Ruxsat etilgan o'qga nisbatan ("eksenel inersiya momenti") qiymat deyiladi J a hamma massalari mahsuloti yig'indisiga teng n tizimning moddiy nuqtalarini ularning o'qga bo'lgan masofalarining kvadratlariga:
- m i- vazn i-chi nuqta,
- r i-dan masofa i- o'qga nuqta.
Eksenel inersiya momenti tanasi J a o'q atrofida aylanish harakatida jismning inertsiyasining o'lchovidir, xuddi jismning massasi uning tarjima harakatidagi inertsiyasining o'lchovidir.
Agar tana bir hil bo'lsa, ya'ni uning zichligi hamma joyda bir xil bo'lsa, unda
Gyuygens-Shtayner teoremasi
Inersiya momenti qattiq jismning har qanday o'qqa nisbatan bo'lishi nafaqat tananing massasi, shakli va o'lchamiga, balki tananing ushbu o'qga nisbatan joylashishiga ham bog'liq. Shtayner teoremasi bo'yicha (Gyuygens-Shtayner teoremasi) inersiya momenti tanasi J ixtiyoriy o'qga nisbatan yig'indiga teng inersiya momenti bu tana Jc ko'rib chiqilgan o'qga parallel ravishda tananing massa markazidan o'tadigan o'qga nisbatan va tana massasining mahsuloti m kvadrat masofaga d akslar orasida:
tananing umumiy massasi qayerda.
Masalan, novda uchidan o'tuvchi o'qqa nisbatan inersiya momenti:
Ayrim jismlarning eksenel inersiya momentlari
| Tana | Tavsif | Eksa holati a | Inersiya momenti J a |
|---|---|---|---|
 |
Materialning massa nuqtasi m | Masofada r bir nuqtadan, sobit | |
 |
Bo'shliq yupqa devorli silindr yoki radiusli halqa r va omma m | Silindr o'qi | |
 |
Qattiq silindr yoki disk radiusi r va omma m | Silindr o'qi | |
 |
Bo'shliq qalin devorli massa tsilindri m tashqi radius bilan r2 va ichki radius r1 | Silindr o'qi | |
 |
Qattiq silindr uzunligi l, radius r va omma m | ||
 |
Bo'shliq yupqa devorli silindr (halqa) uzunligi l, radius r va omma m | O'q silindrga perpendikulyar bo'lib, uning massa markazidan o'tadi | |
 |
To'g'ri ingichka novda uzunligi l va omma m | O'q tayoqqa perpendikulyar bo'lib, uning massa markazidan o'tadi | |
 |
To'g'ri ingichka novda uzunligi l va omma m | Eksa tayoqqa perpendikulyar bo'lib, uning uchidan o'tadi | |
 |
Radiusli yupqa devorli shar r va omma m | Eksa sharning markazidan o'tadi | |
 |
to'p radiusi r va omma m | Eksa to'pning markazidan o'tadi | |
 |
Konusning radiusi r va omma m | konusning o'qi | |
| Balandligi bilan teng yonli uchburchak h, asos a va vazn m | O'q uchburchak tekisligiga perpendikulyar bo'lib, cho'qqidan o'tadi | ||
| Yon tomoni bilan to'g'ri uchburchak a va vazn m | O'q uchburchak tekisligiga perpendikulyar bo'lib, massa markazidan o'tadi | ||
| Yoni bilan kvadrat a va vazn m | O'q kvadrat tekisligiga perpendikulyar bo'lib, massa markazidan o'tadi |
Formulalarni chiqarish
Yupqa devorli silindr (halqa, halqa)
Formulaning kelib chiqishi
Jismning inersiya momenti uning tarkibiy qismlari inersiya momentlarining yig'indisiga teng. Yupqa devorli silindrni massaga ega elementlarga bo'lish dm va inersiya momentlari DJ i. Keyin
Yupqa devorli silindrning barcha elementlari aylanish o'qidan bir xil masofada joylashganligi sababli, formula (1) shaklga aylantiriladi.
Qalin devorli silindr (halqa, halqa)
Formulaning kelib chiqishi
Tashqi radiusli bir hil halqa bo'lsin R, ichki radius R 1, qalin h va zichlik r. Keling, uni qalinligi bilan ingichka halqalarga ajratamiz dr. Radiusli yupqa halqaning massasi va inersiya momenti r bo'ladi
Qalin halqaning inersiya momentini integral sifatida topamiz
Ringning hajmi va massasi teng bo'lgani uchun
halqaning inersiya momentining yakuniy formulasini olamiz
Bir hil disk (qattiq silindr)
Formulaning kelib chiqishi
Tsilindrni (diskni) nol ichki radiusli halqa sifatida ko'rib chiqish ( R 1 = 0), biz silindrning (diskning) inersiya momenti formulasini olamiz:
qattiq konus
Formulaning kelib chiqishi
Konusni qalinlikdagi ingichka disklarga bo'ling dh, konusning o'qiga perpendikulyar. Bunday diskning radiusi
qayerda R konusning asosining radiusi, H konusning balandligi, h- konusning yuqori qismidan diskgacha bo'lgan masofa. Bunday diskning massasi va inersiya momenti bo'ladi
Integratsiyalash, biz olamiz
Qattiq bir xil to'p
Formulaning kelib chiqishi
To'pni ingichka disklarga bo'ling dh, aylanish o'qiga perpendikulyar. Bunday diskning radiusi balandlikda joylashgan h sharning markazidan formula bo'yicha topamiz
Bunday diskning massasi va inersiya momenti bo'ladi
Sfera inersiya momentini integrallash orqali topamiz:
yupqa devorli shar
Formulaning kelib chiqishi
Chiqarish uchun biz bir hil radiusli sharning inersiya momenti formulasidan foydalanamiz. R:
Agar doimiy zichlikda r radiusi cheksiz kichik qiymatga oshsa, to'pning inersiya momenti qancha o'zgarishini hisoblaylik. dR.
Yupqa novda (o'q markazdan o'tadi)
Formulaning kelib chiqishi
Tayoqni uzunlikdagi kichik bo'laklarga bo'ling dr. Bunday bo'lakning massasi va inersiya momenti
Integratsiyalash, biz olamiz
Yupqa novda (o'q oxiridan o'tadi)
Formulaning kelib chiqishi
Aylanish o'qini novda o'rtasidan oxirigacha siljitganda, novda og'irlik markazi o'qga nisbatan masofaga siljiydi. l/2. Shtayner teoremasiga ko'ra, inersiyaning yangi momenti ga teng bo'ladi
Sayyoralar va ularning yo'ldoshlarining o'lchovsiz inersiya momentlari
Sayyoralar va ularning yo'ldoshlarining ichki tuzilishini o'rganish uchun ularning o'lchovsiz inertsiya momentlari katta ahamiyatga ega. Radiusli jismning o'lchovsiz inersiya momenti r va omma m masofada joylashgan sobit aylanish o'qiga nisbatan bir xil massadagi moddiy nuqtaning aylanish o'qiga nisbatan uning inersiya momentining inersiya momentiga nisbatiga tengdir. r(teng Janob 2). Bu qiymat massaning chuqurlikda taqsimlanishini aks ettiradi. Sayyoralar va sun'iy yo'ldoshlarda uni o'lchash usullaridan biri ma'lum bir sayyora yoki sun'iy yo'ldosh atrofida uchayotgan AMS tomonidan uzatiladigan radiosignalning Doppler siljishini aniqlashdir. Yupqa devorli shar uchun o'lchovsiz inersiya momenti 2/3 ga (~ 0,67), bir hil to'p uchun - 0,4 ga teng va umuman olganda, qanchalik kichik bo'lsa, tananing massasi uning markazida to'plangan. Misol uchun, Oy 0,4 ga yaqin (0,391 ga teng) o'lchovsiz inersiya momentiga ega, shuning uchun u nisbatan bir hil deb hisoblanadi, uning zichligi chuqurlik bilan ozgina o'zgaradi. Yerning o'lchovsiz inertsiya momenti bir hil to'pnikidan kamroq (0,335 ga teng), bu zich yadro mavjudligi foydasiga dalildir.
markazdan qochma inersiya momenti
To'g'ri burchakli Dekart koordinata tizimining o'qlariga nisbatan jismning markazdan qochma inersiya momentlari quyidagi miqdorlardan iborat:
qayerda x, y va z- jismning kichik elementining hajmi bilan koordinatalari dV, zichlik ρ va vazn dm.
OX o'qi deyiladi tananing asosiy inertsiya o'qi agar markazdan qochma inersiya momentlari Jxy va Jxz bir vaqtning o'zida nolga teng. Tananing har bir nuqtasidan uchta asosiy inersiya o'qlarini o'tkazish mumkin. Bu o'qlar bir-biriga o'zaro perpendikulyar. Tananing inertsiya momentlari ixtiyoriy nuqtada chizilgan uchta asosiy inersiya o'qiga nisbatan O jismlar deyiladi tananing inertsiyasining asosiy momentlari.
Jismning massa markazidan o'tuvchi bosh inersiya o'qlari deyiladi tananing inertsiyasining asosiy markaziy o'qlari, va bu o'qlarga nisbatan inersiya momentlari uning inertsiyaning asosiy markaziy momentlari. Bir jinsli jismning simmetriya o'qi doimo uning asosiy markaziy inersiya o'qlaridan biri hisoblanadi.
Geometrik inersiya momenti
Geometrik inersiya momenti - ko'rinish kesimining geometrik xarakteristikasi
bu erda markaziy o'qdan neytral o'qqa nisbatan istalgan elementar maydongacha bo'lgan masofa.
Geometrik inertsiya momenti materialning harakati bilan bog'liq emas, u faqat qismning qattiqlik darajasini aks ettiradi. U aylanma radiusini, nurning og'ishini, to'sinlar, ustunlar va boshqalarni tanlash uchun ishlatiladi.
SI o'lchov birligi m 4 ga teng. Qurilish hisob-kitoblarida, adabiyotlarda va prokatning assortimentida, xususan, sm 4 da ko'rsatilgan.
Undan bo'lim moduli ifodalanadi:
.| Ayrim figuralarning geometrik inersiya momentlari | |
|---|---|
| To'rtburchakning balandligi va kengligi: | |
| To'rtburchaklar quti qismi tashqi konturlar bo'ylab balandligi va kengligi va mos ravishda ichki va bo'ylab | |
| Doira diametri | |
Markaziy inersiya momenti
Markaziy inersiya momenti(yoki O nuqtaga nisbatan inersiya momenti) kattalikdir
Markaziy inersiya momentini asosiy eksenel yoki markazdan qochma inersiya momentlari bilan ifodalash mumkin: .
Inersiya tenzori va inersiya ellipsoidi
Jismning massa markazidan o'tuvchi va birlik vektor tomonidan berilgan yo'nalishga ega bo'lgan ixtiyoriy o'qga nisbatan inersiya momentini kvadratik (ikki chiziqli) ko'rinishda ko'rsatish mumkin:
(1),inertsiya tenzori qayerda. Inertsiya tensor matritsasi nosimmetrik, o'lchamlari bor va markazdan qochma moment komponentlaridan iborat:
.
Tegishli koordinatalar tizimini tanlab, inertsiya tensorining matritsasi diagonal shaklga keltirilishi mumkin. Buning uchun tenzor matritsasi uchun xos qiymat masalasini yechish kerak:
,
bu yerda inersiya tenzorining o‘z asosiga ortogonal o‘tish matritsasi. O'z asosida koordinata o'qlari inertsiya tenzorining asosiy o'qlari bo'ylab yo'naltirilgan va inertsiya tenzor ellipsoidining asosiy yarim o'qlari bilan mos keladi. Kattaliklar inersiyaning asosiy momentlari hisoblanadi. O'z koordinata tizimidagi (1) ifoda quyidagi shaklga ega:
tenglama qayerdan keladi
Ko'pincha biz iboralarni eshitamiz: "inert", "inersiya bilan harakat", "inersiya momenti". Ko'chma ma'noda "inertsiya" so'zini tashabbus va harakatning etishmasligi deb talqin qilish mumkin. Biz to'g'ridan-to'g'ri ma'noga qiziqamiz.
Inertsiya nima
Ta'rifi bo'yicha inertsiya fizikada bu jismlarning tashqi kuchlar bo'lmaganda dam olish yoki harakat holatini saqlab turish qobiliyatidir.
Agar inertsiya tushunchasi bilan hamma narsa intuitiv darajada aniq bo'lsa, unda inersiya momenti- alohida masala. Qabul qiling, bu nima ekanligini ongda tasavvur qilish qiyin. Ushbu maqolada siz mavzu bo'yicha asosiy muammolarni qanday hal qilishni o'rganasiz "Inersiya momenti".
Inersiya momentini aniqlash
Maktab o'quv dasturidan ma'lumki massa - jismning inertsiyasining o'lchovidir. Agar biz har xil massadagi ikkita aravani tursak, unda og'irroq bo'lganini to'xtatish qiyinroq bo'ladi. Ya'ni, massa qanchalik katta bo'lsa, tananing harakatini o'zgartirish uchun tashqi ta'sir qanchalik katta bo'lsa. Misoldagi arava to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlansa, tarjima harakati nazarda tutiladi.
Ommaviy va translyatsion harakatga o'xshab, inersiya momenti o'q atrofida aylanish harakati paytida tananing inertsiyasining o'lchovidir.
Inersiya momenti- skalyar fizik kattalik, o'q atrofida aylanish paytidagi jismning inertsiya o'lchovi. Harf bilan belgilanadi J va tizimda SI kilogrammda o'lchangan kvadrat metrga ko'paytiriladi.
Inersiya momentini qanday hisoblash mumkin? Har qanday jismning inersiya momenti fizikada hisoblab chiqiladigan umumiy formula mavjud. Agar tana cheksiz kichik massa bo'laklariga bo'lingan bo'lsa dm , u holda inersiya momenti bu elementar massalar mahsuloti yig'indisiga va aylanish o'qiga bo'lgan masofaning kvadratiga teng bo'ladi.
Bu fizikada inersiya momentining umumiy formulasi. Moddiy massa nuqtasi uchun m , masofada o'q atrofida aylanish r undan bu formula quyidagi shaklni oladi:
Shtayner teoremasi
Inersiya momenti nimaga bog'liq? Massadan, aylanish o'qining holati, tananing shakli va o'lchami.
Gyuygens-Shtayner teoremasi juda muhim teorema bo'lib, u ko'pincha masalalarni yechishda qo'llaniladi.
Aytmoqchi! O'quvchilarimiz uchun endi 10% chegirma mavjud
Gyuygens-Shtayner teoremasi quyidagicha ifodalanadi:
Jismning ixtiyoriy o'qqa nisbatan inersiya momenti jismning ixtiyoriy o'qga parallel bo'lgan massa markazidan o'tadigan o'qqa nisbatan inersiya momenti yig'indisiga va tananing massasining kvadratiga ko'paytmasiga teng. eksa orasidagi masofa.
Inersiya momentini topish masalalarini echishda doimiy ravishda integrasiya qilishni istamaydiganlar uchun bu erda muammolarda tez-tez uchraydigan ba'zi bir hil jismlarning inersiya momentlari ko'rsatilgan rasm:
Inersiya momentini topish masalasini yechishga misol
Keling, ikkita misolni ko'rib chiqaylik. Birinchi vazifa - inersiya momentini topish. Ikkinchi vazifa Gyuygens-Shtayner teoremasidan foydalanishdir.
Masala 1. Massasi m va radiusi R bo‘lgan bir jinsli diskning inersiya momentini toping. Aylanish o‘qi disk markazidan o‘tadi.
Yechim:
Diskni cheksiz yupqa halqalarga ajratamiz, ularning radiusi turlicha 0 oldin R va shunday uzuklardan birini ko'rib chiqing. Uning radiusi bo'lsin r, va massa dm. Keyin halqaning inersiya momenti:
Uzukning massasi quyidagicha ifodalanishi mumkin:
Bu yerda dz- uzukning balandligi. Inersiya momenti formulasiga massani almashtiring va integrallang:
Natijada absolyut yupqa disk yoki silindrning inersiya momenti formulasi hosil bo‘ldi.
Masala 2. Yana massasi m va radiusi R bo'lgan disk bo'lsin. Endi diskning radiuslaridan birining o'rtasidan o'tuvchi o'qqa nisbatan inersiya momentini topishimiz kerak.
Yechim:
Diskning massa markazidan o'tuvchi o'qqa nisbatan inersiya momenti oldingi masaladan ma'lum. Biz Shtayner teoremasini qo'llaymiz va topamiz:
Aytgancha, bizning blogimizda fizika va boshqa foydali materiallarni topishingiz mumkin.
Umid qilamizki, siz maqolada foydali narsalarni topasiz. Inertsiya tensorini hisoblash jarayonida qiyinchiliklar mavjud bo'lsa, talaba xizmati haqida unutmang. Bizning mutaxassislarimiz har qanday masala bo'yicha maslahat berishadi va muammoni bir necha daqiqada hal qilishga yordam beradi.
Endi muammoni ko'rib chiqing inersiya momentini aniqlash turli organlar. General inersiya momentini topish formulasi z o'qiga nisbatan ob'ekt shaklga ega
Boshqacha qilib aytganda, siz barcha massalarni qo'shishingiz kerak, ularning har birini o'qdan masofaning kvadratiga ko'paytirasiz (x 2 i + y 2 i). E'tibor bering, bu hatto uch o'lchamli tana uchun ham amal qiladi, garchi masofa bunday "ikki o'lchovli ko'rinishga" ega bo'lsa ham. Biroq, ko'p hollarda biz o'zimizni ikki o'lchovli jismlar bilan cheklaymiz.
Oddiy misol sifatida, uning uchidan o'tuvchi va unga perpendikulyar o'q atrofida aylanadigan novdani ko'rib chiqing (19.3-rasm). Endi biz x masofaning kvadratlariga ko'paytirilgan barcha massalarni yig'ishimiz kerak (bu holda, barcha y nolga teng). Yig'indi deganda, albatta, x 2 ning massa "elementlari" ga ko'paytirilgan integralini nazarda tutyapman. Agar tayoqchani dx uzunlikdagi bo‘laklarga bo‘lsak, unda mos keladigan massa elementi dx ga proporsional bo‘ladi, agar dx butun novda uzunligi bo‘lsa, uning massasi M ga teng bo‘ladi.
Inertsiya momentining o'lchami har doim massaning uzunlik kvadratiga tengdir, shuning uchun biz hisoblagan yagona muhim qiymat 1/3 omil hisoblanadi.
Va agar aylanish o'qi novda o'rtasidan o'tsa, inersiya momenti I qanday bo'ladi? Uni topish uchun biz yana integralni olishimiz kerak, lekin allaqachon -1/2L dan +1/2L gacha. Biroq, bu ishning bir xususiyatiga e'tibor bering. O'qi markazdan o'tadigan bunday tayoqni uchidan o'tadigan o'qi bo'lgan ikkita novda deb hisoblash mumkin, har birining massasi M / 2 va uzunligi L / 2 ga teng. Ikkita shunday tayoqning inersiya momentlari bir-biriga teng va (19.5) formula bilan hisoblanadi. Demak, butun tayoqning inersiya momenti
Shunday qilib, novda oxiriga qaraganda o'rtada burish osonroq bo'ladi.
Albatta, bizni qiziqtirgan boshqa jismlarning inersiya momentlarini hisoblashni davom ettirish mumkin. Ammo bunday hisob-kitoblar integrallarni hisoblashda katta tajribani talab qilganligi sababli (bu o'z-o'zidan juda muhim), ular bizni unchalik qiziqtirmaydi. Biroq, bu erda juda qiziqarli va foydali teoremalar mavjud. Bir oz tana bo'lsin va biz buni bilishni xohlaymiz ba'zi o'qqa nisbatan inersiya momenti. Bu shuni anglatadiki, biz ushbu o'q atrofida aylanayotganda uning inertsiyasini topmoqchimiz. Agar tanani o'q atrofida aylanish paytida aylanmasligi uchun uning massa markazini qo'llab-quvvatlovchi novda bilan harakatlantirsak (bu holda unga inersiya kuchlari momentlari ta'sir qilmaydi, shuning uchun biz uni harakatga keltirganimizda tana burilmaydi). , keyin uni burish uchun, xuddi barcha massa massa markazida to'plangan va inersiya momenti oddiygina I 1 = MR 2 c.m ga teng bo'lgandek, xuddi shunday kuch kerak. , bu erda R c.m - massa markazidan aylanish o'qigacha bo'lgan masofa. Biroq, bu formula, albatta, noto'g'ri. Bu tananing to'g'ri inersiya momentini bermaydi. Axir, aslida, burilish paytida tana aylanadi. Faqat massa markazi aylanmaydi (bu I 1 qiymatini beradi), tananing o'zi ham massa markaziga nisbatan aylanishi kerak. Shunday qilib, I 1 inersiya momentiga I c - massa markaziga nisbatan inersiya momentini qo'shish kerak. To'g'ri javob shundaki, har qanday o'qga nisbatan inersiya momenti
Bu teorema parallel o'qni ko'chirish teoremasi deb ataladi. Bu juda oson isbotlangan. Har qanday o'qga nisbatan inersiya momenti x va y kvadratlari yig'indisiga ko'paytirilgan massalar yig'indisiga teng, ya'ni I \u003d Sm i (x 2 i + y 2 i). Endi e'tiborimizni x ga qaratamiz, lekin y haqida ham shunday deyish mumkin. x-koordinatasi berilgan ma'lum nuqtaning koordinata boshidan masofasi bo'lsin; keling, ko'rib chiqaylik, agar biz bosh nuqtadan x o'rniga massa markazidan x` masofani o'lchasak, narsalar qanday o'zgaradi. Buni bilish uchun biz yozishimiz kerak
x i = x` i + X c.m.
Ushbu ifodani kvadratga aylantirib, topamiz
x 2 i = x` 2 i + 2X c.m. x` i + X 2 sm.
Agar siz uni m i ga ko'paytirsangiz va yig'indini barcha r ga ko'paytirsangiz nima bo'ladi? Yig'indi belgisidan doimiylarni olib, topamiz
I x = Sm i x` 2 i + 2X c.m. Sm i x` i + X2 c.m. m i
Uchinchi summani hisoblash oson; bu shunchaki MX 2 ts.m. . Ikkinchi a'zo ikki omildan iborat bo'lib, ulardan biri Sm i x` i; u massa markazining x`-koordinatasiga teng. Lekin bu nolga teng bo'lishi kerak, chunki x` massa markazidan o'lchanadi va bu koordinatalar tizimida barcha zarrachalarning massalari bo'yicha og'irlikdagi o'rtacha holati nolga teng. Birinchi had, aniqki, I c dan x ning bir qismidir. Shunday qilib, (19.7) formulaga kelamiz.
(19.7) formulani bitta misol bilan tekshiramiz. Keling, bu tayoq uchun qo'llanilishini tekshirib ko'raylik. Biz allaqachon novda uchiga nisbatan inersiya momenti ML 2/3 ga teng bo'lishi kerakligini aniqladik. Va tayoqning massa markazi, albatta, L / 2 masofada joylashgan. Shunday qilib, biz ML 2 /3=ML 2 /12+M(L/2) 2 ni olishimiz kerak. To'rtdan biri + o'n ikkidan biri = uchdan biri ekan, biz hech qanday qo'pol xato qilmadik.
Aytgancha, inersiya momentini (19.5) topish uchun integralni hisoblash umuman shart emas. Oddiy qilib aytganda, u ML 2 qiymatining ba'zi bir noma'lum g koeffitsientiga ko'paytirilganiga teng deb taxmin qilish mumkin. Shundan so'ng, ikkita yarmi haqida fikr yuritish va inersiya momenti uchun 1/4g koeffitsientini olish mumkin (19.6). Endi parallel o'qni ko'chirish teoremasidan foydalanib, g=1/4g + 1/4 ekanligini isbotlaymiz, buning natijasida g=1/3. Siz har doim aylanma yo'l topishingiz mumkin!
Parallel o'q teoremasini qo'llashda I o'qi biz inersiya momentini hisoblamoqchi bo'lgan o'qga parallel bo'lishi kerakligini yodda tutish kerak.
Ba'zi turdagi jismlarning inertsiya momentini topishda juda foydali bo'lgan yana bir xususiyatni eslatib o'tish kerak. U quyidagilardan iborat: agar bizda tekis figura va koordinata o'qlarining uch karrali koordinatalari shu tekislikda joylashgan bo'lsa va unga perpendikulyar yo'naltirilgan z o'qi bo'lsa, u holda bu raqamning z o'qiga nisbatan inersiya momenti teng bo'ladi. x va y o'qlariga nisbatan inersiya momentlarining yig'indisiga. Bu juda oddiy isbotlangan. e'tibor bering, bu
Masalan, massasi M, eni ō va uzunligi L bo'lgan, unga perpendikulyar bo'lgan va uning markazidan o'tuvchi o'q atrofida bir hil to'rtburchaklar plastinkaning inersiya momenti oddiygina bo'ladi.
plita tekisligida yotgan va uning uzunligiga parallel bo'lgan o'qga nisbatan inersiya momenti Mō 2 /12 ga teng bo'lgani uchun, ya'ni uzunligi ō bo'lgan novda bilan aynan bir xil va boshqa o'qqa nisbatan inersiya momenti bir xil tekislik ML 2 / 12 ga teng, L uzunlikdagi novda bilan bir xil.
Shunday qilib, berilgan o'qqa nisbatan inersiya momentining xossalarini sanab o'tamiz, biz uni z o'qi deb nomlaymiz:
1. Inersiya momenti
2. Agar jism bir necha qismdan iborat bo‘lsa va ularning har birining inersiya momenti ma’lum bo‘lsa, u holda umumiy inersiya momenti shu qismlarning inersiya momentlari yig‘indisiga teng bo‘ladi.
3. Har qanday berilgan o‘qqa nisbatan inersiya momenti massa markazidan o‘tgan parallel o‘qga nisbatan inersiya momentiga, qo‘shimcha ravishda umumiy massaning shu o‘qning massa markazidan masofasining kvadratiga ko‘paytmasiga teng.
4. Yassi figuraning o‘z tekisligiga perpendikulyar o‘qga nisbatan inersiya momenti bu shakl tekisligida yotgan va perpendikulyar o‘q bilan kesishuvchi har qanday boshqa ikkita o‘zaro perpendikulyar o‘qga nisbatan inersiya momentlari yig‘indisiga teng.
Jadvalda. 19.1 bir xil massa zichligiga ega bo'lgan ba'zi elementar figuralarning inersiya momentlari va jadvalda ko'rsatilgan. 19.2 - jadvaldan olinishi mumkin bo'lgan ba'zi raqamlarning inersiya momentlari. 19.1 yuqorida sanab o'tilgan xususiyatlardan foydalangan holda.
Inersiya momenti
Inertsiya momentini hisoblash uchun biz tanani aqliy ravishda etarlicha kichik elementlarga bo'lishimiz kerak, ularning nuqtalari aylanish o'qidan bir xil masofada joylashgan deb hisoblanishi mumkin, so'ngra har bir elementning massasi kvadratiga ko'paytirilishi kerak. uning o'qdan masofasini va nihoyat, barcha hosil bo'lgan mahsulotlarni yig'ing. Shubhasiz, bu juda mashaqqatli ish. Hisoblash uchun
muntazam geometrik shakldagi jismlarning inersiya momentlari, ayrim hollarda integral hisoblash usullaridan foydalanish mumkin.
Tananing elementlari inersiya momentlarining chekli yig‘indisini topish cheksiz kichik elementlar uchun hisoblangan cheksiz sonli inersiya momentlarining yig‘indisi bilan almashtiriladi:
lim i = 1 ∞ SDm i r i 2 = ∫r 2 dm. (da ∆m → 0).
Bir jinsli disk yoki balandligi bo'lgan qattiq silindrning inersiya momentini hisoblaylik h uning simmetriya o'qi haqida
Diskni uning simmetriya o'qiga markazlashgan ingichka konsentrik halqalar ko'rinishidagi elementlarga ajratamiz. Olingan halqalar ichki diametrga ega r va tashqi r + dr, va balandligi h. Chunki dr<< r
, keyin halqaning barcha nuqtalarining o'qdan masofasi deb taxmin qilishimiz mumkin r.
Har bir alohida halqa uchun inersiya momenti
i = SDmr 2 = r 2 SDm,
qayerda SDm butun halqaning massasi.
Qo'ng'iroq tovushi 2prhdr. Disk materialining zichligi bo'lsa ρ
, keyin halqaning massasi
r2prhdr.
Halqali inersiya momenti
i = 2p soat 3dr.
Butun diskning inersiya momentini hisoblash uchun diskning markazidan halqalarning inersiya momentlarini yig'ish kerak ( r = 0) chetiga ( r = R), ya'ni integralni hisoblang:
I = 2prh 0 R ∫r 3dr,
yoki
I = (1/2)prhR 4.
Ammo diskning massasi m = rhR 2, shuning uchun,
I = (1/2)mR 2.
Biz bir hil materiallardan yasalgan muntazam geometrik shakldagi ba'zi jismlar uchun inersiya momentlarini (hisoblashsiz) keltiramiz. 
1.
Yupqa halqaning markazidan o'z tekisligiga perpendikulyar bo'lgan o'qga nisbatan inersiya momenti (yoki uning simmetriya o'qiga nisbatan ingichka devorli ichi bo'sh silindr):
I = mR 2.
2.
Qalin devorli silindrning simmetriya o'qiga nisbatan inersiya momenti:
I = (1/2)m(R 1 2 - R 2 2)
qayerda R1- ichki va R2− tashqi radiuslar.
3.
Diskning o'qga nisbatan inersiya momenti uning diametrlaridan biriga to'g'ri keladi:
I = (1/4)mR 2.
4.
Qattiq silindrning avlodga perpendikulyar bo'lgan va uning o'rtasidan o'tadigan o'qga nisbatan inersiya momenti:
I \u003d m (R 2/4 + h 2/12)
qayerda R- silindr asosining radiusi, h tsilindrning balandligi.
5.
Yupqa tayoqning o'rtasidan o'tadigan o'qga nisbatan inersiya momenti:
I = (1/12) ml 2,
qayerda l novda uzunligi.
6.
Yupqa tayoqning uchlaridan biridan o'tuvchi o'qga nisbatan inersiya momenti:
I = (1/3) ml 2
7. Sharning diametrlaridan biriga to‘g‘ri keladigan o‘qga nisbatan inersiya momenti:
I = (2/5) mR 2.
Agar jismning massa markazidan o'tuvchi o'qqa nisbatan inersiya momenti ma'lum bo'lsa, u holda birinchisiga parallel bo'lgan har qanday boshqa o'qqa nisbatan inersiya momentini Gyuygens-Shtayner teoremasi deb ataladigan narsa asosida topish mumkin.
tananing inertsiya momenti I har qanday o'qga nisbatan tananing inersiya momentiga teng men s berilganiga parallel bo'lgan va tananing massa markazidan o'tadigan o'q atrofida, qo'shimcha ravishda tananing massasi m marta masofaning kvadratiga teng l akslar orasida:
I \u003d I c + ml 2.
Misol tariqasida radiusli sharning inersiya momentini hisoblaymiz R va vazn m to'xtatib turish nuqtasidan o'tadigan o'qga nisbatan l uzunlikdagi ipga osilgan O. Ipning massasi to'pning massasiga nisbatan kichikdir. To'pning massa markazidan o'tadigan o'qga nisbatan inersiya momentidan boshlab Ic = (2/5)mR 2, va masofa
o'qlar orasidagi ( l + R), u holda to'xtatib turish nuqtasidan o'tadigan o'qga nisbatan inersiya momenti:
I = (2/5)mR 2 + m(l + R) 2.
Inersiya momentining o'lchami:
[I] = [m] × = ML 2.
| Parametr nomi | Ma'nosi |
| Maqola mavzusi: | Inersiya momenti |
| Rubrika (tematik toifa) | Mexanika |
O'zgarmas o'qdan r masofada joylashgan m massali moddiy nuqtani ko'rib chiqaylik (26-rasm). Moddiy nuqtaning o‘qga nisbatan J inersiya momenti odatda m massasi va bu o‘qgacha bo‘lgan masofa r kvadratining ko‘paytmasiga teng skalyar fizik miqdor deb ataladi:
J = janob 2(75)
N ta moddiy nuqtalar sistemasining inersiya momenti alohida nuqtalarning inersiya momentlari yig‘indisiga teng bo‘ladi.
(76)
Nuqtaning inersiya momentini aniqlash
Agar massa fazoda uzluksiz taqsimlansa, yig'indisi integrasiya bilan almashtiriladi. Tana dv elementar hajmlarga bo'linadi, ularning har biri dm massasiga ega. Natija quyidagi ifodadir:
(77)
Hajmi bo'yicha bir hil jism uchun zichlik r doimiy bo'lib, elementar massani shaklda yozadi.
dm = rdv, formulani (70) quyidagicha o'zgartiramiz:
(78)
Inersiya momentining o'lchami - kg * m 2.
Jismning inersiya momenti aylanma harakatdagi jismning inertsiyasining o'lchovidir, xuddi jismning massasi uning tarjima harakatidagi inertsiyasining o'lchovidir.
Inersiya momenti - aylanish o'qiga nisbatan massaning taqsimlanishiga qarab, qattiq jismning aylanish harakati paytida inersiya xususiyatlarining o'lchovidir. Boshqacha qilib aytganda, inersiya momenti tananing massasi, shakli, o'lchamlari va aylanish o'qining holatiga bog'liq.
Har qanday jism, uning aylanishidan yoki tinch holatda bo'lishidan qat'i nazar, harakat yoki dam olishdan qat'i nazar, jismning massasi bo'lgani kabi, har qanday o'qqa nisbatan inersiya momentiga ega. Massa singari, inersiya momenti ham qo'shimcha miqdordir.
Ayrim hollarda inersiya momentini nazariy hisoblash juda oddiy. Quyida muntazam geometrik shakldagi ba'zi qattiq jismlarning og'irlik markazidan o'tuvchi o'qga nisbatan inersiya momentlari keltirilgan.
Radiusi R bo'lgan cheksiz tekis diskning disk tekisligiga perpendikulyar o'qga nisbatan inersiya momenti:
Radiusli sharning inersiya momenti R:
Uzunlikdagi tayoqning inersiya momenti L unga perpendikulyar novda o'rtasidan o'tadigan o'qga nisbatan:
Radiusli cheksiz yupqa halqaning inersiya momenti R uning tekisligiga perpendikulyar o'q haqida:
Jismning ixtiyoriy o'qga nisbatan inersiya momenti Shtayner teoremasi yordamida hisoblanadi:
Jismning ixtiyoriy o'qga nisbatan inersiya momenti massa markazidan berilganiga parallel ravishda o'tadigan o'qga nisbatan inersiya momentining yig'indisiga va tananing massasining ko'paytmasi orasidagi masofaning kvadratiga teng. boltalar.
Shtayner teoremasidan foydalanib, uzunlikdagi tayoqning inersiya momentini hisoblaymiz L unga perpendikulyar uchidan o'tadigan o'q haqida (27-rasm).
Rodning inersiya momentini hisoblashga
Shtayner teoremasiga ko'ra, sterjenning O'O' o'qiga nisbatan inersiya momenti OO o'qiga nisbatan inersiya momentiga plyus teng. md 2. Bu erdan biz olamiz:
Shubhasiz: turli o'qlarga nisbatan inersiya momenti bir xil emas, shuning uchun aylanish harakati dinamikasi bo'yicha masalalarni hal qilishda bizni qiziqtiradigan o'qga nisbatan tananing inersiya momentini har safar izlash kerak. alohida. Masalan, aylanuvchi qismlarni o'z ichiga olgan texnik qurilmalarni loyihalashda (temir yo'l transportida, samolyot qurilishida, elektrotexnika va boshqalarda) ushbu qismlarning inertsiya momentlarining qiymatlarini bilish talab qilinadi. Tananing murakkab shakli bilan uning inertsiya momentini nazariy hisoblashni amalga oshirish qiyin bo'lishi mumkin. Bunday hollarda nostandart qismning inersiya momentini empirik tarzda o'lchash afzaldir.
O nuqtaga nisbatan F kuch momenti
Inersiya momenti - tushunchasi va turlari. "Inersiya momenti" toifasining tasnifi va xususiyatlari 2017, 2018.
35-rasm. Jismning C massa markazi orqali ixtiyoriy Cx"y"z" o'qlarini va Cx" o'qining istalgan O nuqtasi orqali - Oxyz o'qlarini Oy½½Sy", Oz½½Cz" o'tkazamiz (35-rasm). ). Biz Cz "va Oz o'qlari orasidagi masofani d bilan belgilaymiz. Keyin, rasmdan ko'rinib turganidek, tananing istalgan nuqtasi uchun yoki, a. O'rnini bosuvchi ... .
Jismning inersiya momenti uning aylanish harakatidagi inertsiyasini belgilovchi kattalikdir. Tarjima harakati dinamikasida jismning inertsiyasi butunlay uning massasi bilan tavsiflanadi. Tananing o'z xususiyatlarining aylanish harakati dinamikasiga ta'siri yanada murakkab bo'lib chiqadi, ... .
Ma’ruza 3. Kuchlar. Moddiy nuqtaning massasi, impulsi va mexanik tizim. Inertial sanoq sistemalarida translatsiya harakatining dinamikasi. Mexanik tizim impulsining o'zgarish qonuni. Impulsning saqlanish qonuni. Dinamika jismlarning harakatini sabablarini hisobga olgan holda o'rganadi, ... .
Qattiq jismning inersiya momenti formulasini tahlil qilaylik. Inersiya momenti 1) tananing massasiga, 2) tananing shakli va o'lchamlariga, 3) aylanish o'qining jismga nisbatan holatiga bog'liq (2-rasm). 2a-rasm.2b Demak, inersiya momenti aylanma harakat paytidagi jism inertsiyasining o'lchovidir,... .
Har qanday o'qga nisbatan inersiya momenti berilganga parallel bo'lgan markaziy o'qga nisbatan inersiya momentiga, shuningdek, rasmning maydoni va o'qlar orasidagi masofa kvadratining mahsulotiga tengdir. Formuladan ko'rinib turibdiki, markaziy o'qga nisbatan inersiya momenti momentdan kamroq ...
