1. Darajaning algebraik tenglamasi shakldagi tenglamadir
yetakchi koeffitsient qayerda
Algebraik tenglamalarning eng oddiy turlari - 1 va 2-darajali tenglamalar va hatto 3-darajali tenglamalarning ba'zi maxsus turlarini matematiklar hatto 4000 yil oldin qadimgi Bobilda ham hal qila olishgan. To'g'ri, o'sha uzoq vaqtlarda olimlar hali zamonaviy matematik simvolizmni bilishmagan va tenglamaning o'zini ham, uni yechish jarayonini ham formulalar bilan emas, balki so'zlar bilan yozishgan.
2. Birinchi darajali ixtiyoriy tenglama
har doim, va bundan tashqari, o'ziga xos yechimga ega
Maktab algebrasi kursida ixtiyoriy kvadrat tenglamani yechishda quyidagi teorema isbotlangan.
Agar raqam bo'lsa, tenglama formula bilan berilgan ikkita ildizga ega
Agar bo'lsa, unda faqat bitta ildiz mavjud:
Agar bo'lsa, haqiqiy sonlar orasida ildiz yo'q.
Matematiklar har doim ishlarni bunday ajratishdan qochishga harakat qilishadi - agar ular yuqori darajadagi tenglamalarga o'tsalar, ularning soni ortadi. Albatta, formula ma'qul bo'ladi: "Ikkinchi darajali tenglama ikkita ildizga ega". Agar bir tomondan, son tushunchasi shunday kengaytirilsa, manfiy sonlardan kvadrat ildizlarni ajratib olish mumkin bo'lsa, ikkinchi tomondan, ba'zi ildizlarni "bir necha marta" sanash mumkin bo'lsa, erishish mumkin (kirish ko'p ildiz tushunchasi).
Ikkalasini ham chiroyli tarzda bajarish mumkin.
3. Uchinchi darajali umumiy tenglama shaklga ega
Ushbu tenglamaning ikkala qismini etakchi koeffitsient A ga bo'lish - echimlar bundan o'zgarmasligi aniq - biz shakldagi tenglamaga kelamiz.
Yangi noma'lum miqdorni kiritish orqali ikkinchi darajali noma'lumni o'z ichiga olgan atamadan xalos bo'lish, ya'ni tenglamani shaklga keltirish mumkin.
uchinchi darajali qisqartirilgan tenglama deyiladi.
Kub tenglamaning ildizlari formulasining ochilish tarixi haqidagi ma'lumotlar to'liq emas va qarama-qarshidir. Ko'rinishidan, birinchi (taxminan 1515 yil) kub tenglamalarni echish usulini Boloniya universiteti professori S. Ferro (1465-1526) topdi. Undan mustaqil (taxminan 1535 yil) bu usulni N. Tartalya (1500-1557) kashf etgan. Biroq kub tenglamaning ildizlari formulasini birinchi bo‘lib nashr etgan J. Kardano (1501-1576) edi (uning ishi 1545 yilda nashr etilgan) va shuning uchun bu formula uning nomini oldi. E'tibor bering, ehtimol Kardano Tartalya va Ferro asarlari bilan tanish bo'lgan.
Zamonaviy yozuvda (1) tenglamani yechish usuli quyidagicha.
Biz ikkita yangi noma'lumni kiritamiz; qo'yish bizda bor
Agar noma'lumlar tizimni qanoatlantirsa
u holda ular (2) tenglamani ham qanoatlantiradilar. Yechish tizimi (3) juda oddiy. Birinchi tenglamani kub qilib, uning o‘rniga ikkinchi tenglamadagi ifodani qo‘yaylik; kvadrat tenglamani qanoatlantirganini olamiz
Demak,
va nihoyat,
Bu qisqartirilgan kub tenglamani (1) yechish uchun Kardano formulasi.
Darhol savollar tug'iladi:
1) Agar ifoda bo'lsa-chi
2) Kub tenglamaning nechta ildizi bor?
3) Kardano formulasi (4) (1) tenglamaning barcha yechimlarini beradimi?
Bu savollar o'zaro bog'liq. Masalan, tenglama mavjudligini tekshirish oson
-5, 2, 3 yechimlari bor va faqat shu holatda
shunday qilib, Kardano formulasidagi kvadrat ildizlar o'z ma'nosini yo'qotadi va ko'rsatilgan uchta ildiz bu formula bilan ifodalanmaydi.
Hamma narsa shuni ko'rsatadiki, bu erda kvadrat tenglamalarga qaraganda, kvadrat ildizni olish har doim ham mumkin bo'lgan "yangi raqamlar" ni kiritmasdan turib bo'lmaydi. Bunday raqamlar asta-sekin 16-19-asrlarda joriy etilgan. Ular kompleks sonlar deb ataladi. Kompleks sonlarda har qanday algebraik daraja tenglamasi aniq ildizlarga ega
Misol sifatida tenglamani ko'rib chiqing
Bu nazariyada muhim rol o'ynaydi va keyingi ishlarda kerak bo'ladi.
Kompleks sonlar sohasida bu tenglama turli yechimlarga ega bo'lib, ular birlikning kuch ildizlari deb ataladi:
Kub tenglamaning yechimlarini yozish uchun bizga 1 ning 3-darajali ildizlari kerak bo'ladi. (6) formulalarga muvofiq, bu quyidagi kompleks sonlar bo'ladi:
Qisqartirilgan kub tenglamaning uchta ildizi ekanligini ko'rsatish mumkin
Bu erda harf belgilanadi - dan 3-darajali ildiz, buni ko'rish oson, teng. Bu Kardanoning yakuniy formulalari.
4. 1-, 2- va 3-darajali tenglamalarda kvadrat ildizni ajratib olish operatsiyasining ratsional operatsiyalaridan foydalanib, tenglamaning koeffitsientlari bo'yicha ildizlarni ifodalovchi formulalarni bilamiz (kvadrat shaklida). tenglama), kvadrat va kub ildizlarni ajratib olish amallari (kub tenglamasida). Xuddi shunday qoidalar 4-darajali tenglamalar uchun ham G. Kardano shogirdi, italyan algebrachisi L. Ferrari (1522-1565) tomonidan ko'rsatilgan. Shuningdek, ular faqat ratsional amallar va amallarni o'z ichiga oladi.Deyarli uch asr davomida (XVI-XVIII) ratsional amallar va amallar yordamida 5 va undan yuqori darajali tenglamalar uchun o'xshash qoidalarni topishga qilingan barcha urinishlar muvaffaqiyatsiz tugadi.
Asta-sekin ular uchun daraja tenglamasining ildizlarini faqat amallar yordamida koeffitsientlar, y esa ixtiyoriy natural sonlar yordamida ifodalash umuman mumkin emas, ya'ni yechimni qisqartirib bo'lmaydi, deb gumon qila boshladilar. bunday tenglamalarni ratsional amallar yordamida maxsus shakldagi tenglamalarni ketma-ket yechish. Tenglamalarning ildizlari, ya'ni odatda bilan belgilanadigan narsa odatda radikallar deb ataladi va shuning uchun ixtiyoriy tenglamaning ildizlarini topishni ko'rinishdagi tenglamalarni topishga kamaytirish imkoniyati masalasi odatda ning ildizlarini ifodalash masalasi deb ataladi. radikallar bo'yicha tenglama.
Bu gipotezani isbotlash yoki inkor etishga urinishlar ayniqsa 18-asrning ikkinchi yarmida tez-tez boʻlib, 19-asr boshlarida radikallarda 5 va undan yuqori darajali umumiy tenglamani yechishning iloji yoʻqligini isbotlashga olib keldi.
18-asrning bu yoʻnalishdagi asarlari orasida mashhur fransuz matematigi J. L. Lagranjning (1736-1813) “Tenglamalarning algebraik yechimi boʻyicha nutqlar” (1771-1772) nomli xotira kitobi fikr ravshanligi bilan ajralib turadi. Unda muallif radikallardagi 2, 3 va 4-darajali tenglamalarni yechishning ma'lum usullarini batafsil va sinchkovlik bilan tahlil qilib, bu holatlarda bunday yechim qanday va nima uchun muvaffaqiyatli bo'lishini bilish uchun. Shu bilan birga, u quyidagi holatni ta'kidladi: bu barcha holatlarda pastki darajadagi tenglamalarni qanoatlantiradigan va ular radikallarda yechilganligi allaqachon ma'lum bo'lgan ildizlarning ba'zi funktsiyalari mavjud. Dastlabki tenglamaning ildizlarini, o'z navbatida, bu oraliq funktsiyalardan, yana radikallarda echilgan tenglamalardan topish mumkin.
Bundan tashqari, Lagrange ba'zi hollarda ildizlarning o'xshash funktsiyalari qanday topilganligi haqidagi savolni o'rganadi. Ma'lum bo'lishicha, bular ildizlarning barcha mumkin bo'lgan o'rin almashtirishlari bilan - va ularning soni, siz bilganingizdek, teng bo'lgan - tenglama darajasidan kichikroq qiymatlarni qabul qiladigan va hatto undan ham kamroq bo'lgan ko'phadlardir. o'rganish). Bu ildizlarning ba'zi almashtirishlari bilan o'zgarmasa sodir bo'ladi.
Radikallardagi tenglamani yechish masalasida almashtirishlar shunday paydo bo'ldi!
Agar funktsiya ildizlardan faqat k xil qiymatlarni qabul qilsa, u holda ko'phadning koeffitsientlari
uzoq vaqtdan beri ma'lum bo'lgan bir teoremaga ko'ra - bu simmetrik funktsiyalar bo'yicha asosiy teorema - o'rganilayotgan tenglamaning koeffitsientlari nuqtai nazaridan oqilona ifodalanishi kerak
4 ta misol. 1. O‘zgaruvchan funksiya bo‘lsin
daraja tenglamasining ildizlaridan. Ildizlarning barcha mumkin bo'lgan almashtirishlarini faqat ikkita qiymat oladi, bu almashtirishning juft yoki toq ekanligiga bog'liq. Binobarin, tenglamaning diskriminanti barcha mumkin bo'lgan almashtirishlar bilan o'zgarmaydi va o'rganilayotgan tenglamaning koeffitsientlari bilan oqilona ifodalanadi. Kvadrat tenglama uchun
qisqartirilgan kub tenglama uchun
Ildizlarning muqobil funksiyasi tenglamalarni qanoatlantiradi
mos ravishda. Kvadrat tenglamani yechish formulasida kvadrat ildiz ostidagi va Kardano formulasida doimiy koeffitsientgacha bo'lgan ifodalarni o'rganamiz.
2. Yana bir misol yuqorida tilga olingan Lagranj ishida paydo bo'ldi. Bular Lagrange solventlari deb ataladi. Biz ularni, shuningdek, Lagranjning o'zini 3-darajali tenglama holati uchun ko'rib chiqamiz. 1 ning kub ildizlaridan foydalanish
ular quyidagicha aniqlanadi:
Bu erda tekshirilayotgan kub tenglamaning ildizlari. Keling, ikkinchi va uchinchi rezolyutsiyalarga e'tibor qaratamiz. Ko'rish oson bo'lganidek, ildizlarning tsiklik o'zgarishi bilan ular faqat mos ravishda ko'payadi. Binobarin, ular tsiklik almashtirishlarga bardosh beradilar va shuning uchun tenglamaning koeffitsientlari va A hisobida oqilona ifodalanadi. Tegishli ko'rinishlarni hisoblash mumkin. Kub ildizini chiqarib, siz olishingiz mumkin. Vyeta teoremasiga ko'ra, bu qarama-qarshi ishorali koeffitsient, ya'ni qisqartirilgan kub tenglama holatida. Chiziqli tenglamalar tizimidan (7) bilib olamiz, agar yuqoridagi hisob-kitoblarni amalga oshirsak, ular Kardano formulalari bo'yicha hisoblanganligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin.
Xuddi shunday, lekin texnik jihatdan qiyinroq, 4-darajali tenglamaning radikal yechimini olish mumkin. 5-darajali tenglamaga kelsak, biz quyi darajali tenglamalarga o'xshash qisqartirishni ololmadik. Biroq, Lagranj uning imkoniyatini istisno qilmadi.
Bunday qisqarishni tubdan amalga oshirish mumkin emasligi 1799 yilda italyan matematigi P.Ruffinining (1765-1822) "To'rtinchi darajadan yuqori umumiy tenglamalarning algebraik yechimi mumkin emasligini isbotlovchi tenglamalarning umumiy nazariyasi" asarida ko'rsatilgan. Biroq, u bartaraf eta olmaganligini isbotlashda bo'shliqlar bor edi. To'g'ri isbot faqat 1826 yilda norvegiyalik matematik N. G. Abelning (1802-1829) "Darajasi to'rtinchidan yuqori bo'lgan tenglamalarning algebraik echilishining mumkin emasligini isbotlash" asarida berilgan.
Ko'rib chiqilayotganidan pastroq darajadagi tenglamalarni qanoatlantiradigan ildizlardan funksiyalar mavjud emasligining chuqur sababini (istisno har doim kvadrat tenglamani qanoatlantiradigan belgi almashinadigan funktsiyadir) yorqin frantsuz matematigi Evariste Galua tomonidan ochib berilgan. 1811-1832). Galois har bir tenglamaga uning ildizlarining o'rin almashishlari guruhini tayinlagan, ular ildizlardagi barcha ko'phadlarning qiymatini berilgan tenglamaning koeffitsientlariga oqilona bog'liq bo'lgan koeffitsientlar bilan o'zgartirmaydi. Bu guruh endi ko'rib chiqilayotgan tenglamaning Galua guruhi deb ataladi.
Tenglamaning Galua guruhi tushunchasini quyidagicha kiritish mumkin. Keling - qandaydir darajali algebraik tenglama (bu tenglamaning chap tomoni) - darajali ko'phad.
Polinom koeffitsientlari - raqamlar bir vaqtning o'zida qandaydir son maydoniga tegishli bo'lishi kerak - bo'sh bo'lmagan raqamlar to'plami, 0 dan boshqa raqamga qo'shish, ko'paytirish, ayirish va bo'lish amallari ostida yopiladi. Raqam maydoni, masalan, Q to'plamidir. barcha ratsional sonlardan. Kerakli tushunchalar barcha son sohalari uchun bir xilda kiritilganligi sababli, ulardan faqat bittasini ko'rib chiqish kifoya. Shuning uchun ko'phadning koeffitsientlari ratsional sonlar deb faraz qilamiz. Bundan tashqari, biz (bu algebra kurslarida isbotlangan) ko'phadning barcha ildizlari har xil, ya'ni tenglama boshqacha, umuman olganda, murakkab ildizlarga ega deb taxmin qilishimiz mumkin.
Ildizlar orasidagi ratsional munosabat shaklning har qanday tengligidir
yig'indining belgisi qayerda, bu tenglikning chap tomonidagi yig'indi ko'rsatkichlarning ayrim to'plamlari bo'yicha olinadi va barcha koeffitsientlar ratsional sonlardir. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, (8) ratsional munosabatning chap tomonida ratsional koeffitsientli ba'zi polinom mavjud. Tenglamaning ildizlari orasidagi barcha ratsional munosabatlar to'plami faqat ko'phadga bog'liq. Ko‘rinib turibdiki, ba’zi bir ko‘phadning ildizlari o‘rtasidagi ratsional munosabatlarning had bo‘yicha yig‘indisi va haddan ko‘paytmasi ham uning ildizlari orasidagi ratsional munosabatlar bo‘ladi. Har qanday tenglama uchun nolga teng bo'lmagan ratsional munosabat misolini ko'rsatish oson bo'lganligi sababli, biz bundan ixtiyoriy tenglama uning ildizlari orasidagi cheksiz ratsional munosabatlar to'plamiga mos kelishini olamiz.
Keling
Tenglamaning ildizlari to'plamidagi ba'zi almashtirishlar. Keling, (8) ifodaning chap tomonidagi bu almashtirish orqali harakat qilaylik. Har bir monomial almashtirish ta'sirida monomialga aylanadi (barcha monomiallar uchun koeffitsientlar o'zgarishsiz qoladi).
(8) munosabatning chap tomoni quyidagi ifodaga aylantiriladi:
Bu raqam noldan farq qilishi mumkin. Tenglama ildizlari to'plamidagi simmetrik guruhdan barcha almashtirishlarni ikki qismga bo'lish mumkin - ratsional munosabatni (8) saqlaydiganlar va uni buzadiganlar. Agar almashtirishlar (8) ratsional munosabatni saqlab qolsa, ularning mahsuloti va ularning har biriga teskari almashtirish ham bu tenglikni yuqori munosabatga aylantirishi aniq. bir xil turdagi. Boshqacha qilib aytganda, (8) munosabatni saqlaydigan barcha mumkin bo'lgan almashtirishlar to'plami (chunki u bo'sh emas!) guruhni tashkil qiladi. Bu guruh tenglamaning Galua guruhi deb ataladi
Ushbu Galua guruhining xossalaridan berilgan tenglamaning radikallarda echilishi yoki echilishi mumkin emasligini aniqlash mumkin. Olingan xususiyat tez-tez uchraydigan holatlar ko'rinishida, algebraik tenglamalar radikallarida echiluvchanlik yoki echilmaslik haqidagi ilgari ma'lum bo'lgan barcha ma'lumotlarni o'z ichiga oladi.
Ammo sonli koeffitsientli ba'zi tenglamalar radikallarda echilishi istisno qilinmaydi. Bu mumkinmi yoki yo'qmi, yana Galois tomonidan topilgan belgi asosida aniqlanadi.
Galois guruhlarining xususiyatlarini o'rganish bizning taqdimotimiz doirasidan tashqarida. Biz faqat shuni ta'kidlaymizki, agar berilgan tenglamaning Galua guruhi Abelian bo'lsa, u holda tenglama radikallarda echilishi mumkin. Radikallarda yechish mumkin bo'lgan tenglamalar Galua guruhi dihedral guruhlardan biri, tetraedr va kubning simmetriya guruhidir. Bu echiladigan guruhlar deb ataladigan misollar, ya'ni radikallarda echiladigan Galua tenglamalari guruhlari. Yechilmaydigan guruhning "eng kichik" misoli - 60 ta almashtirishdan iborat o'zgaruvchan guruh; uni o‘z ichiga olgan guruh ham yechilmaydi.Bu guruhlar 5-darajali umumiy tenglamaning radikallarda yechilmasligiga “aybdor” deb aytishimiz mumkin: 5-darajali tenglamalar orasida Galoa guruhi yoki An bilan mos keladiganlar ham bor. bunday tenglamaga misol bo'la oladi
Tenglamaning Galua guruhi uning shunday muhim xarakteristikasi ekan, savol tug'iladi, bu guruhni tenglama bo'yicha qanday qurish kerak? Ma’lum bo‘lishicha, tenglamaning ildizlaridan kelib chiqadigan barcha ratsional munosabatlar uning ildizlarining berilgan almashinishiga bardosh bera oladimi yoki yo‘qligini tekshirishning hojati yo‘q. Ushbu munosabatlarning cheklangan va ko'rinadigan qismi uchun bunday sinov bilan cheklanib qolish kifoya. Bu erda eslatib o'tilgan oxirgi va boshqa bayonotlarning isbotini Galua nazariyasi ekspozitsiyasiga bag'ishlangan va foydalanilgan adabiyotlar ro'yxatida ko'rsatilgan kitoblardan birida topish mumkin.
Mashqlar
1. Kub tenglamaning D diskriminantidan foydalanib, bu tenglamaning barcha ildizlari mos keladimi yoki faqat ikkitasi mos keladimi, buni aniqlash mumkin emas. Ifodaga misol keltiring; berilgan tenglamaning ildizlaridan iborat bo'lib, buni amalga oshirishga imkon beradi.
5. Ratsional sonlar maydonidan boshqa raqam maydonlariga misollar keltiring Q. Shaklning barcha mumkin bo'lgan raqamlarini tekshiring.
raqam maydonini hosil qiling.
6. Agar ko’phad diskriminantining kvadrat ildizi ratsional son bo’lsa, bu ko’phadning Galua guruhi butunlay juft almashtirishlardan iborat ekanligini isbotlang.
Algebraik tenglamalar. Ta'rif
F(x) va u(x) funksiyalar qandaydir A to‘plamda aniqlansin. Va bu funksiyalar teng qiymatlarni oladigan X to‘plamni topish kerak bo‘lsin, boshqacha qilib aytganda, x ning barcha qiymatlarini toping. tenglik bajariladi: f(x)= c(x).
Ushbu formulada bu tenglik noma'lum x bo'lgan tenglama deb ataladi.
Agar noma'lum ustida faqat algebraik amallar bajarilsa - qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish, darajaga ko'tarish va tabiiy ko'rsatkichli ildiz chiqarish tenglamasi algebraik deb ataladi.
Algebraik tenglamalar faqat algebraik funktsiyalarni (butun, ratsional, irratsional) o'z ichiga oladi. Umumiy shakldagi algebraik tenglama haqiqiy koeffitsientli n-darajali ko'phad bilan ifodalanishi mumkin:
Masalan,
A to'plami berilgan tenglama uchun noma'lumning ruxsat etilgan qiymatlari to'plami (mintaqasi) deb ataladi.
X to‘plam yechimlar to‘plami deb ataladi va uning har qanday yechimi x=a bu tenglamaning ildizi deyiladi. Tenglamani yechish deganda uning barcha yechimlari to‘plamini topish yoki yo‘qligini isbotlash tushuniladi.
Algebraik tenglamalarni yechish usullari
Ko'pgina ilmiy va muhandislik muammolarida shakl tenglamasini echish talab etiladi
Bu yerda f(x) berilgan uzluksiz chiziqli bo‘lmagan funksiya.
Analitik jihatdan faqat eng oddiy tenglamalar uchun yechim topish mumkin. Ko'pgina hollarda (1) ko'rinishdagi tenglamani sonli usullar bilan yechish kerak.
(1) tenglamaning sonli yechimi odatda ikki bosqichda amalga oshiriladi. Birinchi bosqichda faqat bitta ildiz joylashgan x o'zgaruvchisining o'zgarishining bunday intervallarini topishingiz kerak. Bu muammo odatda grafik tarzda hal qilinadi. Ikkinchi bosqichda alohida ildizlar tozalanadi. Buning uchun turli xil usullar qo'llaniladi.
Nochiziqli tenglamalarni yechish usullari to'g'ridan-to'g'ri va iterativlarga bo'linadi. To'g'ridan-to'g'ri usullar ildizlarni formula shaklida yozish imkonini beradi. Biroq amalda uchraydigan tenglamalarni har doim ham oddiy usullar bilan yechish mumkin emas. Ularni hal qilish uchun iterativ usullar qo'llaniladi, ya'ni. ketma-ket yaqinlashish usullari.
To'g'ridan-to'g'ri usullar - yechim oldindan ma'lum bo'lgan arifmetik amallar sonida topiladi, yechim qat'iydir. Misollar: Gauss usuli, kvadrat ildiz usuli, Kramer qoidasi va boshqalar.
Takrorlanuvchi usullar - ketma-ket yaqinlashish usullari bo'lib, unda berilgan aniqlik bilan tenglamani (tizimni) echish uchun zarur bo'lgan arifmetik amallar sonini oldindan aytib bo'lmaydi. Misollar: oddiy takrorlash usuli, Gauss-Zaydel usuli, segmentni yarmiga bo'lish usuli va boshqalar.
Ushbu maqolada biz oddiy takrorlash usulini va segmentni yarmiga bo'lish usulini o'rganamiz va taqqoslaymiz.
TENGLAMALAR TURLARI
Algebraik tenglamalar. Shaklning tenglamalari f n= 0, bu erda f n- bir yoki bir nechta o'zgaruvchidagi ko'phadga algebraik tenglamalar deyiladi. Ko'phad - bu shaklning ifodasidir
f n = a 0 x i y j ... v k + a 1 x l y m ... v n +¼ + a s x p y q ... v r,
qayerda x, y, ..., v o'zgaruvchilardir va i, j, ..., r ko'rsatkichlar (manfiy bo'lmagan butun sonlar). Bitta o'zgaruvchidagi ko'phad quyidagicha yoziladi:
f(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + ... + a n – 1 x + a n
yoki muayyan holatda, 3 x 4 – x 3 + 2x 2 + 4x– 1. Bitta noma’lumli algebraik tenglama ko‘rinishdagi har qanday tenglama hisoblanadi f(x) = 0. Agar a 0 ¹ 0, keyin n tenglamaning darajasi deyiladi. Masalan, 2 x+ 3 = 0 - birinchi darajali tenglama; birinchi darajali tenglamalar chiziqli deb ataladi, chunki funktsiya grafigi y=ax+b to'g'ri chiziqqa o'xshaydi. Ikkinchi darajali tenglamalar kvadratik, uchinchi darajali tenglamalar kubik deb ataladi. Yuqori darajali tenglamalar o'xshash nomlarga ega.
Transsendental tenglamalar. Logarifmik, ko'rsatkichli yoki trigonometrik funktsiyalar kabi transsendental funktsiyalarni o'z ichiga olgan tenglamalar transsendental deyiladi. Quyidagi tenglamalar misol bo'la oladi:
Bu erda lg - 10 ta logarifm.
Differensial tenglamalar. Bir yoki bir nechta funktsiyani va ularning hosilalari yoki differentsiallarini o'z ichiga olgan tenglamalar deyiladi. Differensial tenglamalar tabiat qonunlarini to'g'ri shakllantirishning juda qimmatli vositasi ekanligi isbotlangan.
Integral tenglamalar. Integral belgisi ostida noma'lum funktsiyani o'z ichiga olgan tenglamalar, masalan, f (s) = ò K (s, t) f(t) dt, qayerda f(s) va K(s,t) berilgan, va f(t) topiladi.
Diofant tenglamalari. Diofant tenglamasi - bu butun koeffitsientli ikki yoki undan ortiq noma'lum algebraik tenglama bo'lib, uning yechimi butun yoki ratsional sonlarda izlanadi. Masalan, tenglama 3 x – 5y= 1 yechimga ega x = 7, y= 4; umuman olganda, uning yechimlari shaklning butun sonlaridir x = 7 + 5n, y = 4 + 3n.
ALGEBRAIK TENGLAMALARNI YECHISH
Yuqorida sanab o'tilgan barcha turdagi tenglamalar uchun umumiy yechim usullari mavjud emas. Va shunga qaramay, ko'p hollarda, ayniqsa ma'lum bir turdagi algebraik tenglamalar uchun, ularni hal qilishning etarlicha to'liq nazariyasi mavjud.
Chiziqli tenglamalar. Ushbu oddiy tenglamalar ularni noma'lumning qiymatini to'g'ridan-to'g'ri ko'rsatadigan ekvivalent tenglamaga qisqartirish orqali hal qilinadi. Masalan, tenglama x+ 2 = 7 ni ekvivalent tenglamaga keltirish mumkin x O'ng va chap tomondan 2 raqamini ayirish orqali = 5. kabi oddiy tenglamani qisqartirish bosqichlari x+ 2 = 7, ekvivalentga to'rtta aksiomadan foydalanishga asoslangan.
1. Agar teng qiymatlar bir xil songa oshirilsa, natijalar teng bo'ladi.
2. Agar bir xil son teng qiymatlardan ayirilsa, natijalar teng bo'ladi.
3. Agar teng qiymatlar bir xil songa ko'paytirilsa, natijalar teng bo'ladi.
4. Agar teng qiymatlar bir xil songa bo'linsa, natijalar teng bo'ladi.
Masalan, 2-tenglamani yechish uchun x+ 5 = 15, biz aksioma 2 dan foydalanamiz va o'ng va chap tomondan 5 raqamini ayiramiz, natijada 2 ekvivalent tenglama hosil bo'ladi. x= 10. Keyin 4-aksiomadan foydalanamiz va hosil bo'lgan tenglamaning ikkala tomonini 2 ga bo'lamiz, buning natijasida dastlabki tenglama ko'rinishga tushadi. x= 5, bu kerakli yechim.
Kvadrat tenglamalar. Umumiy kvadrat tenglamaning yechimlari bolta 2 + bx + c= 0 ni formula yordamida olish mumkin
Shunday qilib, muayyan holatda mos kelishi mumkin bo'lgan ikkita echim mavjud.
Boshqa algebraik tenglamalar. Kvadrat tenglamani yechish formulasiga o'xshash aniq formulalar faqat uchinchi va to'rtinchi darajali tenglamalar uchun yozilishi mumkin. Ammo bu formulalar ham murakkab va har doim ham ildizlarni osongina topishga yordam bermaydi. Beshinchi va undan yuqori darajali tenglamalarga kelsak, ular uchun N. Abel 1824 yilda isbotlaganidek, radikallar yordamida tenglamaning ildizlarini uning koeffitsientlari orqali ifodalaydigan umumiy formulani ko'rsatish mumkin emas. Ba'zi maxsus holatlarda yuqori darajali tenglamalar ularning chap tomonini faktorlarga ajratish yo'li bilan osongina echilishi mumkin, ya'ni. uni hisobga olish.
Masalan, tenglama x 3 + 1 = 0 faktorlashtirilgan ko'rinishda yozilishi mumkin ( x + 1)(x 2 – x+ 1) = 0. Komillarning har birini nolga tenglashtirib, yechimlarni topamiz:
Shunday qilib, ildizlar x= –1, , ya'ni. faqat 3 ta ildiz.
Agar tenglamani faktorlarga ajratish mumkin bo'lmasa, u holda taxminiy echimlardan foydalanish kerak. Taxminiy yechimlarni topishning asosiy usullari Horner, Nyuton va Greff tomonidan ishlab chiqilgan. Biroq, barcha holatlarda yechim borligiga kuchli ishonch bor: algebraik tenglama n th darajasi aniq bor n ildizlar.
Chiziqli tenglamalar sistemalari. Ikki noma'lumli ikkita chiziqli tenglamani quyidagicha yozish mumkin
Bunday sistemaning yechimi determinantlar yordamida topiladi
Agar mantiqiy bo'lsa 
Agar D= 0, keyin ikkita holat mumkin. (1) Determinantlardan kamida bittasi va nolga teng emas. Bunday holda, tenglamalarning yechimi yo'q; tenglamalar mos kelmaydi. Bunday vaziyatning raqamli misoli tizimdir
(2) Ikkala determinant ham nolga teng. Bunday holda, ikkinchi tenglama oddiygina birinchisining ko'paytmasi bo'lib, cheksiz ko'p echimlar mavjud.
Umumiy nazariya ko'rib chiqadi m bilan chiziqli tenglamalar n o'zgaruvchilar:
Agar m = n va matritsa ( aij) degeneratsiyalanmagan bo'lsa, u holda yechim noyobdir va uni Kramer qoidasiga ko'ra topish mumkin:
qayerda A ji– elementning algebraik to‘ldiruvchisi aij matritsada ( aij). Umuman olganda, quyidagi teoremalar mavjud. Mayli r matritsaning darajasi ( aij), s chegaralangan matritsaning darajasi ( aij; b i), dan olingan aij raqamlar ustunini qo'shish b i. Keyin: (1) agar r = s, keyin mavjud n–r chiziqli mustaqil yechimlar; (2) agar r< s , u holda tenglamalar mos kelmaydi va echimlar yo'q.
, FGGU,
, Matematika litseyi
Algebraik tenglamalar va ularni yechish usullari
A.1 Ko‘pyoq va uning ildizlari
(n+1) haqiqiy sonlar toʻplamini, darajali koʻphadni (koʻpnomli) koʻrib chiqing. n Yuqoridagi koeffitsientlar bilan shaklning ifodasi deyiladi:
https://pandia.ru/text/78/119/images/image003_38.gif" width="257" height="25 src="> (2)
darajaning algebraik tenglamasi deyiladi n.
(2) tenglamaning ildizlari ko‘phadning ildizlari deb ham ataladi.
Bu yerda polinomlarning ildizlari haqida ba'zi faktlar mavjud.
1-fakt. Toq darajali har qanday polinom kamida bitta haqiqiy ildizga ega.
Izoh. Hatto tenglamaning ildizi borligini bilsangiz ham, bu ildizni topish juda qiyin bo'lishi mumkin.
1-misol Shubhasiz, tenglamaning ildizlari 0 va p.
2-misol Albatta mavjud bo'lgan tenglamaning ildizlarini o'rnatish juda qiyin vazifadir.
2-fakt. Agar ko'phadning koeffitsientlari butun son bo'lsa, u holda bu tenglamaning ratsional ildizlari (agar mavjud bo'lsa) ko'rinishga ega bo'ladi, bu erda k va m raqamlari natural, k - erkin hadning bo'luvchisi, m - asosiyning bo'luvchisi. koeffitsienti.
3-misol https://pandia.ru/text/78/119/images/image010_16.gif" width="348" height="41 src="> (takroriy raqamlar qisqartirilgan).
Tekshirish shuni ko'rsatadiki, raqamlar 2 va mos keladi.
Agar ko'phaddagi etakchi koeffitsient birga teng bo'lsa, ratsional ildizlarni ajratish vazifasi ancha soddalashtirilgan. Bunday holda, tenglamaning mumkin bo'lgan ratsional ildizlari faqat ko'phadning erkin hadini ajratuvchi butun sonlar bo'lishi mumkin.
4-misol Ko‘phad quyidagi butun son ildizlariga ega: . Mumkin bo'lgan ildizlarni tekshirish (bu juda tez amalga oshirilishi mumkin Horner sxemalari) tenglamaning yagona butun ildizi 2 ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
3-fakt. Agar raqam ko'phadning ildizi bo'lsa, u holda bu ko'phad oddiy sonlarga qo'llaniladiganga juda o'xshash "burchakka bo'linish usuli" mahsuloti sifatida ko'rsatilishi mumkin.
Keling, bir misol keltiraylik.
5-misol Keling, quyidagilarga bo'linadi:
https://pandia.ru/text/78/119/images/image021_6.gif" width="177" height="25">. E'tibor bering, birinchi omil salbiy diskriminantga ega, shuning uchun u (va asl polinom) ildizlari bo'lmaganidan kattaroqdir.
4-fakt.Haqiqiy koeffitsientli har qanday polinom quyidagicha ifodalanishi mumkin:
https://pandia.ru/text/78/119/images/image023_6.gif" width="16 height=24" height="24"> - ildiz ko'pligi, 
- haqiqiy ildizga ega bo'lmagan kvadrat trinomlar (ular qisqartirilmaydigan deyiladi).
Izoh. Tenglamalar va tengsizliklarni yechishda kamaytirilmas trinomiyalarga qisqartirish mumkin.
P.2. Ko'phadning ildizlarini topish usuli sifatida guruhlash
Afsuski (va bu isbotlangan), har qanday ko'phadning ildizlarini topishga imkon beradigan (kvadrat trinomial kabi) universal algoritm yo'q. Uchinchi va to'rtinchi darajali tenglamalarni echish uchun maxsus formulalar mavjud, ammo ular mashaqqatli va maktab kursida o'rganilmaydi. Shuning uchun ko'pincha boshqa usullar qo'llaniladi, masalan, ildizlarni ajratish (birinchi xatboshida muhokama qilinadi), guruhlash usuli va uning maxsus holati - to'liq kvadratlarni tanlash.
Guruhlash usulining mohiyati quyidagilardan iborat: ko‘phad a’zolari guruhlarga bo‘linadi (shuning uchun nomi) shunday bo‘ladiki, o‘xshashlarini qisqartirgandan so‘ng har bir guruh omillarga ajraladi va har birida omillardan biri bo‘ladi. guruh. Ushbu umumiy koeffitsient qavs ichidan chiqariladi va asl ko'phad ikkita pastki darajali ko'phadning mahsulotiga parchalanadi.
Bir misolni ko'rib chiqing.
6-misol Ko‘phadni guruhlash usuli bilan ko‘paytmalarga ajrating
https://pandia.ru/text/78/119/images/image027_3.gif" width="272" height="24 src=">
(https://pandia.ru/text/78/119/images/image029_3.gif" width="64" height="21">, biz birinchi atamani birinchi guruhga, ikkinchi terminni uchinchi guruhga kiritamiz. ).
https://pandia.ru/text/78/119/images/image031_4.gif" width="51" height="24">, biz parchalanishni topamiz:
.
Ikkala kvadrat trinomning ham manfiy diskriminantlari bor, shuning uchun ularning keyingi parchalanishi mumkin emas.
7-misol Polinomni koeffitsientlarga ajrating:
https://pandia.ru/text/78/119/images/image034_3.gif" width="35" height="21"> siz 14 ga karrali qismni kiyishingiz kerak: masalan, 70-1 , 84-15, 98-29 yoki 42 + 27. Birinchi variant boshi berk ko'chaga olib keladi. Ikkinchi variantni ko'rib chiqing. Biz olamiz:
https://pandia.ru/text/78/119/images/image036_2.gif" width="603" height="24">.
Shunday qilib,
P.3. Eng oddiy algebraik tenglamalarni yechishga misollar
Polinomlar eng oddiy algebraik tenglamalardir. Ushbu kichik bo'limda biz bunday tenglamalarni echishning ba'zi misollarini ko'rib chiqamiz.
8-misol Tenglamaning ildizlarini toping
https://pandia.ru/text/78/119/images/image041_2.gif" width="89" height="19 src=">.
Keling, eng kichik raqamdan boshlaylik - uchta.
https://pandia.ru/text/78/119/images/image043_2.gif" width="40 height=23" height="23"> - tenglamaning ildizlaridan biri. Boshqa ildizlarni topish uchun biz tenglamaning chap tomonini quyidagilarga bo'ling:
https://pandia.ru/text/78/119/images/image046_2.gif" width="107" height="21">. Masalan, Vietaning formulalaridan foydalanib, biz yana ikkita ildiz olamiz: 
.
Javob: https://pandia.ru/text/78/119/images/image049_2.gif" width="124" height="21 src=">.
Yechim. Muammoni bikvadrat tenglamaga keltirish mumkin, lekin biz faktorizatsiyadan foydalanishga harakat qilamiz..gif" width="616" height="24 src=">.
Birinchi omilning ildizlari: https://pandia.ru/text/78/119/images/image052_2.gif" width="63" height="41 src=">.
Keyinchalik, ratsional tenglamaga qisqartiruvchi tenglama misolini ko'rib chiqing. Bunday tenglamalarning xususiyati ruxsat etilgan qiymatlar mintaqasining topilgan ildizlarini tekshirishning majburiy talabidir. Misol uchun, bir necha yil oldin Yagona davlat imtihonida "oddiy" vazifa taklif qilingan.
10-misol tenglamani yeching
DIV_ADBLOCK37">
P. 4. Kasr algebraik tenglamalar
Eng oddiy kasr algebraik ifodasi quyidagi shaklga ega:
https://pandia.ru/text/78/119/images/image055_2.gif" width="40" height="23 src=">.gif" width="111" height="41 src=">.
Yechim: Kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz:
https://pandia.ru/text/78/119/images/image059_2.gif" width="207" height="41">.
Numeratorning ikkala ildizi ham maxrajning ildizi emas (buni ikkala ildizni to‘g‘ridan-to‘g‘ri maxrajga almashtirish orqali tasdiqlang), shuning uchun ular yuqoridagi tenglamaning yechimidir.
Agar kasr ratsional tenglamada ko'plab elementar iboralar mavjud bo'lsa, u holda o'zgartirilgandan so'ng, numeratorda ildizlarini topish juda qiyin bo'lgan juda og'ir ifoda hosil bo'lishi mumkin. Ammo ba'zi hollarda, masalan, o'zgaruvchilarni o'zgartirishdan foydalanib, murakkab tenglamani oddiyroq tenglamaga qisqartirish mumkin. Bir misolni ko'rib chiqing.
12-misol. tenglamani yeching
https://pandia.ru/text/78/119/images/image061_0.gif" width="81" height="41"> o'zaro teskari (ularning mahsuloti birga teng). Keling, quyidagi almashtirishni kiritamiz: Asl tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
https://pandia.ru/text/78/119/images/image064_0.gif" height="16">, biz kvadrat tenglamani olamiz:
https://pandia.ru/text/78/119/images/image066_0.gif" width="93" height="23">. Teskari almashtirishni bajaramiz. Ikki tenglama to'plamini oling va yeching: 2. Indeks , yashash manzili, elektron pochta (agar mavjud bo'lsa), telefon (uy yoki mobil)
3. Maktab ma’lumotlari (masalan: MBOU № 1 Bikin qishlog'i)
4. Familiyasi, I. O. matematika oʻqituvchisi (masalan: matematika o'qituvchisi)
M 10.2.1. Ko'phadni koeffitsientlarga ajratish orqali tenglamani yeching:
M 10.2.2. Kasr ratsional tenglamani yeching
a) https://pandia.ru/text/78/119/images/image082_0.gif" width="209" height="21 src=">. ( Eslatma: birinchi bo'lib birinchi omilni to'rtinchi, ikkinchisini uchinchi bilan ko'paytiring. Birinchi qismni belgilangy, keyin ikkinchi mahsulot sifatida ifodalanadi y+2. Olingan kvadrat tenglamani yeching va teskari almashtirishni bajaring.)
c) https://pandia.ru/text/78/119/images/image084_0.gif" width="165" height="41 src=">. ( Eslatma: Birinchi ikkita shartga qandaydir son qo'shishga harakat qiling, shunda yig'indi -10 koeffitsienti bilan uchinchi o'rindagi birining o'zaro nisbati bo'ladi. Quyidagi 12 va 13-misollarga qarang..)
Untsiklopediyadan olingan material
Algebraik tenglamalar P(x 1 , ..., x n) = O koʻrinishdagi tenglamalar boʻlib, bu yerda P x 1 , ..., x n oʻzgaruvchilardagi koʻphaddir. Bu o'zgaruvchilar noma'lumlar deb ataladi. Tartiblangan raqamlar to'plami (a 1 , ..., a n) bu tenglikni qanoatlantiradi, agar x 1 ni 1 ga, x 2 ni 2 ga almashtirganda va hokazo. to'g'ri raqamli tenglik olinadi (masalan, raqamlarning tartiblangan uchligi (3, 4, 5) x 2 + y 2 \u003d z 2 tenglamasini qanoatlantiradi, chunki 3 2 + 4 2 \u003d 5 2). Bitta noma’lum algebraik tenglamani qanoatlantiradigan songa bu tenglamaning ildizi deyiladi. Berilgan tenglamani qanoatlantiradigan barcha sonlar to‘plami bu tenglamaning yechimlari to‘plamidir. Yechimlari bir xil boʻlgan ikkita algebraik tenglamalar ekvivalent deyiladi. P polinomining darajasi P (x 1, ..., xn) \u003d 0 tenglama darajasi deb ataladi. Masalan, Zx - 5y + z \u003d c - birinchi darajali tenglama, x 2 + y 2 \u003d z 2 - ikkinchi daraja va x 4 - Zx 3 + 1 \u003d 0 - to'rtinchi daraja. Birinchi darajali tenglamalar chiziqli deb ham ataladi (qarang: Chiziqli tenglamalar).
Bitta noma’lum bo‘lgan algebraik tenglamaning chekli sonli ildizlari bor va noma’lumlari ko‘p bo‘lgan algebraik tenglamaning yechimlari to‘plami cheksiz aniq sonlar to‘plami bo‘lishi mumkin. Shuning uchun ular odatda n ta noma'lumli algebraik tenglamalarni emas, balki tenglamalar tizimini ko'rib chiqadilar va bir vaqtning o'zida berilgan tizimning barcha tenglamalarini qanoatlantiradigan sonlar to'plamini qidiradilar. Bu barcha to'plamlarning yig'indisi tizimning yechimlari to'plamini tashkil qiladi. Masalan, x 2 + y 2 = 10, x 2 - y 2 = 8 tenglamalar tizimining yechimlari to'plami: ((3; 1), (3; -1), (-3; 1), (-3; -1 )).
Bitta noma'lumli 1-darajali algebraik tenglamalar Qadimgi Misr va Qadimgi Bobilda allaqachon yechilgan. Bobil ulamolari kvadrat tenglamalar bilan bir qatorda chiziqli tenglamalarning eng oddiy sistemalari va 2-darajali tenglamalarni ham yecha olganlar. Maxsus jadvallar yordamida ular 3-darajali ba'zi tenglamalarni ham hal qilishdi, masalan, x 3 + x \u003d a. Qadimgi Yunonistonda kvadrat tenglamalar geometrik konstruktsiyalar yordamida yechilgan. Yunon matematigi Diofant (3-asr) ratsional sonlarda koʻp nomaʼlumli algebraik tenglamalar va bunday tenglamalar sistemalarini yechish usullarini ishlab chiqdi. Masalan, u x 4 - y 4 + z 4 \u003d n 2 tenglamasini ratsional sonlarda, y 3 + x 2 \u003d u 2, z 2 + x 2 \u003d v 3 va hokazo tenglamalar tizimini yechdi. (Qarang: Diofant tenglamalari).
Ba'zi geometrik masalalar: kubni ikkiga ko'paytirish, burchakni uchga bo'lish (qarang: Antik davrning klassik muammolari), muntazam yettiburchak qurish - kub tenglamalarni echishga olib keladi. Yechish jarayonida konus kesimlarining (ellips, parabola va giperbolalar) kesishish nuqtalarini topish talab qilingan. O'rta asr Sharq matematiklari geometrik usullardan foydalanib, kub tenglamalarning echimlarini tadqiq qildilar. Biroq, ularni hal qilish uchun formulani topa olmadilar. G'arbiy Evropa matematikasining birinchi yirik kashfiyoti 16-asrda qo'lga kiritilgan. kub tenglamani yechish formulasi. O'sha paytda manfiy sonlar hali taqsimlanmaganligi sababli, x 3 + px = q, x 3 + q = px va boshqalar kabi tenglama turlarini alohida tahlil qilish kerak edi.Italiya matematigi S. del Ferro (1465-1526). ) x 3 + px = q tenglamasini yechdi va yechimni kuyovi va shogirdi A. M. Fiorega etkazdi, u ajoyib oʻz-oʻzini oʻrgatgan matematik N. Tartalyani (1499-1557) matematika turniriga chaqirdi. Turnirdan bir necha kun oldin Tartalya kubik tenglamalarni echishning umumiy usulini topdi va g'alaba qozondi va unga taklif qilingan barcha 30 ta masalani tezda hal qildi. Biroq, x 3 + px + q = 0 tenglamasini yechish uchun Tartalya tomonidan topilgan formula
x = 3 √(-q/2 + √(q 2 /4 + p 3 /27)) + 3 √(-q/2 + √(q 2 /4 + p 3 /27))
Algebraik simvolizmning yaratilishi va son tushunchasining kompleks sonlargacha umumlashtirilishi 17—18-asrlarda imkon yaratdi. yuqori darajali algebraik tenglamalarning umumiy xossalarini, shuningdek, bir va bir necha o‘zgaruvchili ko‘phadlarning umumiy xossalarini o‘rganish.
XVII-XVIII asrlarda algebraik tenglamalar nazariyasining eng muhim muammolaridan biri. 5-darajali tenglamani yechish formulasini izlash bor edi. 18-asr frantsuz olimining sa'y-harakatlari bilan algebrachilarning ko'p avlodlari uchun samarasiz izlanishlardan so'ng. 18-asr oxiri — 19-asr boshlarida J.Lagranj (1736-1813), italyan olimi P.Ruffini (1765-1822) va norveg matematigi N.Abel. har qanday 5-darajali tenglamaning ildizlarini tenglamaning koeffitsientlari bo‘yicha ifodalash uchun faqat arifmetik amallar va ildiz ajratib olish yo‘li bilan ifodalanadigan formula mavjud emasligi isbotlandi. Bu tadqiqotlar E. Galoisning ishlari bilan yakunlandi, uning nazariyasi har qanday tenglamaga uning ildizlari radikallarda ifodalanganligini aniqlash imkonini beradi. Bundan oldin ham K.F.Gauss x n - 1 = 0 tenglamaning ildizlarini kvadrat radikallarda ifodalash masalasini hal qilgan edi, unga sirkul va chizg'ich yordamida muntazam n-burchak qurish masalasi kamayadi. Xususan, bu asboblar bilan muntazam yettiburchak, nonagon va boshqalarni yasash mumkin emas. - bunday konstruktsiya faqat n 2 2k + 1 ko'rinishdagi tub son yoki shu tipdagi turli tub sonlarning ko'paytmasi bo'lganda mumkin bo'ladi.
Muayyan tenglamalarni yechish formulalarini izlash bilan bir qatorda har qanday algebraik tenglamaning ildizlari mavjudligi masalasi ham tekshirildi. XVIII asrda. frantsuz faylasufi va matematigi J. D "Alembert nol bo'lmagan darajadagi har qanday algebraik tenglama murakkab koeffitsientlar bilan kamida bitta murakkab ildizga ega ekanligini isbotladi. D isbotida bo'shliqlar bor edi" Alembert, keyinchalik Gauss tomonidan to'ldirilgan. Bu teoremadan kelib chiqadiki, x dagi n-darajali har qanday ko‘phad n ta chiziqli ko‘paytmaga parchalanadi.
Hozirgi vaqtda algebraik tenglamalar tizimi nazariyasi matematikaning algebraik geometriya deb ataladigan mustaqil sohasiga aylandi. U shunday tenglamalar tizimlari tomonidan berilgan yuqori o'lchamdagi chiziqlar, sirtlar va manifoldlarni o'rganadi.
