Yoki lotinga nisbatan allaqachon hal qilingan yoki ular hosilaga nisbatan echilishi mumkin .

Intervaldagi turdagi differensial tenglamalarning umumiy yechimi X berilgan, bu tenglikning ikkala tomonining integralini olish orqali topish mumkin.

Oling .

Agar noaniq integralning xossalariga nazar tashlasak, kerakli umumiy yechimni topamiz:

y = F(x) + C,

qayerda F(x)- funksiyaning antiderivativlaridan biri f(x) orasida X, a FROM ixtiyoriy doimiydir.

E'tibor bering, ko'pgina vazifalarda interval mavjud X bildirmang. Bu har bir kishi uchun yechim topilishi kerakligini anglatadi. x, qaysi uchun va kerakli funksiya y, va asl tenglama mantiqiy.

Agar siz boshlang'ich shartni qondiradigan differensial tenglamaning ma'lum bir yechimini hisoblashingiz kerak bo'lsa y(x0) = y0, keyin umumiy integralni hisoblagandan keyin y = F(x) + C, konstantaning qiymatini aniqlash hali ham zarur C=C0 boshlang'ich holatidan foydalanish. Ya'ni, doimiy C=C0 tenglamadan aniqlanadi F(x 0) + C = y 0, va differentsial tenglamaning kerakli maxsus yechimi quyidagi shaklni oladi:

y = F(x) + C0.

Bir misolni ko'rib chiqing:

Differensial tenglamaning umumiy yechimini toping, natijaning to'g'riligini tekshiring. Keling, ushbu tenglamaning dastlabki shartni qanoatlantiradigan ma'lum bir yechimini topamiz.

Yechim:

Berilgan differensial tenglamani integrallagandan so'ng biz quyidagilarga erishamiz:

.

Ushbu integralni qismlar bo'yicha integrallash usuli bilan olamiz:

Bu., differensial tenglamaning umumiy yechimidir.

Natija to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qilish uchun tekshiramiz. Buning uchun biz topilgan yechimni berilgan tenglamaga almashtiramiz:

.

Ya'ni, at asl tenglama identifikatsiyaga aylanadi:

shuning uchun differensial tenglamaning umumiy yechimi to’g’ri aniqlandi.

Biz topgan yechim argumentning har bir haqiqiy qiymati uchun differentsial tenglamaning umumiy yechimidir x.

Dastlabki shartni qondiradigan ODE ning ma'lum bir yechimini hisoblash qoladi. Boshqacha qilib aytganda, doimiyning qiymatini hisoblash kerak FROM, bunda tenglik to'g'ri bo'ladi:

.

.

Keyin, almashtirish C = 2 ODE ning umumiy yechimiga biz differensial tenglamaning dastlabki shartni qanoatlantiradigan ma'lum bir yechimini olamiz:

.

Oddiy differensial tenglama hosilaga nisbatan tenglamaning 2 qismini ga bo‘lish yo‘li bilan yechish mumkin f(x). Bu o'zgartirish ekvivalent bo'ladi, agar f(x) hech biri uchun nolga bormaydi x differensial tenglamani integrallash oralig'idan X.

Vaziyatlar, ehtimol, argumentning ba'zi qiymatlari uchun x ∈ X funktsiyalari f(x) va g(x) bir vaqtning o'zida nolga aylanadi. Shunga o'xshash qiymatlar uchun x differensial tenglamaning umumiy yechimi har qanday funktsiyadir y, ularda belgilangan, chunki .

Agar argumentning ba'zi qiymatlari uchun x ∈ X shart qanoatlansa, demak, bu holda ODE yechimlari yo'q.

Boshqa barcha uchun x intervaldan X o'zgartirilgan tenglamadan differentsial tenglamaning umumiy yechimi aniqlanadi.

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik:

1-misol

Keling, ODE ning umumiy yechimini topamiz: .

Yechim.

Asosiy elementar funktsiyalarning xususiyatlaridan ko'rinib turibdiki, tabiiy logarifm funktsiyasi argumentning salbiy bo'lmagan qiymatlari uchun aniqlangan, shuning uchun ifoda sohasi jurnal (x+3) interval mavjud x > -3 . Demak, berilgan differensial tenglama mantiqiydir x > -3 . Argumentning ushbu qiymatlari bilan ifoda x + 3 yo'qolmaydi, shuning uchun hosilaga nisbatan ODEni 2 qismga bo'lish orqali hal qilish mumkin. x + 3.

olamiz .

Keyinchalik, hosilaga nisbatan echilgan, hosil bo'lgan differentsial tenglamani integrallaymiz: . Ushbu integralni olish uchun biz differentsial belgisi ostida yig'ish usulidan foydalanamiz.

6.1. ASOSIY TUSHUNCHALAR VA TA’RIFLAR

Matematika va fizika, biologiya va tibbiyotning turli muammolarini hal qilishda ko'pincha o'rganilayotgan jarayonni tavsiflovchi o'zgaruvchilarni bog'laydigan formulalar shaklida funktsional bog'liqlikni darhol aniqlash mumkin emas. Odatda, mustaqil o'zgaruvchi va noma'lum funktsiyadan tashqari, uning hosilalarini ham o'z ichiga olgan tenglamalardan foydalanish kerak.

Ta'rif. Mustaqil o'zgaruvchi, noma'lum funksiya va uning turli tartibli hosilalari bilan bog'liq tenglama deyiladi. differensial.

Noma'lum funktsiya odatda belgilanadi y(x) yoki oddiygina y, va uning hosilalari y", y" va hokazo.

Boshqa belgilar ham mumkin, masalan: agar y= x(t), keyin x"(t), x""(t) uning hosilalari va t mustaqil oʻzgaruvchidir.

Ta'rif. Agar funktsiya bitta o'zgaruvchiga bog'liq bo'lsa, differentsial tenglama oddiy deyiladi. Umumiy shakl oddiy differensial tenglama:

yoki

Funksiyalar F va f ba'zi argumentlarni o'z ichiga olmaydi, lekin tenglamalar differentsial bo'lishi uchun hosilaning mavjudligi muhim ahamiyatga ega.

Ta'rif.Differensial tenglamaning tartibi- unga kiritilgan eng yuqori hosilaning tartibi.

Masalan, x 2 y"- y= 0, y" + gunoh x= 0 birinchi tartibli tenglamalar, va y"+ 2 y"+ 5 y= x ikkinchi tartibli tenglamadir.

Differensial tenglamalarni yechishda ixtiyoriy doimiyning paydo bo'lishi bilan bog'liq bo'lgan integratsiya operatsiyasi qo'llaniladi. Agar integratsiya harakati qo'llanilsa n marta, keyin, aniq, yechim o'z ichiga oladi n ixtiyoriy konstantalar.

6.2. BIRINCHI TARTIBI DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR

Umumiy shakl birinchi tartibli differentsial tenglama ifoda bilan aniqlanadi

Tenglama aniq o'z ichiga olmaydi x va y, lekin majburiy ravishda y ni o'z ichiga oladi".

Agar tenglamani quyidagicha yozish mumkin bo'lsa

keyin hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamani olamiz.

Ta'rif. Birinchi tartibli (6.3) (yoki (6.4)) differensial tenglamaning umumiy yechimi yechimlar to‘plamidir. , qayerda FROM ixtiyoriy doimiydir.

Differensial tenglamani yechish grafigi deyiladi integral egri chiziq.

Ixtiyoriy doimiyni berish FROM turli qiymatlar, muayyan echimlarni olish mumkin. Sirtda xOy umumiy yechim har bir alohida yechimga mos keladigan integral egri chiziqlar oilasidir.

Agar siz nuqta qo'ysangiz A (x 0 , y 0), u orqali integral egri chiziq o'tishi kerak, keyin, qoida tariqasida, funktsiyalar to'plamidan birini ajratib ko'rsatish mumkin - ma'lum bir yechim.

Ta'rif.Shaxsiy qaror Differensial tenglamaning ixtiyoriy konstantalarni o'z ichiga olmaydigan yechimi.

Agar a umumiy yechimdir, keyin shartdan

doimiy topishingiz mumkin FROM. Shart deyiladi boshlang'ich holati.

Dastlabki shartni qanoatlantiradigan (6.3) yoki (6.4) differensial tenglamaning muayyan yechimini topish masalasi. da chaqirdi Koshi muammosi. Bu muammo har doim yechimga egami? Javob quyidagi teoremada keltirilgan.

Koshi teoremasi(yechimning mavjudligi va yagonaligi teoremasi). Differensial tenglamada bo'lsin y"= f(x, y) funktsiyasi f(x, y) va u

qisman hosila ba'zilarida aniqlangan va uzluksiz

hududlar D, nuqtani o'z ichiga oladi Keyin hududda D mavjud

boshlang'ich shartni qanoatlantiradigan tenglamaning yagona yechimi da

Koshi teoremasi ma'lum sharoitlarda yagona integral egri chiziq mavjudligini bildiradi y= f(x), nuqtadan o'tish Teorema shartlari bajarilmaydigan nuqtalar

Mushuklar chaqiriladi maxsus. Bu nuqtalarda tanaffuslar f(x, y) yoki.

Yoki bir nechta integral egri chiziqlar bir nuqtadan o'tadi yoki hech biri.

Ta'rif. Agar eritma (6.3), (6.4) shaklida topilsa f(x, y, c) y ga nisbatan = 0 ruxsat berilmaydi, keyin chaqiriladi umumiy integral differensial tenglama.

Koshi teoremasi faqat yechim mavjudligini kafolatlaydi. Yechimni topishning yagona usuli yo'qligi sababli, biz faqat integrallanadigan birinchi tartibli differensial tenglamalarning ayrim turlarini ko'rib chiqamiz. kvadratlar.

Ta'rif. Differensial tenglama deyiladi kvadratlarda integrallash mumkin, agar uning yechimini izlash funksiyalarni integratsiyalashuviga qisqartirilsa.

6.2.1. Ajraladigan o'zgaruvchilarga ega birinchi tartibli differentsial tenglamalar

Ta'rif. Birinchi tartibli differentsial tenglama bilan tenglama deyiladi ajratiladigan o'zgaruvchilar,

(6.5) tenglamaning o'ng tomoni har biri faqat bitta o'zgaruvchiga bog'liq bo'lgan ikkita funktsiyaning mahsulotidir.

Masalan, tenglama ajratuvchi tenglama hisoblanadi

o'zgaruvchan o'zgaruvchilar
va tenglama

(6.5) shaklida ifodalanishi mumkin emas.

Sharti bilan; inobatga olgan holda , (6.5) ni quyidagicha qayta yozamiz

Ushbu tenglamadan biz ajratilgan o'zgaruvchilarga ega differentsial tenglamani olamiz, bunda differentsiallar faqat mos keladigan o'zgaruvchiga bog'liq bo'lgan funktsiyalarni o'z ichiga oladi:

Atama bo'yicha integratsiya, biz bor

bu erda C = C 2 - C 1 ixtiyoriy doimiydir. (6.6) ifoda (6.5) tenglamaning bosh integralidir.

(6.5) tenglamaning ikkala qismini ga bo'lsak, biz yechimlarni yo'qotishimiz mumkin, buning uchun: Haqiqatan ham, agar da

keyin (6.5) tenglamaning yechimi ekanligi aniq.

1-misol Tenglamaning qanoatlantiruvchi yechimini toping

shart: y= 6 da x= 2 (y(2) = 6).

Yechim. Keling, almashtiramiz da" o'shanda . Ikkala tomonni ko'paytiring

dx, chunki keyingi integratsiyada ketish mumkin emas dx maxrajda:

va keyin ikkala qismga bo'linadi tenglamani olamiz,

birlashtirilishi mumkin. Biz birlashtiramiz:

Keyin ; potentsiallash, biz y = C ni olamiz. (x + 1) - ob-

yechim.

Dastlabki ma'lumotlarga asoslanib, ularni umumiy yechimga almashtirib, ixtiyoriy doimiyni aniqlaymiz

Nihoyat, olamiz y= 2(x + 1) muayyan yechimdir. Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan tenglamalarni echishning yana bir nechta misollarini ko'rib chiqing.

2-misol Tenglamaning yechimini toping

Yechim. Sharti bilan; inobatga olgan holda , olamiz .

Tenglamaning ikkala tomonini integrallash, biz bor

qayerda

3-misol Tenglamaning yechimini toping Yechim. Biz tenglamaning ikkala qismini differentsial belgisi ostidagi o'zgaruvchiga to'g'ri kelmaydigan o'zgaruvchiga bog'liq bo'lgan omillarga ajratamiz, ya'ni. va integratsiya. Keyin olamiz

va nihoyat,

4-misol Tenglamaning yechimini toping

Yechim. Biz nima olishimizni bilish. Bo'lim-

lim o'zgaruvchilari. Keyin

Integratsiyalash, biz olamiz

Izoh. 1 va 2-misollarda kerakli funksiya y aniq ifodalangan (umumiy yechim). 3 va 4-misollarda - bilvosita (umumiy integral). Kelajakda qarorning shakli ko'rsatilmaydi.

5-misol Tenglamaning yechimini toping Yechim.

6-misol Tenglamaning yechimini toping qoniqarli

holat y(e)= 1.

Yechim. Tenglamani shaklda yozamiz

Tenglamaning ikkala tomonini ga ko'paytirish dx va keyin, biz olamiz

Tenglamaning ikkala tomonini integrallash (o'ng tarafdagi integral qismlar tomonidan olinadi), biz olamiz

Lekin shart bilan y= 1 da x= e. Keyin

Topilgan qiymatlarni almashtiring FROM umumiy yechimga:

Olingan ifoda differensial tenglamaning alohida yechimi deyiladi.

6.2.2. Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalar

Ta'rif. Birinchi tartibli differensial tenglama deyiladi bir hil sifatida ifodalanishi mumkin bo'lsa

Biz bir jinsli tenglamani yechish algoritmini keltiramiz.

1. Buning o'rniga y Keyin yangi funktsiyani kiriting va shuning uchun

2. Funksiya jihatidan u(6.7) tenglama shaklni oladi

ya'ni almashtirish bir hil tenglamani ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega tenglamaga qisqartiradi.

3. (6.8) tenglamani yechishda avval u, keyin esa topamiz y= ux.

1-misol tenglamani yeching Yechim. Tenglamani shaklda yozamiz

Biz almashtirishni amalga oshiramiz:
Keyin

Keling, almashtiramiz

dx ga ko'paytiring: ga bo'ling x va yana keyin

Tenglamaning ikkala tomonini mos keladigan o'zgaruvchilarga nisbatan integrallash, biz bor

yoki eski o'zgaruvchilarga qaytsak, biz nihoyat olamiz

2-misoltenglamani yeching Yechim.Mayli keyin

Tenglamaning ikkala tomonini ga bo'ling x2: Qavslarni ochamiz va shartlarni o'zgartiramiz:

Eski o'zgaruvchilarga o'tsak, biz yakuniy natijaga erishamiz:

3-misolTenglamaning yechimini toping shartiga ko'ra

Yechim.Standart almashtirishni amalga oshirish olamiz

yoki

yoki

Shunday qilib, maxsus yechim shaklga ega 4-misol Tenglamaning yechimini toping

Yechim.

5-misolTenglamaning yechimini toping Yechim.

Mustaqil ish

Ajraladigan o‘zgaruvchilarga ega bo‘lgan differensial tenglamalar yechimini toping (1-9).

Bir jinsli differensial tenglamalar yechimini toping (9-18).

6.2.3. Birinchi tartibli differensial tenglamalarning ba'zi qo'llanilishi

Radioaktiv parchalanish muammosi

Vaqtning har bir momentida Ra (radiy) ning parchalanish tezligi uning mavjud massasiga proportsionaldir. Ra ning radioaktiv yemirilish qonunini toping, agar dastlabki momentda Ra borligi va Ra ning yarim yemirilish davri 1590 yil bo'lganligi ma'lum bo'lsa.

Yechim. Ayni paytda Ra massasi bo'lsin x= x(t) g, va Keyin Ra ning parchalanish darajasi

Vazifaga ko'ra

qayerda k

Oxirgi tenglamadagi o'zgaruvchilarni ajratib, integratsiyalash, biz olamiz

qayerda

Aniqlash uchun C biz boshlang'ich shartdan foydalanamiz: .

Keyin va shuning uchun

Proportsionallik omili k qo'shimcha shart asosida aniqlanadi:

Bizda ... bor

Bu yerdan va kerakli formula

Bakteriyalarning ko'payish tezligi muammosi

Bakteriyalarning ko'payish tezligi ularning soniga mutanosibdir. Dastlab 100 ta bakteriya bor edi. 3 soat ichida ularning soni ikki baravar ko'paydi. Bakteriyalar sonining vaqtga bog'liqligini toping. 9 soat ichida bakteriyalar soni necha marta ortadi?

Yechim. Mayli x- hozirgi vaqtda bakteriyalar soni t. Keyin shartga ko'ra,

qayerda k- mutanosiblik koeffitsienti.

Bu yerdan Shartdan ma'lumki . Ma'nosi,

Qo'shimcha shartdan . Keyin

Majburiy funktsiya:

Shunday qilib, da t= 9 x= 800, ya'ni 9 soat ichida bakteriyalar soni 8 marta ko'paydi.

Ferment miqdorini oshirish vazifasi

Pivo xamirturush madaniyatida faol fermentning o'sish tezligi uning boshlang'ich miqdori bilan mutanosibdir. x. Fermentning dastlabki miqdori a bir soat ichida ikki baravar ko'paydi. Qaramlikni toping

x(t).

Yechim. Shartga ko'ra, jarayonning differentsial tenglamasi shaklga ega

bu yerdan

Lekin . Ma'nosi, C= a undan keyin

Bu ham ma'lum

Binobarin,

6.3. IKKINCHI TARTIBLI DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR

6.3.1. Asosiy tushunchalar

Ta'rif.Ikkinchi tartibli differensial tenglama mustaqil oʻzgaruvchi, kerakli funksiya va uning birinchi va ikkinchi hosilalarini bogʻlovchi munosabatdir.

Maxsus holatlarda x tenglamada bo'lmasligi mumkin, da yoki y". Biroq, ikkinchi tartibli tenglamada y" bo'lishi shart. Umumiy holatda ikkinchi tartibli differensial tenglama quyidagicha yoziladi:

yoki iloji bo'lsa, ikkinchi hosila uchun ruxsat etilgan shaklda:

Birinchi tartibli tenglamada bo'lgani kabi, ikkinchi tartibli tenglama ham umumiy va xususiy yechimga ega bo'lishi mumkin. Umumiy yechim quyidagicha ko'rinadi:

Shaxsiy yechim topish

boshlang'ich sharoitlarda - berilgan

raqam) chaqiriladi Koshi muammosi. Geometrik jihatdan bu integral egri chiziqni topish talab qilinishini bildiradi da= y(x), berilgan nuqtadan o'tish va bu nuqtada bir tangens ega, qaysi haqida

musbat eksa yo'nalishi bo'lgan vilkalar ho'kiz berilgan burchak. e. (6.1-rasm). Koshi muammosi yagona yechimga ega, agar (6.10) tenglamaning o'ng tomoni bo'lsa, oldindan

uzluksiz va ga nisbatan uzluksiz qisman hosilalarga ega u, u" boshlang'ich nuqtasining ba'zi bir mahallasida

Doimiy topish uchun ma'lum bir yechimga kiritilgan, tizimga ruxsat berish kerak

Guruch. 6.1. integral egri chiziq

I. Oddiy differensial tenglamalar

1.1. Asosiy tushunchalar va ta'riflar

Differensial tenglama mustaqil o'zgaruvchini bog'laydigan tenglamadir x, kerakli funksiya y va uning hosilalari yoki differentsiallari.

Differensial tenglama ramziy ravishda quyidagicha yoziladi:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0

Agar kerakli funktsiya bitta mustaqil o'zgaruvchiga bog'liq bo'lsa, differentsial tenglama oddiy deyiladi.

Differensial tenglamani yechish orqali bu tenglamani o'ziga xoslikka aylantiruvchi funksiya deyiladi.

Differensial tenglamaning tartibi- bu tenglamadagi eng yuqori hosilaning tartibi

Misollar.

1. Birinchi tartibli differentsial tenglamani ko'rib chiqing

Bu tenglamaning yechimi y = 5 ln x funksiyadir. Haqiqatan ham, almashtirish orqali y" tenglamaga kirib, biz - o'ziga xoslikni olamiz.

Bu esa y = 5 ln x– funksiyasi bu differentsial tenglamaning yechimi ekanligini bildiradi.

2. Ikkinchi tartibli differensial tenglamani ko'rib chiqaylik y" - 5y" + 6y = 0. Funktsiya bu tenglamaning yechimidir.

Haqiqatan ham, .

Bu ifodalarni tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz: , - o'ziga xoslik.

Va bu funktsiya bu differentsial tenglamaning yechimi ekanligini anglatadi.

Differensial tenglamalarni integrallash differensial tenglamalar yechimlarini topish jarayonidir.

Differensial tenglamaning umumiy yechimi shaklning funksiyasi deyiladi , bu tenglamaning tartibi kabi ko'plab mustaqil ixtiyoriy doimiylarni o'z ichiga oladi.

Differensial tenglamaning qisman yechimi ixtiyoriy konstantalarning turli sonli qiymatlari uchun umumiy yechimdan olingan yechim deyiladi. Ixtiyoriy konstantalarning qiymatlari argument va funktsiyaning ma'lum boshlang'ich qiymatlarida topiladi.

Differensial tenglamaning muayyan yechimining grafigi deyiladi integral egri chiziq.

Misollar

1. Birinchi tartibli differensial tenglamaning muayyan yechimini toping

xdx + ydy = 0, agar y= 4 da x = 3.

Yechim. Tenglamaning ikkala tomonini integrallash orqali biz olamiz

Izoh. Integratsiya natijasida olingan ixtiyoriy doimiy S ni keyingi transformatsiyalar uchun qulay bo'lgan har qanday shaklda ifodalash mumkin. Bunday holda, aylananing kanonik tenglamasini hisobga olgan holda, ixtiyoriy doimiy S ni shaklda ifodalash qulaydir.

differensial tenglamaning umumiy yechimidir.

Dastlabki shartlarni qanoatlantiradigan tenglamaning alohida yechimi y = 4 da x = 3 boshlangich shartlarni umumiy yechimga almashtirish orqali umumiydan topiladi: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Umumiy yechimga C=5 ni almashtirsak, olamiz x2+y2 = 5 2 .

Bu berilgan boshlang'ich sharoitlarda umumiy yechimdan olingan differensial tenglamaning alohida yechimidir.

2. Differensial tenglamaning umumiy yechimini toping

Bu tenglamaning yechimi har qanday funktsiya shaklida bo'ladi, bu erda C ixtiyoriy doimiydir. Haqiqatan ham, tenglamalarni almashtirib, biz quyidagilarni olamiz: , .

Shuning uchun, bu differentsial tenglama cheksiz ko'p echimlarga ega, chunki doimiy C ning turli qiymatlari uchun tenglik tenglamaning turli echimlarini aniqlaydi.

Masalan, to'g'ridan-to'g'ri almashtirish orqali funktsiyalarni tekshirish mumkin tenglamaning yechimlaridir.

Tenglamaning ma'lum bir yechimini topish talab qilinadigan masala y" = f(x, y) dastlabki shartni qondirish y(x0) = y0, Koshi muammosi deb ataladi.

Tenglama yechimi y" = f(x, y), dastlabki shartni qondirish, y(x0) = y0, Koshi muammosining yechimi deyiladi.

Koshi muammosining yechimi oddiy geometrik ma'noga ega. Darhaqiqat, ushbu ta'riflarga ko'ra, Koshi muammosini hal qilish y" = f(x, y) shartiga ko'ra y(x0) = y0, tenglamaning integral egri chizig'ini topishni bildiradi y" = f(x, y) ma'lum bir nuqtadan o'tadi M0 (x0,y 0).

II. Birinchi tartibli differensial tenglamalar

2.1. Asosiy tushunchalar

Birinchi tartibli differentsial tenglama shakldagi tenglamadir F(x,y,y") = 0.

Birinchi tartibli differentsial tenglama birinchi hosilani o'z ichiga oladi va yuqori tartibli hosilalarni o'z ichiga olmaydi.

Tenglama y" = f(x, y) hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli tenglama deyiladi.

Birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi bitta ixtiyoriy doimiyni o'z ichiga olgan ko'rinishdagi funktsiyadir.

Misol. Birinchi tartibli differentsial tenglamani ko'rib chiqing.

Bu tenglamaning yechimi funktsiyadir.

Darhaqiqat, ushbu tenglamani uning qiymati bilan almashtirib, biz olamiz

ya'ni 3x = 3x

Demak, funksiya har qanday doimiy C uchun tenglamaning umumiy yechimidir.

Ushbu tenglamaning dastlabki shartni qanoatlantiradigan muayyan yechimini toping y(1)=1 Dastlabki shartlarni almashtirish x=1, y=1 tenglamaning umumiy yechimiga, biz qaerdan olamiz C=0.

Shunday qilib, biz ushbu tenglamani, natijada olingan qiymatni almashtirish orqali umumiy echimdan ma'lum bir yechimni olamiz C=0 shaxsiy qarordir.

2.2. Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan differensial tenglamalar

Ajraladigan o'zgaruvchilarga ega bo'lgan differentsial tenglama quyidagi shakldagi tenglamadir: y"=f(x)g(y) yoki differentsiallar orqali, bu erda f(x) va g(y) funksiyalar berilgan.

Ular uchun y, buning uchun tenglama y"=f(x)g(y) tenglamaga teng qaysi o'zgaruvchi y faqat chap tomonda, x o'zgaruvchisi esa faqat o'ng tomonda mavjud. Ular shunday deyishadi: "tenglamada y"=f(x)g(y o'zgaruvchilarni ajratish.

Tenglama turi ajratilgan o'zgaruvchan tenglama deyiladi.

Tenglamaning ikkala qismini birlashtirgandan so'ng yoqilgan x, olamiz G(y) = F(x) + C tenglamaning umumiy yechimidir, bu yerda G(y) va F(x) mos ravishda funktsiyalarning ba'zi antiderivativlari va f(x), C ixtiyoriy doimiy.

Ajraladigan o‘zgaruvchilarga ega bo‘lgan birinchi tartibli differensial tenglamani yechish algoritmi

1-misol

tenglamani yeching y" = xy

Yechim. Funktsiyaning hosilasi y" bilan almashtiring

o'zgaruvchilarni ajratamiz

Keling, tenglikning ikkala qismini birlashtiramiz:

2-misol

2yy" = 1- 3x 2, agar y 0 = 3 da x0 = 1

Bu ajratilgan o'zgaruvchan tenglama. Keling, uni differentsiallarda ifodalaylik. Buning uchun biz ushbu tenglamani shaklda qayta yozamiz Bu yerdan

Oxirgi tenglikning ikkala qismini birlashtirib, topamiz

Dastlabki qiymatlarni almashtirish x 0 = 1, y 0 = 3 toping FROM 9=1-1+C, ya'ni. C = 9.

Shuning uchun, kerakli qisman integral bo'ladi yoki

3-misol

Nuqtadan o‘tuvchi egri chiziq uchun tenglamani yozing M(2;-3) va qiyalik bilan tangensga ega bo'lish

Yechim. Shartga ko'ra

Bu ajratiladigan o'zgaruvchan tenglama. O'zgaruvchilarni bo'linib, biz quyidagilarni olamiz:

Tenglamaning ikkala qismini birlashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

Dastlabki shartlardan foydalanib, x=2 va y=-3 toping C:

Shuning uchun kerakli tenglama shaklga ega

2.3. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar

Birinchi tartibli chiziqli differentsial tenglama shakldagi tenglamadir y" = f(x)y + g(x)

qayerda f(x) va g(x)- ba'zi berilgan funktsiyalar.

Agar a g(x)=0 u holda chiziqli differentsial tenglama bir hil deb ataladi va quyidagi ko'rinishga ega: y" = f(x)y

Agar u holda tenglama y" = f(x)y + g(x) heterojen deb ataladi.

Chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi y" = f(x)y formula bilan berilgan: bu yerda FROM ixtiyoriy doimiydir.

Xususan, agar C \u003d 0, keyin yechim y=0 Agar chiziqli bir hil tenglama shaklga ega bo'lsa y" = ky qayerda k ba'zi doimiy bo'lsa, uning umumiy yechimi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: .

Chiziqli bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimi y" = f(x)y + g(x) formula bilan berilgan ,

bular. mos chiziqli bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi va bu tenglamaning xususiy yechimi yig‘indisiga teng.

Shaklning chiziqli bir hil bo'lmagan tenglamasi uchun y" = kx + b,

qayerda k va b- ba'zi raqamlar va ma'lum bir yechim doimiy funktsiya bo'ladi. Shuning uchun umumiy yechim shaklga ega.

Misol. tenglamani yeching y" + 2y +3 = 0

Yechim. Biz tenglamani shaklda ifodalaymiz y" = -2y - 3 qayerda k=-2, b=-3 Umumiy yechim formula bilan berilgan.

Shuning uchun, bu erda C ixtiyoriy doimiydir.

2.4. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni Bernulli usulida yechish

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini topish y" = f(x)y + g(x) almashtirish yordamida ajratilgan o'zgaruvchilarga ega ikkita differentsial tenglamani echishga qisqartiradi y=uv, qayerda u va v-dan noma'lum funktsiyalar x. Bu yechim usuli Bernulli usuli deb ataladi.

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani yechish algoritmi

y" = f(x)y + g(x)

1. O'zgartirish kiriting y=uv.

2. Ushbu tenglikni farqlang y"=u"v + uv"

3. O‘rinbosar y va y" bu tenglamaga: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) yoki u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Tenglama shartlarini shunday guruhlang u uni qavslardan chiqarib oling:

5. Qavsdan uni nolga tenglashtirib, funksiyani toping

Bu ajraladigan tenglama:

O'zgaruvchilarni ajrating va oling:

Qayerda . .

6. Qabul qilingan qiymatni almashtiring v tenglamaga (4-banddan):

va funksiyani toping Bu ajratiladigan tenglama:

7. Umumiy yechimni quyidagi shaklda yozing: , ya'ni. .

1-misol

Tenglamaning maxsus yechimini toping y" = -2y +3 = 0 agar y=1 da x=0

Yechim. Keling, uni almashtirish bilan hal qilaylik y=uv,.y"=u"v + uv"

O'rnini bosish y va y" bu tenglamani olamiz

Tenglamaning chap tomonidagi ikkinchi va uchinchi hadlarni guruhlab, umumiy omilni chiqaramiz u qavs ichidan

Qavs ichidagi ifodani nolga tenglashtiramiz va hosil bo‘lgan tenglamani yechib, funksiyani topamiz. v = v(x)

Biz ajratilgan o'zgaruvchilar bilan tenglama oldik. Bu tenglamaning ikkala qismini integrallaymiz: Funksiyani toping v:

Olingan qiymatni almashtiring v tenglamani olamiz:

Bu ajratilgan o'zgaruvchan tenglama. Tenglamaning ikkala qismini birlashtiramiz: Funktsiyani topamiz u = u(x,c) Keling, umumiy yechim topamiz: Dastlabki shartlarni qanoatlantiradigan tenglamaning muayyan yechimini topamiz y=1 da x=0:

III. Yuqori tartibli differensial tenglamalar

3.1. Asosiy tushunchalar va ta'riflar

Ikkinchi tartibli differentsial tenglama ikkinchi tartibdan yuqori bo'lmagan hosilalarni o'z ichiga olgan tenglamadir. Umumiy holatda ikkinchi tartibli differensial tenglama quyidagicha yoziladi: F(x,y,y,y") = 0

Ikkinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi ikkita ixtiyoriy konstantani o'z ichiga olgan shaklning funktsiyasidir. C1 va C2.

Ikkinchi tartibli differensial tenglamaning alohida yechimi ixtiyoriy konstantalarning ayrim qiymatlari uchun umumiydan olingan yechimdir. C1 va C2.

3.2. Ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar bilan doimiy nisbatlar.

Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama shakldagi tenglama deyiladi y" + py" + qy = 0, qayerda p va q doimiy qiymatlardir.

Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalarni yechish algoritmi

1. Differensial tenglamani quyidagi shaklda yozing: y" + py" + qy = 0.

2. Belgilab, uning xarakteristik tenglamasini tuzing y" orqali r2, y" orqali r, y 1 da: r2 + pr +q = 0

Birinchi tartibli differensial tenglamalar. Yechim misollari.
Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan differensial tenglamalar

Differensial tenglamalar (DE). Bu ikki so'z odatda oddiy oddiy odamni dahshatga soladi. Differensial tenglamalar ko'p talabalar uchun g'ayritabiiy va o'zlashtirish qiyin narsa bo'lib tuyuladi. Uuuuuu... differensial tenglamalar, men bularning barchasidan qanday omon qolgan bo'lardim?!

Bunday fikr va bunday munosabat tubdan noto'g'ri, chunki aslida DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR ODDIY VA HATTO QIZIQARLI. Differensial tenglamalarni yechish uchun nimani bilishingiz va o'rganishingiz kerak? Diffurlarni muvaffaqiyatli o'rganish uchun siz integratsiya va farqlashni yaxshi bilishingiz kerak. Mavzular qanchalik yaxshi o'rganilsa Bitta o‘zgaruvchili funktsiyaning hosilasi va Noaniq integral, differensial tenglamalarni tushunish osonroq bo'ladi. Ko'proq aytaman, agar sizda ko'proq yoki kamroq munosib integratsiya qobiliyatlari bo'lsa, unda mavzu amalda o'zlashtirilgan! Har xil turdagi integrallar qancha ko'p bo'lsa, shuncha yaxshi. Nega? Siz juda ko'p integratsiya qilishingiz kerak. Va farqlang. Shuningdek juda tavsiya eting topishni o'rganing.

95% hollarda test ishlarida 3 xil birinchi tartibli differentsial tenglamalar mavjud: ajraladigan tenglamalar, biz ushbu darsda ko'rib chiqamiz; bir jinsli tenglamalar va chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamalar. Yangi boshlanuvchilar uchun diffuzerlarni o'rganish uchun men sizga ushbu ketma-ketlikdagi darslarni o'qishni maslahat beraman va dastlabki ikkita maqolani o'qib chiqqandan so'ng, qo'shimcha ustaxonada o'z mahoratingizni mustahkamlash zarar qilmaydi - bir jinsli holga keltiruvchi tenglamalar.

Differensial tenglamalarning bundan ham kam uchraydigan turlari mavjud: umumiy differentsiallardagi tenglamalar, Bernulli tenglamalari va boshqalar. Oxirgi ikki turdan eng muhimi umumiy differentsiallardagi tenglamalardir, chunki men ushbu DEga qo'shimcha ravishda yangi materialni ko'rib chiqyapman - qisman integratsiya.

Agar sizda bir yoki ikki kun qolsa, keyin juda tez tayyorlash uchun u yerda blits kursi pdf formatida.

Shunday qilib, diqqatga sazovor joylar o'rnatildi - keling:

Avval odatiy algebraik tenglamalarni eslaylik. Ular o'zgaruvchilar va raqamlarni o'z ichiga oladi. Eng oddiy misol: . Oddiy tenglamani yechish nimani anglatadi? Bu topishni anglatadi raqamlar to'plami bu tenglamani qanoatlantiradi. Bolalar tenglamasi bitta ildizga ega ekanligini ko'rish oson: . O'yin-kulgi uchun keling, tekshirib ko'raylik, topilgan ildizni tenglamamizga almashtiramiz:

- to'g'ri tenglik olinadi, bu yechim to'g'ri topilganligini bildiradi.

Diffuralar deyarli bir xil tarzda joylashtirilgan!

Differensial tenglama birinchi buyurtma umuman o'z ichiga oladi:
1) mustaqil o'zgaruvchi;
2) bog‘liq o‘zgaruvchi (funksiya);
3) funksiyaning birinchi hosilasi: .

1-tartibdagi ba'zi tenglamalarda "x" yoki (va) "y" bo'lmasligi mumkin, ammo bu muhim emas - muhim Shunday qilib, DUda edi birinchi hosila, va yo'q edi yuqori darajadagi hosilalar - va boshqalar.

Nimani anglatadi ? Differensial tenglamani yechish topishni anglatadi barcha funktsiyalar to'plami bu tenglamani qanoatlantiradi. Bunday funktsiyalar to'plami ko'pincha shaklga ega ( ixtiyoriy doimiydir), bu chaqiriladi differensial tenglamaning umumiy yechimi.

1-misol

Differensial tenglamani yechish

To'liq o'q-dori. Qayerdan boshlash kerak yechim?

Avvalo, lotinni biroz boshqacha shaklda qayta yozishingiz kerak. Ko'pchiligingiz bema'ni va keraksiz deb o'ylagan mashaqqatli yozuvni eslaymiz. Bu diffuzerlarda hukmronlik qiladi!

Ikkinchi bosqichda keling, bu mumkinmi yoki yo'qligini ko'rib chiqaylik ajratilgan o'zgaruvchilar? O'zgaruvchilarni ajratish nimani anglatadi? Taxminan aytganda, chap tomonda ketishimiz kerak faqat "o'yinlar", a o'ng tomonda tashkil qilish faqat x. O'zgaruvchilarni ajratish "maktab" manipulyatsiyasi yordamida amalga oshiriladi: qavslash, belgi o'zgarishi bilan atamalarni qismdan qismga o'tkazish, nisbat qoidasiga ko'ra omillarni qismdan qismga o'tkazish va boshqalar.

Differensiallar va to'liq multiplikatorlar va jangovar harakatlarda faol ishtirokchilar. Ushbu misolda o'zgaruvchilar mutanosiblik qoidasiga ko'ra aylantiruvchi omillar bilan osongina ajratiladi:

O'zgaruvchilar ajratilgan. Chap tomonda - faqat "O'yin", o'ng tomonda - faqat "X".

Keyingi bosqich - differensial tenglamalar integrasiyasi. Bu oddiy, biz ikkala qismga integrallarni osib qo'yamiz:

Albatta, integrallarni olish kerak. Bunday holda, ular jadval shaklida bo'ladi:

Esda tutganimizdek, konstanta har qanday antiderivativga beriladi. Bu yerda ikkita integral bor, lekin doimiyni bir marta yozish kifoya (chunki doimiy + doimiy boshqa doimiyga teng). Ko'pgina hollarda, u o'ng tomonga joylashtiriladi.

To'g'ri aytganda, integrallar olingandan so'ng, differensial tenglama echilgan deb hisoblanadi. Bitta narsa shundaki, bizning "y" "x" orqali ifodalanmaydi, ya'ni yechim taqdim etiladi bilvosita shakl. Differensial tenglamaning yashirin yechimi deyiladi differensial tenglamaning bosh integrali. Ya'ni, umumiy integral.

Ushbu shakldagi javob juda maqbul, ammo yaxshiroq variant bormi? Keling, olishga harakat qilaylik umumiy qaror.

Iltimos, birinchi texnikani eslang, u juda keng tarqalgan va ko'pincha amaliy vazifalarda qo'llaniladi: agar integratsiyadan keyin o'ng tomonda logarifm paydo bo'lsa, u holda ko'p hollarda (lekin har doim ham emas!) logarifm ostida doimiyni yozish ham tavsiya etiladi..

Ya'ni, O'RNIGA yozuvlar odatda yoziladi .

Bu nima uchun kerak? Va "y" ni ifodalashni osonlashtirish uchun. Biz logarifmlar xossasidan foydalanamiz . Ushbu holatda:

Endi logarifmlar va modullarni olib tashlash mumkin:

Funktsiya aniq ko'rsatilgan. Bu umumiy yechim.

Javob: umumiy qaror: .

Ko'pgina differentsial tenglamalarning javoblarini tekshirish juda oson. Bizning holatda, bu juda sodda tarzda amalga oshiriladi, biz topilgan yechimni olamiz va uni farqlaymiz:

Keyin hosilani asl tenglamaga almashtiramiz:

- to'g'ri tenglik olinadi, ya'ni umumiy yechim tekshirilishi kerak bo'lgan tenglamani qondiradi.

Doimiy turli qiymatlarni berish orqali siz cheksiz sonni olishingiz mumkin shaxsiy qarorlar differensial tenglama. Ko'rinib turibdiki, har qanday funktsiyalar, va hokazo. differensial tenglamani qanoatlantiradi.

Ba'zan umumiy yechim chaqiriladi funktsiyalar oilasi. Ushbu misolda umumiy yechim chiziqli funksiyalar turkumi, toʻgʻrirogʻi, toʻgʻri proporsionalliklar oilasi.

Birinchi misolni batafsil muhokama qilgandan so'ng, differentsial tenglamalar bo'yicha bir nechta sodda savollarga javob berish o'rinlidir:

1)Ushbu misolda biz o'zgaruvchilarni ajratishga muvaffaq bo'ldik. Buni har doim qilish mumkinmi? Yo'q har doim emas. Va hatto ko'pincha o'zgaruvchilarni ajratib bo'lmaydi. Masalan, in bir hil birinchi tartibli tenglamalar avval almashtirilishi kerak. Boshqa turdagi tenglamalarda, masalan, birinchi tartibli chiziqli bir hil bo'lmagan tenglamada umumiy yechim topish uchun turli xil hiyla va usullardan foydalanish kerak. Birinchi darsda ko'rib chiqiladigan ajratiladigan o'zgaruvchan tenglamalar differensial tenglamalarning eng oddiy turidir.

2) Differensial tenglamani har doim integrallash mumkinmi? Yo'q har doim emas. Integratsiyalash mumkin bo'lmagan "xushbichim" tenglamani topish juda oson, qo'shimcha ravishda qabul qilib bo'lmaydigan integrallar mavjud. Ammo bunday DElarni taxminan maxsus usullar yordamida hal qilish mumkin. Dalember va Koshi kafolat beradi...

3) Ushbu misolda biz umumiy integral ko'rinishidagi yechimni oldik . Bosh integraldan umumiy yechim topish, ya’ni “y”ni aniq shaklda ifodalash har doim ham mumkinmi? Yo'q har doim emas. Masalan: . Xo'sh, bu erda "y" ni qanday ifodalashim mumkin ?! Bunday hollarda javob umumiy integral sifatida yozilishi kerak. Bundan tashqari, ba'zida umumiy yechim topish mumkin, lekin u shunchalik og'ir va noqulay yozilganki, javobni umumiy integral shaklida qoldirish yaxshiroqdir.

4) ...hozircha yetarlidir. Birinchi misolda biz uchrashdik yana bir muhim nuqta, lekin "qo'g'irchoqlar" ni yangi ma'lumotlarning ko'chkisi bilan qoplamaslik uchun men uni keyingi darsga qoldiraman.

Shoshmaylik. Boshqa oddiy masofadan boshqarish pulti va yana bir tipik yechim:

2-misol

Differensial tenglamaning boshlang‘ich shartni qanoatlantiradigan muayyan yechimini toping

Yechim: shartga ko'ra topish talab qilinadi shaxsiy yechim Berilgan dastlabki shartni qondiradigan DE. Bunday so'roq ham deyiladi Cauchy muammosi.

Birinchidan, biz umumiy yechim topamiz. Tenglamada "x" o'zgaruvchisi yo'q, lekin bu noqulay bo'lmasligi kerak, asosiysi uning birinchi hosilasi bor.

Biz lotinni kerakli shaklda qayta yozamiz:

Shubhasiz, o'zgaruvchilarni bo'lish mumkin, o'g'il bolalar chapga, qizlar o'ngga:

Biz tenglamani integrallaymiz:

Umumiy integral olinadi. Bu erda men urg'u yulduzi bilan doimiyni chizdim, haqiqat shundaki, u tez orada boshqa konstantaga aylanadi.

Endi biz umumiy integralni umumiy yechimga aylantirishga harakat qilamiz (“y” ni aniq ifodalang). Biz eski, yaxshi maktabni eslaymiz: . Ushbu holatda:

Ko'rsatkichdagi doimiylik qandaydir tarzda kosherga o'xshamaydi, shuning uchun u odatda osmondan erga tushiriladi. Batafsil, bu shunday sodir bo'ladi. Darajalar xususiyatidan foydalanib, funktsiyani quyidagicha qayta yozamiz:

Agar doimiy bo'lsa, u holda ham ba'zi doimiy bo'lsa, uni harf bilan qayta belgilang:

Esda tutingki, doimiyning "buzilishi" ikkinchi texnika, bu ko'pincha differensial tenglamalarni yechish jarayonida qo'llaniladi.

Shunday qilib, umumiy yechim: Eksponensial funktsiyalarning bunday yaxshi oilasi.

Yakuniy bosqichda siz berilgan dastlabki shartni qondiradigan ma'lum bir yechim topishingiz kerak. Bu ham oddiy.

Vazifa nima? Olib olish kerak shunday shartni qondirish uchun doimiyning qiymati.

Siz uni turli yo'llar bilan tartibga solishingiz mumkin, lekin eng tushunarli, ehtimol, shunday bo'ladi. Umumiy yechimda "x" o'rniga nolni, "y" o'rniga ikkitani qo'yamiz:



Ya'ni,

Standart dizayn versiyasi:

Endi biz doimiyning topilgan qiymatini umumiy yechimga almashtiramiz:
- bu bizga kerak bo'lgan maxsus yechim.

Javob: shaxsiy yechim:

Keling, tekshirib ko'raylik. Muayyan yechimni tekshirish ikki bosqichni o'z ichiga oladi:

Birinchidan, aniqlangan yechim haqiqatan ham dastlabki shartni qondiradimi yoki yo'qligini tekshirish kerak. "X" o'rniga biz nolni almashtiramiz va nima bo'lishini ko'ramiz:
- ha, haqiqatan ham deuce olindi, demak, boshlang'ich shart qondirilgan.

Ikkinchi bosqich allaqachon tanish. Olingan maxsus yechimni olamiz va hosilani topamiz:

Asl tenglamaga almashtiring:

- to'g'ri tenglik olinadi.

Xulosa: muayyan yechim to'g'ri topilgan.

Keling, yanada mazmunli misollarga o'tamiz.

3-misol

Differensial tenglamani yechish

Yechim: Biz lotinni kerakli shaklda qayta yozamiz:

O'zgaruvchilarni ajratish mumkinmi yoki yo'qligini baholash? mumkin. Ikkinchi atamani belgi o'zgarishi bilan o'ng tomonga o'tkazamiz:

Va biz omillarni mutanosiblik qoidasiga ko'ra aylantiramiz:

O'zgaruvchilar ajratilgan, keling, ikkala qismni ham birlashtiramiz:

Sizni ogohlantirishim kerak, qiyomat kuni keladi. Agar yaxshi o'rganmagan bo'lsangiz noaniq integrallar, bir nechta misollarni hal qildi, keyin boradigan joy yo'q - ularni hozir o'zlashtirishingiz kerak.

Chap tomonning integralini topish oson, kotangentning integrali bilan biz darsda ko'rib chiqqan standart texnika bilan ishlaymiz. Trigonometrik funksiyalarning integrasiyasi o `tgan yili:

O'ng tomonda bizda logarifm bor va mening birinchi texnik tavsiyamga ko'ra, doimiy ham logarifm ostida yozilishi kerak.

Endi biz umumiy integralni soddalashtirishga harakat qilamiz. Bizda faqat logarifmlar borligi sababli, ulardan qutulish juda mumkin (va zarur). Yordamida ma'lum xususiyatlar logarifmlarni maksimal darajada "paketlash". Men batafsil yozaman:

Qadoqlash vahshiyona yirtilib ketish uchun to'liq:

"y" ni ifodalash mumkinmi? mumkin. Ikkala qism ham kvadrat bo'lishi kerak.

Lekin kerak emas.

Uchinchi texnik maslahat: agar umumiy yechimni olish uchun siz kuchga ko'tarishingiz yoki ildiz otishingiz kerak bo'lsa, unda ko `p holatlarda siz bu harakatlardan voz kechishingiz va javobni umumiy integral shaklida qoldirishingiz kerak. Haqiqat shundaki, umumiy yechim shunchaki dahshatli ko'rinadi - katta ildizlar, belgilar va boshqa axlat bilan.

Shuning uchun javobni umumiy integral sifatida yozamiz. Uni shaklda taqdim etish yaxshi shakl hisoblanadi, ya'ni o'ng tomonda, agar iloji bo'lsa, faqat doimiyni qoldiring. Buni qilish shart emas, lekin professorni xursand qilish har doim foydalidir ;-)

Javob: umumiy integral:

! Eslatma: har qanday tenglamaning bosh integrali bir necha usulda yozilishi mumkin. Shunday qilib, agar sizning natijangiz ilgari ma'lum bo'lgan javob bilan mos kelmasa, bu siz tenglamani noto'g'ri hal qilganingizni anglatmaydi.

Bosh integral ham juda oson tekshiriladi, asosiysi topa olishdir aniq belgilangan funksiyaning hosilasi. Keling, javobni farqlaylik:

Ikkala shartni quyidagicha ko'paytiramiz:

Va biz quyidagilarga ajratamiz:

Dastlabki differensial tenglama aniq olingan, demak, umumiy integral to‘g‘ri topilgan.

4-misol

Differensial tenglamaning boshlang‘ich shartni qanoatlantiradigan muayyan yechimini toping. Tekshirishni o'tkazing.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol.

Sizga eslatib o'tamanki, algoritm ikki bosqichdan iborat:
1) umumiy yechim topish;
2) kerakli aniq yechimni topish.

Tekshirish ham ikki bosqichda amalga oshiriladi (2-misoldagi namunaga qarang), sizga kerak:
1) aniqlangan yechimning dastlabki shartga javob berishiga ishonch hosil qiling;
2) muayyan yechim differensial tenglamani umuman qanoatlantirishini tekshiring.

To'liq yechim va javob dars oxirida.

5-misol

Differensial tenglamaning muayyan yechimini toping , dastlabki shartni qondirish. Tekshirishni o'tkazing.

Yechim: Avval umumiy yechim topamiz.Bu tenglamada allaqachon tayyor differensiallar mavjud va bu yechim soddalashtirilganligini bildiradi. O'zgaruvchilarni ajratish:

Biz tenglamani integrallaymiz:

Chapdagi integral jadvalli, o'ngdagi integral olinadi funktsiyani differentsial belgisi ostida yig'ish usuli:

Bosh integral olindi, umumiy yechimni muvaffaqiyatli ifodalash mumkinmi? mumkin. Biz logarifmlarni ikkala tomonga osib qo'yamiz. Ular ijobiy bo'lgani uchun modul belgilari ortiqcha:

(Umid qilamanki, hamma transformatsiyani tushunadi, bunday narsalar allaqachon ma'lum bo'lishi kerak)

Shunday qilib, umumiy yechim:

Keling, berilgan boshlang'ich shartga mos keladigan ma'lum bir yechim topamiz.
Umumiy yechimda "x" o'rniga nolni, "y" o'rniga ikkita logarifmini qo'yamiz:

Ko'proq tanish dizayn:

Konstantaning topilgan qiymatini umumiy yechimga almashtiramiz.

Javob: shaxsiy yechim:

Tekshiring: Birinchidan, dastlabki shart bajarilganligini tekshiring:
- hammasi yaxshi.

Endi topilgan xususiy yechim differensial tenglamani umuman qanoatlantirishini tekshirib ko'ramiz. Biz hosilani topamiz:

Keling, asl tenglamani ko'rib chiqaylik: - u differentsiallarda taqdim etilgan. Tekshirishning ikki yo'li mavjud. Topilgan hosiladan farqni ifodalash mumkin:

Topilgan xususiy yechim va natijada olingan differentsialni dastlabki tenglamaga almashtiramiz :

Biz asosiy logarifmik identifikatsiyadan foydalanamiz:

To'g'ri tenglik olinadi, ya'ni muayyan yechim to'g'ri topilgan.

Tekshirishning ikkinchi usuli aks ettirilgan va ko'proq tanish: tenglamadan hosilani ifodalang, buning uchun biz barcha qismlarga ajratamiz:

Va o'zgartirilgan DEda biz olingan maxsus eritma va topilgan hosilani almashtiramiz. Soddalashtirishlar natijasida to'g'ri tenglik ham olinishi kerak.

6-misol

Differensial tenglamani yeching. Javobni umumiy integral sifatida ifodalang.

Bu o'z-o'zidan hal qilish, to'liq hal qilish va dars oxirida javob berishga misoldir.

Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan differensial tenglamalarni echishda qanday qiyinchiliklar kutmoqda?

1) O'zgaruvchilarni ajratish mumkinligi har doim ham aniq emas (ayniqsa, choynak uchun). Shartli misolni ko'rib chiqing: . Bu erda siz qavs ichidan omillarni olib tashlashingiz kerak: va ildizlarni ajratish:. Keyinchalik qanday davom etish kerakligi aniq.

2) Integratsiyaning o'zidagi qiyinchiliklar. Integrallar ko'pincha oddiy emas va agar topish qobiliyatlarida kamchiliklar mavjud bo'lsa, paydo bo'ladi noaniq integral, keyin ko'p diffurlar bilan qiyin bo'ladi. Bundan tashqari, "differensial tenglama oddiy bo'lgani uchun, integrallar murakkabroq bo'lsin" mantiqi to'plamlar va qo'llanmalarni tuzuvchilar orasida mashhur.

3) Konstanta bilan o'zgartirishlar. Hamma payqaganidek, differensial tenglamalardagi konstanta juda erkin ishlov berilishi mumkin va ba'zi o'zgarishlar har doim ham yangi boshlanuvchilar uchun tushunarli emas. Keling, yana bir taxminiy misolni ko'rib chiqaylik: . Unda barcha shartlarni 2 ga ko'paytirish tavsiya etiladi: . Olingan konstanta ham qandaydir konstanta bo'lib, uni quyidagicha belgilash mumkin: . Ha, va o'ng tomonda logarifm borligi sababli, doimiyni boshqa doimiy sifatida qayta yozish tavsiya etiladi: .

Muammo shundaki, ular ko'pincha indekslar bilan bezovtalanmaydilar va bir xil harfdan foydalanadilar. Natijada qaror bayonnomasi quyidagi shaklni oladi:

Qanday bid'at? Mana xatolar! Qattiq aytganda, ha. Biroq, substantiv nuqtai nazardan, hech qanday xatolik yo'q, chunki o'zgaruvchan konstantani o'zgartirish natijasida hali ham o'zgaruvchan konstanta olinadi.

Yoki boshqa misol, deylik, tenglamani yechish jarayonida umumiy integral olindi. Bu javob xunuk ko'rinadi, shuning uchun har bir atamaning belgisini o'zgartirish tavsiya etiladi: . Rasmiy ravishda, yana xatolik bor - o'ngda, yozilishi kerak . Ammo norasmiy ravishda "minus ce" hali ham doimiy ( Bu har qanday qiymatlarni ham oladi!), shuning uchun "minus" qo'yish mantiqiy emas va siz bir xil harfdan foydalanishingiz mumkin.

Men beparvo yondashuvdan qochishga harakat qilaman va ularni konvertatsiya qilishda hali ham doimiylar uchun turli indekslarni qo'yaman.

7-misol

Differensial tenglamani yeching. Tekshirishni o'tkazing.

Yechim: Ushbu tenglama o'zgaruvchilarni ajratishni qabul qiladi. O'zgaruvchilarni ajratish:

Biz birlashtiramiz:

Bu erda doimiy logarifm ostida aniqlanishi shart emas, chunki undan hech qanday yaxshi narsa bo'lmaydi.

Javob: umumiy integral:

Tekshiring: Javobni farqlang (ko'rinmas funktsiya):

Biz kasrlardan qutulamiz, buning uchun ikkala shartni ham ko'paytiramiz:

Asl differensial tenglama olindi, bu umumiy integral to'g'ri topilganligini bildiradi.

8-misol

DE ning maxsus yechimini toping.
,

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Yagona maslahat shundaki, bu erda siz umumiy integralga ega bo'lasiz va to'g'rirog'i, ma'lum bir yechimni emas, balki uni topish uchun o'ylashingiz kerak. xususiy integral. To'liq yechim va javob dars oxirida.

Oddiy differensial tenglama Mustaqil o'zgaruvchini, bu o'zgaruvchining noma'lum funktsiyasini va uning turli tartibli hosilalarini (yoki differentsiallarini) bog'laydigan tenglama deyiladi.

Differensial tenglamaning tartibi undagi eng yuqori hosilaning tartibi.

Oddiylardan tashqari, qisman differensial tenglamalar ham o'rganiladi. Bular mustaqil o'zgaruvchilarga tegishli tenglamalar, bu o'zgaruvchilarning noma'lum funksiyasi va bir xil o'zgaruvchilarga nisbatan uning qisman hosilalari. Lekin biz faqat ko'rib chiqamiz oddiy differensial tenglamalar va shuning uchun biz qisqalik uchun "oddiy" so'zini o'tkazib yuboramiz.

Differensial tenglamalarga misollar:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

(1) tenglama to'rtinchi tartibli, tenglama (2) uchinchi tartib, (3) va (4) tenglamalar ikkinchi tartib, (5) tenglama birinchi tartibli.

Differensial tenglama n th tartib aniq funktsiyani o'z ichiga olishi shart emas, uning barcha hosilalari birinchidan n th tartib va ​​mustaqil o'zgaruvchi. Unda ba'zi tartiblarning hosilalari, funksiya, mustaqil o'zgaruvchi aniq bo'lmasligi mumkin.

Masalan, (1) tenglamada uchinchi va ikkinchi darajali hosilalar, shuningdek, funktsiyalar aniq yo'q; (2) tenglamada - ikkinchi tartibli hosila va funksiya; (4) tenglamada - mustaqil o'zgaruvchi; (5) tenglamada - funksiyalar. Faqat (3) tenglama barcha hosilalarni, funktsiyani va mustaqil o'zgaruvchini aniq o'z ichiga oladi.

Differensial tenglamani yechish orqali har qanday funksiya chaqiriladi y = f(x), qaysini tenglamaga almashtirsa, u o'ziga xoslikka aylanadi.

Differensial tenglamaning yechimini topish jarayoni uning deyiladi integratsiya.

1-misol Differensial tenglamaning yechimini toping.

Yechim. Ushbu tenglamani shaklda yozamiz. Yechim funksiyani hosilasi orqali topishdir. Asl funktsiya, integral hisobdan ma'lumki, uchun antiderivativ hisoblanadi, ya'ni.

Bu shunday berilgan differensial tenglamaning yechimi . unda o'zgarib turadi C, biz turli xil echimlarni olamiz. Birinchi tartibli differensial tenglamaning cheksiz ko'p yechimlari mavjudligini aniqladik.

Differensial tenglamaning umumiy yechimi n th tartib - noma'lum funktsiyaga nisbatan aniq ifodalangan va o'z ichiga olgan uning yechimi n mustaqil ixtiyoriy konstantalar, ya'ni.

1-misoldagi differensial tenglamaning yechimi umumiydir.

Differensial tenglamaning qisman yechimi uning yechimi deyiladi, unda o'ziga xos raqamli qiymatlar ixtiyoriy konstantalarga beriladi.

2-misol Differensial tenglamaning umumiy yechimini va maxsus yechimini toping .

Yechim. Biz tenglamaning ikkala qismini shunday bir necha marta integrallaymizki, differensial tenglamaning tartibi teng bo'ladi.

,

.

Natijada biz umumiy yechimga erishdik -

uchinchi tartibli differentsial tenglama berilgan.

Keling, belgilangan sharoitlarda muayyan yechim topamiz. Buning uchun biz ixtiyoriy koeffitsientlar o'rniga ularning qiymatlarini almashtiramiz va olamiz

.

Agar differensial tenglamaga qo'shimcha ravishda boshlang'ich shart shaklda berilgan bo'lsa, unda bunday masala deyiladi. Cauchy muammosi . va qiymatlari tenglamaning umumiy yechimiga almashtiriladi va ixtiyoriy doimiyning qiymati topiladi. C, va keyin topilgan qiymat uchun tenglamaning ma'lum bir yechimi C. Bu Koshi muammosining yechimi.

3-misol 1-misoldagi differensial tenglama uchun Koshi masalasini shart ostida yeching.

Yechim. Biz umumiy yechimga dastlabki holatdagi qiymatlarni almashtiramiz y = 3, x= 1. Biz olamiz

Berilgan birinchi tartibli differensial tenglama uchun Koshi masalasining yechimini yozamiz:

Differensial tenglamalarni, hatto eng oddiylarini ham yechish, hosilalarni, jumladan, murakkab funksiyalarni integrallash va olish bo‘yicha yaxshi ko‘nikmalarni talab qiladi. Buni quyidagi misolda ko‘rish mumkin.

4-misol Differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechim. Tenglama shunday ko'rinishda yozilganki, har ikki tomonni darhol integrallash mumkin.

.

O'zgaruvchini o'zgartirish (almashtirish) orqali integratsiya usulini qo'llaymiz. Mayli, keyin.

Qabul qilish talab qilinadi dx endi esa - diqqat - biz buni murakkab funktsiyani farqlash qoidalariga muvofiq qilamiz, chunki x va murakkab funktsiya mavjud ("olma" - kvadrat ildizni olish yoki xuddi shu narsa - "bir soniya" kuchiga ko'tarish va "qiyma" - ildiz ostidagi ifodaning o'zi):

Biz integralni topamiz:

O'zgaruvchiga qaytish x, biz olamiz:

.

Bu birinchi darajali differensial tenglamaning umumiy yechimidir.

Differensial tenglamalarni yechishda nafaqat oliy matematikaning oldingi bo'limlaridagi ko'nikmalar, balki boshlang'ich, ya'ni maktab matematikasidan ham ko'nikmalar talab qilinadi. Yuqorida aytib o'tilganidek, har qanday tartibli differentsial tenglamada mustaqil o'zgaruvchi, ya'ni o'zgaruvchi bo'lmasligi mumkin. x. Maktab skameykasidan esdan chiqarilmagan nisbatlar haqidagi bilimlar (ammo, har kimda shunday bo'ladi) bu muammoni hal qilishga yordam beradi. Bu keyingi misol.