Kasr-ratsional funktsiyani integrallash.
Aniqlanmagan koeffitsientlar usuli

Biz kasrlarni integratsiyalash ustida ishlashni davom ettiramiz. Biz darsda kasrlarning ayrim turlarining integrallarini ko'rib chiqdik va bu darsni ma'lum ma'noda davomi deb hisoblash mumkin. Materialni muvaffaqiyatli tushunish uchun asosiy integratsiya ko'nikmalari talab qilinadi, shuning uchun agar siz integrallarni o'rganishni endi boshlagan bo'lsangiz, ya'ni siz choynak bo'lsangiz, unda siz maqoladan boshlashingiz kerak. Noaniq integral. Yechim misollari.

G'alati, endi biz integrallarni topish bilan emas, balki ... chiziqli tenglamalar tizimini echish bilan shug'ullanamiz. Shu munosabat bilan kuchli Men darsga tashrif buyurishni tavsiya qilaman, xususan, siz almashtirish usullarini ("maktab" usuli va tizim tenglamalarini davr bo'yicha qo'shish (ayirish) usuli) yaxshi bilishingiz kerak.

Kasrli ratsional funksiya nima? Oddiy so'zlar bilan aytganda, kasr-ratsional funktsiya ko'phad yoki ko'phadning ko'paytmasi bo'lgan ko'phad va maxrajdagi kasrdir. Shu bilan birga, fraktsiyalar maqolada muhokama qilinganlarga qaraganda ancha murakkab. Ayrim kasrlarning integrasiyasi.

To'g'ri kasr-ratsional funktsiyani integrallash

Darhol misol va kasrli ratsional funktsiyaning integralini echishning tipik algoritmi.

1-misol

1-qadam. Ratsional-kasr funksiyaning integralini yechishda biz har doim qiladigan birinchi narsa bu quyidagi savolni berishdir: kasr to'g'rimi? Ushbu qadam og'zaki ravishda amalga oshiriladi va endi men buni qanday qilib tushuntiraman:

Avval hisoblagichga qarang va bilib oling oliy daraja polinom:

Numeratorning eng yuqori kuchi ikkitadir.

Endi maxrajga qarang va aniqlang oliy daraja maxraj. Aniq yo'l qavslarni ochish va o'xshash shartlarni keltirishdir, lekin siz buni osonroq qilishingiz mumkin har biri Qavslar eng yuqori darajani topadi

va aqliy ko'paytiring: - demak, maxrajning eng yuqori darajasi uchga teng. Agar biz qavslarni chindan ham ochsak, uchdan yuqori darajaga ega bo'lmasligimiz aniq.

Xulosa: Numeratorning eng yuqori quvvati QAT'IQ maxrajning eng yuqori kuchidan kam bo'lsa, kasr to'g'ri bo'ladi.

Agar ushbu misolda hisoblagichda 3, 4, 5 va hokazo ko'phad bo'lsa. daraja bo'lsa, kasr bo'ladi noto'g'ri.

Endi biz faqat to'g'ri kasr-ratsional funktsiyalarni ko'rib chiqamiz. Numeratorning darajasi maxrajning darajasidan katta yoki teng bo'lgan holatni dars oxirida tahlil qilamiz.

2-qadam Keling, maxrajni koeffitsientlarga ajratamiz. Keling, bizning maxrajimizni ko'rib chiqaylik:

Umuman olganda, bu allaqachon omillar mahsulidir, lekin shunga qaramay, biz o'zimizga savol beramiz: boshqa narsani kengaytirish mumkinmi? Qiynoq ob'ekti, albatta, kvadrat trinomial bo'ladi. Kvadrat tenglamani yechamiz:

Diskriminant noldan katta, ya'ni trinomial haqiqatda faktorlarga ajratilgan:

Umumiy qoida: maxrajdagi hamma narsani faktorlarga ajratish mumkin - faktorlarga ajratish

Keling, qaror qabul qilishni boshlaylik:

3-qadam Noaniq koeffitsientlar usulidan foydalanib, biz integratsiyani oddiy (elementar) kasrlar yig'indisiga kengaytiramiz. Endi aniqroq bo'ladi.

Keling, integral funktsiyamizni ko'rib chiqaylik:

Va bilasizmi, intuitiv fikr qandaydir tarzda o'tib ketadi, bizning katta kasrimizni bir nechta kichik qismlarga aylantirsak yaxshi bo'lardi. Masalan, bu kabi:

Savol tug'iladi, hatto buni qilish mumkinmi? Keling, yengil nafas olaylik, matematik tahlilning tegishli teoremasi aytiladi - MUMKIN. Bunday parchalanish mavjud va noyobdir.

Faqat bitta ushlash bor, biz koeffitsientlar xayr biz bilmaymiz, shuning uchun nomi - noaniq koeffitsientlar usuli.

Siz buni taxmin qildingiz, keyingi imo-ishoralar shunday, qichqirmang! faqat ularni o'rganishga qaratilgan bo'ladi - ular nimaga teng ekanligini bilish.

Ehtiyot bo'ling, men bir marta batafsil tushuntiraman!

Shunday qilib, raqsga tushishni boshlaylik:

Chap tomonda biz ifodani umumiy maxrajga keltiramiz:

Endi biz maxrajlardan xavfsiz tarzda qutulamiz (chunki ular bir xil):

Chap tomonda biz qavslarni ochamiz, lekin biz hali noma'lum koeffitsientlarga tegmayapmiz:

Shu bilan birga, polinomlarni ko'paytirishning maktab qoidasini takrorlaymiz. Men o'qituvchi bo'lganimda, men bu qoidani tekis yuz bilan aytishni o'rgandim: Ko'phadni ko'phadga ko'paytirish uchun bitta ko'phadning har bir hadini boshqa ko'phadning har bir hadiga ko'paytirish kerak..

Aniq tushuntirish nuqtai nazaridan, koeffitsientlarni qavs ichiga qo'yish yaxshiroqdir (garchi men shaxsan vaqtni tejash uchun buni hech qachon qilmayman):

Biz chiziqli tenglamalar tizimini tuzamiz.
Birinchidan, biz yuqori darajalarni qidiramiz:

Va tizimning birinchi tenglamasiga mos keladigan koeffitsientlarni yozamiz:

Quyidagi nuanceni yaxshi eslang. Agar o'ng tomon umuman bo'lmasa nima bo'lar edi? Ayting-chi, u hech qanday kvadratsiz ko'rinadimi? Bunday holda, tizim tenglamasida o'ng tomonga nol qo'yish kerak bo'ladi: . Nega nol? Va chunki o'ng tomonda siz har doim bu kvadratni nol bilan belgilashingiz mumkin: Agar o'ng tomonda o'zgaruvchilar yoki (va) bo'sh atama bo'lmasa, tizimning mos keladigan tenglamalarining o'ng tomonlariga nol qo'yamiz.

Tizimning ikkinchi tenglamasiga mos keladigan koeffitsientlarni yozamiz:

Va nihoyat, mineral suv, biz bepul a'zolarni tanlaymiz.

Eh,... Men hazillashdim. Hazillar chetga suriladi - matematika jiddiy fan. Institutimiz guruhida dotsent a’zolarni sanoq chizig‘i bo‘ylab sochaman va eng kattasini tanlayman, deganida hech kim kulmadi. Keling, jiddiy gapiraylik. Garchi ... kim bu darsning oxirini ko'rish uchun yashasa, baribir jimgina jilmayib turadi.

Tizim tayyor:

Biz tizimni hal qilamiz:

(1) Birinchi tenglamadan uni ifodalaymiz va tizimning 2 va 3 tenglamalariga almashtiramiz. Aslida, boshqa tenglamadan (yoki boshqa harfni) ifodalash mumkin edi, lekin bu holda uni 1-tenglamadan ifodalash foydalidir, chunki u erda eng kichik imkoniyatlar.

(2) Biz 2 va 3 tenglamalarda o'xshash atamalarni keltiramiz.

(3) Biz 2 va 3 tenglamalarni hadlar bo'yicha qo'shamiz va tenglikni olamiz, bundan kelib chiqadiki

(4) Biz ikkinchi (yoki uchinchi) tenglamani almashtiramiz, undan biz buni topamiz

(5) Biz va birinchi tenglamani almashtiramiz, olamiz.

Agar siz tizimni hal qilishda qiyinchiliklarga duch kelsangiz, ularni sinfda ishlab chiqing. Chiziqli tenglamalar sistemasi qanday yechiladi?

Tizimni hal qilgandan so'ng, tekshirish har doim foydali bo'ladi - topilgan qiymatlarni almashtiring har birida tizimning tenglamasi, natijada hamma narsa "yaqinlashishi" kerak.

Deyarli yetib keldi. Koeffitsientlar topiladi, bunda:

Toza ish quyidagicha ko'rinishi kerak:

Ko‘rib turganingizdek, vazifaning asosiy qiyinligi chiziqli tenglamalar tizimini tuzish (to‘g‘ri!) va yechish (to‘g‘ri!) edi. Va oxirgi bosqichda hamma narsa unchalik qiyin emas: biz noaniq integral va integralning lineerlik xususiyatlaridan foydalanamiz. Men sizning e'tiboringizni uchta integralning har biri ostida bizda "erkin" kompleks funktsiyaga ega ekanligiga qarataman, men darsda uning integratsiya xususiyatlari haqida gapirdim. Noaniq integralda o'zgaruvchilarni o'zgartirish usuli.

Tekshiring: Javobni farqlang:

Asl integral olindi, ya'ni integral to'g'ri topildi.
Tekshiruv paytida iborani umumiy maxrajga keltirish kerak edi va bu tasodifiy emas. Noaniq koeffitsientlar usuli va ifodani umumiy maxrajga keltirish o'zaro teskari harakatlardir.

2-misol

Noaniq integralni toping.

Birinchi misoldagi kasrga qaytaylik: . Ko'rinib turibdiki, maxrajda barcha omillar TURLI. Savol tug'iladi, agar, masalan, bunday kasr berilsa nima qilish kerak: ? Bu erda bizda maxraj bo'yicha darajalar mavjud yoki matematik jihatdan, bir nechta omillar. Bundan tashqari, ajratilmaydigan kvadrat trinomial mavjud (tenglamaning diskriminantini tekshirish oson manfiy, shuning uchun trinomialni hech qanday tarzda faktorlarga ajratib bo'lmaydi). Nima qilish kerak? Elementar kasrlar yig'indisiga kengayish o'xshash bo'ladi tepada noma'lum koeffitsientlar bilanmi yoki boshqa yo'l bilanmi?

3-misol

Funktsiyani yuboring

1-qadam. To'g'ri kasr borligini tekshirish
Numeratorning eng yuqori kuchi: 2
Eng yuqori maxraj: 8
, shuning uchun kasr to'g'ri.

2-qadam Maxrajga biror narsani faktor bo'lish mumkinmi? Shubhasiz, yo'q, hamma narsa allaqachon qo'yilgan. Kvadrat trinomial yuqoridagi sabablarga ko'ra mahsulotga aylanmaydi. Yaxshi. Kamroq ish.

3-qadam Kasr-ratsional funktsiyani elementar kasrlar yig'indisi sifatida ifodalaylik.
Bunday holda, parchalanish quyidagi shaklga ega:

Keling, bizning maxrajimizni ko'rib chiqaylik:
Kasr-ratsional funktsiyani elementar kasrlar yig'indisiga ajratishda uchta asosiy nuqtani ajratib ko'rsatish mumkin:

1) Agar maxraj birinchi darajali "yolg'iz" omilni o'z ichiga olgan bo'lsa (bizning holatlarimizda), biz yuqoriga noaniq koeffitsientni qo'yamiz (bizning holatimizda). 1,2-misollar faqat shunday "yolg'iz" omillardan iborat edi.

2) Agar maxraj tarkibiga kirsa bir nechta multiplikator, keyin siz quyidagi tarzda parchalashingiz kerak:
- ya'ni "x" ning barcha darajalarini birinchidan n darajagacha ketma-ket saralash. Bizning misolimizda ikkita ko'p omil mavjud: va , men bergan parchalanishni yana bir bor ko'rib chiqing va ular aynan shu qoidaga muvofiq parchalanganligiga ishonch hosil qiling.

3) Agar maxraj ikkinchi darajali ajratilmaydigan ko'phadni o'z ichiga olgan bo'lsa (bizning holatda ), u holda hisoblagichda kengaytirilganda, siz noaniq koeffitsientli chiziqli funktsiyani yozishingiz kerak (bizning holatda, noaniq koeffitsientlar va ).

Aslida, 4-chi holat ham bor, lekin men bu haqda sukut saqlayman, chunki amalda bu juda kam uchraydi.

4-misol

Funktsiyani yuboring noma'lum koeffitsientli elementar kasrlar yig'indisi sifatida.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. To'liq yechim va javob dars oxirida.
Algoritmga qat'iy rioya qiling!

Agar siz kasr-ratsional funktsiyani yig'indiga ajratishingiz kerak bo'lgan printsiplarni aniqlagan bo'lsangiz, unda ko'rib chiqilayotgan turdagi deyarli har qanday integralni buzishingiz mumkin.

5-misol

Noaniq integralni toping.

1-qadam. Shubhasiz, kasr to'g'ri:

2-qadam Maxrajga biror narsani faktor bo'lish mumkinmi? mumkin. Bu erda kublarning yig'indisi . Qisqartirilgan ko'paytirish formulasi yordamida maxrajni faktorlarga ajratish

3-qadam Noaniq koeffitsientlar usulidan foydalanib, biz integratsiyani elementar kasrlar yig'indisiga kengaytiramiz:

E'tibor bering, polinom ajratilmaydi (diskriminantning manfiy ekanligini tekshiring), shuning uchun biz yuqori qismida faqat bitta harfni emas, balki noma'lum koeffitsientli chiziqli funktsiyani qo'yamiz.

Biz kasrni umumiy maxrajga keltiramiz:

Keling, tizimni yaratamiz va hal qilamiz:

(1) Birinchi tenglamadan biz tizimning ikkinchi tenglamasini ifodalaymiz va unga almashtiramiz (bu eng oqilona yo'l).

(2) Biz ikkinchi tenglamada o'xshash shartlarni keltiramiz.

(3) Biz tizimning ikkinchi va uchinchi tenglamalarini davr bo'yicha qo'shamiz.

Barcha keyingi hisob-kitoblar, qoida tariqasida, og'zaki, chunki tizim oddiy.

(1) Topilgan koeffitsientlarga muvofiq kasrlar yig'indisini yozamiz.

(2) Biz noaniq integralning chiziqlilik xossalaridan foydalanamiz. Ikkinchi integralda nima sodir bo'ldi? Ushbu usulni darsning oxirgi xatboshida topishingiz mumkin. Ayrim kasrlarning integrasiyasi.

(3) Biz yana bir bor chiziqlilik xususiyatlaridan foydalanamiz. Uchinchi integralda biz to'liq kvadratni tanlashni boshlaymiz (darsning oxirgi paragrafi). Ayrim kasrlarning integrasiyasi).

(4) Biz ikkinchi integralni olamiz, uchinchisida biz to'liq kvadratni tanlaymiz.

(5) Uchinchi integralni olamiz. Tayyor.

Ratsional funktsiya - bu ko'rinishdagi kasr bo'lib, uning soni va maxraji ko'phadlar yoki ko'phadlarning mahsulotidir.

1-misol 2-qadam

.

Biz noaniq koeffitsientlarni ushbu alohida kasrda bo'lmagan, ammo olingan boshqa kasrlarda bo'lgan ko'phadlarga ko'paytiramiz:

Qavslarni ochamiz va olingan asl integrandning hisobini olingan ifodaga tenglashtiramiz:

Tenglikning ikkala qismida biz x ning bir xil darajalariga ega bo'lgan atamalarni qidiramiz va ulardan tenglamalar tizimini tuzamiz:

.

Biz barcha x larni bekor qilamiz va ekvivalent tenglamalar tizimini olamiz:

.

Shunday qilib, integratsiyani oddiy kasrlar yig'indisiga yakuniy kengaytirish:

.

2-misol 2-qadam 1-bosqichda biz asl kasrni hisoblagichlardagi noaniq koeffitsientli oddiy kasrlar yig'indisiga quyidagi kengaytmani oldik:

.

Endi biz noaniq koeffitsientlarni izlay boshlaymiz. Buning uchun funksiya ifodasidagi asl kasrning ayiruvchisini kasrlar yig‘indisini umumiy maxrajga keltirgandan so‘ng olingan ifodaning ayirasiga tenglashtiramiz:

Endi siz tenglamalar tizimini yaratishingiz va echishingiz kerak. Buning uchun biz o'zgaruvchining koeffitsientlarini funktsiyaning dastlabki ifodasi sonidagi tegishli darajaga va oldingi bosqichda olingan ifodadagi shunga o'xshash koeffitsientlarga tenglashtiramiz:

Olingan tizimni hal qilamiz:

Demak, bu yerdan

.

3-misol 2-qadam 1-bosqichda biz asl kasrni hisoblagichlardagi noaniq koeffitsientli oddiy kasrlar yig'indisiga quyidagi kengaytmani oldik:

Biz noaniq koeffitsientlarni izlay boshlaymiz. Buning uchun funksiya ifodasidagi asl kasrning ayiruvchisini kasrlar yig‘indisini umumiy maxrajga keltirgandan so‘ng olingan ifodaning ayirasiga tenglashtiramiz:

Oldingi misollarda bo'lgani kabi, biz tenglamalar tizimini tuzamiz:

Biz x ni kamaytiramiz va ekvivalent tenglamalar tizimini olamiz:

Tizimni yechishda biz noaniq koeffitsientlarning quyidagi qiymatlarini olamiz:

Biz oddiy kasrlar yig'indisiga integralning yakuniy kengayishini olamiz:

.

4-misol 2-qadam 1-bosqichda biz asl kasrni hisoblagichlardagi noaniq koeffitsientli oddiy kasrlar yig'indisiga quyidagi kengaytmani oldik:

.

Asl kasrning ayiruvchisini kasrni oddiy kasrlar yig'indisiga ajratib, bu yig'indini umumiy maxrajga kamaytirgandan so'ng olingan sanoqdagi ifodaga qanday tenglashtirishni biz oldingi misollardan bilamiz. Shuning uchun, faqat nazorat qilish uchun biz hosil bo'lgan tenglamalar tizimini taqdim etamiz:

Tizimni yechishda biz noaniq koeffitsientlarning quyidagi qiymatlarini olamiz:

Biz oddiy kasrlar yig'indisiga integralning yakuniy kengayishini olamiz:

5-misol 2-qadam 1-bosqichda biz asl kasrni hisoblagichlardagi noaniq koeffitsientli oddiy kasrlar yig'indisiga quyidagi kengaytmani oldik:

.

Biz mustaqil ravishda bu yig'indini umumiy maxrajga keltiramiz, bu ifodaning sonini asl kasrning soniga tenglashtiramiz. Natijada quyidagi tenglamalar tizimi bo'lishi kerak:

Tizimni yechishda biz noaniq koeffitsientlarning quyidagi qiymatlarini olamiz:

.

Biz oddiy kasrlar yig'indisiga integralning yakuniy kengayishini olamiz:

.

6-misol 2-qadam 1-bosqichda biz asl kasrni hisoblagichlardagi noaniq koeffitsientli oddiy kasrlar yig'indisiga quyidagi kengaytmani oldik:

Biz oldingi misollardagi kabi bu miqdor bilan bir xil harakatlarni bajaramiz. Natijada quyidagi tenglamalar tizimi bo'lishi kerak:

Tizimni yechishda biz noaniq koeffitsientlarning quyidagi qiymatlarini olamiz:

.

Biz oddiy kasrlar yig'indisiga integralning yakuniy kengayishini olamiz:

.

7-misol 2-qadam 1-bosqichda biz asl kasrni hisoblagichlardagi noaniq koeffitsientli oddiy kasrlar yig'indisiga quyidagi kengaytmani oldik:

.

Olingan yig'indi bilan ma'lum harakatlardan so'ng, quyidagi tenglamalar tizimini olish kerak:

Tizimni yechishda biz noaniq koeffitsientlarning quyidagi qiymatlarini olamiz:

Biz oddiy kasrlar yig'indisiga integralning yakuniy kengayishini olamiz:

.

8-misol 2-qadam 1-bosqichda biz asl kasrni hisoblagichlardagi noaniq koeffitsientli oddiy kasrlar yig'indisiga quyidagi kengaytmani oldik:

.

Keling, tenglamalar tizimini olish uchun avtomatizatsiyaga kiritilgan harakatlarga ba'zi o'zgarishlar kiritaylik. Ba'zi hollarda keraksiz hisob-kitoblardan qochishga yordam beradigan sun'iy hiyla mavjud. Kasrlar yig'indisini umumiy maxrajga keltirgan holda, biz ushbu ifodaning payini asl kasrning soniga tenglashtiramiz va olamiz.

Ratsional funktsiyalarni integrallash Kasr - ratsional funktsiya Eng oddiy ratsional kasrlar Ratsional kasrni eng oddiy kasrlarga ajratish Eng oddiy kasrlarni integrallash Ratsional kasrlarni integrallashning umumiy qoidasi.

n darajali polinom. Kasr - ratsional funktsiya Kasr - ratsional funktsiya ikki ko'phadning nisbatiga teng bo'lgan funktsiyadir: Ratsional kasr to'g'ri deyiladi, agar raqamning darajasi maxrajning darajasidan kichik bo'lsa, ya'ni m.< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Kasr - ratsional funksiya Noto'g'ri kasrni to'g'ri shaklga o'tkazing: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Eng oddiy ratsional kasrlar Shaklning to'g'ri ratsional kasrlari: Ular turlarning eng oddiy ratsional kasrlari deyiladi. axA); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Ratsional kasrni oddiy kasrlarga ajratish Teorema: maxraji koeffitsientlarga ajratilgan har qanday muntazam ratsional kasr: bundan tashqari, oddiy kasrlar yigindisi sifatida ham oziga xos tarzda ifodalanishi mumkin: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A kk xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx. M)(

Ratsional kasrni oddiy kasrlarga ajratish Teoremaning formulasini quyidagi misollar yordamida oydinlashtirib olaylik: Noaniq koeffitsientlarni topish uchun A, B, C, D ... ikkita usul qo'llaniladi: koeffitsientlarni solishtirish usuli va qisman hisoblash usuli. o'zgaruvchining qiymatlari. Keling, birinchi usulni misol bilan ko'rib chiqaylik. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x)

Ratsional kasrni oddiy kasrlarga ajratish Kasrni oddiy kasrlar yig'indisi sifatida ifodalash: Eng oddiy kasrlarni umumiy maxrajga keltirish Olingan va asl kasrlarning sanoqlarini tenglashtirish Koeffitsientlarni x ning bir xil darajalarida tenglash)52)(1() 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax. 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 CBA 52 23 1 1 2 xx xx

Eng oddiy kasrlarni integrallash Eng oddiy ratsional kasrlarning integrallarini topamiz: 3-turdagi kasrlarni integrallashni misol yordamida ko rib chiqamiz. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Oddiy kasrlar integrasiyasidx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx xx 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt tt 9 1)1(3 2 dt tt 9 23 2 9 dtt 329 t. 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg.C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

Oddiy kasrlarni integrallash Ushbu turdagi integral almashtirish usuli bilan: ikkita integral yig'indisiga keltiriladi: Birinchi integral t ni differentsial belgisi ostida kiritish orqali hisoblanadi. Ikkinchi integral rekursiv formula yordamida hisoblanadi: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk da dt N da dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt).

Oddiy kasrlarni integrallash a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 ttt dt)1(22 1 2 tt tarctg 2223)1)(13(2232 332 tt C tt2 tarct1) (4) 1(

Ratsional kasrlarni integrallashning umumiy qoidasi Agar kasr noto'g'ri bo'lsa, uni ko'phad va to'g'ri kasr yig'indisi sifatida ifodalang. To'g'ri ratsional kasrning maxrajini omillarga ajratib, uni noaniq koeffitsientli oddiy kasrlar yig'indisi sifatida ifodalang.Koeffitsientlarni solishtirish yoki o'zgaruvchining qisman qiymatlari usuli bilan noaniq koeffitsientlarni toping. Ko'phadni va oddiy kasrlar yig'indisini integrallang.

Misol Kasrni to'g'ri shaklga keltiramiz. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx 23 35 2 442 xxx2 8 x 5 x 8

Misol To'g'ri kasrning maxrajini koeffitsientga ajratish Kasrni oddiy kasrlar yig'indisi sifatida ifodalash O'zgaruvchining qisman qiymatlari usuli yordamida noaniq koeffitsientlarni topish xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2)1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 CBA xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Misol dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

2., 5.
,

3.
, 6.
.

1-3 integrallarda as u qabul qilish . Keyin, keyin n-(19) formulani katlamli qo'llasak, jadval integrallaridan biriga kelamiz

,
,
.

4-6 integrallarda farqlashda transsendental omil soddalashtiriladi
,
yoki
, deb qabul qilinishi kerak u.

Quyidagi integrallarni hisoblang.

7-misol

8-misol

Integrallarni o'ziga kamaytirish

Agar integral bo'lsa
kabi ko'rinadi:

,
,
va boshqalar,

keyin qismlar bo'yicha qo'sh integrallashdan keyin biz asl integralni o'z ichiga olgan ifodani olamiz :

,

qayerda
qandaydir doimiydir.

Olingan tenglamani ga nisbatan yechish , biz asl integralni hisoblash uchun formulani olamiz:

.

Qismlar bo'yicha integratsiya usulini qo'llashning ushbu holati " integralni o'ziga olib keladi».

9-misol Integralni hisoblash
.

O'ng tomonda asl integral joylashgan . Uni chap tomonga o'tkazsak, biz quyidagilarni olamiz:

.

10-misol Integralni hisoblash
.

4.5. Eng oddiy to'g'ri ratsional kasrlarni integrallash

Ta'rif.Eng oddiy to'g'ri kasrlar I , II va III turlari quyidagi kasrlar deyiladi:

I. ;

II.
; (
musbat butun son);

III.
; (maxrajning ildizlari murakkab, ya'ni:
.

Oddiy kasrlarning integrallarini ko'rib chiqing.

I.
; (20)

II. ; (21)

III.
;

Biz kasr sonini shunday o'zgartiramizki, sondagi sonni ajratib ko'rsatamiz
maxrajning hosilasiga teng.

Olingan ikkita integralning birinchisini ko'rib chiqing va unga o'zgartirish kiriting:

Ikkinchi integralda biz maxrajni to'liq kvadratga to'ldiramiz:

Nihoyat, uchinchi turdagi kasrning integrali quyidagilarga teng:

=
+
. (22)

Shunday qilib, I tipdagi eng oddiy kasrlarning integrali logarifmlar, II tip - ratsional funksiyalar, III tip - logarifmalar va arktangentlar bilan ifodalanadi.

4.6 Kasr-ratsional funksiyalarni integrallash

Elementar funksiyalar bilan ifodalangan integralga ega boʻlgan funksiyalar sinflaridan biri algebraik ratsional funksiyalar sinfi, yaʼni argument ustidagi chekli algebraik amallar natijasida hosil boʻlgan funksiyalardir.

Har bir ratsional funktsiya
ikki polinom nisbati sifatida ifodalanishi mumkin
va
:

. (23)

Ko'phadlarning umumiy ildizlari yo'q deb faraz qilamiz.

(23) shaklning bir qismi deyiladi to'g'ri, agar hisobning darajasi maxrajning darajasidan kichik bo'lsa, ya'ni m< n. Aks holda - noto'g'ri.

Agar kasr noto'g'ri bo'lsa, hisoblagichni maxrajga bo'lish (ko'phadlarni bo'lish qoidasiga ko'ra) biz kasrni ko'phad va to'g'ri kasrning yig'indisi sifatida ifodalaymiz:

, (24)

qayerda
- polinom, to'g'ri kasr va ko'phadning darajasi
- oliy daraja yo'q ( n-1).

Misol.

Ko‘phadning integrallanishi daraja funksiyasining jadvalli integrallari yig‘indisiga keltirilar ekan, ratsional kasrlarni integrallashdagi asosiy qiyinchilik to‘g‘ri ratsional kasrlarni integrallashdir.

Algebra har bir to'g'ri kasr ekanligini isbotlaydi yuqoridagilarning yig'indisiga parchalanadi protozoa kasrlar, ularning shakli maxrajning ildizlari bilan belgilanadi
.

Keling, uchta alohida holatni ko'rib chiqaylik. Bu erda va quyida biz koeffitsientni qabul qilamiz maxrajning eng yuqori darajasida
birga teng =1, ya'nikichraytirilgan polinom .

1-holat Maxrajning ildizlari, ya'ni ildizlari
tenglamalar
=0 haqiqiy va boshqacha. Keyin maxrajni chiziqli omillar mahsuloti sifatida ifodalaymiz:

va to'g'ri kasr I tipidagi eng oddiy kasrlarga parchalanadi:

, (26)

qayerda
noaniq koeffitsientlar usuli bilan topiladigan ba'zi doimiy sonlar.

Buning uchun sizga kerak:

1. Kengayishning o'ng tomonini (26) umumiy maxrajga qisqartiring.

2. Chap va o'ng qismlarning numeratoridagi bir xil ko'phadlarning bir xil darajalaridagi koeffitsientlarni tenglashtiring. Aniqlash uchun chiziqli tenglamalar tizimini olamiz
.

3. Olingan sistemani yeching va noaniq koeffitsientlarni toping
.

U holda kasr-ratsional funktsiyaning (26) integrali (20) formula bo'yicha hisoblangan I tipidagi eng oddiy kasrlarning integrallari yig'indisiga teng bo'ladi.

Misol. Integralni hisoblash
.

Yechim. Keling, Viet teoremasidan foydalanib, maxrajni faktorlarga ajratamiz:

Keyin, integratsiya oddiy kasrlar yig'indisiga kengayadi:

.

X:

Topish uchun uchta tenglama sistemasini yozamiz
X chap va o'ng tomonlarda:

.

Noaniq koeffitsientlarni topishning oddiyroq usulini ko'rsatamiz qisman qiymat usuli.

Tenglikda faraz qilish (27)
olamiz
, qayerda
. Taxmin qilib
olamiz
. Nihoyat, taxmin qilish
olamiz
.

.

2-holat maxraj ildizi
haqiqiydir, lekin ular orasida bir nechta (teng) ildizlar mavjud. Keyin biz maxrajni mahsulotga kiritilgan chiziqli omillarning ko'paytmasi sifatida ifodalaymiz, shuning uchun tegishli ildizning ko'pligi:

qayerda
.

To'g'ri kasr I-chi va II-chi turdagi kasrlar yig'indisi kengaytiriladi. Keling, masalan, - ko‘plik maxrajining ildizi k, va qolganlari ( n- k) ildizlari har xil.

Keyin parchalanish quyidagicha ko'rinadi:

Xuddi shunday, agar boshqa bir nechta ildizlar mavjud bo'lsa. Ko'p bo'lmagan ildizlar uchun kengayish (28) birinchi turdagi eng oddiy kasrlarni o'z ichiga oladi.

Misol. Integralni hisoblash
.

Yechim. Kasrni noaniq koeffitsientli birinchi va ikkinchi turdagi oddiy kasrlar yig'indisi sifatida ifodalaymiz:

.

Biz o'ng tomonni umumiy maxrajga qisqartiramiz va chap va o'ng tomonlarning sonidagi ko'phadlarni tenglashtiramiz:

O'ng tomonda biz bir xil darajalarga o'xshashlarni beramiz X:

Topish uchun to'rtta tenglama tizimini yozamiz
va . Buning uchun biz koeffitsientlarni bir xil kuchlarda tenglashtiramiz X chap va o'ng tomonda

.

3-holat Maxrajning ildizlari orasida
murakkab bir martalik ildizlarga ega. Ya'ni, maxrajning kengayishi ikkinchi darajali omillarni o'z ichiga oladi
, ularni haqiqiy chiziqli omillarga ajratib bo'lmaydi va ular takrorlanmaydi.

Keyin kasrni kengaytirishda har bir bunday omil eng oddiy III turdagi kasrga to'g'ri keladi. Chiziqli omillar I-chi va II-chi turdagi eng oddiy kasrlarga mos keladi.

Misol. Integralni hisoblash
.

Yechim.
.

.

.