Vazifa raqami 3. Chizma tuzing va chiziqlar bilan chegaralangan raqamning maydonini hisoblang

Integralning amaliy masalalarni yechishda qo'llanilishi

Hududni hisoblash

Uzluksiz manfiy bo'lmagan f(x) funksiyaning aniq integrali son jihatdan teng y \u003d f (x) egri chizig'i, O x o'qi va x \u003d a va x \u003d b to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydoni. Shunga ko'ra, maydon formulasi quyidagicha yoziladi:

Samolyot shakllarining maydonlarini hisoblashning ba'zi misollarini ko'rib chiqing.

Vazifa raqami 1. y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2 chiziqlar bilan chegaralangan maydonni hisoblang.

Qaror. Keling, figurani quraylik, uning maydonini hisoblashimiz kerak.

y \u003d x 2 + 1 - shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan va parabola O y o'qiga nisbatan bir birlik yuqoriga siljigan parabola (1-rasm).

1-rasm. y = x 2 + 1 funksiya grafigi

Vazifa raqami 2. 0 dan 1 gacha bo'lgan oraliqda y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 chiziqlari bilan chegaralangan maydonni hisoblang.

Qaror. Bu funksiyaning grafigi shoxning yuqoriga yo’naltirilgan parabolasi bo’lib, parabola O y o’qiga nisbatan bir birlik pastga siljigan (2-rasm).

Shakl 2. y \u003d x 2 - 1 funktsiyasining grafigi

Vazifa raqami 3. Chizma tuzing va chiziqlar bilan chegaralangan raqamning maydonini hisoblang

y = 8 + 2x - x 2 va y = 2x - 4.

Qaror. Bu ikki chiziqning birinchisi shoxlari pastga qaragan parabola, chunki x 2 koeffitsienti manfiy, ikkinchi chiziq esa ikkala koordinata o'qini kesib o'tuvchi to'g'ri chiziqdir.

Parabolani qurish uchun uning tepasi koordinatalarini topamiz: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – cho‘qqi abtsissa; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 - uning ordinatasi, N(1;9) - tepasi.

Endi tenglamalar tizimini yechish orqali parabola va chiziqning kesishish nuqtalarini topamiz:

Chap tomonlari teng bo'lgan tenglamaning o'ng tomonlarini tenglashtirish.

Biz 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 yoki x 2 - 12 \u003d 0 ni olamiz, bu erdan .

Demak, nuqtalar parabola va to'g'ri chiziqning kesishish nuqtalaridir (1-rasm).

3-rasm y = 8 + 2x – x 2 va y = 2x – 4 funksiyalar grafiklari

y = 2x - 4 to'g'ri chiziq quramiz. U koordinata o'qlaridagi (0;-4), (2; 0) nuqtalardan o'tadi.

Parabola qurish uchun siz uning 0x o'qi bilan kesishish nuqtalariga ham ega bo'lishingiz mumkin, ya'ni tenglamaning ildizlari 8 + 2x - x 2 = 0 yoki x 2 - 2x - 8 = 0. Vieta teoremasi bo'yicha u uning ildizlarini topish oson: x 1 = 2, x 2 = 4.

3-rasmda ushbu chiziqlar bilan chegaralangan shakl (parabolik segment M 1 N M 2) ko'rsatilgan.

Muammoning ikkinchi qismi bu raqamning maydonini topishdir. Uning maydonini formula yordamida aniq integral yordamida topish mumkin .

Ushbu shartga kelsak, biz integralni olamiz:

2 Revolyutsiya jismining hajmini hisoblash

y \u003d f (x) egri chizig'ining O x o'qi atrofida aylanishidan olingan tananing hajmi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

O y o'qi atrofida aylanayotganda formula quyidagicha ko'rinadi:

Vazifa raqami 4. O x o'qi atrofida x \u003d 0 x \u003d 3 to'g'ri chiziqlar va y \u003d egri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning aylanishidan olingan tananing hajmini aniqlang.

Qaror. Keling, chizma tuzamiz (4-rasm).

4-rasm. y = funksiyaning grafigi

Istalgan hajm ga teng

Vazifa raqami 5. y = x 2 egri chiziq va O y o'qi atrofida y = 0 va y = 4 to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning aylanishidan olingan jismning hajmini hisoblang.

Qaror. Bizda ... bor:

Ko'rib chiqish savollari

Vazifa 1(egri chiziqli trapezoidning maydonini hisoblash bo'yicha).

Dekart to'rtburchaklar xOy koordinata tizimida x o'qi, x \u003d a, x \u003d b to'g'ri chiziqlar (egri chiziqli trapezoid) bilan chegaralangan rasm berilgan (rasmga qarang). u200b\u200egri chiziqli trapetsiya
Qaror. Geometriya bizga ko'pburchaklar va aylananing ba'zi qismlarini (sektor, segment) maydonlarini hisoblash retseptlarini beradi. Geometrik mulohazalardan foydalanib, biz quyidagi tarzda bahslashtirib, kerakli maydonning faqat taxminiy qiymatini topa olamiz.

Keling, segmentni ajratamiz [a; b] (egri chiziqli trapetsiya asosi) n ta teng qismga; bu bo'lim x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 nuqtalari yordamida amalga oshiriladi. Bu nuqtalar orqali Y o'qiga parallel chiziqlar o'tkazamiz. Keyin berilgan egri chiziqli trapetsiya n ta qismga, n ta tor ustunga bo'linadi. Butun trapezoidning maydoni ustunlar maydonlarining yig'indisiga teng.

K-ustunni alohida ko'rib chiqing, ya'ni. egri chiziqli trapezoid, uning asosi segmentdir. Uni asosi va balandligi f(x k) ga teng bo‘lgan to‘rtburchak bilan almashtiramiz (rasmga qarang). To'rtburchakning maydoni \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), bu erda \(\Delta x_k \) - segment uzunligi; tuzilgan mahsulotni k-ustun maydonining taxminiy qiymati sifatida ko'rib chiqish tabiiydir.

Agar biz boshqa barcha ustunlar bilan ham xuddi shunday qilsak, quyidagi natijaga erishamiz: berilgan egri chiziqli trapetsiyaning S maydoni taxminan n ta to'rtburchakdan iborat pog'onali figuraning S n maydoniga teng (rasmga qarang):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \nuqtalar + f(x_k)\Delta x_k + \nuqtalar + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Bu erda, yozuvning bir xilligi uchun biz a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\ Delta x_0 \) - segment uzunligi , \(\ Delta x_1 \) - segment uzunligi va boshqalar; yuqorida kelishib olganimizdek, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Shunday qilib, \(S \taxminan S_n \) va bu taxminiy tenglik qanchalik aniq bo'lsa, n kattaroq bo'ladi.
Ta'rifga ko'ra, egri chiziqli trapezoidning kerakli maydoni ketma-ketlik chegarasiga (S n) teng deb hisoblanadi:
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Vazifa 2(nuqtani siljitish haqida)
Moddiy nuqta to'g'ri chiziq bo'ylab harakat qiladi. Tezlikning vaqtga bog'liqligi v = v(t) formula bilan ifodalanadi. Nuqtaning vaqt oralig'idagi siljishini toping [a; b].
Qaror. Agar harakat bir xil bo'lsa, muammo juda oddiy hal qilinadi: s = vt, ya'ni. s = v(b-a). Noto'g'ri harakatlanish uchun oldingi masalani hal qilishda asos bo'lgan g'oyalardan foydalanish kerak.
1) vaqt oralig'ini [a; b] n ta teng qismga.
2) Vaqt oralig'ini ko'rib chiqing va bu vaqt oralig'ida tezlik doimiy bo'lgan deb faraz qiling, masalan, t k vaqtida. Demak, v = v(t k) deb faraz qilamiz.
3) Vaqt oralig'ida nuqta siljishining taxminiy qiymatini toping, bu taxminiy qiymat s k bilan belgilanadi.
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) siljish s ning taxminiy qiymatini toping:
\(s \taxminan S_n \) qayerda
\(S_n = s_0 + \nuqta + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \nuqta + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Kerakli siljish ketma-ketlik chegarasiga (S n) teng:
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Keling, xulosa qilaylik. Turli masalalarning yechimlari bir xil matematik modelga keltirildi. Fan va texnikaning turli sohalaridagi ko‘plab muammolar yechim jarayonida bir xil modelga olib keladi. Demak, ushbu matematik modelni alohida o'rganish kerak.

Aniq integral tushunchasi

y = f(x) funksiyasi uchun ko‘rib chiqilgan uchta masalada tuzilgan modelning [ segmentida uzluksiz (lekin ko‘rib chiqilayotgan masalalarda qabul qilinganidek manfiy bo‘lmasligi shart emas) matematik tavsifini beraylik. a; b]:
1) segmentni ajratish [a; b] n ta teng qismga;
2) summa $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \nuqtalar + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$ ni hisoblang

Matematik tahlil jarayonida bu chegara uzluksiz (yoki bo'lakcha uzluksiz) funktsiya holatida mavjudligi isbotlangan. U chaqirilgan y = f(x) funksiyaning [a segmenti ustidagi aniq integrali; b] va quyidagicha ifodalanadi:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
a va b raqamlari integratsiya chegaralari deb ataladi (mos ravishda quyi va yuqori).

Keling, yuqorida muhokama qilingan vazifalarga qaytaylik. 1-muammoda berilgan maydon ta'rifini endi quyidagicha qayta yozish mumkin:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
bu erda S - yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan egri chiziqli trapezoidning maydoni. Bu nima aniq integralning geometrik ma'nosi.

2-masalada berilgan t = a dan t = b gacha bo'lgan vaqt oralig'ida v = v(t) tezlik bilan to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanuvchi nuqtaning s ko'chish ta'rifini quyidagicha qayta yozish mumkin:

Nyuton-Leybnits formulasi

Boshlash uchun, keling, savolga javob beraylik: aniq integral va antiderivativ o'rtasidagi bog'liqlik qanday?

Javobni 2-masalada topish mumkin.Bir tomondan, t = a dan t = b gacha bo‘lgan vaqt oralig‘ida v = v(t) tezlik bilan to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanayotgan nuqtaning s ko‘chishi va quyidagicha hisoblanadi. formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Boshqa tomondan, harakatlanuvchi nuqtaning koordinatasi tezlikka qarshi hosiladir - uni s(t) deb belgilaymiz; demak, siljish s s = s(b) - s(a) formula bilan ifodalanadi. Natijada biz quyidagilarni olamiz:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
bu yerda s(t) v(t) ga qarshi hosiladir.

Matematik analiz jarayonida quyidagi teorema isbotlangan.
Teorema. Agar y = f(x) funksiya [a segmentida uzluksiz bo'lsa; b], keyin formula
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
bu yerda F(x) f(x) ga qarshi hosiladir.

Ushbu formula odatda deyiladi Nyuton-Leybnits formulasi ingliz fizigi Isaak Nyuton (1643-1727) va nemis faylasufi Gotfrid Leybnits (1646-1716) sharafiga, uni bir-biridan mustaqil ravishda va deyarli bir vaqtning o'zida qabul qildi.

Amalda F(b) - F(a) yozish o'rniga \(\chap. F(x)\right|_a^b \) yozuvidan foydalanadilar (u ba'zan deyiladi. ikki marta almashtirish) va shunga mos ravishda Nyuton-Leybnits formulasini quyidagi shaklda qayta yozing:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \chap. F(x)\o'ng|_a^b \)

Aniq integralni hisoblab, avval anti hosilani toping, so'ngra qo'sh almashtirishni bajaring.

Nyuton-Leybnits formulasiga asoslanib, aniq integralning ikkita xossasini olish mumkin.

Mulk 1. Funktsiyalar yig'indisining integrali integrallarning yig'indisiga teng:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Mulk 2. Doimiy omil integral belgisidan chiqarilishi mumkin:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Aniq integral yordamida tekislik figuralarining maydonlarini hisoblash

Integraldan foydalanib, siz nafaqat egri chiziqli trapezoidlarning, balki rasmda ko'rsatilgandek, yanada murakkab turdagi tekis figuralarning maydonini hisoblashingiz mumkin. P figurasi x = a, x = b to'g'ri chiziqlar va uzluksiz funksiyalar grafiklari y = f(x), y = g(x) bilan chegaralangan va segmentida [a; b] tengsizlik \(g(x) \leq f(x) \) bajariladi. Bunday raqamning S maydonini hisoblash uchun biz quyidagicha harakat qilamiz:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Demak, x = a, x = b to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan figuraning S maydoni va segmentda uzluksiz bo'lgan y = f(x), y = g(x) funktsiyalarning grafiklari va dan har qanday x uchun segment [a; b] tengsizlik \(g(x) \leq f(x) \) bajariladi, formula bilan hisoblanadi.
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Ayrim funksiyalarning noaniq integrallari (antiderivativlari) jadvali

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1) ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) )x+C $$

Saytga matematik formulalarni qanday kiritish mumkin?

Agar biror marta veb-sahifaga bitta yoki ikkita matematik formula qo'shish kerak bo'lsa, buni qilishning eng oson yo'li maqolada tasvirlanganidek: matematik formulalar Wolfram Alpha avtomatik ravishda yaratadigan rasmlar ko'rinishida saytga osongina kiritiladi. Oddiylikdan tashqari, ushbu universal usul saytning qidiruv tizimlarida ko'rinishini yaxshilashga yordam beradi. U uzoq vaqtdan beri ishlaydi (va menimcha, u abadiy ishlaydi), lekin u axloqiy jihatdan eskirgan.

Agar, aksincha, saytingizda doimiy ravishda matematik formulalardan foydalansangiz, men sizga MathML, LaTeX yoki ASCIIMathML belgilaridan foydalangan holda veb-brauzerlarda matematik belgilarni aks ettiruvchi maxsus JavaScript kutubxonasi MathJax dan foydalanishni tavsiya qilaman.

MathJax-dan foydalanishni ikki yo'l bilan boshlash mumkin: (1) oddiy kod yordamida siz MathJax skriptini saytingizga tezda ulashingiz mumkin, u kerakli vaqtda masofaviy serverdan avtomatik ravishda yuklanadi (serverlar ro'yxati); (2) MathJax skriptini masofaviy serverdan serveringizga yuklang va uni saytingizning barcha sahifalariga ulang. Ikkinchi usul ancha murakkab va vaqt talab qiladi va saytingiz sahifalarini yuklashni tezlashtirishga imkon beradi va agar asosiy MathJax serveri biron sababga ko'ra vaqtincha ishlamay qolsa, bu sizning saytingizga hech qanday ta'sir qilmaydi. Ushbu afzalliklarga qaramay, men birinchi usulni tanladim, chunki u sodda, tezroq va texnik ko'nikmalarni talab qilmaydi. Mening misolimga amal qiling va 5 daqiqa ichida saytingizda MathJaxning barcha imkoniyatlaridan foydalana olasiz.

MathJax kutubxonasi skriptini uzoq serverdan asosiy MathJax veb-saytidan yoki hujjatlar sahifasidan olingan ikkita kod variantidan foydalanib ulashingiz mumkin:

Ushbu kod variantlaridan birini nusxalash va veb-sahifangizning kodiga, yaxshisi teglar orasiga joylashtirish kerak. va yoki tegdan keyin . Birinchi variantga ko'ra, MathJax tezroq yuklanadi va sahifani kamroq sekinlashtiradi. Ammo ikkinchi variant MathJax-ning so'nggi versiyalarini avtomatik ravishda kuzatib boradi va yuklaydi. Agar siz birinchi kodni kiritsangiz, uni vaqti-vaqti bilan yangilab turish kerak bo'ladi. Agar siz ikkinchi kodni joylashtirsangiz, sahifalar sekinroq yuklanadi, lekin siz MathJax yangilanishlarini doimiy ravishda kuzatib borishingiz shart emas.

MathJax-ni ulashning eng oson yo'li Blogger yoki WordPress-da: saytni boshqarish paneliga uchinchi tomon JavaScript kodini kiritish uchun mo'ljallangan vidjetni qo'shing, unga yuqorida keltirilgan yuklash kodining birinchi yoki ikkinchi versiyasini nusxalang va vidjetni yaqinroq joylashtiring. shablonning boshiga (Aytgancha, bu mutlaqo kerak emas, chunki MathJax skripti asinxron ravishda yuklangan). Hammasi shu. Endi MathML, LaTeX va ASCIIMathML belgilash sintaksisini o'rganing va siz matematik formulalarni veb-sahifalaringizga joylashtirishga tayyorsiz.

Har qanday fraktal cheksiz ko'p marta doimiy ravishda qo'llaniladigan ma'lum bir qoidaga muvofiq qurilgan. Har bir bunday vaqt iteratsiya deb ataladi.

Menger shimgichni qurishning iterativ algoritmi juda oddiy: 1 tomoni bo'lgan asl kub yuzlariga parallel bo'lgan tekisliklar bilan 27 ta teng kubga bo'linadi. Undan bitta markaziy kub va unga qo'shni yuzlar bo'ylab 6 kub chiqariladi. Qolgan 20 ta kichik kubdan iborat to'plam paydo bo'ldi. Ushbu kublarning har biri bilan xuddi shunday qilib, biz 400 ta kichik kubdan iborat to'plamni olamiz. Ushbu jarayonni cheksiz davom ettirib, biz Menger shimgichni olamiz.

Biz qo'sh integralni hisoblashning haqiqiy jarayonini ko'rib chiqamiz va uning geometrik ma'nosi bilan tanishamiz.

Ikki tomonlama integral son jihatdan tekis figuraning maydoniga teng (integratsiya hududi). Bu ikki o'zgaruvchining funksiyasi bir ga teng bo'lganda qo'sh integralning eng oddiy ko'rinishi: .

Keling, birinchi navbatda muammoni umumiy nuqtai nazardan ko'rib chiqaylik. Endi bu qanchalik sodda ekanligiga hayron qolasiz! Keling, chiziqlar bilan chegaralangan tekis figuraning maydonini hisoblaylik. Aniqlik uchun biz oraliqda deb faraz qilamiz. Bu raqamning maydoni son jihatdan teng:

Keling, rasmdagi maydonni tasvirlaymiz:

Keling, hududni aylanib o'tishning birinchi usulini tanlaylik:

Shunday qilib:

Va darhol muhim texnik hiyla: takrorlangan integrallarni alohida ko'rib chiqish mumkin. Avval ichki integral, keyin tashqi integral. Ushbu usul choynaklar mavzusida yangi boshlanuvchilar uchun juda tavsiya etiladi.

1) Integrallash "y" o'zgaruvchisi orqali amalga oshirilganda ichki integralni hisoblang:

Bu erda noaniq integral eng oddiy hisoblanadi, keyin esa oddiy Nyuton-Leybnits formulasi qo'llaniladi, yagona farq shundaki integratsiya chegaralari raqamlar emas, balki funktsiyalardir. Birinchidan, biz yuqori chegarani "y" ga (antiderivativ funktsiya), keyin pastki chegaraga almashtirdik.

2) Birinchi xatboshida olingan natija tashqi integralga almashtirilishi kerak:

Butun yechim uchun yanada ixcham belgi quyidagicha ko'rinadi:

Olingan formula - bu "oddiy" aniq integral yordamida tekis figuraning maydonini hisoblashning aniq ishchi formulasi! Darsga qarang Aniq integral yordamida maydonni hisoblash, u har qadamda!

Ya'ni, qo'sh integral yordamida maydonni hisoblash masalasi biroz boshqacha aniq integral yordamida maydonni topish masalasidan! Aslida, ular bitta va bir xil!

Shunga ko'ra, hech qanday qiyinchiliklar paydo bo'lmasligi kerak! Men juda ko'p misollarni ko'rib chiqmayman, chunki siz aslida bu muammoga bir necha bor duch kelgansiz.

9-misol

Qaror: Keling, rasmdagi maydonni tasvirlaymiz:

Keling, mintaqa bo'ylab sayohat qilishning quyidagi tartibini tanlaymiz:

Bu erda va quyida men hududni qanday bosib o'tishni ko'rib chiqmayman, chunki birinchi xatboshi juda batafsil edi.

Shunday qilib:

Yuqorida aytib o'tganimdek, yangi boshlanuvchilar uchun takrorlangan integrallarni alohida hisoblash yaxshiroqdir, men xuddi shu usulga amal qilaman:

1) Birinchidan, Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, biz ichki integral bilan ishlaymiz:

2) Birinchi bosqichda olingan natija tashqi integralga almashtiriladi:

2-nuqta aslida aniq integral yordamida tekis figuraning maydonini topishdir.

Javob:

Mana shunday ahmoq va sodda vazifa.

Mustaqil yechim uchun qiziqarli misol:

10-misol

Ikki tomonlama integraldan foydalanib, chiziqlar bilan chegaralangan tekislik figurasining maydonini hisoblang.

Dars oxirida yakuniy yechimga misol.

9-10-misollarda hududni aylanib o'tishning birinchi usulini qo'llash ancha foydalidir; qiziquvchan o'quvchilar, aytmoqchi, aylanib o'tish tartibini o'zgartirishi va maydonlarni ikkinchi usulda hisoblashi mumkin. Agar siz xato qilmasangiz, tabiiyki, bir xil maydon qiymatlari olinadi.

Ammo ba'zi hollarda hududni aylanib o'tishning ikkinchi usuli samaraliroq bo'ladi va yosh nerdning kursi yakunida ushbu mavzu bo'yicha yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:

11-misol

Ikki tomonlama integraldan foydalanib, chiziqlar bilan chegaralangan tekislik figurasining maydonini hisoblang.

Qaror: biz tomonda yotgan shamolli ikkita parabolani intiqlik bilan kutmoqdamiz. Tabassum qilishning hojati yo'q, bir nechta integrallarda o'xshash narsalar tez-tez uchraydi.

Chizma chizishning eng oson yo'li qanday?

Keling, parabolani ikkita funktsiya sifatida ko'rsatamiz:
- yuqori filial va - pastki shox.

Xuddi shunday, parabolani yuqori va pastki deb tasavvur qiling filiallari.

Keyinchalik, drayvlarni nuqta-nuqta chizish, natijada shunday g'alati raqam paydo bo'ladi:

Shaklning maydoni quyidagi formula bo'yicha qo'sh integral yordamida hisoblanadi:

Agar biz hududni aylanib o'tishning birinchi usulini tanlasak nima bo'ladi? Birinchidan, bu maydonni ikki qismga bo'lish kerak bo'ladi. Ikkinchidan, biz ushbu qayg'uli rasmni kuzatamiz: . Albatta, integrallar o'ta murakkab darajaga ega emas, lekin ... qadimgi matematik maqol bor: kim ildizlarga do'stona munosabatda bo'lsa, to'plam kerak emas.

Shuning uchun shartda berilgan tushunmovchilikdan biz teskari funktsiyalarni ifodalaymiz:

Ushbu misoldagi teskari funktsiyalarning afzalligi shundaki, ular darhol barcha parabolani barglar, shoxlar, shoxlar va ildizlarsiz o'rnatadilar.

Ikkinchi usulga ko'ra, hududni kesib o'tish quyidagicha bo'ladi:

Shunday qilib:

Ular aytganidek, farqni his eting.

1) Biz ichki integral bilan ishlaymiz:

Natijani tashqi integralga almashtiramiz:

"y" o'zgaruvchisi ustidan integratsiya uyatli bo'lmasligi kerak, agar "zyu" harfi bo'lsa - uning ustida integratsiya qilish juda yaxshi bo'lardi. Darsning ikkinchi xatboshini kim o'qigan bo'lsa-da Inqilob jismining hajmini qanday hisoblash mumkin, u endi "y" ga nisbatan integratsiya bilan eng kichik noqulaylikni boshdan kechirmaydi.

Birinchi bosqichga ham e'tibor bering: integrand juft, integratsiya segmenti esa nolga yaqin simmetrikdir. Shuning uchun segmentni yarmiga, natijani esa ikki barobarga oshirish mumkin. Ushbu texnika darsda batafsil izohlanadi. Aniq integralni hisoblashning samarali usullari.

Nima qo'shish kerak .... Hammasi!

Javob:

Integratsiya texnikasini sinab ko'rish uchun siz hisoblashga harakat qilishingiz mumkin . Javob mutlaqo bir xil bo'lishi kerak.

12-misol

Ikki tomonlama integraldan foydalanib, chiziqlar bilan chegaralangan tekislik figurasining maydonini hisoblang

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Shunisi qiziqki, agar siz hududni aylanib o'tishning birinchi usulidan foydalanmoqchi bo'lsangiz, unda raqam endi ikkiga emas, balki uch qismga bo'linadi! Va shunga ko'ra, biz uch juft takrorlangan integral olamiz. Ba'zan shunday bo'ladi.

Master-klass o'z nihoyasiga yetdi va grossmeyster darajasiga o'tish vaqti keldi - Ikki tomonlama integralni qanday hisoblash mumkin? Yechim misollari. Ikkinchi maqolada bunchalik manik bo'lmaslikka harakat qilaman =)

Omad tilayman!

Yechimlar va javoblar:

2-misol:Qaror: Hududni chizish chizma bo'yicha:

Keling, mintaqa bo'ylab sayohat qilishning quyidagi tartibini tanlaymiz:

Shunday qilib:
Keling, teskari funktsiyalarga o'tamiz:


Shunday qilib:
Javob:

4-misol:Qaror: To'g'ridan-to'g'ri funktsiyalarga o'tamiz:


Keling, chizmani bajaramiz:

Maydonni bosib o'tish tartibini o'zgartiramiz:

Javob:

Aniq integral. Shaklning maydonini qanday hisoblash mumkin

Endi biz integral hisobning qo'llanilishini ko'rib chiqishga o'tamiz. Ushbu darsda biz odatiy va eng keng tarqalgan vazifani tahlil qilamiz. Tekislik figurasining maydonini hisoblash uchun aniq integraldan qanday foydalanish kerak. Nihoyat, oliy matematikada ma'no izlayotganlar - topsinlar. Siz hech qachon bilmaysiz. Haqiqiy hayotda siz oddiy funktsiyalarga ega yozgi uyni taxmin qilishingiz va ma'lum bir integral yordamida uning maydonini topishingiz kerak bo'ladi.

Materialni muvaffaqiyatli o'zlashtirish uchun sizga kerak:

1) Noaniq integralni hech bo'lmaganda o'rta darajada tushuning. Shunday qilib, qo'g'irchoqlar birinchi navbatda darsni o'qishlari kerak Yo'q.

2) Nyuton-Leybnits formulasini qo‘llay olish va aniq integralni hisoblay olish. Sahifada ma'lum integrallar bilan iliq do'stona munosabatlar o'rnatishingiz mumkin Aniq integral. Yechim misollari.

Aslida, raqamning maydonini topish uchun sizga noaniq va aniq integral haqida ko'p ma'lumot kerak emas. "Maydonni aniq integral yordamida hisoblash" vazifasi har doim chizilgan qurilishni o'z ichiga oladi, shuning uchun sizning bilimingiz va chizish qobiliyatingiz ancha dolzarb masala bo'ladi. Shu munosabat bilan asosiy elementar funktsiyalarning grafiklari xotirasini yangilash va hech bo'lmaganda to'g'ri chiziq, parabola va giperbolani qura olish foydalidir. Buni uslubiy material va grafiklarning geometrik o'zgarishlariga bag'ishlangan maqola yordamida amalga oshirish mumkin (ko'pchilik bunga muhtoj).

Darhaqiqat, aniq integral yordamida maydonni topish muammosi bilan hamma maktabdan beri tanish va biz maktab o'quv dasturidan biroz oldinga o'tamiz. Ushbu maqola umuman mavjud bo'lmasligi mumkin, ammo haqiqat shundaki, muammo 100 ta holatdan 99 tasida, talaba oliy matematika kursini o'zlashtirgan ishtiyoq bilan nafratlangan minora tomonidan azoblanganida yuzaga keladi.

Ushbu seminarning materiallari sodda, batafsil va minimal nazariya bilan taqdim etilgan.

Egri chiziqli trapesiyadan boshlaylik.

Egri chiziqli trapezoid eksa, to'g'ri chiziqlar va bu oraliqda belgisini o'zgartirmaydigan segmentdagi uzluksiz funktsiya grafigi bilan chegaralangan tekis figura deb ataladi. Bu raqam joylashgan bo'lsin kam emas absissa:

Keyin egri chiziqli trapezoidning maydoni son jihatdan ma'lum bir integralga teng. Har qanday aniq integral (mavjud) juda yaxshi geometrik ma'noga ega. Darsda Aniq integral. Yechim misollari Aniq integral son ekanligini aytdim. Va endi yana bir foydali faktni aytish vaqti keldi. Geometriya nuqtai nazaridan aniq integral AREA hisoblanadi.

Ya'ni, aniq integral (agar u mavjud bo'lsa) geometrik jihatdan qandaydir figuraning maydoniga mos keladi. Masalan, aniq integralni ko'rib chiqing. Integrand o'qdan yuqorida joylashgan tekislikdagi egri chiziqni belgilaydi (xohlaganlar chizmani bajarishlari mumkin) va aniq integralning o'zi son jihatdan mos keladigan egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng.

1-misol

Bu odatiy vazifa bayonoti. Qarorning birinchi va eng muhim momenti - bu chizmaning qurilishi. Bundan tashqari, chizma qurilishi kerak TO'G'RI.

Loyihani yaratishda men quyidagi tartibni tavsiya qilaman: boshida barcha chiziqlarni (agar mavjud bo'lsa) qurish yaxshiroq va faqat keyin- parabola, giperbola, boshqa funksiyalarning grafiklari. Funktsiya grafiklarini qurish foydaliroq nuqtadan nuqta, nuqtali qurilish texnikasi bilan mos yozuvlar materialida topish mumkin Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari. U erda siz bizning darsimizga nisbatan juda foydali bo'lgan materialni topishingiz mumkin - parabolani qanday tezda qurish.

Ushbu muammoda yechim shunday ko'rinishi mumkin.
Keling, chizma tuzamiz (e'tibor bering, tenglama o'qni belgilaydi):

Men egri chiziqli trapezoidni yaratmayman, bu erda biz qaysi soha haqida gapirayotganimiz aniq. Yechim quyidagicha davom etadi:

Segmentda funksiyaning grafigi joylashgan eksa ustida, Shunung uchun:

Javob:

Kim aniq integralni hisoblashda va Nyuton-Leybnits formulasini qo'llashda qiynaladi , ma'ruzaga murojaat qiling Aniq integral. Yechim misollari.

Vazifa bajarilgandan so'ng, chizmaga qarash va javob haqiqiy yoki yo'qligini aniqlash har doim foydalidir. Bunday holda, "ko'z bilan" biz chizmadagi hujayralar sonini hisoblaymiz - yaxshi, taxminan 9 tasi teriladi, bu to'g'ri ko'rinadi. Aniqki, agar bizda, aytaylik, javob bo'lsa: 20 kvadrat birlik, demak, biror joyda xatoga yo'l qo'yilgan - 20 ta katak ko'rsatilgan raqamga to'g'ri kelmaydi, ko'pi bilan o'nlab. Agar javob salbiy bo'lib chiqsa, u holda vazifa ham noto'g'ri hal qilingan.

2-misol

, , va o'qi bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. To'liq yechim va javob dars oxirida.

Egri chiziqli trapezoid joylashgan bo'lsa, nima qilish kerak aks ostida?

3-misol

Chiziqlar va koordinata o'qlari bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang.

Qaror: Keling, rasm chizamiz:

Agar egri chiziqli trapezoid joylashgan bo'lsa aks ostida(yoki hech bo'lmaganda yuqori emas berilgan o'q), u holda uning maydonini quyidagi formula bo'yicha topish mumkin:
Ushbu holatda:

Diqqat! Ikki turdagi vazifalarni aralashtirib yubormang:

1) Agar sizdan hech qanday geometrik ma'nosiz faqat aniq integralni echishingiz so'ralsa, u manfiy bo'lishi mumkin.

2) Agar sizdan aniq integral yordamida figuraning maydonini topish so'ralsa, u holda maydon har doim ijobiy bo'ladi! Shuning uchun ko'rib chiqilgan formulada minus paydo bo'ladi.

Amalda, ko'pincha bu raqam yuqori va pastki yarim tekislikda joylashgan va shuning uchun eng oddiy maktab muammolaridan biz yanada mazmunli misollarga o'tamiz.

4-misol

Chiziqlar bilan chegaralangan tekis figuraning maydonini toping.

Qaror: Avval siz chizmani bajarishingiz kerak. Umuman olganda, maydon muammolari chizmasini qurishda bizni ko'proq chiziqlarning kesishish nuqtalari qiziqtiradi. Parabola va chiziqning kesishish nuqtalarini topamiz. Bu ikki usulda amalga oshirilishi mumkin. Birinchi usul analitikdir. Tenglamani yechamiz:

Demak, integratsiyaning pastki chegarasi, integratsiyaning yuqori chegarasi.
Iloji bo'lsa, bu usuldan foydalanmaslik yaxshiroqdir..

Integratsiya chegaralari xuddi "o'z-o'zidan" aniqlanganda, chiziqlarni nuqtama-nuqta qurish ancha foydali va tezroq. Turli diagrammalar uchun nuqta-nuqta qurish texnikasi yordamda batafsil muhokama qilinadi Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari. Shunga qaramay, chegaralarni topishning analitik usuli, masalan, grafik etarlicha katta bo'lsa yoki tishli konstruktsiya integratsiya chegaralarini aniqlamasa (ular kasr yoki irratsional bo'lishi mumkin) ba'zan foydalanishga to'g'ri keladi. Va biz bunday misolni ham ko'rib chiqamiz.

Biz o'z vazifamizga qaytamiz: avval to'g'ri chiziq, keyin esa parabola qurish oqilonaroq. Keling, rasm chizamiz:

Yana takror aytamanki, nuqtali qurilish bilan integratsiya chegaralari ko'pincha "avtomatik ravishda" aniqlanadi.

Va endi ish formulasi: Agar intervalda uzluksiz funksiya mavjud bo'lsa dan katta yoki teng ba'zi uzluksiz funktsiya, keyin ushbu funktsiyalarning grafiklari va to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan raqamning maydonini quyidagi formula bilan topish mumkin:

Bu erda endi raqam qayerda joylashganligi haqida o'ylashning hojati yo'q - o'qdan yuqorida yoki o'qdan pastda va, taxminan, qaysi diagramma YUQORIDA ekanligi muhim(boshqa grafikga nisbatan), va qaysi biri quyida.

Ko'rib chiqilayotgan misolda ko'rinib turibdiki, segmentda parabola to'g'ri chiziqdan yuqorida joylashgan va shuning uchun undan ayirish kerak.

Yechimni yakunlash quyidagicha ko'rinishi mumkin:

Kerakli raqam yuqoridan parabola va pastdan to'g'ri chiziq bilan cheklangan.
Segmentda tegishli formula bo'yicha:

Javob:

Aslida, pastki yarim tekislikdagi egri chiziqli trapezoidning maydoni uchun maktab formulasi (3-sonli oddiy misolga qarang) formulaning alohida holatidir. . Chunki o'q tenglama bilan berilgan va funktsiyaning grafigi joylashgan yuqori emas keyin boltalar

Va endi mustaqil qaror qabul qilish uchun bir nechta misol

5-misol

6-misol

Chiziqlar bilan o'ralgan figuraning maydonini toping.

Muayyan integral yordamida maydonni hisoblash masalalarini yechish jarayonida ba'zida kulgili voqea sodir bo'ladi. Chizma to'g'ri tuzilgan, hisob-kitoblar to'g'ri, ammo e'tiborsizlik tufayli ... noto'g'ri figuraning maydoni topildi, sizning itoatkor xizmatkoringiz bir necha marta buzg'unchilik qildi. Mana haqiqiy hayotiy voqea:

7-misol

, , , chiziqlari bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang.

Qaror: Avval rasm chizamiz:

…Eh, chizma ahmoq chiqdi, lekin hamma narsa o'qiladiganga o'xshaydi.

Biz maydonini topishimiz kerak bo'lgan raqam ko'k rangga bo'yalgan.(shartga diqqat bilan qarang - raqam qanday cheklangan!). Ammo amalda, e'tiborsizlik tufayli, ko'pincha yashil rangga bo'yalgan raqamning maydonini topishingiz kerak bo'lgan "nosozlik" paydo bo'ladi!

Ushbu misol, shuningdek, foydalidir, chunki unda raqamning maydoni ikkita aniq integral yordamida hisoblanadi. Haqiqatan ham:

1) Eksa ustidagi segmentda to'g'ri chiziqli grafik mavjud;

2) Eksa ustidagi segmentda giperbola grafigi joylashgan.

Hududlarni qo'shish mumkinligi (va kerakligi) aniq, shuning uchun:

Javob:

Keling, yana bir mazmunli vazifaga o'tamiz.

8-misol

Chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydonini hisoblang,
Keling, tenglamalarni "maktab" ko'rinishida taqdim etamiz va nuqta-nuqta chizamiz:

Chizmadan ko'rinib turibdiki, bizning yuqori chegaramiz "yaxshi": .
Ammo pastki chegara nima? Bu butun son emasligi aniq, lekin nima? Balkim ? Ammo chizmaning mukammal aniqlik bilan qilinganligiga kafolat qayerda, bu aniq bo'lishi mumkin. Yoki ildiz. Agar biz grafikni umuman to'g'ri ololmasak-chi?

Bunday hollarda qo'shimcha vaqt sarflash va integratsiya chegaralarini analitik jihatdan aniqlashtirish kerak.

Chiziq va parabolaning kesishish nuqtalarini topamiz.
Buning uchun tenglamani yechamiz:


,

Haqiqatan ham, .

Keyingi yechim ahamiyatsiz, asosiysi almashtirish va belgilarda chalkashmaslikdir, bu erda hisob-kitoblar eng oson emas.

Segmentda , mos keladigan formula bo'yicha:

Javob:

Xo'sh, dars yakunida biz ikkita qiyin vazifani ko'rib chiqamiz.

9-misol

Chiziqlar bilan chegaralangan shaklning maydonini hisoblang, ,

Qaror: Ushbu rasmni chizmaga chizing.

Jin ursin, men jadvalga imzo chekishni unutibman va rasmni qaytadan yozishni unutibman, uzr, hotz emas. Chizma emas, qisqasi, bugun kun =)

Nuqtama-nuqta qurish uchun sinusoidning ko'rinishini bilish kerak (va umuman bilish foydalidir) barcha elementar funksiyalarning grafiklari), shuningdek, ba'zi sinus qiymatlari, ularni topish mumkin trigonometrik jadval. Ba'zi hollarda (bu holatda bo'lgani kabi) sxematik chizmani qurishga ruxsat beriladi, unda grafikalar va integratsiya chegaralari printsipial jihatdan to'g'ri ko'rsatilishi kerak.

Bu erda integratsiya chegaralari bilan bog'liq muammolar yo'q, ular to'g'ridan-to'g'ri shartdan kelib chiqadi: - "x" noldan "pi" ga o'zgaradi. Biz qo'shimcha qaror qabul qilamiz:

Segmentda funktsiya grafigi o'qdan yuqorida joylashgan, shuning uchun: