teng emas, hatto ikkala mahsulot ham aniqlangan bo'lsa ham. Biroq, agar A B = B A munosabat qanoatlansa, u holda A va B matritsalari chaqiriladi almashtiruvchi.

Misol. Hisoblang.

Kichik element - ustunning --chi qatorini o'chirish orqali olingan tartib matritsasining aniqlovchisi.

Algebraik qo'shish element deyiladi.

Laplasning kengayish teoremasi:

Kvadrat matritsaning determinanti har qanday qator (ustun) elementlari va ularning algebraik to'ldiruvchilari mahsuloti yig'indisiga teng.

Misol. Hisoblang.

Qaror. .

n-tartibli determinantlarning xossalari:

1) Agar satr va ustunlar almashtirilsa, determinantning qiymati o'zgarmaydi.

2) Agar aniqlovchida faqat nollardan iborat qator (ustun) bo'lsa, u nolga teng bo'ladi.

3) Ikki qator (ustun) almashtirilganda aniqlovchi belgini o'zgartiradi.

4) Ikkita bir xil qatorga (ustunlarga) ega bo'lgan aniqlovchi nolga teng.

5) Har qanday satr (ustun) elementlarining umumiy koeffitsientini aniqlovchi belgisidan chiqarish mumkin.

6) Agar ma’lum bir satrning (ustunning) har bir elementi ikki hadning yig’indisi bo’lsa, aniqlovchi ikkita aniqlovchining yig’indisiga teng bo’lib, ularning har birida ko’rsatilganidan tashqari barcha satrlar (ustunlar) bir xil bo’ladi. berilgan aniqlovchidagi kabi va birinchi aniqlovchining qayd etilgan qatorida (ustunida) birinchi hadlar, ikkinchisi - ikkinchisi.

7) Agar aniqlovchida ikkita qator (ustun) proportsional bo'lsa, u nolga teng.

8) Agar ma’lum bir qator (ustun) elementlari boshqa qatorning (ustunning) mos keladigan elementlariga bir xil songa ko‘paytirilsa, aniqlovchi o‘zgarmaydi.

9) Uchburchak va diagonal matritsalarning aniqlovchilari bosh diagonal elementlarining ko‘paytmasiga teng.

Determinantlarni hisoblash uchun nollarni to'plash usuli aniqlovchilarning xususiyatlariga asoslanadi.

Misol. Hisoblang.

Qaror. Birinchi qatordan ikki baravar uchdan bir qismini olib tashlaymiz, keyin birinchi ustunda kengaytirish teoremasidan foydalanamiz.

~ .

test savollari(OK-1, OK-2, OK-11, PC-1) :

1. Ikkinchi tartibli aniqlovchi deb nimaga aytiladi?

2. Determinantlarning asosiy xossalari nimalardan iborat?

3. Elementning minori nima?

4. Aniqlovchi elementning algebraik to‘ldiruvchisi nima deyiladi?

5. Uchinchi tartibli aniqlovchini istalgan qator (ustun) elementlari bo‘yicha qanday kengaytirish mumkin?

6. Har qanday satr (yoki ustun) elementlarining ko'paytmalari yig'indisi, boshqa satr (yoki ustun) ning mos keladigan elementlarini algebraik to'ldiruvchisi bo'yicha aniqlovchi nimaga teng?

7. Uchburchaklar qoidasi nima?

8. Buyurtmani qisqartirish orqali yuqori tartibli determinantlar qanday hisoblanadi

10. Qanday matritsa kvadrat deb ataladi? Null? Matritsa-qator, matritsa-ustun nima?

11. Qanday matritsalar teng deyiladi?

12. Qo‘shish, matritsani ko‘paytirish, matritsani songa ko‘paytirish amallariga ta’riflar bering.

13. Qo'shish, ko'paytirish jarayonida matritsalar o'lchamini qanday shartlar qondirishi kerak?

14. Algebraik amallarning xossalari: kommutativlik, assotsiativlik, distributivlik? Ulardan qaysi biri qo‘shish, ko‘paytirish jarayonida matritsalar uchun bajariladi, qaysi biri bajarilmaydi?

15. Teskari matritsa nima? Qaysi matritsalar uchun aniqlanadi?

16. Teskari matritsaning mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremani tuzing.

17. Matritsalar ko‘paytmasining transpozitsiyasi bo‘yicha lemma tuzing.

Amaliy topshiriqlar umumiy(OK-1, OK-2, OK-11, PC-1) :

№ 1. A va B matritsalarning yig‘indisi va ayirmasini toping :

ichida)

№ 2. Ushbu bosqichlarni bajaring :

c) Z \u003d -11A + 7B-4C + D

agar

№ 3. Ushbu bosqichlarni bajaring :

ichida)

№ 4. Kvadrat matritsaning determinantini hisoblashning to'rtta usulini qo'llash orqali quyidagi matritsalarning determinantlarini toping. :

№ 5. Ustun (qator) elementlari bo‘yicha n-tartibdagi determinantlarni toping. :

a) b)

№ 6. Determinantlarning xossalaridan foydalanib, matritsaning determinantini toping:

a) b)

Matritsa - bu to'rtburchaklar jadval bo'lib, u quyidagilardan iborat m bir xil uzunlikdagi iplar yoki n bir xil uzunlikdagi ustunlar.

aij- ichida joylashgan matritsaning elementi i -chi qator va j - ustun.

Qisqartirish uchun matritsa bitta bosh harf bilan belgilanishi mumkin, masalan, LEKIN yoki DA.

Umuman olganda, o'lchamli matritsa m× n shunday yozing

Misollar:

Agar matritsadagi qatorlar soni ustunlar soniga teng bo'lsa, u holda matritsa deyiladi. kvadrat, va uning qatorlari yoki ustunlari soni deyiladi tartibda; ... uchun matritsalar. Yuqoridagi misollarda ikkinchi matritsa kvadratdir - uning tartibi 3, to'rtinchi matritsa - tartibi 1.

Qatorlar soni ustunlar soniga teng bo'lmagan matritsa deyiladi to'rtburchaklar. Misollarda bu birinchi matritsa va uchinchisi.

asosiy diagonali Kvadrat matritsa - bu yuqori chapdan pastki o'ng burchakka o'tadigan diagonal.

Asosiy diagonal ostidagi barcha elementlar nolga teng bo'lgan kvadrat matritsa deyiladi uchburchak matritsa.

Asosiy diagonaldagi elementlardan tashqari barcha elementlari nolga teng bo'lgan kvadrat matritsa deyiladi. diagonal matritsa. Masalan, yoki.

Barcha diagonal yozuvlari bittaga teng bo'lgan diagonal matritsa deyiladi yagona matritsa va E harfi bilan belgilanadi. Masalan, 3-tartibli identifikatsiya matritsasi shaklga ega.

tarkibga qaytish

(36)85.Matritsalar ustida chiziqli amallar nima? Misollar.

Yangi matematik ob'ektlar kiritilgan barcha hollarda ular bo'yicha harakat qoidalarini kelishib olish, shuningdek, qaysi ob'ektlar bir-biriga teng deb hisoblanishini aniqlash kerak.

Ob'ektlarning tabiati ahamiyatsiz. Bu haqiqiy yoki murakkab sonlar, vektorlar, matritsalar, satrlar yoki boshqa narsa bo'lishi mumkin.

Standart amallarga chiziqli amallar kiradi, ya'ni: songa ko'paytirish va qo'shish; bu alohida holatda - matritsalarni songa ko'paytirish va matritsalarni qo'shish.

Matritsani raqamga ko'paytirishda har bir matritsa elementi shu songa ko'paytiriladi va matritsani qo'shish ekvivalent pozitsiyalarda joylashgan elementlarni juft qo'shishni nazarda tutadi.

Terminologik ibora "chiziqli birikma<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.

matritsalar A = || a men j|| va B = || a men j|| Agar ular bir xil o'lchamlarga ega bo'lsa va ularga mos keladigan matritsa elementlari juftlik teng bo'lsa, teng deb hisoblanadi:

Matritsa qo'shilishi Qo'shish amali faqat bir xil o'lchamdagi matritsalar uchun aniqlanadi. Matritsani qo'shish natijasi A = || a men j|| va B = || b men j|| matritsa hisoblanadi C = || c men j|| , uning elementlari mos keladigan matritsa elementlarining yig'indisiga teng.

MATRIXANING TA’RIFI. MATRIKSLAR TURLARI

Matritsa o'lchami m× n umumiylik deyiladi m n ning to'rtburchaklar jadvaliga joylashtirilgan raqamlar m chiziqlar va n ustunlar. Ushbu jadval odatda qavslar ichiga olinadi. Masalan, matritsa quyidagicha ko'rinishi mumkin:

Qisqartirish uchun matritsa bitta bosh harf bilan belgilanishi mumkin, masalan, LEKIN yoki DA.

Umuman olganda, o'lchamli matritsa m× n shunday yozing

Matritsani tashkil etuvchi raqamlar deyiladi matritsa elementlari. Matritsa elementlarini ikkita indeks bilan ta'minlash qulay aij: Birinchisi qator raqamini, ikkinchisi esa ustun raqamini bildiradi. Misol uchun, a 23– element 2-qatorda, 3-ustunda.

Qatorlar soni ustunlar soniga teng bo'lmagan matritsa deyiladi to'rtburchaklar. Misollarda bu birinchi matritsa va uchinchisi.

Faqat bitta satr yoki bitta ustunga ega matritsalar ham bor.

Faqat bitta qatordan iborat matritsa deyiladi matritsa - qator(yoki satr) va faqat bitta ustunga ega matritsa, matritsa - ustun.

Barcha elementlari nolga teng bo'lgan matritsa deyiladi null va (0) yoki oddiygina 0 bilan belgilanadi. Masalan,

asosiy diagonali Kvadrat matritsa - bu yuqori chapdan pastki o'ng burchakka o'tadigan diagonal.

Asosiy diagonal ostidagi barcha elementlar nolga teng bo'lgan kvadrat matritsa deyiladi uchburchak matritsa.

Asosiy diagonaldagi elementlardan tashqari barcha elementlari nolga teng bo'lgan kvadrat matritsa deyiladi. diagonal matritsa. Masalan, yoki.

Barcha diagonal yozuvlari bittaga teng bo'lgan diagonal matritsa deyiladi yagona matritsa va E harfi bilan belgilanadi. Masalan, 3-tartibli identifikatsiya matritsasi shaklga ega. .

MATRIXALAR BO'YICHA HARAKATLAR

Matritsa tengligi. Ikki matritsa A va B qator va ustunlar soni bir xil bo'lsa va ularning mos elementlari teng bo'lsa, ular teng deyiladi aij = b ij. Shunday qilib, agar va , keyin A=B, agar a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 va a 22 = b 22.

transpozitsiya. Ixtiyoriy matritsani ko'rib chiqing A dan m chiziqlar va n ustunlar. Uni quyidagi matritsa bilan bog'lash mumkin B dan n chiziqlar va m ustunlar, bu erda har bir satr matritsaning ustunidir A bir xil raqam bilan (shuning uchun har bir ustun matritsaning qatoridir A bir xil raqam bilan). Shunday qilib, agar , keyin .

Bu matritsa B chaqirdi ko'chirilgan matritsa A, va dan o'tish A uchun B transpozitsiyasi.

Shunday qilib, transpozitsiya matritsaning satrlari va ustunlari rollarini teskari o'zgartirishdir. Matritsaga ko'chirilgan matritsa A, odatda belgilanadi DA.

Matritsa o'rtasidagi aloqa A va uning ko'chirilishi quyidagicha yozilishi mumkin.

Misol uchun. Berilganiga ko'chirilgan matritsani toping.

Matritsa qo'shish. Matritsalar bo'lsin A va B bir xil sonli qatorlar va bir xil sonli ustunlardan iborat, ya'ni. bor bir xil o'lchamlar. Keyin matritsalarni qo'shish uchun A va B elementlarni matritsalash kerak A matritsa elementlarini qo'shing B bir xil joylarda turish. Shunday qilib, ikkita matritsaning yig'indisi A va B matritsa deb ataladi C, bu qoida bilan belgilanadi, masalan,

Misollar. Matritsalar yig‘indisini toping:

Matritsalarni qo'shish quyidagi qonunlarga bo'ysunishini tekshirish oson: kommutativ A+B=B+A va assotsiativ ( A+B)+C=A+(B+C).

Matritsani songa ko'paytirish. Matritsani ko'paytirish uchun A raqam uchun k matritsaning har bir elementi kerak A bu raqamga ko'paytiring. Shunday qilib, matritsa mahsuloti A raqam uchun k qoida bilan belgilanadigan yangi matritsa mavjud yoki .

Har qanday raqamlar uchun a va b va matritsalar A va B tenglik bajariladi:

Misollar.

Matritsalarni ko'paytirish. Ushbu operatsiya o'ziga xos qonunga muvofiq amalga oshiriladi. Avvalo, matritsa omillarining o'lchamlari izchil bo'lishi kerakligini ta'kidlaymiz. Siz faqat birinchi matritsaning ustunlari soni ikkinchi matritsaning qatorlari soniga to'g'ri keladigan matritsalarni ko'paytirishingiz mumkin (ya'ni, birinchi qatorning uzunligi ikkinchi ustunning balandligiga teng). ish matritsalar A matritsa emas B yangi matritsa deb ataladi C=AB, uning elementlari quyidagicha tuzilgan:

Shunday qilib, masalan, mahsulotni olish uchun (ya'ni, matritsada C) 1-qator va 3-ustundagi element 13 dan, 1-matritsadagi 1-qatorni, 2-chi 3-ustunni olishingiz kerak, so'ngra satr elementlarini mos keladigan ustun elementlariga ko'paytiring va natijada hosil bo'lgan mahsulotlarni qo'shing. Va mahsulot matritsasining boshqa elementlari birinchi matritsa satrlarining ikkinchi matritsa ustunlari bilan o'xshash mahsuloti yordamida olinadi.

Umuman olganda, agar matritsani ko'paytirsak A = (aij) hajmi m× n matritsaga B = (bij) hajmi n× p, keyin biz matritsani olamiz C hajmi m× p, uning elementlari quyidagicha hisoblanadi: element c ij elementlarning mahsuloti natijasida olinadi i matritsaning birinchi qatori A tegishli elementlar bo'yicha j-matritsaning ustuni B va ularning yig'indisi.

Bu qoidadan kelib chiqadiki, siz har doim bir xil tartibdagi ikkita kvadrat matritsani ko'paytirishingiz mumkin, natijada biz bir xil tartibli kvadrat matritsani olamiz. Xususan, kvadrat matritsa har doim o'z-o'zidan ko'paytirilishi mumkin, ya'ni. kvadratga.

Yana bir muhim holat - matritsa-satrni matritsa-ustunga ko'paytirish va birinchisining kengligi ikkinchisining balandligiga teng bo'lishi kerak, natijada biz birinchi tartibli matritsani olamiz (ya'ni bitta element). Haqiqatan ham,

Misollar.

Shunday qilib, bu oddiy misollar shuni ko'rsatadiki, matritsalar, umuman olganda, bir-biri bilan almashtirilmaydi, ya'ni. A∙B ≠ B∙A . Shuning uchun, matritsalarni ko'paytirishda siz omillarning tartibini diqqat bilan kuzatib borishingiz kerak.

Matritsani ko'paytirish assotsiativ va distributiv qonunlarga bo'ysunishini tekshirish mumkin, ya'ni. (AB)C=A(BC) va (A+B)C=AC+BC.

Kvadrat matritsani ko'paytirishda buni tekshirish ham oson A identifikatsiya matritsasiga E Xuddi shu tartibda biz yana matritsani olamiz A, bundan tashqari AE=EA=A.

Quyidagi qiziq faktni qayd etish mumkin. Ma'lumki, nolga teng bo'lmagan 2 ta raqamning mahsuloti 0 ga teng emas. Matritsalar uchun bunday bo'lmasligi mumkin, ya'ni. nolga teng bo'lmagan 2 ta matritsaning ko'paytmasi nol matritsaga teng bo'lishi mumkin.

misol uchun, agar , keyin

ANIQLASHUVCHILAR TUSHUNCHASI

Ikkinchi tartibli matritsa - ikki qator va ikkita ustundan iborat kvadrat matritsa berilsin. .

Ikkinchi tartibli determinant ushbu matritsaga mos keladigan raqam quyidagi tarzda olinadi: a 11 dan 22 gacha - 12 dan 21 gacha.

Aniqlovchi belgi bilan belgilanadi .

Demak, ikkinchi tartibli determinantni topish uchun asosiy diagonal elementlarining ko‘paytmasidan ikkinchi diagonal bo‘ylab elementlarning ko‘paytmasini ayirish kerak.

Misollar. Ikkinchi tartibli determinantlarni hisoblang.

Xuddi shunday, biz uchinchi tartibli matritsani va tegishli determinantni ko'rib chiqishimiz mumkin.

Uchinchi tartibli determinant, uchinchi tartibli berilgan kvadrat matritsaga mos keladigan son quyidagicha belgilanadi va olinadi:

Shunday qilib, bu formula birinchi qatorning elementlari bo'yicha uchinchi tartibli determinantning kengayishini beradi a 11, 12, 13 va uchinchi tartib determinantning hisobini ikkinchi tartibli determinantlarning hisobiga qisqartiradi.

Misollar. Uchinchi tartibli determinantni hisoblang.

Xuddi shunday, to'rtinchi, beshinchi va boshqalarning determinantlari tushunchalarini kiritish mumkin. buyurtmalar, ularning tartibini 1-qatorning elementlari bo'yicha kengaytirish yo'li bilan pasaytiradi, shu bilan birga shartlar uchun "+" va "-" belgilari almashtiriladi.

Shunday qilib, raqamlar jadvali bo'lgan matritsadan farqli o'laroq, determinant ma'lum bir tarzda matritsaga tayinlangan raqamdir.

Matematikadagi matritsalar amaliy ahamiyatga ega bo'lgan eng muhim ob'ektlardan biridir. Ko'pincha matritsalar nazariyasiga ekskursiya quyidagi so'zlar bilan boshlanadi: "Matritsa to'rtburchaklar jadval ...". Biz bu ekskursiyani biroz boshqacha burchakdan boshlaymiz.

Har qanday o'lchamdagi va istalgan miqdordagi abonent ma'lumotlariga ega telefon kitoblari matritsalardan boshqa narsa emas. Ushbu matritsalar quyidagicha ko'rinadi:

Biz hammamiz deyarli har kuni bunday matritsalardan foydalanishimiz aniq. Bu matritsalar turli qatorlar soniga ega (telefon kompaniyasi tomonidan chiqarilgan, minglab, yuz minglab va hatto millionlab satrlarni o'z ichiga olishi mumkin bo'lgan ma'lumotnoma va siz endi boshlagan, o'n qatordan kam bo'lgan yangi daftar sifatida ajralib turadi) va ustunlar (ba'zi bir tashkilotlarning mansabdor shaxslari ma'lumotnomasi, unda lavozim va ofis raqami va sizning daftaringiz kabi ustunlar bo'lishi mumkin, bu erda nomdan boshqa ma'lumotlar bo'lmasligi mumkin va shuning uchun u faqat ikkita ustunga ega - ism va telefon raqami).

Barcha matritsalarni qo‘shish va ko‘paytirish, ular ustida boshqa amallarni bajarish mumkin, lekin telefon ma’lumotnomalarini qo‘shish va ko‘paytirishning hojati yo‘q, bundan hech qanday foyda yo‘q, bundan tashqari, fikringizni harakatga keltira olasiz.

Ammo juda ko'p matritsalar qo'shilishi va ko'paytirilishi mumkin va kerak va turli shoshilinch vazifalarni shu tarzda hal qilish mumkin. Quyida bunday matritsalarga misollar keltirilgan.

Ustunlar ma'lum turdagi mahsulot birliklarining chiqishi bo'lgan matritsalar va qatorlar - bu mahsulotning chiqishi qayd etilgan yillar:

Sanoat bo'yicha umumiy ma'lumotlarni olish uchun turli korxonalar tomonidan o'xshash mahsulotlarni ishlab chiqarishni hisobga oladigan ushbu turdagi matritsalarni qo'shishingiz mumkin.

Yoki, masalan, bitta ustundan iborat matritsalar, ulardagi satrlar ma'lum turdagi mahsulotning o'rtacha narxi:

Oxirgi ikki turdagi matritsalar ko'paytirilishi mumkin va natijada yillar bo'yicha barcha turdagi mahsulotlarning narxini o'z ichiga olgan qatorli matritsa hosil bo'ladi.

Matritsalar, asosiy ta'riflar

Raqamlardan tashkil topgan to'rtburchaklar jadval m chiziqlar va n ustunlar deyiladi mn-matritsa (yoki oddiygina matritsa ) va shunday yozilgan:

(1)

(1) matritsadagi raqamlar uning deyiladi elementlar (aniqlovchida bo'lgani kabi, birinchi indeks qatorning sonini, ikkinchisi - chorrahasida element joylashgan ustunni bildiradi; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Matritsa deyiladi to'rtburchaklar , agar.

Agar m = n, keyin matritsa chaqiriladi kvadrat , va n soni uning tartibda; ... uchun .

Kvadrat matritsaning determinanti A elementlari matritsaning elementlari bo'lgan aniqlovchi deyiladi A. U | belgisi bilan belgilanadi A|.

Kvadrat matritsa deyiladi maxsus bo'lmagan (yoki degenerativ bo'lmagan , yagona bo'lmagan ) uning aniqlovchisi nolga teng bo'lmasa va maxsus (yoki degeneratsiya , birlik ) agar uning aniqlovchisi nolga teng bo'lsa.

Matritsalar deyiladi teng agar ular bir xil qator va ustunlarga ega bo'lsa va barcha mos keladigan elementlar bir xil bo'lsa.

Matritsa deyiladi null agar uning barcha elementlari nolga teng bo'lsa. Nol matritsa belgisi bilan belgilanadi 0 yoki .

Misol uchun,

qator matritsasi (yoki kichik harf ) 1 deb ataladi n-matritsa va ustun matritsasi (yoki ustunli ) – m 1-matritsa.

Matritsa A" , matritsadan olingan A undagi satr va ustunlarni almashtirish deyiladi ko'chirilgan matritsaga nisbatan A. Shunday qilib, (1) matritsa uchun transpozitsiya qilingan matritsa

Matritsali operatsiyaga o'tish A" , matritsaga nisbatan ko'chirilgan A, matritsaning transpozitsiyasi deyiladi A. Uchun mn-transpozitsiya qilingan matritsa nm-matritsa.

Matritsaga nisbatan transpozitsiya qilingan matritsa A, ya'ni

(A")" = A .

1-misol Matritsani toping A" , matritsaga nisbatan ko'chirilgan

va asl va ko‘chirilgan matritsalarning determinantlari teng yoki yo‘qligini aniqlang.

asosiy diagonali Kvadrat matritsa uning elementlarini bog'laydigan xayoliy chiziq bo'lib, uning ikkala indeksi ham bir xil. Ushbu elementlar deyiladi diagonal .

Asosiy diagonaldan tashqaridagi barcha elementlar nolga teng bo'lgan kvadrat matritsa deyiladi diagonal . Diagonal matritsaning barcha diagonal elementlari nolga teng bo'lishi shart emas. Ulardan ba'zilari nolga teng bo'lishi mumkin.

Asosiy diagonaldagi elementlar bir xil nolga teng, qolganlari esa nolga teng bo'lgan kvadrat matritsa deyiladi. skalyar matritsa .

identifikatsiya matritsasi diagonal matritsa deyiladi, unda barcha diagonal elementlari bittaga teng. Masalan, uchinchi tartibli identifikatsiya matritsasi matritsadir

2-misol Matritsa ma'lumotlari:

Qaror. Keling, ushbu matritsalarning determinantlarini hisoblaylik. Uchburchaklar qoidasidan foydalanib, topamiz

Matritsa determinanti B formula bo'yicha hisoblang

Biz buni osonlik bilan olamiz

Shuning uchun matritsalar A va yagona bo'lmagan (degeneratsiyalanmagan, birlik bo'lmagan) va matritsadir B- maxsus (degeneratsiya, birlik).

Har qanday tartibli identifikatsiya matritsasining determinanti aniq birga teng.

Matritsa muammosini o'zingiz hal qiling va keyin yechimni ko'ring

3-misol Matritsa ma'lumotlari

Ularning qaysi biri birlik emasligini aniqlang (degeneratsiyalanmagan, birlik emas).

Matritsalarni matematik va iqtisodiy modellashtirishda qo'llash

Matritsalar ko'rinishida ma'lum bir ob'ekt haqidagi tuzilgan ma'lumotlar sodda va qulay tarzda yoziladi. Matritsali modellar nafaqat ushbu tuzilgan ma'lumotlarni saqlash uchun, balki chiziqli algebra yordamida ushbu ma'lumotlar bilan turli muammolarni hal qilish uchun ham yaratilgan.

Shunday qilib, iqtisodning taniqli matritsa modeli rossiyalik amerikalik iqtisodchi Vasiliy Leontiev tomonidan kiritilgan kirish-chiqish modelidir. Ushbu model iqtisodiyotning butun ishlab chiqarish sektori bo'lingan degan taxminga asoslanadi n toza sanoat. Tarmoqlarning har biri faqat bitta turdagi mahsulot ishlab chiqaradi va turli tarmoqlar turli xil mahsulotlarni ishlab chiqaradi. Tarmoqlar o‘rtasida bunday mehnat taqsimoti tufayli tarmoqlararo munosabatlar mavjud bo‘lib, uning ma’nosi shundaki, har bir tarmoq mahsulotining bir qismi ishlab chiqarish resursi sifatida boshqa tarmoqlarga o‘tkaziladi.

Ishlab chiqarish hajmi i-hisobot davrida ishlab chiqarilgan sanoat (ma'lum bir o'lchov birligi bilan o'lchanadi), umumiy mahsulot bilan belgilanadi va deyiladi. i th sanoat. Muammolar qulay tarzda joylashtirilgan n-matritsaning komponentlar qatori.

Mahsulot birliklari soni i-sarflanadigan sanoat j-mahsulot birligini ishlab chiqarish uchun sanoat, to'g'ridan-to'g'ri xarajatlar koeffitsienti belgilanadi va deyiladi.

ODA. bilan to'rtburchak stol t chiziqlar va P haqiqiy sonlar ustunlari deyiladi matritsa hajmi t×n. Matritsalar katta lotin harflari bilan belgilanadi: A, B, ..., raqamlar qatori esa yumaloq yoki kvadrat qavslar bilan ajralib turadi.

Jadvalga kiritilgan raqamlar matritsa elementlari deb ataladi va ikkita indeksli kichik lotin harflari bilan belgilanadi, bu erda i- qator raqami j– element joylashgan chorrahadagi ustun raqami. Umuman olganda, matritsa quyidagicha yoziladi:

Ikki matritsa ko'rib chiqiladi teng agar ularning mos keladigan elementlari teng bo'lsa.

Agar matritsa qatorlari soni t uning ustunlari soniga teng P, keyin matritsa chaqiriladi kvadrat(aks holda to'rtburchaklar).

O'lcham matritsasi
qator matritsasi deyiladi. O'lcham matritsasi

ustun matritsasi deb ataladi.

Teng indeksli matritsa elementlari (
va boshqalar), shakl asosiy diagonali matritsalar. Boshqa diagonal yon diagonal deb ataladi.

Kvadrat matritsa deyiladi diagonal agar uning asosiy diagonaldan tashqarida joylashgan barcha elementlari nolga teng bo'lsa.

Diagonal yozuvlari bittaga teng bo'lgan diagonal matritsa deyiladi yagona matritsa va standart E belgisiga ega:

Agar matritsaning barcha elementlari asosiy diagonaldan yuqorida (yoki pastda) joylashgan bo'lsa, matritsa uchburchak shaklga ega deyiladi:

§2. Matritsa operatsiyalari

1. Matritsaning transpozitsiyasi - matritsa satrlari o'z tartibini saqlagan holda ustunlar shaklida yoziladigan transformatsiya. Kvadrat matritsa uchun bu transformatsiya asosiy diagonalga nisbatan nosimmetrik xaritalash bilan tengdir:

2. Bir xil o'lchamdagi matritsalarni yig'ish (ayirish) mumkin. Matritsalar yig'indisi (farqi) bir xil o'lchamdagi matritsa bo'lib, uning har bir elementi dastlabki matritsalarning mos keladigan elementlari yig'indisiga (farqiga) teng:

3. Har qanday matritsani songa ko‘paytirish mumkin. Matritsaning raqamga ko'paytmasi bir xil tartibdagi matritsa bo'lib, uning har bir elementi ushbu raqam bo'yicha dastlabki matritsaning mos keladigan elementining ko'paytmasiga teng:

4. Agar bitta matritsaning ustunlari soni boshqasining qatorlari soniga teng bo'lsa, birinchi matritsani ikkinchisiga ko'paytirish mumkin. Bunday matritsalarning ko'paytmasi matritsa bo'lib, uning har bir elementi birinchi matritsaning tegishli qatori elementlari va ikkinchi matritsaning tegishli ustuni elementlarining juft ko'paytmalari yig'indisiga teng bo'ladi.

Natija. Matritsaning eksponentatsiyasi uchun>1 - A matritsasining mahsuloti uchun bir marta. Faqat kvadrat matritsalar uchun belgilangan.

Misol.

Matritsalar ustida amallar xossalari.

(A+B)+C=A+(B+C);
k(A+B)=kA+kV;
A(B+C)=AB+AC;
(A+B)C=AC+BC;
k(AB)=(kA)B=A(kV);
A(BC)=(AB)C;
(kA) T =kA T;
(A + B) T \u003d A T + B T;
(AB) T =B T A T;

Yuqorida sanab o'tilgan xususiyatlar raqamlar ustidagi amallarning xususiyatlariga o'xshaydi. Matritsalarning o'ziga xos xususiyatlari ham mavjud. Bularga, masalan, matritsani ko'paytirishning o'ziga xos xususiyati kiradi. Agar AB mahsuloti mavjud bo'lsa, u holda BA mahsuloti

Yo'q bo'lishi mumkin

AB dan farq qilishi mumkin.

Misol. Korxona ikki turdagi A va B mahsulot ishlab chiqaradi va S 1, S 2 va S 3 uch turdagi xom ashyolardan foydalanadi. Xom ashyo sarfi koeffitsientlari N= matritsasi bilan berilgan
, qayerda n ij- xom ashyo miqdori j mahsulot birligini ishlab chiqarishga sarflanadi i. Ishlab chiqarish rejasi C = (100 200) matritsasi bo'yicha, har bir turdagi xom ashyo birligining tannarxi esa matritsa bo'yicha beriladi. . Rejalashtirilgan mahsulot uchun zarur bo'lgan xom ashyo tannarxini va xom ashyoning umumiy qiymatini aniqlang.